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16/04/2013
Marco Riani, Univ. di Parma 1
STATISTICA A – D
(72 ore)
Marco Riani
mriani@unipr.it
http://www.riani.it
Verifica d’ipotesi
Formalizzazione di un test = parametro ignoto dell’universo (ad es.: , )
(=probabilità di rispondere correttamente ai quiz)
T = indice campionario (ad es: P) statistica test (è variabile aleatoria)
(X=numero risposte corrette nel test)
H0 = ipotesi nulla ipotesi da sottoporre a verifica
H0: = 0 ( =0.25) 0 = valore fissato a priori in base al problema
(non dipende dai dati)
H0 e H1
• H1 = ipotesi alternativa ipotesi che contraddice H0
H1: ≠ 0 alternativa bilaterale
H1: > 0 alternativa unilaterale destra
H1: < 0 alternativa unilaterale sinistra
La scelta di H1 è di tipo logico e non dipende dai dati
• Distribuzione campionaria di T suddivisa in 2 zone:
• zona di rifiuto di H0 (“regione critica”) = insieme di valori di T a cui è associata una piccola probabilità di verificarsi se H0 è vera;
• zona di accettazione di H0 = comprende i restanti valori di T.
• In pratica si osserva lo specifico valore
T = t
Se:
• t cade nella zona di rifiuto si ritiene
H0 falsa (e H1 vera)
• t cade nella zona di accettazione non
si può ritenere H0 falsa (“accetto” H0)
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Conclusioni (p. 89)
Realtà Accetto H0 Rifiuto H0
H0 è vera Decisione
corretta
Errore di
prima
specie
H0 è falsa Errore di
seconda
specie
Decisione
corretta
Livello di significatività () = probabilità di
commettere un errore di prima specie
Interpretazione:
principio del campionamento ripetuto
Approccio “diretto”
• si fissa sufficientemente piccolo
(ad es: = 0,05; = 0,01)
• si definiscono le corrispondenti zone di
rifiuto e di accettazione tramite la
distribuzione campionaria della v.a. T
• si prende una decisione in base al
valore osservato nel campione T = t
Approccio “inverso”
• Livello di significatività osservato
(P-value) = probabilità che la v.a. T
assuma valori più estremi di quello
osservato nel campione (tobs) quando
H0 è vera.
P - value
• H1 unilaterale destra H1: > 0
P-value = P{T tobs, dato che = 0}.
tobs
P-value Pr(T>tobs)
f(t)
P - value
• H1 unilaterale sinistra H1: < 0
P-value = P{T tobs, dato che = 0}.
tobs
Pr(T<tobs)
f(t)
P - value
• H1 bilaterale: H1: ≠ 0
• P-value = P{T |tobs|, dato che = 0}
+ P{T |tobs|, dato che = 0}
Pr(T>|tobs|) Pr(T<-|tobs|)
-|tobs| +|tobs|
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Significato P-value:
evidenza campionaria contro H0 se il P-value
è piccolo rifiuto H0
V. Pag. 92
TEST SULLA MEDIA
(grandi campioni) H0: = 0 (0 = valore prefissato, in es.
confezioni 0 =200 g)
Consideriamo come statistica-test la media campionaria che, sotto H0, gode delle seguenti proprietà:
Quindi la media campionaria standardizata secondo H0 è distribuita secondo N(0,1).
Rifiutiamo H0 quando osserviamo medie campionarie lontane da 0 → medie campionarie standardizzate lontane da 0→ sulle code della distribuzione → legate a probabilità basse.
0)( XEn
XVAR2
)(
)1,0(~)( 0 Nn
XXZ
Ad esempio: H1: ≠ 0
-z(α/2) 0 +z(α/2)
α/2 α/2 1 - α
Rifuto accettazione Rifiuto
• Calcolo sui dati di:
x 2
corsn
sXs cor)(
-z(α/2) 0 +z(α/2)
α/2 α/2 1 - α
Rifuto accettazione Rifiuto
Se
Accetto H0
Se
Rifiuto H0
ns
xxz
cor
0)(
Scostamento
standardizzato:
2 approcci
• APPROCCIO DIRETTO: si fissa α (livello
di significatività)
• APPROCCIO INVERSO: si fornisce il p
value
H1: ≠ 0 Esempio 1: macchina riempitrice
tarata su 200 g
H0: = 200
H1: ≠ 200
Campione=100 confezioni
25,18,0
200199)(
xz
gXs 8,0)( gx 199 gscor 8
ns
xxz
cor
0)(
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Approccio diretto
si fissa = 0,05 z(0,025) =
1,96
-1,25 non è un valore estremo cade infatti nella zona di accettazione il campione non dà evidenza per rifiutare H0 e non possiamo dire che il processo è fuori controllo
0,025 0,025
-1,96 0 +1,96 -1,25
25,18,0
200199)(
xz
Approccio inverso: P-value
Pvalue alto (molto
maggiore di 5% o 1%)
differenza tra media
campionaria =199g e 0
= 200g non è
significativa
il processo di
produzione è sotto
controllo -1,25 0 +1,25
Esempio 2: valutazione orario flessibile
H0: = 6,3 giorni
H1: < 6,3 si riduce l’assenteismo
Campione =100 dipendenti:
= 5,5 giorni, scor = 2,5 = 0,25
x )(Xs
2,325,0
3,65,5)(
xz
ns
xxz
cor
0)(
-1,64 0
Approccio diretto
si fissa = 0,05 -z(0,05) = -1,64
-3,2 è un valore estremo cade infatti nella zona di rifiuto rifiutiamo H0 e concludiamo che con l’orario flessibile l’assenteismo si riduce
0,05
-3,2 -1,64 0
2,325,0
3,65,5)(
xz
H1: < 6,3
Approccio inverso
Calcolo del P-value
• P-value = P{Z( ) ≤ -3,2} = F(-3,2) = 0,00069
valore molto basso (molto minore dell’
1%) differenza tra =5,5 giorni e 0 = 6,3
giorni è significativa l’orario flessibile
porta a una riduzione dell’assenteismo
-3,2 -1,64 0
X
X
H1: < 6,3
TEST SULLA MEDIA
piccoli campioni
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TEST SULLA MEDIA (piccoli campioni)
Assunzione: distribuzione Normale dell’universo
H0: = 0 (0 = valore prefissato, in es confezioni
0 = 200g)
Consideriamo come statistica-test la media campionaria che, sotto H0, gode delle seguenti proprieta’:
~ t(n 1)
, , oppure
~ N(0,1)
0)( XEn
XVAR2
)(
ns
XXZ
cor /)( 0
n
XXZ
/)( 0
TEST SULLA MEDIA (piccoli campioni)
• Valutare assunzione che il fenomeno considerato
presenti nell’ universo distribuzione Normale.
• Se σ2 è noto la media campionaria standardizzata secondo H0 è Normale.
• Se invece σ non è noto e lo si stima con scor , la media campionaria standardizzata si distribuisce secondo t(n-1). Le zone di rifiuto e di “accettazione” devono quindi essere definite con riferimento alla v.a. t(n 1) (NON z) calcolo t():
F[-t(/2)] = /2
Rifiutiamo H0 quando osserviamo medie campionarie lontane da 0 → medie campionarie standardizzate lontane da 0→ sulle code della distribuzione → legate a probabilità basse.
Esempio 1: macchina riempitrice
tarata su 200 g
H0: = 200 (valore standard)
H1: ≠ 200 (valore fuori controllo)
Campione=12 confezioni
=207,75g, scor = 11,14g, =3,22
Distribuzione normale dei pesi assunzione ragionevole
x
41,222.3
20075.207)(
xz
)(Xs
ns
XXZ
cor /)( 0
Approccio diretto
= 0,05 t0,025 (11)= 2,201
oppure
= 0,01 t0,005(11) = 3,106
-3,106 -2,201 0 2,201 +3,106
Nel campione:
41,222,3
20075,207)(
xz
• Se si vuole test con = 0,05
= 2,41 è un valore estremo cade
infatti nella zona di rifiuto rifiutiamo
H0 e concludiamo che il processo è
fuori controllo;
• Se si vuole test con = 0,01
= 2,41 NON è un valore estremo
cade infatti nella zona di accettazione
non possiamo rifiutare H0 e NON
possiamo concludere che il processo è
fuori controllo.
)(xz
)(xz
Approccio inverso: P-value
P-value = P{ +2,41} + P{ 2,41}
= 2P{ +2,41}
Dalle tavole della t con 11 gradi di liberta’:
0,02 < P-value < 0,05
Discreta (ma non fortissima) evidenza contro H0 decisione incerta
)(XZ )(XZ
)(XZ
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Esercizio
• Il contenuto di nicotina di una certa marca di
sigarette è 0,25 milligrammi con una
deviazione standard di 0,015. Un’associazione
di consumatori sostiene che il contenuto di
nicotina dichiarato è al di sotto di quello
effettivo. Si effettui il test opportuno sapendo
che in un campione casuale di 20 sigarette si
è osservata una media campionaria pari a
0,264 milligrammi.
• Si ponga α=0,01
• Si calcoli il relativo p-value
Soluzione H0: = 0,25 milligrammi
H1: > 0,25 contenuto superiore a quello dichiarato
n=20 Ip. di distribuzione normale
)1,0(~/
)( 0 Nn
XXZ
17,420/015,0
25,0264,0)(
xZ
σ=0,015 noto a priori 264,0x
H1: > 0,25 α=0,01 F(2,33)=0,99
Zona di accettazione 2,33
Zona di rifiuto
0,01
17,420/015,0
25,0264,0)(
xZ tobs= = 4,17 cade nella
zona di rifiuto
Densità della
v.c. normale
standardizzata
Calcolo del p-value P-value = P{ >4,17}
= 1-F(4,17) = 0,00002 valore
molto basso (molto minore dell’
1%)
P-value = P{ >4,17}
Esercizio
• Da una sperimentazione geologica vengono
estratte 10 piccole porzioni di roccia che
vengono successivamente sottoposte ad
analisi per verificare il contenuto percentuale
di cadmio. Si osserva una percentuale media
di 17,4 di cadmio con scor=4,2. L’estrazione
del minerale è economicamente conveniente
se il contenuto medio percentuale di cadmio è
maggiore di 15.
Esercizio (continua)
• Si definiscano l’ipotesi nulla e l’ipotesi
alternativa
• Si stabilisca se le osservazioni
campionarie supportano la convenienza
economica dello sfruttamento del
giacimento (si utilizzi α=0,01)
• Si calcoli e si commenti il p-value del test
16/04/2013
Marco Riani, Univ. di Parma 7
Soluzione
H0: 0 = 15 (percentuale di cadmio)
H1: 0 > 15 casi in cui è conveniente estrarre il minerale
scor=4,2 n=10
Ip. di distribuzione normale
� t(9)~/
)( 0
ns
XXZ
cor
807,13282,1
154,17
10/2,4
154,17)(
xZ
4,17x
H1: > 15 α=0,01 Ft(9)(2,821)=0,99
Zona di accettazione 2,821 Zona di rifiuto
0,01
tobs= = 1,807 cade
nella zona di accettazione 807,1
10/2,4
154,17)(
xZ
Densità
della v.c. T
di Student
con 9 gradi
di libertà
Approccio inverso: P-value
P-value = P{ +1,807}
Dalle tavole della t con 9 gradi di libertà:
Ft(9)(1,833)=0,95
)(XZ
Il valore esatto del p-value è 0,052 ottenuto tramite Excel e la funzione distrib.t
=distrib.t(1,807;9;1)
P-value leggermente superiore a 0,05
Esercizio
• Con riferimento all’esercizio precedente si
determini la probabilità dell’errore di
seconda specie assumendo α=0,01 e
µ=16
Soluzione
• Con riferimento all’esercizio precedente si
determini la probabilità dell’errore di
seconda specie assumendo α=0,01 e
µ=16
• Errore di seconda specie = accettare
un’ipotesi nulla falsa
• Obiettivo: calcolare la probabilità di
accettare l’ipotesi nulla quando µ=16
Errore di prima specie (α)
errore seconda specie (β) e
potenza del test (1-β)
xα = valore soglia che separa la zona di
accettazione dalla zona di rifiuto
16/04/2013
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Qual è il valore soglia xα che separa la zona di accettazione da
quella di rifiuto in termini di valori originari?
Accetto 2,821
0,01
Prob. di accettare l’ipotesi nulla quando µ=16
prob. di trovare un valore più piccolo di 18,7467
quando µ=16
821,210/2,4
15
x
Densità
della v.c. T
di Student
con 9 gradi
di libertà
Rifiuto
Il valore soglia xα è 18,7467
Prob. di accettare l’ipotesi nulla quando µ=16 =
prob. di commettere un errore di seconda specie
=β prob. di trovare un valore più piccolo di
18,7467 quando µ=16 Che probabilità è associata all’area in verde?
Devo calcolare
Ft(9) ((18,75-16)/1,3282)
=Ft(9) (2,07)=0,966
In Excel =1-DISTRIB.T(2,07;9;1)
Esercizio • Un fornitore di pneumatici sostiene che la
durata media di un certo tipo di pneumatici per
camion è di 45000 Km. Un’impresa sottopone a
test l’affermazione del produttore osservando
un campione di 56 pneumatici utilizzati dai
propri veicoli.
• Qual è la conclusione a cui giunge l’impresa se
trova una durata media di 43740 con un
scor=2749 km (si ponga α=0,01)
• Si calcoli il p-value
Soluzione
H0: = 45000 Km
H1: < 45000 la durata effettiva dei pneumatici è inferiore a quella dichiarata
scor=2749 n=56
Teorema centrale del limite
�)1,0(N~/
)( 0
ns
XXZ
cor
43,356/2749
4500043740)(
xZ
43740x
H1: < 45000 α=0,01 F(-2,33)=0,01
Il valore osservato del test (-3,43) cade
nella zona di rifiuto
Accetto -2,33
0,01
Rifiuto
p-value = F(-3,43) = 0,0003
Esercizio • Per una generica voce di inventario di una
determinata impresa, sia X la differenza tra il
valore inventariato ed il valore certificato. Da un
campione di 120 voci un certificatore contabile
ha ottenuto x=25,3 s2cor=13240
• Si sottoponga a test l’ipotesi che l’inventario
non sia gonfiato specificando opportunamente
l’ipotesi alternativa (si ponga α=0,01)
• Si calcoli il p-value
• Si calcoli la prob. di rifiutare l’ipotesi nulla nel
caso in cui la vera media di X fosse pari a 30
16/04/2013
Marco Riani, Univ. di Parma 9
Soluzione
H0: = 0
H1: > 0 l’inventario è gonfiato
scor=115,065 n=120
Teorema centrale del limite
�)1,0(N~/
)( 0
ns
XXZ
cor
4086,2120/065,115
03,25)(
xZ
3,25x
H1: > 0 α=0,01 F(2,33)=0,99
Zona di accettazione 2,33 Zona di rifiuto
0,01
tobs= = 2,41 cade nella
zona di rifiuto 4086,2
120/065,115
03,25)(
xZ
p-value = 1-F(2,41)=0,008
Soluzione (continua)
• Si calcoli la prob. di rifiutare l’ipotesi nulla
nel caso in cui la vera media di X fosse
pari a 30
• Pr che il valore del test cada nella zona di
rifiuto quando µ=30
Qual è il valore soglia che xα separa la zona di accettazione da
quella di rifiuto in termini di valori originari?
Qual è il valore soglia che xα separa la zona di accettazione da
quella di rifiuto in termini di valori originari?
Accetto 2,33
0,01
Prob. di rifiutare l’ipotesi nulla quando µ=30
prob. di trovare un valore più grande di 24,474
quando µ=30
Rifiuto
33,2120/065,115
0
x Il valore soglia xα è 24,474
Distribuzione media
campionaria quando è
vera µ=0
Distribuzione media campionaria
quando è vera µ=30
�)1,0(N~/
0)(
ns
XXZ
cor
�)1,0(N~/
30)(
ns
XXZ
cor
24,474
24,474
Area rossa = prob. di rifiutare l’ipotesi nulla
quando µ=30 (potenza del test = 1-β))
70,0120/065,115
30474,241
F
0,01
Esercizi da svolgere per
LUN 22 aprile
16/04/2013
Marco Riani, Univ. di Parma 10
Esercizio
• Una moneta viene lanciata 80 volte,
ottenendo 45 volte l’esito «testa».
• Al livello di significatività del 5% vi è
sufficiente evidenza per ritenere che la
moneta sia truccata?
Esercizio
• Di seguito sono riportati i dati di durata (in
migliaia di Km) di un convertitore catalitico
in un campione di 15 osservazioni.
• 115,4 85,2 89,1 118,3 88,4 109,3 104,3
69,3 105,5 106,8 103,1 101,6 102,9 89,6
109,3
• Si verifichi l’ipotesi che la durata media sia
pari a 100 contro l’alternativa che essa sia
minore. Si assuma un livello di significatività
α=0,05. Si calcoli il p-value del test.
Esercizio L’Istituto Superiore di Sanità ha stimato che le spese a carico del
Sistema Sanitario Nazionale per la riabilitazione di un paziente
che ha avuto un ictus è di 42372 euro. L’amministrazione di una
ASL, per verificare se i costi nella ASL sono in linea con la media
nazionale, ha raccolto le informazioni sul costo della riabilitazione
di 64 pazienti. Il costo medio è risultato pari a 44143 euro con
uno scarto quadratico medio (campionario) corretto di 9156 euro.
• (a) Calcolare l'intervallo di confidenza al livello del 99% per la
vera media dei costi nell’ASL considerata.
• (b) Dopo aver impostato l'ipotesi nulla e l'ipotesi alternativa, si
testi se la differenza tra il costo medio nazionale e il costo
medio stimato nell’ASL è significativa al livello di significatività
dell'1%. Commentare i risultati ottenuti.
• Come sarebbero cambiate le conclusioni se il livello di
significatività fosse stato del 10%?
Esercizio Si assuma che la pressione sistolica media di un adulto sano
sia 120 (mm Hg) e lo scarto quadratico medio 5,6.
Assumendo che la pressione abbia una distribuzione normale
calcolare la probabilità che:
• selezionando un individuo sano scelto a caso questi abbia
una pressione sistolica superiore a 125;
• scegliendo a caso 4 individui, la media della loro pressione
sistolica sia superiore a 125;
• scegliendo a caso 25 individui, la media della loro
pressione sistolica sia superiore a 125;
• selezionando 6 individui sani quattro di essi abbiano una
pressione inferiore a 125.
Esercizio
• Si consideri la verifica di ipotesi sulla
media di una popolazione normale. Si
definisce la potenza di un test la
probabilità di rifiutare un’ipotesi nulla falsa
(ossia la probabilità di non commettere un
errore di seconda specie)
• Si considerino le seguenti ipotesi nulla e
alternativa
• H0: =0
• H1: = 1 (con 1 > 0)
Errore di prima specie (α)
errore seconda specie (β) e
potenza del test (1-β)
xα = valore soglia che separa la zona di
accettazione dalla zona di rifiuto
16/04/2013
Marco Riani, Univ. di Parma 11
Quesiti
• Si dimostri che la potenza del test (1-β) è
– Funzione crescente della dimensione
campionaria (n)
– Funzione crescente della differenza
tra 1 e 0
– Funzione decrescente di σ (standard
deviation dell’universo)
– Funzione crescente di α (probabilità di
commettere errore di prima specie)
Esercizio • Nel processo di controllo del peso delle confezioni di un
determinato prodotto l’azienda esamina un campione di
800 confezioni e trova che 15 di esse hanno un peso fuori
norma.
• Si determini l’intervallo di confidenza al 97% della
proporzione di pezzi fuori norma.
• Si testi, al livello di significatività dell'1%, l'ipotesi che la
proporzione di pezzi fuori norma sia pari a 1,25%.
• Se la proporzione di pezzi fuori norma nell'universo fosse
uguale a 1,5%, effettuando cinque estrazioni
– si calcoli la probabilità di trovare esattamente due pezzi fuori
norma;
– si scriva l'espressione che consente di calcolare la probabilità di
ottenere un numero di pezzi fuori norma compreso tra due e
quattro (estremi compresi).
Esercizio
• Un ricercatore desidera stimare la media
di una popolazione che presenta una
deviazione standard σ con un campione di
numerosità h in modo tale che sia uguale
a 0,90 la probabilità che la media del
campione non differisca dalla media della
popolazione per più dell'8% della
deviazione standard. Si determini h.
Esercizio
• Sia X1 X2 X3 un campione casuale estratto
dalla distribuzione normale N(2,9). Si
calcoli
• P(X1+4X2-4X3>8)
• P(2X1+4X2-4X3>8)
Esercizio
Un tipo di componente viene fornito in
confezioni da 400 pezzi. Ne testiamo un
campione di 16 per stimare la frazione di
difettosi: vogliamo fare un test al livello di
significatività α del 5% che ci permetta di
rifiutare l’intera partita se vi è evidenza
statistica che i pezzi difettosi (nella
confezione) sono più del 15%
Quesiti
• Qual `e il parametro incognito su cui basare
il test? Come vanno scelte ipotesi nulla e
alternativa? Se nel campione si trovano 3
difettosi, cosa si decide? Quanti difettosi si
possono accettare al massimo nel campione
senza rifiutare la fornitura?
• Se una confezione ha il 25% di difettosi, con
che probabilità questo test la rifiuta?
16/04/2013
Marco Riani, Univ. di Parma 12
Esercizio
• Si consideri un dado a 20 facce tutte
uguali
• Qual è il valore atteso?
• Quante volte è necessario lanciarlo
affinché la probabilità di ottenere almeno
un 20 sia maggiore o uguale a 0.5?
• Lanciandolo 20 volte, qual è il numero
medio di 20 ottenuti?
• Pr di ottenere almeno una volta la faccia
20 in 20 lanci?
Esercizio
• Nel gioco del lotto un numero ha una
probabilità p di uscire ad ogni estrazione.
• Si scriva la densità della v.c. che descrive il
tempo di attesa dell’uscita del numero
all’estrazione k-esima (v. casuale geometrica),
k=1, 2, 3, ….
• Si dimostri che la somma delle probabilità è 1
• Si calcoli il valore atteso
• Si calcoli l’espressione che definisce P(X>k)
Esercizio
• Dimostrare che nel gioco del lotto la
probabilità che siano necessari i+j tentativi
prima di ottenere il primo successo, dato che
ci sono già stati i insuccessi consecutivi, è
uguale alla probabilità non condizionata che
almeno j tentativi siano necessari prima del
primo successo.
• Morale: il fatto di avere già osservato i
insuccessi consecutivi non cambia la
distribuzione del numero di tentativi necessari
per ottenere il primo successo
Soluzione
• X = numero di tentativi prima di ottenere il
primo successo.
• p = prob di successo
• Dobbiamo dimostrare che
• P(X>i+j | X>j) = P(X>i)
• P(X>i+j | X>j) = P(X>i+j ∩ X>j) / P(X>j)
• = P(X>i+j) / P(X>j)
• = qi+j/qj=qi=P(X>i)
Esercizio
• Sia X una v.c. definita nell’intervallo [0 +∞)
• Calcolare il valore di c affinché fX(x) sia effettivamente
una densità
• Rappresentarla graficamente la funzione di densità
• Calcolare la funzione di ripartizione e rappresentarla
graficamente
• Calcolare P(X>x)
Esercizio
• Un gioco a premi ha un montepremi di 512
Euro. Vengono poste ad un concorrente 10
domande. Ad ogni risposta errata il
montepremi viene dimezzato. Alla prima
risposta esatta il concorrente vince il
montepremi rimasto. Se non si fornisce alcuna
risposta esatta non si vince nulla. Un certo
concorrente risponde esattamente ad una
domanda con probabilità p, indipendentemente
dalle risposte alle altre domande.
16/04/2013
Marco Riani, Univ. di Parma 13
Richieste
• Sia X la vincita di questo concorrente.
Scrivere la legge di X in forma compatta e
determinare la sua densità p(x)
• Verificare che la somma delle probabilità
sia 1
• Calcolare il valore atteso della vincita
Esercizio
Un modello per le variazioni del prezzo delle
azioni assume che ogni giorno il prezzo di
un’azione salga di una unita con prob. p o
scenda di un’unita con prob. 1-p. Si assume
che le variazioni del prezzo in giorni diversi
siano indipendenti.
Richieste Si formalizzi la v.c. che descrive la variazione
del prezzo dell’azione nel giorno i-esimo e si
calcoli il valore atteso.
Calcolare la probabilità:
1.che il prezzo dell’azione torni a quello di
partenza dopo 2 giorni;
2.che il prezzo dell’azione sia salito di una unita
dopo 3 giorni;
3.che il prezzo dell’azione fosse salito il primo
giorno, sapendo solo che dopo 3 giorni è salito
di una unita.