MOMENTI DI SECONDO ORDINE

INERZIA J

INERZIA ASSIALE

• IL momento statico di una massa rispetto a una retta è dato del prodotto del la massa per la sua distanza dalla retta.

Mentre

• il momento d’inerzia è dato dal prodotto della massa per il quadrato della sua distanza dalla retta.

Questa è la differenza tra momenti di primo ordine e

secondo ordine

Cosa è quindi il momento d’inerzia?

• È tra virgolette “un coefficiente di forma delle sezioni”

Momento d’inerzia assiale

È la somma dei prodotti delle singole masse per la distanza

al quadrato tra le stesse e l’asse di riferimento

sinteticamente

Il momento d’inerzia polare

• il momento d’inerzia polare di un sistema di masse rispetto a un punto P è la somma dei prodotti delle singole masse per i quadrati delle rispettive distanze dal punto P

Semplificazione Momento d’inerzia polare

• Il momento polare può essere espresso attraverso il momento d’inerzia rispetto a due generici assi ortogonali passanti per il polo P; è sufficiente sostituire nella sua definizione, in luogo del quadrato della distanza d la somma dei quadrati dei due cateti x e y proiezioni ortogonali sugli assi cartesiani della distanza d

il momento d’inerzia polare è anche dato dalla somma dei

due momenti d’inerzia Jx e Jy valutati rispetto a due generici assi ortogonali passanti per P.

Il momento centrifugo

• Esso è definito nei riguardi di due assi x, y

non ortogonali

differenze

• a differenza dei due casi precedenti, il momento centrifugo può risultare positivo, negativo o nullo perché i prodotti x possono essere positivi o negativi a seconda che le masse abbiano entrambe le coordinate positive o negative oppure una coordinata positiva e l’altra negativa.

TEOREMA DI TRASPOSIZIONE

• Un’importante proprietà dei momenti del secondo ordine fu stabilita da Huygens da cui prende nome il relativo

teorema.

TEOREMA DI TRASPOSIZIONE

• il momento d’inerzia di un sistema di masse rispetto a un asse è uguale al momento d’inerzia del sistema rispetto all’asse parallelo baricentrico (Xg o Yg), aumentato del prodotto della somma delle masse per il quadrato della distanza fra i due assi.

sinteticamente

nota

• fra tutti i momenti d’inerzia di un sistema di masse rispetto a un fascio di rette parallele, il momento d’inerzia minimo

è quello rispetto alla retta baricentrica.

Il teorema di trasposizione

• Il teorema di trasposizione è particolarmente utile in tutti i casi in

cui sono noti i momenti d’inerzia baricentrici; tuttavia, per esigenze

di calcolo, spesso siamo obbligati a determinare il momento d’inerzia rispetto ad altri assi significativi

Caso di profilati a doppio T

• Un caso di frequente

applicazione è quello delle

sezioni d profilati in acciaio di cui il

M.d’inerzia Jx e Jy si conoscono tramite tabelle

Formula inversa

• spesso, è necessario calcolare il momento d’inerzia rispetto ad assi tangenti la figura o viceversa partendo dal Momento d’inerzia generico rispetto ad un asse si può risalire al momento d’Inerzia baricentrico utilizzando la formula inversa

Formula inversa

Figure piane - rettangolo

• Determinazione del Momento d’inerzia rispetto ad un asse tangente la base

dimostrazione1. Suddividiamo il rettangolo in strisce

elementari;2. Rappresentiamo le aree con vettori

baricentrici3. Rappresentiamo Il baricentro di tali masse che

è a H/24. Calcoliamo i momenti statici dei singoli vettori

e costruiamo il diagramma triangolare relativo e ne definiamo il baricentro 2/3 H

5. Calcoliamo il momento d’inerzia come area totale BH per la distanza baricentrica H/2 per la distanza del baricentro dei momenti statici.

Ne consegue :

Jx

Inerzia baricentrica di una rettangolo

• Noto il valore del momento d’inerzia rispetto alla base del rettangolo, possiamo dedurre, attraverso il teorema di trasposizione, il valore del momento d’inerzia rispetto a un asse parallelo e baricentrico dalla relazione seguente: