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METODI E MISURAZIONI STATISTICHE

Perugia 17/18 Dicembre 2012Damiano Terenzi

damianoterenzi@gmail.com

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INTRODUZIONE

Definizione di misura:

Assegnare valori numerici ad oggetti o eventi secondo regole che consentono di rappresentare le proprietà degli oggetti e degli eventi tramite le proprietà del sistema numerico

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INTRODUZIONE

• Molta parte del lavoro degli psicologi richiede di effettuare misurazioni (p.e. registrare i movimenti oculari o misurare la risposta galvanica cutanea di persone sotto stress)– sia in laboratorio sia sul campo.

• In ogni caso, l’operazione di misurazione produce dei numeri

Fondamentale a questo scopo è la STATISTICA= disciplina che si occupa della raccolta di dati numerici e della derivazione di inferenze di tali dati.

IL PROBLEMA DELLO PSICOLOGO È DI INTERPRETARLI!

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ROADMAP DEL CAPITOLO

STATISTICA DESCRITTIVA

INFERENZA STATISTICA

COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE

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STATISTICA DESCRITTIVA

DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA

MISURE DELLA

TENDENZA CENTRALE

MISURE DELLA

VARIABILITÀ

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STATISTICA DESCRITTIVA• Branca della statistica che studia i criteri di rilevazione, di classificazione e

di sintesi delle informazioni relative ad una popolazione oggetto di studio.

• Raccoglie le informazioni sulla popolazione, o su una parte di essa (campione), in distribuzioni, e le sintetizza descrittivamente attraverso famiglie di indici: valori medi, indici di variabilità, indici di forma, rapporti statistici, relazioni statistiche.

• I risultati ottenuti in tal modo si possono definire certi, a meno di errori di misurazione, che essendo dovuti al caso, in media, si annullano per definizione.

• Ha come obiettivo quello di organizzare, riassumere e presentare i dati in modo ordinato; i suoi strumenti permettono quindi di sintetizzare i dati. (http://it.wikipedia.org/wiki/Statistica_descrittiva)

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DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA

• Supponiamo di voler studiare i punteggi degli esami di ammissione all’università di 5000 studenti. Questi punteggi sono i dati grezzi.

• Attraverso dei sunti statistici (p.e. calcolando la media di tutti i punteggi, oppure il punteggio min o max) possiamo ricordare più facilmente i dati e ragionarci sopra.

• Queste formulazioni che compendiano i dati costituiscono la cosiddetta statistica descrittiva.

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DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA

• Una distribuzione di frequenza permette di raggruppare i valori dei dati grezzi e di renderli comprensibili.

• Per raggruppare i dati bisogna: 1. suddividere in intervalli i dati 2. contare il numero di item che cade in ogni intervallo L’intervallo in cui sono raggruppati i punteggi è chiamato

intervallo di classe. La decisione del numero di intervalli di classe in cui devono essere raggruppati i dati si basa sul giudizio dello sperimentatore

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INTERVALLI DI CLASSE

Intervalli di classe N. persone per classe

50-59 1

60-69 3

70-79 7

80-89 3

90-99 1

84 75 91

61 75 67

72 87 79

75 79 83

77 51 69

Intervalli di classe=10

Punteggi grezzi degli esami di ammissione di 15 studenti

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ISTOGRAMMA DI FREQUENZA

50-59 60-69 70-79 80-89 90-990

1

2

3

4

5

6

7

8

Istogramma di frequenza

L’istogramma di frequenza è una distribuzione di frequenza rappresentata graficamente.

BASI= intervalli di classe

ALTEZZE= frequenze di classe

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POLIGONO DI FREQUENZA

50-59 60-69 70-79 80-89 90-990

1

2

3

4

5

6

7

8Istogramma di frequenza

50-59 60-69 70-79 80-89 90-990

1

2

3

4

5

6

7

8

Poligono di frequenza

Il poligono di frequenza viene costruito segnando le frequenze delle classi al centro dell’intervallo di classe e segnando i punti ottenuti con linee rette

Il poligono di frequenza fornisce le stesse informazioni dell’istogramma di frequenza, ma per mezzo di una serie di linee collegate invece che rettangoli

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STATISTICA DESCRITTIVA

DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA

MISURE DELLA

TENDENZA CENTRALE

MISURE DELLA

VARIABILITÀ

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MISURE DELLA TENDENZA CENTRALEPer misure della tendenza centrale si intende un punto rappresentativo sulla nostra scala, ovvero un punto centrale che sintetizza importanti informazioni sui dati.Si usano comunemente tre di tali misure:

1) La MEDIA aritmetica si ottiene si ottiene sommando i punteggi e dividendoli per il loro numero

2) La MEDIANA è il punteggio centrale, e si ottiene mettendo in ordine i punteggi e poi contando verso il centro a partire dalle due estremità. Se il numero di casi è pari, facciamo semplicemente la media dei due casi che si trovano vicino alla metà

3) La MODA è il punteggio più frequente in una data distribuzione

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MediaESEMPIO:

11, 20, 18, 20, 19, 18, 7, 10 (N=8)

8

107181920182011M 15,37

La MEDIA aritmetica si ottiene sommando i punteggi e dividendoli per il loro numero. Si indica con M per i campioni. Quando ci si riferisce alla popolazione si indica con la lettere .

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MEDIANA

La MEDIANA è il punteggio centrale, e si ottiene mettendo in ordine i punteggi e poi contando verso il centro a partire dalle due estremità. Se il numero di casi è pari, facciamo semplicemente la media dei due casi che si trovano vicino alla metà.

11 26 27 10 35 44 45 10 11 26 27 35 44 45

La mediana in questo caso è rappresentata dal valore che occupa la quarta posizione (27)

ESEMPIO:CASI DISPARI

CASI PARI

11 17 45 35 13 44 11 13 17 35 44 45

La mediana in questo caso è data dalla media dei due casi che si trovano vicino le estremità (17+35)/2=26

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MODAESEMPI:

11 26 27 10 26 44 45 26 11 26 27 26 44 45

Mo=26

La MODA è il punteggio più frequente in

una data distribuzione

10 26 44 10 22 44 45 8 11 26 44 9 45 45

Mo=44; 45

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MODA

UNIMODALE BIMODALE

Trimodale, Quadrimodale ecc…

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DISTRIBUZIONI SIMMETRICHE

Mo Me M

In una distribuzione simmetrica (o normale), nella quale i punteggi sono distribuiti in maniera uguale su entrambi i lati rispetto al centro, la media, la mediana e la moda coincidono

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SIMMETRICHE VS ASIMMETRICHE

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DISTRIBUZIONI ASIMMETRICHE

Supponiamo di voler analizzare gli orari di partenza di un treno del mattino. Il treno di solito parte in orario; qualche volta parte in ritardo, ma mai in anticipo. Per un treno il cui orario di partenza è alle 8.00, la registrazione di una settimana potrebbe essere la seguente:

ESEMPIO:

Lunedì 8.0

Martedì 8.04

Mercoledì 8.02

Giovedì 8.19

Venerdì 8.22

Sabato 8.00

Domenica 8.00

Media = 8.07

Mediana = 8.2

Moda = 8.00

La distribuzione degli orari di partenza, nel nostro esempio, è asimmetrica a causa delle partenze ritardate; esse innalzano la media dell’ora di partenza, ma non hanno molta influenza sulla mediana o la moda.

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DISTRIBUZIONE ASIMMETRICA POSITIVA

Media

22

DISTRIBUZIONE ASIMMETRICA NEGATIVA

Media

Le distribuzioni asimmetriche sono caratterizzate generalmente dalla direzione delle code. Notate inoltre che media, mediana e moda, in una distribuzione asimmetrica non coincidono.

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STATISTICA DESCRITTIVA

DISTRIBUZIONI DI

FREQUENZAMISURE DELLA

TENDENZA CENTRALEMISURE DELLA VARIABILITÀ

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MISURE DELLA VARIABILITÀ 1. NON FORNISCONO ALCUNA

INFORMAZIONE SULLA DISTRIBUZIONE DEI DATI.

2. GLI STESSI INDICI DI TENDENZA CENTRALE POSSONO AVERE DISTRIBUZIONI ASSAI DIVERSE

Limiti

dei VALORI MEDI:

MISURE DI DISPERSIONE DI

PUNTEGGI DI UNA DISTRIBUZIONE ATTORNO ALLA

MEDIA

< Variabilità

> VariabilitàMedia + rappresentativa

Media - rappresentativa

=

=

{

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MISURE DELLA VARIABILITÀGLI STESSI INDICI DI TENDENZA CENTRALE (IN QUESTO CASO LA MEDIA)

POSSONO AVERE DISTRIBUZIONI ASSAI DIVERSE

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CAMPO DI VARIAZIONE

Campo Variazione = x max – x min

•È il più semplice degli indici di variazione

•Si calcola facendo la differenza tra il dato più grande e il dato più piccolo:

ESEMPIO:

Punteggi degli studenti della classe 1:73, 74, 75, 76, 77 (media = 75) CV (77-73) = 4

Punteggi degli studenti della classe 2:60, 65, 75, 85, 90 (media = 75) CV (90-60) = 30

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Misura il grado di distanza dei

punteggi di una distribuzione dalla

media della distribuzione stessa.

VARIANZA

Per calcolarla bisogna:1) Sottrarre i singoli punteggi dalla media della distribuzione così da ottenere la deviazione d di ogni punteggio dalla media.

2) Elevare al quadrato ogni deviazione per eliminare i punteggi negativi

3)Sommare tutte le deviazioni quadrate e dividere la sommatoria per il loro numero, in modo da ottenere la deviazione media = varianza

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VARIANZAESEMPIO:

Punteggi degli studenti della classe 1:73, 74, 75, 76, 77 (media = 75)

1) Sottrarre i singoli punteggi dalla media della distribuzione così da ottenere la deviazione d di ogni punteggio dalla media.

2) Elevare al quadrato ogni deviazione per eliminare i punteggi negativi

(73-75) , (74-75) , (75-75) , (76-75) , (77-75) d = 4, 1, 0, 1, 4 3) Sommare tutte le deviazioni quadrate e dividere la sommatoria per il loro numero, in modo

da ottenere la deviazione media = varianza

2 2 2 22

25

41014

2

29

Deviazione StandardLimite

de

lla

Varia

nza:

LA VARIANZA È ESPRESSA IN UNITÀ DI MISURA AL QUADRATO!

Si può invece ottenere una misura della variabilità espressa nelle unità di misura originarie (nel nostro caso, voti in un esame) semplicemente estraendo la radice quadrata dalla varianza. Questo indice è noto come DEVIAZIONE STANDARD

… e quindi, in riferimento all’esempio precedente:

4.12

5

41014

*

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INFERENZA STATISTICAPOPOLAZIONI E CAMPIONI

DISTRIBUZIONE NORMALE

QUANTO È RAPPRESENTATIVA LA MEDIA?

SIGNIFICATIVITÀ DI UNA DIFFERENZA

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POPOLAZIONI e CAMPIONI

STUDIO DEL CAMPIONE

TECNICHE STATISTICHE

INFORMAZIONI SULLA POPOLAZIONE

ETÀ

Età

CAMPIONEPOPOLAZIONE

Inferenze Statistiche

Errore campionatura

POPOLAZIONE ≠ CAMPIONE

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POPOLAZIONI e CAMPIONI

• L’inferenza statistica riguarda il problema di trarre inferenze o giudizi su una caratteristica di una popolazione basandosi su informazioni ottenute da un campione di quella popolazione.

• Se i test statistici indicano che l’entità dell’effetto riscontrato nel campione è abbastanza grande (in rapporto alla stima dell’errore di campionatura), allora possiamo ritenere che l’effetto riscontrato nel campione vale per la popolazione in generale.

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DISTRIBUZIONE NORMALE

• La curva normale o curva di Gauss è una distribuzione teorica (rappresentazione matematica di una distribuzione ideale) di punteggi in una popolazione.

• L’importanza di questa distribuzione è dovuta al fatto che molti dei fenomeni osservati si distribuiscono normalmente o con forme che si approssimano alla curva normale.

• Gran parte della statistica inferenziale si basa sulle proprietà di questa distribuzione.

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DISTRIBUZIONE NORMALE

50-59 60-69 70-79 80-89 90-990

1

2

3

4

5

6

7

8Istogramma di frequenza

(Vedi esempio slide 9)

Intervalli di classe N. persone per classe

50-59 1

60-69 3

70-79 7

80-89 3

90-99 1

Esempio di distribuzione normale

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DISTRIBUZIONE NORMALE

Y

x

CURVA DI GAUSS

La > parte degli item cade vicino alla media (punto più alto).

La campana si appiattisce in corrispondenza dei punteggi molto alti o molto bassi.

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DISTRIBUZIONE NORMALE

2

2

1

2

1

x

exfY

Equazione della distribuzione normale:

dove: =media della popolazione =d.s. della popolazione =costante (=3.14) e=costante (=2.718)

Si sostituisce nella formula il valore di x che ci interessa (ad esempio l’altezza o il punteggio ad un test di intelligenza) e troviamo la y, cioè la probabilità di ottenere quel valore in una distribuzione con una data media e ds.

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DISTRIBUZIONE NORMALE

1. UNIMODALE (Moda=Media=Mediana)

2. INFINITA: va da - a +

3. SIMMETRICA rispetto alla Y massima (f(x))

4. ASINTOTICA: si avvicina all’asse delle X senza mai toccarlo

5. È descritta da due soli parametri: media e deviazione standard.

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DISTRIBUZIONE NORMALE

Y

(valori di X) X

L’area sottesa dall’intera curva è pari a 1, e rappresenta l’intera popolazione.Dato che la curva è simmetrica, l’area compresa tra - e è uguale a .50 come quella compresa tra e +.

.50 .50

(frequenze f(x) di ciascun valore)

- ∞ + ∞

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DISTRIBUZIONE NORMALE

+1= 0,341=34.1% della distribuzione +2= 0,477=47.7% della distribuzione +3= 0,498=49.8% della distribuzione

Deviazione Standard

Num

ero

dei C

asi

Probabilità che hanno gli item appartenenti ad una popolazione normalmente distribuita di scostarsi dalla media, per ogni valore prestabilito.

COSTANTI

=

40

PUNTEGGI STANDARD

• Dev. Standard = misura della variabilità che consente di interpretare la distanza dalla media.

• Punteggio Standard = punteggio basato su un multiplo della dev. standard

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PUNTEGGI STANDARDESEMPIO:Qual è il punteggio standard di uno studente che all’esame ha ottenuto 90 assumendo che la media della popolazione è di 70 e la deviazione standard di 10?

0.210

7090

ESERCIZIO:Qual è il punteggio standard di uno studente che all’esame ha ottenuto 53 assumendo che la media della popolazione è di 75 e la deviazione standard di 10?

Il segno del punteggio standard (+ o -) indica se il punteggio si colloca sopra o sotto la media, mentre il valore indica di quanto quel punteggio si discosta dalla m, in termini di dev.standard.

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QUANTO È RAPPRESENTATIVA LA MEDIA?

In che misura la media del campione è un predittore

attendibile della media della popolazione?

MediaReale

Diversi campioni casuali tratti dalla stessa

popolazione hanno medie differenti, dando così

luogo ad una distribuzione di medie campionarie

intorno alla media reale della popolazione.

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QUANTO È RAPPRESENTATIVA LA MEDIA?

Le media campionarie sono dei valori numerici per i quali si può calcolare la deviazione standard. Questa deviazione standard viene chiamata errore standard della media (ES) e possiamo stimarla tramite la seguente formula:

σ = dev.standard del campionen = numero dei casi da cui è stata calcolata la media di ogni campione

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QUANTO È RAPPRESENTATIVA LA MEDIA?

In base alla formula, all’aumentare del n dei campioni diminuisce l’ES (e viceversa):

Il calcolo dell’errore standard della media ci consente di fare delle affermazioni precise circa il grado di incertezza nel nostro calcolo della media. Più numerosi sono i casi nel campione più si riduce l’incertezza. Perciò una media basata su un campione numeroso è più attendibile (ha più probabilità di essere vicina alla media reale della popolazione) di una media basata su un campione più piccolo.

> n < ES < n > ES

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SIGNIFICATIVITÀ DI UNA DIFFERENZA

• La differenza tra due medie campionarie è significativa (cioè riflette una reale differenza) oppure è semplicemente il risultato di un errore di campionatura?

• La significatività di una differenza dipende da:1) entità della differenza calcolata

2) variabilità della distribuzione delle M messe a confronto

MD

σ D M

RAPPORTO CRITICO

Differenza fra le medie

ES della differenza fra le medie==

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SIGNIFICATIVITÀ DI UNA DIFFERENZA

Destrorsi- forza in kg della stretta di mano

Mancini- forza in kg della stretta di mano

Destrorsi- forza in kg della stretta di mano

Mancini- forza in kg della stretta di mano

La tabella riporta due esempi che confrontano la differenza tra le medie. La differenza tra le medie è sempre la stessa (8kg) sia a sinistra che a destra della tabella. Tuttavia, i dati della parte di destra indicano una differenza tra le medie più attendibile rispetto ai dati della parte di sinistra.

47

SIGNIFICATIVITÀ DI UNA DIFFERENZA

σ MD

)()( MM 2 2

ESEMPIO:Supponiamo di voler confrontare i punteggi in un test di profitto nella lettura di bambini e bambine statunitensi di prima elementare. Una volta identificato un campione casuale sottoponiamo i bambini e le bambine ad un test. Supponiamo che il punteggio medio per i maschi fosse 70 con errore standard di 0.40, mentre il punteggio medio delle femmine di 72 con errore standard di 0,30. I dati campionari suggeriscono che

I II

48

SIGNIFICATIVITÀ DI UNA DIFFERENZA

le femmine ottengono punteggi migliori dei maschi; tuttavia, possiamo inferire che le cose starebbero così anche se avessimo esaminato tutti i bambini e le bambine degli Stati uniti? IL RAPPORTO CRITICO CI AIUTA A PRENDERE QUESTA DECISIONE.

25.009.016.0 5.0

Rapporto critico = 0.4

5.0

7072

La differenza fra le medie osservate è statisticamente significativa dato che il rapporto critico in questo caso è superiore a 2.

49

SIGNIFICATIVITÀ DI UNA DIFFERENZA

• Una proprietà matematica della distribuzione normale è che il 95% dei valori è compreso tra la media +/- 1,96 deviazioni standard (approssimativamente +/-2 dev.st).

• Perciò, affinché la differenza tra le medie possa essere considerata significativa un rapporto critico dovrebbe avere un valore uguale o maggiore a 2.0 (possiamo trattare il rapp. critico come un punteggio standard dato che è semplicemente la differenza tra due medie, espressa come multiplo del suo errore standard).

50

SIGNIFICATIVITÀ DI UNA DIFFERENZA

P≤ 0.05 (Rapporto critico maggiore o uguale a 2)

Significatività:

2,5% (P=0,025)

2,5% (P=0,025)

Per condurre un test statistico è importante fissare il livello di significatività; In psicologia solitamente (si tratta di una regola arbitraria!) una serie di dati viene detta statisticamente significativa se il suo valore p (p = probabilità) è minore o uguale a 0,05 (ovvero il 5%).

51

SIGNIFICATIVITÀ DI UNA DIFFERENZA

Il livello di significatività 5% viene adottato frequentemente in quanto si ritiene che il rapporto 1/20 (cioè 0.05) sia sufficientemente piccolo da poter concludere che sia «piuttosto improbabile» che la differenza osservata possa esser dovuta al semplice caso. In effetti, la differenza potrebbe essere dovuta al caso, ma lo sarà 1 volta su 20.Non è sempre necessario usare il livello 5%; in alcuni esperimenti può essere appropriato un livello maggiore di significatività (ad esempio un livello di significatività dell’1%).

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COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE• CORRELAZIONE = variazione concomitante di coppie

di misure.• COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE = permette di

stabilire il grado di relazione.

Esempi: Autostima e AutoefficaciaAnsia e DepressioneEtà e Peso

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COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE

Metodo prodotto-momento : Metodo più frequentemente utilizzato per calcolare il

coefficiente di correlazione. Produce un indice che viene convenzionalmente indicato

con la lettera r. Consente di fare previsioni, verificare teorie, verificare

l’attendibilità dei test.

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COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE

Formula per calcolare il coefficiente di correlazione prodotto momento:

N

dydxr

))((

x y

Dove:

x = misura 1y = misura 2dx; dy = scarti di ogni punteggio dalla sua mediaN = numero delle misurazioni abbinateσ ; σ = deviazioni standard delle distribuzioni dei punteggi x e yx y

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COEFFICIENTE DI CORRELAZIONEESEMPIO:

Adam 71 39 6 9 54

Bill 67 27 2 -3 -6

Charles 65 33 0 3 0

David 63 30 -2 0 0

Edward 59 21 -6 -9 54

SOMMA 325 150 0 0 102

MEDIA 65 30

Studente punt.x punt.y (dx) (dy) (dx)(dy)

Qual è la correlazione tra i punteggi x (test di ammissione) e i punteggi y( voti del primo anno di università)?

N

dydxr

))((

x y

46

x

y

85,06.4.5

102

56

COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE

IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE PRODOTTO MOMENTO VARIA TRA:

-1<= r <= +1

r = +1 correlazione massima positiva (perfetta)r= 0 correlazione assente r = -1 correlazione massima negativar > 0 correlazione presente : all’aumentare di x aumenta yr < 0 correlazione presente : all’aumentare di x diminuisce y

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COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE

La correlazione misura l’addensamento/dispersione intorno alla retta (linearità nella covarianza) . Ogni punto rappresenta i punteggi x e y.

punteggi x

punt

eggi

y

ADDENSAMENTO DISPERSIONE

58

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 10 20 30 40 50 60

Eta (anni)

Vel

ocità

di r

eazi

one

COEFFICIENTE DI CORRELAZIONEDirezione della relazione

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 10 20 30 40 50 60

Eta

Cap

acit

à r

ich

iam

o

Povertà

Aspe

ttati

va d

i vita

Punteggio test d’ingresso

Voto

di l

aure

a Correlazione positiva: r>0

Correlazionenegativa: r<0

all’aumentare di x aumenta y

all’aumentare di x diminuisce y

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COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE

• Nota Bene: r non implica un rapporto di causa-effetto!• Quando due gruppi di punteggi correlano fra loro

possiamo sospettare che abbiano in comune alcuni fattori causali ma non possiamo concludere che uno di essi sia causa dell’altro.

• Bisogna perciò evitare di dare un’interpretazione causale al coefficiente di correlazione. È tuttavia possibile che quando due variabili sono correlate, una possa essere la causa dell’altra.