Post on 20-Aug-2021
Fondamenti di fisica
Meccanica: 10Cinematica ed energia di rotazionePosizione, velocità e accelerazione angolariCinematica rotazionaleRelazioni tra grandezze lineari e rotazionaliMoto di rotolamentoEnergia cinetica di rotazione e momento di inerziaConservazione della energia
Moto dirotazione
Moto di rotazione
Moto circolare uniformevelocità con modulo costante s(t) = R ϑ (t) Legge oraria
v ds td t
R d td t
R≡ = =( ) ( )ϑ
ω
ωϑ
≡d td t
( )
v(t)
ϑ(t)
P
O
y
x
ruT = −( sin ,cos )ϑ ϑ
R
x t R ty t R t( ) cos ( )( ) sin ( )
==
ϑϑ
rv t v t v t R t tx y( ) ( ( ), ( )) ( sin ( ),cos ( ))= = −ω ϑ ϑ
traiettoria
Oppure in modo equivalente …
θ velocità angolare
r r rv t R u t vu tT T( ) ( ) ( )= =ω⇒ ru T
Velocità angolare ω
OP
v
x
r r rv r≡ ×ω
r
ϑ(t)
π / 2
*z
y
r rω ω
πω
ϑ× ≡ = ≡ = =r r r v ds t
dtr d tdt
sin ( ) ( )2
ωϑ
≡d tdt
( )⇒
ω è diretto lungo l’asse di rotazioneil verso di ω è dato dalla “regola della mano destra”
* Vedasi la definizione di prodotto vettoriale in fisica propedeutica
Accelerazione normale (centripeta)
)(cos)()(sin)(
tRtvtRtv
y
x
ϑωϑω
=−=s(t)
v(t) = ωR u (t)
ϑ(t)
P ru N = ( cos , sin )− −ϑ ϑ
ru T = −( s in , c o s )ϑ ϑ
R
T
θO x
a tdv tdt
R t ddt
R t
a tdv tdt
R t ddt
R t
xx
yy
( )( )
cos ( ) cos ( )
( )( )
sin ( ) sin ( )
= = − = −
= = − = −
ω ϑϑ
ω ϑ
ω ϑϑ
ω ϑ
2
2
ra t a t a t R t tx y( ) ( ( ) , ( )) ( co s ( ), s in ( ))= = − −ω ϑ ϑ2
r r ra t R u t vRu tN N( ) ( ) ( )= =ω 2
2ru N
Rotazione dei corpi rigidi
O
d m
r
v
ϕ
R
z asse di rotazioneωϑ(t)
y
x
Ogni massa mi ha moto dipendente da R = distanza dall’asse
v dsdt
R ddt
r r= = = ≡ ×ϑ
ϕω ωsinr r
La RotazioneMoto di un punto con velocità scalare v intorno ad un asse fisso (perpendicolare al piano della figura)
Posizione angolare:θ > 0 per rotazioni antiorarieθ < 0 per rotazioni orarie
posizione angolare
Un radiante è l’ampiezza di un angolo che intercetta un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza
1 giro = 360° = 2π rad
1 rad = 57.3°
velocità angolare e accelerazione angolare
ω = dθ / dt
accelerazione angolare:∆θ = θf - θi α m = ∆ω/∆t
ωm = ∆θ / ∆t α = dω/dt = d2θ / dt2
convenzioni
ω > 0 per rotazioni antiorarieω < 0 per rotazioni orarie
Esempio 1Un vecchio giradischi fa ruotare in senso orarioi dischi a 33 1/3 giri/min.Quale è la sua velocità angolare in rad/sec ?
ω = -33 1/3 giri/min= - 33 1/3 (2π/60) rad/sec = - 3.49 rad/sec
Se un CD ruota a 22.4 rad/sec, quale è il modulo della sua velocità angolare in giri/min ?
ω = 22.0 rad/sec= (60/2π) 22.0 giri/min = 210 giri/min
N.B. ω è un vettore
Esempio 2Trovare il periodo di un disco che ruota a 45 giri/min
ω = 45 (2π/60) rad/sec = 4.7 rad/sec
ω = ∆θ / ∆t
T = (2π/ω) = 2π/4.7 s = 1.3 s
Cinematica rotazionale
Accelerazione
00
−−
=∆∆
=tt
ωωωα ω = ω0 + αt
αaωvθs
Grandezza angolare
Grandezza lineare
angolare costante
θ = θ 0 + ω0 t + ½ α t2
ω = ω0 + α t
ω2 = ω02 + 2α (θ - θ0)
Relazioni tra grandezze lineari e rotazionali
Esempio : la giostra gira con velocità angolare costante ω …
ω = 2π / T
vt = (2πr) / T
vt = ωr
Esempio : la giostra gira con
velocità angolare costante ω …
vt = ωr Tuttavia spostandosi dal centro di rotazione verso la periferia,
la velocità lineare vt cresce proporzionalmente al raggio r
accelerazione centripetaacp = v2/r acp
vt = ωr
acp = ω2racp = 350 g
Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright © 2005
La centrifuga
Centrifuga per microematocrito sino a 104 g
Viene utilizzata per separare le cellule dal plasma, ed il volume delle cellule rispetto a quello totale da il volume di ematocrito.
La centrifugaApparecchiature in grado di produrre accelerazioni centripete molto maggiori della accelerazione di gravità. In aeronautica per addestramento piloti:max 350 volte g per un carico di 2.2 tonnellate
Centrifuga per microematocrito sino a 104 g
Vengono utilizzate per separare le cellule dal plasma, ed il volume delle cellule rispetto a quello totale da il volume di ematocrito.
Es. provette vengono fatte ruotare a 11600 giri/min con il fondo a 9 cmdall’asse di rotazione.Acc. Centripeta = ω2 r = 131000 m/s2 , circa 13400 g.
e se la giostra accelera …
a = at + acp
a = (at2 + acp
2 )1/2
∆vt = ∆ω r
at = ∆vt / ∆t = r ∆ω / ∆t
at = r α
Accelerazione angolare α e totaler
r
αω
≡d td t
( )Accelerazione:
rr r r r
r rr
a d v td t
d rd t
dd t
r d rd t
≡ =×
= × + ×( ) ( )ω ω
ω
r r rv r≡ ×ω≡ α
r r r r r ra r r= × + × ×α ω ω( )
raT
raN
angolare
totale(lineare)
⇒
r r ra rT = ×αω
r
Moto accelerato
ω r r r ra rN = × ×ω ω( )
r r rv r≡ ×ω
Moto di puro rotolamento
Moto di puro rotolamento rotazione traslazione
+
=
Moto di puro rotolamento
VCM = 2πr / T= r (2π / T)= r ω
“ rotola senza scivolare ”
Moto di puro rotolamento
“ rotola senza scivolare ”
L’espressione
deriva dal fatto che il punto più basso della ruotaè in contatto statico col terreno
Energia cinetica di rotazione
I = mr2
Per un punto materiale di massa m …
( ) 22222
21
21
21
21 ωωω ImrrmmvEk ===≡
momento di inerzia
Energia cinetica di rotazione
I = mr2
I = Σ miri2
EK = ½ Σ mivi2
EK = ½ mv2
= ½ Σ miω2ri2
Per un corpo rigido esteso …
Momento di inerzia:[I] = [M] [L2]
Nel S.I. Kg m2EK = ½ Iω2
Energia cinetica e rotazionePer m puntiforme a distanza r dall’asse di rotazione
( ) 22222
21
21
21
21 ωωω ImrrmmvEk ===≡
L’energia cinetica di un corpo rigido in rotazione dipendedalla distribuzione della massa!
Il momento d’inerzia I dipendedalla forma geometrica del corpo,dalla sua distribuzione di massa (densità)
e dall’asse considerato
non è una proprietà intrinseca del corpo
Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright © 2005
momento d’inerzia Imanubrio
I = Σ miri2
= mr2 + mr2
= 2mr2
Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright © 2005
momento d’inerzia IAnello di massa M e raggio R
I = Σ miri2
= R2Σ mi= MR2
Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright © 2005
momento d’inerzia IDisco di massa M e raggio R
I = Σ miri2
= ½ MR2
Momento d’inerzia I
I R d m x d xzC o r p o
≡ = =∫ ∫2 2
0
3
3λλ
ll
i) rispetto ad un asse perpendicolare passante per un suo estremo
zx
R dm IM
z =l 2
3
densità lineare
l
l/M=λ
Esempio: asta omogenea di lunghezza e massa Ml
ii) rispetto ad un asse perpendicolare passanteper il suo centro di massa
122422
232/
0
2 lll MdxxIz ==∫≡λλ
Alcuni risultati per I
Conservazione dell’energia
BAABAk
Bkk WmmEEE →=−=−≡∆ 22
21
21 ωω
Anche per un moto rotazionale vale il teorema dell’energia cinetica
L’energia cinetica di un oggetto che rotola senza scivolare:
22
21
21 ωImvEk +≡
dove I è calcolato rispetto al centro dell’oggetto.
Del resto in assenza di forze non conservative l’energia meccanica si conserva …
+
Moto varioUn cilindro pieno di raggio 10 cm e massa 12 Kg, partendo
da fermo, rotola senza strisciare per una distanza di 6 m giù per il tetto di una casa inclinato di 30 °
Quando lascia il bordo del tetto, qual è la sua velocità angolare rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa?
La parete esterna della casa è alta 5 m, a che distanza dal bordo del tetto atterrerà sul terreno piano? U=0
Moto varioUn cilindro pieno di raggio 10 cm e massa 12 Kg, partendo
da fermo, rotola senza strisciare per una distanza di 6 m giù per il tetto di una casa inclinato di 30 °
Quando lascia il bordo del tetto, qual è la sua velocità angolare rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa?
La parete esterna della casa è alta 5 m, a che distanza dal bordo del tetto atterrerà sul terreno piano?
U=0
• Consideriamo dapprima il moto di puro rotolamento sul tetto
Moto varioUn cilindro pieno di raggio 10 cm e massa 12 Kg, partendo
da fermo, rotola senza strisciare per una distanza di 6 m giù per il tetto di una casa inclinato di 30 °
Quando lascia il bordo del tetto, qual è la sua velocità angolare rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa?
La parete esterna della casa è alta 5 m, a che distanza dal bordo del tetto atterrerà sul terreno piano?
U=0
• Consideriamo dapprima il moto di puro rotolamento sul tetto
• Le forze agenti sono la forza peso, la Normale, la forza di attrito statico.
Moto varioUn cilindro pieno di raggio 10 cm e massa 12 Kg, partendo
da fermo, rotola senza strisciare per una distanza di 6 m giù per il tetto di una casa inclinato di 30 °
Quando lascia il bordo del tetto, qual è la sua velocità angolare rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa?
La parete esterna della casa è alta 5 m, a che distanza dal bordo del tetto atterrerà sul terreno piano?
• Consideriamo dapprima il moto di puro rotolamento sul tetto
• Le forze agenti sono la forza peso, la forza Normale, la forza di attrito statico.
• Possiamo trovare la velocità finale utilizzando la conservazione dell’energia meccanica totale
U=0
…
Kf =12
MvCM2 + K* =
12
MvCM2 +
12
I*ω2Ei =Ef ⇒ Ki +Ui =Kf +Uf
0 + MgLsen 30° =12
MvCM2 +
12
I*ω2 + 0
vCM = R ω vCM2 = R2ω2• La condizione di puro rotolamento:
I* =12
MR2• Il momento di inerzia del cilindro:
MgL sen30° =12
MR 2ω2 +12
12
MR2ω2
ω =4gLsen 30°
3R2 =4 × 9.81× 6 × 0.5
3 × .12 = 3924 = 62.6rads
…
vCM = Rω = 0.1 × 62.6 = 6.26ms
Al momento del distacco:
x = vxoty = yo + vyot − 1
2 gt2xo = 0m vxo = −6.26cos30° = −5.42 m
s
yo = 5m vyo = −6.26sen 30° = −3.13 ms
Determinare l’istante di impatto al suolo imponendo che y=0
yo + vyot − 12 gt2 = 0 ⇒ 4.9 t2 + 3.13t − 5 = 0
t1, 2 =−b ± b2 − 4ac
2a=
−3.13 ± 3.132 + 4 × 4.91 × 59.81
=−3.13 ± 10.39
9.81=
−1.37+0.74
La soluzione negativa è da scartare.• La distanza a cui atterrerà:
d = xf − xo = 4.01mx = vxot = −5.42 × .74 = −4.01m