PROGETTO PSICOLOGIA DELL’APPRENDIMENTO

DELLA MATEMATICAConoscere le forme geometriche:strumenti per la valutazione e il

potenziamento

Irene C. MammarellaUniversità degli Studi di Padova

Marta TodeschiniAgenzia Nazionale

per lo Sviluppo dell’Autonomia Scolasticairene.mammarella@unipd.itm.todeschini@irreveneto.org

Perché la geometria?

• Perché la geometria è bella ed importante per tutte le acquisizioni in matematica.– Valore strumentale e valore culturale: esiste un pensare geometrico?

• Perché se ne fa poca.– Spesso con i bambini più piccoli ci si ferma alla nominalizzazione, invece vogliamo cogliere somiglianze e differenze per condurre glialunni a concettualizzare (sc. Infanzia) e formalizzare (sc. Primaria).

• Perché negli ultimi decenni gli studi di psicologia dell’apprendimento hanno contribuito notevolmente a descrivere i processi cognitivi implicati nel calcolo e nella soluzione di problemi non alla geometria.

• Da una intervista svolta da me con 60 ragazzi di classe prima della secondaria di primo grado è emerso che: – in genere non capiscono l’importanza della geometria per la propria formazione culturale

– sono poco strategici nell’apprendimento

Progetto psicologia dellProgetto psicologia dell’’apprendimento apprendimento della matematica: sono coinvoltidella matematica: sono coinvolti

•• USR Ufficio Scolastico RegionaleUSR Ufficio Scolastico Regionale•• AS Agenzia Scuola (ex IRRE Veneto)AS Agenzia Scuola (ex IRRE Veneto)•• UniversitUniversitàà di Padova: di Padova: –– Dipartimento di psicologia generale Dipartimento di psicologia generale prof. C. Cornoldiprof. C. Cornoldi

–– Dipartimento di psicologia dello sviluppo e della Dipartimento di psicologia dello sviluppo e della socializzazione socializzazione Prof. D. LucangeliProf. D. Lucangeli

Obiettivo generale

• Migliorare il livello di apprendimento in matematica (geometria) attraverso l’attivazione di azioni di ricerca nel campo della “Psicologia dell'apprendimento della matematica”.

Attraverso questi obiettivi:Attraverso questi obiettivi:

• Costruire degli strumenti per valutare le competenze geometriche nei bambini– Fasce d’età:• Scuola dell’infanzia + 1 classe della primaria• 2-3 classe della primaria• 4-5 classe della primaria• 1-2-3 classe scuola secondaria

• Costruire e sperimentare nei laboratori di ricerca-azione dei percorsi di potenziamento delle competenze geometriche distinti per le fasce d’età prese in considerazione

Lo sviluppo della conoscenza delle Forme geometriche in letteratura• Piaget (1967) �– bambini piccoli discriminano gli oggetti sulla base di caratteristiche topologiche (forme chiuse vs aperte)

– Bambini più grandi discriminano oggetti rettilinei vs curvi

• Page (1959) �– già a 2-3 anni bambini discriminano tra forme rettilinee e curvilinee

La teoria di Van Hiele(1986; Clements & Battista, 1992)

• Livelli di sviluppo del pensiero geometrico:– Livello 0 (pre-riconoscimento): b. iniziano a costruire

schemi visivi delle forme ma non riconoscono sempre forme da “non-esempi”.

– Livello 1 (Visivo): b. riconoscono forma come un “tutto”riescono a formarsi delle immagini mentali (es. “figura èun rettangolo perché è simile ad una porta”). No definizioni, proprietà, attributi delle forme.

– Livello 2 (descrittivo/analitico): b. riconoscono le forme sulla base delle proprietà (es. “figura è un quadrato perché ha 4 lati uguali”)

La teoria di Van Hiele(1986; Clements & Battista, 1992)

– Livello 3 (deduzioni informali o geometria euclidea): Il sogg. comincia ad osservare le varie relazioni dal punto di vista logico. Affina il linguaggio e impara la terminologia tecnica. Comprensione dei rapporti gerarchici tra le figure e delle definizioni, per esempio, il quadrato è un rettangolo con tutti i lati uguali, ed entrambi sono parallelogrammi.

– Livello 4 (logica formale): distinzione di una proposizione e la sua inversa, comprensione per dimostrazione. Il pensiero si occupa del significato di deduzione, del reciproco di un teorema, dellacondizione necessaria e sufficiente.

– Livello 5 (rigore): consente agli studenti di apprendere la geometria non-euclidea e di confrontare diversi sistemi di assiomi.

Influenza dell’educazione

• La cultura ha influenzato e influenza la formazione di forme prototipiche– Es. prototipo del quadrato

– Es. prototipo del triangolo

Influenza dell’educazione

• Ricerca di Vurpillot (1976)– Da 4 a 7 anni: b. non riconoscono un quadrato ruotato come quadrato

– 8-9 anni: b. individuano caratteristiche del quadrato anche se ruotato

• A che età i b. riconoscono le figure?– Quadrato: 80% 4 anni; 86% 5 anni; 90% 6 anni– Rettangolo e triangolo: % di riconoscimento piùbassa � 60% 4 anni; 65% 5 anni; 80% 6 anni

Quindi …

E’ importante:– Fornire maggiori opportunità di apprendere le forme geometriche già a partire dalla scuola dell’infanzia.– Fornire tante opportunità di apprendimento e diversificate per costruire i concetti delle figure– Fornire le figure attraverso esempi e non-esempi ed ogni figura deve essere manipolata ed esplorata nelle parti e nelle caratteristiche e descritta (porre attenzione ai termini che i bambini usano e introdurre i termini corretti)

Valutare e potenziare l’apprendimento della geometria dai 4 ai 6 anni

Organizzazione delle prove

• Conoscenze:– Riconoscimento di figure– Differenze tra figure

• Abilità visuo-spaziali:

– Classificazione– Accoppiamento figure uguali– Ricomposizione di figure– Colorazione

Scuola infanzia e prima classe scuola primaria

Standardizzazione della prova

• Campione: 269 bambini– 4 anni – 89 bambini che appartenevano alla seconda classe della scuola dell’infanzia di cui 56 maschi e 36 femmine

– 5 anni – 92 bambini che appartenevano alla terza classe della scuola dell’infanzia di cui 43 maschi e 49 femmine

– 6 anni – 88 bambini che appartenevano alla prima classe della scuola elementare di cui 40 maschi e 48 femmine

Riconoscimento di Figure

• Quali figure riconosci tra queste?• Sai come si chiamano?

Riconoscimento di Figure: risultati

NO 25,8%

SI 74,2%

Nominalizzazione Quadrato 4 Anni

NO 23,9%

SI 76,1%

Nominalizzazione Quadrato 5 Anni

NO 11,4% SI 88,6%

Nominalizzazione Quadrato 6 Anni

NO 85,4% SI 14,6%

Nominalizzazione Rettangolo 4 Anni

NO 72,8%

SI 27,2%

Nominalizzazione Rettangolo 5 Anni NO 39,8%

SI 60,2%

Nominalizzazione Rettangolo 6 Anni

NO 52,8%

SI 47,2%

Nominalizzazione Triangolo 4 Anni NO 37,0%

SI 63,0%

Nominalizzazione Triangolo 5 Anni

NO 22,7%

SI 77,3%

Nominalizzazione Triangolo 6 Anni

NO 96,3% SI 3,4%

Nominalizzazione Rombo 4 Anni

NO 89,1% SI 10,9%

Nominalizzazione Rombo 5 Anni

NO 68,2%

SI 31,8%

Nominalizzazione Rombo 6 Anni

Differenze tra figure

• Cos’hanno di diverso queste due figure?

Differenze tra figure:criteri di valutazione delle risposte

• 0 punti � se il bambino dice che le figure non sono diverse

• 1 punto � se il bambino fa riferimento ad un aspetto percettivo (es. dice che quadrato è piùpiccolo)

• 2 punti � se il bambino fa riferimento a due elementi percettivi (es. dice che quadrato è piùpiccolo e rettangolo più grande)

• 3 punti � se menziona concetti geometrici

Differenze tra Figure:risultati

22,7%9,8%9,0%3

20,5%26,1%29,2%2

55,7%58,7%50,6%1

1,1%5,4%11,2%0

6 anni5 anni4 anniLivello

Differenze tra Figure:risultati

53,2%39,1%22,5%3

21,6%17,4%27%2

26,1%41,3%50,6%1

0%2%0%0

6 anni5 anni4 anniLivello

Differenze tra Figure:risultati

14,8%7,6%2,2%3

23,9%26,1%9%2

61,4%64,1%86,5%1

0%2,2%2,2%0

6 anni5 anni4 anniLivello

Differenze tra Figure:risultati

17%12%4,5%3

39,8%37%34,8%2

42%45,7%53,9%1

1,1%5,4%6,7%0

6 anni5 anni4 anniLivello

Classificazione

Classificazione (cambia dimensione)

Classificazione (cambia orientamento)

Classificazione:risultati

7,5

8

8,5

9

9,5

10

Classifica Cl.forma Cl. Orientam

4 anni

5 anni

6 anni

*

*

*

Accoppiamento di figure uguali

Ricomposizione di figure

Accoppiamento di Figure e Ricomposizione di Figure:

risultati

0

1

2

3

4

5

Accopp Ricomposiz

4 anni

5 anni

6 anni

**

*

*

Colorazione

Colora tutti i quadrati

Colorazione

Colora tutti i rettangoli

Colorazione:risultati

• Le figure maggiormente individuate sono:– il quadrato [media = 12,877],– il rombo [media = 11,470] ed il triangolo [media = 11,086]

– il rettangolo è il più difficile da individuare [media = 9,988]

Su 16 figure max.

Alcune conclusioni della nostra ricerca:

• Il riconoscimento delle figure, già presente all’inizio della scuola dell’infanzia, durante i tre anni si sviluppa e può essere potenziato.

• A tre anni sono già in grado di confrontare figure geometriche con diversa forma, dimensione e orientamento.

• A 3 e 4 anni risulta più facile il confronto fra figure con diversa dimensione piuttosto che con diverso orientamento.

• Già tra i 4 e 5 anni comincia l’analisi di alcune proprietà geometriche.

• La figura più facile da riconoscere è il quadrato.• La figura più difficile è il rettangolo.• La figura più difficile da nominalizzare è il rombo.

LA PROMOZIONE DELLE COMPETENZE GEOMETRICHE

Valutazione delle competenze

Intervento sistematico che tenga conto delle

caratteristiche dello studente e dello sviluppo

Strumenti per la valutazione

Programma di intervento

Potenziamento

Valutazione Iniziale

Individuazione abilitàcarenti

Potenziamento

Valutazione Finale

Somministrazione strumenti di valutazione

Criterio “Discrepenzadalla Norma”

Intervento su area/ecarenti Somministrazione

degli stessi strumentidella Valutazione Iniziale

Potenziamento infanzia e primo anno della primaria

• “Ciao! Noi siamo le tre lumachine che ti accompagneranno nel regno delle forme geometriche.

• Ciao, io sono Pina la lumachina che OSSERVA.

• Io sono Lina, la lumachina che RIFLETTE,

• Ed io sono Tina, la lumachina che FA e ti aiuterò a fare tutti questi giochi,

• Se ci seguirai ti divertirai e imparerai tante cose! Andiamo!”

Potenziamento. Riconoscimento FigurePotenziamento. Riconoscimento Figure

Questi sono tutti triangoli

Questi cartelli stradali hanno la forma di triangolo

Anche questa forma si può trovare in molte cose attorno a te.

4,5,6 anni

La squadretta ha forma di triangolo

4-5-6 ANNI

FAI: Aiuta la lumachina Tina a colorare tutti i triangoli

Quanti triangoli hai colorato?

Sei sicuro che si tratta di triangoli? Come hai fatto a riconoscerli?

4 ANNI

FAI: Adesso verifichiamo se sei riuscito ad aiutare le nostre lumachine ad imparare tutti i nomi delle figure. Associa i nomi che ti dirà l’insegnante alle figure.QUADRATOTRIANGOLO

6 ANNI

FAI: Adesso verifichiamo se sei riuscito ad aiutare la lumachinaad imparare tutti i nomi delle figure. Associa i nomi che ti dirà l’insegnante alle figure.RETTANGOLOTRIANGOLOROMBOQUADRATO

Potenziamento. Differenze tra figure

• OSSERVA. La lumachina Tina deve imparare quali sono le differenze tra le figure. Aiutala a capire cosa c’è di diverso nelle figure qui sotto.

RIFLETTI: Le due figure hanno la stessa forma? Cosa hanno di diverso queste figure? (Attenzione puntata sulla dimensione)

Potenziamento. Differenze tra figure

• OSSERVA: Quale figura è più grande?• Quale più piccola?• FAI: Ritaglia le due figure e sovrapponile

Potenziamento. Differenze tra figure

• OSSERVA:Quale figura è più grande?• Quale più piccola?• FAI: Ritaglia le due figure e sovrapponile

• RIFLETTI: Da cosa vedi che una è più grande e una è più piccola?• È l’unica differenza tra le due figure? Cosa hanno ancora di diverso?

• Queste figure hanno la stessa forma? Da cosa lo vedi?

Potenziamento. Classificazione

Attenzione adesso! Anche quelli qui sotto sono quadrati, ma hanno qualcosa di diverso tra loro. Sai capire cosa?

In questo caso è l’orientamento che cambia. I quadrati sono tutti uguali ma ruotati nello spazio.

4-5-6 ANNI

Potenziamento. Classificazione

Ripassa il contorno del quadrato ruotandolo nello spazio secondo diversi orientamenti.(L’insegnante consegna al bambino una forma quadrata di cartoncino già tagliata)

Ritaglia questo quadrato.

RIFLETTI: Secondo te è uguale a quelli che abbiamo visto sopra?Prova a sovrapporlo ad ognuno di essi per verificare se sono uguali.

Potenziamento. Classificazione

• FAI: Lina, dopo aver terminato di costruire la sua casetta, decide di andare a trovare la sua amica Pina che abita dall’altra parte del fiume, ma per riuscire ad arrivare all’altra sponda deve camminare solo sui sassi a forma di rombo. Aiutala tu colorando i sassi su cui può passare!

Potenziamento. Accoppiamento di Figure

OSSERVA Il rettangolo fa delle capriole.. ma rimane sempre un rettangolo!

Hai capito cosa succede quando le forme ruotano? Adesso prova a trovare quale tra le figure disegnate sotto è uguale a quella sopra. Perché?

4-5-6 anni

: adesso prova a sovrapporle per vedere se hai indovinato!

Potenziamento.Ricomposizione di figure

• OSSERVA La lumachina deve trasformare i quadrati in triangoli. Come fare?

Potenziamento.Ricomposizione di figure

• FAI: Aiuta la lumachina a trasformare i quadrati in triangoli.• Taglia lungo la linea tratteggiata.

Potenziamento.Ricomposizione di figure

. Adesso il compito diventa un po’ più difficile. Devi cercare di capire che figura si forma a partire da due figure

Riesci a capire che figura è?

Prova a verificare se è corretto ritagliando le due figure e unendole insieme. Prova a girare le figure per unirle insieme.

4-5-6 anni

FAI: Adesso la lumachina deve svolgere un compito molto difficile…. Deve ricomporre le figure aggiungendo correttamente il pezzo mancante…..Prova a darle una mano…

Potenziamento.Ricomposizione di figure

Potenziamento.Ricomposizione di figure

Potenziamento.Ricomposizione di figure

Potenziamento. Colorazione

Questo disegno è formato da tante figure diverse. Ne riconosci qualcuna?

Come hai fatto a riconoscere i rettangoli? Da cosa hai visto cheavevano proprio la forma rettangolare? Erano tutti uguali tra di loro? Cosa avevano di diverso?

Organizzazione delle prove per la scuola primaria e secondaria

Scuola Primaria

Classe 2-3

Classe 4-5

Scuola Secondaria I grado

Classe 1

Classe 2

Classe 3

Organizzazione delle prove

Abilità visuospazialiAbilità visive e spaziali in relazione con abilitàgeometriche

ProblemiCapacità di applicare procedure di risoluzione di problemi

DomandeAcquisizione di conoscenze in funzione dell’età

Es. Domande classe 2-3 scuola primaria

• Quali dei seguenti disegni di oggetti contiene la figura completa del cerchio?

A B C

• 3. Quale tra le seguenti figure non è un rettangolo?

A B C

Es. Domande classe 4-5 scuola primaria

• Cosa è un segmento? a. Una retta con un punto di origine tendente all’infinitob. Una porzione di retta delimitata da due puntic. Una retta senza punto di origine e tendente all’infinito

• Che tipo di triangolo è quello rappresentato nella figura?a. Un triangolo rettangolob. Un triangolo isoscelec. Un triangolo equilatero

Es. domande scuola secondaria• In quale tipo di triangolo altezza, mediana e bisettrice

coincidono per tutti e tre i vertici? (classe I)a. Triangolo rettangolob. Triangolo isoscelec. Triangolo equilatero

• Due rette del piano, entrambe perpendicolari ad una terza retta, come sono tra loro? (classe II) a. Paralleleb. Perpendicolari c. Incidenti

• Il prisma è un solido composto da: (classe III) a. Un numero infinito di parallelogrammib. Tanti parallelogrammi quanti sono i lati del poligono di basec. Un numero doppio di parallelogrammi rispetto ai lati del

poligono di base

Es. Problemi 2-3 scuola primaria

• Osserva la figura:

• Quanti misura il perimetro?

Es. Problemi 4-5 scuola primaria

• Zia Maria ha un orto a forma di triangolo isoscele. Un lato misura 5 m e i due lati uguali misurano 8 m. Quanto misura il perimetro dell’orto?

• Un rettangolo ha l’altezza di 10 cm. La sua base misura il doppio dell’altezza. Calcola il perimetrodel rettangolo

• Disegna due rette che non sono né perpendicolariné parallele

Es. problemi scuola secondaria

• Quanto misura l’area di un quadrato il cui perimetro misura 36 cm? (Classe I)

• Un quadrato ha la diagonale di 11,312 m. Calcola il perimetro. (Classe II)

• Calcola l’area della superficie totale ed il volume di un cubo con uno spigolo di 5 cm. (Classe III)

Abilità visuospaziali nella geometria

Immagina di giocare con dei blocchetti che uniti formano delle figure. Osserva la figura formata con i blocchetti dentro il riquadro e trova quella

composta dagli stessi blocchetti.

a b c

Immagina di ruotare i blocchetti per trovare la figura dentro il riquadro.

a b c

Come vedi la risposta corretta è la b. Fai una crocetta sotto la figura corretta.

Osserva la configurazione dentro il riquadro e trova quella composta dalle stesse figure. Fai una crocetta sotto la figura corretta.

a b c

Nel prossimo esercizio vedrai due figure all’interno di un riquadro.

Il tuo compito è cercare di unirle in modo da riuscire a individuare quale figura formano.

Di seguito ti facciamo vedere un esempio:

Prova a ruotarne una e ad unire le figure

Cerca la figura che deriva dall’unione dei pezzi all’interno del riquadro

a b c

Le due figure formano un quadrato. Prova a fare lo stesso con le figure che seguono

Cerca la figura che deriva dall’unione dei pezzi all’interno

del riquadro

a b c

Immagina un foglio con la stessa forma della figura nel riquadro e immagina di piegare il foglio in corrispondenza delle linee

tratteggiate.

Una volta piegato il foglio immagina di unirlo in tutte le sue parti. Prova ad individuare tra le tre alternative che ti verranno presentate

la forma del foglio piegato ed unito in tutte le sue parti.

Quale tra le tre alternative rappresenta la composizione della figura nel riquadro

a b c

Quale tra le tre alternative rappresenta la composizione della figura nel riquadro

a b c

Osserva con attenzione il cubetto

Conta il numero di cubetti della figura che segue.

La figura è composta da 6 cubetti. Nel prossimo compito dovrai dire quanti cubetti misurano le figure

Osserva il cubetto

Quanti cubetti misura la figura sotto?…….

In questi compiti dovrai cercare una figura semplice dentro una piùcomplessa. Ad esempio, cerca il triangolo a sinistra nella figura di destra e ripassa il contorno con una matita colorata

Hai visto dove si trova il triangolo?

Prova a fare lo stesso con le figure che seguono

Trova la figura semplice nel riquadro di sinistra all’interno di quella complessa di destra e ricalcala con la matita colorata:

In questi compiti dovrai cercare la superficie in cui tutte le figure si intersecano e colorarla con una matita colorata.

Ad esempio le figure sotto hanno in comune lo spazio colorato

Prova a fare lo stesso con le figure che seguono

Colora la superficie in cui tutte le figure si intersecano

Standardizzazione della prova nella scuola primaria

• Campione: 360 bambini:– Classe 2 – 93 bambini di cui 46 maschi e 47 femmine

– Classe 3 – 93 bambini di cui 45 maschi e 48 femmine

– Classe 4 – 69 bambini di cui 41 maschi e 28 femmine

– Classe 5 – 105 bambini di cui 59 maschi e 46 femmine

Risultati scuola primaria – Classi 2-3

0

5

10

15

20

Domande Problemi Visuospaziale

classe 2 classe 3

*

*

*

Risultati scuola primaria - Classi 4-5

0

5

10

15

20

Domande Problemi Visuospaziale

classe 4 classe 5

*

*

Domande – scuola primaria

0

20

40

60

80

100

lessicali proprietà figure

classe 2 classe 3

*

*

Domande – scuola primaria

0

20

40

60

80

100

lessicali proprietà figure

classe 4 classe 5

*

Problemi – scuola primaria

0

20

40

60

80

100

esercizi procedurali strategici

classe 2 classe 3

**

Problemi – scuola primaria

0

20

40

60

80

100

esercizi procedurali strategici

classe 4 classe 5

*

**

Risultati scuola secondaria I Classi 1-2-3

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Domande Problemi Visuospaziale

classe 1 classe 2 classe 3

* *

Obiettivi di potenziamento primaria e secondaria di primo grado

• Obiettivi della sezione conoscenze: – Strategie per imparare: • Il lessico• Proprietà delle figure

• Obiettivi della sezione problemi:– Classificare i problemi e gli esercizi– Comprensione del testo– Categorizzazione- Pianificazione - Automonitoraggio