Post on 01-May-2015
Introduzione all’algebra lineare
Marco Casarotti(Università di Padova)
Paolo Bouquet(Università di Trento)
Algebra lineare
Definizione di Matrice:
Tabella di numeri – detti coefficienti – disposti in righe e colonne:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
indici
Esempi:
11 12
21 22
b bB
b b
11 12
21 22
a aA
a a
3
13
11 1
1
n
m mn
a a
a a
m
n
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
4 14 1 3 6
6 2 1 74 3
67 32 1 3 99
3 76
55 32
4 3
56 1
Matrici quadrate
Matrici quadrate:
Il numero di righe è uguale al numero di colonne: A m x m
m è chiamato ordine della matrice
Esempio di matrice
avente ordine 4
23 9 79 5
2 10 1 66
54 1 43 32
6 121 1000 5
Definizioni
Diagonale principale:
Insieme dei coefficienti con indice (i, i) con 1 ≤ i ≤ m
23 9 79 5
2 10 1 66
54 1 43 32
6 121 10 5
Definizioni
Diagonale secondaria:
Insieme dei coefficienti con indice (i, m-i+1) con 1 ≤ i ≤ m 23 9 79 5
2 10 1 66
54 1 43 32
6 121 10 5
Definizioni
Matrici diagonali:
Sono matrici quadrate i cui coefficienti NON diagonali sono uguali a 0.
Esempi:
1 0
0 2
3 0 0
0 3 0
0 0 43
3 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 2
Definizioni
Matrici scalari: matrici diagonali in cui tutti i coefficienti sono tra loro uguali
5 0 0 0
0 5 0 0
0 0 5 0
0 0 0 5
Vettori
Matrice 1xn: vettore riga ( )
Matrice mx1: vettore colonna ( u )
12 3 121Tv 12
3
121
u
Tv
Prodotto scalare
Prodotto scalare: data una matrice A ed uno scalare α,si definisce prodotto scalare la matrice αA tale che:
mn
A a
2 4 2
2 6 5
8 4 8
A
3
2*3 4*3 2*3
2*3 6*3 5*3
8*3 4*3 8*3
A
Definizioni
Si definisce –A, la matrice OPPOSTA di A:
Proprietà del prodotto scalare:• 1A=A• 0A=0• (xy)A=x(yA)
mnA a
Somma di matrici (per componenti)Date due matrici A e B delle medesime
dimensioni, si definisce come loro somma la matrice A+B tale che:
La somma di matrici aventi diverse dimensioni NON è definita.
( )mn mn mna b a b
1 12 4
2 3 3
9 6 9
4 1 1
6 3 2
2 4 8
1 4 12 1 4 1
2 6 3 3 3 2
9 2 6 4 9 8
A
B
A B
Prodotto per componenti
Date due matrici A e B delle medesime dimensioni, si definisce come loro prodotto per componenti la matrice C tale che:
( ) *mn mn mnc a b
1 12 4
2 3 3
9 6 9
4 1 1
6 3 2
2 4 8
1*4 12*1 4*1
.* 2*6 3*3 3*2
9*2 6*4 9*8
A
B
A B
Prodotto di un vettore riga per un vettore colonna
Dati un vettore riga ed un vettore colonna u con lo stesso numero di elementi, ovvero rispettivamente 1xn e nx1, si definisce prodotto riga per colonna il valore (o matrice 1x1):
1 1 ...Tn nv u v u v u
Tv
Esempio di prodotto riga
1 2 3 4
3
5
7
1
1*3 2*5 3*7 4*1
T
T
v
u
v u
Prodotto di matrici righe per colonneSiano A e B due matrici tali che il numero di
colonne di A sia uguale al numero di righe di B. Definiamo il prodotto di A e B righe per colonne come la matrice C ottenuta eseguendo il prodotto di vettore riga per vettore colonna tra tutte le righe di A e tutte le colonne di B. La matrice C avrà lo stesso numero di righe di A e lo stesso numero di colonne di B.
11
4 3 11 2 3 4
5 9 75 6 7 8 *
7 4 59 10 11 12
8 9 1
4
51 2 3 4 *
7
8
a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
21
4 3 11 2 3 4
5 9 75 6 7 8 *
7 4 59 10 11 12
8 9 1
4
55 6 7 8 *
7
8
a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
21
4 3 11 2 3 4
5 9 75 6 7 8 *
7 4 59 10 11 12
8 9 1
4
59 10 11 12 *
7
8
a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
12
4 3 11 2 3 4
5 9 75 6 7 8 *
7 4 59 10 11 12
8 9 1
3
91 2 3 4 *
4
9
a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
22
4 3 11 2 3 4
5 9 75 6 7 8 *
7 4 59 10 11 12
8 9 1
3
95 6 7 8 *
4
9
a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
32
4 3 11 2 3 4
5 9 75 6 7 8 *
7 4 59 10 11 12
8 9 1
3
99 10 11 12 *
4
9
a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
Prodotto di un vettore colonna per un vettore riga
Il prodotto di un vettore colonna u per un vettore riga è una matrice C ottenuta calcolando il prodotto per componenti di una matrice A avente tante colonne, tutte uguali ad u, quante sono le righe di e di una matrice B avente tante righe, tutte uguali ad quante sono le righe di u.
Tv
Tv
Tv
Esempio di prodotto di vettore colonna per vettore riga
1
2
3
u
6 7 8 9T
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
6 7 8 9
6 7 8 9
6 7 8 9
1*6 1*7 1*8 1*9
2*6 2*7 2*8 2*9
3*6 3*7 3*8 3*9
.* =
11 12 13 14
21 22 23 24
w w w w
w w w w
11 12
21 22
31 32
m m
m m
m m
1 2 3 4x x x x
1 2h h
1 2 3y y y
Esempio rete neurale con due insiemi di pesi
Y
W
M
H
X
11 12 13 14
21 22 23 24
w w w w
w w w w
11 12
21 22
31 32
m m
m m
m m
1 2 3 4x x x x
1 2h h
1 2 3y y y
*
*