Post on 19-Mar-2020
Progettazione di strutture in c.a.
SLU per taglio nelle travi
Maurizio Orlando Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
TRAVE IN SPESSORE
Travi
TRAVE IN SPESSORE
Maurizio Orlando Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
4.1.6.1.1-NTC Armatura trasversale minima
1 sezione complessiva delle staffe non inferiore ad A = 1 5 b mm2/m essendo1. sezione complessiva delle staffe non inferiore ad Ast = 1,5 b mm2/m essendob lo spessore minimo dell’anima in millimetri(equivale a imporre Ast / s ≥ 0,0015 b; ad es. per b = 300 mm e staffe φ8 a due bracci
2. almeno tre staffe al metro (s ≤ 333 mm)
si ottiene Ast / s ≥ (0,0015 ⋅ 300) = 0,45 e s ≤ (100 / 0,45) = 222 mm)
( )
3. passo non superiore a 0,8 volte l’altezza utile della sezione
I i l il 50% d ll’ t i il t li dIn ogni caso almeno il 50% dell’armatura necessaria per il taglio deve esserecostituita da staffe.
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4 6 2 1 Li i i i di
Travi
7.4.6.2.1 Limitazioni di armatura
staffeAst ≥ 1,5 b mm2/m
p ≤ 333 mmp ≤ 333 mmp ≤ 0,8 d
s ≤ 133 mm
Ast ≥ 0,5 Ataglio
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Metodo del traliccio ad inclinazione variabile [traliccio dove
Travi
Metodo del traliccio ad inclinazione variabile [traliccio dovel’inclinazione dei puntoni è variabile tra 21.8° (cot θ = 2.5) e 45° (cot θ =1.0)]
Traliccio di Mörsch
biella compressa cls C
45° 45°
Traliccio ad inclinazione variabile
A
P∆
Cx asta tesa
V Traliccio ad inclinazione variabile
1 ≤ cotg θ ≤ 2,545° ≥ θ ≥ 21 8°
P CVV
45° ≥ θ ≥ 21,8°
VVMaurizio Orlando Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
(4 1 19) NTC Resistenza a taglio trazione (associata alla resistenza a
Travi
(4.1.19)-NTC Resistenza a taglio-trazione (associata alla resistenza atrazione delle armature trasversali)
V R f (A / ) 0 9 d ( t t θ)VRsd = Rsd senα = fyd (Asw / s) 0.9 d (cotg α + cotg θ) senα
passo ppasso p
Rsd V
Vpasso p
V
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(4 1 19)-NTC Resistenza a taglio-compressione (associata alla resistenza a
Travi
(4.1.19)-NTC Resistenza a taglio-compressione (associata alla resistenza acompressione delle bielle di calcestruzzo)
passo p
Rcd
V
p sen θV
VRcd = Rcd sen θ = αc f’cd bw 0,9 d (cotg α + cotg θ) / (1 + cotg2 θ)
passo p
VRcd Rcd sen θ αc f cd bw 0,9 d (cotg α cotg θ) / (1 cotg θ)f’cd = 0,5 fcd (resistenza a compressione ridotta del calcestruzzo d’anima)αc: coefficiente che tiene conto della presenza di una tensione dicompressione σcp
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Travi
La resistenza al taglio della trave è la minore tra la resistenza ataglio-trazione e quella a taglio-compressione:taglio trazione e quella a taglio compressione:
VRd = min (VRsd, VRcd) (4.1.20-NTC)
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Dati del problema: dimensioni della sezione armature verticali
Elementi armati a taglio – Pb. di Verifica: Calcolo del taglio resistente
Dati del problema: dimensioni della sezione, armature verticali(staffe), resistenze dei materiali
1 i li l i t t li i1. si uguaglia la resistenza a taglio-compressionecon quella a taglio-trazione e si ricava θ:
fAθ ydsw2
)' f( sbθsen
cdcw
ydsw2
α=
α= 90°Collasso simultaneoV
RdV
Rdc0,50
f’ cdbw z
A
B
Collasso simultaneo
VRds
0,34Collassostaffe
0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 cot θ
minimasws
AC
θ0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 cot
45,0° 33,7° 26,5° 21,8° θ
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Elementi armati a taglio – Pb. di Verifica: Calcolo del taglio resistente
Dati del problema: dimensioni della sezione, armature verticali(staffe), resistenze dei materiali
2. si confronta cot θ con i valori limite del campo di validità
• se 1 ≤ cot θ ≤ 2 5 il taglio resistente si calcola utilizzando indifferentemente• se 1 ≤ cot θ ≤ 2,5, il taglio resistente si calcola utilizzando indifferentementel’espressione di VRd,max o di VRd,s
t θ > 2 5 (θ < 21 80°) il ll i l t i i bi ll• se cot θ > 2,5 (θ < 21,80 ) il collasso avviene lato acciaio con bielle compresseintegre; in questo caso il taglio resistente è dato dalla resistenza a taglio-trazionecalcolata assumendo cot θ = 2,5
0,50VRd A
• se cot θ < 1, occorreridimensionare la sezione o
V Rd,max0,50
VRd,s
VRd
f’cd bw zA
B
diminuire il quantitativo di armaturetrasversali
Rd,s
minimasws
AC
cot θ
s
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Elementi armati a taglio – ESEMPI: VERIFICA
Calcolo della resistenza a taglio date la geometria e la meccanica di unasezione rettangolare
Dimensioni geometrichebw = 200 mm, h = 600 mm, d = 550 mm,z = 500 mmz = 500 mm
Armaturestaffe erticali di diametro 8 mm a 2 bracci
A’a
staffe verticali di diametro 8 mm a 2 bracci:Asw = 100,5 mm2, s = 100 mm
600550
Materialiacciaio B450C:
fyd = 391 N/mm2
staffe Ø8/100
yd
calcestruzzo C28/35:fcd = 15,87 N/mm2; fcd = 7,93
200Aa
cd 5,8 / cd ,93
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1 calcolo di θ (dall’uguaglianza della resistenza a taglio trazione e a taglio
Elementi armati a taglio – ESEMPI: VERIFICA
1. calcolo di θ (dall uguaglianza della resistenza a taglio-trazione e a taglio-compressione, rottura contemporanea dell’acciaio e del cls):
0 248391100,5fAθi ydsw2 ⋅ 1 7420,248-1θsin-1θ cotg
2
0,2487,931100200
391100,5)' f(αsb
θsincdcw
ydsw2 =⋅⋅⋅
== 1,7420,248θsin
θ cotg 2 ===
2. confronto con i valori limite del campo di validità: risulta 1 ≤ cot θ = 1,742 ≤2,5
3. calcolo del taglio resistente (si può usare indifferentementel’espressione di V oppure di V )l’espressione di VRd,s oppure di VRd,max)
N3422631,742391500100
100,5θcotfzs
AV ydsw
Rsd =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=100s
N3423921/1,7421,742
7,93500200tanθcotθ
' f z b αV cdwcRcd =
+⋅⋅
=+
=342 kN
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Travi
Problema di progetto
0 50
0,60
V
Problema di progetto
0,40
0,50
b z)
V
0,30
cd/ (
f' cd
b
V / (f’ b z) =
0 10
0,20V Rc VRcd / (f cd b z) =
= cotg θ / (1 + cotg2 θ) per α = 90°
0,00
0,10 per α 90
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
cot θ
V i i d ll i t t li i l’i li i d ll bi ll
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Variazione della resistenza a taglio-compressione con l’inclinazione delle bielle
Travi
VEd,1 / (f’cd b z)
0 50
0,60
0,40
0,50
b z)
VEd,2 / (f’cd b z)
0,30
cd/ (
f' cd
b
V / (f’ b z)
0 10
0,20V Rc VEd,3 / (f cd b z)
0,00
0,10
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
cot θ
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Travi
VRsd / (f’cd b z) = [fyd (Asw / s) / (f’cd b)] cotg θ per α = 90°
(A / )0,70
0,80
(Asw / s)3 (Asw / s)2
VV
0,50
0,60
b z) V
0 30
0,40
0,50
cd/ (
f' cd
b
(Asw / s)10,20
0,30V Rc
0,00
0,10
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
cot θVariazione della resistenza a taglio-trazione con l’inclinazione delle bielle e per
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diversi quantitativi di armatura trasversale (α = 90°, staffe)
Travi
0 50
0,60
0,40
0,50
b z)
VEd / (f’cd b z)
0,30
cd/ (
f' cd
b
0 10
0,20V Rc
0,00
0,10
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
cot θ
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Travi
VRsd = VEd
0 50
0,60
0,40
0,50
b z)
VEd / (f’cd b z)
0,30
cd/ (
f' cd
b
0 10
0,20V Rc
20,00
0,10
cot θ
20 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
cot θ
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Travi
0 50
0,60
(A / s)0,40
0,50
b z)
VEd / (f’cd b z)
(Asw / s)1
0,30
cd/ (
f' cd
b
0 10
0,20V Rc
20,00
0,10co
t θ1
cot θ
20 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
cot θ
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Travi
0 50
0,60
0,40
0,50
b z)
VEd / (f’cd b z)
0,30
cd/ (
f' cd
b
0 10
0,20V Rc
20,00
0,10
cot θ
3
cot θ
20 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
cot θ
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Travi
0 50
0,60
0,40
0,50
b z)
VEd / (f’cd b z)
0,30
cd/ (
f' cd
b
0 10
0,20V Rc
20,00
0,10
cot θ
2
cot θ
1
cot θ
3
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
cot θ
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Travi
0 50
0,60
0,40
0,50
b z)
0,30
cd/ (
f' cd
b
V / (f’ b z)
0 10
0,20V Rc VEd / (f cd b z)
0,00
0,10
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
cot θ
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Travi
0 50
0,60
0,40
0,50
b z)
0,30
cd/ (
f' cd
b
VEd / (f’cd b z)
0 10
0,20V Rc
0,00
0,10
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
cot θ
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Progetto delle staffe di una trave in spessore
Travi
Taglio sollecitanteV = 132 kN
Progetto delle staffe di una trave in spessore
VEd = 132 kN
Dimensioni geometriche (sezione rettangolare)g ( g )bw = 550 mm, h = 220 mm, d = 180 mm,z = 150 mm (dal calcolo di x/d a flessione)
Materialiacciaio B450C:acciaio B450C:
fyd = 391 N/mm2
calcestruzzo C25/30:fck = 25 N/mm2 fcd = 14,16 N/mm2 f’cd = 7,08 N/mm2
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1. si calcola θ uguagliando il taglio sollecitante alla resistenza a taglio-
Travi
compressione
°=⋅
== 13,4351505507 08
1320002arcsen21
b' f2Varcsen
21θ Ed
da cui cot θ = 4,19 > 2,5
⋅⋅,
1505507,082zb' f2 wcd
VRdV
Rd max0,50
f ’cdbw z
α = 90°A
Collasso simultaneo
Rd,max
VRd,s
0,34
f cdbw zB Collasso
staffe(1) (2)
(3)(4)
,
C
(4)
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 cot θ 4,1945,0° 33,7° 26,5° 21,8° θ
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Travi
2. essendo cot θ > 2,5 si calcola l’armatura a taglio ponendo cot θ = 2,5ed invertendo la formula della resistenza a taglio-trazione:
/mmmm0,9132000VA 2Edsw === ,2,5391150θcotfzs ywd ⋅⋅⋅⋅
che può essere soddisfatta con staffe a 2 bracci φ 8/100 mm(1,00 mm2/mm = 10 cm2/m).
OCCORRE APPLICARE LA REGOLA DELLA TRASLAZIONE PEROCCORRE APPLICARE LA REGOLA DELLA TRASLAZIONE PERDEFINIRE LA LUNGHEZZA DELLE ARMATURE LONGITUDINALI
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Travi
O
Equilibrio alla rotazione intorno a O:
V (l + z cotg θ) - V (z cotg θ) / 2 – V (cotg α) z / 2 – T z = 0
V l + V (z cotg θ) / 2 – V (cotg α) z / 2 – T z = 0
T = V [ l + z (cotg θ – cotg α) 2 ] / z = V [ l + al ] / z dove al = z (cotg θ – cotg α) / 2T V [ l z (cotg θ cotg α) 2 ] / z V [ l al ] / z dove al z (cotg θ cotg α) / 2
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Travi
4.1.2.1.3.2-NTC
Le armature longitudinali, dimensionate in base alle sollecitazionig ,flessionali, dovranno essere prolungate di una misura pari a:al = 0,9 d (ctg θ -ctg α) / 2 ≥ 0
(il massimo valore di al si ottiene per ctg θ = 2,5 e ctg α = 0 (staffe verticali): al,max =0,9 d x 2,5 / 2 = 1,125 d)
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Travi
0,45 d ≤ a1 = z (cot θ - cot α) / 2 ≤ 1,125 d , 1 ( ) ,
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Elementi armati a taglio – RIEPILOGO
VERIFICA)' f( sb
fAθsen
cdcw
ydsw2
α=
1 ≤ cotg θ ≤ 2,5 ⇒ calcolo di VRdc o VRds
cotg θ > 2 5 calcolo di VRd con cotg θ = 2 5cotg θ > 2,5 calcolo di VRds con cotg θ 2,5
cotg θ < 1 non accettabile secondo EC2
PROGETTOz)b'f(α
2Varcsen21θ Ed=
1 ≤ cotg θ ≤ 2,5 calcolo Asw/s dall’espressione di VRds
z)b'f(α2 wcdc
cotg θ > 2,5 calcolo Asw/s dall’espressione di VRds con cotg θ = 2,5
cotg θ < 1 non accettabile secondo EC2cotg θ < 1 non accettabile secondo EC2
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