FRATTALIFRATTALIFRATTALIFRATTALIProfili matematici di nuvoleProfili matematici di nuvoleProfili matematici di nuvole Profili matematici di nuvole

e fiocchi di nevee fiocchi di neve

Filmato introduttivo con frattali e musica frattaleFilmato http://www.webfract.it/FRATTALI/inde1x.htmFilmato http://www.webfract.it/FRATTALI/inde1x.htm

‘Un frattale è un oggetto geometrico fatto di parti in un certo senso simili al tutto’BenoBenoîît Mandelbrott Mandelbrot

Un oggetto frattale appare sempre con le stesse caratteristiche, qualunque sia laUn oggetto frattale appare sempre con le stesse caratteristiche, qualunque sia larisoluzione con la quale lo osserviamorisoluzione con la quale lo osserviamo

BenoBenoîît Mandelbrott Mandelbrot

risoluzione con la quale lo osserviamo.risoluzione con la quale lo osserviamo.Ingrandendo la figura si ottengono forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento Ingrandendo la figura si ottengono forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento invece di perdere dettaglio, si arricchisce di nuovi particolari.invece di perdere dettaglio, si arricchisce di nuovi particolari.

L’ombrello dell’Angelica appare formato da tanto ombrelli minori,che a loro volta contengono tanti ombrellini simili, che a loro volta … etc…

Cavolo broccolo

Ogni ramo dell’infiorescenzaè ifiè ramificato in modo simile all’intero cavolo

Il fascino di queste figure è che sono complesse, ma di una complessità che non ci Il fascino di queste figure è che sono complesse, ma di una complessità che non ci disorienta. Esse risultano familiari e decifrabili alla nostra mente:la loro complessità disorienta. Esse risultano familiari e decifrabili alla nostra mente:la loro complessità

èènasce da leggi semplici ed è in sostanza un ripetersi ridondante di un' idea inizialenasce da leggi semplici ed è in sostanza un ripetersi ridondante di un' idea iniziale

..

NUVOLENUVOLENUVOLENUVOLEGrandi cumuli costituiti di molte protuberanze, a loro volta contenenti Grandi cumuli costituiti di molte protuberanze, a loro volta contenenti rigonfiamenti più piccoli fatti di altri rigonfiamenti e così via fino allerigonfiamenti più piccoli fatti di altri rigonfiamenti e così via fino allerigonfiamenti più piccoli, fatti di altri rigonfiamenti, e così via, fino alle rigonfiamenti più piccoli, fatti di altri rigonfiamenti, e così via, fino alle dimensioni più piccole che si è in grado di vedere. dimensioni più piccole che si è in grado di vedere. Esempi di oggetti geometrici non convenzionali, per lo studio dei quali è Esempi di oggetti geometrici non convenzionali, per lo studio dei quali è stata sviluppata la geometria frattale.stata sviluppata la geometria frattale.pp gpp g

‘‘I f tt li d i l l ’I f tt li d i l l ’‘‘I frattali servono a descrivere le nuvole’I frattali servono a descrivere le nuvole’BenoBenoîît Mandelbrott MandelbrotBenoBenoîît Mandelbrott Mandelbrot

Che forma ha un fiocco di neve?Che forma ha un fiocco di neve?Che forma ha un fiocco di neve?Che forma ha un fiocco di neve?Ian StewartIan Stewart

Fiocco di neve realeFiocco di neve reale

Fiocchi di neve frattaliFiocchi di neve frattaliFiocchi di neve frattaliFiocchi di neve frattali

Particolari dell’insieme di Mandelbrot trovati utilizzando Fractint

Fiocco di neve di von KochFiocco di neve di von KochFiocco di neve di von KochFiocco di neve di von KochC t i d l f tt l ‘Fi di ’ di K hC t i d l f tt l ‘Fi di ’ di K hCostruzione del frattale ‘Fiocco di neve’ di von KochCostruzione del frattale ‘Fiocco di neve’ di von Koch

Prima di MandelbrotPrima di MandelbrotPrima di MandelbrotPrima di Mandelbrot

I matematici avevano iniziato a descrivere i I matematici avevano iniziato a descrivere i frattali un secolo prima (e ancor prima alcuni fil fi itt i li i t iti) lfilosofi e scrittori li avevano intuiti) , ma le loro idee erano state ignorate fino a quando Mandelbrot non ne ha tratto una disciplina coerente e fruttuosa .d sc p a coe e te e uttuosa

Intuizioni filosofiche o fantascientificheIntuizioni filosofiche o fantascientificheIntuizioni filosofiche o fantascientificheIntuizioni filosofiche o fantascientifiche

‘Ogni porzione di materia può essere concepita come un giardino ‘Ogni porzione di materia può essere concepita come un giardino pieno di piante e come uno stagno pieno di pesci; ma ogni ramo di pieno di piante e come uno stagno pieno di pesci; ma ogni ramo di pianta, ogni membro di animale, ogni goccia dei loro umori, è ancora pianta, ogni membro di animale, ogni goccia dei loro umori, è ancora un giardino simile un simile stagno’un giardino simile un simile stagno’un giardino simile, un simile stagnoun giardino simile, un simile stagno

Leibniz, Leibniz, MonadologiaMonadologia, 1714, 1714

‘Ci sono mondi infiniti all’intero di un mondo infinito. Immagina dunque ‘Ci sono mondi infiniti all’intero di un mondo infinito. Immagina dunque l’universo come un enorme organismo. All’interno di esso le stelle, che l’universo come un enorme organismo. All’interno di esso le stelle, che sono mondi sono come una serie ulteriore di vasti organismi ciascunosono mondi sono come una serie ulteriore di vasti organismi ciascunosono mondi, sono come una serie ulteriore di vasti organismi, ciascuno sono mondi, sono come una serie ulteriore di vasti organismi, ciascuno dei quali funziona a sua volta come mondo per popolazioni inferiori dei quali funziona a sua volta come mondo per popolazioni inferiori come noi, i nostri cavalli ecc. Anche noi, a nostra volta, siamo mondi, come noi, i nostri cavalli ecc. Anche noi, a nostra volta, siamo mondi, dal punto di vista di alcuni organismi incomparabilmente più piccoli di dal punto di vista di alcuni organismi incomparabilmente più piccoli di

i ti i i id hi i iti iù i li E i ii ti i i id hi i iti iù i li E i inoi, come certi vermi, i pidocchi e i parassiti più minuscoli. Essi poi noi, come certi vermi, i pidocchi e i parassiti più minuscoli. Essi poi sono le Terre di altri, ancor più impercettibilisono le Terre di altri, ancor più impercettibili ‘‘

S i i CS i i C L’A t dL’A t d 16571657 16621662Savinien Cyrano, Savinien Cyrano, L’Autre mondeL’Autre monde, 1657, 1657--16621662

Curva di PeanoCurva di Peano(Giuseppe Peano, 1858(Giuseppe Peano, 1858--1932)1932)

Peano scoprì, nel 1890, una curva in grado di riempire il piano ‘senza buchi’. Peano scoprì, nel 1890, una curva in grado di riempire il piano ‘senza buchi’. La curva di Peano impressionò tanto Hilbert, che definì curve analoghe La curva di Peano impressionò tanto Hilbert, che definì curve analoghe ‘Curve Mostruose’.‘Curve Mostruose’.

Gaston JuliaGaston Julia –– Pierre FatouPierre FatouGaston Julia Gaston Julia Pierre FatouPierre Fatou(1893(1893--1978) (18781978) (1878--1929)1929)

Pionieri della teoria dei frattaliPionieri della teoria dei frattali G. JuliaG. Julia –– "Memoria sull'iterazione delle funzioni"Memoria sull'iterazione delle funzioniG. Julia G. Julia Memoria sull iterazione delle funzioni Memoria sull iterazione delle funzioni

razionali"razionali",, pacco inviato alll'Académie des Sciencespacco inviato alll'Académie des Sciences, , luglio 1978luglio 1978

Prix de France 1918Prix de France 1918 Prix de France 1918Prix de France 1918

P. Fatou P. Fatou –– ‘Teoria dell’iterazione‘Teoria dell’iterazione’ ’ –– dicembre 1917dicembre 1917-- nota scritta nota scritta

su su Les Comptes RendusLes Comptes Rendus de l'Académie des Sciencesde l'Académie des Sciences

Insieme di Julia

Mostri matematiciMostri matematici(curve non ‘lisce’)(curve non ‘lisce’)

Polvere di CantorPolvere di Cantor (1872)(1872)

Georg Cantor (1845Georg Cantor (1845--1918)1918)

‘Dato un segmento di lunghezza unitaria, lo si divida in tre parti uguali ‘Dato un segmento di lunghezza unitaria, lo si divida in tre parti uguali e si asporti la parte centrale. Rimangono due segmenti: ad ognuno di e si asporti la parte centrale. Rimangono due segmenti: ad ognuno di essi si applichi lo stesso procedimento all’infinito’essi si applichi lo stesso procedimento all’infinito’essi si applichi lo stesso procedimento all infinitoessi si applichi lo stesso procedimento all infinito

lnsieme di Cantor dopo 5 iterazionilnsieme di Cantor dopo 5 iterazioni

Dopo 10 passaggi vi saranno 210 intervalli di lunghezza (1/3)10, cioè 0,0000169…It d il di t ll’i fi it l l h d li i t lli di i llIterando il procedimento all’infinito, la lunghezza degli intervalli diviene nulla, cioè rimangono solo (infiniti) singoli punti: è la ‘polvere di Cantor’.

Curva di PeanoCurva di Peano--HilbertHilbertCurva di PeanoCurva di Peano Hilbert Hilbert David Hilbert (1862David Hilbert (1862--1943)1943)

Si replica ad ogni passo 4 volte il Si replica ad ogni passo 4 volte il modulo basemodulo base,,effettuando alcune rotazioni e interconnessionieffettuando alcune rotazioni e interconnessioni

Curva di von KochCurva di von KochHelge Von Koch (1870/1924)Helge Von Koch (1870/1924)

“Dato un triangolo equilatero di lunghezza unitaria, si divida ogni lato in tre parti “Dato un triangolo equilatero di lunghezza unitaria, si divida ogni lato in tre parti e si sostituisca quella centrale con due segmenti uguali a quello eliminato.e si sostituisca quella centrale con due segmenti uguali a quello eliminato.Otteniamo quattro segmenti: su ognuno di essi si applichi lo stesso procedimentoOtteniamo quattro segmenti: su ognuno di essi si applichi lo stesso procedimentoOtteniamo quattro segmenti: su ognuno di essi si applichi lo stesso procedimentoOtteniamo quattro segmenti: su ognuno di essi si applichi lo stesso procedimentoall’infinito.”all’infinito.”

Fiocchi di neve di Von KochFiocchi di neve di Von KochFiocchi di neve di Von KochFiocchi di neve di Von Koch

Triangolo di SierpinskiTriangolo di Sierpinskig pg pWacław SierpińskiWacław Sierpiński (1882(1882--1969)1969)

‘Dato un triangolo equilatero pieno, lo si divida in 4 triangoli equilateri e si rimuova il triangolo centrale rivolto verso il basso. Rimangono 3 triangoli: ad ognuno di essi si applichi lo stesso procedimento all’infinito’

Tappeto di SierpinskiTappeto di SierpinskiTappeto di SierpinskiTappeto di SierpinskiCome prima, partendo da un quadrato levando il quadrato al centro di lato 1/3levando il quadrato al centro di lato 1/3

Spugna di SierpinskiSpugna di SierpinskiSpugna di SierpinskiSpugna di SierpinskiSi parte da un cubo di lato 1 e si leva il cubetto centrale di lato 1/3Si parte da un cubo di lato 1 e si leva il cubetto centrale di lato 1/3

Mandelbrot Mandelbrot e i frattalie i frattali

BenoBenoîîtt M d lb tM d lb t èè BenoBenoîît t MandelbrotMandelbrot è un è un matematico nato a Varsavia nel matematico nato a Varsavia nel 1924. Egli scoprì il suo frattale quasi 1924. Egli scoprì il suo frattale quasi per caso mentre conduceva degliper caso mentre conduceva degliper caso, mentre conduceva degli per caso, mentre conduceva degli esperimenti per l’IBM; con l'aiuto esperimenti per l’IBM; con l'aiuto della computerdella computer--grafica, partendo dal grafica, partendo dal frattale di Gaston Julia del 1918frattale di Gaston Julia del 1918frattale di Gaston Julia del 1918 frattale di Gaston Julia del 1918

Nel 1973 Mandelbrot pubblicò "Nel 1973 Mandelbrot pubblicò "Les Les Objets fractalsObjets fractals : forme, : forme, jjhasard, et dimension”hasard, et dimension”, , nel nel quale descriveva in termini grafici le quale descriveva in termini grafici le forme naturali spiegando attraverso forme naturali spiegando attraverso p gp gun rigoroso modello matematico la un rigoroso modello matematico la loro complessità e fondando la loro complessità e fondando la geometria dei frattaligeometria dei frattaligg

D l libD l lib ‘Les Objets fractals’‘Les Objets fractals’Dal libroDal libro Les Objets fractalsLes Objets fractalsNel presente saggio vengono studiati oggetti naturali assai diversi [ ]Nel presente saggio vengono studiati oggetti naturali assai diversi [ ]Nel presente saggio vengono studiati oggetti naturali assai diversi […] Nel presente saggio vengono studiati oggetti naturali assai diversi […] ricorrendo all’aiuto di un’ampia famiglia di oggetti geometrici ritenuti finoraricorrendo all’aiuto di un’ampia famiglia di oggetti geometrici ritenuti finoraesoterici e inutilizzabili, e che io mi propongo di dimostrare che meritanoesoterici e inutilizzabili, e che io mi propongo di dimostrare che meritanodi essere presto integrati nella geometria elementare in ragione delladi essere presto integrati nella geometria elementare in ragione delladi essere presto integrati nella geometria elementare in ragione delladi essere presto integrati nella geometria elementare in ragione dellasemplicità, della diversità e della portata davvero straordinaria delle lorosemplicità, della diversità e della portata davvero straordinaria delle loronuove applicazioni. Benché il loro studio sia di pertinenza di disciplinenuove applicazioni. Benché il loro studio sia di pertinenza di discipline

i ifi h di i l i l’ i [ ]i ifi h di i l i l’ i [ ] li ili iscientifiche diverse, tra cui la geometria, l’astronomia […], scientifiche diverse, tra cui la geometria, l’astronomia […], gli oggettigli oggettinaturali hanno in comune la caratteristica di essere di formanaturali hanno in comune la caratteristica di essere di formaestremamente irregolare o interrotta; per studiarli ho concepito,messoestremamente irregolare o interrotta; per studiarli ho concepito,messoa punto e largamente utilizzato una nuova geometria della natura.a punto e largamente utilizzato una nuova geometria della natura.

La nozione che fa da filo conduttore sarà designata con uno dei dueLa nozione che fa da filo conduttore sarà designata con uno dei dueggneologismi sinonimi “neologismi sinonimi “oggetto frattaleoggetto frattale” e “” e “frattalefrattale” da me concepiti per le” da me concepiti per lenecessità di questo libro e che si richiamano all’aggettivo necessità di questo libro e che si richiamano all’aggettivo latino “fractus”,latino “fractus”,che significache significa “interrotto”“interrotto” oo “irregolare”“irregolare”che significa che significa interrotto interrotto oo irregolare .irregolare .

-- Mandelbrot non vuole spiegare i Mandelbrot non vuole spiegare i mostrimostri, ma presentare , ma presentare un’un’ideaidea: esaminare nuovi procedimenti matematici e: esaminare nuovi procedimenti matematici eunun ideaidea: esaminare nuovi procedimenti matematici e : esaminare nuovi procedimenti matematici e creare modelli per descrivere i fenomeni naturali, per la cui creare modelli per descrivere i fenomeni naturali, per la cui misurazione la geometria euclidea è inadeguatamisurazione la geometria euclidea è inadeguata

-- Studia le Studia le disgustose piaghedisgustose piaghe (= figure matematiche (= figure matematiche anomale) e scopre che possono servire per descrivereanomale) e scopre che possono servire per descrivereanomale) e scopre che possono servire per descrivere anomale) e scopre che possono servire per descrivere situazioni molto disparate: la frequenza delle galassie nello situazioni molto disparate: la frequenza delle galassie nello spazio, la misurazione delle coste, la struttura dell’apparato spazio, la misurazione delle coste, la struttura dell’apparato circolatorio e respiratorio, le bolle di sapone, le nuvole, i circolatorio e respiratorio, le bolle di sapone, le nuvole, i fiocchi di neve…fiocchi di neve…

Quanto è lunga la costa della Gran Bretagna?Quanto è lunga la costa della Gran Bretagna?Quanto è lunga la costa della Gran Bretagna?Quanto è lunga la costa della Gran Bretagna?

Dipende dalla scala alla quale viene fatta laDipende dalla scala alla quale viene fatta lamisura: posso prendere come unità di misura misura: posso prendere come unità di misura -- il metroil metro

il ti til ti t-- il centimetro il centimetro -- il millimetroil millimetro-- il micronil micron

il nanometroil nanometro-- il nanometroil nanometro-- ….….Ad ogni passo la misura cresce: possoAd ogni passo la misura cresce: possoprendere in considerazione ogni promontorioprendere in considerazione ogni promontorioprendere in considerazione ogni promontorio,prendere in considerazione ogni promontorio,ogni anfratto, ogni scoglio, ogni granello diogni anfratto, ogni scoglio, ogni granello disabbia, ogni microorganismo presente….. sabbia, ogni microorganismo presente…..

Un tratto di costa può essere visto come unUn tratto di costa può essere visto come un

tratto di curva frattaletratto di curva frattale

La natura è frattaleLa natura è frattale??La natura è frattaleLa natura è frattale??coste della Norvegia profilo di montagnecoste della Norvegia profilo di montagne

FulmineFulmine lastra di ghiaccio incrinatalastra di ghiaccio incrinata

Bordo strappato Bordo strappato di una bustadi una busta

Bordo di una fogliaBordo di una foglia

Il nostro corpo è frattale?Il nostro corpo è frattale?Il nostro corpo è frattale?Il nostro corpo è frattale?‘‘Si ritiene che in qualche modo i frattali abbiano Si ritiene che in qualche modo i frattali abbiano qqcorrispondenze con la struttura della mentecorrispondenze con la struttura della mente, , è per questo che la è per questo che la gente li trova così familiarigente li trova così familiari. . Questa familiarità è ancora un mistero e più si Questa familiarità è ancora un mistero e più si approfondisce l'argomento più il mistero aumentaapprofondisce l'argomento più il mistero aumenta ’’

Intestino Intestino –– struttura frattale dei villi intestinali struttura frattale dei villi intestinali

Struttura frattale dei vasi Cervello umano e frattale(Fractint)Struttura frattale dei vasi Cervello umano e frattale(Fractint)sanguigni del cuoresanguigni del cuoresanguigni del cuoresanguigni del cuore

Frattali nell’infinitamente grande Frattali nell’infinitamente grande gge nell’infinitamente piccoloe nell’infinitamente piccolo

Strutture frattali si trovano sia nello studio dell’universo che in quello delleStrutture frattali si trovano sia nello studio dell’universo che in quello delleparticelle elementariparticelle elementari

distribuzione delle galassiedistribuzione delle galassie jet adronicijet adronici

Caratteristiche dei frattaliCaratteristiche dei frattaliCaratteristiche dei frattaliCaratteristiche dei frattali aautosimilaritàutosimilarità: ogni piccola parte dell’oggetto è una : ogni piccola parte dell’oggetto è una

immagine in scala ridotta dell’oggetto interoimmagine in scala ridotta dell’oggetto intero struttura finestruttura fine: rivela dettagli ad ogni ingrandimento: rivela dettagli ad ogni ingrandimento struttura finestruttura fine: rivela dettagli ad ogni ingrandimento : rivela dettagli ad ogni ingrandimento irregolaritàirregolarità: non si può descrivere come luogo di punti che : non si può descrivere come luogo di punti che

soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche;soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche;soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche; soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche; se una funzione può descrivere il frattale, la funzione è se una funzione può descrivere il frattale, la funzione è ricorsivaricorsiva

dimensione frattaledimensione frattale: sebbene possa essere rappresentato : sebbene possa essere rappresentato in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la sua in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la sua dimensione non è necessariamente un intero; può esseredimensione non è necessariamente un intero; può esseredimensione non è necessariamente un intero; può essere dimensione non è necessariamente un intero; può essere una frazione, ma spesso anche un numero irrazionale una frazione, ma spesso anche un numero irrazionale

DIMENSIONE DIMENSIONE topologicatopologica(Euclide 300 a.C., Poincaré 1905, Hausdorff 1911)(Euclide 300 a.C., Poincaré 1905, Hausdorff 1911)

‘Delle grandezze, quella che ha dimensione uno è linea, ‘Delle grandezze, quella che ha dimensione uno è linea, quella che ne ha due è superficie quella che ne ha tre è corpoquella che ne ha due è superficie quella che ne ha tre è corpoquella che ne ha due è superficie, quella che ne ha tre è corpo. quella che ne ha due è superficie, quella che ne ha tre è corpo. E al di fuori di queste non si hanno grandezze.’E al di fuori di queste non si hanno grandezze.’

(Aristotele 350 a.C.)(Aristotele 350 a.C.)

Dimensione topologicaDimensione topologica: un insieme F ha dimensione topologica D : un insieme F ha dimensione topologica D quando ogni punto dell'insieme ha un intorno in F con frontiera di dimensione Dquando ogni punto dell'insieme ha un intorno in F con frontiera di dimensione D--11quando ogni punto dell insieme ha un intorno in F con frontiera di dimensione Dquando ogni punto dell insieme ha un intorno in F con frontiera di dimensione D--11..

DIMENSIONE FRATTALEDIMENSIONE FRATTALEDIMENSIONE FRATTALEDIMENSIONE FRATTALE

Frattale: oggetto autosimile Frattale: oggetto autosimile

Si parte da un oggetto in cui possiamo distinguere N Si parte da un oggetto in cui possiamo distinguere N copie autosimili copie autosimili

Ciascuna di queste copie si ottiene tramite un'omotetia Ciascuna di queste copie si ottiene tramite un'omotetia di rapporto di rapporto

DefinizioneDefinizione: La : La dimensione frattale Ddimensione frattale D è il numero è il numero D l N / l (1/D l N / l (1/ ))D = log N / log (1/ D = log N / log (1/ ))

Spiegazione della formulaSpiegazione della formulaSpiegazione della formulaSpiegazione della formula-- In dimensione 1: si divide un segmento in N=K segmentini In dimensione 1: si divide un segmento in N=K segmentini (simili alla figura iniziale)(simili alla figura iniziale) K=NK=N-- In dimensione 2: si divide un quadrato in N=KIn dimensione 2: si divide un quadrato in N=K22 quadratini quadratini (simili alla figura iniziale)(simili alla figura iniziale) K=NK=N1/21/2

-- In dimensione 3: si divide un cubo in N=KIn dimensione 3: si divide un cubo in N=K33 cubetti cubetti (simili alla figura iniziale)(simili alla figura iniziale) K=NK=N1/31/3

-- In dimensione D: si divide un ‘ipercubo’ in N=KIn dimensione D: si divide un ‘ipercubo’ in N=KDD ipercubetti ipercubetti (simili alla figura iniziale) (simili alla figura iniziale) K=NK=N1/D1/D

Rapporto di omotetia (sempre costante) Rapporto di omotetia (sempre costante) =1/K =1/K 1/K=1/N1/K=1/N1/D1/D

Ricaviamo D, prendendo i logaritmi di entrambi i membri: Ricaviamo D, prendendo i logaritmi di entrambi i membri:

log (1/K)= log (1/Nlog (1/K)= log (1/N1/D1/D) = ) = -- log(Nlog(N1/D1/D) = ) = --1/D log N 1/D log N g ( ) g (g ( ) g ( )) g(g( )) gg

D = D = -- log(N) / log (1/K) = log N / log K =log(N) / log (1/K) = log N / log K = log N / log (1/log N / log (1/))

‘Copiando’ la formula che vale per la dimensione topologica, si definisce‘Copiando’ la formula che vale per la dimensione topologica, si definiscedimensione frattaledimensione frattale

DDff= log N / log (1/= log N / log (1/))

ESEMPIESEMPIESEMPIESEMPITriangolo di SierpinskiTriangolo di Sierpinskig pg p-- Ogni triangoloOgni triangolo può essere può essere

diviso in 3 parti simili diviso in 3 parti simili ppall'intero triangolo all'intero triangolo

-- Ogni parte si ottiene con Ogni parte si ottiene con un'omotetia di rapporto un'omotetia di rapporto =1/2=1/2. . D=log 3 / log 2 = 1,5849...D=log 3 / log 2 = 1,5849...

Merletto di KochMerletto di KochMerletto di KochMerletto di Koch

-- Divido un segmento in 4 partiDivido un segmento in 4 partiDivido un segmento in 4 partiDivido un segmento in 4 parti-- Ripeto la divisione su ogni Ripeto la divisione su ogni

segmento ottenuto segmento ottenuto -- ….….-- Ogni parte può essere divisa in Ogni parte può essere divisa in

4 parti simili all'intero frattale4 parti simili all'intero frattale4 parti simili all intero frattale4 parti simili all intero frattale-- Ogni parte si ottiene con Ogni parte si ottiene con

un'omotetia di rapporto un'omotetia di rapporto =1/3. =1/3.

D=log 4 / log 3 = 1,2618…D=log 4 / log 3 = 1,2618…

Tipi di frattaliTipi di frattaliTipi di frattaliTipi di frattaliFrattali deterministici:- Frattali deterministici:

nel processo di costruzione del frattale la successiva trasformazione è certatrasformazione è certa. - Frattali stocastici o non deterministici:nel processo di costruzione del frattale intervienenel processo di costruzione del frattale interviene anche qualche parametro casuale

-- Frattali per sostituzione Frattali per sostituzione (Si inizia da una figura di base, e si sostituisce (Si inizia da una figura di base, e si sostituisce con un'altra figura; si ripete il procedimentocon un'altra figura; si ripete il procedimento; esempi: i ‘mostri frattali’)i ‘mostri frattali’)-- Frattali IFS (‘Iterated Function System: formule ricorsive reali)Frattali IFS (‘Iterated Function System: formule ricorsive reali)-- Frattali IFS ( Iterated Function System: formule ricorsive reali)Frattali IFS ( Iterated Function System: formule ricorsive reali)-- LL--frattalifrattali (di Lindenmayer)(di Lindenmayer)-- Formule ricorsive complesse Formule ricorsive complesse (frattali di Mandelbrot e di Julia)(frattali di Mandelbrot e di Julia)

Metodo IFS Metodo IFS SSi t di f i i it ti t di f i i it tSSistema di funzioni iterateistema di funzioni iterate

Si parte da una figura generatrice. Si parte da una figura generatrice. La figura generatrice viene sostituita con altre k che sono il risultatoLa figura generatrice viene sostituita con altre k che sono il risultato

Si it il di t i i ti ì iSi it il di t i i ti ì i

La figura generatrice viene sostituita con altre k che sono il risultato La figura generatrice viene sostituita con altre k che sono il risultato di riduzioni di scala, rotazioni e traslazioni (affinità).di riduzioni di scala, rotazioni e traslazioni (affinità).

Felce frattale IFSSi itera il procedimento sui nuovi punti, e così via.. Si itera il procedimento sui nuovi punti, e così via.. Questo processo, applicato per un numeroQuesto processo, applicato per un numeroelevato di iterazioni, tende a produrre unelevato di iterazioni, tende a produrre unattrattoreattrattore, cioè la figura desiderata, , cioè la figura desiderata, se le se le , g ,, g ,trasformazioni sonotrasformazioni sono contrattivecontrattive(Teorema di Caccioppoli),(Teorema di Caccioppoli),cioè se ogni figura trasformata risulta la copiacioè se ogni figura trasformata risulta la copiaid tt d ll' i i lid tt d ll' i i lridotta dell'originale.ridotta dell'originale.

Foglia di platano frattale IFSFoglia di platano frattale IFSFoglia di platano frattale IFSFoglia di platano frattale IFS

Nuvole Frattali (IFS)Nuvole Frattali (IFS)Nuvole Frattali (IFS)Nuvole Frattali (IFS)

Le forme diverse sono dovute all'introduzione del caso nella generazioneLe forme diverse sono dovute all'introduzione del caso nella generazionedei vertici di partenza (frattali stocastici)dei vertici di partenza (frattali stocastici)

LL--SistemiSistemiLL SistemiSistemiAristide Lindenmayer (1925Aristide Lindenmayer (1925--1989)1989)

Costruisce un frattale attraverso una lista ordinataCostruisce un frattale attraverso una lista ordinataCostruisce un frattale attraverso una lista ordinata Costruisce un frattale attraverso una lista ordinata di operazioni secondo undi operazioni secondo un’apposita grammatica.

L'applicazione delle regole è parallela e coinvolgecontemporaneamente tutti i simboli nella stringa data

alfabetoalfabeto V={A,B,C,D,…}V={A,B,C,D,…}alfabetoalfabeto V {A,B,C,D,…}V {A,B,C,D,…} iniziatoreiniziatore stringa di elementi di V stringa di elementi di V (parola)(parola)

regola di riscritturaregola di riscrittura p: V p: V ----> V* > V* (parole di V)(parole di V)

LAC1

Diapositiva 42

LAC1 Luisella Angela Caire; 24/02/2010

L’albero dei conigli di FibonacciL’albero dei conigli di FibonacciL albero dei conigli di FibonacciL albero dei conigli di Fibonacci

V={A,B}V={A,B} i={B}i={B}i {B}i {B} p: A p: A ----> AB> AB

BB AAp:p: B B ----> A> A

Alga chaetomorpha linumAlga chaetomorpha linumAlga chaetomorpha linumAlga chaetomorpha linum

V={A,B,C,D,E}V={A,B,C,D,E} i={A}i={A}i {A}i {A} p: A p: A ----> DB> DB

B B ----> E> E

CC > D> DC C ----> D> D

D D ----> E> E

E E ----> A> A

LL Sistemi e FrattaliSistemi e FrattaliLL--Sistemi e Frattali Sistemi e Frattali Le grammatiche di Lindenmayer danno luogo alle

più famose apparizioni della frattalità.

Prusinkiewicz (1989): legame tra gli L-sistemi e la “geometria della tartaruga”.

Iniziatore: figura piana Regola di riscrittura= regole di movimento della

tartaruga: si può spostare di un segmento di lunghezza fissata e può ruotare (a sinistra o a destra) di un angolo fissato.

ESEMPIESEMPIESEMPIESEMPI

Curva di Peano (quadrato pieno)Curva di Peano (quadrato pieno) Curva di HilbertCurva di Hilbert Triangolo di SierpinskiTriangolo di Sierpinski Triangolo di SierpinskiTriangolo di Sierpinski Curva del dragoneCurva del dragone Curva di Koch (fiocco di neve)Curva di Koch (fiocco di neve)

Alb iAlb i Alberi Alberi Merletto frattaleMerletto frattale

Sito interattivo per costruire LSito interattivo per costruire L--sistemi e frattalisistemi e frattaliUmbertoUmberto http://www.dm.unito.it/~cerruti/Az1/l2.htmlhttp://www.dm.unito.it/~cerruti/Az1/l2.html

Frattali da formule ricorsiveFrattali da formule ricorsiveFrattali da formule ricorsiveFrattali da formule ricorsivenel piano complessonel piano complessop pp p

si fissa un punto di partenza zsi fissa un punto di partenza z0, 0, dovedove zz00 = a + ib è = a + ib è un numero complesso ; un numero complesso ;

i punti successivi si calcolano ricorsivamente, cioèi punti successivi si calcolano ricorsivamente, cioèzzn+1n+1 = f(z= f(znn))

Numeri complessiNumeri complessiNumeri complessiNumeri complessi

z=a+ib dove i = z=a+ib dove i = --11 Rappresentazione dei numeri complessi nel piano di GaussRappresentazione dei numeri complessi nel piano di GaussRappresentazione dei numeri complessi nel piano di GaussRappresentazione dei numeri complessi nel piano di GaussEsempioEsempio: Z=3+2i: Z=3+2i

Modulo di z = a+ib : distanza di P (a b) da OModulo di z = a+ib : distanza di P (a b) da O Modulo di z = a+ib : distanza di P (a,b) da OModulo di z = a+ib : distanza di P (a,b) da O |z| = |z| = (a(a22+ b+ b22))

Frattale di MandelbrotFrattale di MandelbrotFrattale di MandelbrotFrattale di Mandelbrot

punto di partenzapunto di partenza zz00 = O = 0 + 0i= O = 0 + 0i formula ricorsivaformula ricorsiva zzn+1n+1 = z= znn

22 + c+ cn = 0n = 0 zz00 = 0 = 0 n = 1n = 1 zz11 = c = c n = 2n = 2 zz22 = c= c22+c +c

33 (( 22 ))22n = 3n = 3 zz33 = (c= (c22+c)+c)22+c +c n = 4n = 4 zz44 = [(c= [(c22+c)+c)22+c]+c]22+c +c

Proprietà:Proprietà: Le iterazioni porteranno z all'infinito se e solo se in qualche stadio delLe iterazioni porteranno z all'infinito se e solo se in qualche stadio delProprietà:Proprietà: Le iterazioni porteranno z all'infinito, se e solo se in qualche stadio del Le iterazioni porteranno z all'infinito, se e solo se in qualche stadio del processo z raggiunge un modulo maggiore o uguale a 2:processo z raggiunge un modulo maggiore o uguale a 2:

|z|z || 22 la successione è divergentela successione è divergente|z|znn| | 22 la successione è divergente la successione è divergente

|z|znn| < 2| < 2 la successione è convergentela successione è convergente

Insieme di MandelbrotInsieme di MandelbrotInsieme di MandelbrotInsieme di Mandelbrot Definizione:Definizione: L’L’insieme M di Mandelbrotinsieme M di Mandelbrot è l’insieme dei numeri è l’insieme dei numeri

complessicomplessi c C tali chetali che partendo da zpartendo da z =0=0 la successionela successionecomplessi complessi cC tali che, tali che, partendo da zpartendo da z00=0=0, la successione , la successione zzn+1n+1 = z= znn

22 + c si mantiene limitata (cioè se |z| < 2)+ c si mantiene limitata (cioè se |z| < 2)

Rappresentazione dell’insieme di MandelbrotRappresentazione dell’insieme di MandelbrotSe Se c M, il punto associato nel piano complesso è colorato in il punto associato nel piano complesso è colorato in neronero. . Ai puntiAi punti c M viene assegnato un colore basandosi su quanteviene assegnato un colore basandosi su quanteAi punti Ai punti c M viene assegnato un colore basandosi su quante viene assegnato un colore basandosi su quante iterazioni occorrono prima che |z| iterazioni occorrono prima che |z| 2 (velocità con cui la successione 2 (velocità con cui la successione zznn diverge). diverge). Ad esempio, si assegna il colore Ad esempio, si assegna il colore rossorosso ai punti per i quali |z| ai punti per i quali |z| 2 dopo 10 2 dopo 10 p gp g p p q | |p p q | | ppiterazioni, iterazioni, giallogiallo per i punti per i quali |z|per i punti per i quali |z|2 dopo 100 iterazioni2 dopo 100 iterazioni… …

Sito interattivo su frattali, Mandelbrot, JuliaSito interattivo su frattali, Mandelbrot, Julia UMBERTOUMBERTO http://www.dm.unito.it/~cerruti/Az1/galleria2.htmlhttp://www.dm.unito.it/~cerruti/Az1/galleria2.html

Fil t Vi i ll’i t di M JFilmato: Viaggio all’interno di M e JFILMATO ://www.youtube.com/watch?v=tjZa4Vut52U

Insieme di Julia Insieme di Julia (1918)(1918)

Gaston Julia (1893Gaston Julia (1893--1978)1978) Fissato c C si definisce

Lc := {z C | z → z1 → z2 → . . . → zn → . . . è una succ. limitata} (cioè esiste R > 0 tale che |zn| ≤ R per ogni n ≥ 0) Esempi

c = 0 z → z2 → . . . → z2n → . . . limitata se e solo se |z| ≤ 1L0 = {z C | |z| ≤ 1} = cerchio unitario

c = −1 0 →−1 → 0 →−1 → . . . limitata 0,−1 L-11→ 0 →−1 → 0 → . . . limitata 1 L-1i→ 2 →3 → 8 → . . . illimitata i L-11

c = 1 0 →1 → 2 →5 → . . . illimitata 0,1,2,5 ,.. L1i→ 0 →1 → 2→ . . . illimitata i L1½ i 3 /2→ ½ i 3 /2 → . . . limitata ½ i 3 /2 L1

Proprietà: Fissato c C c C Lc è un sottoinsieme del piano simmetrico rispettoall’origine e limitato.

Definizione Jc= Frontiera di Lc è l’insieme di Julia relativo a c

Osservazione:Osservazione: M= {c C : 0 Lc}

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA Benoît MandelbrotBenoît Mandelbrot -- Les objets fractals Les objets fractals -- Flammarion1975Flammarion1975 Benoit MandelbrotBenoit Mandelbrot -- The fractal geometry of nature The fractal geometry of nature -- Freeman 1982 Freeman 1982

(trad. it.: Gli oggetti frattali. Forma, caso e dimensione (trad. it.: Gli oggetti frattali. Forma, caso e dimensione -- Einaudi 1987Einaudi 1987Benoit Mandelbrot Benoit Mandelbrot -- “Nel mondo dei frattali” “Nel mondo dei frattali” -- edizioni D.R. 2001 edizioni D.R. 2001

Ian StewartIan Stewart -- Che forma ha un fiocco di neve?Che forma ha un fiocco di neve? –– Bollati Boringhieri 2003Bollati Boringhieri 2003 Aristid LindenmayerAristid Lindenmayer:: Mathematical models for cellular interactions in Development Mathematical models for cellular interactions in Development –– J. of J. of

theoretical Biology, vol. 18,1968theoretical Biology, vol. 18,1968 P.P. PrusinkiewiczPrusinkiewicz--A. LindenmayerA. Lindenmayer: The Algorithmic Beauty of Plants : The Algorithmic Beauty of Plants –– Springer,1990Springer,1990 http://scienzapertutti.lnf.infn.it/Quark/03/Dicembre/quark/newP/5.htmlhttp://scienzapertutti.lnf.infn.it/Quark/03/Dicembre/quark/newP/5.html http://www.webfract.it/http://www.webfract.it/ http://tomma25.altervista.org/cantor.htmhttp://tomma25.altervista.org/cantor.htm http://digilander.libero.it/pnavato/frattali/http://digilander.libero.it/pnavato/frattali/ http://www.miorelli.net/frattali/http://www.miorelli.net/frattali/ http://www.fi.isc.cnr.it/users/alessandro.torcini/Polo05.pdfhttp://www.fi.isc.cnr.it/users/alessandro.torcini/Polo05.pdf http://www.intercom.publinet.it/Frattali.htmhttp://www.intercom.publinet.it/Frattali.htm http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/lezioni/livornohttp://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/lezioni/livorno--bm.pdfbm.pdf http://math.bu.edu/people/bob/index.htmlhttp://math.bu.edu/people/bob/index.html http://www.dm.unito.it/~cerruti/Az1/frattali.htmlhttp://www.dm.unito.it/~cerruti/Az1/frattali.html