Post on 03-May-2015
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 1
L 26 Stima degli effetti
Calcolo degli obiettivi (Laplace)
Rodolfo Soncini Sessa
MODSSCopyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 2
Port
ato
ri
0. Ricognizione e obiettivi
1. Definizione delle azioni
2. Definizione di criteri e indicatori
3. Identificazione
del modello
4. Progetto delle alternative
6. Valutazione delle
alternative
5. Stima degli effetti
7. Comparazione e negoziazione
Alternative dicompromesso
8. Mitigazione e compensazione
Cercare ancora?
si
9. Scelta politica
no
PIANIFICAZIONE
Alternativa di miglior compromesso
MO
DS
S
La PIP
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 3
Calcolo degli obiettivi
Risolto il problema con obiettivo aggregato si dispone di :
• valore ottimo dell’obiettivo J*
• funzione di Bellman *( )H
• politica ottima p*
La conoscenza del valore ottimo
S* x
0( ) =λ1J1 x0 ,u
p* , p*( ) +...+λqJ
q x0 ,,up* p*
( )
non consente di risalire ai valori ottimi dei singoli obiettivi
J 1 x
0,u p*
, p*( ),..., J
q x0 ,up* , p*
( )
che sono però necessari per tracciare la frontiera di Pareto.
• decisioni pianificatorie ottime up*
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 4
Calcolo degli obiettivi
J1
J2
Conosco la retta su cui si trova il punto (J1*, J2*)
J∗=λ J 1 + 1−λ( ) J
2
ma non conosco i valori dei due obiettivi J1*e J2*.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 5
tutti gli indicatori devono necessariamente essere definiti sul medesimo orizzonte.
Determinazione degli obiettivi
Ottenute le traiettorie dello stato e del controllo si calcolano i valori assunti dai diversi obiettivi.
Poiché conosciamo l’alternativa ottima (up*, p*), per calcolare il valore degli obiettivi è sufficiente simulare il sistema sull’orizzonte di progetto.
Nota Bene :
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 6
Difficoltà
Nella simulazione si incontrano due difficoltà:
1. Sappiamo effettuare la simulazione solo se è assegnata una traiettoria del disturbo; ma la definizione della funzione obiettivo richiede di considerare tutte le possibili traiettorie.
2. Se l’orizzonte di progetto è infinito la simulazione non può in pratica essere realizzata.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 7
Che fare?
Cambiare rappresentazione del sistema:
Sistema deterministico affetto da disturbo stocastico
Catena di Markov
Stato : xtDistribuzione di probabilità dello stato all’istante t. xt
πtStato :
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 8
Lo stato stocastico
Quando un modello meccanicistico o una BBN sono alimentati da
un rumore stocastico bianco lo stato è una variabile stocastica xt
Quindi xt: π t
distribuzione di probabilità dello stato
all’istante t xt
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 9
Lo stato stocastico
Quando un modello meccanicistico o una BBN sono alimentati da
un rumore stocastico bianco lo stato è una variabile stocastica xt
Quindi xt: πt distribuzione di probabilità dello stato
all’istante t xt
Che senso ha uno stato stocastico?Un esempio: per valutare l’affidabilità di un intervento si deve stimare la frequenza degli eventi estremi: es. frequenza delle esondazioni
Indice = probabilità di fallanza
Invaso
soglia di esondazione
Probabilità di fallanza
dens
ità
di p
roba
bili
tà
πt
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 10
Metodo Monte Carlo: effettuare un numero elevato di simulazioni del modello in corrispondenza di traiettorie casuali del disturbo, generate con un modello del disturbo.
Lo stato stocastico
Quando un modello meccanicistico o una BBN sono alimentati da
un rumore stocastico bianco lo stato è una variabile stocastica. xt
Quindi xt: πt
Come determinare ? πt
distribuzione di probabilità dello stato
all’istante t xt
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 11
Metodo Monte Carlo: effettuare un numero elevato di simulazioni del modello in corrispondenza di traiettorie casuali del disturbo, generate con un modello del disturbo
Lo stato stocastico
Quando un modello meccanicistico o una BBN sono alimentati da
un rumore stocastico bianco lo stato è una variabile stocastica xt
Quindi xt: πt
Come determinare ? πt
distribuzione di probabilità dello stato
all’istante t xt
Per calcolare f (x) dx
a
b
∫
Si generano N coppie casuali (xi,yi)con xi equiprobabile in (a,b)
con yi equiprobabile in (0,c)
si ponga Ai=1 se f(xi)>yi
Ai=0 altrimenti
a b
c
f(x)
x
Metodo Monte CarloEsempio: Calcolo di un integrale
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 12
Metodo Monte Carlo: effettuare un numero elevato di simulazioni del modello in corrispondenza di traiettorie casuali del disturbo, generate con un modello del disturbo.
Lo stato stocastico
Quando un modello meccanicistico o una BBN sono alimentati da
un rumore stocastico bianco lo stato è una variabile stocastica. xt
Quindi xt: πt
Come determinare ? πt
computazionalm
ente costo
so!
distribuzione di probabilità dello stato
all’istante t xt
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 13
Catene di Markov
Se il sistema è discretizzato utilizzare come stato non ma
IDEA (Markov,1887)
x t πt
semplice modello lineare: CATENA di MARKOV
πt+1T =πt
TBt
Matrice il cui elemento rappresenta la probabilità che lo stato passi dal suo i-esimo valore all’istante t al j-esimo all’istante t+1, quando sul sistema agisce il disturbo considerato e il sistema è controllato da una politica data.
btij
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 14
s
t+1
h
t+1
Un esempio
S E
S E S E
S 1 0 .5 0
E 0 1 .5 1
S E
S E S E
S E S E S E S E
S .9 1 0 .9 .1 .8 0 .2
E .1 0 1 .1 .9 .2 1 .8
S E
P T P T
S .9 .9 .2 .1
E .1 .1 .8 .9 a
t+1
w
t
ε
t+1
w
t
r
t+1
s
t
u
t
s
t+1
s
t
a
t+1
r
t+1
s
t
u
t ε
t+1
S E
B 1 0
A 0 1
probabilità che l’invaso sia Elevato all’istante t+1
probabilità che l’invaso sia Scarso all’istante t+1
1T Tt t tπ π B
1 1
0.29 0.71
0.32 0.68S E S Et t t tπ π π π
Con la politica adottata l’invaso sarà scarso il 30%
delle volte ed elevato il 70%.
0.31Distribuzione a regime
0.69π
politica data
Si assuma che siano entrambi disturbi casuali e bianchi, con distribuzione nota: es. valori equiprobabili
Si assuma che siano entrambi disturbi casuali e bianchi, con distribuzione nota: es. valori equiprobabili
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 15
OsservazioniPer calcolare una catena di Markov servono:
le stesse informazioni che occorrono per il metodo Monte Carlo! ...
... ma la catena è un modello più semplice da simulare perchè è autonomo, cioè non ha ingressi.
- equazione di transizione di stato del modello (mecc. o BBN);
- la politica di regolazione adottata.- i modelli dei disturbi;
Lo svantaggio è che le dimensioni dello stato della catena sono molto elevate, pari al numero di valori che lo stato può assumere. xt
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 16
Osservazioni
I valori di Bt sono numerosi e difficili da stimare direttamente.
Proposta: costruire prima un modello meccanicistico (o una BBN o un empirico), così che i Portatori d’interesse possano più facilmente partecipare alla sua realizzazione;
ricavare poi da questo la matrice Bt della catena di Markov.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 17
Sistema deterministico e sistema stocastico
Sistema senza disturbo (sistema deterministico)
Sistema con disturbo(sistema stocastico)
t t+1
1
2
3
1
2
3
D
D
D
G
G S
S
t t+1
1
2
3
1
2
3
D0.6
0.4
0
0
G
0.8
0.2
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 18
t t+1
1
2
3
1
2
3
D0.6
0.4
0
0.7
0.3
0
S
0
0.5
0.5
D
Fissata la politica tm
Le probabilità di transizione xt+1 = 1 xt+1 = 2 xt+1 = 3
xt = 1 ut = D 0.6 0.4 0.0
ut = G 0.0 0.8 0.2
xt = 2 ut = S 0.7 0.3 0.0
ut = D 0.3 0.6 0.1
ut = G 0.0 0.3 0.7
xt = 3 ut = S 0.1 0.9 0.0
ut = D 0.0 0.5 0.5ut = D 0.0 0.5 0.5
ut = S 0.7 0.3 0.0
ut = D 0.6 0.4 0.0
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 19
Fissata la politica tm rappresenta la probabilità che,
avendo adottato il controllo , il sistema transiti dallo stato , al tempo t, allo stato , al tempo t+1.
mt
xti
( ) xt
i
Le probabilità di transizione t tB m xt+1 = 1 xt+1 = 2 xt+1 = 3
xt = 1 ut = D 0.6 0.4 0.0
ut = G 0.0 0.8 0.2
xt = 2 ut = S 0.7 0.3 0.0
ut = D 0.3 0.6 0.1
ut = G 0.0 0.3 0.7
xt = 3 ut = S 0.1 0.9 0.0
ut = D 0.0 0.5 0.5
0.6 0.4 0.0
0.7 0.3 0.0
0.0 0.5 0.5
ij it t tb m x ut = D 0.0 0.5 0.5
ut = S 0.7 0.3 0.0
ut = D 0.6 0.4 0.0
t tB m è fissata la matrice
il cui elemento ij it t tb m x
xt+1i
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 20
t t+1
1
2
3
1
2
3
1
2
3
t
t
t
π
π
π
11
21
31
t
t
t
π
π
π
tπ 1tπ
11b
21b
31b
12b
32b
22b13b
23b
33b
1 1 11 1 2 21 2 3 31 31t t t t t t t t t t t t tb m x b m x b m xπ π π π
2 1 12 1 2 22 2 3 32 31t t t t t t t t t t t t tb m x b m x b m xπ π π π
3 1 13 1 2 23 2 3 33 31t t t t t t t t t t t t tb m x b m x b m xπ π π π
La funzione di transizione t tB m
0.6 0.4 0
0.7 0.3 0
0 0.5 0.5
0.6
0.7
0
0.6
0.7
0
0.4
0.3
0.5
0.4
0.3
0.5
0
0
0.5
0
0
0.5
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 21
1 1 211 1 1321 31
2 3t t t t t t tt t t tt t b m x b m x b m xπ π π π
2 1 212 1 2322 31
2 3t t t t t t tt t t tt t b m x b m x b m xπ π π π
3 1 213 1 3323 31
2 3t t t t t t tt t t tt t b m x b m x b m xπ π π π
t t+1
1
2
3
1
2
3
1
2
3
t
t
t
π
π
π
11
21
31
t
t
t
π
π
π
tπ 1tπ 13b
23b
33b
La funzione di transizione
1 ( ( ))T Tt t t tB mπ π 1 ( ( ))T Tt t t tB mπ π
t tB m
0.6 0.4 0
0.7 0.3 0
0 0.5 0.5
0.6
0.7
0
0.6
0.7
0
0.4
0.3
0.5
0.4
0.3
0.5
0
0
0.5
0
0
0.5
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 22
La catena
btij m
tx
ti
( )( ) = φt εt1 xti ,mt xt
i( )( )
εt+1∈Gt
∑
G
t= εt1 : xt1
j = ft xti ,mt xt
i( ),εt1( ){ }
πt1
T =πtT Bt mt ⋅( )( )
• Il sistema
dove
πt
i
i∑ =1 → πt1i
i∑ =1 b
tij ≥0 , bt
ij =1j∑
• Fissata la politica la catena è un sistema lineare deterministico.
• La stocasticità svanisce considerando al posto di . xt πt
ed è deterministico.
è non lineare ( rispetto al controllo ): se cambia cambia ; Bt m
t⋅( )
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 23
Simulazione su orizzonte finito
Simulazione su orizzonte finito [0, h ] dallo stato iniziale
x0i
• La traiettoria sull’orizzonte temporale [0, h] può essere calcolata utilizzando ricorsivamente la catena
π0 , ..., πh
• La distribuzione iniziale esprime la certezza di trovarsi
al tempo 0 in
π0
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 24
Calcolo dell’obiettivoRicordiamo che nella lez. S05 abbiamo visto che quando:
- il disturbo è bianco
- l’indicatore è separabile
l’obiettivo è calcolabile con la seguente espressione
1
1
1 1 10 ,
( , , ) ( ) ( )t t
hj
t t t t t t t t t tt x
g x u x dx dε
ε π ε ε
∫1
10 0 1
...[ ( , , )]
h
j h h hE i x uε ε
ε
( ) ( )h
jh h h h h
x
G x x dxπ ∫
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 25
dove
Una volta calcolata la traiettoria il valore del j-esimo obiettivo è allora dato da
π0 , ..., πh
11,2,...
1* * *
0
Gt tt h
hj T j T j
t t h ht
E i p E gε ε
π π
gtj* = gt
j xt1,mt
* xt1
( ),εt+1( ) ,...,gtj xt
n,mt* xt
n( ),εt+1( )
T
t=0, ..., h−1
Ghj* =Gh
j xh1
( ), ... ,Ghj xh
n( )
T
= gt
j (xt ,ut ,εt1)⋅πt(xt)xt ,εt1
∫ ⋅φt(εt1)⋅dxt ⋅dεt1t0
h−1
∑ +
Gh
j xh⋅πhxtxh
∫ ⋅dxh
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 26
E
εt{ }t=1,2,...h
i j p*( )⎡
⎣⎤⎦= πt
T
t=0
h−1
∑ Eεt+1
gtj*⎡
⎣⎤⎦+πh
T Ghj*Simulazione su orizzonte finito
Valore attesorispetto allo stato
1
1
1 1
1
1 * 11 * 111
2 * 22 * 211*
*1
, ,, ,
, ,, ,
........... ...........
, ,
t
t
t t
t
jjt t t t tt t t t t
jjt t t t tt t t t tj
t
j n nt t t t t
E g x m xg x m x
E g x m xg x m xE g E
g x m x E g
ε
εε ε
ε
εε
εε
ε
*
1, ,j n nt t t t tx m x ε
1
*
t
jtE g
ε
= * + * +…...+ * t =1 t =h t =0
[1,n]
[n,1][1,1]
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 27
Simulazione su orizzonte infinito
Quando il sistema è periodico è possibile dimostrare che la traiettoria converge ad un ciclo π0 ,π1,... π0 ,π1,...,πT−1
• L’ergodicità garantisce che la scelta della probabilità da cui inizia la simulazione della catena non è critica, giacché essa viene dimenticata con il progredire del tempo.
π0
• Non è necessario simulare il sistema per un numero infinito di passi, ma solo sino a quando la distribuzione diviene periodica, poiché allora si è determinato il ciclo cui essa tende.
tπ
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 28
La πt nel tempo
tx
1tx
2tx
1 1, ,t t t t tx f x u ε
1tε 2tε
La dispersione cresce con t.
πt+1
πt+2
*1fissata ( )tm
* *fissato ( )t t tu m x
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 29
EsempioSi consideri un serbatoio regolato :
In condizioni “normali”, ad esempio invaso medio e controllo medio, Rt(ut,st,at+1) = ut :
1 1 1( , , ) t t t t t t ts s a R u s a
1 1 t t t ts s a u 1 1 1( , , ) ( , ) t t t t t t t tx f x u f x uε ε
st
st+1
1 1 = + t t t tE s s u E a
è della forma
1tε
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 30
Ciclo stocastico
0 Tπ π
Ciclo stocastico
In un sistema periodico col passare del tempo la distribuzione di probabilità πt dello stato si allarga, ma non indefinitamente:
tende ad un andamento ciclico detto
t0 1 ……… T2Inverno InvernoEstate
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 31
Ciclo stocastico
0 Tπ π
Nel caso limite in cui l’afflusso è deterministico e periodico il ciclo stocastico corrisponde a una sequenza ciclica di impulsi.
tInverno Estate Inverno
In condizioni deterministiche la traiettoria dello stato è un ciclo deterministico; la presenza del disturbo fa sì che il ciclo deterministico venga sostituito da un ciclo stocastico.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 32
Simulazione su orizzonte infinitoNoto il ciclo cui il sistema tende, i valori degli obiettivi si calcolano con le seguenti formule:
π0 ,π1,...,πT−1
Costo totale attualizzato:
Costo atteso per passo:
E
εt t=1,2,...
i j p*( )⎡
⎣⎤⎦= γtπt
T
t0
∞
∑ Eεt+1
gtj*⎡
⎣⎤⎦
E
εt{ }t=1,2,...
i j p*( )⎡
⎣⎤⎦=
1T πt
T
t=0
T−1
∑ Eεt+1
gtj*⎡
⎣⎤⎦
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 33
Il controllo ottimo
Problema di Controllo Ottimo: scegliere la politica in modo che il valore atteso dell’obiettivo sia minimo.
Il Problema di Controllo Ottimo su orizzonte infinito corrisponde dunque alla determinazione della distribuzione di probabilità ciclica che massimizza l’obiettivo.
Tramite il controllo si modificano le distribuzioni di probabilità dello stato a regime e si influenza così il valore atteso dell’obiettivo.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 34
Leggere
MODSS Cap. 18
VERBANO Cap. 8