LA STRATEGIA DI GIGI

Gigi, studente “modello” del MARTINI, decide di tentare di racimolare qualche soldo per poter fare una vacanza memorabile dopo l'esame di maturita'.

Gli si presenta l'opportunità di partecipare a due iniziative commerciali scegliendo un certo numero di Quote-Lavoro (QL), o parti di esse, per ciascuna delle iniziative.Ogni quota dell'iniziativa 1(I1) richiede un investimento di 1 euro mentre, l'iniziativa 2 (I2) non richiede alcun investimento ma corrisponde al valore di 1 euro.Gigi ha a disposizione 1 euro e una media di 7 ore al giorno di lavoro (pensa di utilizzare il reddito proveniente dall'iniziativa 2 per investire nell'iniziativa 1).La QL della I1 richiede un impegno orario medio di 3 ore al giornoLa QL della I2 richiede un impegno orario medio di 1 ora al giornoGigi pensa di poter ottenere un guadagno di 20 euro a quota da I1 e 10 euro a quota da I2.Il suo obiettivo e', ovviamente, quello di massimizzare il guadagno giornaliero e vuole saper quante QL prendere, di ciascuna iniziativa, per raggiungere il suo obiettivo.

Impegno risorse

risorse iniziativa 1 iniziativa2 disponibilita’ risorse

euro 1 -1 1

ore 3 1 7

guadagno 20 10

Variabili decisionali

x1: numero di quote della I1

x2 : numero di quote della I2

MODELLO MATEMATICO

max z = 20 x1 + 10 x2

vincoli x1 - x2 < 1 vincoli finanziari

3 x1 + x2 < 7 vincoli temporali

x1 > 0 , x2 > 0

MODELLO MATEMATICO

max z = 20 x1 + 10 x2

vincoli x1 - x2 < 1 finanziari

3 x1 + x2 < 7 temporali

x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’

Individuare l’insieme di soluzioni (scelte) ammissibili per i vincoli

non-negativita’

x1 > 0 , x2 > 0

Individuare l’insieme di soluzioni ammissibili per i vincoli

finanziari

x1 - x2 < 1

Posizione limite retta: x1 - x2 = 1

intersezione asse x1 (x2=0) (1 , 0)

intersezione asse x2 (x1=0) (0 , -1)

MODELLO MATEMATICO

max z = 20 x1 + 10 x2

vincoli x1 - x2 < 1 finanziari

3 x1 + x2 < 7 temporali

x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’

quale parte del piano corrisponde a

x1 - x2 < 1 ????

Individuare l’insieme di soluzioni ammissibili per i vincoli

finanziari

x1 - x2 < 1

Facile !

Basta individuare da che

parte sta l’origine O (0,0)

rispetto alla retta: x1 - x2 = 1

MODELLO MATEMATICO

max z = 20 x1 + 10 x2

vincoli x1 - x2 < 1 finanziari

3 x1 + x2 < 7 temporali

x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’

x1=0 e x2=0 soddisfano la

disequazione x1 - x2 < 1 ?

MODELLO MATEMATICO

max z = 20 x1 + 10 x2

vincoli x1 - x2 < 1 finanziari

3 x1 + x2 < 7 temporali

x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’

SI

la parte ammissibile per questo vincolo e quella dalla parte di O.

Individuare l’insieme di soluzioni ammissibili per i vincoli

temporali

3 x1 + x2 < 7

Posizione limite: retta 3 x1 + x2 = 7

intersezione asse x1 (7/3 , 0)

intersezione asse x2 (0 , 7)

MODELLO MATEMATICO

max z = 20 x1 + 10 x2

vincoli x1 - x2 < 1 finanziari

3 x1 + x2 < 7 temporali

x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’

quale parte del piano corrisponde a 3 x1 + x2 < 7 ????

Facile ! Basta individuare da che parte sta l’origine O (0,0) rispetto alla retta: 3 x1 + x2 = 7

Individuare l’insieme di soluzioni ammissibili per i vincoli

temporali

3 x1 + x2 < 7

MODELLO MATEMATICO

max z = 20 x1 + 10 x2

vincoli x1 - x2 < 1 finanziari

3 x1 + x2 < 7 temporali

x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’

x1=0 e x2=0 soddisfano la

disequazione 3 x1 + x2 < 7 ?

MODELLO MATEMATICO

max z = 20 x1 + 10 x2

vincoli x1 - x2 < 1 finanziari

3 x1 + x2 < 7 temporali

x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’

SI

la parte ammissibile per questo vincolo e quella dalla parte di O.

MODELLO MATEMATICO

max z = 20 x1 + 10 x2

vincoli x1 - x2 < 1 finanziari

3 x1 + x2 < 7 temporali

x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’

Determinata la regione (poligono)

di ammissibilita’

(tutte le soluzioni che soddisfano i vincoli),

occorre determinare la soluzione ottima

ovvero quella per cui il valore di

z = 20 x1 + 10 x2

sia il piu grande possibile

Cominciamo con assegnare a z il valore 40

ovvero

z = 20 x1 + 10 x2 = 40

MODELLO MATEMATICO

max z = 20 x1 + 10 x2

vincoli x1 - x2 < 1 finanziari

3 x1 + x2 < 7 temporali

x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’

Tracciamo la retta col solito sistema

MODELLO MATEMATICO

max z = 20 x1 + 10 x2

vincoli x1 - x2 < 1 finanziari

3 x1 + x2 < 7 temporali

x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’

Assegnamo ora a z il valore 60

ovvero

z = 20 x1 + 10 x2 = 60

Tracciamo la retta col solito sistema

MODELLO MATEMATICO

max z = 20 x1 + 10 x2

vincoli x1 - x2 < 1 finanziari

3 x1 + x2 < 7 temporali

x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’

Il valore di z e’ aumentato

Ma puo’ crescere ancora!

Spostando la retta parallelamente

nella direzione della freccia

MODELLO MATEMATICO

max z = 20 x1 + 10 x2

vincoli x1 - x2 < 1 finanziari

3 x1 + x2 < 7 temporali

x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’

L’obiettivo del problema equivale a

spingere la retta della funzione obiettivo

il piu’ possibile nella direzione della

freccia purche’ intersechi la regione

ammissibile

La posizione obiettivo corrisponde alla retta

z = 20 x1 + 10 x2 = 70

ovvero al punto X: ( x1=0 , x2=7)

X( 0 , 7)

LA STRATEGIA DI GIGI

conclusioni

soluzione ottima

x1 = 0

x2 = 7

F. O. ottima

z = 70

numero di Q.L. della I1

numero di Q.L. della I2

Guadagno di GIGI

LA STRATEGIA DI GIGI

non effettuera’ alcuna QL dell’Iniziativa di tipo 1

effettuera’ 7 QL dell’Iniziativa di tipo 2

realizzando un guadagno di 70 euro

MODELLO MATEMATICO

max z = 20 x1 + 10 x2

vincoli x1 - x2 < 1 finanziari

3 x1 + x2 < 7 temporali

x1 > 0 , x2 > 0 non-negativita’

MODELLO MATEMATICO TRASFORMATO

max z = 20 x1 + 10 x2

vincoli

x1 - x2 + x3 = 1

3 x1 + x2 + x4 = 7

x1 > 0 , x2 > 0 , x3 > 0 , x4 > 0

Risoluzione geometrica

Strategia Risolutiva

ALGORITMO

CODICE DI CALCOLO

slack

SITEMA DI 2 EQUAZIONI IN 4 INCOGNITE:

2 si assegnano ad arbitrio (variabili fuori base)

e si ricavano le altre due (variabili in base)

MODELLO MATEMATICO TRASFORMATO

max z = 20 x1 + 10 x2+0x3+0x4

vincoli

x1 - x2 + x3 = 1

3 x1 + x2 + x4 = 7

x1 > 0 , x2 > 0 , x3 > 0 , x4 > 0

Scelta ammissibile:

variabili fuori base ad arbitrio x1 = 0 , x2 = 0

variabili in base calcolate x3 = 1 , x4 = 7

valore corrispondente F.O. z = 0

e’ la soluzione ottima?

Sicuramente NO

Si dimostra che:

Metodo del Simplesso

George Dantzig 1947

Soluzioni di base ammissibili

vertici del poliedro

Identificazione del problema

Formulazione del modello matematico

Tecnica risolutiva-algoritmo

Codice di calcolo-software piattaforma-hardware

Rappresentazione e analisi dei risultati

20

PRODUZIONE OTTIMA IN UN AZIENDA AVICOLA

Indice degli argomenti

Presentazione 2

Introduzione 4

Obbiettivi 5

Fasi di produzione 8

Input/output 13

Definizione dei costi 15

Definizione delle variabili 16

Definizione della funzione obbiettivo 19

Definizione dei vincoli 20

Soluzione ottima 21

Parte I

Indice degli argomenti

Analisi di sensitività in forma descrittiva 27

Analisi di sensitività in forma tabellare 32

Analisi statistica 37

Rappresentazioni grafiche dei risultati 38

Analisi dei risultati 44

Tabella riassuntiva dell’analisi dei risultati 47

Descrizione del software impiegato 48

Parte II

IL LAVORO ALL’INTERNO DELL’AZIENDA SI COMPONE DELLE SEGUENTI FASI:

Introduzione

1. acquisto delle uova e del pollame direttamente dagli allevatori

2. pulizia ed imballaggio delle uova3. lavorazione dei polli4. distribuzione dei prodotti (destinati a

macellerie e supermercati)

L’azienda agricola della signora Mara basa la propria attività sulla vendita all’ingrosso di uova e di pollame

Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.

Obiettivi:

Determinare la campagna ottima di produzione

settimanale

Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.

Campagna ottima di produzione settimanale

• Quante uova• Quali tipi di polli

• Quanti per ogni tipo

Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.

Tenendo presente :

• Le richieste del mercato• La disponibilità degli allevatori• Le ore di lavoro• Profitti ottenibili dalla vendita di ogni

prodotto

Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.

Fasi di produzione:

1. Acquisto di uova e polli

2. Trattamento uova

3. lavorazione polli

4. Distribuzione del prodotto

Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.

Fase 1: ACQUISTO DI UOVA E POLLI

Pollo d’allevamento “Superpesante” Pollo “Golden” Pollo “Livornese”

La sig.ra Mara compra all’inizio della settimana uova e polli di 3 diverse qualità da un certo numero

di allevatori

Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.

Fase 2: TRATTAMENTO UOVA

Test per stabilirne la “freschezza” Pulizia Imballaggio in confezioni plastica in grado

di contenerne 6

Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.

• Macellazione non più di 2 giorni prima della distribuzione

• Costi di mantenimento (mangime + veterinario)

• Conservazione in frigoriferi

Fase 3: lavorazione polli

Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.

Fase 4: DISTRIBUZIONE DEL PRODOTTO

La distribuzione della merce comporta un costo che dipende dalla quantità di uova e

pollame prodotta.

Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.

Input-Output

Polli Polli & &

PolliPollimangime

Polli e uova

Materiale da imballaggio

Manodopera

Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.

Uova

Pollo Golden

Pollo Livornese

Pollo Superpesante

Riassumendo…

8.1003331/2Manodopera

15.0001501501500Mangime

3.5000001/6Imballaggio

40*000Pollo3

650*00Pollo2

8000*0Pollo1

20.000000*Uova

DisponibilitàPollo3Pollo2Pollo1Uova

Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.

Tab. 1 – Dati del problemaTab. 1 – Dati del problema

Relative Relative ad una ad una

settimanasettimana

Relative Relative ad una ad una

settimanasettimana

N° massimo di uova acquistate N° massimo di uova acquistate complessivamente dagli allevatoricomplessivamente dagli allevatori

N° massimo di polli N° massimo di polli

N° contenitori da 6 uovaN° contenitori da 6 uova

g di mangime a disposizioneg di mangime a disposizione

Ore lavorative espresse in minuti Ore lavorative espresse in minuti pari a 135 ore/settimanapari a 135 ore/settimana

Definizione dei costiPolli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.

Prodotto Prezzo di vendita unitario

Costo produzione unitario

Uova € 0.50 € 0.20

Pollo Superpesante € 4.00 € 2.50

Pollo

Golden€ 5.50 € 3.50

Pollo

Livornese€ 4.50 € 3.00

Tab. 2 – Prezzi vendita e costi produzioneTab. 2 – Prezzi vendita e costi produzione

Qual’e' la produzione settimanale

dell’azienda avicola che rende massimo il

Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.

profitto netto totaleprofitto netto totale

Variabili decisionali

Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.

XX11 -> n° uova prodotte -> n° uova prodotte

XX2 2 -> n° polli Superpesante prodotti-> n° polli Superpesante prodotti

XX33 -> n° polli Golden prodotti -> n° polli Golden prodotti

XX4 4 -> n° polli Livornese prodotti-> n° polli Livornese prodotti

Funzione obiettivoPolli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.

Prezzo Prezzo unitariunitari

o di o di venditavendita

Costo Costo unitario unitario

di di produzionproduzion

ee

Margine Margine di di

ContribuzioneContribuzione Unitario Unitario (MCU)(MCU)

Coefficienti della Coefficienti della Funzione Funzione ObiettivoObiettivo

Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.

Max z = Max z = 0.30x0.30x11 + 1.50x + 1.50x22 + 2.00x + 2.00x33 + 1.50x + 1.50x44

Funzione ObiettivoFunzione Obiettivo Profitto netto totaleProfitto netto totale

Definizione dei vincoli

Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.

Vincoli di mercato

Vincoli di produzione

Vincoli di trasporto

I Vincoli di produzione

Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.

1) 1) x1x1 <= 20000 <= 20000

2) 2) x2x2 <= 80 <= 80

3) 3) x3 x3 <= 65<= 65

4) 4) x4 x4 <= 40<= 40

5) (1/6) 5) (1/6) x1x1 <= 3500 <= 3500

6) 150 6) 150 x2x2 + 150 + 150 x3x3 + 150 + 150 x4x4 <= 15000 <= 15000

7) 0.5 7) 0.5 x1x1 + 3 + 3 x2x2 + 3 + 3 x3x3 + 3 + 3 x4 x4 <= 8100 <= 8100

I Vincoli di mercato

Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.

8) 8) x1x1 >= 13000 >= 13000 9) 9) x2x2 >= 20 >= 20

10) 10) x3x3 >= 18 >= 18 11) 11) x4x4 >= 12 >= 12

Vincolo sul trasporto

Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.

12) 12) x2x2 + + x3x3 + + x4x4 <= 100 <= 100

Soluzione ottima:

Polli&Polli s.p.a.Polli&Polli s.p.a.

€ 650.50650.50

VARIABILE VALOREVARIABILE VALORE X1 15600.000000X1 15600.000000 X2 20.000000X2 20.000000 X3 65.000000X3 65.000000 X4 15.000000X4 15.000000

Con Valore:Con Valore:

• Demo Lindo/PC

• Release 6.1(17set01)

• Lindo System, Inc.

• 1415 North Dayton St.

• Chicago, IL 60622

• http://www.lindo.com

• Caratteristiche tecniche

• Dimensioni massime del modello:

• Costanti 150

• Variabili 300

• Variabili intere 50

Descrizione del software

Scopo del lavoro è la pianificazione dell’acquisizione delle materie prime e della produzione per una fabbrica che lavora bentonite e produce lettiere per gatti.

Si presume che nelle successive 4 settimane il costo della lavorazione della bentonite aumenti. Si deve, dunque, lavorare la maggior quantità di materie prime al più presto.

Il problema principale dell’azienda è che ha a disposizione un unico magazzino di 60˙000 m3, nel quale devono essere stoccati sia le materie prime che il prodotto finito.

L’azienda ricava la bentonite e le materie prime necessarie da 4 miniere, ognuna con

caratteristiche differenti:

A Villaspeciosa (bentonite tipologia 1)

B Uras (bentonite tipologia 2)

C Basso Sulcis 1 (urasite)

D Basso Sulcis 2 (silicato di calcio)

L’azienda commercializza sei diversi tipi di lettiera:

1) LindoCat (agglomerante) 2) LindoCat (compatta) 3) SignorGatto (agglomerante) 4) SignorGatto (compatta) 5) GattoRicco (profumata - colorata) 6) Gattuso

Ciascun prodotto (A, B..) necessita di una diversa proporzione di ciascuna materia prima (1, 2,…), secondo percentuali date dalla seguente tabella:

A B C D

1 15 25 40 20

2 25 40 15 20

3 40 20 20 20

4 25 25 25 25

5 5 50 40 5

6 50 5 5 40

Ogni tipo di materia prima e ogni tipo di prodotto hanno un diverso ingombro:

Materia prima

Volume

A 120

B 130

C 200

D 180

Prodotto volume

1 80

2 90

3 105

4 120

5 125

6 100

Volume occupato per unità di materia prima

Volume occupato per unità di prodotto

Tabella costi di lavorazione per unità di materia prima:

Materie prime

I Sett. II Sett. III Sett. IV Sett.

A 18 24 30 41

B 40 50 65 80

C 23 27 34 44

D 12 19 28 39

Materie prime

I Sett. II Sett. III Sett. IV Sett.

A 18 24 30 41

B 40 50 65 80

C 23 27 34 44

D 12 19 28 39

Minima quantità di prodotto vendibile al giorno (tonn.)

Prodotto Quantità

1 11

2 4

3 18

5 7

6 3

7 12

Variabili decisionali

Le variabili decisionali del problema sono:

le quantità di materia prima a_js acquisita ogni settimana (s) (4X4 = 16 variabili);

Le quantità x_is di prodotto i fabbricato nelle 4 settimane (6X4 = 24 variabili);

Funzioni obiettivo

Lo scopo è quello di minimizzare la seguente funzione obiettivo:

min

+ 18 a_1_1 + 40 a_2_1 + 23 a_3_1 + 12 a_4_1

+ 24 a_1_2 + 50 a_2_2 + 27 a_3_2 + 19 a_4_2

+ 30 a_1_3 + 65 a_2_3 + 34 a_3_3 + 28 a_4_3

+ 41 a_1_4 + 80 a_2_4 + 44 a_3_4 + 39 a_4_4

Vincoli di capacità

Il primo vincolo è la capacità del magazzino:Q ≤ 60˙000 m3;

Il secondo insieme di vincoli (4) implica che le quantità restanti in magazzino al termine di ogni settimana non eccedano la capacità del magazzino stesso; Tali quantità sono date dalla differenza tra il materiale entrante e quello uscente;

I materiali entranti ed uscenti si accumulano di settimana in settimana;

I vincoli vanno riferiti all’inizio di ogni settimana e includono la lavorazione del materiale e le rimanenze di magazzino delle settimane precedenti

Materiale entrante: Materie prime acquistate (a_js x Volume

occupato dall’unità di materia prima j)Prodotti fabbricati (x_is x Volume occupato dal

prodotto i.

Materiale uscente:Materia prima trasformata in prodotto

(variabile x per i coefficienti di composizione di ogni prodotto)

+ 120 a_1_1 + 130 a_2_1 + 200 a_3_1 + 180 a_4_1

- Q <= 0 I Sett.- 86.50 x_1_1 - 58.00 x_2_1 - 45.00 x_3_1 - 37.50 x_4_1 - 35.00 x_5_1 - 48.50 x_6_1

+ 120 a_1_1 + 130 a_2_1 + 200 a_3_1 + 180 a_4_1

+ 120 a_1_2 + 130 a_2_2 + 200 a_3_2 + 180 a_4_2

- Q <= 38815

II Sett.

- 86.50 x_1_1 - 58.00 x_2_1 - 45.00 x_3_1 - 37.50 x_4_1 - 35.00 x_5_1 - 48.50 x_6_1

- 86.50 x_1_2 - 58.00 x_2_2 - 45.00 x_3_2 - 37.50 x_4_2 - 35.00 x_5_2 - 48.50 x_6_2

+ 120 a_1_1 + 130 a_2_1 + 200 a_3_1 + 180 a_4_1

+ 120 a_1_2 + 130 a_2_2 + 200 a_3_2 + 180 a_4_2

+ 120 a_1_3 + 130 a_2_3 + 200 a_3_3 + 180 a_4_3

- Q <= 77630

III Sett.

- 86.50 x_1_1 - 58.00 x_2_1 - 45.00 x_3_1 - 37.50 x_4_1 - 35.00 x_5_1 - 48.50 x_6_1

- 86.50 x_1_2 - 58.00 x_2_2 - 45.00 x_3_2 - 37.50 x_4_2 - 35.00 x_5_2 - 48.50 x_6_2

- 86.50 x_1_3 - 58.00 x_2_3 - 45.00 x_3_3 - 37.50 x_4_3 - 35.00 x_5_3 - 48.50 x_6_3

+ 120 a_1_1 + 130 a_2_1 + 200 a_3_1 + 180 a_4_1

+ 120 a_1_2 + 130 a_2_2 + 200 a_3_2 + 180 a_4_2

+ 120 a_1_3 + 130 a_2_3 + 200 a_3_3 + 180 a_4_3

+ 120 a_1_4 + 130 a_2_4 + 200 a_3_4 + 180 a_4_4

- Q <= 116445

IV Sett

Altri vincoli

Un nuovo insieme di vincoli impone che la materia prima lavorata (a) sia sufficiente a realizzare i prodotti finiti (x). Tali vincoli vanno valutati per ogni settimana e per ogni materia prima (16 vincoli totali).

Quantità di bentonite del tipo 1 (A) lavorate per realizzare i prodotti (1,2,..) nelle 4 settimane

+ 0.15 x_1_1 + 0.25 x_2_1 + 0.40 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.50 x_6_1

- a_1_1 <= 0

I Sett.

+ 0.15 x_1_1 + 0.25 x_2_1 + 0.40 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.50 x_6_1

+ 0.15 x_1_2 + 0.25 x_2_2 + 0.40 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.05 x_5_2 + 0.50 x_6_2

- a_1_1 - a_1_2 <= 0

II Sett.

+ 0.15 x_1_1 + 0.25 x_2_1 + 0.40 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.50 x_6_1

+ 0.15 x_1_2 + 0.25 x_2_2 + 0.40 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.05 x_5_2 + 0.50 x_6_2

+ 0.15 x_1_3 + 0.25 x_2_3 + 0.40 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.05 x_5_3 + 0.50 x_6_3

- a_1_1 - a_1_2 - a_1_3 <= 0

III Sett.

+ 0.15 x_1_1 + 0.25 x_2_1 + 0.40 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.50 x_6_1

+ 0.15 x_1_2 + 0.25 x_2_2 + 0.40 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.05 x_5_2 + 0.50 x_6_2

+ 0.15 x_1_3 + 0.25 x_2_3 + 0.40 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.05 x_5_3 + 0.50 x_6_3

+ 0.15 x_1_4 + 0.25 x_2_4 + 0.40 x_3_4 + 0.25 x_4_4 + 0.05 x_5_4 + 0.50 x_6_4

- a_1_1 - a_1_2 - a_1_3 - a_1_4 <= 0

IV Sett

Quantità di bentonite del tipo 2 (B) lavorate per realizzare i prodotti (1,2,..) nelle 4 settimane

+ 0.25 x_1_1 + 0.40 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.50 x_5_1 + 0.05 x_6_1

- a_2_1 <= 0

I Sett.

+ 0.25 x_1_1 + 0.40 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.50 x_5_1 + 0.05 x_6_1

+ 0.25 x_1_2 + 0.40 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.50 x_5_2 + 0.05 x_6_2

- a_2_1 - a_2_2 <= 0

II Sett.

+ 0.25 x_1_1 + 0.40 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.50 x_5_1 + 0.05 x_6_1

+ 0.25 x_1_2 + 0.40 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.50 x_5_2 + 0.05 x_6_2

+ 0.25 x_1_3 + 0.40 x_2_3 + 0.20 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.50 x_5_3 + 0.05 x_6_3

- a_2_1 - a_2_2 - a_2_3 <= 0

III Sett.

+ 0.25 x_1_1 + 0.40 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.50 x_5_1 + 0.05 x_6_1

+ 0.25 x_1_2 + 0.40 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.50 x_5_2 + 0.05 x_6_2

+ 0.25 x_1_3 + 0.40 x_2_3 + 0.20 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.50 x_5_3 + 0.05 x_6_3

+ 0.25 x_1_4 + 0.40 x_2_4 + 0.20 x_3_4 + 0.25 x_4_4 + 0.50 x_5_4 + 0.05 x_6_4

- a_2_1 - a_2_2 - a_2_3 - a_2_4 <= 0

IV Sett

Quantità di Urasite (C) lavorate per realizzare i prodotti (1,2,..) nelle 4 settimane

+ 0.40 x_1_1 + 0.15 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.40 x_5_1 + 0.05 x_6_1

- a_3_1 <= 0

I Sett.

+ 0.40 x_1_1 + 0.15 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.40 x_5_1 + 0.05 x_6_1

+ 0.40 x_1_2 + 0.15 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.40 x_5_2 + 0.05 x_6_2

- a_3_1 - a_3_2 <= 0

II Sett.

+ 0.40 x_1_1 + 0.15 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.40 x_5_1 + 0.05 x_6_1

+ 0.40 x_1_2 + 0.15 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.40 x_5_2 + 0.05 x_6_2

+ 0.40 x_1_3 + 0.15 x_2_3 + 0.20 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.40 x_5_3 + 0.05 x_6_3

- a_3_1 - a_3_2 - a_3_3 <= 0

III Sett.

+ 0.40 x_1_1 + 0.15 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.40 x_5_1 + 0.05 x_6_1

+ 0.40 x_1_2 + 0.15 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.40 x_5_2 + 0.05 x_6_2

+ 0.40 x_1_3 + 0.15 x_2_3 + 0.20 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.40 x_5_3 + 0.05 x_6_3

+ 0.40 x_1_4 + 0.15 x_2_4 + 0.20 x_3_4 + 0.25 x_4_4 + 0.40 x_5_4 + 0.05 x_6_4

- a_3_1 - a_3_2 - a_3_3 - a_3_4 <= 0

IV Sett

Quantità di Silicato di calcio (D) lavorate per realizzare i prodotti (1,2,..) nelle 4 settimane

+ 0.20 x_1_1 + 0.20 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.40 x_6_1

- a_4_1 <= 0

I Sett.

+ 0.20 x_1_1 + 0.20 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.40 x_6_1

+ 0.20 x_1_2 + 0.20 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.05 x_5_2 + 0.40 x_6_2

- a_4_1 - a_4_2 <= 0

II Sett.

+ 0.20 x_1_1 + 0.20 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.40 x_6_1

+ 0.20 x_1_2 + 0.20 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.05 x_5_2 + 0.40 x_6_2

+ 0.20 x_1_3 + 0.20 x_2_3 + 0.20 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.05 x_5_3 + 0.40 x_6_3

- a_4_1 - a_4_2 - a_4_3 <= 0

III Sett.

+ 0.20 x_1_1 + 0.20 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.40 x_6_1

+ 0.20 x_1_2 + 0.20 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.05 x_5_2 + 0.40 x_6_2

+ 0.20 x_1_3 + 0.20 x_2_3 + 0.20 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.05 x_5_3 + 0.40 x_6_3

+ 0.20 x_1_4 + 0.20 x_2_4 + 0.20 x_3_4 + 0.25 x_4_4 + 0.05 x_5_4 + 0.40 x_6_4

- a_4_1 - a_4_2 - a_4_3 - a_4_4 <= 0

IV Sett

L’ultimo insieme di vincoli impone che le quantità di prodotti fabbricati siano sufficienti a soddisfare la domanda del mercato; va valutato per ogni prodotto e per ogni settimana (24 vincoli totali).

+ x_1_1 >= 77 + x_1_1 + x_1_2 >= 154 + x_1_1 + x_1_2 + x_1_3 >= 231 + x_1_1 + x_1_2 + x_1_3 + x_1_4 >= 308 + x_2_1 >= 28 + x_2_1 + x_2_2 >= 56 + x_2_1 + x_2_2 + x_2_3 >= 84 + x_2_1 + x_2_2 + x_2_3 + x_2_4 >= 112 + x_3_1 >= 126 + x_3_1 + x_3_2 >= 252 + x_3_1 + x_3_2 + x_3_3 >= 378 + x_3_1 + x_3_2 + x_3_3 + x_3_4 >= 504 + x_4_1 >= 49 + x_4_1 + x_4_2 >= 98 + x_4_1 + x_4_2 + x_4_3 >= 147 + x_4_1 + x_4_2 + x_4_3 + x_4_4 >= 196 + x_5_1 >= 21 + x_5_1 + x_5_2 >= 42 + x_5_1 + x_5_2 + x_5_3 >= 63 + x_5_1 + x_5_2 + x_5_3 + x_5_4 >= 84 + x_6_1 >= 84 + x_6_1 + x_6_2 >= 168 + x_6_1 + x_6_2 + x_6_3 >= 252 + x_6_1 + x_6_2 + x_6_3 + x_6_4 >= 336

Risultati della ricerca I dati sono stati inseriti nel programma “Lindo” e sono stati

ottenuti i seguenti risultati:

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 53269.12

VARIABLE VALUE REDUCED COSTA_1_1 124.776123 0.000000A_2_1 83.476875 0.000000A_3_1 86.453003 0.000000A_4_1 93.801498 0.000000A_1_2 124.523331 0.000000A_2_2 83.055557 0.000000A_3_2 85.778885 0.000000A_4_2 93.464447 0.000000A_1_3 123.450539 0.000000A_2_3 89.306190 0.000000A_3_3 82.918106 0.000000A_4_3 92.034058 0.000000A_1_4 124.250000 0.000000A_2_4 74.561371 0.000000A_3_4 85.050003 0.000000A_4_4 93.099998 0.000000

Fasi di lavorazione

  •1)Controllo di qualità in ingresso e acquisto dei cereali

•2)Trattamento

•3)Macinazione

•4)Controllo di qualità in uscita

•5)Insacchettamento •6)Distribuzione

Fase 1Controllo di qualità in ingresso e

acquisto dei cereali

Lo scopo è misurare la percentuale di:

•umidità •radioattività •corpi estraneie rilevare la presenza di: •fattori di contaminazione -fattori microbiologici -fattori macrobiologici -fattori chimici

Fase 2 Trattamento

Questa fase è a sua volta suddivisa in 4 sottofasi:

•prepulitura

•pulitura

•umidificazione

•riposo

Fase 3Macinazione

Questa fase è a sua volta suddivisa in 2 sottofasi:

•spazzolatura

•macinazione

Fase 4Controllo di qualità in uscita

Si eseguono 2 controlli:

•omogeneità del colore

•omogeneità delle dimensioni

Fase 5Insacchettamento

Vengono utilizzati dei sacchi da 50 Kg con carta Kraft a triplo strato utilizzata per prodotti alimentari

Fase 6Distribuzione

I sacchi vengono stoccati in appositi container tramite l’utilizzo di elevatori

mobili e ,successivamente,trasportati nei centri di lavorazione o vendita

Obiettivi

L’obiettivo è : determinare la produzione ottima dei vari prodotti

derivanti dalla macinazione dei cereali alla quale corrisponde un

profitto massimo.

Definizione dei Costi

Al massimo profitto lordo giornaliero verranno detratte le seguenti spese:•Irap £ 150000•Ici £ 21000 •Irpeg £ 395000 •Energia elettrica £ 220000•Acqua £ 15000 •Acquisto sacchi £ 220000•Trasporto £ 310000•Manutenzione £ 50000 •Costo del personale £1250000 •Ammortamenti £ 280000•Altri costi £ 50000

Tipi di farina o semola

Prezzo di acquisto (lire/Kg)

Prezzo di vendita (lire/Kg)

Profitto(lire)

Profitto(euro)

Semola grossa

290 350 60 0.03

Semola per pasta

290 550 260 0.13

Farina 00 270 510 240 0.12Farina per mangimi (orzo)

230 330 100 0.05

Farina polenta

250 550 300 0.15

Farina per mangimi (mais)

250 286 36 0.02

Definizione delle variabiliLe variabili che prenderemo in

considerazione sono i prodotti in uscita dalla macinazione dei diversi

tipi di cerealiChiamiamo: x1-semola per pane x2-semola per pasta x3-farina 00 x4-farina per mangimi(orzo) x5-farina per polenta x6-farina per mangimi (mais)

Definizione dei vincoliVincoli di Produzione

2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + x5 + x6 <= 28800

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 <=20000

x1<=2000

x2<=6000

x3<=6000

x4<=1000

x5<=2000

x6<=1000

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 >= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 >= 1200012000

x1>=1500 x1>=1500

x2>=4500 x2>=4500

x3>=5000 x3>=5000

x4>=500 x4>=500

x5>=1000 x5>=1000

x6>=500x6>=500

Vincoli di mercato

Definizione della Funzione Obiettivo

Max 60 x1 + 260 x2 + 240 x3 + 100 x4 + 300 x5 + 36 x6

Soluzione Ottima

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3492000. VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1500.000000 0.000000 X2 5900.000000 0.000000 X3 5000.000000 0.000000 X4 500.000000 0.000000 X5 2000.000000 0.000000 X6 500.000000 0.000000

Tramite l’analisi di sensitività possiamo analizzare come varia la soluzione ottima al variare di

alcune condizioni:

•Variazione nel vettore dei costi

•Variazione nei termini noti

•Variazione nella matrice dei vincoli

•Aggiunta di una variabile

•Aggiunta di un vincolo

Variazione nel vettore dei costi

Nel nostro caso i costi non possono essere modificati perché imposti dal

mercato perfettamente concorrenziale.

Aggiunta di una variabile (attività)

Nel seguente caso ,il mulino, oltre ai 6 tipi di cereali già visti macina anche

semi di soia.

Tipo di farina o semola

Prezzo di acquisto

(lire/Kg)

Prezzo di vendita

(lire/Kg)

Profitto

(lire/Kg)

Farina di soia

170 520 350

Conclusioni• In definitiva si può dire che se fosse sempre possibile

produrre la quantità ottima, con un l'utile giornaliero definito, l’azienda realizzerebbe un interessante risultato economico; ciò anche in considerazione del volume di lavoro e delle dimensioni del mulino che sono relativamente piccole, tenuto conto che esistono mulini che riescono a macinare fino a 100000 Kg al giorno.

• Tuttavia l’azienda deve adattarsi alle esigenze del mercato che, come abbiamo visto, variano a seconda del periodo, allontanandosi, talvolta anche di molto, dal realizzare il massimo profitto.

Le variazioni sulla quantità minima di derivati da produrre e sulla disponibilità di sacchi si sono rivelate ininfluenti sul profitto aziendale, purché i valori considerati siano sempre, rispettivamente, al di sotto e al di sopra della quantità ottimale.

La strada migliore per aumentare il profitto resta quella di aumentare le ore lavorative, portandole a nove: il profitto arriva così a ad un incremento del 9%. Lavorando dieci ore al giorno l’incremento di profitto rispetto al caso precedente non è sufficiente a far fronte alle aumentate spese per il personale, l’energia, l’acqua, l’assicurazione ecc. Lavorando undici ore il profitto resta addirittura invariato; dunque risulta economicamente vantaggioso lavorare al massimo nove ore al giorno.

Ai fini dell’ottimizzazione del profitto anche l’introduzione della produzione di un cereale “pregiato” come la soia ha portato dei buoni risultati aumentando l’utile netto di un 2.6% circa. C’è da dire, tuttavia, che la soia non ha un mercato come quello degli altri cereali: i suoi campi di utilizzo sono molto limitati e, per così dire, le “fette di mercato” sono già attribuite a pochi e grossi produttori. Pertanto la sua introduzione risulta possibile solo in momenti di forte richiesta.

Resterebbe, infine, da analizzare la variazione simultanea dei casi presenti nell’analisi di sensitività per vedere i suoi effetti sulla

produzione ottima.