L’econometria della funzione di produzione Cobb-Douglas

Maria Elena Bontempi

Roberto Golinelli

Organizzazione della presentazione

Una breve panoramica teorica sulla funzione di produzione

La calibrazione dei parametri (i residui di Solow)

La stima dei parametri con dati cross-section

La stima dei parametri con dati panel

La stima dei parametri con serie storiche

Teoria: Cobb-Douglas (1928), AER

Funzione di produzione:Y = A L K

variabili: Y = produzione, L = lavoro, K = capitale

parametri:A = produttività totale dei fattori (TFP) = elasticità di Y a L = elasticità di Y a K

+ =1 rendimenti di scala costanti+ >1 rendimenti di scala crescenti+ <1 rendimenti di scala decrescenti

Produttività marginale del lavoro (MPL):

L

Yα

L

KαALKαAL

L

Y βαβ1α

Se <1, MPL è minore della produttività media. La MPL decresce con L (K si satura).

pro

du

zio

ne

, Y

lavoro, L

= 0,7

= 0,4

Nella: Y = A L K

una riduzione di A (TFP) equivale ad uno shock negativo di produttività (di offerta):

pro

du

zio

ne,

Y

lavoro, L

Prima dello shock

dopo lo shock

Il parametro A governa gli slittamenti della funzione

Se i mercati sono concorrenziali (i prezzi p sono dati, esogeni), MPL = w/p; da cui:

Y/L = w/p Y p

L wα

è la quota distributiva del salario sul reddito totale che può essere stimata a partire dai dati: α

imponendo l’ipotesi di rendimenti di scala costanti, la quota distributiva del capitale è stimata con: α-1β ˆˆ

verifica di Cobb-Douglas

Un esercizio di calibrazione: il residuo di Solow

Calibrate le stime di e , e conoscendo i dati per Y, L e K, il parametro A è ottenuto a residuo dalla funzione di produzione:

cioè:βαKL

YA ˆˆˆ

il residuo di Solow misura nel tempo gli shock alla TFP (il tasso di crescita della stima di A)

Problemi: (a) errori di misura di Y, L e K; (b) mercati non concorrenziali; (c) imposti costanti i rendimenti di scala

KβLαYA

Approccio di stima dei parametri e

Trasformazione logaritmica:log(Y) = log(A) + log(L) + log(K)y = a + l + kdove lettere minuscole indicano le corrispondenti trasformazioni logaritmiche

A seconda del tipo di dati disponibili per y, l, k, ottengo diverse misure (informazioni):cross-section: yi ; li ; ki (i = 1, 2, 3, …, N)time series: yt ; lt ; kt (t = 1, 2, 3, …, T)panel data: yit ; lit ; kit

Modello per dati cross-section

yi = ai + li + ki

dove: ai = a + i ; i ~ iid(0,2) a, , e 2 sono parametri (è possibile una generalizzazione se i 2)

Ipotesi: i casi individuali (nel complesso) forniscono informazioni su una struttura unificante che ha parametri costanti.

L’unica fonte di informazione è la variabilità fra individui. Gli i sono shock idiosincratici di offerta.

La stima della costante è la TFP media:

N

kβ

N

lα

N

ya

N

1i i

N

1i i

N

1i i ˆˆˆ

Problemi di errori di misura nelle variabili e/o di esplicative endogene richiedono stime IV di e con strumenti validi (incorrelati con i ) e rilevanti (correlati con li e ki). Altrimenti stime OLS.

Rispetto alla calibrazione (fondata su teoria) la relazione stimata è tecnica (no ipotesi di libera concorrenza); l’ipotesi di rendimenti di scala costanti è verificabile con un test.

Modello per dati panel

yit = ait + lit + kit

dove: ait = ai + t + it ; it ~ iid(0,2) , e 2 sono parametri (è possibile una generalizzazione se i 2 o it 2 )

Nei panel la dimensione temporale T spesso è molto inferiore a quella individuale N.

L’informazione da modellare: variabilità fra individui (between) e variabilità nel tempo per lo stesso individuo (within). Gli shock di offerta it hanno dimensione i e t.

ait = ai + t + it

Problema: come modellare la TFP? Diverse definizioni di effetto individuale ai

e temporale t implicano diversi modelli.

Effetti individuali ai fissi (N stime):

Il modello panel con effetti fissi stima la TFP (idiosincratica) per ogni individuo.

T

kβ

T

lα

T

ya

T

1t it

T

1t it

T

1t iti

ˆˆˆ

Caso 1: effetto temporale (sistemico) t = 0

Effetti individuali ai random:

Nel modello panel con effetti random la TFP è resa idiosincratica dalla presenza della variabile casuale i (e se

2 = 0?) Se supposta stocastica, la componente

idiosincratica non può essere correlata con lavoro e capitale perché:

yit = a + lit + kit + (it+i)

ai = a + i ; i ~ iid(0,2)

disturbo stocastico composito

L’effetto sistemico misura la TFP comune a tutti gli individui (una stima ad hoc per ognuno degli anni; pochi perchè T basso).

Caso 2: effetto temporale (sistemico) t 0 L’effetto sistemico (macroeconomico) t

colpisce tutti gli individui allo stesso modo. Il panel con effetti fissi temporali e indivi-

duali stima le componenti idiosincratiche e quelle sistemiche della TFP:

N

kβ

N

lα

N

yλ

N

1i it

N

1i it

N

1i itt

ˆˆˆ

Riepilogo: modellazione della produzioneTFP modellataesplicitamente

shock diofferta

causalitàstrutturale

yit = ai + t + it + lit + kit

a + i

TFPidiosincratica

TFPsistemica

it ~ iid(0,2)

T-1 parametri

N-1 parametri

fissa randomi ~ iid(0,

2)

i2 ; it

2

Stimatori sandwich

Ho: tutti = 0Ho:

2 = 0 Modello pooled

Ho: tutti = 0

Modello per dati time-series

yt = at + lt + kt

dove: at = dt + t

Una struttura dinamica generale della TFP la si ottiene definendo :

dt = a0+a t

t = t-1 + t =

1t

0j jtjερ

Le serie storiche misurano fatti macro-economici. L’informazione prevalente è la variabilità temporale (ciclo e trend).

; t ~ iid(0,2)

Gli t-j sono shock macroeconomici di produttività (offerta). at misura la TFP che, nel tempo, cumula la sequenza di tali shock di produttività.

Pertanto, in senso statistico, la TFP è pari a:

1t

0j jtj

0t ερtaaa

t

1t

1j jtj

0t εερtaaa

Due sono le componenti-chiave della TFP: quella deterministica (il trend t) e quella stocastica, governata dal parametro .

Se ||<1 t è un processo AR stazionario, I(0). Questo implica che gli shock di produttività t

esercitano un effetto limitato nel tempo: t = t + t-1 +2 t-2 +3 t-3 +4 t-4 + ... Se ad esempio = 0.6 dopo quattro anni solo 0.64

0.08 dello shock rimane nella memoria della TFP.

Nel lungo periodo emerge solo il trend di produttività a pendenza costante a. La componente stocastica della TFP interagisce solo con gli aspetti ciclici dell’output (produzione).

Questo fatto contrasta con la teoria classica che postula che gli shock tecnologici abbiano un effetto permanente (non transitorio) sull’output.

Se le variabili y, l, k sono I(1), cioè integrate (non stazionarie), esse devono anche essere cointegrate con un trend deterministico di TFP dato che t è I(0)

yt = a0 + a t + lt + kt + t Quando invece =1, allora t è I(1), cioè un

processo AR non stazionario in cui gli shock di produttività hanno memoria permanente:

t = t + t-1 + t-2 + t-3 + t-4 + ...

t

1t

1j jt0t εεtaaa

1t

1j jt01-t ε1)-(taaa

Da cui si ha che at = a + t

Nota: at = log(At) è la variabile approssimata dal tasso di crescita della TFP calibrata da Solow. at si compone di una costante a che misura la crescita media della TFP (trend deterministico) e dagli shock di produttività di ogni periodo, t.

La funzione di produzione è: yt = a0 + a t + lt + kt +

t

1j jε

Il termine di errore è un processo I(1), cioè un trend stocastico.

Pertanto, le variabili di interesse y, l, k se integrate non potranno essere cointegrate

A meno che il trend stocastico di produttività non sia misurato da qualche proxy appropriata.