U.D. Matematica 1

La dimensione storica delle idee matematicheLa dimensione storica delle idee matematiche

LE CURVE PARABOLICHE NELLA RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA CLASSICO DELL’ANTICHITA’

LA DUPLICAZIONE DEL CUBO

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Premessa Struttura dell’unità didattica

DestinatariDestinatari

Def. dei pre-requisitiDef. dei pre-requisiti

Obiettivi generaliObiettivi generali Obiettivi specificiObiettivi specifici

MetodiMetodi

StrumentiStrumenti

TempiTempi

ContenutiContenuti

VerificheVerifiche

Test pre-req.Test pre-req.

FormativeFormative

SommativeSommative

Eventuale recuperoEventuale recupero

Criteri di valutazione

(c.di classe)

Criteri di valutazione

(c.di classe)

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Prerequisiti:

1 Sistemi di equazioni

2 Concetti generali sulle coniche

3 L’ambiente “Derive”

LA DUPLICAZIONE DEL CUBO LA DUPLICAZIONE DEL CUBO

Destinatari: classe 2^

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OBIETTIVI GENERALI

1. Inserire il “fatto” matematico nel contesto storico

2. (Ri)scoprire l’attualità di metodi semplici

3. Valorizzare i percorsi problematici della conoscenza

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OBIETTIVI SPECIFICIOBIETTIVI SPECIFICI

2. Conoscenza, comprensione, e analisi teorica del tema (sapere)

3. Costruzione geometrico/algebrica delle curve risolutrici con

metodi tradizionali e con software dedicato (es. Derive)

(saper fare)

1. Analisi intuitiva del tema (induzione)

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METODI METODI

1. Brevi comunicazioni “frontali” per l’introduzione del

tema e l’esposizione dei livelli di prestazione richiesti

2. Lettura di testi che trattano “storicamente” l’argomento

3. Spiegazione (intuitivo/comunicativo/funzionale) delle

procedure (anche con tecniche m.m)4. Sviluppo e sistemazione logico/teorica del tema

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STRUMENTI STRUMENTI

1. Laboratorio

2. 1 Floppy disk (contenente in forma m.m. il tema oggetto della

lezione) per ogni alunno.

3. Video proiettore (per l’esposizione in laboratorio)

4. Fotocopie (per i collegamenti di carattere storico)

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TEMPI TEMPI

1. Test pre-requisiti: 1 h

2. Presentazione - Lezioni frontali - : 3 h

3. Laboratorio: 2 h

5. Test di verifica finale: 2 h

Recupero (eventuale): 4 h

4. Test di verifica formativa: 1 h

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I greci si posero, fin dalle prime speculazioni (filosofiche prima che geometriche), la questione di quali strumenti potessero essere legittimamente usati nella risoluzione dei problemi geometrici

La risposta che essi diedero fu molto semplice e rigorosa: potevano essere utilizzati soltanto una riga (senza alcuna graduazione) ed un compasso.

Erano quindi tracciabili segmenti di retta e circonferenze: curve elementari e perfette, da cui tutte le altre costruzioni geometriche dovevano discendere

CONTENUTI CONTENUTI

CENNI STORICI

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E’ ammirevole questa sorta di codice comportamentale, che i greci adottarono senza alcuna perplessità in nome di un concetto di assoluta purezza e di una semplicità di indagine che si ispiravano ai canoni della filosofia platonica

Una volta stabilite le “regole del gioco” i geometri greci si dedicarono alla studio di tre problemi (in questa sede analizzeremo la “duplicazione del cubo”), che sono noti come i tre (gli altri due sono la quadratura del cerchio e la trisezione dell’angolo) problemi classici dell’antichità. Per ironia della sorte, nessuno dei tre poteva essere risolto con riga e compasso

Veramente diaboliche le due caratteristiche dei tre grandi problemi dell’antichità : non era possibile risolverli con riga e compasso, né era possibile accorgersi di tale impossibilità!

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U.D. 1- LA DUPLICAZIONE DEL CUBOU.D. 1- LA DUPLICAZIONE DEL CUBO

Apollo, al quale nell’isola di Delo era stato dedicato un altare a forma cubica, chiese agli abitanti di raddoppiarne il volume, mantenendone tuttavia la forma.

Secondo un’altra leggenda era stato Minosse re di Creta a voler raddoppiare la tomba a forma di cubo, eretta per suo figlio Glauco.

In entrambi i casi i matematici dovettero arrendersi: il problema non è risolubile con riga e compasso; eppure la soluzione algebrica è assolutamente evidente, se il cubo ha (p.es.) il lato uguale a 1 (cioè volume = 1), il cubo di volume doppio deve avere il lato uguale alla radice cubica di 2.

In genere si tende a rispondere (con una certa sicurezza !), che il cubo di volume doppio deve avere il lato ancora doppio , ma in questo caso il volume risulterebbe 8 volte maggiore di quello precedente: V1 = L1 · L1 · L1 se L2 = 2 · L1 allora risulterebbe V2 = L2 · L2 ·L2 = 2L1 · 2L1 · 2L1 = 8(L1·L1·L1) = 8V1 (e non 2V1)

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L1 = 1 L2 =

V1 = 1

V2 = 2

In altri termini, se per semplicità, supponiamo che il cubo da “duplicare” abbia lato unitario (L1 = 1) allora:

Infatti se moltiplichiamo tre volte L2 per se stesso otteniamo proprio il volume V2 = 2

3 2

3 2 ·3 2 3 2· = 3 2 2 2 2

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Menecmo trovò un metodo adatto alla soluzione del problema. Egli però fu costretto a rinunciare al metodo della riga e del compasso

Ragionando in termini moderni si consideri la parabola:

y = x2

E la parabola:

x = ½ y2

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Le due curve si intersecano (oltre che nell’origine) in un punto P la cui ascissa è proprio uguale alla radice cubica di 2, cioè al lato del cubo di volume doppio; con una semplice sostituzione, e qualche passaggio algebrico, si ottiene la soluzione:

y = x2

x = ½ y2

y = x2

x = ½ (x2)2 x = ½ x4 1 = ½ x3

x3 = 2x = 3 2

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Costruzione (con Derive) della parabola y = x2

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Costruzione (con Derive) della parabola x =1/2 y2

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Le due parabole si intersecano in P

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QO

Il segmento OQ (l’ascissa di P) è il lato del cubo di volume doppio.

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L’Unità Didattica di Matematica termina qui.

Grazie e buon lavoro!

Benvenutial corso di informatica

(prof. M. Fanton)

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