Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga e non avete mai osato chiedere
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Bari | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga e non avete mai osato chiedere
Michele Porfido
SSC | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Zenone di Elea
● Allievo di Parmenide
SSC | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Zenone di Elea
● Allievo di Parmenide
● Probabilmente il più grande rompiscatole nella storia dell’antica Grecia
SSC | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
I paradossi di Zenone● Sull’infinita divisibilità di spazio e tempo:
● Sulla divisibilità di spazio e tempo in elementi “atomici”:
SSC | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
I paradossi di Zenone● Sull’infinita divisibilità di spazio e tempo:
○ Achille a la Tartaruga○ Dicotomia
● Sulla divisibilità di spazio e tempo in elementi “atomici”:
SSC | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
I paradossi di Zenone● Sull’infinita divisibilità di spazio e tempo:
○ Achille a la Tartaruga○ Dicotomia
● Sulla divisibilità di spazio e tempo in elementi “atomici”:○ Paradosso della Freccia○ Paradosso dello Stadio
SSC | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
I paradossi di Zenone● Sull’infinita divisibilità di spazio e tempo:
○ Achille a la Tartaruga○ Dicotomia
● Sulla divisibilità di spazio e tempo in elementi “atomici”:○ Paradosso della Freccia○ Paradosso dello Stadio
Quale era lo scopo di Zenone?
SSC | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
DicotomiaIl corridore non può mai completare il suo percorso perché deve attraversare in tempo finito un numero infinito di suddivisioni.
SSC | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Achille(?) e la Tartaruga
Achille non può raggiungere la tartaruga, perché deve passare per tante posizioni tante quante ne attraversa la Tartaruga.
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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Paradosso della freccia
In ciascun instante la freccia occupa uno spazio identico a se stessa.
Qualsiasi intervallo di tempo è composto da istanti.
Quindi nel corso di qualsiasi intervallo di tempo la freccia non è in movimento.
HTTP://XKCD.COM/1153/
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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Paradosso dello stadio
Dopo un istante di tempo “atomico” C1 avrà superato due B.
Quindi possiamo definire una nuova unità di tempo più piccola, quella necessaria a C per attraversare un B.
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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
I problemi con l’infinito ● ápeiron (privo di confine, informe)
SSC | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
I problemi con l’infinito ● ápeiron (privo di confine, informe)
● Zenone porta l’infinito (infinitamente piccolo) nel mondo reale
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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
I problemi con l’infinito ● ápeiron (privo di confine, informe)
● Zenone porta l’infinito (infinitamente piccolo) nel mondo reale
● reductio ad absurdum
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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
I problemi con l’infinito ● ápeiron (privo di confine, informe)
● Zenone porta l’infinito (infinitamente piccolo) nel mondo reale
● reductio ad absurdum
● problemi del linguaggio (essere/esistere)
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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
I problemi con l’infinito ● ápeiron (privo di confine, informe)
● Zenone porta l’infinito (infinitamente piccolo) nel mondo reale
● reductio ad absurdum
● problemi del linguaggio (essere/esistere)
● “Geometriafilia” dei greci
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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Soluzioni?
SSC | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Aristotele
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
● Distinzioni metafisiche tra tipi di infinito: Attuale e Potenziale: “in tempo finito si può entrare in contatto con cose infinite rispetto alla divisibilità”
SSC | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Aristotele
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
● Distinzioni metafisiche tra tipi di infinito: Attuale e Potenziale: “in tempo finito si può entrare in contatto con cose infinite rispetto alla divisibilità”
● Ma lo usa ancora come reductio ad absurdum contro Platone.
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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Aristotele
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
● Distinzioni metafisiche tra tipi di infinito: Attuale e Potenziale: “in tempo finito si può entrare in contatto con cose infinite rispetto alla divisibilità”
● Ma lo usa ancora come reductio ad absurdum contro Platone.
● Diventa l’argomentazione standard per secoli, di fatto giustificando l’uso di alcuni ragionamenti.
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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Eudosso e Archimede Definizione di rapporto:
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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Eudosso e Archimede Definizione di rapporto:
p : q = r : s
se
ap < bq ⇒ ar < bsap = bq ⇒ ar = bsap > bq ⇒ ar > bs
per a, b interi
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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Eudosso e Archimede Metodo di esaustione:
“Se da una qualsiasi grandezza si sottrae una parte non inferiore alla sua metà e se dal resto si sottrae ancora non meno della sua metà e se questo processo di sottrazione viene continuato alla fine rimarrà una grandezza inferiore a qualsiasi grandezza dello stesso genere precedentemente assegnata.”
SSC | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Eudosso e Archimede Metodo di esaustione:
“Se da una qualsiasi grandezza si sottrae una parte non inferiore alla sua metà e se dal resto si sottrae ancora non meno della sua metà e se questo processo di sottrazione viene continuato alla fine rimarrà una grandezza inferiore a qualsiasi grandezza dello stesso genere precedentemente assegnata.”
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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Salto temporale...
● Agostino: causa incausata
● Tommaso: parla di insiemi di cose e del perché non possano esistere numeri infiniti (1260)
● Saltano fuori innumerevoli bizzarrie sulla somma di serie infinite.
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Stevino, Keplero, Galilei (...1638)● Usando infiniti/infinitesimi: Risultati
di statica e astronomia.
SSC | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Stevino, Keplero, Galilei (...1638)● Usando infiniti/infinitesimi: Risultati
di statica e astronomia.
● Galileo per primo parla di ordini di infinitesimi.
SSC | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Stevino, Keplero, Galilei (...1638)● Usando infiniti/infinitesimi: Risultati
di statica e astronomia.
● Galileo per primo parla di ordini di infinitesimi.
● Paradosso di Galileo: utilizzo di corrispondenza 1-1
SSC | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Stevino, Keplero, Galilei (...1638)● Usando infiniti/infinitesimi: Risultati
di statica e astronomia.
● Galileo per primo parla di ordini di infinitesimi.
● Paradosso di Galileo: utilizzo di corrispondenza 1-1
● Attribuisce le stranezze dell’infinito alla inadeguadezza e finitezza del pensiero umano
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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Newton & Leibnitz ● Elaborano metodi
generali per tenere conto di variazioni istantanee.
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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Newton & Leibnitz
● Gli infinitesimi diventano un mezzo potente ma controverso. Contemporaneamente nasce una attenzione verso il rigore e un progressivo abbandono dei metodi geometrici a favore di dimostrazioni aritmetiche.
● Elaborano metodi generali per tenere conto di variazioni istantanee.
SSC | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Newton & Leibnitz
● Gli infinitesimi diventano un mezzo potente ma controverso. Contemporaneamente nasce una attenzione verso il rigore e un progressivo abbandono dei metodi geometrici a favore di dimostrazioni aritmetiche.
● Morale: il calcolo differenziale non può far nulla per risolvere i paradossi della continuità.
● Elaborano metodi generali per tenere conto di variazioni istantanee.
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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Limiti e continuità
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Karl WeierstrassUna funzione f è continua in x₀ se
tale che preso x nel dominio di f risulta:
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Karl Weierstrass
● Aristotele!
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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Karl Weierstrass
● Aristotele!
● Gli infinitesimi non servono più e possono essere sostituiti con un concetto rigoroso di limite.
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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Karl Weierstrass
● Aristotele!
● Gli infinitesimi non servono più e possono essere sostituiti con un concetto rigoroso di limite.
● La definizione fa uso esclusivamente dei numeri reali e del loro ordinamento. (Rimane il problema della loro definizione)
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Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Karl Weierstrass
● Aristotele!
● Gli infinitesimi non servono più e possono essere sostituiti con un concetto rigoroso di limite.
● La definizione fa uso esclusivamente dei numeri reali e del loro ordinamento. (Rimane il problema della loro definizione)
● Aritmetizzazione dell’analisi (cominciata da Bolzano).
SSC | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Richard Dedekind● Definisce i numeri reali a partire dai
razionali (meglio di Cantor), sfruttando l’ordinamento (Retta Numerica).
SSC | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Richard Dedekind● Definisce i numeri reali a partire dai
razionali (meglio di Cantor), sfruttando l’ordinamento (Retta Numerica).
● Schnitt: un numero irrazionale è definito da due insiemi che esauriscono i numeri razionali.
SSC | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Richard Dedekind● Definisce i numeri reali a partire dai
razionali (meglio di Cantor), sfruttando l’ordinamento (Retta Numerica).
● Schnitt: un numero razionale è definito da due insiemi che esauriscono i numeri razionali.
● Non si fa più nessun problema a considerare insiemi attualmente infiniti.
SSC | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Richard Dedekind● Definisce i numeri reali a partire dai
razionali (meglio di Cantor), sfruttando l’ordinamento (Retta Numerica).
● Schnitt: un numero razionale è definito da due insiemi che esauriscono i numeri razionali.
● Non si fa più nessun problema a considerare insiemi attualmente infiniti.
● Eudosso!
SSC | 30.11.2015
Tutto quello che avete sempre voluto sapere su Achille e la Tartaruga...
Georg CantorIl suo lavoro si incastra alla perfezione con quello di Dedekind:
● Fornisce una teoria degli insiemi infiniti.
● Caratteristica fondamentali di infinito: sottoinsiemi propri che hanno la stessa cardinalità
● Gerarchie di infinito● Ipotesi del continuo● Un cubo e un segmento
contengono lo stesso ∞ di punti● Teoria dei numeri transfiniti
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… e oltre
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