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Corso di Progetto di Strutture Prof. Marco di Prisco Corso di Laurea in Ingegneria Edile/Architettura
IV Esercitazione progettuale ‐ ing. Anna Magri, ing. Giulio Zani Trave in calcestruzzo armato precompresso a cavi aderenti postesi
Si considera il seguente schema statico appoggio‐appoggio con luce paro a 10m.
Analisi dei carichi Carico permanente portato g1=40 kN/m Carico variabile q =50 kN/m Peso proprio della trave da definire dopo aver stabilito la geometria e le caratteristiche geometriche. Scelta della tipologia sezionale
Le travi a T hanno un baricentro spostato verso l’alto rispetto a quelle di forma a I, quindi la distanza tra i cavi di precompressione e il baricentro è maggiore. Questo è vantaggioso perché permette di avere un momento utile più elevato. Questa tipologia sezionale è adatta in presenza di forti carichi permanenti. La trave a I si utilizza prevalentemente quando i carichi variabili sono dominanti rispetto ai permanenti come nel caso delle travi da ponte. Caratteristiche dei materiali Calcestruzzo C50/60fck 45.0 MPaγc 1.5 -fctm 3.8 MPafctk 2.7 MPaEC 35000.0 MPafcd 25.5 MPa Si considera γ = 1.5 perché non è possibile effettuare controlli di qualità in cantiere.
Armatura ordinariafyk 500.0 MPafyd 435.0 MPaEs 205000.0 MPafsd 455.0fctm 3.53 MPa Trefoli da precompressioneA 139.0 mm2
Ep 195000.0 MPafptk 1860.0 MPafp0,1k 1580.0 MPafptd 1455.7 MPa Progettazione della sezione Variabili di progetto: h, b, Ap, tiro dei cavi, tracciato dei cavi. h~ L/10 ~ 10m /10 ~ 1 m Per ricavare la larghezza b della trave si considera come limiti inferiori i vincoli geometrici dati dalla disposizione dell’armatura. L’altezza della trave viene dettata dalle verifiche di deformabilità perché il calcolo della freccia dipende in modo quadratico dall’altezza invece le verifiche di resistenza, condotte allo SLU, dipendono solo in modo lineare dall’altezza. La freccia massima si ha nella sezione di mezzeria e vale:
20012
1035
10903845
3845
36
44 LbhEI
pLv ≤⋅⋅
⋅⋅=⋅=
Si sceglie la sezione più opportuna seguendo le indicazioni da catalogo fornite dai produttori di prefabbricati.
Caratteristiche geometriche della sezione in calcestruzzo A = 276400 mm2
( )
kNmmmkNppropriopeso
mmyIW
mmdAII
G
iiii
9,6276400,025__
107,76
102,42
23
36
49
=⋅=
⋅==
⋅=⋅+= ∑
Dimensionamento dell’armatura di precompressione e posizionamento Si stabilisce in fase di tiro una tensione di .13001343158085,085,0 1,00 MPaMPaf kpp ≅=⋅=⋅=σ Condizioni in fase iniziale Inizialmente si ipotizza un cavo di precompressione . Dati: Atrave= 276400 mm2
mmcye
mmyIW
kNmLqgpM
kNmmmkNLpM
cavog
G
4752
107,76
25,12118
109,968
)(
25,868
10/9,68
max
36
22
max
222
0
=−−=
⋅==
=⋅
=⋅++
=
=⋅
=⋅
=
φ
c: copriferro pari al diametro del cavo di precompressione 5 cm
Area minima di un cavo con sette trefoli = 139*7=973 mm2
Incognite: Ap e la posizione e dei cavi. Inizialmente si considera come valore di eccentricità quella massima sopra calcolata.
Condizione in fase iniziale
MPafWM
WA
AA
WM
WeN
AN
ckjpppp 186,0
47513001300 00max00inf =≤−
⋅⋅+
⋅=−
⋅+=σ
MPafWM
WeN
AN
ctmjpp 8,33,10max00
sup −=−≥+⋅
−=σ
dove ckjf6,0 è la pressione ammissibile del conglomerato prima che si verifichi fenomeni di splitting;
ctmjf3,1− è il valore di resistenza a trazione per flessione.
MPaAA pp 18
107,761025,86
107,764751300
2764001300
6
6
6inf ≤⋅⋅
−⋅
⋅⋅+
⋅=σ
MPaAA pp 8,3
107,761025,86
107,764751300
2764001300
6
6
6sup −≥⋅⋅
+⋅
⋅⋅−
⋅=σ
Si ricava quindi che
2
6
6
6
1499
107,764751300
2764001300
107,761025,8618
mmAp =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
+≤
2
6
6
6
1471
107,764751300
2764001300
107,761025,868,3
mmAp =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
−−≤
La condizione più restrittiva è la seconda:
21471mmAp ≤
Condizioni in fase finale a tempo ∞
MPafW
MW
AA
AW
MW
eNA
Nctk
pppp 64.33,1475900900 maxmaxmax
inf −=−≥−⋅⋅
+⋅
=−⋅
+=σ
A tempo infinito in fase di predimensionamento si considerano le perdite pari al 30%. Quindi il valore di σP0 vale 900 N/mm².
MPaP 90013007,00 =⋅=σ
2
6
6
6
1376
107.76475900
276400900
107.761025.121164.3
mmAp =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅⋅
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
+−≥
²/276,0maxmaxsup mmNf
WM
WeN
AN
ckpp =⋅≤+⋅
−=σ
Ineguaglianza impossibile. Dalle condizioni iniziali e finali si deduce il seguente intervallo entro al quale scegliere la quantità di armatura di precompressione.
22 14711376 mmAmm p ≤≤ Si usano due cavi con 5 trefoli ciascuno.
2139052139 mmnnAA tefolicavitrefolop =⋅⋅=⋅⋅= Per il posizionamento dei cavi si rispettano i minimi geometrici.
mme cavi 4252 =
Si calcolano nuovamente le aree d’armatura considerando la nuova eccentricità per vedere se due cavi con 5 trefoli rispettano le ineguaglianze a tempo iniziale e finale. Condizioni a tempo iniziale
2
6
6
6
1606
107,764251300
2764001300
107,761025,8618
mmAp =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
+≤
2
6
6
6
1969
107,764251300
2764001300
107,761025,868,3
mmAp =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
−−≤
La condizione più restrittiva è la prima:
21606mmAp ≤ Condizioni a tempo finale ∞
[1] 2
6
6
6
1474
107.76425900
276400900
107.761025.121164.3
mmAp =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅⋅
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
+−≥
[2] Si ricava quindi che l’intervallo è pari a
22 16061474 mmAmm p ≤≤ Quindi se si considerano due cavi con 5 trefoli:
2139052139 mmnnAA tefolicavitrefolop =⋅⋅=⋅⋅= Questo valore non rispetta i limiti calcolati, quindi si considerano due cavi con 6 trefoli:
2166862139 mmnnAA tefolicavitrefolop =⋅⋅=⋅⋅= Tra le due possibili alternative si sceglie la seconda in quanto la condizione non rispettata è quella riferita alla condizione a tempo iniziale (quindi nel transitorio) e le fessure iniziali andranno a richiudersi. Posizionamento dei cavi Punto limite inferiore:
mmmmMPa
NmmmmNMeu
p
38516681300
1025,86425 2
6
0
mininf =
⋅⋅
−=−=
Il punto limite superiore è trovato con il medesimo procedimento, applicando però tutti i carichi.
mmmmMPa
NmmmmN
Meu
p
13416681300
1025,1211425 2
6
0
maxsup =
⋅⋅
+−=+−=
(misurati a partire dal baricentro verso l’alto). Il cavo verrà posizionato tra i due limiti
134²45,485,484)(
)(
²45,35,39385)()(
sup0
max
0
mininf
−−=−=
−+=+=
xxuN
xMxe
xxN
xMuxe
p
p
Si ha quindi la zona in cui il tracciato equivalente del cavo deve cadere. Dato che non c’è momento nelle sezioni di estremità, l’azione di precompressione dovrebbe cadere nel baricentro della trave. Si imposta per il due cavi un’equazione parabolica del tipo Ax²+Bx+C=y : Condizioni per il cavo inferiore : y’(5m) = 0 y(5m) = 475 mm y(0) = 250 mm Condizioni per il cavo superiore : y’(5m) = 0 y(5m) = 375mm y(0) = ‐250 mm y si misura dal baricentro verso il basso. Si ha quindi: Cavo inferiore : y = ‐9x²+90x+250 Cavo superiore : y = ‐25x²+250x‐250 Valutazione delle perdite Bisogna valutare l’inclinazione del cavo agli estremi :
1) l’azione assiale è opposta al taglio. 2) valutazione della caduta di tensione per attrito.
Complemento della perdita :
0)(
ps NeN αϕµ +−=
Dove µ è un coefficiente d’attrito pari a 0,2; αs = fattore correttivo per tener conto del fatto che anche con i tracciati rettilinei si perde parte della precompressione per attrito; α = 0,01 rad/m; s = ascissa curvilinea del cavo; ϕ = variazione d’angolo fra la sezione iniziale del cavo e la sezione dove si compie la verifica.
Cavo superiore : s = 5 e ϕ = 0,25 → %2,94=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
fNN
Cavo inferiore : s = 5 e ϕ = 0,09 → %2,97=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
fNN
Si perde di più nel cavo superiore per la maggiore curvatura. ∆Ns = 0,058*650 = 37,7 N/mm² ∆Ni = 0,028*650 = 18,2 N/mm² Verifiche tensionali
²/5,22²/0045,01037809
25,1211425,08,631425,03,612276400
1,1244
²/77,33,1²/0045,0107,76
25,1211425,08,631425,03,612276400
1,1244
3sup
sup
6inf
inf
mmNmmN
WMeNeN
ANNN
mmNfmmN
WMeNeN
ANNN
iisssp
ctk
iissisp
<=⋅
+⋅−⋅−=
+⋅−⋅−
∆−∆−=
−=−>=⋅
−⋅+⋅+=
−⋅+⋅+
∆−∆−=
σ
σ
σ
σ
Verifica per flessione allo SLU
mmx
fAfxb pdpcd
1,2385,255008,0
1456166808,0
=⋅⋅
⋅=
=⋅−⋅⋅⋅
kNmM
xdfAM
Rd
pdpRd
2136)1,2384,0975(14561668
)4,0(
=⋅−⋅=
−⋅=
kNmM Ed 17298²10)505,19,4635,1( =⋅⋅+⋅=
EdRd MM > la verifica è soddisfatta Verifica per taglio allo SLU (sezione d’appoggio)
Cavo inferiore : y’(x) = ‐18x+90 tgα1 = ‐18 α1 = ‐86,8° Cavo superiore : y’(x) = ‐50x+250 tgα2 = ‐50 α2 = ‐88,8°
( ) ( ) ( )
( ) ( ) kN
NNqgV
kNAN
ppEd
ppp
3,5778,88cos6,7508,86cos6,7505)505,14035,1(
cos2
cos22
5,135,1
15011668900
20
10
00
=°−°−⋅⋅+⋅=
=⋅−⋅−⋅⋅+⋅=
=⋅=⋅=
αα
σ
l
N.B. In fase di calcolo esecutivo è opportuno considerare anche il peso proprio dell’elemento strutturale e verificare diverse sezioni. A scopo esemplificativo si riporta un solo caso.
²/4,2743320
577300
74355593369
2413157276124131572761855593368,6
4
3
mmNmmmm
Nzb
V
mmSIz
mmImmS
Ed =⋅
=⋅
=
===
=
=
τ
Si considera l’effetto della precompressione linearmente variabile, con precompressione attiva per il 25%. Questo significa che si considera come efficace il 25% della forza di precompressione.
%25%5,22580
9080
90≈=
⋅==
cmcmcmx
b
b
φl
Dove xb indica la posizione della sezione dove viene effettuata la verifica e lb indica la lunghezza di ancoraggio del cavo pari a circa 80 volte il diametro del cavo. Nella fibra in cui si ha la τ massima c’è anche uno sforzo σ. La sollecitazione è a favore di sicurezza, si può quindi prendere un coefficiente di sicurezza pari a 0,9.
MPaA
N
kNN
kNN
kNAN
pEd
pEd
p
Ppp
22,1276400
7,337
7,3373,3759,0
3,375150125,0%25
15019001668
0
00
===
=⋅=
=⋅=⋅
=⋅=⋅=
σ
σ
Sforzo principale di trazione :
( ) MPaI 86,14²4,2²22,122,121
=⋅++−=σ
Inclinazione dell’angolo di prima fessurazione :
°=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=→=== 7,37
29,11arctan)29,1(cot29,1
86,14,2 garc
II σ
τλ
L’effetto della precompressione è di fare diminuire l’angolo di prima fessurazione. Un limite superiore per l’inclinazione di rottura è dato, relativamente a quello della prima fessurazione, in base alla duttilità dell’acciaio, dall’espressione: λr = λI + ∆λ = λI + 1 = 2,29, dove ∆λ = 1 per acciai di normale duttilità. Si procede infine al dimensionamento dell’armatura trasversale e al calcolo del taglio resistente VRd.