Trasformazioni geometriche

Didattica della Matematica – modulo 2

Settimo ciclo SSIS, 2005-2006

Da bambini, con le forbici e un foglio di carta

• pieghiamo il foglio a metà

• ritagliamo un motivo• apriamo il foglio• Le due parti della

figura sono “simmetriche”

Simmetria o riflessione rispetto a una retta

• Trasformazione del piano su se stesso: ogni punto P ha un corrispondente P’

• I punti di r sono fissi• se P fuori di r, PP’ è

perpendicolare a r• e la incontra nel punto

medio tra P, P’

simmetria.fig

r

P

P'

M

Proprietà della riflessione• Segmenti vanno in

segmenti• Segmenti

corrispondenti sono uguali

• Si conservano gli angoli

• Triangoli corrispondenti sono congruenti

• Sinistro destro

Con le forbici e una striscia di carta ripiegata

Con due riflessioni….

Si ottiene una nuova trasformazione

• traslatriango.fig

La traslazione

• Segmenti da un punto al suo traslato sono paralleli, uguali, orientati nello stesso verso

• Rette corrispondenti sono parallele

• Destro destro

Nessun punto fisso, ma rette fisse

• Se si ripete una stessa traslazione, le rette nella direzione della traslazione scorrono su se stesse

Come si costruisce un motivo ornamentale?

Come costruire un fregio: I

Reiterando una stessa traslazione: salti su un piede solo

Come costruire un fregio: II

Aggiungendo alla traslazione una riflessione rispetto ad una retta nella stessa direzione: salti a piè pari

Come costruire un fregio: II

Aggiungendo alla traslazione una riflessione rispetto ad una retta nella stessa direzione: salti a piè pari

Come costruire un fregio: IIICon l’operazione risultante dalla composizione di traslazione e riflessione: è un nuovo tipo di trasformazione

Come costruire un fregio: III

Con l’antitraslazione (glissoriflessione): passo normale

Come costruire fregi: IV

• Usando una riflessione in uno specchio perpendicolare alla direzione di traslazione, ripetendo….: salti laterali

Come costruire fregi: V

• Usando riflessioni con specchi perpendicolari tra loro: salto con piroetta

Un’altra trasformazione: la simmetria centrale

• Risulta dalla composizione di riflessioni rispetto a assi perpendicolari

• è un “mezzo giro” attorno al punto comune ai due assi

Un’altra trasformazione: la simmetria centrale

• Risulta dalla composizione di riflessioni rispetto a assi perpendicolari

• è un “mezzo giro” attorno al punto comune ai due assi

La simmetria centrale

• Il centro di simmetria è il punto medio tra ogni coppia di punti corrispondenti

• Destro va in destro

Come costruire fregi: VI• Si possono usare simmetrie centrali: giravolta

su un piede solo

Come costruire fregi: VII

• Infine, simmetrie centrali e riflessioni: salti con giravolte

Teorema

Vi sono soltanto 7 modi di riempire

una striscia con un motivo periodico

Maria Dedò, Forme – Simmetria e topologia, Decibel, Padova – Zanichelli, Bologna, 1999

Per uscire dalla striscia…

• Due riflessioni con assi incidenti producono una rotazione

• rotazione.fig

Proprietà della rotazione di centro O

• O resta fisso • Ogni altro punto P va

nel punto P’ che sta alla stessa distanza da O

• l’angolo POP’ è fisso• ed è uguale all’angolo

tra due rette corrispondenti

Classificazione delle congruenze (isometrie) del piano

Punti

fissiNessun

punto fissoUn solo punto fisso

Infiniti punti fissi

Diretta (pari)

traslazione rotazione identità

Inversa (dispari)

glissorifles-sione

simmetria assiale o riflessione

Quante carte da parati posso disegnare?

TEOREMA.

Vi sono soltanto 17 modi di ricoprire il piano con figure tutte congruenti tra di loro (Fedorov, 1891 – Pólya, 1924 )

Maria Dedò, Forme – Simmetria e topologia, Decibel, Padova – Zanichelli, Bologna, 1999

Esempi: 1) con due traslazioni non parallele

2) con riflessioni rispetto a rette perpendicolari

3) con simmetrie centrali e traslazioni

4) con rotazioni di 120°

Pavimenti, trapunte…

Si può fare un pavimento con mattonelle a forma di un poligono regolare, tutte congruenti tra di loro, “lato contro lato”?

Non come nel secondo e terzo esempio

La trapunta più semplice

Con quali poligoni regolari si può costruire una trapunta?

• In un vertice si vogliono “incastrare” k poligoni

• se ciascun poligono ha in quel vertice un angolo , per chiudere l’incastro

deve essere k = 360° • Quali poligoni regolari hanno angoli che

siano sottomultipli di 360°?

Quanto misurano gli angoli di un poligono regolare?

• Triangolo equilatero: 180/3 gradi

• Quadrato: 360/4 gradi• Pentagono? 5 triangoli… • 180° per 5 ….meno 360°

nel centro, in tutto gli angoli assommano a

• 180(5 – 2)°= 540°

Una coperta di pentagoni…

• 540 : 5 = 108• L’angolo del pentagono misura 108°• Tre in un vertice: 108 + 108 + 108 < 360• Quattro in un vertice: 108 per 4 > 360….

Non si può fare!

Solo tre

• Gli unici poligoni regolari che pavimentano il piano sono:

• Triangoli (equilateri)• Quadrati• Esagoni (regolari) • Pavimenti di poligoni

non regolari ?

Pavimenti di rettangoli, parallelogrammi….

Quadrilateri….

Alla maniera di Escher• un quadrato ABCD • sostituisco il

segmento AB con una curva o una spezzata

• con la traslazione di vettore AD creo un nuovo lato con estremi D,C

• traslo la nuova mattonella

Su un reticolo quadrato

Su un reticolo quadrato

Con traslazioni e riflessioni

Glissoriflessione e traslazioni

Rotazioni......

Riflessioni, rotazioni….

Quanti centri di rotazione?

E nello spazio? Simmetriarispetto ad un piano

• http://specchi.mat.unimi.it/

• http://matemilano.mat.unimi.it/

Con uno specchio e mezzo modello

Con due specchi

• Basta un quarto dell’edificio

Problema

• E’ possibile “impadronirsi dello spazio” (H. Freudenthal) lavorando su fotografie, disegni, software sofisticati?

•Può essere “meglio un brutto modello che una bella figura” (Maria Dedò) ?