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Teoria degli Insiemi
Docente: Francesca Benanti
Ottobre 2018
Corso di Algebra 1, a.a. 2018/19
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1. Teoria degli Insiemi
La Teoria degli Insiemi e una bran-ca della matematica creata alla finedel diciannovesimo secolo principalmen-te dal matematico tedesco Georg Cantor(1845-1918). Inizialmente controversa,e arrivata ad avere il ruolo di teoriafondamentale nella matematica moder-na. I concetti di questa teoria, quali peresempio quelli di funzione e di relazione,sono presenti in ogni suo settore.
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1. Teoria degli Insiemi
La Teoria degli Insiemi e una bran-ca della matematica creata alla finedel diciannovesimo secolo principalmen-te dal matematico tedesco Georg Cantor(1845-1918). Inizialmente controversa,e arrivata ad avere il ruolo di teoriafondamentale nella matematica moder-na. I concetti di questa teoria, quali peresempio quelli di funzione e di relazione,sono presenti in ogni suo settore.
Un insieme e una collezione di oggetti determinati e distintidella nostra percezione o del nostro pensiero concepiti comeun tutto unico. Tali oggetti si dicono gli elementi dell’insie-me. (G. Cantor)
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2. Insiemi
Insieme: concetto primitivo, nel senso che non puo esseredefinito in termini di altre nozioni piu elementari, sinonimodi collezione, raccolta di elementi.
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2. Insiemi
Insieme: concetto primitivo, nel senso che non puo esseredefinito in termini di altre nozioni piu elementari, sinonimodi collezione, raccolta di elementi.
Insiemi Numerici:
• N = {0, 1, 2, 3, 4 . . .} = l’insieme dei numeri naturali,
• Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} = l’insieme dei numeri in-teri,
• Q = {. . . ,−2.7, . . . ,−34, . . . , 0, . . . , 1
7. . . , 4.8(2), . . .}= l’in-
sieme dei numeri razionali,
• R = {. . . ,−√
5, . . . ,−45, . . . , 0, . . . ,
√2 . . . , 7, . . .}= l’in-
sieme dei numeri reali.
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2. Insiemi
Insieme: concetto primitivo, nel senso che non puo esseredefinito in termini di altre nozioni piu elementari, sinonimodi collezione, raccolta di elementi.
Insiemi Numerici:
• N = {0, 1, 2, 3, 4 . . .} = l’insieme dei numeri naturali,
• Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} = l’insieme dei numeri in-teri,
• Q = {. . . ,−2.7, . . . ,−34, . . . , 0, . . . , 1
7. . . , 4.8(2), . . .}= l’in-
sieme dei numeri razionali,
• R = {. . . ,−√
5, . . . ,−45, . . . , 0, . . . ,
√2 . . . , 7, . . .}= l’in-
sieme dei numeri reali.
Osservazione:
I simboli N∗, Z∗, Q∗, R∗ indicano gli insiemi numerici N, Z,Q, R privati dell’elemento zero.
I simboli Z+, Q+, R+ indicano gli interi, i razionali, i realipositivi, rispettivamente.
I simboli Z−, Q−, R− indicano gli interi, i razionali, i realinegativi, rispettivamente.
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3. Definire un insieme
Modi per definire un insieme:
• Modo esplicito: si elencano tutti gli elementi dell’in-sieme
Esempio: A = {−2,−1, 0, 1, 2}
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Modi per definire un insieme:
• Modo esplicito: si elencano tutti gli elementi dell’in-sieme
Esempio: A = {−2,−1, 0, 1, 2}
• Modo implicito: si elencano le proprieta che carat-terizzano gli elementi dell’insieme
Esempio: A = {x intero, − 2 ≤ x ≤ 2}
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3. Definire un insieme
Modi per definire un insieme:
• Modo esplicito: si elencano tutti gli elementi dell’in-sieme
Esempio: A = {−2,−1, 0, 1, 2}
• Modo implicito: si elencano le proprieta che carat-terizzano gli elementi dell’insieme
Esempio: A = {x intero, − 2 ≤ x ≤ 2}
• Rappresentazione grafica: Diagrammi di Eulero-Venn
Esempio:
A =
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Per indicare che a e un elemento dell’insieme A si scrive
a ∈ Ae si legge a appartiene all’insieme A.
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Per indicare che a e un elemento dell’insieme A si scrive
a ∈ Ae si legge a appartiene all’insieme A.
Per indicare che b non e un elemento dell’insieme A si scrive
b 6∈ Ae si legge b non appartiene all’insieme A.
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Per indicare che a e un elemento dell’insieme A si scrive
a ∈ Ae si legge a appartiene all’insieme A.
Per indicare che b non e un elemento dell’insieme A si scrive
b 6∈ Ae si legge b non appartiene all’insieme A.
Esempi:
• A = {−2,−1, 0, 1, 2}
−1 ∈ A, 3 6∈ A
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Per indicare che a e un elemento dell’insieme A si scrive
a ∈ Ae si legge a appartiene all’insieme A.
Per indicare che b non e un elemento dell’insieme A si scrive
b 6∈ Ae si legge b non appartiene all’insieme A.
Esempi:
• A = {−2,−1, 0, 1, 2}
−1 ∈ A, 3 6∈ A
• A = {x ∈ N | x = 2n, x2 > 11}
5 6∈ A, 4 ∈ A
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Per indicare che a e un elemento dell’insieme A si scrive
a ∈ Ae si legge a appartiene all’insieme A.
Per indicare che b non e un elemento dell’insieme A si scrive
b 6∈ Ae si legge b non appartiene all’insieme A.
Esempi:
• A = {−2,−1, 0, 1, 2}
−1 ∈ A, 3 6∈ A
• A = {x ∈ N | x = 2n, x2 > 11}
5 6∈ A, 4 ∈ A
• A =
3 6∈ A, 1 ∈ A.
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4. Inclusione
Definizione: Dati due insiemi A e B si dice che A e unsottoinsieme di B (o che A e incluso in B) e si scrive
A ⊆ B
se ogni elemento di A e un elemento di B, ossia e veral’implicazione
∀ x ∈ A⇒ x ∈ B
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4. Inclusione
Definizione: Dati due insiemi A e B si dice che A e unsottoinsieme di B (o che A e incluso in B) e si scrive
A ⊆ B
se ogni elemento di A e un elemento di B, ossia e veral’implicazione
∀ x ∈ A⇒ x ∈ B
Definizione: Dati due insiemi A e B si dice che A non e unsottoinsieme di B (o che A non e incluso in B) e si scrive
A 6⊆ B
se esiste qualche elemento di A che non appartiene a B, ossiae vera la proposizione
∃ x ∈ A | x 6∈ B
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Esempi:
• A = {−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
B = {−1, 4, 5}
C = {−2, 3, 4, 7}
Allora, si ha
B ⊆ A, C 6⊆ A
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Esempi:
• A = {−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
B = {−1, 4, 5}
C = {−2, 3, 4, 7}
Allora, si ha
B ⊆ A, C 6⊆ A
• A = {x ∈ Z | x < 5, }
B = {x ∈ N | x2 < 20, }
C = {x ∈ N | x2 < 30, }
Allora, si ha
B ⊆ A, C 6⊆ A
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• Consideriamo i seguenti insiemi
Allora, si haB 6⊆ A, C ⊆ A.
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5. Sottoinsiemi Propri e Impropri
Definizione: Si definisce insieme vuoto l’insieme privo dielementi e si indica
∅
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5. Sottoinsiemi Propri e Impropri
Definizione: Si definisce insieme vuoto l’insieme privo dielementi e si indica
∅
Esempio:
A = {x ∈ N | x2 = −1} = ∅
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5. Sottoinsiemi Propri e Impropri
Definizione: Si definisce insieme vuoto l’insieme privo dielementi e si indica
∅
Esempio:
A = {x ∈ N | x2 = −1} = ∅
Osservazione: Dato un generico insieme A per convenzionesi pone
A ⊆ A, ∅ ⊆ A
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Definizione: Dato un insieme A si definiscono sottoinsiemiimpropri di A l’insieme vuoto e A stesso.
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Definizione: Dato un insieme A si definiscono sottoinsiemiimpropri di A l’insieme vuoto e A stesso.
Definizione: Dati due insiemi A e B, si dice che A e unsottoinsieme proprio di B e si scrive
A ⊂ B
se A e un sottoinsieme di B diverso dall’insieme vuoto e daB stesso, ossia
A 6= ∅, ∃ x ∈ B | x 6∈ A
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Definizione: Dato un insieme A si definiscono sottoinsiemiimpropri di A l’insieme vuoto e A stesso.
Definizione: Dati due insiemi A e B, si dice che A e unsottoinsieme proprio di B e si scrive
A ⊂ B
se A e un sottoinsieme di B diverso dall’insieme vuoto e daB stesso, ossia
A 6= ∅, ∃ x ∈ B | x 6∈ A
Esempio:
A = {a, b, 1}sottoinsiemi impropri di A:
∅, Asottoinsiemi propri di A:
{a}, {b}, {1}, {a, b}, {a, 1}, {b, 1}
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Definizione: Dato un insieme A si definisce insieme delleparti di A l’insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi di A, esi indica
P(A)
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Definizione: Dato un insieme A si definisce insieme delleparti di A l’insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi di A, esi indica
P(A)
Esempio:
A = {a, b, 1}
P(A) = {A, ∅, {a}, {b}, {1}, {a, b}, {a, 1}, {b, 1}}.
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Definizione: Dati due insiemi A e B si dice che A e ugualea B, e si scrive
A = B
se ogni elemento di A e un elemento di B e viceversa, ovvero
A ⊆ B, B ⊆ A
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Definizione: Dati due insiemi A e B si dice che A e ugualea B, e si scrive
A = B
se ogni elemento di A e un elemento di B e viceversa, ovvero
A ⊆ B, B ⊆ A
Esempio:A = {x ∈ N | x2 < 11}
B = {0, 1, 2, 3}Allora
A = B
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6. Operazioni tra Insiemi
Definizione: Dati due insiemi A e B si definisce unione diA e di B, e si indica
A ∪B,l’insieme di tutti gli elementi che stanno in almeno uno deidue insiemi
A ∪B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
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6. Operazioni tra Insiemi
Definizione: Dati due insiemi A e B si definisce unione diA e di B, e si indica
A ∪B,l’insieme di tutti gli elementi che stanno in almeno uno deidue insiemi
A ∪B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
Esempio:
A = {1, 2, 3}, B = {4, 3}Allora
A ∪B = {1, 2, 3, 4}
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Definizione: Dati due insiemi A e B, si definisce interse-zione di A e di B, e si indica
A ∩B,l’insieme di tutti gli elementi che appartengono sia ad A chea B
A ∩B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
Esempio:
A = {1, 2, 3}, B = {4, 3}Allora
A ∩B = {3}
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Definizione: Dati due insiemi A e B, si definisce differenzadi A e B, e si indica
A\B,l’insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A e nona B
A\B = {x | x ∈ A ∧ x 6∈ B}
(Analogamente B\A = {x | x ∈ B ∧ x 6∈ A}, detta la diffe-renza di B e A)
Esempio:
A = {1, 2, 3}, B = {4, 3}Allora
A\B = {1, 2} B\A = {4}
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Osservazione: Se A ⊆ B allora B\A e detto complemen-tare di A in B.
Esempio:
A = {0, 1}, B = {−1, 0, 1, 4, 3}Allora
A ⊆ B, B\A = {−1, 3, 4}
(Analogamente se B ⊆ A allora A\B e detto complementaredi B in A)
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Sia U un fissato universo, ossia un insieme che contiene tuttigli oggetti che ci possono interessare.
Definizione: Dato un insieme A, si definisce complemen-tare di A, e si indica
CA,
l’insieme di tutti gli elementi che non appartengono ad A
CA = {x ∈ U | x 6∈ A} = {x | x 6∈ A}
Esempio:
A = {x |x < 2}Allora
CA = {x |x ≥ 2}
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7. Proprieta delle Operazioni
tra Insiemi
1. Idempotenza:A ∪ A = A, A ∩ A = A;
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7. Proprieta delle Operazioni
tra Insiemi
1. Idempotenza:A ∪ A = A, A ∩ A = A;
2. Associativa:(A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
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7. Proprieta delle Operazioni
tra Insiemi
1. Idempotenza:A ∪ A = A, A ∩ A = A;
2. Associativa:(A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
3. Commutativa:A ∪B = B ∪ A, A ∩B = B ∩ A;
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7. Proprieta delle Operazioni
tra Insiemi
1. Idempotenza:A ∪ A = A, A ∩ A = A;
2. Associativa:(A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
3. Commutativa:A ∪B = B ∪ A, A ∩B = B ∩ A;
4. Distributiva:A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C),A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C);
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7. Proprieta delle Operazioni
tra Insiemi
1. Idempotenza:A ∪ A = A, A ∩ A = A;
2. Associativa:(A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
3. Commutativa:A ∪B = B ∪ A, A ∩B = B ∩ A;
4. Distributiva:A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C),A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C);
5. Legge dei neutri:A ∪ ∅ = A, A ∪ U = U,A ∩ ∅ = ∅, A ∩ U = A;
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7. Proprieta delle Operazioni
tra Insiemi
1. Idempotenza:A ∪ A = A, A ∩ A = A;
2. Associativa:(A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
3. Commutativa:A ∪B = B ∪ A, A ∩B = B ∩ A;
4. Distributiva:A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C),A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C);
5. Legge dei neutri:A ∪ ∅ = A, A ∪ U = U,A ∩ ∅ = ∅, A ∩ U = A;
6. Complemento:A ∪C A = U, A ∩C A = ∅,C(CA) = A, C∅ = U, CU = ∅;
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7. Proprieta delle Operazioni
tra Insiemi
1. Idempotenza:A ∪ A = A, A ∩ A = A;
2. Associativa:(A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
3. Commutativa:A ∪B = B ∪ A, A ∩B = B ∩ A;
4. Distributiva:A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C),A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C);
5. Legge dei neutri:A ∪ ∅ = A, A ∪ U = U,A ∩ ∅ = ∅, A ∩ U = A;
6. Complemento:A ∪C A = U, A ∩C A = ∅,C(CA) = A, C∅ = U, CU = ∅;
7. Leggi di De Morgan :C(A ∪B) =C A ∩C B,C(A ∩B) =C A ∪C B.
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8. Prodotto Cartesiano
Definizione: Dati due insiemi A e B, si definisce prodottocartesiano di A e B, e si indica
A×B,l’insieme formato dalle coppie ordinate (a, b) in cui a ∈ A eb ∈ B
A×B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
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8. Prodotto Cartesiano
Definizione: Dati due insiemi A e B, si definisce prodottocartesiano di A e B, e si indica
A×B,l’insieme formato dalle coppie ordinate (a, b) in cui a ∈ A eb ∈ B
A×B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
Esempio:
A = {x, y, z}, B = {1, 2}Allora
A×B = {(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2), (z, 1), (z, 2)}
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8. Prodotto Cartesiano
Definizione: Dati due insiemi A e B, si definisce prodottocartesiano di A e B, e si indica
A×B,l’insieme formato dalle coppie ordinate (a, b) in cui a ∈ A eb ∈ B
A×B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
Esempio:
A = {x, y, z}, B = {1, 2}Allora
A×B = {(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2), (z, 1), (z, 2)}
Osservazione:
• (x, y) 6= (y, x)
• X × Y 6= Y ×X
• (x1, y1) = (x2, y2)⇔ x1 = x2, y1 = y2
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Rappresentazioni del Prodotto Cartesiano:
1. (Tavola Pitagorica)
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2. (Piano Cartesiano)
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3. (Diagramma di Eulero - Venn)
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Esercizi:
1. Dimostrare le proprieta delle operazioni tra insiemi;
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Esercizi:
1. Dimostrare le proprieta delle operazioni tra insiemi;
2. SianoA = {x ∈ Z | x4 − 13x2 + 36 = 0}
eB = {x ∈ Z | x|18}.
Determinare A ∪B, A ∩B, A\B e B\A.
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Esercizi:
1. Dimostrare le proprieta delle operazioni tra insiemi;
2. SianoA = {x ∈ Z | x4 − 13x2 + 36 = 0}
eB = {x ∈ Z | x|18}.
Determinare A ∪B, A ∩B, A\B e B\A.
3. Siano
A = {a, b}, B = {2, 3} e C = {4, 3}
DeterminareA× (B ∪ C), (A×B) ∪ (A× C), A× (B ∩ C)e (A×B) ∩ (A× C).
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Proprieta Distributiva, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C):Verifichiamo
• A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩B) ∪ (A ∩ C):
∀x ∈ A ∩ (B ∪ C)⇒ x ∈ A ∧ x ∈ (B ∪ C)⇒
(x ∈ A) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)⇒
(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)⇒
(x ∈ A ∩B) ∨ (x ∈ A ∩ C)⇒ x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
• (A ∩B) ∪ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C):
∀x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C)⇒ x ∈ (A ∩B) ∨ x ∈ (A ∩ C)⇒
(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)⇒
(x ∈ A) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)⇒
x ∈ A ∧ (x ∈ B ∪ C)⇒ x ∈ A ∩ (B ∪ C).
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9. Corrispondenze
Definizione: Dati due insiemi A e B si definisce corrispon-denza o relazione R da A in B una legge che associa elementidi A ad elementi di B.
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9. Corrispondenze
Definizione: Dati due insiemi A e B si definisce corrispon-denza o relazione R da A in B una legge che associa elementidi A ad elementi di B.
N.B. A e detto dominio della corrispondenza,B e detto codominio della corrispondenza.
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9. Corrispondenze
Definizione: Dati due insiemi A e B si definisce corrispon-denza o relazione R da A in B una legge che associa elementidi A ad elementi di B.
N.B. A e detto dominio della corrispondenza,B e detto codominio della corrispondenza.
Esempio:
A = {1, 4,−5} B = {0, 1,−2, 2, 3}
consideriamo la corrispondenza R definita nel modo seguen-te:
aRb, se b2 = a
dove a ∈ A e b ∈ B.
Allora si ha:
1R 1, 4R 2, 4R − 2
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Osservazione: In una corrispondenza da A in B ad unelemento del dominio puo essere associato piu di un elementoo nessun elemento del codominio.
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Osservazione: In una corrispondenza da A in B ad unelemento del dominio puo essere associato piu di un elementoo nessun elemento del codominio.
Esempio:
A = {1, 4,−5} B = {0, 1,−2, 2, 3}
aRb, se b2 = a
1R 1
4R 2, 4R − 2
6 ∃ b ∈ B | − 5R b
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Osservazione: Una corrispondenza da A in B puo esserevista come un sottoinsieme del prodotto cartesiano A×B,ossia
ARB = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B, aR b} ⊆ A×B
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Osservazione: Una corrispondenza da A in B puo esserevista come un sottoinsieme del prodotto cartesiano A×B,ossia
ARB = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B, aR b} ⊆ A×B
Esempio:
A = {1, 4,−5} B = {0, 1,−2, 2, 3}
aRb, se b2 = a
1R 1, 4R 2, 4R − 2
ARB = {(1, 1), (4, 2), (4,−2)} ⊆ A×B
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Definizione: Dato un insieme A si definisce relazione bi-naria o semplicemente relazione su A una corrispondenza Rda A in se stesso.
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Definizione: Dato un insieme A si definisce relazione bi-naria o semplicemente relazione su A una corrispondenza Rda A in se stesso.
Osservazione: Una relazione su A individua un sottoinsie-me del prodotto cartesiano A× A.
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10. Relazioni
Definizione: Dato un insieme A si definisce relazione bi-naria o semplicemente relazione su A una corrispondenza Rda A in se stesso.
Osservazione: Una relazione su A individua un sottoinsie-me del prodotto cartesiano A× A.
Esempio: Sia
A = {0, 1, . . . , 9}
consideriamo la relazione R definita nel modo seguente:
aR a, se a = 2a
dove a, a ∈ A. Allora
ARA = {(a, a) | a, a ∈ A, a = 2a} =
= {(0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}.
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Osservazione: Una relazione su A puo essere rappresenta-ta anche mediante un grafo in cui i nodi sono gli elementi diA e gli archi le relazioni tra gli elementi di A.
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Osservazione: Una relazione su A puo essere rappresenta-ta anche mediante un grafo in cui i nodi sono gli elementi diA e gli archi le relazioni tra gli elementi di A.
Esempio: A = {0, 1, . . . , 9}
ARA = {(a, a) | a, a ∈ A, a = 2a}
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11. Proprieta delle Relazioni
• Proprieta Riflessiva: Una relazione R definita suun insieme A e riflessiva se ogni elemento di A e inrelazione con se stesso:
∀x ∈ A, xRx.
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11. Proprieta delle Relazioni
• Proprieta Riflessiva: Una relazione R definita suun insieme A e riflessiva se ogni elemento di A e inrelazione con se stesso:
∀x ∈ A, xRx.
• Proprieta Simmetrica: Una relazione R definitasu un insieme A e simmetrica se, comunque presi x ey in A, se x e in relazione con y allora y e in relazionecon x:
∀x, y ∈ A, xRy ⇒ yRx.
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• Proprieta Antisimmetrica: Una relazione R de-finita su un insieme A e antisimmetrica se, comunquepresi x e y in A con x 6= y, se x e in relazione con yallora y non e in relazione con x:
∀x, y ∈ A, x 6= y, xRy ⇒ y 6 Rx.
o, equivalentemente, se x e in relazione con y e y e inrelazione con x allora x = y
∀x, y ∈ A, xRy, yRx⇒ x = y.
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• Proprieta Antisimmetrica: Una relazione R de-finita su un insieme A e antisimmetrica se, comunquepresi x e y in A con x 6= y, se x e in relazione con yallora y non e in relazione con x:
∀x, y ∈ A, x 6= y, xRy ⇒ y 6 Rx.
o, equivalentemente, se x e in relazione con y e y e inrelazione con x allora x = y
∀x, y ∈ A, xRy, yRx⇒ x = y.
• Proprieta Transitiva: Una relazione R definita suun insieme A e transitiva se, comunque presi tre ele-menti in A, x, y, z, se x e in relazione con y e y con z,allora x e in relazione con z:
∀x, y, z ∈ A, xRy, yRz ⇒ xRz.
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12. Relazioni d’ordine
Definizione: Una relazione R su un insieme A per la qualevalgono le proprieta riflessiva, antisimmetrica e transitiva edetta relazione d’ordine parziale.
A e detto parzialmente ordinato.
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12. Relazioni d’ordine
Definizione: Una relazione R su un insieme A per la qualevalgono le proprieta riflessiva, antisimmetrica e transitiva edetta relazione d’ordine parziale.
A e detto parzialmente ordinato.
Definizione: Una relazione d’ordine R su un insieme A edetta relazione d’ordine totale se comunque presi due ele-menti a e b in A si ha aRb o bRa, ossia a e b si possonosempre confrontare.
A e detto totalmente ordinato.
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Esempio: Sia A = {1, 2, 3, 6, 12}, consideriamo la relazioneR definita nel modo seguente:
xRy ⇔ x|y, x, y ∈ A.
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Esempio: Sia A = {1, 2, 3, 6, 12}, consideriamo la relazioneR definita nel modo seguente:
xRy ⇔ x|y, x, y ∈ A.
R e una relazione d’ordine parziale su A, infatti
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xRy ⇔ x|y, x, y ∈ A.
R e una relazione d’ordine parziale su A, infatti
• R e riflessiva:
∀x ∈ A, x|x
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xRy ⇔ x|y, x, y ∈ A.
R e una relazione d’ordine parziale su A, infatti
• R e riflessiva:
∀x ∈ A, x|x
• R e antisimmetrica:
∀x, y ∈ A, xRy, yRx⇒ x|y, y|x⇒ x = y
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Esempio: Sia A = {1, 2, 3, 6, 12}, consideriamo la relazioneR definita nel modo seguente:
xRy ⇔ x|y, x, y ∈ A.
R e una relazione d’ordine parziale su A, infatti
• R e riflessiva:
∀x ∈ A, x|x
• R e antisimmetrica:
∀x, y ∈ A, xRy, yRx⇒ x|y, y|x⇒ x = y
• R e transitiva:
∀x, y, z ∈ A, xRy, yRz ⇒ x|y, y|z ⇒ x|z ⇒ xRz
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Graficamente:
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N.B. La relazione d’ordine non e totale, infatti 2 6 | 3 e 3 6 | 2,dunque 2 6 R3 e 3 6 R2.
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xRy ⇔ x ≤ y, x, y ∈ A.
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Esempio: Sia A = R. Consideriamo la relazione R definitanel modo seguente:
xRy ⇔ x ≤ y, x, y ∈ A.
R e una relazione d’ordine totale su A, infatti
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Esempio: Sia A = R. Consideriamo la relazione R definitanel modo seguente:
xRy ⇔ x ≤ y, x, y ∈ A.
R e una relazione d’ordine totale su A, infatti
• R e riflessiva:
∀x ∈ A, x ≤ x
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Esempio: Sia A = R. Consideriamo la relazione R definitanel modo seguente:
xRy ⇔ x ≤ y, x, y ∈ A.
R e una relazione d’ordine totale su A, infatti
• R e riflessiva:
∀x ∈ A, x ≤ x
• R e antisimmetrica:
∀x, y ∈ A, xRy, yRx⇒ x ≤ y, y ≤ x⇒ x = y
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Esempio: Sia A = R. Consideriamo la relazione R definitanel modo seguente:
xRy ⇔ x ≤ y, x, y ∈ A.
R e una relazione d’ordine totale su A, infatti
• R e riflessiva:
∀x ∈ A, x ≤ x
• R e antisimmetrica:
∀x, y ∈ A, xRy, yRx⇒ x ≤ y, y ≤ x⇒ x = y
• R e transitiva:
∀x, y, z ∈ A, xRy, yRz ⇒ x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z ⇒ xRz
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Esempio: Sia A = R. Consideriamo la relazione R definitanel modo seguente:
xRy ⇔ x ≤ y, x, y ∈ A.
R e una relazione d’ordine totale su A, infatti
• R e riflessiva:
∀x ∈ A, x ≤ x
• R e antisimmetrica:
∀x, y ∈ A, xRy, yRx⇒ x ≤ y, y ≤ x⇒ x = y
• R e transitiva:
∀x, y, z ∈ A, xRy, yRz ⇒ x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z ⇒ xRz
• e inoltre
∀x, y ∈ A, x ≤ y, oppure y ≤ x.
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13. Relazioni d’equivalenza
Definizione: Una relazione R su un insieme A per la qualevalgono le proprieta riflessiva, simmetrica e transitiva e dettarelazione d’equivalenza.
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13. Relazioni d’equivalenza
Definizione: Una relazione R su un insieme A per la qualevalgono le proprieta riflessiva, simmetrica e transitiva e dettarelazione d’equivalenza.
Esempi:
1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazioneR definita nel modo seguente:
xRy ⇔ x = y, x, y ∈ A.
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13. Relazioni d’equivalenza
Definizione: Una relazione R su un insieme A per la qualevalgono le proprieta riflessiva, simmetrica e transitiva e dettarelazione d’equivalenza.
Esempi:
1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazioneR definita nel modo seguente:
xRy ⇔ x = y, x, y ∈ A.
Banalmente si verifica che R e una relazione d’equiva-lenza su A.
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2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
aRb⇔ a− b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
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2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
aRb⇔ a− b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
R e una relazione d’equivalenza su A, infatti:
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2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
aRb⇔ a− b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
R e una relazione d’equivalenza su A, infatti:
• R e riflessiva:
∀a ∈ Z, a− a = 0 = 2 · 0⇒ aRa;
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2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
aRb⇔ a− b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
R e una relazione d’equivalenza su A, infatti:
• R e riflessiva:
∀a ∈ Z, a− a = 0 = 2 · 0⇒ aRa;
• R e simmetrica:
∀a, b ∈ Z, aRb⇒ a− b = 2 · n, n ∈ Z⇒
b−a = −(a−b) = −(2·n) = 2·(−n) = 2·n′, n′ ∈ Z⇒bRa;
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2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
aRb⇔ a− b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
R e una relazione d’equivalenza su A, infatti:
• R e riflessiva:
∀a ∈ Z, a− a = 0 = 2 · 0⇒ aRa;
• R e simmetrica:
∀a, b ∈ Z, aRb⇒ a− b = 2 · n, n ∈ Z⇒
b−a = −(a−b) = −(2·n) = 2·(−n) = 2·n′, n′ ∈ Z⇒bRa;
• R e transitiva:
∀a, b, c ∈ Z, aRb e bRc⇒a− b = 2 · n, b− c = 2 · n′, n, n′ ∈ Z⇒
a−c = (a−b)+(b−c) = 2·n+2·n′ = 2·(n+n′) =
2 ·m, m ∈ Z⇒ aRc.
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2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
aRb⇔ a− b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
R e una relazione d’equivalenza su A, infatti:
• R e riflessiva:
∀a ∈ Z, a− a = 0 = 2 · 0⇒ aRa;
• R e simmetrica:
∀a, b ∈ Z, aRb⇒ a− b = 2 · n, n ∈ Z⇒
b−a = −(a−b) = −(2·n) = 2·(−n) = 2·n′, n′ ∈ Z⇒bRa;
• R e transitiva:
∀a, b, c ∈ Z, aRb e bRc⇒a− b = 2 · n, b− c = 2 · n′, n, n′ ∈ Z⇒
a−c = (a−b)+(b−c) = 2·n+2·n′ = 2·(n+n′) =
2 ·m, m ∈ Z⇒ aRc.
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3. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
aRb⇔ ab ≥ 0, a, b ∈ A.
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3. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
aRb⇔ ab ≥ 0, a, b ∈ A.
R non e una relazione d’equivalenza su A, infatti:
• R e riflessiva:
∀a ∈ Z, aa = a2 ≥ 0⇒ aRa;
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3. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
aRb⇔ ab ≥ 0, a, b ∈ A.
R non e una relazione d’equivalenza su A, infatti:
• R e riflessiva:
∀a ∈ Z, aa = a2 ≥ 0⇒ aRa;
• R e simmetrica:
∀a, b ∈ Z, aRb⇒ ab ≥ 0⇒ ba ≥ 0⇒ bRa;
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3. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
aRb⇔ ab ≥ 0, a, b ∈ A.
R non e una relazione d’equivalenza su A, infatti:
• R e riflessiva:
∀a ∈ Z, aa = a2 ≥ 0⇒ aRa;
• R e simmetrica:
∀a, b ∈ Z, aRb⇒ ab ≥ 0⇒ ba ≥ 0⇒ bRa;
• R non e transitiva:
3R0, 0R(−5) ma 3 6 R(−5).
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4. Sia A = Z∗. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
aRb⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
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4. Sia A = Z∗. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
aRb⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
R e una relazione d’equivalenza su A, infatti:
• R e riflessiva:
∀a ∈ Z∗, aa = a2 > 0⇒ aRa;
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4. Sia A = Z∗. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
aRb⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
R e una relazione d’equivalenza su A, infatti:
• R e riflessiva:
∀a ∈ Z∗, aa = a2 > 0⇒ aRa;
• R e simmetrica:
∀a, b ∈ Z∗, aRb⇒ ab > 0⇒ ba > 0⇒ bRa;
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4. Sia A = Z∗. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
aRb⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
R e una relazione d’equivalenza su A, infatti:
• R e riflessiva:
∀a ∈ Z∗, aa = a2 > 0⇒ aRa;
• R e simmetrica:
∀a, b ∈ Z∗, aRb⇒ ab > 0⇒ ba > 0⇒ bRa;
• R e transitiva:
∀a, b, c ∈ Z∗, aRb, bRc⇒ ab > 0, bc > 0⇒
(ab)(bc) > 0⇒ ab2c > 0⇒ ac > 0⇒ aRc.
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Definizione: Sia dato un insieme A e sia R una relazionedi equivalenza definita in A. Sia a ∈ A, si chiama classedi equivalenza di a il sottoinsieme di A formato da tutti glielementi b di A che sono in relazione con a
[a] = {b ∈ A | aRb}.
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Definizione: Sia dato un insieme A e sia R una relazionedi equivalenza definita in A. Sia a ∈ A, si chiama classedi equivalenza di a il sottoinsieme di A formato da tutti glielementi b di A che sono in relazione con a
[a] = {b ∈ A | aRb}.
Osservazione: [a] 6= ∅, infatti a ∈ [a].
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Definizione: Sia dato un insieme A e sia R una relazionedi equivalenza definita in A. Sia a ∈ A, si chiama classedi equivalenza di a il sottoinsieme di A formato da tutti glielementi b di A che sono in relazione con a
[a] = {b ∈ A | aRb}.
Osservazione: [a] 6= ∅, infatti a ∈ [a].
Esempi:
1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazioneR definita nel modo seguente:
xRy ⇔ x = y, x, y ∈ A.
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Definizione: Sia dato un insieme A e sia R una relazionedi equivalenza definita in A. Sia a ∈ A, si chiama classedi equivalenza di a il sottoinsieme di A formato da tutti glielementi b di A che sono in relazione con a
[a] = {b ∈ A | aRb}.
Osservazione: [a] 6= ∅, infatti a ∈ [a].
Esempi:
1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazioneR definita nel modo seguente:
xRy ⇔ x = y, x, y ∈ A.
Sia a ∈ A, allora
[a] = {b ∈ A | aRb} = {b ∈ A | a = b} = {a}.
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2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
aRb⇔ a− b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
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2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
aRb⇔ a− b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Determiniamo [3]:
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2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
aRb⇔ a− b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Determiniamo [3]:
[3] = {x ∈ Z | 3Rx} = {x ∈ Z | 3− x = 2n, n ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 3− 2n = 3 + 2n′ = 2n′′ + 1, n′′ ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 2n+ 1, n ∈ Z} =
{tutti gli interi dispari}
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3. Sia A = Z∗. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
aRb⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
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3. Sia A = Z∗. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
aRb⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Determiniamo [−5] e [−2]:
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3. Sia A = Z∗. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
aRb⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Determiniamo [−5] e [−2]:
[−5] = {x ∈ Z∗ | (−5)Rx} = {x ∈ Z∗ | (−5)x > 0} =
{x ∈ Z∗ | x < 0} = Z−
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3. Sia A = Z∗. Consideriamo la relazione R definita nelmodo seguente:
aRb⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Determiniamo [−5] e [−2]:
[−5] = {x ∈ Z∗ | (−5)Rx} = {x ∈ Z∗ | (−5)x > 0} =
{x ∈ Z∗ | x < 0} = Z−
Analogamente
[−2] = {x ∈ Z∗ | (−2)Rx} = {x ∈ Z∗ | (−2)x > 0} =
{x ∈ Z∗ | x < 0} = Z− = [−5].
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Domanda: Quando due classi di equivalenza coincidono?
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Domanda: Quando due classi di equivalenza coincidono?
Criterio: Sia R una relazione di equivalenza definita su uninsieme A. ∀a, b ∈ A,
[a] = [b]⇔ aRb.
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Domanda: Quando due classi di equivalenza coincidono?
Criterio: Sia R una relazione di equivalenza definita su uninsieme A. ∀a, b ∈ A,
[a] = [b]⇔ aRb.
Dimostrazione:
(⇒): bRb⇒ b ∈ [b] = [a]⇒ b ∈ [a]⇒ aRb.
(⇐): Dimostriamo dapprima che [a] ⊆ [b]. ∀c ∈ [a]⇒ aRc.Ma per ipotesi aRb. Dunque, per la proprieta simmetrica,si ha che bRa. Allora bRa e aRc. Per la transitivita di R,si ha bRc. Dunque c ∈ [b]. In modo analogo si dimostra che[b] ⊆ [a]. In conclusione si ha [a] = [b].
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Definizione: Sia dato un insieme A e sia R =∼ una relazio-ne di equivalenza definita in A. Si definisce insieme quozientedi A modulo ∼ l’insieme di tutte le classi di equivalenza
A/ ∼= {[a]∼ | a ∈ A}.
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Definizione: Sia dato un insieme A e sia R =∼ una relazio-ne di equivalenza definita in A. Si definisce insieme quozientedi A modulo ∼ l’insieme di tutte le classi di equivalenza
A/ ∼= {[a]∼ | a ∈ A}.
Esempi:
1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione∼ definita nel modo seguente:
x ∼ y ⇔ x = y, x, y ∈ A.
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Definizione: Sia dato un insieme A e sia R =∼ una relazio-ne di equivalenza definita in A. Si definisce insieme quozientedi A modulo ∼ l’insieme di tutte le classi di equivalenza
A/ ∼= {[a]∼ | a ∈ A}.
Esempi:
1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione∼ definita nel modo seguente:
x ∼ y ⇔ x = y, x, y ∈ A.
Sia a ∈ A, allora [a] = {a}.
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Definizione: Sia dato un insieme A e sia R =∼ una relazio-ne di equivalenza definita in A. Si definisce insieme quozientedi A modulo ∼ l’insieme di tutte le classi di equivalenza
A/ ∼= {[a]∼ | a ∈ A}.
Esempi:
1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione∼ definita nel modo seguente:
x ∼ y ⇔ x = y, x, y ∈ A.
Sia a ∈ A, allora [a] = {a}.Dunque
A/ ∼= {[a] | a ∈ A} = {{a} | a ∈ A}.
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2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione ∼ definita nelmodo seguente:
a ∼ b⇔ a− b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
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2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione ∼ definita nelmodo seguente:
a ∼ b⇔ a− b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Determiniamo [0]:
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2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione ∼ definita nelmodo seguente:
a ∼ b⇔ a− b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Determiniamo [0]:
[0] = {x ∈ Z | 0 ∼ x} = {x ∈ Z | 0− x = 2n, n ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = −2n = 2n′, n′ ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 2n, n ∈ Z} = {tutti gli interi pari}
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2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione ∼ definita nelmodo seguente:
a ∼ b⇔ a− b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Determiniamo [0]:
[0] = {x ∈ Z | 0 ∼ x} = {x ∈ Z | 0− x = 2n, n ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = −2n = 2n′, n′ ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 2n, n ∈ Z} = {tutti gli interi pari}
Determiniamo [1]:
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2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione ∼ definita nelmodo seguente:
a ∼ b⇔ a− b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Determiniamo [0]:
[0] = {x ∈ Z | 0 ∼ x} = {x ∈ Z | 0− x = 2n, n ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = −2n = 2n′, n′ ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 2n, n ∈ Z} = {tutti gli interi pari}
Determiniamo [1]:
[1] = {x ∈ Z | 1 ∼ x} = {x ∈ Z | 1− x = 2n, n ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 1− 2n = 1 + 2n′, n′ ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 2n+ 1, n ∈ Z} = {tutti gli interi dispari}
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2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione ∼ definita nelmodo seguente:
a ∼ b⇔ a− b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Determiniamo [0]:
[0] = {x ∈ Z | 0 ∼ x} = {x ∈ Z | 0− x = 2n, n ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = −2n = 2n′, n′ ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 2n, n ∈ Z} = {tutti gli interi pari}
Determiniamo [1]:
[1] = {x ∈ Z | 1 ∼ x} = {x ∈ Z | 1− x = 2n, n ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 1− 2n = 1 + 2n′, n′ ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 2n+ 1, n ∈ Z} = {tutti gli interi dispari}
DunqueZ/ ∼= {[0], [1]}.
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3. Sia A = Z∗. Consideriamo la relazione ∼ definita nelmodo seguente:
aRb⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
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3. Sia A = Z∗. Consideriamo la relazione ∼ definita nelmodo seguente:
aRb⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Determiniamo [1]:
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3. Sia A = Z∗. Consideriamo la relazione ∼ definita nelmodo seguente:
aRb⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Determiniamo [1]:
[1] = {x ∈ Z∗ | 1 ∼ x} = {x ∈ Z∗ | 1x > 0} =
{x ∈ Z∗ | x > 0} = Z+
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3. Sia A = Z∗. Consideriamo la relazione ∼ definita nelmodo seguente:
aRb⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Determiniamo [1]:
[1] = {x ∈ Z∗ | 1 ∼ x} = {x ∈ Z∗ | 1x > 0} =
{x ∈ Z∗ | x > 0} = Z+
Determiniamo [−1]:
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3. Sia A = Z∗. Consideriamo la relazione ∼ definita nelmodo seguente:
aRb⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Determiniamo [1]:
[1] = {x ∈ Z∗ | 1 ∼ x} = {x ∈ Z∗ | 1x > 0} =
{x ∈ Z∗ | x > 0} = Z+
Determiniamo [−1]:
[−1] = {x ∈ Z∗ | (−1) ∼ x} = {x ∈ Z∗ | (−1)x > 0} =
{x ∈ Z∗ | x < 0} = Z−
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3. Sia A = Z∗. Consideriamo la relazione ∼ definita nelmodo seguente:
aRb⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Determiniamo [1]:
[1] = {x ∈ Z∗ | 1 ∼ x} = {x ∈ Z∗ | 1x > 0} =
{x ∈ Z∗ | x > 0} = Z+
Determiniamo [−1]:
[−1] = {x ∈ Z∗ | (−1) ∼ x} = {x ∈ Z∗ | (−1)x > 0} =
{x ∈ Z∗ | x < 0} = Z−
DunqueZ/ ∼= {Z+,Z−}.
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Risultato: Sia dato un insieme A e sia ∼ una relazione diequivalenza definita in A. Allora l’insieme quoziente A/ ∼ euna partizione di A, ossia e una famiglia di sottoinsiemi diA non vuoti, a due a due disgiunti e la cui unione e tutto A.
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14. Funzioni
Definizione: Dati due insiemi A e B si chiama applicazioneo funzione da A in B una corrispondenza che associa ad ognielemento di A uno ed un solo elemento di B. Si scrive:
f : A→ B
a→ b
dove a ∈ A. Si scrive anche f(a) = b.
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Definizione: Dati due insiemi A e B si chiama applicazioneo funzione da A in B una corrispondenza che associa ad ognielemento di A uno ed un solo elemento di B. Si scrive:
f : A→ B
a→ b
dove a ∈ A. Si scrive anche f(a) = b.
N.B. A e detto dominio della funzione,
B e detto codominio della funzione.
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Esempio: Dati gli insiemi
A = {−2,−1, 0, 1, 2} e B = {−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4}
si consideri la corrispondenza
f : A→ B
definita da
f(x) = x2, ∀x ∈ A.
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Esempio: Dati gli insiemi
A = {−2,−1, 0, 1, 2} e B = {−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4}
si consideri la corrispondenza
f : A→ B
definita da
f(x) = x2, ∀x ∈ A.
f e un’applicazione, infatti ad ogni elemento di A corrispondeuno ed un solo elemento di B
f(−2) = 4 ∈ B, f(−1) = 1 ∈ B, f(0) = 0 ∈ B,
f(1) = 1 ∈ B, f(2) = 4 ∈ B.
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Criterio: Per verificare che una corrispondenza f : A→ Be un’applicazione bisogna verificare
• ∀x ∈ A, ∃f(x) ∈ B;
• ∀x ∈ A, ∃!f(x) (e unico):
x = y ⇒ f(x) = f(y)
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Esempi:
1. Consideriamo la corrispondenza
f : Z→ Z
definita daf(x) = 2x, ∀x ∈ Z.
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Esempi:
1. Consideriamo la corrispondenza
f : Z→ Z
definita daf(x) = 2x, ∀x ∈ Z.
f e un’applicazione, infatti
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Esempi:
1. Consideriamo la corrispondenza
f : Z→ Z
definita daf(x) = 2x, ∀x ∈ Z.
f e un’applicazione, infatti
• ∀x ∈ Z, 2x ∈ Z⇒ f(x) = 2x ∈ Z.
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Esempi:
1. Consideriamo la corrispondenza
f : Z→ Z
definita daf(x) = 2x, ∀x ∈ Z.
f e un’applicazione, infatti
• ∀x ∈ Z, 2x ∈ Z⇒ f(x) = 2x ∈ Z.
• Siano x, y ∈ Z. Se x = y ⇒ 2x = 2y ⇒ f(x) = f(y)
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2. Consideriamo la corrispondenza
f : Q→ Q
definita daf(a
b) = 5
a
b, ∀a
b∈ Q.
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2. Consideriamo la corrispondenza
f : Q→ Q
definita daf(a
b) = 5
a
b, ∀a
b∈ Q.
f e un’applicazione, infatti
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2. Consideriamo la corrispondenza
f : Q→ Q
definita daf(a
b) = 5
a
b, ∀a
b∈ Q.
f e un’applicazione, infatti
• ∀ab∈ Q, 5a
b∈ Q⇒ f(a
b) ∈ Q.
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2. Consideriamo la corrispondenza
f : Q→ Q
definita daf(a
b) = 5
a
b, ∀a
b∈ Q.
f e un’applicazione, infatti
• ∀ab∈ Q, 5a
b∈ Q⇒ f(a
b) ∈ Q.
• Siano ab, cd∈ Q. Se a
b= c
d⇒ 5a
b= 5 c
d⇒ f(a
b) = f( c
d)
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3. Consideriamo la corrispondenza
f : R→ R
definita da
f(x) =5
2− x, ∀x ∈ R.
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3. Consideriamo la corrispondenza
f : R→ R
definita da
f(x) =5
2− x, ∀x ∈ R.
f non e un’applicazione, infatti
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3. Consideriamo la corrispondenza
f : R→ R
definita da
f(x) =5
2− x, ∀x ∈ R.
f non e un’applicazione, infatti
• f(2) 6∈ R
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4. Consideriamo la corrispondenza
f : Q→ Q
definita daf(a
b) = 2b, ∀a
b∈ Q.
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4. Consideriamo la corrispondenza
f : Q→ Q
definita daf(a
b) = 2b, ∀a
b∈ Q.
f non e un’applicazione, infatti
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4. Consideriamo la corrispondenza
f : Q→ Q
definita daf(a
b) = 2b, ∀a
b∈ Q.
f non e un’applicazione, infatti
• ∀ab∈ Q, 2b ∈ Q⇒ f(a
b) ∈ Q.
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4. Consideriamo la corrispondenza
f : Q→ Q
definita daf(a
b) = 2b, ∀a
b∈ Q.
f non e un’applicazione, infatti
• ∀ab∈ Q, 2b ∈ Q⇒ f(a
b) ∈ Q.
• 12
= 36
ma f(12) = 4 6= f(3
6) = 12
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Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A→ B un’ap-plicazione. Si dice che f e iniettiva se elementi distinti deldominio hanno immagini distinte nel codominio, ossia
∀x, y ∈ A, x 6= y ⇒ f(x) 6= f(y).
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Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A→ B un’ap-plicazione. Si dice che f e iniettiva se elementi distinti deldominio hanno immagini distinte nel codominio, ossia
∀x, y ∈ A, x 6= y ⇒ f(x) 6= f(y).
Esempi:
INIETTIVA NON INIETTIVA
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Criterio: f : A→ B e iniettiva se, ∀x, y ∈ A,
f(x) = f(y)⇒ x = y
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Esempi:
1. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita da
f(x) = 3x+ 1, ∀x ∈ Z.
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Esempi:
1. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita da
f(x) = 3x+ 1, ∀x ∈ Z.
f e iniettiva, infatti
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Esempi:
1. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita da
f(x) = 3x+ 1, ∀x ∈ Z.
f e iniettiva, infatti
Siano x, y ∈ Z. Se
f(x) = f(y)⇒
3x+ 1 = 3y + 1⇒ 3x = 3y ⇒ x = y
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2. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita daf(x) = x2, ∀x ∈ Z.
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2. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita daf(x) = x2, ∀x ∈ Z.
f non e iniettiva, infatti
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2. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita daf(x) = x2, ∀x ∈ Z.
f non e iniettiva, infatti
1 6= −1 ma f(1) = 1 = f(−1)
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Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A→ B un’ap-plicazione. Si dice che f e surgettiva o suriettiva se ognielemento del codominio e immagine di qualche elemento deldominio, ossia
∀b ∈ B, ∃a ∈ A t.c. f(a) = b.
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Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A→ B un’ap-plicazione. Si dice che f e surgettiva o suriettiva se ognielemento del codominio e immagine di qualche elemento deldominio, ossia
∀b ∈ B, ∃a ∈ A t.c. f(a) = b.
Esempi:
SURGETTIVA NON SURGETTIVA
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Criterio: f : A→ B e surgettiva se, ∀b ∈ B ∃x ∈ A, taleche l’equazione
f(x) = b
ha soluzione.
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1. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita daf(x) = x+ 6, ∀x ∈ Z.
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1. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita daf(x) = x+ 6, ∀x ∈ Z.
f e surgettiva?
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1. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita daf(x) = x+ 6, ∀x ∈ Z.
f e surgettiva?
∀b ∈ Z ∃x ∈ Z t.c. x+ 6 = b?
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1. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita daf(x) = x+ 6, ∀x ∈ Z.
f e surgettiva?
∀b ∈ Z ∃x ∈ Z t.c. x+ 6 = b?
Risolviamox+ 6 = b
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1. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita daf(x) = x+ 6, ∀x ∈ Z.
f e surgettiva?
∀b ∈ Z ∃x ∈ Z t.c. x+ 6 = b?
Risolviamox+ 6 = b
si ottiene
x = b− 6 ∈ Z
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1. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita daf(x) = x+ 6, ∀x ∈ Z.
f e surgettiva?
∀b ∈ Z ∃x ∈ Z t.c. x+ 6 = b?
Risolviamox+ 6 = b
si ottiene
x = b− 6 ∈ Z
dunque
∀b ∈ Z ∃x = b− 6 ∈ Z t.c. f(b− 6) = b
f e surgettiva.
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2. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita da
f(x) = 3x+ 1, ∀x ∈ Z.
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definita da
f(x) = 3x+ 1, ∀x ∈ Z.
f e surgettiva?
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f : Z→ Z
definita da
f(x) = 3x+ 1, ∀x ∈ Z.
f e surgettiva?
∀b ∈ Z ∃x ∈ Z t.c. 3x+ 1 = b?
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2. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita da
f(x) = 3x+ 1, ∀x ∈ Z.
f e surgettiva?
∀b ∈ Z ∃x ∈ Z t.c. 3x+ 1 = b?
Risolviamo3x+ 1 = b
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2. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita da
f(x) = 3x+ 1, ∀x ∈ Z.
f e surgettiva?
∀b ∈ Z ∃x ∈ Z t.c. 3x+ 1 = b?
Risolviamo3x+ 1 = b
si ottiene
x =b− 1
36∈ Z
dunque f non e surgettiva, infatti per b = 5 si ha x = 436∈ Z
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Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A→ B un’ap-plicazione. Si dice che f e biunivoca se e iniettiva e surgettiva.
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Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A→ B un’ap-plicazione. Si dice che f e biunivoca se e iniettiva e surgettiva.
Esempi:
1.
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Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A→ B un’ap-plicazione. Si dice che f e biunivoca se e iniettiva e surgettiva.
Esempi:
1.
2. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita daf(x) = x+ 6, ∀x ∈ Z.
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Esempi:
1.
2. Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita daf(x) = x+ 6, ∀x ∈ Z.
f e biunivoca
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Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A→ B un’ap-plicazione biunivoca. Si definisce funzione inversa di f , e siindica f−1, l’applicazione f−1 : B → A che associa ad ognielemento di B, b ∈ B, quell’unico elemento a ∈ A di cui eimmagine tramite la f , ossia f(a) = b.
∀b ∈ B, f−1(b) = a, dove a ∈ A e f(a) = b
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Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A→ B un’ap-plicazione biunivoca. Si definisce funzione inversa di f , e siindica f−1, l’applicazione f−1 : B → A che associa ad ognielemento di B, b ∈ B, quell’unico elemento a ∈ A di cui eimmagine tramite la f , ossia f(a) = b.
∀b ∈ B, f−1(b) = a, dove a ∈ A e f(a) = b
Esempio:
f f−1
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Esempio: Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita daf(x) = x+ 6, ∀x ∈ Z.
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Esempio: Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita daf(x) = x+ 6, ∀x ∈ Z.
Abbiamo visto che f e biunivoca
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Esempio: Consideriamo l’applicazione
f : Z→ Z
definita daf(x) = x+ 6, ∀x ∈ Z.
Abbiamo visto che f e biunivoca
La funzione inversa
f−1 : Z→ Ze definita da
f(x) = x− 6, ∀x ∈ Z.
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Definizione: Siano f : A→ B e g : B → C due applicazio-ni. Allora l’applicazione g ◦ f : A→ C definita da
g ◦ f(x) = g(f(x)), ∀x ∈ A
e detta applicazione composta.
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Definizione: Siano f : A→ B e g : B → C due applicazio-ni. Allora l’applicazione g ◦ f : A→ C definita da
g ◦ f(x) = g(f(x)), ∀x ∈ A
e detta applicazione composta.
Esempio: Consideriamo
f : Z∗ → N
f(x) = x2, ∀x ∈ Z∗g : N→ Q
g(x) = 3x+52, ∀x ∈ N
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Definizione: Siano f : A→ B e g : B → C due applicazio-ni. Allora l’applicazione g ◦ f : A→ C definita da
g ◦ f(x) = g(f(x)), ∀x ∈ A
e detta applicazione composta.
Esempio: Consideriamo
f : Z∗ → N
f(x) = x2, ∀x ∈ Z∗g : N→ Q
g(x) = 3x+52, ∀x ∈ N
g ◦ f : Z∗ → Q
g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(x2) =3x2 + 5
2
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Esercizi:
1. Delle seguenti relazioni su N verificare quali tra le pro-prieta riflessiva, simmetrica, anti-simmetrica e transi-tiva sono valide:
a) xRy ⇔ x|y;
b) xRy ⇔ hanno lo stesso numero di cifre;
c) xRy ⇔ x− y = 3n per qualche naturale n;
d) xRy ⇔ hanno un divisore comune diverso da 1.
2. Su Z si definisca la seguente relazione:
xRy ⇔ λx− 3y = 1
con λ ∈ Z. Dire per quale valore di λ la relazione R esimmetrica:
a) λ = 0;
b) λ = 12;
c) λ = −3;
d) λ = 2.
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3. Delle seguenti funzioni dire quali sono iniettive e qualisurgettive:
a) f : R→ R, definita da f(x) = 4x+ 1;
b) g : R∗ → R, definita da g(x) = 2x;
c) h : Z∗ → R, definita da h(x) = 1x2+1
;
4. Siano f : R→ R e g : R→ R due funzioni definite daf(x) = (x− 1)2 e g(x) = x+ 1. Determinare le funzio-ni composte f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f e g ◦ g.
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