Post on 18-Feb-2019
Trasformata di Laplace
Fondamenti di AutomaticaProf. Silvia Strada
Corso di Studi in Ingegneria Gestionale (Cognomi H – PO)
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Idea di base
Prof. S. Strada – Fondamenti di Automatica – Trasformata di Laplace
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Prof. S. Strada – Fondamenti di Automatica – Trasformata di Laplace
Definizione di Trasformata di Laplace
[ ] ∫∞
−==0
)()( dtetff(t)sF stL
essendo l’integrale tra 0 e infinito F(s) dipende solo da f(t), t≥0.
E’ una trasformazione dal dominio di t al dominio della variabile complessa s:
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Prof. S. Strada – Fondamenti di Automatica – Trasformata di Laplace
Funzione scalino
≥<
==0100
)()(tt
tscatf
[ ]sss
edtedtsca(t)esca(t)σ(s)
ststst 110
0Re00 0
=−−
=−===>=
+∞−+∞ +∞−−∫ ∫L
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Prof. S. Strada – Fondamenti di Automatica – Trasformata di Laplace
Funzione impulso( ) 0 0
( ) ( )( ) 1
f t tf t imp t
f t dt+∞
−∞
= ≠= = =∫
Segnale di durata infinitesima e ampiezza infinitaDetto anche Delta di Dirac
Lo si può vedere come
<≤=
εεε ttf
0,/1altrove0
)(
e )()(lim0
timptf =→ εε t
fε(t)
0
1/ε
ε
[ ]
00 0
0 00
1 1 1( ) ( ) 1
1lim ( ) lim lim 1
st st st s
s s
F s f t e dt e dt e es s
e seimp(t) F ss s
εε ε
ε ε
ε ε
εε εε
ε ε ε
ε
+∞− − − −
− −
→ →→
= = = − = − −
−= = = =
∫ ∫
L
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Legami tra imp(t) e sca(t)
t
fε(t)
0
1/ε
ε t
fε(t)
0 ε
∫t
01
0→ε
t
sca(t)
0
∫t
01
)()()()(0
tscadtdtimpdimptsca
t
∫ == ττ
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7 Proprietà( ) ( )[ ] ( ) ( )sFsFtftf 22112211 αααα +=+L
( )[ ] )(0
sFetf sτ
ττ −
>=−L
( )[ ] )( asFtfeat −=L
( )[ ]ds
sdFttf )(−=L
( )[ ] )0()( fssFtf −=L Se f(t) è discontinua in t=0, usare invece di f(0) f(0−)=lim t0
− f(t)
( )[ ] )0()0()(2 fsfsFstf −−=L
( ) ( )ssFdf
t=
∫
L
0ττ
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Esempi
[ ]as
tscaeat
−=
1)(L
esponenziale )()( tscaetf at=
1
[ ] [ ] [ ]
22222
211
211
21
)(21)(
21)(
2)()cos(
ωωωω
ω ωωωω
+=
+=
++
−=
+=
+= −
−
ss
ss
jsjs
tscaetscaetscaeetscat tjtjtjtj
LLLLcosinusoide )()cos()( tscattf ω=
[ ] 22)()sin(ω
ωω+
=s
tscatLsinusoide )()sin()( tscattf ω=
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[ ] [ ] 211)()(ssds
dttscatram =
−==LL
≥<
===0,0,0
)()()(ttt
tramttscatf
10
1
ram(t)
t
rampa
[ ] [ ]( )2
11)(asasds
detramte atat
−=
−−==LL
0,)( ≥= ttetf at
1
rampa
∫=t
dscatram0
)()( ττ
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Trasformate di Laplace notevoli
( )[ ]tfL( )tf
( )timp
( )tsca
( )tramate
( )tsen ω
( )tωcosatte
( )tseneat ω
( )teat ωcos
1
s1
21s
as −1
22 ωω+s
22 ω+ss
( )21as −
( ) 22 ωω+− as
( )( ) 22 ω+−
−as
as
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Trasformata di Laplace ed equazioni differenziali
LL
-1Lte−4 ?
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Trasformata di Laplace ed equazioni differenziali
-1L
( )11)(+
=ss
sF Non è una Trasformata di Laplace notevole!Però vedremo che si può scrivere come
111)(+
−=ss
sF-1L
1 te−−
0,31)( ≥+= − tety t
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Poli e zeri di una Trasformata di Laplace
• valori di s per cui F(s)=∞ POLI della trasformata• valori di s per cui F(s)=0 ZERI della trasformata
[ ])()( tfsF L=
[ ] )(),()()()()( sDsN
sDsNtfsF == LF(s) razionale polinomi in s
• valori di s per cui D(s)=0 POLI della trasformata• valori di s per cui N(s)=0 ZERI della trasformata
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Antitrasformata di Laplace
[ ])(sFf(t) -1L=
Teorema del valore iniziale
Teorema del valore finale
Sviluppo di Heaviside (solo se F(s) è razionale)
(0)f→
( )f→ ∞
Come ‘’tornare’’ alla funzione nel dominio di t dalla funzione nel dominio di s?
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Teorema del valore iniziale[ ])()( tfsF L=
( ) ( ) ( )finitoselim0 ∃=∞→
ssFfs
se f(t) è discontinua in t=0
( ) ( ) ( )ssFtffst ∞→→
+ ==+
limlim00
Teorema del valore finale
( ) ( ) ( ) ( )finitoselimlim0
∃=≡∞→∞→
ssFtffst
Ipotesi F(s) ha solo:• poli con parte reale negativa• poli nulli, cioè s=0
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Esempio
[ ]
......)0(
0lim)0(
)0()()(
1)(lim)0()?(?)0(
)?0()(
22
2
22
2
22
=
=+−
=
+−
=−=
==∞
+=
∞→
∞→
fs
sf
sfssFtf
ssFffff
sssF
s
s
ωω
ωω
ω
L
Poli di F(s) in ±jω il Teorema del valore finale NON è applicabile!
)(∞∃ f
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Esempio
Poli di F(s) in ±jω il Teorema del valore finale NON è applicabile!
)(∞∃ f
Verifichiamolo
okokf
tf
0(0)f1)0(
t)sen(-(t)ft)cos()(
==
==
ωωω
ok
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Esempio
okftf
ssf
ssF
s
1)(sca(t))(Verifica
11lim)(
1)(
0
=∞=
==∞
=
→
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Esempio
oktef(t)
ff
fss
sF
t →≥−=
=∞=
=+
=
− 0,1Verifica
1)(1)0(
0)0()1(
1)(
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Sviluppo di Heaviside
++=
++=
<++++++
== −
−
)()()(
)()()(
)()()(
21
21
110
110
tftftf
sFsFsF
nmasasabsbsb
sDsNsF
nnn
mmm
21
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n
n
jii
n
pspspssF
jipppolippspspsasD
+++
++
+=
≠≠−+++=
ααα
2
2
1
1
210
)(
,)())(()(
1) Poli reali distinti
-1L
tpe 11
−α
∑=
−=n
i
tpi
ietf1
)( α
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( ) ( )
++
+++
++
+=
>+=
kk
k
pspspssF
kpssD
βββ2
21)(
1)()(
2) Poli reali multipli
-1L
pte−1β
-1L -1L
( )pt
k
k ekt −
−
− !1
1
βptte−2β
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3) Poli complessi distinti
-1L?
( ) ( )
( ) ( ) 2222
2222
ωσω
ωβσγ
ωσσβ
ωσβσβσγβ
ωσγβ
+−+
++−
−=
=+−+−+
=+−
+
sss
ss
ss
-1L -1L( )te t ωσ cos ( )tsene t ωσ
( )
( )
++−
++=
±
+−−−=+−
22)(
inpoli
))(()(22
ωσγβ
ωσ
ωσωσωσ
sssF
j
jsjssDs
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4) Poli complessi multipli
( )[ ] 1)( 22 >+−= kssDk
ωσ
( ) ( ) )cos(!1
)(!1
)(11
tekttsene
kttf
tk
tk
ωω σσ
−−
−−
contiene termini di tipo:
-1L
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Caso di F(s) con m=n
0)( α+= sF
)(0 timpα
-1L
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Esempio. Sviluppo di Heaviside – poli reali distinti
• Calcolare l’antitrasformata di: )5)(2(10)(++
−=
ssssF
Possiamo scrivere lo sviluppo di Heaviside di F(s) :
La F(s) ha i poli -2 e -5
)5()2()5)(2(10)( 21
++
+=
++−
=ssss
ssF αα
541025
121
21
21 =−=⇒
−=+=+
αααα
αα
)2()5(10 21 +++=− sss αα
che, uguagliando i coefficienti delle analoghe potenze di s dà il sistema:
In definitiva si ottiene:
0),54(])5(
5)2(
4[])5)(2(
10[)]([)( 52111 ≥+−=+
++−
=++
−== −−−−− tee
ssssssFtf ttLLL
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Esempio. Sviluppo di Heaviside – poli reali multipli
)2()1(2)( 2 ++
=ss
sF
• Possiamo quindi scrivere lo sviluppo di Heaviside di F(s) :
La F(s) è caratterizzata dai poli:-1 molteplicità r1=2-2 molteplicità r2=1
• Calcolare l’antitrasformata di:
2,2,2)1()2()2)(1(2)2()1()1()2()1(
2)(
2
22
==−=⇒++++++=
++
++
+=
++=
γβαγβα
γβα
sssssssss
sF
)2(2
)1(2
)1(2)( 2 +
++
++
−=sss
sF
( ) 0,222)( 2 ≥++−= −−− teteetf ttt
)(2)(2)(2)( 2 tscaetrametscaetf ttt −−− ++−=
-1Lo anche, in maniera del tutto equivalente
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Esempio. Sviluppo di Heaviside – poli complessi distinti
• Possiamo quindi scrivere lo sviluppo di Heaviside di F(s) :
• Calcolare l’antitrasformata di:)134)(1(
100)( 2 +++=
ssssF
La F(s) è caratterizzata dai seguenti poli: j32,1 ±−−
)134()1()( 2
1
+++
++
=ss
ss
sF γβα
)1)(()134(100 2 +++++= ssss γβα 301010 −=−== γβα
( ) ( ) 0,3sin3
103cos1010
3)2(3
31
3)2()2(10
)1(110
)134()3(
)1(110
)134()3(10
)1(10)]([)(
2
222211
21
211
≥−−
=
++
+++
+−
+
=
++
+−
+
=
+++
−+
==
−−
−−−
−−
tttee
sss
ssss
s
sss
ssFtf
tt
LLL
LL