Moti stratificati (3/5)

Idraulica Ambientale 2

a.a. 2005/06

Stratificazione e diffusione turbolenta

bTz

Tstratz RiaDD 10,,

Effetto della stratificazione (numero di Richardson)

2

dz

du

dz

dgRi

Coefficienti

2

U

HgRib

(definizione mediata)

Esercizi

mix verticale:

mezzo stratificato (cuneo salino)

scarico caldo

Temperatura come tracciante passivo (mix trasversale):

scarico caldo

Moti stratificati (4/5)

Idraulica Ambientale 2

a.a. 2005/06

Onde interne

onde di superfici isopicne (denistà costante)

stratificazione continua: “onde interne”

stratificazione a gradino (strati): “onde di interfaccia”, “onde di superficie”

Rif. bibl.: dispense di Socolofsky & Jirka, Special Topics in Mixing and Transport Processes in the Environment, 2005 (cap. 10)

Onde di interfaccia

ipotesi:• fluidi immiscibili• contorni superiori e inferiori rigidi• moto piano• moto inviscido (viscosità nulla, Re grande)

• moto irrotazionale in ogni strato• onde di piccola ampiezza

interfaccia

contorno rigido superiore

contorno rigido inferiore

Equazioni

Potenziale di velocità (moto irrotazionale) x

u

zw

Equazione di continuità

0

z

w

x

u0

2

2

2

2

yx

012

022

strato superiore

strato inferiore

gpdt

ud Equazione del moto(inviscido)

gz

p

dt

dw

x

p

dt

du

z

ww

x

wu

t

w

dt

dw

Condizioni al contorno

0 zFinterfaccia:

Condizione cinematica: 0dt

dF0

xxtzx

ut

w

in superficie (z=-h1) e al fondo (z=-h2) 01

1

h

h zw

0

2

2

h

h zw

Onda periodica nello spazio (x) e nel tempo

Condizione dinamica: 21 pp (le tensioni tangenziali sono nulle)

tkxf

Adimensionalizzazione e linearizzazione

* zaz * xx **0 , , wuUwu *

0

tU

at

0

x

ut

w

0*

**

*

**

x

ua

tw

ampiezza dell’onda lunghezza d’onda

1a

onde di piccola ampiezza 0

t

w

Condizione cinematica semplificata: 000

zz

tztw

gz

p

t

w

Condizione all’interfaccia (linearizzata)

Equazione del moto semplificata

0

gz

p

tz (in ogni strato)

0cgzpt

Teorema di Bernoulli non stazionario costante lungo una

linea di corrente

Lungo l’interfaccia (linea di corrente) 21 pp

gt

gt 2

221

11

Sistema da risolvere

gt

gt 2

221

11

01

tz

021

2

21

2

zx

Equazioni 0

22

2

22

2

zx

02

tz

Condizioni all’interfaccia(z=0)

Struttura della soluzione

tkxitkxatkxiatx sincosexp,

tkxizZtzx jj exp,, (notazione complessa)

Condizioni al contorno

01 z

02

z

1hz 2hz

Soluzione per lo strato j=1,2

02

2

2

2

yxjj

022

2

jj Zk

z

Z tkxia exp

tkxiZ jj exp

0

tzj all’interfaccia

(z=0)

kzDkzCZ jjj expexp

soluzione generale

iaDCk jj

al contorno(z= zc)

0zj 0expexp cjcj kzDkzC

Condizioni al contorno per determinare Cj e Dj

sistema di 4 equazioni in 4 incognite C1, C2, D1, D2

Soluzione kzDkzCZ jjj expexp

1

11 sinh

cosh

kh

hzk

k

iaZ

2

22 sinh

cosh

kh

hzk

k

iaZ

tkxikh

hzk

k

ia

expsinh

cosh

1

11

tkxikh

hzk

k

ia

expsinh

cosh

2

22

potenziale:

velocità nei due strati:

tkxia expposizione interfaccia:

le intensità rimangono indeterminate

tkxikh

hzka

xu

expsinh

cosh

1

111

tkxikh

hzka

xu

expsinh

cosh

2

222

tkxikh

hzkia

zw

expsinh

sinh

1

111

tkxikh

hzkia

zw

expsinh

sinh

2

222

tkxiZ jj exp

Relazione di dispersione

gt

gt 2

221

11

condizione dinamica all’interfaccia

gkhkhk 12

2

2

1

12

tanhtanh

relazione tra frequenza e numero d’onda

T

2frequenza-

periodo 2

knumero-lunghezza d’onda

celerità di propagazione

0

dxx

dtt

d tkxa cos 0 akdxdta

kdt

dxc

Casi particolari: dominio non limitato

1h 2h

12

12

gk

gkhkhk 12

2

2

1

12

tanhtanh

1tanh 1 kh

frequenza

onde di superficie

12

12

k

gccelerità

01

gkfrequenzak

gc celerità

onde di Boussinesq 21

2

kgfrequenza

k

gc

2

celerità

0

12

g

la celerità dipende da k lunghezze d’onda diverse si separano

Casi particolari: acqua bassa

01 kh 02 kh

2112

1221

hh

hhgk

gkhkhk 12

2

2

1

12

tanhtanh

11tanh khkh

frequenza celerità

2112

1221

hh

hhgc

onde di superficie 01

ghkfrequenza ghc celerità

onde di Boussinesq 21

21

21

hh

hhgk

frequenza celerità21

21

hh

hhg

la celerità non dipende da k onde non dispersive

Effetto della superficie libera

0cgzpt

condizione in superficie libera

relazione di dispersione 21214 ,,,, hhkf

onde lunghe (acqua bassa) di Boussinesq: due soluzioni semplificate

gHhhgc 21 H

hhg

hh

hhgc 21

21

21

modo esterno - veloce(onda di superficie)

modo interno - lento(interfaccia)

moto barotropico moto baroclinicop parallelo a p inclinato rispetto a

Onde stazionarie

effetto della dimensione finita del bacino: numero finito di semi-lunghezze d’onda

2

nL

L

nk

2numeri d’onda possibili

nT

L

kTc

22

celerità

periodonc

LT

2 modo esterno

gHn

LT

2

H1h

2h

modo interno

Hhh

gn

LT

21

2

(lento)

Onde di sessa (seiche)

vento eccita un’onda stazionaria con n=1

wind set-up: sollevamento

0 LFFF wrlx equilibrio mentre soffia il vento

202

1sl aHgF 202

1sr aHgF spinte idrostatiche 02 0 LHga ws

gH

La ws

2

set-up superficie

equilibrio tra le pressioni al fondo rl pp iisl ahgaahgp 2211

iisr ahgaahgp 2211 si aa12

set-up interfaccia

Stratificazione continua

gz

p

t

w

0

1

0

z

w

x

u

x

p

t

u

0

1

Equazioni linearizzate, ip. Boussinesq

continuità

q.d.m. orizzontale

incomprimibilità

q.d.m. verticale

3 equazioni in 4 incognite pgwu ,,,

la quarta equazione viene dall’incomprimibilità

00

dz

dw

t

0

gg

02

wNt

g

dz

dgN 0

0

2

Stratificazione continua: relazione di dispersione

modi verticali

modi orizzontalikx

2

mz

2

equazioni + condizioni al contorno

relazione di dispersione

22

222

mk

kN

22 Nonde

22 N non possono esserci onde

(frequenza di eccitazione maggiore dell’autofrequenza - Eigenfrequency)

Moti stratificati (5/5)

Idraulica Ambientale 2

a.a. 2005/06

InstabilitàAnalisi di stabilità idrodinamica:1. soluzione in moto laminare delle equazioni2. perturbazione della soluzione con piccoli disturbi (sinusoidali nel tempo e

nello spazio)3. sostituzione della soluzione perturbata nelle equazioni e linearizzazione

problema agli autovalori (eigenvalues)4. soluzione delle equazioni perturbate:

a. disturbo che cresce nel tempo instabilità assolutab. disturbo che cresce nello spazio instabilità convettivac. disturbo che decade stabilità

Riferimenti bibliografici: - Socolofsky & Jirka, Special Topics in Mixing and Transport Processes in the Environment, 2005 (dispense, cap. 11)- Drazin & Reid, Hydrodynamic stability (Second edition), Cambridge Mathematical Library, 2004

Instabilità di Kelvin-Helmholtz

Lavoro delle forze di galleggiamento

dy

dgO

dy

dygygygygB

2

dy

dgygygB

forze di galleggiamento

2

2

0

y

dy

dgd

dy

dg

y

2

20 y

dy

dgd

dy

dg

y

particella 1

particella 2

2ydy

dgWB

lavoro totale

lavoro

Variazione di energia cinetica

22

20

20 uuu

E

prima

2

0

222

uuu

E

dopo

velocità media

20

4uE

variazione di energia cinetica

Instabilità: approccio euristico

instabilità: quando l’energia cinetica persa è più grande del lavoro richiesto dalle forze di galleggiamento nello spostamento delle particelle di fluido

BWE

20

4y

dy

dgu

4

12

0

u

y

dy

dgRi

(senza viscosità)

Instabilità di Kelvin-Helmholtz

1U

2U

moto irrotazionalefluido idealepiccole perturbazioni…

u

Formulazione del problema

Condizione dinamica: 21 pp (le tensioni tangenziali sono nulle)

Equazioni

Condizione cinematica all’interfaccia (z=)

Condizioni al contorno

11 Uu z z

0111

z

w

y

v

x

u0222

z

w

y

v

x

u

0, 11 wv22 Uu 0, 22 wv

0111

y

vx

ut

w 0222

y

vx

ut

w

02 1

12

111

p

gzu

tcTeorema di Bernoulli

non stazionario (z=):0

2 2

22

222

p

gzu

tc

gu

tcg

u

tc

22

222

22

211

11

Soluzione del moto base

Perturbazione della soluzione

xUu

111

xUu

222

zw

11

yv

22

interfaccia

11 Uu

22 Uu

gzpp 101

gzpp 202 0interfaccia

1Linearizzazione

011 wv

022 wv

22

22

22

21

11

Uc

Uc costanti del trinomio di Bernoulli

yv

11

zw

22

Sistema per le perturbazioni (linearizzato)

g

xU

tg

xU

t2

22

21

11

1

011

xU

tz

021

2

21

2

21

2

zyx

Equazioni 0

22

2

22

2

22

2

zyx

022

xU

tz

Condizioni all’interfaccia(z=0)

Struttura della soluzione

lykxilykxstalykxistatx sincosexpexp,

lykxistzZtzx jj exp,, (notazione complessa)

Condizioni al contorno

01 02 z z

Relazione di dispersione

211

222 ikUsKgikUsKg

22 lkK numero d’onda totale

soluzione trovata con Maple

Coefficiente di amplificazione

21

122

21

221212

21

2211

KgUU

kUU

iks

stabilità neutrale

2212122

122 UUkKg

instabilità

>=

<

2212122

122

2121

2211 UUkKgiUU

iks

curva marginale kKl ,0

21

21

222

21

k

gUU

2=1000,1=995 2

112

0

Uk

KgRi

Casi particolari

Onde di gravità

Onde interne

Instabilità dovuta alle tensioni

Kgis

2212122

122

2121

2211 UUkKgiUU

iks

sempre stabili0,0,0 211 UU

0,0, 2121 UU 21

12

Kgis

stabili onde instabili12 12

2121 , UU

21212

21

221

2242UU

kUUikUU

ki

UUiks

sempre instabili

Effetto della tensione superficiale

x

z

p1

p2

221 xypp

esempio: onde generate sul marevelocità del vento minima, lunghezza d’onda (Kelvin, 1871; Chandrasekhar, 1961)

soluzione trovata con Maple

curva marginale

kk

gUU

21

12

21

21

222

21

kcrit

U)2crit

(condizione dinamica all’interfaccia)

mNmkgmkg /074.0,/1020,/25.1 32

31

smUU /6.621 cmkL 7.12

kKl ,0