L’altezza di un triangolo è il segmento di perpendicolare

condotto da un vertice alla retta cui appartiene il lato opposto.

• CH è l’altezza relativa al lato AB;• BK è l’altezza relativa al lato CA;• AL è l’altezza relativa al lato BC.

Osservando la figura possiamo dire che:

Le tre altezze di ogni triangolo (o i loro prolungamenti) si incontrano in un unico punto, detto ortocentro.

ORTOCENTRO

Il lato, in tal caso, prende il nome di base.

Nel triangolo acutangolo le tre altezze sono interne al triangolo e così anche l’ortocentro è interno al triangolo.

Osserviamo il disegno qui a lato:

• CA è l’altezza relativa al lato AB;• AB è l’altezza relativa al lato CA;• AL è l’altezza relativa al lato BC.

Nel triangolo rettangolo l’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo retto e si trova sul

contorno del triangolo.

Nel triangolo ottusangolo alcune altezze “cadono” fuori. Osserviamo la figura:

• CH è l’altezza relativa al lato AB (prolungato);

• BK è l’altezza relativa al lato CA (prolungato);

• AL è l’altezza relativa al lato BC.

Nel triangolo ottusangolo l’ortocentro è esterno al triangolo.

La mediana relativa a un lato di un triangolo è il segmento checongiunge il punto medio del

lato con il vertice opposto.

• CM è la mediana relativa ad AB; • AN è la mediana relativa a BC; • BR è la mediana relativa al lato AC.

Le tre mediane si incontrano in un unico punto, detto baricentro, che

è sempre interno al triangolo.BARICENTR

O

Osserviamo la figura:

Il baricentro di un triangolo divide ciascuna mediana in due parti, una doppia dell’altra.

AB′ = 2 B′N

BB′ = 2 B′R CB′ = 2 B′M

La bisettrice di un angolo, in un triangolo, è il segmento

di bisettrice compreso tra un vertice e il lato opposto.

Nel triangolo ABC, dove l’incentro è I: IK = IS = IG

Le tre bisettrici si incontrano in un unico punto, detto incentro.

Nel triangolo disegnato a lato i segmenti AG, BS e CK si dicono bisettrici del triangolo.

INCENTROIn qualsiasi triangolo l’incentro

è equidistante dai lati.

L’asse di un triangolo relativo a un lato è la retta perpendicolare

al lato nel suo punto medio.

I tre assi di un triangolo si incontrano in un punto detto circocentro.

asse

• Nei triangoli acutangoli

il circocentro è interno.

• Nei triangoli rettangoli il circocentro è sull’ipotenusa ed è il suo punto medio.

• Nei triangoli ottusangoli il circocentro è esterno.

Disegniamo su un foglio tre triangoli isosceli: uno acutangolo, uno rettangolo, uno ottusangolo.

Sul triangolo equilatero ABC traccia le altezze e le mediane relative ai lati BC e CA. In tal modo puoi dire di aver verificato che ogni altezza è anche ..........................

Ritagliamo i triangoli e pieghiamoli lungo le altezze.In ciascun triangolo le due parti si sovrappongono e quindi sono congruenti.

Abbiamo così verificato che in ogni triangolo isoscele l’altezza relativa alla base AB è anche mediana perché AH = HB, è bisettrice

perché , e appartiene

all’asse della base AB perché è perpendicolare a essa nel suo punto medio H.

mediana A B

C

Particolari elementi di un triangolo

CH è l’altezza relativa ad AB: CH ⊥ AB

CM è la mediana relativa ad AB: AM = MB

CD è la bisettrice dell’angolo :

a è l’asse relativo al lato AB: a ⊥ AB in M

Punti notevoli di un triangolo

• Completa le frasi scegliendo tra i termini punto medio, retta, vertice, retta perpendicolare, segmento di perpendicolare, segmento, uno, due, tre.

L’altezza di un triangolo è il ........................................... condotto da un vertice alla ..................... cui appartiene il lato opposto.

La mediana di un triangolo relativa a un lato è il ................................ che congiunge un ................................ del triangolo con il ................................... del lato opposto.

La bisettrice di un angolo di un triangolo è il segmento di bisettrice che congiunge un ...................... con il lato opposto.

L’asse di un triangolo relativo a un lato è la ...................................... al lato nel suo .................................... .

• Scrivi il nome dei segmenti tracciati in colore nei quattro triangoli disegnati sotto:

retta perpendicolare

punto medio

vertice

segmento

punto mediovertice

segmento di perpendicolare

retta

mediana assebisettrice altezza

• Individua i punti notevoli rappresentati nelle figure.

• Completa le definizioni trovando la corrispondenza corretta tra le colonne A e B.

• Traccia la mediana relativa al lato AB del triangolo acutangolo ABC.

Il baricentro del triangolo è esterno o interno? ..................

A

B

C

interno

c

b

d

a

baricentro ortocentro