Post on 15-Feb-2019
1.1
Università degli Studi di Trento - Facoltà di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)
PERMEABILITPERMEABILITÀÀE MOTI DI FILTRAZIONE E MOTI DI FILTRAZIONE
1.2
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Richiami di idraulicaRichiami di idraulica
1.3
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Pressione idrostaticaPressione idrostatica
uw
Wzz
∆x ∆y
uw ∆x ∆y = W = γw z ∆x ∆y ⇒ uw = γw z
La pressione idrostatica dell’acqua è pari al prodotto del peso specifico dell’acqua γw per l’affondamento z rispetto alla superficie a pressione nulla
1.4
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Il carico piezometricoIl carico piezometrico
z1z21
2
uw1 = γw z1 ≠ uw2 = γw z2
La pressione differisce da punto a punto tuttavia il fluido è in quietez’1
z’2z’=0
H
Carico piezometrico
w
wuzhγ
+= '
( )
( ) HzHzu
zh
HzHzu
zh
w
w
w
w
w
w
w
w
=−
+=+=
=−
+=+=
γγ
γ
γγ
γ'''
'''
22
222
11
111
h1 = h2
Il carico idraulico è costante da punto a punto ⇒ il fluido è in quiete
z’ = altezza geodeticauw/γw = altezza piezometrica
1.5
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HB
HA
Liquido in quieteLiquido in quiete
A
B
z’=0
h uA=γw HA
uB=γw HB
uA ≠ uB
hA = hB Liquido in quiete
1.6
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Liquido in movimentoLiquido in movimento
HB
HA
A
B
uA = uB
z’=0
hA ≠ hB
H
Liquido in movimento
uA=γw HA
uB=γw HB
1.7
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FILTRAZIONE NEI TERRENIFILTRAZIONE NEI TERRENI
1.8
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Pressione dellPressione dell’’acqua interstizialeacqua interstiziale
zw
uw=γw zw
Il comportamento meccanico del terreno dipende dalla pressione efficace σ’=σ-uw, e quindi dalla pressione totale e dalla pressione dell’acqua interstiziale uw
1.9
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Falda in quieteFalda in quiete
zwA
zwB
La pressione dell’acqua interstiziale in ogni punto è pari al prodotto del peso specifico dell’acqua γw per l’affondamento zw rispetto alla superficie a pressione nulla
uA=γw zwA
uB=γwzwB
1.10
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Falda in movimentoFalda in movimento
zwA
zwB
La pressione dell’acqua interstiziale non è più idrostatica
uA=γw zwA
uB=γwzwB
Come calcolare la pressione dell’acqua interstiziale?
1.11
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La velocitLa velocitàà di filtrazionedi filtrazione
Il moto di filtrazione avviene nella direzione del carico piezometrico decrescente
terreno
La velocità di filtrazione si definisce come rapporto tra la portata filtrante Q e la sezione filtrante totale A:Q
A
AQv =
1.12
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Effetto del percorso di filtrazioneEffetto del percorso di filtrazione
QL
L/2 2Q
A pari dislivello piezometrico, la portata filtrante è inversamente proporzionale al percorso di filtrazione
1.13
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Effetto della differenza di carico Effetto della differenza di carico piezometricopiezometrico
Q
∆h
La portata filtrante è proporzionale al dislivello piezometrico
2Q
2∆h
1.14
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Effetto del tipo di terrenoEffetto del tipo di terreno
Qsabbia
∆h
Qargilla
∆h
Qsabbia >> Q argilla
1.15
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La relazione di DarcyLa relazione di Darcy
Qsabbia
∆h
L
ALhK
AQv ∆
==
v = velocità di filtrazioneQ = portata filtranteA = area filtrante totale K = conducibilità idraulicah = dislivello carico piezometricoL = percorso di filtrazione
1.16
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Generalizzazione della relazione di Darcy Generalizzazione della relazione di Darcy al caso tridimensionaleal caso tridimensionale
∂∂∂∂∂∂
−=
zhyhxh
KKKKKKKKK
vvv
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
z
y
x
Se x, y, z direzioni principali:
∂∂∂∂∂∂
−=
zhyhxh
KK
K
vvv
zz
yy
xx
z
y
x
000000
1.17
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Relazione di Darcy Relazione di Darcy nel caso di mezzo isotroponel caso di mezzo isotropo
hKv grad −=r
vr
xdr
0 grad =−=⋅−=⋅ KdhxdhKxdvrrr
Il vettore velocità è ortogonale alla superficie equipotenziale e diretto secondola direzione del carico piezometrico decrescente
h=cost.
1.18
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La conducibilitLa conducibilitàà idraulicaidraulica
sabbia K = 10-2 – 10-6 m/s
limo K = 10-6 – 10-8 m/s
argilla K = 10-8 – 10-11 m/s
Come ordine di grandezza del coefficiente di permeabilità si possono indicare i seguenti valori:
La conducibilità idraulica varia di molti ordini di grandezza al variare della granulometria del terreno
1.19
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VelocitVelocitàà effettiva di filtrazioneeffettiva di filtrazione
Ipotizzando che la porosità superficiale sia uguale alla porositàvolmetrica n:
La relazione tra velocità di filtrazione effettiva vw e gradiente idraulico è di tipo lineare
+−= zuKvn
w
ww
γ grad
r
1.20
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Intepretazione della relazione di DarcyIntepretazione della relazione di Darcy
Equazione di Navier-Stokes per fluido incompressibile:
La relazione tra velocità e gradiente idraulico è di tipo lineare nel caso di moto laminare
La relazione tra velocità e gradiente idraulico dipende dalle proprietàdel fluido e dalla geometria
( )gzvudtvd
ww
w∇−+∇−=
rr
ρµ
ρ1
Integrazionedell’equazione di Navier-Stokes nel caso di moto laminare, moto uniforme e condotto cilindrico (formula di Poiseuille)
dldhDgv w 2
321
µρ
=
1.21
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PermabilitPermabilitàà intrinsecaintrinseca
dldhDgv w
= 2
321
µρ
K
[ ]2L gK
gKk ηρµ==
Per l’acqua a 20°C η=10-6 m2/s e
[ ] [ ][ ] [ ] [ ]25
2
26
m 108.9
10 −−
⋅≅⋅
= smKsm
smsmKk
1.22
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ValiditValiditàà della relazione di Darcydella relazione di Darcy
Regime turbolento
nkvdv
ηη==Re
10Re1.0 <<Interazioni fisico-chimiche
[ ]n
msmKKinkv 2510Re
−⋅==ηη
Per i=1, K=10-2m/s (ghiaia), n=0.5
[ ] 4.45.0
101010
11010Re252
6
225
=⋅⋅
==−−
−
−− mn
msmKKiη
1.23
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Relazione di Darcy nel caso di velocitRelazione di Darcy nel caso di velocitààdel solido non nulladel solido non nulla
Nel caso in cui anche le particelle solide siano interessate al moto, la relazione di Darcy deve essere scritta in termini di velocità relativa del liquido rispetto alla fase solida:
( )
+−==− zuKvnvvn
w
wswsw
γ grad ,rrr
1.24
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Meccanica dei mezzi continui multifaseMeccanica dei mezzi continui multifaseSistema di continui sovrapposti, ciascuno caratterizzato da un campo di velocità
( )( )( )txvv
txvv
txvv
aa
ww
ss
,,
,
vrr
vrr
vrr
=
=
= Fase solida
Fase liquida
Fase gassosa
Ciascuna fase occupa una frazione del volume totale
)1(
1
SnnSn
−
− Fase solida
Fase liquida
Fase gassosa
1.25
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Bilancio di massa della fase liquidaBilancio di massa della fase liquida(formulazione euleriana)(formulazione euleriana)
Variazione di massa nell’unità di tempowvr
Nvwrr
⋅
V
dV( )∫
∂∂V
w dVnSt
ρ
Massa uscente nell’unità di tempo
( ) dANvnSnSdANvV
www
Vw ∫ ⋅=∫ ⋅
∂∂
rrrrρρ
( ) ( ) 0=∫ ⋅∇+∫∂∂
V
ww
Vw dVvnSdVnS
tr
ρρ
1.26
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Bilancio di massa locale della fase liquidaBilancio di massa locale della fase liquida
( ) ( ) 0=⋅∇+∂∂ w
ww vnSnSt
rρρ
Ipotizzando il terreno saturo (S=1) ed il liquido incomprimibile (dρw=0) si ottiene:
( ) 0=⋅∇+∂∂ wvnnt
r
Introducendo la velocità relativa tra liquido e solido
( )[ ] 0, =+⋅∇+∂∂ sws vvnnt
rr
1.27
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Bilancio di massa locale della fase solidaBilancio di massa locale della fase solida
Ipotizzando solido incomprimibile (dρw=0) si ottiene:
( ) ( )[ ] 011 =−⋅∇+−∂∂ svnnt
r
( )[ ] ( )[ ] 011 =−⋅∇+−∂∂ s
ss vnnt
rρρ
1.28
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Equazione di continuitEquazione di continuitàà della misceladella miscela
( ) ( )[ ]( ) ( )
0
011
011
=∇⋅−⋅∇−⋅∇+∂∂
−
=−∇⋅+⋅∇−+∂∂
−
=−⋅∇+−∂∂
nvvnvtn
nvvntn
vnnt
sss
ss
s
rrr
rr
r
( )[ ]( ) ( )
( ) 0
0
0
,
,
,
=∇⋅+⋅∇+⋅∇+∂∂
=⋅∇+⋅∇+∂∂
=+⋅∇+∂∂
nvvnvntn
vnvntn
vvntn
sssw
ssw
sws
rrr
rr
rr
Bilancio di massa della fase liquida
Bilancio di massa della fase liquida ( ) 0, =⋅∇+⋅∇ ssw vvnrr
1.29
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Equazione generale dei moti di filtrazioneEquazione generale dei moti di filtrazione
( ) 0, =⋅∇+⋅∇ ssw vvnrr
( )
+−⋅∇=⋅∇ zukvn
w
wsw
γgrad ,r
( ) ( ) ( )vv
s
i
si
ssi
s
ii
sis
tDtD
xv
DtDv
DtD
xxvv εε −
∂∂
≅−=
∂∂
=∂∂
=∂∂
=⋅∇r
0grad =∂∂
−
+−⋅∇
tzuk v
w
w εγ
i.p.d.
problema accoppiato
1.30
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Equazione generale dei moti di filtrazioneEquazione generale dei moti di filtrazionein condizioni monodimensionaliin condizioni monodimensionali
0grad =∂∂
−
+−⋅∇
tzuk v
w
u εγ
0z
=∂∂
−
+
∂∂
−∂∂
tzuk
zv
w
u εγ
tzuk vw
w ∂∂
=∂∂
−ε
γ 2
2
1.31
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Moti di filtrazione in condizioni Moti di filtrazione in condizioni monodimensionali e stazionariemonodimensionali e stazionarie
02
2
=∂∂zuw
La pressione idrostatica u0 in condizioni cdi flusso monodimensionale in regime stazionario varia lineramente con la profondità