Idraulica I

Note sull'utilizzo di questo file

Salerno. E' garantita la piena compatibilità con Microsoft Office Excel 2010 ® e versioni superiori

Chi inoltre lo desidera, può notificare allo scrivente le proprie osservazioni in merito.

per la comprensione dei passaggi alla base dello svolgimento di un quesito.

di questo file, preservando così l'originale da variazioni accidentali.

(Correnti a Superficie Libera), corrispondenti ai fogli di calcolo successivi il presente foglio "Note".

e delle operazioni logiche e matematiche più comuni, nel caso voglia intervenire sulle macro contenute.

Per contatti: [email protected].

Buona lettura

Fisciano, 17/10/2012

Ing. Giacomo Viccione

Il contenuto del presente file xls è stato redatto specificatamente per gli allievi dei corsi di "Idraulica I" e

"Idraulica e Costruzioni Idrauliche" tenuti presso la Facoltà di Ingegneria dell'Università degli Studi di

Ciò nonostante il file è disponibile a chiunque voglia prendere visione degli esercizi in esso contenuti.

La presente raccolta di esercizi svolti vuole costituire uno strumento utile di confronto; non va intesa

assolutamente come una guida necessaria per il superamento della prova scritta di esame.

Le procedure qui riportate sono state concepite per essere implementate in Microsoft Office Excel ® e

possono differire da quelle adottate dall'allievo al momento della prova scritta, per la quale è ammesso

il solo uso della calcolatrice. Ad esempio, qui il calcolo dell'indice di resistenza l secondo la formula di

Colebrook - White è condotto risolvendo in maniera automatica il polinomio F(l) = 0 con la funzione

interna "ricerca obiettivo"; l'allievo che al momento della prova dispone di una comune calcolatrice

scientifica dovrà risolvere manualmente lo stesso polinomio per tentativi. Ancora, il calcolo delle

lunghezze corrispondenti a due diametri commerciali da disporre in serie è qui condotto per via

matriciale mentre l'allievo è tenuto a procedere per sostituzione, se la propria calcolatrice non prevede

il calcolo con matrici. A ciò vorrei aggiungere che non è appropriato voler comprendere gli esercizi qui

contenuti, semplicemente prendendone visione (ciò costituisce ovviamente opinione personale dello

scrivente); è invece necessario possedere una preventiva conoscenza dei fondamenti teorici connessi

L'allievo è dunque invitato a risolvere autonomamente gli esercizi proposti, comparando

successivamente il proprio svolgimento con quello suggerito ed ovviamente confrontando i risultati.

Successivamente l'allievo è ovviamente libero di variare uno o più dati del problema in esame

(riportati in blu), chiedendosi preventivamente come muterebbe la soluzione per effetto del

cambiamento, verificando a posteriori se la propria deduzione è corretta. In questo modo l'allievo è

invitato a ragionare sul problema stesso. Per convenienza è allora opportuno modificare una copia

Gli esercizi svolti, sono organizzati nelle seguenti sezioni: "Idrostatica", "Idrodinamica" e "CSL"

Ciascun esercizio ammetterà uno o più metodi risolutivi indicati con il termine "Procedure".

E' opportuno infine che il lettore abbia conoscenze del linguaggio VBA (Visual Basic for Applications)

Esercitazioni del corso di Idraulica

Idrostatica

Esercizio N.1 21-Oct-08 Esercitazione in aula Civile Edile Architettura

all’altezza h rispetto la base del contenitore.

tre condizioni:

1.

2.

3.

Sezione dati

1 m

4 m

3 m

3.5 m

1300

900

L 2.5 m

B 4 m

1. caso

9.10 m

5.10 m

6630.00 65040.3

7.37 m

Passiamo quindi a determinare la pressione all'interfaccia fluido 2 - aeriforme

4.37 m

3930.00 38553.3

A questo punto tutti gli elementi per il tracciamento della distribuzione di pressione sono noti.

6.85 m

8905.00 87358.05

S 10.00

S 89050.00 873580.5 N

Infine, determiniamo la posizione del punto di applicazione della spinta

5.21

GC 0.08 m

6.93 m

2. caso

5.50 m

Nel serbatoio chiuso riportato in figura sono contenuti due liquidi di peso specifico g1 e g2; la parte

superiore è occupata da aria in pressione. Sulla parete è presente un portello rettangolare di

dimensioni B ´ L mentre sul fondo è praticato un piezometro semplice, in cui il menisco si attesta

L’allievo determini l’andamento della distribuzione di pressione lungo la verticale per le seguenti

h = h1 + h2 + 3 h3 / 5

h = h1 + h2 / 2

h = 2 h1 / 3

h0

h1

h2

h3

g1 kgf/m3

g2 kgf/m3

h

Per determinare la distribuzione delle pressioni lungo la verticale, determiniamo innanzitutto il PCIR2

O1A h - h1, posizione del PCIR1 rispetto l'interfaccia tra il liquido 1 e il liquido 2

pA kgf/m2 g1*O1A, pressione all'interfaccia A-A' tra i liquidi 1 e 2 N/m2

O2A pA / g2, posizione del PCIR2 rispetto l'interfaccia tra il liquido 1 e il liquido 2

O2B O2A - h2, posizione del PCIR2 rispetto l'interfaccia tra il liquido 2 e l'aeriforme

pB kgf/m2 g2 * O2B, pressione all'interfaccia tra il liquido 2 e il gas N/m2

Passiamo a determinare il modulo della spinta agente sul portello; il verso sarà individuato dal segno di pG.

O1G h - h0 - L/2, altezza d'acqua in corrispondenza del baricentro del portello

pG kgf/m2 g1 O1G, pressione in corrispondenza del baricentro del portello N/m2

m2 B * L, area del portello

kgf pG * S, spinta sul portello

IS m4 (B * L3)/12, momento di inerzia del portello intorno all'asse baricentrico

IS / (S * O1G), distanza del centro di spinta rispetto al baricentro

O1C O1G + GC, posizione del centro di spinta rispetto al piano dei carichi idrostatici del liquido 1

h

G

B

haria

1

2

1

2

3hh 2

1h L0h

1.50 m

1950.00 19129.5

2.17 m


-0.83 m

-750.00 -7357.5


3.25 m

4225.00 41447.25

S 10.00

S 42250.00 414472.5 N


5.21

GC 0.16 m

3.41 m

3. caso

2.67 m

-1.33 m

-1733.33 -17004

-1.93 m


-4.93 m

-4433.33 -43491


0.42 m

541.67 5313.75

S 10.00

S 5416.67 53137.5 N


5.21

GC 1.25 m

1.67 m

Per determinare la distribuzione delle pressioni lungo la verticale, determiniamo innanzitutto il PCIR2














h

Per determinare l'intera distribuzione delle pressioni lungo la verticale, determiniamo innanzitutto il PCIR2














h 0Lh 1

2hh 3

2

1

2

1

aria

h

B

G

1PCIR

PCIR2

A A'

B B'

O1

2O

G G'

1° caso 2° caso

G'G

O2

1O

B' B

A'A

2PCIRPCIR1

1PCIR

PCIR2

AA'

BB'

O1

2OG G'

3° caso


presente una calotta sferica A-B-C-A avente raggio R = 2.0m.

condizioni:

1.

2.

citate.

Sezione dati 1 atm

h 1.5 m 1.013E+05 Pa

R 2 m

1000 9810 conversione

1. caso

1.4 atm

Dopo aver convertito la pressione assoluta in relativa, determiniamo la posizione del PCIR sfruttando l'uguaglianza

delle pressioni all'interfaccia liquido - aeriforme

0.4 atm 40520.00 conversione

4.13 m

La distribuzione di pressione è ora nota. Procediamo al calcolo della spinta su parete curva

adottando quale volume di controllo, la calotta ABC

7.63 m

74855.00

S 12.57

940655.67 N

W 16.76

Si noti come le distribuzioni siano traslate in dipendenza del valore assunto dall'altezza h

Nel serbatoio chiuso riportato in figura è presente un liquido di peso specifico g = 1000kgf/m3; la

parte superiore è occupata da aria caratterizzata da un valore di pressione assoluta pari a pGAS. Sulla parete è

L’allievo determini l’andamento della distribuzione di pressione assoluta lungo la verticale per le seguenti due

pGAS = 1.4 atm (assoluta)

pGAS = 0.5 atm (assoluta)

inoltre si valuti il modulo della spinta agente sulla parete curva per ognuna delle condizioni sopra

g kgf/m3 N/m3

pair

pa N/m2

hPCIA pa / g, posizione PCIR del liquido rispetto all'interfaccia liquido-gas

hG h1 + h + R, affondamento del baricentro rispetto la linea di sponda

pG N/m2 g * hG, pressione esercitata nel baricentro

m2 p * R2, area della superficie circolare di traccia A-C

PAC pG * S, componente orizzontale della spinta

m3 2 * p * R3/3, volume della calotta

h 0Lh 1

2hh 3

2

1

2

1

aria

hB

G

1PCIR

PCIR2

A A'

B B'

O1

2O

G G'

1° caso 2° caso

G'G

O2

1O

B' B

A'A

2PCIRPCIR1

1PCIR

PCIR2

AA'

BB'

O1

2OG G'

3° caso

D

O RO

C

B

A

aria

R

h=1.5

m

G 164368.13 N

S 954908.36 N

2. caso

0.50 atm

Dopo aver convertito la pressione assoluta in relativa, determiniamo la posizione del PCIR sfruttando l'uguaglianza

delle pressioni all'interfaccia liquido - aeriforme

-0.5 atm -50650.00 conversione

-5.16 m

il valore negativo lascia intendere che il PCIR è più basso rispetto l'interfaccia

La distribuzione di pressione è ora nota. Procediamo al calcolo della spinta su parete curva

adottando quale volume di controllo, la calotta ABC

-1.66 m

-1663.10

il valore negativo lascia intendere che la spinta sulla parete piana del volume di

controllo ha verso opposto rispetto al caso precedente

S 12.57

-20899.12 N

W 16.76

G 164368.13 N

S 165691.44 N


figura, nell’ipotesi di livello idrico fisso nel tempo.

Sezione dati

h 5 m quota del pelo libero rispetto l'imbocco

d 0.3 m diametro della bocca

Calcolo

Q 0.350

g * W, componente verticale della spinta

(PAC2 + G2)0.5, risultante della spinta con il teorema di Pitagora (componenti ortogonali)

pair

pa N/m2

hPCIA pa / g, posizione PCIR del liquido rispetto all'interfaccia liquido-gas

hG h1 + h + R, affondamento del baricentro rispetto la linea di sponda

pG N/m2 g * hG, pressione esercitata nel baricentro

m2 p * R2, area della superficie circolare di traccia A-C

PAC pG * S, componente orizzontale della spinta

m3 2 * p * R3/3, volume della calotta


(PAC2 + G2)0.5, risultante della spinta con il teorema di Pitagora (componenti ortogonali)

L’allievo determini la portata effluente attraverso la bocca di Borda praticata nel serbatoio in

m3/s C * p * R2 * (2 * g * h)0.5, portata effluente, dove C = 0.5

Gp

PCIR1° caso

PCIR

2° caso

pG

Gh

ap

G' G

D

O RO

C

B

A

aria

R

h=1.

5m

G G'

pa

h G

d=0.3m

h=5.0m

Esercizio 4 21-Oct-08 Esercitazione in aula Civile Edile Architettura

L’allievo valuti la spinta sul portello ed il relativo punto di applicazione.

30 + = °

seconda cifra della matricola *2

1000 + =

terza cifra della matricola *50

R = 3.0 + = m

terza cifra della matricola *0,20

H = 2.5 + = m

prima cifra della matricola *0,40

ultime cifre della matricola scelta:

3

4

5

Sezione dati

a 50 ° 0.87266463 rad

g 1250 9800

R 4 m

H 3.70 m

A 50.27

7.70 m

5.90 m

57805.713678

S 2905632.09 N

I 201.06

0.52 m

8.22 m

Esercizio 5 21-Oct-08 Esercitazione in aula Civile Edile Architettura

peso trascurabile rimanga chiuso.

5500 + =

Sulla parete inclinata del serbatoio in figura è stato inserito un portello circolare di raggio R.

a =

g = kgf/m3

kgf/m3 N/m3

m2 p * R2, area del portello

xG H + R, distanza del baricentro con la linea di sponda

zG xG * sen a, affondamento del baricentro

pG N/m2 g * zG, pressione nel baricentro del portello

pG * A, spinta sul portello

m4 p * R4/4, momento di inerzia baricentrico di un cerchio

xC' GC = I/(A*xG), distanza del centro di spinta dal baricentro

xC xG + xC', distanza del centro di spinta dalla linea di sponda

Sul fondo di un serbatoio contenente liquido in quiete di peso specifico g, è inserito un portello

semisferico di raggio Rp incernierato nel punto O e libero di ruotare solo in senso orario. Nel punto

P, il portello è collegato ad un galleggiante di forma sferica di raggio Rs, tramite un filo

inestensibile e di peso trascurabile. Si valuti il minimo raggio del galleggiante affinché il portello di

g = N/m3

d=0.3m

h=5.0m


3.5 + = m

seconda cifra della matricola *0.10

= m

prima cifra della matricola *0.30

H = 7,5 + = m

terza cifra della matricola *0.20


3

4

5

Sezione dati

g 9.81

g 6500 63700

3.9 m

4.8 m

H 8.5 m

124.24

47.78

406.16

530.40

33786367.21 N

131766832.1 Nm

Poiché il portello è incernierato, si impone l'equazione di equilibrio ai momenti:

ovvero

4.69 m

Esercizio 6 24-Apr-07 Esercitazione in aula Civile Edile Architettura


3

4

5

g 9.81

a 50 ° 0.8727 rad

5500 53955

4150 40670

L 4 m

H 1.6 m

f 1.8 m

Rp =

Lp = Rp +

m/s2

kgf/m3 N/m3

Rp

Lp

Vss m3 2*p*Rs3/3, volume della semisfera

Ap m2 p*Rp2, area della superficie di delimitazione

Vsup m3 Ap H, volume del cilindro superiore

Vtot m3 Vss+Vsup, volume totale, sovrastante la parete curva

Gtot g*Vtot, peso totale del volume sovrastante la parete curva

MG,tot Rp*Gtot, momento del peso totale Gtot

As*Lp = MG,tot g * 4*p*Rs3/3 * Lp = MG,tot

dove As è la spinta di Archimede applicata sul galleggiante e diretta verso l'alto. Si ricava Rs:

Rs

Sulla parete inclinata rappresentata in figura è presente un portello rettangolare incernierato nel

punto C e libero di ruotare. Nella camera destra il liquido di peso specifico g2 intefaccia con un

aeriforme ad una quota coincidente con il baricentro del portello. L’allievo valuti la pressione

dell’aeriforme pGAS nel serbatoio in pressione affinché il portello rimanga chiuso.

m/s2

g1 kgf/m3 N/m3

g2 kgf/m3 N/m3

P

Lp

H

O

Rp

Rs

P

2

1

C aeriforme

2

1

G

G

1. Calcolo del momento indotto dalla spinta del liquido 1 (camera sinistra)

A 6.40

2.60 m

1.99 m

107463.01

687763.28 N

I 1.37

0.08 m

0.88 m

606642.48 Nm

I calcoli sopra riportati, relativi alla camera sinistra, sono comuni alle seguenti procedure per la camera destra.

2. Calcolo della pressione dell'aeriforme mediante il principio di sovrapposizione degli effetti

dovute all'aeriforme è costante.

0.80 m

3.20

0.40 m

(intersezione della superficie di separazione

fluido 2 - aeriforme con la parete inclinata)

0.31 m

12462.01

39878.44 N

1.33 m

(rispetto al quale dunque la distribuzione delle pressioni è triangolare)

-53171.25 Nm

108099.85

(ovvero sommatoria dei momenti con i loro segni = 0)

3. Calcolo della pressione dell'aeriforme senza il principio di sovrapposizione degli effetti

108099.85

-138367.81 Nm

2.66 m

3.87 m

a destra rispetto la linea di sponda

2.96 m

della porzione di portello bagnato a destra

Poiché il portello è incernierato, si impone l'equazione di equilibrio ai momenti, la cui scrittura dipende dall'imporre o meno

il principio di sovrapposizione degli effetti per la camera destra.

Nel primo caso (punto 2), occorre sommare il momento di una distribuzione costante su tutto il portello, indotto dalla forza di pressione:

M(pGAS) = pGAS*A*H/2

con il momento di una distribuzione triangolare di pressione, di seguito indicato con M(S2), il cui punto di nullo passa proprio per G.

Nel secondo caso (punto 3) si considera invece la reale distribuzione delle pressioni sulla porzione di portello bagnato a destra (di forma

trapezoidale per pGAS > 0, o a farfalla per pGAS < 0); pGAS potrà essere individuato imponendo ancora l'uguaglianza a zero dei momenti agenti; ovvero:

F(pGAS) = S Mi = 0

in cui F(pGAS), esprimente la somma algebrica dei momenti, costituisce una funzione pGAS; pGAS potrà essere determinato con la funzione

"ricerca obiettivo" di excel (punto 3.a), andando ad imporre F(pGAS) = 0 oppure direttamente per via analitica (punto 3.b).

Procediamo al calcolo di pGAS nei modi indicati.

m2 L*H, area del portello

xG1 f + H/2, distanza del baricentro dalla linea di sponda del fluido 1

zG1 xG1*sen a, affondamento del baricentro rispetto al PCIR1

pG1 N/m2 g1 * zG1, pressione nel baricentro del portello dovuta al fluido 1

S1 pG1 * A, spinta sul portello dovuta al fluido 1

m4 L*H3/12, momento di inerzia baricentrico del portello

xC' I/(A*xG), distanza del centro di spinta di S1 dal baricentro

b1 H / 2 + xC', braccio del risultante S1

M(S1) b1 * S1, momento indotto da S1

Per la camera destra, sovrapponiamo gli effetti del liquido e dell'aeriforme; su tutto il portello la distribuzione delle pressioni

Hd H / 2, porzione di portello asciutto a destra, ovvero bagnato

Ad m2 L*Hd, area della porzione di portello bagnato (ovvero della porzione di portello asciutto)

xG2 Hd / 2, distanza del baricentro dalla interfaccia fluido 2 - aeriforme

zG2 xG2*sen a, affondamento l'interfaccia

pG2 N/m2 g2 * zG2, pressione nel baricentro del portello dovuta al solo fluido 2

S2 pG1 *Ad, spinta sul portello dovuta al solo fluido 2

b2 Hd + 2 * Hd/3, braccio della spinta dovuta al solo fluido 2

M(S2) -b2 * S2, momento indotto da S2 (-orario)

pGAS N/m2 pressione gas da equilibrio alla rotazione: M(S1) + M(S2)+pGAS*A*H/2 = 0

3.a Ricerca della soluzione mediante la funzione ricerca obiettivo (cliccare sul tasto "calcola pGAS", macro "Idrostatica_Es6_Calcola_pGas")

Per altra via si ricava pGAS senza principio di sovrapposizione, risolvendo il polinomio F(pGAS) = 0 con la funzione ricerca obiettivo.

pGAS N/m2 pressione relativa di tentativo del gas:

il valore soluzione si ottiene cliccando sul pulsante "calcola pGAS"

M(pGAS) -pGAS*Ad*hd/2, momento indotto dall'aeriforme sulla porzione di portello asciutto (- orario)

hGAS pGAS/g2, posizione del PCIR2 rispetto l'interfaccia fluido 2 - aeriforme

xG2 hGAS / sen a + Hd / 2, distanza del baricentro della porzione di portello bagnato

zG2 xG2 * sen a, corrispondente affondamento del baricentro

120561.86

385797.96 N

0.17

0.0138 m

della porzione di portello bagnato a destra

1.21 m

-468274.67 Nm

0.00 Nm equilibrio alla rotazione espresso sotto forma di somma algebrica dei momenti:

(ovvero sommatoria dei momenti con i loro segni = 0)

Macro: "Idrostatica_Es6_Calcola_pGas"

3.b Ricerca della soluzione per via analitica

In realtà, la procedura per tentativi appena proposta può essere evitata perché la soluzione può essere dedotta per via analitica.

Ponendo infatti:

1.

L'equazione di equilibrio: 2.

può essere esplicitata come segue:

3.

4.

5.

= 2.96 m da eq. 5

= 108099.851 da eq. 1

Esercizio 7 24-Apr-07 test Civile Edile Architettura

vincolata ad una parete. L’allievo determini il modulo, direzione e verso della forza.

25000 + =


D = 4.0 + = m


H = 7.0 + = m



3

4

5

pG2 N/m2 g2 * zG2, pressione nel baricentro del portello dovuta al solo fluido 2

S2 pG2 * L * Hd, spinta sul portello prodotta dal fluido 2 e dall'aeriforme

I2 m4 L*Hd3/12, momento di inerzia baricentrico della porzione di portello bagnato a destra

xC2' I2/(xG2*L*Hd), distanza del centro di spinta dal baricentrico

b2 3Hd/2 + xC2', braccio del risultante S2

M(S2) -b2 * S2, momento indotto da S2 (- orario)

F(pGAS)

F(pGAS) = M(S1) + M(S2) + pGAS*Ad*Hd/2 = 0

M(S1) + M(S2) + pGAS*Ad*Hd/2 = 0

zG2

pGAS N/m2

Si noti la coincidenza di pGAS per ognuna delle procedure esposte (punto 2), (punto 3.a), (punto 3.b).

Lungo la parete verticale del serbatoio rappresentato in figura, contenente liquido in quiete di peso

specifico g, è inserito un portello semisferico di diametro D incernierato nel punto O e libero di

ruotare. Nel punto C, il portello è sottoposto ad una forza orizzontale esplicata da una molla

g = N/m3

C

O

ag

sen 2

Hp z d

2

GASG2

0 2

HA sen

2

Hz sen

Az

IH

2

3Az SM d

dd

2G2d2G

2dd2G21

ag

a

g

0 sen 2

HA

2

HAz sen I H

2

3Az SM

2d

d2d

d2G222dd2G21 a

ggagg

sen 2

HA sen I SMHAz 2

2d

d2221dd2G2 a

gagg

g 26000

D 4.4 m

H 8 m

10.2 m

265200

15.21

4032447.80 N

W 22.30

G 579829.10 N

a 0.1428 rad

I 18.40

di contenimento del volume di controllo considerato.

0.12 m

2.32 m

0.83 m

9349744.16 Nm

-478359.00 Nm

8871385.16 Nm

4032447.80 N

Si giunge allo stesso risultato considerando il momento del risultante:

S 4073921.58 N

Per il teorema di Varignon, la sua retta d'azione passa per il centro G della calotta

b 2.18 m

8871385.16 Nm

4032447.80 N

Esercizio 8 24-Sep-08 esame Civile Edile Architettura

portello comincia a ruotare.

B = 4.0 + = m


L = 3.5 + = m


H = 2.5 + = m


1.5 + = m


N/m3

Poiché il portello è incernierato in O, si impone l'equazione di equilibrio ai momenti. Si giunge allo stesso risultato

(Fmolla) considerando o il momento del risultante S o in alternativa i momenti delle componenti del risultante.

In altri termini il sistema di tre forze [Sx; Sy; Fmolla] è equivalente al sistema delle due forze [S; Fmolla].

Dove Sx º Pp e Sy º G con riferimento al volume di controllo coincidente con la semisfera.

zG H + D/2, affondamento del baricentro rispetto al PCIR1.

pG N/m2 g * zG, pressione nel baricentro del portello dovuta al solo fluido 2.

Sp m2 p * D2/4, area della superficie piana di contenimento del

volume di controllo considerato (calotta semisferica).

Pp pG * Sp, componente orizzontale della spinta.

m3 2 * p * R3 / 3, volume della calotta, dove R = D/2.

g * W, componente verticale della spinta.

tan-1(G / Pp), angolo del risultante rispetto un asse orizzontale.

m4 p*R4/4, momento di inerzia baricentrico della superficie piana

xc' I/(Sp*zG), distanza del centro di spinta dal baricentro.

boriz D/2 + xc', braccio della componente orizzontale della spinta.

bvert 3*D/16, braccio della forza peso.

Moriz borizz * Pp, momento indotto dalla componente orizzontale della spinta.

Mvert bvert * G, momento indotto dalla componente verticale della spinta (forza peso).

Mtot Moriz + Mvert, momento delle componenti del risultante.

Fmolla Mtot / (D /2), momento esercitata dalla molla per l'equilibrio

(Pp2 + G2)1/2, modulo del risultante

(D / 2) * cos a, braccio del risultante

Mtot b * S, momento del risultante (da notare la coincidenza con il momento sopra calcolato)

Fmolla Mtot / (D /2), momento esercitata dalla molla per l'equilibrio.

Il sistema rappresentato in figura è costituito da due serbatoi separati dalla parete OPQRS,

incernierata in O e libera di ruotare in senso antiorario. Tale parete presenta nella parte centrale una

superficie semisferica di raggio Rs, sulla quale insiste il serbatoio superiore contenente liquido di peso

specifico gs. L’allievo valuti il valore limite della lettura del manometro semplice hp, oltre il quale il

hs =

C

O

1.0 + = m


1500 + =

prima cifra della matricola *50

10000 + =



4

6

6

g 9.81

B 4.3 m

L 3.8 m

H 2.7 m

1.7 m

1.3 m

1700 16677

g 10000

parte curva PQR) e del risultante inferiore (applicato in Q) sono uguali.

5.31

9.03

4.60

13.63

227260.51 N

agente sulla parte curva PQR.

(dedotta considerando il volume di controllo virtuale compreso tra il piano dei carichi

idrostatici di tentativo e la superficie curva PQR).

Equazione di equilibrio.

Da cui si ricava la massima altezza nel piezometro:

1.11 m

Esercizio 9 5-Feb-08 esame Civile Edile Architettura

Rs =

gs = kgf/m3

g = N/m3

m/s2

hs

Rs

gs kgf/m3 N/m3

N/m3

Poiché la parete OPQRS è incernierata in O, si impone l'equazione di equilibrio ai momenti. Il sistema delle forze in gioco è

costituito da vettori verticali; tale sistema è inoltre simmetrico rispetto l'asse verticale passante per il punto Q; l'equazione di

equilibrio citata si riduce pertanto ad un equilibrio alla traslazione in direzione verticale poiché i bracci del risultante superiore (agente sulla

Procediamo al calcolo del risultante superiore; scegliamo come volume di controllo, il volume di tutta la massa liquida di peso specifico gs.

Dovrà pertanto risultare Ssup = Gsup. Vsup (volume della massa liquida contenuta nel serbatoio superiore) verrà calcolato come somma del

volume della parte cilindrica Vcil e della parte semisferica Vss:

Aor m2 p*Rs2, superficie orizzontale del serbatoio superiore.

Vcil m3 Aor*hs, volume della parte cilindrica.

Vss m3 2*p*Rs3/3, volume della parte semisferica.

Vsup m3 Vcil + Vss, volume del serbatoio superiore.

Ssup gs*Vsup, spinta del liquido superiore sulla parte curva PQR.

Esprimimiamo a questo punto il risultante inferiore, come somma della forza Fpp sulla parte piana di superficie BL - Aor e della forza FPQR

Fpp = g hp (BL - Ao)

FPQR = g hp Ao + 2*p*Rs3*g/3

Sinf = Fpp + FPQR = hp BL g + 2*p*Rs3*g/3 = Ssup

hp

Il serbatoio rappresentato in figura è costituito da due camere in collegamento idraulico. Lungo la

parete divisoria, inclinata di a rispetto un asse orizzontale, è presente un pistone libero di scorrere

senza attrito in un cilindro. Il pistone avente base circolare di raggio Rp, è collegato attraverso un

filo inestensibile e di massa trascurabile ad un oggetto di forma sferica, di raggio Rs e peso specifico

gs, immerso in un fluido di peso specifico g. L’allievo valuti il peso del pistone per H2 = H1 e

H2 = 1.20∙H1, affinché il sistema risultante risulti in quiete.

60 + = °

seconda cifra della matricola *2

0.80 + = m


0.50 + = m


9500 + =


1200 + =


1.50 + = m



2

0

7

g 9.81

a 60 ° 1.0472 rad

1.15 m

0.7 m

9540 93587.4

g 1340 13145.4

1.7 m

Per la risoluzione del problema è necessario l'equilibrio alla traslazione per la sfera ovvero per il pistone.

1. caso

1.7 m

1.4368

134462.17 N 13706.64

18886.72 N 1925.25

115575.45 N 11781.39

115575.45 N 11781.39

G 231150.90 N 23562.78

2. caso

2.04 m

a =

Rp =

Rs =

gs = kgf/m3

g = kgf/m3

H1 =

m/s2

Rp

Rs

gs kgf/m3 N/m3

kgf/m3 N/m3

H1

H2,1

Immaginando di isolare l'oggetto di forma sferica, su di esso agiranno il peso Ps (verticale verso il basso), la spinta di

Archimede As (verticale verso il basso) e la forza di trazione Ftr esercitata dal filo (presente perché la "forza peso

allegerita" Pall = Ps - As è rivolta verso il basso, in quanto gs > g.

In questo primo caso, il modulo della forza di trazione Ftr, coincidente con Pall, dovrà bilanciare la componente della forza

peso del pistone Gp,s in direzione dell'asse del pistone; poiché infatti H1 = H2, il gas non esercita pressione sulla superficie

di contatto del pistone. Risulterà pertanto Gp,s = Gp cos a = Ftr.

Vs m3 4*p*Rs3/3, volume della sfera immersa.

Ps gs*Vs, peso della sfera immersa. kgf

As g*Vs, spinta di Archimede. kgf

Pall Ps - As = Ftr, modulo della forza peso allegerita. kgf

Gp,s Ftr, componente della forza peso del pistone in direzione del filo. kgf

Gp,s/cos a, forza peso del pistone. kgf

H2,2

Nel secondo caso, poiché H2 > H1, il gas eserciterà un'azione di richiamo (pGAS è infatti minore di 0). E' da attendersi in questo caso un

il sistema sfera - pistone è sempre in moto). In altri termini, la sola forza di pressione è sufficiente a mobilitare la sfera.

4.15

0.34

-4469.44 -0.04 atm

-18569.42 N -1892.91

97006.03 N 9888.48

G 194012.06 N 19776.97

Esercizio 10 31-Mar-08 esame Civile Edile Architettura

2.00 + = m 1.00 + = m

terza cifra della matricola *0.05 seconda cifra della matricola *0.05

h = 4.00 + = m 2.00 + = m

prima cifra della matricola *0.10 seconda cifra della matricola *0.10

3.00 + = m 6.00 + = m

terza cifra della matricola *0.10 prima cifra della matricola *0.10

4000 + = 9810 + =

prima cifra della matricola *50 prima cifra della matricola *100

Nozioni di geometria:

Volume di un tronco di cono:

Superficie laterale di un tronco di cono:


2

0

7

g 9.81

2.35 m

1 m

h 4.2 m

2 m

3.7 m

6.2 m

4100 40221

g 1000 9810

valore più basso di Gp, proprio perché l'equazione di equilibrio adesso si scrive: Gp cos a - pGAS Sp = Ftr. il segno meno davanti pGAS è dovuto

al fatto che pGAS è negativo per le condizioni assegnate.

Si noti dall'equazione scritta come nel caso in cui |pGAS| Sp > Ftr, Gp non ammette soluzione (per qualsiasi valore di Gp,

Sp m2 p * Rp2, area del pistone.

DH H2 - H1, dislivello tra le due camere.

pGAS N/m2 -g * DH, pressione dell'aeriforme.

FGAS pGAS * Sp, modulo della forza esplicata dal gas sul pistone. kgf

Gp,s Ftr + FGAS, componente della forza peso del pistone. kgf

Gp,s / cos a, forza peso del pistone. kgf

Lungo la parete orizzontale del serbatoio rappresentato in figura è inserito un oggetto di forma

tronco-conica di peso specifico gt, altezza h, diametro della base maggiore D1 e diametro della base

minore D2. L’allievo determini la massima pressione dell’aeriforme presente nel tubo verticale al di

sotto del quale il fluido di peso specifico g non fuoriesce dall’apertura praticata nella parete.

D1 = D2 =

L1 =

h1 = h2 =

gt = kgf/m3 g = N/m3

m/s2

D1

D2

L1

h1

h2

gt kgf/m3 N/m3

kgf/m3 N/m3

Il quesito consiste nel determinare la pressione limite pGAS oltre il quale il liquido contenuto nel serbatoio fuoriesce dal

risultante orientato verso l'alto infatti, il tappo verrà sollevato mentre per risultante orientato verso il basso è garantita la tenuta.

l'equazione globale dell'idrostatica.

Determiniamo alcune variabili geometriche ed il peso secco del tronco di cono:

9.76

a 0.1594 rad

9.1302 °

1.64 m

2.12

392388.97 N

Prima scelta sul V.d.C. (vedi figura seguente):

147639.90

15.05 m

2.80

40.00

392388.97 N

0.00 N

Macro: "Idrostatica_Es10_Calcola_pGas_caso1"

Seconda scelta sul V.d.C. (vedi figura seguente):

147639.90

15.05 m

5.05

49503.06 N

441892.03 N

0.00 N

Macro: "Idrostatica_Es10_Calcola_pGas_caso2"

serbatoio. Tale valore corrisponderà quindi ad un risultante in direzione verticale sull'oggetto tronco - conico nullo. Per un

Il quesito verrà risolto in due modi, corrispondenti a due scelte relative al volume di controllo sul quale verrà applicata

Vtc m3 vedi formula sopra riportata, volume TOTALE del tronco di cono.

tan-1(( D1-D2 ) / h), angolo tra apotema e verticale.

ag a * p / 180, angolo espresso in gradi sessagesimali.

Dint D2 + 2 * L1 * tan a, diametro del cono in corrispondenza dell'apertura.

Sint m2 p * Dint2/4, area della superficie interna di separazione.

Pcono g t * Vtc, peso secco del tronco di cono.


il valore soluzione si ottiene cliccando sul pulsante "calcola pGAS".

hGAS pGAS/g2, posizione del PCIR rispetto l'interfaccia fluido - aeriforme.

Vcono,immer m3 vedi formula sopra riportata con D1 = Dint, volume IMMERSO del tronco di cono.

VDC1 m3 Vcono,immer + Sint * (h2 - h1 + hGAS), volume scelto.

G1 g * VDC1, peso del volume di controllo scelto.

F(pGAS) = 0 G1 (pGAS) - Pcono = 0, dalla sua risoluzione si ricava pGAS.



hGAS pGAS/g2, posizione del PCIR2 rispetto l'interfaccia fluido 2 - aeriforme.

VDC2 m3 Sint * h1 - Vcono,immer, volume scelto.

G2 g * VDC2, peso del volume di controllo scelto.

Pinf,2 g*(h2 + hGAS) * Sint, forza di pressione esercitata in corrispondenza del fondo del VDC2.

F(pGAS) = 0 G2 + Ptronco-cono - Pinf,2 (pGAS) = 0, dalla sua risoluzione si ricava pGAS.

Per i due casi esaminati, è analogamente possibile derivare la soluzione per via analitica.

Esercizio 11 5-May-08 esame Civile

destra, affinché il sistema illustrato risulti in quiete.

8.00 + = m


h = 1.00 + = m


1.00 + = m


60 + = °


4000 + =


9810 + =



2

0

7

g 9.81

8.2 m variabile superflua

h 1.2 m

1.7 m

a 63.5 ° 1.1083 rad

4100 40221

1000 9810

Due serbatoi sono separati da una parete piana ed inclinata di un angolo a. Lungo tale parete è

presente un portello incernierato in O e libero di ruotare senza attrito, di peso trascurabile e di

profondità unitaria. Esso risulta essere costituito da una porzione rettangolare di altezza h e da una

superficie semicilindrica di raggio Rp. L’allievo determini la pressione del gas nella camera di

H2 =

Rp =

a =

g1 = kgf/m3

g2 = N/m3

m/s2

H2

Rp

g1 kgf/m3 N/m3

g2 kgf/m3 N/m3

Il quesito consiste nel determinare la pressione limite pGAS che garantisce condizioni di quiete per il portello incernierato in O.

Tale valore corrisponderà quindi ad un momento risultante nullo, ovvero il momento orario M2(pGAS) indotto dal risultante

1.52 m

61191.76

3.4

208052.00 N

4.54

VDC 4.54

182587.31 N

332451.16 N

essere ricavato in base alle componenti cartesiane.

b 0.5138 rad

289522.05 N

2.9 m

839613.95 Nm

3.28

1.7 m

0.57 m

3.47 m

721246.92 Nm

0.72 m

81470.06 N

2.90 m

163403.66 N

0.72 m

118367.04 Nm

839613.95 Nm

analitica.

0.144

S2(pGAS) dovrà essere pari al momento antiorario M1 indotto dal risultante S1.

Calcolo del momento indotto dal liquido di peso specifico g1:

hG1 Rp * sen a, affondamento del baricentro della superficie piana di contenimento del VDC (semicilindro)

pG1 N/m2 g1 * hG1, pressione sul baricentro della superficie piana di contenimento del VDC

Sp m2 2 * Rp * 1, area della superficie piana di contenimento del VDC

Pp,1 pG1 * Sp, componente della spinta sulla superficie piana di contenimento del VDC

Sbase m2 p * Rp2/2, area di base del VDC

m3 Sbase * 1, volume di controllo (la profondità del semicilindro è unitaria)

G1 g1 * VDC, peso del volume di controllo VDC

S1 (Pp,12 + G1

2 + 2 Pp,1 * G1 cos a)1/2

dal teorema del coseno o Carnot. L'angolo tra Pp,1 e G1 è 180 - a (vedi figura seguente);

nella formula è stato quindi sostituito - cos(180 - a) = cos a; in alternativa S1 poteva

Calcoliamo M1 in due modi:

1. scelta: M1 come momento del risultante S1:

sen -1 (G1 sen (180° - a) / S1)

angolo opposto al peso G1 del VDC, valutato con il teorema dei seni, necessario per il

calcolo della componente ortogonale S1,ort alla parete piana.

S1,ort S1 cos b, componente ortogonale della spinta S1 sulla superficie cilindrica.

bS1,ort h + Rp, braccio di S1,ort.

M1 bS1,ort * S1,ort, momento del risultante S1.

2. scelta: M1 come somma algebrica del momento indotto dalla componente Pp,1 e del momento indotto da G1

Io m4 1 * (2*Rp)3 / 12, momento di inerzia baricentro della superficie piana di contenimento.

xG = Rp, distanza del baricentro dalla linea di sponda del liquido g1.

xC' = GC = I0/(Sp*xG), distanza del centro di spinta dal baricentro.

bPp,1 h + Rp + xC' , braccio della componente Pp,1.

MPp,1 bPp,1 * Pp,1, momento della componente Pp,1.

dGB 4 * Rp / 3p, distanza del baricentro B del semicilindro dalla superficie piana di contenimento.

G1,ort G1 cos a, componente della forza peso ortogonale alla superficie piana di contenimento.

bG,ort h + Rp, braccio di G1,ort.

G1,par G1 sen a, componente della forza peso parallela alla superficie piana di contenimento.

bG,par dGB, braccio di G1,par.

MG1 bG,ort * G1,ort - bG,par * G1,par, momento di G1 (la prima componente produce momento orario).

M1 MPp,1 + MG1, somma algebrica dei momenti delle componenti di S1.

Noto a questo punto il momento indotto dal liquido g1 a sinistra, procediamo al calcolo di pGAS per tentativi con una funzione ricerca

obiettivo, costruita come F(pGAS) = M1 + M2(pGAS) = 0, avendo assunto i momenti orari negativi (M2 < 0). La soluzione è altresì ricavabile per via

I0,pp m4 1 * h3 / 12, momento di inerzia baricentro della porzione piana del portello.

44533.49 N

19870.75 N

39854.55 N

-28870.01 Nm

49706.66

5.07 m

5.60 m

65969.09 N

6.26 m

0.019 m

0.62 m

-40845.67 Nm

7.66 m

255566.59 N

8.56 m

della superficie piana di contenimento del VDC.

0.11 m

3.01 m

-769898.27 Nm

0.00 Nm


Esercizio 12 26-Mar-09 esame Civile

destra, affinché il sistema illustrato risulti in quiete.

8.00 + = m


h = 1.00 + = m


1.00 + = m


60 + = °


1000 + =


15000 + =



2

6

G2 g2 * VDC, peso del volume di controllo VDC.

G2,ort G2 cos a, componente della forza peso ortogonale alla superficie piana di contenimento.

G2,par G2 sen a, componente della forza peso parallela alla superficie piana di contenimento.

MG2 - bG,ort * G1,ort + bG,par * G1,par, momento di G1 (la prima componente produce momento orario).



hGAS pGAS/g2, posizione del PCIR2 rispetto l'interfaccia fluido 2 - aeriforme.

hG,pp hGAS + h * sen a / 2, posizione del baricentro della porzione piana del portello.

Spp,2 g2 * hG,pp * (h * 1), risultante relativo alla porzione piana del portello.

xG,pp hG,pp / sen a, distanza dalla linea di sponda del baricentro della porzione piana del portello.

xC,pp' I0,pp / h xG,pp, posizione del centro di spinta del risultante relativo alla porzione piana del portello.

bSpp,2 h / 2 + xC,pp', braccio del risultante relativo alla porzione piana del portello.

MSpp,2 -bSpp,2 * Spp,2, momento del risultante relativo alla porzione piana del portello.

hG,ppVDC hGAS + (h + Rp) * sen a, posizione del baricentro della superficie piana di contenimento del VDC.

Pp,2 g2 * hG,ppVDC * Sp, componente della spinta sulla superficie piana di contenimento del VDC.

xG-VDC hG,ppVDC / sen a, distanza dalla linea di sponda del baricentro

xC-VDC' I0 / (Sp xG-VDC), distanza del centro di spinta di Pp,2 rispetto al baricentro.

bPp,2 h + Rp + xC-VDC, braccio della componente Pp,2.


F(pGAS) = 0 M1 + [ MSpp,2(pGAS) + MPp,2(pGAS) + MG2 ] = 0.


presente un portello incernierato in O e libero di ruotare senza attrito, di peso trascurabile e di

profondità unitaria. Esso risulta essere costituito da una porzione rettangolare di altezza h e da una

superficie semicilindrica di raggio Rp. L’allievo determini la pressione del gas nella camera di

H2 =

Rp =

a =

g1 = kgf/m3

g2 = N/m3

6

g 9.81

8.2 m variabile superflua

h 1.6 m

1.6 m

a 63 ° 1.0996 rad

1100 10791

15200

somma algebrica dei momenti citati deve risultare pari a 0.

1.43 m

21669.28

1.6

34670.85 N

0.34

0.8 m

0.27 m

1.07 m

36982.24 Nm

2.85 m

del volume di controllo VDC coincidente con il semicilindro").

43338.56

3.2

138683.38 N

4.02

VDC 4.02

61122.83 N

175116.48 N


m/s2

H2

Rp

g1 kgf/m3 N/m3

g2 N/m3

Il quesito consiste nel determinare la pressione limite pGAS che garantisce condizioni di quiete per portello incernierato in O.

Tale valore corrisponderà quindi ad un momento risultante nullo, ovvero la somma dei momenti orari Mpp.2 ed Mc.2 in modulo,

indotti rispettivamente dai risultanti Spp,2 sulla porzione piana di altezza h e Sc,2 sulla superficie cilindrica, dovrà essere pari alla

somma dei momenti antiorari Mpp,1(pGAS) e Mc,1(pGAS) in modulo, indotti rispettivamente dai risultanti Spp,1(pGAS) sulla porzione

piana di altezza h e Sc,1(pGAS) sulla superficie cilindrica. Alternativamente, stabilito positivo il verso orario per le rotazioni, la

Calcolo del momenti Mpp,2 e Mc,2 indotti dal liquido di peso specifico g2:

a. Determinazione del momento Mpp,2 indotto sulla porzione piana del portello dal liquido di peso specifico g2:

hGpp,2 h * sen a / 2, affondamento del baricentro Gpp della porzione piana di altezza h

(si legga "Gpp" come "baricentro della porzione piana del portello").

pGpp,2 N/m2 g2 * hGpp,2, pressione sul baricentro Gp della superficie piana di altezza h.

Spp m2 h * 1, area della porzione piana del portello di altezza h.

Spp,2 pGpp,2 * Spp, spinta sulla porzione piana del portello di altezza h.

Ipp m4 1 * h3 / 12, momento di inerzia baricentrico della porzione piana di altezza h.

xGpp,2 = h/2, distanza del baricentro dalla linea di sponda del liquido g2 (ovvero nel caso specif. dalla cerniera).

xCpp,2' = GppCpp = Ipp/(Spp,2 * xGpp,2), distanza tra il baricentro Gpp ed il punto di applicazione Cpp.

bSpp,2 = xGpp,2 + xCpp,2', braccio della spinta Sp,2 sulla porzione piana di altezza h.

Mpp,2 = Spp,2 * bSpp,2, momento orario indotto dalla spinta Spp,2 sulla porzione piana di altezza h.

b. Determinazione del momento Mc,2 indotto sulla superficie cilindrica del portello, dal liquido di peso specifico g2:

hGpVDC,2 (Rp + h) * sen a, affondamento del baricentro GpVDC

(si legga "GpVDC" come "baricentro della superficie piana di contenimento

pGpVDC,2 N/m2 g2 * hGpVDC,2, pressione sul baricentro della superficie piana di contenimento del VDC.

SpVDC m2 2 * Rp * 1, area della superficie piana di contenimento del VDC.

PpVDC,2 pGpVDC,2 * SpVDC, componente della spinta Sc,2 sulla superficie piana di contenimento del VDC.

Sbase m2 p * Rp2/2, area di base del VDC.

m3 Sbase * 1, volume di controllo (la profondità del semicilindro è unitaria).

GVDC,2 g2 * VDC, peso del volume di controllo VDC.

Sc,2 (PpVDC,22 + GVDC,2

2 + 2 PpVDC,2 * GVDC,2 cos a)1/2


nella formula è stato quindi sostituito - cos(180 - a) = cos a; in alternativa Sc,2 poteva

b 0.3162 rad

166432.57 N

3.2 m

532584.21 Nm

2.73

3.2 m

0.27 m

3.47 m

480769.06 Nm

0.68 m

27749.18 N

ortogonale alla superficie piana di contenimento (vedi figura seguente).

3.20 m

54460.84 N

parallela alla superficie piana di contenimento (vedi figura seguente).

0.68 m

51815.15 Nm

momento antiorario e quindi negativo per la convenzione assunta.

532584.21 Nm

Stabiliamo una pressione di tentativo, necessaria per la costruzione della funzione ricerca obiettivo:

30294.83

48471.73 N

-38777.38 Nm

Calcoliamo anche in questo caso (come fatto per l'esercizio precedente) Mc,2 in due modi:

b.1. scelta: Mc,2 come momento del risultante Sc,2:

sen -1 (GVDC,2 sen (180° - a) / Sc,2)

angolo opposto al vettore peso -GVDC,2 del VDC, valutato con il teorema dei seni, necessario

per il calcolo della componente ortogonale Sc,2,ort alla parete piana.

Sc,2,ort Sc,2 cos b, componente ortogonale della spinta Sc,2 sulla superficie cilindrica.

bSc,2,ort h + Rp, braccio di Sc,2,ort (la retta di applicazione di Sc,2 passa per GpVDC).

Mc,2 bSc,2,ort * Sc,2,ort, momento orario (positivo per convenzione) del risultante Sc,2.

b.2. scelta: Mc,2 come somma algebrica del momento indotto dalla componente PpVDC,2 e del momento indotto da GVDC,2.

IpVDC m4 1 * (2*Rp)3 / 12, momento di inerzia baricentro della superficie piana di contenimento del VDC.

xGpVDC,2 = h + Rp, distanza del baricentro GpVDC dalla linea di sponda del liquido g2.

xCpVDC,2' = GpVDCCpVDC,2 = IpVDC/(SpVDC*xGpVDC,2), distanza del centro di spinta CpVDC,2 dal baricentro GpVDC.

bPpVDC,2 XGpVDC,2 + xCpVDC,2' , braccio della componente PpVDC,2.

MPpVDC,2 bPpVDC,2 * PpVDC,2, momento della componente PpVDC,2.

dGB 4 * Rp / 3p, distanza del baricentro B del semicilindro dalla superficie piana di contenimento.

GVDC,2,ort GVDC,2 cos a, componente in modulo della forza peso GVDC,2

bGVDC,2,ort h + Rp, braccio di -GVDC,2,ort.

GVDC,2,par GVDC,2 sen a, componente in modulo della forza peso GVDC,2

bG,par dGB, braccio di -GVDC,2,par.

MG,VDC,2 bG,ort * GVDC,2,ort - bG,par * GVDC,2,par, momento di -GVDC,2. La seconda componente produce

Mc,2 MPpVDC,2 + MG,VDC,2, somma algebrica dei momenti delle componenti di Sc2

si noti l'uguaglianza con il momento calcolato con il risultante Sc,2.

Noto a questo punto il momento indotto dal liquido g2 a destra, procediamo al calcolo di pGAS con una funzione ricerca obiettivo, costruita come

F(pGAS) = Mpp,2 + Mc,2 + Mpp,1(pGAS) + Mc,1(pGAS)= 0, avendo assunto i momenti orari positivi (ad esempio Mpp,2 > 0).

Calcolo del momenti Mpp,1 e Mc,1 indotti dal gas e dal liquido di peso specifico g1.



c. Determinazione del momento Mpp,1 (pGAS) indotto sulla porzione piana del portello dal gas di pressione pGAS incognita:

Spp,1 pGAS * Spp, risultante prodotto dal gas agente sulla porzione piana del portello.

Mpp,1 -Spp,1 * h / 2, momento antiorario indotto da Spp,1.

GVDC,2

GVDC,2,ort

GVDC,2,par

-

-

-

4.23 m

del volume di controllo VDC coincidente con il semicilindro").

45678.59

146171.49 N

43393.19 N

170318.11 N


d 0.2290 rad

165871.58 N

3.2 m

-530789.07 Nm

4.75 m

0.18 m

3.38 m

-494003.72 Nm

19700.09 N

ortogonale alla superficie piana di contenimento (vedi figura seguente).

3.20 m

38663.61 N

parallela alla superficie piana di contenimento (vedi figura seguente).

0.68 m

-36785.35 Nm

momento antiorario e quindi negativo per la convenzione assunta.

L'ipotesi qui formulata è che pGAS sia > 0 (PCIR1 sopra l'interfaccia).

d. Determinazione del momento Mc,1 indotto dal risultante Sc,1 sulla superficie cilindrica del portello, dal liquido di peso specifico g1:

hGpVDC,1 pGAS / g1 + Rp * sen a, affondamento del baricentro GpVDC rispetto il PCIR incognito

(si legga "GpVDC" come "baricentro della superficie piana di contenimento

pGpVDC,1 N/m2 g2 * hGpVDC,1, pressione sul baricentro della superficie piana di contenimento del VDC.

PpVDC,1 pGpVDC,1 * SpVDC, componente della spinta Sc,1 sulla superficie piana di contenimento del VDC.





nella formula è stato quindi sostituito - cos(180 - a) = cos a; in alternativa Sc,1 poteva

Calcoliamo anche in questo caso (come fatto in precedenza) Mc,2 in due modi:

d.1. scelta: Mc,1 come momento del risultante Sc,1:

sen -1 (GVDC,1 sen (180° - a) / Sc,1)


per il calcolo della componente ortogonale Sc,1,ort alla parete piana.

Sc,1,ort Sc,1 cos d, componente ortogonale della spinta Sc,1 sulla superficie cilindrica.

bSc,1,ort h + Rp, braccio di Sc,1,ort (la retta di applicazione di Sc,1 passa per GpVDC).

Mc,1 bSc,1,ort * Sc,1,ort, momento antiorario negativo per la convenzione assunta) del risultante Sc,1.

d.2. scelta: Mc,1 come somma algebrica del momento indotto dalla componente PpVDC,1(pGAS) e del momento indotto da GVDC,1

xGpVDC,1 = pGAS / (g1 sen a) + Rp, distanza del baricentro GpVDC dalla linea di sponda del liquido g1.

xCpVDC,1' = GpVDCCpVDC,1 = IpVDC/(SpVDC*xGpVDC,1), distanza del centro di spinta CpVDC,1 dal baricentro GpVDC.

bPpVDC,1 h + Rp + xCpVDC,1', braccio della componente PpVDC,1.

MPpVDC,1 bPpVDC,1 * PpVDC,1, momento della componente PpVDC,1.

GVDC,1,ort GVDC,1 cos a, componente in modulo della forza peso GVDC,1

bGVDC,1,ort h + Rp, braccio di GVDC,1,ort.

GVDC,1,par GVDC,1 sen a, componente in modulo della forza peso GVDC,1

bG,par dGB, braccio di GVDC,1,par.

MG,VDC,1 -bG,ort * GVDC,1,ort + bG,par * GVDC,1,par, momento di GVDC,1. La prima componente produce

-530789.07 Nm


30294.83 Pa

0.00

Esercizio 13 1-Jul-08 esame Civile Edile Architettura

divisoria non ruoti.

B = 4.00 + = m


L = 3.50 + = m


H = 2.50 + = m


1.50 + = m


5000 + =


10000 + =


1.50 + = atm



9

5

7

g 9.81

B 4.35 m

L 3.75 m

Mc,1 MPpVDC,1 + MG,VDC,1, somma algebrica dei momenti delle componenti di Sc1

si noti l'uguaglianza con il momento calcolato con il risultante Sc,1.

SM = F(pGAS) = Mpp,2 + Mc,2 + Mpp,1(pGAS) + Mc,1(pGAS)= 0, dalla soluzione di questo polinomio si ricava pGAS.

Il serbatoio in pressione rappresentato in figura presenta due camere separate da una parete

priva di peso, di forma rettangolare, incernierata in O e libera di ruotare senza attrito nel solo

verso antiorario. Nella parte superiore è presente gas a pressione relativa pGAS mentre nella parte

inferiore è presente un liquido di peso specifico g. Al centro della parete è presente una sfera cava,

priva di peso, all’interno della quale è presente un liquido di peso specifico gs. L’allievo valuti la

massima indicazione del manometro metallico n, posto sul fondo del serbatoio, affinché la parete

Rs =

gs = kgf/m3

g = N/m3

pGAS =

m/s2

H 2.95 m

1.85 m

5450 53464.5

g 10900

1.95 atm 197535

forze.

16.31

3222289.69 N

Si ricorda che viene assunta l'ipotesi semplificativa di gas privi di peso; pertanto la spinta

26.52

1417977.38 N

13.26

VDC 34.86

379984.36 N

n 321265.89

3.27

Esercizio 14 2-Dec-08 esame Civile Edile Architettura

nel punto M affinché il portello rimanga chiuso. Nei calcoli si assuma:

Rs

gs kgf/m3 N/m3

N/m3

pGAS N/m2

Il quesito consiste nel determinare la lettura limite n [kgf/cm2] del manometro metallico, oltre il quale la parete incernierata in O

comincerà a ruotare in senso antiorario. Tale valore corrisponderà quindi ad un momento risultante delle forze sulla parete nullo,

ovvero la somma algebrica del momento orario M(pGAS) indotto dal risultante S(pGAS), del momento orario Mgs indotto dal

risultante Sgs e del momento antiorario Mg(n) indotto dal risultante Sg(n) dovrà essere pari a 0. Si può però constatare che per

simmetria, i bracci delle forze citate sono tutti pari a B/2, ragion per cui si impone allora l'uguaglianza a zero del risultante delle

Calcolo di S(pGAS)

Sp m2 B * L, area della totale della parete.

S(pgas) pGAS * Sp, spinta esercitata dal gas sulla parete.

sulla porzione curva, coincide con la spinta sulla superficie virtuale orizzontale Sc.

Calcolo di Sgs

Vsf m3 4*p*Rs3/3, volume della sfera cava.

Sgs gs * Vsf, spinta (orientata verso il basso) indotta dal liquido di peso specifico gs.

Calcolo di n imponendo la relazione S(pGAS) + Sgs - Sg (n) = 0

Dalla seguente figura è possibile osservare che: Sg(n) = Pinf(n) - Gg = n * Sp - Gg. L'equazione di equilibrio si scrive pertanto:

SpGAS) +Sgs - n * Sp + Gg = 0.

Vss m3 2*p*Rs3/3, volume della semisfera sfera.

m3 Sp * H - Vss, volume di controllo scelto.

Gg g * VDC, peso del volume di controllo VDC.

N/m2 da equazione di equilibrio, pressione in Pascal.

nlettura kgf/cm2 n / (g * 10000), pressione letta sul fondo del serbatoio.

Lungo la parete orizzontale di un serbatoio contenente liquido in quiete di peso specifico g è

presente un portello avente la forma di una calotta sferica. Esso è libero di ruotare senza attrito

attorno alla cerniera P. Un manometro a mercurio, collegato in corrispondenza del fondo del


serbatoio, è caratterizzato da una lettura D. Si valuti la forza verticale che una molla deve esercitare

9800 + =

terza cifra della matricola * 100

13600

120 + = °

prima cifra della matricola * 2

H = 2.50 + = m

seconda cifra della matricola * 0.05

H = 8.50 + = m

prima cifra della matricola * 0.2

1.00 + = m


10 + = cm

terza cifra della matricola * 0.2


5

5

1

g 9.81

g 9900

13600 133416

R 4 m

q 130 ° 2.2689 rad

H 9.5 m

D 70.2 cm 0.702 m

Dunque si può porre uguale a zero il risultante delle forze agenti in direzione verticale.

2.31 m

7.15 m

3.63 m

41.29

295.24

54.13

349.37

3458777.97 N

3458777.97 N

- il volume della calotta pari a:

- l’asse della molla è verticale e passa per il centro O della calotta.

g = N/m3

gm = kgf/m3

q =

hc =

D =

m/s2

N/m3

gm kgf/m3 N/m3

Il quesito consiste nel determinare la forza verticale che la molla applicata in M deve esplicare affinché il portello di forma sferica

rimanga chiuso. Tale valore corrisponderà quindi ad un momento risultante delle forze sulla parete curva nullo, ovvero la somma

algebrica del momento orario M(Fm) indotto dalla forza della molla Fm e del momento antiorario M(Pc) indotto dal risultante sulla

parete curva dovrà essere pari a 0. Si può però constatare che per simmetria i bracci delle forze citate sono pari a R sen (q/2).

hc R * (1 - cos q/2), altezza della calotta.

hPCIR,g gm * D / g - hc, posizione del PCIR del liquido g rispetto al piano orizzontale passante per P.

Ro R * sen q/2, raggio della superficia piana della calotta sferica.

So m2 p * R2, area della superficie piana della calotta sferica.

Vcil m3 So * Hpcir,g, volume compreso tra la superficie So ed il PCIR del fluido g.

Vcal m3 p * hc2 *(R - hc/3), volume della calotta sferica.

Vtot m3 Vcil + Vcal, volume totale del VDC scelto (vedi figura seguente).

Gtot g * Vtot, peso del VDC.

Pc Gtot, numericamente pari al peso del VDC considerato.

p

3

hRhV 2

ccal

3458777.97 N

Esercizio 15 8-Jan-09 esame Civile

posto nella parte superiore del serbatoio, affinché il sistema illustrato risulti in quiete.

D = 2.00 + = m


GP = 3 D / 16 = m

H = 6.00 + = m


12.00 + = m


f = 1.00 + = m


30 + = °


900 + =


15000 + =



4

4

5

g 9.81

D 2.5 m

GP 0.47 m

H 6.5 m

12.4 m

f 1.2 m

a 32.5 ° 0.5672 rad

1100 10791

15400

Fm Pc, uguale in modulo e di verso contrario a Pc.

Il serbatoio rappresentato in figura è costituito da due camere separate da una parete piana ed

inclinata di un angolo a. Lungo tale parete è presente un portello semisferico di diametro D e peso

trascurabile, incernierato in O e libero di ruotare senza attrito. Esso risulta essere costituito da una


parte piana OB e da una parte curva OAB. L’allievo determini la lettura n del manometro metallico

hp =

a =

g1 = kgf/m3

g2 = N/m3

m/s2

hp

g1 kgf/m3 N/m3

g2 N/m3

Il quesito consiste nel determinare il regime di pressioni per il liquido 1 per il quale la somma algebrica dei momenti delle forze

agenti sull'ntero portello risulti nulla. Le forze in gioco sono costituite dalla spinta S2 esercitata sulla superficie piana di traccia OB

più immediata l'individuazione del relativo braccio (vedi figura seguente).

4.91

11.08 m

20.63

170687.68578

837861.22 m

1.92

0.02 m

1.27 m

4.09

44141.83 N

37228.84 N

23717.39 N

Impostazione dell'equazione di equilibrio alla rotazione

Equazione scalare di equilibrio alla rotazione intorno alla cerniera O

(vedi figura seguente).

in figura i pedici 1 e 2 identificano rispettivamente i due liquidi.

Impostazione della procedura iterativa basata sull'equazione di equilibrio

e dalla spinta S1 agente sulla supercie curva OAB. Il sistema {S1, G} è equivalente al sistema {-G1, P; -P1, C1}; dove -G1

e -P1 sono rispettivamente le componenti di S1 lungo la direzione verticale ed ortogonale al piano di traccia OB, P e C1 i loro

punti di applicazione; per convenienza G1 viene a sua volta scomposto in un vettore G1_|_, ortogonale al piano passante per OB ed il cui

braccio è D/2, ed un vettore G1 //, parallelo al piano passante per OB ed il cui braccio è GP.

nel seguito si farà quindi riferimento al sistema dei seguenti vettori applicati: {S2, C2; -G1_|_, P; -G1//, P; -P1, C1} perché risulta

Calcolo del modulo di S2

Sp m2 p * D2/4, area della superficie piana del portello.

zG,2 hp - (f + D/2) sen a, posizione del baricentro rispetto il PCIR2.

xG,2 zG,2 / sen a, distanza del baricentro dalla linea di sponda del liquido 1.

pG,2 N/m2 g * zG, pressione nel baricentro del portello dovuta al solo fluido 2.

S2 pG,2 * Sp, spinta sulla superficie piana del portello.

Calcolo del braccio di S2

Ip m4 p * D4 / 64, momento di inerzia baricentrico della superficie piana del portello.

GC2 Ip / (Sp * zG), distanza del centro di spinta C2 dal baricentro G della superficie piana.

b2 D / 2 + GC2, braccio della spinta S2.

Calcolo delle componenti G1,_|_ e G1 // di G1

Vss m3 2* p * (D/2) 3/3, volume della sfera cava.

G1 g1 * Vss, peso del VDC.

G1_|_ G1 cos a, componente ortogonale della forza peso del VDC.

G1 // G1 sen a, componente parallela della forza peso del VDC.

- S2 b2 - G1_|_ D/2 - G1 // GP + P1 (zG1) [D/2 + GC1 (zG1)] = 0

- S2 b2 - G1_|_ D/2 - G1 // GP + g1 zG1 Sp [D/2 + Ip sen a / (Sp zG1)] = 0 Equazione di equilibrio scritta esplicitando l'incognita zG1,

affondamento del baricentro sotto il PCIR1.

16.76 m

0.000 Nm

Macro: "Idrostatica_Es15_Calcola_zG1"

0.013 m

5.68 m

61254.34

n 0.62

Esercizio 16 29-Jan-09 prova Edile Architettura

relativo punto di applicazione.

50 + = °

seconda cifra della matricola * 2

R = 2.00 + = m


f = 10.00 + = m


1000 + =



0

1

6

g 9.81

a 52 ° 0.9076 rad

R 2.6 m

f 10 m

g 1120 10987.2

Il quesito consiste nel determinare la spinta su una parete piana ed il relativo punto di applicazione.

21.24

12.60

9.93 m

109091.20

S 2316787.96 N

Calcolo del punto di applicazione

35.89

zG,1 posizione di tentativo del PCIR2 rispetto il baricentro della superficie piana G.

(il valore soluzione si ottiene cliccando sul tasto "calcola zG1").

F(zG,1) = 0 Equazione di equilibrio alla rotazione (sopra riportata) nell'incognita zG1.

Si noti che l'equazione di equilibrio alla rotazione è di primo grado nell'incognita zG,1 e pertanto risolubile anche analiticamente.

GC1 Ip sen a / (Sp zG,1), distanza effettiva del centro di spinta di P1.

zN zG1 - H, affondamento al livello del manometro metallico.

pN N/m2 g1 * zN, pressione al manometro.

kgf/cm2 pN / (g * 104), lettura al manometro.

Lungo la parete inclinata di un angolo a del serbatoio rappresentato in figura è presente un portello circolare

circolare di raggio R. Si calcoli il risultante che il liquido di peso specifico g esercita sul portello ed il

a =

g = kgf/m3

m/s2

kgf/m3 N/m3

Calcolo del modulo del risultante di S prodotta dal liquido

Sp m2 p * D2/4, area della superficie piana del portello.

xG f + R, distanza del baricentro G dalla linea di sponda del liquido.

zG xG sen a, posizione del baricentro rispetto il PCIR.

pG N/m2 g * zG, pressione nel baricentro del portello prodotta dal fluido.

pG,2 * Sp, spinta sulla superficie piana del portello.

Ip m4 p * R4 / 4, momento di inerzia baricentrico della superficie piana del portello.

GC 0.13 m

12.73 m

Esercizio 17 29-Jan-09 prova Edile Architettura

direzione di tale forza.

25000 + =


f = 4.00 + = m


B = 2.00 + = m


H = 10.00 + = m



0

1

6

g 9.81

g 26200

f 4.1 m

B 2.6 m

H 4 m

con il baricentro del portello stesso. Poiché esso è incernierato in O, l'equazione da imporre è di equilibrio alla rotazione:

10.40

6.10

159820.00

S 1662128.00 N

13.87

GC 0.22 m

2.22 m

1843781.33 N


Ip / (Sp * zG), distanza del centro di spinta C2 dal baricentro G della superficie piana.

xc xG +GC, posizione del punto di applicazione.

Lungo la parete verticale del serbatoio rappresentato in figura, contenente liquido in quiete di peso

specifico g, è inserito un portello piano rettangolare di base B ed altezza H incernierato nel punto O

e libero di ruotare. Nel punto P, coincidente con il baricentro del portello, una forza orizzontale

viene esplicata da una molla vincolata ad una parete verticale. L’allievo determini il modulo e la

g = N/m3

m/s2

N/m3

Il quesito consiste nel determinare l'azione orizzontale esercitata da una molla applicata nel punto P di un portello rettangolare, coincidente

S1bs = Fm H/2

Calcolo del modulo del risultante di S prodotta dal liquido

Sp m2 B * H, area della superficie piana del portello.

zG f + H/2, distanza del baricentro dalla linea di sponda del liquido, coincidente con l'affondamento.

pG N/m2 g * zG, pressione nel baricentro del portello prodotta dal fluido.

pG * Sp, spinta sulla superficie piana del portello.

Calcolo del braccio del risultante S

Ip m4 B H3 / 12, momento di inerzia baricentrico della superficie piana del portello.

Ip / (Sp * zG), distanza del centro di spinta C2 dal baricentro G della superficie piana.

bS H/2 +GC, posizione del punto di applicazione.

Calcolo della forza Fm esplicata dalla molla

Fm S H / (2 * bS), forza esplicata dalla molla sulla base dell'equilibrio ai momenti.

superiore del serbatoio, affinché il sistema illustrato risulti in quiete.

2.00 + = m


H = 3.00 + = m


9.00 + = m


1.50 + = m


f = 0.20 + = m


0.50 + = m


1900 + =


15000 + =



1

7

5

g 9.81

2.5 m

H 3.5 m

9.1 m

1.55 m

f 0.34 m

0.75 m

2000 19620

g 15100

intorno al polo O.

G. L'equazione di equilibrio ai momenti, espressa in forma scalare, può pertanto scriversi come:

Il serbatoio rappresentato in figura è costituito da due camere separate da una parete piana ed

orizzontale. Lungo tale parete è presente un portello circolare di raggio R e peso trascurabile,

incernierato in O e libero di ruotare senza attrito. Una sfera di peso specifico gs e raggio Rs è

collegata tramite un filo inestensibile al punto P distante di una quantità pari ad f dalla cerniera. Il

liquido di peso specifico g presente nella camera inferiore è in collegamento idraulico con un manometro

semplice, la cui lettura è pari ad hp. L’allievo determini la lettura n del manometro metallico posto nella camera

Rp =

hp =

hm =

Rs =

gs = kgf/m3

g = N/m3

m/s2

Rp

hp

hm

Rs

gs kgf/m3 N/m3

N/m3

Il quesito consiste nel determinare la pressione del gas contenuto nella camera superiore, affinché tutto il sistema risulti in

equilibrio. Per la sua determinazione è sufficiente imporre un equilibrio alla rotazione del portello circolare, di peso trascurabile,

Le forze in gioco riferite al portello sono tre: la spinta SGAS diretta verso il basso ed applicata in G; la forza peso allegerita della

sfera diretta verso il basso ed applicara in P (gs > g); la spinta Sg risultante delle pressioni esercitate sul portello dal liquido di

peso specifico g, diretta verso l'alto (il piezometro mi da indicazione della posizione del PCIRg rispetto il portello) ed applicata in

procediamo dunque al calcolo delle diverse componenti:

19.63

84560.00

1660331.72 N

1.77

34671.40 N

26683.90 N

84504.68

n 0.86


affinché il sistema illustrato risulti in quiete.

10.00 + = m


8.00 + = m


15.00 + = m


f = 3.00 + = m


D = 2.00 + = m


30 + = °


1200 + =


15000 + =


SGAS(pGAS) Rp + (Ps - As) f - Sg OC = 0

avendo assunto i momenti positivi se orari. C rappresenta il punto di applicazione di Sg; poiché nel caso specifico la distribuzione

delle pressioni è costante sul portello (il piano passante per OG è orizzontale, e dunque isobarico) ne consegue che OC º Rp.

L'equazione può essere riscritta esplicitando il termine pGAS:

pGAS Sp Rp + (Ps - As) f - Sg Rp = 0

Calcolo del modulo del risultante di Sg prodotta dal liquido sul portello

Sp m2 p * Rp2, area del portello.

pOG N/m2 g * (hp - H), pressione al livello del portello prodotta dal fluido.

Sg pG,2 * Sp, spinta sulla superficie piana del portello.

Calcolo del peso Ps e della spinta di archimede As

Vs m3 4 * p * Rs3 / 3, volume della sfera cava.

Ps Ip / (Sp * zG), distanza del centro di spinta C2 dal baricentro G della superficie piana.

As xG +GC, posizione del punto di applicazione.

Calcolo della pressione dell'aeriforme pGAS al manometro, dall'equazione di equilibrio

pGAS N/m2

kgf/cm2

Il serbatoio rappresentato in figura è costituito da due camere in pressione, occupate rispettivamente da un

gas e da un liquido di peso specifico g1. Le camere sono separate da una parete piana ed inclinata di un

angolo a, lungo la quale è presente una sfera cava di diametro OB = D e peso trascurabile, incernierata in

O e libera di ruotare senza attrito. All’interno della sfera è presente un liquido di peso specifico g2.

L’allievo determini la lettura n del manometro metallico ubicato in corrispondenza del fondo del serbatoio,

H1 =

H2 =

hp =

a =

g1 = kgf/m3

g2 = N/m3


3

2

8

g 9.81

10.8 m

8.3 m

15.2 m

f 3.3 m

D 2.4 m

a 30.8 ° 0.5376 rad

1260 12360.6

15800

imporre un equilibrio alla rotazione del portello circolare, di peso trascurabile, intorno al polo O.

1.

m/s2

H1

H2

hp

g1 kgf/m3 N/m3

g2 N/m3

Il quesito consiste nel determinare la lettura n del manometro metallico posto sul fondo della camera di sinistra, ovvero la pressione

del gas contenuto in detta camera, affinché tutto il sistema risulti in equilibrio. Per la sua determinazione è sufficiente

Le forze in gioco riferite al portello sono tre: la spinta SGAS ortogonale al piano di traccia OB, diretta verso l'alto ed applicata in G;

la forza peso Pg2 del liquido contenuto nella sfera, applicata nel baricentro della sfera G (si veda la seguente figura); la spinta

Sc1 risultante delle pressioni esercitate sulla porzione di portello sferico a contatto con il liquido di peso specifico g1, con retta di

applicazione passante per G. Detto bSc1 il braccio di Sc1, è possibile scrivere l'equazione di equilibrio in forma scalare come:

( SGAS(pGAS) - Pg2,ort) D/2 - Sc1 bSc1 = 0

avendo assunto i momenti positivi se antiorari. Pg2_|_ rappresenta la componente di Pg2 ortogonale al piano di traccia OB.

Pg2// produce invece momento nullo. Dalla precedente si ricava la pressione pGAS tenendo presente che il risultante SGAS sulla

superficie semisferica coincide con la componente valutata sulla superficie piana virtuale Sp.

pGASSpD/2 - Pg2,ortD/2 - Sc1bSc1 = 0

pGAS = 2 ( Pg2,ortD/2 + Sc1bSc1 ) / SpD

il calcolo di bSc1 consegue sulla base di considerazioni di carattere geometrico condotte sulla seguente figura:

Tenendo conto delsistema equivalente introdotto, segue allora la relativa equazione di equilibrio:

2.

23.70 m

(si consideri "G" (già baricentro della sfera) come "baricentro della superficie piana

di contenimento del volume di controllo VDC coincidente con la semisfera superiore")

292894.39

4.52

1325023.02 N

VDC 3.62

44734.43 N

1286801.82 N

b 0.0178 rad

1.02 °

1.20 m

-1543917.53 Nm

(calcolo non nesessario eseguito solo per verifica)

7.24

114364.03 N

98234.11 N

-117880.93 Nm

306115.09 da eq. 1. 306115.09 Prova con i momenti

n 3.12

in alternativa, si può procedere alla scrittura dell'equazione di equilibrio considerando le componenti del vettore Sc1. Il sistema

{Sc1, G} è infatti equivalente al seguente: {-PpVDC,1, C; -GVDC,1, P}, ovvero: {-PpVDC,1, C; -GVDC,1,par, P; -GVDC,1,ort, P}. Segue

( SGAS(pGAS) - Pg2,ort + GVDC,1,ort) D/2 + GVDC,1,par 3D/16 - PpVDC,1 bPpVDC,1 = 0

dove al solito i segni sono funzione del verso del momento indotto dalle varie forze.

pGAS Sp D/2 - (Pg2,ort - GVDC,1,ort) D/2 - GVDC,1,par 3D/16 - PpVDC,1 bPpVDC,1 = 0

pGAS = 2 [(Pg2,ort - GVDC,1,ort) D/2 - GVDC,1,par 3D/16 + PpVDC,1 bPpVDC,1] / Sp D

ovviamente le relazioni 1. e 2. forniscono lo stesso risultato per pGAS come si procede a verificare.

1. Procedura di calcolo per la determinazione di p GAS con l'equazione 1. Alcune variabili saranno riprese nella successiva procedura alternativa

1.a. Determinazione del risultante Sc,1 sulla porzione semisferica del portello bagnato dal liquido di peso specifico g1:

hG,1 hp + H1 - (f + D/2) * sen a, affondamento del baricentro G rispetto il PCIR del liquido g1.

pG,1 N/m2 g1 * hG,1, pressione sul baricentro della superficie piana di contenimento del VDC.

Sp m2 p * D2/4, area della superficie piana di contenimento del VDC.

PpVDC,1 pG,1 * Sp, componente della spinta Sc,1 sulla superficie piana di contenimento del VDC.

m3 2 * p * (D/2)3 / 3, VDC della semisfera (superiore).



2 - 2 PpVDC,1 * GVDC,1 cos a)1/2.

dal teorema del coseno o Carnot. L'angolo tra Pp,1 e G1 è a (si veda figura precedente).

in alternativa Sc,1 poteva essere ricavato in base alle componenti cartesiane.

1.b. Calcolo del braccio bSc,1 del vettore risultante Sc,1:

sen -1 [GVDC,1 sen (a) / Sc,1].


per il calcolo del braccio bSc,1 (o, in alternativa, della componente _|_ di Sc,1.

bSc,1 (D/2 cos b), braccio di Sc,1.

MSc,1 -bSc,1 * Sc,1, momento orario (negativo per convenzione) del risultante Sc,1.

1.c. Calcolo del modulo del peso Pg2 e della sua componente ortogonale Pg2,ort:

Vs m3 4 * p * (D/2)3 / 3, volume della sfera.

Pg2 g2 * Vs, peso del liquido contenuto nella sfera.

Pg2,ort Pg2 cosa, componente _|_ alla parete piana di Pg2.

MPg2,ort -D/2 * Pg2,ort, momento orario (negativo per convenzione) indotto dalla componetnte Pg2,ort.

1.d. Calcolo di pGAS sulla base dell'equazione 1.

pGAS N/m2 N/m2

kgf/cm2 pGAS / (g * 104), lettura al manometro.

2. Procedura di calcolo per la determinazione di p GAS con l'equazione 2. Alcune variabili sono prese dal precedente punto 1

2.a. calcolo del braccio dalla componente PpVDC,1

1.63

46.28 m

0.008 m

1.21 m

-1600335.30 Nm


38425.08 N

22905.95 N

56417.77 Nm


-1543917.53 -1543917.53

= verifica sui momenti indotti dai due sistemi equivalenti.

306115.09 da eq. 2. 306115.09 Prova con i momenti

n 3.12

Esercizio 20 5-Jun-09 test Civile Edile Architettura

posto sul fondo del serbatoio, affinché tutto il portello risulti in quiete.

50 + = °


2.00 + = m


f = 1.00 + = m


L = 1.00 + = m


35000 + = m


1500 + =



3

2

8

g 9.81

a 54 ° 0.9425 rad

H 2.8 m

IpVDC m4 p * D4 / 64, momento di inerzia baricentrico della superficie piana di contenimento del VDC.

xGpVDC,1 = hG,1 / sen a, distanza (presa lungo la parete piana) del baricentro G dalla linea di sponda del liquido g1.

xCpVDC,1' = GC = IpVDC/(Sp*xGpVDC,1), distanza del centro di spinta C dal baricentro G.

bPpVDC,1 D/2 + xCpVDC,1' , braccio della componente PpVDC,1.

MPpVDC,1 -bPpVDC,1 * PpVDC,1, momento della componente PpVDC,1.

2.b. calcolo delle componenti del peso GVDC,1 del VDC

GVDC,1,ort GVDC,1 cos a, componente _|_ alla parete piana di GVDC,2.

GVDC,1,par GVDC,1 sen a, componente // alla parete piana di GVDC,2.

MG,1 GVDC,1,ort D/2 + GVDC,1,par 3D/16.

MPpVDC,1 + MG,1 MSc,1

2.c. Calcolo di pGAS sulla base dell'equazione 2.

pGAS N/m2 N/m2

kgf/cm2 pGAS / (g * 104), lettura al manometro.

Il serbatoio in pressione rappresentato in figura è chiuso superiormente da una parete piana, inclinata di un

angolo a. Lungo tale parete è presente un portello quadrato di traccia OB, caratterizzato da un lato pari ad L e

peso Pp, libero di ruotare senza attrito intorno la cerniera O. L’allievo determini l’indicazione hp del piezometro

a =

H =

Pp =

g = kgf/m3

m/s2

f 1.3 m

L 1.2 m

350200 N

g 1660 16284.6

al polo O.

ortogonale al portello, è possibile scrivere l'equazione di equilibrio in forma scalare come:

Esplicitando la precedente equazione si ottiene la seguente:

come:

e quindi:

x 8.62 m dall'equazione precedente

12.95 m

Esercizio 21 11-Jun-09 Esame Civile Edile Architettura

affinché tutto il sistema risulti in quiete.

4.00 + = m


8.00 + = m


1.00 + = m


1.00 + = m


1.00 + = m


Pp

kgf/m3 N/m3

Il quesito consiste nel determinare la lettura hp del piezometro semplice posto sul fondo del serbatoio affinché tutto il sistema risulti

in equilibrio. Per la sua determinazione è sufficiente imporre un equilibrio alla rotazione del portello quadrato di peso Pp, intorno

Le forze in gioco riferite al portello sono due: la spinta Sg (hp) ortogonale al piano di traccia OB, diretta verso l'alto ed applicata in nel

nel centro di spinta C da determinare; la forza peso Pp del portello, applicata nel suo baricentro G distante L/2 dalla cerniera.

Detto bSg il braccio di Sg, pari alla distanza tra la cerniera O ed il punto di applicazione C, Pp,ort la componente della forza peso

Sg(hp) bSg = Pp,ort L/2

Detto x = hp - H - (f + L/2) sen a, l'affondamento tra il menisco incognito ed il baricentro del portello, l'equazione precedente può essere riscritta

risolvendo rispetto a x si ottiene:

hp in base alla assunzione x = hp - H - (f + L/2) sen a

Un serbatoio è costituito da due camere indipendenti, separate da una parete piana ed orizzontale. Lungo tale

parete è presente un cilindro con asse verticale, lungo cui può scorrere senza attrito un pistone di peso

Pp, altezza Hp e raggio della base circolare pari a Rp. L’allievo determini il raggio Rs di un galleggiante sferico

di peso trascurabile, collegato al pistone tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile, necessario

hm =

H1 =

H2 =

Hp =

Rp =

2

LcosP

L/2)sen + (f - H - h12

sen L

2

L L L/2)sen + (f - H - h p

p

22

p a

aa

ag

2

LcosP

12

senL

2

L L p

22 a

xa

gx

aaggx cosP sen 6

LL p

32

2

3

p

L

sen6

LcosP

g

agax

150000 + = m


1500 + =


10000 + =



4

6

1

g 9.81

4.1 m

8.6 m

1.1 m

2.4 m

1.1 m

150500 N

1700 16677

10400

1.

2.

che risolta fornisce il valore del raggio incognito.

2.02 m valore ottenuto invertendo l'equazione precedente.

Dati per la correzione:

143422.2

545194.70 N

31200

118601.41 N

34.60

577093.29 N

0.00 N test dell'equazione 2.

Pp =

g1 = kgf/m3

g2 = N/m3

m/s2

hm

H1

H2

Hp

Rp

Pp

g1 kgf/m3 N/m3

g2 N/m3

Il quesito consiste nel determinare il raggio Rp del galleggiante sferico di peso trascurabile, collegato al pistone, affinché tutto il

sistema risulti in quiete. E' evidente allora che l'esercizio è stato costruito in maniera da avere il risultante sul pistone delle forze

agenti verso il basso (Peso proprio del pistone + risultante delle pressioni sulla superficie superiore a contatto con il liquido di peso

specifico g1) in modulo superiore al risultante delle forze agenti verso l'alto (risultante delle pressioni sulla superficie inferiore a

contatto con il liquido di peso specifico g2).

Si procede alla scrittura dell'equazione di equilibrio alla traslazione in direzione verticale, tenendo presente che sul galleggiante di

raggio incognito Rs agisce la spinta di Archimede As:

Pp + g1 H1 Sp - g2 (hm - H2) Sp - As = 0

Esplicitando As e l'area di base del pistone Sp si ottiene:

Pp + g1 H1 p Rp2 - g2 (hm - H2) p Rp

2 - g1 4 p Rs3 / 3 = 0

Rs

psup N/m2

Sg1

pinf N/m2

Sg2

Vgall m3

Agall

SF=

Esercizio 22 6-Jul-09 Esame Edile Architettura

serbatoio, affinché il portello risulti in quiete.

10.00 + = m f = 1.00 + = m

terza cifra della matricola * 0.10 terza cifra della matricola * 0.10

2.00 + = m 1500 + =

seconda cifra della matricola * 0.10 seconda cifra della matricola * 20

15 + = ° 10000 + =

prima cifra della matricola * 2 prima cifra della matricola * 200

L = 3.00 + = m



1

3

3 Variante con aeriforme

5/6/2013 Edili

g 9.81 1.3 atm 131690 Pa

18.91 m 8.61 m

2.3 m

a 17 ° 0.2967 rad porre una pressione del gas

L 3.3 m nulla per camera aperta

f 1.3 m

1560 15303.6

10200

61.71 m

18.04 m

276117.78

10.89

Il serbatoio rappresentato in figura è costituito da due camere, separate da una parete piana ed inclinata di un

angolo a. Lungo tale parete è presente un portello quadro di lato L, di peso trascurabile e libero di ruotare

senza attrito intorno la cerniera O. L’allievo determini l’indicazione hp del piezometro posto sul fondo del

H1 =

H2 = g1 = kgf/m3

a = g2 = N/m3

sopra g1:

m/s2 pgas

H1 hgas

H2

g1 kgf/m3 N/m3

g2 N/m3

Il quesito consiste nel determinare la lettura hp del piezometro che garantisce condizioni di quiete per portello incernierato in O.

Tale valore corrisponderà quindi ad un momento risultante nullo, ovvero il momento orario M1 indotto dal risultante S1 (camera

superiore) dovrà essere pari al momento antiorario M2(hp) indotto dal risultante S2(hp).


xG1 H1 / sen a - (f + L/2), distanza tra la linea di sponda del liquido g1 ed il baricentro G.

hG1 xG1 * sen a, affondamento del baricentro G del portello rispetto al PCIR1.

pG1 N/m2 g1 * hG1, pressione indotta dal liquido g1 sul baricentro G del portello.

Sp m2 L2, area del portello.

3006922.60 N

9.88

0.01 m

1.64 m

4917203.85 Nm

1.

2.

3.

da cui:

4.

26.99 m da eq. 4.

da cui:

30.15 m

Esercizio 23 11-Feb-13 Esame Edile Architettura

Variante all'esercizio 22 con peso proprio portello non trascurabile e manometro metallico al posto del piezometro

P = 300 + = kN


P 330 kN 330000 N

61.71 m

18.04 m

276117.78

10.89

3006922.60 N

9.88

0.01 m

1.64 m

4917203.85 Nm

315580.57 N

520707.94 Nm

1.

S1 pG1 * Sp, spinta esercitata dal liquido g1.

Io m4 L4 / 12, momento di inerzia baricentrico del portello.

xC1' = GC1 = I0/(Sp*xG1), distanza del centro di spinta C1 dal baricentro G.

bS1 L/2 - xC1', braccio di S1.

M1 bS1 * S1, momento della spinta S1.

A questo punto dovrà risultare: M2(hp) = M1, ovvero

bS2 (hp)* S2 (hp) = M1

(L/2 - I0 sen a / Sp xG2) * (g2 * Sp * xG2) = M1

Avendo posto xG2 = hp - [ H2 + (f + L/2) * sen a ] l'affondamento del baricentro G rispetto al PCIR2. Poiché risulterà zG2 > 0, il PCIR2 si troverà

sopra G, mentre C2 sarà compreso tra il baricentro G e la cerniera O. Esplicitando la precedente si ottiene:

L/2 * g2 * Sp * xG2 - I0 sen a * g2 = M1

xG2 = (M1 + I0 sen a * g2) / (L/2 * g2 * Sp)

xG2

hp xG2 + [H2 + (f + L/2) sen a], lettura del piezometro.

Il quesito consiste nel determinare la lettura hp del piezometro che garantisce condizioni di quiete per portello incernierato in O.

Tale valore corrisponderà quindi ad un momento risultante nullo, ovvero la somma del momento orario M1 indotto dal risultante S1 (camera superiore)

e del momento MP, indotto alla forza peso P del portello centrata nel suo baricentro dovrà essere pari al momento antiorario M2(hp) indotto dal risultante S2(hp).

Calcolo del momento M1 indotto dal liquido di peso specifico g1:

xG1 H1 / sen a - (f + L/2), distanza tra la linea di sponda del liquido g1 ed il baricentro G.

hG1 xG1 * sen a, affondamento del baricentro G del portello rispetto al PCIR1.

pG1 N/m2 g1 * hG1, pressione indotta dal liquido g1 sul baricentro G del portello.


S1 pG1 * Sp, spinta esercitata dal liquido g1.


xC1' = GC1 = I0/(Sp*xG1), distanza del centro di spinta C1 dal baricentro G.

bS1 L/2 - xC1', braccio di S1.

M1 bS1 * S1, momento della spinta S1.

Calcolo del momento MP indotto dalla forza peso P del portello:

Port P cos a, componente ortogonale della forza peso.

MP L/2 * Port, momento della forza peso P.

A questo punto dovrà risultare: M2(hp) = M1+MP, ovvero

bS2 (hp)* S2 (hp) = M1+MP

2.

3.

da cui:

4.

29.83 m da eq. 4.

da cui:

336533.49 Pa

n 3.43

Esercizio 24 13-Jul-09 Esame Civile Edile Architettura

sistema risulti in quiete.

10.00 + = m


1.00 + = m


2.00 + = m


4.00 + = m


H = 6.00 + = m


0.4 + = m


1500 + =


(L/2 - I0 sen a / Sp xG2) * (g2 * Sp * xG2) = M1+MP

Avendo posto xG2 = hp - [ H2 + (f + L/2) * sen a ] l'affondamento del baricentro G rispetto al PCIR2. Poiché risulterà zG2 > 0, il PCIR2 si troverà

sopra G, mentre C2 sarà compreso tra il baricentro G e la cerniera O. Esplicitando la precedente si ottiene:

L/2 * g2 * Sp * xG2 - I0 sen a * g2 = M1+MP

xG2 = (M1 + MP + I0 sen a * g2) / (L/2 * g2 * Sp)

xG2

pf g2 {xG2 + [H2 + (f + L/2) sen a]}, pressione sul fondo.

kgf/cm2 pf/g 104, lettura al manometro metallico espressa in kgf/cm2.

Un serbatoio è costituito da due camere indipendenti, contenenti rispettivamente liquidi di peso specifico g1 e

g2. La comunicazione tra essi è impedita per mezzo di un portello prismatico AOB di peso trascurabile,

altezza H e base triangolare di cateti c1 e c2. Il portello è libero di ruotare senza attrito intorno la cerniera

O. Una sfera cava di raggio Rs e peso trascurabile è ancorata al vertice A per mezzo di un file inestensibile,

privo di massa. L’allievo valuti l’altezza hp di un piezometro, collegato al fondo del serbatoio, affinché tutto il

H1 =

H2 =

c1 =

c2 =

Rs =

g1 = kgf/m3

10000 + =



6

6

0

g 9.81

10.6 m

1 m

2.6 m

4.6 m

H 6.6 m

0.4 m

1800 19080

10000

intorno al polo O.

trascurabile.

L'equazione di equilibrio ai momenti, espressa in forma scalare, può pertanto scriversi come:

1.

per ipotesi della quota del baricentro del piano di traccia OB).

30.36

6140249.28 N

-14122573.34 N

11.90 m

227052.00

17.16

3896212.32 N

9.67

0.05 m

1.35 m

-5249518.56 Nm

0.27

5115.02 N

23529.07 N

g2 = N/m3

m/s2

H1

H2

c1

c2

Rs

g1 kgf/m3 N/m3

g2 N/m3

Il quesito consiste nel determinare la lettura hp del piezometro, posto sul fondo del serbatoio, affinché tutto il sistema risulti in

equilibrio. Per la sua determinazione è sufficiente imporre un equilibrio alla rotazione del portello prismatico, di peso trascurabile,

Le forze in gioco riferite al portello sono quattro: la spinta verticale SOA del liquido g1 diretta verso il basso ed applicata a distanza

c2/2 dalla cerniera O (la distribuzione di pressione sul piano di traccia OA è costante perché tale piano è isobarico); la spinta

orizzontale SAB del liquido g1 orientata verso sinistra, con centro di applicazione da determinare; la spinta SOB applicata sul piano

inclinato di traccia OB, con verso incognito a priori e punto di applicazione da determinare; infine la forza verticale As di trazione

trasmessa dal filo, orientata verso l'alto, il cui modulo è pari alla spinta di Archimede ricevuta dal galleggiante sferico di peso

- SOA c2 / 2 - SAB bAB + SOB(hp) bOB(hp) + As c2 = 0

Avendo assunto i momenti positivi se antiorari ed il risultante SOB rivolto verso l'alto (quota del menisco nel piezometro maggiore

Calcolo del momento indotto dalla spinta verticale SOA prodotta dal liquido g1 sul portello

SOA m2 c2 * H, area della superficie piana di traccia OA.

SOA g1 * H1 * SOA, spinta sulla superficie piana di traccia OA.

MOA -SOA * c2/2, momento orario indotto da SOA.

Calcolo del momento indotto dalla spinta verticale SOA prodotta dal liquido g1 sul portello

zG,AB H1 + c1 / 2, affondamento del baricentro della superficie piana di traccia AB.

pG,AB N/m2 g1 * zG,AB, pressione indotta dal liquido g1 sul baricentro della superficie piana di traccia AB.

SAB m2 c1 * H, area della superficie piana di traccia AB.

SAB pG,AB * SAB, spinta esercitata dal liquido g1 sulla superficie piana di traccia AB.

IAB m4 H * c13 / 12, momento di inerzia baricentrico della superficie piana di traccia AB.

xc,AB' = GC1 = IAB/(SAB*zG,AB), distanza del centro di spinta cAB dal baricentro della superficie piana di traccia AB.

bS,AB c1/2 + xCAB', braccio di SAB.

MAB -SAB * bS,AB, momento orario indotto da SAB.

Calcolo del momento indotto dalla spinta di Archimede As prodotta dal galleggiante sferico

Vs m3 4 * p * Rs3 / 3, volume dell'oggetto sferico.

As g1 * Vs, spinta di Archimede.

MA MAs * c2, momento antiorario indotto dalla spinta di Archimede.

definiti c3 ed a rispettivamente l'ipotenusa della base triangolare e l'angolo che essa forma con l'orizzontale, è possibile riscrivere

l'equazione 1 nella seguente maniera:

2.

ovvero:

3.

4.

5.28 m

34.87

a 0.5145 rad 29.48 °

81.14

20.57 m da equazione precedente.

da cui:

22.87 m

Esercizio 25 10-Sep-09 Esame Civile Edile Architettura

7.00 + = m


12.00 + = m


4.00 + = m


2.00 + = m


1.4 + = m


1500 + =


10000 + =


2000 + =


SOB(hp) bOB(hp) = g2 [hp - (H2 + c1 / 2)] SOB {c3 / 2 + IOB sen a / (SOB [hp - (H2 + c1 / 2)]) } = -( MOA + MAB + MA)

g2 xG,OB SOB (c3 / 2 + IOB sen a / (SOB xG,OB) = -( MOA + MAB + MA)

Avendo posto xG,OB = hp - (H2 + c1 / 2) l'affondamento del baricentro G della superficie inclinata rispetto il menisco del piezometro incognito.

g2 xG,OB SOB c3 / 2 + g2 IOB sen a = -( MOA + MAB + MA)

g2 xG,OB SOB c3 / 2 = -( MOA + MAB + MA + g2 IOB sen a)

Determinazione di xG,OB e quindi di hp

c3 (c12 + c2

2)1/2, ipotenusa della base triangolare.

SOB m2 c3 * H, area della superficie piana di traccia OB.

tan-1(c1/c2), angolo tra l'ipotenusa della base triangolare ed un asse orizzontale.

IOB m4 H * c33 / 12, momento di inerzia baricentrico della superficie piana di traccia OB.

xG,OB

hp xG2 + [H1 + (f + L/2) sen a], lettura del piezometro.


g2. La comunicazione tra essi è impedita per mezzo di una sfera di peso trascurabile e raggio Rs. La sfera è

libera di ruotare senza attrito intorno alla cerniera O. Un cilindro di raggio Rc, altezza Hc, e peso specifico gc

è collegato al portello nel punto P, per mezzo di un file inestensibile, privo di massa. L’allievo valuti l’altezza

hp di un piezometro, collegato al fondo del serbatoio, affinché tutto il sistema risulti in quiete.

H1 =

H2 =

Hc =

Rc =

Rs =

g1 = kgf/m3

g2 = N/m3

gc = kgf/m3


4

5

1

g 9.81

7.50 m

12.1 m

4.4 m

2.4 m

1.42 m

3700 36297

10500

2050 20110.5

polo O.


1.

assialsimmetrico) per cui l'equazione precedente si riduce alla seguente:

2.

Infine, dall'applicazione dell'equazione globale alle due semisfere, si deduce che:

3.

4.

5.

6.33

1724481.57 N

6.00

217667.90 N

1506813.67 N

62966.99 N

18.10

79.62

1601208.55 N

836015.50 N

2272006.72 N

m/s2

H1

H2

Hc

Rc

Rs

g1 kgf/m3 N/m3

g2 N/m3

gc kgf/m3 N/m3


equilibrio. Per la sua determinazione è sufficiente imporre un equilibrio alla rotazione della sfera, di peso trascurabile, intorno al

Le forze in gioco riferite al portello sono tre: la spinta verticale S1 del liquido g1 sulla superficie semisferica superiore, diretta

verso il basso ed applicata a distanza Rs dalla cerniera O; la spinta verticale S2 del liquido g2 sulla superficie semisferica inferiore,

diretta verso l'alto (è da attendersi la posizione del menisco al di sopra del PCIR1) ed applicata a distanza Rs dalla cerniera O; la

tensione T trasmessa dal filo alla sfera, diretta verso il basso, in modulo pari al peso alleggerito del cilindro Pc - Ac.

- S1 Rs + S2(hp) Rs - ( Pc - Ac ) Rs = 0

Avendo assunto i momenti positivi se antiorari. Come è possibile osservare, tutte le forze hanno lo stesso braccio Rs (il sistema è

- S1 + S2(hp) - ( Pc - Ac ) = 0

S1 = P1 - G1

S2(hp) = P2(hp) + G2 = g2 p Rs2 zp + G2 = g2 SOB zp + G2

avendo posto zp = hp - H2.

Calcolo della spinta P1 sulla superficie piana di contenimento del volume di controllo coincidente con la semisfera superiore

SOB m2 p * Rs2, area della superficie piana di traccia OB.

P1 g1 * H1 * SOB, spinta sulla superficie piana di traccia OB.

Calcolo del peso G1 del volume di controllo coincidente con la semisfera superiore

Vss m3 2 * p * Rs3 / 3, volume della semisfera.

G1 g1 * Vss, peso del volume di controllo.

Calcolo del modulo della spinta S1 agente sulla semisfera superiore

S1 P1 - G1, spinta sulla superficie semisferica superiore.

Calcolo del peso G2 del volume di controllo coincidente con la semisfera inferiore


Calcolo del peso Pc del cilindro

Sc m2 p * Rc2, area di base del cilindro.

Vc m3 Sc * Hc, volume del cilindro.

Pc gc * Vc, peso del cilindro.

Calcolo della spinta di Archimede Ac sul cilindro

Ac g2 * Vc, peso del cilindro.

Calcolo del modulo della spinta S2 dall'eq. 2

S2

33.21 m

45.31 m

Esercizio 26 16-Sep-09 Esame Edile Architettura

dell'aeriforme contenuto nella camera superiore, affinché il portello risulti in quiete.

10.00 + = m


15 + = °


L = 5.00 + = m


65 + = m


1500 + =



0

4

2

g 9.81

H 10.2 m

a 15 ° 0.2618 rad

L 5.4 m

67 m

g 1540 15107.4

222.16 m

57.50 m

868657.54

29.16

25330053.97 N

70.86

0.01 m

2.69 m

68114081.95 Nm

Calcolo del tirante zp dall'equazione 4

zp

Calcolo del tirante hp dall'equazione 5

hp

Il serbatoio rappresentato in figura è costituito da due camere indipendenti, separate da una parete piana ed

inclinata di un angolo a. Lungo tale parete è presente un portello quadro di lato L, di peso trascurabile e libero

di ruotare senza attrito in senso antiorario intorno la cerniera O. L’allievo determini la minima pressione

H =

a =

hp =

g = kgf/m3

m/s2

hp

kgf/m3 N/m3

Il quesito consiste nel determinare la minima pressione pGAS della camera contenente l'aeriforme, rispetto al quale è garantita

condizione di quiete per portello incernierato in O. Tale valore corrisponderà quindi ad un momento risultante nullo, ovvero il momento

momento orario MGAS indotto dal risultante SGAS dovrà essere pari al momento antiorario M(hp) indotto dal risultante S(hp).

Calcolo del momento indotto dal liquido di peso specifico g:

xG (hp - H) / sen a + L/2, distanza tra linea di sponda e baricentro del portello quadro.

hG xG * sen a, affondamento del baricentro G del portello rispetto al PCIR del liquido g.

pG N/m2 g * hG, pressione indotta dal liquido g sul baricentro G del portello.


S(hp) pG * Sp, spinta esercitata dal liquido g.


xC' = GC = I0/(Sp*xG), distanza del centro di spinta C dal baricentro G.

bS1 L/2 - xC', braccio di S(hp).

M(hp) bS1 * S1, momento della spinta S1.

da cui:

865138.47 da equazione precedente

8.54 atm valore convertito in atmosfere

Esercizio 27 16-Sep-09 Esame Edile Architettura

fondo del serbatoio, affinché il portello risulti in quiete.

3.00 + = m 2000 + =

terza cifra della matricola * 0.10 terza cifra della matricola * 20

7.00 + = m 10000 + =

seconda cifra della matricola * 0.10 prima cifra della matricola * 200

3.00 + = m



1

3

3 Variante con aeriforme

10/29/2012

g 9.81 1.3 atm 131690 Pa

9.82 m 6.52 m

7.3 m

3.1 m porre una pressione del gas

2060 20208.6 nulla per camera aperta

10200

la sua determinazione è sufficiente imporre un equilibrio alla rotazione della semisfera, di peso trascurabile, intorno al polo O.


1.

A questo punto dovrà risultare: M(hp) = MGAS, ovvero

L/2 * SGAS = M1

L/2 * pGAS * Sp = M1

pGAS = M(hp) / (L/2 * Sp)

pGAS N/m2


orizzontale. Lungo tale parete è presente un portello sferico di raggio Rs, di peso trascurabile e libero di

ruotare senza attrito ed intorno alla cerniera O. L’allievo determini l’indicazione hp del piezometro posto sul

H1 = g1 = kgf/m3

H2 = g2 = N/m3

Rs =

sopra g1:

m/s2 pgas

H1 hgas

H2

Rs

g1 kgf/m3 N/m3

g2 N/m3

Il quesito consiste nel determinare la lettura hp del piezometro, posto sul fondo del serbatoio, affinché tutto il sistema risulti in equilibrio. Per

Le forze in gioco riferite al portello sono due la spinta verticale S1 del liquido g1, diretta verso il basso ed applicata a distanza Rs dalla cerniera

O; la spinta verticale S2 del liquido g2, diretta verso l'alto ed applicata a distanza Rs dalla cerniera O.

- S1 Rs + S2(hp) Rs = 0


2.

3.

4.

5.

si ricava con semplici passaggi la seguente:

6.

30.19

296.37

62.39

358.76

7250081.13 N

21.48 m

28.78 m

Esercizio 28 30-Oct-09 Esame Civile Edile Architettura

serbatoio, affinché il sistema illustrato risulti in quiete.

3.00 + = m

Avendo assunto i momenti positivi se antiorari. Come è possibile osservare, le forze hanno lo stesso braccio Rs (il sistema è

- S1 + S2(hp) = 0

Infine, dall'applicazione dell'equazione globale al VDC1 (si veda la figura seguente), si deduce che:

S1 = g1 VDC1 = g1 (Vcil,1+Vss ) = g1 (p Rs2 H1 + 2 p Rs3/3 )

mentre, dall'applicazione dell'equazione globale al VDC2:

S2(hp) = g2 (Vcil,2+Vss ) = g2 (p Rs2 zp + 2 p Rs

3/3 )


zp = (S1/g2 - 2 p Rs3/ 3 ) / ( pRs

2 )

Calcolo del volume di VDC1

SOP m2 p * Rs2, area della superficie piana di traccia OP.

Vcil,1 m3 SOP * Hc, volume del cilindro, porzione del volume VDC1.


VDC1 m3 Vcil,1 + Vss, volume VDC1.

Calcolo della spinta S1 coincidente con il peso del volume VDC1

S1 g1 * Vss, peso del volume di controllo.


zp


hp

Si noti che per g1 = g2 risulta zp = H1, ovvero i due piani dei carichi idrostatici coincidono.

Il serbatoio rappresentato in figura è costituito da due camere separate da una parete piana ed orizzontale.

Lungo tale parete è presente un portello semisferico di raggio Rs, di peso trascurabile e libero di ruotare senza

attrito intorno alla cerniera O. Esso risulta essere costituito da una parte piana OA e da una parte curva

OAB. Un oggetto di forma cubica di peso Pc e lato Lc è collegato al punto B tramite un filo inestensibile

di peso trascurabile. L’allievo determini la pressione relativa del gas posto nella camera superiore del

Rs =


2.00 + = m


80000 + =


H = 10.00 + = m


125.00 + = m


1900 + =



5

2

6

g 9.81

3.5 m

2.2 m

80200 786762 N

10.6 m

135 m

g 2150 21091.5

polo O.

come:

1.

l'oggetto sospeso e quindi il verso va verificato a posteriori.

2.

3.

Per quanto riguarda la spinta di Archimede ricevuta dall'oggetto di forma cubica, essa risulterà pari a:

4.

5.

38.48

4787.47

89.80

Lc =

Pc = kgf

hp =

g = kgf/m3

m/s2

Rs

Lc

Pc kgf

H

hp

kgf/m3 N/m3

Il quesito consiste nel determinare la pressione relativa pGAS del gas contenuto nella camera superiore, affinché tutto il sistema risulti

in equilibrio. Per la sua determinazione è sufficiente imporre un equilibrio alla rotazione del portello, di peso trascurabile, intorno al

Le forze in gioco riferite al portello sono tre: la spinta verticale S1 del liquido g1, diretta verso l'alto ed applicata a distanza Rs dalla

cerniera O; la spinta verticale SGAS del gas, diretta verso il basso ed applicata a distanza Rs dalla cerniera; la forza peso allegerita

dell'oggetto di forma cubica, diretta verso il basso ed applicata a distanza Rs dalla cerniera. E' evidente che, poiché i bracci risultano

uguali, l'equilibrio alla rotazione è degenere in un equilibrio alla traslazione. Quest'ultima, espressa in forma scalare, può scriversi

- Sg + SGAS + (Pc - Ac) = 0

Avendo assunto le forze positive se dirette verso il basso. Il lettore tenga presente che la spinta SGAS è stata ipotizzata verso il

basso (con ragionevole certezza perché il piezometro presenta un menisco molto alto); tuttavia gioca ovviamente un certo ruolo anche

Dall'applicazione dell'equazione globale al VDC1 (si veda la figura seguente), si deduce per la spinta S1 che:

Sg(hp) = g VDCg = g (Vcil+Vss ) = g (p Rs2 zp + 2 p Rs

3/3 )

avendo posto zp = hp - H.

Ac = g Lc3

Infine, pGAS risulterà pari a:

pGAS = SGAS / p Rs2

Calcolo del volume di VDCg

SOA m2 p * Rs2, area della superficie piana di traccia OA.

Vcil m3 SOP * (hp - H), volume del cilindro, porzione del volume VDCg.

Vss m3 2*p*Rs3 / 3, volume della semisfera, porzione del volume VDCg.

4877.27

102868945.16 N

Calcolo della spinta di Archimede ricevuta dall'oggetto di forma cubica (eq. 4)

224582.29 N

2658388.15

26.24 atm

126.04 m

124.40 m

Esercizio 29 11/12/2009 Esame Civile Edile Architettura

3.00 + = m


2.00 + = m


8000 + =


3.00 + = m


2.00 + = m


6.50 + = atm


1200 + =


16000 + =



2

9

6

g 9.81

3.2 m

2.9 m

VDCg m3 Vcil + Vss, volume VDCg.

Calcolo della spinta Sg coincidente con il peso del volume VDCg (Eq. 2)

Sg g1 * VDCg, peso del volume di controllo.

Ac g * Lc3, spinta di Archimede.

Calcolo della pressione del gas pGAS

pGAS N/m2

pGAS / g

hp - H

Si noti che per Vss → 0, Pc - Ac → 0, risulterà pGAS / g = hp - H.

Il serbatoio rappresentato in figura è costituito da due camere separate da un oggetto cilindrico di

di base circolare di raggio Rc, altezza Hc e peso specifico gc. L’oggetto può scorrere senza attrito. L'allievo

valuti l’indicazione hp del piezometro collegato con il fondo del serbatoio.

Rc =

Hc =

gc = kgf/m3

H1 =

H2 =

pGAS =

g1 = kgf/m3

g2 = N/m3

m/s2

Rc

Hc

8900 87309

3.9 m

2.9 m

10.5 atm 1063650

1220 11968.2

16200

risulti in equilibrio. Per la sua determinazione è sufficiente imporre un equilibrio alla traslazione dell'oggetto cilindrico.

L'equilibrio alla traslazione potrà pertanto scriversi come:

1.

l'alto in quanto l'oggetto ha di per se un elevato peso specifico e la pressione relativa del gas è positiva.

esplicitando i termini della eq. 1 si ottiene:

2.

3.

la eq. 2 può essere riscritta in termini di pressioni:

4.

Nel seguito verrà valutata l'altezza del piezometro mediante la 1 e la 4.

Calcolo tramite l'equazione 1.

32.17

1110630.00

35728865.78 N

8145295.44 N

43874161.22 N

4.39E+07 N In formato esponenziale.

113.95 m

117.85 m


113.95 m tramite eq. 4.

117.85 m 9.70 m

1. uguaglianza dei pesi specifici;

2. pressione relativa del gas nulla (equivale a liquido 2 aperto all'atmosfera).


2.00 + = m


3.00 + = m

gc kgf kgf/m3

H1

H2

pGAS N/m2

g1 kgf/m3 N/m3

g2 N/m3

Il quesito consiste nel determinare la lettura del piezometro hp in collegamento con la camera inferiore del serbatoio, affinché il sistema

Le forze in gioco riferite all'oggetto cilindrico sono tre: la spinta verticale S1(hp) del liquido g1, diretta verso l'alto ed applicata in

corrispondenza del baricentro della base inferiore; il peso Pc dell'oggetto cilindrico, diretto verso il basso ed applicata nel baricentro

dell'oggetto; la spinta verticale S2 del liquido g2, diretta verso il basso ed applicata in corrispondenza del baricentro della base superiore.

- S1(hp) + S2 + Pc = 0

Avendo assunto le forze positive se dirette verso il basso. Il lettore tenga presente che alla spinta S1 è stata attribuita direzione verso

- g1 zp Sc + (pGAS + g2 H2) Sc + gc Hc Sc = 0

avendo posto zp = hp - H1 e Sc = p Rc2.

g1 zp = pGAS + g2 H2 + gc Hc

da cui si ricava il termine zp e quindi hp.

Calcolo di S2 e Pc

Sc m2 p * Rs2, area della superficie di base dell'oggetto cilindrico.

p2 N/m2 pGAS + g2 H2, pressione all'interfaccia tra il liquido 2 e l'oggetto cilindrico.

S2 p2 Sc, spinta del liquido 2 sull'oggetto cilindrico.

Pc gc Hc Sc, peso dell'oggetto cilindrico.

Calcolo di S1 e di hp

S1 S2 + Sc, spinta verso l'alto del liquido g1.

zp S1 / (g1 Sc), altezza nel piezometro riferita al fondo dell'oggetto cilindrico.

hp zp + H1, altezza nel piezometro riferita al fondo del serbatoio.

zp

hp zp + H1, altezza nel piezometro riferita al fondo del serbatoio. H1 + H2 + Hc

Si noti che per 1. g1 = g2 = gc, 2. pGAS = 0, risulterà hp = H1 + H2 + Hc (PCIR1 e PCIR2 allo stesso livello), dove le condizioni citate esprimono:

Nel serbatoio rappresentato in figura sono presenti due liquidi di peso specifico rispettivamente pari a g1 e g2. Sul

fondo del serbatoio è presente un portello circolare di raggio Rp, incernierato in O e libero di ruotare senza attrito.

Una sfera di raggio Rs e peso trascurabile è ancorata al portello nel suo baricentro Gp tramite un filo inestensibile e

di massa trascurabile; la sfera è immersa per metà nel liquido di peso specifico g1 e per metà nel liquido di peso

specifico g2. L’allievo determini la pressione pGAS del gas presente nella parte superiore del serbatoio e la lettura

hp del piezometro collegato con il fondo del serbatoio, affinché il sistema risulti in quiete.

Rp =

Rs =


6.00 + = m


6.00 + = m


1500 + =


10000 + =



2

1

9

g 9.81

2.2 m

3.9 m

6.1 m

5.1 m

1520 14911.2

10100

Archimede ricevuta dalla sfera. L'equilibrio alla rotazione è allora degenere in un equilibrio alla traslazione verticale. Segue la sua scrittura:

1.

Avendo assunto le forze positive se dirette verso l'alto. esplicitando i termini della eq. 1 si ottiene:

2.

3.

Infine è possibile ricavare la pressione del gas dalla legge di Stevino:

4.

Nel seguito verrà valutata l'altezza del piezometro e la pressione del gas mediante le 2 e la 4, esplicitando i termini in esse contenuti.

15.21

124.24

1852529.06 N

1254797.97 N

3107327.04 N

204358.04

13.71 m

113399.72

61889.72

0.61 atm pressione dell'aeriforme in atm.

H1 =

H2 =

g1 = kgf/m3

g2 = N/m3

m/s2

Rp

Rs

H1

H2

g1 kgf/m3 N/m3

g2 N/m3

Il quesito consiste nel determinare la pressione pGAS del gas presente nella parte superiore del serbatoio e la lettura del piezometro hp in

collegamento con la camera inferiore del serbatoio, affinché il sistema risulti in equilibrio. Per la sua determinazione è sufficiente imporre un

equilibrio alla rotazione del portello. Le forze in gioco riferite al portello sono due: la spinta verticale S1(hp) del liquido g1, diretta verso il basso

ed applicata nel baricentro Gp; la forza As, trasmessa dal filo per trazione, diretta verso l'alto, applicata in Gp, di modulo pari alla spinta di

- S1(hp) + As = 0

- g1 hp Sp + g1 2pRs3/3 + g2 2pRs

3/3 = 0

da cui si ricava hp. Sp rappresenta l'area del portello.

pGAS = + g1 (hp - H1) - g2 H2

Calcolo di hp tramite l'equazione 1.


Vss m3 2 * p * Rs3 / 3, volume di ciascuna delle semisfere immerse.

As1 g1 Vss, spinta della semisfera immersa nel liquido g1.

As2 g2 Vss, spinta della semisfera immersa nel liquido g2.

S1(hp) As1 + As2, spinta del liquido g1 sul portello dalla equazione 1.

p0 N/m2 S1(hp) / Sp, pressione sul fondo del serbatoio.

hp p0 / g1, altezza nel piezometro.

Calcolo di pGAS tramite l'equazione 4.

p1-2 N/m2 g1 (hp - H1), pressione all'interfaccia tra i liquidi.

pGAS N/m2 p1-2 - g2 H2, pressione dell'aeriforme.

pGAS

Esercizio 31 21/01/2010 Esame Edile Architettura

risulti in quiete e tracci la distribuzione delle pressioni per i due liquidi.

50.00 + = m


4.00 + = m


2.00 + = m


5.00 + = m


1.00 + = m


1000 + =


15000 + =



1

0

5

g 9.81

50.5 m

4 m

4.5 m

5.1 m

1.5 m

1050 10300.5

15100

13.60 m

sufficiente imporre un equilibrio alla traslazione del pistone.

L'equilibrio alla traslazione potrà pertanto scriversi come:

1.

Si noti che per 1. Rs = 0 (assenza della sfera), risulterà hp = 0 (PCIR1 passante per il fondo del serbatoio).

Tale soluzione non è ammissibile per pGAS < -1atm relative: non sussisteranno in tale caso condizioni di quiete.

Un serbatoio è costituito da due camere indipendenti, separate da una parete piana ed orizzontale.

Lungo tale parete è presente un cilindro ad asse verticale, lungo cui può scorrere senza attrito un pistone di

altezza Hp e raggio della base circolare pari a Rp. Un piezometro la cui indicazione è hm è collegato con il

fondo del serbatoio. L’allievo determini il peso specifico del pistone gp, necessario affinché tutto il sistema

hm =

H1 =

H2 =

Hp =

Rp =

g1 = kgf/m3

g2 = N/m3

m/s2

hm

H1

H2

Hp

Rp

g1 kgf/m3 N/m3

g2 N/m3

H1 + H2 + Hc

Il quesito consiste nel determinare il peso specifico del pistone gp, affinché il sistema risulti in equilibrio. Per la sua determinazione è

Le forze in gioco riferite all'oggetto cilindrico sono tre: la spinta verticale S1 del liquido g1, diretta verso il basso ed applicata in

corrispondenza del baricentro della base superiore; il peso Pp(gp) del pistone, diretto verso il basso ed applicata nel baricentro

dell'oggetto; la spinta verticale S2 del liquido g2, diretta verso l'alto ed applicata in corrispondenza del baricentro della base inferiore.

- S2 + S1 + Pp(gp) = 0

Avendo assunto le forze positive se dirette verso l'alto. Il lettore tenga presente che alla spinta S2 è stata attribuita direzione verso


2.

3.

la eq. 2 può essere riscritta in termini di pressioni:

4.

Nel seguito verrà valutata l'altezza del piezometro mediante la 1 e la 4.


7.07

694600.00

4909838.08 N

41202.00

291239.78 N

4618598.30 N

128117.25

128117.25 tramite eq. 4.

1. uguaglianza dei pesi specifici dei liquidi;

2.


serbatoio.

2.00 + = m


3.00 + = m


5.00 + = m


2.00 + = m


10000 + =


15000 + =


65000 + =


l'alto in quanto si constata dai dati che hm > H2.

- g2 (hm - H2) Sp + g1 H1 Sp + gp Hp Sp = 0

avendo posto Sp = p Rp2.

gp Hp = g2 (hm - H2) - g1 H1

da cui si ricava il peso specifico gp.

Calcolo di S1 e S2

Sp m2 p * Rp2, area della superficie di base dell'oggetto cilindrico.

p2 N/m2 g2 (hm - H2), pressione all'interfaccia tra il liquido 2 ed il pistone.

S2 p2 Sp, spinta del liquido 2 sull'oggetto cilindrico.

p1 N/m2 g1 H1, pressione all'interfaccia tra il liquido 1 ed il pistone.

S1 p1 Sp, spinta del liquido 2 sull'oggetto cilindrico.

Calcolo di Pp e di gp

Pp S2 - S1, peso del pistone necessario per l'equilibrio.

gp N/m3 Pp / (Sp Hp), deduzione del peso specifico del pistone.

Calcolo di gp tramite l'equazione 4

gp N/m3

Si noti che per 1. g1 = g2, 2. hm = H1 + Hp + H2, risulterà gc = g1 (ovvero = g2) dove le condizioni citate esprimono:

PCIR1 e PCIR2 allo stesso livello.


orizzontale. Lungo tale parete è presente un portello semisferico di raggio Rc, di peso trascurabile e libero di

ruotare senza attrito intorno alla cerniera O. Nella parte inferiore, il portello è collegato con un oggetto sferico di

raggio Rs e peso specifico gs. L’allievo determini l’indicazione hm di un piezometro collegato con il fondo del

Rc =

Rs =

H1 =

H2 =

g1 = N/m3

g2 = N/m3

gc = N/m3


1

0

5

g 9.81

2.5 m

3.5 m

5.1 m

2.1 m

5 m

1 m

10000

15100

65500

Per la sua determinazione è sufficiente imporre un equilibrio alla rotazione del portello, di peso trascurabile, intorno al polo O.

può scriversi come:

1.

Avendo assunto le forze positive se dirette verso il basso.

2.

3.

4.

Per quanto riguarda la forza peso allegerita dell'oggetto di forma sferica, essa risulterà pari a:

5.

Riscrivendo l'equazione 1 come:

6.

-33554.332

m/s2

Rc

Rs

H1

H2

Hp

Rp

g1 N/m3

g2 N/m3

gs N/m3

Il quesito consiste nel determinare l'indicazione hm del manometro, affinché tutto il sistema risulti in equilibrio.

Le forze in gioco riferite al portello sono tre: la spinta verticale S1 del liquido g1, diretta verso l'alto (per ipotesi) ed applicata a distanza Rc

dalla cerniera O; la spinta verticale S2 del liquido g2, diretta verso il basso ed applicata a distanza Rc dalla cerniera; la forza peso alleggerita

(Pc - Ac) dell'oggetto sferico, diretta verso il basso ed applicata a distanza Rc dalla cerniera. E' evidente che, poiché i bracci risultano

uguali, l'equilibrio alla rotazione è degenere in un equilibrio alla traslazione in direzione verticale. Quest'ultima, espressa in forma scalare,

- S1(hm) + S2 + (Pc - Ac) = 0


S2 = g2 VDC2 = g2 (Vcil,2+Vss ) = g2 (p Rc2 H2 + 2 p Rc

3/3 )

Dall'applicazione dell'equazione globale al VDC1 (si veda la figura seguente), si deduce per la spinta S1(hm) che:

S1(hm) = g1 VDC1 = g1 (Vcil,1+Vss ) = g1 (p Rc2 zm + 2 p Rc

3/3 )

avendo posto zm = hm - H1.

Ps - As = (gs - g1) 4 p Rs3 / 3

S1(hm) = S2 + (Ps - As)

sfruttando l'eq. 3, si ricava prima zm, e quindi l'incognita del problema hm tramite l'eq. 4.

19.63

41.23

32.72

73.96

1116770.74 N

Calcolo della forza peso allegerita ricevuta dall'oggetto sferico (eq. 4)

179.59

11763431.89 N

1795943.80 N

9967488.09 N Forza allegerita da eq. 4.

11084258.83 N

54.79 m da eq. 3.

10.00 m

1. assenza dell'oggetto sferico;

2. uguaglianza dei pesi specifici dei liquidi.


inestensibile e peso trascurabile passante attraverso due carrucole ideali. L’allievo valuti:

7.00 + = m


12.00 + = m


4.00 + = m


2.00 + = m


1.40 + = m


3500 + =


10000 + =




SOA m2 p * Rc2, area della superficie piana di traccia OA.

Vcil,2 m3 SOA * H2, volume del cilindro, porzione del volume VDC2.

Vss m3 2 * p * Rc3 / 3, volume della semisfera, porzione del volume VDC2 (e di VDC1).


Calcolo della spinta S2 coincidente con il peso del volume VDC2 (Eq. 2)

S2 g2 * VDC2, spinta coincidente con il peso del volume di controllo VDC2.


Ps gs * Vs, peso dell'oggetto sferico.

As g1* Vs, spinta di Archimede ricevuta.

Ps - As

Calcolo della spinta S1

S1 S2 + (Ps - As), da eq. 6.

zm

hm zm + H1.

Si noti che per 1. Vs → 0, Pc - Ac → 0; 2. g2 → g1; risulterà hm = H1 + H2, dove le condizioni introdotte esprimono:

Un serbatoio è costituito da due camere isolate, contenenti rispettivamente liquidi di peso specifico g1 e g2. Una

Una sfera di raggio Rs e peso incognito Ps è per metà immersa nel liquido della camera sinistra. Un pistone di

diametro Dp, altezza Hp, peso incognito Pp e libero di scorrere senza attrito in un cilindro ad asse verticale,

garantisce la tenuta sul fondo del serbatoio di destra. Sfera e pistone sono collegati per mezzo di un filo

- la differenza tra il peso della sfera ed il peso del pistone Ps – Pp;

- il peso della sfera Ps per un peso del pistone pari a Pp = 105 N.

H1 =

H2 =

Hp =

Dp =

Rs =

g1 = kgf/m3

g2 = N/m3

0

4

8

g 9.81

7.4 m

12.8 m

4 m

2 m

1.56 m

3500 34335

14000

scrivere le seguenti equazioni scalari:

1.

2.

dove:

Eguagliando l'eq. 1 e l'eq. 2 si ottiene:

7.95

273004.28 N

3.14

179200.00

562973.40 N

835977.69 N differenza di peso da eq. 3.

935977.69 N valore dedotto da eq. 3.

Esercizio 34 18/02/2010 esame Edile - Architettura

H = 6.00 + = m


m/s2

H1

H2

Hp

Dp

Rs

g1 kgf/m3 N/m3

g2 N/m3

Affinché il sistema risulti in equilibrio occorre che la somma vettoriale delle forze agenti sulla sfera, ovvero sul pistone, risulti pari a zero. Con

riferimento alla figura che segue, indicata con T la tensione agente sul filo e stabilito un asse verticale orientato verso il basso, è possibile

(Ps - As) - T = 0

(Pp + Pf) - T = 0

- Ps è il modulo della forza peso agente sulla sfera, orientato verso il basso;

- As è il modulo della spinta di Archimede agente sulla sfera e riferita alla sola porzione immersa nel liquido g1, orientata verso l'alto;

- Pp è il modulo della forza peso agente sul pistone, orientato verso il basso;

- Pf è il modulo della spinta agente sulla base superiore del pistone, esplicata dal liquido g2, orientata verso il basso.

(Ps - Pp) = As + Pf 3.

Calcolo della differenza di peso Ps - Pp

Vss m3 2 * p * Rs3 / 3, volume immerso dell'oggetto sferico.

As g1 * Vs, spinta di Archimede ricevuta dalla parte immersa della sfera.

Sp m2 p * Dp2 / 4, area della superficie di base del pistone.

pf N/m2 g2 H2, pressione sul fondo della camera destra.

Pf pf Sp, spinta sulla base superiore del pistone.

Ps - Pp

Peso della sfera Ps per un peso del pistone pari a Pp = 105N

Ps

Un serbatoio è costituito da due camere indipendenti, separate da una parete piana ed orizzontale.

Lungo tale parete è presente un cilindro ad asse verticale, lungo cui può scorrere senza attrito un pistone di

peso Pp, altezza Hp = Hp1 + Hp2 e diametro della base circolare pari a Dp. L'allievo determini

l'indicazione hp di un piezometro, collegato con il fondo del serbatoio, affinché tutto il sistema risulti in quiete

e tracci la distribuzione di pressione per il liquido g.

1.50 + = atm rel


70000 + =


2.00 + = m


3.00 + = m


2.00 + = m


1500 + =



1

3

8

g 9.81

H 6.3 m

1.8 atm rel 182340 Pa

70800 694548 N

2.8 m

3.1 m

5.9 m

2.8 m

g 1550 15205.5

andamento pressione relativa

sufficiente imporre unequilibrio alla traslazione del pistone.

del baricentro della base superiore. L'equilibrio alla traslazione potrà pertanto scriversi come:

1.

l'alto in quanto si constata che le altre forze hanno direzione nota a priori.


2.

ovvero:

3.

4.

6.16

3.50 m distanza tra fondo serbatoio ed estremo inferiore del pistone.

1122762.49

22.91 m

pGAS =

Pp = kgf

Hp1 =

Hp2 =

Dp =

g = kgf/m3

m/s2

pGAS

Pp kgf

Hp1

Hp2

Hp

Dp

kgf/m3 N/m3

Il quesito consiste nel determinare l'indicazione hp del manometro affinché il sistema risulti in equilibrio. Per la sua determinazione è

Le forze in gioco riferite all'oggetto cilindrico sono tre: la spinta verticale Sg(hp) del liquido g, diretta verso l'alto ed applicata in

corrispondenza del baricentro della base inferiore; il peso Pp del pistone, diretto verso il basso ed applicata nel baricentro

dell'oggetto; la spinta verticale SGAS dell'aeriforme contenuto nella camera superiore, diretta verso il basso ed applicata in corrispondenza

- Sg(hp) + SGAS + Pp = 0

Avendo assunto le forze positive se dirette verso il basso. Il lettore tenga presente che alla spinta S1 è stata attribuita direzione verso

- g [hp - (H - Hp1)] Sp + pGAS Sp + Pp = 0

-g hp Sp + g (H - Hp1) Sp + pGAS Sp + Pp = 0

avendo posto Sp = p Dp2 / 4.

dalla eq. 3 cui si ricava la lettura hp.

Sp m2 p * Dp2 / 4, area della superficie di base dell'oggetto cilindrico.

H - Hp1

SGAS N p2 Sp, spinta del liquido 2 sull'oggetto cilindrico.

hp g1 H1, pressione all'interfaccia tra il liquido 1 ed il pistone.

+


e tracci la distribuzione delle pressioni per i due liquidi.

3.00 + = m


5.00 + = m


8.00 + = m


15000 + =


discontinuità funzione

10000 + = dei dati assegnati



1

3

8

g 9.81

3.8 m

5.1 m

8.1 m

15300

10100

andamento pressione relativa

è sufficiente imporre un equilibrio alla rotazione del portello semisferico, di peso trascurabile, intorno al polo O.

espressa in forma scalare, può scriversi come:

1.


2.

3.

4.


5.

Il serbatoio rappresentato in figura è costituito da due camere indipendenti, separate da un portello

semisferico OAB di raggio Rs e peso trascurabile, incernierato in O e libero di ruotare senza attrito. L'allievo

determini l’indicazione hp di un piezometro collegato con il fondo del affinché tutto il sistema risulti in quiete

Rs =

H1 =

H2 =

g1 = N/m3

g2 = N/m3

m/s2

Rs

H1

H2

g1 N/m3

g2 N/m3

Il quesito consiste nel determinare l'indicazione hp del manometro, affinché tutto il sistema risulti in equilibrio. Per la sua determinazione

Le forze in gioco riferite al portello sono due la spinta verticale S1 del liquido g1, diretta verso il basso ed applicata a distanza Rs dalla

cerniera O; la spinta verticale S2 del liquido g2, diretta verso l'alto (per ipotesi) ed applicata a distanza Rs dalla cerniera.

E' evidente che, poiché i bracci risultano uguali, l'equilibrio alla rotazione è degenere in un equilibrio alla traslazione. Quest'ultima,

- S2(hp) + S1 = 0


S1 = g1 VDC1 = g1 (Vcil,1+Vss ) = g1 (p Rs2 H1 + 2 p Rs

3/3 )

Dall'applicazione dell'equazione globale al VDC2 (si veda la figura seguente), si deduce per la spinta S2(hp) che:

S2(hp) = g2 VDC2 = g2 (Vcil,2+Vss ) = g2 (p Rs2 zp + 2 p Rs

3/3 )


S2(hp) = S1

sfruttando l'equazione 4, si ricava prima zp, e quindi l'incognita del problema hp.

+ +

45.36

231.36

114.92

346.28

5298131.39 N

pressioni utili per tracciamento del diagramma

9.03 m da eq. 3 91203

17.13 m 13.2 m 78030

173013 al fondo (al manometro)

Esercizio 36 19/03/2010 esame Civile Edile Architettura

a dalla cerniera O. Nel punto P, filo e portello formano un angolo retto.

L'allievo:

- tracci la distribuzione delle pressioni per i due liquidi lungo un asse verticale.

12.00 + = m


f = 2.00 + = m


B = 1.00 + = m





Vss m3 2*p*Rc3 / 3, volume della semisfera, porzione del volume VDC2 (e di VDC1).



S1 g1 * VDC1, peso del volume di controllo.

Calcolo dell'indicazione hp

zp per g1 in corrispondenza della parete

hp zp + H2 H1+H2 per g2 in corrispondenza della parete

Si noti che per g2 → g1 (pesi specifici dei liquidi uguali) risulterà hp = H1 + H2 (al limite).

Un serbatoio, contenente due liquidi di peso specifico rispettivamente pari a g1 e g2, presenta una parete

ed inclinata di un angolo a rispetto un asse orizzontale. Lungo tale parete è presente un portello rettangolare

di altezza H e profondità B, libero di ruotare senza attrito intorno una cerniera O. Il portello è per metà a

contatto con il liquido g1 e per l’altra metà con il liquido g2. Una sfera di peso trascurabile e raggio Rs è

collegata per mezzo di una carrucola K ed un filo inestensibile e di massa trascurabile nel punto P, distante

- valuti il raggio Rs della sfera, necessario perché il sistema descritto risulti in quiete

(per Rs < H1 – H/2 sen a la sfera risulta completamente immersa nel fluido 1);

H1 =

H = 5.00 + = m


a = 4.40 + = m


50 + = °


1500 + =


30000 + =



2

1

9

g 9.81

12.9 m

f 2.1 m

B 1.2 m

H 5.9 m

a 4.85 m

a 50.5 ° 0.8814 rad

1600 15696

34500

tracciamento della distribuzione delle pressioni per i due liquidi.

sfera e trasmessa per trazione dal filo inestensibile collegato in P.

a =

g1 = kgf/m3

g2 = N/m3

m/s2

H1

g1 kgf/m3 N/m3

g2 N/m3

Il quesito consiste nel determinare il raggio Rs della sfera di peso trascurabile affinché tutto il sistema risulti in equilibrio. Per la sua

determinazione è sufficiente imporre un equilibrio alla rotazione del portello rettangolare intorno al polo. Successivamente è richiesto il

Le forze in gioco riferite al portello sono tre: la spinta S1 del liquido g1, ortogonale al portello ed applicata a distanza G1C1 dal baricentro

G1 della porzione di portello a contatto con il liquido 1 (si veda la successiva figura); la spinta S2 del liquido g2, ortogonale al portello ed

applicata a distanza G2C2 dal baricentro G2 della porzione di portello a contatto con il liquido 2; la spinta di Archimede As, ricevuta dalla


1.

Avendo assunto i momenti positivi se antiorari.

11.76 m

184614.06

3.54

653533.76 N

2.57

0.05 m

4.38 m

-2860793.99 Nm

202478.40

5.87 m

7.01 m

241744.45

855775.34 N

0.08 m

1.40 m

-1193926.07 Nm

4054720.07 Nm

836024.76 N

53.26

2.33 m


delle pressioni lungo la verticale per i due liquidi.

1000 + =


15000 + =


4.00 + = m


2.00 + = m


6.00 + = m


20.00 + = m


- S1 bS1 / 2 - S2 bS2 + As a = 0

Calcolo del momento indotto dalla spinta S1 prodotta dal liquido g1 sul portello

zG,1 H1 - H/4 sena, affondamento del baricentro G1 della porzione di portello 1.

pG,1 N/m2 g1 * zG,1, pressione indotta dal liquido g1 sul baricentro della porzione di portello 1.

S1 m2 B * H/2, area della porzione di portello 1.

S1 g1 * H1 * SOA, spinta sulla porzione di portello 1.

I1 m4 B * (H/2)3 / 12, momento di inerzia baricentrico della porzione di portello 1.

xc,1' = G1C1 = I1/(S1*zG,1), distanza del centro di spinta c1 dal baricentro G1 della porzione di portello 1.

bS,1 3 H/4 - x1', braccio di S1.

M1 -S1 * bS1, momento orario indotto da S1.

Calcolo del momento indotto dalla spinta S2 prodotta dal liquido g2 sul portello

p1-2 N/m2 g1 * H1, pressione all'interfaccia tra i liquidi 1 e 2.

h1-2 p1-2 / g1, posizione del PCIR2.

zG,2 h1-2 + H/4 sena, affondamento del baricentro G2 della porzione di portello 2.

pG,2 N/m2 g2 * zG,2, pressione indotta dal liquido g2 sul baricentro della porzione di portello 2.

S2 pG,2 * S1, spinta sulla porzione di portello 2.

xc,2' = G2C2 = I2 sena /(S2*zG,2), distanza del centro di spinta c2 dal baricentro G2 della porzione di portello 2.

bS,2 H/4 - x1', braccio di S2.

M1 -S2 * bS2, momento orario indotto da S2.

Calcolo del momento indotto dalla spinta di Archimede As prodotta dal galleggiante sferico

MA - M1 - M2, momento antiorario indotto dalla spinta di Archimede.

As MA / a, momento antiorario indotto dalla spinta di Archimede.

Vs m3 As / g1, volume dell'oggetto sferico.

Rs da Vs = 4*p*Rs3/3, volume dell'oggetto sferico.

Il serbatoio rappresentato in figura è costituito da due camere indipendenti, contenenti liquidi di pesi specifici

rispettivamente pari a g1 e g2. Le camere sono separate da una parete piana ed orizzontale. Lungo tale parete

è presente un portello semisferico di raggio Rc, e peso trascurabile, incernierato in O e libero di ruotare senza

attrito. Il portello è collegato nel punto B con un galleggiante sferico di raggio Rs e peso trascurabile, peso

peso trascurabile, per mezzo di un filo inestensibile e privo di massa. L’allievo determini l’indicazione hp di un

piezometro collegato con il fondo del serbatoio affinché il sistema risulti in quiete e tracci la distribuzione

g1 = kgf/m3

g2 = N/m3

Rc =

Rs =

H1 =

H2 =


2

8

2

g 9.81

1160 11379.6

15400

4.2 m

2.2 m

6.2 m

20.2 m

sufficiente imporre un equilibrio alla rotazione del portello, di peso trascurabile, intorno al polo O.

come:

1.

Avendo assunto le forze positive se dirette verso l'alto.

2.

3.

4.

Per quanto riguarda la spinta di Archimende del galleggiante, essa risulterà pari a:

5.


6.

55.42

1119.44

155.17

1274.61

m/s2

g1 kgf/m3 N/m3

g2 N/m3

Rc

Rs

H1

H2

Il quesito consiste nel determinare l'indicazione hp del manometro, affinché tutto il sistema risulti in equilibrio. Per la sua determinazione è

Le forze in gioco riferite al portello sono tre: la spinta verticale S1 del liquido g1, diretta verso l'alto (per ipotesi) ed applicata a distanza Rc

dalla cerniera O; la spinta verticale S2 del liquido g2, diretta verso il basso ed applicata a distanza Rc dalla cerniera; la spinta di Archimede

As del galleggiante sferico, diretta verso l'alto ed applicata a distanza Rc dalla cerniera. E' evidente che, poiché i bracci risultano

uguali, l'equilibrio alla rotazione è degenere in un equilibrio alla traslazione. Quest'ultima, espressa in forma scalare, può scriversi

S1(hp) - S2 + As = 0


S2 = g2 VDC2 = g2 (Vcil,2+Vss ) = g2 (p Rc2 H2 + 2 p Rc

3/3 )

Dall'applicazione dell'equazione globale al VDC1 (si veda la figura seguente), si deduce per la spinta S1(hp) che:

S1(hp) = g1 VDC1 = g1 (Vcil,1+Vss ) = g1 (p Rc2 zp + 2 p Rc

3/3 )


As = g2 4 p Rs3 / 3

S1(hp) = S2 - As

sfruttando l'equazione 3, si ricava prima zp, e quindi l'incognita del problema hp.






19628947.36 N

Calcolo della spinta di Archimede ricevuta dal galleggiante (eq. 5)

44.60

686874.47 N

18942072.89 N

27.24 m da eq. 3.

33.44 m

1. assenza del galleggiante sferico;

2. uguaglianza dei pesi specifici dei liquidi.


l’indicazione n di un manometro differenziale posto sul fondo del serbatoio, affinché il portello risulti in quiete.

20.00 + = m


3.00 + = m


4.00 + = m


2000 + =


60000 + =



1

4

6

g 9.81

H 20.6 m

3.4 m

4.1 m

g 2120 20797.2

60200

equilibrio. Per la sua determinazione è sufficiente imporre un equilibrio alla rotazione del portello, di peso trascurabile, intorno al polo O.


S2 g2 * VDC2, spinta coincidente con il peso del volume di controllo VDC2.

Vs m3 4*p*Rs3 / 3, volume dell'oggetto sferico.

As g2* Vs, spinta di Archimede ricevuta.


S1 S2 - As, da eq. 6.

zp

hp zp + H1.

Si noti che per 1. Vs → 0 Þ As → 0; 2. g2 → g1; risulterà hp = H1 + H2, dove le condizioni introdotte esprimono:

Il serbatoio rappresentato in figura presenta superiormente una parete piana ed orizzontale.

Lungo tale parete è presente un portello semisferico di raggio Rs, di peso trascurabile e libero di

ruotare senza attrito intorno alla cerniera O. Un oggetto sferico di raggio Ro e peso specifico go è collegato al

punto B del portello del portello per mezzo di un filo inestensibile e di massa trascurabile. L’allievo determini

H =

Rs =

Ro =

g = kgf/m3

go = N/m3

m/s2

Rs

Ro

N/m3

g0 N/m3

Il quesito consiste nel determinare l'indicazione n del manometro differenziale posto sul fondo del serbatoio, affinché tutto il sistema risulti in

Quest'ultima, espressa in forma scalare, può scriversi come come:

1.


2.

3.


4.


5.

Calcolo di elementi geometrici utili

36.32

82.32


288.70

17379475.70 N

6004060.33 N

11375415.37 N forza allegerita da eq. 4.

11375415.37 N

z 12.79 m da eq. 2.

33.39 m

694509.26 Pa

n 7.08

da:


Le forze in gioco riferite al portello sono tre: la spinta verticale Sg del liquido g, diretta verso l'alto (per ipotesi) ed applicata a distanza Rs

dalla cerniera O; la forza peso alleggerita (Po - Ao) dell'oggetto sferico, diretta verso il basso (risulta go > g) ed applicata a distanza Rs

dalla cerniera. E' evidente che, poiché i bracci risultano uguali, l'equilibrio alla rotazione è degenere in un equilibrio alla traslazione.

- Sg(n) + (Po - Ao) = 0

Dall'applicazione dell'equazione globale al VDCg (si veda la figura seguente), si deduce per la spinta S(n) che:

Sg(n) = g VDCg = g (Vcil,g+Vss ) = g (p Rs2 z + 2 p Rs

3/3 )

avendo posto z la distanza tra PCIR del liquido ed il piano orizzontale superiore.

Po - Ao = (go - g) 4 p Ro3 / 3

Sg(n) = (Po - Ao)

sfruttando l'equazione 2, si ricava prima z, e quindi l'incognita del problema n.


Vss m3 2*p*Rs3 / 3, volume della semisfera, porzione del volume VDC2 (e di VDC1).

Vo m3 4*p*Rs3 / 3, volume dell'oggetto sferico.

Po go * Vo, peso dell'oggetto sferico.

Ao g* Vo, spinta di Archimede ricevuta.

Po - Ao


Sg (Ps - As), da eq. 5.

H + z zm distanza tra il fondo del serbatoio ed il piano dei carichi idrostatici

pn g * zm, pressione al manometro.

kgf/m2 pn / (g * 104), lettura al manometro.

Si noti che z può ammettere valore negativo. Al limite per Vo → 0 (Ro → 0) dovrà risultare una spinta Sg sulla superficie curva pari a 0, ovvero:

gVss + g SOA z = 0, con riferimento ad un VDC coincidente con la semisfera OAB. In assenza dell'oggetto sferico la soluzione è pertanto fornita

z = - Vss / SOA.

distribuzione delle pressioni lungo la verticale per il liquido.

1000 + =


36000 + =


4.00 + = m


2.00 + = m


6.00 + = m


5.00 + = atm rel



9

2

4

g 9.81

g 1040 10202.4

37800

4.4 m

2.4 m

H 6.9 m

5.9 atm rel 597670 Pa

sufficiente imporre un equilibrio alla rotazione del portello, di peso trascurabile, intorno al polo O.

risultano uguali, l'equilibrio alla rotazione è degenere in un equilibrio alla traslazione. Quest'ultima, espressa in forma scalare, può scriversi come:

come:

1.


2.

3.

4.

Il serbatoio rappresentato in figura è costituito da due camere indipendenti, contenenti rispettivamente gas nella

parte superiore e liquido di peso specifico pari a g nella parte inferiore. Le camere sono separate da una parete

piana ed orizzontale. Lungo tale parete è presente un portello semisferico di raggio Rc, e peso trascurabile,

incernierato in O e libero di ruotare senza attrito. Nella parte inferiore, il portello è collegato nel punto B con un

oggetto sferico di raggio Ro e peso specifico go, per mezzo di un filo inestensibile e privo di massa. L’allievo

determini l’indicazione hm di un piezometro collegato con il fondo del serbatoio il sistema risulti in quiete e tracci la

g = kgf/m3

go = N/m3

Rc =

Ro =

H =

pGAS =

m/s2

kgf/m3 N/m3

go N/m3

Rc

Ro

pGAS

Il quesito consiste nel determinare l'indicazione hm del manometro, affinché tutto il sistema risulti in equilibrio. Per la sua determinazione è

Le forze in gioco riferite al portello sono tre: la spinta verticale Sg del liquido g, diretta verso l'alto (per ipotesi) ed applicata a distanza Rc

dalla cerniera O; la spinta verticale SGAS dell'aeriforme, diretta verso il basso ed applicata a distanza Rc dalla cerniera; la forza peso

alleggerita (Po - Ao) dell'oggetto sferico, diretta verso il basso ed applicata a distanza Rc dalla cerniera. E' evidente che, poiché i bracci

- Sg(hm) + SGAS + (Po - Ao) = 0

Il modulo del risultante SGAS risulterà pari a alla spinta dell'aeriforme sulla parete piana virtuale di contenimento della semisfera:

SGAS = pGAS p Rc2

Dall'applicazione dell'equazione globale al VDCg (si veda la figura seguente), si deduce per la spinta Sg(hm) che:

Sg(hm) = g VDCg = g (Vcil,g+Vss ) = g (p Rc2 zm + 2 p Rc

3/3 )

avendo posto zm = hm - H.


5.


6.

60.82

36351026.79 Pa


57.91

2188840.59 N

590778.50 N

1598062.09 N forza allegerita da eq. 4.

178.41

37949088.88 N

58.22 m da eq. 3.

65.12 m


quiete e tracci la distribuzione delle pressioni lungo la verticale per i liquidi.

4.00 + = m


4.00 + = m

Po - Ao = (go - g) 4 p Ro3 / 3

Sg(hm) = SGAS + (Po - Ao)

sfruttando l'equazione 3, si ricava prima zm, e quindi l'incognita del problema hm.

Calcolo della spinta SGAS (Eq. 2)


SGAS SOA * pGAS, spinta dell'aeriforme sulla superficie curva OAB.

Vo m3 4 * p * Ro3 / 3, volume dell'oggetto sferico.


Ao g * Vo, spinta di Archimede ricevuta.

Po - Ao

Calcolo della spinta Sg e dell'altezza del piezometro hm

Vss m3 2 * p * Rc3 / 3, volume della semisfera, porzione del volume VDCg.

Sg SGAS + (Po - Ao), da eq. 6.

zm

hm zm + H.

Anche in questo caso, zm può ammettere valore negativo. Al limite per 1. Vo → 0 (Ro → 0); 2. pGAS = 0, dovrà risultare una spinta Sg sulla superficie

curva pari a 0, ovvero: gVss + g SOA zm = 0, con riferimento ad un VDC coincidente con la semisfera OAB. In assenza dell'oggetto sferico (1) e

pressione relativa del gas nulla (2) la soluzione è pertanto fornita da: zm = - Vss / SOA.

Lungo un serbatoio cilindrico può scorrere senza attrito un pistone di peso specifico gp, diametro della base circolare

DP ed altezza HP. La camera superiore contiene due liquidi, di pesi specifici rispettivamente pari a g1 e g2. La

camera inferiore contiene un liquido di peso specifico pari a g3. Tra le due camere non vi è comunicazione idraulica

poiché il pistone è a tenuta. Un oggetto sferico di peso specifico pari a go e raggio pari a Ro è immerso nella camera

inferiore ed è collegato al pistone per mezzo di un filo inestensibile e di peso trascurabile. L’allievo determini

l’indicazione hm di un piezometro collegato con il fondo del serbatoio, necessaria affinché tutto il sistema risulti in

H1 =

H2 =


3.00 + = m


7.00 + = m


10.00 + = m


1.00 + = m


10000 + =


1500 + =


4500 + =


15000 + =


6500 + =


fondamentali

valori di pressione

distribuzioni di pressione


1

2

5

g 9.8

4.2 m 10100

4.5 m 1600 15696

3.1 m 4550 44635.5

7.5 m

10.1 m 15500

HP =

DP =

H3 =

Ro =

g1 = N/m3

g2 = kgf/m3

gP = kgf/m3

g3 = N/m3

go = kgf/m3

m/s2

H1 g1 N/m3

H2 g2 kgf/m3 N/m3

HP gP kgf/m3 N/m3

DP

H3 g3 N/m3

PCIR3

PCIR1

PCIR2

p1-2

p2-P

pP-3

pfpf

1.5 m 6600 64746

sufficiente imporre un equilibrio alla traslazione in direzione verticale del pistone.

alla traslazione in direzione verticale potrà scriversi come:

1.

come:

2.

3.

4.


5.

42420.00

2.70 m

113052.00

44.18

4994484.37 N

Calcolo della forza peso del pistone

136.95

6113001.55 N


14.14

915325.01 N

219126.09 N

696198.92 N forza peso allegerita da eq. 5.

11803684.84 N

267180.77

17.24 m

27.34 m

423730.77 N


Ro go kgf/m3 N/m3

Il quesito consiste nel determinare l'indicazione hm del manometro, affinché tutto il sistema risulti in equilibrio. Per la sua determinazione è

Le forze in gioco riferite al portello sono quattro: la spinta verticale Ssup del liquido g2, diretta verso il basso; la forza peso PP del pistone diretta

verso il basso; la spinta verticale Sinf del liquido g3, diretta verso l'alto e funzione del livello hm nel piezometro; la forza peso alleggerita (Po - Ao )

dell'oggetto sferico, diretta verso il basso (giacché go > g3 ) e trasmessa al pistone per trazione attraverso il filo. L'equazione di equilibrio

Ssup + PP - Sinf(hm) + (Po - Ao) = 0

Avendo assunto le forze positive se dirette verso il basso. Il modulo della spinta S inf, funzione dell'incognita hm del problema, è allora esprimibile

Sinf(hm) = Ssup + PP + (Po - Ao)

Con riferimento al livello incognito del menisco nel piezometro, il modulo del risultante Sinf(hm) potrà scriversi come:

Sinf = g3 SP ( hm - H3 ) = g3 SP zm = pP-3 SP

avendo posto zm = hm - H3, pP-3 = g3 zm.

Po - Ao = (go - g3) 4 p Ro3 / 3

sfruttando le equazioni 2 e 3, si ricava prima zm, e quindi l'incognita del problema hm.

Calcolo della spinta Ssup sulla faccia superiore del pistone


h2 p1-2/g2, posizione del PCIR2 rispetto l'interfaccia tra i liquidi 1 e 2.

p2-P N/m2 g2 * (h2+H2), pressione all'interfaccia tra il liquido 2 ed il pistone.

Sp m2 p * Dp2/4, superficie di base del pistone.

Ssup Sp * p2-p, spinta de liquido 2 sulla faccia superiore del pistone.

VP m3 Sp * Hp, volume del pistone.

PP gp * Vp, peso proprio del pistone.

Vo m3 4 * p * Ro3 / 3, volume dell'oggetto sferico.


Ao g3* Vo, spinta di Archimede ricevuta.

Po - Ao

Calcolo della spinta Sinf ricevuta dalla faccia inferiore del pistone e dell'altezza del piezometro hm

Sinf Ssup + Pp + (Po - Ao), da eq. 2.

pP-3 N/m2 Sinf / SP, pressione tra pistone e liquido 3, da eq. 3.

zm pP-3 / g3, posizione del PCIR3 rispetto l'interfaccia tra pistone e liquido 3.

hm zm + H3, da eq. 4.

pf g3* hm, pressione sul fondo del serbatoio.

Il serbatoio rappresentato in figura è costituito da due camere indipendenti separate da una parete piana e verticale

e contenenti liquidi di pesi specifici rispettivamente pari a g1 e g2. Lungo tale parete è presente un portello

semisferico di raggio Rs e peso trascurabile, incernierato in O e libero di ruotare senza attrito. L’allievo determini

l'altezza H2 necessaria perché il sistema illustrato risulti in quiete.

3.00 + = m


5.00 + = m


15000 + =


10000 + =



1

8

5

g 9.81

3.5 m

5.1 m

15800

10100

8.60 m

135880.00

9.62

1307318.80 N

VDC 89.80

1418795.60 N

1929264.99 N

b 0.8263 rad

1307318.80 N

3.5 m

Rs =

H1 =

g1 = N/m3

g2 = N/m3

m/s2

Rs

H1

g1 N/m3

g2 N/m3

Il quesito consiste nel determinare l'altezza H2 che garantisce condizioni di quiete per portello incernierato in O. Tale valore corrisponderà

quindi ad un momento risultante nullo, ovvero il momento orario M1 indotto dal risultante S1 prodotto dal liquido 1 a sinistra dovrà essere pari

al momento antiorario M2 indotto dal risultante S2 funzione dell'altezza H2.

1. Calcolo del momento indotto dal liquido di peso specifico g1:

hG1 H1 + Rs, affondamento rispetto il PCIR1 del baricentro G della superficie piana di contenimento del VDC1 (semisfera).

pG1 N/m2 g1 * hG1, pressione sul baricentro G della superficie piana di contenimento del VDC1.

Sp m2 p * Rs2, area della superficie piana di contenimento del VDC1.

Pp,1 pG1 * Sp, componente orizzontale della spinta sulla superficie piana di contenimento del VDC1.

m3 2 p Rs3 / 3, volume di controllo VDC1 (coincidente con il volume di controllo VDC2 e quindi posto pari a VDC).


S1 (Pp,12 + G1

2)1/2, dal teorema di Pitagora.


1.a. Scelta 1: M1 come momento del risultante S1:

tan -1 (G1 / Pp,1), angolo che il risultante S1 forma con l'orizzontale.

S1,ort S1 cos b, componente ortogonale della spinta S1 alla superficie piana.

bS1,ort Rs, braccio di S1,ort.

4575615.82 Nm

117.86

8.60 m

1.42 m

2.08 m

2713446.59 Nm

1.31 m

1862169.23 Nm

4575615.82 Nm

906951.62 N

-1190374.00 Nm

9.95 m

13.45 m

135880.00

1307318.80 N

13.45 m

0.91 m

2.59 m

-3385241.82 Nm

0.00 Nm

Macro: "Idrostatica_Es41_Calcola_H2".

1.

2.

3.

4.

= 13.45 m 5.

= 9.95 m 6.


M1 bS1,ort * S1,ort, momento del risultante S1.

1.b. Scelta 2: M1 come somma algebrica del momento indotto dalla componente Pp,1 e del momento indotto da G1

Io m4 p * Rs4 / 4, momento di inerzia baricentrico della superficie piana di contenimento.

xG1 = hG,1, distanza del baricentro G dalla linea di sponda del liquido g1.

xC1' = G1C1 = I0 / (Sp*xG1), distanza del centro di spinta C1 dal baricentro G.

bPp,1 Rs - xC1', braccio della componente Pp,1.


dGB 3 * Rs / 8, distanza del baricentro B della semisfera dal baricentro G della figura piana di contenimento.

MG1 dGB * G1, momento di G1 (il vettore G1, componente di S1, induce momento orario).


2.a. Calcolo di H2 con procedura iterativa

Noto a questo punto il momento indotto dal liquido g1 a sinistra, procediamo con il calcolo di H2 con una funzione ricerca obiettivo, costruita

come F(H2) = M1 + M2(H2) = 0, con momenti orari positivi (M2 < 0).


MG2 -dGB * G2, momento di -G2 (il vettore -G2, componente di S2, induce momento antiorario).

H2 valore di tentativo per H2:

il valore soluzione si ottiene cliccando sul pulsante "calcola H2"

hG2 H2 + Rs, posizione del baricentro G della superficie piana di contenimento del VDC2.



xG2 = hG,2, distanza del baricentro G dalla linea di sponda di tentativo del liquido g2.

xC2' I0 / (Sp xG2), distanza del centro di spinta di Pp,2 rispetto al baricentro G.

bPp,2 Rs - xC2', braccio della componente Pp,2.


F(pGAS) = 0 M1 + [ MPp,2(H2) + MG2 ] = 0, equazione di equilibrio.

2.b. Calcolo di H2 con procedimento analitico

E' possibile pervenire allo stesso risultato per via analitica. Esplicitando infatti l'equazione di equilibrio: M1 + M2(hG,2) = 0 si ottiene:

H2

Si noti che per g1 = g2 (liquidi di peso specifico uguale), risulterà H2 = H1 (PCIR1 e PCIR2 alla stessa quota).



sferico di raggio Rs e peso trascurabile, incernierato in O e libero di ruotare senza attrito. L’allievo determini la

pressione dell'aeriforme pGAS nella camera destra, necessaria perché il sistema illustrato risulti in quiete e tracci la

0GMhMMhMM 22,G2,P12,G21 P

0GMhCGhM 22,G222,G2,P1 P

212,GP

0sP2,G22,G222,G2,P GMM

h

IRhhCGh

SSgP

2102sP2,G2 GMMIRh gSg

sP2

02212,G R

IGMMh

Sg

g

distribuzione delle pressioni per i due liquidi.

3.00 + = m


15.00 + = m


25000 + =


1000 + =



7

8

8

g 9.81

3.8 m

H 15.7 m

25800

1700 16677

19.50 m

503100.00

45.36

22822929.21 N

VDC 114.92

2965030.12 N

23014723.58 N

Rs =

H1 =

g1 = N/m3

g2 = kgf/m3

m/s2

Rs

g1 N/m3

g2 kgf/m3 N/m3

Il quesito consiste nel determinare la pressione pGAS dell'aeriforme nella camera destra, che garantisce condizioni di quiete per portello

incernierato. Tale valore corrisponderà quindi ad un momento risultante nullo, ovvero il momento orario M1 indotto dal risultante S1 prodotto

dal liquido 1 a sinistra dovrà essere pari al momento antiorario M2 indotto dal risultante S2 funzione della pressione pGAS.


hG1 H + Rs, affondamento del baricentro G della superficie piana di contenimento del VDC1 (semisfera).






S1 (Pp,12 + G1


b 0.13 rad

22822929.21 N

3.80 m

86727131.01 Nm

163.77

19.50 m

0.19 m

3.61 m

82501963.09 Nm

1.42 m

4225167.92 Nm

86727131.01 Nm

1916581.68 N

-2731128.89 Nm

177898.50 Pa

30.17 m

503100.00

22822929.21 N

30.17 m

0.12 m

3.68 m

-83996002.12 Nm

0.00 Nm

Macro: "Idrostatica_Es42_Calcola_pGAS".

1.

2.

3.

4.

= 30.17 m 5.

= 177898.50 Pa 6.

1.76 atm






M1 bS1,ort * S1,ort, momento del risultante S1 (momento orario positivo).


Io m4 p * Rs4 / 4, momento di inerzia baricentro della superficie piana di contenimento.


xC1' = GC1 = I0 / (Sp*xG1), distanza del centro di spinta C1 dal baricentro G.

bPp,1 Rs - xC1', braccio della componente -Pp,1.

MPp,1 bPp,1 * Pp,1, momento della componente -Pp,1 (momento orario positivo).


MG1 dGB * G1, momento di -G1 (il vettore -G1, componente di S1, induce momento orario).



Noto a questo punto il momento indotto dal liquido g1 a sinistra, procediamo al calcolo di pGAS con una funzione ricerca obiettivo, costruita come

F(pGAS) = M1 + M2(pGAS) = 0, con momenti orari positivi (M2 < 0).


MG2 -dGB * G2, momento di -G2 (il vettore -G2, componente di S2, induce momento antiorario).

pGAS valore di tentativo per la pressione dell'aeriforme pGAS:


hG2 pGAS / g2 + H + Rs, posizione del baricentro G della superficie piana di contenimento del VDC2.



xG2 = hG,2, distanza del baricentro G2 dalla linea di sponda di tentativo del liquido g2.

xC2' I0 / (Sp xG2), distanza del centro di spinta di -Pp,2 rispetto al baricentro.

bPp,2 Rs + xC2', braccio della componente -Pp,2.

MPp,2 bPp,2 * Pp,2, momento della componente -Pp,2.



pGAS

dove pGAS è valutato sulla base della posizione: hG2 = pGAS/g2 + H + Rs

Si noti che per g1 = g2 (liquidi di peso specifico uguale), risulterà pGAS = 0 (PCIR1 e PCIR2 alla stessa quota).


sP2

02212,G R

IGMMh

Sg

g

0GMpMMpMM 2GAS2,P1GAS21 P

0GMpCGpM 2GAS22GAS2,P1 P

21GAS2,GP

0sPGAS2,G2GAS22GAS2,P GMM

ph

IRphpCGp

SSgP

Esercizio 43 06/05/2011 Esame Civili Edile Architettura


3.00 + = m


10.00 + = m


25000 + =


1000 + =



4

2

2

g 9.81

3.2 m

H 10.4 m

25200

1040 10202.4

13.60 m

342720.00

32.17

11025271.13 N

VDC 68.63

1729454.30 N

11160090.31 N



semisferico di raggio Rs e peso trascurabile, incernierato in O e libero di ruotare senza attrito. L’allievo determini la

pressione dell'aeriforme pGAS nella camera destra, necessaria perché il sistema illustrato risulti in quiete e tracci la

Rs =

H1 =

g1 = N/m3

g2 = kgf/m3

m/s2

Rs

g1 N/m3

g2 kgf/m3 N/m3

Il quesito consiste nel determinare la pressione pGAS dell'aeriforme nella camera destra, che garantisce condizioni di quiete per portello

incernierato. Tale valore corrisponderà quindi ad un momento risultante nullo, ovvero il momento orario M1 indotto dal risultante S1 prodotto

dal liquido 1 a sinistra dovrà essere pari al momento antiorario M2 indotto dal risultante S2 funzione della pressione pGAS.


hG1 H + Rs, affondamento del baricentro G della superficie piana di contenimento del VDC1 (semisfera).






S1 (Pp,12 + G1


PCIR1

PCIR2

pGAS

pG2

pG1

+

+

+

b 0.16 rad

11025271.13 N

3.20 m

35280867.63 Nm

82.35

13.60 m

0.19 m

3.01 m

33205522.48 Nm

1.20 m

2075345.15 Nm

35280867.63 Nm

700181.92 N

-840218.31 Nm

203967.36 Pa

33.59 m

342720.00

11025271.13 N

33.59 m

0.08 m

3.12 m

-34440649.32 Nm

0.00 Nm

Macro: "Idrostatica_Es43_Calcola_pGAS".

1.






M1 bS1,ort * S1,ort, momento del risultante S1 (momento orario positivo).


Io m4 p * Rs4 / 4, momento di inerzia baricentro della superficie piana di contenimento.


xC1' = GC1 = I0 / (Sp*xG1), distanza del centro di spinta C1 dal baricentro G.

bPp,1 Rs - xC1', braccio della componente -Pp,1.

MPp,1 bPp,1 * Pp,1, momento della componente -Pp,1 (momento orario positivo).


MG1 dGB * G1, momento di -G1 (il vettore -G1, componente di S1, induce momento orario).



Noto a questo punto il momento indotto dal liquido g1 a sinistra, procediamo al calcolo di pGAS con una funzione ricerca obiettivo, costruita

come F(pGAS) = M1 + M2(pGAS) = 0, con momenti orari positivi (M2 < 0).


MG2 -dGB * G2, momento di G2 (il vettore G2, componente di S2, induce momento antiorario).

pGAS valore di tentativo per la pressione dell'aeriforme pGAS:


hG2 pGAS / g2 + H + Rs, posizione del baricentro G della superficie piana di contenimento del VDC2.



xG2 = hG,2, distanza del baricentro G2 dalla linea di sponda di tentativo del liquido g2.

xC2' I0 / (Sp xG2), distanza del centro di spinta di Pp,2 rispetto al baricentro.

bPp,2 Rs + xC2', braccio della componente Pp,2.





2.

3.

4.

= 33.59 m 5.

= 203967.36 Pa 6.

2.01 atm


quiete e tracci la distribuzione delle pressioni lungo la verticale per i liquidi.

4.00 + = m


4.00 + = m


10.00 + = m


2.00 + = m


15000 + =


2500 + =


10000 + =


pGAS

dove pGAS è valutato sulla base della posizione: hG2 = pGAS/g2 + H + Rs

Si noti che per g1 = g2 (liquidi di peso specifico uguale), risulterà pGAS = 0 (PCIR1 e PCIR2 alla stessa quota).

Lungo un serbatoio cilindrico può scorrere senza attrito un pistone di peso specifico gp, diametro della base circolare

DP ed altezza HP. La camera superiore contiene due liquidi, di pesi specifici rispettivamente pari a g1 e g2. La

camera inferiore contiene un liquido di peso specifico pari a g3. Tra le due camere non vi è comunicazione idraulica

poiché il pistone è a tenuta. Un oggetto sferico di peso specifico pari a go e raggio pari a Ro è immerso nella camera

inferiore ed è collegato al pistone per mezzo di un filo inestensibile e di peso trascurabile. L’allievo determini

l’indicazione hm di un piezometro collegato con il fondo del serbatoio, necessaria affinché tutto il sistema risulti in

H1 =

H2 =

H3 =

Rs =

g1 = N/m3

g2 = kgf/m3

g3 = N/m3

pf pf

PCIR3

PCIR1

PCIR2

p1-2

p2-P

pP-3


sP2

02212,G R

IGMMh

Sg

g


0GMpCGpM 2GAS22GAS2,P1 P

21GAS2,GP

0sPGAS2,G2GAS22GAS2,P GMM

ph

IRphpCGp

SSgP

fondamentali

valori di pressione

distribuzioni di pressione


4

1

5

g 9.8

4.1 m 15400

4.5 m 2550 25015.5

10.4 m 10500

2.5 m

Per la sua determinazione è sufficiente imporre un equilibrio alla rotazione del portello intorno la cerniera O.

alla rotazione e degenere in un equilibrio alla trasliazione verticale. Quest'ultima potrà scriversi come:

1.

come:

2.

3.a.

pari al peso della colonna superiore di fluido (o più fluidi come in questo caso) pervenendo allo stesso risultato.

3.b.

4.

5.

m/s2

H1 g1 N/m3

H2 g2 kgf/m3 N/m3

H3 g3 N/m3

Rs

Il quesito consiste nel determinare l'indicazione hm del manometro, affinché tutto il sistema risulti in equilibrio.

Le forze in gioco applicate al portello sono due: la spinta verticale S2 del liquido g2, diretta verso il basso; la spinta verticale S3 del liquido g3,

diretta verso l'alto e funzione del livello hm nel piezometro. Poiché tali forze ammettono la stessa retta di applicazione, l'equazione di equilibrio

S2 - S3(hm) = 0

Avendo assunto le forze positive se dirette verso il basso. Il modulo della spinta S3, funzione dell'incognita hm del problema, è allora esprimibile

S3(hm) = S2

Dall'applicazione dell'equazione globale al VDC2 compreso tra la parete curva ed il PCIR2 (si veda la figura seguente), si deduce per la spinta S2:

S2 = g2 VDC2 = g2 (Vcil,2+Vss ) = g2 [p Rs2 (H2 + p1-2/g2)+ 2 p Rs

3/3 ]

Essendo p1-2 / g2 la distanza compresa tra l'interfaccia tra i liquidi 1 e 2 ed il PCIR2.In alternativa, il modulo della spinta S2 può essere posto

S2 = g1 (p Rs2 H1) + g2 (p Rs

2 H2) + g2 (2 p Rs3/3)

Dall'applicazione dell'equazione globale al VDC3 compreso tra la parete curva ed il PCIR3 (si veda la figura seguente), si deduce

l'espressione del modulo della spinta S3, funzione dell'incognita hm:

S3(hp) = g3 VDC3 = g3 (Vcil,3+Vss ) = g3 (p Rs2 zm + 2 p Rs

3/3 )


Sfruttando le equazioni 2 e 4, si ricava prima zp, e quindi l'incognita del problema hm tramite la 5.

pf pf

19.63

63140.00

2.52 m

137.92

32.72

170.64

4268683.20 N

4268683.20 N

pressioni per tracciamento diagramma

19.04 m da eq. 4. 175710 Pa

29.44 m m 199902.25 Pa

309102 Pa al fondo (al manometro).


2.00 + = m


5.00 + = m


5.00 + = m


15000 + =


10000 + =


60.0 + =



2


SOA m2 p * Rs2, area della superficie piana di traccia OP.


p1-2 / g2 distanza tra il PCIR2 e l'interfaccia tra i liquidi 1 e 2.




Calcolo della spinta S2 coincidente con il peso del volume VDC2 (Eq. 3.a)

S2 g2 * VDC2, peso del volume di controllo immaginato riempito di liquido 2.

Calcolo della spinta S2 coincidente con il peso della colonna di fluido sovrastante (Eq. 3.b)

S2

Calcolo dell'indicazione hp

zm p2-p per g2 in corrispondenza della parete.

hm zp + H3. pp-3 per g3 in corrispondenza della parete.

pf


inclinata di un angolo a rispetto l'orizzontale e contenenti liquidi di pesi specifici rispettivamente pari a g1 e g2. Lungo

tale parete è presente un portello rettangolare di peso trascurabile, profondo Bp ed alto Lp, incernierato in O e libero

di ruotare senza attrito. L’allievo determini l'altezza H2 necessaria perché il sistema illustrato risulti in quiete.

Bp =

Lp =

H1 =

g1 = N/m3

g2 = N/m3

a = N/m°

3

9

g 9.81

2.9 m

5.3 m

5.2 m

15600

10400

a 64.5 ° 1.1257 rad

7.59 m

118432.88

15.37

1820313.30 N

35.98

8.41 m

0.28 m

2.37 m

4317239.55 Nm

8.60 m

10.99 m

114287.00

1756591.20 N

12.18 m

0.19 m

2.46 m

-4317239.55 Nm

0.00 Nm

Macro: "Idrostatica_Es45_Calcola_H2".

m/s2

Bp

Lp

H1

g1 N/m3

g2 N/m3

Il quesito consiste nel determinare l'altezza H2 che garantisce condizioni di quiete per portello incernierato in O.

Tale valore corrisponderà quindi ad un momento risultante nullo, ovvero il momento orario M1 indotto dal risultante S1 prodotto dal liquido 1 a

sinistra dovrà essere pari al momento antiorario M2 indotto dal risultante S2 funzione dell'altezza H2.


hG1 H1 + Lp sen a / 2, affondamento del baricentro G del portello rispetto al PCIR1.

pG1 N/m2 g1 * hG1, pressione sul baricentro G1 della superficie piana di contenimento del VDC1.

Sp m2 Bp * Lp, area del portello.

S1 pG1 * Sp, spinta sul portello prodotta dal liquido 1.

Io m4 Bp * Lp3 / 12, momento di inerzia baricentrico del portello.

xG1 = hG,1 / sen a, distanza del baricentro G dalla linea di sponda del liquido 1.

xC1' = G C1 = I0 / (Sp*xG1), distanza del centro di spinta C1 dal baricentro G.

bS1 Lp / 2 - xC1', braccio della spinta S1.

MS1 bS1 * S1, momento orario indotto dalla spinta S1.

Noto a questo punto il momento indotto dal liquido g1 a sinistra, procediamo con il calcolo di H2 con una funzione ricerca obiettivo, costruita come

F(H2) = M1 + M2(H2) = 0, con momenti orari positivi (M2 < 0).

H2 valore di tentativo per H2:

il valore soluzione si ottiene cliccando sul pulsante "calcola H2".

hG2 H2 + Lp sen a / 2, affondamento del baricentro G del portello rispetto al PCIR2 di tentativo.

pG2 N/m2 g2 * hG2, pressione di tentativo sul baricentro G del portello prodotta dal liquido 2.

S2 pG2 * Sp, spinta sul portello prodotta dal liquido 2.

xG2 = hG,2 / sen a, distanza del baricentro G dalla linea di sponda di tentativo del liquido 2.

xC2' I0 / (Sp xG2), distanza del centro di spinta di Pp,2 rispetto al baricentro.

bS2 Lp / 2 - xC2', braccio della spinta di tentativo S2.

MPp,2 -bS2 * S2, momento orario indotto dalla spinta S2.

F(pGAS) = 0 M1 + MS2(H2) = 0, equazione di equilibrio.

1.

2.

3.

4.

= 10.99 m 5.

Variante con gas 35331.75 Pa

con interfaccia alla stessa quota del PCIR1 = 8.60 m 6.

Esercizio 46 20-Sep-10 esame Civile Edile Architettura


3.00 + = m


4.50 + = m


8.00 + = m


14.00 + = m


4.00 + = m


12000 + =


1600 + =



0

4

8

g 9.81

3.8 m

4.9 m

8 m

14 m

12400


H2


e contenenti rispettivamente liquidi di peso specifico g1 e g2. Lungo tale parete è presente un portello sferico

di raggio Rc e peso trascurabile, incernierato in O e libero di ruotare senza attrito. L’allievo determini il peso

specifico gs dell’oggetto sferico di raggio Rs, per metà immerso nel liquido a destra e collegato al portello per mezzo

del filo inestensibile e massa trascurabile e delle carrucole rappresentate in figura. Infine l'allievo tracci la

Rs =

Rc =

H1 =

H2 =

Hp =

g1 = N/m3

g2 = kgf/m3

m/s2

Rs

Rc

H1

H2

g1 N/m3

PCIR1

PCIR2

0hSMMhMM 2,G212,G21

0hGChSM 2,G22,G21

102B

P2,G2 MsenI2

Lh agSg

BP2

0212,G L

senIM2h

Sgag

1

2,GP

0pP2,G22,G22,G2 M

h

senI

2

LhhGChS

Sa

Sg

1600 15696

scrivere le seguenti equazioni scalari:

1.

2.

dove:

Eguagliando l'eq. 1 e l'eq. 2 si ottiene:

75.43

1056.01

246.40

VDC 1302.42

20442759.90 N

2.044E+07 N

246.40

935327.53 N

9.353E+05 N

21378087.43 N2.138E+07 N

4.338E+04

Pressioni utili per il tracciamento delle distribuzioni

99200.00

219744.00

Esercizio 47 15-Oct-10 esame Civile Edile Architettura

risulti in quiete e tracci la distribuzione delle pressioni per i due liquidi.

3.00 + = m


6.00 + = m


g2 kgf/m3 N/m3

Affinché il sistema risulti in equilibrio occorre che la somma vettoriale delle forze agenti sulla sfera, ovvero sul portello, risulti pari a zero. Con

riferimento alla figura che segue, indicata con T la tensione agente sul filo e stabilito un asse verticale orientato verso il basso, è possibile

(Ps - As) - T = 0

Sc - T = 0

- Ps è il modulo della forza peso agente sulla sfera, orientato verso il basso;

- As è il modulo della spinta di Archimede agente sulla sfera e riferita alla sola porzione immersa nel liquido g1, orientata verso l'alto;

- Sc è il modulo della spinta agente sulla superficie curva, orientata verso il basso;

Ps = As + Sc 3.

Calcolo della spinta su parete curva Sc

Scil m2 p*Rc2, superficie orizzontale del VDC.

Vcil m3 p*Rc2 H2, porzione superiore del VDC.

Vc m3 2*p*Rc3 / 3, porzione inferiore del VDC.

m3 Vcil + Vc, volume di controllo.

Sc g2 * VDC, spinta sulla superficie curva di raggio Rc.

g2 * VDC, spinta sulla superficie curva di raggio Rc in formato Esponenziale.

Spinta di Archimede As ricevuta dalla sfera

Vss m3 2*p*Rs3 / 3, volume immerso della sfera.

As g1* Vss, spinta di Archimede ricevuta dalla parte immersa della sfera.

g1* Vss, spinta di Archimede in formato Esponenziale.

Peso Ps dalla sfera necessario per l'equilibrio

Ps As + Sc, Peso dalla sfera necessario per l'equilibrio.

As + Sc, Peso dalla sfera necessario per l'equilibrio in formato Esponenziale.

gs N/m3 Ps / 2 Vss, peso specifico della sfera.

pf1 N/m2 g1 * H1, pressione sul fondo della camera sinistra.

pf2 N/m2 g2 * H2, pressione sul fondo della camera destra.

Il serbatoio cilindrico a base circolare di diametro Dp rappresentato in figura è costituito da due camere indipendenti,

separate da una parete piana ed orizzontale e contenenti liquidi di pesi specifici rispettivamente pari a g1 e g2.

Lungo tale parete è presente un portello semisferico di raggio Rs e peso trascurabile, incernierato in O e libero di

ruotare senza attrito. Nella camera superiore è presente un pistone a tenuta di altezza Hp, diametro della base

circolare Dp e peso specifico gp, libero di scorrere senza attrito lungo la superficie cilindrica del serbatoio. L’allievo

determini l’indicazione hm del manometro semplice collegato con il fondo del serbatoio affinché il sistema illustrato

Rs =

H1 =

pf2pf1

5.00 + = m


2.00 + = m


16000 + =


1200 + =


7820 + =



4

5

1

g 9.81

3.1 m

6.4 m

5.5 m

2.1 m

17000

1280 12556.8

7900 77499

discontinuità dipendente

dai dati del problema

equazione di equilibrio alla traslazione, così come segue:

1.

avendo scelto per le componenti un asse verticale rivolto verso l'alto.

H2 =

Hp =

g1 = N/m3

g2 = kgf/m3

gp = kgf/m3

m/s2

Rs

H1

H2

Hp

g1 N/m3

g2 kgf/m3 N/m3

gp kgf/m3 N/m3

Affinché il sistema risulti in equilibrio occorre che la somma vettoriale dei momenti indotti dalle forze agenti sul portello risulti pari a zero vettore.

Con riferimento alla figura che segue, le forze agenti sul portello sono due: la spinta S1, indotta dal liquido 1, verticale e diretta verso il basso; la

spinta S2, indotta dal liquido 2, verticale e diretta verso l'alto, funzione dell'incognita hm. Poiché le forze giacciono sulla stessa retta di

applicazione, coincidente con l'asse di simmetria della semisfera, ne consegue che l'equazione di equilibrio ai momenti è degenere in una

S2 (hm ) = S1

pf

PCIR1

PCIR2

pp-1

pf

p1-i

pI-2

superficie curva ed il piano dei carichi idrostatici.

162747.90

9.57 m

30.19

482.25

62.39

419.85

7338627.53 N *aggiungere qui il peso proprio del portello se non trascurabile

7.339E+06 N 201105

2.

ovvero:

3.

4.

Sulla base dell'equazione 1 è possibile riscrivere la 3 come:

5.

21.42 m da eq. 5

26.92 m da eq. 4 11.90 m

dove le consizioni citate esprimono:

1. liquidi di peso specifico uguale;

2. assenza del pistone.

Valori di pressione utili per il tracciamento delle distribuzioni lungo la verticale

338088.84

269026.44

271547.90

162747.90


Occorre determinare innanzitutto la posizione del piano dei carichi idrostatici relativo del liquido 1. Tale posizione può essere derivata considerando

la costanza delle pressioni all'interfaccia tra pistone e liquido. Il modulo di S1 coinciderà con il peso del volume di controllo compreso tra la

pp N/m2 gp * Hp, pressione all'interfaccia tra pistone e liquido 1.

zp pp / g1, posizione del PCIR1 del liquido 1, rispetto l'interfaccia tra pistone e liquido 1.

Ss m2 p*Rs2, area di base del volume di controllo VDC1 (superficie circolare superiore).

Vcil,1 m3 Ss (H1 + zp), volume del cilindro compreso tra il PCIR1 ed il piano passante per O ed A.

Vss m3 2*p*Rc3 / 3, volume della semisfera di raggio Rs.

VDC1 m3 Vcil - Vc, volume di controllo VDC1

S1* g2 * VDC1, spinta sulla superficie curva di raggio Rs indotta dal liquido 1.

g2 * VDC, spinta sulla superficie curva di raggio Rc in formato Esponenziale.

Calcolo dell'indicazione hm del manometro semplice

Per il calcolo dell'indicazione hm, si sfrutta l'equazione 1. Il termine a sinistra coincide con il peso del volume di controllo virtuale compreso tra il

PCIR2 e la superficie curva del portello. Detto termine è dunque esplicitato secondo la seguente:

S2 = g2 VDC2 = g2 (Vcil,2 - Vss) = g2 [ Ss (hm - H2) - Vss ]

S2 = g2 (Ss zm - Vss )


zm = (S1 + g 2 Vss ) / g 2 Ss

Sfruttando l'equazione 5 si ricava prima zm, e quindi l'incognita del problema hm tramite la 4.

zm

hm H1 + H2

Si noti che per 1. g1 → g2; 2. gp → 0; risulterà hm = H1 + H2.

pf N/m2 g2 hm, pressione al fondo del serbatoio.

pi-2 N/m2 g2 (hm - H2), pressione tra interfaccia e fluido 2.

p1-i N/m2 g1 (zp + H1), pressione tra fluido 1 e interfaccia.

pp-1 N/m3 g1 zp, pressione tra pistone e fluido 1.


verticale per i due liquidi.

10000 + =


8.00 + = m


1500 + =


3.00 + = m


4500 + =


7.00 + = m


3.00 + = m


1.50 + = m



2

3

9

g 9.81

10400

8.9 m 1560 15303.6

3.2 m 4540 44537.4

7.3 m

3.9 m

2.4 m

Un serbatoio è costituito da due camere, contenenti liquidi di pesi specifici rispettivamente pari a g1 e g2. Lungo

la parete divisoria è presente un oggetto di massa trascurabile e forma tronco-conica, ad asse orizzontale e

caratterizzato da basi circolari di diametri D1 e D2. Nella camera destra può scorrere senza attrito un pistone di

peso specifico gp, diametro della base circolare Dp ed altezza Hp. L’allievo determini l’affondamento minimo zG1 del

baricentro G1, necessario affinché il sistema illustrato risulti in quiete e tracci la distribuzione delle pressioni lungo la

g1 = N/m3

zG2 =

g2 = kgf/m3

Hp =

gp = kgf/m3

Dp =

D1 =

D2 =

m/s2

g1 N/m3

zG2 g2 kgf/m3 N/m3

Hp gp kgf/m3 N/m3

Dp

D1

D2

pG2

PCIR1

PCIR2

pP-2

pG1

verso sinistra. L'equazione scalare di equilibrio alla traslazione può scriversi come segue:

1.

ovvero:

2.

la costanza delle pressioni all'interfaccia tra pistone e liquido.

142519.68 5964999.8922864 Forza pistone

9.31 m

18.21 m

4.52

1260907.36 N

1.261E+06 N

11.95

10.15 m da eq. 2.

dove le condizioni citate esprimono:



3. Pistone cilindrico.


105551.42

278721.72


piezometro semplice collegato con il fondo, necessaria affinché il sistema illustrato risulti in quiete.

3.00 + = m


H = 7.00 + = m


10000 + =


Affinché il sistema risulti in equilibrio occorre che la somma vettoriale delle forze agenti sull'oggetto di peso trascurabile e forma tronco-conica sia

pari a zero vettore. E' sufficiente considerare la proiezione di tale somma in direzione orizzontale. Al limite dell'equilibrio, le forze agenti sono due:

la spinta orizzontale S1, indotta dal liquido 1 e diretta da sinistra verso destra. La spinta orizzontale S2, indotta dal liquido 2, diretta da destra

S1 (zG1 ) = S2

g1 S1 zG1 = S2



pp-2 N/m2 gp * Hp, pressione all'interfaccia tra pistone e liquido 1.

zp pp-2 / g2, posizione del PCIR2 del liquido 2, rispetto l'interfaccia tra pistone e liquido 2.

Si procede quindi alla determinazione dell'affondamento hG2 rispetto il PCIR2 ed infine della spinta S2.

hG2 zG2 + zp, affondamento del baricentro G2, rispetto il PCIR2.

S2 m2 p*D22 / 4, superficie di base destra del tronco di cono.

S2 g2 * hG2 S2, spinta sulla superficie di base destra del tronco di cono.

g2 * hG2 S2, spinta sulla superficie di base destra del tronco di cono, in formato esponenziale.

Calcolo dell'affondamento zG1 del baricentro G1.

S1 m2 p*D22 / 4, superficie di base destra del tronco di cono.

zG1

Si noti che per 1. g1 → g2; 2. gp → 0; 3. S1 = S2. Risulterà zG1 = zG2.

pG1 N/m2 g1 zG1, pressione in corrispondenza del baricentro G1.

pG2 N/m2 g2 hG2, pressione in corrispondenza del baricentro G2.

Il serbatoio rappresentato presenta in corrispondenza della parete superiore un oggetto sferico di raggio Rs e peso

e peso specifico pari a gs, incernierato in O e libero di ruotare senza attrito. L’allievo determini l’indicazione hm di un

Rs =

g = N/m3

7800 + =



2

3

9

g 9.81

3.9 m

H 7.2 m

g 10300

7840 76910.4

equazione di equilibrio alla traslazione, così come segue:

1.


2.

3.

Sulla base dell'equazione 1 è possibile riscrivere la 2 come:

4.

5.

248.47

19110299.81 N

47.78

124.24

36.23 m da eq. 4.

gs = kgf/m3

m/s2

Rs

N/m3

gs kgf/m3 N/m3

Affinché il sistema risulti in equilibrio occorre che la somma vettoriale dei momenti indotti dalle forze agenti sull'oggetto sferico risulti pari a zero

vettore. Le forze agenti sul oggetto in questione sono due: la spinta Sg, indotta dal liquido g, funzione dell'incognita hm, verticale e diretta verso

l'alto; la forza peso Ps, del liquido contenuto nell'oggetto sferico, verticale e diretta verso il basso. Poiché le forze giacciono sulla stessa retta di

applicazione, coincidente con l'asse di simmetria dell'oggetto sferico, ne consegue che l'equazione di equilibrio ai momenti è degenere in una

Sg (hm ) = Ps

Il modulo Sg della spinta Sg,può essere dedotto considerando il volume di controllo virtuale VDCg riportato nella figura seguente:

Sg (hm ) = g VDCg = g (Vcil + Vss) = g [ p Rs2 (hm - H) + 2 p Rs

3/3 ] = g ( p Rs2 zm + 2 p Rs

3/3 )

avendo posto zm = hm - H.

zm = (Ps - g Vss ) / g Ss

il modulo del peso Ps è pari a:

Ps = gs Vs = gs 4 p Rs3 / 3

Vs m3 4*p*Rs3 / 3, volume dell'oggetto sferico di raggio Rs.

Ps gs * Vs, peso del fluido contenuto nell'oggetto sferico.

Ss m2 p*Rs2, area di base del volume di controllo VDCg (superficie circolare superiore).

Vss m3 Vs / 2, volume della semisfera di raggio Rs porzione del volume di controllo VDCg.

zm

43.43 m da eq. 3.

Esercizio 50 17/11/2010 esame Civile

ruotare senza attrito.

illustrato risulti in quiete.

3.00 + = m


15 + = °


8.00 + = m


14.00 + = m


12000 + =


1600 + =



7

3

0

g 9.81

3 m

a 21 ° 0.3665 rad

8.7 m

14.7 m

12300

1670 16382.7

rispettivamente un momento antiorario ed orario; la loro somma algebrica deve risultare pari a 0.

hm


rispettivamente pari a g1 e g2 e separate da una parete piana ed inclinata di un angolo a rispetto un asse orizzontale.

Lungo tale parete è presente un portello semisferico, di raggio Rs e peso trascurabile, incernierato in O e libero di

L’allievo determini l’indicazione hp del piezometro collegato con il fondo del serbatoio, necessaria perché il sistema

Rs =

a =

H1 =

H2 =

g1 = N/m3

g2 = kgf/m3

m/s2

Rs

H1

H2

g1 N/m3

g2 kgf/m3 N/m3

Il quesito consiste nel determinare l'indicazione hp del piezometro collegato con il fondo del serbatoio, affinché tutto il sistema risulti in equilibrio.

Per la sua determinazione è sufficiente imporre un equilibrio alla rotazione del portello semisferico di peso trascurabile, intorno al polo O.

Le forze in gioco riferite al portello sono due: la spinta Sc1 indotta dal liquido 1 e la spinta Sc2 indotta dal liquido 2.Tali spinte produrranno

1. Procedimento 1 (basato sul calcolo delle componenti ortogonali delle spinte)

L'equazione di equilibrio alla rotazione può scriversi in forma scalare come:

1.

2.

3.

4.

oppure in alternativa come:

5.

6.

dove:

7.

8.

dal teorema di Carnot, e:

9.

10.

11.

12.

13.

Con riferimento alle spinte introdotte, si propone un primo modo di procedere.

Sc1_I_ Rs - Sc2_|_ Rs = 0

avendo assunto i momenti positivi se antiorari. Poiché le spinte sono relative ad una superficie semisferica, per il teorema di Varignon, esse

presentano rette di applicazione passanti per G. Le componenti ortogonali Sc1_|_ ed Sc2_|_ al piano di traccia O-G presenteranno pertanto lo stesso

braccio Rs (distanza OG). La relazione precedente si riduce quindi a:

Sc1_I_ - Sc2_|_ = 0

le componenti Sc1_|_ e Sc2_|_ possono essere espresse come (si vedano le forze relative ai volumi di controllo scelti nella figura precedente):

Sc1_I_ = PpVDC,1 (hp) - GVDC,1 cos a

Sc2_I_ = PpVDC,2 - GVDC,2 cos a

Sc1_I_ = Sc,1 cos b1


Sc,1 = [PpVDC,1 (hp)2 + GVDC,12 - 2 PpVDC,1 (hp) * GVDC,1 cos a]1/2

Sc,2 = (PpVDC,22 + GVDC,2

2 - 2 PpVDC,2 * GVDC,2 cos a)1/2

b1 = sen-1(GVDC,1 sen a / Sc,1)

b2 = sen-1(GVDC,2 sen a / Sc,2)

dal teorema dei seni. L'equazione 5 va esplicitata in funzione dell'incognita hp sfruttando le espressioni 7 e 9:

Sc,2_|_ = Sc,1_|_ = [PpVDC,1 (hp)2 + GVDC,12 - 2 PpVDC,1 (hp) * GVDC,1 cos a]1/2 cos [ sen-1(GVDC,1 sen a / [PpVDC,1 (hp)2 + GVDC,1

2 - 2 PpVDC,1 (hp) * GVDC,1 cos a]1/2 )]

PpVDC,1 (hp) va pertanto ricavato per tentativi in questo caso

Dall'equazione 3 (ovvero la 7) si evince che la componente PpVDC,1 è funzione dell'incognita del problema. Infatti essa è esprimibile come:

PpVDC,1 = pG,1 Sp = g1 [hp - (H1 cos a + Rs sena)] Sp = g1 zp Sp

Avendo posto

zp = hp - (H1 cos a + Rs sen a)

la distanza tra il baricentro della figura piana di contenimento del volume di controllo ed il piano dei carichi idrostatici relativo incognito del fluido 1.

Tramite l'equazione 4 (ovvero la 6) si calcola d'apprima Sc2_|_ (ovvero Sc1_|_), quindi PpVDC,1 dalla equazione 3 (ovvero dalla 11 per tentativi) ed

infine l'incognita del problema hp tramite le equazioni 12 e 13.

La posizione del piano dei carichi idrostatici relativo del liquido 2 è nota. L'affondamento del baricentro vale:

12.65 m

rispetto il piano dei carichi idrostatici relativo del liquido 2.

207217.05

28.27

5858923.96 N

VDC 56.55

926419.86 N

5005059.86 N

4994036.51 N dall'eq.4

oppure:

0.0664 rad dall'eq.10

4994036.51 N dall'eq.6

695548.61 N

5643387.08 N dall'eq.3

oppure (clicca sul tasto calcola per risolvere l'equazione 11):

5643387.08 N valore di tentativo assegnato dalla macro "Idrostatica_Es49_Calcola_Pi1"

5000253.23 N dall'eq.7

0.0499 rad dall'eq.9 Macro: "Idrostatica_Es50_Calcola_Pi1".

4994036.51 N dall'eq.11

16.23 m dall'eq.12.

25.42 m dall'eq.13.

2. Procedimento 2 (basato sul calcolo dei momenti delle componenti vettoriali delle spinte)

sistemi equivalenti introdotti, segue allora la relativa equazione di equilibrio alla rotazione in forma scalare:

14.

L'equazione può essere riscritta isolando l'incognita:

15.

16.

ovvero:

17.

649350.57 N

249262.33 N

1.1. Calcolo della componente ortogonale S2_|_

zG,2 H2 cos a - Rs sen a, affondamento del baricentro della figura piana di contenimento dei volumi di controllo

pG,2 N/m2 g2 * hG,2, pressione sul baricentro G della superficie piana di contenimento del VDC,2.

Sp m2 p * Rs2 area della superficie piana di contenimento del VDC,2 (ovvero del VDC,1) .

PpVDC,2 pG,2 * Sp, componente della spinta Sc,2 sulla superficie piana di contenimento del VDC,2.

m3 2 * p * Rs3/3, VDC = VDC,1 = VDC,2.

GVDC,2 g2 * VDC,2, peso del volume di controllo VDC,2.


2 - 2 PpVDC,2 * GVDC,2 cos a)1/2.

dal teorema del coseno o Carnot. L'angolo tra PpVDC,2 e GVDC,2 è a (si veda la figura precedente).


Sc,2_|_

b2

Sc,2_|_

1.2. Calcolo della componente scalare PpVDC,1

GVDC,1 g1 * VDC,1, peso del volume di controllo VDC,1

PpVDC,1 (hp)

PpVDC,1 (hp)

Sc,1

b2

Sc,2_|_

1.3. Calcolo dell'indicazione del manometro hp

Si procede quindi alla determinazione dell'indicazione del manometro hp tramite la 12 e 13:

zp

hp

In alternativa, si può procedere alla scrittura dell'equazione di equilibrio considerando le componenti delle spinte Sc1 e Sc2. Il sistema

{Sc1, G} è infatti equivalente al seguente: {PpVDC,1 (hp), C1; GVDC,1, B}, ovvero: {PpVDC,1 (hp), C1; GVDC,1,par, B; GVDC,1,ort, B}. Il sistema

{Sc2, G} è invece equivalente al seguente: {-PpVDC,2, C2; -GVDC,2, B}, ovvero: {-PpVDC,2, C2; -GVDC,2,par, B; -GVDC,2,ort, B}. Tenendo conto dei

(GVDC,2,ort - GVDC,1,ort) Rs + (GVDC,2,par - GVDC,1,par) 3Rs/8 + PpVDC,1 (hp) bPpVDC,1 (hp) - PpVDC,2 bPpVDC,2 = 0

dove al solito i segni sono funzione del verso del momento indotto dalle varie forze (in questo caso positivo se antiorario).

PpVDC,1 (hp) bPpVDC,1 (hp) = - (GVDC,2,ort - GVDC,1,ort) Rs - (GVDC,2,par - GVDC,1,par) 3Rs/8 + PpVDC,2 bPpVDC,2

esplicitando in funzione del parametro zp introdotto:

g1 Sp zp [ Rs + I0 sen a / (Sp zp)] = - (GVDC,2,ort - GVDC,1,ort) Rs - (GVDC,2,par - GVDC,1,par) 3Rs/8 + PpVDC,2 bPpVDC,2

g1 Sp zp Rs + g1 I0 sen a = - (GVDC,2,ort - GVDC,1,ort) Rs - (GVDC,2,par - GVDC,1,par) 3Rs/8 + PpVDC,2 bPpVDC,2

da cui si ricava zp e quindi hp dalla 13.

GVDC,1,ort GVDC,1 cos a, modulo della componente _|_ alla parete piana di GVDC,1.

GVDC,1,par GVDC,1 sen a, modulo della componente // alla parete piana di GVDC,1.

864887.45 N

331999.19 N

63.62

35.29 m

0.064 m

3.06 m

16.23 m dall'eq.17.

25.42 m dall'eq.13. si confronti tale risultato con il corrispondente al punto 1.3.

In altri termini, il menisco al piezometro sarà in tal caso alla stessa quota del pelo libero del liquido 2.


sistema illustrato risulti in quiete.

3.00 + = m


15 + = °


8.00 + = m


14.00 + = m


12000 + =


1600 + =


2

3

6

g 9.81

3.6 m

a 21 ° 0.3665 rad

8.2 m

14.2 m

12300

1620 15892.2

rispettivamente un momento antiorario ed orario; la loro somma algebrica deve risultare pari a 0.

GVDC,2,ort GVDC,2 cos a, modulo della componente _|_ alla parete piana di -GVDC,2.

GVDC,2,par GVDC,2 sen a, modulo della componente // alla parete piana di -GVDC,2.

I0 m4 p * Rs4 / 4, momento di inerzia baricentrico della superficie piana di contenimento del VDC.

xGpVDC,2 = zG,2 / sen a, distanza (presa lungo la parete piana) del baricentro G dalla linea di sponda del liquido g2.

xCpVDC,2' = GC2 = I0/(Sp*xGpVDC,2), distanza del centro di spinta C2 dal baricentro G.

bPpVDC,2 Rs + xCpVDC,2' , braccio della componente PpVDC,2.

zp

hp

Si noti che per g1 = g2 (fluidi di pari peso specifico) risulterà: zp = zG,2 ovvero hp = (H1 + H2) cos a.


rispettivamente pari a g1 e g2 e separate da una parete piana ed inclinata di un angolo a rispetto un asse orizzontale.

Lungo tale parete è presente un portello semisferico, di raggio Rs e peso trascurabile, incernierato in O e libero di

ruotare senza attrito. All’interno della sfera è presente un liquido di peso specifico g2.

L’allievo determini l’indicazione n del manometro metallico collegato con il fondo del serbatoio, necessaria perché il

Rs =

a =

H1 =

H2 =

g1 = N/m3

g2 = kgf/m3

m/s2

Rs

H1

H2

g1 N/m3

g2 kgf/m3 N/m3

Il quesito consiste nel determinare l'indicazione n del manometro metallico collegato con il fondo del serbatoio, affinché il sistema risulti in equilibrio.

Per la sua determinazione è sufficiente imporre un equilibrio alla rotazione del portello semisferico di peso trascurabile, intorno al polo O.

Le forze in gioco riferite al portello sono due: la spinta Sc1 indotta dal liquido 1 e la spinta Sc2 indotta dal liquido 2.Tali spinte produrranno



1.

2.

3.

4.


5.

6.

dove:

7.

8.


9.

10.


Sc1_I_ Rs - Sc2_|_ Rs = 0




Sc1_I_ - Sc2_|_ = 0


Sc1_I_ = PpVDC,1 (pf) + GVDC,1 cos a

Sc2_I_ = PpVDC,2 + GVDC,2 cos a



Sc,1 = [PpVDC,1 (pf)2 + GVDC,12 + 2 PpVDC,1 (pf) * GVDC,1 cos a]1/2



b1 = sen-1[GVDC,1 sen (180 - a) / Sc,1]

b2 = sen-1[GVDC,2 sen (180 - a) / Sc,2]

dal teorema dei seni. L'equazione 5 va esplicitata in funzione dell'incognita hp sfruttando le espressioni 7 e 9:

11.

12.

13.


11.97 m


190177.47

40.72

7743083.32 N

VDC 97.72

1552923.77 N

9209692.42 N

9192862.56 N dall'eq.4

oppure:


9192862.56 N dall'eq.6

1201908.00 N

8070784.77 N dall'eq.3



9202947.70 N dall'eq.7


9192862.56 N dall'eq.11

1.3. Calcolo dell'indicazione del manometro n

Si procede quindi alla determinazione dell'indicazione del manometro n tramite la 12 e 13:

16.12 m dall'eq.12.

308255.58 m dall'eq.13. n 3.14



14.

Sc,2_|_ = Sc,1_|_=[PpVDC,1 (pf)2 + GVDC,12 + 2 PpVDC,1 (pf) * GVDC,1 cos a]1/2cos[ sen-1(GVDC,1 sen(180 - a)/[PpVDC,1 (pf)2 + GVDC,1

2 + 2 PpVDC,1 (pf) * GVDC,1 cos (180-a)]1/2 )]

PpVDC,1 (pGAS) va pertanto ricavato per tentativi in questo caso


PpVDC,1 = pG,1 Sp = g1 [pf / g1 - (H1 cos a + Rs sena)] Sp = g1 zp Sp

Avendo posto

zp = pf / g1 - (H1 cos a + Rs sen a)



infine l'incognita del problema hp tramite le equazioni 12 e 13.


zG,2 H2 cos a - Rs sen a, affondamento del baricentro della figura piana di contenimento dei volumi di controllo

pG,2 N/m2 g2 * zG,2, pressione sul baricentro G della superficie piana di contenimento del VDC,2.



m3 2 * p * Rs3/3, VDC = VDC,1 = VDC,2.



2 + 2 PpVDC,2 * GVDC,2 cos a)1/2.

dal teorema del coseno o Carnot. L'angolo tra PpVDC,2 e GVDC,2 è 180 - a (si veda la figura precedente).


Sc,2_|_

b2

Sc,2_|_



PpVDC,1 (pf)

PpVDC,1 (pf)

Sc,1

b2

Sc,2_|_

zp

pf kgf/cm2


{Sc1, G} è infatti equivalente al seguente: {-PpVDC,1 (pf), C1; -GVDC,1, B}, ovvero: {-PpVDC,1 (pf), C1; -GVDC,1,par, B; -GVDC,1,ort, B}. Il sistema

{Sc2, G} è invece equivalente al seguente: {PpVDC,2, C2; GVDC,2, B}, ovvero: {PpVDC,2, C2; GVDC,2,par, B; GVDC,2,ort, B}. Tenendo conto dei

(-GVDC,2,ort + GVDC,1,ort) Rs + (GVDC,2,par - GVDC,1,par) 3Rs/8 + PpVDC,1 (pf) bPpVDC,1 (pf) - PpVDC,2 bPpVDC,2 = 0



15.

16.

ovvero:

17.

1122077.79 N

430725.31 N

1449779.24 N

556518.11 N

131.92

33.39 m

0.097 m

3.70 m

16.12 m dall'eq.17.

308255.58 m dall'eq.13. si confronti tale risultato con il corrispondente al punto 1.3.

n 3.14


affinché tutto il sistema risulti in quiete e tracci la distribuzione delle pressioni per i due liquidi.

4.00 + = m


14.00 + = m


4.00 + = m


3.00 + = m


10000 + =


1500 + =



0

5

4

PpVDC,1 (pf) bPpVDC,1 (pf) = (GVDC,2,ort - GVDC,1,ort) Rs - (GVDC,2,par - GVDC,1,par) 3Rs/8 + PpVDC,2 bPpVDC,2


g1 Sp zp [ Rs + I0 sen a / (Sp zp)] = (GVDC,2,ort - GVDC,1,ort) Rs + (GVDC,2,par - GVDC,1,par) 3Rs/8 + PpVDC,2 bPpVDC,2

g1 Sp zp Rs + g1 I0 sen a = (GVDC,2,ort - GVDC,1,ort) Rs + (GVDC,2,par - GVDC,1,par) 3Rs/8 + PpVDC,2 bPpVDC,2










zp

pf

kgf/cm2 pf / (g * 104), lettura al manometro.

Si noti che per g1 = g2 = g (fluidi di pari peso specifico) risulterà: zp = zG,2 ovvero pf = g (H1 + H2) cos a.

Un serbatoio è costituito da due camere indipendenti, separate da una parete piana ed orizzontale. Lungo tale

parete è presente un portello circolare di raggio Rp, incernierato in O e libero di ruotare senza attrito. Un

galleggiante sferico di raggio Rs e peso trascurabile è ancorato al portello per mezzo di un filo inestensibile e peso

trascurabile in corrispondenza del baricentro G del portello. Esso è per metà immerso nel liquido contenuto nella

superiore. L’allievo determini l’indicazione hp di un piezometro collegato con il fondo del serbatoio, necessaria

H1 =

H2 =

Rs =

Rp =

g1 = N/m3

g2 = kgf/m3

PCIR1

PCIR2

g 9.81

4.5 m

14.4 m

4 m

3.4 m

10000

1500 14715

equilibrio alla traslazione, così come segue:

1.


con riferimento alla figura seguente, si esplicitano di seguito i termini delle spinte:

2.

3.

4.

211896

36.32

7695387.00 N

134.04

1972417.53 N

15.76 m

20.26 m da eq. 4.

157584.58 N


m/s2

H1

H2

Rs

Rp

g1 N/m3

g2 kgf/m3 N/m3

Affinché il sistema risulti in equilibrio occorre che la somma vettoriale dei momenti indotti dalle forze agenti sul portello circolare risulti pari a zero

vettore. Le forze agenti sul portello sono tre: la spinta S1, indotta dal liquido 1, funzione dell'incognita hp, verticale e diretta verso l'alto per ipotesi; la

spinta S2, indotta dal liquido 2, verticale e diretta verso il basso; la forza di trazione T trasmessa dal filo, pari alla spinta di Archimede

As ricevuta dalla parte immersa della sfera, verticale e diretta verso l'alto. Poiché le forze giacciono sulla stessa retta di applicazione, coincidente

con l'asse verticale passante per il baricentro G del portello, ne consegue che l'equazione di equilibrio ai momenti è degenere in una equazione di

S1 (hp) + As - S2 = 0

g1 Sp (hp - H1) + 2 p Rs3 /3 - g2 Sp H2 = 0

g1 Sp zp + 2 p Rs3 /3 - g2 Sp H2 = 0


Dalla eq. 3 si ricava zp e quindi hp dalla eq. 2.

pG,2 N/m2 g2 * H2, pressione sul baricentro G del portello dovuta al liquido 2.

Sp m2 p*Rp2, area del portello.

S2 pG,2 * SP, modulo della spinta del liquido 2.

Vss m3 2*p*Rs3 / 3, porzione immersa del gallegiante di raggio Rs.

As g2 * Vss, modulo della spinta di Archimede ricevuta dal galleggiante.

zp da eq. 3. Se positiva, allora l'ipotesi di partenza su S1 è corretta; altrimenti S1 sarà rivolta verso il basso.

hp

pG,1 g1 * zp, pressione sul baricentro G del portello dovuta al liquido 1 (per tracciamento della relativa distribuzione di pressione).

Il serbatoio rappresentato in figura è costituito da due camere indipendenti, separate da una parete piana e verticale.

Lungo tale parete è presente un portello OPQ, incernierato in O e libero di ruotare senza attrito, costituito da due

pG2

PCIR1

pG1


4.00 + = m


2.00 + = m


B = 5.00 + = m


15000 + =


10000 + =



2

8

6

g 9.81

4.6 m

2.6 m

B 5.2 m

15800

10200

l'equazione di equilibrio può pertanto essere scritta in forma scalare così come segue:

1.

avendo assunto positivi i momenti antiorari. Esplicitando i moduli delle spinte ed i corrispondenti bracci, segue la seguente equazione:

2.

elementi rettangolari, profondi B e lunghi rispettivamente L1 e L2. L’allievo determini la distanza H2 necessaria

L1 =

L2 =

g1 = N/m3

g2 = N/m3

m/s2

L1

L2

g1 N/m3

g2 N/m3

Affinché il sistema risulti in equilibrio occorre che la somma vettoriale dei momenti indotti dalle forze agenti sul portello risulti pari a zero vettore. Le

forze agenti sul portello sono due: la spinta S1 indotta dal liquido 1; la spinta S2 indotta dal liquido 2, funzione dell'incognita H2, orizzontale e diretta

da sinistra verso destra. Sul verso di tale ultima forza non vi è equivoco giacchè S1 produce complessivamente un momento antiorario.

L'azione S1 del liquido 1 può essere convenientemente distinta in due vettori: la spinta SOP,1 indotta sulla parte verticale OP, orizzontale e diretta da

destra verso sinistra; la spinta SPQ,1 indotta sulla parte orizzontale PQ, verticale e diretta verso il basso. Con riferimento alla figura che segue,

SOP,1 bSop,1 + SPQ,1 bSpQ,1 - S2 bS2= 0

g1 L1 SPQ L2 / 2 + g1 L1 / 2 SOP [L1 / 2 + IOP / ( SOP L1 / 2 )] - g2 ( H2 + L1 / 2 ) SOP { L1 / 2 + IOP / [ SOP ( H2 + L1 / 2 )]} = 0

pG2

PCIR1

PCIR2

pG1

posto:

3.

la distanza tra il PCIR incognito del liquido 2 ed il baricentro G della porzione verticale, si perviene alle seguenti:

4.

5.

1. Calcolo del momento indotto dal liquido 1.

72680

13.52

982633.60 N

1.30 m

1277423.68 Nm

36340

23.92

869252.80 N

42.18

0.77 m

3.07 m

2665708.59 Nm

6.26 m da eq. 5.

63852.46

3.96 m da eq. 3.

1.20 28152.4638 (Variante con aeriforme sopra liquido 2)

In altri termini, i peli liberi dei due fluidi saranno alla stessa quota se caratterizzati dallo stesso peso specifico ed il portello presenta la sola porzione verticale.



8.00 + = m 25000 + =


B = 2.00 + = m 1000 + =


f = 2.00 + = m


D = 3.00 + = m


z2 = H2 + L1 / 2

M( SPQ,1 ) + M( SOP,1 ) - g2 z2 SOP [ L1 / 2 + IOP / ( SOP z2 )] = 0

M( SPQ,1 ) + M( SOP,1 ) - g2 z2 SOP L1 / 2 - g2 IOP = 0

dalla 5 si ricava prima z2 e quindi l'incognita del problema H2 dalla 3.

pPQ,1 N/m2 g1 * L1, pressione sul baricentro della porzione orizzontale del portello dovuta al liquido 1.

SPQ m2 B * L2, area della porzione orizzontale del portello.

SPQ,1 pPQ,1 * SPQ, modulo della spinta verticale dovuta al liquido 1.

bSPQ,1 L2 / 2, braccio della spinta verticale dovuta al liquido 1.

M( SPQ,1 ) SPQ,1 * L2 / 2, momento indotto dalla spinta verticale dovuta al liquido 1.

pG,1 N/m2 g1 * L1 / 2, pressione sul baricentro della porzione verticale del portello dovuta al liquido 1.

SOP m2 B * L1, area della porzione verticale del portello.

SOP,1 pOP,1 * SOP, modulo della spinta orizzontale dovuta al liquido 1.

IOP m4 B * L13 / 12, momento di inerzia baricentrico della porzione verticale del portello.

GC1 IOP / (SOP * L1 / 2), distanza del centro di spinta C1 dal baricentro G

bSop,1 L1 / 2 + GC1, braccio della spinta orizzontale dovuta al liquido 1.

M( Sop,1 ) SOP,1 * bSop,1, momento indotto dalla spinta verticale dovuta al liquido 1.

z2

pG,2 N/m2 g2 * z2, pressione sul baricentro della porzione verticale del portello dovuta al liquido 2 (utile per diagramma pressioni).

H2

H2,lim pGAS

Si noti che per g1 = g2 (fluidi di pari peso specifico) e L2 = 0 risulterà: H2 = 0.


Lungo tale parete è presente un portello profondo B e libero di ruotare senza attrito ed in senso orario intorno la

la cerniera O. Il portello è composto dalla parte piana OP, alta L e dalla parte semicilindrica PRQ, di diametro della

base semicircolare pari a D. La camera sinistra contiene un liquido di peso specifico pari a g1 mentre la camera

destra contiene un liquido di peso specifico pari a g2. e L2. L’allievo determini la massima altezza H2 necessaria

H1 = g1 = N/m3

g2 = kgf/m3

PCIR1

PCIR2


1

4

9

g 9.81

8.4 m 25100

B 2.4 m 1040 10202.40

f 2.1 m

D 3.9 m


1.


2.

Ponendo:

3.

la distanza tra il PCIR incognito del liquido 2 ed il baricentro G della porzione verticale, si perviene alle seguenti:

4.

5.


L 6.3 m

9.36

m/s2

H1 g1 N/m3

g2 kgf/m3 N/m3



da sinistra verso destra. Sul verso di tale ultima forza non vi è equivoco giacchè S1 produce complessivamente un momento antiorario.


destra verso sinistra; la spinta SPQR,1 indotta sulla parte curva PQR, verticale e diretta verso il basso. Con riferimento alla figura che segue,

SOP,1 bSop,1 + SPQR,1 bSpQR,1 - S2 bS2= 0

g1 W D / 2 + g1 (f + L / 2) SOP { L / 2 + IOP / [ SOP (f + L / 2 )]} - g2 ( H2 + f + L / 2 ) SOP { L / 2 + IOP / [ SOP ( H2 + f + L / 2 )]} = 0

avendo posto W il volume sovrastante la parete semicilindrica PQR (g1 W è il peso sovrastante).

z2 = H2 + f + L / 2

M( SPQR,1 ) + M( SOP,1 ) - g2 z2 SOP [ L / 2 + IOP / ( SOP z2 )] = 0

M( SPQ,1 ) + M( SOP,1 ) - g2 z2 SOP L / 2 - g2 IOP = 0


H1 - f, dimensione verticale della parte piana di portello.

SPR m2 B * D, superficie di base della porzione superiore di W.

pG2pG1

78.62

14.34

W 92.96

2333273.09 N

1.95 m

4549882.53 Nm

5.25 m

131775

15.12

1992438.00 N

50.01

0.63 m

3.78 m

7531415.64 Nm

23.81 m da eq. 5.

24765.25

18.56 m da eq. 3.



serbatoio, affinché tutto il sistema risulti in quiete. Tracci infine la distribuzione delle pressioni per i due liquidi.

2.00 + = m


H = 1.00 + = m


5.00 + = m


6.00 + = m


1000 + =


25000 + =



1

4

9

g 9.81

Wpar m3 SPR * H1, volume della porzione superiore (parallelepipedo alto H1) di W.

Wsc m3 p * D2 / 8) * B, volume della porzione semicilindrica.

m2 Wpar + Wsc, volume sovrastante la parete semicilindrica PQR.

SPQR,1 g1 * W, modulo della spinta verticale dovuta al liquido 1.

bSpQR,1 D / 2, braccio della spinta verticale dovuta al liquido 1.

M( SPQR,1 ) SPQR,1 * bSpQR,1, momento indotto dalla spinta verticale dovuta al liquido 1.

zG,1 (f + L / 2), distanza tra baricentro G della porzione verticale del portello e PCIR1.

pG,1 N/m2 g1 * zG1, pressione sul baricentro della porzione verticale del portello dovuta al liquido 1.

SOP m2 B * L, area della porzione verticale del portello.

SOP,1 pG,1 * SOP, modulo della spinta orizzontale dovuta al liquido 1.


GC1 IOP / (SOP * zG1), distanza del centro di spinta C1 dal baricentro G.

bSop,1 L / 2 + GC1, braccio della spinta orizzontale dovuta al liquido 1.

M( Sop,1 ) SOP,1 * bSop,1, momento indotto dalla spinta verticale dovuta al liquido 1.

2. Calcolo dell'incognita H2.

z2


H2

Si noti che per g1 = g2 (fluidi di pari peso specifico) e D = 0 risulterà: H2 = 0.


fondo del serbatoio è presente un portello circolare di raggio Rp, incernierato in O e libero di ruotare senza attrito. Un

parallelepipedo di peso specifico trascurabile, caratterizzato da una base quadra di lato L incognito ed altezza H è

ancorato al portello nel suo baricentro Gp tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile.

L’allievo determini la dimensione di base L del parallelepipedo e la lettura hp del piezometro collegato con il fondo

Rp =

H1 =

H2 =

g1 = kgf/m3

g2 = N/m3

m/s2

p1-2

PCIR1

PCIR2

2.1 m

H 1.9 m

5.4 m

6.4 m

1010 9908.1

25400

che l'equazione di equilibrio ai momenti è degenere in una equazione di equilibrio alla traslazione, così come segue:

1.

avendo scelto per le componenti un asse verticale rivolto verso l'alto. Si esplicitano di seguito i termini dell'eq. 1:

2.

216063.74

8.51 m

13.85

2993438.58 N

2993438.58 N Da eq. 1.

L 12.61 m

53503.74


tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile.


2.00 + = m


H = 1.00 + = m 1.10 + = atm rel

terza cifra della matricola *0.20 prima cifra della matricola *0.10

5.00 + = m 1000 + =


6.00 + = m 25000 + =


Rp

H1

H2

g1 kgf/m3 N/m3

g2 N/m3


vettore. Le forze agenti sul portello sono due: la spinta S2, indotta dal liquido 2, funzione dell'incognita hp, verticale e diretta verso il basso; la forza

di trazione T trasmessa dal filo, pari alla spinta di Archimede As ricevuta dal parallelepipedo, verticale e diretta verso l'alto (funzione dell'incognita L).

Poiché le forze giacciono sulla stessa retta di applicazione, coincidente con l'asse verticale passante per il baricentro Gp del portello, ne consegue

- S2 (hp) + As (L) = 0

g2 Sp hp + g1 L2 H = 0

Dalla legge di Stevino si ricava prima l'incognita hp e quindi L dalla eq. 2.

pG,2 N/m2 g1 * H1 + g2 * H2, pressione sul baricentro Gp del portello dovuta al liquido 2.

hp pG,2 / g2, lettura del piezometro.



As

[As / (g1 H)]1/2, dimensione di base del parallelepipedo dalla eq. 2.

p1-2 N/m2 g2 * (hp - H2), pressione all'interfaccia tra i liquidi (per tracciamento della relativa distribuzione di pressione).


fondo del serbatoio è presente un portello quadro di lato Lp, incernierato in O e libero di ruotare senza attrito. Un

cilindro di peso specifico trascurabile, caratterizzato da una base circolare di diametro D incognito ed altezza H è

immerso per metà nel liquido 1 e per l'altra metà nel liquido 2. Esso risulta ancorato al portello nel suo baricentro Gp

L’allievo determini la dimensione di base D del cilindro e la lettura hp del piezometro collegato con il fondo del

Lp =

pGAS =

H1 = g1 = kgf/m3

H2 = g2 = N/m3

pG,2

PCIR1


1

4

9

g 9.81

2.10 m

H 2.80 m

5.40 m

6.40 m

1.20 atm rel 121560.00 Pa

1010.00 9908.10

25400.00

che l'equazione di equilibrio ai momenti è degenere in una equazione di equilibrio alla traslazione, così come segue:

1.

è per metà immerso nel liquido 1 e per l'altra metà nel liquido 2:

2.

337623.74

13.29 m

4.41

1488920.69 N

1488920.69 N Da eq. 1.

D 6.19 m

175063.74


semicilindrica PRQ, di diametro della base semicircolare pari a D.

delle pressioni per i due liquidi.

L = 8.00 + = m 10000 + =


B = 2.00 + = m 2500 + =

prima cifra della matricola *0.10 seconda cifra della matricola * 10

D = 3.00 + = m


m/s2

Lp

H1

H2

pGas

g1 kgf/m3 N/m3

g2 N/m3

Affinché il sistema risulti in equilibrio occorre che la somma vettoriale dei momenti indotti dalle forze agenti sul portello quadro risulti pari a zero


di trazione T trasmessa dal filo, pari alla spinta di Archimede As ricevuta dal cilindro, verticale e diretta verso l'alto (funzione dell'incognita D).

Poiché le forze giacciono sulla stessa retta di applicazione, coincidente con l'asse verticale passante per il baricentro Gp del portello, ne consegue

- S2 (hp) + As (D) = 0

avendo scelto per le componenti un asse verticale rivolto verso l'alto. Si esplicitano di seguito i termini dell'eq. 1, tenendo presente che il cilindro

g2 Sp hp + Sc H (g1 + g2) / 2 = 0

Dove Sp rappresenta l'area del portello e Sc l'area di base del cilindro. Dalla legge di Stevino si ricava prima l'incognita hp e quindi L dalla eq. 2.

pG,2 N/m2 pGAS + g1 * H1 + g2 * H2, pressione sul baricentro Gp del portello dovuta al liquido 2.


Sp m2 Lp2, area del portello.


As

[8*As / ((g1 + g2) p H)]1/2, dimensione di base del parallelepipedo dalla eq. 2.


I serbatoi rappresentati in figura, contenenti liquidi di peso specifico rispettivamente pari a g1 e g2, sono separati da

una parete piana e verticale. Lungo tale parete è presente un portello profondo B e libero di ruotare senza attrito ed

in senso antiorario intorno la cerniera O. Il portello è composto dalla parte piana OP, alta L e dalla parte

L’allievo determini la massima altezza H1 necessaria affinché tutto il sistema risulti in quiete e tracci la distribuzione

g1 = N/m3

g2 = kgf/m3

p1-2

PCIR2

pG,2


2

9

5

g 9.81

L 8.9 m 10200

B 2.2 m 2090 20502.90

D 3.5 m


1.


m/s2

g1 N/m3

g2 kgf/m3 N/m3



da destra verso sinistra. Sul verso di tale ultima forza non vi è equivoco giacchè S2 produce complessivamente un momento orario.


sinistra verso destra; la spinta SPQR,2 indotta sulla parte curva PQR, verticale e diretta verso il basso. Con riferimento alla figura che segue,

SOG,1 bSoG,1 - SPQR,2 bSpQR,2 - SOP,2 bSop,2 = 0

PCIR1

PCIR2

pG2

pG1

2.

Ponendo:

3.

la distanza tra il PCIR incognito del liquido 1 ed il baricentro della porzione di portello a contatto con il liquido 1, si perviene alle seguenti:

4.

5.


7.70

68.53

10.58

W 79.11

1622050.85 N

1.75 m

-2838588.99 Nm

4.45 m

91237.91 91237.905

19.58

1786438.18 N

129.24

1.48 m

5.93 m

5.93 m

-10599533.20 Nm

9.79

16.16

59.74 m da eq. 5.

609350.78

61.97 m da eq. 3.


corrispondenza del punto M è presente una molla inclinata di un angolo pari a 45°.

L’allievo:

- tracci la distribuzione delle pressioni lungo la verticale per i liquidi.

5.00 + = m 1000 + =


6.00 + = m 25000 + =


B = 2.00 + = m


g1 (H1 - L / 4) SOG { L / 4 + IOG / [ SOG (H1 - L / 4 )]} - g2 W D / 2 - g2 L / 2 SOP { L / 2 + IOP / [ SOP ( L / 2 )]} = 0

avendo posto W il volume sovrastante la parete semicilindrica PQR (g1 W è il peso sovrastante).

z1 = H1 - L / 4

g1 z1 SOG [ L / 4 + IOG / ( SOG z1 )] + M( SPQR,2 ) + M( SOP,2 ) = 0

g1 z1 SOG L / 4 + g1 IOG + M( SPQR,2 ) + M( SOP,2 ) = 0


SPR m2 B * D, superficie di base della porzione superiore di W.

Wpar m3 SPR * L, volume della porzione superiore (parallelepipedo alto L) di W.

Wsc m3 p * D2 / 8) * B, volume della porzione semicilindrica.

m2 Wpar + Wsc, volume sovrastante la parete semicilindrica PQR.

SPQR,2 g2 * W, modulo della spinta verticale dovuta al liquido 2.

bSpQR,2 D / 2, braccio della spinta verticale dovuta al liquido 2.

M( SPQR,2 ) -SPQR,2 * bSpQR,2, momento orario indotto dalla spinta verticale dovuta al liquido 2.

zG,2 L / 2, distanza tra baricentro G della porzione verticale del portello ed il PCIR2.


SOP m2 B * L, area della porzione verticale del portello.

SOP,2 pG,2 * SOP, modulo della spinta orizzontale dovuta al liquido 2.


GC2 IOP / (SOP * zG2), distanza del centro di spinta C2 dal baricentro G.


2L / 3, per altra via, considerando il baricentro di una distribuzione triangolare.

M( Sop,1 ) -SOP,2 * bSop,2, momento indotto dalla spinta verticale dovuta al liquido 2.

2. Calcolo dell'incognita H1.

SOG m2 SOP / 2, area a contatto con il liquido 1.

IOG m4 B (L / 2)3 /12 = IOP / 8, momento di inerzia baricentrico della porzione a contatto con il liquido 1.

z1


H1


ufondo del serbatoio è presente un portello profondo B, incernierato in O e libero di ruotare senza attrito. Il portello è

costituito da due porzioni rettangolari: la parte orizzontale OM lunga f e la parte verticale MN alta H2. In

- determini la lettura hp del piezometro collegato con il fondo del serbatoio;

- ricavi il modulo della reazione FM esplicata dalla molla affinché il sistema risulti in quiete;

H1 = g1 = kgf/m3

H2 = g2 = N/m3

f = 3.00 + = m



8

0

3

g 9.81 Variante con gas in pressione sopra il liquido 1

28.90 m (porre un valore nullo per camera aperta all'atmosfera)

6 m 2.5 atm 253250

B 2.8 m 23.90 m

f 3.3 m

1080 10594.8

25000


1.

avendo assunto positivi i momenti orari. Esplicitando i moduli delle spinte ed i corrispondenti bracci, segue la seguente equazione:

m/s2

H1

H2 pGAS N/m2

pGAS / g1

g1 kgf/m3 N/m3

g2 N/m3

Affinché il sistema risulti in equilibrio occorre che la somma vettoriale dei momenti indotti dalle forze agenti sul portello risulti pari a zero vettore.

Le forze agenti sul portello sono due: la spinta S2, indotta dal liquido 2, funzione dell'incognita hp; la forza FM trasmessa dalla molla.

L'azione S2 del liquido 2 può essere convenientemente distinta in due vettori: la spinta SMN indotta sulla parte verticale MN, orizzontale e diretta da

sinistra verso destra; la spinta SOM indotta sulla parte orizzontale OM, verticale e diretta verso il basso. Con riferimento alla figura che segue,

SOM bSoM + SMN bSmN - FM bFm = 0

PCIR1

po

p1-2

po

PCIR2

2.

456224

18.25 m


9.24

4215509.76 N

6955591.10 Nm

15.25 m

381224.00

16.80

6404563.20 N

50.40

GC 0.20 m

2.80 m

17953689.60 Nm

10674861.39 N da eq. 2.


due liquidi.

4.00 + = m 10000 + =

seconda cifra della matricola *0.10 prima cifra della matricola * 100

B = 2.00 + = m 2500 + =

prima cifra della matricola * 0.10 seconda cifra della matricola * 10

15.00 + = m 5.00 + = m

terza cifra della matricola *0.10 terza cifra della matricola *0.10

30 + = °



2

9

5

g 9.81

L 4.9 m

B 2.2 m

15.5 m

5.5 m

g2 hp SOM f / 2 + g2 (hp - H2 / 2) SMN { H2 / 2 - IMN / [ SMN (hp - H2 / 2 )]} - FM √2 / 2 f = 0

Essendo FM √2 / 2 la componente verticale di FM che induce momento.

Dalla legge di Stevino si ricava prima l'incognita hp e quindi la reazione FM dalla eq. 2.

1. Calcolo dellal lettura al manometro hp.

po N/m2 g1 * H1 + g2 * H2, pressione sul fondo del serbatoio.


SOM m2 B * f, area della porzione orizzontale del portello.

SOM g2 * hp SOM, modulo della spinta verticale dovuta al liquido 2.

M( SOM ) SOM * f / 2, momento orario indotto dalla spinta verticale dovuta al liquido 2.

zG,2 hp - H2 / 2, distanza tra baricentro G della porzione verticale del portello ed il PCIR2.


SMN m2 B * H2, area della porzione verticale del portello.

SMN pG,2 * SOP, modulo della spinta orizzontale dovuta al liquido 2.

IMN m4 B * H23 / 12, momento di inerzia baricentrico della porzione verticale del portello.

IMN / (SMN * zG2), distanza del centro di spinta C dal baricentro G.

bSmN H2 / 2 - GC, braccio della spinta orizzontale dovuta al liquido 2.

M( SMN ) SMN * bSmN, momento indotto dalla spinta orizzontale dovuta al liquido 2.

3. Calcolo della reazione FM.

FM

Il sistema rappresentato in figua è costituito da due camere contenenti liquidi di pesi specifici rispettivamente pari a

g1 e g2. Esse risultano separate da un elemento divisorio OPQ, libero di ruotare senza attrito in senso orario intorno

la cerniera O e costituito da due superfici piane di lunghezza L e Profondità B. L'allievo determini la minima lettura

hp necessaria affinché tutto il sistema risulti in quiete e tracci la distribuzione delle pressioni lungo la verticale per i

L = g1 = N/m3

g2 = kgf/m3

H1 = H2 =

a =

m/s2

H1

H2

PCIR1

pQ,2

PCIR2

pQ,1

a 34.5 ° 0.6021 rad

10200

3400 33354

14.11 m

143945.51

10.78

1551732.58 N

21.57

24.92 m

0.080 m

4.29 m

6651203.23 Nm

1.a.

2.a.

Posto: 3.a.

4.a.

Dalla eq. 2 deriva la seguente:

5.a.

= 2.78 m 6.a.

= 9.67 m 7.a.

g1 N/m3

g2 kgf/m3 N/m3

Il quesito consiste nel determinare l'altezza del piezometro hp che garantisce condizioni di quiete per il portello incernierato in O. Tale valore

corrisponderà ad un momento risultante nullo riferito al polo O, ovvero il momento orario M1 indotto dal risultante SOP,1 prodotto dal liquido 1 (Fig. 1)

dovrà essere pari al momento antiorario M2 indotto dal risultante S2 funzione dell'altezza hp. Poiché il portello è simmetrico rispetto una retta

verticale passante per P, il risultante S2, composizione vettoriale di SOP,2 e SPQ,2, sarà verticale e rivolto verso l'alto (Fig. 2.a) dovendo produrre

momento antiorario). Il momento M2 verrà ricavato in due modi: 2.a attraverso il risultante S2; 2.b attraverso le componenti SOP,2 e SPQ,2 (Fig. 2.b).


hG1 H1 - L sen a / 2, affondamento del baricentro G (Fig. 1) rispetto al PCIR1.

pG1 N/m2 g1 * hG1, pressione sul baricentro G della porzione di portello PQ dovuta al liquido 1.

Sp m2 B * L, area della porzione di portello destro (pari all'area della porzione a sinistra).

SOP.1 pG1 * Sp, spinta sul portello prodotta dal liquido 1.

Io m4 B * L3 / 12, momento di inerzia baricentrico della porzione di portello destro (pari al corrispondente della porzione a sinistra).



bSop,1 L cos 2a + L / 2 + xC1', braccio della spinta S1.

M1 bSOP,1 * SOP,1, momento orario indotto dalla spinta SOP,1.

2.a. Equazione di equilibrio con il momento del risultante S2 (Fig. 2.a.).

hp

pf

0hSMMhMM p21p21

az sen2

LHh 2pp

aSzgaz cos2cosS2S Pp22,OPp2

1Pp2p2p2S Mcos2cosLSb aSzgazz

0hSbM p22S1

aSgz

2P2

1p

cosL2

M

1.b.

2.b.

Posto: 3.b.

4.b.


5.b.

6.b.

= 2.78 m 7.b.

= 9.67 m 8.b

NOTA: uguagliando la eq. 6.a. con la eq. 7.b. si ricava l'identità trigonometrica:

9.

3. Calcolo delle pressioni per il tracciamento della distribuzione.

322429.67

138982.67

158100.00


da una parete piana ed orizzontale.

due liquidi.

2.b. Equazione di equilibrio con il momento delle componenti SOP,2 e SPQ,2 (Fig. 2.b.).

hp

pf N/m2 g2 * hp, pressione sul fondo dovuta al liquido 2.

pQ,2 N/m2 pf - g2 * H2, pressione nel punto Q dovuta al liquido 2.

pQ,1 N/m2 pG1 + g1 * L sen(a) / 2, pressione nel punto Q dovuta al liquido 1.

Un serbatoio è costituito da due camere, contenenti liquidi di pesi specifici rispettivamente pari a g1 e g2 e separate

Lungo tale parete è presente un cilindro con asse verticale, lungo cui può scorrere senza attrito un pistone di peso

specifico g, altezza H e raggio della base circolare pari a R. L’allievo determini la lettura hp del piezometro

necessaria affinché tutto il sistema risulti in quiete e tracci la distribuzione delle pressioni lungo la verticale per i

0hSMMhMM p21p21

az sen2

LHh 2pp

Pp22,PQ2,OP SS Szg

0hShbhShbM p2,PQp2,Spqp2,OPp2,Sop1

1Pp2

pP

0

pP

0p2,PQp2,Spqp2,OPp2,Sop M

senI

2

L2cosL

senI

2

LSbSb Szg

zSa

a

zSa

zzzz

1Pp2 M2cos1L Szga

aSgz

2cos1L

M

P2

1p

2

2cos1cos2 a

a

8.00 + = m 1500 + =


4.00 + = m 10000 + =

terza cifra della matricola * 0.10 prima cifra della matricola * 100

3.00 + = m 7800 + =

prima cifra della matricola * 0.10 prima cifra della matricola * 100

2.00 + = m 1.5 + = atm



8

0

3

g 9.81

16.15 m

4.3 m

H 3.8 m

R 2.3 m Variante con gas in pressione sopra il liquido 1

1900 18639 (porre un valore nullo per camera aperta all'atmosfera)

10800 1.5 atm 151950

8600 84366 8.15 m

Si procede alla scrittura dell'equazione di equilibrio alla traslazione in direzione verticale:

1.

2.

61.86 m da eq. 2.

668092.80

Dati per la correzione:

H1 = g1 = kgf/m3

H2 = g2 = N/m3

Hp = gp = N/m3

Rp = pgas =

m/s2

H1

H2

g1 kgf/m3 N/m3

g2 N/m3pGAS N/m2

g kgf/m3 N/m3pGAS / g1

Il quesito consiste nel determinare la lettura hp del piezometro collegato con il fondo del serbatoio, affinché tutto il sistema risulti in quiete.

Per la soluzione è sufficiente imporre un'equilibrio alla traslazione verticale per il pistone. Le forze applicate sono 3: il peso proprio Pp del pistone,

verticale e diretta verso il basso; la forza di pressione S1 indotta dal liquido 1 sulla superficie di base superiore, verticale e diretta verso il basso; la

forza di pressione S2 indotta dal liquido 2 sulla superficie di base inferiore, verticale e diretta verso l'alto, funzione dell'incognita hm.

Pp + g1 H1 Sp - g2 (hp - H2) Sp = 0

Esplicitando il peso proprio Pp del pistone e l'area di base Sp si ottiene:

g H p R2 + g1 H1 p R2 - g2 (hp - H2) p R2 = 0

che risolta fornisce il valore della lettura hp.

hp

pf N/m2

PCIR1

pf

PCIR2

psup

16.62

63.15

5327906.56 N

301062

5003356.95 N

621652.8

10331263.51 N

0.00 N test dell'equazione 2.


la cerniera O e costituito da due superfici piane di lunghezza L e Profondità B. L'allievo:


4.00 + = m 10000 + =


B = 2.00 + = m 3500 + =


5.00 + = atm 13590 + =

terza cifra della matricola *0.10 seconda cifra della matricola * 10

15.00 + = m 5.00 + = m


30 + = °



9

1

1

g 9.81

L 4.1 m

B 2.9 m

5.1 atm 516630 Pa

5.1 m

15.1 m

a 30.5 ° 0.5323 rad

10900

3510 34433.1

13600 55760


Vp m3

Pp

psup N/m2

S1

pinf N/m2

S2

SF=

Il sistema rappresentato in figua è costituito da due camere contenenti liquidi di pesi specifici rispettivamente pari a

g1 e g2. Esse risultano separate da un elemento divisorio OPQ, libero di ruotare senza attrito in senso orario intorno

- determini la minima lettura hp necessaria affinché tutto il sistema risulti in quiete;

- ricavi la lettura D del manometro differenziale;

L = g1 = N/m3

g2 = kgf/m3

pGAS = gm = kgf/m3

H1 = H2 =

a =

m/s2

pGAS

H1

H2

g1 N/m3

g2 kgf/m3 N/m3

gm kgf/m4 N/m4

La risposta al primo quesito consiste nel determinare l'altezza del piezometro hp che garantisce condizioni di quiete per il portello incernierato

in O. Essa corrisponderà ad un momento risultante nullo riferito al polo O, ovvero il momento orario M1 indotto dal risultante SPQ,1 prodotto dal

liquido 1 (Fig. 1) dovrà essere pari al momento antiorario M2 indotto dal risultante S2 funzione dell'altezza hp. Poiché il portello è simmetrico

PCIR1

psx

pQ,2

PCIR2

pQ,1

pGAS

pf

pdx

51.46 m

560879.06

11.89

6668851.97 N

16.66

101.39 m

0.014 m

4.05 m

27019096.54 Nm

1.a.

2.a.

Posto: 3.a.

4.a.


5.a.

= 10.84 m 6.a.

= 26.98 m 7.a.

rispetto una retta verticale passante per P, il risultante S2, composizione vettoriale di SOP,2 e SPQ,2, sarà verticale e rivolto verso l'alto (Fig. 2.a)

dovendo produrre momento antiorario). Il momento M2 verrà ricavato in due modi: 2.a attraverso il risultante S2; 2.b attraverso le componenti

SOP,2 e SPQ,2 (Fig. 2.b).


hG1 pGAS / g1 + H1 - L sen a / 2, affondamento del baricentro G (Fig. 1) rispetto al PCIR1.

pG1 N/m2 g1 * hG1, pressione sul baricentro G della porzione di portello PQ dovuta al liquido 1.


SPQ.1 pG1 * Sp, spinta sul portello prodotta dal liquido 1.

Io m4 B * L3 / 12, momento di inerzia baricentrico della porzione di portello destro (pari al corrispondente della porzione a sinistra).



bSpq,1 L cos 2a + L / 2 + xC1', braccio della spinta SPQ,1.

M1 bSpq,1 * SPQ,1, momento orario indotto dalla spinta SPQ,1.

2.a. Equazione di equilibrio con il momento del risultante S2 (Fig. 2.a.).

hp

2.b. Equazione di equilibrio con il momento delle componenti SOP,2 e SPQ,2 (Fig. 2.b.).

0hSMMhMM p21p21

az sen2

LHh 2pp

aSzgaz cos2cosS2S Pp22,OPp2

1Pp2p2p2S Mcos2cosLSb aSzgazz

0hSbM p22S1

aSgz

2P2

1p

cosL2

M

0hSMMhMM p21p21

1.b.

2.b.

Posto: 3.b.

4.b.


5.b.

6.b.

= 10.84 m 7.b.

= 26.98 m 8.b

NOTA: uguagliando la eq. 6.a. con la eq. 7.b. si ricava l'identità trigonometrica:

9.


929045.53

409105.72

572220.00

10.

220180.00 pressione tra liquido 1 e liquido manometrico.

D 9.01 m lettura al manometro differenziale da eq. 10. (se negativa, il lembo a destra è più in basso rispetto il lembo a sinistra).


hp




4. Calcolo della lettura D del manometro differenziale

Dovendo risultare al manometro differenziale psx = pdx (si vedano le distribuzioni delle pressioni per i liquidi), consegue:

da cui si ricava la lettura D.

g1 (H1+H2) N/m2

Un serbatoio è composto da due camere indipendenti contenenti liquidi di pesi specifici rispettivamente pari a

0hSMMhMM p21p21

az sen2

LHh 2pp

Pp22,PQ2,OP SS Szg

0hShbhShbM p2,PQp2,Spqp2,OPp2,Sop1

1Pp2

pP

0

pP

0p2,PQp2,Spqp2,OPp2,Sop M

senI

2

L2cosL

senI

2

LSbSb Szg

zSa

a

zSa

zzzz

1Pp2 M2cos1L Szga

aSgz

2cos1L

M

P2

1p

2

2cos1cos2 a

a

DggDg m211GASp2 HHph


8.00 + = m 10000 + =

seconda cifra della matricola *0.10 seconda cifra della matricola *100

18.00 + = m 2500 + =


5.00 + = atm 7800 + =

terza cifra della matricola *0.10 terza cifra della matricola * 10

3.00 + = m 50 + = °

seconda cifra della matricola *0.10 seconda cifra della matricola *0.10


2

9

0

g 9.81

8.9 m

10900

18.2 m

2520 24721.2

5 m

7800 76518

3.9 m

13600 133416

a 50.9 ° 0.8884 rad

della forza peso del pistone lungo il suo asse, l'equazione scalare di equilibrio alla traslazione si scriverà come:

1.

risolvendo rispetto l'incognita:

2.

3.

8.90 m

97010.00

11.95

1158872.35 N

g1 e g2. Sulla parete di separazione, inclinata di un angolo a rispetto l’orizzontale, è presente un cilindro lungo cui

scorrere senza attrito un pistone di altezza Hp, diametro della base circolare Dp e peso specifico gp. L’allievo:

- determini la pressione pGAS dell’aeriforme nella camera sinistra, affinché tutto il sistema risulti in quiete;

- ricavi la lettura D del manometro differenziale (gm = 13600 kgf/m3);

H1 = g1 = N/m3

H2 = g2 = kgf/m3

Hp = gp = kgf/m3

Dp = a =

m/s2

H1

g1 N/m3

H2

g2 kgf/m3 N/m3

Hp

gp kgf/m3 N/m3

Dp

gm kgf/m3 N/m3

La risposta al primo quesito consiste nel determinare la pressione del gas pGAS che garantisce condizioni di quiete per il sistema illustrato in

figura. E' sufficiente imporre un equilibrio alla traslazione lungo l'asse del pistone. Le forze in gioco sono tre: il risultante S1 prodotto dal

liquido 1 (Fig), la forza peso del pistone Pp ed il risultante S2 prodotto dal liquido 2,funzione dell'altezza pGAS. Definendo Pp,s la componente

Da cui si ricava pGAS.

1. Calcolo del risultante S1:

zG1 H1, affondamento del baricentro della superficie di base superiore (Fig. 1) rispetto al PCIR1.

pG1 N/m2 g1 * hG1, pressione sul baricentro della superficie di base superiore dovuta al liquido 1.

Sp m2 p * Dp2 / 4, area della superficie di base superiore (pari all'area della superficie di base inferiore).

S1 pG1 * Sp, spinta sulla superficie di base superiore prodotta dal liquido 1.

pdx

PCIR1

psx

PCIR2

pGAS

pG,2

pG,1

pf

0PpSS s,pGAS21

s,p1pGAS2,G PSpp S

aSg cosPSzp p1p2,G2GAS

59.73

4570384.20 N

2882430.75 N

12.05 m

40326.26 da eq. 3.

0.40 Pa da eq. 3, in atmosfere.


338300.26

788226.10

4.


D 4.22 m lettura al manometro differenziale da eq. 4.


L'allievo:

- valuti la lettura n del manometro metallico collegato con il fondo del serbatoio;

- tracci la distribuzione delle pressioni lungo la verticale per il liquido.

4.00 + = m 2.50 + = m

prima cifra della matricola * 0.10 seconda cifra della matricola * 0.10

H = 10.00 + = m 1000 + =

terza cifra della matricola * 0.10 prima cifra della matricola * 10

2.00 + = m


2. Calcolo della componente Pp,s:

Vp m3 Sp Hp, volume del pistone.

Pp gp * Vp, peso del pistone.

Pp,s Pp cos(a), area della superficie di base superiore (pari all'area della superficie di base inferiore).

3. Calcolo della incognita pGAS:

zG,2 H1 + Hp cos(a), distanza tra il l'interfaccia liquido 2 - gas ed il baricentro della superficie di base inferiore.

pGAS N/m2

pG,2 N/m2 pGAS + g2 * zG,2, pressione sul baricentro della base inferiore dovuta al liquido 2.

pf N/m2 pGAS + g2 * (zG,2 + H2), pressione sul fondo dovuta al liquido 2.




g1 (zG,2+H2) N/m2

Il serbatoio rappresentato in figura contiene un liquido di peso specifico pari a g. Sul fondo è presente un portello

semisferico di raggio Rc incernierato nel punto O e libero di ruotare senza attrito. Un parallelepipedo di peso

specifico trascurabile, caratterizzato da una base quadra di lato incognito Lp ed altezza Hp, è immerso nel liquido ed

è ancorato al portello in corrispondenza del baricentro Gp tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile.

- determini la dimensione di base Lp del parallelepipedo affinché il sistema risulti in quiete;

Lc = Rc =

g = kgf/m3

Hp =PCIR

DggDg m22G12f Hzp


2

9

0

Sezione dati

g 9.81

4.2 m

3.4 m

H 10 m

g 1020 9996

2.9 m

antiorario indotto dal parallelepipedo.

82.32

36.32

363.17

445.49

4453080.21 N

15140472.727 Nm

ovvero

11.15 m

n 1.02

Esercizio 64 27-Jun-11 esame Civile Edile Architettura


4.00 + = m 10000 + =


18.00 + = m 1200 + =


3.00 + = m 40 + = °



4

0

m/s2

Lc

Rc

kgf/m3 N/m3

Hp

Per l'equilibrio occorre che la sommatoria dei momenti al portello risulti nulla, ovvero il momento orario indotto dal fluido risulti pari al momento

Vss m3 2*p*Rc3/3, volume della semisfera.

Ap m2 p*Rc2, area della superficie di delimitazione.

Vsup m3 Ap H, volume del cilindro superiore.

Vtot m3 Vss+Vsup, volume totale, sovrastante la parete curva.

Gtot g*Vtot, peso totale del volume sovrastante la parete curva.

MG,tot Rc*Gtot, momento orario indotto dal peso del fluido sovrastante Gtot.

As*Lc = MG,tot g * Lp2 Hp * Lc = MG,tot

dove As è la spinta di Archimede applicata sul parallelepipedo e diretta verso l'alto. Si ricava Lp:

Lp

kgf/cm2 g*H, lettura al manometro metallico espressa in kgf/cm2.

Un serbatoio è composto da due camere indipendenti contenenti liquidi di pesi specifici rispettivamente pari a

g1 e g2. Sulla parete di separazione, inclinata di un angolo a rispetto l’orizzontale, è presente un un portello

semisferico di raggio Rs, di peso trascurabile e libero di ruotare senza attrito intorno la cerniera O. L’allievo:



H1 = g1 = N/m3

H2 = g2 = kgf/m3

Rs = a =

po

PCIR1

PCIR2

pGAS

3

g 9.81

4 m

10000

18.4 m

1240 12164.4

3.3 m

13600 133416

a 46 ° 0.8029 rad

Tali spinte produrranno rispettivamente un momento orario ed antiorario; la loro somma algebrica deve risultare pari a 0.



1.

2.

m/s2

H1

g1 N/m3

H2

g2 kgf/m3 N/m3

Rs

gm kgf/m3 N/m3

La risposta al primo quesito consiste nel determinare la pressione del gas pGAS che garantisce condizioni di quiete per il sistema illustrato in

figura. Per la sua determinazione è sufficiente imporre un equilibrio alla rotazione del portello semisferico di peso trascurabile, intorno al polo

O. Le forze in gioco riferite al portello sono due: la spinta Sc1 indotta dal liquido 1 e la spinta Sc2 indotta dal liquido 2 e funzione dell'incognita.


Sc2_I_ Rs - Sc1_|_ Rs = 0




Sc2_I_ - Sc1_|_ = 0


pdxpsx

pG,2 pG,1

pf

3.

4.


5.

6.

dove:

7.

8.


9.

10.

11.

12.

13.


6.37 m


63738.21

34.21

2180608.19 N

VDC 75.27

752662.77 N

2757133.82 N

2703451.68 N dall'eq.4

oppure:


2703451.68 N dall'eq.6

915569.10 N

2067443.94 N dall'eq.3



2782518.99 N dall'eq.7

Sc2_I_ = PpVDC,2 (pGAS) + GVDC,2 cos a

Sc1_I_ = PpVDC,1 + GVDC,1 cos a



Sc,2 = [PpVDC,2 (pGAS)2 + GVDC,22 + 2 PpVDC,2 (pGAS) * GVDC,2 cos a]1/2



b2 = sen-1[GVDC,2 sen (180 - a) / Sc,2]

b1 = sen-1[GVDC,1 sen (180 - a) / Sc,1]

dal teorema dei seni. L'equazione 5 va esplicitata in funzione dell'incognita pGAS (pG per agevolare la lettura) sfruttando le espressioni 7 e 9:

Sc,2_|_ = Sc,1_|_=[PpVDC,2 (pG)2 + GVDC,22 + 2 PpVDC,2 (pG) * GVDC,2 cos a]1/2cos[ sen-1(GVDC,2 sen(180 - a)/[PpVDC,2 (pG)2 + GVDC,2

2 + 2 PpVDC,2 (pG) * GVDC,2 cos (180-a)]1/2 )]

PpVDC,2 (pGAS) va pertanto ricavato per tentativi in questo caso


PpVDC,2 = pG,1 Sp = g2 (pGAS / g2 + H1 + Rs sena) Sp = g2 zp Sp

Avendo posto

zp = pGAS / g2 + H1 + Rs sen a



infine l'incognita del problema pGAS tramite le equazioni 12 e 13.


zG,1 H1 + Rs sen a, affondamento del baricentro della figura piana di contenimento dei volumi di controllo

pG,1 N/m2 g1 * zG,1, pressione sul baricentro G della superficie piana di contenimento del VDC,1.



m3 2 * p * Rs3/3, VDC = VDC,1 = VDC,2.



2 + 2 PpVDC,1 * GVDC,1 cos a)1/2.

dal teorema del coseno o Carnot. L'angolo tra PpVDC,1 e GVDC,1 è 180 - a (si veda la figura precedente).


Sc,1_|_

b1

Sc,1_|_



PpVDC,2 (pG)

PpVDC,2 (pG)

Sc,2_|_


2703451.68 N dall'eq.11

4.97 m dall'eq.12.

-17103.24 Pa dall'eq.13. -0.17 atm



14.


15.

16.

ovvero:

17.

636007.74 N

658605.29 N

522843.49 N

541420.29 N

93.14

8.86 m

0.307 m

3.61 m

4.97 m dall'eq.17.

-17103.24 Pa dall'eq.13. si confronti tale risultato con il corrispondente al punto 1.3.

-0.17 atm


60430.47

313131.54

oppure

313131.54

18.



b2

Sc,2_|_

1.3. Calcolo della pressione dell'aeriforme pGAS

Si procede quindi alla determinazione dell'indicazione del manometro hp tramite la 12 e 13:

zp

pGAS pGAS


{Sc2, G} è infatti equivalente al seguente: {-PpVDC,2 (pG), C2; -GVDC,2, B}, ovvero: {-PpVDC,2 (pG), C2; -GVDC,2,par, B; -GVDC,2,ort, B}. Il sistema

{Sc1, G} è invece equivalente al seguente: {PpVDC,1, C1; GVDC,1, B}, ovvero: {PpVDC,1, C1; GVDC,1,par, B; GVDC,1,ort, B}. Tenendo conto dei

(-GVDC,1,ort + GVDC,2,ort) Rs + (GVDC,1,par - GVDC,2,par) 3Rs/8 + PpVDC,2 (pGAS) bPpVDC,2 (pGAS) - PpVDC,1 bPpVDC,1 = 0


PpVDC,2 (pGAS) bPpVDC,2 (pGAS) = (GVDC,1,ort - GVDC,2,ort) Rs - (GVDC,1,par - GVDC,2,par) 3Rs/8 + PpVDC,1 bPpVDC,1


g2 Sp zp [ Rs + I0 sen a / (Sp zp)] = (GVDC,1,ort - GVDC,2,ort) Rs + (GVDC,1,par - GVDC,2,par) 3Rs/8 + PpVDC,1 bPpVDC,1

g2 Sp zp Rs + g2 I0 sen a = (GVDC,1,ort - GVDC,2,ort) Rs + (GVDC,1,par - GVDC,2,par) 3Rs/8 + PpVDC,1 bPpVDC,1










zp

pGAS

pGAS pGAS, in atmosfere.

Si noti che per g1 = g2 = g (fluidi di pari peso specifico) risulterà: zp = zG,1 ovvero pGAS = 0.

pG,2 N/m2 pGAS + g2 * zG,1, pressione sul baricentro della base inferiore dovuta al liquido 2.

pf,2 N/m2 pGAS + g2 * (zG,1 + Rs sen(a) + H2), pressione sul fondo dovuta al liquido 2.

pf,2 N/m2 pG,2 + g2 * [Rs sen(a)+ H2], pressione sul fondo dovuta al liquido 2.




g1 [zG,1+…] N/m2

DgagDg m2s1G122,f HsenRzp


vincolare orizzontale. L’allievo:


8.00 + = m 25000 + =


2.00 + = m 6.00 + = m

prima cifra della matricola * 0.10 prima cifra della matricola * 0.10

3.00 + = m 100 + = t


4.00 + = m B = 5.00 + = m

seconda cifra della matricola * 0.10 seconda cifra della matricola * 0.10


2

3

6

g 9.81

H 1.66 8.3 m

25200

0.44 2.2 m

1.24 6.2 m

0.72 3.6 m

112 t 1098720 N

0.86 4.3 m

B 1.06 5.3 m

L'equazione di equilibrio alla rotazione in forma scalare si scriverà pertanto come:

1.

In cui il momento M(S) del risultante S verrà valutato in due maniera (cfr. Esercizio 42)

Con gas al posto del pistone:

38.44

28582.73 28582.73

1.13 m

13.73 m

346102.73

Il serbatoio rappresentato in figura contiene un liquido di peso specifico pari a g. Esso è chiuso superiormente

da un pistone di peso Pp, altezza Hp e lato della base quadra pari a Lp. Lungo una parete verticale è presente

un portello cilindrico OST di peso trascurabile, raggio Rs e profondità B, libero di ruotare senza attrito intorno la

cerniera O. In corrispondenza del punto S del portello è applicata una molla capace di esplicare una reazione

- determini la forza Fs esercitata dalla molla affinché sussistano condizioni di quiete;

- valuti la lettura hm del piezometro collegato con il fondo del serbatoio;

H = g = N/m3

Hp = Lp =

Hf = Pp =

Rs =

m/s2

g N/m3

Hp

Lp

Hf

Pp

Rs

Per l'equilibrio la molla deve esplicare una forza FS il cui momento antiorario M(FS) si opporrà al momento orario M(S) indotto dal liquido g.


Spist m2 Lp2, area della superficie di base del pistone.

pi N/m2 Pp / Spist, pressione all'interfaccia tra liquido e pistone. pi N/m2

hi pi / g, posizione del PCIR rispetto l'interfaccia tra liquido e pistone.

hG hi + H + Rs, affondamento del baricentro G della superficie piana di contenimento del VDC (semicilindro).

pG N/m2 g * hG, pressione sul baricentro G della superficie piana di contenimento del VDC.

PCIR

pG

pi

pf

SSS RFFMSM

45.58

15775362.27 N

VDC 153.93

3879119.86 N

S 16245295.49 N

b 0.24 rad

15775362.27 N

4.30 m

M(S) 67834057.74 Nm

280.92

13.73 m

0.45 m

3.85 m

60754754.46 Nm

1.82 m

7079303.28 Nm

M(S) 67834057.74 Nm

15775362.27 N

545182.73

21.63 m

20.50 m prova

Sp m2 2 * B * Rs, area della superficie piana di contenimento del VDC1.

Pp pG * Sp, componente orizzontale della spinta sulla superficie piana di contenimento del VDC.

m3 p Rs2 B / 2, volume di controllo VDC.

GVDC g * VDC, peso del volume di controllo VDC.

(Pp2 + GVDC


Calcoliamo M(S) in due modi:

1.a. Scelta 1: M(S) come momento del risultante S:

tan -1 (GVDC / Pp), angolo che il risultante S forma con l'orizzontale.

Sort S cos b, componente ortogonale della spinta S alla superficie piana.

bSort Rs, braccio di S1,ort.

bSort * Sort, momento del risultante S (momento orario positivo).

1.b. Scelta 2: M(S) come somma algebrica del momento indotto dalla componente -Pp e del momento indotto da -G

Io m4 B * (2*Rs)3 / 12, momento di inerzia baricentro della superficie piana di contenimento.

xG = hG, distanza del baricentro G dalla linea di sponda del liquido g.

xC' = GC = I0 / (Sp*xG), distanza del centro di spinta C dal baricentro G.

bPp Rs - xC', braccio della componente -Pp.

MPp bPp * Pp, momento della componente -Pp (momento orario positivo).

dGB 4 * Rs / 3 p, distanza del baricentro B della semisfera dal baricentro G della figura piana di contenimento.

MGVDC dGB * GVDC, momento di -GVDC (il vettore -GVDC, componente di S, induce momento orario).

MPp + MG, somma algebrica dei momenti delle componenti di S.

2. Calcolo della reazione FS della molla.

Noto a questo punto il momento indotto dal liquido g, procediamo al calcolo di FS.

FS M(S) / Rs, da equazione 1.

3. Lettura hm del piezometro.

pf N/m2 pG + g (Rs + Hf), pressione in corrispondenza del fondo del serbatoio.

hm pf / g, posizione del menisco nel piezometro, indicativa della posizione del PCIR.


Si noti che per Pp = 0 (peso proprio del pistone trascurabile), risulterà hm = H + 2*Rs + Hf. Per Pp > 0 risulterà hm > H + 2*Rs + Hf.

H + 2*Rs + Hf.



35000 + = 1000 + =

seconda cifra della matricola * 100 seconda cifra della matricola * 10

8.00 + = m 2.00 + = m


4.00 + = m 2.00 + = m

prima cifra della matricola *0.10 prima cifra della matricola *0.10

B = 5.00 + = m



2

3

6

g 9.81

35300

1200 11772

8.6 m

2.6 m

4.2 m

2.2 m

B 5.3 m

13600 133416

identicamente nulla. Con riferimento alla figura che segue, l'equazione di equilibrio può pertanto essere scritta in forma scalare così come segue:

1.


Lungo tale parete è presente un portello OPQR di peso trascurabile, incernierato in O e libero di ruotare senza

attrito, costituito da tre elementi rettangolari, profondi B e lunghi rispettivamente L1 , L2 e L3. L’allievo determini:

- determini la pressione pGAS dell’aeriforme nella camera destra, affinché tutto il sistema risulti in quiete;


ga = N/m3 gb = kgf/m3

L1 = L2 =

L3 = L2 =

m/s2

ga N/m3

gb kgf/m3 N/m3

L1

L2

L3

L4

gm kgf/m3 N/m3


forze agenti sul portello sono due: la spinta Sa indotta dal liquido a; la spinta Sb indotta dal liquido b, funzione dell'incognita pGAS, orizzontale e

diretta da sinistra verso destra. Sul verso di tale ultima forza non vi è equivoco giacchè Sa produce complessivamente un momento antiorario.

L'azione Sa del liquido a può essere convenientemente distinta in due vettori: la spinta SOP,a indotta sulla parte verticale OP, orizzontale e diretta da

sinistra verso destra; la spinta SPQ,a indotta sulla parte orizzontale PQ, verticale e diretta verso il basso. La spinta sulla parete verticale QR è

SOP,a bSop,a + SPQ,a bSpQ,a - Sb bSb= 0

pGb

PCIRa

PCIRb

pGa

ps pd

pGAS


2.

in cui:

3.

Posto:

4.

la distanza tra il PCIR incognito del liquido b ed il baricentro G della porzione verticale, si perviene alle seguenti:

5.

6.

1. Calcolo del momento indotto dal liquido a.

303580

13.78

4183332.40 N

1.30 m

5438332.12 Nm

151790

45.58

6918588.20 N

280.92

1.43 m

5.73 m

39666572.35 Nm

18.12 m da eq. 6.

213260.91

162641.31 m da eq. 3.

1.61 atm in atmosfere


7.

289778.91 pressione tra liquido b e liquido manometrico.



ga L1 SPQ L2 / 2 + ga L1 / 2 SOP [L1 / 2 + IOP / ( SOP L1 / 2 )] - gb ( hGAS + L1 / 2 ) SOP { L1 / 2 + IOP / [ SOP ( hGAS + L1 / 2 )]} = 0

hGAS = pGAS / gb

zb = hGAS + L1 / 2

M( SPQ,a ) + M( SOP,a ) - gb zb SOP [ L1 / 2 + IOP / ( SOP zb )] = 0

M( SPQ,a ) + M( SOP,a ) - gb zb SOP L1 / 2 - gb IOP = 0

dalla 6 si ricava prima zb e quindi l'incognita del problema hGAS dalla 4.

pPQ,a N/m2 ga * L1, pressione sul baricentro della porzione orizzontale del portello dovuta al liquido a.

SPQ m2 B * L2, area della porzione orizzontale del portello.

SPQ,a pPQ,a * SPQ, modulo della spinta verticale dovuta al liquido a.

bSPQ,a L2 / 2, braccio della spinta verticale dovuta al liquido a.

M( SPQ,a ) SPQ,a * L2 / 2, momento indotto dalla spinta verticale dovuta al liquido a.

pG,a N/m2 ga * L1 / 2, pressione sul baricentro della porzione verticale del portello dovuta al liquido a.

SOP m2 B * L1, area della porzione verticale del portello.

SOP,a pOP,a * SOP, modulo della spinta orizzontale dovuta al liquido a.


GCa IOP / (SOP * L1 / 2), distanza del centro di spinta Ca dal baricentro G

bSop,a L1 / 2 + GCa, braccio della spinta orizzontale dovuta al liquido a.

M( Sop,a ) SOP,a * bSop,a, momento indotto dalla spinta verticale dovuta al liquido a.

2. Calcolo del pressione pGAS del gas.

zb

pG,b N/m2 gb * zb, pressione sul baricentro della porzione verticale del portello dovuta al liquido b (utile per diagramma pressioni).

pGAS

Si noti che per ga = gb (fluidi di pari peso specifico) e L2 = 0 risulterà: pGAS = 0.




pGb+gb[L1/2+...] N/m2

Dg

gDg m4

1bb,G41a L

2

LpLL


35000 + = 1000 + =


3.00 + = m 2.00 + = m


f = 3.00 + = m D = 5.00 + = m


B = 5.00 + = m



2

7

1

g 9.81

10700

5700 55917

3.1 m

2.1 m

f 3.2 m

D 5.2 m

B 4.7 m

riferimento alla figura che segue, l'equazione di equilibrio può pertanto essere scritta in forma scalare così come segue:

1.


rispettivamente pari a ga e gb e separate da una parete piana e verticale.

Lungo tale parete è presente un portello OPQRS profondo B e di peso trascurabile, incernierato in O e libero di

ruotare senza attrito in senso orario. Esso è costituito da una superficie semicilindrica con diametro della base pari

a D e da due elementi rettangolari, lunghi rispettivamente L1 e L2. L’allievo:


- valuti la lettura hm del manometro in collegamento con il fondo della camera sinistra.

ga = N/m3 gb = kgf/m3

L1 = L2 =

m/s2

ga N/m3

gb kgf/m3 N/m3

L1

L2


forze agenti sul portello sono due: la spinta SOPQ,b indotta dal liquido b; la spinta Sa indotta dal liquido a, funzione dell'incognita pGAS.

L'azione Sa del liquido a può essere convenientemente distinta in due vettori: la spinta SOPQ,a indotta sulla suberficie semicilindrica OPQ; la spinta

SQR,a indotta sulla porzione piana orizzontale QR, verticale e diretta verso il basso. La spinta sulla porzione verticale RS è identicamente nulla. Con

SQR,a bSqr,a + SOPQ,a bSpQ,a - SOPQ,b bSopq,b= 0

pf,a pf,b

PCIRa

PCIRb

pGAS

allora nella seguente maniera:

2.

si specificano nel seguito i termini in essa contenuti:

3.

in cui:

4.

rappresenta la distanza tra il PCIR incognito del liquido a ed il baricentro G della superficie piana di contenimento del volume di controllo.

Semplificando rispetto l'incognita si ottiene:

5.

1.a Calcolo delle variabili presenti nell'equazione 5.

14.57

24.44

55.07

VDC 49.91

1.10 m

21.68 m da eq. 5.

204164.30 m da eq. 4.


259804.30

Con riferimento specifico alla figura che segue, Le azioni sulle superfici curve SOPQ,a e SOPQ,b possono essere sostituite con le corrispondenti

componenti vettoriali, dedotte su un volume di controllo VDC coincidente con un semicilindro. L'equazione di equilibrio in forma scalare si scriverà

SQR,a bSqr,a + Pp,a bPp,a - Ga bG - Pp,b bPp,b + Gb bG = 0

ga (za + D/2) SQR L1 / 2 + ga za SOQ [D / 2 + IOQ / ( SOQ za )] - ga VDC 2D/3p - gb ( f + D / 2 ) SOQ { D / 2 + IOQ / [ SOQ ( f + D / 2 )]} + gb VDC 2D/3p = 0

za = pGAS / ga + D / 2

ga za (SQR L1 / 2 + SOQ D / 2) = ga VDC 2D/3p + gb ( f + D / 2 ) SOQ D / 2 + gb IOQ - gb VDC 2D/3p - ga D/2 SQR L1 / 2 - ga IOQ

dalla 5 si ricava prima za e quindi l'incognita del problema pGAS dalla 4.

1. Determinazione della pressione pGAS del gas con le componenti vettoriali delle spinte SOPQ,a e SOPQ,b

SQR m2 B * L1, area della porzione orizzontale del portello.

SOQ m2 B * D, area della superficie piana di contenimento del VDC.

IOQ m4 B *D3 / 12, momento di inerzia baricentrico della superficie piana di contenimento del VDC.

m3 B p * D2 / 8, volume VDC (semicilindro).

bG 2D/3p, braccio della forza peso (comune per Ga e -Gb)

1.b Calcolo della pressione pGAS del gas.

za

pGAS

pf,a N/m2 pGAS + ga * D, pressione sul fondo della camera sinistra (utile per diagramma pressioni).

2. Determinazione della pressione pGAS del gas con le componenti ortogonali delle spinte SOPQ,a e SOPQ,b

Per altra via è possibile determinare la pressione del gas per mezzo della valutazione dei momenti indotti dalle spinte sulle superfici curve.

Proiettando tali spinte in direzione orizzontale, l'equazione 1 di equilibrio alla rotazione si specializza come:

6.

in cui

7.

8.

dove:

9.

10.

11.

12.

13.

14.

E' evidente che l'equazione 6 va risolta per tentativi.

2.a Risoluzione dell'equazione 6 per tentativi.

534008.55 N

2790668.78 N

7926346.58 N da eq. 14.

8403261.42 N da eq. 10.

0.34 rad da eq. 12.

7926346.58 N da eq. 8.

21.68 m

La macro assegna un valore di primo tentativo pari ad 1m.

3785348.71 N

5669696.39 N

5694789.05 N da eq. 9.

0.09 rad da eq. 11.

5669696.39 N da eq. 7.

0.00 Nm da eq. 6. Macro: "Idrostatica_Es67_Calcola_za".

204164.30 m da eq. 4.


259804.30

24.28 m


profonda B. Superiormente è presente un manometro differenziale a mercurio. L’allievo:

- determini la spinta sulla parete rettangolare AB;

- tracci la distribuzione delle pressioni differenziali lungo la verticale;

SQR,a bSqr,a + (SOPQ,a_|_ - SOPQ,b_|_ ) D/2 = 0

SOPQ,a_|_ = SOPQ,a (za) cos ba(za)

SOPQ,b_|_ = SOPQ,b cos bb

SOPQ,a = [Ppa(za)2 + Ga2]1/2

SOPQ,b = [Ppb2 + Gb

2]1/2

ba = arctan[Ga / Ppa(za)]

bb = arctan(Gb / Ppb)

Nella 9 (e nella 11), il termine Ppa funzione dell'incognita za è dato da

Ppa = ga za SOQ

Nella 10 (e nella 12), il termine PpB è invece dato da

Ppb = gb (f + D/2) SOQ

Ga ga * VDC, peso del VDC dovuto al liquido a.

Gb gb * VDC, peso del VDC dovuto al liquido b.

Ppb

SOPQ,b

bb

SOPQ,b_|_

za distanza tra PCIRa di tentativo ed il baricentro della parete piana di contenimento del VDC.

SQR,a ga (za + D/2) SQR, peso della colonna di fluido sovrastante la porzione orizzontale QR.

Ppa ga za SOQ, spinta sulla parete piana di contenimento del VDC dovuta al liquido a.

SOPQ,a

ba

SOPQ,a_|_

F(za) = 0


pGAS

pf,a N/m2 pGAS + ga * D, pressione sul fondo della camera sinistra (utile per diagramma pressioni).

3. Calcolo della lettura hm del manometro

hm za + D/2, lettura del manometro.

Il serbatoio rappresentato in figura è costituito da due camere indipendenti, contenenti liquidi in pressione di pesi

specifici rispettivamente pari a ga e gb. Le camere risultano separate da una parete piana e verticale AB, alta t e

- determini la spinta di Archimede agente sul pallone di peso trascurabile e raggio Rs presente nella camera destra.

10000 + = 5500 + =


8.00 + = m 12.00 + = m


t = 3.00 + = m 2.00 + = m


B = 4.00 + = m 800 + =

seconda cifra della matricola *0.10 seconda cifra della matricola * 10


3

2

6

g 9.81

10200

5520 54151.2

8.6 m

12.6 m

t 3.3 m

2.3 m

B 4.2 m

820 8044.2

seguito con i due metodi descritti.

Figura 1

g1 = N/m3 g2 = kgf/m3

H1 = H2 =

Rs =

gm = kgf/m3

m/s2

g1 N/m3

g2 kgf/m3 N/m3

H1

H2

Rs

gm kgf/m3 N/m3

Per valutare la spinta sulla parete AB è possibile procedere in due maniere. 1.a Si valuta la differenza di pressione DpG = pG1 - pG2 al baricentro G

della parete, sfruttando la legge di Stevino, piazzando un PCIR del mercurio che non influisce però sui calcoli (Fig. 1); 1.b Si valuta la differenza di

pressione DpG = pG1 - pG2 al baricentro G ricavando preliminarmente la posizione (distanza orientata zPCIRd) del piano dei carichi idrostatici

differenziali (PCIRdif 1-2 in Fig. 2). Ottenuta la differenza di pressione, la spinta sarà pari al prodotto di questa per l'area della parete. Si procede nel

1.a. Determinazione della differenza di pressione DpG con l'ausilio della legge di Stevino ed un PCIR di tentativo del mercurio

Con riferimento alla figura 1 precedente, si valuta la differenza di pressione al baricentro, constatando che di fatto, la posizione del PCIR del

mercurio non influisce.

1.

2.

3.

D 4.00 m

562408.32 m differenza di pressione al baricentro, da eq. 3.

Figura 2

Alla generica quota z, le pressioni dei due liquidi varranno rispettivamente:

4.

5.

6.

7.

8.

-4.20 m posizione del PCIR differenziale del mercurio rispetto il piano passante per M, da eq. 7.

562408.32 differenza di pressione al baricentro, da eq. 8.

2. Spinta sulla parete A-B.

13.86

7794979.32 N

3. Calcolo della spinta di Archimede sul galleggiante

50.97

2759816.47 N


pG,1 = gm zm + g1 H1

pG,2 = gm (zm - D) + g2 (H1 + D)

DpG = pG,2 - pG,1 = (g2 - g1) H1 + (g2 - gm) D

H2 - H1, lettura al manometro differenziale.

DpG

1.b. Determinazione della differenza di pressione DpG tramite individuazione del PCIRdif 1-2 dei due liquidi 1 e 2.

Per altra via è possibile determinare la differenza di pressione del gas per mezzo della individuazione del PCIRdif 1-2 dei due liquidi 1 e 2 (Fig. 2).

p1(z) = gm zm + g1 z

p2(z) = gm (zm - D) + g2 (z + D)

DpG = p2(z) - p1(z) = (g2 - g1) z + (g2 - gm) D

Imponendo la differenza di pressione nulla, si ricava la posizione del PCIRdif 1-2.

p2(zPCIRd) - p1(zPCIRd) = 0 → zPCIRd = (g2 - gm) D / (g1 - g2)

Poiché zPCIRd risulterà maggiore di zero (g1 < g2 dai dati) si ricava quindi la differenza di pressione al baricentro tramite:

DpG = pG,2 - pG,1 = (g2 - g1) (H1 -zPCIRd) = (g2 - g1) H1 + (g2 - gm) D

zPCIRd

DpG N/m2

SAB m2 b * T, area della parete AB.

SAB DpG * SAB, spinta sulla parete AB, orientata da destra verso sinistra perché pG,2 > pG,1.


As g*Vs, spinta di Archimede.

quiete;


8.00 + = m 55000 + =


6.00 + = m 25000 + =

prima cifra della matricola *0.10 prima cifra della matricola * 100

3.00 + = m 1000 + =


2.00 + = m 1.00 + = atm rel


1.50 + = m B = 2.5 + = m



0

2

4

g 9.81

8.2 m 55200

6 m 25000

2.2 m 1040 10202.40

3.4 m 1.2 atm rel 121560.00 Pa

1.5 m B 2.5 m

forze agenti sul portello sono riportate nella seguente figura. Rispetto ad esse, l'equazione scalare di equilibrio ai momenti si scriverà come:

1.

Il serbatoio rappresentato in figura costituito da tre comparti contenenti liquidi di pesi specifici pari a ga, gb e gc. Esso

presenta una base rettangolare con profondità pari a B. I tre liquidi sono separati da un portello incernierato in O e

costituito da tre porzioni rettangolari, lunghe rispettivamente L1, L2 e L3. L’allievo:

- valuti la lettura hm del manometro in collegamento con il fondo del serbatoio, affinché tutto il sistema risulti in

L1 = ga = N/m3

L2 = gb = N/m3

L3 = gc = kgf/m3

a1 = pGAS =

a2 =

m/s2

L1 ga N/m3

L2 gb N/m3

H1 gc kgf/m3 N/m3

H2 pGAS

H3


- SOP,b L2 / 2 + SOP,c L2 / 2 + SPQ,c bSpq,c - SPQ,a bSpq,a - SQR,a (L2 + L1 / 2) + SQR,c (L2 + L1 / 2) = 0

PCIRc

PCIRb

pQR,a

pGASPCIRa

pQR,c

pf,c

pOP,b

pf,c

pOP,c

avendo assunto positivi i momenti orari. Introducendo la seguente variabile:

2.

segue la seguente equazione, esplicitando i moduli delle spinte ed i corrispondenti bracci in funzione del parametro introdotto.

3.

4.

15.00

8.50

20.50

8.19

4.90 m

270480.00

5544840.00 N

56002884.00 Nm

4.86 m

6.36 m

159060.00

2385900.00 N

7157700.00 Nm

3.20 m

176640.00

1501440.00 N

0.30 m

2.00 m

3004444.00 Nm

23.27 m da eq. 4.

27.17 m da eq. 2. 7.10 m

zm = hm - a1 - L3 / 2

- SOP,b L2 / 2 + gc SOP (zm - L3 / 2) L2 / 2 + gc SPQ zm (L3 / 2 + IPQ / SPQ zm) - SPQ,a bSpq,a - SQR,a (L2 + L1 / 2) + gc SQR (zm + L3)(L2 + L1 / 2) = 0

risolta rispetto a zm restituisce la seguente:

gc zm [SOP L2 / 2 + SPQ L3 / 2 + SQR (L2 + L1 / 2)] = gc [SOP L3 / 2 L2 / 2 - IPQ - SQR L3 (L2 + L1 / 2)] + SOP,b L2 / 2 + SPQ,a bSpq,a + SQR,a (L2 + L1 / 2)

dalla 5 si ricava prima zm e quindi l'incognita del problema hm dalla 2. Nel seguito si riportato i valori dei parametri, utili per la definizione di zm.

1. Calcolo della distanza zm.

SOP m2 B * L2, area della porzione OP.

SPQ m2 B * L3, area della porzione PQ.

SQR m2 B * L1, area della porzione QR.

IPQ m3 B * L33 / 12, momento di inerzia baricentrico della porzione verticale PQ.

zQR a2 + L3, affondamento del baricentro della porzione QR.

pQR,a N/m2 ga * zQR, pressione sulla porzione QR dovuta al liquido a.

SQR,a pQR,a * SQR, spinta sulla porzione QR dovuta al liquido a.

M(SQR,a) SQR,a * (L2 + L1 / 2), momento della spinta sulla porzione QR dovuta al liquido a.

hGAS pGAS / gb, distanza tra interfaccia GAS - liquido b e PCIR di quest'ultimo.

zOP hgas + a2, affondamento del baricentro della porzione OP.

pOP,b N/m2 gb * zOP, pressione sulla porzione OP dovuta al liquido b.

SOP,b pOP,b * SOP, spinta sulla porzione OP dovuta al liquido b.

M(SOP,b) SOP,b * L2 / 2, momento della spinta sulla porzione OP dovuta al liquido b.

zG a2 + L3 / 2, affondamento del baricentro della porzione PQ.

pG,a N/m2 ga * zG, pressione sulla porzione PQ dovuta al liquido a.

SPQ,a pG,a * SPQ, spinta sulla porzione PQ dovuta al liquido a.

GCa IPQ / (SPQ zG), distanza tra baricentro G della porzione verticale PQ ed il centro di spinta Ca.

bSpq,a L3 / 2 + GCa, braccio della spinta SPQ,a.

M(SPQb) SPQ,a * bSpq,a, momento della spinta sulla porzione PQ dovuta al liquido a.

2. Calcolo dell'incognita zm.

zm

3. Calcolo dell'incognita hm.

hm a1 + L3 + a2

254758.26 m

220070.10 m

277203.54 m


distribuzione delle pressioni lungo la verticale per i due liquidi.

2.50 + = m 10000 + =


8.00 + = m 1500 + =


3.00 + = m 4500 + =


7.00 + = m 1.50 + = m


Vp= 516.100841 pp= 132435

ultime cifre della matricola scelta: Vs= 28.730912 pg2= 256315.68

ac= 26.4207942 S2= 6772063.84

0 As= 434049.38

2 S1= 6338014.46

4 Zg1= 22.2117922

g 9.81 10800

2.9 m 1540 15107.4

8.2 m 4500 44145

3 m 1.9 m

7.4 m

Si noti che per 1. ga = gb = gc (pesi specifici uguali), 2. pGAS = 0 (liquidi a e b con lo stesso PCIR), i tre liquidi hanno lo stesso PCIR ovvero:

hm = a1 + L3 + a2. Risulterà inoltre: pQR,a = pQR,c e pOP,a = pOP,c.

4. Pressioni utili per il diagramma delle pressioni.

pQR,c gc * (hm - a1), pressione sulla porzione QR dovuta al liquido c.

pOP,c gc * (hm - a1 -L3), pressione sulla porzione OP dovuta al liquido c.

pf,c gc * hm, pressione sul fondo, dovuta al liquido c.

Un serbatoio è costituito da due camere, contenenti liquidi di pesi specifici rispettivamente pari a g1 e g2 e

separate da una parete piana e verticale. Lungo tale parete divisoria è presente un pistone di peso trascurabile,

libero di scorrere senza attrito lungo un cilindro ad asse orizzontale e caratterizzato da una base circolare di raggio

Rp1. Nella camera destra può scorrere senza attrito un pistone di peso specifico gp2, diametro della base circolare

Dp2 ed altezza Hp2. Sempre in detta camera è presente un galleggiante di raggio Rs e peso trascurabile, collegato

al baricentro G2 del pistone tramite carrucola e un filo inestensibile e massa trascurabile. L’allievo determini

l’affondamento minimo zG1 del baricentro G1, necessario affinché il sistema illustrato risulti in quiete e tracci la

Rp1 = g1 = N/m3

zG2 = g2 = kgf/m3

Hp2 = gp2 = kgf/m3

Dp2 = Rs =

m/s2 g1 N/m3

Rp1 g2 kgf/m3 N/m3

zG2 gp2 kgf/m3 N/m3

Hp2 Rs

Dp2

pG2

PCIR1

PCIR2

pP-2

pG1

L'equazione scalare di equilibrio alla traslazione può scriversi come segue:

1.

ovvero:

2.

la costanza delle pressioni all'interfaccia tra il pistone ad asse verticale e detto liquido.

132435.00 874759.47 Forza pistone

8.77 m

16.97 m

26.42

6772063.84 N

6.772E+06 N

3. Calcolo della spinta di Archimede sul galleggiante

28.73

434049.38 N

22.21 m da eq. 2.

dove le condizioni citate esprimono:




239887.36

256315.68



L = 8.00 + = m = m


Affinché il sistema risulti in equilibrio occorre che la somma vettoriale delle forze agenti sul pistone ad asse orizzontale di peso trascurabile sia

pari a zero vettore. E' sufficiente considerare la proiezione di tale somma in direzione orizzontale. Al limite dell'equilibrio, le forze agenti sono tre:

la spinta orizzontale S1, indotta dal liquido 1 e diretta da sinistra verso destra. La spinta orizzontale S2, indotta dal liquido 2, diretta da destra

verso sinistra. La spinta di Archimede As, trasmessa per trazione dal filo inestensibile e massa trascurabile, diretta da sinistra verso destra.

S1 (zG1 ) = S2 - As

g1 S1 zG1 = S2 - As

1. Calcolo della spinta S2


pp-2 N/m2 gp2 * Hp2, pressione all'interfaccia tra pistone ad asse verticale e liquido 2.

zp pp-2 / g2, posizione del PCIR2 del liquido 2, rispetto l'interfaccia tra pistone ad asse verticale e liquido 2.

Si procede quindi alla determinazione dell'affondamento hG2 rispetto il PCIR2 ed infine della spinta S2.

hG2 zG2 + zp, affondamento del baricentro G2, rispetto il PCIR2.

Sp1 m2 p*Rp12, superficie di base del pistone ad asse orizzontale.

S2 g2 * hG2 * Sp1, spinta sulla superficie di base de pistone dovuta al liquido 2.

g2 * hG2 S2, spinta sulla superficie di base destra del tronco di cono, in formato esponenziale.


As g*Vs, spinta di Archimede.

Calcolo dell'affondamento zG1 del baricentro G1.

zG1

Si noti che per 1. g1 → g2; 2. gp → 0. Risulterà zG1 = zG2.

pG1 N/m2 g1 zG1, pressione in corrispondenza del baricentro G1.

pG2 N/m2 g2 hG2, pressione in corrispondenza del baricentro G2.

Il serbatoio illustrato in figura è costituito da due camere separate da una parete piana ed inclinata di un angolo a

rispetto l’orizzontale. Nella parte superiore è presente un aeriforme alla pressione pGAS mentre la parte inferiore è

occupata da un liquido di peso specifico pari a g In corrispondenza della parete divisoria è presente un portello con

la forma di un trapezio isoscele, incernierato in O e libero di ruotare senza attrito in senso antiorario. Il portello è

caratterizzato da una base maggiore Bp, una base minore bp ed una altezza pari a Hp. La distanza tra baricentro e

base minore è pari a xG. L’allievo:

- valuti la minima lettura hp del piezometro collegato con il fondo del serbatoio, affinché tutto il sistema risulti in quiete;

xG = Hp (2 Bp + bp) / [3(Bp + bp)]

6.00 + = m 25 + = °


3.00 + = m 1000 + =


5.00 + = m 2.00 + = atm rel



0

2

5

g 9.81

L 8.20 m

6.00 m

3.50 m

5.20 m

2.83 m

a 25 ° 0.4363 rad

g 1050 10300.5

2.2 atm rel 222860 Pa

citata. L'equazione scalare di equilibrio alla rotazione può scriversi come segue:

1.

esplicitando:

2.

3.

la spinta agire dal basso verso l'alto. Il centro di spinta si trovera pertanto alla sinistra di G.

semplificando l'eq. 2 si ottiene:

4.

costante.

24.70

5504642.00

54.37 momento di inerzia baricentrico di un trapezio isoscele rispetto l’asse parallelo alle basi.

20.86 m da eq. 3.

27.86 N da eq. 4.

Bp = a =

bp = g = kgf/m3

Hp = pGAS =

m/s2

Bp

bp

Hp

xG Hp (2 Bp + bp) / [3(Bp + bp)] =

kgf/m3 N/m3

pGAS

Affinché il sistema risulti in equilibrio occorre che la sommatoria dei momenti applicati al portello sia pari a zero vettore. Le forze che inducono

momento sono due: la spinta SGAS, prodotta dal gas e rivolta dall'alto verso il basso. La spinta Sg, indotta dal liquido, di verso opposto alla forza

SGAS xG = Sg bg

SGAS xG = g Sp zp (xG + Ip sen a / Sp zp)

avendo posto zp:

zp = hp - L + xG sen a

pari alla distanza (in verticale) tra il PCIR del fluido ed il baricentro G del portello. La posizione del PCIR del fluido è attesa al di sopra di G, dovendo

SGAS xG = g Sp zp xG + g Ip

Dalla eq. 4 si ricava la variabile zp e quindi hp dalle eq. 3.

1. Calcolo della spinta SGAS

La spinta del gas SGAS è applicata nel baricentro del portello perché corrispondente ad un sistema di forze elementari parallele e di modulo

Sp m2 (Bp + bp) Hp / 2, area del portello.

SGAS N pGAS * Sp, spinta del gas applicata ne baricentro G.

2. Calcolo della incognita hp

Ip m4

zp

hp

PCIR1

pf

pp

2ppp

2p

3p

p bB36

bbB4BHI

3. Valori di pressione utili per il tracciamento delle distribuzioni lungo la verticale

286995.29


corrispondenza del punto S del portello è applicata una molla capace di esplicare una reazione vincolare orizzontale.

L’allievo:


8.00 + = m 25000 + =


2.00 + = m 4.00 + = m


3.00 + = m 100 + = t


4.00 + = m B = 5.00 + = m



0

2

5

g 9.81

H 8.2 m

25200

2 m

4 m

3.5 m

110 t 1079100 N

4.2 m

B 5.2 m

L'equazione di equilibrio alla rotazione in forma scalare si scriverà pertanto come:

1.

In cui il momento M(S) del risultante S verrà valutato in due maniera (cfr. Esercizio 42)

16.00

67443.75

2.68 m

pf N/m2 g hp, pressione in corrispondenza del fondo del serbatoio.

Il serbatoio rappresentato in figura contiene un liquido di peso specifico pari a g. Esso è chiuso superiormente da un

pistone di peso Pp, altezza Hp e lato della base quadra pari a Lp. Lungo una parete verticale è presente un portello

cilindrico OST di peso trascurabile, raggio Rs e profondità B, libero di ruotare senza attrito intorno la cerniera O. In



H = g = N/m3

Hp = Lp =

Hf = Pp =

Rs =

m/s2

g N/m3

Hp

Lp

Hf

Pp

Rs

Per l'equilibrio la molla deve esplicare una forza FS il cui momento antiorario M(FS) si opporrà al momento orario M(S) indotto dal liquido g.


Spist m2 Lp2, area della superficie di base del pistone.

pi N/m2 Pp / Spist, pressione all'interfaccia tra liquido e pistone.

hi pi / g, posizione del PCIR rispetto l'interfaccia tra liquido e pistone.

PCIR

pG

pi

pf

SSS RFFMSM

15.08 m

379923.75

43.68

16595069.40 N

VDC 144.09

3630967.34 N

S 16987649.99 N

b 0.22 rad

16595069.40 N

4.20 m

M(S) 69699291.48 Nm

256.84

15.08 m

0.39 m

3.81 m

63226963.80 Nm

1.78 m

6472327.68 Nm

M(S) 69699291.48 Nm

16595069.40 N

573963.75

22.78 m



Sp m2 2 * B * Rs, area della superficie piana di contenimento del VDC1.


m3 p Rs2 B / 2, volume di controllo VDC.


(Pp2 + GVDC








1.b. Scelta 2: M(S) come somma algebrica del momento indotto dalla componente Pp e del momento indotto da G

Io m4 B * (2*Rs)3 / 12, momento di inerzia baricentro della superficie piana di contenimento.



bPp Rs - xC', braccio della componente Pp.

MPp bPp * Pp, momento della componente Pp (momento orario positivo).


MGVDC dGB * GVDC, momento di GVDC (il vettore GVDC, componente di S, induce momento orario).




FS M(S) / Rs, da equazione 1. Si noti la coincidenza con Sort (stesso braccio).

3. Lettura hm del piezoetro.




Si noti che per Pp = 0 (peso proprio del pistone trascurabile), risulterà hm = H + 2*Rs + Hf. Per Pp > 0 risulterà hm > H + 2*Rs + Hf.

20.10 m prova

Esercizio 73 28/10/2011 esame Civili Edile - Architettura

- tracci la distribuzione delle pressioni lungo la verticale per i liquidi 1, 2, 3 e 4.

10000 + = 5500 + =


1000 + = m 1500 + = m

terza cifra della matricola * 10 terza cifra della matricola * 10

f = 3.00 + = m D = 5.00 + = m


B = 4.00 + = m



0

7

8

g 9.81

10700

5500 53955

1000 9810

1500 14715

f 3 m

D 5 m

B 4.7 m

peso associata alla massa contenuta nel semicilindro UVZ.

Con riferimento alla figura che segue, l'equazione di equilibrio può pertanto essere scritta in forma scalare così come segue:

1.

H + 2*Rs + Hf.


La camera a sinistra contiene due liquidi in pressione di pesi specifici rispettivamente pari a g1 e g2. La camera a

destra contiene un liquido aperto all'atmosfera di peso specifico pari a g3. Lungo la parete divisoria è presente un

portello cavo UVZ profondo B e di peso trascurabile, incernierato in U e libero di ruotare senza attrito. Esso è

costituito da una superficie semicilindrica con raggio di base pari a R e da una elemento piano e verticale con

baricentro G passante per l’interfaccia tra i liquidi 1 e 2. All’interno del portello è presente un liquido di peso

specifico pari a g4. L'allievo:


- valuti la lettura hp del manometro in collegamento con il fondo della camera sinistra.

g1 = N/m3 g2 = kgf/m3

g3 = g3 =

m/s2

g1 N/m3

g2 kgf/m3 N/m3

g3 kgf/m3 N/m3

g4 kgf/m3 N/m3

Affinché il sistema risulti in equilibrio occorre che la somma vettoriale dei momenti indotti dalle forze agenti sul portello risulti pari a zero

vettore. Le forze agenti sul portello sono quattro: la spinta S1 indotta dal liquido 1 sulla porzione rettangolare di traccia UG; la spinta S2 indotta

sulla porzione rettangolare di traccia GZ; la spinta SUVZ,3 indotta dal liquido 3 sulla superficie cilindrica UVZ; la spinta P4, coincidente con la forza

S1 bS1 + S2 bS2 - SUVZ,3 bSuvz,3 - P4 bG = 0

PCIR2

pf,2

pf,3

pGAS

p1-2

PCIR1

PCIR3

PCIR4 (posizionato arbitrariamente)

scriverà allora nella seguente maniera:

2.


3.

in cui:

4.


5.

1.a Calcolo delle variabili presenti nell'equazione 5 (le stesse variabili verranno impiegate per la risoluzione dell'eq. 8)

R 2.50 m

11.75

6.12

23.50

48.96

VDC 46.14

1.06 m

-1.36 m da eq. 5. (se negativo il diagramma è a farfalla)

-14506.46 da eq. 4.

-0.14 atm in atmosfere

Si noti che per pesi specifici dei fluidi uguali il PCIR del liquido 1 si attesta alla stessa quota del liquido 3.

Per altra via è possibile determinare la pressione del gas per mezzo della valutazione dei momenti indotti dalle spinte sulle superfici curve.

Proiettando tali spinte in direzione orizzontale, l'equazione 1 di equilibrio alla rotazione si specializza come:

6.

in cui

7.


1. Determinazione della pressione pGAS del gas con le componenti vettoriali della spinta SUVZ,3

Con riferimento specifico alla figura precedente, L'azione sulla superficie curva SUVZ,3 può essere sostituita con le corrispondenti componenti

vettoriali -G3 e -Pp,3, dedotte su un volume di controllo VDC coincidente con un semicilindro. L'equazione di equilibrio in forma scalare si

S1 bS1 + S2 bS2 - P4 bG - Pp,3 bPp,3 + G3 bG = 0

g1 (zp + R/2) SUG {R/2 + IUG / [SUG (zp + R/2)]}+ g2 [ g1 (zp + R) / g2 + R/2] SGZ {3R/2 + IGZ / [SGZ (g1 (zp + R) / g2 + R/2)]} - g4 VDC 4R/3p +

. g3 ( f + R ) SUZ { R + IUZ / [ SUZ ( f + R )]} + g3 VDC 4R/3p = 0

zp = pGAS / g1

rappresenta la distanza tra il PCIR1 del liquido 1 e l'interfaccia con il gas.

g1 zp (SUG R/2 + SGZ 3R/2) = - g1 (SUG R2/4 + IUG + SGZ 3R2/2) - g2 (SGZ 3R2/4 + IGZ) + g4 VDC 4R/3p + g3 (f + R) SUZ R + g3 IUZ - g3 VDC 4R/3p

dalla 5 si ricava prima zp e quindi l'incognita del problema pGAS dalla 4.

D / 2, raggio del portello.

SUG = SGZ m2 B * R, area della porzione superiore (ovvero inferiore) del portello.

IUG = IGZ m4 B *R3 / 12, momento di inerzia baricentrico della porzione superiore (ovvero inferiore) del portello.

SUZ m2 B * 2R, area della superficie piana di contenimento del VDC.

IUZ m4 B *(2R)3 / 12, momento di inerzia baricentrico della superficie piana di contenimento del VDC.

m3 B p * D2 / 8, volume VDC (semicilindro).

bG 2D/3p, braccio della forza peso P4 e della componente vettoriale -G3


zp

pGAS N/m2

2. Determinazione della pressione pGAS del gas con la componente ortogonale delle spinta SUVZ,3

S1 bS1 + S2 bS2 - P4 bG - Pp,3 R = 0

SUVZ,3_|_ = Pp,3

8.

in cui:

9.


10.

-1.36 m da eq. 10. (se negativo il diagramma è a farfalla)

-14506.46 da eq. 4.

-0.14 atm in atmosfere

3. Calcolo delle pressioni utili per il tracciamento delle distribuzioni

12243.54

147131.04

78480.00

3.64 m


- tracci la linea piezometrica e la linea dei carichi totali per il sifone;

- determini la spinta sul portello cilindrico nell’ipotesi di fluido in quiete nelle sue vicinanze.

10000 + = 20 + = m

seconda cifra della matricola * 100 seconda cifra della matricola * 0,10

L = 300 + = m D = 300 + = m

prima cifra della matricola * 0,10 prima cifra della matricola * 10

Q = 60 + = m 2.00 + = m

seconda cifra della matricola *0.10 seconda cifra della matricola *0.10


1

0

6

g 9.81

n 1.006E-06

g1 (zp + R/2) SUG {R/2 + IUG / [SUG (zp + R/2)]}+ g2 [ g1 (zp + R) / g2 + R/2] SGZ {3R/2 + IGZ / [SGZ (g1 (zp + R) / g2 + R/2)]} - g4 VDC 4R/3p +

. g3 ( f + R ) SUZ R = 0

zp = pGAS / g1

rappresenta la distanza tra il PCIR1 del liquido 1 e l'interfaccia con il gas.

g1 zp (SUG R/2 + SGZ 3R/2) = - g1 (SUG R2/4 + IUG + SGZ 3R2/2) - g2 (SGZ 3R2/4 + IGZ) + g4 VDC 4R/3p + g3 (f + R) SUZ R

2.a Calcolo della pressione pGAS del gas.

zp

pGAS N/m2

p1-2 N/m2 pGAS + g1 * R, pressione all'interfaccia tra i fluidi 1 e 2 (utile per diagramma pressioni).

pf,1 N/m2 pGAS + g1 * R + g2 * R, pressione sul fondo della camera sinistra (utile per diagramma pressioni).

pf,3 N/m3 g3 * (f + D), pressione sul fondo della camera sinistra (utile per diagramma pressioni).

3. Calcolo della lettura hm del manometro

hp za + D, lettura del manometro.

Nel sistema rappresentato in figura un sifone di lunghezza L e diametro D adesca una certa portata Q da un

serbatoio 1 contenente liquido di peso specifico g e con quota del pelo libero invariabile pari a H1. Il sifone è

costituito da una breve condotta in acciaio nuova con rivestimento bituminoso a spessore. La portata convogliata

è quindi immessa in un serbatoio in pressione 2 per poi essere scaricata in corrispondenza del fondo. Lungo la

parete verticale del serbatoio 2 è presente un portello sferico OPQ di raggio Rs.

specifico pari a g4. L'allievo:

g1 = N/m3 H1 =

Rs =

m/s2

m2/s

PCIR1

PCIR2

DH1

DH2

(valore assunto pari alla viscosità cinematica dell'acqua)

10000

L 300.1 m

Q 60 l/s 0.06

20 m

D 310 mm 0.31 m

2 m

a 0.5 -

(coeff. della perdita di carico concentra)

e 0.2 mm 0.0002 m

(coeff. di scabrezza assunto per il sifone)

sbocco poiché trattasi di tubazione corta (specificato nella traccia).

1.

Si procederà pertanto a valutare i termini del membro a sinistra dell'equazione 1.

1. Determinazione della perdita di carico continua tra i capi del sifone.

Per la determinazione dell'indice di resistenza si adotterà la 3° formula di Cozzo:

0.0006 - scabrezza relativa del sifone.

0.075

v 0.79 m/s

Re 244963.68 -

l 0.019 indice di resistenza.

J 0.002 -

J L 0.60 m perdita di carico continua tra i capi del sifone.

2. Determinazione della perdite di carico concentrate all'imbocco ed allo sbocco.

0.016 m

0.016 m

19.36 m da eq. 1.

4. Determinazione della spinta sul portello OPQ.

22.86 m

228649.97

12.57

2873300.28 N

W 16.76

G 167551.61 N

S 2878181.38 N


pelo libero nel serbatoio praticamente in quiete.

a = 0,80 + = m t = 2,00 + = m

seconda cifra della matricola * 0,02 seconda cifra della matricola * 0,2

g N/m3

m3/s

H1

Rs

linea dei carichi totali (z + p/g + v2/2g)

linea piezometrica (z + p/g)

Per valutare la spinta sul portello OPQ occorre preventivamente valutare la posizione del PCIR2. A tal fine si scriverà l'equazione di Bernoulli (con

coefficiente di ragguaglio assunto pari ad 1) tra i punti 1 e 2 del sifone, introducendo in essa le perdite di carico concentrate all'imbocco e allo

H1 - J L - DH1 - DH2 = H2

e/D

SD m2 p * D2/4, area del sifone.

Q/SD,1, velocità nel sifone.

v D / n, numero di Reynolds per il sifone.

8*l Q2/(g*p2*D5), cadente secondo la formula di Darcy - Weysbach.

Si assume il coefficiente a della perdita di carico concentrata comune.

DH1 a v2 / 2g, perdita per brusco allargamento.

DH2 a v2 / 2g, perdita per brusco allargamento.

3. Determinazione della posizione del PCIR2.

H2

hG H2 - Rs, affondamento del baricentro rispetto la linea di sponda .

pG N/m2 g * hG, pressione esercitata nel baricentro.

Sp m2 p * Rs2, area della superficie circolare di traccia O-Q.

PPQ pG * Sp, componente orizzontale della spinta

m3 2 * p * Rs3/3, volume della calotta


(POQ2 + G2)0.5, risultante della spinta con il teorema di Pitagora (componenti ortogonali)

L'allievo ricavi la profondità della luce per la paratoia in figura affinché risulti scaricata la portata Q e nell’ipotesi di

Q = 120 + =

seconda cifra della matricola * 0,5


1

0

6

g 9.81

n 1.006E-06

a 0.8 m

t 2 m

Q 120

m 0.6 -

(coeff. di scabrezza assunto per il sifone)

Dall'equazione (con l'ipotesi di trascurare il termine cc a)

Pr 39.91 m


Simile a:

Esercizio 8 24-Sep-08 esame Civili Edile - Architettura

portello comincia a ruotare in senso antiorario.

B = 4.0 + = m


L = 3.5 + = m


H = 2.5 + = m


1.5 + = m


W = 1.0 + = m


13600 + =


10000 + =


ultime cifre della matricola scelta: Vc= 2.049875

Vsc= 0.59724621588

1 V= 2.64712121588

3 Ss= 353428.006729

3 ha= 2.27071303763

m3/s

m/s2

m2/s

m3/s

Q= m * Pr * a * (2 * g * t)0.5, portata effluente

Il sistema rappresentato in figura è costituito da due serbatoi separati dalla parete OPQRS,

incernierata in O e di peso proprio trascurabile. Il serbatoio superiore di peso proprio trascurabile, centrato su detta

parete e contenente liquido di peso specifico gs è costituito da un semicilindro di profondità W e raggio W/2, e da un

parallelepipedo a pianta quadra. L’allievo valuti la massima lettura del manometro semplice hp, oltre il quale il

hs =

gs = kgf/m3

g = N/m3

g 9.81 15.1475

B 4.15 m

L 3.65 m

H 2.55 m

1.55 m

W 1.15 m

13610 133514.1

g 10100

curva PQR) e del risultante inferiore (applicato in Q) sono uguali.

1.32

2.05

0.60 0.1653125

2.65

353428.01 N

sulla parte curva PQR.

(dedotta considerando il volume di controllo virtuale compreso tra il piano dei carichi

idrostatici di tentativo e la superficie curva PQR).

Equazione di equilibrio.

Da cui si ricava la massima altezza nel piezometro:

2.27 m


Versione rielaborata da:


profondità B. L’allievo:

orario.


60 + = ° f = 1.00 + = m


B = 2,80 + = m 1800 + =

seconda cifra della matricola * 0,05 prima cifra della matricola * 20

3,50 + = m 10000 + =

prima cifra della matricola * 0,10 terza cifra della matricola * 200

4.80 + = m 10000 + =

m/s2

hs

gs kgf/m3 N/m3

N/m3

Poiché la parete OPQRS è incernierata in O, si impone l'equazione di equilibrio ai momenti. Il sistema delle forze in gioco è

costituito da vettori verticali; tale sistema è inoltre simmetrico rispetto l'asse verticale passante per il punto Q; l'equazione di

equilibrio citata si riduce pertanto ad un equilibrio alla traslazione in direzione verticale poiché i bracci del risultante superiore (agente sulla parte

Procediamo al calcolo del risultante superiore; scegliamo come volume di controllo, il volume di tutta la massa liquida di peso specifico gs. Dovrà

pertanto risultare Ssup = Gsup. Vsup (volume della massa liquida contenuta nel serbatoio superiore) verrà calcolato come somma del volume del

parallelepipedo superiore Vpar e della parte semicilindrica inferiore Vsc:

Aor m2 W2, superficie orizzontale del serbatoio superiore.

Vpar m3 Aor*hs, volume del parallelepipedo superiore.

Vsc m3 W*p*W2/8, volume della parte semicilindrica inferiore.

Vsup m3 Vpar + Vsc, volume del serbatoio superiore.

Ssup gs*Vsup, spinta del liquido superiore sulla parte curva PQR.

Esprimimiamo a questo punto il risultante inferiore, come somma della forza Fpp sulla parte piana di superficie BL - Aor e della forza FPQR agente

Fpp = g hp (BL - Ao)

FPQR = g hp Ao + g*Vsc

Sinf = Fpp + FPQR = hp BL g + g Vsc = Ssup

hp


presente un portello rettangolare incernierato in O e libero di ruotare senza attrito, di peso trascurabile e di

- determini la massima pressione del gas nella camera destra, oltre il quale il portello comincerà a ruotare in senso


a =

g1 = kgf/m3

H1 = g2 = N/m3

H2 = gm = kgf/m3

terza cifra della matricola * 0,10 seconda cifra della matricola * 20


2

5

4

0.68041638336

1.66

g 9.81

a 65 ° 1.1345 rad f 1.50 m

B 3.05 m 1840 18050.40

3.70 m 10800.00

5.20 m 13700 134397.00

h 1.66 m

4.08 m

1.85 m

33393.24

12.45

415799.93 N

17.29

2.04 m

0.680 m

4.38 m

1819845.03 Nm

2. Equazione di equilibrio alla rotazione.

1

2

Posto: 3

4

m/s2

g1 kgf/m3 N/m3

H1 g2 N/m3

H2 gm kgf/m3 N/m3

Il quesito consiste nel determinare la pressione limite pGAS che garantisce condizioni di quiete per il portello incernierato in O.


S2(pGAS) dovrà essere pari al momento antiorario M1 indotto dal risultante S1.


(H2 - H1) / sen a, porzione emersa a sinistra.

Himm,1 H1 / sen a, porzione immersa a sinistra.

hG1 H1 / 2, affondamento del baricentro G1 della parte immersa a sinistra rispetto al PCIR1.

pG1 N/m2 g1 * hG1, pressione sul baricentro G1 dovuta al liquido 1.

Simm,1 m2 B * Himm,1, area della parte immersa a sinistra.

S1 pG1 * Simm,1, spinta sul portello prodotta dal liquido 1.

Iimm,1 m4 B * Himm3 / 12, momento di inerzia baricentrico della parte immersa a sinistra.

xG1 = hG,1 / sen a, distanza del baricentro G1 dalla linea di sponda del liquido 1.

xC1' = G1 C1 = I0 / (Simm,1*xG1), distanza del centro di spinta C1 dal baricentro G1.

bS1 h + Himm / 2 + xC1', braccio della spinta S1.

M1 bS1 * S1, momento antiorario indotto dalla spinta S1.

pG2

PCIR1

PCIR2

psxpdx

pGAS

pG1

pf,2pf,1

G1

G2

0pMM GAS21

0pSpbM GAS2GAS2S1

2

Hp 2GAS2,G

2

g

z

0

senI

2

HM 2,imm2,G2

2,G2,imm

2,imm2,imm1 Szg

zS

a


5

da cui: 6

l'incognita sarà quindi ricavata sulla base dell'eq. 3.

5.74 m

17.50

48.01

2.49 m da eq. 6.

26890.11

-1189.89 pressione del gas, da eq. 3.

-0.01 atm


66786.48

54970.11

7.

8.


In altri termini, il gas è a pressione relativa nulla nel caso in cui i peli liberi dei due fluidi sono alla stessa quota e caratterizzati dallo stesso peso specifico.

Esercizio 78 26-Mar-12 esame Edile Architettura

quiete;


60 + = °


2,80 + = m 4,80 + = m

terza cifra della matricola * 0,10 terza cifra della matricola * 0,10

3,50 + = m 7800 + =


1.50 + = m 10000 + =

seconda cifra della matricola * 0,10 seconda cifra della matricola * 200


Himm,2 H2 / sen a, lunghezza della porzione immersa a destra, coincidente con la lunghezza del portello.

Simm,2 m2 B * Himm,2, area del portello.

Iimm,2 m4 B * Himm,23 / 12, momento di inerzia baricentrico del portello.

zG2

pG2 N/m2 g2 * zG2, pressione nel baricentro G2 dovuta al liquido 2 (utile per diagramma pressioni).

pGAS N/m2

pf-1 N/m2 g1 * H1, pressione sul fondo della camera sinistra (utile per diagramma pressioni).

pf-2 N/m2 pGAS + g2 * H2, pressione sul fondo della camera destra (utile per diagramma pressioni).




Si noti che per g1 = g2 (fluidi di pari peso specifico) e H1 = H2 (ovvero h = 0) risulterà: pGAS = 0 e D = 0.

Il serbatoio rappresentato in figura è costituito da due camere separate da una parete piana obliqua inclinata di un

angolo pari ad a. Lungo tale parete è presente un portello OPQ incernierato in O, profondo Bp e costituito da due

porzioni rettangolari, rispettivamente lunghe Lp ed Mp. Il portello è libero di ruotare nel solo senso orario. L’allievo:

- valuti la massima altezza H2 del liquido nella camera destra, oltre il quale non sussisteranno condizioni di

a =

Bp = H1 =

Lp = g1 = kgf/m3

Mp = g2 = N/m3

PCIR2

0

senI

2

HM 2,imm2,G2

2,G2,imm

2,imm2,imm1 Szg

zS

a

0senI2

HM 2,imm22,imm2,G2

2,imm1 agSzg

2,imm2,imm2

2,imm212,G H

senIM2

Sg

agz

DggDg m22f11f fpfp

1m

212f1f fpp

gggg

D

2

9

0

g 9.81

a 78 ° 1.3614 rad

2.80 m 4.80 m

3.70 m 7840 76910.40

2.40 m 11800.00

identicamente nulla.

1.81 m

139174.99

10.36

1441852.88 N

11.82

1.85 m

0.62 m

2.47 m

3556570.43 Nm


1

2

3


4

da cui: 5

15.12 m da eq. 6.

178449.00


369169.92

213736.03

m/s2

Bp H1

Lp g1 kgf/m3 N/m3

Mp g2 N/m3

Il quesito consiste nel determinare l'altezza limite H2 al di sotto del quale sono garantite condizioni di quiete per il portello incernierato in O.

Tale valore corrisponderà quindi ad un momento risultante nullo, ovvero il momento orario M2(H2) indotto dal risultante

S2(H2) dovrà essere pari al momento antiorario M1 indotto sul portello OPQ. La porzione PQ non verrà considerata perché la spinta è ivi


zGL,1 Lp sen a / 2, affondamento del baricentro GL della porzione OP rispetto al PCIR1.

pGL,1 N/m2 g1 * zGL,1, pressione sul baricentro GL dovuta al liquido 1.

SOP m2 Bp * Lp, area della porzione OP.

S1 pG1 * SOP, spinta sul portello prodotta dal liquido 1.

IOP m4 Bp * Lp3 / 12, momento di inerzia baricentrico della porzione OP.

xGL,1 = Lp / 2, distanza del baricentro GL dalla linea di sponda del liquido 1.

xC1' = GL C1 = IOP / (SOP*x1,GL), distanza del centro di spinta C1 dal baricentro GL.

bS1 Lp / 2 + xC1', braccio della spinta S1.


H2

pGL,2 N/m2 g2 * zG2, pressione nel baricentro G2 dovuta al liquido 2 (utile per diagramma pressioni).


pf-2 N/m2 g2 * (H2 - zGL,1 + H1), pressione sul fondo della camera destra (utile per diagramma pressioni).

pGL,2

0H

H

senI

2

LM OP22

2OP

OPp1 Sg

S

a

PCIR1

pf,1

pGL,1

pf,2

0HMM 221

0HSHbM 2222S1

0senIH2

LM OP2OP22

P1 agSg

OPp2

OP212 L

senIM2H

Sgag

Si operi a tal riguardo, modificando il dato in grassetto blu.


applicata una molla capace di esplicare una reazione vincolare orizzontale.

L’allievo:


6.00 + = m 25000 + =


4.00 + = m H = 8.00 + = m


3.00 + = m 100 + = t



1

3

3

g 9.81

6.1 m

4.3 m

3.3 m

25100

H 8.3 m

1.3 atm 131690 Pa

1.

In cui il momento M(S) del risultante S verrà valutato in due maniere (cfr. Esercizio 42)

5.25 m

17.85 m

447950.00

52.46

23499457.00 N

Si noti che per g1 = g2 (fluidi di pari peso specifico) risulterà H2 = Lp sen a / 2, ovvero i due PCIR saranno alla stessa quota.

Il serbatoio in pressione illustrato in figura presenta una base quadra di lato pari a Ls e contiene un liquido di peso

specifico pari a g. Lungo una parete verticale è presente un portello cilindrico OST di peso trascurabile, raggio Rs

e profondità Ls, libero di ruotare senza attrito intorno la cerniera O. In corrispondenza del punto S del portello è



Ls = g = N/m3

Rs =

Hf = pGAS =

m/s2

Ls

Rs

Hf

g N/m3

pGAS

Per l'equilibrio in condizioni limite, la molla deve esplicare una forza FS il cui momento antiorario M(FS) si opporrà al momento orario M(S) indotto dal

liquido g. L'equazione di equilibrio alla rotazione in forma scalare si scriverà pertanto come:


hi pGAS / g, posizione del PCIR rispetto l'interfaccia tra liquido e pistone.



Sp m2 2 * Rs * Ls, area della superficie piana di contenimento del VDC.


PCIR

pG

pGAS

pf

SSS RFFMSM

VDC 177.17

4446930.53 N

S 23916514.60 N

b 0.19 rad

23499457.00 N

4.30 m

M(S) 101047665 Nm

323.33

17.85 m

0.35 m

3.95 m

92932120.59 Nm

1.82 m

8115544.51 Nm

M(S) 101047665 Nm

23499457.00 N

638710.00

25.45 m


20.20 m prova

m3 p Rs2 Ls / 2, volume di controllo VDC.


(Pp2 + GVDC








1.b. Scelta 2: M(S) come somma algebrica del momento indotto dalla componente Pp e del momento indotto da G

Io m4 Ls * (2*Rs)3 / 12, momento di inerzia baricentro della superficie piana di contenimento.



bPp Rs - xC', braccio della componente Pp.

MPp bPp * Pp, momento della componente Pp (momento orario positivo).


MGVDC dGB * GVDC, momento di GVDC (il vettore GVDC, componente di S, induce momento orario).




FS M(S) / Rs, da equazione 1. Si noti la coincidenza con Sort (stesso braccio).

3. Lettura hm del piezometro.




Si noti che per pGAS = 0 (serbatoio a pressione atmosferica), risulterà hm = H + 2*Rs + Hf. Per pGAS > 0 risulterà hm > H + 2*Rs + Hf.

H + 2*Rs + Hf.

Esercizio 80 30-Mar-12 esame Civile Edile Architettura

orario.


60 + = ° 4,80 + = m


2,80 + = m 7800 + =

terza cifra della matricola * 0,10 terza cifra della matricola * 20

3,50 + = m 10000 + =


1.50 + = m 13600 + =

seconda cifra della matricola * 0,10 seconda cifra della matricola * 20

f = 1.50 + = m



1

6

5

g 9.81

a 72 ° 1.2566 rad 5.40 m

3.30 m 7900 77499.00

3.60 m 10200.00

2.10 m 14800 145188.00

f 2.10 m

identicamente nulla.

Il in pressione serbatoio rappresentato in figura è costituito da due camere separate da una parete piana obliqua

inclinata di un angolo pari ad a. Lungo tale parete è presente un portello OPQ incernierato in O, profondo Bp e

costituito da due porzioni rettangolari, rispettivamente lunghe Lp ed Mp. Il portello è libero di ruotare nel solo senso

- determini la massima pressione del gas nella camera destra, oltre il quale il portello comincerà a ruotare in senso


a = H1 =

Bp = g1 = kgf/m3

Lp = g2 = N/m3

Mp = gm = kgf/m3

m/s2

H1

Bp g1 kgf/m3 N/m3

Lp g2 N/m3

Mp gm kgf/m3 N/m3

Il quesito consiste nel determinare la pressione limite pGAS al di sotto del quale sono garantite condizioni di quiete per il portello incernierato in O.


S2(pGAS) dovrà essere pari al momento antiorario M1 indotto sul portello OPQ. La porzione PQ non verrà considerata perché la spinta è ivi


pGL,2

PCIR1

PCIR2

psxpdx

pGAS

pGL,1

pf,2pf,1

1.71 m

132670.67

11.88

1576127.58 N

12.83

1.80 m

0.60 m

2.40 m

3782706.20 Nm


1

2

Posto: 3

4


5

da cui: 6

16.77 m da eq. 6.

171073.76

153612.37 Pa da eq. 3.


418494.60

208692.37

7.

8.


In altri termini, il gas è a pressione relativa nulla nel caso in cui i peli liberi dei due fluidi sono alla stessa quota e caratterizzati dallo stesso peso specifico.


Esercizio 81 7-May-12 esame Civile Edile Architettura

zGL,1 Lp sen a / 2, affondamento del baricentro GL della porzione OP rispetto al PCIR1.

pGL,1 N/m2 g1 * zGL,1, pressione sul baricentro GL dovuta al liquido 1.


S1 pG1 * SOP, spinta sul portello prodotta dal liquido 1.


xGL,1 = Lp / 2, distanza del baricentro GL dalla linea di sponda del liquido 1.

xC1' = GL C1 = IOP / (SOP*x1,GL), distanza del centro di spinta C1 dal baricentro GL.

bS1 Lp / 2 + xC1', braccio della spinta S1.


zGL,2

pGL,2 N/m2 g2 * zG2, pressione nel baricentro G2 dovuta al liquido 2 (utile per diagramma pressioni).

pGAS


pf-2 N/m2 pGL,2 + g2 * (H1 - zGL,1), pressione sul fondo della camera destra (utile per diagramma pressioni).




Si noti che per g1 = g2 (fluidi di pari peso specifico) e H1 = H2 (ovvero h = 0) risulterà: pGAS = 0 e D = 0.

Il serbatoio rappresentato in figura è costituito da due camere, separate da una parete piana obliqua inclinata di un

angolo pari ad a. Lungo tale parete è presente un portello di peso trascurabile OP incernierato in O e libero di

ruotare senza attrito, di profondità Bp ed altezza Lp. In corrispondenza del punto P del portello, una molla è capace

0pMM GAS21

DggDg m22f11f fpfp

1m

212f1f fpp

gggg

D

0pSpbM GAS2GAS2S1

ag

z sen2

Lp pGAS2,GL

2

0

senI

2

LM OP2,GL2

2,GLOP

OPp1 Szg

zSa

0senI2

LM OP2OP2,GL2

P1 agSzg

OPp2

OP212,GL L

senIM2

Sgag

z

molla nulla (condizione 1);

camera sinistra nulla (condizione 2);

esposte.

60 + = ° 5,80 + = m


2,80 + = m 1000 + =


3,50 + = m 80000 + =



(1) - condizione 1

2 (2) - condizione 2

3

6

g 9.81

a 66 ° 1.1519 rad H 6.10 m

3.40 m 1120 10987.20

3.70 m 80400.00

della azione dell'aeriforme e della molla), specializzando successivamente l'equazione ai casi particolari richiesti.

1

Assumendo i momenti positivi se antiorari, facendo riferimento alla figura seguente:

esplicare una reazione ortogonale al portello. L’allievo:

- valuti la pressione pGAS dell’aeriforme nella camera sinistra, corrispondente a condizioni di quiete e reazione della

- valuti la reazione FM della molla, corrispondente a condizioni di quiete e pressione relativa dell’aeriforme nella

- tracci la distribuzione delle pressioni lungo la verticale per i due liquidi per le due condizioni sopra esposte;

- valuti la lettura n del manometro metallico collegato con il fondo della camera sinistra per le due condizioni sopra

a = H =

Bp = g1 = kgf/m3

Lp = g2 = N/m3

m/s2

Bp g1 kgf/m3 N/m3

Lp g2 N/m3

Il quesito consiste nel determinare per condizioni di quiete la pressione pGAS, per una reazione della molla nulla (condizione 1) e la reazione

vincolare della molla FM, per una pressione del gas nulla. Si scriverà l'equazione di equilibrio alla rotazione generale al polo O (comprensiva cioè

Le forze agenti sono tre: la spinta S1(pGAS), prodotta dal liquido 1 e funzione della pressione dell'aeriforme; la spinta S2, prodotta dal liquido 2, la

forza FM, prodotta dalla molla. Le forze produrranno dei momenti, la cui somma algebrica riferita al polo O dovrà essere identicamente nulla:

PCIR1 (2)

pGAS

pG,1 (2)

pf,1 (2)

PCIR1 (1)

pG,2(1), (2)

pf,1 (1)

PCIR2 (1), (2)

pf,2 (1), (2)

pG,1 (1)

0FMMpM M2GAS1

è possibile pervenire alla seguente:

2

Posto: 3

E' possibile esplicitare l'eq. 2 nella seguente maniera:

4


5

da cui: 6

1.69 m

135880.75

12.58

1709379.85 N

14.35

1.85 m

0.62 m

2.47 m

4216470.30 Nm

490440.00

2.1. Risoluzione dell'Equazione di equilibrio alla rotazione con reazione vincolare nulla.

15.93 m

174984.66

156415.65 Pa da eq. 3.

223437.57 Pa

n 2.28

2.2. Risoluzione dell'Equazione di equilibrio alla rotazione con pressione dell'aeriforme nulla.

In questo caso l'eq. 6 può essere riscritta come:


zG,2 Lp sen a / 2, affondamento del baricentro GL della porzione OP rispetto al PCIR1.

pG,2(1)(2)

N/m2 g2 * zG,2, pressione sul baricentro G dovuta al liquido 2.


S2 pG,2 * SOP, spinta sul portello prodotta dal liquido 1.


xG,2 = Lp / 2, distanza del baricentro GL dalla linea di sponda del liquido 1.

xC2' = GL C2 = IOP / (SOP*xG,2), distanza del centro di spinta C2 dal baricentro G.

b2 Lp / 2 + xC2', braccio della spinta S2.


pf,2(1)(2)

N/m2 pG,2(1)(2) + g2 *(H - zG,2), pressione sul baricentro G dovuta al liquido 2.

zG,1 da eq. 6, con FM = 0.

pG,1 N/m2 g2 * zG2, pressione nel baricentro G2 dovuta al liquido 2 (utile per diagramma pressioni).

pGAS

pf,1(1) pGAS + g1 * H, pressione sul fondo della camera sinistra (utile per diagramma pressioni).

kgf/cm2 pf / g 104, pressione al manometro.

ag

g

z sen2

Lpp p

1

GAS

1

1,G1,G

0FLSb

senI

2

LMp22OP1,G1

1,GOP

OPp Szg

zSa

0FLSbpSpb Mp22GAS1GAS1

0FLSbsenI2

LMp22OP1OP1,G1

P agSzg

OPp1

OP1Mp221,G L

senIFLSb2

Sg

agz

OPp1

OP1Mp221,G2,G L

senIFLSb2zz

Sg

ag

7

da cui: 8

983854.41 N

67021.92 Pa

n 0.68

0.00 N

Esercizio 82 7-May-12 esame Civile Edile - Architettura

simile a

Esercizio 55 27-Jan-11 esame Edile - Architettura


2.00 + = m


H = 1.00 + = m 300 + =


5.00 + = m 1000 + =


6.00 + = m 25000 + =



2

3

6

g 9.81

2.2 m

H 1.6 m

5.3 m

6.2 m

1030 10104.3

25200

360 3531.6

portello, ne consegue che l'equazione di equilibrio ai momenti è degenere in una equazione di equilibrio alla traslazione, così come segue:

FM da eq. 8, con pGAS = 0.

pf,1(2) g1 * H, pressione sul fondo della camera sinistra (utile per diagramma pressioni).


Si osservi che sostituendo nella precedente zG,2 con zG,1 ricavato al punto 2.1, ne deriva FM = 0:

FM


fondo del serbatoio è presente un portello circolare di raggio Rp, incernierato in O e libero di ruotare senza attrito. Un

cilindro di peso specifico gc, caratterizzato da una base circolare di diametro L incognito ed altezza H è ancorato al

portello nel suo baricentro Gp tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile.

L’allievo determini la dimensione di base L del cilindro e la lettura hp del piezometro collegato con il fondo del

Rp =

gc = kgf/m3

H1 = g1 = kgf/m3

H2 = g2 = N/m3

m/s2

Rp

H1

H2

g1 kgf/m3 N/m3

g2 N/m3

gc kgf/m3 N/m3



di trazione T trasmessa dal filo, pari alla forza peso alleggerita (Ps - As) ricevuta dal parallelepipedo, verticale e diretta verso l'alto (funzione

dell'incognita D). Poiché le forze giacciono sulla stessa retta di applicazione, coincidente con l'asse verticale passante per il baricentro Gp del

p1-2

PCIR1

pf

PCIR2

OPp1

OP1Mp221,G2,G L

senIFLSb2zz

Sg

ag

p

OP12,GOPp1

22

M L

senI2

zLSb

Fag

Sg

1.

avendo scelto per le componenti un asse verticale rivolto verso l'alto. Si esplicitano di seguito i termini dell'eq. 1:

2.

209792.79

8.33 m

15.21

3189964.08 N

3189964.08 N Da eq. 1.

L 19.65 m

53552.79

209792.79


ruotare in senso orario;

- tracci la distribuzione delle pressioni lungo la verticale per i tre liquidi.

60 + = ° 1000 + =


2,80 + = m 8000 + =


3,50 + = m 13600 + =


4,50 + = m 5,50 + = m

prima cifra della matricola * 0,10 prima cifra della matricola * 0,10

- S2 (hp) - (Ps - As)(D) = 0

g2 Sp hp - (gc - g1 ) Sc H = 0

In cui Sc = p L2 / 4

Dalla legge di Stevino si ricava prima l'incognita hp e quindi L dalla eq. 2.

pG,2 N/m2 g1 * H1 + g2 * H2, pressione sul baricentro Gp del portello dovuta al liquido 2.




Ps - As

[4 (Ps - As ) / (p (g1 - gc) H)]1/2, dimensione di base del cilindro dalla eq. 2.


pf N/m2 p1-2 + g2 H2, pressione sul fondo del serbatoio (per tracciamento della relativa distribuzione di pressione).

Il serbatoio rappresentato in figura è costituito da tre camere, contenenti liquidi di pesi specifici rispettivamente pari

a g1, g2 e g3. Nella parte centrale del serbatoio è presente un portello OPQ di peso trascurabile, incernierato in O e

libero di ruotare senza attrito. Esso risulta costituito da 2 superfici piane di profondità Bp ed altezza rispettivamente

pari a 2Lp ed Lp. L'allievo:

- determini la massima pressione pGAS dell’aeriforme nella camera 2, al di sopra del quale il portello comincerà a

- valuti la reazione lettura n del manometro metallico, collegato con il fondo della camera 2;

a = g1 = kgf/m3

Bp = g2 = N/m3

Lp = g2 = kgf/m3

H1 = H2 =

PCIR2

pGAS

pG2,2

pf,2

PCIR1

pG2,3

PCIR3

pG1


4

5

1

g 9.81

a 70 ° 1.2217 rad 1020 10006.20

2.90 m 8400.00

3.90 m 13680 134200.80

4.90 m 5.90 m

identicamente nulla:

1

Assumendo i momenti positivi se orari, facendo riferimento alla figura seguente:

è possibile pervenire alla seguente:

2

in cui è stato posto:

E' possibile esplicitare l'eq. 2 nella seguente maniera:

m/s2

g1 kgf/m3 N/m3

Bp g2 N/m3

Lp g3 kgf/m3 N/m3

H1 H2

Il quesito consiste nel determinare la pressione limite pGAS dell'aeriforme presente nel sistema, oltre il quale non sussistono condizioni di quiete, a

causa della conseguente rotazione oraria del portello. Essendo quest'ultimo incernierato, l'equilibrio limite corrisponde ad una equazione alla

rotazione intorno al polo O. Le forze che inducono momento sono 3: la spinta S1 indotta dal liquido 1 inducente una rotazione oraria; la spinta S3

indotta dal liquido 3 inducente una rotazione antioraria; la spinta S2(pGAS), prodotta dal liquido 2, funzione della pressione dell'aeriforme e inducente

un momento orario per ipotesi (PCIR del liquido 2 al di sopra del baricentro G2). La somma algebrica dei momenti riferita al polo O dovrà essere

S2 pari al modulo della spinta risultante S2, composizione vettoriale di S2,s ed S2,d. S2 risulterà verticale ed orientato verso l'alto per ipotesi, per cui il

braccio b2 risultera pari a Lp cos a;

S3 pari al modulo della spinta risultante S3, composizione vettoriale di S3,s ed S3,d. S3 risulterà verticale ed orientato verso il basso, per cui il braccio

b3 risultera pari a Lp cos a;

Sulla base di semplici espressioni trigonometriche, il braccio bS1, necessario per il calcolo del momento M1, è pari a (Lp - xC1) + 2 Lp cos2a.

In alternativa il momento M1 è anche esprimibile come (Lp - xC1) sena S1,or + (3Lp -xC1) cosa S1,ver, avendo indicato con S1,or e S1,ver

rispettivamente le componenti orizzontale e verticale del vettore S1. Verranno esposti entrambi i procedimenti per il calcolo del momento M1 indotto

da S1.

0MpMM 3GAS21

0SbpSbM 33GAS221

0SpScosLM 3GAS2p1 a

3

ed ancora rispetto le spinte: 4

in cui è stato posto: 5

1.83 m

18335.37

11.31

207373.00 N

14.34

1.95 m

0.65 m

2.60 m

2.21 m

458797.56 Nm

194866.88 N

70925.74 N

1.22 m

3.11 m

458797.56 Nm

2. Risoluzione dell'Equazione di equilibrio alla rotazione.

23.98 m da eq. 4.

201450.54

186058.38 Pa da eq. 3.

235618.38 Pa

n 2.40

Esercizio 84 30/11/2012 esame Civile basato su 01/04/2011

di lunghezza L e Profondità B. L'allievo:


4.00 + = m 10000 + =


B = 2.00 + = m 3500 + =


5.00 + = atm 13590 + =

Dalla eq. 4 si ricava prima l'affondamento del baricentro G2 rispetto il PCIR2 e quindi pGAS dall'eq. 5.

1.a PROCEDIMENTO basato sul calcolo del momento indotto dal liquido di peso specifico g1 con il risultante S1:

zG,1 Lp sen a / 2, affondamento del baricentro G1 della rispetto il PCIR1.

pG,1 N/m2 g1 * zG,1, pressione sul baricentro G dovuta al liquido 1.

SOP m2 Bp * Lp, area della porzione a contatto con in liquido 1 (uguale per gli altri liquidi).

S1 pG,1 * SOP, spinta sul portello prodotta dal liquido 1.

IOP m4 Bp * Lp3 / 12, momento di inerzia baricentrico della porzione a contatto con in liquido 1 (uguale per gli altri liquidi).

xG,1 = Lp / 2, distanza del baricentro G1 dalla linea di sponda del liquido 1.

xC1' = G1 C1 = IOP / (SOP*xG,1), distanza del centro di spinta C1 dal baricentro G1.

xC1 = xG,1 + xC,1, distanza del centro di spinta C1 dalla linea di sponda del liquido 1.

b1 (Lp - xC1) + 2 Lp cos2a, braccio della spinta S1.

M1 bS1 * S1, momento orario indotto dalla spinta S1.

1.b PROCEDIMENTO basato sul calcolo del momento indotto dal liquido di peso specifico g1 con le componenti di S1:

S1,or S1 sen a, componente orizzontale della spinta S1.

S1,ver S1 cos a, componente verticale della spinta S1.

bS1,or (Lp - xC1) sen a, braccio della componente orizzontale.

bS1,ver (3Lp - xC1) cos a, braccio della componente verticale

M1 SbSi * S1,i, momento orario indotto dalla spinta S1.

zG,2

pG2,2 N/m2 g2 * zG2, pressione nel baricentro G2 dovuta al liquido 2 (utile per diagramma pressioni).

pGAS

pf,2 pGAS + g1 * H, pressione sul fondo della camera sinistra (utile per diagramma pressioni).


Si osservi che per: M1 = 0 (assenza liquido 1); g2 = g3 (liquidi 2 e 3 di pari peso specifico), deriva che la pressione dell'aeriforme è nulla pGAS = 0:

Il sistema rappresentato in figura è costituito da due camere contenenti liquidi di pesi specifici rispettivamente pari a

g1 e g2. Esse risultano separate da un elemento divisorio OPQ, libero di ruotare senza attrito intorno la cerniera O e costituito da due superfici piane

- determini la minima lettura hp necessaria affinché tutto il sistema risulti in quiete;

- ricavi la lettura D del manometro differenziale;

L = g1 = N/m3

g2 = kgf/m3

pGAS = gm = kgf/m3

0SpScosLM 3GAS2p1 a

ag

g

z sen2

Lpp p

2

GAS

2

2,2G2G

0cossen2

Lp2cosLM OP

p3GAS2,G2p1 aS

agzga

terza cifra della matricola *0.10 seconda cifra della matricola * 10

15.00 + = m 5.00 + = m


30 + = °



2

1

4

g 9.81

L 4.1 m

B 2.2 m

0 atm 0 Pa

5.4 m

15.4 m

a 30.5 ° 0.5323 rad

10200

3510 34433.1

13630 55883

alla rotazione è pertanto degenere in una equazione di equilibrio alla traslazione verticale. Si rimanda all'esercizio 61 per il procedimento basato sulle

H1 = H2 =

a =

m/s2

pGAS

H1

H2

g1 N/m3

g2 kgf/m3 N/m3

gm kgf/m3 N/m3

La risposta al primo quesito consiste nel determinare l'altezza del piezometro hp che garantisce condizioni di quiete per il portello incernierato

in O. Essa corrisponderà ad un momento risultante nullo riferito al polo O, ovvero il momento orario M1 indotto dal risultante S1 prodotto dal

liquido 1 (Fig. 1) dovrà essere pari al momento antiorario M2 indotto dal risultante S2 (Fig. 1) funzione dell'altezza hp. Poiché il portello è simmetrico

rispetto una retta verticale passante per P, il risultante S1, composizione vettoriale di SOP,1 e SPQ,1, sarà verticale e rivolto verso il basso (Fig. 2.a);

Analogo ragionamento per il risultante S2, composizione vettoriale di SOP,2 e SPQ,2, il quale sarà verticale e rivolto verso l'alto (Fig. 2.b) dovendo

produrre momento antiorario. Si osservi che i momenti M1 e M2, prodotti dai due risultanti S1 e S2, ammettono lo stesso braccio; l'equazione di

componenti vettoriali {SOP,1 , SPQ,1} e {SOP,2 , SPQ,2}.

1. Calcolo del risultante S1 indotto dal liquido di peso specifico g1:

PCIR1

psx

pQ,2

PCIR2

pQ,1

pGAS

pf

pdx

6.44 m

65692.63

9.02

592547.50 N

1021112.40 N

2. Equazione di equilibrio alla traslazione

1.

Posto: 2.

3.

Da cui:

= 1.91 m 4.

= 16.27 m 5.


560136.32

29866.58

55080.00

10.


D 16.22 m lettura al manometro differenziale da eq. 10. (se negativa, il lembo a destra è più in basso rispetto il lembo a sinistra).

Esercizio 85 6-Jul-09 Esame Edile Architettura

serbatoio. L’allievo determini ne determini la lettura n affinché il sistema illustrato risulti in quiete.

zG1 (Fig. 2.a) pGAS / g1 + H1 + L sen a / 2, affondamento del baricentro G (Fig. 1) rispetto al PCIR1.

pG1 N/m2 g1 * zG1, pressione sul baricentro G della porzione di portello PQ dovuta al liquido 1.


SPQ.1 pG1 * Sp, spinta sul portello prodotta dal liquido 1.

S1 2 SOP,1 cos a, risultante indotto dal liquido di peso specifico g1:

hp







g1 (H1+H2) N/m2

Il serbatoio in pressione rappresentato in figura presenta superiormente un portello circolare di raggio Rp e

peso trascurabile, incernierato in O e libero di ruotare senza attrito. Un oggetto sferico di peso P e raggio Rs

in collegamento con il baricentro G del portello attraverso un filo inestensibile e di massa trascurabile. Il

liquido di peso specifico g è in collegamento idraulico con un manometro metallico posto sul fondo del

DggDg m211GASp2 HHph

p21 hSS

αsen2

LHhζ 2pp

1Pp2OP,2p2 SαcosΣζγ2αcosS2ζS

αcosΣγ2

Sζ

P2

1p

2.00 + = m


0.4 + = m


H = 6 m

P = 1100000 + =


10000 + =



9

9

5

g 9.81

2.9 m

1.3 m

P 12000 117720 N

g 11800

H 6 m

intorno al polo O.

costante di pressione poiché giace su un piano isobarico); la tensione P - A trasmessa dall'oggetto sferico e diretta verso il basso.


L'equazione restituisce la seguente:

9.20

A 108592.71 N

9127.29 N

26.42

345.45855746

71145.46

n 0.73

Esercizio 86 21-Feb-13 Esame Civile Edile Architettura Variante di:

Esercizio 25 10-Sep-09 Esame Civile Edile Architettura

Rp =

Rs =

kgf

g = N/m3

m/s2

Rp

Rs

kgf

N/m3

Il quesito consiste nel determinare la lettura del manometro metallico, posto sul fondo del serbatoio, affinché tutto il sistema risulti in

equilibrio. Per la sua determinazione è sufficiente imporre un equilibrio alla rotazione del portello circolare, di peso trascurabile,

Le forze in gioco riferite al portello sono due: la spinta Sg(n) diretta verso l'alto ed applicata in G (sul portello agisce una distribuzione

- Sg(n) Rp + (P - A) Rp = 0

Sg = P - A

Calcolo del modulo della spinta Sg prodotta dal liquido sul portello


g * Vs, spinta di Archimede.

Sg pG,2 * Sp, spinta sulla superficie piana del portello.


pp N/m2 Sg / Sp, pressione del liquido in corrispondenza del portello.

Calcolo della pressione dell'aeriforme pGAS al manometro, dall'equazione di equilibrio

pf N/m2 pp + g H, pressione sul fondo del serbatoio.



7.00 + = m 1500 + =


12.00 + = m 10000 + =


4.00 + = m 2000 + =

prima cifra della matricola * 0.10 terza cifra della matricola * 50

2.00 + = m 4800 + =

prima cifra della matricola * 0.10 terza cifra della matricola * 50

1.4 + = m 0.40 + = m

terza cifra della matricola * 0.02 prima cifra della matricola * 0.04


4

5

1

g 9.81

7.50 m

12.1 m

4.4 m

2.4 m

1.42 m

3700 36297

10500

2050 20110.5

4850 47578.5

0.56 m

polo O.


1.


2.

Infine, dall'applicazione dell'equazione globale alle due semisfere, si deduce che:

3.

4.

5.

g2. La comunicazione tra essi è impedita per mezzo di una sfera di peso trascurabile e raggio Rs. La sfera è

libera di ruotare senza attrito intorno alla cerniera O. Un cilindro di raggio Rc, altezza Hc, e peso specifico gc

è collegato al portello nel punto P, per mezzo di un file inestensibile, privo di massa. Sul liquido contenuto nella camera

superiore insiste un pistone cilindrico di peso specifico gp ed altezza Hpis.

L’allievo valuti l’altezza hp di un piezometro, collegato al fondo del serbatoio, affinché tutto il sistema risulti in quiete.

H1 = g1 = kgf/m3

H2 = g2 = N/m3

Hc = gc = kgf/m3

Rc = gp = kgf/m3

Rs = Hp =

m/s2

H1

H2

Hc

Rc

Rs

g1 kgf/m3 N/m3

g2 N/m3

gc kgf/m3 N/m3

gp kgf/m3 N/m3

Hpis


equilibrio. Per la sua determinazione è sufficiente imporre un equilibrio alla rotazione della sfera, di peso trascurabile, intorno al

Le forze in gioco riferite al portello sono tre: la spinta verticale S1 del liquido g1 sulla superficie semisferica superiore, diretta

verso il basso ed applicata a distanza Rs dalla cerniera O; la spinta verticale S2 del liquido g2 sulla superficie semisferica inferiore,

diretta verso l'alto (è da attendersi la posizione del menisco al di sopra del PCIR1) ed applicata a distanza Rs dalla cerniera O; la

tensione T trasmessa dal filo alla sfera, diretta verso il basso, in modulo pari al peso alleggerito del cilindro Pc - Ac.

- S1 Rs + S2(hp) Rs - ( Pc - Ac ) Rs = 0

Avendo assunto i momenti positivi se antiorari. Come è possibile osservare, tutte le forze hanno lo stesso braccio Rs (il sistema è

- S1 + S2(hp) - ( Pc - Ac ) = 0

S1 = P1 - G1

S2(hp) = P2(hp) + G2 = g2 p Rs2 zp + G2 = g2 SOB zp + G2


Calcolo della spinta P1 sulla superficie piana di contenimento del volume di controllo coincidente con la semisfera superiore

Hpis

26643.96

298871.46

6.33

1893263.26 N

6.00

217667.90 N

1675595.36 N

62966.99 N

18.10

79.62

1601208.55 N 765193.05 N

836015.50 N

2440788.41 N

35.75 m

47.85 m

p1-pis N/m2 gp * Hpis, pressione all'interfaccia liquido 1 - pistone.

pOB N/m2 p1-pis + g1 H1, pressione del liquido 1 sul fondo della camera superiore.

SOB m2 p * Rs2, area della superficie piana di traccia OB.

P1 pOB * SOB, spinta sulla superficie piana di traccia OB.

Calcolo del peso G1 del volume di controllo coincidente con la semisfera superiore



Calcolo del modulo della spinta S1 agente sulla semisfera superiore

S1 P1 - G1, spinta sulla superficie semisferica superiore.

Calcolo del peso G2 del volume di controllo coincidente con la semisfera inferiore


Calcolo del peso Pc del cilindro

Sc m2 p * Rc2, area di base del cilindro.

Vc m3 Sc * Hc, volume del cilindro.

Pc gc * Vc, peso del cilindro.

Calcolo della spinta di Archimede Ac sul cilindro

Ac g2 * Vc, peso del cilindro.

Calcolo del modulo della spinta S2 dall'eq. 2

S2


zp


hp

Si noti che per gp → 0, hp (soluzione esercizio corrente) → hp (soluzione esercizio 25).

Si noti altresì che per gp diverso da 0 (>0), hp (soluzione esercizio corrente) > hp (soluzione esercizio 25).

Variante per Edili 4 giugno 2010

### N

### N differenza di peso da eq. 3

### N

### N

Ap g1* Vs, spinta di Archimede ricevuta dalla parte immersa della sfera

Ps - Pp

Pp*

Ps*

Prova scritta EA 28/04/2011

### Pa

1.87 Pa

pGAS

Variante 23 gennaio 2013 (pistone sopra liquido 2)

2550 25015.50

Hp 0.95 m

pressione interfaccia pistone - liquido 2 23764.73 Pa

posizione PCIR2 rispetto interfaccia pistone - liquido 2 1.16 m

1805039.24 N1.75 m

-3158818.66 Nm

5.40 m110715.66

19.582167812.62 N

129.24

1.22 m

5.67 m

-12296649.47 Nm

9.79

12.5 m 16.16

### Pa 68.82 m

4.98 atm 701962.87

71.04 m

Variante 3 marzo 2011 (aeriforme sopra liquido 1 di altezza H1liq)

gp kgf/m3 N/m3

SPQR,2

bSpQR,2

M( SPQR,2 )

zG,2

pG,2 N/m2

SOP m2

SOP,2

IOP m4

GC2


M( Sop,1 ) -SOP,2 * bSop,2, momento indotto dalla spinta verticale dovuta al liquido 2.

SOG m2

H1,liq IOG m4

pGAS z1

pGAS pG,1 N/m2

H1

Vc= 82.3181051

pg= 99960 2

V= 445.4862159

S= 4453080.214

Lp= 11.1514913

Vss= 75.27Ass= 34.211944

Hs= 2.37382134

pg1= 63738.2134 xc1= 0.30725722

TT1= 2180608.19 b1= 3.60725722

G1= 752662.768 bg= 1.05042262

M1= 7866014.62 G2= 915569.097

Mg1= 790614

Mg2= 961734.494

M2= 7694894.13

hg= 5.00954004

pf= 313639.121 pa= 271476.427

D 0.35

pgas= -16595.663

Vss= 153.9333276

Ass= 45.58

Vp= 84.568

Yp= 12992.14833

pa= 28582.72633 hm= 21.634235172

h*= 1.134235172 hg= 13.734235172

pg= 346102.726 xc1= 0.4487569389

TT= 15775362.27 b1= 3.8512430611

G= 3879119.856 bg= 1.8249766808

m= 60754754.46 Mel= 67834057.744

Mg= 7079303.28 Fel= 15775362.266

xc1= 1.433333333

Sv= 4183332.4 Bv= 1.3

So= 6918588.2 bo= 5.7333333333

M2= 45104904.47

hg= 18.11594534 pf1= 381240

pf2= 289778.90853

D= 0.932173055

Pf'1= 414145.7088 2.071

pf2= 469702.8

pg= 324318.6 xc1= 0.3885057471

TT2= 6887608.055 b2= 2.9885057471

G2= 5581337.562 bg= 1.1034742721

G1= 1068017.095

M2= 20583656.26

Mg2= 6158862.403 bv= 1.55

mg1= 1178529.387

a= 13246264.47

hg= 13.37

hm= 15.97056243

pgas= 115245.018

As= 2759816.472

p1-p2 -562408.32

S= 7794979.315

A1= 20.5 h*2= 4.8624

A2= 8.5 xc6 0.247008547

A3= 15

S1= 6336960 b1= 10.1 M1= 64003296

S6= 1829880 b6= 1.947008547 M6= 3562792

S2= 3645000 b2= 3 M2= 10935000

S3= b3= 3 M4= 0

S4= b4= 10.1 M1= 0

S5= b5= M1= 0

M= 78501088

a= 280.95

hm= 25.45898911

hg 15.07633929

pp= 67443.75

H= 2.676339286

hm= 22.77633929

xc= 0.390015102

b 3.809984898 bg= 1.7825353626

TT= 8297534.7 g= 7261934.6754

M= ### Mg= 12944655.36

Mel= ### Fel= 10609080.3

xc1= 0.28409091

hg3= 5.5

G4= 432253.125

TT3= 1267942.5 b3= 2.7840909091

G3= 905308.828 bg= 1.0610329539

Mg3= 960562.5

M3= 3530067.188

Mg4= 458634.8101

L1= 4.0824983 A1= 12.451619815

L2= 5.737565179 A2= 17.499573795

S1= 415799.9289 b1= 4.3767324119

m1= 1819845.026

hg2= 2.489824762

pb= 71170.10743

pa'= 93862.08

D= 0.195037694

Ap= 10.36

hg1 1.80957306 b1= 2.46666667

m1= 3556570.43 s1 1441852.88

h2= 15.1227963

Ap= 11.88

S1= 1576127.585 B1= 2.4

M1= 3782706.204h2= 16.77193761 d= 15.06003588pb'= 230112.366 pb= 581242.5D= 5.187403183

hg2= 1.690059097

ap= 12.58

S2= 1709379.852 b2= 2.4666666667

m2 4216470.302

hg2= 15.92622895 hn 20.336169854

pn= 223437.5654 n= 2.2776510236

pgas= 156415.6454

M1= 576208.9864

fel= 983854.4097

pn= 67021.92

n= 0.6832

h*2= 2.12511071

pf= 209792.79

Ap= 15.2053084

S1= 3189964.08L= 19.65242101

prova per pGAS=0

aggiungere: 125897

per matricola 5 5 3

fissare M1 = 0

, braccio della spinta orizzontale dovuta al liquido 2.

, momento indotto dalla spinta verticale dovuta al liquido 2.

Esercitazioni del corso di IdraulicaIdrodinamica

Esercizio 1 5-Feb-08 esame Civili

intende realizzare un raddoppio di condotta a valle del nodo C (figura 4.b).

L’allievo determini:

1.2 + = -


200 + = m s.l.m.


150 + = m s.l.m.


D = 185 + = mm


L = 2000 + = m


500 + = m



9

5

7

g 9.81

n 0.000001006

a 1.45 -

218 m

160 m

D 195 mm 0.195 m

L 2140 m

625 m

e 0.2 mm valore scelto per la scabrezza della tubazione, scelto sulla base del tipo di materiale e

stato di conservazione della parete interna

0.001 - corrispondente scabrezza relativa

Schema 4.a

0.020 -

0.030

5.78

0.0271 -

0.068

Nel sistema rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata Q0 da un serbatoio A a quota YA,

tramite una condotta in ghisa in servizio corrente. Successivamente si decide di incrementare la portata a servizio del

serbatoio B, passando dal valore Q0 al valore aQ0 con a > 1, tramite una immissione concentrata nel nodo C. A tal fine si

- per la condizione di esercizio illustrata in figura 4.a, la portata Q0 da erogare a servizio del serbatoio B;

- per la condizione di esercizio illustrata in figura 4.b, il diametro Dr da assegnare alla nuova tubazione nell’ipotesi di

lasciare inalterata la portata Q0 erogata dal serbatoio A.

a =

YA =

YB =

Lr =

m/s2

m2/s

YA

YB

Lr

Il quesito consiste nel determinare la portata Q0 da erogare inizialmente a servizio del serbatoio B ed il diametro Dr da

assegnare al nuovo tronco in parallelo, affinché il serbatoio eroghi sempre Q0. La piezometrica sul tratto A - C è pertanto la

stessa nei due casi. Dovendo poi essere congiunta al serbatoio B, si può concludere che la piezometrica è la stessa nei due

casi, tra i due serbatoi. Ne deriva che sul vecchio tronco in parallelo circolerà ancora Q0, mentre sul nuovo (a - 1)Q0.

e/D

PROCEDURA 1. Ipotesi: moto assolutamente turbolento

lturb,1 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D ) ] }2, formula di Prandtl.

SD m2 p * D2/4, area della sezione della tubazione originaria.

cturb s2/m6 8*lturb,1/(g*p2*D5), avendo posto JA-B,1 = cturb*QA-B,12, dove cturb raggruppa le costanti e variabili note

JA-B,1 ( YA-YB ) / L, cadente piezometrica.

QA-B,1 m3/s (JA-B,1 / c1)1/2, portata circolante.

2.29 m/s

444287.47 -

nel caso di moto non assolutamente turbolento, riferiamoci alla formulazione completa

di Colebrook - White.

0.020 -

5.98 circa il corrispondente fornito della formula di Prandtl; la formula di Colebrook - White può

ammettere più soluzioni; quella giusta è compresa tra 0,01 e 0,08 (si veda abaco di Moody)

432749.03 -

numero di Reynolds di tentativo, ottenuto dalla relazione di Colebrook - White.

0.067

0.027 -

-0.0005 -

Schema 4.b

0.031

0.08 mm valore scelto per la scabrezza della nuova tubazione,

0.00008 m da affiancare al tratto preesistente

0.019 -

La formula di Colebrook - White può ammettere più soluzioni;

quella corretta è compresa tra 0,01 e 0,08 (vedi abaco di Moody)

A 0.00047 - coefficiente moltiplicativo del termine quadratico.

B -0.00022 - coefficiente moltiplicativo del termine lineare.

(il termine B è intrinsecamente negativo). Macro: "Idrodinamica_Es1_Calcola_Dpn".

C 0.000022 - coefficiente costante.

Delta 7.75E-09 -

rad(Delta) 8.80E-05 -

0.327 m

0.140 m 0.140

0.00039 -

0.02734 -

0.02671 -

-0.00023467

0.000235

L'algoritmo ha trovato una radice.

Esercizio 2 2-Dec-08 esame Civili

spessore.

serbatoi e tracci l’andamento qualitativo della linea piezometrica.

VA-B,1 QA-B,1 / SD, velocità in condotta.

Re1 VA-B,1 D / n, numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody:

PROCEDURA 2. Formulazione completa con formula di Colebrook - White

lC-W coefficiente di resistenza di tentativo. il valore di primo tentativo viene posto pari a

cC-W s2/m6

Re1

QA-B,1 m3/s (p D Re1 n / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.

JA-B, di tent c1 * QA-B,12, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

F(JA-B, di tent) JA-B - JA-B, di tent, l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione.

Qp,n m3/s ( a - 1 )Q0, portata sul nuovo tronco di tubazione in parallelo.

A differenza della procedura iterativa precedente, in questo caso fissando l come parametro di iterazione della formula di Colebrook - White, ne

deriva una equazione di secondo grado nell'incognita Dr. Seguono i coefficienti dell'equazione:

ep,n

ep,n

lC-W coefficiente di resistenza di tentativo.

Dp,n1 (-B+(B2-4AC)1/2)/2A, soluzione 1 dell'equazione quadratica.

Dp,n2 (-B-(B2-4AC)1/2)/2A, soluzione 2 dell'equazione quadratica. Dp,n

JC-B, di tent,1 8 * lC-W * Qp,n2 /( g *p2 * Dp,n

5), cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

JC-B, di tent,2

F(JC-B, di tent.1) JC-B - JC-B, di tent,1, scarto sulla piezometrica corrispondente alla soluzione 1.


|Fmin| minimo scarto sulla piezometrica.

Nell’impianto di adduzione rappresentato in figura il serbatoio B a a quota geometrica zB riceve una portata Q da un

serbatoio in pressione A a quota geometrica zA, tramite una condotta in acciaio di diametro D con rivestimento bituminoso a

L’allievo determini la quota piezometrica in A, la lettura D del manometro differenziale a mercurio, posizionato tra i due

el l

D715,3

110

51,2

2

1

l

2

1

10

715,3

n,pe

lnp

n,pQ4

51,2

100 + = m s.l.m.


150 + = m s.l.m.


L = 3000 + = m


Q = 75 + = l/s


D = 215 + = mm



1

3

3

g 9.81

n 0.000001006

106 m

152 m

L 3050 m

Q 54 l/s 0.054

D 224 mm 0.224 m

viene di seguito ricavato per tentativi, tramite una funzione ricerca obiettivo costruita sulla formula di Colebrook - White:

0.039

v 1.37 m/s

e 0.1 mm valore scelto per la scabrezza della tubazione.

e 0.0001 m scabrezza assoluta espressa in metri.

0.00045 - scabrezza relativa.

0.016 -

0.018 -

circa il corrispondente fornito della formula di Prandtl; la formula di Colebrook - White può

ammettere più soluzioni; quella giusta è compresa tra 0,01 e 0,08 (si veda abaco di Moody).

Re 305111.01 -

0.00001

Macro: "Idrodinamica_Es2_Calcola_lamba_C_W"

0.00763 -

Si procede quindi al calcolo della differenza di quota piezometrica tra i due serbatoi ed infine alla lettura del manometro metallico:

23.28 m

D 1.85 m

175.28 m

Esercizio 3 28-Oct-08 esame Civili

zA =

YB =

m/s2

m2/s

zA

YB

m3/s

Innanzitutto si procede alla determinazione della cadente J sulla base dell'equazione di Darcy - Weisbach; l'indice di resistenza

SD m2 p * D2/4, area della sezione della tubazione.

Q / SD, velocità in condotta.

e / D

lturb1 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D ) ] }2, formula di Prandtl.


4 Q / (p D n), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante.

F(lC-W) uguale a 0 per il valore soluzione di lC-W

JA-B 8 * l * Q2 /( g *p2 * D5), cadente di tentativo; il valore soluzione.

si ottiene risolvendo il polinomio F(lC-W)

DYA-B JA-B L, differenza di quota piezometrica tra A e B

DYA-B g/gm - g), lettura del manometro

YA YB +DYAB, quota piezometrica al serbatoio A

Nel sistema rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata QA-B,1 da un serbatoio A a quota

D

A

B

L

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

- la portata concentrata q erogata dal nodo sulla base dei vincoli riportati in precedenza;

- le piezometriche per i due sistemi.

200 + = m s.l.m.


150 + = m s.l.m.


D = 185 + = mm


L = 2000 + = m


1200 + = m


110 + = m



5

9

4

g 9.81

n 0.000001006

218 m

160 m

D 203 mm 0.203 m

L 2080 m

1380 m

128 m

Scegliamo un valore di scabrezza per la tubazione assegnata:


stato di conservazione della parete interna.

0.0005 - corrispondente scabrezza relativa.

0.028 -

Schema 4.a


0.017 -

0.032

3.99

0.084

2.58 m/s

521500.41 -




0.018 -

YA, tramite una condotta in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore.

Successivamente (figura 4.b) si decide di erogare una portata concentrata q in corrispondenza del nodo N, posto a distanza

LA-N dal serbatoio di monte, a quota zN. L’allievo determini:

- per la condizione di esercizio illustrata in figura 4.a, la portata QA-B,1 da erogare a servizio del serbatoio B;

- per la condizione di esercizio illustrata in figura 4.b, la potenza teorica di una pompa installata subito a valle del nodo N,

affinché B riceva sempre QA-B,1 e l’altezza piezometrica nel nodo N sia pari o superiore a 10 m;

YA =

YB =

LAN =

zN =

m/s2

m2/s

YA

YB

LAN

zN

Il quesito consiste nel determinare la portata QA-B,1 da erogare a servizio del serbatoio B per lo schema di fig. 4.a; la potenza teorica P t di una pompa

posta subito a valle di un nodo di derivazione, affinchè B riceva sempre QA-B,1 e sul nodo l'altezza piezometrica risulti pari o superiore a 10m.

e/D




c1 s2/m6 8*lturb1/(g*p2*D5), avendo posto J1 = c1*Q02, dove c1 raggruppa le costanti e variabili note.



ReA-B,1 VA-B,1 D / n, numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody:

lC-W,1 coefficiente di resistenza di tentativo. il valore di primo tentativo viene posto pari a



502417.58 -


0.081

0.027 -

-0.000491 -

Macro: "Idrodinamica_Es3_Calcola_Q_4a_e_4b"

Schema 4.b

possibile formulare un ipotesi sul regime di moto o costruire una procedura iterativa sulla formula di Colebrook - White.

138 m

0.058 -


0.121

3.73 m/s

751930.63 -




0.017 -



737642.09 -


0.118

0.058 -

0.000113 -

Macro: "Idrodinamica_Es3_Calcola_Q_4a_e_4b"

q 0.038

19.52 m

179.52 m

41.52 m

32.82 kW

Esercizio 4 23-Apr-07 esame Civili Edile Architettura

acciaio, con rivestimento bituminoso a spessore.

360 + = m s.l.m.


cC-W,1 s2/m6

ReC-W,1

QA-B,1 m3/s (p D ReC-W,1 n / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.

JA-B, di tent cC-W,1 * QA-B,12, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

F(JA-B,1, di tent.) JA-B,1 - JA-B,1, di tent, l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione.

Sulla base del carico imposto sul nodo N, è possibile valutare la portata circolante sul tronco A - N. Anche in questo caso è

YN,2 zN + 10, nuova quota piezometrica per il nodo N.

JA-N,2 [ YA - ( zN + 10 ) ]/ LAN, nuova cadente piezometrica.

QA-N,2 m3/s (JAN / c1)1/2, portata circolante.

vA-N,2 QA-N / SD, velocità in condotta.

ReA-N,2 v0 D / n, numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody:

lC-W,2 coefficiente di resistenza di tentativo. Il valore di primo tentativo viene posto pari a

cC-W,2 s2/m6

ReC-W,2

QA-N,2 m3/s (p D ReC-W,2 n / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.

JA-N,2, di tent cC-W,2 * QA-N,22, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

F(JA-B,1, di tent.) JA-N,2 - JA-N,2, di tent, l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione.

m3/s QA-N,2 - QA-B,1, portata erogata dal nodo N.

DYVP-B,2 JVP-B,2*(L-LAN), dislivello piezometrico tra il punto della condotta immediatamente a valle

della pompa ed il serbatoio di valle. JVP-B,2 = JA-B,1 poiché la piezometrica.

YVP YB + DYVP-B,2, quota piezometrica a valle della pompa, coincidente con lo schema di figura 4.a.

DYP,2 YVP - YN,2, prevalenza manometrica della pompa.

Pteorica 9.81 QA-B,1 DYP,2, potenza teorica della pompa.

Si calcolino le portate circolanti nell’impianto a tre serbatoi rappresentato nella seguente figura. Si assumano condotte in

YA =

el l

D715,3

110

51,2

2

1

el l

D715,3

110

51,2

2

1

240 + = m s.l.m.


280 + = m s.l.m.


155 + = mm


135 + = mm


115 + = mm


1.38 + = km


1.43 + = km


1.24 + = km



2

3

6

g 9.81

n 0.000001006

366 m

244 m

292 m

155.9 mm 0.1559 m 0.019

135.6 mm 0.1356 m 0.014

116.8 mm 0.1168 m 0.011

1.53 km 1530 m

1.49 km 1490 m

1.42 km 1420 m

e 0.1 mm valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e


0.00064 - corrispondente scabrezza relativa per la tubazione 1.



0.018 -

0.018 -

0.019 -

15.84

32.87

71.82


308.20 0.0378 0.0431 0.0114 0.049 0.036 0.013 2.51769E-05

2.56 2.51 1.18

396440.11 337917.11 136571.82

YB =

YC =

D1 =

D2 =

D3 =

L1 =

L2 =

L3 =

m/s2

m2/s

YA

YB

YC

D1 m2

D2 m2

D3 m2

L1

L2

L3

Il quesito consiste in un problema di verifica: occorre cioè determinare le portate circolanti, nota la geometria del sistema. Si procederà in due maniere

alternative: 1. con la formula di Prandtl facendo l'ipotesi di moto a.t. e con la formula empirica l = lemp(J,D).

e / D1

e / D2

e / D3

lturb,1 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione 1.



c1 s2/m6 8*lturb,1/(g*p2*D15), avendo posto J1 = c1*Q1

2, dove c1 raggruppa le costanti e variabili note.



c3 s2/m6 8*lturb3/(g*p2*D35), avendo posto J3 = c3*Q3


YN J1 J2 J3 Q1 Q2 Q3 DQ

v1 v2 v3

Re1 Re2 Re3

L2

YA

YB

C

D 3

YC

L1

L3

D 1

D 2

PROCEDURA 2. Formulazione empirica per l'indice di resistenza

308.35 0.0377 0.0432 0.0115 0.0181 0.0187 0.0199 16.23 33.69 75.51

0.048 0.036 0.012 0.00003

2.52 2.48 1.15

Macro: "Idrodinamica_Es4_Calcola_Q_Problema_tre_serbatoi"

391148.57 334164.22 133815.72

Esercizio 5 9-Jul-07 esame Civili Edile Architettura

360 + = m s.l.m.


240 + = m s.l.m.


155 + = mm


1.38 + = km


1.43 + = km


q =


4

3

6

g 9.81

n 0.000001006

366 m

248 m

D 161 mm 0.161 m

1.53 km 1530 m

1.55 km 1550 m



0.00311 - corrispondente scabrezza relativa per la tubazione relativa alla figura 4.a).

0.03831 - cadente corrispondente allo schema di figura 4.a).

YN J1 J2 J3 lEMP,1 lEMP,2 lEMP,3 cEMP,1 cEMP,2 cEMP,3

Q1 Q2 Q3 DQ

v1 v2 v3

Re1 Re2 Re3

Nel sistema di adduzione rappresentato in figura 4.a) il serbatoio B a quota YB riceve una portata Q0 da un serbatoio A a

Q0 da un serbatoio A a quota YA tramite una condotta in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore. Successivamente

(figura 4.b) è prevista una erogazione concentrata q, per cui si rende necessario l’inserimento di un parallelo. L’allievo

determini la portata Q0 per lo schema di figura 4.a) ed il diametro Dp da assegnare al tronco in parallelo affinché la portata a

servizio del serbatoio B sia sempre Q0.

YA =

YB =

D =

Lp =

L2 =

Q0 / 2

m/s2

m2/s

YA

YB

Lp

L2

Il quesito consiste nel determinare la portata circolante per lo schema 4.a) ed il diametro Dp da assegnare ad un tronco in parallelo per lo schema 4.b),

piazzato a monte del nodo di derivazione, affinche YB riceva sempre Q0 e la portata derivata risulti pari a Q0 / 2.

e / D

JA-B,1

Schema 4.a


0.026 -

0.020

20.16

0.044

2.14 m/s

342711.32 -




0.027 -



341391.04 -


0.043

0.039 -

0.000273 -

Macro: "Idrodinamica_Es5_Calcola_Q0"


Schema 4.b

0.022

0.05 mm valore scelto per la scabrezza della nuova tubazione, da affiancare al tratto preesistente

0.00005 m


0.018 -







Delta 1.83E-09 -


0.176 m

0.113 m 0.113

0.00419 -

0.03866 -

0.034122 -

-0.000347

0.000347

lturb 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione relativa alla figura 4.a).


c1 s2/m6 8*lturb/(g*p2*D5), avendo posto JA-B,1 = c1*QA-B,12, dove c1 raggruppa le costanti e variabili note.




lC-W,1 coefficiente di resistenza di tentativo. Il valore di primo tentativo viene posto pari a

cC-W,1 s2/m6

ReC-W,1

QA-B,1 m3/s (p D ReC-W,1 n / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.

JA-B, di tent cC-W,1 * QA-B,12, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.


Poiché il serbatoio di quota YB riceve sempre Q0 ne deriviamo che la piezometrica è pari sempre a JA-B,1 ovunque. Per questo motivo

sul vecchio tronco (ora in parallelo) A - N circolerà ancora Q0 e quindi per la continuità al nodo, sul nuovo tronco in parallelo circolerà

una portata Qp,n = Q0 / 2.

Qp,n m3/s Q0 / 2 portata sul nuovo tronco di tubazione in parallelo.

ep,n

A differenza della procedura iterativa precedente, in questo caso fissando l come parametro di iterazione della formula di Colebrook - White, ne deriva

un'equazione di secondo grado nell'incognita Dp,n. Seguono i coefficienti dell'equazione:






JC-B, di tent,2




el l

D715,3

110

51,2

2

1

l

2

1

10

715,3

n,pe

lnp

n,pQ4

51,2


PROCEDURA 2. Determinazione del diametro con una formula empirica

Formula empirica:

0.017 -

Il valore soluzione (compreso tra 0,01 e 0,08) si ottiene risolvendo per tentativi la Formula empirica

1.4E-05

0.111 m

Esercizio 6 12-Sep-07 esame Civili Edile Architettura

subito a valle del serbatoio A e tracci l’andamento della linea piezometrica. Nei calcoli si assuma:

- la condotta di aspirazione di lunghezza trascurabile;

- le condotte di mandata di diametro D e costituite da tronchi in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore.

100 + = m s.l.m.


150 + = m s.l.m.


2000 + = m


145 + = mm


70 + = km



4

3

6

g 9.81

n 0.000001006

La procedura iterativa proposta in precedenza presenta lo svantaggio di essere particolarmente sensibile ai parametri noti (e …) e quindi

non sempre la soluzione (Dp,n) è di immediata derivazione. La procedura semplificata che segue, permette di determinare il diametro incognito

tramite una formula empirica che, sebbene implicita permette consente di giungere al calcolo di Dp,n.

lemp coefficiente di resistenza di tentativo.

cliccando su Calcola lemp.

F(lemp) funzione ricerca obiettivo costruita su lemp.

Dp,n [8 * lemp * Qp,n2 /( g *p2 * JA-B,1)]1/5, diametro teorico da formula empirica.

Si confrontino i valori soluzione per il diametro teorico Dp,n ottenuti con le due procedure esposte.

L’impianto di sollevamento rappresentato in figura risulta costituito da due condotte in parallelo di pari diametro, materiale e

stato di usura. La portata complessivamente sollevata dal sistema, 24h al giorno per 365 giorni l’anno, risulta pari a Q0.

giorno per 365 giorni l’anno, risulta pari a Q0. L’allievo determini l’energia spesa in un anno per alimentare la pompa posta

YA =

YB =

L =

D =

Q0 =

m/s2

m2/s

106 m

158 m

2200 m

D 163 mm 0.163 m

82 l/s 0.082

eta-pompa 0.65 - valore scelto per il rendimento della pompa.

e 0.1 mm valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di usura.

0.0001 m

0.00061 - scabrezza relativa delle tubazioni.

0.041

0.021

1.96 m/s

Re 318352.59 -


0.017 -

calcolato con la formula di Prandtl (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody:


di Colebrook - White (PROCEDURA 2).

12.55 -

0.021 -

46.41 m perdita di carico tra i due serbatoi

98.41 m

121.79 kW

E 3.84E+09 kJ

E 1066902.68 kWh

E 1.07 GWh


0.019 -

0.00011 - Macro: "Idrodinamica_Es6_Calcola_lambda"

13.46

0.023 -


101.77 m

125.95 kW

E 3.97E+09 kJ

E 1103323.761 kWh

E 1.10 GWh

636705.18 -


0.084 -

il raggruppamento cturb fa riferimento all'indice di resistenza, in precedenza

calcolato con la formula di Prandtl (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody:


di Colebrook - White (PROCEDURA 2).


237.65 m

294.11 kW

E 9.28E+09 kJ

E 2576398.111 kWh

E 2.58 GWh


0.018 -

YA

YB

L

Q0 m3/s

Il quesito consiste nel determinare l'energia annua spesa per sollevare la portata Q0. Poiché le condotte in parallelo sono identiche, tale

portata si divide a metà. Dunque la piezometrica sarà valutata con Q0/2.

e/D

Qp m3/s Q0/2, portata sollevata da una condotta.


vp Qp/SD, velocità in condotta.

vp D / n, numero di Reynolds per condotta.

lturb 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza per ciascuna delle due tubazioni

cturb 8*lturb/(g*p2*D5), avendo posto JA-B = cturb*Qp2, dove cturb raggruppa le costanti e variabili note.

JA-B cturb Qp2, cadente piezometrica.

JA-B L

DHm YB + JA-B L - YA, prevalenza manometrica della pompa.

Pr 9.81 *Q0 * DHm / eta_pompa, potenza reale, spesa dalla pompa.

Pr*365*24*3600, energia annua spesa in kJ.

Pr*365*24, energia annua spesa in kWh.

lC-W

F(lC-W)

cC-W s2/m6

JA-B cC-W * Qp2, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

JA-B L





OSSERVAZIONE: nel caso di singola condotta, l'energia spesa aumenta perché aumenta la prevalenza manometrica:

Resingola condotta 4 Q0 / (p D n), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante.

JA-B cturb Q02, cadente piezometrica.

JA-B L





Pr*365*24/106, energia annua spesa in GWh

lC-W

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

l

e

l

l condotta singola

WCRe

51,2

D715,310LOG2

1F


13.03

0.088 -


244.80 m

302.96 kW

E 9.55E+09 kJ

E 2653936.985 kWh

E 2.65 GWh

Esercizio 7 - syllabus Civili Edile Architettura

e tracci l'andamento della linea piezometrica.

g 9.81

n 0.000001006

151 m

20 m

1250 m

D 243 mm 0.243 m

30 l/s 0.03

eta-turbina 0.65 valore scelto per il rendimento della pompa.


0.0002 m


0.046

0.65 m/s

Re 156252.55 -


0.019 -

sull'abaco di Moody: nel caso di moto non assolutamente turbolento, riferiamoci alla

formulazione completa di Colebrook - White (PROCEDURA 2).

1.83 -

0.0016 -

2.05 m perdita di carico tra i due serbatoi.

128.95 m

24.67 kW

E 7.78E+08 kJ

E 216081.1639 kWh

E 0.22 GWh


0.021 -


2.02

0.0018 -


133.27 m

25.49 kW

E 8.04E+08 kJ

E 223322.8114 kWh

E 0.22 GWh

Esercizio 8 - syllabus CP16 Civili Edile Architettura

F(lC-W)

cC-W s2/m6

JA-B cC-W * Q02, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

JA-B L





Per l’impianto idroelettrico rappresentato in figura l'allievo determini l'energia ricavabile in un anno di funzionamento

m/s2

m2/s

YA

YB

L

Q0 m3/s

e/D


v0 Q0/SD, velocità in condotta.

v0 D / n, numero di Reynolds per condotta.

lturb 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza calcolato con la formula di Prandtl (si verifichi l'ipotesi di partenza

cturb 8*lturb/(g*p2*D5), avendo posto JA-B = cturb*Q02, dove cturb raggruppa le costanti e variabili note.


JA-B L

DHm (YA - YB) - JA-B L, prevalenza manometrica alla turbina.

Pr 9.81 *Q0 * DHm * eta-turbina, potenza reale, ottenuta dalla turbina.



Pr*365*24/106, energia annua spesa in GWh.

lC-W

F(lC-W)

cC-W s2/m6


JA-B L


Pr 9.81 *Q0 * DHm * eta_turbina, potenza reale, prodotta dalla turbina.

Pr*365*24*3600, energia annua prodotta in kJ.

Pr*365*24, energia annua prodotta in kWh.


Per l’impianto di sollevamento rappresentato in figura l'allievo determini la pressione dell'aeriforme contenuto nella

cassa d’aria posta immediatamente a valle della pompa nella ipotesi di livello idrico YC = YA - 5m.

l

e

l

l condotta singola

WCRe

51,2

D715,310LOG2

1F

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

g 9.81

n 0.000001006

25.74 m

55.12 m

250 m

1250 m

D 250 mm 0.25 m

50 l/s 0.05



0.0002 m


0.049

1.02 m/s

Re 253129.13 -


0.019 -



1.57

0.0039 -

0.98 m perdita di carico continua tra il serbatoio di monte e il punto precedente la pompa

4.92 m perdita di carico continua tra il punto seguente la pompa ed il serbatoio di valle

35.28 m

24.72 kW

E 7.80E+08 kJ

E 216553.5182 kWh

E 0.22 GWh

20.74 m

39.30 m

385494.71 Pa


0.020 -


1.68

0.0042 -


5.26 m perdita di carico continua tra il punto seguente la pompa ed il serbatoio di valle

35.69 m

25.01 kW

E 7.89E+08 kJ

E 219099.234 kWh

E 0.22 GWh

20.74 m

39.64 m

388885.13 Pa

Esercizio 9 - syllabus CP20 Civili Edile Architettura

spessore. L'allievo determini i diametri commerciali da utilizzare e le relative lunghezze.

m/s2

m2/s

YA

YB

L1

L2

Q0 m3/s

e/D





cturb s2/m6 8*lturb/(g*p2*D5), avendo posto JA-B = cturb*Q02, dove cturb raggruppa le costanti e variabili note.


JA-B L1

JA-B L2

DHm YB + JA-B L2 - (YA - JA-B L1), prevalenza manometrica della pompa





YC YA - 5, quota del pelo libero all'interno della cassa

hGAS YB + JA-B L2 - YC, altezza piezometrica sulla cassa d'aria

pGAS 1000 * g * hGAS, pressione dell'aeriforme contenuto nella cassa d'aria

lC-W

F(lC-W)

cC-W s2/m6


JA-B L1

JA-B L2

DHm YB + JA-B L2 - (YA - JA-B L1), prevalenza manometrica della pompa

Pr 9.81 *Q0 * DHm / eta-pompa, potenza reale, spesa dalla pompa.




YC YA - 5, quota del pelo libero all'interno della cassa

hGAS YB + JA-B L2 - YC, altezza piezometrica sulla cassa d'aria

pGAS 1000 * g * hGAS, pressione dell'aeriforme contenuto nella cassa d'aria

Nel sistema di adduzione rappresentato in figura il serbatoio B a quota YB deve ricevere una portata

Q da un serbatoio A a quota YA tramite una condotta in acciaio con rivestimento bituminoso a

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

g 9.81n 0.000001006

858 m

782 m

L 2.520 km 2520 m

Q 64.5 l/s 0.0645

Determinazione del diametro teorico con una formula empirica

Formula empirica:


0.00005 m stato di conservazione della parete interna.

0.0302 -

0.015 - indice di resistenza calcolato con la formula di cui sopra.

0.176 m

0.15 m diametro commerciale inferiore scelto da una serie.


0.0003 - scabrezza relativa della tubazione commerciale 1.


0.018

3.65 m/s

544227.64 -

0.031

2.05 m/s

408170.73 -

0.017 -

0.016 -

in alternativa, è possibile valutare gli indici di resistenza

tramite Formulazione completa con formula di Colebrook - White

o altre formulazioni empiriche

Matrice dei coefficienti termine noto vettore delle incognite

1 1 2520 561.36

0.0747 0.0174 76 1958.64

2520 prova

Esercizio 10 - - Civili Edile Architettura

schema di figura 4.b.

g 9.81

n 0.000001006

850 m

837 m

4 km 4000 m

1 km 1000 m

m/s2

m2/s

YA

YB

m3/s

La procedura iterativa di Colebrook - White presenta lo svantaggio di essere particolarmente sensibile dai parametri noti (e …) e quindi non sempre la

soluzione (Dp,n) è di immediata soluzione. La procedura semplificata che segue, permette di determinare il diametro incognito tramite una formula

empirica che permette di giungere al calcolo di Dt.

JA-B,teor ( YA-YB ) / L, cadente piezometrica teorica.

lemp

Dt [8 * lemp * Qp,n2 /( g *p2 * JA-B,1)]1/5, diametro teorico da formula empirica.

Dcomm,1

Dcomm,2

e/Dcomm,1

e/Dcomm,2

SD,1 m2 p * Dcomm,12/4, area della sezione della tubazione 1.

v1 Q/SD,1, velocità nella tubazione 1.

Re1 v1 Dcomm,1 / n, numero di Reynolds per la tubazione 1.




l1 da formula di Cozzo, indice di resistenza per la tubazione 1.


Nel sistema di adduzione rappresentato in figura 4.a) il serbatoio B a quota YB riceve una portata

Q0 da un serbatoio A a quota YA tramite un sistema di tre condotte in serie in PEAD. Nel sistema rappresentato

in figura 4.b) dal nodo N viene erogata una certa portata concentrata q, senza il contributo del serbatoio di valle B.

L'allievo determini la portata Q0 a servizio del serbatoio YB per lo schema di figura 4.a e la portata derivata q per lo

m/s2

m2/s

YA

YB

LAN

LNC

3 km 3000 m

0.3 m

0.32 m

0.27 m






Schema 4.a


0.01526 -

0.071

2076.02

0.01505 -

0.080

370.71

0.01561 -

0.057

2697.47

0.0503

0.71 m/s

0.63 m/s

0.88 m/s

212081.97 -

198826.84 - nel caso di moto non assolutamente turbolento, riferiamoci alla formulazione completa

235646.63 - di Colebrook - White.


0.0465 F

pari ad 1m/s e diametro medio (si veda il testo della macro associata).

183908.812 - A

196169.40 - C

0.01795 -

0.00005 - O

0.61

0.001 - L

183908.81 - T

0.01796 -

0.00005 - A

0.44

0.001 - T

217966.00 - I

0.01796 -

0.00005 - V

1.03

0.002 - O

0.018 - stima dell'indice di resistenza medio.

0.297 m diametro medio.

0.646 stima del raggruppamento di termini noti.

8000 m lunghezza totale.

13.00 m dislivello geodetico tra i due serbatoi.

12.941 m stima della perdita di carico continua totale.

0.0001 stima della portata correttiva (tra una iterazione e la successiva, il corrispondente valore

LCB

DAN

DNC

DCB

e/DAN

e/DNC

e/DCB

lturb,AN 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*DAN ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione relativa alla figura 4.a).

SAN m2 p * DAN2/4, area della sezione della tubazione.

cAN 8*lturb,AN LAN/(g*p2*DAN5), avendo posto JAN LAN = cAN*QA-B,1

2, dove cAN raggruppa le costanti e variabili note.

lturb,NC 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*DNC ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione relativa alla figura 4.a).

SNC m2 p * DNC2/4, area della sezione della tubazione.

cNC 8*lturb,NC LNC/(g*p2*DNC5), avendo posto JNC LNC = cNC*QA-B,1

2, dove cNC raggruppa le costanti e variabili note.

lturb,CB 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*DNC ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione relativa alla figura 4.a).

SCB m2 p * DCB2/4, area della sezione della tubazione.

cCB 8*lturb,CB LCB/(g*p2*DCB5), avendo posto JCB LCB = cCB*QA-B,1

2, dove cCB raggruppa le costanti e variabili note

Equazione del moto: DYA-B = JANLAN + JNCLNC + JCBLCB = ( cAB + cAB + cAB ) QA-B,12

QA-B,1 m3/s (DHA-B,1 / (c1+c2+c3))1/2, portata circolante.

vAN QA-B,1 / SAN, velocità in condotta.

vNC QA-B,1 / SNC, velocità in condotta.

vCB QA-B,1 / SCB, velocità in condotta.

ReAN VA-B,1 D / n, numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody:

ReNC

ReCB

Conviene costruire lo schema numerico iterando sulla portata di tentativo QA-B,1; è possibile in questo modo ricavare il numero di Re, l'indice di

resistenza l e la cadente J per ciascuna condotta. Il controllo si effettua constatando che la perdita di carico continua totale risulti pari alla differenza di

quota geotedica YA - YB tra i due serbatoi.

QA-B,1,tent m3/s portata di tentativo. Il primo valore viene attribuito sulla base di una velocità di tentativo

min{Rek}

ReC-W,A-N,1 4 Q / (p DAN n), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante.

lC-W,A-N,1

F(lC-W,A-N,1)

cC-W,A-N,1 s2/m6

JA-N, tent cC-W,A-N, * QA-B,12, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

ReC-W,N-C,1 4 Q / (p DNC n), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante.

lC-W,N-C,1

F(lC-W,N-C,1)

cC-W,N-C,1 s2/m6

JN-C, tent cC-W,N-C, * QA-B,12, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

ReC-W,C-B,1 4 Q / (p DCB n), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante.

lC-W,C-B,1

F(lC-W,C-B,1)

cC-W,C-B,1 s2/m6

JC-B, tent cC-W,C-B, * QA-B,12, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

lm,1

Dm,1

cm,1 s2/m6

Ltot

DYA-B

S Jk Lk, tent

DQ m3/s

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

0.059264 m deve diminuire in modulo affinché lo schema risulti convergente).

Macro: "Idrodinamica_Es10_Calcola_Q0"

L'algoritmo ha trovato una soluzione.

Si confrontino i risultati delle due procedure (B911 e B924).

La procedura 2 è molto sensibile ai diametri delle tubazioni. Valori molto differenti tra loro possono non restituire la soluzione.

Esercizio 11 8-Jan-09 esame Civili Edile Architettura

rivestimento bituminoso a spessore.

L’allievo, determini:

- l’andamento delle piezometriche per i due schemi.

120 + = m s.l.m. 300 + = m s.l.m.

seconda cifra della matricola * 2 prima cifra della matricola * 2

200 + = m s.l.m. 1000 + = m

prima cifra della matricola * 2 terza cifra della matricola * 20

800 + = m 2000 + = m


215 + = mm 315 + = mm


55 + = l/s 1000 + = m

seconda cifra della matricola * 2 prima cifra della matricola * 20


2

9

5

g 9.81

n 0.000001006

138 m

204 m

304 m

233 mm 0.233 m

900 m

333 mm 0.333 m

2100 m

1040 m

1100 m

Q 59.5 l/s 0.0595

nuovo tronco, in maniera tale che in esso circoli metà della nuova portata a servizio del serbatoio B.


0.0002 m

Schema 4.a

F(DYA-B-SJkLk,tent)

Nell’impianto di sollevamento rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata Q da un

serbatoio A a quota YA, tramite una successione di due condotte con diversi anni di esercizio in acciao con

Successivamente (figura 4.b) si intende triplicare la portata a servizio del serbatoio B. A tal fine, metà della nuova

portata verrà resa disponibile da un nuovo serbatoio posto a a quota YC.

- la potenza teorica Pa della pompa per lo schema riportato in figura 4.a;

- il diametro D3 da assegnare al nuovo tronco in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore di lunghezza L3 e

la nuova potenza teorica Pb per lo schema riportato in figura 4.b;

YA = YC =

YB = L4 =

L1 = L2 =

D1 = D2 =

Q0 = L3 =

m/s2

m2/s

YA

YB

YC

D1

L1

D2

L2

L3

L4

m3/s

Il quesito consiste nel determinare la potenza teorica della pompa per le due condizioni di funzionamento descritte ed il diametro D3 per il

0.00086 - scabrezza relativa della tubazione 1


0.043

0.087

1.40 m/s

0.68 m/s

323201.36 -

226143.90 -


0.019 -



0.017 -



0.008 -

7.25 m perdita di carico continua sul tratto 1

0.001 -


75.86 m Dall'equazione del moto eta 0.65 -

44.28 kW 68.12 kW


0.020 -

-0.02400 - Macro: "Idrodinamica_Es11_Calcola_lambda"

2.41

0.0085 -


0.019 -

-0.01682 -

0.39

0.0014 -


76.56 m Dall'equazione del moto eta 0.68 -

44.69 kW 65.72 kW

Schema 4.b

0.179

0.089

0.089

2.09 m/s

1.02 m/s

2.05 m/s

484802.04 -

339215.84 -

678431.69 -


0.0181 -

16.31 m perdita di carico continua sul tratto compreso tra A e monte della pompa.

0.0028 -

2.80 m perdita di carico continua sul tratto compreso tra valle della pompa ed N.

0.0112 -

12.30 m perdita di carico continua su N - B.

e/D1

e/D2

SD1 m2 p * D12/4, area della sezione della tubazione 1


vp1 Q / SD1, velocità in condotta 1.


Re1 vp1 D1 / n, numero di Reynolds per la tubazione 1


lturb,1 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D1 ) ] }2, indice di resistenza calcolato con la formula di Prandtl (si verifichi l'ipotesi di partenza


J1 8*lturb,1 Q2/(g*p2*D15), formula di Darcy - Weisbach

J1 L1


J2 L2

Equazione del moto tra A e B: YA - J1L1 + DHman,a - J2L2 = YB

Dhman,a

Pa 9.81 *Q * DHman,a, potenza teorica Pr

lC-W,1

F(lC-W,1)

cC-W,1 s2/m6

J1 cC-W,1 * Q2, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

J1 L1

lC-W,2

F(lC-W,2)

cC-W,2 s2/m6


J2 L2

Equazione del moto tra A e B: YA - J1L1 + DHman,a - J2L2 = YB

Dhman,a

Pa 9.81 *Q * DHman,a, potenza teorica Pr

QNB m3/s 3Q, nuovo valore di portata richiesto a servizio del serbatoio B.

QAN m3/s 3Q / 2, nuova portata circolante da A verso N.

QCN m3/s 3Q / 2, nuova portata circolante da C verso N.

vpAP QAN / SD1, velocità in condotta sul tratto A - P.

vpPN QAN / SD2, velocità in condotta sul tratto P - N.

vpNB 3Q / SD2, velocità in condotta sul tratto N - B.

ReAP vpAP D1 / n, numero di Reynolds per il tratto A - P.

RePN vpPN D2 / n, numero di Reynolds per il tratto P - N.

ReNB vpNB D2 / n, numero di Reynolds per il tratto N - B.

JAP 8*lturb,1 QAN2/(g*p2*D1

5), perdita di carico continua per unità di lunghezza da A a monte della pompa.

JAP L1

JPN 8*lturb,2 QAN2/(g*p2*D2

5), perdita di carico continua per unità di lunghezza da P ad N.

JPN (L2 - L4)

JNB 8*lturb,2 QNB2/(g*p2*D2

5), perdita di carico continua per unità di lunghezza da C a N.

JNB L4

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

216.30 m

97.40 m Dall'equazione del moto

85.28 kW


0.020 -

-0.02581 - Macro: "Idrodinamica_Es11_Calcola_lambda"

2.37

0.0189 -


0.019 -

-0.01789 -

0.38

0.0030 -

3.00 m perdita di carico continua sul tratto compreso tra valle della pompa ed N.

0.018 -

-0.01925 -

0.37

0.0117 -

12.82 m perdita di carico continua su N - B.

216.82 m


86.55 kW

FINE PROCEDURA 2.


Formula empirica:

0.05 mm valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e


0.0843 -

0.015 -

0.163 m





0.012

7.27 m/s

903671.01 -

0.024

3.71 m/s

645479.29 -

0.017 -

0.016 -




YN YB +JNB*L4, quota piezometrica del nodo N.

Equazione del moto tra A ed N: YA - JAPL1 + Dhman,b - JPN (L2 - L4) = YN

Dhman,b

Pa 9.81 *QAN * DHman,b, nuova potenza teorica

lC-W,A-P

F(lC-W,A-P)

cC-W,A-P s2/m6

JAP cC-W,A-N * QAN2, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

JAP L1

lC-W,P-N

F(lC-W,P-N)

cC-W,P-N s2/m6

JPN cC-W,P-N * QAN2, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

JPN (L2 - L4)

lC-W,N-B

F(lC-W,N-B)

cC-W,N-B s2/m6

JNB cC-W,P-N * QAN2, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

JNB L4

YN YB +JNB*L4, quota piezometrica del nodo N.

Equazione del moto tra A ed N: YA - JAPL1 + Dhman,b - JPN (L2 - L4) = YN

Dhman,b

Pa 9.81 *QAN * DHman,b, nuova potenza teorica

eN

JC-N ( YA-YB ) / L, cadente piezometrica teorica.

lemp indice di resistenza calcolato con la formula di cui sopra, dove J = JC-N, Q = QC-N, e = eN.

Dt [8 * lemp * QC-N2 /( g *p2 * JC-N)]1/5, diametro teorico da formula empirica.

Dcomm,3-1

Dcomm,3-2

e / Dcomm,3-1

e / Dcomm,3-2

SD,3-1 m2 p * Dcomm,3-12 / 4, area della sezione della tubazione.

v3-1 QC-N / SD,3-1, velocità in condotta.

Re3-1 v3-1 Dcomm,3-1 / n, numero di Reynolds per condotta.


v3-2 QC-N / SD,3-2, velocità in condotta.




l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC


1 1 1040 m 71.94 m

0.3583 0.0640 87.70 m 968.06 m

1040 prova

Esercizio 12 29-Jan-09 esame Civili Edile Architettura

condotta di polietilene ad alta densità PE 80. L’allievo progetti i diametri da assegnare.

100 + = m s.l.m.


150 + = m s.l.m.


2000 + = m


145 + = mm


70 + = km



0

1

6

g 9.81

n 0.000001006

Q 35 l/s 0.035

112 m

30 m

L 1920 m

nota.

Serie relativa

Spess

75 4.5 70.5 0.0705

90 5.4 84.6 0.0846

110 6.6 103.4 0.1034

125 7.4 117.6 0.1176

140 8.3 131.7 0.1317

160 9.5 150.5 0.1505

180 10.7 169.3 0.1693

200 11.9 188.1 0.1881

225 13.4 211.6 0.2116

250 14.8 235.2 0.2352

280 16.6 263.4 0.2634


Formula empirica:

Nel sistema di adduzione rappresentato in figura si intende convogliare una certa portata Q0 da un

serbatoio A a quota geometrica YA, ad un serbatoio B posta a quota geometrica YB tramite una

YA =

YB =

L =

D =

Q0 =

m/s2

m2/s

m3/s

YA

YB

Il quesito consiste nel determinare il o i diametri commerciali da assegnare alla tubazione sopra descritta.Tali diametri verranno scelti da una serie

Dest Dint Dint [m]



0.0427 -

0.015 -

0.128 m


0.14 m diametro commerciale superiore scelto da una serie.



0.010

3.68 m/s

402705.44 -

0.015

2.27 m/s

316411.42 -

0.016 -

0.016 -





1 1 1920 369.16

0.0981 0.0295 82.00 1550.84

1920 prova

Esercizio 13 A 29-Jan-09 prova Derivazione concentrata: Unico diametro Civili Edile Architettura

concentrata. L’allievo determini le portate circolanti nei due tronchi di tubazione.

q = k * (5 + ) = l/s


D = 150 + = mm


200 + = m s.l.m.


150 + = m s.l.m.


L = 2000 + = m


700 + = m



2

3

6

g 9.81

n 0.000001006

q 6.5 l/s 0.0065

eN

JA-B ( YA-YB ) / L, cadente piezometrica teorica.

lemp indice di resistenza calcolato con la formula di cui sopra, dove J = JC-N, Q = QC-N, e = eN.

Dt [8 * lemp * Q2 /( g *p2 * JA-B)]1/5, diametro teorico da formula empirica.

Dcomm,1

Dcomm,2

e / Dcomm,1

e / Dcomm,2

SD,1 m2 p * Dcomm,12/4, area della sezione della tubazione.

v1 Q / SD,1, velocità in condotta.

Re1 v1 Dcomm,1 / n, numero di Reynolds per condotta.






Lungo la condotta in ghisa sferoidale di diametro D e scabrezza e rappresentata in figura è presente una derivazione

YA =

YB =

LAN =

m/s2

m2/s

m3/s

k 1 coeff. molt. di q

D 156 mm 0.156 m

212 m 88 m

124 m J* 0.1158 -

L 2060 m 0.015 -

760 m q* 0.092

corrisponderà ad uno solo dei due casi esposti.

Equazione risolutiva:




0.019

0.015 -

calcolato con la formula di Prandtl. Occorre verificare a posteriori il regime di movimento

I calcoli precedenti torneranno utili anche nel seguito della procedura 1, se l'ipotesi formulata non è soddisfatta

Termini dell'equazione quadratica

A 27885.20

B -228.767

C -87.257

0.060

3.1

0.054

2.81

Prova

0.05 - cadente sul tronco di monte. 0.0390 -

174.73 m 174.73 m

Re 488334.68 -

verifica dell'ipotesi sul moto soddisfatta: il serbatoio B riceve; non si faccia riferimento ai calcoli nella sezione seguente


A -7309.71

B 228.767

C -88.743

YA DYAB

YB

l

LAN m3/s

Il quesito consiste nel determinare le portate circolanti nei tronchi A - N e N - B sulla base dell'applicazione dell'equazione del moto tra A e B;

L'equazione assume diversa forma, così come l'equazione di continuità, in dipendenza dell'ipotesi assunta sulla quota piezometrica al nodo

interno N. Nel seguito verrà illustrato il procedimento sia nell'ipotesi di YN >= di YB, sia nell'ipotesi YN < di YB; la soluzione corretta

Il lettore tenga presente che può evitare la formulazione dell'ipotesi (YN >= di YB oppure YN < di YB) valutando la portata q* che si

avrebbe in assenza di contributo da parte del serbatoio B. Se q <= q* allora YN >= YB altrimenti YN < YB .

JA-N (Q,lA-N,D) LA-N + JN-B((Q-q),lN-B,D) LN-B = YA - Y B per YN >= YB

JA-N (Q,lA-N,D) LA-N - JN-B((q-Q),lN-B,D) LN-B = YA - Y B per YN < YB

PROCEDURA 1. Ipotesi: moto assolutamente turbolento (soluzione analitica)

Ipotesi: Y N >= Y B

JA-N (Q,e,D) LA-N + JN-B((Q-q),e,D) LN-B = YA - Y B

e/D

SD m2 p * D2/4, area della sezione delle tubazioni.

l A-N = l N-B 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza per ciascuna delle due tubazioni

Qm m3/s

vm m/s

Qv m3/s

vv m/s

Verifica su YN (segno +) e su Re (moto ass. turbolento)

JA-N JN-B

YN YA - JA-N LA-N, quota piezometrica sul nodo di derivazione. YN

4 Q / (p D n), numero di Re da diametro e portata circolante.

Ipotesi: Y N < Y B

JA-N (Q,e,D) LA-N - JN-B((q-Q),e,D) LN-B = YA - Y B

BA2

52BNBN2

52NANA YYqQ

Dg

L8Q

Dg

L8

p

l

p

l

LDg

8LL

Dg

852

NABNNA52

NA

p

l

p

l

qDg

L82

52BNBN

p

l

BA2

52BNBN YYq

Dg

L8

p

l

252

NA QDg

8

p

l

BA2

52BNBN2

52NANA YYQq

Dg

L8Q

Dg

L8

p

l

p

l

BA2

52BNBN YYq

Dg

L8

p

l

qDg

L82

52BNBN

p

l

BNNA52NA LLDg

8

p

l

#NUM!

#NUM!

#NUM!

#NUM!

Prova

#NUM! - cadente sul tronco di monte. #NUM! -

#NUM! m #NUM! m

Re #NUM! -

verifica dell'ipotesi sul moto non soddisfatta: il serbatoio B riceve; si faccia riferimento ai calcoli nella sezione precedente

174.73 0.0490 0.0390 0.01572 0.01579 14.06 14.12 0.0591 0.0526 -0.00001

3.09 2.75

479128.96 426485.28

Macro: "Idrodinamica_Es13_Calcola_Q_erogazione_conc_D_unico"

Si confrontino le portate ottenute con le due procedure esposte.

Esercizio 13 BIS 5-Feb-09 esame Immissione concentrata: Unico diametro Civili Edile Architettura

q = k * ( 5 + ) = l/s


D = 180 + = mm


L = 1500 + = m


500 + = m


200 + = m s.l.m.


150 + = m s.l.m.



4

5

1

g 9.81

n 0.000001006

q 68 l/s 0.068

k 1 - coeff. Molt. Di q

190 mm 0.19 m

190 mm 0.19 m

L 1520 m 82 m

580 m J* 0.0872 -

210 m 0.020 -

128 m q* 0.115

Qm m3/s

vm m/s

Qv m3/s

vv m/s

Verifica su YN (segno -) e su Re (moto ass. turbolento)

JA-N JN-B


4 Q / (p D n), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante.

PROCEDURA 2. Applicazione di una formulazione empirica per gli indici di resistenza

YN J1 J2 lEMP,1 lEMP,2 cEMP,1 cEMP,2 Q1 Q2 DQ

v1 v2

Re1 Re2

Lungo la condotta in ghisa sferoidale di diametro D e scabrezza e rappresentata in figura è presente

una derivazione concentrata. L’allievo determini le portate circolanti nei due tronchi di tubazione.

LAN =

YA =

YB =

m/s2

m2/s

m3/s

D1

D2

DYAB

LAN

YA l

YB m3/s

252

NA QDg

8

p

l

assolutamente turbolento, verificandola a posteriori tramite il controllo su Re, in modo da risolvere l'equazione del moto derivante.


+

-



0.00105 - scabrezza relativa della tubazione 1.


0.028

0.028

0.020 -

calcolato con la formula di Prandtl. Occorre verificare a posteriori il regime di movimento.

0.020 -


I calcoli precedenti torneranno utili anche nel seguito della procedura 1, se l'ipotesi formulata non è soddisfatta


A 2386.20

B -847.365

C -53.190

-0.054 portata sul tronco A - N -0.054 I radice

-1.9 velocità sul tronco A - N 0.410 II radice

0.122 portata sul tronco N - B

4.32 velocità sul tronco N - B

Prova

0.02 - cadente sul tronco di monte 0.10 -

221.39 m 221.39 m

Re -362562.78 -

verifica dell'ipotesi sul moto non soddisfatta: il serbatoio A fornisce; si faccia riferimento ai calcoli seguenti


A 10075.05

B 847.365

C -53.190

0.0419

1.478 m/s

0.1099

3.876 m/s

Prova


Il quesito consiste nel determinare la portate circolanti nel tronco A - N e nel tronco N - B; nel seguito si formulerà l'ipotesi di moto

Ancora, si può evitare la formulazione dell'ipotesi (YN >= di YA oppure YN < di YA) valutando la portata q* che si

avrebbe in assenza di contributo da parte del serbatoio A. Se q <= q* allora YN <= YA altrimenti YN > YA .

-JA-N (Q,lA-N,D1) LA-N + JN-B((q-Q),lN-B,D2) LN-B = YA - YB per YN >= YA

JA-N (Q,lA-N,D1) LA-N + JN-B((q+Q),lN-B,D2) LN-B = YA - YB per YN < YA


Ipotesi: Y N >= Y A

-JA-N (Q,e,D1) LA-N + JN-B((Q-q),e,D2) LN-B = YA - YB

e / D1

e / D2

SD1 m2 p * D2/4, area della sezione della tubazione 1.


lA-N 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D1 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione di monte

lN-B 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D2 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione di valle

Qm m3/s

vm m/s

Qv m3/s

vv m/s


JA-N JN-B


4 Q / (p D1 n), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante.

Ipotesi: Y N< Y A

JA-N (Q,e,D) LA-N + JN-B((q+Q),e,D) LN-B = YA - YB

Qm m3/s

vm

Qv m3/s

vv


JA-N JN-B

BA2

52

2BNBN2

51

2NANA YYQq

Dg

L8Q

Dg

L8

p

l

p

l

252

NA QDg

8

p

l

51

2NANA

52

2BNBN

Dg

L8

Dg

L8

p

l

p

l

qDg

L82

52

2BNBN

p

l

BA2

52

2BNBN YYq

Dg

L8

p

l

252

NA QDg

8

p

l

qDg

L82

52BNBN

p

l

BA2

52BNBN2

52NANA YYQq

Dg

L8Q

Dg

L8

p

l

p

l

LDg

8LL

Dg

852

NABNNA52

NA

p

l

p

l

BA2

52BNBN YYq

Dg

L8

p

l

203.25 m 203.25 m

Re 279096.88 -

verifica dell'ipotesi sul moto soddisfatta: il serbatoio A riceve; si faccia riferimento ai calcoli della precedente sezione

203.25 0.0116 0.0801 0.02029 0.02003 6.77 6.68 0.0415 0.1094 0.00001

1.46 3.86

276161.22 729050.60

Macro: "Idrodinamica_Es13bis_Calcola_Q_immissione_conc_D_unico"


Esercizio 14 A 6-Feb-09 esame Immissione concentrata: Concepito con diametri distinti Civili Edile Architettura

q = k * ( 5 + ) = l/s


180 + = mm


180 + = mm


1500 + = m


500 + = m


200 + = m s.l.m.


150 + = m s.l.m.



2

3

6

g 9.81

n 0.000001006

q 30 l/s 0.030

k 5 - coeff. Molt. Di q

156 mm 0.156 m

186 mm 0.186 m

L 1620 m 52 m

540 m J* 0.0481 -

206 m 0.020 -

154 m q* 0.081





v1 v2

Re1 Re2

La condotta in ghisa sferoidale rappresentata in figura è costituita da due tronchi di diametro D1 e D2. Lungo il

percorso è presente una immissione concentrata. L’allievo determini le portate circolanti nei due tronchi di tubazione.

D1 =

D2 =

L =

LAN =

YA =

YB =

m/s2

m2/s

m3/s

D1

D2

DYAB

LAN

YA l

YB m3/s

252

NA QDg

8

p

l

corrisponderà ad uno solo dei due casi esposti.

q* 0.081


+

-


0.0002 m stato di conservazione della parete interna



0.019

0.027

0.021 -


0.020 -


I calcoli precedenti torneranno utili anche nel seguito, se l'ipotesi formulata non è soddisfatta.


A -2069.33

B -480.228

C -44.797

#NUM! portata sul tronco A - N

#NUM! velocità sul tronco A - N

#NUM! portata sul tronco N - B

#NUM! velocità sul tronco N - B

Prova

#NUM! - cadente sul tronco di monte #NUM! -

#NUM! m #NUM! m

Re #NUM! -

#NUM!


A 18076.93 solo per diametri uguali

B 480.228

C -44.797

0.0382 portata sul tronco A - N

2.00 m/s velocità sul tronco A - N

0.0682 portata sul tronco N - B

2.51 m/s velocità sul tronco N - B

Il quesito consiste nel determinare le portate circolanti nei tronchi A - N e N - B sulla base dell'applicazione dell'equazione del moto tra A e B;

L'equazione assume diversa forma, così come l'equazione di continuità, in dipendenza dell'ipotesi assunta sulla quota piezometrica al nodo

interno N. Nel seguito verrà illustrato il procedimento sia nell'ipotesi di YN >= di YA, sia nell'ipotesi YN < di YA; la soluzione corretta

Ancora, si può evitare la formulazione dell'ipotesi (YN >= di YA oppure YN < di YA) valutando la portata q* che si

avrebbe in assenza di contributo da parte del serbatoio A. Se q <= q* allora YN <= YA altrimenti allora YN > YA .

m3/s

-JA-N (Q,lA-N,D1) LA-N + JN-B((q-Q),lN-B,D2) LN-B = YA - YB per YN >= YA

JA-N (Q,lA-N,D1) LA-N + JN-B((q+Q),lN-B,D2) LN-B = YA - YB per YN < YA


Ipotesi: Y N >= Y A

-JA-N (Q,e,D1) LA-N + JN-B((Q-q),e,D2) LN-B = YA - YB

e / D1

e / D2



lA-N 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D1 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione di monte

lN-B 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D2 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione di valle

QA-N m3/s

vA-N m/s

QN-B m3/s

vN-B m/s


JA-N JN-B


4 Q / (p D1 n), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante

Ipotesi: Y N< Y B

JA-N (Q,e,D1) LA-N + JN-B((q+Q),e,D2) LN-B = YA - YB

QA-N m3/s

vA-N

QN-B m3/s

vN-B


LDg

852

NA

p

l

BA2

52

2BNBN2

51

2NANA YYQq

Dg

L8Q

Dg

L8

p

l

p

l

252

NA QDg

8

p

l

51

2NANA

52

2BNBN

Dg

L8

Dg

L8

p

l

p

l

qDg

L82

52

2BNBN

p

l

BA2

52

2BNBN YYq

Dg

L8

p

l

BA2

52

2BNBN2

51

2NANA YYQq

Dg

L8Q

Dg

L8

p

l

p

l

qDg

L82

52

2BNBN

p

l

BA2

52

2BNBN YYq

Dg

L8

p

l

251

2NA QDg

8

p

l

BN52

2BN

NA51

2NA L

Dg

8L

Dg

8

p

l

p

l

Prova


191.27 m 247.81 m

Re 310240.28 -

verifica dell'ipotesi sul moto soddisfatta: il serbatoio A fornisce; non si faccia riferimento ai calcoli precedenti

194.41 0.0215 0.0374 0.02123 0.02021 18.99 7.50 0.0336 0.0706 -0.00700

1.76 2.60

272807.32 480552.48

Macro: "Idrodinamica_Es14_Calcola_Q_immissione_conc_D_distinti"


Esercizio 15 26-Mar-09 esame Civili Edile Architettura

collegati da una nuova condotta in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore di diametro D. L’allievo determini:

- la potenza reale di una pompa installata subito a valle del serbatoio A, affinché venga convogliata la portata Q;

- la piezometrica per le due condizioni esposte.

100 + = m s.l.m.


150 + = m s.l.m.


2000 + = m


145 + = mm


70 + = km



2

6

6

g 9.81

n 0.000001006

D 197 mm 0.197 m

Q 36 l/s 0.036

L 2120 m

104 m

212 m

piezometriche minori. Infine si richiede il tracciamento delle piezometriche per le due condizioni esposte.

JA-N JA-N





v1 v2

Re1 Re2

Nel sistema di adduzione rappresentato in figura, il serbatoio a pelo libero B posto a quota zB riceve una certa

portata Q da un serbatoio A posto a quota zA, con pressione dell’aeriforme pari a 3 atm relative. I due serbatoi sono

- la portata Qsp senza la pompa, specificando il verso;

YA =

YB =

L =

D =

Q =

m/s2

m2/s

m3/s

zA

zB

Il quesito consiste di due parti: nella prima si chiede quale deve essere la potenza della pompa, necessaria per il sollevamento della portata Q;

nella seconda invece si chiede la portata circolante nella condotta senza la pompa. Nell'ultimo caso occorre valutare le quote piezometriche dei

due serbatoi, per poter stabilire il verso della portata. Si ricorda infatti che i fluidi muovono da quote piezometriche maggiori a quote

251

2NA QDg

8

p

l

1. Schema con pompa

eta-pompa 0.65 - valore scelto per il rendimento della pompa


0.00005 m stato di usura.

0.00025 - scabrezza relativa delle tubazioni

0.030

1.18 m/s

Re 231285.50 -

0.014 -



4.01

0.0052 -


88.45 m

si noti che il serbatoio in pressione è stato reinterpretato come un serbatoio a superficie libera,

109.46 kW

0.017 -


4.77

0.0062 -


90.12 m

si noti che il serbatoio in pressione è stato reinterpretato come un serbatoio a superficie libera,

48.96 kW

3*10.33m

2. Schema senza pompa

0.04 m

0.095

3.12 m/s

611292.32 -

0.015 -

e / DSD m2 p * D2/4, area della sezione trasversale della tubazione.

vp Q/SD, velocità in condotta.

vp D / n, numero di Reynolds per la condotta; necessario per il tipo di movimento.



cturb s2/m6 8*lturb/(g*p2*D5), avendo posto JA-B,0 = cturb*Q2, dove c raggruppa le costanti e variabili note.

JA-B,1 cturb Q2, cadente piezometrica.

JA-B,1 LDHm zB + JA-B,1 L - (ZA + 3*10.33), prevalenza manometrica della pompa.

posto ad una quota geometrica pari a zA + 3 * 10.33m. Si ricorda che 1atm = 10.33m in colonna d'acqua

Pr 9,81 *Q * DHm / eta_pompa, potenza reale, spesa dalla pompa.


lC-W,1

F(lC-W,1)

cC-W,1 s2/m6

JA-B,1 cC-W,1 * Q2, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

JA-B,1 LDHm zB + JA-B,1 L - (zA + 3*10,33), prevalenza manometrica della pompa.

posto ad una quota geometrica pari a zA + 3 * 10.33m. Si ricorda che 1atm = 10,33m in colonna d'acqua

Pr 9,81 *Q * DHm / eta_pompa, potenza reale, spesa dalla pompa.

JA-B,1

DHm

PCIRA

Poiché risulta zA + 3 * 10.33 < zB, in assenza della pompa il fluido muoverà da B verso A. La piezometrica che ne deriva è di seguito illustrata:

JA-B,2 [ZB - (ZA + 3*10,33)] / L, prevalenza manometrica della pompa.


QA-B,2 m3/s (JA-B,2 / cturb)1/2, portata circolante.

vA-B,2 QA-B,2 / SD, velocità in condotta.

ReA-B,2 vA-B,2 D / n, numero di Reynolds per condotta; occorre constatare che il regime di moto risulti assolutamente

turbolento. In alternativa bisogna impiegare una legge di resistenza alternativa (PROCEDURA 2) o la formulazione

completa di Colebrook - White (PROCEDURA 3).


lemp,2

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

4.17

0.093

3.06 m/s

0.016 -



590079.10 - L'algoritmo ha trovato una radice per

l'espressione completa di Colebrook - White.


0.092

0.037 -

0.0006 -

3*10.33m

Si confrontino i valori di portata calcolati con le 2 procedure proposte per lo schema con pompa

ed i valori di portata calcolati con le 3 procedure proposte per lo schema senza pompa

Esercizio 16 14-May-09 esame Civili Edile Architettura

D = 185 + = mm


L = 2000 + = m


200 + = m s.l.m.


100 + = m s.l.m.



3

2

8

g 9.81

n 0.000001006

D 189 mm 0.189 m

L 2160 m

206 m

104 m

cemp,2 s2/m6 8*lemp,2/(g*p2*D5), avendo posto JA-B,2 = cemp,2*Q2, dove cemp,2 raggruppa le costanti e variabili note.

QA-B,2 m3/s (JA-B,2 / cturb)1/2, portata circolante.

vA-B,2 QA-B,2 / SD, velocità in condotta.



cC-W,2 s2/m6

Re2

QA-B,2 m3/s (p D Re2 n / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.

JA-B,2 di tent cC-W,2 * QA-B,22, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

F(JA-B,2 di tent) JA-B - JA-B, di tent, l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione.

PCIRA

Nel sistema di adduzione rappresentato in figura, una condotta in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore di

diametro D con diversi anni di esercizio collega rispettivamente il serbatoio A posto a quota YA con il serbatoio B

a quota YB. Al termine della condotta è presente una valvola capace di indurre una perdita di carico concentrata pari

a a V2/2g. L’allievo determini le portate circolanti per le seguenti condizioni:

- a = 0;

- a = 100;

- a tendente ad infinito.

YA =

YB =

m/s2

m2/s

YA

YB

JA-B,1JA-B,1JA-B,1JA-B,2

el l

D715,3

110

51,2

2

1

102 m

ovvero



0.00042 - scabrezza relativa della tubazione.

0.028

0.016 -


0 Q = 0.093

V = 3.30 m/s

J = 0.047 -

Verifica sul numero di Re

Re 620027.03 -

assolutamente turbolento. In alternativa bisogna impiegare una legge di resistenza alternativa.

100 Q = 0.075

V = 2.66 m/s

J = 0.031 -

35.95 m


Re 498944.83 -


¥ Q = 0.000

V = 0.00 m/s

J = 0.000 -

102.00 m


Re 0.00 - fluido in quiete

DYAB

Il quesito consiste nel determinare la portata Q circolante in condotta per tre differenti aperture della valvola ubicata al termine della stessa:

1. a = 0, ovvero valvola completamente aperta; 2. a = 100, ovvero valvola parzialmente chiusa; a → ¥, ovvero valvola chiusa. Si procede

pertanto alla scrittura dell'equazione del moto (Bernoulli tra A e B), specificando la portata in funzione di a.


Sotto questa ipotesi, l'indice di resistenza l resta una funzione della sola scabrezza relativa e/D. Consegue l'espressione della portata:

e / D


lturb 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione

a = m3/s

4 Q / n p D, numero di Reynolds per la tubazione; occorre constatare che il regime di moto risulti

a = m3/s


a → m3/s


J

J

J

J

JJ

2/1

4252

BA

Dg2

16

Dg

L8

YYQ

p

a

p

l

ag2

V 2

ag2

V 2

BA

22

52YY

g2

VQ

Dg

LDRe,8a

p

el BA42

22

52YY

Dg2

Q16Q

Dg

LDRe,8

p

ap

el

0.017 -



Re 603158.55 - L'algoritmo ha trovato una radice per



Q 0.090

0.047 -

102.000

0.0000 m

0.017 -






Q 0.073

0.031 -

102.000 da equazione completa del moto

0.0000 m

Q 0.000

Si confrontino i valori di portata calcolati con le 2 procedure proposte

Esercizio 17 11-Jun-09 esame Civili Edile Architettura

acciaio con rivestimento bituminoso a spessore di diametro D e con diversi anni di esercizio. L'allievo determini:

portata concentrata q;

- la piezometrica per il sistema in esame.

215 + = mm


q = 35 + = l/s


1000 + = m


2000 + = m


210 + = m s.l.m.


L'equazione del moto va in questo caso risolta per tentativi, poiché implicita nella portata. Segue lo schema per a=0 ed a=100:

2.1. a=0.


cC-W s2/m6

m3/s (p D Re n / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.

Jtent cC-W * Q2, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

DYA-B,tent m

F(DYtent) DYA-B - DYA-B, di tent, l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione.

2.2. a=100.


cC-W s2/m6

m3/s (p D Re n / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.


DYA-B,tent m


2.3. a →¥

m3/s

Nel sistema di adduzione rappresentato in figura, una certa portata q viene prelevata dal nodo N lungo la condotta in

- il diametro DNB da assegnare al nuovo tronco di valle NB affinché la portata a servizio del serbatoio B sia pari ad 1/3

D =

LAN =

L =

YA =

el l

D715,3

110

51,2

2

1

el l

D715,3

110

51,2

2

1

100 + = m s.l.m.



2

8

9

g 9.81

n 0.000001006

D 191 mm 0.191 m

q 35.4 l/s 0.0354

1180 m

L 2180 m

212 m

188 m

e 0.2 mm valore scelto per la scabrezza della tubazioni sul tronco AN, scelto sulla base del tipo di materiale e


0.00105 - scabrezza relativa della tubazione AN.

0.029

0.047

1.65 m/s

312766.89 -

0.05 mm valore scelto per la scabrezza della nuove tubazioni sul tronco NB, scelto sulla base del tipo di materiale e


0.012

0.020 -


6.45

0.0144 -

195.05 m

0.0070 -

0.018 -

0.125





0.008

1.50 m/s

149346.19 -

0.018

0.67 m/s

99564.13 -

0.017 -

0.015 -


1 1 1000 m 280.52 m

0.0192 0.0023 7.05 m 719.48 m

YB =

m/s2

m2/s

m3/s

LAN

YA

YB

Il quesito consiste nel determinare il diametro DNB, da assegnare al tronco NB affinchè in esso circoli un terzo della portata erogata dal nodo

N. Dovendo quindi circolare sul tronco AN una portata pari a 4q/3 per l'equazione di continuità al nodo N, è possibile determinare ivi in

corrispondenza la piezometrica JAN; dunque la quota piezometrica al nodo N e quindi la piezometrica sul tronco NB, ovvero JNB; infine si

procede al calcolo del diametro teorico Dt,NB e quindi della coppia di diametri commerciali Dcomm,1 e Dcomm,2 da piazzare in serie sul tronco NB.

e / D


QAN m3/s 4 * q / 3, portata circolante sul tronco AN.

vAN QAN/SD, velocità nella condotta AN.

ReAN vAN D / n, numero di Reynolds per condotta; se > 105 i calcoli seguenti sono corretti.

eN

QNB m3/s q / 3, portata circolante sul tronco NB.

PROCEDURA 1. Ipotesi: moto assolutamente turbolento per i tronchi AN ed NB



cturb,AN s2/m6 8*lturb/(g*p2*D5), avendo posto JAN = cturb,AN*QAN2, dove cturb,AN raggruppa le costanti e variabili note.

JAN cturb,AN QAN2, cadente piezometrica sul tronco AN.

YN YA - JAN LAN, quota piezometrica sul nodo di derivazione.

JNB (YN - YB)/(L-LAN), cadente piezometrica sul tronco NB.

lemp indice di resistenza calcolato con la formula di resistenza empirica f(JNB,QNB).

Dt,NB [8 * lemp * QNB2 /( g *p2 * JNB)]1/5, diametro teorico da formula empirica.

Dcomm,1

Dcomm,2

eN/Dcomm,1

eN/Dcomm,2


v1 Q/SD,1, velocità in condotta.



v2 Q/SD,2, velocità in condotta.


lturb,NB,1 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*Dcomm,3-1 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione 1.

lturb,NB,2 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*Dcomm,3-2 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione 2.

JAN

JNB

1000 prova

0.021 -


6.74

0.0150 -

194.28 m

0.0063 -

0.018 -

0.128 m





0.008

1.50 m/s

149346.19 -

0.018

0.67 m/s

99564.13 -

0.017 -

0.018 -





1 1 1000 259.32

0.0193 0.0028 7.05 740.68

1000 prova


A, tramite una successione di due condotte in ghisa con diversi anni di esercizio.

del serbatoio B.

L'allievo determini:

- le portate circolanti e le piezometriche per i due schemi illustrati;

- la variazione di potenza reale della pompa.

140 + = m s.l.m.


200 + = m s.l.m.


245 + = mm


800 + = m


205 + = mm


2000 + = m


PROCEDURA 2. Formulazione completa per il tronco AN; formulazione empirica per il tronco NB

lC-W,AN

F(lC-W,AN)

cC-W,AN s2/m6

JAN cC-W,A-N * QAN2, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

YN YA - JAN LAN, quota piezometrica sul nodo di derivazione.



Dt,NB [8 * lemp * QNB2 /( g *p2 * JNB)]1/5, diametro teorico da formula empirica.

Dcomm,1

Dcomm,2

eN/Dcomm,1

eN/Dcomm,2










Successivamente (figura 4.b) si intende prelevare dal nodo N una portata q lasciando inalterata la portata a servizio

YA =

YB =

D1 =

L1 =

D2 =

L2 =

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

600 + = m


Q = 45+ = l/s

prima cifra della matricola * 0,5

q = 15 + = l/s



4

5

1

g 9.81

n 0.000001006

142.5 m

202 m

255 mm 0.255 m

820 m

215 mm 0.215 m

2020 m

680 m

1340 m

Q 0.047

q 15.25 l/s 0.01525

Il quesito consiste nel determinare le portate circolanti per i due schemi assegnati, le piezometriche e la variazione di potenza.

eta-pompa 0.7 valore scelto per il rendimento della pompa.



Condotta a monte della pompa

0.00078 - scabrezza relativa della tubazione di monte.

0.051

Condotta a valle della pompa

0.00093 - scabrezza relativa della tubazione di valle.

0.036

Schema 4.a


0.92 m/s

233275.87 -

0.019 -


1.42

0.0031 -

2.57 m perdita di carico tra il sebatoio A ed il punto immediatamente monte la pompa


1.29 m/s

276676.03 -

0.019 -


3.47

0.0077 -

Lm,2 =

m/s2

m2/s

YA

YB

D1

L1

D2

L2

Lm,2

Lv,2

m3/s

m3/s

e / D1

SD1 m2 p * D12/4, area della sezione della tubazione.

e / D2

SD2 m2 p * D22/4, area della sezione della tubazione.

PROCEDURA 1. Ipotesi: moto assolutamente turbolento per i tronchi 1 e 2.

v1 Q/SD1, velocità in condotta.

Re1 v1 D1 / n, numero di Reynolds per la tubazione di monte.

lturb,1 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza calcolato con la formula di Prandtl (si verifichi l'ipotesi di partenza


c1 s2/m6 8*lturb,1/(g*p2*D15), avendo posto J1 = c1*Q2, dove c1 raggruppa le costanti e variabili note.

J1 c1 Q2, cadente piezometrica.

J1 L1

v2 Q/SD2, velocità in condotta.

Re2 v2 D2 / n, numero di Reynolds per la tubazione di valle.

lturb,2 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza calcolato con la formula di Prandtl (si verifichi l'ipotesi di partenza


c2 s2/m68*lturb,2/(g*p2*D2

5), avendo posto J2 = c2*Q2, dove c2 raggruppa le costanti e variabili note.

J2 c2 Q2, cadente piezometrica.

15.47 m perdita di carico tra il punto immediatamente valle la pompa ed il serbatoio B.

77.54 m

51.07 kW


0.020 -


1.53

0.0034 -



0.020 -

0.00067 -

3.66

0.0081 -


78.61 m

51.78 kW

Schema 4.b

Condotta tra nodo N e serbatoio B

10.26 m

212.26 m

Condotta tra pompa e nodo N

0.06

0.013 -

9.14 m perdita di carico tra la pompa ed il nodo di derivazione N

221.40 m

Condotta tra serbatoio A e pompa

0.005 -


137.99 m

Calcolo della nuova prevalenza manometrica

83.40 m

Calcolo della nuova potenza

72.76 kW

Differenza di potenza tra i due schemi

21.69 kW

J2 L2

Dhma YB + J2 L2 - (YA - J1 L1), prevalenza manometrica della pompa.

Pr,a 9.81 *Q * DHma / eta_pompa, potenza reale, spesa dalla pompa.


lC-W,1

F(lC-W,1)

cC-W,1 s2/m6


J1 L1

lC-W,2

F(lC-W,2)

cC-W,2 s2/m6


J2 L2

Dhma YB + J2 L2 - (YA - J1 L1), prevalenza manometrica della pompa.

Pr,a 9.81 *Q * DHma / eta_pompa, potenza reale, spesa dalla pompa.

PROCEDURA 1. Ipotesi: moto assolutamente turbolento per i tronchi 1 e 2.

Jv,2 Lv,2 perdita di carico tra la derivazione ed il serbatoio B, dove Jv,2 = J2.

YN YB + Jv,2 L2, quota piezometrica del nodo N.

QmN m3/s Q + q, portata circolante a monte del nodo di derivazione N.

Jm,2 c2 QmN2, cadente piezometrica.

Jm,2 Lm,2

Ypv YN + Jm,2 Lm,2, quota piezometrica a valle della pompa.

Jn,1 c1 QmN2, cadente piezometrica.

Jn,1 L1

Ypm YA -Jn,1 L1, quota piezometrica a monte della pompa.

DHmb Ypv - Ypm, prevalenza manometrica della pompa.

Pr,b 9.81 *QmN * DHmb / eta_pompa, potenza reale, spesa dalla pompa.

Pr,b - Pr,a


J1

J2

Dhma

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

Condotta tra nodo N e serbatoio B

10.84 m

212.84 m

Condotta tra pompa e nodo N

0.06

1.71 m/s

366448.57 -

0.020 -


3.62

0.0140 -

9.54 m perdita di carico tra la pompa ed il nodo di derivazione N

222.38 m

Condotta tra serbatoio A e pompa

1.22 m/s

308966.44 -

0.020 -

0.00030 -

1.50

0.006 -


137.72 m

Calcolo della nuova prevalenza manometrica

84.65 m

Calcolo della nuova potenza

73.85 kW

Differenza di potenza tra i due schemi

22.07 kW

Esercizio 19 10-Sep-09 esame Civili Edile Architettura

posta a valle della condotta.

L’allievo, determini:

- la portata circolante per lo schema di figura 4.a;

- la perdita di carico concentrata per lo schema di figura 4.b;

- le piezometriche per i due schemi illustrati.

140 + = m s.l.m.


100 + = m s.l.m.


215 + = mm

Jv,2 Lv,2 perdita di carico tra la derivazione ed il serbatoio B, dove Jv,2 = J2.

YN YB + Jv,2 L2, quota piezometrica del nodo N.

QmN m3/s Q + q, portata circolante a monte del nodo di derivazione N.

vm,2 QmN/SD2, velocità in condotta.

Rem,2 vm,2 D2 / n, numero di Reynolds a monte del nodo di derivazione N.

lC-W,m,2

F(lC-W,m,2)

cC-W,m,2 s2/m6

Jm,2 cC-W,m,2 * QmN2, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

Jm,2 Lm,2

Ypv YN + Jm,2 Lm,2, quota piezometrica a valle della pompa.

vn,1 QmN/SD1, velocità in condotta.

Ren,1 vn,1 D1 / n, numero di Reynolds tra serbatoio A e pompa.

lC-W,n,1

F(lC-W,n,1)

cC-W,n,1 s2/m6

Jn,1 cC-W,n,1 QmN2, cadente piezometrica.

Jn,1 L1

Ypm YA - Jn,1 L1, quota piezometrica a monte della pompa.

DHmb Ypv - Ypm, prevalenza manometrica della pompa.

Pr,b 9,81 *QmN * DHmb / eta_pompa, potenza reale, spesa dalla pompa.

Pr,b - Pr,a

Nell’impianto di adduzione rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata Q da un

serbatoio A, a quota YA, tramite una condotta in ghisa con diversi anni di esercizio. Successivamente (figura 4.b) si

vuole dimezzare la portata Q0 a servizio del serbatoio B tramite una perdita di carico concentrata indotta da una valvola

YA =

YB =

D =

JV,2

Jm,2

Jn,1

Dhma

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC


4800 + = m



1

3

3

g 9.81

n 0.000001006

141.5 m

90.5 m

D 221 mm 0.221 m

L 4860 m

51 m

tra A e B), per i due schemi (si veda esercizio 16 per confronto).

e 1 mm valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e


0.00452 - scabrezza relativa della tubazione

0.038

Schema 4.a

L'equazione che regge il problema è la seguente:

1

2

0.029 -


0.048

1.24 m/s

0.0105 -


Re 273135.88 -


Macro: "Idrodinamica_Es19_Calcola_lambda"

L'equazione del moto va in questo caso risolta per tentativi, poiché implicita nella portata.

0.021 -

L =

m/s2

m2/s

YA

YB

DYAB

Il quesito consiste nel determinare la portata Q circolante iper la condotta semplice rappresentata in figura 4.a) e la perdita di carico concentrata

necessaria per lo schema di figura 4.b, affinchè la portata risulti pari a Q0 / 2. Si procede pertanto alla scrittura dell'equazione del moto (Bernoulli

e / D

SD m2 p * D2/4, area della sezione della tubazione


Sotto questa ipotesi, l'indice di resistenza l resta una funzione della sola scabrezza relativa e/D. Consegue l'espressione della portata:

lturb 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D1 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione

Q0 = m3/s

V0 =

J0 =




J0

2/1

52

BA0

Dg

L8

YYQ

p

l

BA

22

52YY

g2

VQ

Dg

LDRe,8a

p

el

BA2

52YYQ

Dg

LDRe,80

p

el






0.057

0.010 -

51.000

0.0000 m

Schema 4.b

ovvero

dalla eq. 1 consegue:

3

che ci si trovi in moto assolutamente turbolento. Se la verifica da esito negativo bisogna valutare il lambda con una formula alternativa.

Variante 26 luglio 2011

0.016 0.024

0.41 m/s 0.62 m/s

0.0012 - 0.0026 -

Si noti che J e pari ad 1/4 del vecchio valore, poiché il legame J(Q) è quadratico

45.33 m 38.250 m

Test

JL = 12.75 m

+ JL = 51.00 m

51.00 m


Re 136567.94 -



0.00001 -

4.73

0.003 -

13.07 m perdita di carico tra il sebatoio A ed il punto immediatamente monte la pompa.

37.928

Esercizio 20 16-Sep-09 Esame Civili Edile Architettura

circolanti nelle condotte e tracci le relative piezometriche.

cC-W s2/m6

Q0 m3/s (p D Re n / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.


DYA-B,tent m



E' bene precisare che la eq. 3 è stata ricavata nell'ipotesi di costanza dell'indice di resistenza. Occorre pertanto verificare anche in questo caso

Q0 / 3 Q0 / 2

m3/s Qn = m3/s

Vn =

Jn =

YA - YB =



lC-W

F(lC-W)

cC-W s2/m6

Jn cC-W,n,1 QmN2, cadente piezometrica.

Jn L

DYvalv DYAB - JnL, perdita indotta dalla valvola.

Il sistema di adduzione rappresentato in figura è caratterizzato da un tronco a monte, caratterizzato dal diametro Dm

e lunghezza Lm, a cui segue a valle un tratto in parallelo di lunghezza Lv, caratterizzato da due tronchi di diametro

Dv1 e Dv2. Tutte le condotte sono in ghisa sferoidale, con diversi anni di esercizio. L’allievo determini le portate

J

BAvalv

20

52YYY

2

Q

Dg

L8D

p

lBAvalv

2052

YYYQDg

L8

4

1D

p

l

BAvalv YY4

3Y D

D valvY

valvYD

D valvY

BAvalv YY9

8Y D BAvalv YY

4

3Y D

el l

D715,3

110

51,2

2

1

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

200 + = m s.l.m.


150 + = m s.l.m.


1000 + = m


500 + = m


215 + = mm


155 + = mm


125 + = mm



1

3

3

g 9.81

n 0.000001006

206 m

152 m

1030 m

530 m

221 mm 0.221 m

157 mm 0.157 m

131 mm 0.131 m

Trattasi di un problema di verifica. Il quesito consiste nel determinare le portate circolanti per lo schema assegnato. Si procederà in due maniere

1. con l'ipotesi di moto assolutamente turbolento nelle tre condotte; 2. con formulazione empirica sull'indice di resistenza.



Condotta a monte del parallelo


0.038



0.019



0.013

0.014 -

0.015 -

0.016 -

2.21

13.09

33.66

YA =

YB =

Lm =

Lv =

Dm =

Dv1 =

Dv2 =

m/s2

m2/s

YA

YB

Lm

Lv

Dm

Dv1

Dv2

e / Dm

SDm m2 p * Dm2/4, area della sezione della tubazione.

e / Dv1

SDv1 m2 p * Dv12/4, area della sezione della tubazione.

e / Dv2

SDv2 m2 p * Dv22/4, area della sezione della tubazione.


lturb,m 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*Dm ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione di monte.

lturb,v1 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*Dv1 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione di valle 1.

lturb,v2 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*Dv2) ] }2, indice di resistenza per la tubazione di valle 2.

cm s2/m6 8*lturb,m/(g*p2*Dm5), avendo posto Jm = cm*Qm

2, dove cm raggruppa le costanti e variabili note.

cv1 s2/m6 8*lturb,v1/(g*p2*Dv15), avendo posto Jv1 = cv1*Qv1

2, dove cv1 raggruppa le costanti e variabili note.

cv2 s2/m6 8*lturb,v2/(g*p2*Dv25), avendo posto Jv2 = cv2*Qv2

2, dove cv2 raggruppa le costanti e variabili note.

YN Jm Jv1 = Jv2 Qm Qv1 Qv2 DQ

180.79 0.0245 0.0543 0.105 0.064 0.040 0.001

2.75 3.33 2.98

603370.62 519239.55 388102.50

180.72 0.0245 0.0542 0.015 0.016 0.016 2.30 13.58 35.04

0.103 0.063 0.039 0.001

2.69 3.26 2.92 Macro: 'Idrodinamica_Es20_Calcola_portate'

591381.46 509291.24 379915.54

Si noti come le soluzioni risultino tanto più vicine quanto più evidente è il carattere turbolento delle correnti

Esercizio 21 16-Sep-09 Esame Civili Edile Architettura

lievi incrostazioni di diametro D.

850 + = m s.l.m.


600 + = m s.l.m.


2500 + = m


235 + = mm


Q = 50 + = l/s



1

6

5

g 9.81

n 0.000001006

D 245 mm 0.245 m

Q 30.5 l/s 0.0305

2510 m

862 m

602 m

eta-turbina 0.65 valore scelto per il rendimento della pompa.


0.0002 m


0.047

0.65 m/s

Re 157559.97 -

vm vm1 vm2

Rem Rev1 Rev2

PROCEDURA 2. Formulazione empirica

YN Jm Jv1 = Jv2 lEMP,m lEMP,v1 lEMP,v2 cEMP,m cEMP,v1 cEMP,v2

Qm Qv1 Qv2 DQ

vm vv1 vv2

Rem Rev1 Rev2

Per l’impianto idroelettrico rappresentato in figura l'allievo determini l'energia ricavabile in un anno di funzionamento

nell’ipotesi di funzionamento continuo 24h/24h e tracci la relativa piezometrica. La condotta è in ghisa in servizio con

YA =

YB =

L =

D =

m/s2

m2/s

m3/s

L

YA

YB

e/D





0.019 -



1.75 -

0.0016 -

4.08 m perdita di carico tra i due serbatoi.

255.92 m

49.77 kW

E 1.57E+09 kJ

E 435998.71 kWh

E 0.44 GWh


0.021 -


1.93

0.0018 -


255.49 m

49.69 kW

E 1.57E+09 kJ

E 435273.18 kWh

E 0.44 GWh

Esercizio 22 30-Oct-09 Esame Civili Edile Architettura

Dopo aver verificato la fattibilità del nuovo schema di figura 4.b, l’allievo, determini:


Q = 65 + = l/s


215 + = mm


300 + = m


185 + = mm


3000 + = m


120 + = m s.l.m.


200 + = m s.l.m.



7

5

6

lturb 0,25/{ LOG10[ e/(3,715*D ) ] }2, indice di resistenza calcolato con la formula di Prandtl (si verifichi l'ipotesi di partenza

cturb 8*lturb/(g*p2*D5), avendo posto JA-B = cturb*Q02, dove cturb raggruppa le costanti e variabili note.


JA-B L


Pr 9,81 *Q * DHm * eta-turbina, potenza reale, ottenuta dalla turbina.




lC-W

F(lC-W)

cC-W s2/m6


JA-B L


Pr 9,81 *Q0 * DHm * eta_turbina, potenza reale, prodotta dalla turbina.

Pr*365*24*3600, energia annua prodotta in kJ.

Pr*365*24, energia annua prodotta in kWh.



serbatoio A a quota YA, tramite una successione di due condotte in ghisa con diversi anni di esercizio.

Successivamente (figura 4.b) si intende incrementare del 20% la portata a servizio del serbatoio B, lasciando invariata

la potenza della pompa. A tal fine si intende realizzare un tratto in parallelo, costituito da una tubazione in acciaio con

- la potenza reale Pr della pompa per lo schema riportato in figura 4.a;

- il diametro Dn da assegnare al nuovo tronco in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore;

D1 =

L1 =

D2 =

L2 =

YA =

YB =

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

g 9.81

n 0.000001006

Q 67.5 l/s 0.0675

225 mm 0.225 m

420 m

195 mm 0.195 m

3120 m

130 m

214 m


e 0.15 mm valore scelto per la scabrezza della tubazioni esistenti, scelto sulla base del tipo di materiale e



0.040


0.030

Schema 4.a


1.70 m/s

379693.70 -

0.018 -



2.55

0.012 -

4.88 m perdita di carico tra serbatoio di monte e pompa.

2.26 m/s

438108.12 -

0.018 -



5.40

0.025 -

76.74 m perdita di carico tra pompa e serbatoio di valle.

165.63 m

156.68 kW


0.019 -


2.70

0.012 -


0.019 -

0.00018 -

5.64

0.026 -


169.30 m

160.16 kW

Schema 4.b

0.1 mm valore scelto per la scabrezza della nuova tubazione da piazzare in parallelo

0.0001 m

0.081


m/s2

m2/s

m3/s

D1

L1

D2

L2

YA

YB

e / D1

SD,1 m2 p * D12/4, area della sezione della tubazione di monte.

e / D2

SD,2 m2 p * D22/4, area della sezione della tubazione.

va,1 Q/SD,1, velocità nella tubazione di monte.

Rea,1 va,1 D1 / n, numero di Reynolds per la tubazione.

lturb,1 0,25/{ LOG10[ e/(3,715*D1 ) ] }2, indice di resistenza calcolato con la formula di Prandtl (si verifichi l'ipotesi di partenza

cturb,1 s2/m6 8*lturb,1/(g*p2*D15), avendo posto Ja,1 = cturb,1*Q2, dove cturb,1 raggruppa le costanti e variabili note.

Ja,1 cturb,1 Q2, cadente piezometrica sulla tubazione di monte.

Ja,1 L1

va,2 Q/SD,2, velocità nella tubazione di valle.

Rea,2 v0,2 D2 / n, numero di Reynolds per la tubazione.

lturb,2 0,25/{ LOG10[ e/(3,715*D2 ) ] }2, indice di resistenza calcolato con la formula di Prandtl (si verifichi l'ipotesi di partenza

cturb,2 s2/m6 8*lturb,2/(g*p2*D25), avendo posto Ja,2 = cturb,2*Q2, dove cturb,2 raggruppa le costanti e variabili note.

Ja,2 cturb,2 Q2, cadente piezometrica sulla tubazione di valle.

Ja,2 L2

DHm,a YB + Ja,1 L1 + Ja,2 L2 - YA, prevalenza sulla pompa.

Pr 9,81 *Q * DHm / eta-pompa, potenza reale, spesa dalla pompa.

lC-W,a,1

F(lC-W,a,1)

cC-W,a,1 s2/m6

Ja,1 cC-W,a,1 Q2, cadente piezometrica sulla tubazione di monte.

Ja,1 L1

lC-W,a,2

F(lC-W,a,2)

cC-W,a,2 s2/m6

Ja,2 cC-W,a,1 Q2, cadente piezometrica sulla tubazione di monte.

Ja,2 L2

DHm,a YB + Ja,1 L1 + Ja,2 L2 - YA, prevalenza sulla pompa.

Pr 9,81 *Q * DHm / eta-pompa, potenza reale, spesa dalla pompa.

eN

Qn m3/s 1,2*Q, nuovo valore di portata richiesta.

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

138.02 m

0.017 -

turbolento).


0.02 m

allora il nuovo schema è effettivamente realizzabile.

0.053

turbolento).

1.77 m/s

342814.41 -

necessario per constatare il regime di movimento.

0.028

0.019 -

0.153 m





0.012

2.30 m/s

285347.92 -

0.024

1.17 m/s

203819.94 -

0.019 -

0.017 -


1 1 3120 m 673.25 m

0.0416 0.0077 46.99 m 2446.75 m

3120 prova

141.09 m

2.71 m/s

606611.24 -

0.018 -


2.65

0.017 -


0.016 m

allora il nuovo schema è effettivamente realizzabile.

0.019 -






0.054

DHm,b Q * DHm,a / Qn, nuovo valore della prevalenza manometrica, basato sulla potenza costante.

Jb,1 cturb,1 Qn2, cadente piezometrica sulla tubazione di monte (in regime di moto asolutamente

Jb1 L1

Jb,2 (YA - Jb,1 L1 + DHm,b - YB) / L2, nuovo valore della cadente sul tronco di valle. Se il valore risulta > 0,

Qp,2 m3/s (Jb,2 / cturb,2)1/2, nuovo valore della portata sul vecchio tronco di valle (in regime di moto asolutamente

vp,2 Qp,2 / SD,2, nuovo valore della velocità sul vecchio tronco di valle.

Rep,2 vp,2 D2 / n, nuovo numero di Reynolds per il vecchio tronco di valle.

Qn,2 m3/s Qn - Qp,2, portata sul tronco da dimensionare.

lemp,2 f(Qn,2, Jn,2), come da relazione empirica

Dn,t [8 * lemp,2 * Qn,22 /( g *p2 * Jn,2)]1/5, diametro teorico da formula empirica

Dcomm,1

Dcomm,2

eN/Dcomm,1

eN/Dcomm,2


vcomm,1 Qn,2/SD,1, velocità in condotta.

Re1 vcomm,1 Dcomm,1 / n, numero di Reynolds per la tubazione commerciale 1.


vcomm,2 Qn,2/SD,2, velocità in condotta.

Re2 vcomm,2 Dcomm,2 / n, numero di Reynolds per la tubazione commerciale 2.

lturb,1 0,25/{ LOG10[ e/(3,715*Dcomm,1 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione 1.

lturb,2 0,25/{ LOG10[ e/(3,715*Dcomm,2 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione 2.

per Dcomm,1

per Dcomm,2

PROCEDURA 2. Formulazione completa per il tronco 1 e p (vecchio tronco 2); formulazione empirica per il tronco n (nuovo tronco in parallelo)

DHm,b Q * DHm,a / Qn, nuovo valore della prevalenza manometrica, basato sulla potenza costante.

vb,1 Qn/SD,1, velocità nella tubazione di monte.

Reb,1 vb,1 D1 / n, numero di Reynolds per la tubazione.

lC-W,b,1

F(lC-W,b,1)

cC-W,b,1 s2/m6

Jb,1 cC-W,b,1 Qn2, cadente piezometrica sulla tubazione di monte.

Jb1 L1

Jb,2 (YA - Jb,1 L1 + DHm,b - YB) / L2, nuovo valore della cadente sul tronco di valle. Se il valore risulta > 0,

lC-W,b,2 coefficiente di resistenza di tentativo. il valore di primo tentativo viene posto pari a

cC-W,b,2 s2/m6

Reb,2

Qp,2 m3/s (p D2 Reb,2 n / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.

el l

D715,3

110

51,2

2

1

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

0.017 -

-0.0007 -

0.027

0.018 -

0.146





0.012

2.19 m/s

272223.32 -

0.024

1.12 m/s

194445.23 -

0.020 -

0.019 -





1 1 3120 m 783.28 m

0.0390 0.0070 46.99 m 2336.72 m

3120 prova

Esercizio 23 11/12/2009 Esame Civili

nuova tubazione in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore, compreso tra il serbatoio A ed il nodo di derivazione N.

L'allievo determini:


200 + = m s.l.m.


110 + = m s.l.m.


215 + = mm


1000 = m


2500 + = m



4

5

1

Jb,2 di tent cC-W,b,2 * Qb,22, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

F(Jb,2 di tent) Jb,2 - Jb,2, di tent, l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione.

Qn,2 m3/s Qn - Qp,2, portata sul tronco da dimensionare.


Dt,n,2 [8 * lemp * Qn,22 /( g *p2 * Jb,2)]1/5, diametro teorico da formula empirica.

Dcomm,1

Dcomm,2

eN/Dcomm,1

eN/Dcomm,2

SD,comm,1 m2 p * Dcomm,12/4, area della sezione della tubazione.

v1 Qn,2 / SD,comm,1, velocità in condotta.


SD,comm,2 m2 p * Dcomm,22/4, area della sezione della tubazione.

v2 Qn,2 / SD,comm,2, velocità in condotta.




Nel sistema di adduzione rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata Q0 da un

serbatoio A a quota YA, tramite una condotta in ghisa con diversi anni di esercizio.

Successivamente (figura 4.b) si intende derivare dal nodo N una portata q pari al 50% della portata Q0, lasciando

invariata la portata a servizio del serbatoio B. A tal fine si intende realizzare un tratto in parallelo, costituito da una

- la portata Qa circolante nella condotta rappresentata in figura 4.a;

- il diametro Dn da assegnare al nuovo tronco in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore (figura 4.b);

YA =

YB =

D =

Lp =

L =

JA-B,a

g 9.81

n 0.000001006

210 m

118 m

D 225 mm 0.225 m

1020 m

2580 m



0.00089 - corrispondente scabrezza relativa per la tubazione relativa alla figura 4.a)

0.03566 - cadente corrispondente allo schema di figura 4.a)

Schema 4.a

0.019 -

calcolato con la formula di Prandtl. Occorre constatare il regime di movimento,

affinchè i calcoli seguenti risultino corretti.

0.040

2.73

0.114

2.87 m/s

642659.95 -

nel caso di moto non assolutamente turbolento, riferiamoci alla seguente


0.019 -



840952.55 -

L'algoritmo ha trovato una radice per


numero di Reynolds di tentativo, ottenuto dalla relazione di Colebrook - White

0.150

0.062 -

0.02667381 -

Macro:'Idrodinamica_Es23_Calcola_Q0'

Schema 4.b

0.057

0.05 mm valore scelto per la scabrezza della nuova tubazione, da affiancare al tratto preesistente

0.00005 m

0.016 -



m/s2

m2/s

YA

YB

Lp

L

Il quesito consiste nel determinare la portata circolante per lo schema 4.a) ed il diametro Dn da assegnare ad un tronco in parallelo per lo schema 4.b),

piazzato a monte del nodo di derivazione, affinche YB riceva sempre Q0 e la portata derivata risulti pari a q.

e / D

JA-B,a


lturb 0,25/{ LOG10[ e/(3,715*D ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione relativa alla figura 4.a)


cturb 8*lturb/(g*p2*D5), avendo posto JA-B,1 = cturb*Q02, dove cturb raggruppa le costanti e variabili note.

Qa m3/s (JA-B,1 / c0)1/2, portata circolante.

va Qa / SD, velocità in condotta.

Rea va D / n, numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody:



cC-W,1 s2/m6

ReC-W,1

Q0 m3/s (p D ReC-W,1 n / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.

JA-B, di tent cC-W,1 * Q02, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.


Poiché il serbatoio di quota YB riceve sempre Q0 ne deriviamo che la piezometrica è pari sempre a JA-B,1 ovunque. Per questo motivo sul vecchio tronco

(ora in parallelo) A - N circolerà ancora Q0 e quindi per la continuità al nodo, sul nuovo tronco in parallelo circolerà una portata q = 0.7 Q0.

Qp,n m3/s 0.5 Q0 portata sul nuovo tronco di tubazione in parallelo.

ep,n


A differenza della procedura iterativa precedente, in questo caso fissando l come parametro di iterazione della formula di Colebrook - White, ne deriva

un'equazione di secondo grado nell'incognita Dr. Seguono i coefficienti dell'equazione:


el l

D715,3

110

51,2

2

1

JA-B,a=JA-B,b





Delta 1.33E-09 -


0.300 m

0.166 m 0.166 m

0.00181 -

0.03571 -

0.03385 -

-0.00005

0.000048


Formula empirica:

0.015 -

Il valore soluzione (compreso tra 0,01 e 0,08) si ottiene risolvendo per tentativi la Formula empirica

-0.0002383 -

Macro: 'Idrodinamica_Es23_Calcola_Dpn_empirico'

0.162 m

0.15 m diametro commerciale inferiore scelto da una serie

0.20 m diametro commerciale inferiore scelto da una serie



0.018

3.23 m/s

481994.96 -

0.031

1.82 m/s

361496.22 -

0.017 -

0.016 -









JC-B, di tent,2




PROCEDURA 2. Determinazione del diametro con una formula empirica.

La procedura iterativa proposta in precedenza presenta lo svantaggio di essere particolarmente sensibile ai parametri noti (e …) e quindi

non sempre la soluzione (Dp,n) è di immediata soluzione. La procedura semplificata che segue, permette di determinare il diametro incognito

tramite una formula empirica che, sebbene implicita permette comunque di giungere al calcolo di Dp,n.

lemp coefficiente di resistenza di tentativo.

cliccando su Calcola lemp.

F(lemp) funzione ricerca obiettivo costruita su lemp.

Dp,n [8 * lemp * Qp,n2 /( g *p2 * JA-B,1)]1/5, diametro teorico da formula empirica.

Dcomm,1

Dcomm,2

e / Dcomm,1

e / Dcomm,2


vcomm,1 Qp,n/SD,1, velocità in condotta.

Re1 vcomm,1 Dcomm,1 / n, numero di Reynolds per condotta.






l

2

1

10

715,3

n,pe

lnp

n,pQ4

51,2

1 1 1020 m 492.74 m

0.0591 0.0138 36.37 m 527.26 m

1020 prova

Esercizio 24 11/01/2010 Civili Edile Architettura

200 + = m s.l.m.


110 + = m s.l.m.


215 + = mm


1000 = m


2500 + = m


1 + = m



6

6

2

g 9.81

n 0.000001006

212 m

122 m

D 227 mm 0.227 m

1040 m

2620 m

a 1.06

Schema 4.a

e 0.2 mm valore scelto per la scabrezza delle tubazioni attuali, scelto sulla base del tipo di materiale e


0.00088 - corrispondente scabrezza relativa alle tubazioni di figura 4.a).

0.019 -

Nel sistema di adduzione rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata Qa da un

serbatoio A a quota YA, tramite una condotta in ghisa con diversi anni di esercizio di diametro D.

Successivamente (figura 4.b) si intende incrementare la portata a servizio del serbatoio B, passando da Qa a

Qb = aQa, tramite l’inserimento di un tronco in parallelo per una lunghezza massima pari a Lp. L’allievo valuti se è possibile

realizzare il tronco in parallelo con una tubazione di pari caratteristiche (diametro e scabrezza). Nel caso ciò non risulti

possibile, l’allievo proceda alla valutazione del diametro di una nuova condotta in acciaio con rivestimento bituminoso a

spessore, per una lunghezza pari ad Lp. Si traccino infine le piezometriche per i due schemi.

YA =

YB =

D =

Lp =

L =

a =

m/s2

m2/s

YA

YB

Lp

L

m2/s

Il quesito consiste nel determinare la portata circolante per lo schema 4.a) e di valutare la possibilità di inserire un tronco in parallelo di diametro e

scabrezza pari alla tubazione esistente, se la sua lunghezza Ln risulta inferiore alla distanza Lp, ovvero in caso contrario di calcolare il diametro da

assegnare ad una nuova tubazione in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore da piazzare in parallelo per una lunghezza pari a Lp, per lo

schema 4.b). Per lo schema 4.a) si valuterà la portata circolante Q0 sia nell'ipotesi di moto assolutamente turbolento, eseguendo a posteriori il

controllo sul numero di Reynolds, sia con la formulazione completa di Colebrook-White per l'indice di resistenza; per lo schema 4.b) si valuterà Ln

dall'equazione del moto scritta tra A e B. Se Ln risulterà maggiore di Lp, si procederà al calcolo del diametro Dp della nuova tubazione di lunghezza Lp.

Poiché risulterà YC minore di YB, è però necessario prevedere un impianto di sollevamento sul tronco di monte che, per ipotesi, garantisce sul nodo C

un carico pari a YB + 10m (ipotesi progettuale introdotta).

e / D


lturb 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza per le tubazioni in figura 4.a).

Ja

Jb

Jn

0.034 - cadente corrispondente allo schema di figura 4.a).

2.61

0.115

0.040

2.84 m/s

639872.57 -

nel caso di moto non assolutamente turbolento, ci si riferisca alla formulazione completa

di Colebrook - White o ad una formulazione empirica

0.020 -



628094.08 -




0.113

0.034 -

-0.00033191 -

Macro: 'Idrodinamica_Es24_Calcola_Qa_e_parallelo'



Schema 4.b

0.122

Opzione 1. Adozione della stessa tubazione per il parallelo

Verifichiamo innanzitutto se è possibile avvalersi della formulazione in regime di moto assolutamente turbolento per i tronchi in parallelo:

0.061

0.67 m/s

150136.54 -



Scrittura dell'equazione del moto

1.

dove

2.

3.

0.0386 - cadente sul tronco di monte da eq. 2.

0.0096 - cadente sui tronchi in parallelo a valle da eq. 3.

384.28 m lunghezza dei tronchi in parallelo a valle da eq. 1.

Lunghezza sufficiente; non si considerino i calcoli che seguono

Opzione 2. Adozione di nuova tubazione per il parallelo

0.05 mm valore scelto per la scabrezza delle nuove tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e

0.00005 m stato di conservazione della parete interna

0.0096 -

0.0200 - indice di resistenza sulla vecchia tubazione in parallelo

2.74

0.06

0.06

0.0136 -

Ja

cturb s2/m6 8*lturb/(g*p2*D5), avendo posto Ja = cturb*Qa2, dove cturb raggruppa le costanti e variabili note.

Qa m3/s (Ja / cturb)1/2, portata circolante.



Re0 Va D / n, numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody:


lC-W,a coefficiente di resistenza di tentativo. il valore di primo tentativo viene posto pari a

cC-W,a s2/m6

ReC-W,a

Qa m3/s (p D ReC-W,a n / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.

Ja, di tent cC-W,a * Qa2, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

F(Ja, di tent.) Ja - Ja, di tent, l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione.


Qb m3/s a Qa, nuova portata erogata dal serbatoio A.

Qn m3/s Qb / 2, portata circolante in ciascuno dei tronchi in parallelo.

vp Qn / SD, velocità in ciascuno dei tronchi.

Rep vp D / n, numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody:

Jb (L - Ln) + Jn Ln = YA - Y B

Jb = cturb Qb2

Jn = cturb Qn2

Jb

Jn

Ln

epn

Jp 10 / Lp, cadente sui tronchi in parallelo, nell'ipotesi di sollevamento meccanico con YC = YB + 10.

lemp,vp(Jp, D)

cvp s2/m6 8*lemp,vp/(g*p2*D5), avendo posto Jp = cvp*Qvp2, dove cvp raggruppa le costanti e variabili note.

Qvp m3/s (Jp / cvp)1/2, portata sul vecchio tronco del parallelo.

Qnp m3/s Qn - Qvp, portata sul nuovo tronco del parallelo.

lemp,np(Qnp, Jp)

el l

D715,3

110

51,2

2

1

0.232 m





0.031

1.99 m/s

395045.44 -

0.071

0.88 m/s

263363.62 -

0.014 -

0.013 -


1 1 1040 m 643.89 m

0.0145 0.0018 10.00 m 396.11 m

1040 prova

Formulazione completa con formula di Colebrook - White per il parallelo di valle (stesso diametro, Opzione 1)

oppure Formulazione empirica per il nuovo tronco in parallelo (diametri differenti, Opzione 2)

0.119

2.95 m/s

665779.72 -

0.021 -

0.00001 -

2.87 Macro: 'Idrodinamica_Es24_Calcola_Qa_e_parallelo'

0.0425 -

Opzione 1. Adozione della stessa tubazione per il parallelo

0.060

0.68 m/s

152952.01 -



0.021 -

0.00001 -


0.0102 -

Scrittura dell'equazione del moto

1.

dove

2.

3.

664.33 m lunghezza dei tronchi in parallelo a valle da eq. 1.

Lunghezza sufficiente; non si consideri l'ozione seguente

Opzione 2. Adozione di nuova tubazione per il parallelo

Per il diametro teorico ed i diametri commerciali, fare riferimento alla Procedura 1, opzione 2.

Esercizio 25 8-Feb-10 esame Civili Edile Architettura

Dp,n [8 * lemp,np * Qnp2 /( g *p2 * Jp)]1/5, diametro teorico da formula empirica.

Dcomm,1

Dcomm,2

e / Dcomm,1

e / Dcomm,2


vcomm,1 Qnp/SD,1, velocità in condotta.





lturb,1 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*Dcomm,3-1 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione 1.


per Dcomm,1

per Dcomm,2

PROCEDURA 2. Formulazione completa con formula di Colebrook - White per tronco di monte

Qb m3/s a Qa, nuova portata erogata dal serbatoio A.

vb Qb / SD, velocità in ciascuno dei tronchi.

Reb vb D / n, numero di Reynolds

lC-W,b

F(lC-W,b)

cC-W,b s2/m6

Jb cC-W,b Qb2, cadente piezometrica sulla tubazione di monte.

Qn m3/s Qb / 2, portata circolante in ciascuno dei tronchi in parallelo.

vp Qn / SD, velocità in ciascuno dei tronchi.

Rep vp D / n, numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody:

lC-W,n

F(lC-W,n)

cC-W,n s2/m6

Jn cC-W,n Qn2, cadente piezometrica sulla tubazione di monte.

Jb (L - Ln) + Jn Ln = YA - Y B

Jb = cC-W,b Qb2

Jn = cC-W,n Qn2

Ln

Nell’impianto di sollevamento rappresentato in figura, il serbatoio B a quota YB riceve inizialmente una certa portata Qv da

un serbatoio A a quota YA, tramite una condotta in ghisa sferoidale con diversi anni di esercizio.

Successivamente si intende variare la portata circolante, passando dal valore Qv al valore Qn = a Qv. L’allievo:

- esprima la differenza di prevalenza manometrica esistente a seguito della variazione di portata, come funzione del

l

e

l

l Re

51.2

D715.210LOG2

1F WC

l

e

l

l Re

51.2

D715.210LOG2

1F WC

- tracci le piezometriche per i due schemi illustrati;

Nei calcoli si assuma un regime di moto assolutamente turbolento.

20 + = m s.l.m.


90 + = m s.l.m.


205 + = mm


800 + = m


245 + = mm


4800 + = m


60 + = l/s



0

4

8

g 9.81

n 0.000001006

122 m

190 m _____

213 mm 0.213 m _____

960 m _____

253 mm 0.253 m

4960 m

60 l/s 0.06

Per quanto concerne il primo quesito si osservi che:

1.

ovvero:

2.

ed analogamente:

3.

4.

ovvero in forma compatta: 5.


parametro a;

- determini la differenza di potenza reale, specificatamente per a =1,2 ;

YA =

YB =

D1 =

L1 =

D2 =

L2 =

Qv =

m/s2

m2/s

YA

YB Profilo piezometrico per Q = Qv

D1 Profilo piezometrico per Q = a Qv, a > 1

L1 Profilo piezometrico per Q = a Qv, a < 1

D2

L2

Qv m3/s

Il quesito consiste nel determinare la differenza di prevalenza manometrica DHm,n - DHm,v tra i due schemi descritti, in funzione del parametro

a = Qn/Qv, la differenza di potenza reale Pr,n - Pr,v, specificatamente per a = 1,2 ed infine le rispettive piezometriche.

DHm,v = (YB - YA) + J1,v L1 + J2,v L2

per l'ipotesi introdotta sul moto assolutamente turbolento risultera lv,1 = ln,1 = l1 e lv,2 = ln,2 = l2. Sottraendo la eq. 3 alla eq.2 si ottiene:

Calcolo della potenza reale Pr,v per lo schema iniziale

2V5

22

2v,22V5

12

1v,1ABv,m Q

Dg

L8Q

Dg

L8YYH

p

l

p

lD

2v52

2

2n,22v5

12

1n,1ABn,m Q

Dg

L8Q

Dg

L8YYH a

p

la

p

lD

p

l

p

laDD 2

v52

222v5

1

112v,mn,m Q

Dg

L8Q

Dg

L81HH

2v,21v,12

v,mn,m LJLJ1HH aDD




0.036

1.68 m/s

356519.91 -

0.018 -

il regime di movimento, affinchè i calcoli seguenti risultino corretti.

3.40

0.012 -



0.050

1.19 m/s

300153.12 -

0.017 -


1.38

0.005 -

24.68 m perdita di carico tra pompa e serbatoio di valle

104.43 m

87.81 kW


a 1.2 - coefficiente moltiplicativo della vecchia portata

0.072 nuovo valore di portata

e 5 mm valore scelto per la scabrezza della tubazioni esistenti, scelto sulla base del tipo di materiale e



2.02 m/s

427823.89 -

0.018 -

16.92 m perdita di carico tra serbatoio di monte e pompa

0.01976 - scabrezza relativa della tubazione di valle

1.43 m/s

360183.75 -

0.007 -

35.54 m perdita di carico tra pompa e serbatoio di valle

120.46 m

121.55 kW

Calcolo delle differenze richieste

36.43

33.74 kW

Esercizio 26 10/05/2013 esame Civili Edile Architettura

condotta in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore di diametro D e con diversi anni di esercizio. L'allievo determini:

- tracci le piezometriche per i casi in precedenza esposti.

195 + = mm


e / D1


v0,1 Qv/SD,1, velocità nella tubazione di monte.

Re1 v0,1 D1 / n, numero di Reynolds per la tubazione.

l1 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D1 ) ] }2, indice di resistenza calcolato con la formula di Prandtl. Occorre constatare

c1 s2/m6 8*l1/(g*p2*D15), avendo posto J1,v = c1*Qv


J1,v c1 Qv2, cadente piezometrica sulla tubazione di monte.

J1,v L1

e / D2


v0,2 Qv/SD,2, velocità nella tubazione di valle.


l2 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D2 ) ] }2, indice di resistenza calcolato con la formula di Prandtl. Occorre constatare

c2 s2/m6 8*l2/(g*p2*D25), avendo posto J2 = c2*Qv


J2,v c2 Qv2, cadente piezometrica sulla tubazione di valle.

J2,v L2

DHm,v (YB - YA) + J1,v L1 + J2,v L2, prevalenza manometrica iniziale sulla pompa.

Pr,v 9.81 *Qv * DHm,v / eta_pompa, potenza reale, spesa dalla pompa.

Calcolo della potenza reale Pr,n per lo schema finale

Qn m3/s

e/D1

v0,1 Qv/SD,1, velocità nella tubazione di monte.


J1,n c1 Qn2, cadente piezometrica sulla tubazione di monte.

J1,v L1

e/D2

v0,2 Qn/SD,2, velocità nella tubazione di monte.

Re2 v0,2 D2 / n, numero di Reynolds per condotta.

J2,n c2 Qn2, cadente piezometrica sulla tubazione di valle.

J2,n L2

DHm,n (YB - YA) + J1,n L1 + J2,n L2, prevalenza manometrica finale sulla pompa.

Pr,n 9.81 *Qv * DHm,v / eta_pompa, potenza reale, spesa dalla pompa.

DHm,n - DHm,v (a2-1)* differenza di prevalenza manometrica esistente a seguito della variazione di portata, come funzione di a (eq. 5)

Pr,n - Pr,v differenza di potenza reale, valutata specificatamente per a =1,2 ;

Nel sistema di adduzione rappresentato in figura, una portata q viene prelevata dal nodo N a quota geometrica zN, lungo la

- la massima portata qMAX, prelevabile dal nodo N, affinché l’altezza piezometrica sullo stesso risulti pari a 10m;

- la portata qLIM, prelevabile dal nodo N, affinché il serbatoio B non dia contributo;

D =

1000 + = m


2000 + = m


200 + = m s.l.m.


150 + = m s.l.m.


80 + = m s.l.m.



2

8

6

g 9.81

n 0.000001006

D 211 mm 0.211 m

1120 m

L 2120 m

201 m

154 m

83.0 m

assolutamente turbolento, verificandola a posteriori per ciascuno dei due casi.



0.00095 - scabrezza relativa delle tubazioni

0.035

93.0 m

0.019 -


3.83

0.096 -

0.159

4.54 m/s

952337.36 -

0.061 -

0.126

3.61 m/s

757448.08 -

0.285

154.00 m

0.042 -

0.105

3.00 m/s

628243.31 -

0.105

LAN =

L =

YA =

YB =

zN =

m/s2

m2/s

LAN

YA

YB qMAX

zN qLIM

Il quesito consiste nel determinare le portate erogate qMAX e qLIM per le condizioni descritte e le relative piezometriche. Si procede nell'ipotesi di moto

e/DSD m2 p * D2/4, area della sezione della tubazione.


Calcolo della portata qMAX

YN zN + 10, quota piezometrica per il calcolo di qMAX.

lturb 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza calcolato con la formula di Prandtl. Occorre constatare

cturb s2/m6 8*lturb/(g*p2*D5), avendo posto JA-N = cturb*QA-N2, dove cturb raggruppa le costanti e variabili note.

JAN (YA - YN) / LAN, cadente piezometrica sul tronco AN.

QAN m3/s (JAN/cturb)1/2, portata circolante sul tronco AN.


ReAN vAN D / n, numero di Reynolds per la condotta.


QNB m3/s (JNB/cturb)1/2, portata circolante sul tronco NB.

vNB QNB/SD, velocità nella condotta NB.

ReNB vNB D / n, numero di Reynolds per la condotta.

qMAX m3/s QAN + QNB, portata massima prelevabile.

Calcolo della portata qLIM

YN = YB, per il vincolo introdotto.


QAN m3/s (JAN/cturb)1/2, portata circolante sul tronco AN.


ReAN vAN D / n, numero di Reynolds per la condotta.

qLIM m3/s = QAN, portata corrispondente al vincolo introdotto.


10m

93.0 m

0.096 -

0.020 -



944830.84 -




0.158

0.097 -

0.00014914 -

Macro: 'Idrodinamica_Es26_Calcola_Qan_e_Qnb'



0.061 -

0.020 -



743381.67 -




0.124


-0.00094660 - l'espressione completa di Colebrook - White.




0.281

154.00 m

0.042 -

0.020 -



626953.96 -




0.105

0.043 -

0.00091502 -




Esercizio 27 19/03/2010 esame basato su: 23-Apr-07 Civili Edile Architettura

assumano condotte in acciaio, con rivestimento bituminoso a spessore.

Calcolo della portata qMAX

YN zN + 10, quota piezometrica per il calcolo di qMAX.


lC-W,AN coefficiente di resistenza di tentativo. il valore di primo tentativo viene posto pari a

cC-W,AN s2/m6

ReC-W,AN

QAN m3/s (p D ReC-W,AN n / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.

JAN, di tent cC-W,AN * QAN2, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

F(JAN, di tent.) JAN - JAN, di tent, l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione.


lC-W,NB coefficiente di resistenza di tentativo. il valore di primo tentativo viene posto pari a

cC-W,NB s2/m6

ReC-W,NB

QNB m3/s (p D ReC-W,AN n / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.

JNB, di tent

F(JNB, di tent.)

qMAX m3/s QAN + QNB, portata massima prelevabile.

Calcolo della portata qLIM

YN = YB, per il vincolo introdotto.


lC-W,AN coefficiente di resistenza di tentativo. il valore di primo tentativo viene posto pari a

cC-W,AN s2/m6

ReC-W,AN

QAN m3/s (p D ReC-W,AN n / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.

JAN, di tent cC-W,AN * QAN2, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

F(JAN, di tent.) JAN - JAN, di tent, l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione.

Si calcolino le portate circolanti nell’impianto a tre serbatoi rappresentato nella seguente figura. Si

el l

D715,3

110

51,2

2

1

el l

D715,3

110

51,2

2

1

el l

D715,3

110

51,2

2

1

720 + = m s.l.m.


600 + = m s.l.m.


640 + = m s.l.m.


225 + = mm


235 + = mm


185 + = mm


1.28 + = km


1.33 + = km


1.14 + = km



4

5

1

g 9.81

n 0.000001006

730 m

608 m

642 m

226.5 mm 0.2265 m 0.040

236.2 mm 0.2362 m 0.044

185.3 mm 0.1853 m 0.027

1.43 km 1430 m

1.45 km 1450 m

1.17 km 1170 m






0.019 -

0.019 -

0.020 -

2.64

2.12

7.56

649.67 0.0562 0.0287 0.0066 0.146 0.116 0.029 -3.019E-05

3.62 2.66 1.09

YA =

YB =

YC =

D1 =

D2 =

D3 =

L1 =

L2 =

L3 =

m/s2

m2/s

YA

YB

YC

D1 m2

D2 m2

D3 m2

L1

L2

L3

Il quesito consiste in un problema di verifica: occorre cioè determinare le portate circolanti, nota la geometria del sistema.

Procediamo in due maniere: 1. con la formula di Prandtl facendo l'ipotesi di moto a.t. e con la formula empirica l = lemp(J,D).

e / D1

e / D2

e / D3








c3 s2/m6 8*lturb3/(g*p2*D35), avendo posto J3 = c3*Q3



YN J1 J2 J3 Q1 Q2 Q3 DQ

v1 v2 v3

815331.77 624179.73 201185.12

649.78 0.0561 0.0288 0.0067 0.0192 0.0191 0.0206 2.66 2.14 7.77

0.145 0.116 0.029 -0.00003

3.60 2.65 1.08

811187.60 621283.53 199793.94 Macro: 'Idrodinamica_Es27_Calcola_Q_Problema_tre_serbatoi'

Esercizio 28 08/07/2010 esame Civili Edile Architettura

tramite una condotta in ghisa in servizio corrente.

4.b). L’allievo determini:

schema proposto non possa essere realizzato, si proponga una soluzione alternativa.

1.2 + = -


200 + = m s.l.m.


130 + = m s.l.m.


D = 185 + = mm


L = 2000 + = m


800 + = m



9

5

1

g 9.81

n 0.000001006

a 1.25 -

210 m

148 m

D 195 mm 0.195 m

L 2020 m

925 m

Re1 Re2 Re3

PROCEDURA 2. Formulazione empirica

YN J1 J2 J3 lEMP,1 lEMP,2 lEMP,3 cEMP,1 cEMP,2 cEMP,3

Q1 Q2 Q3 DQ

v1 v2 v3

Re1 Re2 Re3

Nel sistema rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata Q0 da un serbatoio A a quota YA,

Successivamente si decide di incrementare la portata erogata dal serbatoio A, a servizio del serbatoio B, passando dal

valore Qa al valore Qb = aQa con a > 1. A tal fine si intende realizzare un raddoppio di condotta a valle del nodo C (figura

- per la condizione di esercizio illustrata in figura 4.a, la portata Qa da erogare a servizio del del serbatoio B;

- per la condizione di esercizio illustrata in figura 4.b, il diametro Dr da assegnare alla nuova tubazione. Nel caso in cui lo

a =

YA =

YB =

Lr =

m/s2

m2/s

YA

YB

Lr

4.a)

e 0.2 mm valore scelto per la scabrezza delle tubazioni esistenti, scelto sulla base del tipo di materiale e


0.001 - corrispondente scabrezza relativa

Schema 4.a

0.020 -

0.030

5.78

0.0307 -

0.073

2.44 m/s

472799.62 -

0.020 -

5.86

0.072

0.020 -



468035.67 -




0.072

0.031 -

0.00034368 -

Macro: 'Idrodinamica_Es28_Calcola_lambda'



Schema 4.b

0.090

3.03 m/s

587170.33 -

0.0473 -

158.16 m

Occorre a questo punto eseguire il controllo sulla quota piezometrica del nodo C:

Lo schema proposto può essere realizzato. Si faccia riferimento ai calcoli seguenti.

0.01099 -

0.044

1.46

282895.64 -

0.047

Il quesito consiste nel determinare la portata Qa da erogare inizialmente a servizio del serbatoio B ed il diametro Dr da

assegnare al nuovo tronco in parallelo, affinché il serbatoio A eroghi sempre a Q0 con a > 1. Occorre verificare per lo schema di figura 4.b se la

quota piezometrica del nodo C risulta superiore della quota geometrica del serbatoio B. In caso contrario non sarà possibile addurre la portata

a Q0 con lo schema proposto; schemi alternativi possono prevedere una immissione concentrata e/o una pompa lungo la condotta A-C.

e / D


lturb 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D ) ] }2, formula di Prandtl.

SD m2 p * D2/4, area della sezione della tubazione originaria.

cturb s2/m6 8*lturb/(g*p2*D5), avendo posto JA-B,0 = cturb*QA-B,02, dove cturb raggruppa le costanti e variabili note.

Ja ( YA - YB ) / L, cadente piezometrica.

Qa m3/s (Ja / cturb)1/2, portata circolante.


Rea Va D / n, numero di Reynolds (occorre constatare il regime di movimento).

PROCEDURA 2. Formulazione empirica per l'indice di resistenza

lEMP,a

cEMP,a s2/m6

Qa m3/s (Ja / cEMP,a)1/2, portata circolante.


lC-W,a coefficiente di resistenza di tentativo. il valore di primo tentativo viene posto pari a

cC-W,a s2/m6

ReC-W,a

Qa m3/s (p D ReC-W,a n / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.

Ja di tent cC-W,a * Qa2, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

F(Ja di tent.) Ja - Ja, di tent, l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione.


a Qa m3/s = Qb, nuova portata da addurre.

VA-C,b Qb / SD, velocità in condotta.

Reb vA-C,b D / n, numero di Reynolds (occorre constatare il regime di movimento).

JA-C,b cturb Qb2, cadente piezometrica sul tronco di monte.

YC,b YA - JA-C,b(L - Lr), quota piezometrica del nodo C.

JC-B,b (YC,b - YB ) / Lr, cadente sul tronco in parallelo.

Qp,v m3/s (JC-B,b / cturb)1/2, portata circolante sul vecchio tronco in parallelo.

vp,v m/s Qp,v / SD, velocità nel vecchio tronco in parallelo.

Rep,v vp,v D / n, numero di Reynolds (occorre constatare il regime di movimento).

Qp,n m3/s = Qb - Qp,v, portata da convogliare nel nuovo tronco in parallelo.

el l

D715,3

110

51,2

2

1

0.05 mm valore scelto per la nuova tubazione da piazzare in parallelo.

0.00005 m

0.016 -

0.191 m





0.018

2.65 m/s

395557.10 -

0.049

0.96 m/s

237334.26 -

0.015 -

0.014 -


1 1 925 229.89

0.0365 0.0026 10.16 695.11

925 prova

0.090

3.02 m/s

585044.59 -

0.020 -

0.00001 -


0.0482 -

157.21 m

Occorre a questo punto eseguire il controllo sulla quota piezometrica del nodo C:

Lo schema proposto può essere realizzato. Si faccia riferimento ai calcoli seguenti.

0.00996 -

0.014 -



317526.54 -




0.049

0.010 -

0.00007675 -

Macro: 'Idrodinamica_Es28_Calcola_lambda'



0.041

epn

lemp,pn(Qp,n, JC-B,b)

Dp,n [8 * lemp,pn * Qpn2 /( g *p2 * JC-B,b)]1/5, diametro teorico da formula empirica.

Dcomm,1

Dcomm,2

ep,n / Dcomm,1

ep,n / Dcomm,2


v1 Qp,n/SD,1, velocità nella tubazione 1.





lturb,1 0.25/{ LOG10[ ep,n/(3.715*Dcomm,1 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione 1.

lturb,2 0.25/{ LOG10[ ep,n/(3.715*Dcomm,2 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione 2.

per Dcomm,1

per Dcomm,2

PROCEDURA 2. Formulazione completa per tronco di monte + vecchio tronco in parallelo. Formulazione empirica per il nuovo tronco.

a Qa m3/s = Qb, nuova portata da addurre.

VA-C,b Qb / SD, velocità in condotta.

Reb vA-C,b D / n, numero di Reynolds (occorre constatare il regime di movimento).

lC-W,A-C,b

F(lC-W,A-C,b)

cC-W,A-C,b s2/m6

JA-C,b cC-W,A-C,b Qb2, cadente piezometrica sulla tubazione di monte.

YC,b YA - JA-C,b(L - Lr), quota piezometrica del nodo C.

JC-B,b (YC,b - YB ) / Lr, cadente sul tronco in parallelo.

lC-W,p,v coefficiente di resistenza di tentativo. il valore di primo tentativo viene posto pari a

cC-W,p,v s2/m6

ReC-W,p,v

Qp,v m3/s (p D ReC-W,p,v n / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.

JC-B,b, di tent cC-W,p,v * Qp,v2, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

F(JC-B,b, di tent.) JC-B,b - JC-B,b, di tent, l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione.

Qp,n m3/s = Qb - Qp,v, portata da convogliare nel nuovo tronco in parallelo.

el l

D715,3

110

51,2

2

1

l

e

l

l Re

51.2

D715.210LOG2

1F WC

0.05 mm valore scelto per la nuova tubazione da piazzare in parallelo.

0.00005 m

0.016 -

0.186 m





0.018

2.33 m/s

347773.47 -

0.049

0.84 m/s

208664.08 -

0.017 -

0.017 -





1 1 925 239.30

0.0315 0.0024 9.21 685.70

925 prova


anni di esercizio. Nell’ipotesi di funzionamento continuo, l’allievo:

- determini l’energia necessaria in un anno per sollevare la portata Q da A a B;

convogliare la stessa portata Q al serbatoio C;

- tracci l’andamento delle piezometriche.

400 + = m 300 + = mm


2000 + = m 350 + = mm


5000 + = m 85 + = l/s

prima cifra della matricola * 10 seconda cifra della matricola * 2

120 + = m s.l.m. 600 + = m s.l.m.


550 + = m s.l.m.



2

3

6

g 9.81

epn

lemp,pn(Qp,n, JC-B,b)

Dp,n [8 * lemp,pn * Qpn2 /( g *p2 * JC-B,b)]1/5, diametro teorico da formula empirica.

Dcomm,1

Dcomm,2

ep,n / Dcomm,1

ep,n / Dcomm,2









Nel sistema di adduzione rappresentato in figura il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata Q da un serbatoio A a

quota YA, tramite un impianto di sollevamento. Le condotte comprese tra A e B sono in ghisa di diametro DAB con diversi

- progetti la tubazione nuova in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore compresa tra B e C, necessaria per

L1 = D1 =

L2 = D2 =

L3 = Q =

YA = YB =

YC =

m/s2

n 0.000001006

460 m

312 mm 0.312 m

2030 m

356 mm 0.356 m

5020 m

530 m

630 m

580 m

Q 89 l/s 0.089

3, per il convogliamento della stessa portata al serbatoio C.


0.0002 m

eta 0.65 - valore scelto per il rendimento della pompa



0.076

0.100

1.16 m/s

0.89 m/s

361033.54 -

316411.42 -

1. Calcolo dell'energia spesa in un anno di funzionamento dalla pompa

0.018 -

calcolato con la formula di Prandtl

0.017 -


0.004 -


0.002 -



92.35 kW

142.08 kW

E 4.48E+09 kJ

E 1244640.473 kWh

E 1.24 GWh


0.019 -

0.00011 - Macro: "Idrodinamica_Es29_Calcola_lambda_e_diametro_teorico"

0.52

0.004 -


0.018 -

0.00009 -

0.27

0.002 -


m2/s

L1

D1

L2

D2

L3

YA

YB

YC

m3/s

Il quesito consiste nel determinare l'energia spesa in una anno dalla pompa per sollevare la portata Q ed il diametro D3 da associare al tronco

e/D1

e/D2








lturb,1 0.25/{ LOG10[ e/(3.715*D1 ) ] }2, indice di resistenza per ciascuna delle due tubazioni



J1 L1


J2 L2

Equazione del moto tra A e B: YA - J1L1 + DHman - J2L2 = YB

Dhman

Pt 9.81 *Q * DHman,a, potenza teorica

Pr Pa/h, potenza reale.




lC-W,1

F(lC-W,1)

cC-W,1 s2/m6

J1 cC-W,1* Q2, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

J1 L1

lC-W,2

F(lC-W,2)

cC-W,2 s2/m6

J2 cC-W,2* Q2, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

J2 L2

Equazione del moto tra A e B: YA - J1L1 + DHman - J2L2 = YB

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC


92.72 kW

142.65 kW

E 4.50E+09 kJ

E 1249634.838 kWh

E 1.25 GWh

2. Calcolo del diametro della condotta tra i serbatoi B e C

Formula empirica:



0.0100 -

0.015 -

0.251 m





0.040

2.24 m/s

500633.18 -

0.059

1.50 m/s

409608.96 -

0.015 -

0.015 -


1 1 5020 1669.48

0.0176 0.0062 50.00 3350.52

5020 prova

0.118 0.08 mm valore scelto per la scabrezza della nuova tubazione,

0.00008 m da affiancare al tratto preesistente

0.017 -




B -0.00013 - coefficiente moltiplicativo del termine lineare. Macro: "Idrodinamica_Es29

(il termine B è intrinsecamente negativo). _Calcola_lamba_e_diametro_teorico"


Delta 1.62E-09 -


0.487 m

0.255 m 0.255

Dhman

Pt 9.81 *Q * DHman,a, potenza teorica





PROCEDURA 1. Determinazione del diametro teorico con una formula empirica. Ipotesi per i diametri commerciali: moto assolutamente turbolento

eN

JB-C ( YB-YC ) / L, cadente piezometrica teorica.

lemp indice di resistenza calcolato con la formula di cui sopra, dove J = JB-C, e = eN.

Dt [8 * lemp * Q2 /( g *p2 * JB-C)]1/5, diametro teorico da formula empirica.

Dcomm,3-1

Dcomm,3-2

e / Dcomm,3-1

e / Dcomm,3-2


v3-1 Q / SD,3-1, velocità in condotta.







PROCEDURA 2. Determinazione del diametro teorico con formula di Colebrook-White. Lunghezze per i diametri commerciali da formulazione empirica.

A differenza della procedura precedente, in questo caso fissando l come parametro di iterazione della formula di Colebrook - White, ne


ep,n

ep,n




l

np

Q4

51,2

l

2

1

10

715,3

n,pe

0.00039 -

0.01005 -

0.0095667 -

-0.0000895

0.0000895






0.040

2.24 m/s

500633.18 -

0.059

1.50 m/s

409608.96 -

0.017 -

0.017 -





1 1 5020 1276.83

0.0190 0.0069 50.00 3743.17

5020 prova

Esercizio 30 25/07/2011 esame Edile Architettura

costante pari a Q, l’allievo:

- progetti la tubazione nuova in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore tra il serbatoio A ed il serbatoio B;

ghisa con diversi anni di esercizio);

- tracci l’andamento delle piezometriche.

5000 + = m Q = 85 + = l/s

terza cifra della matricola * 10 prima cifra della matricola * 2

400 + = m 300 + = mm

seconda cifra della matricola * 10 terza cifra della matricola * 2

4000 + = m 350 + = mm

prima cifra della matricola * 10 seconda cifra della matricola * 2

600 = m s.l.m. 580 + = m s.l.m.


620 + = m s.l.m.



0

7

8

g 9.81

n 0.000001006

JB-C, di tent,1 8 * lC-W * Q2 /( g *p2 * Dp,n15), cadente di tentativo corrispondente alla soluzione 1

JB-C, di tent,2 9 * lC-W * Q2 /( g *p2 * Dp,n25), cadente di tentativo corrispondente alla soluzione 2

F(JC-B, di tent.1) JB-C - JB-C, di tent,1, scarto sulla piezometrica corrispondente alla soluzione 1.

F(JC-B, di tent.2) JB-C - JB-C, di tent,2, scarto sulla piezometrica corrispondente alla soluzione 2.


Dcomm,1

Dcomm,2

eN / Dcomm,1

eN / Dcomm,2









Nel sistema di adduzione rappresentato in figura è costituito da una prima condotta con funzionamento a gravità e da

un successivo impianto di sollevamento. Nell’ipotesi di voler convogliare dal serbatoio A al serbatoio C una portata

- determini l’energia necessaria in un anno per il sollevamento meccanico (condotte comprese tra i serbatoi B e C in

L1 =

L2 = D2 =

L3 = D3 =

YA = YB =

YC =

m/s2

m2/s

5080 m

Q 85 l/s 0.085

470 m

316 mm 0.316 m

4000 m

364 mm 0.364 m

604 m

584 m

624 m

1, per il convogliamento della stessa portata al serbatoio B.

1. Calcolo del diametro della condotta tra i serbatoi A e B

0.05 mm valore scelto per la scabrezza della tubazioni che dovranno essere comprese tra i serbatoi A e B,

0.00005 m scelto sulla base del tipo di materiale e stato di usura (tubi nuovi).

0.0039 -

Formula empirica:

0.015 -

0.295 m





0.049

1.73 m/s

430319.53 -

0.096

0.88 m/s

307371.09 -

0.014 -

0.013 -


1 1 5080 m 1817.83 m

0.0084 0.0015 20.00 m 3262.17 m

5080 prova

0.016 -





(il termine B è intrinsecamente negativo). Macro: "Idrodinamica_Es30_diametro_teorico_e_lambda"


L1

m3/s

L2

D2

L3

D3

YA

YB

YC

Il quesito consiste nel determinare l'energia spesa in una anno dalla pompa per sollevare la portata Q ed il diametro D1 da associare al tronco

eN

JA-B ( YA-YB ) / L, cadente piezometrica teorica.

PROCEDURA 1. Determinazione del diametro teorico con una formula empirica. Ipotesi per i diametri commerciali: moto assolutamente turbolento

lemp indice di resistenza calcolato con la formula di cui sopra, dove J = JA-B, e = eN.

Dt [8 * lemp * Q2 /( g *p2 * JA-B)]1/5, diametro teorico da formula empirica.

Dcomm,1-1

Dcomm,1-2

e / Dcomm,1-1

e / Dcomm,1-2









PROCEDURA 2. Determinazione del diametro teorico con formula di Colebrook-White. Lunghezze per i diametri commerciali da formulazione empirica.

A differenza della procedura precedente, in questo caso fissando l come parametro di iterazione della formula di Colebrook - White, ne



l

np

Q4

51,2

l

2

1

10

715,3

n,pe

Delta 9.94E-11 -


0.297 m

0.243 m 0.297

0.00406 -

0.01097 -

-0.0001269 -

-0.0070378 -

0.0001269 -






0.049

1.73 m/s

430319.53 -

0.096

0.88 m/s

307371.09 -

0.016 -

0.016 -





1 1 5080 m 1399.67 m

0.0096 0.0018 20.00 m 3680.33 m

5080 prova



0.0002 m valore scelto per la scabrezza della tubazioni che dovranno essere comprese tra i serbatoi B e C,

eta 0.65 - rendimento scelto per la pompa.



0.078

0.104

1.08 m/s

0.82 m/s

340442.66 -

295549.13 -

0.018 -


0.017 -


0.003 -


0.002 -





JA-B, di tent,1 8 * lC-W * Q2 /( g *p2 * Dp,n15), cadente di tentativo corrispondente alla soluzione 1

JA-B, di tent,2 9 * lC-W * Q2 /( g *p2 * Dp,n25), cadente di tentativo corrispondente alla soluzione 2

F(JA-B, di tent.1) JA-B - JA-B, di tent,1, scarto sulla piezometrica corrispondente alla soluzione 1.

F(JA-B, di tent.2) JA-B - JA-B, di tent,2, scarto sulla piezometrica corrispondente alla soluzione 2.


Dcomm,1

Dcomm,2

eN / Dcomm,1

eN / Dcomm,2









e/D2

e/D3





Re2 vp2 D2 / n, numero di Reynolds per la tubazione 2.

Re3 vp3 D3 / n, numero di Reynolds per la tubazione 3.





J2 L2


J3 L3

Equazione del moto tra B e C: YB - J2L2 + DHman - J3L3 = YC

Dhman

715,3

n,pe

39.97 kW

61.49 kW

E 1.94E+09 kJ

E 538693.2893 kWh

E 0.54 GWh


0.019 -

0.00011 - Macro: "Idrodinamica_Es30_diametro_teorico_e_lambda"

0.49

0.018 -

0.00009 -

0.24

0.004 -


0.002 -



40.51 kW

62.32 kW

E 1.97E+09 kJ

E 545939.775 kWh

E 0.55 GWh

Esercizio 31 17/10/2011 esame Edile Architettura

energia elettrica. Le tubazioni costituenti il sistema sono in PEAD con numerosi anni di esercizio. L’allievo:

- determini la potenza reale necessaria per il sollevamento della portata Q e l'energia spesa in un anno;

0,25Eur/kWh;

- tracci le relative piezometriche.


0

2

5

g 9.81

n 0.000001006

840 m 254 mm 0.254 m

2000 m 300 mm 0.3 m

1100 m 290 mm 0.29 m

154 m 234 m

174 m Q 54 l/s 0.054

c 0.25 Eur/kWh

Pt 9.81 *Q * DHman, potenza teorica





lC-W,2

F(lC-W,2)

cC-W,2 s2/m6

lC-W,3

F(lC-W,3)

cC-W,3 s2/m6

J2 8*lC-W,2 Q2/(g*p2*D25), formula di Darcy - Weisbach

J2 L2

J3 8*lC-W,3 Q2/(g*p2*D35), formula di Darcy - Weisbach

J3 L3

Equazione del moto tra B e C: YB - J2L2 + DHman - J3L3 = YC

Dhman

Pt 9.81 *Q * DHman, potenza teorica





Nel sistema rappresentato in figura un impianto di sollevamento permette il convogliamento di una portata Q dal serbatoio A

posto a quota YA al serbatoio B posto a quota YB, per 8 ore ogni notte. La stessa portata è poi convogliata dal serbatoio B

al serbatoio C a quota YC per 8 ore al giorno. Poco prima del serbatoio C è presente una turbina per la produzione di

- valuti l’energia ricavabile in un anno dalla turbina ed il relativo ricavo, per un prezzo dell’energia elettrica pari a

m/s2

m2/s

L1 D1

L2 D2

L3 D3

YA YB

YC m3/s

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC


eta-turbina 0.7 - valore scelto per il rendimento della turbina.


0.0002 m


0.00079 - scabrezza relativa della condotta 1.

0.051

1.07 m/s

269074.28 -


0.071

0.76 m/s

227816.22 -

0.019 -


1.45 -

0.0042 -

3.55 m perdita di carico tra il serbatoio A e monte pompa.

0.018 -


0.61 -

0.0018 -

3.53 m perdita di carico tra i valle pompa e serbatoio B.

87.08 m

70.97 kW

7.46E+08 kJ

207226.3101 kWh

0.21 GWh


0.020 -

0.00036 - Macro: "Idrodinamica_Es31_calcola_lambda"

1.55

0.0045 -

3.79 m perdita di carico tra il serbatoio A e monte pompa.

0.019 -

0.00023 -

0.66

0.0019 -

3.85 m perdita di carico tra i valle pompa e serbatoio B.

87.64 m

71.42 kW

7.51E+08 kJ

208554.8917 kWh

0.21 GWh

1. Calcolo dell'energia ricavabile dalla turbina in un anno di funzionamento


0.066

0.82 m/s

235671.95 -

e/D1

SD1 m2 p * D12/4, area della sezione condotta 1.

v1 Q/SD1, velocità nella condotta 1.

Re1 v1 D1 / n, numero di Reynolds per la condotta 1.

e/D2






cturb,1 8*lturb,1/(g*p2*D15), avendo posto JA-P = cturb1*Q2, dove cturb,1 raggruppa le costanti e variabili note.

J1 cturb,1 Q2, cadente piezometrica.

J1 L1


cturb,2 8*lturb,2/(g*p2*D25), avendo posto JP-B = cturb2*Q2, dove cturb,2 raggruppa le costanti e variabili note.


J2 L2

DHm (YB - YA) + J1 L1 + J2 L2, prevalenza manometrica della pompa.

Pr 9.81 *Q0 * DHm / eta-pompa, potenza reale della pompa.

Ep Pr*365*8*3600, energia annua spesa in kJ.

Ep Pr*365*8, energia annua spesa in kWh.

Ep Pr*365*8/106, energia annua spesa in GWh.

lC-W,1

F(lC-W,1)

cC-W,1 s2/m6

J1 cC-W,1 Q2, cadente piezometrica.

J1 L1

lC-W,2

F(lC-W,2)

cC-W,2 s2/m6


J2 L2

DHm (YB - YA) + J1 L1 + J2 L2, prevalenza manometrica della pompa.

Pr 9.81 *Q0 * DHm / eta-pompa, potenza reale della pompa.

Ep Pr*365*8*3600, energia annua spesa in kJ.

Ep Pr*365*8, energia annua spesa in kWh.

Ep Pr*365*8/106, energia annua spesa in GWh.

e/D3





l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

0.018 -


0.72 -

0.002 -

2.32 m perdita di carico continua tra i serbatoi B e C.

57.68 m

21.39 kW

2.25E+08 kJ

62455.03073 kWh

0.06 GWh

C 15613.76 Eur

0.019 -

0.00025 - Macro: "Idrodinamica_Es31_calcola_lambda"

0.78

0.002 -

2.52 m perdita di carico continua tra i serbatoi B e C.

57.48 m

21.32 kW

2.24E+08 kJ

62241.08868 kWh

0.06 GWh

C 15560.27 Eur

Esercizio 32 13-Feb-12 Civili Edile Architettura

- le piezometriche per i due sistemi.

D = 100 + = mm


200 + = m s.l.m.


150 + = m s.l.m.


L = 2000 + = m


1000 + = m


q = 12 + = m



4

5

1

g 9.81

n 0.000001006

D 110 mm 0.11 m

202 m


cturb,3 8*lturb,3/(g*p2*D35), avendo posto J3 = cturb,3*Q2, dove cturb,3 raggruppa le costanti e variabili note.


J3 L3

DHt YB - YC - J3 L3, prevalenza manometrica alla turbina.

Pr 9.81 *Q * DHt * eta_turbina, potenza reale ottenibile dalla turbina.

Et Pr*365*8*3600, energia annua spesa in kJ.

Et Pr*365*8, energia annua spesa in kWh.

Et Pr*365*8/106, energia annua spesa in GWh

c*Et, ricavo ottenibile dall'impianto.


lC-W,3

F(lC-W,3)

cC-W,3 s2/m6


J3 L3

DHt YB - YC - J3 L3, prevalenza manometrica alla turbina.

Pr 9.81 *Q * DHt * eta_turbina, potenza reale ottenibile dalla turbina.

Et Pr*365*8*3600, energia annua spesa in kJ.

Et Pr*365*8, energia annua spesa in kWh.

Et Pr*365*8/106, energia annua spesa in GWh

c*Et, ricavo ottenibile dall'impianto.

Nel sistema rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata Q0 da un serbatoio A a quota

YA, tramite una condotta in ghisa con numerosi anni di esercizio.

Successivamente (figura 4.b) si decide di erogare una portata concentrata q in corrispondenza del nodo N, posto a distanza

LA-N dal serbatoio di monte. L’allievo determini:

- per la condizione di esercizio illustrata in figura 4.a, la portata Q0 da erogare a servizio del serbatoio B;

- per la condizione di esercizio illustrata in figura 4.b, la potenza teorica di una pompa installata subito a valle del serbatoio

A affinché il serbatoio B riceva sempre Q0;

YA =

YB =

LAN =

m/s2

m2/s

YA

l

e

l

l Re

51,2

D715,310LOG2

1F WC

158 m

L 2020 m

1040 m

q 14.5 l/s 0.0145

Scegliamo un valore di scabrezza per la tubazione assegnata:

h 0.65 -




0.0218 -

Schema 4.a

0.019 -

0.010

98.35

0.0149

1.57 m/s

171234.38 -



0.021 -



164404.58 -


0.0143

0.0219 -

0.0001 -

Macro: "Idrodinamica_Es34_Calcola_Q_4a_e_J_4b"


Schema 4.b

formula di Colebrook - White.

0.0288

3.03 m/s

331239.69 -

0.0815 -

Dall' equazione del moto:

si ricava la potenza manometrica:

YB

LAN

m3/s

Il quesito consiste nel determinare la portata QA-B,1 da erogare a servizio del serbatoio B per lo schema di fig. 4.a; la potenza teorica P t di una pompa

posta subito a valle del serbatoio A, affinchè B riceva sempre QA-B,1.

e/D





c1 s2/m6 8*lturb1/(g*p2*D5), avendo posto JA-B,1 = c1*Q02, dove c1 raggruppa le costanti e variabili note.

Q0 m3/s (JA-B,1 / c1)1/2, portata circolante.

VA-B,1 Q0 / SD, velocità in condotta.




cC-W,1 s2/m6

ReC-W,1

Q0 m3/s (p D ReC-W,1 n / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.

JA-B, di tent cC-W,1 * Q02, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.


Sulla base della portata concentrata q da destinare alla nuova utenza, è possibile valutare la portata circolante sul tronco A - N e quindi la nuova

cadente sul tronco di monte JA_N,2. Anche in questo caso è possibile formulare un'ipotesi sul regime di moto o costruire una procedura iterativa sulla

QA-N,2 m3/s QA-B,1 + q, portata sul tronco di monte (cliccare sul tasto della macro associata per valutare il corretto valore).

vA-N,2 QA-N,2 / SD, velocità in condotta.

ReA-N,2 vA-N,2 D / n, numero di Reynolds


Per procedere con questa alternativa occorre preventivamente verificare se a ReA-N,2 corrisponde moto assolutamente turbolento sull'abaco di Moody.

JA-N,2 JA-N,2 = c1*QA-N,22, dove c1 raggruppa le costanti e variabili note prima valutata.

YA + DHmp - JA-N,2 LA-N - JA-B,1 (L - LA-N) = YB

(si noti che JN-B,2 = JA-B,1 perché la portata sul tronco di valle resta invariata)

el l

D715,3

110

51,2

2

1

84.77 m

21.35 m

62.12 m

17.54 kW

331239.69 -

0.02011 -

0.00052 -

103.17

0.0855 -

Macro: "Idrodinamica_Es32_Calcola_Q_4a_e_J_4b"

88.93 m

21.35 m

66.28 m

18.72 kW

28.80 kW

Esercizio 33 23-Jul-12 Civili Edile Architettura

- determini la portata Q circolante nella tubazione;

- determini la potenza della vena fluida in corrispondenza della sezione contratta C-C;

- tracci la piezometrica e la linea dei carichi totali.

L = 2500 + = m D = 300 + = mm


80 + = m s.l.m. 1000 + = m

prima cifra della matricola * 2 prima cifra della matricola * 2


2

9

5

g 9.81

n 0.000001006

L 2525 m

D 325 mm 0.325 m

84 mm 0.084 m

44 m

0.75 -

JA-N,2 LA-N

JA-B,1 (L - LA-N)

DHmp

Pteorica 9,81 QA-N,2 DHmp, potenza teorica della pompa.


ReC-W,C-B,1 4 QA-N,2 / (p D n), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante.

lC-W,C-B,1

F(lC-W,C-B,1)

cC-W,C-B,1 s2/m6

JA-N, 2 cC-W,C-B, * QA-N,22, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando sul tasto della macro associata.

JA-N,2 LA-N

JA-B,1 (L - LA-N)

DHmp

Pteorica 9,81 QA-N,2 DHmp, potenza teorica della pompa.

Preale Pteorica / h, potenza reale della pompa.

Una tubazione in ghisa con diversi anni di esercizio, di lunghezza L e diametro D, scarica acqua in atmosfera attraverso

l’ugello U-U. Detto dispositivo presenta il diametro inferiore pari a du. Il serbatoio di alimentazione A è caratterizzato da un

livello invariabile e distante HA dal baricentro della sezione contratta C-C. L’allievo:

du = HA =

m/s2

m2/s

du

HA

cc

Il quesito consiste nel determinare la portata Q convogliata dalla condotta in ghisa ed esplulsa in atmosfera attraverso l'ugello; la potenza P t

della vena fluida alla sezione contratta. Per la determinazione della portata circolante, si scrive il teorema di Bernoulli tra un punto A del fluido nel

serbatoio ed il punto B della sezione contratta (traiettoria in blu), comprendendo la perdita di carico concentrata all'imbocco, per tubazione corta:

l

e

l

l Re

51.2

D715.210LOG2

1F WC

1.

il carico HC-C sulla sezione contratta corrisponde al solo termine cinetico, per cui:

2.

ovvero:

3.

Nel seguito si risolverà il problema con la formula di Colebrook-White, ponendo la funzione F della procedura iterativa pari a:

4.

Si determinerà quindi la potenza teorica.

1. Determinazione della portata circolante

0.0055

0.0042

A 0.0830




0.018

0.019 -

0.42

407485.39 -


Q 0.1046

0.0046 -

11.6562 m

32.3034 m

0.0405 m

-0.0001 -

Macro: "Idrodinamica_Es33_Calcola_Q"


1. Determinazione della potenza alla sezione contratta

33.16 kW

Au m2 p * Du2 / 4, area della sezione terminale dell'ugello.

AC-C m2 cc * Au, area della sezione contratta.

m2 p * D2 / 4, area della tubazione.

e/D


cC-W s2/m6

ReC-W

m3/s (p D ReC-W n / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.

JA-B, di tent cC-W * Q02, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

JA-B, di tent L

HC-C

zimb


Pteorica 9,81 Q HC-C, potenza della vena fluida alla sezione contratta.

el l

D715,3

110

51,2

2

1

2

2

C-CAAg2

Q0,5LJHH

2

2

52

2

2C-C

2

AAg2

Q0,5L

Dπg

Qλ8

Ag2

QH

2

2

52

2

2u

2C

2

AAg2

Q0,5L

Dπg

Qλ8

Acg2

QH

2

2

52

2

2u

2C

2

AAg2

Q0,5L

Dπg

QRe,D

ελ8

Acg2

QHQF

Edile Architettura

Prova scritta Civili 30/03/2012

0.034

0.71 m/s

Re 173315.97 -

0.0020 -

4.94 m

255.06 m

54.57 kW

E 1.72E+09 kJ

E 477991.67 kWh

E 0.48 GWh

0.04 GWh

Qn

v0

JA-B

JA-B L

DHm

Pr

DE

Esercitazioni del corso di Idraulica

Correnti a superficie libera

Esercizio 1 2-Dec-08 esame

effluente pari a Q l’allievo determini per via numerica il profilo di corrente.

Per il caso generale di restringimento con soglia, fare riferimento all'esercizio N. 7.

i = 9 + = m/km


0.45 + =


B = 3.00 + = m


b = 1.50 + = m


Q = 60.0 + =



5

5

1

g 9.81 accelerazione di gravità

i 0.0095 - pendenza di fondo

g 0.5 coefficiente della formula di Bazin

B 3.5 m larghezza al fondo del canale

b 2 m larghezza in corrispondenza del restringimento

Q 60.5 portata circolante

3.12 m

A C R Chi

2.89 10.11 9.28 1.09 58.82 4.70801E-07 4.71 505297.77 3.37 -1.69914E-06

4.54 6.80 6.44 -0.00026513 1.73 -0.00058992 654984.74

Macro: 'CSL_Es1_Calcola_restringimento'

Esercizio 2 8-Jan-09 esame

infinita mentre quello di valle è lungo L. Esso quindi sbocca in un bacino di capacità praticamente infinita.

valle è pari ad H.

L = 1500 + = m


H = 4.00 + = m


Lungo un alveo rettangolare di base B e lunghezza indefinita è presente un restringimento di larghezza b. Per una portata

g = m1/2

m3/s

m/s2

m1/2

m3/s

kB (Q2/ (g B2))1/3, altezza di stato critico fuori restringimento.

hu F(hu)=0 H(hu) N(hu) hl,v* F(hl,v

*)=0

kb H(kb) hl F(hl)=0 hv F(hv)=0 N(hv)

L’alveo rettangolare rappresentato in figura è costituito da una successione di due tronchi di uguale pendenza

i, larghezza B ma con scabrezze differenti g1 e g2. Il tronco di monte è caratterizzato da una lunghezza praticamente

L’allievo determini il profilo di corrente, sapendo che il pelo libero nel bacino in corrispondenza della sezione estrema di

i = 0.7 + = %


B = 5 + = m


0.7 + =


1.2 + =


Q = 60.0 + =



4

4

5


L 1700 m lunghezza del tronco di valle

H 4.4 m altezza d'acqua sulla sezione estrema di valle



0.78 coefficiente della formula di Bazin per il tronco di monte

1.28 coefficiente della formula di Bazin per il tronco di valle

Q 92 portata circolante

3.06 m

A C R Chi1

3.00 16.50 11.50 1.43 52.69 0.0000

A C R Chi2 Macro: 'CSL_Es2_Calcola_alvei'

3.55 19.51 12.60 1.55 42.89 0.0003

Integrazione numerica del profilo di valle

idraulico.

n 10

0.085

condizione al contorno: h = H

h C A R Chi termine cin. H J

1 4.40 14.30 24.20 1.69 43.85 0.737 5.14 0.0044

2 4.31 14.13 23.73 1.68 43.77 0.766 5.08 0.0047 0.056 0.005 17.21

3 4.23 13.96 23.26 1.67 43.68 0.797 5.03 0.0049 0.054 0.005 17.98

4 4.14 13.79 22.79 1.65 43.60 0.830 4.97 0.0052 0.05 0.005 18.95

5 4.06 13.62 22.33 1.64 43.51 0.866 4.92 0.0055 0.05 0.005 20.23

6 3.97 13.45 21.86 1.63 43.41 0.903 4.88 0.0058 0.05 0.006 21.97

7 3.89 13.28 21.39 1.61 43.32 0.943 4.83 0.0061 0.05 0.006 24.48

8 3.80 13.11 20.92 1.60 43.22 0.986 4.79 0.0065 0.04 0.006 28.43

9 3.72 12.94 20.45 1.58 43.11 1.032 4.75 0.0069 0.04 0.007 35.56

10 3.63 12.77 19.98 1.57 43.00 1.080 4.71 0.0073 0.04 0.007 52.26

11 3.55 12.60 19.51 1.55 42.89 1.133 4.68 0.0078 0.03 0.008 137.34

12

13

14

15

16

17

18

19

g1 = m1/2

g2 = m1/2

m3/s

m/s2

g1 m1/2

g2 m1/2

m3/s

kB (Q2/ (g B2))1/3, altezza di stato critico.

hu,1 F(hu1)=0

hu,2 F(hu2)=0

Occorre determinare per via numerica il tirante sulla sezione di cambio scabrezza, quindi la spinta per tale tirante e stabilire la posizione del risalto

numero di punti del profilo compreso tra hu,2 e H (inserire un valore max pari a 49, e adeguare la tabella).

Dh (H - hu,2) / n, passo di discretizzazione sul tirante.

DH Jm Ds

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

La lunghezza per il quale si raggiunge moto uniforme è pari a: 374.42

Il moto uniforme viene raggiunto sul tronco di valle prima della sezione di cambio scabrezza

precedente:

3.55 m valore del tirante in corrispondenza della sezione di cambio della scabrezza

773326.32 N valore della spinta per il tirante sulla sezione di cambio della scabrezza

755760.67 N valore della spinta per il tirante di moto uniforme sul tratto di monte

Il risalto avviene nel tratto di monte, si consideri pertanto la parte sinistra della tabella che segue

Macro: 'CSL_Es2_Calcola_alvei'

3.11 -2.80095E-07 2.61 0.00

Esercizio 3 5-Feb-09 esame

da un gradino di altezza s, posto ad una distanza L dalla sezione di imbocco.

di valle di lunghezza indefinita.

L = 4500 + = m


H = 6.00 + = m


a = 0.5 + = m


Per la somma dei Ds, si considerino in tabella solamente i valori corrispondenti ad h >= hu,2, estendendo la stessa al numero di righe necessario.

La cella che segue deve contenere il varore del tirante in corrispondenza della sezione di cambio della scabrezza, dedotto dalla tabella

hCS

N(hCS)

N(hu1)

hl* F(hl*)=0 hv* F(hv*)=0

Il serbatoio di capacità infinita rappresentato in figura fornisce una portata Q ad un alveo, tramite

una paratoia di apertura a. L’alveo è costituito da una successione di due canali rettangolari distinti

L’allievo determini il profilo di corrente evidenziando le zone in moto uniforme. Si assuma il canale

s = 0.2 + = m


i = 0.3 + = %


B = 3.0 + = m


1.1 + =



1

7

5


L 4850 m lunghezza del tronco di monte

H 6.7 m altezza d'acqua a monte della paratoia

a 1.21 m apertura della paratoia

s 0.25 m altezza del gradino



1.24 coefficiente della formula di Bazin

Bernoulli in corrispondenza della paratoia:

avendo formulato l'ipotesi di efflusso libero a valle della paratoia.

0.6 - coefficiente di contrazione assunto per la paratoia

0.73 m tirante in corrispondenza della sezione contratta

Q 27.51 portata circolante dall'equazione di Bernoulli

Caratterizzazione dei due alvei (cliccare sul pulsante per avviare la funzione "ricerca obiettivo")

1.85 m

A C R Chi2

3.24 11.34 9.98 1.14 40.22 0.000

Macro: 'CSL_Es3_Calcola_hu_k_e_risalto'

Gli alvei sono quindi a debole pendenza. Verifichiamo a questo punto che l'efflusso sia effettivamente libero sotto la paratoia:

306878.88 N valore della spinta in corrispondenza della sezione contratta, posta subito a valle della paratoia

247032.69 N valore della spinta in condizioni di moto uniforme

Poiché N(cc a) > N(hu), l'ipotesi sul tipo di efflusso è soddisfatta

Integriamo a questo punto il profilo di corrente veloce, andando a constatare che il risalto sia contenuto nel tratto di lunghezza L

g = m1/2

m/s2

g m1/2

Per procedere al tracciamento del profilo occorre innanzitutto determinare la portata scaricata in alveo, tramite applicazione del trinomio di

cc

cc a

m3/s

kB (Q2/ (g B2))1/3, altezza di stato critico comune ai due alvei.

hu F(hu)=0

N(cc a)

N(hu)

e ipotizzando che la coniugata di hv* risulti hu. L'ipotesi risulterà soddisfatta se: DsTOT,2 <= L - DsTOT,1.

hv* N(hv*)-N(hu)=0

2c2

2

cacBg2

QacH

0.93 0.00 limite superiore della tabella successiva; assicurarsi di estendere la tabella fino al valore di questo tirante.

n 19 numero di punti del profilo (inserire un valore max pari a 19, e adeguare la tabella)

0.011

h C A R Chi termine cin. H J DH Ds

1 0.73 4.952 2.541 0.51 31.86 5.97 6.70 0.2251

2 0.74 4.973626156 2.579 0.52 31.96 5.80 6.54 0.2148 0.16 0.220 0.75

3 0.75 4.995252312 2.617 0.52 32.06 5.63 6.38 0.2052 0.16 0.210 0.75

4 0.76 5.016878468 2.655 0.53 32.17 5.47 6.23 0.1962 0.15 0.201 0.75

5 0.77 5.038504624 2.692 0.53 32.27 5.32 6.09 0.1877 0.14 0.192 0.75

6 0.78 5.06013078 2.730 0.54 32.36 5.17 5.95 0.1796 0.14 0.184 0.75

7 0.79 5.081756936 2.768 0.54 32.46 5.03 5.82 0.1721 0.13 0.176 0.75

8 0.80 5.103383092 2.806 0.55 32.56 4.90 5.70 0.1649 0.12 0.169 0.75

9 0.81 5.125009248 2.844 0.55 32.65 4.77 5.58 0.1582 0.12 0.162 0.75

10 0.82 5.146635404 2.882 0.56 32.74 4.65 5.47 0.1518 0.11 0.155 0.75

11 0.83 5.168261561 2.919 0.56 32.83 4.53 5.36 0.1458 0.11 0.149 0.75

12 0.84 5.189887717 2.957 0.57 32.92 4.41 5.26 0.1401 0.10 0.143 0.75

13 0.86 5.211513873 2.995 0.57 33.01 4.30 5.16 0.1347 0.10 0.137 0.74

14 0.87 5.233140029 3.033 0.58 33.09 4.19 5.06 0.1296 0.10 0.132 0.74

15 0.88 5.254766185 3.071 0.58 33.18 4.09 4.97 0.1247 0.09 0.127 0.74

16 0.89 5.276392341 3.109 0.59 33.26 3.99 4.88 0.1201 0.09 0.122 0.74

17 0.90 5.298018497 3.147 0.59 33.35 3.90 4.79 0.1157 0.08 0.118 0.74

18 0.91 5.319644653 3.184 0.60 33.43 3.80 4.71 0.1116 0.08 0.114 0.74

19 0.92 5.341270809 3.222 0.60 33.51 3.72 4.64 0.1076 0.08 0.110 0.73

20 0.93 5.362896965 3.260 0.61 33.59 3.63 4.56 0.1038 0.07 0.106 0.73

14.16

Il risalto avviene all'interno del tratto di monte.

n 19 numero di punti del profilo (inserire un valore max pari a 19, e adeguare la tabella)

0.013


1 3.49 10.48 12.218 1.17 40.49 0.26 3.75 0.0027

2 3.48 10.46 12.172 1.16 40.48 0.26 3.74 0.0027 0.01 0.003 20.93

3 3.46 10.43 12.126 1.16 40.47 0.26 3.73 0.0027 0.01 0.003 21.94

4 3.45 10.40 12.080 1.16 40.45 0.26 3.72 0.0027 0.01 0.003 23.06

5 3.44 10.38 12.034 1.16 40.44 0.27 3.70 0.0028 0.01 0.003 24.33

6 3.43 10.35 11.988 1.16 40.42 0.27 3.69 0.0028 0.01 0.003 25.78

7 3.41 10.32 11.942 1.16 40.41 0.27 3.68 0.0028 0.01 0.003 27.44

8 3.40 10.30 11.896 1.16 40.40 0.27 3.67 0.0028 0.01 0.003 29.36

9 3.39 10.27 11.850 1.15 40.38 0.27 3.66 0.0029 0.01 0.003 31.62

10 3.37 10.24 11.804 1.15 40.37 0.28 3.65 0.0029 0.01 0.003 34.31

11 3.36 10.22 11.758 1.15 40.35 0.28 3.64 0.0029 0.01 0.003 37.57

12 3.35 10.19 11.711 1.15 40.34 0.28 3.63 0.0030 0.01 0.003 41.60

13 3.33 10.17 11.665 1.15 40.32 0.28 3.62 0.0030 0.01 0.003 46.70

14 3.32 10.14 11.619 1.15 40.31 0.29 3.61 0.0030 0.01 0.003 53.37

questo valore va scelto sulla base della differenza hv* - cc a e del numero di punti del profilo che si intende determinare.

Dh (hv* - cc a) / n, passo di discretizzazione sul tirante.

condizione al contorno: h = cc a

Jm

La lunghezza per il quale si raggiunge moto uniforme è pari a DsTOT,1 =

A questo punto, sul tratto seguente il gradino la corrente sarà caratterizzata da moto uniforme perché essendo lenta è governata da valle. Occorre

verificare che il relativo profilo di corrente lenta ritardata, seguente il risalto è compreso tra hu e hu + s:

questo valore va scelto sulla base della differenza (hu +s - hu ) = s, e del numero di punti del profilo che si intende determinare.

Dh condizione al contorno: h = hu+s

Jm

15 3.31 10.11 11.573 1.14 40.29 0.29 3.59 0.0030 0.01 0.003 62.46

16 3.29 10.09 11.527 1.14 40.28 0.29 3.58 0.0031 0.01 0.003 75.61

17 3.28 10.06 11.481 1.14 40.26 0.29 3.57 0.0031 0.01 0.003 96.27

18 3.27 10.03 11.435 1.14 40.25 0.29 3.56 0.0031 0.01 0.003 133.47

19 3.25 10.01 11.389 1.14 40.23 0.30 3.55 0.0032 0.01 0.003 220.34

20 3.24 9.98 11.343 1.14 40.22 0.30 3.54 0.0032 0.01 0.003 656.17

1662.33

Il profilo ipotizzato non è corretto. La coniugata di hv* è maggiore di hu; i due profili di corrente vanno integrati contemporaneamente.

Esercizio 4 26-Mar-09 esame

6.00 + = m


B = 2.0 + =


0.9 + =


i = 0.5 + = %



4

5

1

g 9.81 vecchi valori accelerazione di gravità

8.1 m 7 altezza d'acqua all'imbocco

B 11 m 2.2 larghezza al fondo del canale

0.6 1 scabrezza del canale

i 0.0150 - 0.007 pendenza di fondo

le procedure per entrambe le ipotesi; si noti come solo una tra esse è la corretta. Si ricorda di cliccare sul tasto "Calcola" per risolvere le procedure.

Macro: 'CSL_Es4_Calcola_imbocco'

hp: debole pendenza NON VERIFICATA

hu A C R Chi F(hu) Qu

2.85 31.33 16.70 1.88 60.50 2.45504E-05 318.05

k

4.40 m

_____ profilo di corrente ovunque in moto uniforme

--------- stato critico

hp: forte pendenza VERIFICATA

La lunghezza per il quale si raggiunge moto uniforme è pari a DsTOT,2 =

Un serbatoio di capacità praticamente infinita presenta un’altezza hs in corrispondenza dell’imbocco rappresentato in

figura. L’allievo determini il profilo di corrente in corrispondenza dell’alveo di valle, di sezione rettangolare con base B,

scabrezza g, pendenza i e lunghezza indefinita.

hs =

m1/2

g = m1/2

m/s2

hs

g m1/2

Per la risoluzione del quesito occorre formulare una ipotesi sul tipo d'alveo verificando a posteriori la sua correttezza. Nel seguito sono riportate

m3/s

k A Q hu A(hu) C(hu) R(hu) Chi(hu) F(hu)

5.40 59.40 432.33 3.54 38.95 18.08 2.15 61.75 0.00



Esercizio 5 14-May-09 esame

profilo di corrente evidenziando le zone in moto uniforme.

4.00 + = m


6.00 + = m


L = 15000 + =


B = 4.0 + =


0.95 + =


i = 0.3 + = %



3

2

8


4.2 m altezza d'acqua a monte della paratoia

6.3 m altezza d'acqua in corrispondenza del serbatoio di valle


L 15400 m lunghezza del canale

0.99 scabrezza del canale


a 0.80 m apertura della paratoia

0.61 - coefficiente di contrazione assunto per la luce

0.49 m altezza della sezione contratta a valle della paratoia

oppure rigurgitato; nel seguito vengono proposte le due procedure alla base delle due ipotesi: si noti come solo una tra esse è la corretta.

Si ricorda di cliccare sul tasto "Calcola" per risolvere le procedure.

Macro: 'Calcola_alveo_Es5_CSL'

m3/s

profilo idrico (da integrare numericamente a partire dalla condizione al contorno h(0) = k

Un canale di sezione rettangolare di base B, scabrezza g, pendenza i e lunghezza L è posto tra due serbatoi con

livello idrico rispettivamente pari ad H1 e H2. A monte è inoltre presente una paratoia di apertura a. L’allievo determini il

H1 =

H2 =

m1/2

m1/2

g = m1/2

m/s2

H1

H2

g m1/2

cc

cc a

Per la risoluzione del quesito occorre formulare una ipotesi sul tipo di efflusso in corrispondenza della paratoia. Esso potrà infatti essere libero

hp: efflusso libero in corrispondenza della paratoia VERIFICATA (si veda il confronto tra le spinte)

Equazione alla base dell'ipotesi: si tenga conto dei calcoli seguenti

da cui

Qu

23.32

hu A C R Chi F(hu)

1.46 8.19 8.53 0.96 43.29 0.00

k

1.21 m

205569.633 N valore della spinta in corrispondenza della sezione contratta, posta subito a valle della paratoia

125183.03 N valore della spinta in condizioni di moto uniforme

Coniugata in corrente veloce dell'altezza di moto uniforme

0.99 0.00 limite superiore della tabella successiva; assicurarsi di estendere la tabella fino al valore di questo tirante

_ _ _ _ _ moto uniforme

- - - - - - - stato critico

Integrazione del profilo di monte

Dh 0.050


1 0.49 6.58 2.733 0.42 34.31 3.71 4.20 0.1489

2 0.54 6.68 3.012 0.45 35.17 3.06 3.59 0.1074 0.61 0.128 4.85

3 0.59 6.78 3.291 0.49 35.94 2.56 3.15 0.0800 0.45 0.094 4.93

4 0.64 6.88 3.570 0.52 36.65 2.17 2.81 0.0612 0.33 0.071 4.97

5 0.69 6.97 3.850 0.55 37.30 1.87 2.56 0.0478 0.25 0.054 4.96

6 0.74 7.07 4.129 0.58 37.89 1.63 2.36 0.0381 0.19 0.043 4.90

7 0.79 7.17 4.408 0.61 38.44 1.43 2.21 0.0308 0.15 0.034 4.79

8 0.84 7.27 4.687 0.64 38.96 1.26 2.10 0.0253 0.12 0.028 4.63

9 0.89 7.37 4.966 0.67 39.43 1.12 2.01 0.0211 0.09 0.023 4.40

10 0.94 7.47 5.246 0.70 39.88 1.01 1.94 0.0177 0.07 0.019 4.12

11 0.99 7.57 5.525 0.73 40.29 0.91 1.89 0.0150 0.05 0.016 3.75

42.54

Integrazione del profilo di valle

Dh 0.484


1 6.30 18.20 35.280 1.94 50.85 0.02 6.32 0.0001

2 5.82 17.23 32.571 1.89 50.58 0.03 5.84 0.0001 0.48 0.000 154.62

3 5.33 16.27 29.863 1.84 50.27 0.03 5.36 0.0001 0.48 0.000 155.37

4 4.85 15.30 27.154 1.78 49.91 0.04 4.89 0.0002 0.48 0.000 156.41

5 4.37 14.33 24.445 1.71 49.49 0.05 4.41 0.0002 0.47 0.000 157.90

6 3.88 13.36 21.737 1.63 48.98 0.06 3.94 0.0003 0.47 0.000 160.15

7 3.40 12.40 19.028 1.54 48.36 0.08 3.47 0.0004 0.47 0.000 163.82

m3/s

N(cc a)

N(hu)

Profilo per alveo a debole pendenza (Parte valida se hu > k)

hv* N(hv*)-N(hu)=0

profilo idrico (da integrare numericamente da monte a partire dalla condizione al contorno h(0) = cc a

e da valle a partire dalla condizione al contorno h(0) = H2)

condizione al contorno: h = cca

Jm

tirante finale: h = hv* La lunghezza per il quale si raggiunge il risalto è pari a DsTOT,monte =

condizione al contorno: h = H2

Jm

22

1Baccg2

QaccH

accHg2BaccQ 1

8 2.91 11.43 16.319 1.43 47.58 0.10 3.02 0.0006 0.46 0.001 170.54

9 2.43 10.46 13.611 1.30 46.58 0.15 2.58 0.0010 0.44 0.001 185.34

10 1.95 9.49 10.902 1.15 45.22 0.23 2.18 0.0019 0.40 0.001 234.58

11 1.46 8.53 8.193 0.96 43.29 0.41 1.88 0.0045 0.30 0.003 12496.87

1538.72

13818.74

Coniugata in corrente lenta dell'altezza di moto uniforme

1.46 0.00 limite superiore della tabella relativa al profilo di valle;

assicurarsi di estendere la tabella fino al valore di questo tirante.




Dh 0.098


1 0.49 6.58 2.733 0.42 34.31 3.71 4.20 0.1489

2 0.59 6.77 3.279 0.48 35.91 2.58 3.16 0.0810 1.04 0.115 9.27

3 0.68 6.97 3.825 0.55 37.24 1.89 2.58 0.0488 0.59 0.065 9.50

4 0.78 7.16 4.371 0.61 38.37 1.45 2.23 0.0317 0.35 0.040 9.35

5 0.88 7.36 4.917 0.67 39.35 1.15 2.02 0.0217 0.21 0.027 8.80

6 0.98 7.55 5.463 0.72 40.20 0.93 1.90 0.0156 0.12 0.019 7.78

7 1.07 7.75 6.009 0.78 40.96 0.77 1.84 0.0116 0.06 0.014 6.13

8 1.17 7.94 6.555 0.83 41.63 0.65 1.82 0.0088 0.03 0.010 3.58

9 1.27 8.14 7.101 0.87 42.24 0.55 1.82 0.0069 0.00 0.008 0.45

10 1.37 8.33 7.647 0.92 42.79 0.47 1.84 0.0055 -0.02 0.006 7.19

11 1.46 8.53 8.193 0.96 43.29 0.41 1.88 0.0045 -0.04 0.005 20.05

62.05


Dh 0.484


1 6.30 18.20 35.280 1.94 50.85 0.02 6.32 0.0001

2 5.82 17.23 32.571 1.89 50.58 0.03 5.84 0.0001 0.48 0.000 154.62

3 5.33 16.27 29.863 1.84 50.27 0.03 5.36 0.0001 0.48 0.000 155.37

4 4.85 15.30 27.154 1.78 49.91 0.04 4.89 0.0002 0.48 0.000 156.41

5 4.37 14.33 24.445 1.71 49.49 0.05 4.41 0.0002 0.47 0.000 157.90

6 3.88 13.36 21.737 1.63 48.98 0.06 3.94 0.0003 0.47 0.000 160.15

7 3.40 12.40 19.028 1.54 48.36 0.08 3.47 0.0004 0.47 0.000 163.82

8 2.91 11.43 16.319 1.43 47.58 0.10 3.02 0.0006 0.46 0.001 170.54

9 2.43 10.46 13.611 1.30 46.58 0.15 2.58 0.0010 0.44 0.001 185.34

10 1.95 9.49 10.902 1.15 45.22 0.23 2.18 0.0019 0.40 0.001 234.58

11 1.46 8.53 8.193 0.96 43.29 0.41 1.88 0.0045 0.30 0.003 12496.87

1538.72

tirante finale: h = hu La lunghezza per il quale si raggiunge il moto uniforme è pari a DsTOT,valle =

Lu = L - DsTOT,monte - DsTOT,valle, lunghezza dell'alveo caratterizzata da moto uniforme

Profilo per alveo a forte pendenza (Parte valida se hu < k)

hl* N(hl*)-N(hu)=0

profilo idrico (da integrare numericamente da monte a partire dalla condizione al contorno h(0) = cc a al moto uniforme

e da valle a partire dalla condizione al contorno h(0) = H2 all'altezza coniugata del moto uniforme hl*)


Jm

tirante finale: h = hu La lunghezza per il quale si raggiunge il risalto è pari a DsTOT,monte =


Jm

tirante finale: h = hv* La lunghezza per il quale si raggiunge il moto uniforme è pari a DsTOT,valle =

13799.23

hp: efflusso rigurgitato in corrispondenza della paratoia NON VERIFICATA (si veda il confronto precedente tra le spinte)

(risalto adossato alla parete, vedi figura seguente) Si tenga conto della procedura precedente (effl. Libero)

Si assume con modesta approssimazione che nelle vicinanze della paratoia ci sia moto uniforme;

le equazioni alla base delle ipotesi formulate sono pertanto le seguenti:

ovvero la quale viene di seguito risolta

con la funzione ricerca obiettivo

hu A C R Chi F(hu)

1.34 7.51 8.28 0.91 42.66 0.00

Qu k

20.47 1.11 m

Profilo per alveo a debole pendenza




Dh 0.496


1 6.30 18.20 35.280 1.94 50.85 0.02 6.32 0.0001

2 5.80 17.21 32.503 1.89 50.57 0.03 5.83 0.0001 0.49 0.000 158.52

3 5.31 16.22 29.726 1.83 50.25 0.03 5.34 0.0001 0.49 0.000 159.32

4 4.81 15.22 26.949 1.77 49.88 0.04 4.85 0.0002 0.49 0.000 160.43

5 4.32 14.23 24.172 1.70 49.44 0.05 4.36 0.0002 0.49 0.000 162.05

6 3.82 13.24 21.396 1.62 48.91 0.06 3.88 0.0003 0.48 0.000 164.53

7 3.32 12.25 18.619 1.52 48.25 0.08 3.40 0.0004 0.48 0.000 168.68

8 2.83 11.26 15.842 1.41 47.42 0.11 2.94 0.0007 0.47 0.001 176.56

9 2.33 10.27 13.065 1.27 46.34 0.16 2.50 0.0012 0.44 0.001 195.18

10 1.84 9.27 10.288 1.11 44.85 0.26 2.10 0.0023 0.40 0.002 270.52

11 1.34 8.28 7.511 0.91 42.66 0.49 1.83 0.0058 0.27 0.004 305.11

1615.78

13784.22

Esercizio 6 5-Jun-09 test Civili ripreso il: 20-Jan-10

uniforme.

i = 3 + = m/km


m3/s


e da valle a partire dalla condizione al contorno h(0) = H2)


Jm

tirante finale: h = hv* La lunghezza per il quale si raggiunge il moto uniforme è pari a DsTOT,valle =


Lungo un alveo rettangolare di base B e lunghezza indefinita è presente una soglia di lunghezza limitata ed altezza a.

Per una portata effluente pari a Q l’allievo determini per via numerica il profilo di corrente, evidenziando le zone in moto

ihRhAhQ

Bacg2

QhH

uuu

2c

2

u1 2c

u2

u2

uu1

Bacg2

ihRhAhhH


1.10 + =


B = 8.00 + = m


a = 1.50 + = m


Q = 120.0 + =



2

9

5

g 9.81 accelerazione di gravità VALORI ORIGINALI DEL TEST

i 0.0032 - pendenza di fondo 0.0099g 1.28 coefficiente della formula di Bazin 1.2B 8.5 m larghezza al fondo del canale 3.2a 1.54 m altezza della soglia 0.84Q 124.5 portata circolante 62.5

alveo").


1. Caratterizzazione dell'alveo

k 2.80 m

3.94 m valore di tentativo attribuito all'altezza di moto uniforme.

La macro prevede in automatico un valore di primo tentativo

A 33.52 m

C 16.39 m

R 2.05 m

Chi 45.91

0.00

L'alveo è a debole pendenza

4.65 m

4.19 m

5.73 m carico totale di stato critico in corrispondenza della soglia, riferito al fondo del canale circostante

Il carico di moto uniforme non è sufficiente al transito; la corrente è quindi costretta a rigurgitare a monte per acquisire carico.

Si consideri la prossima tabella 2.1.

2.1. Carico non sufficiente al transito

1110756.698 N Spinta totale di moto uniforme, necessaria per il calcolo della coniugata nel risalto

1.90 m coniugata dell'altezza di moto uniforme nel risalto; occorre considerare il pedice "l" (lenta) nel caso in cui

l'alveo risulta a forte pendenza, in cui il risalto avviene a monte della soglia, ovvero il pedice "v" (veloce)

nel caso in cui l'alveo risulta a debole pendenza, in cui il risalto avviene a valle della soglia.

-5.12227E-09 N

5.35 m altezza idrica di corrente lenta subito a monte della soglia (valore iniziale in macro elevato)

-0.00054769 m

1.63 m altezza idrica di corrente lenta subito a valle della soglia (valore iniziale in macro prossimo a zero)

g = m1/2

m3/s

m/s2

m1/2

m3/s

Per il tracciamento del profilo occorre determinare il tipo d'alveo e successivamente constatare se la corrente ha a disposizione un carico Hu

sufficiente al transito sulla soglia (Hk + a). Nel seguito il quesito viene risolto con una singola macro (da eseguire cliccando sul tasto "calcola

(Q2/ (g B2))1/3, altezza di stato critico

hu

B hu, area bagnata

B + 2hu, contorno bagnato

A / C, raggio idraulico

m1/2/s 87 / (1 + g/R1/2), parametro di resistenza della formula di Chezy

F(hu)=0 m3/s Q - Chi(hu) A(hu) R(hu) 1/2 i1/2, funzione ricerca obiettivo basata sulla incognita hu

2. Confronto tra Hu e Hk + a e profili conseguenti

Hu=H(hu) hu + Q2/(2 g A(hu)2 ), carico totale di moto uniforme fuori soglia

Hk=H(k) 3 k/2, carico totale di stato critico per sezione rettangolare

Hk+a

N(hu)

hl,v*

F(hl,v*)=0 = N(hu) - N(hl,v

*), funzione ricerca obiettivo per la determinazione di hl,v*

hl

F(hl)=0 = Hk + a - (hl + Q2/(2 g B2 hl2)), funzione ricerca obiettivo per la determinazione di hl

hv

-0.00023683 m

1228079.746 N

pendenza, per constatare se il risalto è addossato alla soglia o meno, altrimenti non considerare questa ultima parte.

- Risulta N(hv) > N(hu); Il risalto è a distanza finita dalla soglia.




Dh 0.346


1 5.35 19.21 45.507 2.37 47.50 0.38 5.74 0.0014

2 5.01 18.52 42.570 2.30 47.18 0.44 5.44 0.0017 0.29 0.002 174.91

3 4.66 17.83 39.633 2.22 46.81 0.50 5.17 0.0020 0.28 0.002 206.06

4 4.32 17.13 36.696 2.14 46.41 0.59 4.90 0.0025 0.26 0.002 278.58

5 3.97 16.44 33.760 2.05 45.95 0.69 4.66 0.0031 0.24 0.003 622.94

6 3.63 15.75 30.823 1.96 45.43 0.83 4.46 0.0040 0.21 0.004 532.83

7 3.28 15.06 27.886 1.85 44.83 1.02 4.30 0.0054 0.16 0.005 107.52

8 2.94 14.37 24.949 1.74 44.13 1.27 4.20 0.0074 0.09 0.006 29.18

9 2.59 13.68 22.012 1.61 43.30 1.63 4.22 0.0106 -0.02 0.009 2.73

10 2.24 12.99 19.075 1.47 42.31 2.17 4.42 0.0162 -0.20 0.013 19.13

11 1.90 12.30 16.138 1.31 41.09 3.03 4.93 0.0269 -0.52 0.022 28.18

1973.88


Dh 0.231


1 1.63 11.77 9.143 0.78 35.48 0.33 1.96 0.1896

2 1.86 9.33 10.437 1.12 44.94 0.25 2.12 0.0630 -0.15 0.126 1.25

3 2.09 9.79 11.731 1.20 45.68 0.20 2.30 0.0450 -0.18 0.054 3.50

4 2.33 10.25 13.025 1.27 46.32 0.16 2.49 0.0335 -0.19 0.039 5.35

5 2.56 10.71 14.319 1.34 46.87 0.14 2.69 0.0258 -0.20 0.030 7.67

6 2.79 11.18 15.613 1.40 47.34 0.11 2.90 0.0203 -0.21 0.023 10.57

7 3.02 11.64 16.907 1.45 47.77 0.10 3.12 0.0164 -0.21 0.018 14.16

8 3.25 12.10 18.201 1.50 48.14 0.08 3.33 0.0134 -0.22 0.015 18.63

9 3.48 12.56 19.495 1.55 48.48 0.07 3.55 0.0112 -0.22 0.012 24.20

10 3.71 13.02 20.789 1.60 48.78 0.06 3.78 0.0094 -0.22 0.010 31.24

11 3.94 13.49 22.083 1.64 49.05 0.06 4.00 0.0081 -0.22 0.009 40.27

116.58

F(hv)=0 = Hk + a - (hv + Q2/(2 g B2 hv2)), funzione ricerca obiettivo per la determinazione di hv

N(hv) Spinta corrispondente al tirante hv. La sua determinazione è necessaria qualora l'alveo risulti a debole

2.1.1. Profilo per alveo a forte pendenza (Parte valida se hu < k)

profilo idrico (da integrare numericamente da monte a partire dalla condizione al contorno h(0) = hl fino al tirante hl*

e da valle a partire dalla condizione al contorno h(0) = hv fino alla condizione asintotica hu)

condizione al contorno: h = hl

Jm

tirante finale: h = hl* La lunghezza per il quale si raggiunge il risalto è pari a DsTOT,monte =

condizione al contorno: h = hv

Jm


2.1.2. Profilo per alveo a debole pendenza (Parte valida se hu > k)

hv

hu

hl

hu

hl*

huhv

hl

hu

hv*




Dh 0.141


1 5.35 19.21 45.507 2.37 47.50 0.38 5.74 0.0014

2 5.21 18.93 44.308 2.34 47.37 0.40 5.62 0.0015 0.12 0.001 68.70

3 5.07 18.64 43.109 2.31 47.24 0.43 5.50 0.0016 0.12 0.002 72.15

4 4.93 18.36 41.910 2.28 47.10 0.45 5.38 0.0017 0.12 0.002 76.55

5 4.79 18.08 40.712 2.25 46.95 0.48 5.27 0.0019 0.11 0.002 82.33

6 4.65 17.80 39.513 2.22 46.80 0.51 5.15 0.0020 0.11 0.002 90.27

7 4.51 17.52 38.314 2.19 46.64 0.54 5.05 0.0022 0.11 0.002 101.81

8 4.37 17.23 37.115 2.15 46.47 0.57 4.94 0.0024 0.11 0.002 120.04

9 4.23 16.95 35.916 2.12 46.29 0.61 4.84 0.0026 0.10 0.003 153.07

10 4.08 16.67 34.717 2.08 46.11 0.66 4.74 0.0029 0.10 0.003 230.85

11 3.94 16.39 33.518 2.05 45.91 0.70 4.65 0.0032 0.09 0.003 631.67

995.76


Dh 0.027


1 1.63 11.77 13.877 1.18 39.93 4.10 5.73 0.0428

2 1.66 11.82 14.103 1.19 40.06 3.97 5.63 0.0407 0.10 0.042 2.70

3 1.69 11.87 14.329 1.21 40.18 3.85 5.53 0.0387 0.10 0.040 2.68

4 1.71 11.92 14.556 1.22 40.30 3.73 5.44 0.0369 0.09 0.038 2.66

5 1.74 11.98 14.782 1.23 40.42 3.62 5.35 0.0352 0.09 0.036 2.64

6 1.77 12.03 15.008 1.25 40.54 3.51 5.27 0.0336 0.08 0.034 2.62

7 1.79 12.08 15.234 1.26 40.65 3.40 5.20 0.0321 0.08 0.033 2.59

8 1.82 12.14 15.460 1.27 40.77 3.31 5.12 0.0306 0.07 0.031 2.57

9 1.85 12.19 15.686 1.29 40.88 3.21 5.06 0.0293 0.07 0.030 2.54

10 1.87 12.24 15.912 1.30 40.98 3.12 4.99 0.0280 0.06 0.029 2.51

11 1.90 12.30 16.138 1.31 41.09 3.03 4.93 0.0269 0.06 0.027 2.48

23.49

2.2. Carico sufficiente al transito

3.11 m Carico di moto uniforme sulla soglia (si assume la linea dell'energia parallela al fondo ovunque).

-1.53 m Altezza idrica sulla soglia; il tirante soluzione sarà in corrente lenta nel caso in cui

l'alveo risulta a debole pendenza (la corrente si deprime sulla soglia), ovvero in corrente veloce nel caso in cui

l'alveo risulta a forte pendenza (la corrente incrementa il tirante sulla soglia).

2.57385E-05 m

Esercizio 7 11-Jun-09 Esame Civili Caso generale: restringimento con soglia

evidenziando le zone in moto uniforme.

B = 3.00 + = m


b = 2.00 + = m


a = 0.80 + = m


profilo idrico (da integrare numericamente da monte a partire dalla condizione al contorno h(0) = hl a al moto uniforme

e da valle a partire dalla condizione al contorno h(0) = hv all'altezza coniugata del moto uniforme hv*)


Jm

tirante finale: h = hu La lunghezza per il quale si raggiunge il moto uniforme è pari a DsTOT,monte =


Jm

tirante finale: h = hv* La lunghezza per il quale si raggiunge il risalto è pari a DsTOT,valle =

In questo caso il profilo è di moto uniforme fuori soglia ed altezza hs da determinare sulla soglia.

H(hu)-a

hs

F(hs*)=0 = Hu - a - (hs + Q2/(2 g B2 hs

2), funzione ricerca obiettivo per la determinazione di hs.

Lungo il canale rettangolare di lunghezza indefinita, base B, scabrezza g e pendenza i rappresentato in figura è

presente un restringimento di larghezza b con soglia alta a. L’allievo determini per via numerica il profilo di corrente,

hvhv

*

i = 0.9 + = m/km


0.9 + =


Q = 80.0 + =



4

5

1


B 3.02 m larghezza al fondo del canale fuori restringimento

b 2.08 m larghezza al fondo del canale in corrispondenza del restingimento

a 0.9 m altezza della soglia


g 1 coefficiente della formula di Bazin


alveo").



k(B) 4.19 m

6.90 m valore di tentativo attribuito all'altezza di moto uniforme. Valore soluzione corrispondente ad F = 0.


A(B) 20.85 m

C(B) 16.83 m

R(B) 1.24 m

Chi(B) 45.83

0.00


k(b) 5.37 m

7.67 m

8.05 m

8.95 m carico totale di stato critico in corrispondenza del restringimento con soglia, riferito al fondo del canale circostante


Si consideri la prossima tabella 2.1., e sezione 2.1.2.






-5.70435E-09 N


-0.00038531 m


-6.43439E-06 m

g = m1/2

m3/s

m/s2

m1/2

m3/s

Per il tracciamento del profilo occorre determinare il tipo d'alveo e successivamente constatare se la corrente ha a disposizione un carico Hu

sufficiente al transito sulla soglia (Hk(b) + a). Nel seguito il quesito viene risolto con una singola macro (da eseguire cliccando sul tasto "calcola

(Q2/ (g B2))1/3, altezza di stato critico fuori restringimento

hu(B)

B hu, area bagnata


A / C,raggio idraulico


F[hu(B)]=0 m3/s Q - Chi(hu) A(hu) R(hu) 1/2 i1/2, funzione ricerca obiettivo basata sulla incognita hu

(Q2/ (g b2))1/3, altezza di stato critico in corrispondenza del restringimento

2. Confronto tra Hu(B) e Hk(b) + a e profili conseguenti

Hu(B)=H[hu(B)] hu + Q2/(2 g A(hu)2 ), carico totale di moto uniforme fuori soglia

Hk(b)=H[k(b)] 3 k(b)/2, carico totale di stato critico per sezione rettangolare

Hk(b)+a

N(hu(B)]

hl,v*



hl

F(hl)=0 = Hk(b) + a - (hl + Q2/(2 g B2 hl2)), funzione ricerca obiettivo per la determinazione di hl

hv

F(hv)=0 = Hk(b) + a - (hv + Q2/(2 g B2 hv2)), funzione ricerca obiettivo per la determinazione di hv

1003566.901 N


risulta N(hv) < N(hu); Il risalto è addossato alla soglia.




Dh 0.613


1 8.44 19.89 25.475 1.28 46.19 0.52 8.95 0.0037

2 7.82 18.67 23.624 1.27 46.06 0.60 8.42 0.0044 0.53 0.004 300.43

3 7.21 17.44 21.773 1.25 45.91 0.71 7.92 0.0053 0.51 0.005 516.26

4 6.60 16.21 19.922 1.23 45.74 0.84 7.44 0.0064 0.48 0.006 10598.38

5 5.98 14.99 18.071 1.21 45.53 1.02 7.01 0.0080 0.43 0.007 300.92

6 5.37 13.76 16.220 1.18 45.29 1.27 6.64 0.0103 0.37 0.009 108.35

7 4.76 12.54 14.369 1.15 44.98 1.62 6.38 0.0137 0.26 0.012 42.59

8 4.15 11.31 12.518 1.11 44.60 2.13 6.28 0.0190 0.10 0.016 9.34

9 3.53 10.08 10.668 1.06 44.11 2.94 6.47 0.0280 -0.19 0.024 10.83

10 2.92 8.86 8.817 1.00 43.45 4.30 7.22 0.0449 -0.75 0.036 24.47

11 2.31 7.63 6.966 0.91 42.51 6.89 9.20 0.0820 -1.98 0.063 34.28

11945.85


Dh 0.455


1 2.36 7.74 7.122 0.92 42.60 6.59 8.95 0.0774

2 2.81 8.65 8.495 0.98 43.31 4.63 7.45 0.0493 1.50 0.063 26.12

3 3.27 9.55 9.868 1.03 43.85 3.43 6.70 0.0339 0.74 0.042 20.79

4 3.72 10.46 11.241 1.07 44.28 2.65 6.37 0.0247 0.33 0.029 14.18

5 4.18 11.37 12.613 1.11 44.63 2.10 6.28 0.0187 0.09 0.022 5.68

6 4.63 12.28 13.986 1.14 44.91 1.71 6.34 0.0146 -0.06 0.017 5.74

7 5.09 13.19 15.359 1.16 45.15 1.42 6.50 0.0117 -0.16 0.013 22.09

8 5.54 14.10 16.731 1.19 45.36 1.19 6.73 0.0096 -0.23 0.011 47.64

9 5.99 15.01 18.104 1.21 45.54 1.02 7.02 0.0080 -0.28 0.009 93.37

10 6.45 15.92 19.477 1.22 45.69 0.88 7.33 0.0068 -0.32 0.007 198.97

11 6.90 16.83 20.850 1.24 45.83 0.77 7.67 0.0058 -0.34 0.006 705.08

1139.67




e da valle a partire dalla condizione al contorno h(0) = hv fino alla condizione asintotica hu


Jm



Jm



hv

hu

hl

hu

hl*

hv

hu

hl

hu

hv*




Dh 0.153


1 8.44 19.89 25.475 1.28 46.19 0.52 8.95 0.0037

2 8.28 19.58 25.013 1.28 46.16 0.53 8.82 0.0039 0.13 0.004 66.21

3 8.13 19.28 24.550 1.27 46.13 0.55 8.68 0.0040 0.13 0.004 71.27

4 7.98 18.97 24.087 1.27 46.09 0.58 8.55 0.0042 0.13 0.004 77.67

5 7.82 18.67 23.625 1.27 46.06 0.60 8.42 0.0044 0.13 0.004 86.06

6 7.67 18.36 23.162 1.26 46.02 0.62 8.29 0.0046 0.13 0.004 97.51

7 7.52 18.05 22.700 1.26 45.99 0.65 8.17 0.0048 0.13 0.005 114.06

8 7.36 17.75 22.237 1.25 45.95 0.68 8.04 0.0050 0.13 0.005 140.11

9 7.21 17.44 21.775 1.25 45.91 0.71 7.92 0.0053 0.12 0.005 187.09

10 7.06 17.13 21.312 1.24 45.87 0.74 7.79 0.0055 0.12 0.005 297.14

11 6.90 16.83 20.850 1.24 45.83 0.77 7.67 0.0058 0.12 0.006 856.16

1993.28


Dh -0.005


1 2.36 7.74 7.122 0.92 42.60 6.59 8.95 0.0774

2 2.35 7.73 7.107 0.92 42.59 6.62 8.97 0.0779 -0.02 0.078 0.33

3 2.35 7.72 7.091 0.92 42.58 6.65 9.00 0.0783 -0.02 0.078 0.33

4 2.34 7.71 7.075 0.92 42.57 6.68 9.02 0.0788 -0.02 0.079 0.33

5 2.34 7.70 7.060 0.92 42.56 6.71 9.05 0.0792 -0.02 0.079 0.33

6 2.33 7.68 7.044 0.92 42.55 6.74 9.07 0.0797 -0.02 0.079 0.34

7 2.33 7.67 7.028 0.92 42.54 6.77 9.10 0.0801 -0.02 0.080 0.34

8 2.32 7.66 7.013 0.91 42.53 6.80 9.12 0.0806 -0.03 0.080 0.34

9 2.32 7.65 6.997 0.91 42.52 6.83 9.15 0.0811 -0.03 0.081 0.34

10 2.31 7.64 6.981 0.91 42.51 6.86 9.17 0.0815 -0.03 0.081 0.34

11 2.31 7.63 6.966 0.91 42.51 6.89 9.20 0.0820 -0.03 0.082 0.34

3.36


6.77 m Carico di moto uniforme sulla soglia con restringimento (si assume la linea dell'energia parallela al fondo ovunque).

-2.84 m Altezza idrica sulla soglia; il tirante soluzione sarà in corrente lenta nel caso in cui



0.00030376 m

Esercizio 8 13-Jul-09 Esame Civili

Per una portata circolante pari a Q l’allievo determini il profilo di corrente, evidenziando le zone in moto uniforme.

B = 8.00 + = m Q = 30.0 + =


1.9 + = % 0.6 + =


0.3 + = % 1.1 + =





Jm



Jm


In questo caso il profilo è di moto uniforme fuori soglia con restringimento ed altezza hs da determinare sulla soglia con r.

H(hu(B)]-a

hs

F(hs*)=0 = Hu - a - (hs + Q2/(2 g b2 hs

2), funzione ricerca obiettivo per la determinazione di hs

La successione di due canali rettangolari rappresentati in figura termina in un serbatoio di livello H praticamente

invariabile. Il tratto di monte di base B, pendenza i1 e scabrezza g1 può essere considerato di lunghezza

praticamente infinita, mentre il tratto di valle di base B, pendenza i2 e scabrezza g2 presenta una lunghezza pari ad L.

m3/s

i1 = g1 = m1/2

i2 = g2 = m1/2

L = 15.0 + = km H = 1.5 + = m



4

5

1



0.68 coefficiente della formula di Bazin per il tratto di monte

0.0198 - pendenza del tratto di monte

1.2 coefficiente della formula di Bazin per il tratto di valle

0.004 - pendenza del tratto di valle

L 15.2 km lunghezza del tronco di valle


H 1.52 m altezza ne serbatoio di valle



Altezza di stato critico

k 4.01 m

Altezze di moto uniforme

Canale di monte



A(B) 20.43 m

C(B) 13.11 m

R(B) 1.56 m

Chi(B) 56.32

0.00

L'alveo è a forte pendenza


Canale di valle



A(B) 43.34 m

C(B) 18.83 m

R(B) 2.30 m

Chi(B) 48.58

0.00


Occorre stabilire la posizione del risalto. Si procede pertanto al calcolo delle due spinte di moto uniforme:

2252879.232 N Spinta totale della corrente veloce di moto uniforme per l'alveo di monte.

2090158.736 N Spinta totale della corrente lenta di moto uniforme per l'alveo di valle.

Il risalto avviene nel canale di valle

m/s2

g1 m1/2

i1

g2 m1/2

i2

m3/s

Per il tracciamento del profilo occorre determinare i tipi d'alveo. Il presente esercizio è stato concepito per avere una successione di alvei da forte

a debole: sarà pertanto discusso nel seguito questo caso.

(Q2/ (g B2))1/3, altezza di stato critico comune ai due alvei

hu,1

B hu, area bagnata





hu,2

B hu, area bagnata





N(hu,1)

N(hu,2)

2.89 m coniugata dell'altezza di moto uniforme nel risalto; occorre considerare il pedice "1" (lenta) nel caso in cui

il risalto avviene nel canale di monte, ovvero "2" (veloce) quando invece il risalto avviene nel canale di valle.

Il controllo sulla posizione è eseguito in automatico dall'operazione logica "se" nella cella "b1199".

-2.63099E-08 N

Si procede ora all'integrazione del profilo di corrente tra la sezione di cambio pendenza ed il risalto



Integrazione del relativo profilo

Dh 0.034


1 2.55 13.11 20.425 1.56 44.35 4.99 7.53 0.0319

2 2.58 13.18 20.698 1.57 44.44 4.85 7.44 0.0307 0.10 0.031 3.53

3 2.61 13.25 20.971 1.58 44.53 4.73 7.34 0.0296 0.09 0.030 3.50

4 2.65 13.32 21.244 1.60 44.61 4.61 7.26 0.0285 0.09 0.029 3.46

5 2.68 13.39 21.517 1.61 44.70 4.49 7.17 0.0274 0.08 0.028 3.43

6 2.72 13.45 21.790 1.62 44.78 4.38 7.10 0.0265 0.08 0.027 3.39

7 2.75 13.52 22.063 1.63 44.86 4.27 7.02 0.0255 0.07 0.026 3.35

8 2.78 13.59 22.336 1.64 44.94 4.17 6.95 0.0246 0.07 0.025 3.31

9 2.82 13.66 22.608 1.66 45.01 4.07 6.89 0.0238 0.07 0.024 3.26

10 2.85 13.73 22.881 1.67 45.09 3.97 6.83 0.0230 0.06 0.023 3.22

11 2.89 13.79 23.154 1.68 45.17 3.88 6.77 0.0222 0.06 0.023 3.17

30.46




Dh 0.252


1 5.40 18.83 43.336 2.30 60.07 1.11 6.51 0.0026

h1,2*

F(hl,v*)=0 = N(hu,i) - N(h1,2

*), funzione ricerca obiettivo per la determinazione di h1,2*

1.1 Profilo per risalto nel canale di valle (parte valida se N(hu,1) > N(hu,2))

profilo idrico (da integrare numericamente da monte a partire dalla condizione al contorno h(0) = hu,1 fino al tirante h2*

condizione al contorno: h = hu,1

Jm

tirante finale: h = h2* La lunghezza per il quale si raggiunge il risalto è pari a DsTOT,valle =

1.2 Profilo per risalto nel canale di monte (parte valida se N(hu,1) < N(hu,2))

profilo idrico (da integrare numericamente da valle a partire dalla condizione al contorno h(0) = hu,2 fino al tirante h1*


Jm

hv

hlhu,1

h1*

hu,2

hu,1

h2*

hu,2

2 5.15 18.32 41.318 2.25 59.88 1.22 6.37 0.0030 0.14 0.003 8.28

3 4.90 17.82 39.300 2.21 59.67 1.35 6.25 0.0034 0.12 0.003 7.41

4 4.65 17.32 37.282 2.15 59.45 1.50 6.14 0.0039 0.10 0.004 6.30

5 4.40 16.81 35.263 2.10 59.20 1.67 6.07 0.0045 0.08 0.004 4.83

6 4.15 16.31 33.245 2.04 58.93 1.88 6.03 0.0052 0.04 0.005 2.84

7 3.89 15.81 31.227 1.98 58.63 2.13 6.03 0.0062 0.00 0.006 0.04

8 3.64 15.30 29.209 1.91 58.30 2.44 6.08 0.0074 -0.05 0.007 4.09

9 3.39 14.80 27.191 1.84 57.93 2.81 6.20 0.0090 -0.12 0.008 10.62

10 3.14 14.30 25.172 1.76 57.52 3.28 6.42 0.0111 -0.22 0.010 22.20

11 2.89 13.79 23.154 1.68 57.05 3.88 6.77 0.0139 -0.35 0.012 47.27

66.59




Dh 0.139 condizione al contorno: h = H per H>k; h=k altrimenti


1 4.01 16.05 32.191 2.01 47.10 2.01 6.02 0.0088

2 4.15 16.33 33.306 2.04 47.28 1.87 6.03 0.0081 -0.01 0.008 1.55

3 4.29 16.60 34.420 2.07 47.45 1.76 6.05 0.0074 -0.02 0.008 5.24

4 4.43 16.88 35.535 2.10 47.62 1.65 6.08 0.0068 -0.03 0.007 9.95

5 4.57 17.16 36.649 2.14 47.77 1.55 6.12 0.0062 -0.04 0.007 16.12

6 4.71 17.44 37.764 2.17 47.92 1.46 6.17 0.0058 -0.05 0.006 24.55

7 4.85 17.72 38.878 2.19 48.07 1.38 6.22 0.0053 -0.06 0.006 36.76

8 4.99 17.99 39.993 2.22 48.20 1.30 6.29 0.0049 -0.06 0.005 55.95

9 5.13 18.27 41.107 2.25 48.33 1.23 6.36 0.0046 -0.07 0.005 90.46

10 5.26 18.55 42.222 2.28 48.46 1.17 6.43 0.0043 -0.07 0.004 170.69

11 5.40 18.83 43.336 2.30 48.58 1.11 6.51 0.0040 -0.08 0.004 564.48

975.74

piuttosto remota giacche è stato scelto un valore di L molto grande.

14157.67

Esercizio 9 10-Sep-09 Esame Civili soglia

Si faccia riferimento all'esercizio 6.

Esercizio 10 30-Oct-09 Esame Civili

tirante finale: h = h1* La lunghezza per il quale si raggiunge il moto uniforme è pari a DsTOT,monte =

Occorre a questo punto integrare la corrente lenta fino allo sbocco del serbatoio; il tirante i-esimo è incrementato o decrementato in dipendenza del

segno di hu,2 - H.

2 Profilo fino allo sbocco (parte valida per alveo di valle a debole pendenza)

profilo idrico (da integrare numericamente da valle a partire dalla condizione al contorno h(0) = H fino al tirante hu,2)

Jm

tirante finale: h = hu,2 La lunghezza per il quale si raggiunge il risalto è pari a DsTOT,valle =

Infine, occorre valutare la zona di moto uniforme per il canale di valle. E' importante constatare il raggiungimento del moto uniforme prima della sezione

di cambio pendenza, altrimenti il confronto iniziale tra le due spinte N(hu,1) e N(hu,2) non è corretto. Se infatti la corrente lenta che parte dallo sbocco

occupa tutta la distanza L, occorre valutare il tirante all'inizio del canale di valle h iniz,2. E quindi confrontate N(hu,1) con N(hiniz,2). Questa evenienza è

Lu = L - Dsparti in moto non uniforme, lunghezza dell'alveo caratterizzata da moto uniforme

L’alveo rappresentato in figura è costituito da una successione di due tronchi a sezione rettangolare di lunghezza

indefinita e rispettivamente di pendenze i1 e i2, larghezze b1 e b2 e scabrezze g1 e g2. Tra i due tronchi è presente un

hu,2

di corrente, evidenziando le zone in moto uniforme.

5.0 + = m


2.5 + = %


0.6 + =


3.0 + = m


0.2 + = %


1.1 + =


Q = 35.0 + =


a = 70 + = cm



5

2

7


5.7 m larghezza del canale di monte

0.0275 - pendenza del canale di monte

0.64 coefficiente della formula di Bazin per il canale di monte

3.7 m larghezza del canale di valle

0.0045 - pendenza del canale di valle

1.14 coefficiente della formula di Bazin per il canale di valle


a 0.84 m altezza del gradino

debole con gradino: sarà pertanto discusso nel seguito questo caso destinando all'allievo le altre combinazioni.

1.a Caratterizzazione del tronco di monte

Altezza di stato critico Macro: 'Calcola_alveo_Es10_CSL'

1.64 m



La macro prevede in automatico un valore di primo tentativo.

5.41 m

7.60 m

0.71 m

49.48

0.00

Il tronco di monte è a forte pendenza

1.b Caratterizzazione del tronco di valle


2.19 m

gradino di altezza a, rispetto al quale è possibile trascurare la perdita di carico concentrata. L’allievo determini il profilo

b1 =

i1 =

g1 = m1/2

b2 =

i2 =

g2 = m1/2

m3/s

m/s2

b1

i1

g1 m1/2

b2

i2

g2 m1/2

m3/s

Per il tracciamento del profilo occorre determinare i tipi d'alveo. Il presente esercizio è stato concepito per avere una successione di alvei da forte a

k1 (Q2/ (g b12))1/3, altezza di stato critico per il tronco di monte

hu,1

A(b1) b1 hu,1, contorno bagnato.

C(b1) b1 + 2hu,1, contorno bagnato.

R(b1) A / C, raggio idraulico.

Chi(b1) m1/2/s 87 / (1 + g1/R1/2), parametro di resistenza della formula di Chezy.

F[hu,1(b1)]=0 m3/s Q - Chi(hu,1) A(hu,1) R(hu,1) 1/2 i1/2, funzione ricerca obiettivo basata sulla incognita hu,1.

k2 (Q2/ (g b22))1/3, altezza di stato critico per il tronco di monte




12.11 m

10.25 m

1.18 m

42.47

0.00

Il tronco di valle è a debole pendenza

Verifica sulla posizione del risalto

284951.0732 N Spinta totale di moto uniforme sul tronco di monte

310497.7961 N Spinta totale di moto uniforme sul tronco di valle

Il risalto è sul tronco di monte; i calcoli seguenti sono corretti

2.61 m coniugata dell'altezza di moto uniforme nel risalto sul tratto di monte

-8.92323E-08 N

Nota:

presente perché la base del tratto di valle è più piccola. A rigore, per la determinazione della posizione del risalto, andrebbero confrontati




Dh 0.15


1 4.11 13.93 23.441 1.68 58.26 0.13 4.24 0.0004

2 3.96 13.62 22.585 1.66 58.11 0.14 4.10 0.0005 0.14 0.0005 7.25

3 3.81 13.32 21.728 1.63 57.95 0.15 3.96 0.0005 0.14 0.0005 7.21

4 3.66 13.02 20.872 1.60 57.79 0.16 3.83 0.0006 0.14 0.0006 7.15

5 3.51 12.72 20.015 1.57 57.61 0.18 3.69 0.0007 0.14 0.0006 7.09

6 3.36 12.42 19.158 1.54 57.41 0.20 3.56 0.0008 0.13 0.0007 7.02

7 3.21 12.12 18.302 1.51 57.20 0.21 3.42 0.0008 0.13 0.0008 6.93

8 3.06 11.82 17.445 1.48 56.98 0.24 3.30 0.0010 0.13 0.0009 6.81

9 2.91 11.52 16.589 1.44 56.74 0.26 3.17 0.0011 0.13 0.0010 6.68

10 2.76 11.22 15.732 1.40 56.48 0.29 3.05 0.0013 0.12 0.0012 6.51

11 2.61 10.92 14.875 1.36 56.19 0.32 2.93 0.0015 0.12 0.0014 6.29

62.65

Esercizio 11 26/11/2009 Esercitazione Costruzioni idrauliche

pari a Q. Si assuma:

- il coefficiente di scabrezza ovunque costante e corrispondente alla formula di Gauckler-Strickler.

hu,2

A(b2) b2 hu,2, contorno bagnato

C(b2) b2 + 2hu,2, contorno bagnato

R(b2) A / C,raggio idraulico

Chi(b2) m1/2/s 87 / (1 + g2/R1/2), parametro di resistenza della formula di Chezy

F[hu,2(b2)]=0 m3/s Q - Chi(hu,2) A(hu,2) R(hu,2) 1/2 i1/2, funzione ricerca obiettivo basata sulla incognita hu,2.

N(hu,1)

N(hu,2)

hl*

F(hl*)=0 = N(hu,1) - N(hl

*), funzione ricerca obiettivo per la determinazione di hl*

Nel computo delle spinte è stato trascurato il termine statico P(hu,2) sulla superficie del volume di controllo in corrispondenza del gradino,

N(hu,1) - P(hu,2) e N(hu,2).

Profilo per risalto nel canale di monte (parte valida se N(hu,1) < N(hu,2))

profilo idrico (da integrare numericamente da valle a partire dalla condizione al contorno h(0) = hu,2 fino al tirante h1*

passo di discretizzazione spaziale: Dh = (hu,2 + a - hl*)/n, con n = 10

condizione al contorno: h = hu,2 + a

Jm

tirante finale: h = hl* La lunghezza per il quale si raggiunge il moto uniforme a monte è pari a DsTOT,monte =

Il sistema rappresentato in figura è costituito da due canali circolari di diametro D1 e D2 > D1. Definita a = D2 - D1,

l'altezza del salto di fondo (i cieli dei canali coincidono), l'allievo determini il profilo di corrente per una portata circolante

- il canale di monte di lunghezza indefinita ed il canale di valle di lunghezza L2;

hu,1hl

*

hu,2

Formule pratiche:

angolo al centro

area

contorno bagnato

raggio idraulico

larghezza del pelo libero in superficie

Spinta totale dove:

portata di stato critico

portata di moto uniforme

A. Dati concepiti per passaggio da debole a forte pendenza

g = 9.80665 accelerazione di gravità

0.45 m Diametro dello speco circolare di monte

0.225 m

0.002 - Pendenza dello speco circolare di monte

55 Scabrezza dello speco circolare di monte

Indefinito Lunghezza dello speco circolare di monte

0.6 m Diametro dello speco circolare di valle

0.3 m

0.025 - Pendenza dello speco circolare di valle

65 Scabrezza dello speco circolare di valle

100 m Lunghezza dello speco circolare di valle

Q = 0.06 Portata circolante ATTENZIONE: in caso di variazione, si identifichino le righe appropriate nelle s. di deflusso.

a = 0.15 m

1.a Costruzione delle scale di deflusso in moto uniforme e stato critico per il tratto di monte D = 0.45 m

tramite interpolazione lineare

dh 0.009 m incremento di tirante

h h/D j A C L

0.0090 0.02 0.28379 0.0008 0.128 0.006 0.126 0.08 0.0001 0.39 0.000 1

0.0180 0.04 0.40272 0.0021 0.181 0.012 0.176 0.13 0.0003 0.49 0.001 2

0.0270 0.06 0.49493 0.0039 0.223 0.017 0.214 0.17 0.0006 0.56 0.002 3

0.0360 0.08 0.57351 0.0060 0.258 0.023 0.244 0.20 0.0012 0.62 0.004 4

0.0450 0.10 0.64350 0.0083 0.290 0.029 0.270 0.23 0.0019 0.67 0.006 5

0.0540 0.12 0.70748 0.0108 0.318 0.034 0.292 0.26 0.0028 0.71 0.008 6

0.0630 0.14 0.76699 0.0135 0.345 0.039 0.312 0.28 0.0038 0.75 0.010 7

m/s2

D1 =

R1 = D1/2, raggio dello speco circolare di monte

i1 =

K1 = m1/3/s

L1 =

D2 =

R2 = D2/2, raggio dello speco circolare di valle

i2 =

K2 = m1/3/s

L2 =

m3/s

D2 - D1, salto di fondo

per la determinazione dell'altezza di moto uniforme hu,1

e dell'altezza di stato critico hc,1

Rid vu Qu vk Qk

C/AR id

jjjj cos senRhAhA 2

R2hChC jj

jj Rsen2hLhL

2132u iRA K Q

313k L / A gQ

jjxjgj A / Q A hN 2

j

jjjj

jx coscossen

sen

3

2R

3

R

hRarccos

j

0.0720 0.16 0.82303 0.0164 0.370 0.044 0.330 0.31 0.0051 0.79 0.013 8

0.0810 0.18 0.87630 0.0195 0.394 0.049 0.346 0.33 0.0064 0.82 0.016 9

0.0900 0.20 0.92730 0.0226 0.417 0.054 0.360 0.35 0.0080 0.85 0.019 10

0.0990 0.22 0.97641 0.0259 0.439 0.059 0.373 0.37 0.0097 0.88 0.023 11

0.1080 0.24 1.02395 0.0294 0.461 0.064 0.384 0.39 0.0115 0.91 0.027 12

0.1170 0.26 1.07014 0.0329 0.482 0.068 0.395 0.41 0.0135 0.93 0.031 13

0.1260 0.28 1.11520 0.0365 0.502 0.073 0.404 0.43 0.0156 0.96 0.035 14

0.1350 0.30 1.15928 0.0401 0.522 0.077 0.412 0.44 0.0179 0.98 0.040 15

0.1440 0.32 1.20253 0.0439 0.541 0.081 0.420 0.46 0.0202 1.01 0.044 16

0.1530 0.34 1.24507 0.0477 0.560 0.085 0.426 0.48 0.0227 1.03 0.049 17

0.1620 0.36 1.28700 0.0515 0.579 0.089 0.432 0.49 0.0253 1.05 0.054 18

0.1710 0.38 1.32843 0.0555 0.598 0.093 0.437 0.50 0.0280 1.08 0.060 19

0.1800 0.40 1.36944 0.0594 0.616 0.096 0.441 0.52 0.0307 1.10 0.065 20

0.1890 0.42 1.41011 0.0634 0.635 0.100 0.444 0.53 0.0336 1.12 0.071 21

0.1980 0.44 1.45051 0.0674 0.653 0.103 0.447 0.54 0.0365 1.14 0.077 22

0.2070 0.46 1.49071 0.0714 0.671 0.106 0.449 0.55 0.0395 1.16 0.083 23

0.2160 0.48 1.53079 0.0755 0.689 0.110 0.450 0.56 0.0425 1.18 0.089 24

0.2250 0.50 1.57080 0.0795 0.707 0.113 0.450 0.57 0.0456 1.20 0.096 25

0.2340 0.52 1.61081 0.0836 0.725 0.115 0.450 0.58 0.0487 1.22 0.102 26

0.2430 0.54 1.65088 0.0876 0.743 0.118 0.449 0.59 0.0518 1.24 0.109 27

0.2520 0.56 1.69109 0.0916 0.761 0.120 0.447 0.60 0.0550 1.26 0.116 28

0.2610 0.58 1.73149 0.0957 0.779 0.123 0.444 0.61 0.0581 1.28 0.123 29

0.2700 0.60 1.77215 0.0996 0.797 0.125 0.441 0.61 0.0612 1.30 0.130 30

0.2790 0.62 1.81316 0.1036 0.816 0.127 0.437 0.62 0.0644 1.32 0.137 31

0.2880 0.64 1.85459 0.1075 0.835 0.129 0.432 0.63 0.0674 1.35 0.145 32

0.2970 0.66 1.89653 0.1114 0.853 0.130 0.426 0.63 0.0705 1.37 0.152 33

0.3060 0.68 1.93906 0.1152 0.873 0.132 0.420 0.64 0.0734 1.39 0.160 34

0.3150 0.70 1.98231 0.1189 0.892 0.133 0.412 0.64 0.0763 1.41 0.168 35

0.3240 0.72 2.02640 0.1226 0.912 0.134 0.404 0.65 0.0791 1.44 0.176 36

0.3330 0.74 2.07145 0.1262 0.932 0.135 0.395 0.65 0.0818 1.46 0.185 37

0.3420 0.76 2.11765 0.1297 0.953 0.136 0.384 0.65 0.0844 1.49 0.193 38

0.3510 0.78 2.16518 0.1331 0.974 0.137 0.373 0.65 0.0868 1.52 0.202 39

0.3600 0.80 2.21430 0.1364 0.996 0.137 0.360 0.65 0.0891 1.55 0.211 40

0.3690 0.82 2.26529 0.1396 1.019 0.137 0.346 0.65 0.0912 1.58 0.221 41

0.3780 0.84 2.31856 0.1426 1.043 0.137 0.330 0.65 0.0931 1.62 0.231 42

0.3870 0.86 2.37460 0.1455 1.069 0.136 0.312 0.65 0.0947 1.66 0.241 43

0.3960 0.88 2.43411 0.1482 1.095 0.135 0.292 0.65 0.0961 1.71 0.253 44

0.4050 0.90 2.49809 0.1508 1.124 0.134 0.270 0.64 0.0972 1.76 0.266 45

0.4140 0.92 2.56808 0.1531 1.156 0.132 0.244 0.64 0.0978 1.83 0.280 46

0.4230 0.94 2.64666 0.1551 1.191 0.130 0.214 0.63 0.0981 1.92 0.298 47

0.4320 0.96 2.73888 0.1569 1.232 0.127 0.176 0.62 0.0977 2.06 0.323 48

0.4410 0.98 2.85780 0.1583 1.286 0.123 0.126 0.61 0.0963 2.31 0.366 49

0.4500 1.00 #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! 50

0.261 0.0581

0.270 0.0612 0.266 si confrontino tali valori con i corrispondenti

ricavati tramite "ricerca obiettivo" attivabile

0.171 0.060 0.172 tramite il pulsante "Calcola Alvei"

0.180 0.065

1.b Costruzione delle scale di deflusso in moto uniforme e stato critico per il tratto di valle D = 0.6 m



h h/D j A C L

0.0120 0.02 0.28379 0.0013 0.170 0.008 0.168 0.41 0.0006 0.43 0.001 1

0.0240 0.04 0.40272 0.0038 0.242 0.016 0.235 0.64 0.0024 0.54 0.002 2

0.0360 0.06 0.49493 0.0069 0.297 0.023 0.285 0.84 0.0058 0.62 0.004 3

0.0480 0.08 0.57351 0.0106 0.344 0.031 0.326 1.01 0.0107 0.68 0.007 4

0.0600 0.1 0.64350 0.0147 0.386 0.038 0.360 1.16 0.0171 0.74 0.011 5

Interpolazione lineare per la determinazione di hu,1 e hc,1

hu,1,inf Qu,1,inf

hu,1,sup Qu,1,sup hu,1,interp

hc,1,inf Qc,1,inf hc,1,interp

hc,1,sup Qc,1,sup



Rid vu Qu vk Qk

0.0720 0.12 0.70748 0.0192 0.424 0.045 0.390 1.31 0.0251 0.78 0.015 6

0.0840 0.14 0.76699 0.0241 0.460 0.052 0.416 1.44 0.0346 0.83 0.020 7

0.0960 0.16 0.82303 0.0292 0.494 0.059 0.440 1.56 0.0455 0.87 0.025 8

0.1080 0.18 0.87630 0.0346 0.526 0.066 0.461 1.68 0.0580 0.90 0.031 9

0.1200 0.20 0.92730 0.0403 0.556 0.072 0.480 1.78 0.0718 0.94 0.038 10

0.1320 0.22 0.97641 0.0461 0.586 0.079 0.497 1.89 0.0871 0.97 0.045 11

0.1440 0.24 1.02395 0.0522 0.614 0.085 0.512 1.99 0.1036 1.00 0.052 12

0.1560 0.26 1.07014 0.0584 0.642 0.091 0.526 2.08 0.1214 1.03 0.060 13

0.1680 0.28 1.11520 0.0648 0.669 0.097 0.539 2.17 0.1405 1.06 0.068 14

0.1800 0.3 1.15928 0.0713 0.696 0.103 0.550 2.25 0.1607 1.08 0.077 15

0.1920 0.32 1.20253 0.0780 0.722 0.108 0.560 2.33 0.1819 1.11 0.087 16

0.2040 0.34 1.24507 0.0848 0.747 0.113 0.568 2.41 0.2042 1.14 0.096 17

0.2160 0.36 1.28700 0.0916 0.772 0.119 0.576 2.48 0.2274 1.16 0.106 18

0.2280 0.38 1.32843 0.0986 0.797 0.124 0.582 2.55 0.2515 1.18 0.117 19

0.2400 0.4 1.36944 0.1056 0.822 0.129 0.588 2.62 0.2765 1.21 0.128 20

0.2520 0.42 1.41011 0.1127 0.846 0.133 0.592 2.68 0.3021 1.23 0.139 21

0.2640 0.44 1.45051 0.1198 0.870 0.138 0.596 2.74 0.3284 1.25 0.150 22

0.2760 0.46 1.49071 0.1270 0.894 0.142 0.598 2.80 0.3552 1.28 0.162 23

0.2880 0.48 1.53079 0.1342 0.918 0.146 0.600 2.85 0.3825 1.30 0.174 24

0.3000 0.5 1.57080 0.1414 0.942 0.150 0.600 2.90 0.4102 1.32 0.187 25

0.3120 0.52 1.61081 0.1486 0.966 0.154 0.600 2.95 0.4382 1.34 0.200 26

0.3240 0.54 1.65088 0.1558 0.991 0.157 0.598 2.99 0.4664 1.37 0.213 27

0.3360 0.56 1.69109 0.1629 1.015 0.161 0.596 3.04 0.4946 1.39 0.226 28

0.3480 0.58 1.73149 0.1700 1.039 0.164 0.592 3.08 0.5229 1.41 0.240 29

0.3600 0.6 1.77215 0.1771 1.063 0.167 0.588 3.11 0.5511 1.43 0.254 30

0.3720 0.62 1.81316 0.1842 1.088 0.169 0.582 3.14 0.5791 1.46 0.269 31

0.3840 0.64 1.85459 0.1911 1.113 0.172 0.576 3.18 0.6068 1.48 0.283 32

0.3960 0.66 1.89653 0.1980 1.138 0.174 0.568 3.20 0.6341 1.51 0.298 33

0.4080 0.68 1.93906 0.2047 1.163 0.176 0.560 3.23 0.6608 1.53 0.313 34

0.4200 0.70 1.98231 0.2114 1.189 0.178 0.550 3.25 0.6868 1.56 0.329 35

0.4320 0.72 2.02640 0.2179 1.216 0.179 0.539 3.27 0.7121 1.58 0.345 36

0.4440 0.74 2.07145 0.2243 1.243 0.180 0.526 3.28 0.7363 1.61 0.361 37

0.4560 0.76 2.11765 0.2306 1.271 0.181 0.512 3.29 0.7595 1.64 0.378 38

0.4680 0.78 2.16518 0.2366 1.299 0.182 0.497 3.30 0.7814 1.67 0.395 39

0.4800 0.8 2.21430 0.2425 1.329 0.183 0.480 3.31 0.8019 1.70 0.413 40

0.4920 0.82 2.26529 0.2481 1.359 0.183 0.461 3.31 0.8207 1.74 0.432 41

0.5040 0.84 2.31856 0.2535 1.391 0.182 0.440 3.30 0.8376 1.78 0.452 42

0.5160 0.86 2.37460 0.2587 1.425 0.182 0.416 3.30 0.8525 1.83 0.472 43

0.5280 0.88 2.43411 0.2635 1.460 0.180 0.390 3.28 0.8648 1.88 0.495 44

0.5400 0.9 2.49809 0.2680 1.499 0.179 0.360 3.26 0.8743 1.94 0.520 45

0.5520 0.92 2.56808 0.2721 1.541 0.177 0.326 3.24 0.8805 2.02 0.549 46

0.5640 0.94 2.64666 0.2758 1.588 0.174 0.285 3.20 0.8824 2.12 0.584 47

0.5760 0.96 2.73888 0.2789 1.643 0.170 0.235 3.15 0.8789 2.27 0.632 48

0.5880 0.98 2.85780 0.2814 1.715 0.164 0.168 3.08 0.8669 2.54 0.715 49

0.6000 1 #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! 50

0.108 0.058




0.156 0.060

2.a Caratterizzazione del tronco di monte Macro :'Calcola_alveo_Es11_CSL'.


0.167 m Valore di tentativo attribuito all'altezza di stato critico.


1.311 rad Angolo al centro.

0.05 Area.

0.43 m Contorno bagnato.

0.001

1.12 m/s


hu,2,inf Qu,2,inf



hc,2,sup Qc,2,sup

hc,1

j(D1)

A(D1) m2

L(D1)

F[hc(D1)]=0 m3/s (Q - (g A(hc,1)3/L(hc,1)))1/2, funzione ricerca obiettivo basata sulla incognita hc,1.

vk(D1)


0.265 m Valore di tentativo attribuito all'altezza di moto uniforme.



0.10 Area.


0.12 m

0.000

0.62 m/s

Il canale di monte è a debole pendenza






0.06 Area.


0.000

1.04 m/s





0.04 Area.


0.07 m

0.000

1.70 m/s

Il canale di valle è a forte pendenza

3.a Profilo per lo speco di monte




Dh 0.010

h j C A R termine cin. H J DH Ds

1 0.167 1.3108 0.59 0.054 0.09 0.06 0.231 0.0100

2 0.177 1.3556 0.61 0.058 0.10 0.05 0.231 0.0081 -0.0008 0.0091 0.11

3 0.187 1.4000 0.63 0.062 0.10 0.05 0.234 0.0067 -0.003 0.0074 0.47

4 0.197 1.4440 0.65 0.067 0.10 0.04 0.238 0.0056 -0.004 0.0061 0.93

5 0.206 1.4878 0.67 0.071 0.11 0.04 0.243 0.0047 -0.005 0.0051 1.57

6 0.216 1.5314 0.69 0.076 0.11 0.03 0.248 0.0040 -0.006 0.0043 2.45

7 0.226 1.5749 0.71 0.080 0.11 0.03 0.255 0.0034 -0.006 0.0037 3.74

8 0.236 1.6185 0.73 0.084 0.12 0.03 0.262 0.0030 -0.007 0.0032 5.77

9 0.246 1.6621 0.75 0.089 0.12 0.02 0.269 0.0026 -0.007 0.0028 9.39

10 0.255 1.7059 0.77 0.093 0.12 0.02 0.276 0.0023 -0.008 0.0024 17.44

11 0.265 1.7500 0.79 0.097 0.12 0.02 0.284 0.0020 -0.008 0.0022 50.22

92.08

hu,1

j(D1)

A(D1) m2

C(D1)

R(D1) A / C, raggio idraulico.

F[hu(D1)]=0 m3/s Q - K1 A(hu,1) R(hu,1) 2/3 i11/2, funzione ricerca obiettivo basata sulla incognita hu,1.

vu(D1)

hc,2

j(D2)

A(D2) m2

L(D2)

F[hc(D2)]=0 m3/s (Q - (g A(hc,2)3/L(hc,2)))1/2, funzione ricerca obiettivo basata sulla soluzione hc,2.

vk(D2)

hu,2

j(D2)

A(D2) m2

C(D2)

R(D2) A / C,raggio idraulico.


vu(D2)

profilo idrico (da integrare numericamente dal gradino, a partire dalla condizione al contorno h(0) = hc,1 fino al tirante hu1

passo di discretizzazione spaziale: Dh = (hu,1 - hc,1)/n, con n = 10

condizione al contorno: h = hc,1

Jm

tirante finale: h = hu,2 La lunghezza per il quale si raggiunge il moto uniforme a monte è pari a DsTOT,monte =

hc,1

hu,1

3.b Profilo per lo speco di valle

e muretto frontale per la dissipazione del carico




Dh 0.004


1 0.154 1.0641 0.64 0.058 0.09 0.06 0.210 0.0064

2 0.150 1.0469 0.63 0.055 0.09 0.06 0.210 0.0071 -0.0003 0.0067 0.02

3 0.145 1.0295 0.62 0.053 0.09 0.07 0.211 0.0081 -0.001 0.0076 0.05

4 0.141 1.0119 0.61 0.051 0.08 0.07 0.213 0.0091 -0.002 0.0086 0.10

5 0.136 0.9941 0.60 0.048 0.08 0.08 0.215 0.0104 -0.002 0.0098 0.16

6 0.132 0.9761 0.59 0.046 0.08 0.09 0.218 0.0119 -0.003 0.0111 0.24

7 0.127 0.9579 0.57 0.044 0.08 0.10 0.223 0.0137 -0.004 0.0128 0.37

8 0.123 0.9395 0.56 0.042 0.07 0.11 0.229 0.0158 -0.006 0.0147 0.57

9 0.118 0.9208 0.55 0.040 0.07 0.12 0.236 0.0184 -0.007 0.0171 0.94

10 0.114 0.9018 0.54 0.037 0.07 0.13 0.245 0.0215 -0.009 0.0200 1.84

11 0.109 0.8826 0.53 0.035 0.07 0.15 0.257 0.0254 -0.012 0.0234 7.42

11.69

3.c Profilo per lo speco di valle

senza muretto frontale per la dissipazione del carico o per corrente che non impatta contro il muretto

Poiché l'alveo di monte è a debole pendenza, al termine dello stesso il tirante è di stato critico 0.17 m

0.23 m

0.38 m

0.09 m

0.7771 rad

0.025

0.381 m

0.0004 m




Dh 0.002


1 0.086 0.7771 0.47 0.025 0.05 0.29 0.381 0.0679

2 0.088 0.7882 0.47 0.026 0.05 0.27 0.361 0.0608 0.020 0.0644 0.50

3 0.091 0.7991 0.48 0.027 0.06 0.25 0.344 0.0546 0.018 0.0577 0.54

profilo idrico (da integrare numericamente dal gradino, a partire dalla condizione al contorno h(0) = hc,2 fino al tirante hu2

passo di discretizzazione spaziale: Dh = (hc,2 - hu,2)/n, con n = 10


Jm

tirante finale: h = hu,2 La lunghezza per il quale si raggiunge il moto uniforme a monte è pari a DsTOT,monte =

hc,1 =

Hc,1 =

Hc,1 + a =

h2,start

j2,start

A2,start m2

H(h2,start)

F(h2,start)

profilo idrico (da integrare numericamente dal gradino, a partire dalla condizione al contorno h(0) = h2,start fino al tirante hu2

passo di discretizzazione spaziale: Dh = (hu,2 - h2,start)/n, con n = 10

condizione al contorno: h = h2,start

Jm

hc,2

hu,1

hu,2

h2,start

hu,1

Hu,1

Hc,1 Hc,1 + a

Hu,2

4 0.093 0.8099 0.49 0.028 0.06 0.24 0.328 0.0492 0.016 0.0519 0.58

5 0.095 0.8205 0.49 0.029 0.06 0.22 0.314 0.0444 0.014 0.0468 0.64

6 0.098 0.8311 0.50 0.030 0.06 0.20 0.302 0.0402 0.012 0.0423 0.72

7 0.100 0.8416 0.50 0.031 0.06 0.19 0.291 0.0365 0.011 0.0384 0.83

8 0.102 0.8520 0.51 0.032 0.06 0.18 0.281 0.0332 0.010 0.0349 1.01

9 0.105 0.8623 0.52 0.033 0.06 0.17 0.272 0.0303 0.009 0.0318 1.31

10 0.107 0.8724 0.52 0.034 0.07 0.16 0.264 0.0277 0.008 0.0290 1.99

11 0.109 0.8826 0.53 0.035 0.07 0.15 0.257 0.0254 0.007 0.0265 4.68

La lunghezza per il quale si raggiunge il moto uniforme a valle è pari a valle = 8.12

B. Dati concepiti per passaggio da forte a debole pendenza senza impatto su deflettore o deflettore assente

g = 9.80665 accelerazione di gravità

0.45 m Diametro dello speco circolare di monte

0.225 m

0.02 - Pendenza dello speco circolare di monte

55 Scabrezza dello speco circolare di monte

indefinito

0.6 m Diametro dello speco circolare di valle

0.3 m

0.004 - Pendenza dello speco circolare di valle

55 Scabrezza dello speco circolare di valle

100 m Lunghezza dello speco circolare di valle

Q = 0.09 Portata circolante ATTENZIONE: in caso di variazione, si identifichino le righe appropriate nelle s. di deflusso.

a = 0.15 m

1.a Costruzione delle scale di deflusso in moto uniforme e stato critico per il tratto di monte D = 0.45 m



h h/D j A C L

0.0090 0.02 0.28379 0.0008 0.128 0.006 0.126 0.26 0.0002 0.39 0.000 1

0.0180 0.04 0.40272 0.0021 0.181 0.012 0.176 0.40 0.0009 0.49 0.001 2

0.0270 0.06 0.49493 0.0039 0.223 0.017 0.214 0.52 0.0020 0.56 0.002 3

0.0360 0.08 0.57351 0.0060 0.258 0.023 0.244 0.63 0.0038 0.62 0.004 4

0.0450 0.10 0.64350 0.0083 0.290 0.029 0.270 0.73 0.0060 0.67 0.006 5

0.0540 0.12 0.70748 0.0108 0.318 0.034 0.292 0.82 0.0088 0.71 0.008 6

0.0630 0.14 0.76699 0.0135 0.345 0.039 0.312 0.90 0.0121 0.75 0.010 7

0.0720 0.16 0.82303 0.0164 0.370 0.044 0.330 0.97 0.0160 0.79 0.013 8

0.0810 0.18 0.87630 0.0195 0.394 0.049 0.346 1.05 0.0204 0.82 0.016 9

0.0900 0.20 0.92730 0.0226 0.417 0.054 0.360 1.11 0.0252 0.85 0.019 10

0.0990 0.22 0.97641 0.0259 0.439 0.059 0.373 1.18 0.0306 0.88 0.023 11

0.1080 0.24 1.02395 0.0294 0.461 0.064 0.384 1.24 0.0364 0.91 0.027 12

0.1170 0.26 1.07014 0.0329 0.482 0.068 0.395 1.30 0.0427 0.93 0.031 13

0.1260 0.28 1.11520 0.0365 0.502 0.073 0.404 1.35 0.0494 0.96 0.035 14

0.1350 0.30 1.15928 0.0401 0.522 0.077 0.412 1.41 0.0565 0.98 0.040 15

tirante finale: h = hu,2

m/s2

D1 =

R1 = D1/2, raggio dello speco circolare di monte

i1 =

K1 = m1/3/s

L1 =

D2 =

R2 = D2/2, raggio dello speco circolare di valle

i2 =

K2 = m1/3/s

L2 =

m3/s

D2 - D1, salto di fondo



Rid vu Qu vk Qk

0.1440 0.32 1.20253 0.0439 0.541 0.081 0.420 1.46 0.0639 1.01 0.044 16

0.1530 0.34 1.24507 0.0477 0.560 0.085 0.426 1.50 0.0718 1.03 0.049 17

0.1620 0.36 1.28700 0.0515 0.579 0.089 0.432 1.55 0.0799 1.05 0.054 18

0.1710 0.38 1.32843 0.0555 0.598 0.093 0.437 1.59 0.0884 1.08 0.060 19

0.1800 0.40 1.36944 0.0594 0.616 0.096 0.441 1.64 0.0971 1.10 0.065 20

0.189 0.42 1.41011 0.0634 0.635 0.100 0.444 1.67 0.1062 1.12 0.071 21

0.198 0.44 1.45051 0.0674 0.653 0.103 0.447 1.71 0.1154 1.14 0.077 22

0.207 0.46 1.49071 0.0714 0.671 0.106 0.449 1.75 0.1248 1.16 0.083 23

0.2160 0.48 1.53079 0.0755 0.689 0.110 0.450 1.78 0.1344 1.18 0.089 24

0.2250 0.50 1.57080 0.0795 0.707 0.113 0.450 1.81 0.1441 1.20 0.096 25

0.234 0.52 1.61081 0.0836 0.725 0.115 0.450 1.84 0.1540 1.22 0.102 26

0.243 0.54 1.65088 0.0876 0.743 0.118 0.449 1.87 0.1639 1.24 0.109 27

0.252 0.56 1.69109 0.0916 0.761 0.120 0.447 1.90 0.1738 1.26 0.116 28

0.261 0.58 1.73149 0.0957 0.779 0.123 0.444 1.92 0.1838 1.28 0.123 29

0.270 0.60 1.77215 0.0996 0.797 0.125 0.441 1.94 0.1937 1.30 0.130 30

0.2790 0.62 1.81316 0.1036 0.816 0.127 0.437 1.96 0.2035 1.32 0.137 31

0.2880 0.64 1.85459 0.1075 0.835 0.129 0.432 1.98 0.2133 1.35 0.145 32

0.2970 0.66 1.89653 0.1114 0.853 0.130 0.426 2.00 0.2228 1.37 0.152 33

0.3060 0.68 1.93906 0.1152 0.873 0.132 0.420 2.02 0.2322 1.39 0.160 34

0.3150 0.70 1.98231 0.1189 0.892 0.133 0.412 2.03 0.2414 1.41 0.168 35

0.3240 0.72 2.02640 0.1226 0.912 0.134 0.404 2.04 0.2502 1.44 0.176 36

0.3330 0.74 2.07145 0.1262 0.932 0.135 0.395 2.05 0.2588 1.46 0.185 37

0.3420 0.76 2.11765 0.1297 0.953 0.136 0.384 2.06 0.2669 1.49 0.193 38

0.3510 0.78 2.16518 0.1331 0.974 0.137 0.373 2.06 0.2746 1.52 0.202 39

0.3600 0.80 2.21430 0.1364 0.996 0.137 0.360 2.07 0.2818 1.55 0.211 40

0.3690 0.82 2.26529 0.1396 1.019 0.137 0.346 2.07 0.2884 1.58 0.221 41

0.3780 0.84 2.31856 0.1426 1.043 0.137 0.330 2.06 0.2944 1.62 0.231 42

0.3870 0.86 2.37460 0.1455 1.069 0.136 0.312 2.06 0.2996 1.66 0.241 43

0.3960 0.88 2.43411 0.1482 1.095 0.135 0.292 2.05 0.3039 1.71 0.253 44

0.4050 0.90 2.49809 0.1508 1.124 0.134 0.270 2.04 0.3073 1.76 0.266 45

0.4140 0.92 2.56808 0.1531 1.156 0.132 0.244 2.02 0.3094 1.83 0.280 46

0.4230 0.94 2.64666 0.1551 1.191 0.130 0.214 2.00 0.3101 1.92 0.298 47

0.4320 0.96 2.73888 0.1569 1.232 0.127 0.176 1.97 0.3089 2.06 0.323 48

0.4410 0.98 2.85780 0.1583 1.286 0.123 0.126 1.92 0.3046 2.31 0.366 49

0.4500 1.00 #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! 50

0.171 0.088




0.225 0.096

1.b Costruzione delle scale di deflusso in moto uniforme e stato critico per il tratto di valle D = 0.6 m



h h/D j A C L

0.0120 0.02 0.28379 0.0013 0.170 0.008 0.168 0.14 0.0002 0.43 0.001 1

0.0240 0.04 0.40272 0.0038 0.242 0.016 0.235 0.22 0.0008 0.54 0.002 2

0.0360 0.06 0.49493 0.0069 0.297 0.023 0.285 0.28 0.0020 0.62 0.004 3

0.0480 0.08 0.57351 0.0106 0.344 0.031 0.326 0.34 0.0036 0.68 0.007 4

0.0600 0.1 0.64350 0.0147 0.386 0.038 0.360 0.39 0.0058 0.74 0.011 5

0.0720 0.12 0.70748 0.0192 0.424 0.045 0.390 0.44 0.0085 0.78 0.015 6

0.0840 0.14 0.76699 0.0241 0.460 0.052 0.416 0.49 0.0117 0.83 0.020 7

0.0960 0.16 0.82303 0.0292 0.494 0.059 0.440 0.53 0.0154 0.87 0.025 8

0.1080 0.18 0.87630 0.0346 0.526 0.066 0.461 0.57 0.0196 0.90 0.031 9

0.1200 0.2 0.92730 0.0403 0.556 0.072 0.480 0.60 0.0243 0.94 0.038 10

0.1320 0.22 0.97641 0.0461 0.586 0.079 0.497 0.64 0.0295 0.97 0.045 11

0.1440 0.24 1.02395 0.0522 0.614 0.085 0.512 0.67 0.0351 1.00 0.052 12

0.1560 0.26 1.07014 0.0584 0.642 0.091 0.526 0.70 0.0411 1.03 0.060 13


hu,1,inf Qu,1,inf



hc,1,sup Qc,1,sup



Rid vu Qu vk Qk

0.1680 0.28 1.11520 0.0648 0.669 0.097 0.539 0.73 0.0475 1.06 0.068 14

0.1800 0.3 1.15928 0.0713 0.696 0.103 0.550 0.76 0.0544 1.08 0.077 15

0.1920 0.32 1.20253 0.0780 0.722 0.108 0.560 0.79 0.0616 1.11 0.087 16

0.2040 0.34 1.24507 0.0848 0.747 0.113 0.568 0.82 0.0691 1.14 0.096 17

0.2160 0.36 1.28700 0.0916 0.772 0.119 0.576 0.84 0.0770 1.16 0.106 18

0.2280 0.38 1.32843 0.0986 0.797 0.124 0.582 0.86 0.0851 1.18 0.117 19

0.2400 0.40 1.36944 0.1056 0.822 0.129 0.588 0.89 0.0936 1.21 0.128 20

0.2520 0.42 1.41011 0.1127 0.846 0.133 0.592 0.91 0.1022 1.23 0.139 21

0.2640 0.44 1.45051 0.1198 0.870 0.138 0.596 0.93 0.1111 1.25 0.150 22

0.2760 0.46 1.49071 0.1270 0.894 0.142 0.598 0.95 0.1202 1.28 0.162 23

0.2880 0.48 1.53079 0.1342 0.918 0.146 0.600 0.96 0.1295 1.30 0.174 24

0.3000 0.5 1.57080 0.1414 0.942 0.150 0.600 0.98 0.1388 1.32 0.187 25

0.3120 0.52 1.61081 0.1486 0.966 0.154 0.600 1.00 0.1483 1.34 0.200 26

0.3240 0.54 1.65088 0.1558 0.991 0.157 0.598 1.01 0.1578 1.37 0.213 27

0.3360 0.56 1.69109 0.1629 1.015 0.161 0.596 1.03 0.1674 1.39 0.226 28

0.3480 0.58 1.73149 0.1700 1.039 0.164 0.592 1.04 0.1770 1.41 0.240 29

0.3600 0.6 1.77215 0.1771 1.063 0.167 0.588 1.05 0.1865 1.43 0.254 30

0.3720 0.62 1.81316 0.1842 1.088 0.169 0.582 1.06 0.1960 1.46 0.269 31

0.3840 0.64 1.85459 0.1911 1.113 0.172 0.576 1.07 0.2054 1.48 0.283 32

0.3960 0.66 1.89653 0.1980 1.138 0.174 0.568 1.08 0.2146 1.51 0.298 33

0.4080 0.68 1.93906 0.2047 1.163 0.176 0.560 1.09 0.2237 1.53 0.313 34

0.4200 0.7 1.98231 0.2114 1.189 0.178 0.550 1.10 0.2325 1.56 0.329 35

0.4320 0.72 2.02640 0.2179 1.216 0.179 0.539 1.11 0.2410 1.58 0.345 36

0.4440 0.74 2.07145 0.2243 1.243 0.180 0.526 1.11 0.2492 1.61 0.361 37

0.4560 0.76 2.11765 0.2306 1.271 0.181 0.512 1.11 0.2571 1.64 0.378 38

0.4680 0.78 2.16518 0.2366 1.299 0.182 0.497 1.12 0.2645 1.67 0.395 39

0.4800 0.8 2.21430 0.2425 1.329 0.183 0.480 1.12 0.2714 1.70 0.413 40

0.4920 0.82 2.26529 0.2481 1.359 0.183 0.461 1.12 0.2778 1.74 0.432 41

0.5040 0.84 2.31856 0.2535 1.391 0.182 0.440 1.12 0.2835 1.78 0.452 42

0.5160 0.86 2.37460 0.2587 1.425 0.182 0.416 1.12 0.2885 1.83 0.472 43

0.5280 0.88 2.43411 0.2635 1.460 0.180 0.390 1.11 0.2927 1.88 0.495 44

0.5400 0.9 2.49809 0.2680 1.499 0.179 0.360 1.10 0.2959 1.94 0.520 45

0.5520 0.92 2.56808 0.2721 1.541 0.177 0.326 1.10 0.2980 2.02 0.549 46

0.5640 0.94 2.64666 0.2758 1.588 0.174 0.285 1.08 0.2987 2.12 0.584 47

0.5760 0.96 2.73888 0.2789 1.643 0.170 0.235 1.07 0.2975 2.27 0.632 48

0.5880 0.98 2.85780 0.2814 1.715 0.164 0.168 1.04 0.2934 2.54 0.715 49

0.6000 1 #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! 50

0.228 0.085




0.204 0.096

2.a Caratterizzazione del tronco di monte Macro :'Calcola_alveo_Es11_CSL'.





0.07 Area.


0.000

1.26 m/s





0.06 Area.


0.09 m

0.001


hu,2,inf Qu,2,inf



hc,2,sup Qc,2,sup

hc,1

j(D1)

A(D1) m2

L(D1)

F[hc(D1)]=0 m3/s (Q - (g A(hc,1)3/L(hc,1)))1/2, funzione ricerca obiettivo basata sulla incognita hc,1.

vk(D1)

hu,1

j(D1)

A(D1) m2

C(D1)

R(D1) A / C, raggio idraulico.


1.61 m/s

Il canale di monte è a forte pendenza






0.08 Area.


0.000

0.78 m/s





0.10 Area.


0.13 m

0.000

0.59 m/s

Il canale di valle è a debole pendenza

Calcolo della spinta di moto uniforme

0.098 m

177.56 N

Calcolo della coniugata nel risalto se presente:

0.153 m Valore di tentativo attribuito all'altezza coniugata.



0.06 Area.

0.063 m Baricentro della parte bagnata.

177.56 N

0.001 N

e corrente veloce in efflusso libero.

3.a Profilo per lo speco di monte



profilo idrico (moto uniforme ovunque)

3.b Profilo per lo speco di valle

senza muretto frontale per la dissipazione del carico o per corrente che non impatta contro il muretto

Poiché l'alveo di monte è a forte pendenza, al termine dello stesso il tirante è di moto uniforme 0.172 m

0.304 m

0.454 m

0.108 m

0.875 rad

0.034

0.455 m

0.001 m

vu(D1)

hc,2

j(D2)

A(D2) m2

L(D2)

F[hc(D2)]=0 m3/s (Q - (g A(hc,2)3/L(hc,2)))1/2, funzione ricerca obiettivo basata sulla soluzione hc,2.

vk(D2)

hu,2

j(D2)

A(D2) m2

C(D2)

R(D2) A / C,raggio idraulico.


vu(D2)

z[j(D2)]

Nu,2

hv,2*

j*

A(j*) m2

z[j*]

N*

F(N*) = 0 N* - N(hu,2), funzione ricerca obiettivo basata sulla soluzione hv,2*.

ATTENZIONE: il valore di hv,2* è qui calcolato nell'ipotesi di corrente lenta completamente sviluppata

hu,1 =

Hu,1 =

Hu,1 + a =

h2,start

j2,start

A2,start m2

H(h2,start)

F(h2,start)

Hu,1

hu,1

hc,1

hu,1Hu,1 Hu,1 + a

Hu,2

Hc,2

j

jjjj

jx coscossen

sen

3

2R

3

0.044 m

249.77 N



Si sono ammesse due ipotesi da verificare:

I). Il profilo di corrente veloce si sviluppa per un certo tratto determinato in seguito

Integrazione del profilo di corrente veloce: parte valida perché il confronto tra le spinte è soddisfatto

Dh 0.0045


1 0.108 0.875 0.525 0.034 0.066 0.347 0.455 0.085

2 0.112 0.895 0.537 0.037 0.068 0.309 0.421 0.072 0.034 0.078 0.46

3 0.117 0.914 0.548 0.039 0.071 0.276 0.392 0.061 0.029 0.067 0.46

4 0.121 0.933 0.560 0.041 0.073 0.247 0.369 0.053 0.024 0.057 0.45

5 0.126 0.951 0.571 0.043 0.075 0.223 0.349 0.045 0.020 0.049 0.45

6 0.130 0.970 0.582 0.045 0.078 0.201 0.332 0.039 0.017 0.042 0.44

7 0.135 0.988 0.593 0.048 0.080 0.183 0.318 0.034 0.014 0.037 0.43

8 0.139 1.006 0.603 0.050 0.083 0.166 0.306 0.030 0.012 0.032 0.42

9 0.144 1.023 0.614 0.052 0.085 0.152 0.296 0.026 0.010 0.028 0.41

10 0.148 1.041 0.625 0.054 0.087 0.139 0.288 0.023 0.008 0.025 0.39

11 0.153 1.058 0.635 0.057 0.089 0.128 0.281 0.021 0.007 0.022 0.38

4.28

Integrazione del profilo di corrente lenta

Dh 0.0044


1 0.190 1.197 0.718 0.077 0.107 0.069 0.260 0.009

2 0.195 1.213 0.728 0.080 0.109 0.065 0.260 0.008 0.000 0.008 0.04

3 0.199 1.229 0.737 0.082 0.111 0.061 0.261 0.007 -0.001 0.008 0.14

4 0.204 1.244 0.747 0.085 0.113 0.058 0.261 0.007 -0.001 0.007 0.27

5 0.208 1.260 0.756 0.087 0.115 0.054 0.263 0.006 -0.001 0.007 0.45

6 0.213 1.275 0.765 0.090 0.117 0.051 0.264 0.006 -0.001 0.006 0.69

7 0.217 1.291 0.774 0.092 0.119 0.049 0.266 0.005 -0.002 0.006 1.03

8 0.222 1.306 0.784 0.095 0.121 0.046 0.267 0.005 -0.002 0.005 1.57

9 0.226 1.321 0.793 0.097 0.123 0.044 0.269 0.005 -0.002 0.005 2.55

10 0.230 1.337 0.802 0.100 0.125 0.041 0.272 0.004 -0.002 0.004 4.78

11 0.235 1.352 0.811 0.103 0.126 0.039 0.274 0.004 -0.002 0.004 15.14

26.66

Il canale di valle è interessato da un tratto di lunghezza di moto uniforme pari a 69,06m


uniforme.

2 + = °/oo

z(j2,start)

N2,start

profilo idrico per la corrente veloce (da integrare numericamente dal gradino, a partire dalla condizione al contorno h(0) = h2,start

fino al tirante hv2*) e per la corrente lenta (da integrare numericamente dallo sbocco, a partire dalla condizione al contorno h(0) = hc,2

fino al tirante hu,2).

I). Il profilo di corrente veloce si sviluppi effettivamente e cioè occorre che sia: N(h2,start) > N(hu,2);

II). La somma delle lunghezze dei due profili è inferiore ad L2;

passo di discretizzazione spaziale: Dh = (hv,2* - h2,start)/n, con n = 10

condizione al contorno: h = h2,start

Jm

condizione al contorno: h = hv,2* La lunghezza della corrente veloce per lo speco di valle è =

passo di discretizzazione spaziale: Dh = (hu,2 - hc,2)/n, con n = 10


Jm

condizione al contorno: h = hu,2 La lunghezza della corrente lenta per lo speco di valle è =

L’alveo di sezione rettangolare rappresentato in figura presenta una pendenza i, larghezza b, scabrezza g e lunghezza

L. Esso risulta compreso tra due serbatoi con pelo libero praticamente invariabile. Il serbatoio di monte è munito di

paratoia con apertura al fondo pari ad a. L’allievo determini il profilo di corrente, rilevando eventuali zone in moto

i =

Hu,2

Hc,2

hc,2


B = 8,0 + = m


1.2 =

terza cifra della matricola * 0,02

L = 5000 + = m


10 + = m


a = 0,5 + = m

terza cifra della matricola * 0,1


8

0

3


i 0.0028 - pendenza del canale

b 8 m larghezza del canaleg 1.26 coefficiente della formula di Bazin per il canale

L 5000 m larghezza del canale di valle

10.8 - altezza del pelo libero nel canale di monte

a 0.8 m altezza del gradino

0.61 - coefficiente di contrazione assunto per la luce


sbocco in stato critico: sarà pertanto discusso nel seguito questo caso destinando all'allievo le altre possibili combinazioni.

oppure rigurgitato; nel seguito vengono proposte le due procedure alla base delle due ipotesi: si noti come solo una tra esse è la corretta.

Si ricorda di cliccare sul tasto "Calcola" per risolvere le procedure.


hp: efflusso libero in corrispondenza della paratoia VERIFICATA (si veda il confronto tra le spinte)

Equazione alla base dell'ipotesi: si tenga conto dei calcoli seguenti

da cui

Qu

55.53

hu A C R Chi F(hu)

2.47 19.73 12.93 1.53 43.07 0.000

k

1.70 m

799207.67 N Valore della spinta in corrispondenza della sezione contratta, posta subito a valle della paratoia.

394942.07 N Valore della spinta in condizioni di moto uniforme.

g = m1/2

Hs =

m/s2

m1/2

Hs

cc

cc a

Per il tracciamento del profilo occorre determinare il tipo d'alveo. Il presente esercizio è stato concepito per avere un' alveo a debole pendenza con

Per la risoluzione del quesito occorre formulare una ipotesi sul tipo di efflusso in corrispondenza della paratoia. Esso potrà infatti essere libero

m3/s

(Q2/ (g B2))1/3, altezza di stato critico

N(cc a)

N(hu)


22

1Baccg2

QaccH

accHg2BaccQ 1

F(N)=0 Coniugata in corrente veloce dell'altezza di moto uniforme

1.11 0.000 limite superiore della tabella successiva; assicurarsi di estendere la tabella fino al valore di questo tirante




Dh 0.062


1 0.49 8.98 3.904 0.43 29.89 10.31 10.80 0.5206

2 0.55 9.10 4.404 0.48 30.95 8.10 8.65 0.3431 2.15 0.432 5.00

3 0.61 9.23 4.904 0.53 31.89 6.54 7.15 0.2372 1.51 0.290 5.24

4 0.68 9.35 5.404 0.58 32.74 5.38 6.06 0.1705 1.09 0.204 5.43

5 0.74 9.48 5.904 0.62 33.51 4.51 5.25 0.1265 0.81 0.148 5.56

6 0.80 9.60 6.404 0.67 34.21 3.83 4.63 0.0963 0.61 0.111 5.66

7 0.86 9.73 6.904 0.71 34.86 3.30 4.16 0.0750 0.47 0.086 5.70

8 0.93 9.85 7.404 0.75 35.46 2.87 3.79 0.0595 0.37 0.067 5.71

9 0.99 9.98 7.904 0.79 36.02 2.52 3.50 0.0480 0.29 0.054 5.66

10 1.05 10.10 8.404 0.83 36.53 2.23 3.28 0.0393 0.23 0.044 5.58

11 1.11 10.23 8.904 0.87 37.02 1.98 3.10 0.0326 0.18 0.036 5.44

54.98


Dh 0.077


1 1.70 11.40 13.599 1.19 40.40 0.85 2.55 0.0086

2 1.78 11.55 14.212 1.23 40.73 0.78 2.55 0.0075 0.00 0.008 0.94

3 1.85 11.71 14.825 1.27 41.04 0.72 2.57 0.0066 -0.01 0.007 3.22

4 1.93 11.86 15.438 1.30 41.34 0.66 2.59 0.0058 -0.02 0.006 6.17

5 2.01 12.01 16.051 1.34 41.63 0.61 2.62 0.0052 -0.03 0.005 10.11

6 2.08 12.17 16.664 1.37 41.90 0.57 2.65 0.0046 -0.03 0.005 15.55

7 2.16 12.32 17.277 1.40 42.15 0.53 2.69 0.0041 -0.04 0.004 23.49

8 2.24 12.47 17.890 1.43 42.40 0.49 2.73 0.0037 -0.04 0.004 36.05

9 2.31 12.63 18.503 1.47 42.63 0.46 2.77 0.0034 -0.04 0.004 58.74

10 2.39 12.78 19.116 1.50 42.85 0.43 2.82 0.0031 -0.05 0.003 111.58

11 2.47 12.93 19.729 1.53 43.07 0.40 2.87 0.0028 -0.05 0.003 369.82

635.65

4309.38 m L - DsTOT,monte - DsTOT,valle, lunghezza dell'alveo caratterizzata da moto uniforme

hv*


e da valle a partire dalla condizione al contorno h(0) = k)


Jm

tirante finale: h = hv* La lunghezza per il quale si raggiunge il risalto è pari a DsTOT,monte =


Jm


Lu

Profilo per alveo a forte pendenza (Parte valida se hu < k)




Dh 0.198


1 0.49 8.98 3.904 0.43 29.89 10.31 10.80 0.5206

2 0.69 9.37 5.486 0.59 32.87 5.22 5.91 0.1620 4.89 0.341 14.46

3 0.88 9.77 7.069 0.72 35.07 3.15 4.03 0.0693 1.88 0.116 16.64

4 1.08 10.16 8.651 0.85 36.78 2.10 3.18 0.0358 0.85 0.053 17.03

5 1.28 10.56 10.234 0.97 38.16 1.50 2.78 0.0209 0.40 0.028 15.73

6 1.48 10.95 11.816 1.08 39.31 1.13 2.60 0.0132 0.18 0.017 12.43

7 1.67 11.35 13.399 1.18 40.28 0.88 2.55 0.0090 0.05 0.011 6.31

8 1.87 11.75 14.981 1.28 41.12 0.70 2.57 0.0064 -0.02 0.008 4.65

9 2.07 12.14 16.564 1.36 41.85 0.57 2.64 0.0047 -0.07 0.006 25.72

10 2.27 12.54 18.146 1.45 42.50 0.48 2.75 0.0036 -0.10 0.004 76.14

11 2.47 12.93 19.729 1.53 43.07 0.40 2.87 0.0028 -0.12 0.003 317.65

189.11

4810.89 m L - DsTOT,monte, lunghezza dell'alveo caratterizzata da moto uniforme

hp: efflusso rigurgitato in corrispondenza della paratoia NON VERIFICATA (si veda il confronto precedente tra le spinte)(risalto adossato alla parete, vedi figura seguente) Si tenga conto della procedura precedente (effl. Libero)

Si assume con modesta approssimazione che nelle vicinanze della paratoia ci sia moto uniforme;

le equazioni alla base delle ipotesi formulate sono pertanto le seguenti:

ovvero la quale viene di seguito risolta

con la funzione ricerca obiettivo

A C R Chi

2.31 18.47 12.62 1.46 42.62 0.000

k

50.39 1.59 m

Profilo per alveo a debole pendenza




Dh 0.072

profilo idrico (da integrare numericamente da monte a partire dalla condizione al contorno h(0) = cc a al moto uniforme


Jm

tirante finale: h = hu La lunghezza per il quale si raggiunge il risalto è pari a DsTOT,monte =

Lu

hu F(hu)

Qu

m3/s

profilo idrico (da integrare numericamente da valle a partire dalla condizione al contorno h(0) = k, fino a moto uniforme.

condizione al contorno: h = hc

ihRhAhQ

Bacg2

QhH

uuu

2c

2

u1 2c

u2

u2

uu1

Bacg2

ihRhAhhH


1 1.59 11.19 12.746 1.14 39.90 0.80 2.39 0.0086

2 1.66 11.33 13.318 1.18 40.24 0.73 2.39 0.0075 0.00 0.008 0.86

3 1.74 11.47 13.891 1.21 40.56 0.67 2.41 0.0066 -0.01 0.007 2.97

4 1.81 11.62 14.463 1.25 40.86 0.62 2.43 0.0058 -0.02 0.006 5.70

5 1.88 11.76 15.035 1.28 41.15 0.57 2.45 0.0052 -0.03 0.006 9.33

6 1.95 11.90 15.608 1.31 41.42 0.53 2.48 0.0046 -0.03 0.005 14.37

7 2.02 12.04 16.180 1.34 41.68 0.49 2.52 0.0042 -0.03 0.004 21.72

8 2.09 12.19 16.752 1.37 41.93 0.46 2.56 0.0037 -0.04 0.004 33.34

9 2.17 12.33 17.324 1.40 42.17 0.43 2.60 0.0034 -0.04 0.004 54.35

10 2.24 12.47 17.897 1.43 42.40 0.40 2.64 0.0031 -0.04 0.003 103.28

11 2.31 12.62 18.469 1.46 42.62 0.38 2.69 0.0028 -0.05 0.003 342.48

588.40

4411.60 L - DsTOT,valle, lunghezza dell'alveo caratterizzata da moto uniforme


in moto uniforme

B = 5.0 + = m i = 0.3 + = m/km


1.1 + = Q = 80.0 + =

seconda cifra della matricola * 0.02 terza cifra della matricola * 0.2


7

8

2


B 5.04 m larghezza al fondo del canale fuori restringimento




cliccando sul tasto "calcola alveo").


k(B) 2.99 m 4.48



A(B) 22.27 m Macro: 'Calcola_alveo_Es13_CSL'

Jm


Lu

Per l’alveo rettangolare di lunghezza indefinita, base B, scabrezza g e pendenza i rappresentato in figura, l'allievo determini

la larghezza b* di un restringimento, necessaria perché lo stesso definisca una sezione di controllo. Successivamente

l’allievo determini per via numerica il profilo di corrente per una larghezza del restringimento b = b*/2, evidenziando le zone

g = m1/2 m3/s

m/s2

m1/2

m3/s

Per il tracciamento del profilo occorre determinare il tipo d'alveo e successivamente ricavare la larghezza b* del restringimento, uguagliando il carico

Hu di moto uniforme con il carico minimo sul restringimento Hk(b*). Si chiede infine di tracciare il profilo di corrente per una larghezza del

restringimento pari a b = b* / 2 (il restringimento funge da sezione di controllo). Nel seguito il quesito viene risolto con una singola macro (da eseguire

(Q2/ (g B2))1/3, altezza di stato critico fuori restringimento. Hk(B)

hu(B)

B hu, area bagnata.

C(B) 13.88 m

R(B) 1.60 m

Chi(B) 43.62

0.000


5.10 m

5.10 m Carico totale di stato critico in corrispondenza del restringimento per la condizione limite.

k(b*) 3.40 m

b* 4.15 m

b 2.08 m

k(b) 5.40 m

8.10 m








-0.00021248 N


-1.62506E-05 m


-7.92736E-06 m

983977.1346 N


risulta N(hv) > N(hu); Il risalto è a distanza finita dal restringimento.




Dh 0.597


1 7.88 20.81 39.738 1.91 45.51 0.21 8.10 0.0011

2 7.29 19.61 36.727 1.87 45.29 0.25 7.54 0.0013 0.56 0.001 173.87

3 6.69 18.42 33.717 1.83 45.05 0.30 6.99 0.0016 0.55 0.001 185.37

4 6.09 17.23 30.706 1.78 44.76 0.36 6.45 0.0020 0.54 0.002 204.32

5 5.50 16.03 27.696 1.73 44.42 0.44 5.94 0.0025 0.51 0.002 240.78

6 4.90 14.84 24.685 1.66 44.01 0.56 5.45 0.0034 0.48 0.003 337.26

7 4.30 13.64 21.675 1.59 43.51 0.72 5.02 0.0047 0.43 0.004 1237.89

8 3.70 12.45 18.665 1.50 42.88 0.97 4.68 0.0069 0.35 0.006 242.96

9 3.11 11.25 15.654 1.39 42.06 1.38 4.49 0.0110 0.19 0.009 40.70

10 2.51 10.06 12.644 1.26 40.97 2.12 4.63 0.0197 -0.14 0.015 12.80

B + 2hu, contorno bagnato.

A / C, raggio idraulico.

m1/2/s 87 / (1 + g/R1/2), parametro di resistenza della formula di Chezy.

F[hu(B)]=0 m3/s Q - Chi(hu) A(hu) R(hu) 1/2 i1/2, funzione ricerca obiettivo basata sulla incognita hu.

2. Confronto tra "Hu(B)" e "Hk(b) + a" e profili conseguenti

Hu(B)=H[hu(B)] hu + Q2/(2 g A(hu)2 ), carico totale di moto uniforme fuori soglia.

Hk(b*)=H[k(b*)]

2 Hk(b*)/3, altezza di stato critico sul restringimento per la condizione limite.

(Q2/ (g k3))1/2, altezza di stato critico in corrispondenza del restringimento per il quale la sezione è di controllo.

b* / 2, larghezza del restringimento per il quale è rechiesto il tracciamento del profilo.

(Q2/ (g b2))1/3, altezza di stato critico in corrispondenza del restringimento per il quale la sezione è di controllo.

Hk(b)=H[k(b)] 3 Hk(b)/2, carico di stato critico sul restringimento per la base b.

N(hu(B)]

hl,v*



hl

F(hl)=0 = Hk(b) - (hl + Q2/(2 g B2 hl2)), funzione ricerca obiettivo per la determinazione di hl

hv

F(hv)=0 = Hk(b) - (hv + Q2/(2 g B2 hv2)), funzione ricerca obiettivo per la determinazione di hv






Jm

hv

hu

hl

hu

hl*

11 1.91 8.86 9.633 1.09 39.39 3.66 5.57 0.0425 -0.94 0.031 35.03

2710.98


Dh 0.300


1 1.41 7.87 7.125 0.91 37.43 6.69 8.10 0.1034

2 1.71 8.47 8.639 1.02 38.71 4.55 6.26 0.0584 1.84 0.081 24.03

3 2.01 9.07 10.153 1.12 39.71 3.29 5.31 0.0366 0.95 0.047 22.16

4 2.31 9.67 11.667 1.21 40.52 2.49 4.81 0.0247 0.50 0.031 19.00

5 2.62 10.27 13.181 1.28 41.19 1.95 4.57 0.0176 0.24 0.021 14.30

6 2.92 10.87 14.695 1.35 41.75 1.57 4.49 0.0131 0.08 0.015 7.44

7 3.22 11.47 16.209 1.41 42.23 1.29 4.51 0.0101 -0.02 0.012 2.86

8 3.52 12.07 17.723 1.47 42.65 1.08 4.60 0.0079 -0.09 0.009 19.39

9 3.82 12.67 19.237 1.52 43.01 0.92 4.73 0.0064 -0.14 0.007 49.41

10 4.12 13.27 20.751 1.56 43.33 0.79 4.91 0.0053 -0.17 0.006 119.24

11 4.42 13.88 22.265 1.60 43.62 0.68 5.10 0.0044 -0.20 0.005 453.48

731.31




Dh 0.347


1 7.88 20.81 39.738 1.91 45.51 0.21 8.10 0.0011

2 7.54 20.12 37.990 1.89 45.39 0.24 7.77 0.0012 0.33 0.001 99.71

3 7.19 19.42 36.243 1.87 45.26 0.26 7.45 0.0013 0.32 0.001 102.88

4 6.84 18.73 34.496 1.84 45.11 0.29 7.13 0.0015 0.32 0.001 106.95

5 6.50 18.04 32.749 1.82 44.96 0.32 6.81 0.0017 0.32 0.002 112.34

6 6.15 17.34 31.001 1.79 44.79 0.35 6.50 0.0019 0.31 0.002 119.77

7 5.80 16.65 29.254 1.76 44.60 0.40 6.20 0.0022 0.30 0.002 130.64

8 5.46 15.96 27.507 1.72 44.40 0.45 5.91 0.0026 0.29 0.002 147.92

9 5.11 15.26 25.760 1.69 44.17 0.51 5.62 0.0030 0.28 0.003 179.47

10 4.76 14.57 24.012 1.65 43.91 0.59 5.35 0.0036 0.27 0.003 254.55

11 4.42 13.88 22.265 1.60 43.62 0.68 5.10 0.0044 0.25 0.004 654.74

1254.23


Dh 0.050


1 1.41 7.87 7.125 0.91 37.43 6.69 8.10 0.1034

2 1.46 7.97 7.376 0.93 37.67 6.24 7.70 0.0932 0.40 0.098 4.23

3 1.51 8.07 7.626 0.95 37.89 5.83 7.35 0.0843 0.35 0.089 4.20

4 1.56 8.17 7.877 0.96 38.11 5.47 7.03 0.0766 0.32 0.080 4.15

5 1.61 8.27 8.128 0.98 38.32 5.14 6.75 0.0698 0.28 0.073 4.11

6 1.66 8.37 8.379 1.00 38.51 4.83 6.50 0.0638 0.25 0.067 4.06



Jm






Jm



Jm

hv

hu

hl

hu

hv*

7 1.71 8.46 8.630 1.02 38.70 4.56 6.27 0.0585 0.23 0.061 4.00

8 1.76 8.56 8.881 1.04 38.89 4.30 6.07 0.0538 0.20 0.056 3.94

9 1.81 8.66 9.132 1.05 39.06 4.07 5.88 0.0497 0.18 0.052 3.87

10 1.86 8.76 9.382 1.07 39.23 3.86 5.72 0.0459 0.16 0.048 3.80

11 1.91 8.86 9.633 1.09 39.39 3.66 5.57 0.0425 0.15 0.044 3.73

36.36


5.10 m Carico di moto uniforme sulla soglia con restringimento (si assume la linea dell'energia parallela al fondo ovunque).

4.42 m Altezza idrica sul restringimento; il tirante soluzione sarà in corrente lenta nel caso in cui

l'alveo risulta a debole pendenza (la corrente si deprime sul restringimento), ovvero in corrente veloce nel caso in cui

l'alveo risulta a forte pendenza (la corrente incrementa il tirante sul restringimento).

-0.00017266 m

Esercizio 14 10-Feb-10 esame Civili

l’allievo determini il profilo di corrente, evidenziando le zone in moto uniforme.

B = 8.0 + = m 0.6 + =

terza cifra della matricola * 0.1 seconda cifra della matricola * 0.02

Q = 120 + = 1.7 + = %

seconda cifra della matricola * 0,5 prima cifra della matricola * 0.02

5000 + = m 1.2 + =

seconda cifra della matricola * 50 seconda cifra della matricola * 0.02

0.5 + = %



2

8

6


B 8.12 m larghezza dei canali

0.76 coefficiente della formula di Bazin per il canale di monte

0.0174 - pendenza del canale di monte

1.26 coefficiente della formula di Bazin per il canale di valle

0.0022 - pendenza del canale di valle

5400 m lunghezza del tronco di valle


a debole pendenza: sarà pertanto discusso nel seguito questo caso destinando all'allievo le altre combinazioni.

1.a Caratterizzazione del tronco di monte

Altezza di stato critico Macro: 'Calcola_alveo_Es14_CSL'

k 2.75 m




15.01 m

11.82 m

1.27 m 51.96


In questo caso il profilo è di moto uniforme fuori restringimento ed altezza hs da determinare sul restringimento

H(hu(B)]

hs

F(hs*)=0 = Hu(B) - (hs + Q2/(2 g b2 hs

2), funzione ricerca obiettivo per la determinazione di hs

La successione di due canali rettangolari rappresentati in figura termina in un serbatoio di livello praticamente invariabile. Il

tratto di monte di base B, pendenza i1, scabrezza g1 può essere considerato di lunghezza praticamente infinita, mentre

tratto di valle di base B, pendenza i2 e scabrezza g2 presenta una lunghezza pari ad L2. Per una portata circolante pari a Q

g1 = m1/2

m3/s i1 =

L2 = g2 = m1/2

i2 =

m/s2

g1 m1/2

i1

g2 m1/2

i2

L2

m3/s

Per il tracciamento del profilo occorre determinare i tipi d'alveo. Il presente esercizio è stato concepito per avere una successione di alvei da forte

(Q2/ (g b12))1/3, altezza di stato critico per il tronco di monte.

hu,1

A(b1) b1 hu,1, area.




0.000

Il tronco di monte è a forte pendenza





36.32 m

17.07 m

2.13 m

46.68

0.000

Il tronco di valle è a debole pendenza

Verifica sulla posizione del risalto

1032380 N Spinta totale di moto uniforme sul tronco di monte

1167221 N Spinta totale di moto uniforme sul tronco di valle

Il risalto è sul canale di monte; si faccia riferimento alla tabella 1.1.

1.1.

3.91 m coniugata dell'altezza di moto uniforme nel risalto sul tratto di monte

-0.00011623 N




Dh 0.056


1 4.47 17.07 36.317 2.13 57.20 0.52 4.99 0.0015

2 4.42 16.95 35.859 2.12 57.14 0.53 4.95 0.0015 0.04 0.001 2.71

3 4.36 16.84 35.400 2.10 57.08 0.55 4.91 0.0016 0.04 0.002 2.68

4 4.30 16.73 34.942 2.09 57.02 0.56 4.86 0.0016 0.04 0.002 2.66

5 4.25 16.61 34.484 2.08 56.96 0.58 4.82 0.0017 0.04 0.002 2.63

6 4.19 16.50 34.026 2.06 56.89 0.59 4.78 0.0017 0.04 0.002 2.60

7 4.13 16.39 33.568 2.05 56.82 0.61 4.74 0.0018 0.04 0.002 2.57

8 4.08 16.28 33.110 2.03 56.76 0.63 4.70 0.0019 0.04 0.002 2.54

9 4.02 16.16 32.652 2.02 56.69 0.64 4.66 0.0019 0.04 0.002 2.50

10 3.96 16.05 32.194 2.01 56.62 0.66 4.63 0.0020 0.04 0.002 2.46

11 3.91 15.94 31.735 1.99 56.55 0.68 4.59 0.0021 0.04 0.002 2.42

25.76


Dh 0.172 tirante finale: h = k


1 2.75 13.62 22.332 1.64 43.85 1.38 4.13 0.0086

2 2.92 13.97 23.731 1.70 44.24 1.22 4.14 0.0072 -0.01 0.008 2.63

Fhu(b1)=0 m3/s Q - Chi(hu,1) A(hu,1) R(hu,1) 1/2 i11/2, funzione ricerca obiettivo basata sulla incognita hu,1.

hu,2

A(b2) b2 hu,2, area.




Fhu(b2)=0 m3/s Q - Chi(hu,2) A(hu,2) R(hu,2) 1/2 i21/2, funzione ricerca obiettivo basata sulla incognita hu,2.

N(hu,1)

N(hu,2)

Profilo per risalto nel canale di monte (parte valida se N(hu,1) < N(hu,2))

hl*

F(hl*)=0 = N(hu,1) - N(hl


profilo idrico (da integrare numericamente da monte a partire dalla condizione al contorno h(0) = hu,2 fino al tirante hl*

e da valle a partire dalla condizione al contorno h(0) = k fino altirante hu,2)


Jm


Jm

hu,1 hl*

hu,2

k

3 3.09 14.31 25.129 1.76 44.60 1.09 4.18 0.0061 -0.04 0.007 9.10

4 3.27 14.65 26.528 1.81 44.93 0.97 4.24 0.0052 -0.06 0.006 17.52

5 3.44 15.00 27.926 1.86 45.23 0.88 4.32 0.0045 -0.08 0.005 28.74

6 3.61 15.34 29.325 1.91 45.52 0.80 4.41 0.0040 -0.09 0.004 44.28

7 3.78 15.69 30.723 1.96 45.78 0.73 4.51 0.0035 -0.10 0.004 66.96

8 3.96 16.03 32.121 2.00 46.03 0.66 4.62 0.0031 -0.11 0.003 102.86

9 4.13 16.38 33.520 2.05 46.26 0.61 4.74 0.0027 -0.12 0.003 167.68

10 4.30 16.72 34.918 2.09 46.48 0.56 4.86 0.0024 -0.12 0.003 318.50

11 4.47 17.07 36.317 2.13 46.68 0.52 4.99 0.0022 -0.13 0.002 1052.81

1811.08

3588.92 m L - DsTOT,valle, lunghezza del canale di valle caratterizzata da moto uniforme

1.2.

parte non valida m coniugata dell'altezza di moto uniforme nel risalto sul tratto di monte

#VALUE! N




Dh #VALUE!


1 1.85 11.82 15.01 1.27 41.08 3.04 4.89 0.0278

2 #VALUE! #VALUE! #VALUE! #VALUE! #VALUE! #VALUE! #VALUE! #VALUE! #VALUE! #VALUE! #VALUE!










#VALUE!


Dh 0.172 condizione al contorno: h = k


1 2.75 13.62 22.33 1.64 43.85 1.38 4.13 0.0086

2 2.92 13.97 23.73 1.70 44.24 1.22 4.14 0.0072 -0.01 0.008 2.63

3 3.09 14.31 25.13 1.76 44.60 1.09 4.18 0.0061 -0.04 0.007 9.10

4 3.27 14.65 26.53 1.81 44.93 0.97 4.24 0.0052 -0.06 0.006 17.52

5 3.44 15.00 27.93 1.86 45.23 0.88 4.32 0.0045 -0.08 0.005 28.74

6 3.61 15.34 29.32 1.91 45.52 0.80 4.41 0.0040 -0.09 0.004 44.28

7 3.78 15.69 30.72 1.96 45.78 0.73 4.51 0.0035 -0.10 0.004 66.96

8 3.96 16.03 32.12 2.00 46.03 0.66 4.62 0.0031 -0.11 0.003 102.86

9 4.13 16.38 33.52 2.05 46.26 0.61 4.74 0.0027 -0.12 0.003 167.68

condizione al contorno: h = hu,2 La lunghezza per il quale si raggiunge il moto uniforme è pari a DsTOT,valle =

Lu

Profilo per risalto nel canale di valle (parte valida se N(hu,1) > N(hu,2))

hv*

F(hl*)=0 = N(hu,2) - N(hv


profilo idrico da integrare solo sul canale di valle: da monte a partire dalla condizione al contorno h(0) = hu,1 fino al tirante hv*

e da valle a partire dalla condizione al contorno h(0) = k fino al tirante hu,2


Jm

tirante finale: h = hv* La lunghezza per il quale si raggiunge il moto uniforme è pari a DsTOT,monte =

Jm

hu,1

hv*

hu,2

k

10 4.30 16.72 34.92 2.09 46.48 0.56 4.86 0.0024 -0.12 0.003 318.50

11 4.47 17.07 36.32 2.13 46.68 0.52 4.99 0.0022 -0.13 0.002 1052.81

1811.08

#VALUE! m #VALUE!

Esercizio 15 19/03/2010 esame Civili basato: Esercizio 6 5-Jun-09

corrente per un’altezza della soglia pari ad a = a*/2, evidenziando le zone in moto uniforme.

B = 7.00 + = m i = 0.3 + = m/km


1.1 + = Q = 60.0 + =



2

1

9








k 1.93 m



A 18.53 m

C 12.34 m

R 1.50 m

Chi 45.46

0.000


3.12 m

2.89 m

a* 0.23 m Carico totale di stato critico in corrispondenza della soglia, riferito al fondo del canale circostante.



Lu

Per l’alveo rettangolare di base B e lunghezza indefinita rappresentato in figura, l’allievo determini la minima altezza a* di

una soglia, necessaria perché la stessa costituisca sezione di controllo. Successivamente l’allievo determini il profilo di

g = m1/2 m3/s

m/s2

m1/2

m3/s

Per a < a* il profilo è di moto uniforme fuori soglia. In corrispondenza della soglia, il tirante si valuta supponendo che il carico totale sia ovunque pari ad

Hu. I calcoli che seguono sono validi sia nel caso di alveo a debole pendenza che di alveo a forte pendenza.

(Q2/ (g B2))1/3, altezza di stato critico.

hu

B hu, area.




F(hu)=0 m3/s Q - Chi(hu) A(hu) R(hu) 1/2 i1/2, funzione ricerca obiettivo basata sulla incognita hu.


Hu=H(hu) hu + Q2/(2 g A(hu)2 ), carico totale di moto uniforme .

Hk=H(k) 3 k/2, carico totale di stato critico per sezione rettangolare.

In questo caso il profilo è di moto uniforme fuori soglia ed altezza hs da determinare sulla soglia.

3.01 m Carico di moto uniforme sulla soglia (si assume la linea dell'energia parallela al fondo ovunque)

2.37 m altezza idrica sulla soglia; il tirante sarà in corrente lenta nel caso in cui



-0.00010049 m

Esercizio 16 23-Apr-09 esame Civili

il profilo idrico e determini le condizioni di moto a distanza L dalla sezione di incile.

0.5 + =


i = 1.3 + = %


B = 10.0 + =


H = 8.00 + = m


L = 1.10 + = km



2

8

2


0.66 scabrezza del canale



H 8.2 m altezza d'acqua all'imbocco

L 1200 m

le procedure per entrambe le ipotesi; si noti come solo una tra esse è la corretta. Si ricorda di cliccare sul tasto "Calcola" per risolvere le procedure.


hp: debole pendenza NON VERIFICATA

hu A C R Chi F(hu) Qu

3.10 36.02 17.81 2.02 59.42 6.29418E-05 360.10

k

4.61 m



hp: forte pendenza VERIFICATA

H(hu(B)]-a*/2

hs

F(hs)=0 = Hu - (a*/2) - (hs + Q2/(2 g B2 hs2), funzione ricerca obiettivo per la determinazione di hs

Il canale rettangolare di larghezza B, pendenza i, scabrezza g e lunghezza indefinita rappresentato in figura presenta

l’imbocco in corrispondenza di un serbatoio di capacita infinita. L’allievo determini la portata defluente lungo il canale, tracci

g = m1/2

m1/2

m/s2

g m1/2

Per la risoluzione del quesito occorre formulare una ipotesi sul tipo d'alveo verificando a posteriori la sua correttezza. Nel seguito sono riportate

m3/s

k A Q hu A(hu) C(hu) R(hu) Chi(hu) F(hu)

5.47 63.41 464.38 3.72 43.12 19.03 2.27 60.48 0.000




Dh 0.175 condizione al contorno: h = k


1 5.47 22.53 63.41 2.81 62.44 2.73 8.20 0.0049

2 5.29 22.18 61.38 2.77 62.29 2.92 8.21 0.0053 -0.01 0.005 0.99

3 5.12 21.83 59.35 2.72 62.13 3.12 8.24 0.0058 -0.03 0.006 3.32

4 4.94 21.48 57.32 2.67 61.96 3.34 8.29 0.0064 -0.05 0.006 6.33

5 4.77 21.13 55.29 2.62 61.79 3.59 8.36 0.0071 -0.08 0.007 10.33

6 4.59 20.78 53.27 2.56 61.60 3.87 8.47 0.0078 -0.10 0.007 15.88

7 4.42 20.43 51.24 2.51 61.41 4.19 8.60 0.0087 -0.14 0.008 24.02

8 4.24 20.08 49.21 2.45 61.20 4.54 8.78 0.0097 -0.18 0.009 36.98

9 4.07 19.73 47.18 2.39 60.97 4.94 9.01 0.0109 -0.22 0.010 60.63

10 3.89 19.38 45.15 2.33 60.73 5.39 9.28 0.0123 -0.28 0.012 116.71

11 3.72 19.03 43.12 2.27 60.48 5.91 9.63 0.0140 -0.34 0.013 409.21

684.40

h(L) 3.72 moto uniforme all'ascissa richiesta


corrente, stabilendo in particolare le condizioni di moto a distanza L dalla sezione di sbocco.

1.0 + =


i = 0.2 + = m/km


B = 15.00 + = m


Q = 80.0 + =


a = 80 + =


L = 0.6 + = km



0

2

4

m3/s

profilo idrico (da integrare numericamente a partire dalla condizione al contorno h(0) = k

Jm


Il canale rettangolare di larghezza B, pendenza i, scabrezza g e lunghezza indefinita rappresentato rappresentato in figura,

una soglia, presenta uno sbocco con paratoia caratterizzata da una apertura di altezza a. L’allievo determini il profilo di

g = m1/2

m3/s

m






a 80.4 cm 0.804 m apertura della paratoia

0.6 - valore scelto per il coefficiente di contrazione


L 0.8 km 800 m distanza richiesta per il calcolo delle condizioni di moto

di alveo a debole pendenza che di alveo a forte pendenza.

1. Caratterizzazione dell'alveo Macro: 'Calcola_alveo_Es17_CSL'

k 1.45 m



A 31.10 m

C 19.44 m

R 1.60 m

Chi 47.74

0.000

L'alveo è a debole pendenza; per il profilo si faccia riferimento alla sezione 3.a

7.00 m

7.00 m

3.a. Alveo a debole pendenza



Integrazione del profilo di corrente

Dh 0.498 si noti l'errore connesso con il termine cinetico


1 7.00 29.40 107.78 3.67 56.38 0.03 7.03 0.0001

2 6.50 28.40 100.11 3.52 55.99 0.04 6.54 0.0001 0.49 0.000 253.85

3 6.00 27.41 92.44 3.37 55.55 0.04 6.04 0.0001 0.49 0.000 254.98

4 5.50 26.41 84.78 3.21 55.05 0.05 5.56 0.0001 0.49 0.000 256.54

5 5.01 25.41 77.11 3.03 54.48 0.06 5.07 0.0001 0.49 0.000 258.79

6 4.51 24.42 69.44 2.84 53.81 0.07 4.58 0.0002 0.48 0.000 262.20

7 4.01 23.42 61.77 2.64 53.04 0.09 4.11 0.0002 0.48 0.000 267.70

m/s2

m1/2

m3/s

cc

cc a

Il quesito consiste nel determinare il profilo di corrente per le condizioni assegnate. A tal fine occorre innanzitutto caratterizzare l'alveo e quindi

determinare il tirante hl subito a monte della paratoia sulla base della consizione H(cc a) = H(hl) ≈ hl. I calcoli che seguono, sono validi sia nel caso


hu

B hu, area.





2. Determinazione del tirante hl

H(cc a)

hl

profilo idrico (da integrare numericamente a partire dalla condizione al contorno h(0) = hl

alla condizione asintotica h = hu


Jm

hl

8 3.51 22.43 54.11 2.41 52.11 0.12 3.64 0.0004 0.47 0.000 277.47

9 3.02 21.43 46.44 2.17 50.98 0.17 3.18 0.0006 0.45 0.000 297.60

10 2.52 20.44 38.77 1.90 49.57 0.24 2.76 0.0010 0.43 0.001 352.74

11 2.02 19.44 31.10 1.60 47.74 0.37 2.39 0.0020 0.37 0.002 735.88

3217.72

h(L) si interpoli il valore dalla tabella sopra riportata

3.b. Alveo a forte pendenza



3.a.1. Determinazione della coniugata in corrente lenta nel risalto

534968 N Spinta totale di moto uniforme

3.04 m Coniugata in corrente lenta nel risalto

-313387.862 N

Integrazione del profilo di corrente

Dh 0.396 si noti l'errore connesso con il termine cinetico


1 7.00 29.40 107.78 3.67 56.38 0.03 7.03 0.0001

2 6.60 28.61 101.68 3.55 56.07 0.03 6.64 0.0001 0.39 0.000 201.79

3 6.21 27.81 95.58 3.44 55.73 0.04 6.25 0.0001 0.39 0.000 202.45

4 5.81 27.02 89.49 3.31 55.36 0.04 5.86 0.0001 0.39 0.000 203.31

5 5.41 26.23 83.39 3.18 54.95 0.05 5.47 0.0001 0.39 0.000 204.43

6 5.02 25.44 77.29 3.04 54.49 0.06 5.08 0.0001 0.39 0.000 205.93

7 4.62 24.65 71.19 2.89 53.97 0.07 4.69 0.0002 0.39 0.000 208.03

8 4.23 23.85 65.09 2.73 53.39 0.08 4.31 0.0002 0.38 0.000 211.06

9 3.83 23.06 59.00 2.56 52.72 0.10 3.93 0.0003 0.38 0.000 215.68

10 3.43 22.27 52.90 2.38 51.95 0.13 3.56 0.0004 0.37 0.000 223.27

11 3.04 21.48 46.80 2.18 51.04 0.16 3.20 0.0006 0.36 0.000 237.12

2113.06

h(L) si interpoli il valore da tabella

Esercizio 18 03/02/2011 esame Civili basato: Esercizio 6 5-Jun-09

corrente per un’altezza della soglia pari ad a = 2a*, evidenziando le zone in moto uniforme.

B = 8.00 + = m


tirante finale: h = hu La lunghezza per il quale si raggiunge il moto uniforme è DsTOT,monte =

profilo idrico (da integrare numericamente a partire dalla condizione al contorno h(0) = hl

alla condizione h = hl*

N(hu)

hl*

F(hl*)=0 = N(hu) - N(hl



Jm

tirante finale: h = hl* La lunghezza per il quale si raggiunge il moto uniforme è DsTOT,monte =

Per l’alveo rettangolare di base B e lunghezza indefinita rappresentato in figura, l’allievo determini la minima altezza a* di

una soglia, necessaria perché la stessa costituisca sezione di controllo. Successivamente l’allievo determini il profilo di

hl

hl*hu

1.1 + =


i = 0.3 + = m/km


Q = 120.0 + =



2

3

6








k 2.73 m



A 31.88 m

C 16.01 m

R 1.99 m

Chi 47.75

0.001


1. Determinazione dell'altezza limite della soglia

4.45 m

4.09 m

a* 0.35 m

a 0.70 m

4.80 m carico totale di stato critico in corrispondenza della soglia, riferito al fondo del canale circostante








-8.87085E-08 N


-6.5775E-05 m


-4.48682E-05 m

g = m1/2

m3/s

m/s2

m1/2

m3/s

Per a < a* il profilo è di moto uniforme fuori soglia. In corrispondenza della soglia, il tirante si valuta supponendo che il carico totale sia ovunque pari ad

Hu. I calcoli che seguono sono validi sia nel caso di alveo a debole pendenza che di alveo a forte pendenza.


hu

B hu, area.





Hu=H(hu) hu + Q2/(2 g A(hu)2 ), carico totale di moto uniforme .

Hk=H(k) 3 k/2, carico totale di stato critico per sezione rettangolare.

Hu - Hk, altezza limite della soglia.


2a*, altezza della soglia richiesta per il tracciamento del profilo.

Hk+a

N(hu)

hl,v*



hl

F(hl)=0 = Hk + a - (hl + Q2/(2 g B2 hl2)), funzione ricerca obiettivo per la determinazione di hl

hv

F(hv)=0 = Hk + a - (hv + Q2/(2 g B2 hv2)), funzione ricerca obiettivo per la determinazione di hv

1068701.063 N


- Risulta N(hv) > N(hu); Il risalto è a distanza finita dalla soglia.




Dh 0.229


1 4.23 17.06 36.394 2.13 48.49 0.57 4.80 0.0022

2 4.00 16.61 34.425 2.07 48.18 0.63 4.64 0.0026 0.16 0.002 204.01

3 3.77 16.15 32.457 2.01 47.85 0.71 4.49 0.0030 0.15 0.003 390.21

4 3.55 15.69 30.488 1.94 47.48 0.81 4.35 0.0036 0.13 0.003 990.49

5 3.32 15.23 28.519 1.87 47.08 0.93 4.24 0.0044 0.11 0.004 141.85

6 3.09 14.77 26.551 1.80 46.64 1.07 4.15 0.0054 0.09 0.005 52.05

7 2.86 14.32 24.582 1.72 46.15 1.25 4.10 0.0067 0.05 0.006 18.13

8 2.63 13.86 22.614 1.63 45.59 1.47 4.10 0.0085 0.00 0.008 0.61

9 2.40 13.40 20.645 1.54 44.97 1.77 4.17 0.0111 -0.07 0.010 9.84

10 2.17 12.94 18.677 1.44 44.26 2.16 4.33 0.0150 -0.16 0.013 16.54

11 1.94 12.49 16.708 1.34 43.44 2.70 4.64 0.0209 -0.31 0.018 20.96

1823.74


Dh 0.185


1 1.86 12.32 15.999 1.30 48.49 2.94 4.80 0.0189

2 2.05 12.69 17.587 1.39 48.18 2.43 4.48 0.0148 0.32 0.017 23.59

3 2.23 13.06 19.175 1.47 47.85 2.05 4.28 0.0119 0.20 0.013 19.79

4 2.41 13.43 20.764 1.55 47.48 1.75 4.16 0.0098 0.12 0.011 15.15

5 2.60 13.80 22.352 1.62 47.08 1.51 4.11 0.0082 0.05 0.009 9.36

6 2.78 14.17 23.940 1.69 46.64 1.31 4.10 0.0070 0.01 0.008 1.93

7 2.97 14.54 25.529 1.76 46.15 1.15 4.12 0.0061 -0.03 0.007 7.93

8 3.15 14.91 27.117 1.82 45.59 1.02 4.18 0.0053 -0.05 0.006 21.51

9 3.34 15.28 28.705 1.88 44.97 0.91 4.25 0.0047 -0.07 0.005 41.18

10 3.52 15.64 30.293 1.94 44.26 0.82 4.34 0.0042 -0.09 0.004 71.58

11 3.71 16.01 31.882 1.99 43.44 0.74 4.45 0.0039 -0.11 0.004 123.06

212.01






Jm



Jm



hv

hu

hl

hu

hl*

huhv

hl

hu

hv*




Dh 0.052


1 4.23 17.06 36.394 2.13 48.49 0.57 4.80 0.0022

2 4.18 16.96 35.943 2.12 48.42 0.58 4.76 0.0023 0.04 0.002 40.60

3 4.13 16.85 35.491 2.11 48.35 0.60 4.72 0.0024 0.04 0.002 43.69

4 4.07 16.75 35.040 2.09 48.28 0.61 4.69 0.0025 0.04 0.002 47.60

5 4.02 16.64 34.589 2.08 48.21 0.63 4.65 0.0026 0.04 0.003 52.73

6 3.97 16.54 34.138 2.06 48.14 0.65 4.62 0.0026 0.04 0.003 59.72

7 3.92 16.43 33.687 2.05 48.06 0.66 4.58 0.0027 0.04 0.003 69.85

8 3.86 16.33 33.235 2.04 47.98 0.68 4.55 0.0029 0.03 0.003 85.78

9 3.81 16.22 32.784 2.02 47.91 0.70 4.51 0.0030 0.03 0.003 114.51

10 3.76 16.12 32.333 2.01 47.83 0.72 4.48 0.0031 0.03 0.003 181.78

11 3.71 16.01 31.882 1.99 47.75 0.74 4.45 0.0032 0.03 0.003 522.13

696.25


Dh 0.008


1 1.86 12.32 15.999 1.30 43.11 2.94 4.80 0.0239

2 1.87 12.34 16.070 1.30 43.15 2.91 4.78 0.0236 0.02 0.024 0.86

3 1.88 12.35 16.141 1.31 43.18 2.89 4.76 0.0233 0.02 0.023 0.86

4 1.89 12.37 16.211 1.31 43.21 2.86 4.75 0.0230 0.02 0.023 0.85

5 1.89 12.39 16.282 1.31 43.25 2.84 4.73 0.0226 0.02 0.023 0.85

6 1.90 12.40 16.353 1.32 43.28 2.81 4.72 0.0224 0.02 0.023 0.85

7 1.91 12.42 16.424 1.32 43.31 2.79 4.70 0.0221 0.02 0.022 0.84

8 1.92 12.44 16.495 1.33 43.34 2.77 4.68 0.0218 0.02 0.022 0.84

9 1.93 12.45 16.566 1.33 43.38 2.74 4.67 0.0215 0.02 0.022 0.83

10 1.93 12.47 16.637 1.33 43.41 2.72 4.65 0.0212 0.02 0.021 0.83

11 1.94 12.49 16.708 1.34 43.44 2.70 4.64 0.0209 0.01 0.021 0.83

7.61




Jm



Jm


N(h)

302779.63

298810.82

294967.06

291243.22

287634.50

284136.34

280744.43

277454.68

274263.23

271166.41

268160.74

265242.92

262409.81

259658.42

256985.93

254389.62

251866.93

249415.40

247032.69

1 in = 0.0254 m

1 = 0.00064516

1 = 1.638706E-05

25-Jun-12

Quesito 1p 1 psip 6,894.757 pagamma 9810hwater 0.70 m risp 1

Quesito 2Q 30 l/minQ 1830.712 in^3/minb 8 inl 5 inh 5 inVol 200 in^3time 0.11 mintime 6.55 sec risp 1

120 l/min risp 2

Quesito 3Q 10 m^3/sb 5.5 mh 1.55 mArea 8.525 m^2rad(g*h) 3.90 m/sFr 0.30 - subc risp 1v^2/2g 0.60 m risp 2

23-Jul-12

Quesito 1

1. how long does it take to fill the tank2. which is the flow velocity in the pipe

VOL 5D 1.5 inQ 5 l/s

VOL 305118.72

Q 0.005

t 1000 s 1.16.67 min

t 0.28 h

A 1.76714587

A 0.00114009

in2 m2

in3 m3

A tank having a volume of 5 m3 is filled with a 1.5 inch pipe having a discharge of 5 l/s

m3

in3

m3/s

in2

m2

VEL 4.39 m/s 2.

Quesito 2In a rectangular channel having a width of 3.5 m, and a slope of 0.001 m/m a water depth of

flow is in uniform condition:

1. how much is the discharge

B 3.5 mi 0.001 -h 0.95 m

g 0.8

A 3.32C 5.4 mR 0.62 m

Chi 43.08

Q 3.55 1.

Quesito 3When the Reynolds number of a fluid flow is 35000, the flow regime is:

TRANSITIONAL 1.

2-Sep-12

Quesito 1A pressure gauge measures a relative pressure of 0.27 MPa, which would be the reading for the corresponding absolute pressure?:

0.27 MPa

1 atm 0.10 MPa

0.37 MPa 371300

Quesito 2

of 17.5 l/s, which would the total head loss when the pipeline length is 3250 m?:

D 175 mm 0.175 m

Q 17.5 l/s 0.0175L 3250 m

A 0.02405282VEL 0.73 m/sJ 0.0005 -DH 1.72 m/s

Quesito 3

0.95 m is measured. Assuming that the Chezy coefficient is equal to 0.8 m0.5:and that the

m0,5

m2

m0,5/s

m3/s

prel

patm

pabs

A pipeline having a diameter of 175 mm has a head loss of 0.001v2 m/m, assuming a discharge

m3/s

m2

The flow in a very wide rectangular channel has a critical depth of 1.25 m, assuming that the slope of the channel is mild which would the uniform depth for a uniform total head equal to 1.5 the total critical head?:

k 1.25 m

B 3.5 mi 0.001 -h 0.95 m

g 0.8

A 3.32C 5.4 mR 0.62 m

Chi 43.08

Q 3.55 1.

30-Nov-12

Quesito 1A pressure gauge measures an absolute pressure of 0.22 MPa, which would be the reading for the corresponding relative pressure?:

0.22 MPa

1 atm 0.10 MPa 101300 Pa

0.12 MPa

Quesito 2In a pipeline having a diameter of 175 mm flows a dischargeof 17.5 l/s, which would the corresponding velocity head?

D 175 mm 0.175 m

Q 17.5 l/s 0.0175

g 9.80665

A 0.02405282VEL 0.73 m/s

0.0270 m

Quesito 3

Calculate the critical depth.

Q 10.5B 2 m

k 1.41 m

21-Feb-13

Quesito 1

m0,5

m2

m0,5/s

m3/s

pabs

patm

prel

m3/s

m/s2

m2

VEL2/2g

In a rectangular channel having width equal to 2.00 m flows a discharge equal to 10,5 m3/s.

m3/s

How much force is needed when 2.5 MPa of relative pressure acts on a piston having a radius of 1 cm?

2.50 MPa 2500000 Par 1 cm 0.01 m

A 0.0003141593F 785.40 N

Quesito 2In a pipeline having a diameter of 175 mm flows a dischargeof 17.5 l/s, which would the corresponding velocity head?

D 175 mm 0.175 m

Q 17.5 l/s 0.0175

g 9.80665

A 0.02405282VEL 0.73 m/s

0.0270 m

Quesito 3In a rectangular channel having width equal to 2.00 m, slope i=0.002- and roughness

Q 10.5B 2 mi 0.002 -

gam 0.6k 1.41 m

hu 2.69 m

risolvendo

k 1.41 m

12-Apr-13

Quesito 3Which is the discharge issuing from a sharp orifice having a diameter of 2 cm under a head of 3.5 m?

g 9.80665d 2 cm 0.02 mh 3.5 mmu 0.60 -

A 0.00031416

Q 0.013

prel

m2

m3/s

m/s2

m2

VEL2/2g

gam=0.6m1/2 flows a discharge equal to 10.5 m3/s. Calculate uniform and critical depth:

m3/s

m1/2

Q - Chi(hu) A(hu) R(hu) 1/2 i1/2, funzione ricerca obiettivo basata sulla incognita hu

m/s2

m2

m3/s

Idraulica I

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