Pitagora

Rapporti armonici Rapporti numerici

ottava 2:1 ( do – do) quinta 3:2 (do – sol) quarta 4:3 (do – fa)

Credo pitagorico

Tutto è razionale

Greco latino italiano

=ratio = rapporto

Linguaggio = pensiero = matematica

Musica

Problema : comma pitagorico :5 ottave ≠ 12 quinte Soluzione : temperamentoTono = radice 12a di 2ma che non è un numero razionale

Vedi www.orianapagliarone.it/proporzioni

/musica

Unità didattica realizzata perchè gli alunni possano completare i loro programmi in Turbo Pascal con commenti musicali scritti da loro, nota per nota.Ho organizzato il lavoro in 5 schede con i seguenti obiettivi:mettere  i ragazzi in grado  di  calcolare: •la frequenza di un semitono  •la frequenza della nota più bassa del pianoforte •la frequenza di una nota qualsiasi •la frequenza di una nota qualsiasi nella forma opportuna per l'inserimento nella procedura in Turbo Pascal •la frequenza di tutte le note necessarie per implementare una semplice melodia

Una volta calcolate le frequenze delle note , aiutandosi con spartiti semplificati ,gli alunni sono arrivati ad implementare le procedure che permettono al calcolatore di suonare alcuni semplici brani musicaliVediamo le schede nel dettaglio:

Scheda di lavoro n.1

In una scala musicale temperata 2 ottave successive stanno tra loro come 1 sta a 2 Ossia se x è la frequenza del do di un'ottava , 2x è la frequenza del do dell'ottava successiva

Inoltre le frequenze delle note formano una progressione geometrica di ragione q=semitonoRicordando che in un'ottava ci sono 12 semitoni (tra tasti bianchi e neri) calcoliamo la frequenza di un semitono :a1 = x      a13 = 2 x                 a13 = a1 q12

                                           2 x = x q12                                             q = (2)1/12

Scheda di lavoro n.2

Sapendo che 440 è la frequenza del la dell'ottava centrale (dopo 48 note da quella avente frequenza più bassa ,calcoliamo la frequenza della nota più bassa :

     440= Nota_ più_ bassa ∙(2)48/12

      Nota_più_ bassa = 440/24 = 27.5

Scheda di lavoro n.3

Ora sapendo il valore del semitono e della frequenza della nota più bassa , possiamo calcolare la frequenza di una qualunque nota ( dopo x note da quella più bassa ):

           frequenza = Nota_più_bassa ∙ 2x/12

Scheda di lavoro n.4

Per implementare una procedura che calcoli le frequenze delle note è opportuno trasformare la formula precedente in:

  frequenza = Nota_più_bassa ∙ ex(log2)/12

Ora è possibile scrivere la procedura per calcolare le frequenze delle note dell'ottava centrale :

Procedure lenote;function nota(x:integer):integer;        begin           rapp:=ln(2)/12;          nota : = round(notapiùbassa* exp(rapp*x));        end;beginnotado:=nota(52);re:=nota(54);mi:=nota(56);fa:=nota(57);sol:=nota(59);la:=nota(61);si:=nota(63);end;

Ora adoperando uno spartito semplificato dell'Inno alla gioia di Beethoven,adoperando l'istruzione sound per il suono di una nota , nosound per sottolineare la fine di una battuta e delay per la durata delle note , passiamo alla procedura che permetterà agli alunni di suonare con il calcolatore l'Inno alla gioia:

l'Inno alla gioia:

                                                                                                       

program gioco7s;{$i graph.p}const notapiubassa=27.5; semitono=1.05946; var n,domande,esatte:integer; risposta:char; rispo:char; var notado,re,mi,fa,sol,la,si,do2,re2,si2,re3,fa2,sib,la2,sol2,re1,mi1,fa1,si1:integer; rapp:real;

procedure lenote; function nota(x:integer):integer; begin rapp:=ln(2)/12; nota:=round(notapiubassa*exp(rapp*x)); end; begin notado:=nota(52); re:=nota(54); re3:=nota(55); mi:=nota(56); fa:=nota(57); fa2:=nota(58); sol:=nota(59); la:=nota(61); si:=nota(63); do2:=nota(64); re2:=nota(66); si2:=nota(51); sib:=nota(50); la2:=nota(49); sol2:=nota(47); re1:=nota(42); mi1:=nota(44); fa1:=nota(46); si1:=nota(39); end;

procedure ritornello; begin sound(si); delay(6400); nosound; sound(si); delay(6400); nosound; sound(notado); delay(6400); nosound; sound(re); delay(6400); nosound; sound(re); delay(6400); nosound; sound(notado); delay(6400); nosound; sound(si); delay(6400); nosound;

sound(la); delay(6400); nosound; sound(sol); delay(6400); nosound; sound(sol); delay(6400); nosound; sound(la); delay(6400); nosound; sound(si); delay(6400); nosound; sound(si); delay(9600); nosound; sound(la); delay(3200); nosound; sound(la); delay(12800); nosound; end;

Matematica

Il teorema di Pitagora egiziani babilonesi greci indiani cinesi

La prima dimostrazione del teorema di Pitagora è riportata da Platone nel Menone In questo dialogo Platone racconta come sia possibile duplicare l’area di un quadrato, che risulta un caso particolare del teorema di Pitagora

Prima dei greci nessuno aveva costruito dimostrazioni rigorose. Molti problemi venivanorisolti dicendo semplicemente quale era la soluzione, ma senza dimostrarlo

La prima dimostrazione del teorema di Pitagora nella sua formulazione generale si trova negli Elementi di Euclide

Tante altre dimostrazioni del teorema di Pitagora

Questa è la dimostrazione del teorema di Pitagora che si trova nei libri di testo di geometria

Duplicazioni

La dimostrazione della duplicazione del quadrato è semplice e intuitiva

Non altrettanto si può dire per la duplicazione del volume di un cubo ossia il cosiddetto….

Problema di Delo

Delo è un'isola dell'arcipelago greco, patria di Apollo.Durante una pestilenza ad Atene , gli abitanti mandarono un emissario a chiedere all'oracolo di Apollo a Delo cosa fare.L'oracolo rispose che la pestilenza sarebbe cessata non appena gli Ateniesi avessero raddoppiato la grandezza dell'altare di Apollo ( di forma cubica)La pestilenza non cessò perché gli Ateniesi non seppero costruire ,con riga e compassa , unici strumenti che possedevano, un cubo di lato la radice cubica di 2 , per raddoppiare un cubo di lato 1

Numeri irrazionaliPitagora per la duplicazione del quadrato, o se si vuole per il calcolo della diagonale di un quadrato aveva incontrato per la prima volta i numeri irrazionali La dimostrazione dell’irrazionalità della diagonale del quadrato si trova negli

Analitici Primi di Aristotele in cui si dimostra rigorosamente che la diagonale del quadrato non è un numero razionale Tale affermazione mandò in crisi i Pitagorici del tempo che giurarono di non rivelare tale scoperta a nessuno,perché il credo pitagorico era “tutto è razionale” ma un certo Ippaso di Metaponto tradì il segreto, i pitagorici lomaledirono e Giove fece affondare la nave su cui viaggiava Ippaso che morì. Ormai però il segreto era stato svelato e tutto il mondo venne a conoscenza dei numeri irrazionali, ossia che non ammettono una rappresentazione sotto forma di rapporto.

Tali numeri vennero detti surdi assurdo ossia ciò che non ammette una rappresentazione sotto forma di rapporto .la loro presenza scardino il mondo dei Pitagorici aprendo però nuove frontiere del sapere.