TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI ROLLE

Michel Rolle

(1652-1718)

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI ROLLE

Una curva regolare (ovvero senza salti o spigoli) che unisce due punti di uguale ordinata deve avere per forza un punto a tangente orizzontalea b

tangente

curva

Punto a tangente orizzontale

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI ROLLE

Per rendere questo un teorema matematico è necessario formularlo in modo rigoroso e poi dimostrarlo

a b

tangente

curva

Punto a tangente orizzontale

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI ROLLE

• Senza salti = funzione continua• Senza spigoli = funzione derivabile• Punti a uguale ordinata: f(a)=f(b)• Punto a tangente orizzontale: f’(c)=0

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI ROLLEQuindi:

Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b]• continua su tale intervallo• derivabile salvo al più agli estremi• e sia f(a)=f(b)

Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che f’(c)=0

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI ROLLEDimostrazione

CASO 1: sia f una funzione costante

In tal caso il teorema è banale perché una funzione costante ha derivata ovunque uguale a zero, quindi c è un punto qualsiasi dell’intervallo

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI ROLLE

Caso f costante

a b

tangentecurva

Punti a tangente orizzontale:TUTTI!

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI ROLLEDimostrazione

CASO 2: sia f non costante

Poiché la funzione è continua su un intervallo chiuso, per il teorema di Weierstrass essa ammette un massimo assoluto, M, e un minimo assoluto, m.

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI ROLLE

Poiché la funzione non è costante massimo e minimo sono diversi (M≠m), il che significa che massimo e minimo non possono cadere entrambi agli estremi dell’intervallo [a,b], altrimenti sarebbero uguali: infatti f(a)=f(b)

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI ROLLE Caso f non costante; qui per esempio il massimo cade all’interno dell’intervallo

a b

curva

M

F(a)=F(b)

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI ROLLE

Supponiamo che sia M a cadere all’interno dell’intervallo e che c sia la sua ascissa

f(c)=M

In tal caso c, oltre a essere punto di massimo assoluto, è anche punto di massimo relativo

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI ROLLE

Ma il teorema di Fermat dice che nei punti di massimo relativo la derivata è uguale a zero, quindi

f’(c)=0

CVD

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI ROLLE

Il teorema di Rolle fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria per avere un punto stazionario: una funzione può avere un punto stazionario anche senza soddisfarne le ipotesi

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI ROLLE

Queste funzioni non soddisfano una delle ipotesi del teorema (quale…?) e non hanno punti stazionari

• y=fraz(x) [0,1]• y=|x| [-1,1]• y=x [0,1]

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI ROLLE

Queste funzioni non soddisfano una delle ipotesi del teorema (quale…?) e hanno punti stazionari

• y=D(x) [0,1]• y=|x2-1| [-2,2]• y=x2 [-1,2]

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI ROLLE

Questa non è derivabile agli estremi, ma questa ipotesi non è richiesta e quindi la funzione cade sotto il dominio del teorema di Rolle

Y=√(1-x2) [-1,1]

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI CAUCHY

Augustin LouisCauchy

(1789-1857)

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI CAUCHY

Siano f e g definite su un intervallo chiuso [a,b]• continue su tale intervallo• derivabili salvo al più agli estremi• e sia g(a)≠g(b), g’(x)≠0 Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che:

)('

)('

)()(

)()(

cg

cf

agbg

afbf

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI CAUCHYDimostrazione

Consideriamo la funzione ausiliaria F(x) così definita:

Dove K è una costante presa in modo che F soddisfi tutte le ipotesi del teorema di Rolle

)()()( xgKxfxF

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI CAUCHY

Poiché f e g sono continue e derivabili anche F lo è, quindi basta fare in modo che sia:

F(a)=F(b)Sostituendo:

)()()()( bgKbfagKaf

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI CAUCHY

Con qualche calcolo si ricava il valore di K

)()(

)()(

agbg

afbfK

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI CAUCHY

Poiché con questo valore di K la funzione F soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, allora esiste un punto c interno all’intervallo in cui risulta:

F’(c)=0

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI CAUCHY

Ma poiché F è:

Derivando:

E uguagliando a zero:

)()()( xgKxfxF

)(')(')(' xgKxfxF

)(')('0 xgKxf

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI CAUCHYOvvero:

E ricordando che K è:

Sostituendo:

CVD

)('

)('

xg

xfK

)()(

)()(

agbg

afbfK

)('

)('

)()(

)()(

cg

cf

agbg

afbf

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI LAGRANGE

Giuseppe LuigiLagrange

(1736-1813)

Il teorema è un caso particolare di quello di Cauchy

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI LAGRANGE

Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b]• continua su tale intervallo• derivabile salvo al più agli estremi

Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che:

)(')()(

cfab

afbf

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI CAUCHYDimostrazione

Basta ricordare la formula di Cauchy

E prendere g(x) = x

)('

)('

)()(

)()(

cg

cf

agbg

afbf

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

TEOREMA DI CAUCHY

Infatti se g(x)=x allora:

E inserendo questi risultati nella formula:

CVD

aag )( 1)(' cgbbg )(

)(')()(

cfab

afbf

)('

)('

)()(

)()(

cg

cf

agbg

afbf

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

Il teorema di Lagrange ha un evidente significato geometrico

a b

tangente

curva

corda

c

F(a)

F(b)

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

Infatti:

È il coefficiente angolare della retta AB, corda sottesa dall’arco di curvaa b

tangente

curva

corda

c

F(a)

F(b)

A

C B

A(a,f(a)) B(b,f(b))

ab

afbf

)()(

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

Mentre:

È il coefficiente angolare della tangente alla curva in C

a b

tangente

curva

corda

c

F(a)

F(b)

A

C B )(' cf

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

Il teorema di Lagrange dice che questi coefficienti sono uguali

a b

tangente

curva

corda

c

F(a)

F(b)

A

C B

)(')()(

cfab

afbf

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

Ma se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare allora sono parallele

a b

tangente

curva

corda

c

F(a)

F(b)

A

C B

TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI

Quindi: in un arco di curva regolare c’è sempre un punto in cui la tangente è parallela alla corda sottesa all’arco

a b

tangente

curva

corda

c

F(a)

F(b)

A

C B