Post on 07-Mar-2021
Moti di filtrazione Importanza moti filtrazione e applicazioni
Descrizione mezzi porosi
Falde freatiche/artesiane
Legge Darcy
Eq Laplace (da 1D a 3D)
Reticoli di filtrazione moti 2D
Terreni anisotropi
Emungimento da pozzi
Metodo delle immagini
Argini e dighe in terra
Moti di filtrazione: oltre le ipotesi semplificative (campi di applicazione e modelli disponibili)
MODFLOW
Studi sperimentali
Scavi e opere di fondazione
Mai sottovalutare i moti di filtrazione…!!
Subsidenza San Joaquin Valley, California
Tra le cause: Eccessivi pompaggi da falda
Sifonamento
Rottura argine per sifonamento, Secchia, Emilia Romagna
Sifonamento briglia
IMP per la verifica delle strutture!
Spinte esercitate dalle acque sotterranee su fondazioni o manufatti -> SOTTOSPINTA IDRAULICA
Rischi piene
Filtrazione: flusso di un fluido attraverso un mezzo poroso saturo
Permeabilità: attitudine a consentire la mobilità dell'acqua nel suo interno.
Moti di Filtrazione
Applicazioni
Trasporto di contaminanti
Bonifiche
Emungimento da pozzi
Intrusione salina
Filtrazione e sifonamento in opere di sbarramento e arginature
La rappresentazione grafica della composizione granulometrica si chiama CURVA GRANULOMETRICA e si ottiene mediante setacciatura (setacci tipo ASTM, DIN, UNI).
diametro significativo o efficace: usualmente D10
Proprietà fisiche dei terreni: Il moto di filtrazione dipende dalla forma e natura dei grani, e della composizione granulometrica
Modello di mezzo poroso
- una regione dello spazio occupata da un Sistema Multifase Eterogeneo, costituito dalle fasi fluida e solida, con la presenza anche di vuoti
- al fine di garantire il flusso del fluido all'interno dei pori del mezzo è necessario che questi ultimi costituiscano un sistema interconnesso; la porzione di dominio interessata da tali connessioni viene definita come spazio poroso effettivo, non escludendosi la possibilità della presenza di pori ciechi nei quali il flusso è assente.
difficoltà nella stima di n per terreni naturali
IMP la disposizione degli elementi
Representative Elementary Volume (REV): Il volume minimo al di la' del quale i singoli grani sono ininfluenti sul valore medio della porosità
Analogia con la definizione di particella fluida (per la definizione della densità) -> fluido mezzo continuo
Modello continuo dei mezzi porosi
L’acqua può presentarsi nel terreno in vari stati:
- sotto forma di vapore, contenuto nell’aria che riempie i pori;
- allo stato igroscopico, attaccato con un microfilm alle particelle di terreno;
- allo stato di acqua pellicolare che avvolge le particelle di terreno con un film non più spesso del campo di azione delle forze molecolari;
- allo stato di acqua capillare che riempie in alto i pori e le fessure più piccole ed è soggetta alle forze capillari (tensione superficiale) predominanti sulla forza di gravità;
- acqua gravitazionale che si muove per effetto della gravità preponderante sulle forze molecolari.
Zona di areazione sopra la superficie libera
Zona di saturazione sotto la superficie libera.
Frangia capillare p < pa
Acquifero: strato, formazione o raggruppamento di formazioni di materiale permeabile, saturato con acqua;
Acquiferi confinati:sovrastati da una formazione con basso valore di permeabilità, risalita dell'acqua nel tubo piezometrico fino ad un livello superiore del tetto dell'acquifero stesso. Se la pressione dell'acqua è sufficiente ad ottenere una risalita nel piezometro al di sopra del piano campagna, l'acquifero confinato viene definito Artesiano
Acquiferi non confinati - Falda freatica: la superficie piezometrica dell'acqua coincide con la sua superficie libera
Le funzioni degli acquiferi
- sorgente;
- serbatoi (attenuazione effetto delle fluttuazioni delle precipitazioni);
- condotte naturali che consentono il trasferimento di portate d’acqua;
- impianto di trattamento (sostanze chimiche inorganiche ed organiche eliminate o disciolte, fenomeni di adsorbimento e scambio di ioni con la matrice solida).
VELOCITÀ DI FILTRAZIONE
Nel campo di moto di filtrazione di un liquido in un mezzo poroso:
- estrema complessità del sistema di pori e canalicoli
- velocità effettiva del liquido estremamente variabile in modulo e direzione (moduli della velocità in genere molto limitati)
ESTREMAMENTE DIFFICILE E DI SCARSO INTERESSE LO STUDIO DEL MOTO NEI SUOI DETTAGLI
FONDAMENTALE CONOSCERE LA PORTATA CHE FILTRA ATTRAVERSO UNA ASSEGNATA SUPERFICIE VELOCITA’ DI FILTRAZIONE
DISCHARGE VELOCITY AND SEEPAGE VELOCITY - VELOCITÀ DI FILTRAZIONE E VELOCITÀ REALE
v discharge velocity: la quantità di fluido che filtra attraverso un’area unitaria del mezzo poroso nell’unità di tempo (velocità fittizia)
E’ detta talora anche portata specifica ed indicata con il
simbolo q. velocità di filtrazione v = Q/A
v* seepage velocity: la velocità locale del fluido che attraversa il singolo poro (velocità reale).
LEGGE DI DARCY
Permeametro
K [LT-1]: conduttività idraulica o coefficiente di filtrazione, dipende dal mezzo poroso e dal fluido
dx
dhK
Qv
Legge sperimentale trovata da Darcy per terreni sabbiosi poi estesa ad altre tipologie di terreni e a moto 3D
Legame lineare tra velocità di filtrazione e gradiente idraulico
GIUSTIFICAZIONE DELLA LEGGE DI DARCY Sia le velocità di filtrazione che quelle reali sono etremamente piccole quindi il moto nei meati è prevalentemente laminare a numeri di Re molto bassi.
Gli sforzi viscosi predominano (quelli turbolenti sono trascurabili) resistenze proporzionali alle velocità.
analogia con la legge di Poseuille – CIP (correnti in pressione)
x
hgDU
x
h
x
H
UgDg
U
UDg
U
Dx
Hj
UD
32
32
2
64
2
64
Re
64
2
2
2
2
2
Coeff resistenza in moto laminare CIP Eq Darcy-Weisbach In moto uniforme (o trascurando i termini cinetici) LEGGE DI POSEUILLE: velocità proporzionale al gradiente idraulico
Legge di Poiseuille (moto laminare uniforme in un condotto cilindrico a sezione circolare)
LEGGE DI DARCY: analogia con la legge di Poseuille Legame lineare tra velocità di filtrazione e gradiente idraulico
dx
dhK
Qv
Legge di Darcy
dx
dhk
gQv
K [LT-1]: conduttività idraulica, dipende dal
mezzo poroso e dal fluido
k [L2]: permeabilità, dipende dal solo mezzo poroso
Kg
k
LIMITI DI VALIDITA’ DELLA LEGGE DI DARCY
Re = v d/
v = velocità di filtrazione = viscosità cinematica del fluido
d = lunghezza caratteristica del mezzo poroso (es. il diametro medio dei granuli)
Re generalmente basso deflusso laminare: vale a legge di Darcy
Nella gran parte dei casi la filtrazione negli acquiferi soddisfa alla legge di Darcy.
Re critico 40-100 (secondo Bakhmeteff)
Si riscontrano deviazioni dalla legge di Darcy nelle formazioni carsiche e in vicinanza di scarichi come pozzi e sorgenti.
Flussi turbolenti: eq Darcy-Forchheimer
Es. v = 0.25cm/sec; d = 0.4 mm Re = 0.1
Conduttività idraulica per diversi mezzi porosi
Kg
k
K [LT-1]: conduttività idraulica
k [L2]: permeabilità (intrinseca,
indipendente dal fluido)
IMP temperatura del fluido!
Conduttività e permeabilità
TERRENI IMPERMEABILI
Non esistono terreni perfettamente impermeabili. Si usa il termine impermeabile soprattutto in senso relativo e cioè per strati la cui permeabilità è molto bassa rispetto a quella degli strati vicini.
TERRENI PERMEABILI
Isotropi: il coefficiente di permeabilità in ogni punto è indipendente dalla direzione del vettore velocità di filtrazione.
Anisotropi: il coefficiente di permeabilità dipende in ogni punto dalla direzione del vettore velocità di filtrazione.
Vi sono nel piano 2 direzioni (tre nello spazio) ortogonali fra loro, dette direzioni principali di anisotropia del terreno, lungo le quali il coefficiente di permeabilità è minimo e massimo.
DIFFERENZA TRA OMOGENEITA’ E ISOTROPIA
Tensore di conduttività idraulica diagonale (3 elementi significativi rispetto alle direzioni principali)
1D: 3D terreno isotropo: 3D terreno anisotropo:
La legge di Darcy è stata inizialmente ottenuta in condizioni di flusso monodimensionale e mezzo omogeneo ed isotropo, essa può comunque essere ritenuta valida anche nello spazio tridimensionale eterogeneo anisotropo
LEGGE DI DARCY: ESTENSIONE AL CASO 3D
x
hKvx
hKv
z
y
x
zz
yy
xx
K
K
K
K
z
hKv
y
hKv
x
hKv
00
00
00hKv
La legge di Darcy non descrive ciò che succede nel singolo poro: rappresenta lo “statistico macroscopico equivalente” delle equazioni del moto di Navier-Stokes per le filtrazioni.
Gli effetti viscosi sono inglobati nella legge di Darcy e il fluido può poi esser trattato come NON VISCOSO.
MOTI IRROTAZIONALI
(MOTI A POTENZIALE)
LEGGE DI DARCY
Equazione di continuità (per fluido pesante incomprimibile in moto stazionario): Equazione di Darcy: SOSTITUENDO:
MOTI DI FILTRAZIONE
MOTI IRROTAZIONALI (MOTI A POTENZIALE)
0 v
nel caso di mezzo isotropo si riduce all'EQUAZIONE DI LAPLACE
02 h
0)( hK
Eq. Laplace 2D - Come già visto in Geotecnica…
Lucidi Prof. Soccodato
Lucidi Prof. Soccodato
Eq. Laplace 2D - Come già visto in Geotecnica…
Eterogeneità del suolo: analogia con la rifrazione ottica
In generale:Strati con alto K moti in orizzontale, Strati con basso K moti in verticale
Reticolo di filtrazione in un terreno anisotropo
Ipotesi Suolo omogeneo
Esempio: Kx >> Kz Z = (Kx/Kz)^0.5 z >> z
Reticolo di filtrazione in un terreno anisotropo
POZZI: -ARTESIANI
-FREATICI
POZZO ARTESIANO COMPLETAMENTE PENETRANTE
w
w
h
h
R
r
r
R
hhKTQ
hhQ
KT
r
R
dhQ
TK
r
dr
dr
dhrTKrT
dr
dhKvQ
dr
dhKv
w
ln
)(2
)(2
ln
2
22
12
12
2
1
Essa presenta tuttavia una caratteristica incompatibile con l’ulteriore condizione al contorno per la quale, lontano dal pozzo (teoricamente per r → ∞), il carico piezometrico dovrebbe tendere al valore costante h∞ imposto dalla falda artesiana indisturbata.
La causa di tale contraddizione è l’ipotesi di stazionarietà del deflusso (e, quindi, della superficie piezometrica).
Infatti un deflusso stazionario nelle condizioni ipotizzate (acquifero indefinitamente esteso e assenza di alimentazione) non può sussistere: la superficie piezometrica deve inevitabilmente deprimersi in misura crescente nel tempo per far fronte al costante emungimento dal pozzo. Il problema dovrebbe dunque essere riformulato in forma non stazionaria. Fortunatamente, tuttavia, si dimostra che il deflusso tende ad uno stato quasi stazionario in cui l’abbassamento della superficie piezometrica è talmente lento da risultare praticamente trascurabile. La distanza dal pozzo alla quale l’abbassamento della piezometrica può considerarsi sensibilmente assente definisce il cosiddetto raggio d’ influenza del pozzo.
)(2
ln 12 hhQ
KT
r
R
w
la soluzione matematica del problema della filtrazione negli acquiferi freatici considerevolmente più complessa rispetto al caso degli acquiferi artesiani:
1. problema a frontiera libera (la regione in cui avviene il deflusso è superiormente confinata dalla superficie freatica, la cui configurazione è a priori non nota, costituisce anzi una delle incognite del problema). Il valore del carico sul contorno dipende dalla forma incognita della superficie freatica.
2. ogniqualvolta una falda freatica è confinata lateralmente da un corpo idrico (in particolare da un pozzo), l’affioramento della superficie freatica avviene ad una quota superiore rispetto al livello della superficie libera nel corpo idrico: si forma cioè quella che viene denominata una sorgente sospesa (superficie di trapelazione). La posizione di tale sorgente è anch’essa a priori non nota.
ACQUIFERI FREATICI
LA TEORIA DI DUPUIT PER CAMPI A FRONTIERA LIBERA
osservazione sperimentale: la pendenza della superficie freatica risulta tipicamente molto piccola (generalmente compresa fra 1/1000 e 10/1000) IPOTESI DI DUPUIT: Consiste nel considerare il deflusso orizzontale. Tale approssimazione equivale a confondere le superfici isopieziche (h = cost) con superfici verticali. La legge di Darcy impone infatti che vettore velocità di filtrazione sia allineata al grad h L’ip. di DUPUIT fornisce risultati accettabili
POZZO FREATICO COMPLETAMENTE PENETRANTE
w
w
h
h
R
r
r
R
hhKQ
hhQ
K
r
R
hdhQ
K
r
dr
dr
dhrKhrh
dr
dhKvQ
dr
dhKv
w
ln
)(
)(ln
2
22
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
Ip. di Dupuit:
trascuro componente verticale delle velocità -> superfici isopieziche cilindriche
errata la forma della superficie libera in prossimità del pozzo
formula di Dupuit-Forchheimer Q precisa anche tenendo conto della sorgente sospesa
POZZO FREATICO COMPLETAMENTE PENETRANTE
RAGGIO D'INFLUENZA del pozzo.
R = 100-200 m per terreni fini
R = 250-500 m per terreni medi
R = 700-1000 m per terreni grossolani
Questo stesso calcolo può essere applicato anche quando la falda è indefinita nelle direzioni x e y.
In tal caso si assume che la superficie libera sia tangente al piano originario della falda a una distanza radiale R denominata RAGGIO D'INFLUENZA del pozzo.
Visto che Q poco dipende da R/rw , assunzioni ragionevoli di R conducono a ragionevoli stime di Q.
Q
Q = f (Dh) con Dh = h2 - h1
La curva caratteristica Q = f (Dh) è rettilinea nel caso del pozzo artesiano, mentre è curva per il pozzo freatico.
CONFRONTO TRA POZZO ARTESIANO E POZZO FREATICO COMPLETAMENTE PENETRANTI
N.B. le soluzioni trovate si riferiscono in entrambi casi (pozzo artesiano e pozzo freatico) all’ipotesi di stazionarietà, si può studiare il processo in moto vario
Durata transitorio: differenze tra pozzi freatici e artesiani!
Pozzi - Prove di pompaggio
Prove di pompaggio sul singolo pozzo per valutare la trasmissività dell’acquifero, e l’efficienza del pozzo
Metodo delle immagini
Metodo delle immagini
Metodo delle immagini
Confine impermeabile: pozzo con prelievo stessa Q
Fiume: pozzo immagine ricarica (Q segno opposto)
Metodo delle immagini: esempio con 2 condizioni al contorno
Pozzi immagine primari Pozzi immagine secondari
Moti in falde freatiche -Argini
-Dighe in terra
Opere arginali di solito costituite da rilevati in terra
Alti valori della velocità di filtrazione e quindi di portata comporterebbero:
1) allagamento del terreno da proteggere dall’ esondazione
2) rottura per sifonamento
ARGINI
ARGINI: esempi
ARGINI: esempi
ARGINI: esempi
Stesse considerazoni fatte per le opere arginali
DIGHE IN TERRA
superficie di gocciolamento (analogia con il fenomeno della sorgente sospesa nei pozzi)
diga con zoccolo di valle
Trovare Q filtrante e posizione di AE: Condizioni al contorno
Trattazione teorica nel libro: DA DEPPO
Risoluzione analitica
- rappresentazione conforme (vedi profili alari!)
-flussi potenziali: composizione di moti elementari (equazione lineare!!)
Metodi di soluzione numerici
-metodi alle differenze finite
- metodi agli elementi finiti
Equazione Laplace
Esempio risoluzione analitica (sovrapposizione effetti):
Pozzo artesiano in una falda in movimento
Equazione Laplace
-Risoluzione numerica equazione Laplace
-Discretizzazione alle differenze finite
-Metodo risolutivo iterativo
Discretizzazione
Derivate prime:
Sottraendo membro a membro:
da cui, dividendo per 2h:
L'errore che si commette è dell'ordine di: o(h3) / h = o(h2)
...!3!2
32
xh
xh
xhxhx
...!3!2
32
xh
xh
xhxhx
32 hoxhhxhx
h
hxhx
dx
dx
2
Sviluppo di Taylor:
Diff in avanti:
Diff. All’indietro:
Derivate seconde: Sommando membro a membro: da cui, dividendo per h2: L'errore che si commette è dell'ordine di: o(h4) / h2 = o(h2)
422 hoxhxhxhx
22
2 2
h
hxxhx
dx
dx
Discretizzazione
...!3!2
32
xh
xh
xhxhx
...!3!2
32
xh
xh
xhxhx Sviluppo di Taylor:
Eq. Laplace
applicando le differenze centrate per entrambe le derivate: Nel caso che: Dx = Dy = h il valore di i,j è pari alla media dei valori assunti dagli elementi del suo intorno:
2
2
2
20
x y
i j i j i j i j i j i j
x y
1 1
2
1 1
2
2 20
, , , , , ,
D D
1,1,,1,1,4
1 jijijijiji
Il valore nel punto (i,j) dipende da tutti i valori di j nel suo intorno, quindi lo schema è necessariamente implicito. Bisogna risolvere un sistema di equazioni lineari con tante equazioni quanti sono i nodi.
i,j
j
i
i,j+1
i+1,ji-1,j
i,j-1
Soluzioni: 1) Algoritmi per matrici sparse
2) Metodi iterativi
Sistema è spesso molto grande.
Risoluzione è molto onerosa e spesso poco accurata a causa del gran numero di operazioni da compiere.
introduzione di errori numerici
Metodi iterativi Metodi basati sull'introduzione di una derivata temporale fittizia: Si fa evolvere il sistema nel tempo fino a quando non è andato a regime, ovvero fino a quando il fenomeno è diventato stazionario, in queste condizioni la soluzione coincide con quella dell'equazione di partenza.
2
2
2
2x y t
t 0
Metodo di Jacobi Consiste nel discretizzare l'equazione precedente con uno schema alle differenze avanti nel tempo e centrate nello spazio:
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
jik
jiyx
tyx
t ,,222
1,1,
2
,1,11
,
112
D
DD
D
D
D
22
112
1
yx
t
DD
D
1) Fisso cond al contorno 2) Ipotizzo valori all’interno del dominio per t =
0, cioè k = 1 3) Noto il campo a n lo calcolo al passo n+1,
ripeto finché la max variazione percentuale < della tolleranza scelta
N.B. opportuno inserire un num max iterazioni!!
D
D
D
D
2
1,1,
2
,1,1
22
1
112
1
yx
yx
k
ji
k
ji
k
ji
k
jik
ij
Metodo di Gauss-Seidel È analogo al precedente ma per una convergenza più veloce utilizza i valori aggiornati al tempo k+1 nei punti nei quali già sono stati calcolati:
22
112
1
yx
t
DD
D
D
D
D
D
2
1
1,1,
2
1
,1,1
22
1
112
1
yx
yx
k
ji
k
ji
k
ji
k
jik
ij
Iterazione k Iterazione k+1
Metodo S.O.R. (SIMULTANEOUS OVER-RELAXATION): È una modifica del metodo precedente che migliora ancora la velocità di convergenza:
Viene effettuata una media (con pesi 1- e ) tra i valori al passo precedente e quelli calcolati con il metodo Gauss-Seidel. A seconda del valore di cambia la velocità di convergenza
D
D
D
D
2
1
1,1,
2
1
,1,1
22
1
112
1yx
yx
k
ji
k
ji
k
ji
k
jik
ij
k
ij
Metodo S.O.R. (SIMULTANEOUS OVER-RELAXATION): Per maglie quadrate (Dx = Dy) :
1
1,1,
1
,1,1
1
41
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ij
k
ij
ott
8 4 4 2
2
nm
coscos
Per dominio rettangolare, essendo m ed n rispettivamente il numero di nodi lungo x e lungo y, il fattore di rilassamento ottimale è:
è il fattore di rilassamento = [1 - 2 ] (Nota: se è < 1 lo schema è under relaxed)
Condizioni alla Dirichelet: Sono assegnati i valori della funzione incognita al contorno Condizioni alla Neumann: Sono assegnati i valori della derivata normale della funzione incognita al contorno.
Condizioni al contorno
Esempio condizione Neumann
Ip. maglia quadrata Cond. Neu. per i = 1:
Moti di filtrazione
Ipotesi semplificative fatte:
Mezzi poroso saturo
Condizioni stazionarie
Densità costante
Bonifiche e trattamento siti contaminati
Sia per la caratterizzazione siti che per progettazione trattamenti
Es. barriera
Bonifiche e trattamento siti contaminati
Es. Pozzo Es. dreno
Bonifiche e trattamento siti contaminati
Bonifiche e trattamento siti contaminati
Moti di filtrazione
Applicazioni di interesse ingnegneristico che non rispettano le ipotesi semplificative fatte:
Mezzi poroso insaturo: idrologia sotterranea, moto di percolazione, es. quelli che interessano i letti percolatori per acque reflue,
Condizioni non stazionarie es emungimento da pozzi
Fenomeni relativi a fluidi con differente densità:intrusione salina
Intrusione salina
Dissalazione ed immagazzinamento acqua dolce
Es. Utenze turistiche Mar Rosso Dissalazione da falde sotterranee -Forte fluttuazione domanda -Problemi evaporazione -Ricarica acquiferi
Ginkel et al., 2007 TUE, Delft
Sistema tradizionale: -Problemi legati a forze di galleggiamento e mescolamento fluidi -Conseguente diminuzione qualità e quantità
Fresh Storage Saline Extraction (FSSE)-wells
Fresh Storage Saline Extraction (FSSE)-wells
MODFLOW
Modello opensource modulare – fortran + interfacce (anche a pagamento)
Accoppiato a modelli di trasporto
MODFLOW
Discretizzazione dominio
Equazione filtrazione 3D in moto vario, in un suolo eterogeneo e anisotropo (con direzioni principali allineate agli assi cartesiani)
Modello alle differenze finite
Risoluzione metodo iterativo (per ogni passo temporale!)
MODFLOW
Condizioni al contorno Ciascuna cella, in base al valore della variabile IBOUND può essere classificata come cella a carico costante, Flusso nullo, carico variabile
MODFLOW
Algoritmo risolutivo Cicli annidati -Ciclo interno per convergenza singolo passo temporale -Ciclo intermedio nei tempi -Ciclo esterno per le diverse simulazioni
MODFLOW
CFD: flusso in mezzi porosi – es. Karalit
Attività sperimentali
Intrusione salina (Pennik, 1905)
Attività sperimentali
Modello sperimentale (Pennik, 1905) Risoluzione numerica SEAWAT in mfLab
Modellazione numerica esperimenti Pennik
Filmato Olsthoorn
Attività sperimentali Ai giorni nostri…
In laboratorio
In situ: pozzi di ispezione, traccianti