Quaderni di “Complementi di Scienza delle Costruzioni”

- Ingegneria Meccanica -

Appunti dalle lezioni a cura di Stella Brach

Anno Accademico 2010 / 2011

Università di Roma “Tor Vergata” – Ad uso esclusivo degli studenti – Giuseppe Vairo

1. Il teorema di Castigliano e sue applicazioni

1. Il teorema di Castigliano e sue applicazioni

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Appunti dalle lezioni – A.A. 2010/2011 3

AVVERTENZA

Le pagine che seguono contengono la copia degli appunti dalle lezioni della studentessa Stella Brach e si riferiscono al corso da 6 crediti formativi di “Complementi di Scienza delle Costruzioni (Ing. Meccanica)”, impartito nell’anno accademico 2010/2011 presso la Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”.

Tali note sono da intendersi esclusivamente ad uso degli allievi frequentanti il corso e non debbono a nessun titolo essere destinati a copia o riproduzione per usi commerciali.

Data la natura personale ed il carattere proprio di trascrizioni dalle lezioni sono inevitabilmente presenti errori ed imprecisioni. Si pregano pertanto gli allievi di volerci segnalare entrambi, nonché di indicarci quei passaggi che non risultassero comprensibili ad una prima lettura.

dott. ing. Giuseppe Vairo

1. Il teorema di Castigliano e sue applicazioni

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Appunti dalle lezioni – A.A. 2010/2011 5

1. Il teorema di Castigliano e sue applicazioni

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1. Il teorema di Castigliano e sue applicazioni

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1. Il teorema di Castigliano e sue applicazioni

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1. Il teorema di Castigliano e sue applicazioni

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1. Il teorema di Castigliano e sue applicazioni

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S(r)

S(eq)

vB = 0

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1. Il teorema di Castigliano e sue applicazioni

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1. Il teorema di Castigliano e sue applicazioni

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α

ds

dx

Calcolo di rigidezze equivalenti

Sia data un elemento strutturale piano assimilabile ad una molla e la cui geometria sia descritta dalla funzione f(x)comunque periodica in x. Si indichi con L il periodo e con H l’ampiezza della molla, in generale funzione dell’ascissa considerata. La molla sia vincolata ad avere spostamenti nulli in corrispondenza di un suo estremo mentre sull’altro agisca una forza F diretta nella direzione positiva delle x:

Detto lo spostamento nella direzione di applicazione della forza che l’estremo libero della molla subisce a causa della deformabilità della stessa, la rigidezza equivalente dell’elemento molla nella direzione del suo asse (cioè x) può essere determinata come:

In virtù del teorema di Castigliano risulta:

La molla può essere assimilata ad una trave ad asse curvo e, nell’ipotesi in cui la sua deformabilità a taglio e a sforzo normale possano considerarsi trascurabili, il lavoro di deformazione si scrive come: 12

essendo s la generica ascissa curvilinea. Volendo esprimere l’integrale precedente nel sistema di riferimento (x,y) è necessario utilizzare la trasformazione:

Detto np il numero di periodi della molla si ottiene: 12

L

H(x)

s

α(x)

F x

y

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w

F

x

y

Il momento flettente nel generico punto P individuato dalla coordinata x risulta: Si noti che se la sezione di trave considerata in è tale che 0 il momento risulta positivo, in accordo con la classica convenzione al concio.

Sostituendo l’ espressione precedente nel lavoro di deformazione si ottiene: 12

e quindi introdotto l’operatore di media su un periodo definito come:

· 1 ·

si ha 12

A questo punto applicando il teorema di Castigliano si determina la rigidezza equivalente cercata: 1

Si tenga presente che semplici considerazioni di geometria differenziale consentono di legare l’angolo α di inclinazione della tangente alla curva f(x) e la derivata prima di tale funzione mediante la seguente relazione:

1/ 1

e dunque:

1/ 1

1. Il teorema di Castigliano e sue applicazioni

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Esercitazione proposta

1. Generalizzare l’espressione della rigidezza equivalente lungo l’asse della molla nel caso in cui la trave, alla quale la molla è assimilata, sia deformabile anche a sforzo normale (si continui a trascurare la deformabilità tagliante).

2. Nel caso di sola deformabilità flessionale ed in quello di deformabilità flessionale ed estensionale, ricavare l’andamento della rigidezza equivalente in funzione dei parametri geometrici H (ampiezza), L (periodo) e R (raggio), fissato che sia il materiale costituente (E=200 GPa) ed assumendo una sezione retta circolare di raggio R, per tre differenti tipi di molle (con np = 1):

Molla avente una funzione di forma rappresentata da una SPEZZATA: 4 0, 44 2 4 , 344 4 34 ,

Molla avente una funzione di forma rappresentata da una PARABOLA: 16 8 0, 216 2 8 2 2 ,

Molla avente una funzione di forma rappresentata da una SINUSOIDE: 2

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Roma, 28 ottobre 2010