Diagrammi di Nyquist

Controlli Automatici

A.A. 2014/2015

Dr. Ing. A. Pilloni

Dipartimento di Ingegneria Elettrica ed Elettronica

Sommario

• Controllo in retroazione. Perchè?

• Stabilità a ciclo chiuso. Perchè? – Motivazioni

• Digramma di Nyquist (DN) – Analogie con il diagramma di Bode

– Margine di fase e di guadagno

• Tecniche di Tracciamento del DN

• Criterio di Nyquist

• Esempi

Controllo in retroazione. Perché?

• [Def.] In fisica e automazione la retroazione è la capacità di un sistema dinamico di tenere conto dei risultati del sistema per modificare le caratteristiche del sistema stesso.

• Es. Amplificatore Operazionale:

Controllo in retroazione. Perché? (2)

• L’unico modo per progettare un amplificatore con guadagno

d’amplificazione controllato è sfruttare la retorazione!!!

• Esempio:

Stabilità a ciclo chiuso. Perchè?

• Dato sistema dinamico (Es. Circuito elettronico, motore, impianto industriale)

• Il controllo automatico si prefigge di modificare il comportamento del sistema da controllare (ovvero le sue uscite) attraverso la manipolazione delle grandezze d'ingresso (legge di controllo)

• Ad esempio può richiedersi che l'uscita rimanga costante ad un valore prefissato al variare dell'ingresso (sistema di regolazione) oppure segua fedelmente la dinamica dell'ingresso stesso (sistema di asservimento)

• Questo è possibile se il sistema a ciclo chiuso è stabile

𝑃(𝑠)

𝑘 ⋅ 𝐶(𝑠) 𝑃(𝑠) -

u y

y u

y

ydes

Diagramma di Nyquist (1)

• Il diagramma di Nyquist è uno dei metodi classici per valutare la stabilità di un sistema lineare

• Permette di valutare la stabilità di un sistema a ciclo chiuso 𝑊 𝑠 = 𝐹(𝑠)/(1 + 𝐹(𝑠)) a partire dalla analisi della f.d.t. in catena aperta

𝑭 𝒔 = 𝒌 ⋅ 𝑪 𝒔 ⋅ 𝑷(𝒔)

• Fornisce al variare di 𝜔 da -∞ a + ∞, il valore nel piano complesso della f.d.t. :

𝐹 𝑗𝜔 = 𝑀 𝑗𝜔 ⋅ exp 𝑗𝜑 𝜔

𝐹(𝑠) -

Diagramma di Nyquist (2)

• Rapresentano una alternativa ai diagrammi di Bode per la rappresentazione della risposta armonica di una f.d.t. (in forma di Bode)

𝐹 𝑗𝜔 = 1 + 𝑗𝜔𝜏𝑖

𝑧𝑚𝑖=1

𝑗𝜔 𝜈 ⋅ (1 + 𝑗𝜔𝜏𝑖𝑝)𝑛−𝜈

𝑖=1

= 𝑀 𝑗𝜔 ⋅ exp 𝑗𝜑(𝜔)

• Es. per 𝜔 = 𝜔0

– 𝑀 𝜔0 = 𝑅𝑒 𝐹 𝑗𝜔02 + 𝐼𝑚 𝐹 𝑗𝜔0

2

– 𝜑 𝜔0 = atan𝐼𝑚 𝐹 𝑗𝜔0

𝑅𝑒 𝐹(𝑗𝜔0)

• Margini di stabilità:

– 𝑚𝑔 = 1/𝐹(𝑗𝜔𝑐𝑟)

– 𝑚𝜙 = ∠𝐹 𝑗𝜔𝑐 + 180 deg

𝜔1

𝜔2 𝜔3

𝜔1 < 𝜔2 < 𝜔3

Diagramma di Nyquist (3)

• L’andamento del DN per 𝜔 ∈ (−∞, 0] può essere ottenuto da quello per 𝜔 ∈ [0,+∞) per simmetria rispetto all’asse reale

• Partenza del diagramma di 𝑭 𝒋𝝎 per 𝝎 → 𝟎+:

– Modulo: lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔))

– Fase: lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 = arg 𝑘 − (𝜈𝑝−𝜈𝑧) ⋅𝜋

2

• Arrivo del diagramma di 𝑭 𝒋𝝎 per 𝝎 → +∞:

– Modulo: lim𝜔→+∞

𝐹(𝑗(𝜔))

– Fase: lim𝜔→ +∞

arg 𝐹 𝑗𝜔

• Per sistemi a fase minima si può utilizzare la relazione semplificata:

lim𝜔→ +∞

arg 𝐹 𝑗𝜔 = arg 𝑘 − 𝑛 − 𝑚 ⋅𝜋

2

Criterio di Nyquist (1)

• Con riferimento allo schema feedback standard,

Il sistema controllato è stabile se il numero di giri in senso

antiorario 𝑁 che la 𝐹(𝑗𝜔) compie intorno al punto (−1, 𝑗0), quando 𝜔 varia da −∞ a +∞, è uguale al numero di poli p.r.p. (𝑝𝐹) di 𝐹(𝑗𝜔)

𝑝𝑊 = 𝑝𝐹 − 𝑁 = 0

K P(s) -

Criterio di Nyquist (2)

• Hp: Il DN non chiude al finito per via di discontinuità – tra 𝜔 = 0− e 𝜔 = 0+ a causa di poli nell’origine

– tra 𝜔 = 𝜔𝑛− e 𝜔 = 𝜔𝑛

+ e 𝜔 = −𝜔𝑛− e 𝜔 = −𝜔𝑛

+ a causa di una coppia di poli immaginari puri con molteplicità 𝒎

• Per l’applicazione del criterio di Nyquist bisognerà considerare i poli a parte reale nulla come a parte reale negativa

• Eseguire una chiusura all’infinito in verso orario – di 𝜈 ⋅ 𝜋 [rad] nella discontinuità da 𝝎 = 𝟎− a 𝝎 = 𝟎+

– di m ⋅ 𝜋 [rad] nelle discontinuità da 𝝎 = 𝝎𝒏− a 𝝎 = 𝝎𝒏

+ e da 𝝎 = −𝝎𝒏− e

𝝎 = −𝝎𝒏+

Criterio Ridotto di Nyquist

• Per tutti i sistemi stabili a ciclo aperto si ha 𝑝𝐹 = 0, per cui si può valutare la stabilità mediante il Criterio Ridotto:

• Criterio Ridotto di Nyquist:

C.N.S. per la stabilità di un sistema di controllo a controreazione, stabile a ciclo aperto (𝑝𝐹 = 0) è che il numero di giri in senso antiorario che la 𝐹(𝑗𝜔) attorno al punto −1, 𝑗0 sia nullo

𝑁 = 0 → 𝑝𝑊 = 𝑝𝐹 − 𝑁 = 0

– In pratica il diagramma di Nyquist della 𝐹(𝑗𝜔) non deve circondare il punto (−1, 𝑗0).

Esempio 1

• 𝐹 𝑗𝜔 =1

1+𝑠

10

2

Esempio 1

• 𝐹 𝑗𝜔 =1

1+𝑠

10

2

• 𝑝𝐹 = 0 • Partenza

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) = 1

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 = 0

• Arrivo

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) =1

∞= 0

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 =

= arg 1 − 2 ⋅𝜋

2= 2𝜋

Esempio 2

• 𝐹 𝑗𝜔 =𝑘

𝑗𝜔 2 1+𝑗𝜔𝜏 , 𝝉 > 𝟎, 𝑘 > 0

Esempio 2

• 𝐹 𝑗𝜔 =𝑘

𝑗𝜔 2 1+𝑗𝜔𝜏 , 𝝉 > 𝟎, 𝑘 > 0

• 𝑝𝐹 = 0 → Criterio Ridotto

• Partenza

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) =k

0= ∞

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 = arg 𝑘 − 2 ⋅𝜋

2= −𝜋

• Arrivo

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) =1

∞3 = 0

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 =arg 𝑘 − 3 ⋅𝜋

2= −

3𝜋

2

𝜔 = 0+

𝜔 = 0− -1

• Il punto -1 sta a destra del diagramma quindi il sistema sarà instabile

𝑝𝑊 = 𝑝𝐹 − 𝑁 = 2

• Inoltre, poiché 𝑁 = −2 per qualsiasi valore di 𝑘 > 0, esso non potrà essere stabilizzato

Esempio 3

• 𝐹 𝑗𝜔 =𝑘

𝑗𝜔 2 1+𝑗𝜔𝜏 , 𝝉 < 𝟎, 𝑘 > 0

Esempio 3

• 𝐹 𝑗𝜔 =𝑘

𝑗𝜔 2 1+𝑗𝜔𝜏 , 𝝉 < 𝟎, 𝑘 > 0

• 𝑝𝐹 = 1

• Partenza

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) =k

0= ∞

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 = arg 𝑘 − 2 ⋅𝜋

2= −𝜋

• Arrivo

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) =1

∞3 = 0

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 =arg 𝑘 − 2 ⋅𝜋

2+

𝜋

2= −

𝜋

2

Il sistema sarà sempre instabile in

quanto 𝑁 = 0 per qualsiasi valore di 𝑘 > 0

𝑝𝑊 = 𝑝𝐹 − 𝑁 = 1

-1

Esempio 4 (1)

• 𝐹 𝑠 =1

1+𝑠2

𝜔𝑛2

=1

1+𝑠

𝑗𝜔𝑛1−

𝑠

𝑗𝜔𝑛

Esempio 4 (1)

• 𝐹 𝑗𝜔 =1

1+𝑠

𝑗𝜔𝑛1−

𝑠

𝑗𝜔𝑛

|𝑠=𝑗𝜔

Esempio 4 (2)

1

• 𝐹 𝑗𝜔 =1

1+𝑠

𝑗𝜔𝑛1−

𝑠

𝑗𝜔𝑛

|𝑠=𝑗𝜔

• 𝑝𝐹 = 0 → Criterio Ridotto

• Partenza

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) = 1

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 = 0

• Arrivo

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) =1

∞= 0

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 =arg 1 − 2 ⋅𝜋

2= 2𝜋

-1 𝜔 = 𝜔𝑛

−

𝜔 = 𝜔𝑛+

𝜔 = −𝜔𝑛+ 𝜔 = −𝜔𝑛

−

Esempio 5

• Modello dinamico del Pendolo inverso

• Linearizzazione attorno al punto di lavoro

• Funzione di trasferimento Posizione-Coppia Motrice

Esempio 5 (2)

• 𝐹 𝑗𝜔 =−0.1⋅𝑘

1−𝑠

2⋅ 1+

𝑠

5

• 𝑝𝐹 = 1

• Partenza

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) = 0.1 ⋅ 𝑘

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 = arg −0.1 ⋅ 𝑘 = −𝜋

• Arrivo

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) =1

∞2 = 0

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 =arg −0.1 ⋅ 𝑘 −𝜋

2+

𝜋

2= −𝜋

-1

-0.1k

Il sistema sarà stabile 𝑘 > 𝑘 in quanto per tale condizione

𝑁 = 1 per qualsiasi valore di

𝑝𝑊 = 𝑝𝐹 − 𝑁 = 1 − 1 = 0

Esempio 6 (1)

• 𝐹 𝑠 =𝑠

𝑠−1 2

Esempio 6 (1)

• 𝐹 𝑠 =𝑠

𝑠−1 2

• 𝑝𝐹 = 2

• Partenza

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) = 0

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 = arg 1 +𝜋

2= +

𝜋

2= −

3

2⋅ 𝜋

• Arrivo

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) =1

∞2 = 0

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 =arg 1 +𝜋

2+ 2 ⋅

𝜋

2 = −

𝜋

2

-1

Il sistema sarà stabile 𝑘 > 𝑘 in quanto per tale condizione

𝑁 =2 per qualsiasi valore di

𝑝𝑊 = 𝑝𝐹 − 𝑁 = 2 − 2 = 0

Esempio 7 (1)

• 𝐹 𝑠 =1+𝑠2

(𝑠+4)(𝑠+2)(𝑠−2)

Esempio 7 (2)

• 𝐹 𝑠 =1+𝑠2

(𝑠+4)(𝑠+2)(𝑠−2)

• 𝑝𝐹 = 1

• Partenza

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) =1

16

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 = arg −1

16= −𝜋

• Arrivo

– lim𝜔→0+

𝐹(𝑗(𝜔)) =∞2

∞3 = 0

– lim𝜔→0+

arg 𝐹 𝑗𝜔 =arg −1

16+ 2 ⋅

𝜋

2− 2 ⋅

𝜋

2+

𝜋

2 = −

𝜋

2

Il sistema sarà stabile 𝑘 > 𝑘 in quanto per tale condizione

𝑁 =2 per qualsiasi valore di

𝑝𝑊 = 𝑝𝐹 − 𝑁 = 2 − 2 = 0

Esempio 7 (3)

Il sistema sarà stabile per 𝑘 > 16 in quanto per tale condizione

𝑁 =1 per qualsiasi valore di

𝑝𝑊 = 𝑝𝐹 − 𝑁 = 1 − 1 = 0

-1/16

∞+

∞− 0+

Per 𝜔 = 𝜔𝑧 =1, il diagramma di Nyquist passerà per l’origine essendo questa la frequenza naturale degli zeri

La presenza di tali zeri comporterà anche un cambiamento repentino di fase che porterà il diagramma dal III° al I° quadrante

I° II°

III° IV°