Il sestante e la trigonometria

Liceo scientifico di Carsoli

Docente: Grazia Cotroni classe IV A

Problema

Se vogliamo conoscere l’altezza di un lampione, di un albero o della nostra casa o della nostra scuola senza poterla misurare direttamente, come facciamo?

Un semplice sestante «su terra ferma»

Come si costruisce

Materiale utilizzato:

• Un goniometro

• Un filo

• Un pesetto

• Un’asta dritta

COME SI COSTRUISCE

ProcedimentoPer costruire un sestante con materiale povero,

1) Abbiamo preso un’asta dritta e abbiamo posizionato al centro di essa un goniometro, in modo da formare da una parte un angolo di 180° e dall’altra un angolo di 0°

2) abbiamo preso un filo, lo abbiamo inserito nel buchino del goniometro e abbiamo posto all’estremità del filo un pesetto. (come nelle figure)

Come si usa?

• Si poggia il sestante su un treppiedi ad un’altezza nota,

• si mira verso l’estremità dell’oggetto di cui si vuole misurare l’altezza,

• quando il pesetto smette di oscillare si guarda l’angolo indicato dal filo sul goniometro, prendendo 90° come zero.

La matematica che c’è dietro

2° teorema sui triangoli rettangoli:

In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto tra l’altro cateto e la tangente dell’angolo opposto al cateto di partenza oppure uguale al prodotto tra l’altro cateto e la cotangente dell’angolo adiacente all’angolo di partenza.

In formule

𝑎 = 𝑐 ∙ 𝑡𝑔𝛼

oppure

𝑎 = 𝑐 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝛽

Un esempio di utilizzoMisuriamo l’altezza della nostra scuola

Ogni ragazzo calcola con il proprio sestante l’angolo per misurare l’altezza della scuola

misure dell'angolo

28 media

38 31,75

37

34

30

24

28

45

29

29

29

30

ℎ = ℎ0 + 𝑑𝑡𝑔𝛼 = 1.38 𝑚 + 13,88 ∙ 𝑡𝑔 31,75 = 9,96 𝑚

E se siamo su una nave?

In questo caso il nostro sestante non funziona!

A bordo di una nave, anche con il mare più calmo, gli strumenti terrestri per la misura della posizione di un astro in cielo funzionano male, perché non c'è nulla di veramente stabile da usare come riferimento, filo a piombo e livella oscillano continuamente attorno ad un'irraggiungibile posizione di equilibrio.

E se siamo su una nave in mare aperto di notte?

Durante la notte le stelle si muovono tutte in senso antiorario (verso considerato positivo per gli angoli) eccetto la stella polare.

(o la Croce del Sud nell’altro emisfero).

Perchè?

Come troviamo il nord guardando le stelle?

Ma conoscere il nord non basta. Perché?

Non basta guardare la stella polare o seguire una bussola, perché i venti e le correnti possono farci cambiare rotta senza che noi ce ne accorgiamo.

Quindi cosa occorre?

L'unico riferimento stabile è l'orizzonte marino che viene utilizzato dal sestante. Esso rappresenta il punto di arrivo dell'evoluzione degli strumenti utilizzati in mare.

Lo strumento permette di misurare l'angolo di cui deve essere ruotato uno specchio mobile affinché la luce proveniente dall'astro risulti, dopo una doppia riflessione, tangente all'orizzonte marino. In pratica basta puntare il mare in lontananza, là dove sembra toccare il cielo e, ruotando la parte mobile dello strumento, portare sull'orizzonte la stella o il disco solare o lunare.

Video sul sestante nautico

Perché si chiama «sestante»

La scala di un sestante è di 60°, pari ad 1/6 di circonferenza; è da qui che deriva il suo nome.

un App per il nostro cellulare…

Grazie a Smart Measure potremo utilizzare la fotocamera dei nostri dispositivi Android per calcolare la distanza di un determinato oggetto e, fatto ciò, anche la sua altezza! Il programma è disponibile sia in versione free che a pagamento. La versione gratuita permetterà di misurare solo l’altezza e la distanza dell’oggetto che stiamo inquadrando con la fotocamera.

Un’altra per iphone

Un’applicazione simile solo che per iphone è Easy measure

Le triangolazioni

Per determinare la posizione dei nostri cellulari si usa un procedimento simile

Alla fine di questa attivitàI ragazzi coinvolti scrivono:

• «Prima della realizzazione e dell’introduzione di tale strumento, nessuno nella mia classe era consapevole del fatto che ,utilizzando soltanto un’asta, un goniometro, un filo e un pesetto, si potesse realizzare uno strumento che in modo così semplice possa permetterci la misurazione di altezze elevate.»

• È stato un metodo molto utile per riuscire a vedere la matematica da un’altra prospettiva più vivace e non solo come una materia del tutto teorica

• Questo esperimento di costruzione e di utilizzo di un sestante artigianale ci dà un esempio di uso pratico della matematica e quindi ci permette di dare una risposta concreta alla fatidica domanda «a cosa serve la matematica?». Nel caso del sestante nonostante sia un’invenzione di secoli fa rimane tutt’oggi uno strumento di grande utilità perché permette di fare calcoli e misurazioni senza l’uso di elettricità e strumenti tecnologici

• Prima della realizzazione e dell’introduzione di tale strumento, nessuno nella mia classe era consapevole del fatto che, utilizzando soltanto un’asta, un goniometrico un filo e un pesetto, si potesse utilizzare uno strumento che in modo così semplice possa permetterci la misurazione di altezze elevate.

• Questo esperimento è stato molto utile e ci ha permesso di tornare indietro nel tempo dove con un clic non potevi ricevere una risposta a tutto, questo ci ha spinto a ragionare.