Schema:! conferisce a " all’epoca # l’importo $ in cambio dell’importo % che " conferirà ad !all’epoca &, con & > #.

t sA ® B A ¬ B

P M

Esempi1. Acquisto oggi (epoca #) un BOT (Buono Ordinario del Tesoro) al prezzo di € 95,817

ed incasserò tra un anno €100.Assumendo l’anno come unità di misura del tempo, l’operazione può scriversi come

( = {(−95,817, #), (100, # + 1)}

2. Presento oggi (epoca #) all’incasso un credito per € 1.000 che maturerà tra 30 giorni. Ricevo dalla controparte € 995.Assumendo il giorno come unità di misura del tempo, l’operazione può scriversi come

( = {(995, #), (−1.000, # + 30)}

Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare

L’operazione finanziaria elementare F = $ # , (%, &) scambia le coppie coppie ($, #) ed (%, &), con & ¹ # ; # ≥ 0, & ≥ 0.

https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495

L’operazione finanziaria elementare (segue)

Ipotesi:

1. Gli importi ! ed " sono espressi nella stessa unità di misura monetaria

2. I soggetti che attuano lo scambio sono razionali:

a) #$, & ≻ #(, & se I1 > I2

b) (#, &$) ≻ #, &( se &$ < &(Criteri di preferenza assoluta

Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare (segue)

Principio di equivalenza finanziaria

«E’ finanziariamente equivalente ricevere [corrispondere] un importoimmediatamente oppure riceverlo [corrisponderli] in un’epoca successivapurché — in questa seconda eventualità — all’importo si aggiunga uninteresse per il differimento della transazione.»

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Schema:

Esempi3. Acquisto oggi (epoca t) un BTP (Buono del Tesoro Poliennale) con scadenza tra tre

anni al prezzo di € 101.25 che paga cedole semestrali in base al tasso annuo del 4%.Assumendo l’anno come unità di misura del tempo, l’operazione può scriversi come

! = { -101,25, ) , 2, ) + 0,5 , 2, ) + 1 , 2, ) + 1,5 , 2, ) + 2 , 2, ) + 2,5 , (102, ) + 3)}4. Acquisto oggi (epoca t) un’auto del valore di € 15.000 e la pago con rate mensili di €

300 per i prossimi 5 anni (numero di rate = 12´5 = 60). Assumendo il mese come unità di misura del tempo, l’operazione può scriversi come

! = { 15.000, ) , −300, ) + 1 , −300, ) + 2 ,… , (−300, ) + 60)}

Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria complessa

L’operazione finanziaria complessa è del tipo F = { 45, )5 , 6 = 1,2, . . , 7;7 > 2}

):4:

);4;

)<4<

)=4=

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L’operazione finanziaria elementare ! = { $, & , ', ( } è detta

di investimento (o impiego)

se, noto $, deve determinarsi '(… se $ rappresenta un’uscita)

& è l’epoca di investimento( è l’epoca di scadenza$ è il capitale impiegato (o investito) all’epoca &' è il montante alla data ( del capitale investito alla data &.

di anticipazione (o sconto, ofinanziamento)se, noto ', deve determinarsi $(… se $ rappresenta un’entrata)

& è l’epoca di anticipazione( è l’epoca di scadenza$ è il valore attuale all’epoca & del-

l’importo ' disponibile all’epoca (' è l’importo disponibile all’epoca (

& ($ ' (incognita)

& ($ '(incognita)

In entrambi i casi, per il principio di equivalenza finanziaria, deve aversi

' ≥ $, ∀ ( ≥ &

Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: investimento e anticipazione

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Esempi

(investimento)

5. A presta a B la somma ! in cambio della restituzione, tra un mese, della somma " > ! (da determinare nell’accordo che intercorre tra A e B).

6. A effettua un versamento di importo ! su un conto corrente bancario e, senza movimentare il conto, preleva a fine anno l’importo " > !.

(anticipazione)

7. A cede all’epoca $ un credito a B di importo " che scade all’epoca % > $ ed ottiene in cambio l’importo ! < ".

Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: esempi di investimento e anticipazione

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nelle operazioni di investimento,interesse (sul capitale investito !) edè indicata come "#,%.

l’interesse "#,% è la somma che fruttal’investimento dell’importo ! tra leepoche & e '

La differenza (non negativa) ( − ! è detta

nelle operazioni di anticipazione,sconto (sul capitale dovuto () ed èindicata come *#,%.

lo sconto *#,% è la somma che fruttal’anticipazione all’epoca & dell’importo( dovuto all’epoca '

Pertanto

Osservazione. Si consideri che per definizione è "#,% = *#,%

Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: interesse e sconto

( − ! = "#,% ⟺ ( = ! + "#,% Il montante dell’importo . è pari alla somma dello stesso importo . e dell’interesse da questo prodotto

( − ! = *#,% ⟺ ! = ( − *#,% Il valore attuale dell’importo / è pari alla differenza tra lo stesso importo / e lo sconto

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Le ipotesi formulate circa il funzionamento del mercato dei capitali ideale (competitività, non frizionalità, assenza di opportunità di arbitraggio) garantiscono che vale la

Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: la legge del prezzo unico

Legge del prezzo unico (Law of one price, LOOP). In condizioni di certezza, attività finanziarie che a scadenza hanno lo stesso valore, devono avere lo stesso prezzo.

Siano infatti !" = $", & , ((, )) e !+ = $+, & , ((, )) (& < )) due operazioni finanziarie che assicurano lo stesso importo ( alla stessa scadenza ). Se fosse (a) $" < $+ ciascun agente comprerebbe !" e venderebbe (allo scoperto) !+, generando un arbitraggio (se fosse (b) $" > $+ si agirebbe specularmente).

(a) . /Compro !" −$" (Vendo !+ +$+ −(Saldo 23−24> 5 5

(b) . /Compro !+ −$+ (Vendo !" +$" −(Saldo 24−23> 5 5

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La legge del prezzo unico implica che esiste una funzione ! che, nota la terna ", # e $, con " ≤ #, individua univocamente &, cioè:

!: $, ", # → & ⟺ & = ! $, ", #Ipotesi sulla funzione ,Assumeremo che la funzione ! sia:• continua su un insieme costituito da opportuni intervalli di definizione delle variabili• derivabile parzialmente rispetto alle tre variabili

Stante il significato finanziario della funzione !, dovrà anche essere

• $ = ! $, ", " , ∀ " ≥ 0; ∀ $• 12

13 > 0 (! crescente al crescere di $)

• 1215 > 0 (! crescente al crescere di #)

• 1216 < 0 (! decrescente al crescere di ")

Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: la funzione valore

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Ipotesi sulla funzione ! (segue)

• Ipotesi di proporzionalità (o indipendenza dall’importo)

" = $ %, ', ( = % ) $(1, ', ()

essendo $(1, ', () la funzione di importo unitario.

Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: la funzione valore

Osservazioni

• Dal punto di vista economico, l’ipotesi di proporzionalità traduce l’assunto che l’utilità marginale del denaro sia costante

• L’ipotesi è realistica nel caso di importi contenuti o di periodi non molto lunghi

• $(1, ', () può interpretarsi come il prezzo all’epoca - di una unità di capitale (per esempio un euro) disponibile all’epoca .

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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: invertibilità della funzione valore

Richiamo (dal Corso di Matematica Generale)

Data la funzione ! = #(%):• continua, e;• strettamente crescente (decrescente) nell’intervallo 'esiste la sua funzione inversa #() che risulta:• continua, e • strettamente crescente (decrescente) nell’intervallo *, con * = #(').

f

f

f -1

f -1

x

y

y = f(x)

x = f -1(y)

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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: invertibilità della funzione valore (segue)

Per ipotesi, la funzione ! è continua e strettamente crescente rispetto all’importo ". Esiste dunque la sua funzione inversa (rispetto a "). Indichiamo tale funzione inversa con #.Pertanto

Valendo l’ipotesi di proporzionalità si ha anche che

$ = ! ", ', ( restituisce l’importo $ disponibile all’epoca ( in cambio dell’importo " disponibile all’epoca '

" = # $, ', ( restituisce l’importo " disponibile all’epoca ' in cambio dell’importo $ disponibile all’epoca (

$ = " ) ! 1, ', ( ⟺ $" = !(1, ', () Per definizione poniamo

. ', ( ≔ !(1, ', ()

" = $ ) # 1, ', ( ⟺ "$ = #(1, ', () Per definizione poniamo

0 ', ( ≔ #(1, ', ()

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!(#, %) può interpretarsi come:1. numero di unità di capitale disponibili all’epoca % in

cambio di una unità di capitale disponibile all’epoca #.2. prezzo all’epoca % di un importo unitario disponibile

all’epoca #.3. fattore di capitalizzazione in quanto fornisce il

montante all’epoca % per ogni unità di capitale 'investito all’epoca #

# s!(#, %)1

# %((#, %) 1

((#, %) può interpretarsi come:1. numero di unità di capitale disponibili all’epoca # in

cambio di una unità di capitale disponibile all’epoca %.2. prezzo all’epoca # di un importo unitario disponibile

all’epoca %.3. fattore di attualizzazione in quanto fornisce il valore

attuale all’epoca # per ogni unità del capitale) dovutoall’epoca %

Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: significato della funzione valore

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Essendo per definizione

!" = $ %, ' ( "

! = ) %, '

segue banalmente:

!" *

"! = $ %, ' * ) %, ' = 1

Dalla quale si ha

$ %, ' = 1) %, '

) %, ' = 1$ %, '

Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: relazione tra $(%, ') e )(%, ')

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8. Investo il 02.03.2018 un capitale di € 100 ed ho in restituzione il 02.08.2018 un capitale di € 102,5.

!"#."%.&% = ("#."%.&% × )(02.03.18, 02.08.18)

102,5 = 100 × )(02.03.18, 02.08.18)

da cui

) 02.03.18, 02.08.18 = 102,5100 = 1,025

Fattore di capitalizzazione

3 = 02.03.18 4 = 02.08.18P = 100 M = 102,5

Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: esempi

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9. Disporrò il 02.12.2018 un importo di € 100 e cedo tale disponibilità in cambio di € 90 che mi vengono corrisposti il 02.10.2018.

!"#.%".%& = ("#.%#.%& × )(02.10.18, 02.12.18)

90 = 100 × )(02.10.18, 02.12.18)

da cui

) 02.10.18, 02.12.18 = 90100 = 0,90

Fattore di attualizzazione

t = 02.10.18 s = 02.12.18

! = 90 ( = 100

Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: esempi

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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: tasso effettivo di interesse periodale

Nelle operazioni di investimento, si è definito l’interesse !",$ come

!",$ = &-' (a)

essendo & il montante all’epoca ( dell’importo ' investito all’epoca ).

Dividendo entrambi i membri della (a) per ' si ottiene

!",$' = & − '

' = &' − 1

Per definizione poniamo

, ), ( ≔ !",$'

Il numero puro ,(), () rappresenta l’interesse prodotto tra le epoche ) ed ( da ogni unità di capitale investito ' e prende il nome di tasso effettivo di interesse

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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: tasso effettivo di sconto periodale

Analogamente, nelle operazioni di anticipazione, si è definito lo sconto !",$ come

!",$ = &-' (b)

essendo & il capitale disponibile all’epoca ( e ' il capitale anticipato all’epoca ).Dividendo entrambi i membri della (b) per & si ottiene

!",$& = & − '

& = 1 − '&

Per definizione poniamo

, ), ( ≔ !",$&

Il numero puro ,(), () è lo sconto corrisposto per ogni unità di capitale &disponibile all’epoca ( e anticipato all’epoca ), e prende il nome di tasso effettivo di sconto

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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: tasso effettivo di sconto periodale

OsservazioneTanto il tasso effettivo di interesse ! ", $ quanto il tasso effettivo di sconto% ", $ appena definiti sono tassi periodali, relativi cioè al periodo di tempo cheintercorre tra le epoche " ed $.

Una notazione più esplicita che sottolinea l’essenza periodale di tali tassi fa usodi un pedice che, assegnata l’unità di misura del tempo, riporta la differenza tra ledue epoche " ed $. Cioè:

!&'( ", $

%&'( ", $

L’utilizzo di tale notazione sarà discusso con maggior dettaglio quando siintrodurranno i tassi effettivi per periodo unitario e si tratterà del problema deitassi equivalenti.

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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: relazioni tra grandezze finanziarie

Definiti il:

• fattore di capitalizzazione !(#, %)• fattore di sconto '(#, %)• tasso effettivo di interesse ((#, %)• tasso effettivo di sconto )(#, %)

è necessario esplicitare le relazioni che intercorrono tra le quattro funzioni finanziarie.

Ciò consentirà di dedurre ciascuna esse da ciascuna delle rimanenti e di approfondire il significato finanziario

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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: relazione tra !(#, %) e '(#, %) e ((#, %)

! #, % = ' #, % − 1 ⟺ ' #, % = 1 + !(#, %)

Dalla definizione di tasso effettivo di interesse segue

! #, % = ./,01 = 2 − 1

1 = 21 − 1 = ' #, % − 1

Pertanto

Ricordando che è anche

' #, % = 1((#, %)

segue, sostituendo

! #, % = 1( #, % − 1 = 1 − ( #, %

( #, %

( #, % = 11 + ! #, %

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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: relazione tra !(#, %) e '(#, %) e ((#, %)

! #, % = 1 − ( #, % ⟺ ( #, % = 1 − !(#, %)

Dalla definizione di tasso effettivo di sconto segue

! #, % = -.,/0 = 0 − 1

0 = 1 − 10 = 1 − ( #, %

Pertanto

Ricordando che è anche

( #, % = 1'(#, %)

segue, sostituendo

! #, % = 1 − 1' #, % = ' #, % − 1

' #, %

' #, % = 11 − ! #, %

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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: relazione tra !(#, %) e '(#, %)

' #, % = ! #, %1 + ! #, %

! #, % = '(#, %)1 − ' #, %

Abbiamo appena dedotto che

' #, % = , -,. /0, -,. (1)

e che

1 #, % = 1 + !(#, %) (2)

Sostituendo la (2) nella (1) segue immediatamente che

Abbiamo anche dedotto che

! #, % = 0/2 -,.2 -,. (3)

e che

3 #, % = 1 − '(#, %) (4)

Sostituendo la (4) nella (3) segue immediatamente che

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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: significato finanziario relazione tra !(#, %) e '(#, %)

Si consideri la catena di uguaglianze

' #, % = !(#, %)1 + !(#, %) = ! #, % + 1

1 + ! #, % = ! #, % + 1, #, % = ! #, % + -(#, %)

L’uguaglianza tra primo e ultimo membro

consente di interpretare finanziariamente

# %'(#, %) !(#, %)

!(#, %)×-(#, %)

' #, % = ! #, % + -(#, %)

il tasso di sconto come valore attuale del tasso di interesse

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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: significato finanziario relazione tra !(#, %) e '(#, %)

Analogamente, si consideri la catena di uguaglianze

! #, % = '(#, %)1 − '(#, %) = ' #, % + 1

1 − ' #, % = ' #, % + 1, #, % = ' #, % + -(#, %)

L’uguaglianza tra primo e ultimo membro

consente di interpretare finanziariamente

# %'(#, %) !(#, %)

'(#, %)×-(#, %)

! #, % = ' #, % + -(#, %)

il tasso di interesse come montante del tasso di sconto

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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: tavola delle relazioni fondamentali

!(#, %) '(#, %) ((#, %) )(#, %)

!(#, %) !(#, %) 1!(#, %) ! #, % − 1 ! #, % − 1

!(#, %)

'(#, %) 1'(#, %) '(#, %) 1 − ' #, %

'(#, %) 1 − ' #, %

((#, %) 1 + ( #, % 11 + ((#, %) ((#, %) ((#, %)

1 + ((#, %)

)(#, %) 11 − )(#, %) 1 − )(#, %) )(#, %)

1 − )(#, %) )(#, %)

QuestefunzioniIn

funzione di queste

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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: esempi

!(#, %) '(#, %) ((#, %) )(#, %)

!(#, %)!(#, %)

1,025

1!(#, %)

..,/01~0,9756…

! #, % − 1

1,025 − 1~0,025

! #, % − 1!(#, %)

1,025 − 11,025 ~0,0244…

QuestefunzioniIn

funzione di queste

Nell’esempio 8 era ! 02.03.18,02.08.18 = ./0,1.// = 1,025

Quindi sarà

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Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: esempi

!(#, %) '(#, %) ((#, %) )(#, %)

'(#, %)

1'(#, %)

10,90 = 1, .1

'(#, %)

0,90

1 − ' #, %'(#, %)

1 − 0,900,90 ~0, .1

1 − ' #, %

1 − 0,90 = 0,1

QuestefunzioniIn

funzione di queste

Nell’esempio 9 era ' 02.10.18,02.12.18 = 45655 = 0,90

Quindi sarà

https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495

Operazioni finanziarie.L’operazione finanziaria elementare: esempi

10.Si deve corrispondere alla scadenza ! l’importo di €1.000. Il tasso effettivo di interesse periodale è del 2,5%. Si determini all’epoca * (con * < !) la somma da anticipare, lo sconto ed il tasso effettivo di sconto dell’operazione.

, = . / 0 *, ! = . / 11 + 2 *, ! =

= 1.000 / 11 + 0,025 = 975,61

67,8 = . − , = 1.000 − 975,61 = 24,39

< *, ! = 67,8. = 24,39

1.000 = 0,02439

* !975,61 1.000

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