Liceo Scientifico e Classico“Benedetto Varchi”

“P a r l i a m o di c o n i c h e”

Giovedì 23 febbraio 2012

Riccardo Ruganti

Perché parlare di CONICHE?

- Esercitare e migliorare l'intuizione spaziale - Occasione di affrontare lo studio della geometria sintetica dello spazio - Familiarizzare con quanto studiato della geometria euclidea del piano

- Trattare gli aspetti storici per sottolineare l'evoluzione del pensiero matematico- Cogliere un esempio dell’importanza del Linguaggio Matematico per rispondere al desiderio intellettuale dell’Uomo verso la Conoscenza

Sezioni di un cono

Guardando intorno a noi …

Nelle leggi della Fisica

Da quando si parla di CONICHE ?

Tre momenti significativi:

Menecmo

Apollonio

Keplero

Menecmo

Geometra e astronomo

vissuto intorno al 350 a.C.

discepolo di Eudosso (408-355 a.C.)

è ritenuto l'inventore delle

tre sezioni coniche:

gli antichi le chiamavano le TRIADI di MENECMO

Non abbiamo documenti diretti ma la letteratura attribuisce a Menecmo la scoperta delle coniche in base al fatto che (con riferimento ad uno scritto di Eutocio intorno al 500 d.C.) in una lettera di Eratostene (verso il 250 a.C.) al re Tolomeo III d'Egitto viene citato proprio Menecmo a proposito di una costruzione di medie proporzionali: vengono usate una parabola e un'iperbole equilatera o due parabole nell'ambito di ricerche rivolte alla risoluzione del problema della duplicazione del cubo

Menecmo lettera

1 2

Dati due segmenti a e b, si chiede di inserire ovvero costruire altri due segmenti x e y che fossero medi proporzionali tra quelli dati. Supposto che b = 2a allora

a : x = x : y e x : y = y : 2aovvero

x² = a y y² = 2 a x (parabole)

da cui sostituendo x² / a al posto di y nella seconda equazione

x3 = 2a3

Il segmento x rappresenta lo spigolo del cubo di volume doppio rispetto a quello di spigolo a.

Eutocio scrive anche che gli antichi consideravano coni i solidi generati da una rotazione di un triangolo rettangolo intorno ad uno dei suoi cateti e che li classificavano in acutangoli, ottusangoli, rettangoli in relazione al tipo di angolo al vertice del cono che si veniva a formare.

Con ognuno di tali coni era generata una conica di un solo tipo mediante un piano perpendicolare ad una generatrice.Tali sezioni venivano indicate con i nomiO r t h o t o m eO x y t o m eA m b l y t o m ee le loro proprietà caratteristiche piane con S y m p t o m a .

Ha studiato in modo sistematico le sezioni coniche individuando moltissime proprietà ed in particolarequelle che ci permettono di costruirle nel piano come luoghi geometrici

Apollonio

fu, sembra, il primo

a dimostrare che si potevano ottenere le coniche sezionando un unico tipo di cono retto,

a studiare le sezioni piane di un cono obliquo a base circolare

a considerare coni a doppia falda caratterizzando i tre tipi di coniche con proposizioni e con una terminologia che conducono al formalismo attuale

Apollonio

Parabola (porre accanto, confrontare)paraballein

(uguagliare, paragonare, mettere a confronto)

Ellisse (mancanza)elleipein (lasciare)

Iperbole (lanciare al di là)uperballein

(sorpassare, oltrepassare)

y2 = L x

y2 = L x - x2 L / T

y2 = L x + x2 L / T

Dopo un millennio le Coniche tornano ad essere protagoniste:Queste curve forse nate per risolvere un problema geometrico e poi studiate a fondo per ricercare le loro proprietà sono utili per descrivere il moto dei pianeti

Non è l’unico caso ed anche oggi continuano gli esempi: Il Linguaggio della Matematica sembra proprio essereil Linguaggio in cui sono “scritte” le Leggi della Natura

Ricerca guidata da curiosità intellettuale …

Kep

lero

«la filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto»

Saggiatore

La frase di Galileo scritta nel Saggiatore

Oggi gli oggetti matematici sono certamente più astratti e più complessi ma non cambia il senso, compreso quello che anche la Fisica teorica deve poi sottostare alle verifiche sperimentali e questo può suscitare ancora più grandi emozioni.

Galileo Galilei 1564 - 1642

Johannes Kepler 1571 - 1630

Ippocrate di Chio elementi 430 aCPlatone nasce 427 aCMenecmo sezioni coniche 350 aCAlessandro Magno muore 323 aCEratostene crivello 230 aCApollonio coniche 225 aCArchimede muore 212 aCPappo collezione matematica 320 dCProclo muore 485Eutocio commenta Archimede 560Keplero astronomia nuova 1609Dandelin teorema 1822

Alcuni di coloro che si sono occupati di CONICHE

Ma vediamole queste CONICHE !!!

a b c d e

Costruzione nel piano delle coniche come luoghi (sia per via sintetica che per via analitica)

ParabolaEllisseIperbole

Anche con definizione unica

P1

E

I

P2

Costruzione delletangenti a una conica

ParabolaEllisseIperbole

Area di un segmento parabolico…Vediamo che cosa proponeva Archimede

Similitudine

tra

CONICHE

2 31

Pianeta Eccentricità

MercurioVenereTerraMarteGiove

SaturnoUrano

Nettuno Plutone

Cometa di Halley

0.2060.0070.0170.0930.0480.0560.0470.0090.2490.967

Mi sto dimenticando delle CONICHE nel Piano Cartesiano!

Chissà perché?

… … …

G r a z i

e !