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Fenomenologia del Modello Standard – Prof. A. Andreazza
Scattering inelastico con neutrini
Lezione 6
Deep Inelastic Scattering con neutrini
• I neutrini sono delle sonde eccezionali per studiare il nucleone:
– A livello di partoni quindi νl può interagire solo con quark d e anti-u – νl sinistrorso e interagisce con d sinistrorsi e anti-u destrorsi
• Diverse distribuzioni angolari per scattering L+L e L+R – …e le relazioni CP coniugate per l’antineutrino.
– Permette di separare i sapori dei quark – Permette di separare quark ed anti-quark
• Pone però notevoli difficoltà sperimentali: – Bassa sezione d’urto:
• richiede fasci intensi • …e rivelatori di grosse dimensioni.
– Non si conosce il momento iniziale del neutrino • necessita di riscostruire lo stato finale.
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ν + N ⇒ − + adroni
σν
σ e
∝GF2
α 2 /Q4
Correnti destrorse e sinistrorse
• Sappiamo che una corrente vettoriale separa le componenti L e R di uno spinore:
• I tensori che poi compaiono negli elementi di matrice delle correnti diventano (sommando sugli spin):
• Si noti che: – C’è una componente antisimmetrica – Le correnti L e R soddisfano separatamente il vincolo
– Come ci aspettiamo la somma dà il termine vettoriale
che conosciamo.
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=
+
ψγ µψ =ψRγµψR +ψLγ
µψL ψR/L = 12 1±γ5( )ψ
JRµ = u( !k )γ µ 1
2 1+γ5( )u(k)⇒ Lµν = 2 k µ !k ν + kν !k µ − k ⋅ "k( )gµν( )+ 2iεαµβνkα !kβ
JLµ = u( !k )γ µ 1
2 1−γ5( )u(k)⇒ Lµν = 2 k µ !k ν + kν !k µ − k ⋅ "k( )gµν( )− 2iεαµβνkα !kβ
qµLµν = qνL
µν = 0 q = k − "k
Scattering L-L (R-R)
• Applicando la stessa decomposizione ai due fermioni che partecipano nell’interazione, possiamo vedere che il contributo alle correnti dell’elemento di matrice è dato da:
• Se le masse sono trascurabili, risulta: • Chiaramente lo stesso vale per scattering R-R
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12⋅12Lµν !Lµν = s
2
= k µ !k ν + kν !k µ − k ⋅ "k( )gµν( ) pµ !p ν + pν !p µ − p ⋅ "p( )gµν( ) − εαµβνkα !kβεγµδν pγ !p δ
= 2 k ⋅ p( ) "k ⋅ "p( )+ k ⋅ "p( ) "k ⋅ p( )#$
%& + 2 δγ
αδδβ −δδ
αδγβ( )kα !kβ p
γ !p δ
+ 2 k ⋅ p( ) "k ⋅ "p( )− k ⋅ "p( ) "k ⋅ p( )$%
&'
= 4 k ⋅ p( ) "k ⋅ "p( )
12⋅12Lµν !Lµν
Scattering L-R (R-L)
• Applicando la stessa decomposizione ai due fermioni che partecipano nell’interazione, possiamo vedere che il contributo alle correnti dell’elemento di matrice è dato da:
• Se le masse sono trascurabili, risulta: • Chiaramente lo stesso vale per scattering R-L
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12⋅12Lµν !Lµν =
s2
41+ cosθ *( )
2
= k µ !k ν + kν !k µ − k ⋅ "k( )gµν( ) pµ !p ν + pν !p µ − p ⋅ "p( )gµν( ) + εαµβνkα !kβεγµδν pγ !p δ
= 2 k ⋅ p( ) "k ⋅ "p( )+ k ⋅ "p( ) "k ⋅ p( )#$
%& − 2 δγ
αδδβ −δδ
αδγβ( )kα !kβ p
γ !p δ
− 2 k ⋅ p( ) #k ⋅ #p( )− k ⋅ #p( ) #k ⋅ p( )$%
&'
= 4 k ⋅ "p( ) !k ⋅ p( )
12⋅12Lµν !Lµν
Angolo di scattering nel sistema del centro di massa
Scattering LL/RR vs. RL/LR
• Il diverso risultato ha una semplice interpretazione geometrica:
– I fermioni non possono modificare la loro chiralità
– Se i fermioni hanno la stessa chiralità: • Jz=0 • Ogni angolo di scattering è permesso
– Se i fermioni hanno chiralità opposta: • Jz=±1 • Lo scattering all’indietro è soppresso:
inverte la direzione di J
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θkp
k’
p’ θ
kp
p’
k’
θkp
k’
p’ θ
kp
p’
k’
L’elemento di matrice (calcoli in appendice)
• Nel calcolo dell’elemento di matrice νN possiamo scrivere il tensore adronico come
• Contraendo con il tensore del neutrino:
• e finalmente espresso in x ed y:
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W µν
4πmN
=W1 −gµν +
qµqν
q2"
#$
%
&'+
W2
mN2 pµ −
qp( )q2
qµ"
#$
%
&' pν −
qp( )q2
qν"
#$
%
&'− i W3
2mN2 ε
µναβ pαqβ
LµνWµν
4πmN= 2 kµ !kν + kν !kµ − k ⋅ !k( )gµν$
%&' W1 g
µν −qµqν
q2(
)*
+
,-+W2
mN2pµ −
qp( )q2qµ
(
)
**
+
,
--pν −
qp( )q2qν
(
)
**
+
,
--
$
%
.
.
&
'
//
+ −2iεµνγδkγ "k δ( ) −i W3
2mN2εµναβ pαqβ
#
$%%
&
'((
= 4W1(k !k )+ 2W2
mN2 2(kp)( !k p)− (k !k )mN
2( ) +2W3
mN2(kp)( !k q)− ( !k p)(kq)( )
LµνWµν
4πmN
= 2sxyW1 +W2
mN2 s
2 (1− y)− xy mN2
s"
#$
%
&'+
W3
mN2 s
2xy 1− y2
"
#$
%
&'
Nuovo termine antisimmetrico
Sezione d’urto
• La sezione d’urto differenziale la possiamo ricavare partendo da quella elettromagnetica:
• Ed effettuando la sostituzione • Che diventa per il neutrino:
• Utilizzando le funzioni adimensionali:
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dσ ep
dxdy= 2πmNy
α 2
q4LµνWµν
4πmN
dσ ν p
dxdy=2π16π 2 mNy
4GF2
2LµνWµν
4πmN
e2
q2⇒2GF
2
=GF2
4πmNy
LµνWµν
4πmN
=GF2s2π
xy2mNW1 + 1− y− xymN2
s"
#$
%
&'sy2mN
W2 + y− y2
2"
#$
%
&'sy2mN
W3
(
)*
+
,-
s = 2mNE
F1 =mNW1, F2 =νW2, F3 =νW3ν = E − "E = Ey
d 2σ ν p
dxdy=GF2s2π
xy2F1 + 1− y− xymN2
s"
#$
%
&'F2 + y− y
2
2"
#$
%
&'F3
(
)*
+
,-
Normalmente avremmo 4GF/√2, ma la definizione della corrente adronica nelle funzioni di struttura segue la normalizzazione di Fermi (1-γ5) invece della nostra (1-γ5)/2
D’ora in poi trascureremo il termine di massa
Sezione d’urto
• Per lo scattering neutrino-nucleone:
• Per lo scattering antineutrino-nucleone
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d 2σ νN
dxdy=GF2s2π
xy2F1ν + 1− y( )F2ν + y− y
2
2"
#$
%
&'xF3
ν(
)*
+
,-
d 2σ νN
dxdy=GF2s2π
xy2F1ν + 1− y( )F2ν − y− y
2
2"
#$
%
&'xF3
ν(
)*
+
,-
Interpretazione partonica
• La sezione d’urto ν+q(L):
• Il contributo alla sezione d’urto differenziale è quindi
• E contribuisce a – F1: – F2: – F3:
• La sezione d’urto ν+anti-q(R):
• Il contributo alla sezione d’urto differenziale è quindi
• E constribuisce a – F1: – F2: – F3:
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dσνq
dy=M 2
16π s=
116π s
4GF
2!"#
$%&28(kp)( 'k 'p )
=GF2
πs
dσνq
dxdy=GF2s2π
2xfq (x)
σ ν + fT3=−1/2 → − + fT3=+1/2( ) = GF
2
πs
2xfq (x)2 fq (x)
fq (x)
d 2σ νN
dxdy=GF2s2π
xy2F1ν + 1− y( )F2ν + y− y
2
2"
#$
%
&'xF3
ν(
)*
+
,-
dσνq
dy=M 2
16π s=
116π s
4GF
2!"#
$%&28(k 'p )( 'k p)
=GF2
πs 1− y( )2
σ ν + fT3=−1/2 → − + fT3=+1/2( ) = GF
2
3πs
dσνq
dxdy=GF2s2π
2x 1− y( )2 fq (x)
2xfq (x)−2 fq (x)
fq (x)
…e analogamente per la sezione d’urto di antineutrini
Riepilogo funzioni di struttura
• Elettromagnetiche: – Protone
– Neutrone:
– Bersaglio isoscalare
In prima approssimazione:
• Correnti cariche deboli: – Protone
– Neutrone:
– Bersaglio isoscalare
Dove si è posto
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F2ep =
49x uv + us + us[ ]
+19x dv + ds + ds[ ] + 19 x ss + ss[ ]
F2en =19x uv + us + us[ ]
+49x dv + ds + ds[ ] + 19 x ss + ss[ ]
F2eN =518x q + q[ ] +
19x ss + ss[ ]
us = us = ds = ds = ss = ss = S
F2ν p = 2x Vud
2 dv + ds + us[ ] + 2x Vus2 ss + us[ ]
F3ν p = 2 Vud
2 dv + ds − us[ ] + 2 Vus2 ss − us[ ]
F2ν p = 2x Vud
2 uv + us + ds[ ] + 2x Vus 2 uv + us + ss[ ]F3ν p = 2 Vud
2 uv + us − ds[ ] + 2 Vus 2 uv + us − ss[ ]
F2νn = 2x Vud2 uv + us + ds[ ] + 2x Vus 2 ss + ds[ ]
F3νn = 2 Vud2 uv + us − ds[ ] + 2 Vus 2 ss − ds[ ]
F2νn = 2x Vud2 dv + ds + us[ ] + 2x Vus
2 dv + ds + ss[ ]F3νn = 2 Vud
2 dv + ds − us[ ] + 2 Vus2 dv + ds − ss[ ]
F2νN = x Vud2 q + q[ ] + x Vus
2 2ss + q[ ]F3νN = Vud
2 q − q[ ] + Vus2 2ss − q[ ]
F2νN = x Vud2 q + q[ ] + x Vus
2 q + 2ss[ ]F3νN = Vud
2 q − q[ ] + Vus2 q − 2ss[ ]
q = uv + us + dv + ds, q = us + ds
Misura sezione d’urto νN
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Wide band neutrino beam del CERN Phys. Lett. B46, 274 (1973) Articolo 8.4 del testo
Rivelatori per neutrini: GARGAMELLE
• Camera a bolle a liquidi pesanti: Freon, Propano (liquidi a temperatura ambiente)
• Dimensioni: lunghezza 4.9 m, diametro 1.9 m • Volume fiduciale 3 m3 pari a 5 ton di Freon
• Immersa in un campo magnetico di 2 T ( 20 kG )
• In funzione dal 1971 a ~ 1976 sul fascio del PS
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Camera a bolle
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• Rivelatore visualizzante • Liquido vicino al punto di
ebollizione. • Il passaggio di particelle
cariche funge da centro di ebollizione.
• Simile alla camera a nebbia ma con: • Maggiore densità
eventi con bassa sezione d’urto assorbimento totale
• Migliore risoluzione
Interazione di neutrino
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Sezione d’urto
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σνN
R1 =σνN
σνN
σνN
Anti-neutrino vs. neutrino
• Integrando le sezioni d’urto differenziali:
• Otteniamo:
• E per un bersaglio isoscalare
• Analogamente per un antineutrino
• Da cui si ricava:
• La misura dà
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dσνq
dxdy=GF2s2π
2xfq (x)
dσνq
dxdy=GF2s2π
2x 1− y( )2 fq (x)
σν p =GF2sπ
dxxd(x)0
1∫ +
13
dxxu(x)0
1∫"
#$
%&'
σνn =GF2sπ
dxxu(x)0
1∫ +
13
dxxd (x)0
1∫"
#$
%&'
σνN =GF2s2π
dxx u(x)+ d(x)[ ]0
1∫ +
13
dxx u(x)+ d (x)[ ]0
1∫"
#$
%&'
Q
Q
σνN =GF2s2π
13
dxx u(x)+ d(x)[ ]0
1∫ + dxx u(x)+ d (x)[ ]0
1∫"
#$
%&'
=GF2s2π
13Q +Q!
"#
$%&
Il contenuto in d del n è uguale al contenuto in u del p
R1 = 0.38± 0.02
QQ=3R1 −13− R1
R1 =σνN
σνN =1+ 3(Q /Q)3+ (Q /Q)
QQ= 0.05± 0.02
Rapporto tra momento di quark e antiquark
• Vcd viene determinato da deep inelastic scattering di neutrini:
funzioni di struttura per il quark d
Vcd BR(c→µνX)
Determinazione di Vcd
Vcd = 0.230± 0.011
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σ ν→2µ ∝ dxx Vcdu(x)+ d(x)
2+ Vcs s(x)
#
$%&
'(∫
σ ν→2µ ∝ dxx Vcdu(x)+ d (x)
2+ Vcs s (x)
#
$%
&
'(∫
Calorimetri traccianti
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• Moderni esperimenti utilizzano rivelatori a lettura elettronica, ma mantengono i requisiti già visti: – Grande massa – Necessità di misurare l’energia del sistema adronico
(composto da fotoni e pioni carichi) • Sciami di γ ed e:
~X0
• Sciami di adroni: ~λI
• Materiali con
– Identificazione dei muoni • Sistema tracciante dopo
l’assorbimento del siste- ma adronico.
X0 ~ λI
X0 λI
Esempio: CHARM II
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Piani alternati: • Vetro (0.5 X0, 0.1 λI) • Tubi a streamer Spettrometro: • Ferro magnetizzato • Campo toroidale
Esempio: CHARM II
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vista x-z
Vista y-z
νµ + N→ µ− + c+ X
c→ µ+ + X
Compatibilità di F2
• Dal confronto tra:
• Otteniamo che:
– Compatibilità a livello di integrale già osservata a Gargamelle.
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F2eN =
518x u(x)+ d(x)+u(x)+ d (x)( )
F2νN = x u(x)+ d(x)+u(x)+ d (x)( )
F2eN =
518F2νN
νν
µ
CALCOLO TENSORE ADRONICO Appendice
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 6- A. Andreazza - a.a. 2014/15
Calcolo del tensore adronico
• Tenendo conto anche delle componenti antisimmetriche, la forma più generale è:
• Avendo W una componente antisimmetrica, bisogna testare entrambe le contrazioni: – Si noti che il temine in W3, si annulla sicuramente.
• Da cui ricaviamo immediatamente:
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W µν
4πmN
= −W1gµν +
W2
mN2 p
µ pν − i W3
2mN2 ε
µναβ pαqβ +W4
mN2 q
µqν + W5
mN2 (p
µqν + pνqµ )+ i W6
mN2 (p
µqν − pνqµ )
qµWµν = −W1 +
W4
mN2 q
2 +W5
mN2 qp( )+ i W6
mN2 qp( )
"
#$
%
&'qν +
W2
mN2 qp( )+ W5
mN2 q
2 − i W6
mN2 q
2"
#$
%
&'pν = 0
W5 = −W2qpq2
−W1 +W4q2
mN2 −W2
qp( )2
mN2 q2
= 0
qνWµν = −W1 +
W4
mN2 q
2 +W5
mN2 qp( )− i W6
mN2 qp( )
"
#$
%
&'qµ +
W2
mN2 qp( )+ W5
mN2 q
2 + i W6
mN2 q
2"
#$
%
&'pµ = 0
W6 = 0
⇒ W4 =W1mN2
q2+W2
qp( )2
q4
L’elemento di matrice
• E sostituendo:
• Contraendo con il tensore del neutrino:
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W µν
4πmN
=W1 −gµν +
qµqν
q2"
#$
%
&'+
W2
mN2 pµ pν + qµqν
qp( )2
q4−qp( )q2
pµqν + pνqµ( )"
#$$
%
&''− i
W3
2mN2 ε
µναβ pαqβ
W µν
4πmN
=W1 −gµν +
qµqν
q2"
#$
%
&'+
W2
mN2 pµ −
qp( )q2
qµ"
#$
%
&' pν −
qp( )q2
qν"
#$
%
&'− i W3
2mN2 ε
µναβ pαqβ
LµνWµν
4πmN= 2 kµ !kν + kν !kµ − k ⋅ !k( )gµν$
%&' W1 g
µν −qµqν
q2(
)*
+
,-+W2
mN2pµ −
qp( )q2qµ
(
)
**
+
,
--pν −
qp( )q2qν
(
)
**
+
,
--
$
%
.
.
&
'
//
+ −2iεµνγδkγ "k δ( ) −i W3
2mN2εµναβ pαqβ
#
$%%
&
'((
= 4W1(k !k )+ 2W2
mN2 2(kp)( !k p)− (k !k )mN
2( ) +2W3
mN2(kp)( !k q)− ( !k p)(kq)( )
LµνWµν
4πmN
= 4W1(k !k )+ 2W2
mN2 2(kp)( !k p)− (k !k )mN
2( )+ 2W3
mN2 (k !k ) (kp)+ ( !k p)( )
L’elemento di matrice
• E sostituendo:
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LµνWµν
4πmN
= 4W1(k !k )+ 2W2
mN2 2(kp)( !k p)− (k !k )mN
2( )+ 2W3
mN2 (k !k ) (kp)+ ( !k p)( )
LµνWµν
4πmN
= 2sxyW1 +W2
mN2 s2 (1− y)− sxymN
2( )+ W3
2mN2 sxy s+ s(1− y)( )
LµνWµν
4πmN
= 2sxyW1 +W2
mN2 s
2 (1− y)− xy mN2
s"
#$
%
&'+
W3
mN2 s
2xy 1− y2
"
#$
%
&'