Filtri digitali IIRFiltri digitali IIR

IIR - Linearità di faseIIR - Linearità di fase

Esiste un legame “fase linere” “risposta impulsiva” di simmetria o antisimmetria di h(n).Ma h(n) è infinita Un IIR a fase linare non è realizzabile

Se h(n) è simmetrica vale la seguente proprietà:

H(z-1) = zN-1 H(z)

ovvero tanto gli zeri quanto i poli di H(z) devono essere speculari rispetto il cerchio unitario ( INSTABILITÀ)

Re

ImZ-plane ej

IIR - Linearità di fase (approx.)IIR - Linearità di fase (approx.)

Si approssima la fase lineare solo in banda passanteImpiego di un equalizzatore di fase (filtro ALL-PASS)

Si rinuncia alla “realizzabilità” (non applicabile nel caso di filtraggi in tempo reale)Impiego della tecnica del TIME-REVERSAL

Mod. Fase

T.R. H(z) T.R. H(z)

x(n) x(-n) f(n) f(-n) y(-n)

X(z) X(z-1) H(z)X(z-1) H(z-1)X(z) H(z)H(z-1)X(z)

Filtri IIR - ProgettoFiltri IIR - Progetto

Ottimizzazione

procedimenti iterativi per definire i coefficienti che minimizzano un certo errore

Scelta diretta di poli e zeri in Z. Trasformazione da prototipi analogici

Butterworth Chebyshev (1o e 2o tipo) Elittici

Si deve definire una “mappatura da s z che mantenga le proprietà del filtro nonché la stabilità.

Filtri IIR - ProgettoFiltri IIR - Progetto

Si parte da un progetto analogico

M

i

i

ii

N

j

j

jjNj

jj

Mi

ii

dt

txdb

dt

tyda

sa

sbsH

00

0

0 )()()(

E lo si riporta in digitale

M

ii

N

jjNj

jj

Mi

ii

inxbjnyaza

zbzH

00

0

0 )()()(

Cercando di rispettare due regole: L’asse j del piano S venga mappato sul cerchio unitario ei

in Z (uguale risposta in frequenza) Il semipiano sinistro di S venga mappato internamente al

cerchio unitario in Z (stabilità)

Trasf. Differenziali Differenze finiteTrasf. Differenziali Differenze finite

T

inyinynyny

nyny

nyii

T

T

)()()]()1([

)]1()([

)]([1

1

1

)]([)]([ 11 nyny ii

M

jii

N

jjj nxbnya00

)()(

Forward difference

Backward difference

Generalized differences

Trasf. Differenziali Differenze finiteTrasf. Differenziali Differenze finite

M

jii

N

jjj nxbnya00

)()(

M

i

i

ii

N

j

j

jj dt

xdb

dt

yda

00

M

iii

Nj

jj sbsa00

M

iii

Nj

jj zbza00

Eq. differenziali

Trasf. Di Laplace

Trasformazione adottata

Differenze finite

Backward difference (1)Backward difference (1)

T

nxnx

dt

dx )1()(

T

zs

11 sT

z

1

1

)(1

)(1

zXT

zsXs

ssH )()(txdt

tdx )(

T

zzH

11)(

)(nxT

nxnx

T

x )1()(

Backward difference (2)Backward difference (2)

TjeTj

Tj

Tjzjs

arctg212

1

1

11

2

1

1

1

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

ina

ry P

art

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

S-plane Z-plane

Backward difference (2)Backward difference (2)

Considerazioni: Mantiene la stabilita’ La risposta in frequenza risulta alterata

tanto piu’ quanto maggiore e T tanto piu’ verso le alte frequenze la risposta in frequenza risulta approssimata solo alle basse

frequenze

Forward difference (1)Forward difference (1)

T

nxnx

dt

dx )()1(

T

zs

1 sTz 1

)(1

)( zXT

zsXs

ssH )()(txdt

tdx )(

T

zzH

1)(

)(nxT

nxnx

T

x )()1(

Backward difference (2)Backward difference (2)

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

S-plane Z-plane

Tjzjs 1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Part

Imag

ina

ry P

art

Forward difference (2)Forward difference (2)

Considerazioni: NON Mantiene la stabilita’ La risposta in frequenza risulta alterata

tanto piu’ quanto maggiore e T tanto piu’ verso le alte frequenze la risposta in frequenza risulta approssimata solo alle basse

frequenze

Generalized difference (1)Generalized difference (1)

ssH )()(txdt

tdx )(

T

zzzH

iiii

)()(nx

T

inxinx

T

x ii )()(

T

inxinx

dt

dx ii )()(

)()( zXT

zzsXs

iiii

T

zzs

iiii

Generalized difference (2)Generalized difference (2)

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

S-plane Z-plane

)sen(2)( 11 Tjees iiiTiTjiTj

iiT

Tjez

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Real Part

Imag

ina

ry P

art

1per 0 ii

Generalized difference (3)Generalized difference (3)

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

S-plane Z-plane

)sen(2)( 11 Tjees iiiTiTjiTj

iiT

Tjez

-3 -2 -1 0 1

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real Part

Imag

ina

ry P

art

2per 0 ii

Generalized difference (4)Generalized difference (4)

Considerazioni (personali) è una trasformata “strana” solo una parte dell’asse jΩ viene mappato sul cerchio unitario

la legge di mappatura puo’ portare a piu’ soluzioni la legge di mappatura inversa potrebbe non essere monotona (si

deve operare una scelta particolare di αi

ad ogni polo in s corrispondono piu’ poli in z di cui a coppie uno dentro ed uno fuori dal cerchio unitario

se z’ è una soluzione lo è anche -1/z’ applicata direttamente NON mantiene la stabilità

si puo’ pensare di “stabilizzare” il filtro riportando I poli a con modulo maggiore di 1 in 1/z

Trasformata bilineare (1)Trasformata bilineare (1)

1

1

1

12

z

z

Ts

sT

sTz

2

2

ejzs j

-2/T

Trasformata bilineare (2)Trasformata bilineare (2)

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

S-plane Z-plane

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

ina

ry P

art

12

2

zjT

jTz js

1

1 0

z

z

Trasformata bilineare (3)Trasformata bilineare (3)

2tan22

1

1222

22

Tj

ee

ee

Te

e

Tj

jj

jj

j

j

2tan

2 T

Trasformata bilineare (4)Trasformata bilineare (4)

Considerazioni E semplicemente una trasformata che gode di opportune

proprieta’ mappa l’asse jΩ sul cerchio unitario mantiene la stabilita’

La forma della risposta in frequenza risulta “distorta” si deve applicare un pre-warping alle caratteristiche del filtro

Il T impiegato nella trasformata bilineare non deve per forza coincidere con il periodo di campionamento del segnale digitale

Risposta impulsiva invariante (1)Risposta impulsiva invariante (1)

)(')()()(

)(')('nThnh

nhzH

thsH

)()()(')(' 100

tuecthds

csH td

i

N

ii

iN

ii

)()()(' 10

tuecnTh nTdi

N

ii

1

00

1

0

0 00

1

)(')(

ze

czec

zecznThzH

Tdi

N

i

nTdni

N

i

nnTdi

N

inn

n

i

i

i

Tdi

iezds Solo per i poli

Risposta impulsiva invariante (2)Risposta impulsiva invariante (2)

ejzs j/T

/T

TmT

Tj ejjHT

zH Tl

le

02

1

)( 2

Tsez Applicato solamente ai poli di H(s)

Per evitare l’aliasing H(j) =0 per || > /T