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Progettazione di strutture in c.a.

SLU per taglio nelle travi

Maurizio Orlando Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze

TRAVE IN SPESSORE

Travi

TRAVE IN SPESSORE


Travi

4.1.6.1.1-NTC Armatura trasversale minima

1 sezione complessiva delle staffe non inferiore ad A = 1 5 b mm2/m essendo1. sezione complessiva delle staffe non inferiore ad Ast = 1,5 b mm2/m essendob lo spessore minimo dell’anima in millimetri(equivale a imporre Ast / s ≥ 0,0015 b; ad es. per b = 300 mm e staffe φ8 a due bracci

2. almeno tre staffe al metro (s ≤ 333 mm)

si ottiene Ast / s ≥ (0,0015 ⋅ 300) = 0,45 e s ≤ (100 / 0,45) = 222 mm)

( )

3. passo non superiore a 0,8 volte l’altezza utile della sezione

I i l il 50% d ll’ t i il t li dIn ogni caso almeno il 50% dell’armatura necessaria per il taglio deve esserecostituita da staffe.


4 6 2 1 Li i i i di

Travi

7.4.6.2.1 Limitazioni di armatura

staffeAst ≥ 1,5 b mm2/m

p ≤ 333 mmp ≤ 333 mmp ≤ 0,8 d

s ≤ 133 mm

Ast ≥ 0,5 Ataglio


Metodo del traliccio ad inclinazione variabile [traliccio dove

Travi

Metodo del traliccio ad inclinazione variabile [traliccio dovel’inclinazione dei puntoni è variabile tra 21.8° (cot θ = 2.5) e 45° (cot θ =1.0)]

Traliccio di Mörsch

biella compressa cls C

45° 45°

Traliccio ad inclinazione variabile

A

P∆

Cx asta tesa

V Traliccio ad inclinazione variabile

1 ≤ cotg θ ≤ 2,545° ≥ θ ≥ 21 8°

P CVV

45° ≥ θ ≥ 21,8°

VVMaurizio Orlando Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze

(4 1 19) NTC Resistenza a taglio trazione (associata alla resistenza a

Travi

(4.1.19)-NTC Resistenza a taglio-trazione (associata alla resistenza atrazione delle armature trasversali)

V R f (A / ) 0 9 d ( t t θ)VRsd = Rsd senα = fyd (Asw / s) 0.9 d (cotg α + cotg θ) senα

passo ppasso p

Rsd V

Vpasso p

V


(4 1 19)-NTC Resistenza a taglio-compressione (associata alla resistenza a

Travi

(4.1.19)-NTC Resistenza a taglio-compressione (associata alla resistenza acompressione delle bielle di calcestruzzo)

passo p

Rcd

V

p sen θV

VRcd = Rcd sen θ = αc f’cd bw 0,9 d (cotg α + cotg θ) / (1 + cotg2 θ)

passo p

VRcd Rcd sen θ αc f cd bw 0,9 d (cotg α cotg θ) / (1 cotg θ)f’cd = 0,5 fcd (resistenza a compressione ridotta del calcestruzzo d’anima)αc: coefficiente che tiene conto della presenza di una tensione dicompressione σcp


Travi

La resistenza al taglio della trave è la minore tra la resistenza ataglio-trazione e quella a taglio-compressione:taglio trazione e quella a taglio compressione:

VRd = min (VRsd, VRcd) (4.1.20-NTC)


Dati del problema: dimensioni della sezione armature verticali

Elementi armati a taglio – Pb. di Verifica: Calcolo del taglio resistente

Dati del problema: dimensioni della sezione, armature verticali(staffe), resistenze dei materiali

1 i li l i t t li i1. si uguaglia la resistenza a taglio-compressionecon quella a taglio-trazione e si ricava θ:

fAθ ydsw2

)' f( sbθsen

cdcw

ydsw2

α=

α= 90°Collasso simultaneoV

RdV

Rdc0,50

f’ cdbw z

A

B

Collasso simultaneo

VRds

0,34Collassostaffe

0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 cot θ

minimasws

AC

θ0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 cot

45,0° 33,7° 26,5° 21,8° θ


Elementi armati a taglio – Pb. di Verifica: Calcolo del taglio resistente

Dati del problema: dimensioni della sezione, armature verticali(staffe), resistenze dei materiali

2. si confronta cot θ con i valori limite del campo di validità

• se 1 ≤ cot θ ≤ 2 5 il taglio resistente si calcola utilizzando indifferentemente• se 1 ≤ cot θ ≤ 2,5, il taglio resistente si calcola utilizzando indifferentementel’espressione di VRd,max o di VRd,s

t θ > 2 5 (θ < 21 80°) il ll i l t i i bi ll• se cot θ > 2,5 (θ < 21,80 ) il collasso avviene lato acciaio con bielle compresseintegre; in questo caso il taglio resistente è dato dalla resistenza a taglio-trazionecalcolata assumendo cot θ = 2,5

0,50VRd A

• se cot θ < 1, occorreridimensionare la sezione o

V Rd,max0,50

VRd,s

VRd

f’cd bw zA

B

diminuire il quantitativo di armaturetrasversali

Rd,s

minimasws

AC

cot θ

s


Elementi armati a taglio – ESEMPI: VERIFICA

Calcolo della resistenza a taglio date la geometria e la meccanica di unasezione rettangolare

Dimensioni geometrichebw = 200 mm, h = 600 mm, d = 550 mm,z = 500 mmz = 500 mm

Armaturestaffe erticali di diametro 8 mm a 2 bracci

A’a

staffe verticali di diametro 8 mm a 2 bracci:Asw = 100,5 mm2, s = 100 mm

600550

Materialiacciaio B450C:

fyd = 391 N/mm2

staffe Ø8/100

yd

calcestruzzo C28/35:fcd = 15,87 N/mm2; fcd = 7,93

200Aa

cd 5,8 / cd ,93


1 calcolo di θ (dall’uguaglianza della resistenza a taglio trazione e a taglio

Elementi armati a taglio – ESEMPI: VERIFICA

1. calcolo di θ (dall uguaglianza della resistenza a taglio-trazione e a taglio-compressione, rottura contemporanea dell’acciaio e del cls):

0 248391100,5fAθi ydsw2 ⋅ 1 7420,248-1θsin-1θ cotg

2

0,2487,931100200

391100,5)' f(αsb

θsincdcw

ydsw2 =⋅⋅⋅

== 1,7420,248θsin

θ cotg 2 ===

2. confronto con i valori limite del campo di validità: risulta 1 ≤ cot θ = 1,742 ≤2,5

3. calcolo del taglio resistente (si può usare indifferentementel’espressione di V oppure di V )l’espressione di VRd,s oppure di VRd,max)

N3422631,742391500100

100,5θcotfzs

AV ydsw

Rsd =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=100s

N3423921/1,7421,742

7,93500200tanθcotθ

' f z b αV cdwcRcd =

+⋅⋅

=+

=342 kN


Travi

Problema di progetto

0 50

0,60

V

Problema di progetto

0,40

0,50

b z)

V

0,30

cd/ (

f' cd

b

V / (f’ b z) =

0 10

0,20V Rc VRcd / (f cd b z) =

= cotg θ / (1 + cotg2 θ) per α = 90°

0,00

0,10 per α 90

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

cot θ

V i i d ll i t t li i l’i li i d ll bi ll


Variazione della resistenza a taglio-compressione con l’inclinazione delle bielle

Travi

VEd,1 / (f’cd b z)

0 50

0,60

0,40

0,50

b z)

VEd,2 / (f’cd b z)

0,30

cd/ (

f' cd

b

V / (f’ b z)

0 10

0,20V Rc VEd,3 / (f cd b z)

0,00

0,10

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

cot θ


Travi

VRsd / (f’cd b z) = [fyd (Asw / s) / (f’cd b)] cotg θ per α = 90°

(A / )0,70

0,80

(Asw / s)3 (Asw / s)2

VV

0,50

0,60

b z) V

0 30

0,40

0,50

cd/ (

f' cd

b

(Asw / s)10,20

0,30V Rc

0,00

0,10

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

cot θVariazione della resistenza a taglio-trazione con l’inclinazione delle bielle e per


diversi quantitativi di armatura trasversale (α = 90°, staffe)

Travi

0 50

0,60

0,40

0,50

b z)

VEd / (f’cd b z)

0,30

cd/ (

f' cd

b

0 10

0,20V Rc

0,00

0,10

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

cot θ


Travi

VRsd = VEd

0 50

0,60

0,40

0,50

b z)

VEd / (f’cd b z)

0,30

cd/ (

f' cd

b

0 10

0,20V Rc

20,00

0,10

cot θ

20 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

cot θ


Travi

0 50

0,60

(A / s)0,40

0,50

b z)

VEd / (f’cd b z)

(Asw / s)1

0,30

cd/ (

f' cd

b

0 10

0,20V Rc

20,00

0,10co

t θ1

cot θ

20 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

cot θ


Travi

0 50

0,60

0,40

0,50

b z)

VEd / (f’cd b z)

0,30

cd/ (

f' cd

b

0 10

0,20V Rc

20,00

0,10

cot θ

3

cot θ

20 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

cot θ


Travi

0 50

0,60

0,40

0,50

b z)

VEd / (f’cd b z)

0,30

cd/ (

f' cd

b

0 10

0,20V Rc

20,00

0,10

cot θ

2

cot θ

1

cot θ

3

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

cot θ


Travi

0 50

0,60

0,40

0,50

b z)

0,30

cd/ (

f' cd

b

V / (f’ b z)

0 10

0,20V Rc VEd / (f cd b z)

0,00

0,10

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

cot θ


Travi

0 50

0,60

0,40

0,50

b z)

0,30

cd/ (

f' cd

b

VEd / (f’cd b z)

0 10

0,20V Rc

0,00

0,10

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

cot θ


Progetto delle staffe di una trave in spessore

Travi

Taglio sollecitanteV = 132 kN

Progetto delle staffe di una trave in spessore

VEd = 132 kN

Dimensioni geometriche (sezione rettangolare)g ( g )bw = 550 mm, h = 220 mm, d = 180 mm,z = 150 mm (dal calcolo di x/d a flessione)

Materialiacciaio B450C:acciaio B450C:

fyd = 391 N/mm2

calcestruzzo C25/30:fck = 25 N/mm2 fcd = 14,16 N/mm2 f’cd = 7,08 N/mm2


1. si calcola θ uguagliando il taglio sollecitante alla resistenza a taglio-

Travi

compressione

°=⋅

== 13,4351505507 08

1320002arcsen21

b' f2Varcsen

21θ Ed

da cui cot θ = 4,19 > 2,5

⋅⋅,

1505507,082zb' f2 wcd

VRdV

Rd max0,50

f ’cdbw z

α = 90°A

Collasso simultaneo

Rd,max

VRd,s

0,34

f cdbw zB Collasso

staffe(1) (2)

(3)(4)

,

C

(4)

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 cot θ 4,1945,0° 33,7° 26,5° 21,8° θ


Travi

2. essendo cot θ > 2,5 si calcola l’armatura a taglio ponendo cot θ = 2,5ed invertendo la formula della resistenza a taglio-trazione:

/mmmm0,9132000VA 2Edsw === ,2,5391150θcotfzs ywd ⋅⋅⋅⋅

che può essere soddisfatta con staffe a 2 bracci φ 8/100 mm(1,00 mm2/mm = 10 cm2/m).

OCCORRE APPLICARE LA REGOLA DELLA TRASLAZIONE PEROCCORRE APPLICARE LA REGOLA DELLA TRASLAZIONE PERDEFINIRE LA LUNGHEZZA DELLE ARMATURE LONGITUDINALI


Travi

O

Equilibrio alla rotazione intorno a O:

V (l + z cotg θ) - V (z cotg θ) / 2 – V (cotg α) z / 2 – T z = 0

V l + V (z cotg θ) / 2 – V (cotg α) z / 2 – T z = 0

T = V [ l + z (cotg θ – cotg α) 2 ] / z = V [ l + al ] / z dove al = z (cotg θ – cotg α) / 2T V [ l z (cotg θ cotg α) 2 ] / z V [ l al ] / z dove al z (cotg θ cotg α) / 2


Travi

4.1.2.1.3.2-NTC

Le armature longitudinali, dimensionate in base alle sollecitazionig ,flessionali, dovranno essere prolungate di una misura pari a:al = 0,9 d (ctg θ -ctg α) / 2 ≥ 0

(il massimo valore di al si ottiene per ctg θ = 2,5 e ctg α = 0 (staffe verticali): al,max =0,9 d x 2,5 / 2 = 1,125 d)


Travi

0,45 d ≤ a1 = z (cot θ - cot α) / 2 ≤ 1,125 d , 1 ( ) ,


Elementi armati a taglio – RIEPILOGO

VERIFICA)' f( sb

fAθsen

cdcw

ydsw2

α=

1 ≤ cotg θ ≤ 2,5 ⇒ calcolo di VRdc o VRds

cotg θ > 2 5 calcolo di VRd con cotg θ = 2 5cotg θ > 2,5 calcolo di VRds con cotg θ 2,5

cotg θ < 1 non accettabile secondo EC2

PROGETTOz)b'f(α

2Varcsen21θ Ed=

1 ≤ cotg θ ≤ 2,5 calcolo Asw/s dall’espressione di VRds

z)b'f(α2 wcdc

cotg θ > 2,5 calcolo Asw/s dall’espressione di VRds con cotg θ = 2,5

cotg θ < 1 non accettabile secondo EC2cotg θ < 1 non accettabile secondo EC2


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