IL TEOREMA DI PITAGORA GENERALIZZATO

A.Martini

Consideriamo un triangolo scaleno

Consideriamo un triangolo scaleno

Consideriamo un triangolo scaleno

A B

C

b a

cH

Adesso scomodiamo la matematica per fare una serie di

operazioni su questo triangolo

scaleno

Non chiedertene il motivo.

Lo so che sembrano

operazioni inutili o comunque gratuite

Ne capirai il significato solo alla

fine della dimostrazione.

Abbi pazienza: è così che si procede

di solito.

Io non ti spiegherò ogni singolo

passaggio: per esercizio cerca di capirlo da solo,

i passaggi che non comprendi

segnateli sul quaderno delle domande e poi

chiedi spiegazione al prof.

A B

C

b a

cH

A B

C

b a

cH

AB =AH + HB

A B

C

b a

cH

AB =AH + HB

AH = b cos

A B

C

b a

cH

AB =AH + HB

AH = b cos

HB = a cos

A B

C

b a

cH

AB =AH + HB

AH = b cos

HB = a cos AB = c

A B

C

b a

cH

c = b cos + a cos

AH = b cos

HB = a cos AB = c

AB =AH + HB

A B

C

b a

cH

c = b cos + a cos

A B

C

a

cH

c = b cos + a cos

bE’ possibile, come ci insegna la trigonometria, passare da questa ad altre formule corrette sostituendo ad

ogni lettera quella corrispondente successiva, seguendo una rotazione in

senso antiorario (o orario).

A B

C

a

cH

c = b cos + a cos

b

a =

A B

C

a

cH

c = b cos + a cos

b

a = c

A B

C

a

cH

c = b cos + a cos

b

a = c cos

A B

C

a

cH

c = b cos + a cos

b

a = c cos + b

A B

C

a

cH

c = b cos + a cos

b

a = c cos + b cos

A B

C

a

cH

c = b cos + a cos

b

a = c cos + b cos

b = a cos + c cos

A B

C

a

cH

c = b cos + a cos

b

a = c cos + b cos b = a cos + c cos

A B

C

a

cH

c = b cos + a cos

b

a = c cos + b cos b = a cos + c cos

moltiplichiamo ambo i membri per:

c-ab

A B

C

a

cH

c2 = bc cos + ac cos

b

a = c cos + b cos b = a cos + c cos

moltiplichiamo ambo i membri per:

c-ab

A B

C

a

cH

c2 = bc cos + ac cos

b

-a2 = -ac cos - ab cos b = a cos + c cos

moltiplichiamo ambo i membri per:

c-ab

A B

C

a

cH

c2 = bc cos + ac cos

b

-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos

moltiplichiamo ambo i membri per:

c-ab

A B

C

a

cH

c2 = bc cos + ac cos

b

-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos

sommiamomembro a membro:

A B

C

a

cH

c2 = bc cos + ac cos

b

-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos

sommiamomembro a membro:

c2 -a2 + b2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos

A B

C

a

cH

c2 = bc cos + ac cos

b

-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos

sommiamomembro a membro:

c2 -a2 + b2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos

A B

C

a

cH

c2 = bc cos + ac cos

b

-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos

semplifichiamo:

c2 -a2 + b2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos

A B

C

a

cH

c2 = bc cos + ac cos

b

-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos

semplifichiamo:

c2 -a2 + b2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos

c2 -a2 + b2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos

A B

C

a

cH

c2 = bc cos + ac cos

b

-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos

semplifichiamo:

c2 -a2 + b2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos

A B

C

a

cH

c2 = bc cos + ac cos

b

-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos

semplifichiamo:

c2 -a2 + b2 = bc cos + accos -ac cos -ab cos ab cos + bc cos

A B

C

a

cH

c2 = bc cos + ac cos

b

-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos

semplifichiamo:

A B

C

a

cH

c2 = bc cos + ac cos

b

-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos

semplifichiamo:

c2 -a2 + b2 = bc cos + bc cos

c2 -a2 + b2 = bc cos + bc cos = 2bc cos

A B

C

a

cH

c2 = bc cos + ac cos

b

-a2 = -ac cos - ab cos b2 = ab cos + bc cos

semplifichiamo:

c2 -a2 + b2 = 2bc cos

A B

C

a

cH

b

c2 -a2 + b2 = 2bc cos

A B

C

a

cH

b

-a2 = - b2 - c2 + 2bc cos

c2 -a2 + b2 = 2bc cos

A B

C

a

cH

b

-a2 = - b2 - c2 + 2bc cos

a2 = b2 + c2 - 2bc cos

A B

C

a

H

b

a2 = b2 + c2 - 2bc cos

c

A B

C

a

H

b

a2 = b2 + c2 - 2bc cos

c

A B

C

a

H

b

a2 = b2 + c2 - 2bc cos

c

A B

C

a

cH

b

a2 = b2 + c2 - 2bc cos

A B

C

a

cH

b

a2 = b2 + c2 - 2bc cos

A B

C

a

cH

b

a2 = b2 + c2 - 2bc cos

A B

C

a

cH

b

a2 = b2 + c2 - 2bc cos

Teorema di Pitagora generalizzato:

Il quadrato costruito su un lato di un triangolo scaleno è uguale alla somma dei quadrati costruiti su gli altri due lati, meno il doppio prodotto di questi per il coseno dell’angolo fra essi compreso.

La SOMMA DI DUE VETTORI

con il teorema di Pitagora generalizzato

Adesso applichiamo

questo teoria matematico ad un

caso particolarmente

utile:

Consideriamo due vettori qualsiasi e

sommiamoli graficamente,

come sappiamo già fare.

m

n

m

n

m

n

m

n V

m

n Vh

m

n Vh

m

n Vhh

m

n Vhhn

m

n Vhhn

Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo

m

n Vhhn

Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo

V2 = m2 + n2 - 2mn cos

m

n Vhhn

Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo

V2 = m2 + n2 - 2mn cos poiché è:

m

n Vhhn

Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo

V2 = m2 + n2 - 2mn cos poiché è:

si ha: coscos

m

n Vhhn

Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo

V2 = m2 + n2 + 2mn cos poiché è:

si ha: coscos

m

n V

Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo

V2 = m2 + n2 + 2mn cos

Come vedi, si può calcolare

l’intensità del vettore risultante

tra due vettori senza fare disegni

conoscendol’intensità dei due

vettori e l’angolo fra essi

compreso

m

n V

Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato al triangolo giallo

V = m2 + n2 + 2mn cos

Determiniamo la direzione di V

V2 = m2 + n2 + 2mn cos

m

n Vhhn

Determiniamo la direzione di V

V2 = m2 + n2 + 2mn cos

m

n Vhhn

h = n sen

Determiniamo la direzione di V

V2 = m2 + n2 + 2mn cos

m

n Vhhn

h = n sen h = V sen

Determiniamo la direzione di V

V2 = m2 + n2 + 2mn cos

m

n Vhhn

h = n sen h = V sen

n sen = V sen

Determiniamo la direzione di V

V2 = m2 + n2 + 2mn cos

m

n Vhhn

h = n sen h = V sen

n sen = V sen

sen = (n/V) sen

Come vedi, si può determinare la direzione del

vettore risultante, calcolando l’angolo fra la sua direzione e quella di uno dei

due vettori componenti

Come vedi, si può determinare la direzione del

vettore risultante, calcolando l’angolo fra la sua direzione e quella di uno dei

due vettori componenti

m

n V

sen = (n/V) sen

Esercizio

Esperienze

Teoria:la reazione vincolare

La 1^ condizione di equilibrio

Come pesare un carrello “senza” bilancia

ESERCIZIO

70° S1=46m

S2=30m

70° S1=46m

S2=30m

Il nostro amico sa che in uno di questi sacchi c’è un tesoro, mentre negli altri ci sono solamente serpenti. Sa anche che per raggiungere il sacco potrebbe avanzare per 46 metri nella direzione rossa e poi per 30 metri in quella blu, che forma con la rossa un angolo di 70°.

Però può raggiungere il sacco con il tesoro procedendo in una sola direzione e non fermandosi mai se non per raccogliere il sacco.

Sapresti indicargli che cosa fare?

70° S1=46m

S2=30m

Ti suggerisco solo la risposta perché

tu possa controllare se hai

fatto bene.

Procedi per 59,1 m in direzione 28,5° rispetto alla direzione rossa

fine