Il Laboratorio di Matematica ( non-solo-computer )

Mariolina Bartolini Bussi

Laboratorio delle Macchine MatematicheUniversità di Modena e Reggio Emilia

bartolini@unimore.it - http://www.mmlab.unimore.it

Fino dall’antichità gli strumenti sono stati parte dell’attività matematica

Fino dall’antichità gli strumenti sono stati parte dell’attività matematica

Fino dall’antichità gli strumenti sono stati parte dell’attività matematica

Eratostene Nicomede

Fino dall’antichità gli strumenti sono stati parte dell’attività matematica

Descartes Newton

Fino dall’antichità gli strumenti sono stati parte dell’attività matematica

Collezioni degli istitutimatematici

Laboratorio di Matematica(dal Curricolo Matematica 2003 – dell’UMI – CIIM)Il laboratorio di matematica non costituisce un nucleo di contenuto né uno di processo, ma si presenta come una serie di indicazioni metodologiche trasversali, basate certamentesull’uso di strumenti, tecnologici e non, ma principalmente finalizzate alla costruzione di significati matematici.

Oggi

Che cos’è il laboratorio di matematicaIl laboratorio di matematica non è (necessariamente)un luogo fisico diverso dalla classe, è piuttosto un insieme strutturato di attività volte alla costruzione di significati degli oggetti matematici.Il laboratorio, quindi, coinvolge persone (studenti e insegnanti), strutture (aule, strumenti, organizzazione degli spazi e dei tempi), idee (progetti, piani di attività didattiche,sperimentazioni).

Laboratorio di Matematica (dal Curricolo Matematica 2003 – dell’UMI – CIIM)

Oggi

L’ambiente del laboratorio di matematica è in qualche modo assimilabile a quello dellabottega rinascimentale, nella quale gli apprendisti imparavano facendo e vedendo fare,comunicando fra loro e con gli esperti.La costruzione di significati, nel laboratorio di matematica, è strettamente legata, da una parte, all'uso degli strumenti utilizzati nelle varie attività, dall'altra, alle interazioni tra le persone che si sviluppano durante l’esercizio di tali attività.

Laboratorio di Matematica (dal Curricolo Matematica 2003 – dell’UMI – CIIM)

Oggi

È necessario ricordare che uno strumento è sempre il risultato di un'evoluzione culturale, che è prodotto per scopi specificie che, conseguentemente, incorpora idee. Sul piano didattico ciò ha alcune implicazioniimportanti: innanzitutto il significato non può risiedere unicamente nello strumento né può emergere dalla sola interazione tra studente e strumento.

Laboratorio di Matematica (dal Curricolo Matematica 2003 – dell’UMI – CIIM)

Oggi

Il significato risiede negli scopi per i quali lo strumento è usato, nei piani che vengono elaborati per usare lo strumento;l’appropriazione del significato, inoltre, richiede anche riflessione individuale sugli oggetti di studio e sulle attività proposte.

Laboratorio di Matematica (dal Curricolo Matematica 2003 – dell’UMI – CIIM)

Oggi

Esempi riguardanti la geometria

Materiali poveriMacchine matematicheSoftware di geometria dinamica

Laboratorio di Matematica (dal Curricolo Matematica 2003 – dell’UMI – CIIM)

Oggi

Una macchina matematica (geometria)

è un artefatto che ha uno scopo fondamentale

(indipendente dall’uso che poi se ne farà):

obbligare un punto, o un segmento, o una figura qualsiasi (sostenuti da un opportuno supporto materiale che li

renda visibili) a muoversi nello spazio o a subire

trasformazioni seguendo con esattezza una legge astrattamente,

matematicamente determinata. (Marcello Pergola, 1992)

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Il prospettografo nella scuola elementare (MO) Età degli allievi: 4a e 5a elementareObiettivi della ricerca: studio di processi per la costruzione del significatodi piramide visiva ..Durata: circa un annoAmbiente e strumenti utilizzati: classe, laboratorio informatico, mostra; prospettografo di Dürer, carta e matita, fonti storiche, animaz. fotoreal.Modalità di organizzazione: individuale; piccoli gruppi; grande gruppo (discussione matematica); visita guidata alla mostra ecc.

Strumenti matematici e strumenti quotidiani (Australia)

Età degli allievi: “terza media”Obiettivi della ricerca: studio di processi nella produzione di congetture e dimostrazioniDurata: molti mesiAmbiente e strumenti utilizzati: classe, laboratorio informatico,strumenti vari, animazioni….Modalità di organizzazione: individuale; a coppie; con insegnante.

Studio di elissografi (MO-TO) Età degli allievi: terza liceo scientificoObiettivi della ricerca: studio di processi nella produzione di congetturee dimostrazioniDurata: una sessione di due oreAmbiente e strumenti utilizzati: carta, matita, elissografo ..Modalità di organizzazione: piccolo gruppo

Macchine mentali: l’ellisse come sezione conica (MO-PI)

Età degli allievi: 3-4 anno UniversitàObiettivi della ricerca: Come si mobilizzano le conoscenze in una situazione conflittuale? ..Durata: una sessione di due ore

Ambiente e strumenti utilizzati: carta, matita, forbici, nastro adesivo…..

Modalità di organizzazione: piccolo gruppo;

intervento in un dialogo storico immaginario.

(Durer, 1525)

Strumenti matematici e strumenti quotidiani (Australia)

Età degli allievi: “terza media”Obiettivi della ricerca: studio di processi nella produzione di congetture e dimostrazioniDurata: molti mesiAmbiente e strumenti utilizzati: classe, laboratorio informatico,strumenti vari, animazioni….Modalità di organizzazione: individuale; a coppie; con insegnante.

In questo esperimento didattico

si usano strumenti realie strumenti “modellati”

(virtuali)

Strumenti matematici e strumenti quotidiani (Australia)

Età degli allievi: “terza media”Obiettivi della ricerca: studio di processi nella produzione di congetture e dimostrazioniDurata: molti mesiAmbiente e strumenti utilizzati: classe, laboratorio informatico,strumenti vari, animazioni….Modalità di organizzazione: individuale; a coppie; con insegnante.

Il modelling può essere anche l’oggettodell’esperimento

Il modellingsta alla base del quadro di riferimento per la matematicadell’indagine OCSE – PISA

Mathematical Literacy: capacità di un individuo di identificare e comprendere il ruolo che la matematica gioca nel mondo reale, di operare valutazioni fondate, di utilizzare la matematica e confrontarsi con essain modi che rispondono alle esigenze della vita di quell’individuo in quanto cittadino che esercita un ruolo costruttivo, impegnato e basato sulla riflessione

Mondo extramatematico

Matematica

modellingmodelling

applicazioniapplicazioni

Concezione “ingenua”

Mondo 1 Mondo 2

modellingmodelling

applicazioniapplicazioni

Geometria cinematicadei tracciatori di curve

Geometriadelle

sezioni coniche

applicazioniapplicazioni

Esempio: un’applicazione della teoria ‘classica’

Il parabolografo di Cavalieri

Esempio: un’applicazione della teoria ‘classica’

Il parabolografo di Cavalieri

incorpora, come propria legge, il sintomo di Menecmo. La proporzione di Menecmodiviene operante, governa la macchina, costruisce la conicanel piano.

DE : EB = EB : FE.VHA simile a EAF,AV : FE = HA : AE = 2 HA : 2 AE = IA : 2 AE = DE : 2 AE.AV : FE = DE : 2 AE.2 AE AV = FE DE = EB EB.

2 AV AE = EB EB.

Menecmo

teoria

Menecmo

applicazione

DE : EB = EB : FE.VHA simile a EAF,AV : FE = HA : AE = 2 HA : 2 AE = IA : 2 AE = DE : 2 AE.AV : FE = DE : 2 AE.2 AE AV = FE DE = EB EB.

2 AV AE = EB EB.

teoria

Menecmo

applicazione

DE : EB = EB : FE.VHA simile a EAF,AV : FE = HA : AE = 2 HA : 2 AE = IA : 2 AE = DE : 2 AE.AV : FE = DE : 2 AE.2 AE AV = FE DE = EB EB.

2 AV AE = EB EB.

Menecmo

AE : EB = EB : EKE, posto:y = EB;x = AK,si scrive (variabili)y2 = 2pxEquazione canonicadella parabola.

CavalieriDE : EB = EB : FE.VHA simile a EAF,AV : FE = HA : AE = 2 HA : 2 AE = IA : 2 AE = DE : 2 AE.AV : FE = DE : 2 AE.2 AE AV = FE DE = EB EB.

2 AV AE = EB EB.

modellingmodelling

MatematicaCabri-geometria

Costruire in Cabri un modello virtuale del parabolografo di Cavalieri,che simuli il funzionamento dello strumento reale e tracci un arco di parabola.

Costruire in Cabri un modello virtuale del parabolografo di Cavalieri,che simuli il funzionamento dello strumento reale e tracci un arco di parabola.

Passi del processo:

1: Comprendere il compito ed esaminare lo strumento;Comprendere, anche misurando, che vi sono vincoli (guida di scorrimento; punti fissi; aste di lunghezza fissa; angoli fissi) e movimenti.

2: Comprendere che alcune partie/o caratteristiche sono inessenziali per una modelliz.geometrica (le viti, lo spessore,le fessure nelle aste, ecc.)

Costruire in Cabri un modello virtuale del parabolografo di Cavalieri,che simuli il funzionamento dello strumento reale e tracci un arco di parabola.

Passi del processo:

3: segnare sul foglio Cabri gli elementi fissi (punti, guida)e scegliere il valore del parametro (asta di lunghezzafissa EK); scegliere un punto direttore da cui dipenderà il moto.

4: costruire ‘intorno’ agli elementigià segnati il resto dello strumento;questa costruzione è vincolatadalla logica del software.

E K

Costruire in Cabri un modello virtuale del parabolografo di Cavalieri,che simuli il funzionamento dello strumento reale e tracci un arco di parabola.

Passi del processo:

5. Interpretare il modello, muoverlo(dragging),Verificare se l’arco di parabola è tracciato

6. Validare il modello, verificando se il suo funzionamento corrisponde a quanto desiderato.Studiare limiti (traccia lo stesso arco?)e potenzialità (es. cambiare il parametro);Ci sono variazioni al variare della lunghezza delle aste?

7. Presentare il modello

E K

Concezione “ingenua” o, almeno, incompleta

Stabilire la lunghezza delle aste e la grandezza della tavoletta per costruire un modello di legno.

Un utilizzo ‘realistico’ del risultato della modellizzazione:

Geometriadelle

sezioni coniche

Geometria cinematica

dei tracciatori di curve

Cabrigeometria

applicazioniapplicazioni

modellingmodelling

Mariolina Bartolini Bussi

bartolini@unimore.it

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