I poliedri

Abbiamo visto che i solidi si suddividono in…

• Poliedri, se la superficie è delimitata da poligoni

• Solidi a superficie curva, se la superficie è parzialmente curva

Poliedri regolari

• Un poliedro è regolare se tutte le sue facce sono poligoni regolari e congruenti e tutti i diedri e gli angoloidi sono congruenti fra loro

• I Poliedri regolari sono solo cinque e prendono il nome di solidi platonici

I poliedri non regolari

I prismi e le piramidi

Un prisma è

• Un poliedro delimitato da due poligoni congruenti, posti su piani paralleli, e da tanti parallelogrammi quanti sono i lati di ciascuno dei due poligoni di base

• I poligoni di base danno il nome al prisma

Riconosci i prismi

Le parti di un prisma

Faccia laterale

Base

Spigolo di base

Spigolo laterale

•L’insieme delle facce laterali del prisma prende il nome di SUPERFICIE LATERALE•L’insieme delle superficie di base del solido prende il nome di Superficie di base Sb•L’insieme di tutte le facce del prisma laterale e di base prende il nome di SUPERFICIE TOTALE

Diagonale

• Prisma obliquo: se tutte le facce laterali sono parallelogrammi

e l’altezza non coincide con uno degli spigoli

• Prisma retto: se tutte le facce laterali sono perpendicolari alle

basi e l’altezza coincide con uno degli spigoli

• Prisma regolare: se è retto e le basi sono poligoni regolari (le

facce laterali sono rettangoli uguali fra loro come in tutti i prismi

retti).

Lo sviluppo piano di un solido è la superficie che si ottiene

riportando su un piano le facce che lo compongono.

Lo sviluppo di un solido si ottiene disegnando su una

superficie piana tutte le facce, laterali e di base, del solido.

La superficie di un solido

Osservando lo sviluppo sul

piano di un prisma retto ci

accorgiamo che la superficie

laterale del prisma coincide

con il rettangolo ABCD.

La base del rettangolo

corrisponde al perimetro del

poligono di base del prisma e

l’altezza all’altezza del prisma.

A

C

B

D

L’ area della superficie laterale del prisma si

ottiene moltiplicando il perimetro del poligono

di base del prisma per l’altezza:

FORMULA DIRETTA Al = 2p x h

FORMULE INVERSE 2p= Al : h

h = Al : 2p

Superficie laterale

Superficie totale

L’area della superficie totale è data dalla somma della superficie laterale e

dell’area delle due basi:

At = Al + 2Ab

Formule inverse

Al = At – 2Ab Ab = At - Al

Esempio • un prisma retto ha per base un rettangolo le cui dimensioni

misurano 4 cm e 7 cm. Sapendo che l’altezza del prisma misura 20 cm, calcolane l’area della superficie laterale e totale

AB = A’B’= 7cm

BC = B’C’ = 4cm

BB’ = 20 cm

Al = 2p x h =

P b = (AB + BC) x 2 = (7+4) x 2 = 22 cm

Al = 22 x 20 = 440 cm2

At = Al + 2 x Ab =

Ab = b x h = 7 x4 = 28 cm2

At = 440 + 2 x 28 = 496 cm2

Un prisma particolare Il parallelepipedo

È un prisma le cui basi sono dei

parallelogrammi.

Ovviamente anche le facce saranno

dei parallelogrammi

Nel parallelepipedo retto le facce

laterali sono dei rettangoli, le

diagonali sono quattro e si incontrano

in un punto O che li divide a metà

In generale per il calcolo dell’Area

laterale e totale del parallelepipedo

valgono le stesse formule dei prismi

A

E

D

F

I G

B

C

O

Il parallelepipedo rettangolo

i poligoni di base sono dei rettangoli

abbiamo il parallelepipedo

rettangolo, tutte e 6 le facce sono

quindi dei rettangoli a due a due

congruenti e paralleli. I tre spigoli

che escono da uno stesso vertice si

chiamano dimensioni del

parallelepipedo e sono lunghezza,

larghezza e altezza

ab

c

Alaterale = Abase ∙ 4 = l2 ∙ 4

l =

Atotale = Abase ∙ 6 = l2 ∙ 6

l =

E’ anche un poliedro regolare

Il cubo è un parallelepipedo particolareche ha le tre dimensioni congruenti

Misura della diagonale di un parallelepipedo retto

Nel parallelepipedo rettangolo vi sono 4

diagonali congruenti.

C

A

E

D

F

I G

Ba

b

cOsserviamo il triangolo ACG, è un

triangolo rettangolo.

diagonale del prisma = ipotenusa

diagonale della base e altezza = cateti

Ma, poiché AC, diagonale del rettangolo di

base, è ipotenusa del triangolo rettangolo ABC,

AC =

AC2 + CG2

AB2 + BC2

In definitiva la diagonale

del parallelepipedo è ….

AB2 + BC2 + CG2

Poiché il cubo è un particolare parallelepipedo rettangolo possiamo applicare la stessa formula.

Ma nel cubo le tre dimensioni sono uguali, allora

d = l ∙

La diagonale nel cubo

3

AB2 + BC2 + CG2

l = d / 3 l2 + l2 + l2 l2 ∙ 3 = =

Esercizio

• Calcola la misura della diagonale di un parallelepipedo rettangolo sapendo che le dimensione di base sono 12 cm e 16 cm e l’altezza è di 21 cm

• La diagonale di un parallelepipedo rettangolo misura 10 cm mentre le dimensioni di base sono 3,6 cm e 4,8 cm. Determina la misura dell’altezza del prisma

Si dice piramide un poliedro limitato da un poligono qualunque, detto base, e da tanti triangoli quanti sono i

lati del poligono, aventi tutti un vertice comune.

Una piramide prende il nome dal numero di lati del poligono di base.

PIRAMIDE TRIANGOLARE

PIRAMIDE QUADRANGOLARE

PIRAMIDE PENTAGONALE

faccialaterale

Una piramide si dice retta se ha per base un poligono circoscrittibile a una circonferenza, il cui centro coincide con il piede dell’altezza.

Una piramide si dice regolare se è retta e se ha per base

un poligono regolare.

QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO

PENTAGONOREGOLARE

Il solido P è una piramide quadrangolare regolare, quindi è retta; il piede dell’altezza coincide con il centro della circonferenza inscritta nel poligono di base.

Le sue facce laterali sono quattro triangoli T isosceli congruenti, la sua base è un quadrato Q.

Quante sono le facce laterali di una piramide regolare esagonale? …….

Ogni faccia è un triangolo: di che tipo rispetto ai lati? ……………………..

6

isoscele

In una piramide retta le facce triangolari laterali hanno tutti la stessa altezza, che prende il nome di apotema (della piramide)

ATTENZIONE!!!! Non confondere l’apotema della piramide con l’apotema del poligono di base che coincide con il raggio della circonferenza

Teorema di Pitagora applicato alle piramidi regolari

Triangolo rettangolo VOHIp = apotema della piramide (VH)Cateti = altezza (VO) e apotema di base (OH)n.b. nel quadrato OH è la metà del lato

Triangolo rettangolo VOA

Ip = spigolo laterale (VA)

Cateti = altezza (VO) e raggio di base (OA)

n.b. nel quadrato OH è la metà della diagonale

Trova l’apotema di una piramide regolare quadrangolare, che ha

l’altezza di 12 cm e il raggio di 3,5 cm. (12,5 cm)

• Trova lo spigolo di base di una piramide regolare triangolare

alta 60 cm e con l’apotema di 61 cm (22 cm)

• Una piramide retta a base quadrata ha lo spigolo di base di 16

cm e l’apotema di 15 cm. Trova la lunghezza dello spigolo

laterale. (17 cm)

Superficie lateraleSuperficie totale

• La superficie laterale è formata da tanti triangoli quanti sono i

lati del poligono di base.

• Questi triangoli, hanno tutti la stessa altezza (apotema della

piramide).

• Questi triangoli sono equivalenti a un unico triangolo che ha

per base il perimetro del poligono di base e per altezza

l’apotema della piramide.

Poiché l’area del triangolo è

A = (b ∙ h) : 2

la superficie laterale è

Al= (2p ∙ a) : 2

da cui

2p = (2 ∙ Al) : a a = (2 ∙ Al ) : 2p

la superficie totale si trova sommando la superficie del poligono di base

At = Al + Ab

Il volume dei prismi

= 1 cm3

6 cm4 cm

5 cm

6 cm 4 cm 5 cm x = 24 cm x = 120cm3

Per calcolare il volume di un prisma basta calcolare l’area del poligono di base (rettangolo rosa) e moltiplicarla per l’altezza del prisma V = Abase ∙ h da cui Abase = V / h h = V/ A base

Il volume della piramide• Per capire come si calcola il volume della piramide possiamo ricorrere ad un

esperimento.

• Costruiamo una piramide e un prisma con lo stesso poligono di base e la

stessa altezza.

• Riempiamo la piramide di sabbia e versiamola nel prisma.

• Che cosa noti?

• Poiché il volume del prisma si ottiene

• V = Abase ∙ h

• Il volume della piramide è

• V = (Abase ∙ h) : 3

Peso specifico

• Il rapporto tra peso e volume di una sostanza prende il nome di peso specifico (ps)

• Quindi Ps = P/V

• Dalle formule inverse P = Ps x V

• V = P / Ps

• Quindi il volume di un corpo si può ricavare dal peso specifico della sostanza

Avvertimento !!!!!

Stai molto attento all’unità di misura

Se V è in Allora P è in E Ps è in

dm3 Kg Kg/dm3

cm3 g g/cm3

m3 t t/m3