Post on 02-May-2015
ProgressioniProgressioniaritmetichearitmetiche
descrizionedescrizioneelementareelementare
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
K=2 Problema= quanti mattoni (k) sono necessari per costruireuna scala dal piano a1=0 a livello a8 = 16 ?
4
6
8
10
12
14
16
2
0
Usando mattoni di diverso colore per ogni gruppo verticalequanti mattoni per ogni gruppo si devono usare ?
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
K=2 Problema= quanti mattoni (k) sono necessari per costruireuna scala dal piano a1=0 a livello a8 = 16 ?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 mattoni k
Altezza totale mattoni Sn= n*(a1+an)/2 9*(0+16)/2= 72
4
6
8
10
12
14
16
2
Numero mattoni 72/ 2 = 36 K
0
Mattoni per scalinoe altezza
a1=0k=0a2=1k=2a3=2k=4a4=3k=6a5=4k=8a6=5k=10a7=6k=12a8=7k=14a9=8k=16sn = 36k
a1 a2 a3 a4 a5
K=4
Problema= quanti mattoni (k) sono necessari per costruireuna scala dal piano a1=0 a livello a5 = 16 ?
0 1 2 3 4 mattoni k
Altezza totale mattoni Sn= n*(a1+an)/2 5*(0+16)/2= 40
4
6
88
12
16
4
Numero mattoni 40/ 4 = 10 K
0
Mattoni per scalinoe altezza
a1=0k=0a2=1K=4a3=2k=8a4=3k=12a5=4k=16sn = 10k
a1 a2 a3 a4
K=4
Problema= quanti mattoni (k) sono necessari per costruireuna scala dal piano a1=4 a livello a3 = 16 ?
0 1 2 3 mattoni k
Altezza totale mattoni Sn= n*(a1+an)/2 4*(4+16)/2= 40
8
16Numero mattoni 40/ 4 = 10 K
0
Mattoni per scalinoe altezza
a1=0k=4a2=1K=8a3=2k=12a4=3k=16sn = 6k
12
4
Sottraendo 4 mattoni della base:6 k
concludendoconcludendo
Il numero di mattoni necessario variaIl numero di mattoni necessario varia In funzione del livello iniziale dal In funzione del livello iniziale dal
qualequalesi inizia la costruzione a1si inizia la costruzione a1e dal livello finale ane dal livello finale an
E dallo spessore dei mattoni kE dallo spessore dei mattoni k
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 an(8) termini
Ragione k
La differenza tra due termini contigui risulta costante :ragione , k
Ogni termine si può ottenere aggiungendo la ragione al termine precedente
2
4
6
8
10
12
14
16
2
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 an(8)) termini
Ragione k
2
4
6
8
10
12
14
16
2
Ogni termine può essere ottenuto aggiungendo al primo, k ,
un numero di volte pari alla differenza tra l’indice del termine
e l’indice del primo termine a1 Es. a6 = a1 + (6-1)*k…….a8= a1 + (8-1)*k an = a1 +(n-1)*k
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 termini
Ragione k
2
4
6
8
10
12
14
16
2
Il termine ennesimo della progressione aritmetica si può calcolare con la formula
an = a1 + (n-1)*k
a6 = 2 + (5)*2 = 12 .a8= 2 + (7)*2=16
a8=2+7k =16
a7 = 2+6k=14
a6=2+5k=12
a5=2+4k=10
A4=2+3k=8
2 2 2 2 2 2 2
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 termini
Ragione k
2
4
6
8
10
12
14
16
2
Il primo termine , a1, della progressione aritmetica si può calcolare con la formula
a1 = an - (n-1)*k
a1 =a8 - (8-1)*2 = 16 – (7)*2 = 2
a1= a5-(5-1)*k = 10-(4)*2=2
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 termini
Ragione k
2
4
6
8
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12
14
16
2
Conoscendo il valore dei termini estremi della progressione a1, an, e il numero dei termini, n,
è possibile calcolare la ragione k
k = (an –a1) / (n-1)… (a8-a1) /(n-1) = (16-2)/(8-1)= 14/7=2
K =(a6-a1)/(n-1) = (12-2)/(6-1)=10/5 = 2
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 termini
Ragione k
2
4
6
8
10
12
14
16
2
Conoscendo il valore dei termini estremi della progressione a1, an, e la ragione k
è possibile calcolare il numero totale dei termini n
n = ((an-a1)/k)+1
N = ((a8-a1)/k)+1 = (16-2)/2)+1 = 8
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
K=2 Osservazione:la somma dei termini equidistanti dagliestremi è costante ed è uguale alla somma dei terminiestremi (a1+a9)=(a2+a8)=(a3+a7)=(a4+a6)=16
4
6
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2
0
12
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6
4
2
16
16
16
16
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
K=2 Osservazione:la somma dei termini equidistanti dagliestremi è costante ed è uguale alla somma dei terminiestremi (a1+a9)=(a2+a8)=(a3+a7)=(a4+a6)=16
4
6
10
2
0
12
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16
10
8
6
4
2
16
16
16
16
Sn = 16*4+8 = 72 …Sn = n*((a1+a9/2) =9*8= 72
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
K=2 La somma di n termini si ottiene moltiplicando il numero ndei termini per la semisomma degli estremiSn = n * ((a1+an)/2)
4
6
10
2
0
12
14
16
10
8
6
4
2
16
16
16
16
Sn = n*((a1+a9/2) =9 *((0+16/2)=72
36 k * 2 = 72
Inserimento di h medi aritmetici tra due termini assegnati x, y :h=3
X=6 Y=14
Calcolo la ragione con la formula k = (an-a1)/(n-1) numero termini totale risulta 2 ( x,y) + h = h+2
quindi (n-1) = (h+2-1) = h+1k = (y –x) /(h+1)
K =(y-x)/(h+1) = (14-6)/(3+1) = 2
m1= x+k =6+2=8
m2=x+2k=6+2*2=10
m3=x+3k=6+3*2=12m1
m2
m3
6 8 10 12 14
Inserimento di 3 medi aritmetici tra due termini assegnati interni di una progressione aritmetica :x=6, y=14completare la progressione per un totale di 10 termini
X=6 Y=14
K =(y-x)/(h+1) = (14-6)/(3+1) = 2m1= x+k =6+2=8
m2=x+2k=6+2*2=10m3=x+3k=6+3*2=12
m1
m2
m3
a2=x-k=6-2=4
a1=x-2k=6-4=2
a1
a2
a3
a4 a5 a6
a7
a8 a9 a10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
a8=y+k = 14+2 = 16a9=y + 2k = 14+2*2 =18a10 = y + 3k = 14+3*2=20
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arrivederciarrivederci