Bari | 30.11.2015

Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga e non avete mai osato chiedere

Michele Porfido

SSC | 30.11.2015

Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

Zenone di Elea

● Allievo di Parmenide

SSC | 30.11.2015

Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

Zenone di Elea

● Allievo di Parmenide

● Probabilmente il più grande rompiscatole nella storia dell’antica Grecia

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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

I paradossi di Zenone● Sull’infinita divisibilità di spazio e tempo:

● Sulla divisibilità di spazio e tempo in elementi “atomici”:

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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

I paradossi di Zenone● Sull’infinita divisibilità di spazio e tempo:

○ Achille a la Tartaruga○ Dicotomia

● Sulla divisibilità di spazio e tempo in elementi “atomici”:

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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

I paradossi di Zenone● Sull’infinita divisibilità di spazio e tempo:

○ Achille a la Tartaruga○ Dicotomia

● Sulla divisibilità di spazio e tempo in elementi “atomici”:○ Paradosso della Freccia○ Paradosso dello Stadio

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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

I paradossi di Zenone● Sull’infinita divisibilità di spazio e tempo:

○ Achille a la Tartaruga○ Dicotomia

● Sulla divisibilità di spazio e tempo in elementi “atomici”:○ Paradosso della Freccia○ Paradosso dello Stadio

Quale era lo scopo di Zenone?

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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

DicotomiaIl corridore non può mai completare il suo percorso perché deve attraversare in tempo finito un numero infinito di suddivisioni.

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Achille(?) e la Tartaruga

Achille non può raggiungere la tartaruga, perché deve passare per tante posizioni tante quante ne attraversa la Tartaruga.

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Paradosso della freccia

In ciascun instante la freccia occupa uno spazio identico a se stessa.

Qualsiasi intervallo di tempo è composto da istanti.

Quindi nel corso di qualsiasi intervallo di tempo la freccia non è in movimento.

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Paradosso dello stadio

Dopo un istante di tempo “atomico” C1 avrà superato due B.

Quindi possiamo definire una nuova unità di tempo più piccola, quella necessaria a C per attraversare un B.

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I problemi con l’infinito ● ápeiron (privo di confine, informe)

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I problemi con l’infinito ● ápeiron (privo di confine, informe)

● Zenone porta l’infinito (infinitamente piccolo) nel mondo reale

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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

I problemi con l’infinito ● ápeiron (privo di confine, informe)

● Zenone porta l’infinito (infinitamente piccolo) nel mondo reale

● reductio ad absurdum

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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

I problemi con l’infinito ● ápeiron (privo di confine, informe)

● Zenone porta l’infinito (infinitamente piccolo) nel mondo reale

● reductio ad absurdum

● problemi del linguaggio (essere/esistere)

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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

I problemi con l’infinito ● ápeiron (privo di confine, informe)

● Zenone porta l’infinito (infinitamente piccolo) nel mondo reale

● reductio ad absurdum

● problemi del linguaggio (essere/esistere)

● “Geometriafilia” dei greci

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Soluzioni?

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Aristotele

Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

● Distinzioni metafisiche tra tipi di infinito: Attuale e Potenziale: “in tempo finito si può entrare in contatto con cose infinite rispetto alla divisibilità”

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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

Aristotele

Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

● Distinzioni metafisiche tra tipi di infinito: Attuale e Potenziale: “in tempo finito si può entrare in contatto con cose infinite rispetto alla divisibilità”

● Ma lo usa ancora come reductio ad absurdum contro Platone.

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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

Aristotele

Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

● Distinzioni metafisiche tra tipi di infinito: Attuale e Potenziale: “in tempo finito si può entrare in contatto con cose infinite rispetto alla divisibilità”

● Ma lo usa ancora come reductio ad absurdum contro Platone.

● Diventa l’argomentazione standard per secoli, di fatto giustificando l’uso di alcuni ragionamenti.

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Eudosso e Archimede Definizione di rapporto:

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Eudosso e Archimede Definizione di rapporto:

p : q = r : s

se

ap < bq ⇒ ar < bsap = bq ⇒ ar = bsap > bq ⇒ ar > bs

per a, b interi

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Eudosso e Archimede Metodo di esaustione:

“Se da una qualsiasi grandezza si sottrae una parte non inferiore alla sua metà e se dal resto si sottrae ancora non meno della sua metà e se questo processo di sottrazione viene continuato alla fine rimarrà una grandezza inferiore a qualsiasi grandezza dello stesso genere precedentemente assegnata.”

SSC | 30.11.2015

Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

Eudosso e Archimede Metodo di esaustione:

“Se da una qualsiasi grandezza si sottrae una parte non inferiore alla sua metà e se dal resto si sottrae ancora non meno della sua metà e se questo processo di sottrazione viene continuato alla fine rimarrà una grandezza inferiore a qualsiasi grandezza dello stesso genere precedentemente assegnata.”

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Salto temporale...

● Agostino: causa incausata

● Tommaso: parla di insiemi di cose e del perché non possano esistere numeri infiniti (1260)

● Saltano fuori innumerevoli bizzarrie sulla somma di serie infinite.

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Stevino, Keplero, Galilei (...1638)● Usando infiniti/infinitesimi: Risultati

di statica e astronomia.

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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

Stevino, Keplero, Galilei (...1638)● Usando infiniti/infinitesimi: Risultati

di statica e astronomia.

● Galileo per primo parla di ordini di infinitesimi.

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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

Stevino, Keplero, Galilei (...1638)● Usando infiniti/infinitesimi: Risultati

di statica e astronomia.

● Galileo per primo parla di ordini di infinitesimi.

● Paradosso di Galileo: utilizzo di corrispondenza 1-1

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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

Stevino, Keplero, Galilei (...1638)● Usando infiniti/infinitesimi: Risultati

di statica e astronomia.

● Galileo per primo parla di ordini di infinitesimi.

● Paradosso di Galileo: utilizzo di corrispondenza 1-1

● Attribuisce le stranezze dell’infinito alla inadeguadezza e finitezza del pensiero umano

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Newton & Leibnitz ● Elaborano metodi

generali per tenere conto di variazioni istantanee.

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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

Newton & Leibnitz

● Gli infinitesimi diventano un mezzo potente ma controverso. Contemporaneamente nasce una attenzione verso il rigore e un progressivo abbandono dei metodi geometrici a favore di dimostrazioni aritmetiche.

● Elaborano metodi generali per tenere conto di variazioni istantanee.

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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

Newton & Leibnitz

● Gli infinitesimi diventano un mezzo potente ma controverso. Contemporaneamente nasce una attenzione verso il rigore e un progressivo abbandono dei metodi geometrici a favore di dimostrazioni aritmetiche.

● Morale: il calcolo differenziale non può far nulla per risolvere i paradossi della continuità.

● Elaborano metodi generali per tenere conto di variazioni istantanee.

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Limiti e continuità

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Karl WeierstrassUna funzione f è continua in x₀ se

tale che preso x nel dominio di f risulta:

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Karl Weierstrass

● Aristotele!

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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

Karl Weierstrass

● Aristotele!

● Gli infinitesimi non servono più e possono essere sostituiti con un concetto rigoroso di limite.

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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

Karl Weierstrass

● Aristotele!

● Gli infinitesimi non servono più e possono essere sostituiti con un concetto rigoroso di limite.

● La definizione fa uso esclusivamente dei numeri reali e del loro ordinamento. (Rimane il problema della loro definizione)

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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

Karl Weierstrass

● Aristotele!

● Gli infinitesimi non servono più e possono essere sostituiti con un concetto rigoroso di limite.

● La definizione fa uso esclusivamente dei numeri reali e del loro ordinamento. (Rimane il problema della loro definizione)

● Aritmetizzazione dell’analisi (cominciata da Bolzano).

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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

Richard Dedekind● Definisce i numeri reali a partire dai

razionali (meglio di Cantor), sfruttando l’ordinamento (Retta Numerica).

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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

Richard Dedekind● Definisce i numeri reali a partire dai

razionali (meglio di Cantor), sfruttando l’ordinamento (Retta Numerica).

● Schnitt: un numero irrazionale è definito da due insiemi che esauriscono i numeri razionali.

SSC | 30.11.2015

Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

Richard Dedekind● Definisce i numeri reali a partire dai

razionali (meglio di Cantor), sfruttando l’ordinamento (Retta Numerica).

● Schnitt: un numero razionale è definito da due insiemi che esauriscono i numeri razionali.

● Non si fa più nessun problema a considerare insiemi attualmente infiniti.

SSC | 30.11.2015

Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...

Richard Dedekind● Definisce i numeri reali a partire dai

razionali (meglio di Cantor), sfruttando l’ordinamento (Retta Numerica).

● Schnitt: un numero razionale è definito da due insiemi che esauriscono i numeri razionali.

● Non si fa più nessun problema a considerare insiemi attualmente infiniti.

● Eudosso!

SSC | 30.11.2015

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Georg CantorIl suo lavoro si incastra alla perfezione con quello di Dedekind:

● Fornisce una teoria degli insiemi infiniti.

● Caratteristica fondamentali di infinito: sottoinsiemi propri che hanno la stessa cardinalità

● Gerarchie di infinito● Ipotesi del continuo● Un cubo e un segmento

contengono lo stesso ∞ di punti● Teoria dei numeri transfiniti

SSC | 30.11.2015

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… e oltre

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