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Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
Filtri selettivi
1. Butterworth: monotono nella banda passante e nella banda oscura
2. Chebyshev: oscillazione uniforme nella banda passante e monotona nellabanda oscura
3. Ellittico: oscillazione uniforme nella banda passante e nella banda oscura
Queste proprieta si mantengono se il filtro e realizzato con uno numericotramite la trasformazione bilineare
Nota: la distorsione dell’asse frequenziale introdotta dalla trasf. bilineare simanifesta anche nel “mapping” di caratteristiche di ampiezza costanti a tratti -in termini di distorsione della caratteristica di fase associata al filtro (p.e.: filtropassa-basso numerico a fase lineare non ottenibile mediante trasf. bilineare dafiltro passa-basso analogico a fase lineare).
265 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
Esempio di progetto con trasformazione analogico/numerica:fitro numerico di Butterworth
• Definizione per filtri di Butterworth: risposta in ampiezza massimamentepiatta in banda passante
⇓per filtro di ordine N :le prime 2N − 1 derivate di |Ha(jΩ)|2 sono nulle in Ω = 0inoltre: approssimazione e monotona sia in banda passante che oscura
|Ha(jΩ)|2 =1
1 + (jΩ/jΩc)2N
risposta del filtrodi Butterworth
266 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
• dalla fattorizzazione Ha(s)Ha(−s):
⇓
poli di |Ha(s)|2 sono a coppie sp e −sp
⇓
per trovare Ha(s) da |Ha(s)|2 si sceglie un polo da ogni coppia
⇓ per stabilita e causalita ⇓
si scelgono poli del semipiano sinistro
⇓
nel filtro numerico ottenuto per trasf. bilineare:|H(z)|2 ha 2N zeri in z = −1
267 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
Poli
sp = (−1)1/2NjΩc = Ωcj(−1)1/2N︸ ︷︷ ︸j 2N√−1
= exp
j
[π
2+
(2π
2Nk +
π
2N
)]k = 0, . . . , 2N − 1
269 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
(rejϑ
)1/n= [r(cos ϑ + j sin ϑ)]1/n
= r1/n
[cos
ϑ + 2kπ
n+ j sin
ϑ + 2kπ
n
]k = 0, . . . , n− 1
Nel nostro caso:n = 2N , r = 1 e ϑ = π dunque:
(−1)1/2N = cosπ + 2kπ
2N+ j sin
π + 2kπ
2Nk = 0, . . . , 2N − 1 c.v.d.
270 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
Esempio
N = 3 ⇒ 2N = 6
k = 0 : cosπ
6+ j sin
π
6⇒ sp0 complesso
k = 1 : cos36π + j sin
36π = cos
π
2+ j sin
π
2= j ⇒ j · j = −1 ⇒ sp1 reale
k = 2 : cos56π + j sin
56π ⇒ sp2 complesso
k = 2 : cos76π + j sin
76π ⇒ sp3 complesso
k = 4 : cos96π + j sin
96π = cos
32π + j sin
32π = −j ⇒ −j · j = +1 ⇒ sp4 reale
k = 5 : cos116
π + j sin116
π ⇒ sp5 complesso
271 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
z =1 + (T/2)s1− (T/2)s
per s = ±Ωc (cioe j(−1)1/2N = ±1):1± ΩcT/21∓ ΩcT/2
273 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
Nel progetto di filtro di Butterworth:
1. determinazione di poli nel piano s (e non direttamente nelpiano z)
2. “mapping” nel piano z - con la trasf. bilineare - dei poli nelsemipiano sinistro
274 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
Esempio:
Specifiche: filtro numerico passa-basso di Butterworth con modulo della rispo-sta in banda passante costante entro 1 dB per frequenze inferiori a 0.2π e conattenuazione in banda oscura maggiore di 15 dB per frequenze tra 0.3π e π
⇓ (monotono)
Normalizzando a 1 il modulo in banda passante per ω = 0:
Specifiche:20 log10 |H(ej0.2π)| > −1
20 log10 |H(ej0.3π)| 6 −15
da cui partire con il progetto secondo una delle tecniche viste, in particolare:
a. invarianza all’impulso
b. trasformazione bilineare
275 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
Ipotesi di lavoro: effetto di aliasing trascurabile (a progetto concluso si verifi-cano le prestazioni del filtro risultante)
Per comodita: T = 1
1o passo: trasformazione delle specifiche in termini di frequenza analogica ⇒
⇒ 20 log10 |Ha(j0.2π)| > −120 log10 |Ha(j0.3π)| 6 −15
2o passo: dal filtro di Butterworth:
|Ha(jΩ)|2 =1
1 + (Ω/Ωc)2N
Il progetto consiste nell’individuare:Ωc e N che soddisfano specifiche
276 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
In un primo momento: Ωc e N :
10 log10 |Ha(j0.2π)|2 = −1
log10 |Ha(j0.2π)|2 = − 1
10
|Ha(j0.2π)|2 = 10−0.1 =1
100.1
⇓
1 +
(0.2π
Ωc
)2N
= 100.1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
10 log10 |Ha(j0.3π)|2 6 −15
log10 |Ha(j0.3π)|2 = −15
10= −1.5
|Ha(j0.3π)|2 = 10−1.5 =1
101.5
⇓
1 +
(0.3π
Ωc
)2N
= 101.5
⇓Soluzione: N = 5.8858 e Ωc = 0.70474
⇓ N deve essere intero ⇓
277 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
⇓N = 6
arrotondamento per eccesso⇒ non e piu possibilesoddisfare specifiche con segno = sia su BP che suBO, ma si ha un miglioramento delle prestazionisuddiviso tra BP e BO in relazione al valore di Ωc
⇓
Sostituendo N = 6 in specifica su BP:
1 +
(0.2π
Ωc
)2N
= 100.1 ⇒ Ωc = 0.7032
(quindi specifica su BP e soddisfatta esattamente)
⇓
specifica su BO e soddisfatta in eccesso (per filtroanalogico)
⇓riduzione dell’effetto di aliasing sul filtro numerico!
278 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
3o passo: poli (di Ha(s))
Nel piano s: 3 coppie di poli in semipiano σ < 0 (N = 6 ⇒N pari ⇒ no poli su asse reale):
sp1, s∗p1 :− 0.1820± j0.6792
sp2, s∗p2 :− 0.4972± j0.4972
sp3, s∗p3 :− 0.6792± j0.1820
⇓
279 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
4o passo: dalla identificazione dei poli si puoscrivere:
Ha(s) =0.12093
(s2 + 0.3640s + 0.4945)
· 1
(s2 + 0.9945s + 0.4945)
· 1
(s2 + 1.3585s + 0.4945)
con ciascun termine di 2o ordine a denominatore:
(s2 + αks + βk) = (s− spk)(s− s∗pk) k = 1, 2, 3
e (0.12093)−1︸ ︷︷ ︸8.2704
= coefficiente di s6 che, dalla:
Ha(s)Ha(−s) =1
1 + (s/jΩc)2N
risulta essere
(1/jΩc)N = (1/j0.7032)6 (∗)
= −8.2704(∗): con − di Ha(−s) da + → si omette
280 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
A = 0.12093 = (8.2704)−1
⇓espandendo Ha(s) in fratti semplici risulta, per il filtro numericocon zk = eskT = esk:
H(z) =0.2871− 0.4466z−1
1− 0.1297z−1 + 0.6949z−2 +−2.1428 + 1.1454z−1
1− 1.0691z−1 + 0.3699z−2
+1.8558− 0.6304z−1
1− 0.9972z−1 + 0.2570z−2
⇓realizzazione immediata in forma parallela
281 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
Se si usano forme diretta o in cascata, i terminivanno opportunamente combinati. La H(z) tro-vata e:
Risposta in frequenza del filtro Butterworth del se-sto ordine trasformato secondo l’invarianza all’im-pulso.
282 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
Nell’esempio: filtro era sufficientemente limita-to in banda per non avere problemi di aliasing. Senon e cosı, si puo ritentare il progetto con ordi-ne N ′ > N oppure, a parita di N , ritoccando iparametri del filtro.
Disposizione dei poli nel piano s per un filtro But-terworth del sesto ordine
283 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
b. Trasformazione bilineare
1o passo: specifiche su frequenze numeriche devono essere ripor-tate nel caso analogico (corretto mapping di frequenze analogi-che critiche, dal punto di vista della distorsione in frequenza, infrequenze numeriche critiche)
⇓ Ω =2
Ttan(ω/2) ⇓
assumendoT = 1
20 log10
∣∣∣∣Ha
(j2 tan
(0.2π
2
))∣∣∣∣ > −1
20 log10
∣∣∣∣Ha
(j2 tan
(0.3π
2
))∣∣∣∣ 6 −15
284 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
2o passo: in un primo momento risoluzione esatta:
1 +
(Ω
Ωc
)2N
=
100.1 Ω↔ ω = 0.2π101.5 Ω↔ ω = 0.3π
dunque:
1 +
[2 tan(0.1π)
Ωc
]2N
= 100.1 1 +
[2 tan(0.15π)
Ωc
]2N
= 101.5
⇓
N =1
2
log[(101.5 − 1)/(100.1 − 1)]
log[tan(0.15π)/ tan(0.1π)]= 5.30466
⇓ N intero ⇓N = 6
285 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
Usando N = 6 in relazione sulla banda oscura:
1 +
[2 tan(0.15π)
Ωc
]2N
= 101.5 ⇒ Ωc = 0.76622
che soddisfa le specifiche sulla banda passante in eccesso e quellesulla banda oscura esattamente (e ragionevole dal momento checon trasf. bilineare non ci si deve preoccupare dell’aliasing - graziea predistorsione introdotta)
3o passo: poli
Nel piano s: i 2N = 12 poli di |Ha(·)|2 sono distribuiti su circon-ferenza di raggio Ωc = 0.76622
⇒ considerando i 6 poli dei 12 nel semipiano sinistro σ < 0 ⇒286 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
4o passo: si scrive Ha(s):
Ha(s) =0.20238
(s2 + 0.396s + 0.5871)(s2 + 1.083s + 0.5871)
· 1
(s2 + 1.4802s + 0.5871)
con:
• termini del 2o ordine: 3 coppie di poli coniugati
• fattore 0.20238 = coefficiente di s6 dato da:
(Ωc)6 = (0.76622)6
287 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
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⇓applicando la trasformazione bilineare a Ha(s) con T = 1:
H(z) =0.0007378(1 + z−1)6
(1− 1.2686z−1 + 0.7051z−1)
· 1
(1− 1.0106z−1 + 0.3583z−2)
· 1
1− 0.9044z−1 + 0.2156z−2
288 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
Risposta in frequenza del filtro Butterworth del se-sto ordine trasformato con la trasformazione bili-neare.
289 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
I grafici di Modulo e Guadagno (dB) vanno a zero piu rapidamentedel filtro a., perche la trasformazione bilineare fa corrisponderel’asse jΩ intero a C in piano z ⇒ filtro di Butterworth analogicoha s = ∞ come zero di 6o ordine → filtro numerico ha z = −1come zero di sesto ordine. (cioe ω = π ⇒ altissima attenuazionein BO)
290 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
Progetto di filtri numerici di Chebyshev
Con filtri di Butterworth: se specifiche sono date in termini dimassimo errore - p.e. - di approssimazione in BP → possonoessere soddisfatte con una precisione che eccede quella richiestatanto piu quanto piu ci si avvicina a frequenza zero
⇒ metodo piu efficiente (filtri risultanti con ordine inferiore) ⇒distribuzione della precisione di approx. uniformemente in BP oin BO oppure in entrambe
⇓
291 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
⇓approx. con caratteristica di oscillazione (ripple) uniforme (equi-ripple) invece di monotona.
Filtri di Chebishev: oscillazione uniforme in BP e monotona in BO(o viceversa):
|Ha(Ω)|2 =1
1 + ε2V 2N(Ω/Ωc)
con:V : N(x) = cos(N cos−1 x) polinomio di Chebyshev di ordine N
(N = 0: V0(x) = 1; N = 1: V1(x) = cos(cos−1 x) = x; N = 2:V2(x) = cos(2 cos−1 x) = 2x2 − 1...)
292 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
Parametri: ε ← ripple, Ωc ← taglio, N ← per banda oscura
Approssimazione di Chebishev per un filtro passa-basso.
293 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
Poli: su ellisse (definita da CL di raggio aΩc e CH
di raggio bΩc)
Con: a =1
2(α1/N−α−1/N), b =
1
2(α1/N +α−1/N),
α =1
ε+
√1 +
1
ε2
Posizione dei poli per un filtro di Chebishev delterzo ordine (2N = 6 poli).
294 A cura di
M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
Con metodo a. (inv. impulso): N = 4 (stesse specifi-che di prima)
Risposta in frequenza di un filtro passa-basso di Che-bishev del quarto ordine trasformato usando l’inva-rianza all’impulso. (Ωc = 0.2π, ε = 0.50885)
295 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
Metodo b.: trasf. bilineare
Ωc = 2 tan(0.2π/2), ε = 0.50885; Nmin = 4
Risposta in frequenza di un filtro passa-basso di
Chebyshev del quarto ordine trasformato usando la
trasformazione bilineare.
296 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
Approssimazione ad oscillazione uniforme sia in banda passante che in bandaoscura.
297 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
Progetto di filtri ellittici
Con filtri di Chebyshev: distribuendo l’er-rore uniformemente nell’intera BP si ridu-ce l’ordine del filtro necessario al soddisfa-cimento delle specifiche rispetto al caso diButterworth
⇓ulteriore miglioramento: distribuendo l’er-rore della BO uniformemente nella banda
con: oscillazione uniforme sia in BP cheBO:
298 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi
Progetto di filtri numerici IIR da filtri analogici
Si puo dim. che porta alla migliore approx per un dato ordine N
del filtro, cioe per valori di Ωp, δ1 e δ2, la banda di transizione:
Ωs − Ωp
e la piu piccola possibile (pendenza alta)
|Ha(jΩ)|2 =1
1 + ε2 U 2N(Ω)︸ ︷︷ ︸(∗)
(∗): UN(Ω) = funzione ellittica di Jacobi
299 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi