Post on 25-Dec-2015
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I poliedri
Abbiamo visto che i solidi si suddividono in…
• Poliedri, se la superficie è delimitata da poligoni
• Solidi a superficie curva, se la superficie è parzialmente curva
Poliedri regolari
• Un poliedro è regolare se tutte le sue facce sono poligoni regolari e congruenti e tutti i diedri e gli angoloidi sono congruenti fra loro
• I Poliedri regolari sono solo cinque e prendono il nome di solidi platonici
I poliedri non regolari
I prismi e le piramidi
Un prisma è
• Un poliedro delimitato da due poligoni congruenti, posti su piani paralleli, e da tanti parallelogrammi quanti sono i lati di ciascuno dei due poligoni di base
• I poligoni di base danno il nome al prisma
Riconosci i prismi
Le parti di un prisma
Faccia laterale
Base
Spigolo di base
Spigolo laterale
•L’insieme delle facce laterali del prisma prende il nome di SUPERFICIE LATERALE•L’insieme delle superficie di base del solido prende il nome di Superficie di base Sb•L’insieme di tutte le facce del prisma laterale e di base prende il nome di SUPERFICIE TOTALE
Diagonale
• Prisma obliquo: se tutte le facce laterali sono parallelogrammi
e l’altezza non coincide con uno degli spigoli
• Prisma retto: se tutte le facce laterali sono perpendicolari alle
basi e l’altezza coincide con uno degli spigoli
• Prisma regolare: se è retto e le basi sono poligoni regolari (le
facce laterali sono rettangoli uguali fra loro come in tutti i prismi
retti).
Lo sviluppo piano di un solido è la superficie che si ottiene
riportando su un piano le facce che lo compongono.
Lo sviluppo di un solido si ottiene disegnando su una
superficie piana tutte le facce, laterali e di base, del solido.
La superficie di un solido
Osservando lo sviluppo sul
piano di un prisma retto ci
accorgiamo che la superficie
laterale del prisma coincide
con il rettangolo ABCD.
La base del rettangolo
corrisponde al perimetro del
poligono di base del prisma e
l’altezza all’altezza del prisma.
A
C
B
D
L’ area della superficie laterale del prisma si
ottiene moltiplicando il perimetro del poligono
di base del prisma per l’altezza:
FORMULA DIRETTA Al = 2p x h
FORMULE INVERSE 2p= Al : h
h = Al : 2p
Superficie laterale
Superficie totale
L’area della superficie totale è data dalla somma della superficie laterale e
dell’area delle due basi:
At = Al + 2Ab
Formule inverse
Al = At – 2Ab Ab = At - Al
Esempio • un prisma retto ha per base un rettangolo le cui dimensioni
misurano 4 cm e 7 cm. Sapendo che l’altezza del prisma misura 20 cm, calcolane l’area della superficie laterale e totale
AB = A’B’= 7cm
BC = B’C’ = 4cm
BB’ = 20 cm
Al = 2p x h =
P b = (AB + BC) x 2 = (7+4) x 2 = 22 cm
Al = 22 x 20 = 440 cm2
At = Al + 2 x Ab =
Ab = b x h = 7 x4 = 28 cm2
At = 440 + 2 x 28 = 496 cm2
Un prisma particolare Il parallelepipedo
È un prisma le cui basi sono dei
parallelogrammi.
Ovviamente anche le facce saranno
dei parallelogrammi
Nel parallelepipedo retto le facce
laterali sono dei rettangoli, le
diagonali sono quattro e si incontrano
in un punto O che li divide a metà
In generale per il calcolo dell’Area
laterale e totale del parallelepipedo
valgono le stesse formule dei prismi
A
E
D
F
I G
B
C
O
Il parallelepipedo rettangolo
i poligoni di base sono dei rettangoli
abbiamo il parallelepipedo
rettangolo, tutte e 6 le facce sono
quindi dei rettangoli a due a due
congruenti e paralleli. I tre spigoli
che escono da uno stesso vertice si
chiamano dimensioni del
parallelepipedo e sono lunghezza,
larghezza e altezza
ab
c
Alaterale = Abase ∙ 4 = l2 ∙ 4
l =
Atotale = Abase ∙ 6 = l2 ∙ 6
l =
E’ anche un poliedro regolare
Il cubo è un parallelepipedo particolareche ha le tre dimensioni congruenti
Misura della diagonale di un parallelepipedo retto
Nel parallelepipedo rettangolo vi sono 4
diagonali congruenti.
C
A
E
D
F
I G
Ba
b
cOsserviamo il triangolo ACG, è un
triangolo rettangolo.
diagonale del prisma = ipotenusa
diagonale della base e altezza = cateti
Ma, poiché AC, diagonale del rettangolo di
base, è ipotenusa del triangolo rettangolo ABC,
AC =
AC2 + CG2
AB2 + BC2
In definitiva la diagonale
del parallelepipedo è ….
AB2 + BC2 + CG2
Poiché il cubo è un particolare parallelepipedo rettangolo possiamo applicare la stessa formula.
Ma nel cubo le tre dimensioni sono uguali, allora
d = l ∙
La diagonale nel cubo
3
AB2 + BC2 + CG2
l = d / 3 l2 + l2 + l2 l2 ∙ 3 = =
Esercizio
• Calcola la misura della diagonale di un parallelepipedo rettangolo sapendo che le dimensione di base sono 12 cm e 16 cm e l’altezza è di 21 cm
• La diagonale di un parallelepipedo rettangolo misura 10 cm mentre le dimensioni di base sono 3,6 cm e 4,8 cm. Determina la misura dell’altezza del prisma
Si dice piramide un poliedro limitato da un poligono qualunque, detto base, e da tanti triangoli quanti sono i
lati del poligono, aventi tutti un vertice comune.
Una piramide prende il nome dal numero di lati del poligono di base.
PIRAMIDE TRIANGOLARE
PIRAMIDE QUADRANGOLARE
PIRAMIDE PENTAGONALE
faccialaterale
Una piramide si dice retta se ha per base un poligono circoscrittibile a una circonferenza, il cui centro coincide con il piede dell’altezza.
Una piramide si dice regolare se è retta e se ha per base
un poligono regolare.
QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO
PENTAGONOREGOLARE
Il solido P è una piramide quadrangolare regolare, quindi è retta; il piede dell’altezza coincide con il centro della circonferenza inscritta nel poligono di base.
Le sue facce laterali sono quattro triangoli T isosceli congruenti, la sua base è un quadrato Q.
Quante sono le facce laterali di una piramide regolare esagonale? …….
Ogni faccia è un triangolo: di che tipo rispetto ai lati? ……………………..
6
isoscele
In una piramide retta le facce triangolari laterali hanno tutti la stessa altezza, che prende il nome di apotema (della piramide)
ATTENZIONE!!!! Non confondere l’apotema della piramide con l’apotema del poligono di base che coincide con il raggio della circonferenza
Teorema di Pitagora applicato alle piramidi regolari
Triangolo rettangolo VOHIp = apotema della piramide (VH)Cateti = altezza (VO) e apotema di base (OH)n.b. nel quadrato OH è la metà del lato
Triangolo rettangolo VOA
Ip = spigolo laterale (VA)
Cateti = altezza (VO) e raggio di base (OA)
n.b. nel quadrato OH è la metà della diagonale
Trova l’apotema di una piramide regolare quadrangolare, che ha
l’altezza di 12 cm e il raggio di 3,5 cm. (12,5 cm)
• Trova lo spigolo di base di una piramide regolare triangolare
alta 60 cm e con l’apotema di 61 cm (22 cm)
• Una piramide retta a base quadrata ha lo spigolo di base di 16
cm e l’apotema di 15 cm. Trova la lunghezza dello spigolo
laterale. (17 cm)
Superficie lateraleSuperficie totale
• La superficie laterale è formata da tanti triangoli quanti sono i
lati del poligono di base.
• Questi triangoli, hanno tutti la stessa altezza (apotema della
piramide).
• Questi triangoli sono equivalenti a un unico triangolo che ha
per base il perimetro del poligono di base e per altezza
l’apotema della piramide.
Poiché l’area del triangolo è
A = (b ∙ h) : 2
la superficie laterale è
Al= (2p ∙ a) : 2
da cui
2p = (2 ∙ Al) : a a = (2 ∙ Al ) : 2p
la superficie totale si trova sommando la superficie del poligono di base
At = Al + Ab
Il volume dei prismi
= 1 cm3
6 cm4 cm
5 cm
6 cm 4 cm 5 cm x = 24 cm x = 120cm3
Per calcolare il volume di un prisma basta calcolare l’area del poligono di base (rettangolo rosa) e moltiplicarla per l’altezza del prisma V = Abase ∙ h da cui Abase = V / h h = V/ A base
Il volume della piramide• Per capire come si calcola il volume della piramide possiamo ricorrere ad un
esperimento.
• Costruiamo una piramide e un prisma con lo stesso poligono di base e la
stessa altezza.
• Riempiamo la piramide di sabbia e versiamola nel prisma.
• Che cosa noti?
• Poiché il volume del prisma si ottiene
• V = Abase ∙ h
• Il volume della piramide è
• V = (Abase ∙ h) : 3
Peso specifico
• Il rapporto tra peso e volume di una sostanza prende il nome di peso specifico (ps)
• Quindi Ps = P/V
• Dalle formule inverse P = Ps x V
• V = P / Ps
• Quindi il volume di un corpo si può ricavare dal peso specifico della sostanza
Avvertimento !!!!!
Stai molto attento all’unità di misura
Se V è in Allora P è in E Ps è in
dm3 Kg Kg/dm3
cm3 g g/cm3
m3 t t/m3