Legge empirica del caso o legge dei grandi numeri

provenumero

aprobabilitfrequenza '

1

2

1

2

E(x) = m

(x)

un

….scritto male…. Vedere diseguaglianza di Chebychev

3

Diseguaglianza di Chebychev Ha una importanza concettuale piu’ che pratica… Una variabile casuale x, qualunque sia la forma della sua funzione di distribuzione, risultera’ contenuta entro poche deviazioni standard s(x). …la probabilita’ che la variabile casuale x scarti dal valore atteso E(x) per piu’ di k volte la deviazioni standard s(x) e’ limitata superiormente da 1 / k2

k = 1 P < 100% Gauss 32% Uniforme 42% k = 2 P < 1/4 = 25% “ 5% “ 0% k = 3 P < 1/9 = 11% “ 0.3% “ 0%

2

1))()((

kxkxExP s

4

5

… sara’ di tipo “gaussiano”

= E(X)

Teorema del limite centrale … date n variabili casuali indipendenti {x1, x2, …, xn} con distribuzione qualunque, purche’ con E(x) finito e s(x) finite e dello stesso ordine di grandezza, … allora:

Una qualunque combinazione lineare delle variabili Xk: y = Sk [ak xk]

Tendera’, al crescere di n, ad una distribuzione gaussiana con parametri:

E(y) = E(Sk ak xk) = Sk [ak E(xk)] s2(y) = E[(y – E(y))2] = Sk [ak

2 s2(xk)]

PS … la somma Y di un qualunque numero di variabili gaussiane xk indipendenti, seguira’ una distribuzione ancora gaussiana, con E(y) = Sk E(xk) e s2(y) = Sk s2(xk)

6

7

)

… poiché u e v sono variabili casuali indipendenti…

8

E(X)

s2(x)

n

finito

finita,

Altra

i

ii

9

=

10

= ???

P = 0.00027

28.87

media =

varianza = varianza =

std.dev.=

Esempio n.1

6000

Nxp=6000x(1/6) = 1000

Nxpx(1-p) = 6000x(1/6)x(5/6) = 30000/36 = 833.33

Z = (1100-1000)/28.87 = 3.46

6000!

n! (6000-n)!

5(6000-n)

66000

6 n = 1100

N = 6000

=

=

( )

con

6000 ~ ꚙ

1100

fG(x) dx

11

Esempio n.2

21000x(5/6)

P = 0.0116 x 2 = 0.0232

[s2 = Np(1-p) = E(x) (1-p)]

Risultato dell’esperimento