Campi Armonici e Onde Piane - people.unica.it · 2019. 7. 31. · il campo totale dovuto ai...

Campi Armonici

e

Onde Piane

1

2

Le funzioni temporali relative alle grandezze che definiscono un

campo dipendono dalle funzioni delle sorgenti e .

In ingegneria le funzioni sinusoidali nel tempo hanno una larga

applicazione, infatti:

• tutte le funzioni periodiche nel tempo possono essere sviluppate

in serie di Fourier di componenti armoniche sinusoidali

• le funzioni transitorie non periodiche possono essere espresse

come integrali di Fourier.

Poiché le equazioni di Maxwell sono equazioni differenziali

lineari, le variazioni sinusoidali nel tempo delle funzioni sorgenti

per una data frequenza, produrranno variazioni sinusoidali di ത𝐸 eഥ𝐻 con la stessa frequenza in regime permanente.

J

Campi Armonici

3

Per le funzioni sorgenti con una dipendenza dalla variabile tempo

arbitraria, i campi elettrodinamici possono essere determinati in

funzione di quelli generati dalle componenti alle diverse frequenze

delle funzioni sorgenti. Per i sistemi lineari, l’applicazione del

principio di sovrapposizione degli effetti consentirà di determinare

il campo totale dovuto ai contributi di tutte le componenti.

I campi armonici nel tempo sono i campi che variano con legge

periodica sinusoidale. Le grandezze che li caratterizzano sono

convenientemente espresse con la notazione fasoriale. Per esempio

un campo armonico nel tempo riferito a una cosinusoide, può

essere espresso come:

Campi Armonici

( , , , ) Re ( , , ) j tE x y z t E x y z e

dove é un fasore definito in direzione modulo e fase. E

E

4

I fasori sono grandezze complesse per cui:

se il campo é rappresentato da un fasore ,

allora e

si potranno rappresentare rispettivamente con i fasori:

e

Derivate e integrali temporali di ordine superiore potranno essere

rappresentati rispettivamente moltiplicando e dividendo il fasore

per potenze superiori di j.

(x,y,z,t)E (x,y,z)E

(x,y,z,t)Et

t(x,y,z,t)dE

(x,y,z)E j j/(x,y,z)E

(x,y,z)E

Campi Armonici

5

Le equazioni di Maxwell per le grandezze armoniche nel tempo in

termini di fasori di campo e fasori di sorgente in un

mezzo lineare, isotropo e omogeneo:

H,E J,

δ BE

E j B j μHδ t

D H J j D J j εEH J

t

/

0 0

D E

B H

EεD essendo

Equazioni di Maxwell fasoriali

6

esse sono le equazioni di Helmholtz non omogenee

22

22

ρV k V essendo k il numero d'onda

ε

ωA k A μJ k ω με

u

22 2 2

2

2 222

2

222 2 2 2

2

AA με μJ A με jω A μJ

t ρ

V ρ V με jω VV με ε

t ε

ωcon jω ω με ω k

u

Equazioni di Helmholtz non omogenee

Le equazioni delle onde armoniche nel tempo per il potenziale

scalare V e il potenziale vettore diventano:A

7

La condizione di Lorentz per i potenziali:

diventa:

Le soluzioni fasoriali delle equazioni di Helmholtz non omogenee

si ottengono da quelle dei campi non armonici considerando che le

sorgenti e ҧ𝐽 sono sinusoidali e usando notazione fasoriale:

0t

VμεA

. 0VjA

Equazioni di Helmholtz non omogenee

R ωRρ t R/u ρ cos ω t ρ cos ωt ρ cos ωt kR

u u

R ωRJ t R/u J cos ω t J cos ωt J cos ωt kR

u u

ωk ω k u

u

ρ cos ωt kR Re ρ e e si associa il fasore ρ e

J sin ωt kR = Re J e e si associa il fasore J e

jkR j t jkR

jkR j t jkR

8

le espressioni dei potenziali scalare e vettoriale ritardati dovute alle

sorgenti armoniche diventano:

'

/1, '

4V

ρ t R uV R t dv

πε R

dv' R

R/utJ

π4

μ R,tA

V'

'

1, '

4

jkR

V

ρeV R t dv

πε R

dv' R

eJ

π4

μ R,tA

V'

jkR

Soluzioni delle equazioni di Helmholtz non omogenee

9

Quindi se la distanza R é molto piccola rispetto alla lunghezza

d’onda , le formule si riducono a quelle valide per le condizioni

quasi statiche:

'dv R

ρ

πε4

1 t,RΔV

'V

dv' RJ

π4

μ R,tA

V'

Poiché lo sviluppo in serie di Taylor del fattore esponenziale é:

dove k può essere espresso i funzione della lunghezza d’onda

del mezzo: quindi se

o se la distanza R é molto piccola rispetto alla lunghezza d’onda ,

può essere approssimato a 1.

....2

RkjkR1e

22jkR

f

u

2

u

f2k ,1

R2kR

jkRe

Soluzioni delle Equazioni di Helmholtz non omogenee

10

La procedura formale per la determinazione dei campi elettrici e

magnetici dovuti alle distribuzioni di corrente e cariche armoniche

é la seguente:

1) determinazione dei fasori V(R) e dalle equazioni:

2) calcolo dei fasori:

3) calcolo dei valori istantanei con riferimento al coseno :

Il grado di difficoltà del problema dipende dalla difficoltà di risoluzione delle

integrazioni al punto 1)

RA

'

1, '

4

jkR

V

ρeV R t dv

πε R

dv' R

eJ

π4

μ R,tA

V'

jkR

ARB e AjωVRE

, e ,j t j te eE R t E R e B R t B R e

Procedura generale in presenza di sorgenti

11

In un mezzo semplice privo di perdite (non conduttore) e di cariche

libere:

Le quattro equazioni di Maxwell si riducono alle seguenti:

Le equazioni possono essere combinate per ottenere equazioni del

secondo ordine alle derivate parziali espresse in funzione di

0 0 , 0ρ , J

HjωE

EjωH

0E

0H

H e E

Campo armonico in un mezzo non conduttore

e si ottengono così le equazioni di Helmholtz vettoriali omogenee:

2 2

2 2

0

0

E k E

H k H

ωu

ωk 2

2

2

con

12 2 2

se 0 A A A A A A

2

2 2

( )

0

E j H

E j H j j E

E E

Campo armonico in un mezzo non conduttore

Infatti dalla prima equazione di Maxwell:

Dalla seconda:

2 2 2

2 2

= ( )

=

0

H j E

H j j H j H

H H

Ricordiamo che:

13

Si noti che se sono soluzioni delle equazioni di Maxwell in

un mezzo semplice caratterizzato da e , allora anche

lo sono se:

(***)

dove é l’impedenza intrinseca del mezzo.

Infatti é facilmente dimostrabile che le equazioni di Maxwell per

un mezzo semplice privo di sorgenti, sono invarianti per le

trasformazioni lineari specificate nelle relazioni (***).

Questa é una affermazione del principio di dualità.

Questo principio é una conseguenza della simmetria delle

equazioni di Maxwell in un mezzo semplice privo di sorgenti.

H,E 'H,'E

η

E-'H e Hη'E

Campo armonico in un mezzo conduttore

14

Se il mezzo ha perdite (conduttore, ≠0), circolerà una corrente

e la seconda equazione di Maxwell diventa:

le altre equazioni rimangono invariate, quindi la permettività in

questo caso diventa complessa.

Analogamente occorre tener conto della componente sfasata della

magnetizzazione dovuta alla influenza di un campo magnetico

esterno variabile nel tempo, per cui alle alte frequenze:

J E

' ''

c

c

H jω E jω ε E jω Ejω

Fcon ε jε ε - j

ω m

' ''j


E Dcon DjJH

15

Perciò, il valore reale di k in un conduttore, o in dielettrico con

perdite, é un numero complesso:

Il rapporto é chiamata tangente di perdita perché é una misura

della perdita di potenza nel mezzo:

c è chiamato angolo di perdita

Si può dimostrare che:

c ck ω

ε'

ε"

tan cε"

δε' ωε


campo di grandezza della cicloper / accumulata ticaelettrosta energial’

campo di grandezza della cicloper dissipata/ energial’ tan c

16

Sulla base della espressione di ሶ𝜺c• un mezzo é detto buon conduttore se >>

• un mezzo é detto buon isolatore se >> .

Quindi, essendo =2f, un materiale può essere un buon conduttorealle basse frequenze, ma può avere le proprietà di un dielettrico con

perdite, alle frequenze molto alte.

Esempio: terra umida, εr =10, = 10-2 [S/m]


2

120

4

3

10tan

2 8 85610 10

1.8 10 per i segnali con f 1kHz è un buon conduttore tan

1.8 10 per i segnali con f 1GHz diventa un isolatore

-

c

r

c

ε'' σ σδ

ε' ωε ωε ε π f .

δ

17

Su tutti i punti di un campione di materialecaratterizzato da una conducibilità e unapermettività ሶ𝜺c , un campo ത𝐸 induce:

• sia un vettore spostamento ഥ𝐷 che comportaun’energia elettrostatica accumulata

• sia una densità di corrente ҧ𝐽 che comporta unadissipazione di potenza per effetto joule

D ε E

J E

c

E

se ωε >> un campo elettrico ത𝐸 induce nel materiale un vettorespostamento ഥ𝐷 prevalente rispetto alla densità di corrente ҧ𝐽, per cuiprevale il comportamento della materia come isolante che consente unaccumulo di energia elettrostatica.

se ωε

18

Si possono evidenziare due punti fondamentali:

• le equazioni di Maxwell e quindi le equazioni di Helmholtz non

pongono alcun limite alla frequenza delle onde. Lo spettro

elettromagnetico é stato esaminato sperimentalmente per valori

della frequenza che vanno da frequenze molto basse alle

frequenze radio, televisione, microonde, infrarossi, alla luce

visibile, alla ultravioletta , sino ai raggi X e gamma e il campo

delle frequenze gamma supera 1024 Hz.

• Tutte le onde elettromagnetiche, per ogni campo di frequenza,

si propagano in un mezzo con la stessa velocità, legata alla

natura del mezzo:

με

1u


19

Si possono evidenziare tre punti fondamentali:

• le equazioni di Maxwell e quindi le equazioni di Helmholtz sonovalide per onde di frequenza qualsiasi.

Esse sono state verificate sperimentalmente per tutto lo spettroelettromagnetico ossia per valori della frequenza che vanno dafrequenze molto basse, sino ai raggi X e gamma ( f >1018 Hz).

• In un mezzo privo di perdite tutte le onde elettromagnetiche di unqualsiasi campo di frequenza, si propagano con la stessa velocitàu che dipende solo dalla natura del mezzo:

• In un mezzo con perdite, u dipende anche dalla frequenza e anchedalla conducibilità del mezzo ; u è un operatore complesso:

1 u

/1u

Spetro elettromagnetico

20

VL

rays

X rays

Ultraviolet

Visible light

Infrared

Mm wave

EHF Extremely high frequency

SHF Super high frequency

UHF Ultra high frequency

VHF Very high frequency

HF High frequency

MF Medium frequency

LF Low frequency

VLF Very low frequency

ULF Ultra low frequency

SLF Super Low frequency

ELF Extremely low frequency


21


22

Nei mezzi non conduttori privi di perite (=0), in assenza di

sorgenti (=0, J=0) e sotto l’ipotesi di regime sinusoidale,l’equazione d’onda nello spazio libero in assenza di sorgenti

diventano l’equazioni del vettoriali di Helmholtz:

Dove, k é il numero d’onda. Nello spazio libero possiamo

assumere k=k0 (free space wavenumber =𝜔 𝜇0ε0) .

Esse servono per determinare la distribuzione del campo nei

dielettrici perfetti e nel vuoto. I dielettrici sono i materiali

principalmente utilizzati per la propagazione e radiazione (

trasporto di energia) delle onde elettromagnetiche.

ω rad

k ω μεu m

Onde piane non dissipative

2 2

2 2

0

0

E k E

H k H

23

L’ onda elettromagnetica piana é una particolare soluzione della

equazione di Maxwell, essa costituisce una buona approssimazione

delle onde elettromagnetiche reali. In molte applicazioni pratiche, le

caratteristiche delle onde piane uniformi sono particolarmente

semplici e il loro studio è fondamentale sia dal punto di vista teorico

che pratico. Inoltre, onde più complesse possono essere considerate

come formate dalla sovrapposizione di onde piane.

Si definisce fronte d’onda (o superficie d’onda) luogo geometrico

identificato dei punti del mezzo che vibrano concordemente. Dunque

in un dato istante, lungo un fronte d’onda la grandezza di campo

presenta la stessa fase. I fronti d’onda sono perpendicolari alla

direzione di propagazione dell'onda e sono utili per visualizzare i

fenomeni di trasmissione delle onde.


24

Tutti i punti alla stessa distanza dalla sorgente sono investiti

contemporaneamente dall'onda e si muovono in sincronia tra di loro.

I fronti d’onda possono essere sono definiti in base alla loro forma, peresempio si possono avere fronti d’onda piani, sferici così via.

Fronte d’onda piano Fronte d’onda sferico

Ad ogni fronte d’onda è possibile associare il raggio che è una linea

ortogonale al fronte d’onda in un dato punto, che rappresenta in quel

punto, la direzione di propagazione dell’onda e dell’energia ad essa

associata.


25

Un onda elettromagnetica è piana quando il suo fronte d’onda è unpiano. Le onde elettromagnetiche piane sono caratterizzate da grandezzedi campo sempre e ovunque in fase su piani perpendicolari alladirezione di propagazione, cioè , per il sistema di riferimento scelto, perogni valore di z, i campi :

in fase nel tempo

in quadratura nello spazio

Il raggio d’onda è parallelo alla direzzione di propagazione dell’onda

Raggi d’ondaFronti d’onda piani

x

E

H

z è direzione di propagazione delle onde

y

z

H e E

H e E


Considerando un’onda piana uniforme, che si propaga nel vuoto,

caratterizzata da un campo ത𝐸 𝑧 = ത𝐸𝑥 uniforme (ampiezza e faseuniforme) sulle superfici piane perpendicolari a z, la I equazione

vettoriale di Helmholtz diventa:

ma essendo:

essa é una equazione differenziale ordinaria poiché dipende solo da z.

26

2 20 0

x xE E e

x y

0

2

20

xx

Ek E

z


0

2 2 22 2 2

0 2 2 20 k E 0

x y zxE k E

27

La soluzione della equazione: é :

E0+ e E0

- sono costanti arbitrarie che devono essere determinate con

le condizioni al contorno. Usando la funzione 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 comeriferimento e assumendo E0

+ costante reale ( fase = 0 per z = 0) si ha:

Per cui in un dato istante t, nello spazio E+ (z,t) varia come unacosinusoide con una ampiezza massima E0

+. Per tutti gli istantisuccessivi le curve relative avranno un andamento identico, matraslano nella direzione positiva di z.

0

o o

o

jk z jk zx xE z E z E z E e E e

ox x 0

0

jω k zj t

0 0

E z,t Re E z e Re E z e

V E cos(ω k z)

m

t

t


0

2

20

xx

Ek E

z

28

Per determinare la velocità di propagazione si consideri il fatto che

la fase istantanea è costante in ciascun piano normale alla direzione

z di propagazione (definizione di fronte d’onda), per cui: (t-koz)

=A con A costante. Lo spazio percorso è:

Quindi velocità di propagazione dell’onda up (c nel vuoto):

k0 numero d’onda, misura il numero di lunghezze d’onda in un ciclo

completo.

s

m c

εμk

ω

dt

k

Atd

dt

dzu p

8

000

0 1031

0

2dove k

πf rad

c c m

k

Atz

0


• t > 0 Onda identica viaggiante nella direzione positiva z

29

z) (kcosE0z,E 0 t 00x •


30

Analogamente, si può verificare che il secondo termine della

relazione :

rappresenta una onda viaggiante cosinusoidale nella direzione - z con

la stessa velocità c.

Si consideri per ora solo l’onda diretta nella ipotesi che

sebbene quando sono presenti delle discontinuità nel mezzo, devono

essere considerate anche le onde riflesse viaggianti nella direzione

opposta.

zjkzjkxo

o

o

0xxeEeEzEzEzE

0E0


31

Il campo magnetico associato ഥ𝐻 può essere determinato dallarelazione:

dalla quale si ottengono le seguenti relazioni, dove la compomente

nella direzione y risulta l’unica componente diversa da zero:

HjE

0

0 0

x y za a a

E jω Hy y z

E (z)

0

1(z)

xy yy

E zH a H a

j z

x

E

H z direzione di propagazione delle onde

y

z


Quindi:

0 è l’ impedenza intrinseca dello spazio libero. Essendo 0 unnumero reale risulta in fase con e si può scrivere

l’espressione di come:

Inoltre risulta che é perpendicolare ad e che entrambe sono

normali alla direzione di propagazione.32

0

0 0

00

0 0 0

00

0

1 1

1 1

120 377

ojk z

x

y

x x x

E eE zH

j z j z

kjk E z E z E z

j

con


zH y zEx

H

0 00

Re cosjωty y yy yE A

H z,t a H z,t a H z e a ωt k z η m

H E

33

Campi e di un’onda piana uniforme per t=0E H


34

Quando c’é un movimento relativo tra la sorgente armonica nel

tempo e un ricevitore, la frequenza dell’onda intercettata dal

ricevitore tende ad essere diversa da quella emessa dalla sorgente.

Questo fenomeno é noto come effetto Doppler, esso si manifesta in

acustica come nell’elettromagnetismo.

Si assuma che la sorgente T (Trasmettitore) di un’onda armonica nel

tempo di frequenza f si muova con velocità con una deviazione di

un angolo rispetto alla direzione della congiungente Trasmettitore-

Ricevitore.

u

Effetto Doppler

u

T Rr0

t = 0→emettitore in T t = t emettitore in T’

u

T Rr0

r’utT’

H

35

La frequenza dell’onda ricevuta da R, se

36

Un’onda piana uniforme caratterizzata da che si propaga

nella direzione + z è associato a un campo magnetico

Quindi e sono perpendicolari uno con l’altro ed entrambi sono

trasversali alla direzione di propagazione. Le grandezze di campo

vettoriali sono funzioni della sola distanza z e quindi variano lungo

un singolo asse di coordinate. Questo è un caso particolare di onda

trasversale elettromagnetica (transverse electromagnetic wave: TEM

wave).

Un' onda trasversale è un’onda in movimento che è composta da

oscillazioni che avvengono perpendicolari alla direzione del

trasferimento di energia.

xx EaE

.HaH yy

E H

Onde elettromagnetiche trasversali

E un generico raggio a partire dall’origine

37

Si considera ora la propagazione di un’onda piana uniforme lungo

una direzione arbitraria di versore തan , che non coincidenecessariamente con un asse delle coordinate.

L’intensità del fasore campo elettrico per un’onda piana uniforme

che si propaga nella direzione generica possiamo scriverla anche

come:

dove è chiamato vettore d’onda

( , , ) jk yjk x jk zyx zE x y z E e e eo


zayaxaR zyx

La relazione precedente può essere scritta in forma compatta:

0 0nj k R jk a R VE( R ) E e E e

m

nzzyyxx akkakakak

38

x

yz

0

Piano a fase costante

R

na


0 0nE a

si dimostra che

Perciò la direzione di propagazione e E0 sono perpendicolari. Quindi,

in un’onda piana uniforme che si propaga in una direzione arbitraria

തan, il campo elettrico ഥE e il campo magnetico ഥH sono perpendicolaritra di loro ed entrambi normali alla direzione di propagazione

dell’onda.

ത𝑎𝑛 direzione di propagazione dell’onda

n-jka0n1

R RH a E e

39

La polarizzazione di un’onda piana uniforme, indica la direzione

dell'oscillazione del vettore campo elettrico durante la propagazione

dell'onda nello spazio-tempo. Perciò descrive come variano

l’ampiezza e la fase del vettore intensità campo elettrico ത𝐸 in undato punto dello spazio, al variare del tempo. Di conseguenza

indica anche come il campo magnetico ഥ𝐻 oscilla durante lapropagazione dell’onda.

Le onde elettromagnetiche hanno polarizzazione lineare, circolare

ed ellittica in base al fatto che l’estremità del vettore campo

elettrico in ogni punto dello spazio, dove avviene la trasmissione, si

muova su una retta, su un cerchio o su un’ellisse.

Data la linearità dell’equazione d’onda lo studio della

polarizzazione di una onda piana sarà sviluppato considerando

l’onda come la sovrapposizione di due onde polarizzate

linearmente.

Polarizzazione delle onde piane

40

Onda linearmente polarizzata (polarizzata in un piano)

Se il vettore campo elettrico ഥE oscilla sempre lungo la stessadirezione si dice che l’onda è polarizzata in un piano o linearmente

polarizzata. Si realizza questa condizione quando tutte le onde

sovrapposte hanno il campo elettrico nella stessa direzione, oppure

quando i diversi campi elettrici hanno differenti direzioni spaziali,

ma esattamente la stessa sfasamento temporale.

Onda polarizzata ellitticamente

Se si ha la sovrapposizione di due onde piane uniformi con la stessa

frequenza, ma con differenti fasi, ampiezze e orientazioni dei

vettori di campo elettrico, la combinazione che ne risulta si dice

essere un’onda polarizzata ellitticamente.

Polarizzazione delle onde piane

41

Se il vettore dell’onda piana è fissato nella direzione x :

dove E può essere positivo o negativo, l’onda è detta polarizzata

linearmente nella direzione x.

Una descrizione separata del campo magnetico non è

necessaria, poiché la direzione di è legata a quella del campo

elettrico .

Se invece la direzione di dell’onda piana ഥE in un dato punto nonvaria nel tempo, ma è orientata lungo una generica direzione il

campo si può considerare come la sovrapposizione di due onde

lineari che si propagano nella direzione z.

E

xE a E

H

E

H x E

H z direzione di propagazione delle onde

y

z

Polarizzazione lineare

Se E20 e E10 sono in quadratura nello spazio ma in fase nel tempo,

il campo risultante sarà polarizzato linearmente lungo una piano:

42

10

201tanE

E

10 20(0, ) cosx yE t a E a E t


x y10 20( , ) a cos( ) a cos( )E z t E t kz E t kz

y

xE10

E20

P1

P2

Per t=0 L’estremità di ത𝐸(0,t) sarà nelpunto P1 la sua ampiezza decrescerà

verso zero per tT/4.

Dopodiché, ത𝐸(0,t) inizia ad aumentaredi nuovo in direzione opposta, per

tT/2 ത𝐸(0,t) tenderà al punto P2.

Il piano è inclinato di un angolo

L’espressione istantanea di ത𝐸 per z = 0 è:

43

Variando le ampiezze delle due onde componenti è possibile

ottenere una polarizzazione lineare con un angolo di deviazione θ

qualsiasi rispetto all’asse delle x, essendo:

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Nel caso generale E20 e E10 sono in quadratura nello spazio ma

hanno ampiezza diversa E20 E10 e possono avere una differenza di

fase arbitraria non necessariamente nulla o multipla di /2.

La loro somma ത𝐸 sarà:

•polarizzata ellitticamente

•gli assi principali dell’ellisse di polarizzazione non coincideranno

con gli assi delle coordinate.

10

201tanE

E


44

Polarizzazione lineare:

Si ottiene dalla composizione

di due onde polarizzate

linearmente in due piani

ortogonali (x=0 e y=0)

temporalmente in fase. L’onda

risultante è ancora un’onda

polarizzata linearmente con

piano di vibrazione obliquo,

ovvero risulta essere obliqua

sul piano x-y quando l’onda

stessa viaggia lungo la

direzione z.

θ


45

Se invece la direzione di dell’onda piana ഥ𝑬 in un dato punto varianel tempo, il campo si può considerare come la sovrapposizione di

due onde lineari che si propagano nella direzione z:

1. E1 polarizzata nella direzione x di ampiezza E10 e

2. E2 polarizzata nella direzione y (in quadratura nello spazio) e in

ritardo di 90° nel tempo, di ampiezza E20. In notazione fasoriale

possiamo scrivere:

La corrispondente espressione nel dominio tempo sarà:

1 2 10 20( ) ( ) ( ) ( )jkz jkzx y x yE z a E z a E z a E e a j E e

Polarizzazione ellittica

x y1 2

x y10 20

( , ) Re (z) Re a a

a cos( ) a cos( )2

j t j tE z t E e E z j E z e

E t kz E t kz

46

Per studiare la variazione della direzione di ത𝐸 in un punto dellospazio al variare di t, per semplicità possiamo considerare il punto

per il quale z = 0:

Al variare di t da 0 a 2 , l’estremità del vettore ത𝐸 percorre unluogo ellittico in senso antiorario. Se E10=E20 sono l’ellisse si

trasforma in una circonferenza.

Quindi il campo elettrico ത𝐸, ottenuto come la somma di due ondepolarizzate sfasate di 90 gradi sia nello spazio che nel tempo, è

• polarizzato ellitticamente se E20 E10

• polarizzato circolarmente se E20 = E10 .

1 2 10 20(0, ) (0, ) (0, ) cos sinx y x yE t a E t a E t a E t a E t


47

All’istante t=0

All’istante 𝑡 = Τ𝑇 4

Il campo ത𝐸 ruota con velocità angolare in senso antiorarioformando una circonferenza se E10=E20, altrimenti si ha un’ellisse.

Questo è valido anche per tutti i punti con z>0

y

x

0

10(0,0) a xE E

E10

E20

10 20 10(0,0) cos0 sin 0x y xE a E a E a E

20(0, ) a4

y

TE E

10 20 20(0, ) cos sin

2 2x y yE t a E a E a E


y

x

010(0,0) a xE E

E10

E20

20(0, ) a4

y

TE E

48

Quando le dita della mano destra seguono la rotazione di ത𝐸, ilpollice indica la direzione della propagazione dell’onda. Perciò

l’onda:

È un’onda polarizzata circolarmente positiva o destrorsa.

Se E1(z) è sfasata nel tempo di 90° in anticipo rispetto a E1(z):

anche in questo caso ത𝐸 risulta ellitticamente polarizzato e ruota insenso orario con velocità angolare -. Se E20 = E10 l’onda è

polarizzata circolarmente negativa o sinistrorsa.

10 20

x y10 20

10 20

( ) ( )

( , ) a cos( ) a cos( )2

(0, ) cos sin

jkz jkzx y

x y

E z a E e a j E e

E z t E t kz E t kz

E t a E t a jE t

x y10 20( , ) a cos( ) a cos( )2

E z t E t kz E t kz


Onda polarizzata elliticamente negativa o sinistrorsa

(direzione della propagazione entrante nel foglio)

Onda polarizzata elliticamente positiva o destrorsa

(direzione della propagazione uscente nel foglio)

Agendo sullo sfasamento di E2 rispetto a E1 si può invertire il

senso di propagazione dell’onda. 49

×•


50

Polarizzazione circolare:

Si ottiene dalla composizione

di due onde sfasate

temporalmente di π/2,

polarizzate linearmente su

due piani ortogonali (x=0 e

y=0).

L’onda risultante è un’onda

polarizzata circolarmente in

senso orario.

Si noti che le ampiezze delle

due componenti Ex e Ex sono

uguali.

Polarizzazione circolare

51

Polarizzazione ellittica :

Si ottiene dalla composizione di

due onde sfasate temporalmente

di π/2 polarizzate linearmente in

due piani ortogonali. L’onda

risultante è un’onda polarizzata

ellitticamente in senso orario.

In questo caso le ampiezze delle

due componenti Ex e Ex non sono

uguali.


52

Polarizzazione ellitica


-- onda componente polarizzata nella dir. x

-- onda componente polarizzata nella dir. y

-- onda risultante polarizzata

x

x

y

y

z

z

Polarizzazione: esempi

53

Proiezioni (color viola) sul piano x-y dello spostamento

dell’estremo del vettore di campo E al variare del tempo per i 3

tipi di polarizzazionez z

z

xxx

yy

y

Polarizzazione: esempi

54

Le onde elettromagnetiche irradiate da stazioni di trasmissione AM

(Amplitude Modulation), impiegate nelle trasmissioni a onde

corte su lunghe distanze e nelle trasmissioni della parte video dei

programmi televisivi, sono linearmente polarizzate.

Le onde radio vengono emesse con il campo ത𝐸 perpendicolare alsuolo. Per la massima ricezione, l’antenna ricevente dovrà essere

parallela al campo che è verticale alla direzione di propagazione.

Il segnale televisivo al contrario, viene emesso con il campo ത𝐸 nelladirezione orizzontale, questo è il motivo per cui i conduttori delle

antenne riceventi sui tetti sono orizzontali.

Le onde FM (Frequency Modulation) irradiate da stazioni radio

sono generalmente polarizzate circolarmente; quindi l’orientazione

di una antenna ricevente FM non è critica, sempre che giaccia nel

piano normale alla direzione del segnale.

Polarizzazione delle onde radio

55

In un mezzo dissipativo privo di sorgenti ( ≠ 0), nelle equazioni

d’onda vettoriale omogenee di Helmholz il numero d’onda deve

essere complesso, infatti:

Le onde piane in un mezzo dissipativo si studiano in maniera

analoga alle onde in un mezzo omogeneo privo di perdite

sostituendo ሶ𝑘𝑐 a k.

Inoltre si definisce una costante di propagazione ሶν tale che:

22 2 2cE k E 0 E k E 0

diventa ' "c ck k j

-1 mccjk j

"c

σ Fε -j '

ω mj

Onde piane dissipative

56

Poichè la costante di propagazione ሶν é un numero complesso:

l’equazione di Helmholtz diventa:

e la soluzione é un’onda piana uniforme che si propaga nelladirezione z. Nella ipotesi che l’onda sia linearmente polarizzatanella direzione x:

fattore e costante di attenuazione in [Np/m]

fattore e costante di fase in [rad/m]

• equivale l’attenuazione in ampiezza per 1 m di propagazione

• equivale allo sfasamento dell’onda per 1 m di propagazione.

1

2"1 ' 1

'c cj jk j j j j

j

22 0E E

0 0 z z j z

x x xxE a E a E e a E e e

2 2 2 2

c ck k


57

• L’attenuazione di una grandezza può essere espressa in decibel dB

• Il Neper Np è utilizzato come unità di misura della attenuazione

di una grandezza. Si esprime come rapporto tra due valori che una

grandezza assume in due punti diversi, dove il termine a

denominatore è assunto come valore di riferimento:

1

1 2

2

xNp = ln =ln x -ln x

x

20il valore corrispondente in decibel: 1Np = dB = 8.686 dB

ln10

1

10

2

2

1 1

10 10

2 2

xdB= 10 log per le potenze

x

x xdB= 10 log =20 log per le tensioni e le correnti

x x


58

l’attenuazione in ampiezza α e lo sfasamento dell’onda per ogni

metro di propagazione dipendono:

• dalla pulsazione e quindi dalla frequenza della sorgente

• dai parametri costitutivi , e e possono essere così espressi:

In particolare per i mezzi:

1. dielettrici con basse perdite

2. buoni conduttori

3. gas ionizzati

si possono ricavare delle formule approssimate, comunque valide

per molte applicazioni pratiche.

1

2"1 ' 1

'j j j

j


59

fase di cità velos

m

'

"

8

11

'

1u

intrinseca impedenza '2

"1

'

fase di fattore m

rad

'

"

8

11'

neattenuazio di fattore m

Np

'2

2

p

c

2

"

j

Dielettrici a basse perdite (>> )

60*** il campo magnetico é traslato di 45° rispetto a quello elettrico

c

p

Np

m

fattore di attenuazione e fattore di fase variabili con f e

1

impedenza intrinseca con fase di 45 ***

2 m u

s

c

f

jj

1velocità di fase proporzionali a f e

Buoni conduttori (>>)

61

Per i conduttori si definisce la skin depth o depth of penetration:

essa è uguale all’inverso del fattore di attenuazione e rappresenta la

distanza lungo la quale l’ampiezza di un onda piana viaggiante

diminuisce di un fattore pari a e-1 =1/(2.71828 )=0.3679 (≈ 37%)

Alle alte frequenze le onde elettromagnetiche che si propagano in

un mezzo costituito da un buon conduttore si attenuano molto

rapidamente, essendo sia f che molto grandi.

In particolare alle frequenze delle microonde (300MHz ÷300GHz) la

skin depth di un buon conduttore é così piccola, che i campi e le correnti

possono essere considerati confinati in uno strato molto sottile della

superficie del conduttore.

1 1

2

λδ m

α ππfμ


62

skin depth o depth of penetration per alcuni conduttori

confrontata con quella dell’acqua

δ [mm] .

Materiale [S/m] f = 60Hz f=1 MHz f=1GHz

argento 6.17 107 8.27 [mm] 0.064 [mm] 0.0020 [mm]

rame 5.80 107 8.53 0.066 0.0021

oro 4.10 107 10.14 0.079 0.0025

alluminio 3.54 107 10.92 0.084 0.0027

ferro 1.00 107 0.65 0.005 0.00016

acqua di mare 4 32 [m] 0 .25 [m]


63

Nello strato della atmosfera terrestre, con una quota compresa tra

50 e 500 km di altezza, esistono strati di gas ionizzati o Plasmi che

costituiscono la ionosfera. La ionosfera gioca un ruolo importante

nella propagazione delle onde elettromagnetiche e influenza le

telecomunicazioni

L'atmosfera terrestre è l'involucro di gas (termine generico aria)

che riveste il pianeta Terra, principalmente:

• azoto

• ossigeno

• argon

• anidride carbonica

• tracce di altri elementi.

Possiede una struttura complessa e suddivisa in più strati, con

caratteristiche differenti (densità, temperatura, proprietà chimiche,

spessori etc..).

Gas ionizzati

64

Le radiazione solari ultraviolette proveniente dal sole investono

gli atomi e le molecole di ossigeno della parte superiore della

ionosfera. La radiazione solare è l’energia radiante emessa

nello spazio interplanetario dal Sole, generata a partire

dalle reazioni termonucleari di fusione che avvengono nel nucleo

solare e che producono radiazioni elettromagnetiche a

varie frequenze o lunghezze d’onda, le quali si propagano poi nello

spazio a diverse velocità.

Gli atomi e le molecole assorbono parte della energia associata alla

radiazione solare e questo determina la produzione di un elettrone

libero (carica negativa) e uno ione (carica positiva). I gas ionizzati,

con uguale densità di elettroni e ioni, sono chiamati plasmi, quindi:

la ionosfera si può considerare in gran parte costituita da un

plasma.

Gas ionizzati

65

Nella ionosfera la densità delle molecole di ossigeno presenti è

molto bassa, quindi gli elettroni liberi possono esistere, anche se per

brevi periodi di tempo, prima di essere “catturati” da uno ione

positivo vicino, formando nuovamente un l’atomo neutro, che a

sua volta, assorbe radiazione solare e il processo si ripete.

Per tutta la durata di un giorno (nel lato della terra investito dalle

radiazioni solari), la ionosfera si può ritenere costituita:

• da elettroni liberi e ioni positivi

• in minore quantità, da molecole del gas (atomi di ossigeno

neutri)

con percentuali dei componenti che variano con la quota degli strati

e durante l’arco della giornata.

Le particelle cariche tendono ad essere trattenute dal campo

magnetico terrestre.

Gas ionizzati

66

Poiché gli elettroni sono più leggeri degli ioni positivi, essi sono

più accelerati dai campi elettrici delle onde elettromagnetiche che

attraversano la ionosfera.

Per comprendere e valutare qualitativamente l’entità di questa

influenza si analizza il fenomeno con alcune ipotesi semplificative

• movimento degli ioni trascurabile (esso è sensibilmente inferiore

a quello degli elettroni),

• ionosfera costituita esclusivamente da gas di elettroni liberi

• si trascurano le collisioni tra gli elettroni e gli atomi e le

molecole del gas

• si ipotizza un campo elettrico armonico con pulsazione .E

Gas ionizzati

67

Su un singolo elettrone di carica -e e massa m in un campo

elettrico armonico nel tempo e agente nella direzione x con

frequenza angolare , agisce una forza di campo:

che lo allontana da uno ione positivo di una distanza x tale che:

da cui ricava lo spostamento :

dove e sono fasori.

E

22

2

22

2

per i campi armonici e -

d xF ma eE m m x

dt

d dj

dt dt

Em

ex

2

E x

x

Frequenza di plasma

E

ione +

-ex

F qE eE

68

La separazione delle cariche ( ione + ed elettrone -) alla distanza x

fa nascere un momento di dipolo elettrico:

Se N è il numero di elettroni per unita di volume, la densità

volumica del momento di dipolo elettrico o vettore di

polarizzazione è:

In questa equazione è stato trascurato implicitamente l’effetto

mutuo dei momenti dei dipoli indotti degli elettroni sugli altri

elettroni.

Em

NepNP

2

2

E

m

eexep

2

P

Frequenza di plasma

ione +

-e

p

69

In base alle leggi dell’elettrostatica, dalla conoscenza del vettore di

polarizzazione si ottiene la relazione costitutiva che lega a

nel plasma:

22

0 0 02 2

0

2

0 2

2

0

1 1

1

con

rad

s

p

p

p

p

p

p

NeD E P E E E

m

D E

permettività assoluta del plasma

N e

m

pulsazione angolare del plasma

D EP

Frequenza di plasma

70

Dalla espressione di εp si vede come per f fp , la permettività

equivalente εp0.

Quando la permettività diventa nulla εp lo spostamento elettrico ഥ𝑫è nullo, anche quando l’intensità del campo elettrico ഥ𝑬 non lo è.

In quel caso dovrebbe essere possibile per un campo elettrico

oscillante esistere nel plasma in assenza di cariche libere,

ottenendo una cosi detta oscillazione di plasma.

fp é anche indicata come frequenza di taglio.

2

2

02

2

00 1 essendo 1f

fEDE

f

fPED

p

pp

p

Frequenza di plasma

2

0

1 f Hz

2 2

pp

N e

m

71

Dalla pulsazione ωp si definisce la frequenza del plasma :

la permettività equivalente della ionosfera o plasma risulta :

da cui si ottiene la costante di propagazione:

e l’impedenza intrinseca: dove

2

0

1 f Hz

2 2

pp

N e

m

m

F 11

2

2

02

2

0f

f ppp

2

0 1p

p p

fj j

f

2

0

1

f

f pp

120

0

00

0

2

m

eNp

)( fp

Frequenza di plasma

72

Quando f < fp l’argomento sotto radice è negativo e quindi;

• ν diventa puramente reale ν=α e β=0, ciò comporta unaattenuazione senza propagazione ; contemporaneamente pdiventa puramente immaginario indicando una carico reattivo

per cui non si verifica trasmissione di potenza attiva: il segnale

viene riflesso.

Quando f > fp l’argomento sotto radice è positivo e quindi:

• ν é puramente immaginario reale ሶν =jβ, e le ondeelettromagnetiche si propagano sfasate senza attenuazione nel

plasma essendo α=0 (nella ipotesi di perdite di collisione

trascurabili).

Frequenza di plasma

73

Se si sostituisce l’espressione di ωp in funzione dei valori numerici

di e, m e 0 nella espressione della fp, si ottiene una formula moltosemplice per esprimere la frequenza di taglio del plasma:

Tale espressione permette di fare delle valutazioni sulla

trasmissione delle onde attraverso la ionosfera.

Poichè la densità elettronica della ionosfera è:

N=1010/m3 ( stati inferiori) ÷ 1012/m3 ( stati superiori)

N=104/cm3 ( stati inferiori) ÷ 106/cm3( stati superiori)

fp varia da 0.9 a 9MHz. Essa è una misura della densità di

ionizzazione dello strato riflettente. Più alta è la frequenza di taglio

e maggiore è la densità di ionizzazione, che è legata a N.

2

0

1 9 Hz

2 2

pp

N ef N

m

0

2

m

eNp

Frequenza di plasma

74

Quindi se fp =0.9 ÷ 9 MHz, per la comunicazione con un satellite o

una stazione spaziale oltre la ionosfera, si devono usare frequenze

superiori a 9 MHz.

Occorre lavorare con frequenze superiori a 9 MHz, per assicurare la

penetrazione delle onde anche nello strato con N (numero di

elettroni per unita di volume) più elevato e per qualunque angolo di

incidenza.

La situazione reale è più complessa

• Perché gli strati della ionosfera sono caratterizzati da densità

elettronica N variabile da punto a punto

• Per presenza del campo magnetico terrestre, che agiste

differentemente da punto a punto della spazio.

Frequenza di plasma

75

Riassumendo, le indicazioni di massima per la trasmissione dei

segnali nella ionosfera sono :

• I segnali con frequenze superiori a di 9 MHz penetrano la

ionosfera

• I segnali con frequenze tra 0,9 e 9 MHz penetreranno

parzialmente negli strati più bassi della ionosfera ma saranno

rinviati indietro dove la densità é più grande.

• I segnali con frequenze minori di 0.9 MHz non possono penetrare

nello strato più basso della ionosfera, ma saranno riflessi e

potranno propagarsi molto lontano intorno alla terra per via di

riflessioni multiple sul contorno della ionosfera e sulla superficie

della terra.

Frequenza di plasma

76

Nella realtà, per trasmettere un segnale attraverso la ionosfera si

utilizzano frequenze molto alte legate alle condizioni della ionosfera

nella regione della terra nella quale avviene la trasmissione, dal l’ora

del giorno e dalle radiazioni solari ultraviolette che dipendono dalle

sunspots.

Si comprende come lo studio del plasma nella ionosfera e la misura

accurata delle sunspots sia argomento di ricerca avanzata in campo

militare.

La frequenza di taglio fp

• può raggiungere 50 MHz a mezzogiorno e nell'immediato

pomeriggio e anche nei periodi di maggiore attività delle macchie

solari (sunspots),

• può diminuire a 10 MHz nelle prime ore del mattino e

• diminuire sino a a 2 MHz durante la notte.

Frequenza di plasma

Campi Armonici e Onde Piane - people.unica.it · 2019. 7. 31. · il campo totale dovuto ai...

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