Montevarchi - 25 settembre 2012

Liceo B. VARCHI

Le trasformazioniLe trasformazioni

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Aiuta a osservare, descrivere, individuare caratteristiche e regolarità e a saperle comunicare.Geometria

: perché?

Geometria: perché?

Offre un’occasione per argomentare, congetturare e dimostrare e quindi una palestra formativa per abituarsi a confrontarsi con gli altri in modo corretto, appropriato e consapevole.

Permette di osservare e interpretare gli “oggetti reali” attraverso la conoscenza degli oggetti geometrici, delle loro caratteristiche e delle loro relazioni

Dal Percorso sintetico UMI-CIIM per il I biennio – Geometria:

Si consiglia di non trascurare la geometria ma di riservarle un tempo equilibrato. Anche se, con 3 ore settimanali, non le si potrà dedicare un tempo molto esteso, è sconsigliato ridurla a una presenza poco significativa, perché la geometria è una parte fondamentale del curricolo di matematica ed

offre la base intuitiva per una visualizzazione di molti dei concetti matematici che si riscontrano sia nel mondo reale che negli altri ambiti di contenuto (Aritmetica e algebra, Relazioni e funzioni, Dati e previsioni).

Nelle INDICAZIONI NAZIONALI si afferma che

“il primo biennio avrà come obiettivo

la conoscenza dei fondamenti della geometria euclidea del piano”.

GEOMETRIA COMEGEOMETRIA COME

Dal Percorso analitico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria:

All’inizio del primo biennio … lo studio della geometria può mirare,

partendo da quanto è stato affrontato nel corso del precedente livello,

a migliorare e a rafforzare

la presa di coscienza dello spazio in cui viviamo le nostre esperienze

per poi procedere a un approfondimento

della conoscenza delle figure e delle loro proprietà

con opportune argomentazioni e dimostrazioni.

Iniziare dal riconoscimento delle figure tridimensionali

che sono intorno a noi

rappresenta un’occasione per richiamare e rafforzare

le conoscenze degli studenti provenienti da situazioni

scolastiche diverse ovvero con livelli e

tipologie di preparazione spesso molto eterogenei.

In ogni caso orientare l’approccio al curricolo del biennio

in continuità con quello del primo ciclo

determina un minor stato di ansia e

può servire a stabilire un miglior dialogo tra docenti dei due

livelli di istruzione.

GEOMETRIA COMEGEOMETRIA COME

Dal Percorso analitico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria

Una sistemazione più esaustiva della geometria

è un punto d’arrivo al termine del curricolo e

non certo un punto di partenza imposto.

…

si agisce per sviluppare la competenza

che si riferisce a

“confrontare e analizzare figure geometriche,

individuando invarianti e relazioni”.

GEOMETRIA COMEGEOMETRIA COME

Dal Percorso analitico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria

PISA 2012 Definition of Mathematical Literacy:

Mathematical literacy is an individual’s capacity to formulate, employ, and interpret mathematics in a variety of contexts. It includes reasoning mathematically and using mathematical concepts, procedures, facts, and tools to describe, explain, and predict phenomena. It assists individuals to recognise the role that mathematics plays in the world and to make the well-founded judgments and decisions needed by constructive, engaged and reflective citizens.

Competenza

Competenza

PISA 2012 Definition of Mathematical Literacy

Competenza matematica:

La competenza matematica è la capacità di un individuo di formulare, utilizzare e interpretare la matematica in una varietà di contesti. Include la capacità di ragionare matematicamente e di usare concetti, procedure, fatti e strumenti della matematica per descrivere, spiegare e predire fenomeni. Aiuta gli individui a riconoscere il ruolo che la matematica ha nel mondo e a formulare giudizi e decisioni ben fondati, come richiesto a cittadini costruttivi, impegnati e riflessivi.

Competenza

Competenza

PISA 2012: literacymatematica

PISA 2003:«la capacità di un individuo di individuare e comprendere il ruolo che la matematica gioca nel mondo reale, di operare valutazioni fondate e di utilizzare la matematica e confrontarsi con essa in modi che rispondono alle esigenze della vita di quell’individuo in quanto cittadino impegnato, che riflette e che esercita un ruolo costruttivo»

PISA 2012: «la capacità di un individuo di utilizzare e interpretare la matematica, di darne rappresentazione mediante formule, in una varietà di contesti. Tale competenza comprende la capacità di ragionare in modo matematico e di utilizzare concetti, procedure, dati e strumenti di carattere matematico per descrivere, spiegare e prevedere fenomeni. Aiuta gli individui a riconoscere il ruolo che la matematica gioca nel mondo, a operare valutazioni e a prendere decisioni fondate che consentano loro di essere cittadini impegnati, riflessivi e con un ruolo costruttivo»

OCSEOrganizzazione per la cooperazione e lo sviluppo economico

PISAProgramme for International Student Assessment

PISA 2012: alcune informazioni

34 paesidell’OCSE

Dal ciclo PISA 2009, ulteriori 9 paesi partner partecipano a PISA con una rilevazione speciale chiamata PISA2009+

Fase 1.

Recupero, consolidamento e approfondimento

delle conoscenze pregresse sulle figure dello spazio e del piano.

Dalle figure dello spazio tridimensionale,

già studiate durante l’ultimo anno della Scuola Secondaria di I Grado

(prismi, piramidi, poliedri, cilindri, coni, sfere),

si giungerà ad analizzare quelle piane

(circonferenze, poligoni, segmenti, angoli).

GEOMETRIA COMEGEOMETRIA COME

Dal Percorso analitico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria

Si possono, per esempio, invitare gli studenti a guardare ciò che è

intorno a loro nell’aula o che notano mentre si affacciano alla

finestra o mentre fanno un giro intorno alla scuola.

Può essere utile mostrare qualche foto di edifici, di sculture, di

animali, di panorami con nubi e profili di montagne oppure far

osservare, coinvolgendo possibilmente il collega di Scienze, alcuni

campioni di minerali che presentino la loro struttura cristallina.

Importante è giungere a far scoprire come

le forme geometriche che si studiano (a scuola)

siano suggerite dalla Natura stessa!

Dal Percorso analitico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria

GEOMETRIA COMEGEOMETRIA COME

Oltre a piramidi, prismi, cilindri, coni

è interessante e culturalmente importante

far osservare e arrivare a descrivere,

senza esagerare con il rigore formale,

i poliedri regolari,

sempre a partire da foto o da oggetti

(per esempio alcuni dei dadi usati per i “giochi di ruolo”) o

da letture o

da riferimenti storici.

Dal Percorso analitico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria

GEOMETRIA COMEGEOMETRIA COME

Dal Percorso analitico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria

GEOMETRIA COMEGEOMETRIA COME

A livello di primo biennio della scuola secondaria di secondo grado,

non si potrà assolutamente impostare la geometria in modo

assiomatico e deduttivo, ma si svilupperanno progressivamente, a

partire da quanto gli allievi conoscono a livello intuitivo, alcune

“limitate catene di deduzioni” (che si possono anche chiamare “isole

deduttive”).

A questo proposito, nelle INDICAZIONI NAZIONALIINDICAZIONI NAZIONALI si legge che

““in coerenza con il modo in cui si è presentato storicamente, in coerenza con il modo in cui si è presentato storicamente,

l’approccio euclideo non sarà ridotto a una formulazione puramente l’approccio euclideo non sarà ridotto a una formulazione puramente

assiomatica”assiomatica”.

Dal Percorso sintetico UMI-CIIM per il primo biennio – Geometria

GEOMETRIA COMEGEOMETRIA COME

Le trasformazioniLe trasformazioni

Lo studente acquisirà la conoscenza delle

principali trasformazioni geometriche

(traslazioni, rotazioni, simmetrie, similitudini

con particolare riguardo al teorema di Talete)

e sarà in grado di

riconoscere le principali proprietà invarianti.

Primo biennio

Lo studio della geometria proseguirà con l'estensione

allo spazio di alcuni dei temi della geometria piana,

anche al fine di sviluppare l’intuizione geometrica.

In particolare, saranno studiate

le posizioni reciproche di rette e piani nello spazio, il

parallelismo e la perpendicolarità, nonché

le proprietà dei principali solidi geometrici

(in particolare dei poliedri e dei solidi di rotazione).

Secondo biennio

Le trasformazioni

Le trasformazioni

Altra cosa è ragionare per trasformazioni

Felix Klein 1872, Programma di Erlangen,

traduzione in italiano di Fano

Gruppi di trasformazioni (automorfismi),

fondati sulle proprietà invarianti delle figure.

Galois (1811-1832) Abel (1802-1829)

Gustave Choquet (1915-2006),

L’insegnamento della geometria (Appendice 1), Feltrinelli,

MI 1967

Dalla simmetria assiale alle isometrie:

Un’isometria è individuata da un massimo di tre coppie di

punti corrispondenti.

Un’isometria è ottenibile come composizione di al più tre

simmetrie assiali.

Dall’omotetìa e dalle isometrie alla similitudine

Ogni similitudine è ottenibile come composizione di una

omotetìa e una isometria.

Esperienza personale

Ho iniziato, in classe, una trentina di anni fa, introducendo le isometrie in ambiente euclideo

Mazzarelli – Seccia, MATEMATICA Algebra e Geometria, Ed. Cremonese, Roma 1982

Dopo un’impostazione euclidea fino ai criteri di congruenza dei triangoli, si passa a definire la simmetria centrale, la simmetria assiale (dopo l’unicità della perpendicolare e la distanza tra due punti), la traslazione (dopo aver introdotto i vettori), la rotazione (dopo aver definito gli angoli orientati (?)). Al secondo anno similitudine e omotetìa ma in modo meno innovativo.

Ho poi proseguito con il testo

Belli – Lupo Perricone – Pagni – Pallini, INTUIRE E DEDURRE (OSSERVARE E DEDURRE), SEI, Torino 1984

(frutto di una sperimentazione attuata nel Lic. Sc. sperimentale Enriques di Livorno)

seguendo un percorso sulle isometrie fondato sulla simmetria assiale (Choquet) e la similitudine ottenibile come composizione di un’omotetìa e un’isometria.

Le INDICAZIONI NAZIONALI

non vanno in questa ultima direzione:

IL RIFERIMENTO E’ SEMPRE

ALLA GEOMETRIA EUCLIDEA

LE TRASFORMAZIONI IN AMBITO EUCLIDEO

ma non fini a se stesse ma per essere utilizzate

RILEVANDO

INVARIANTI,

PUNTI UNITI,

COMPOSIZIONE, CARATTERE INVOLUTORIO

Metodo

Metodo

OSSERVAZIONI E POI DEFINIZIONI ARGOMENTARE, CONGETTURARE, DIMOSTRARE

Da La matematica per il cittadino MATEMATICA 2003

Il laboratorio di matematica non è un luogo fisico diverso dalla classe, è

piuttosto un insieme strutturato di

attività volte alla costruzione di significati degli oggetti matematici.

…

L’ambiente del laboratorio di matematica è in qualche modo assimilabile a quello dellabottega rinascimentale, nella quale gli apprendisti imparavano facendo e vedendo fare,comunicando fra loro e con gli esperti.

La geometria ha un suo specifico contenuto, ma andrà

collegata in modo sistematico agli altri ambiti senza introdurre

artificiali separazioni tra questi.

Si deve trasmettere agli allievi che la geometria non è una parte

isolata della matematica.

Gli esempi sono infiniti: basta solo pensare al metodo delle

coordinate cartesiane, a proposito del quale nelle INDICAZIONI

NAZIONALI si legge che

“l’intervento dell’algebra nella rappresentazione degli oggetti

geometrici non sarà disgiunto dall’approfondimento della

portata concettuale e tecnica di questa branca della

matematica”.

VILLE E PALAZZI POLIEDRI

OMBRE PROPORZIONALITA’

PIZZA EQUATORE

Vediamo qualche esempio di attività:

APPLICAZIONIQualche esempio:

Problema di Erone (I-II sec a.C.)

Classificazione di triangoli e di quadrilateri

Triangolo con almeno un asse di simmetria

Quadrilatero con un solo (o almeno un) asse di simmetria

Figure con due assi ortogonali e con centro di simmetria

Anche nel Piano Cartesiano

Tangenti a coniche

Similitudine

Coniche simili

Parabole e Circonferenze

Ellissi e Iperboli

Bicchieri conici e sabbia

Traslazioni y = sen (x+k) + h

Grazie