CONVEGNO MATHESIS VERONA prof. Sandro Pistori

LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO

CONVEGNO MATHESIS

Liceo “G. GALILEI” - Verona

Venerdì 10 Aprile 2015

CONVEGNO MATHESIS VERONA prof. Sandro Pistori

Perché…

Assenza di ogni riferimento alla geometria analitica dello spazio nel

quadri di Mondrian

La geometria analitica dello spazio è una delle novità principali

previste dalle indicazioni nazionali nel riordino dei licei

Permette di utilizzare l'algebra lineare e vettoriale

É uno degli argomenti peggio (bis)trattati nei libri di testo

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Dalle indicazioni nazionali…

PRIMO BIENNIO - algebra

[Lo studente] Studierà i concetti di vettore, di dipendenza e indipendenza

lineare, di prodotto scalare e vettoriale nel piano e nello spazio nonché gli

elementi del calcolo matriciale.

QUINTO ANNNO – geometria

L'introduzione delle coordinate cartesiane nello spazio permetterà allo

studente di studiare dal punto di vista analitico rette, piani e sfere.

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Sui libri di testo...

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• Saper operare con le matrici (quadrate di ordine 3)

• Saper operare con i vettori in componenti cartesiane

• Conoscere condizione di dipendenza lineare di un insieme di

vettori

• Prodotto scalare e vettoriale di due vettori

Prerequisiti

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Equazione cartesiana di un piano

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Piani paralleli e piani ortogonali

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Equazione parametrica di un piano

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Gli Elementi: definizioniEquazione cartesiana di un pianoEquazione cartesiana di un pianoEquazione parametrica di un piano

Scrivendo esplicitamente le componenti otteniamo

𝑥 − 𝑥0 = 𝑘𝑣1 + ℎ𝑤1𝑦 − 𝑦0 = 𝑘𝑣2 + ℎ𝑤2

𝑧 − 𝑧0 = 𝑘𝑣3 + ℎ𝑤3

da cui

𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒌𝒗𝟏 + 𝒉𝒘𝟏

𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝒌𝒗𝟐 + 𝒉𝒘𝟐

𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝒌𝒗𝟑 + 𝒉𝒘𝟑

che rappresenta l’equazione parametrica di un piano

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Gli Elementi: definizioniEquazione cartesiana di un pianoEquazione cartesiana di un pianoDall’equazione parametrica alla cartesiana

Per passare dall’equazione parametrica a quella cartesiana si può

operare algebricamente sulle equazioni ricavandosi i parametri k, h

• oppure determinare il vettore direzione del piano attraverso il

prodotto vettoriale 𝒏 = 𝑣 × 𝑤 e quindi arrivare direttamente

all’equazione

𝑎 𝑥 − 𝑥0 + 𝑏 𝑦 − 𝑦0 + 𝑐 𝑧 − 𝑧0 = 0

• oppure imporre che i vettori 𝑃0𝑃 , 𝑣, 𝑤 siano linearmente

dipendenti cioè

𝑥 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 𝑧 − 𝑧0𝑣1 𝑣2 𝑣3𝑤1 𝑤2 𝑤3

= 0

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Una retta nello spazio è determinata univocamente da un punto 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)

e da una direzione fissata da un vettore (direttore) 𝒗 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3)

Equazione parametrica di una retta

Un punto 𝑃(𝑥, 𝑦,z) appartiene alla retta r se i vettori 𝑃0𝑃 e 𝑣 sono collineari

(paralleli, linearmente dipendenti) quindi se 𝑃0𝑃 = 𝜆 𝑣

Equazione parametrica di una retta

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Da cui

𝑥 − 𝑥0 = 𝜆𝑣1𝑦 − 𝑦0 = 𝜆𝑣2𝑧 − 𝑧0 = 𝜆𝑣3

𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝝀𝒗𝟏𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝝀𝒗𝟐𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝝀𝒗𝟑

Equazione parametrica di una retta

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Dati i punti 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) e B 𝑥𝐵 , 𝑦𝐵, 𝑧𝐵 determinare l’equazione

della retta r passante per A, B

𝐴𝐵 = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴, 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴,𝑧𝐵 − 𝑧𝐴) è il vettore direzione della retta r e

quindi una possibile equazione parametrica di r sarà

𝒙 = 𝒙𝑨 + 𝝀(𝑥𝐵−𝑥𝐴)𝒚 = 𝒚𝑨 + 𝝀(𝑦𝐵−𝑦𝐴)𝒛 = 𝒛𝑨 + 𝝀(𝑧𝐵 − 𝑧𝐴)

oppure considerato un punto 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 appartiene alla retta AB solo

se i vettori 𝐴𝑃 e 𝐴𝐵 sono collineari cioè 𝐴𝑃 = 𝜆 𝐴𝐵 e quindi

𝑥 − 𝑥𝐴, 𝑦 − 𝑦𝐴 , 𝑧 − 𝑧𝐴 = 𝜆(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴, 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴)

𝒙 − 𝒙𝑨𝒙𝑩 − 𝒙𝑨

=𝒚 − 𝒚𝑨𝒚𝑩 − 𝒚𝑨

=𝒛 − 𝒛𝑨𝒛𝑩 − 𝒛𝑨

Retta passante per due punti

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Dati tre punti non allineati 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) B 𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵 C 𝑥𝐶 , 𝑦𝐶, 𝑧𝐶 determina

l’equazione (cartesiana) del piano da essi individuato

Un punto 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 appartiene al piano se e solo se i vettori 𝐴𝑃 , 𝐴𝐵 , 𝐴𝐶sono linearmente dipendenti, se e solo se

𝒙 − 𝒙𝑨 𝒚 − 𝒚𝑨 𝒛 − 𝒛𝑨𝒙𝑩 − 𝒙𝑨 𝒚𝑩 − 𝒚𝑨 𝒛𝑩 − 𝒛𝑨𝒙𝑪 − 𝒙𝑨 𝒚𝑪 − 𝒚𝑨 𝒛𝑪 − 𝒛𝑨

= 0

Piano passante per tre punti

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Determinare l’equazione della retta passante per un punto

assegnato e perpendicolare ad un piano dato

Determinare l’equazione del piano parallelo o perpendicolare ad

un piano dato e passante per un punto assegnato

Determinare l’equazione di una retta passante per un punto

assegnato e parallela o perpendicolare ad una retta data

Determinare l’equazione del piano contenente una retta data e

passante per un punto assegnato

Alcune tipologie di problemi semplici…

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Dati una retta r (equazione parametrica) ed un punto 𝑄 𝑥𝑄, 𝑦𝑄, 𝑧𝑄determinare la proiezione ortogonale Q’ di Q su r

…e più difficili

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Supposta la retta r scritta nella forma 𝑂𝑃 = 𝑂𝑃0 + 𝜆 𝑣 𝑟:

𝑥 = 𝑥0 + 𝜆𝑣1𝑦 = 𝑦0 + 𝜆𝑣2𝑧 = 𝑧0 + 𝜆𝑣3

dovrà essere 𝑄′𝑄 ⊥ 𝑣 quindi 𝑄′𝑄 ∙ 𝑣 = 0 e 𝑃0𝑄′ = 𝜆 𝑣 per qualche 𝜆 .

Da 𝑃0𝑄 = 𝑃0𝑄′ + 𝑄′𝑄 si ottiene 𝑄′𝑄 = 𝑃0𝑄 − 𝑃0𝑄′ = 𝑃0𝑄 − 𝜆 𝑣

quindi 𝑣 ∙ 𝑄′𝑄 = 𝑣 ∙ (𝑃0𝑄 − 𝜆 𝑣) = 𝑣 ∙ 𝑃0𝑄 − 𝜆 𝑣 2 = 0

da cui 𝜆 =v ∙ PoQ

v2 e 𝑂𝑄′ = 𝑂𝑃0 +

v ∙ PoQ

v2 𝑣 , vale a dire

𝒙𝑸′𝒚𝑸′𝒛𝑸′

=

𝒙𝟎𝒚𝟎𝒛𝟎

+𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑 ∙ (𝒙𝑸 − 𝒙𝟎, 𝒚𝑸 − 𝒚𝟎 𝒛𝑸 − 𝒛𝟎)

𝒗𝟏𝟐 + 𝒗𝟐

𝟐 + 𝒗𝟑𝟐

𝒗𝟏𝒗𝟐𝒗𝟑

Proiezione ortogonale di un punto su una retta

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Un po’ di materiale

web.ticino.com/lucarovelli/appunti/3N_Cap1_Geom_Vettoriale.pd

http://www.dipmatematica.unito.it/unitoWAR/ShowBinary/FSRepo/D005/

Allegati/quadernididattici/favro.pdf

http://www.dipmatematica.unito.it/unitoWAR/ShowBinary/FSRepo/D005/

Allegati/quadernididattici/favro.pdf