Post on 02-May-2015
OLTRE OGNI LIMITEPrerequisiti:•Intorno di un punto•Intorno di infinito•Punto di accumulazione •Le funzioni elementari
Scheda1: “SPACCA E SCAPPA”approccio al concetto di limite e relativa definizione
Entra anche tu nel mondo di Crazystone.Crazystone è il paradiso dei teppisti e dei vetrai. Il passatempo
dei teppisti è lanciare sassi e rompere vetri indisturbati.Ma che noia! Che monotonia!Basta moti parabolici.Così il Ministero della ricerca di Crazysone ha bandito un
concorso:una fornitura di vetri a chi avesse inventato qualcosa per spezzare la monotonia della forza di gravità.
Un’equipe di scienziati pazzi (nota come “Banda di Zeroallazero”)ha inventato una barriera elettromagnetica dalla interessante proprietà:quando un sasso ,lanciato verticalmente da terra, urta contro una barriera, viene deviato ad angolo retto e procedein linea retta ,senza ricadere, fino a che non urta contro un ostacolo, come in figura
La barriera è stata istallata sopra il Viale senzafine di Grazystone: una via che inizia dalla casa del sindaco e prosegue diritta senza mai terminare.
Il Sindaco però ha alcune fissazioni:
1) È convinto che per avere la migliore visione panoramica della sua città , la si debba osservare da esattamente 10 metri di altezza. Per questo ha fatto costruire una finestra centrata attorno ai 10 metri di quota dalla strada
2) Proprio perché i 10 metri di altezza è la quota perfetta, anche
Anche la barriera elettromagnetica deve avvicinarsi sempre di più a questa altezza”aurea”, ma non la deve toccare ,per non toccare la visuale.Ecco come è stata realizzata la barriera
Ma…il sindaco deve vedersela con alcuni cittadini scontenti del suo operato,i quali ingaggiano qualche teppista di Crazystone,esperto nel tiro del sasso , perché rompa la finestra del sindaco
“Guardando il disegno,dove ti posizionerestiper colpire il bersaglio?C’è una sola possibilità o di più?”
Ma il sindaco stanco di tanta delinquenza,ha chiesto ai muratori di rimpicciolire l’apertura della finestra
“Così facendo il sindaco ha risolto i suoi problemi?O credi che sarà ancora possibile rompere il vetro della finestra?E se si riducesse ulteriormente l’apertura(sempre centrata attorno alla altezza aurea)avrebbe vinta la battaglia?
(tieni presente che su Crazystone esistono sassi piccolissimi come granelli di polvere che lanciati con forza potrebbero rompere un vetro)
Comincia la discussione in classe.…….per concludere che:
1) “qualunque sia l’apertura della finestra centrata attorno all’altezza aurea, esiste una zona di lancio ( a destra di un certo punto)tale che,in qualunque posizione ci si metta ,basta essere nella zona di lancio che allora il sasso raggiungerà un’altezza giusta per entrare nella finestra”Ciò è equivalente a dire:2) “la barriera si avvicina sempre di più all’altezza aurea”In simboli:1)
lxfx
)(lim
)/()()I(x /)( )( lxfIlI
2)
Continuiamo la storia ….
Il sindaco, in preda ad un eusarurimento, non si presenta alle elezioni Viene eletto un suo oppositore,il quale , in nome della libertà di espressione artistica , cavallo di battaglia durante la campagna elettorale,chiama i migliori artisti di Crazystone e fa progettare una nuova barriera non più vincolata all’altezza aurea.Il nuovo sindaco ha una debolezza : l’astronomia e fa montare il suo telescopio ultimo modello su un piedistallo davanti alla finestra :Ma la barriera riveste un ruolo strategico. Al sindaco gli è concesso al massimo un foro più piccolo di quello che si potrebbe ottenere con la punta di un ago. Praticamente … un punto.
Il sindaco è così contento ma…..
l’ex sindaco organizza un movimento di protesta contro il suo … caro collega: assolda esperti teppisti perché colpiscano la finestra.
“Se tu fossi un teppista, dove ti posizioneresti, per colpire il bersaglio?c’è una sola posizione possibile o più di una?
Se il sindaco decidesse di ridurre le dimensioni della finestra ( sempre centrata attorno all’altezza aurea) riuscirebbe a proteggersi dai sassi?o credi che sarà ancora possibile rompere il vetro?
Comincia la discussione in classe…….Per concludere che…
)()()(/con )( )I( )2
)(lim )1
000
0
lIxfxIxxxxIl
lxfxx
A1 area
approssimata per eccesso
a1 area
approssimata per difetto
SCHEDA2Il LIMITE “strumento per calcolare l’area di una figura piana”
A2 area
approssimata per eccesso
a2 area
approssimata per difetto
A2 <A1
a2 >a1
due successioni
an: aree approssimate per difetto a1, a2, a3, ...
An: aree approssimate per eccesso A1, A2, A3, ...
a1< a2< a3< ...
an<A1
A1> A2> A3> ...
An>a1
An an
si può rendere piccola a piacere
Le due successioni tendono allo stesso limite
Si definisce
area della figura a contorno curvilineo
il limite comune alle due successioni
?
11 f
2
200
2
2ff
11 f 01 f 21 f
20
2
20
2
2ff
050 f.
4
230
4
220
4
200
4
2ffff
5050 .f. 150 f. 5150 .f.
5050 .f.
2
4
230
4
220
4
20
4
2ffff
150 f. 5150 .f. 250 f.
2 area per difetto
rettangoli area per eccesso
4 area per difetto
rettangoli area per eccesso
8 area per difetto
rettangoli area per eccesso
n area per difetto
rettangoli area per eccesso
2
200
2
2ff
20
2
20
2
2ff
4
230
4
220
4
200
4
2ffff
2
4
230
4
220
4
20
4
2ffff
8
270
8
200
8
2f...ff
2
8
220
8
20
8
2f...ff
1
0
20
2 n
i nif
n
n
i nif
n 1
20
2
1
0
20
2 n
in n
ifn
a
n
in n
ifn
A1
20
2
022
ffn
aA nn
1
0
0n
in n
abif
n
aba
n
in n
abif
n
abA
1
0
a b
La successione nS è decrescente e limitata inferiormente )sS( n 1
La successione ns è crescente e limitata superiormente )Ss( n 1
La differenza
Le due successioni convergono allo stesso limite
nn sS si può rendere piccola a piacere
l'area T del trapezoide
TSs nn
nn
limlim T
è data da
Un po’ di teoria…ALCUNE DEFINIZIONIa) FUNZIONE INFINITESIMA:
“ una funzione f(x) si dice infinitesima per se
0xx
)(lim:simboliIn )( 0xx
0 xfxf
xx
0)(lim:simboli.In 0)( 0xx
0
xfxf
xx
b)FUNZIONE INFINITA:
“una funzione si dice infinita per
se
0xx
c) INFINITESIMI( infiniti ) SIMULTANEI:“ se f(x) e g(x) sono INFINITESIME( infinite )perallora f e g si dicono infinitesimi (infiniti)
simultanei
0xx
)()( scrive si 1)(
)(lim
0
xgxfxg
xfxx
- ;0
0 ;
d)INFINITESIMI( infiniti) EQUIVALENTI:
“ dati due infinitesimi (infiniti) f(x)e g(x)simultanei per si dicono equivalenti
se
Osservazione: Nel calcolo dei limiti forme del tipo:
0xx
dette INDETERMINATE sono “da risolvere” nel senso che non c’è una “formula” che ti permette di trovare “ il risultato” ma questo cambia a seconda dell’esercizio e, pertanto per risolvere tali forme sarà necessario utilizzare opportune tecniche e pian piano impareremo qualcuna….
Una di queste tecniche consisterà nell’utilizzo opportuno di infinitesimi ( infiniti) equivalenti. Purtroppo questa tecnica non consente di risolvere qualsiasi forma indeterminata. Per risolvere qualsiasi forma di indeterminazione è necessario utilizzare altri teoremi ( Hopital, Taylor..)
CERCHIAMO infinitesimi equivalenti
Esercizio1
“Utilizzando Geogebra rappresenta in un unico sistema di assi cartesiani
le funzioni:
f(x)=senx e g(x) y=x e rispondi:
a) f e g sono infinitesimi simultanei per
b) cosa puoi osservare se “zummi”le fz. nell’intorno dell’origine?
c)è possibile ipotizzare nell’intorno dell’origine di sostituire un”pezzo” della funzione senx con x?
0x ?
d) Si può dire che senx ed x sono due infinitesimi equivalenti?
e) È esatto scrivere senx = x oppure senx
cioè : senx = x + “qualcosa”
dove questo qualcosa rappresenta una infinitesimo che tende a zero “più velocemente” di x?
x
Esercizio2
Seguendo le indicazioni dell’es.1 fai lo stesso per le seguenti funzioni:
x
b
a
2
1
2
2
1
2
1g(x) e x)(1 f(x) e)
x1g(x) e x)(1 f(x) d)
x g(x) e x)ln(1f(x) c)
x1 g(x) e ef(x) )
2
x-1g(x) e cos(x)f(x) )
x
2
Riassumiamo quanto osservato:
INFIITESIMI EQUIVALENTI e LIMITI NOTEVOLI
1lim
)( )1
0
x
senx
xoxsenxxsenx
x
1cos1
lim
)(02
1)cos(2
1)cos( )2
2ox
222
x
x
xx
xx
x
1)1ln(
lim
)()1ln()1ln(
0x
x
x
xoxxxx
11
lim
)(11
0
x
e
xoxexe
x
x
xx
Sempre nell’intorno dell’origine…
)(21)1(21)1( 22 xoxxxx
)(2
11)1(
2
11)1(1 2
1
2
12 xoxxxxx
0
)(11
con
xoxx
generaleIn
Un PRINCIPIO che utilizzeremo per il calcolo dei limiti
PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE degli infinitesimi:
lim)1(inf))2((inf
)3/1(inf)2/1(inf)1(inf
cos1lim
:
)(
)(lim
)()(
)()(lim
allora
g(x) a rispetto superiore moinfinitesi )(g
f(x) ad rispetto superiore moinfinitesi )(f
xper x
miinfinitesi )(g e g(x) )(f e f(x)
3
0
3
0
1
1
xx
1
1
0.
11
00
x
x
ordsords
ordsordsords
xx
xxsenx
ESEMPIO
xg
xf
xgxg
xfxf
x
xSupponiamo
xxSiano
xx
xx
ALTRI ESEMPI ….
202
)((
020
000
2
2
2
22
02
2
0
0
000
1)(1lim
1lim
1lim
1)(
2
1
2
1
lim
)()(2
11)(
2
11
lim11
lim
2
12
1)()(2
111
lim)(11
lim
.....35
lim
33
lim)3(3
lim3
lim
x
xox
x
e
x
e
x
xoxx
x
xoxxox
x
xx
x
x
x
xox
x
x
x
xsenxsen
x
x
x
xox
x
xsen
x
xox
x
senx
x
xxx
xx
x
xxx
GERARCHIA DEGLI INFINITI
x
x
bxx
a
loga
x
:enteSinteticam
destra a trovasi che quello a ispettosuperiorer ordine di
INFINITOun è ognuno ,per x allora
1ba, 0 , con b , x, log
funzioni di famiglie le Date
Il teorema garantisce che le funzioni logaritmiche tendono all’infinito molto lentamente.
vediamolo graficamente
PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE degli INFINITI
0lim)5inf())2/1(inf(
xe x infinf()1inf()3(loglim
:
)(
)(lim
)()(
)()(lim
allora
g(x) a rispetto inferiore infinito )(g
f(x) ad rispetto inferiore infinito )(f
per x
infinite )(g e g(x) )(f e f(x)
5
33
5
3
1
1
x
1
1
11
00
x
x
ordord
aderioreordordordif
xx
xxx
ESEMPIO
xg
xf
xgxg
xfxf
x
xSupponiamo
xxSiano
xx
x