ANALISI MATEMATICA DEI POLIEDRI ARCHIMEDEI Archimede... · ANALISI MATEMATICA DEI POLIEDRI...
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ANALISI MATEMATICA DEI POLIEDRI ARCHIMEDEI “Ho affermato che le matematiche sono molto utili per abituare la mente a un raziocinio esatto e ordinato; con ciò non è che io creda necessario che tutti gli uomini diventino dei matematici, ma quando con questo studio hanno acquisito il buon metodo di ragionare, essi lo possono usare in tutte le altri parti delle nostre conoscenze” John Locke Calcoliamo la superficie e il volume dei primi cinque poliedri archimedei ottenuti da un primo troncamento dei solidi platonici. Le fotografie illustrano lo sviluppo e la costruzione di tutti i poliedri archimedei realizzati con cartoncino colorato. TETRAEDRO TRONCATO Il tetraedro troncato è uno dei solidi archimedei che si ricavano attraverso un primo troncamento dei solidi platonici. In questo caso il solido si ottiene limando i vertici di un tetraedro regolare fino ad avere un solido con 8 facce, con gli spigoli tutti congruenti, date da 4 triangoli equilateri e 4 esagoni regolari Quindi il tetraedro troncato possiede 18 spigoli congruenti e 12 vertici, caratterizzati da un’incidenza di 3,6,6
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ANALISI MATEMATICA DEI POLIEDRI ARCHIMEDEI
“Ho affermato che le matematiche sono molto utili per abituare la mente a un raziocinio esatto e ordinato; con ciò non è che io creda necessario che tutti gli uomini diventino dei matematici, ma quando con questo studio hanno acquisito il buon metodo di ragionare, essi lo possono usare in tutte le altri parti delle nostre conoscenze” John Locke
Calcoliamo la superficie e il volume dei primi cinque poliedri archimedei ottenuti da un
primo troncamento dei solidi platonici. Le fotografie illustrano lo sviluppo e la costruzione
di tutti i poliedri archimedei realizzati con cartoncino colorato.
TETRAEDRO TRONCATO
Il tetraedro troncato è uno dei
solidi archimedei che si
ricavano attraverso un primo
troncamento dei solidi
platonici. In questo caso il
solido si ottiene limando i
vertici di un tetraedro
regolare fino ad avere un
solido con 8 facce, con gli
spigoli tutti congruenti, date
da 4 triangoli equilateri e 4
esagoni regolari
Quindi il tetraedro troncato
possiede 18 spigoli congruenti
e 12 vertici, caratterizzati da
un’incidenza di 3,6,6
Sia l è il lato di uno dei triangoli equilateri che formano il
tetraedro regolate. Per ottenere le facce del tetraedro
troncato dobbiamo “limare” i vertici del tetraedro fino ad
ottenere un poligono, un esagono in questo caso, che
costituisce una faccia del nuovo poliedro. Lo spigolo del
tetraedro sarà sostituito da una nuova faccia, che sarà un
triangolo equilatero. Se indichiamo con x il lato
dell’esagono e del triangolo equilatero così ottenuti,
dovendo essere si può dedurre che
Calcoliamo la superficie del tetraedro troncato facendo la
somma delle aree delle sue facce, 4 triangoli equilateri e 4
esagoni di lato x.
√ (
√ )
√
√
√ √
Calcoliamo il volume del tetraedro troncato,
sottraendo dal volume del tetraedro regolare il
volume delle 4 piramidi “limate”; osserviamo
(vedi le figure riportate a fianco) che tali piramidi
sono dei tetraedri regolari di spigolo e
quindi il loro volume (ricordando le proprietà
delle similitudini) sarà 1/27 del volume del
tetraedro platonico.
√
√
√
√
√
√
√
√
CUBO TRONCATO
Il cubo troncato si ricava dal
troncamento di un cubo. Si limano i
vertici di questo solido fino ad
ottenere un poliedro con 14 facce,
con gli spigoli congruenti, date da 8
triangoli equilateri e 6 ottagoni
regolari.
Di conseguenza il cubo troncato
possiede 36 spigoli congruenti e
24 vertici con un’incidenza di
3,8,8.
Sia l lo spigolo del cubo. Per ottenere le facce del cubo troncato
dobbiamo “limare” i vertici del cubo fino ad ottenere un poligono,
un ottagono in questo caso, che costituisce una faccia del nuovo
poliedro. Lo spigolo del tetraedro sarà sostituito da una nuova
faccia, data da un triangolo equilatero. Sia x il lato dell’ottagono e
del triangolo equilatero così ottenuti.
Dovendo essere √
√
si ha: ( √ )
per cui (√ )
Calcoliamo la superficie del cubo troncato facendo la somma
delle aree delle sue 14 facce, 8 triangoli equilateri e 6 ottagoni
regolari.
La superficie di un ottagono la calcoliamo come differenza tra
l’area di un quadrato, di lato ( √ ) , e l’area di 4
triangoli rettangoli isosceli di cateto √ :
(
√
√ ) ( √ )
( √ )
√
E quindi:
√ ( √ ) ( √ √ )
Calcoliamo il volume del cubo troncato, sottraendo
dal volume del cubo il volume delle 8 piramidi
“limate”; osserviamo, con riferimento alla figura
riportata qui a fianco, che tali piramidi hanno per
base un triangolo equilatero ABC di lato ,
mentre gli spigoli laterali sono congruenti e pari a
√
( √ )
( √ )
√ √ (
)
√(
√ )
(
√
)
√
(√
)
√
√
Quindi:
( √ )
√
(
√ )
OTTAEDRO TRONCATO
L’ottaedro troncato si ottiene
attraverso il troncamento
dell’ottaedro, che viene limato
nei suoi vertici finchè si ricava
un poliedro semiregolare con
14 facce, con gli spigoli
congruenti, date da
6 quadrati e 8 esagoni regolari.
L’ottaedro troncato presenta perciò
36 spigoli congruenti e 24 vertici
caratterizzati da un’incidenza di
4,6,6.
Sia l è il lato di uno dei triangoli equilateri che formano il
tetraedro regolate. Per ottenere le facce del solido
troncato dobbiamo “limare” i suoi vertici fino ad ottenere,
come nel caso del tetraedro troncato, un esagono
regolare, che costituisce una faccia del nuovo poliedro. Lo
spigolo dell’ottaedro sarà sostituito da una nuova faccia,
che sarà un quadrato. Se indichiamo con x il lato
dell’esagono e del quadrato così ottenuti, dovendo essere
anche in questo caso si può dedurre che
Calcoliamo la superficie dell’ottaedro troncato facendo la
somma delle aree delle sue facce, 8 esagoni e 6 quadrati
di lato x.
(
√ )
√
√ ( √ )
Per determinare il suo volume, dobbiamo sottrarre dal
volume dell’ottaedro il volume delle 6 piramidi “limate”.
Osserviamo che esse sono regolari ma, a differenza dei
casi precedenti, hanno per base un quadrato di lato x e
anche gli spigoli laterali misurano x. Con riferimento alla
figura riportata qui a lato, risulta:
√ √( √
)
(
)
√
( )
√
√
Calcoliamo in funzione di x il volume dell’ottaedro:
√
√
√
Per cui, il volume dell’ottaedro troncato risulta pari a:
√
√
√
ICOSAEDRO TRONCATO
L’icosaedro troncato è un solido
semiregolare che si ricava
attraverso la limatura dei vertici
dell’icosaedro platonico, fino ad
ottenere un poliedro con 32 facce
con spigoli congruenti, date da
12 pentagoni e 20 esagoni
regolari.
Di conseguenza esso presenta
90 spigoli e 60 vertici,
caratterizzati da un’incidenza di
5,6,6.
E’ il poliedro semiregolare più
famoso, dal momento che i
palloni da calcio hanno proprio la
sua forma.
Sia l è il lato di uno dei triangoli equilateri che formano
l’icosaedro. Per ottenere le facce del solido troncato
dobbiamo “limare” i suoi vertici fino ad ottenere, come nel
caso del tetraedro troncato, un esagono regolare, che
costituisce una faccia del nuovo poliedro. Lo spigolo del
solido platonico sarà poi sostituito da una nuova faccia, che
questa volta sarà un pentagono, sempre di spigolo x. Se
indichiamo con x il lato dell’esagono e del pentagono così
ottenuti, dovendo essere ancora una volta si può
dedurre che
Calcoliamo la superficie dell’ottaedro troncato facendo la somma delle aree delle sue facce, 20 esagoni e 12 pentagoni di lato x. Abbiamo in precedenza già calcolato le loro superfici:
√
√
√
√
√
√
( √ √
√
)
Per determinare il suo volume, dobbiamo sottrarre dal volume dell’icosaedro il volume delle 12 piramidi “limate”. Osserviamo che esse sono regolari, hanno per base un pentagono di lato x e anche gli spigoli laterali misurano x. Calcoliamo il volume di tali piramidi, utilizzando la figura riportata qui a lato.
√
√
Essendo VBC un triangolo equilatero di lato x, l’apotema √
√ √
( √ )
√
√
√ √
√
√
√( √ )( √ )
√ √
√
√ √ √
√
√ (√
√
)
( √ )
Calcoliamo ora, in funzione di x, il volume del solido platonico:
( √ )
( √ )
( √ )
Per cui il volume dell’icosaedro troncato sarà dato da:
( √ )
( √ )
( √ )
DODECAEDRO TRONCATO
Il dodecaedro troncato è l’ultimo
poliedro archimedeo di cui
calcoliamo la superficie totale e il
volume. Esso si ottiene mediante la
limatura delle cuspidi di un
dodecaedro regolare, in modo da
ottenere un poliedro, avente 32
facce, con gli spigoli congruenti,
date da 20 triangoli equilateri e 12
decagoni regolari.
Esso possiede 90 spigoli e 60
vertici con un’incidenza di
3,10,10.
Sia l lo spigolo del dodecaedro. Per ottenere le facce del
solido troncato dobbiamo “limare” i suoi vertici fino ad
ottenere un decagono regolare di spigolo x, che costituisce
una faccia del nuovo poliedro. I 20 spigoli del solido
platonico saranno poi sostituiti con 20 triangoli equilateri,
sempre di spigolo x.
Con riferimento alla figura riportata qui a lato, sia SR=x
uno spigolo del decagono regolare.
L’angolo ̂ e quindi ̂ ̂ .
Nel triangolo AHR, si ha:
√
dovendo essere:
√ da cui risulta √
Per calcolare la superficie del dodecaedro troncato, sommiamo la
superficie dei 12 decagoni e di 20 triangoli che lo costituiscono.
√
Tenendo conto che un decagono e formato da 10 triangoli,
aventi per base uno spigolo del pentagono e altezza la sua
apotema, si ha:
√ √
(
)
√ √
√ √
Per cui
√ √
√
( √ √ √ )
Per determinare il suo volume, dobbiamo sottrarre dal
volume del dodecaedro il volume delle 20 piramidi
“limate”. Tali piramidi, con riferimento alla figura riportata
qui a lato, hanno per base un triangolo equilatero di
lato e gli spigoli laterali pari a
√ (√ )
Essendo
√
√
√ √ (√ )
(
√
)
√ √
√ (√ √ )
√ (√
√
)
√
√
√
√
√
√
Esprimiamo il volume del dodecaedro regolare in funzione di x:
√
√
( √ )
( √ )
Per cui: ( √ )
√
( √ )
CUBOTTAEDRO
Il cubottaedro (a destra) è un poliedro archimedeo
che si ottiene troncando ulteriormente le facce del
cubo troncato (a sinistra), che abbiamo ricavato in
precedenza, limando ancora i vertici, fino ad ottenere
un solido con 14 facce, di cui 8 triangoli e 6 quadrati,
24 spigoli e 12 vertici, con incidenza pari a 3,4,3,4.
ICOSIDODECAEDRO
L’icosidodecaedro (a destra) è un poliedro semiregolare
ottenuto mediante un processo analogo a quello del
cubottaedro, ovvero troncando ancora le facce, ottenute
con la limatura precedente, del dodecaedro troncato (a
sinistra). Esso possiede 32 facce, di cui 20 triangoli e 12
pentagoni, 60 spigoli e 30 vertici con un’incidenza di
3,5,3,5.
ROMBICUBOTTAEDRO
Il rombicubottaedro (a destra) è un solido archimedeo
semiregolare che si può ottenere mediante
l’espansione del cubo o dell’ottaedro, cioè
allontanando dal centro comune le facce di tali solidi
platonici e creando poi nuove facce, tutte con gli
spigolo congruenti, per ogni spigolo o vertice iniziale. Il
poliedro che ne risulta ha 26 facce, 8 triangoli e 18 quadrati, 48 spigoli e 24 vertici
caratterizzati da un’incidenza di 3,4,4,4.
CUBOTTAEDRO TRONCATO
Il cubottaedro troncato (a destra) è un poliedro
semiregolare che si ottiene mediante il troncamento
delle cuspidi del cubottaedro (a sinistra) fino ad
ottenere un solido con 26 facce, di cui 12 quadrati, 8
esagoni e 6 ottagoni, 72 spigoli e 48 vertici.
Quest’ultimi hanno un’incidenza di 4,6,8.
ROMBICOSIDODECAEDRO
Il rombicosidodecaedro (a destra) è un solido semiregolare
che si può ottenere mediante l’espansione dell’icosaedro o
del dodecaedro (a sinistra), cioè allontanando dal centro
comune le facce di tali solidi platonici e creando poi nuove
facce, tutte con gli spigoli congruenti, per ogni spigolo o
vertice iniziale. Il poliedro così ottenuto ha 62 facce, 20 triangoli, 30 quadrati e 12
pentagoni, 120 spigoli e 60 vertici con un’incidenza di 3,4,5,4.
ICOSIDODECAEDRO TRONCATO
L’icosidodecaedro troncato (a destra) è un poliedro
semiregolare ricavabile tramite la troncatura dei vertici di
un icosidodecaedro (a sinistra) o di un
rombicosidodecaedro. Esso presenta 62 facce, di cui 30
quadrati, 20 esagoni e 12 decagoni, 180 spigoli e 120
vertici, aventi un’incidenza di 4,6,10.
DODECAEDRO CAMUSO O ICOSIDODECAEDRO CAMUSO
Il dodecaedro camuso (a destra) o icosidodecaedro camuso
è un poliedro semiregolare che si ottiene sostituendo ogni
spigolo dell’icosidodecaedro (a sinistra) con 2 triangoli
equilateri. In questo modo si ricava un solido avente 92
facce, di cui 80 triangoli e 12 pentagoni, 150 spigoli e 60
vertici, con incidenza pari a 3,3,3,3,5
.
CUBO CAMUSO O CUBOTTAEDRO CAMUSO
Il cubo camuso (a destra) o cubottaedro camuso è un
solido archimedeo che non si ottiene tramite il
troncamento, ma sostituendo ogni spigolo del
cubottaedro (a sinistra) con 2 triangoli equilateri. La
figura risultante presenta, quindi, 38 facce, date da 32
triangoli e 6 quadrati, e ha 60 spigoli, 24 vertici
caratterizzati da un’incidenza di 3,3,3,3,4.
