E NCICLOPEDIA EINAUDI [ 1 9 82 ]

FISICA

Paolo Caldirola e Giulio Casati — FISICA pag.4

Giancarlo Ramunni — ATOMO E MOLECOLA pag.10Yehuda Elkana e Yemima Ben-Menahem

CONSERVAZIONE/ I N VARI ANZA p a g . 2 6ENTROPIA p a g . 4 5

Bernard d ' E s p agnat — FI S I C A pag . 62Antonio Sparzani — FORZA/CAMPO pag.82

Carlo Ferrari — MOTO pag.93Michael 0'Hanlon — PARTICELLA p a g . 1 4 3

Bruno Bertotti — PLASMA pag.164Yvonne Choquet-Bruhat — PROPAGAZIONE pag.177

Antonio Sparzani — QUANTI pag.195T ul l i o R e g g e — RELATIVI T Á p a g . 2 14

Francesco Guerra — REVERSIBILITÁ/IRREVERSIBILITÁ pag.249Luigi Accardi -STATO FISICO pag.270

ambigulta allegoriacompetenza/esecuaoneFisica codicefonetica immaginegrammatica avanguardia Fisica

metafora(,';;(",M ' • ;.) classicosegnocritica

sigaiTicato filologiasimbolo bello/brutto

letteratura creativitàmanieramtratta/con~ - . . ;d

espressione

diai~ ' o moaae giudizi!z- t ==.=. S«so/ ig"'"cscma poetica fantastico

4kntità/differcasx= alfabeto retorica gUStO

medisxftaà:,runiversab/particolam

ascolto imitazionegesto immaginazione anthropoa

lettura progetto cultura/cultureatti lmguisticl luogo comune nproduzion% iproducibllità etnocentrismi

dicibi1%ndicibileuno/nutfàc orale/scritto discorso sensibilità natura/cultura

.==:­ decisione enunciazione comunicazioneparola finzione zislità

-.: — - istribuzione statistica presupposizione e allusione errore spa malritmodato==,'==~och i referente informazione generi artigianatoscrittura narrazione/narratività='-.::==uarduzione statistica etica artistavoce acculturazionestile attribuzione.=.:­ .-,'-:=" :~yobabifità filosofia/Rlosofie civiltàantico/moderno tema/motivo=-=-=::;==~ppresentszion» statistica ragione oggetto

razionai%rrazionale cassa~ futurocalendario testo=:===-:-:=-:=. teoria/pratica produzione artistica selvaggio/barbar%ivilizzstosoggeuo(oggetto dccadenzsuguaglianza escatologia armonia colore escrementicaos/cosmo valori period~ à è ­ età mitiche melodia disegna/progetto

- - Marsc 4 ~ infinito vero/falso tem~ ~ àùàt fertilitàgenesi ritmica/metrica abbigliamento visione nascita educazione­„== =S éoatetzfm~ log i x maarocosmo/microcosmo volontà passato/presente scala canto sensi generazioni

momlo progresso/reazionealchimia suono/rumore coltivazionestoria corpo sessualità infanzia

]d ', )J"l)l)i!((lliastrologia atlante tonale/atonale danza cultura materialevecchiaia morte

cabala collerione maschera amore industria ruralevita/morte,

'l" elementi documento/monumento moda dCS!dCflo materialiarmi

«hr anziata­ ' : . ~

esoterico/essoterico fossile credenze erosornamento prodotticlinicarmalizzazmne frontiera isteriamemoria dialetto scena

.­'=:: — ;,- Rmzianl' angoscia/colpa cura/normalizzazionegicx=„-(èÀ!dmamsfc. '=- '­

rovina/restauro guerra pulsioneenigmassibilità/necessità «elisi/sintesi imperi

fiaba soma/psiche castrazione e complesso esclusione/integrazionefuocofatatàe/glabaf referenza/verità anticipszionc =

­,:==kàztzfoac :. nazionemostro cannibalismo sonno/sogno censura farmaco/droga

homosistemi dt'rffcrimcaha, tlcorsivltà (PotCSI Àwspa tattica/strategia identificazione e transfert follia/delinopopolare dèi mano/manufattostabilita jfasatbil~ ==.= inconsciomatematiche -anmftdlo medicina/medicalizzazione

alienazione . proverbi divino tecnicametodo ='='afiattura nevrosi/psicosi normale/anormale

coscienza/autocoscienza demagogia tradizioni eroi utensilecentrato/acentrsto '=.— ;=.'~ fa /modello piacere salute/malattiadiscriminazione iniziazione

combinatoria immaginazione sociale sintomo/diagnosirepressione magia

xppficsR~ =.= ­ grafo pace demoni alimentazione

asXrnsff(ost~==terrore ateo messialabirinto serv%ignore divinazione agonismo

casta animale~b abi l i ù ! uomo tolleranza/intoBersnza chierico/laico millennio cerimonialeconaruxt fdiscr~ =

: : . ' : .rete mito/rito cucina.==~manza/effetto donnautopia tortura chiesa persona festa domesticamentodi e mythos(fogna

p abaco azza/dubbio violenza diavolo puro/impuro feticcio endogamia/esogamiaalgoritmo oagmi famecocrcnzs eresia religione famigliagioco

dU!llrtà approssimszfone ' ' ' 'canvemione incesto vegetalecategorie/categorizzazione libertino sogno/visione lutto

insiene: - ': — :-=.-'-= —.:=-.­ .= . Calcolo ~t o/in determinato eonoscenzs libro stregoneria regalità maschile/femminilerszionàfe/~ E~ ente numero iris/esperieaza matrimonio

coppie filosofiche peccato ritostmrnetlàa= zero esperimento parentdisciplina/discipline sacro/profano caccia/raccolta

s rutttsré ztastèmMcha legga borghesi(borghesia totemenciclopedia santità donotmafolmszioai uatumli j categorie libcltàjacrxssf tà burocrazia economia uomo/donna

innovazion%reperta eccedenteclassi formazione economico-sociale

' «//! ' t@Sgraffi mhficfàfc:l' ' insegnamento pastoriziacontadini lavoroinvenzione primitivoconsenso(dissenso ideologia modo di produzioneanalogico/digitale rappresentazione reciprocità/ridistribuzione

I,' l,Irz i egemonia/diuatura massericerca proprietàautomaI ~a a e possibilità intellettuali proletariata riproduzioneintelligenza artificiale ardine(disordine sistematica e classificazione libertàriduáone rivoluzione transizione abbondanza/scarsitàinaccbina orgsalzzaziorlc ::.==:.­. .= (ripetixlone maggioranza/minoranza bisognoprogramma semplice/camptewo scienza partiti consumosimulazione sistema ==-: Qiegttxinae apprendimento politica amministrazionc accumulazione imposta

strumento soglia v erificsbif i~ b{l it à­

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cervello autoregolazione/elfuilibrazione capitale lussocomunitàvincolo comportamento cognizioneconflitto crisi oro e argento

condizionamenta induzione/deduzione consuetudine costituzione élite distribuzione pesi e misurecontrollo sociale innato/acquisito diritto democrazia/dittatura fabbricagergo produzione/distribuzione

astronomiaatomo e ~ emozione/motivazione istinto

giustizia norma gestione ricchezzacosmologie gruppo

mente operazioniistituzioni patto imperialismo scambio

gravitazione consclvazioo@OltgÙ snss percezione marginalitàpotere impresa spreco

luce : — «tlopm quoziente mtdlettuale responsabilità opinionepotere/autorità mercato

mxtczl x .==.:=:- ==; — :. : [aa~c J povertàpubblico /privato merce

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litosfera adattamento : Aifieiaazbiinènto . ruolo/statusmota abitazione stato pianificazioneoceani srticelia

evoluzione = - . -'-. faiàtùunftà socializzazioneacqua profitto

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genotipo/fenotipo suolo sviluppo/sottosviluppoterra

territoriosanguevillaggio

Fisica I I2 I I3 Fisica

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atomo e molecola 63 4 5 4 5 • 6 9 4 • 8conservazione/invar. 3 2 5 2 4 3 I 2 z 6

entropia 3 ' 2 3 4 2 7 2 2 58 6

fisica 5 ' 5 4 5 3 3 3 6 8 5

7 6 5

4 44 3

6 3 9 9I 3 I 3 3 6

4 8

forza/campo 3 I 3 2 I 2 3 I 5 5 4 4 3 3 3 3 z 6 4 6 9moto 3 2 z 2 4 4 S 5 9 6 4 4 9

particella 2 I 3 4 2 4 3 3 3 I 5 5 ' 9plasma 9 2

propagazione4 3

3 z 4 3 3quanti 3 3 3 7 3 6

relatività 63 4 4 8 5 6 6 • 8reversibilità /irreversib.

4 7S 4 5

26 9 3 2

stato fisico 5 7 6 6 I 6 I 6 6

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atomo e molecola 4 5 2 3 9 3 2 z 64 3

4 77 6

5 5 7 2conservazione/invar. 3 3 3 2 3 7 6 5 I 5 2

entropia 3 36 6

2 2 2 7 4 35 5

4fisica

6 53

7 4 3 3 4 4 3 S 4 88 8 3 7 4

3 3

forza/campo 2 5 2 5 5 2 4 4 2 S 4 z 7 4 5 74 3 3 3

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2 7 2 2

moto5 5

6 1 3 3 2 ' . 7 72 2 7 8

6 z 8particella 6 6

5 S5 3 6 3 7

plasma 6 6propagazione 4 3 4

quanti 4 3relatività I 4 3 3 I ' 3

4 53 7

3 S4 2

7 5reversibilità/irreversib. 2 ' 3 4 4 7 6

6 32 3 2

stato fisico • 4 6 2 7 I 3 9 3 4 82 5

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Fisica .I I 4 I I 5 Fisica

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conservazione/ quanti stato

3 invarianza fisicorelatività S 4 S 4 4 4

moto 7 5 6 3 5 • 6 4 5 5

forza/campo 63 6 6

6 4 4 3 5 6

particella 5 6 5 6 6 6 S S 6 plasma fisica atomo efisica S 6 S 6 S 6 5 S 4 molecola

conservazione/invarianza 3 4 36 6 6 5 6

3 64 3 4 4 4 3 entropia

atomo e molecola 63 4 3 5 5quanti 4 3 4 4

46 forza/stato fisico 5 4 4 6 • 6 campo

reversibilità/irreversibilità 2 5 3re a reverslblbtàlativit

entropia 2 I

plasmapropagazione

z57 Fisica

si potesse trasmettere nello spazio da un pianeta all'altro senza il supporto diFisica un mezzo interposto. Non solo, ma un esame piu attento e critico crea ulterioriAtomo e molecola, Conservazione/invarianza, Entropia, Fisica, dubbi. La presenza di «azioni a distanza» come quelle dovute all'interazioneForza/campo Mo to, Particella, Plasma, Propagazione, Quanti, Relatività, gravitazionale toglie significato al concetto primitivo ed intuitivo di forza cheReversibilità/irreversibilità, Stato fisico si esercita mediante contatto e getta delle ombre sulla fondatezza delle stesse

leggi della dinamica.La grande varietà di forze che noi sperimentiarno a livello macroscopico­

Il problema centrale, di fondo, della+fisica+ non è molto cambiato da quellola forza del vento, le forze muscolari, il peso dei corpi, ecc. — si riduce a due sole

che fu il fondamentale contributo degli antichi pensatori greci ; come non sonoforze fondamentali, la forza gravitazionale e la forza elettromagnetica. La forza

cambiate le difficoltà. Ridotto ai suoi termini essenziali, il problema ultimo ri­gravitazionale è molto debole, circa caos' volte piu piccola di quella elettroma­

mane ancora quello d'interpretare il comportamento degli oggetti che ci cir­gnetica: basta strofinare un pezzo d'ambra per produrre una forza elettrica ca­

condano a partire dal+moto+ dei costituenti «elementari ». È noto che la varietà pace di attrarre dei pezzettini di carta e di opporsi perciò alla forza gravitazio­

delle forme e delle proprietà sotto cui si presenta la materia è dovuta alla di­nale prodotta dall'intera massa terrestre. Queste erano le sole forze note fino al

versa combinazione e proporzione degli elementi fondamentali che la costitui­secolo scorso ed era naturale il tentativo di farle derivare da un'unica forza fon­

scono. Il loro moto determina proprietà come il colore, il sapore, l'odore, ecc.damentale. Questo sforzo di unificazione, di descrivere i fenomeni fisici attraver­

Ma esistono i costituenti «elementari» della materia? Quale il loro moto e qualiso qualcosa di elementare o di «semplice», è alla base della scoperta scientifica.

le cause che lo determinano? Esiste una forza fondamentale della natura al­E l'idea che dietro l'apparente diversità e complessità degli oggetti che ci cir­

l'origine di tutt i questi moti? Non solo, ma esiste un legame tra i costituenticondano sia nascosta una sostanziale semplicità di fondo, ha ispirato il pensiero

elementari della materia e le forze che ne determinano il moto, oppure sono dascientifico fin dai tempi piu antichi, da quando Democrito nel v secolo a. C.

considerarsi come entità indipendenti?avanzò l'ipotesi che la materia fosse composta da innumerevoli particelle indi­

La prima grande autorevole risposta a questi interrogativi è stata data, comevisibili (atomi) in inovimento all'interno dei corpi le cui diverse proprietà ed

piu volte ricordato, da Aristotele. Egli introdusse il concetto di moto naturale,apparenze erano dovute alle diverse combinazioni degli atomi. Del resto, «spie­

che è quello che compete ai quattro elementi fondamentali — terra, acqua, aria,gare» un certo fenomeno cosa vuoi dire se non cercare di ricondurre il compor­

fuoco — di cui è costituita tutta la materia. Ciò che presiede a tutti i movimenti ètamento a poche semplici leggi> Le equazioni fondamentali della dinamica, ad

l'esistenza di una causa finale per cui tutti gli elementi tendono a raggiungere il esempio, descrivono ugualmente bene la caduta di un sasso, il moto di una frec­

loro luogo naturale. Ne segue che una pietra, composta in massima parte dal­cia o il percorso di una cometa. Che questa riduzione dei fenomeni piu dispa­

l'elemento terra, tende a cadere attraverso l'aria e l'acqua per congiungersi conrati a poche semplici leggi sia possibile è una straordinaria e meravigliosa pro­

la Terra, suo luogo naturale. Allo stesso modo il fuoco sale, essendo il suo luogoprietà della Natura.

naturale posto nella posizione piu elevata; ecc. I corpi celesti invece, perfetti,Un passo decisivo in avanti rispetto alla cosmologia newtoniana è stato fatto

sono costituiti da una quinta sostanza (quintessenza), immutabile ed incorrut­ad opera di Maxwell con l'introduzione del concetto di campo e della dicotomia

tibile, e di conseguenza non possono che muoversi nel modo piu perfetto pos­+forza/campo+: esso, assieme al concetto di energia, ha permesso di capire co­

sibile, quello del moto circolare uniforme.me le forze possono agire a distanza senza la necessità di un mezzo che le tra­

La grande costruzione di Aristotele doveva crollare circa duemila anni dopo,smetta. Partendo dai lavori di Faraday sulle forze elettriche e magnetiche, Max­

ad opera di Galileo e di Newton. Quest'ultimo diede le tre leggi fondamentaliwell introdusse questa quantità invisibile chiamata campo e riusci a scrivere le

della dinamica che regolavano non solo il moto di tutti gli oggetti terrestri rnaequazioni a cui obbedivano i campi elettrici e magnetici, fornendo cosi una teo­

anche dei corpi celesti. I complessi meccanismi del sistema tolemaico — epicicli,ria unificata del campo elettromagnetico. (Il processo di unificazione dei due

equanti, eccentrici, ecc. — vennero sostituiti da un'unica grande legge: la legge campi verrà completato con la teoria della relatività di Einstein ).della gravitazione universale. Ma, come osserva Thom, con la legge di gravi­

Ma il piu grande successo delle equazioni di Maxwell è stato l'aver fatto

tazione universale Newton calcolava tutto e non spiegava nulla e oggi non ci so­comprendere che l'ottica non era null'altro che un capitolo dell'elettromagneti­

no meno ragioni di stupirsi della caduta della mela di quante non ne avessesmo e l'aver previsto l'esistenza di onde elettromagnetiche che si propagano nel

Newton. Tuttavia la necessità di sapere dove sarebbe andata a cadere esatta­vuoto senza alcun supporto materiale trasportando, con sé, energia; da tali onde

mente una palla di cannone ebbe il sopravvento sull'autorità e sull'opinione didipende l'esistenza della vita stessa sulla Terra.

Aristotele: la storia diede ragione a Newton. Certo rimaneva aperto il proble­Il grande passo in avanti compiuto con Maxwell nella descrizione del mondo

ma interpretativo al di là del nome «che piu singulare e proprio gli abbiamo as­fisico è stato possibile grazie a uno sforzo di astrazione e a un uso ampio dello

segnato di gravità» (Galileo). Rimaneva da «spiegare» tale forza e come essastrumento matematico. Queste caratteristiche sono destinate ad accentuarsi sem­

Sistematica locale zg8z59 Fisica

pre piu in seguito. Il progressivo allontanamento tra la comprensione del feno­ profondamente diversa dalla concezione intuitiva classica che si era andata for­meno fisico e l'intuizione e sensibilità quotidiana raggiunge un livello straordi­ mando attraverso l'opera di Newton e di Maxwell. Uno degli aspetti piu carat­nariamente elevato nella teoria della +relatività+ e nella meccanica quantistica; teristici di questa nuova costruzione teoretica è senza dubbio la sostituzione deldi pari passo il formalismo matematico diventa piu pesante e le nuove teorie rigido determinismo della meccanica newtoniana con una descrizione basata sulfisiche fanno uso di teorie matematiche sempre piu astratte e complesse. Molti concetto di probabilità e la conseguente modifica della definizione di+stato fisi­dei progressi della+fisica+ degli ultimi decenni si fondano ad esempio sulla no­ co+ di un sistema.zione matematica di gruppo, anche perché i teoremi di +conservazione+ che ca­ Tornando al problema fondamentale della struttura della materia, fu benratterizzano i processi fisici appaiono legati alla+invarianza+ delle leggi fisiche presto riconosciuto che la parte piu interna dell'atomo, il nucleo, è costituitorispetto a particolari trasformazioni. Nel contempo però lo strumento matemati­ a sua volta da protoni e neutroni. I protoni sono particelle che pesano circaco ha anche una notevole funzione unificante, dal momento che il suo crescente I836 volte l'elettrone e sono dotati di una carica positiva uguale e contraria aimpiego contribuisce in maniera determinante a far si che la tradizionale divi­ quella dell'elettrone. I neutroni sono particelle elettricamente neutre che pesanosione della fisica nelle diverse branche vada perdendo sempre piu significato. quasi esattamente come i protoni. Poiché i protoni sono tutti carichi positiva­

La speranza di unificare tutte le forze conosciute, che fino al secolo scorso mente, la forza elettrica con la quale si respingono dovrebbe portare a far esplo­erano solo quella gravitazionale e quella elettromagnetica, che era stata una del­ dere il nucleo: infatti le forze gravitazionali, attrattive, sono troppo deboli perle piu salde convinzioni di Einstein, sembrò svanire definitivamente quando si bilanciare la repulsione elettrica; deve perciò esistere una nuova forza della na­scopri l'esistenza di una terza forza con caratteristiche diverse dalle prime due e tura — la forza nucleare — che tiene uniti protoni e neutroni dentro il nucleo. Gliche agiva a livello nucleare. Come è noto, la materia è costituita da atomi di esperimenti hanno mostrato che la forza nucleare è molto grande e ha un rag­dimensioni molto piccole (circa to ' cm e con peso di circa ro a~ g). Gli atomi gio d'azione molto piccolo (circa ro '~ m ) e questo spiega la ragione per cuiperò non sono oggetti solidi e indivisibili, ma sono composti a loro volta da un questa forza non è osservabile nei fenomeni che si presentano al livello dellanucleo, carico positivamente, in cui è concentrata quasi tutta la massa, e da par­ nostra vita quotidiana. Il numero delle forze fondamentali della natura sale cositicelle molto piu piccole, gli elettroni, carichi negativamente e che possono es­ da due a tre. Le speranze precedenti di unificare le due forze fino ad allora co­sere pensati come ruotanti attorno al nucleo molto velocemente (circa mille chi­ nosciute, la gravitazionale e l'elettromagnetica, svani appunto quando si scoprilometri al secondo). Secondo questo primo grossolano modello proposto da questa terza forza cosi diversa dalle altre due.Rutherford, l'atomo assomiglia al nostro sistema solare in miniatura: il nucleo La stabilità dei nuclei nasce dunque da un equilibrio tra le forze elettrichecarico positivamente attrae gli elettroni, i quali tuttavia non cadono sul nucleo repulsive e quelle nucleari attrattive e il fenomeno della radioattività consistegrazie alla forza centrifuga. proprio in una emissione di particelle dal nucleo nel tentativo, da parte delle

Una spiegazione piu completa della stabilità degli atomi fu ottenuta però particelle costituenti, di mantenere l'equilibrio fra queste due forze.solo successivamente nel decennio t9zo-3o, con l'avvento della meccanica quan­ Lo studio delle forze nucleari e lo sviluppo della teoria matematica concer­tistica. nente soprattutto l'unione, che necessariamente deve esistere, fra la teoria quan­

Questa teoria trasse le sue mosse da alcune osservazioni precedenti, dovute tistica e la relatività ha mostrato che la natura delleforze è inseparabile dalla strut­essenzialmente a Niels Bohr, secondo le quali gli elettroni atomici si muovono tura della materia. Si è scoperto infatti che non solo le proprietà delle particellesolo su ben determinate orbite fisse in corrispondenza di una ben determina­ dipendono dalle forze della natura ma che le forze stesse si trasmettono median­ta energia. Inoltre gli scambi di energia fra un elettrone orbitante e il campo te particelle le quali sono soggette ad altre forze e cosi via.della radiazione elettromagnetica non avvengono in modo continuo ma sola­ Gli sviluppi della teoria hanno anche portato Dirac a proporre l'ardita ipo­mente per multipli interi di certe quantità elementari che dipendono dalla fre­ tesi che il «vuoto» non sia,. in realtà, per niente vuoto ma riempito da un marequenza della radiazione e che sono pertanto detti +quanti+. Questi quanti, o invisibile di particelle con energia negativa. Quando una di queste particellefotoni, hanno le caratteristiche di una+particella+ con massa nulla che ha veloci­ passa dallo stato di energia negativa in cui si trova a uno stato di energia posi­tà di+propagazione+ pari alla velocità della luce. La meccanica quantistica, co­ tiva, allora essa diventa visibile: cioè i «buchi» lasciati da queste particelle in­struita dal lavoro di Broglie, Schrodinger, Heisenberg, Dirac e altri, pervenne visibili quando abbandonano il mare negativo sono equivalenti alla presenza dia una descrizione compatta delle proprietà sia della materia sia della radiazio­ particelle visibili: queste ultime particelle costituiscono l'antimateria. Esse, pre­ne risolvendo l'apparente contraddizione del dualismo ondulatorio-corpuscolare viste dapprima dalla teoria, sono poi state effettivamente osservate; il z agostoche queste due entità sembrano inevitabilmente esibire. La meccanica quanti­ I932 il fisico americano Cari Anderson ha osservato per la prima volta l'anti­stica, che costituisce una delle maggiori costruzioni del pensiero scientifico di particella dell'elettrone — il positone —, cosi denominato in quanto ha carica po­tutti i tempi, non solo ha modificato la nostra comprensione della «struttura» sitiva, mentre nel r9gg e z9g6 sono stati osservati gli antiprotoni e gli antineu­della materia e della radiazione, ma ha portato a una concezione della natura troni. Il nome di antimateria deriva dal fatto che quando una particella incontra

Sistematica locale z6o z61 Fisica

la sua antiparticella si annichila, cioè sparisce, dando luogo a un raggio elettro­ di assumere tre «valori» o «segni» diversi (che furono indicati come rosso, ver­magnetico o ad energia di altro tipo. de e blu).

Un problema che rimaneva aperto dopo la scoperta della struttura dei nuclei Il punto debole di questa teoria, che ha incontrato grande successo e popo­

era quello di spiegare l'origine della forza nucleare; una spiegazione soddisfa­ larità, è che mai nessuno è riuscito ad osservare un quark. È possibile allora checente è stata proposta nel rqgg dal fisico giapponese Yukawa sulla base del­ i quark esistano davvero ma che non si riuscirà mai a vederli> Una possibilità èl'analogia con la forza elettromagnetica. Yukawa ha proposto che ogni protone che, per rompere una particella ed estrarre i quark, sia necessaria un'energia

e neutrone sia circondato da un nuovo tipo di campo con il quale esso è ac­ talmente elevata da portare necessariamente alla creazione di una coppia quark­

coppiato attraverso una «carica» nucleare, allo stesso modo in cui un elettrone antiquark e successivamente alla formazione di due mesoni. In questa ipotesi

è accoppiato al suo campo elettromagnetico attraverso la sua carica elettrica. non risulterà mai possibile isolare un singolo quark. La situazione è tuttavia

Questo nuovo tipo di campo avrà dei+quanti+ di eccitazione analoghi ai fotoni lungi dall'essere chiara, tant'è vero che alcuni sostengono di essere riusciti a

e lo scambio di questi quanti fra due particelle produce la forza di attrazione. osservare un quark libero, mentre altri affermano la necessità di spiegare le pro­Questi quanti vennero chiamati mesoni 1t e vennero rivelati sperimentalmente prietà delle particelle osservate senza introdurre l'ipotesi dei quark. Ad ognisolo nel 1946. Misure sperimentali hanno mostrato che la carica, e perciò l'in­ modo, secondo le teorie correnti, i quark stanno assieme in quanto posseggono

terazione nucleare, è all'incirca duemila volte piu grande di quella elettrica: per un nuovo tipo di «carica» e interagiscono attraverso un nuovo tipo di quanto.

questo motivo l'interazione nucleare ha preso il nome di interazione forte. Questo quanto è stato chiamato gluone, mentre il nuovo tipo di carica non èLa teoria di Yukawa non spiegava però tutte le interazioni nucleari. Non altro che il colore, il quale, come s'è visto sopra, a differenza della carica elettrica

spiegava ad esempio il cosiddetto decadimento P, che consiste nella trasforma­ è di tre tipi. In analogia con l'elettrodinamica quantistica, la dinamica a cui ob­

zione di un neutrone in un protone, un elettrone e una particella nuova, priva bediscono queste particelle è stata chiamata cromodinamica.

di carica e di massa estremamente piccola se non esattamente nulla, battezzata Come si vede, si è ancora lontani dall'aver ridotto a pochi il numero dei co­

neutrino. Fermi spiegò il decadimento P mediante l'introduzione di una nuova stituenti elementari della materia. Partiti agi'inizi degli anni '6o con tre quark,

forza fondamentale che regolava il processo di disintegrazione del neutrone. si è già arrivati a sei, ciascuno con il rispettivo antiquark. A questi vanno ag­

Questa interazione venne chiamata debole in opposizione all'interazione forte. giunte altre sei particelle che non risentono dell'interazione forte, i leptoni (elet­Ne segue che, in analogia alle interazioni elettromagnetiche e forti, anche l'in­ trone, muone e leptone ~, e i corrispondenti neutrini ), piu le relative sei anti­terazione debole deve essere mediata da un nuovo tipo di particella che venne particelle.battezzata W. Purtroppo, a differenza di quanto è successo per il mesone 1t di Per quanto riguarda le forze, esse si possono far derivare da quattro intera­Yukawa, a tutt' oggi non si ha alcuna verifica sperimentale diretta dell'esistenza zioni fondamentali : la gravitazionale, la debole, l'elettromagnetica, la forte. Re­

della particella W: ciò si ritiene sia dovuto al fatto che, avendo la nuova parti­ centemente Weinberg e Salam sono riusciti a formulare una teoria in cui il cam­

cella una massa prevista molto grande, non è possibile la sua produzione con le po elettromagnetico e il campo debole sono semplicemente le componenti di

energie a disposizione negli attuali acceleratori. La forza debole fa capire molto un'unica entità: il campo elettrodebole.

bene come le forze della natura siano strettamente connesse alla struttura della Questo successo sembra ridare fiducia al tentativo di procedere verso unamateria, in quanto la forza debole non solo agisce sulla materia ma ne determina descrizione unitaria di tutte le interazioni ; anche se i quanti relativi alle intera­

la forma, perché converte neutroni in protoni, elettroni e neutrini. zioni deboli non sono ancora stati osservati, si pensa, con le nuove macchine

La costruzione di nuovi acceleratori ha portato alla scoperta di un numero acceleratrici in costruzione, di raggiungere le energie sufficienti per poterlo fare.sempre crescente di nuove particelle, sia pure tutte molto instabili, fino ad ar­ Sono in corso inoltre tentativi per unificare alle precedenti anche l'interazione

rivare a qualche centinaio. Partiti quindi negli anni 'go da una situazione di sod­ forte e quella gravitazionale. Questi tentativi si basano su una sempre maggiore

disfacente semplicità con poche particelle elementari, si era arrivati dopo poco geometrizzazione della +fisica+ nello spirito della teoria del campo unificato

piu di vent' anni a una situazione abbastanza confusa. di Einstein. Il campo che maggiormente attira l'interesse dei fisici è il cosiddettoTuttavia, all'inizio degli anni '6o, Geli-Mann e Ne'eman imprimono una campo di Yang-Mills; in linguaggio geometrico, esso rappresenta una connes­

svolta significativa nel panorama delle particelle elementari, partendo da con­ sione nello spazio fibrato principale in cui lo spazio di base è il cronotopo e ilsiderazioni matematiche legate al cosiddetto gruppo SU (g). Secondo la teoria gruppo compatto svolge il ruolo di gruppo strutturale. Per il successo di questeda loro proposta, tutte le particelle che ubbidiscono alle interazioni forti sono teorie unificanti è cruciale riuscire a provare che il protone è una+particella+ in­

composte da tre particelle «elementari » che battezzarono quarks (il nome è preso stabile che decade in piu particelle leggere, La sua vita media prevista è attornodal Finnegan's Wake di James Joyce). Molto presto però si dovette ammettere ai zo anni e numerosi esperimenti sono in corso nella speranza di osservare il31

l'esistenza di un quarto quark ; non solo, ma a ciascun quark si dovette in seguito decadimento del protone. Un risultato positivo di questi esperimenti costitui­

associare una nuova grandezza (alla quale fu dato il nome di «colore») capace rebbe un assai serio presupposto per l'effettiva costruzione di una teoria di cam­

z6zSistematica locale z6g Fisica

po unificata di tutte le interazioni, teoria che era stata l'ultimo sogno irrealiz­ fisica si esprime, sono di una complessità tale che ben difficilmente si riesce azato di Einstein e che getterebbe anche una notevole luce sulla nostra cono­ trovarne una soluzione. Per avere un'idea di queste difficoltà basti pensare chescenza dell'universo. Va però ricordato che le due grandi teorie della fisica mo­ dopo trecento anni che Newton ha scritto le equazioni fondamentali della dina­derna, la quantistica e la +relatività+, che costituiscono il punto di partenza i mica, ancora oggi ben poco si sa sul carattere stesso delle loro soluzioni. Nem­ogni tentativo rivolto alla formulazione di una teoria unifi'ficata di tutte le forze del­ meno il problema di sole tre particelle in interazione ha trovato soluzione in ge­! fi ' , d t t a gra n d issimi successi sono ancora lontane dal po­!a fisica, pur aven o por a o nerale e, nonostante gli sforzi di astronomi e matematici, non si ha nemmeno latersi considerare definitive. In particolare va ricordato che in entrambe le teorie prova della stabilità del sistema solare.com aiono alcune caratteristiche difficoltà che sembrano direttamente legate ai Uno dei grandi sforzi di fisici e matematici in questo secolo ha ruotato intor­f enomeni che si manifestano nell interazione fra peno

''

'

' f d u e a r t icelle a distanze assai no alla coppia +reversibilità/irreversibilità+, cercando di conciliare il determini­iccole e in intervalli di tempo assai brevi. La soluzione di tali difficoltà, che smo e la reversibilità delle equazioni di Newton con il comportamento statistico

avrà certamente un'influenza diretta sulla comprensio' ne della «struttura» delle ed irreversibile dei sistemi fisici. Inizialmente questo obiettivo si riteneva legatot' 11 e lementari sembra essere connessa all introdu '11' d zio n e i n m odo ade­ al passaggio dalle leggi della dinamica di un sistema a molti gradi di libertà a

guato nella teoria di un intervallo di tempo elementare (e conseguentemen e inte diguato, ne a teoria i un muna lunghezza fondamentale), a cui è anche legata la possibilita di superare i

1quelle della termodinamica attraverso una definizione statistica dell'+entropia+.Notevoli progressi sono stati fatti in questo campo negli ultimi vent' anni, che

cosiddetto problema delle divergenze dell'attuale elettrodinamica e delle altre hanno riproposto il problema in termini completamente nuovi e su basi matema­teorie da campo. È per ques a ragiot ione che negli ultimi anni molti sforzi sono tiche rigorose. In particolare è stata scoperta l'esistenza di un nuovo tipo distati dedicati dai fisici alle teorie dei campi reticolari o ad altre analoghe.

I brevi cenni or ora esposti bastano a chiarire che la q ouestione delle oarti­+moto+, il cosiddetto moto stocastico (intrinseco) ; con questo termine viene in­dicato quel particolare moto di un sistema dinamico che, pur essendo governato

celle «elementari» è ancora aperta. È possibile che la struttura gerarchica della da leggi rigorosamente deterministiche, si svolge coine se il sistema fosse sottomateria — +atomo e molecola+, nucleo, neutrone, q l'azione di forze puramente casuali. Il moto stocastico è perciò altamente caoti­È stata anche fatta l'osservazione che tutta la materia potrebbe essere composta co, irregolare ed imprevedibile. È attraverso esso che è possibile gettare un pon­da oche particelle: i quark fondamentali, i leptoni carichi e i neutrini. Perché te tra le leggi statistiche della fisica e le leggi dinamiche che un tempo erano con­allora tanta sovrabbondanza di particelle> Si deve forse pensare che anziché at­ siderate fra loro contraddittorie ; non solo, ma tale moto fornisce la possibilità ditenersi ad un criterio di semplicità la Natura produce tutto ciò che può produrre derivare le prime dalle seconde. Una caratteristica tipica del moto stocastico èe non solo quello di cui necessita? Spesso la situazione attuale nel campo delle l'estrema instabilità delle soluzioni al variare della condizione iniziale o sotto

particelle elementari è stata paragonata a quella che esisteva nella chimica pri­ l'effetto di perturbazioni esterne. Basti pensare che il moto di una molecola inma della classificazione di Mendeleev del sistema periodico degli elementi. un gas in condizioni normali di temperatura e di pressione risulta completamen­possi i e c e i p arossibile che il paragone sia appropriato e che procedendo!ungo a s r te alterato dopo che essa ha subito meno di cinquanta collisioni se si tiene contotuale si arrivi a una chiarificazione soddisfacente. È per. È r ò anche ossibile che laPstrada da seguire sia completamente diversa e, per ora, ' pra im revedibile. Altri pa­

dell'effetto perturbativo prodotto dal campo gravitazionale di un elettrone postoall'altra estremità dell'universo, e cioè a una distanza di circa io' anni luce.

ragoni calzanti si possono trovare nella storia ded ila+f isica come ad esempio il Queste brevi considerazioni sono sufficienti ad il luminare e anche a ridi­lungo cammino percorso per arrivare a spiegare il mot

' p' . g 'o dei ianeti. Ogni nuova mensionare l'importanza relativa del determinismo e della reversibilità dellepiu accurata osservazione sperimentale portava ad introdurre concetti nuovi o leggi della fisica classica: basta il piu piccolo errore nel dato iniziale per averemodifiche al complesso armamentario di cicli, equanti, ecc. usato per descrivere soluzioni completamente diverse. Con una grande visione anticipatrice Maxwellil moto dei pianeti. La soluzione doveva essere, come si è visto poi, di natura affermava piu di un secolo fa: «È una dottrina metafisica che dagli stessi ante­completamente diversa.

In effetti lo studio delle proprietà della materia a partire dalle proprietà e aro rietà e dalcedenti seguono le stesse conseguenze. Nessuno può dubitare di questo. Ma ciònon è di molta utilità in un mondo come il nostro dove gli stessi antecedenti non

c omportamento dei suoi costituenti elementar' p ' pi u ò re sentare delle difficoltà si verificano mai e niente capita due volte». Egli invitava perciò i cultori dellescoraggianti, anche se risultati notevoli sono stati ottenuti nella comprensione scienze fisiche a studiare le singolarità e le instabilità delle cose affinché «la pro­delle proprietà globali dei solidi, dei liquidi, dei gas e delle varie specie di+pla­ mozione della conoscenza naturale possa tendere a rimuovere il pregiudizio insma+, vale a dire di quelli che vengono chiamati i quattro stati della materia ina­ favore del determinismo che sembra derivare dall'assumere che la scienza fisicanimata. Come è possibile ad esempio prevedere quegli straordinari fenomeni co­ del futuro non sia che un'immagine ingrandita di quella del passato».me la crescita e l'autoriproduzione di un organismo biologico a partire a com­ Ora, le barriere psicologiche, ancora esistenti e derivanti da una tradizioneportamento delle+molecole+ che lo compongono? Queste difficoltà traggono ori­ di secoli che ha considerato come in opposizione i due concetti di determinismo

gine, in parte rilevante, anche dal fatto che le equazioni matematiche, in cui la c casualità, stanno finalmente cedendo. La moderna teoria ergodica e la teoria

z6g FisicaSistematica locale z6g

della complessità algoritmica iniziata da Kolmogorov sono in grado di mostraredel nucleo e sono stati ampliati i confini dell'universo, ma il senso di sbigotti­

che il moto di certi sistemi dinamici, completamente deterministici, è indi­mento che l'uomo moderno prova di fronte alle innumerevoli galassie che po­

stinguibile da un moto casuale, qualunque sia il significato che si voglia dare apolano l'universo, ai quasar o ai buchi neri non è minore di quello degli antichi

tale termine. In termini della dinamica simbolica una tale proprietà è espressache osservavano le misteriose comete. L'aspetto positivo è che, come dice Espa­

dal fatto che l'insieme delle orbite del sistema dinamico è completo. Per un esem­gnat, per compiere progressi significativi non è necessario conoscere la «natura

pio molto semplice ma istruttivo si consideri la trasformazione dell'intervalloultima delle cose». Per la qual cosa ben si addice il paragone di Newton ches'immaginava come un bambino intento a raccogliere sulla spiaggia ciottoli va­

[o, z] in se stesso riamente colorati mentre di fronte a lui sta, inesplorato, l'immenso oceano del

( t ) x„+t ­— zx„ (mod r) Reale. [p.c. e G.c.].dove (mod t) indica la sottrazione della parte intera in modo che xn+ t sia sem­

pre compreso nell'intervallo [o, f]. L'equazione (r) è deterministica e la sua so­luzione è x„ = z"xp dove xp è il Punto iniziale comPreso in [o, f] . Si noti che Billingsley, P.scrivendo xp in notazione binaria t965 Er g odic Theory and Information, Wiley, New York,

(2) xp o, a,asasa4... (tutti gli a; sono o zero o uno) Caldirola, P.t974 Dalla microjisica alla macrofisica, Mondadori, Mi lano 1976

la soluzione della (r), che ha come condizione iniziale xp, si ottiene semplice­ Caldirola, P., e Loinger, A.

mente spostando, nella (z), la virgola di un passo a destra per ogni iterazione. t979 Teoria jisica e realtà, Liguori, Napoli.

Poiché le successioni (z) sono in corrispondenza biunivoca con tutte le possi­Einstein, A., e Infeld, L .

bili successioni ottenute con il lancio della moneta (zero =— testa, uno =— croce), t938 Th e Evolution of Physics. The Groroth of Ideas from Early Concepts to Relativity andQuanta, Simon and Schuster, New York (trad. it. Boringhieri, Tor ino l970 ) .

la soluzione della (r) può essere vista come il risultato di una successione di lanci Espagnat, B. d'

della moneta. Piu precisamente, gli sviluppi della teoria della complessità al­ t976 Co nceptual Foundations of Quantum Mechanics, Benjamin, Reading Mass. 1976 ( t rad.

goritmica hanno mostrato che quasi tutte le successioni come la (z) hanno com­ i t. Bibliopolis, Napoli t98o ).

plessità di Kolmogorov positiva e sono puramente casuali in quanto soddisfanoFeynman, R. Ph.

al test universale di casualità. Perciò le soluzioni della (r) sono genuinamentez965 Th e Character of Physical Lato, Brit ish Broadcasting Corporation, London.

random pur essendo la ( t ) un'equazione rigorosamente deterministica.Franzinetti, P.

t98o In t r oduzione alle particelle elementari Ed i tori Riuni ti R o ma.Il fatto che una determinata successione abbia complessità positiva implica Heisenberg, W.

che l'informazione contenuta nella successione stessa non può essere compressa : t97t Phy s ics and Beyond, Harper and Row, New York.

cioè l'unico modo per dare la successione è quello di scriverla per intero. Ne Jammer, M.

segue che l'informazione contenuta in quasi tutte le successioni (z) è infinita e 1957 Concepts of Force. A Study in the Foundations of Dynamics, Harvard University Presa,

di conseguenza quasi tutti i numeri non possono essere scritti da nessun essereC ambridge Mass. (trad. it . Fel t r inelli , M i lano t97 I ) .

umano; sono esclusi ovviamente tutti i numeri con complessità di KolmogorovMatani, L .

nulla come gli interi, i razionali e gli irrazionali «semplici» come 7c ed e (base 198t (a cura di) Le particelle elementari, Le Scienze, Milano.

dei logaritmi naturali ). La storica opposizione tra discreto e continuo riapparePeierls, R. E.

1955 The Laros of Nature, Allen and Unwin, London (trad. it. Boringhieri, Tor ino t96o).in maniera prepotente. Segrè, E.

E noto come la continuità dei numeri reali sia la causa di molti problemi t 976 Personaggi e scoperte nella fisica contemporanea, Mondadori, Mi lano.

della+fisicao. Le osservazioni sopra fatte hanno già portato alcuni (Ford, Ross­ Toraldo di Francia, G.

ler) ad ipotizzare l'esistenza di un l imite superiore naturale alla precisione di 1976 L'indagine del mondo fisico, Einaudi, Torino.

una osservazione, che, unito alle proprietà stocastiche o instabili del moto,porterebbe all'assenza di determinismo nel mondo fisico. Questa linea d'inda­gine potrebbe portare a notevoli progressi, cosi come è sempre successo nellastoria della fisica tutte le volte che si sono imposte delle limitazioni ai valoriche possono assumere certe grandezze fisiche (energia, velocità della luce, ecc.).

Per concludere, si osservi che se nei due millenni precedenti sono stati com­piuti enormi progressi nel campo tecnico-scientifico, non altrettanto è statofatto per le questioni piu fondamentali. Si è penetrati con l'indagine nell'interno

Atomo e m o l ecola

Nella chimica e nella fisica contemporanee il concetto di molecola indica unaoggettività dotata di un insieme di proprietà misurabili e rappresentata da unastruttura spaziale costruita in base ad alcuni precisi nessi logici, corrispondentialle proprietà misurate. Questo modo di concepire la molecola deriva diretta­mente dalle concezioni del xtx secolo, in cui essa era considerata sia come lacombinazione in un composto autonomo e tipico di un insieme di unità mate­riali piu piccole, gli atomi, sia come un raggruppamento architettonico secondofigure geometriche ben precise.

La molecola può essere definita, indipendentemente dalla nozione di atomo,come il processo al limite della divisione della materia, che può esistere allostato libero ed è dotata di alcune proprietà. Ma nella definizione di molecolacome processo al limite della divisibilità della materia, o come la piu piccolaparte irriducibile nei confronti delle proprietà chimico-fisiche, si perde la di­stinzione con il concetto di atomo. Nello sviluppo della meccanica statistica,atomo e molecola si confondono nel concetto di particella ultima di un sistema,dotata di proprietà individuali, ma non misurabili singolarmente. Le proprietàdei sistemi macroscopici risultano essere la conseguenza dell'insieme delle pro­prietà individuali.

Indipendentemente da quale possa essere la costruzione della definizione dimolecola, essa rappresenta per il chimico il simbolo operazionale di una massae di una disposizione materiale, grazie al quale egli crea il suo oggetto d'indagine.

Con lo sviluppo dell'indagine chimica, la molecola tende a sfuggire al li­mite imposto dal concetto originale di massa minima specifica. Uno stesso in­sieme di atomi può essere disposto nello spazio secondo strutture diverse. Nellachimica organica, dato l'elevato numero di atomi da cui può essere costituitauna molecola e di conseguenza l'aumentata flessibilità con cui essi possono di­sporsi nello spazio, s'incontra spesso questa situazione. Le strutture risultanti,equiprobabili rispetto alle proprietà molecolari dipendenti dalla massa, possonoessere distinte in base ad altre proprietà. Alcune possono essere messe in eviden­za perché deviano in modo diverso un fascio di luce polarizzata, altre formanonel corso di una reazione composti con proprietà diverse, separabili chimicamen­te. All'insieme di questi fenomeni viene dato il nome di isomeria. In pratica, ipesi e la composizione atomica non bastano a caratterizzare delle specie pure,dovendo prendere in considerazione le caratteristiche strutturali per rendereconto delle proprietà molecolari. L'insieme dei metodi d'indagine chimico-fisicamette in evidenza la presenza di strutture molecolari complesse, varianti tra di­versi stati energetici. In questo senso la molecola può essere definita come l'in­sieme delle proprietà derivanti dalla configurazione attribuita ad una specie chi­mica. Se queste due definizioni sono interscambiabili per le piccole molecole, aldi là di alcune dimensioni molecolari questi criteri tendono a sfuocarsi. Varia­zioni discrete nella composizione non comportano differenze significative in

Atomo e molecola 8g Atomo e molecola

qualche carattere generalmente considerato come discriminante; d'altro canto, geneo dei corpi una semplice apparenza, derivante dalla composizione delle par­le proprietà fisiche di alcune macromolecole sono il risultato diretto di una di­ ticelle ultime. L'elaborazione poetica della filosofia di Democrito si t rova nelstribuzione statistica. Di conseguenza, s'indebolisce sempre piu la nozione di De rerum natura di Lucrezio.specie chimica basata su un criterio di discontinuità della materia. Dimenticata nel corso dei secoli, la concezione atomistica viene ripresa nel

Con questo non bisogna pensare che il concetto di molecola abbia perso corso del xvt secolo in opposizione alla filosofia tomistico-aristotelica. Nel r 6g6la sua autorita nella pratica di laboratorio, dove opera efficacemente come imma­ a Francoforte, l'olandese Sennert pubblica il t rattato Hypomnemata physica,gine per conoscere e controllare le trasformazioni dei corpi. in cui è descritto un sistema chimico che, in qualche modo, prefigura una con­

Negli anni seguenti la seconda guerra mondiale, alla molecola è stata attri­ cezione molecolare. Nel trattato si parla anche della distinzione tra l'estensionebuita una nuova proprietà, che consiste nel descriverla come unità in grado di e la mobilità dei corpi divisibili e i corpuscoli ultimi che conservano le formeessere «soggetto epistemologico». I biologi teorici, infatti, non esitano ad attri­ essenziali proprie alle specie dei corpi. I «prima mixta» conservano la loro in­buire ad alcune molecole «stereospecifiche» il potere di riconoscere la struttu­ dividualità nel corso delle reazioni chimiche.ra dei metaboliti da inserire in una catena di reazioni. Forse in questo, che Il merito di aver attirato l'attenzione degli scienziati sull'atomismo va es­alcuni non esitano a definire come un «abuso di linguaggio», bisogna vedere senzialmente a Gassendi. Nella Cinquième Contre-Méditation, apparsa nel r643essenzialmente il tentativo di allargare la definizione del concetto di reattività. grazie all'incoraggiamento di Mersenne, Gassendi loda tutti coloro i quali siLa problematica riguardante il concetto di molecola non deve far dimenticare il sforzano di rappresentare la natura delle cose, la loro forza o proprietà, perlegame esistente con il concetto di atomo. mezzo dell'estensione, la forza, il movimento, la posizione e in generale attra­

La definizione abituale che si dà dell'atomo è il termine ultimo della di­ verso un certo numero di piccole qualità assegnate ai corpuscoli o «principi»visione della materia, che conserva le proprietà caratteristiche alla sua identifica­ di cui è composta ogni cosa materiale. In realtà il tentativo di Gassendi con­zione come elemento chimico. Piu sinteticamente, si può dire che l'atomo rap­ siste nella ricerca di una sintesi tra epicureismo e cristianesimo. In questo sensopresenta la piu piccola particella di un elemento che può esistere' o allo stato egli affermava che gli atomi erano la prima cosa creata, non in numero infinito,libero o in combinazione. Questa definizione ha introdotto la distinzione, an­ come per Democrito, ma in numero sufficiente per costituire l'universo finito.cora usata, della materia in corpi semplici, costituiti da atomi identici, e in Fssi sono dotati di un inalterabile movimento che li spinge in ogni direzionecorpi composti, derivanti cioè dalla combinazione di atomi diversi. nel vuoto. Nel corso delle collisioni formano le molecole, particelle identifica­

Considerato per molto tempo indivisibile, legato a concezioni filosofiche che bili da alcuni attributi. Le particelle atomiche sono dotate soltanto di forma,rimontano all'antica Grecia, i progressi della fisica del xx secolo ci hanno abituato resistenza, grandezza minima e «peso», conseguenza quest'ullimo del movi­a pensare l'atomo come un sistema di particelle piu piccole in equilibrio, e a di­ mento. Nelle molecole un'altra forza diventa importante: la forza chimica. Lestinguere le proprietà della materia in proprietà elettroniche e nucleari. parti indivisibili, gli atomi, sono, secondo Gassendi, di una piccolezza infinita,

La conoscenza della struttura atomica permette di dare una definizione infinitamente al di sotto delle possibilità di percezione dei nostri sensi, e làesatta di atomo e di molecola. L'atomo è un sistema dotato di un solo nucleo, dove le nostre facoltà umane trovano il l imite, comincia la grande forza dellala molecola è un sistema a piu nuclei. L 'atomo e la molecola si confondono natura.nel problema piu generale della struttura della materia, analizzata in funzione Koyré [rggg] ha fatto notare che, da un punto di v ista epistemologico,dell'energia di legame dei suoi componenti e dell'energia corrispondente al pro­ l'atomismo di Gassendi, presupponendo dati fissi e misurabili su una materiacesso di osservazione a cui il sistema è sottoposto. Cosi l'atomo o la molecola che non è influenzata dall'osservazione, eliminava dal bagaglio scientifico ter­saranno considerati come particelle in rapporto all'energia con cui vengono esa­ mini come 'potere', 'atti', 'accidenti', 'qualità'. In questo senso gli atomi diminati. Se essa è inferiore all'energia di legame delle particelle subatomiche, o Gassendi rappresentano un passo avanti nel processo della scienza, anche sese essa è inferiore all'energia di legame degli atomi nelle molecole, gli atomi o le la conseguenza fu che la fantasia umana, non potendo osservare gli infinitamentemolecole si comporteranno come le unità elementari del processo. piccoli, si limitò ad osservare le forme delle sue aggregazioni, stimolata in questo

dall'uso, che si andava sempre piu diffondendo, del microscopio.La forza chimica responsabile secondo Gassendi della forma delle molecole,

r. La r i s coperta dell'atomismo. si esprime nella forma che viene assunta come criterio di classificazione. Gli acidivengono definiti come poliedri con spigoli taglienti, gli alcali come sostanze po­

La nozione di atomo e di molecola si fonda essenzialmente sul presupposto rose, i composti dello zolfo come corpi ramificati. Una reazione chimica è l'in­dell'esistenza di un minimo fisico, in opposizione all'ipotesi di divisibilità al­ terazione di un corpo angoloso con un corpo poroso.l'infinito, come potrebbe far supporre l'apparente omogeneità dei corpi naturali.Ci si ricollega cosi agli antichi filosofi greci. Essi vedevano nell'aspetto omo­

Atomo e molecola Atomo e molecola90 9I

di aver potuto osservare il problema da un punto di vista esterno alle diatribe2. L a mo lecola come massa. delle scuole. Interessato alla matematica e alle scienze naturali, formatosi alla

lettura di Priestly, Newton e degli allievi di Hitchison, la sua ambizione era diL'attività del chimico consiste essenzialmente nello studio delle reazioni. dare una formulazione matematica alle osservazioni dei fenomeni naturali.

Nella pratica corrente di laboratorio la molecola è vista come la piu piccola Cominciò a studiare la meteorologia, proseguendo il suo studio sui gas e iquantità in cui si possa far entrare per combinazione o sostituzione un nu­ vapori in generale. Uno dei problemi principali dell'epoca era se l'atmosfera do­mero irriducibile di atomi di un elemento qualsiasi. Nel descrivere una rea­ vesse essere considerata come un composto chimico, data la sua omogeneità, o

zione chimica, i composti che vi partecipano sono rappresentati da una for­ come un miscuglio omogeneo. Dalton mostrò che il problema poteva essere

mula. L'equazione chimica che rappresenta una reazione indica i rapporti pon­ risolto se si considerava che quando due Ruidi elastici sono mescolati, mentrederali in cui le specie reagiscono fra di loro. In questo senso è l'espressione le particelle del gas A, come quelle del gas B, si respingono tra loro, non si hacifrata della legge di conservazione della massa di Lavoisier, azione repulsiva tra le particelle di A e di B. La pressione o il peso totale su ognuna

La ricerca sistematica dei rapporti in cui reagiscono le specie chimiche nasce delle particelle deriva solamente da quelle della propria specie. Questa ipotesi,e si sviluppa contemporaneamente alla rivoluzione industriale. Per spiegare la conosciuta nella chimica-fisica come legge delle pressioni parziali, non era ac­formazione delle molecole viene introdotto il concetto di affinità chimica, che compagnata da considerazioni teoriche sulla struttura della materia e suscitòserve ad esprimere la tendenza di un elemento chimico a reagire con un altro per violente critiche da parte di grandi chimici come Berthollet, Davy, Thomson.dare un composto. Una reazione chimica è paragonata al processo di saturazione La violenza delle critiche spinse Dalton a provare la sua ipotesi, generalizzan­di una soluzione. Ogni elemento reagisce con un altro fino a saturazione della dola. Si basò sull'osservazione del comportamento dei gas nell'atmosfera e sulla

propria affinità. loro solubilità nell'acqua, assumendo che il comportamento dei singoli gas fosseI chimici svolgono essenzialmente un'attività di analisi dei composti naturali. direttamente proporzionale al peso delle particelle ultime di ogni gas: i pesi

Spesso lavorano nei laboratori che gli stati hanno costruito per cercàre di sfrut­ atomici o molecolari nel linguaggio moderno.tare meglio i minerali estratti dalle miniere presenti o sul proprio territorio o nei Si poneva cosi il problema di misurare i pesi delle particelle ultime. Par­paesi colonizzati. L' indagine chimica riguarda essenzialmente le proprietà dei tendo da una visione meccanicista e realista degli atomi e basandosi sulle os­metalli e dei loro derivati, in primo luogo gli ossidi. Infatti un metallo, scaldato servazioni dei rapporti di combinazione, Dalton formulò un'ipotesi sulla costi­nel corso della purificazione, può reagire con l'ossigeno presente nell'atmosfera. tuzione delle molecole.Un fatto non era ben chiaro : alcuni metalli possono formare piu tipi di composti Quando gli atomi di due elementi A e B si avvicinano reagendo, il fattore cri­con l'ossigeno. tico è rappresentato dalla repulsione degli atomi simili fra di loro piu che dal­

Anche il grado di saturazione di una soluzione, cioè la quantità di solvente l'attrazione degli atomi diversi. Se assumiamo gli atomi sferici e di uguale gran­necessaria a sciogliere una certa quantità di soluto, è una proprietà variabile, di­ dezza, dodici atomi di B possono teoricamente venire in contatto con un atomo

pendente dall'affinità del solvente per il soluto. Cosi anche l'affinità chimica di di A, In pratica, il risultato piu frequente è la combinazione di un atomo di Aun elemento poteva essere considerata come una quantità variabile in modo con­ con uno di B. Meno probabile, ma possibile, è la combinazione di due atomi di B

tinuo tra due valori estremi. I composti che presentavano un rapporto fisso di con uno di A. Tendendo a respingersi, i tre atomi si disporranno lungo unacombinazione erano considerati delle eccezioni. Altre proprietà, come la volati­ retta, cioè gli atomi di B saranno il piu distante possibile. Tre atomi di Blità o la tendenza verso la precipitazione e la cristallizzazione, erano responsabili intorno ad A implicano delle forze repulsive ancora maggiori, e si disporrannodi questo comportamento anomalo. ai vertici di un triangolo equilatero.

Proust, un abile analista al servizio del governo spagnolo, analizzò sistemati­ Se è conosciuto un composto chimico di A e B , esso sarà rappresentato

camente gli ossidi del rame e di altri metalli. Nel corso delle sue ricerche, aveva dalla formula AB; se due, le formule probabili saranno AB e AB„ e cosi dipreso l'abitudine di esprimere i risultati delle analisi in percentuali in peso del seguito.campione analizzato. Si accorse che i rapporti di combinazione dei metalli con Con questa interpretazione dei fenomeni Dalton offriva al chimico la possi­l'ossigeno sono costanti, in netto contrasto con l'ipotesi di variabilità delle pro­ bilità di scrivere i composti sotto forma di formule semplici e di rappresentarliporzioni. Per spiegare le sue osservazioni, attribui ai metalli la proprietà di «affi­ con una figura geometrica. Nello stesso tempo egli dava la chiave per una pos­nità elettiva» nei confronti dell'ossigeno. Sia l'ipotesi delle proporzioni variabili, sibile interpretazione della costanza delle proporzioni. Il problema che si pre­sia quella della costanza delle proporzioni non avevano un supporto teorico che sentava consisteva nella generalizzazione delle prove sperimentali e nella neces­

permettesse loro d'imporsi e di generalizzare il principio a tutti i fenomeni chi­ sità di determinare la massa minima da attribuire ad ogni elemento chimicomici conosciuti. o ad ogni molecola. In sostanza, un problema metodologico, di cui la chiave

La chiave teorica venne presentata da Dalton [t8oz ], che aveva il vantaggio veniva fornita dallo stesso Dalton. Infatti, se i corpi si combinano secondo

Atomo e molecola 92 93 Atomo e molecola

proporzioni ben definite, il loro peso può essere determinato in funzione del delle tecniche sperimentali ha permesso di riconoscere che le deviazioni eranopeso di un elemento preso come campione. Dalton scelse l'idrogeno, Berzelius dovute a fenomeni diversi come la dissociazione termica o l'esistenza di corpil'ossigeno. sotto forme diverse, dipendenti dalle condizioni sperimentali, ma non legate ad

Il mondo dei chimici comincia a popolarsi cosf delle formule, parole-chiave una variazione della composizione: le specie allotropiche.destinate a contenere nella loro rappresentazione schematica molte informazioni. Questi fenomeni, oggi compresi completamente, hanno rinforzato l'ipotesi

Particolare utilità presentarono tre leggi derivate direttamente dalla con­ atomistica a tal punto che lo studio delle deviazioni è importante per osservarecezione atomistica di Dalton. i fenomeni di dissociazione. Ma si sono posti altri problemi. L' identità mole­

Dulong e Petit, «convinti che alcune proprietà della materia si debbano colare perde le sue caratteristiche nei cristalli, dove predomina una strutturapresentare sotto una forma piu semplice, ... spinti a introdurre i piu sicuri risul­ tridimensionale dei motivi costituiti dal raggruppamento di atomi o di ioni ;tati della teoria atomica nello studio di alcune proprietà che possono sembrare in altri casi, mentre è possibile definire un raggruppamento atomico elementare,collegate intimamente con l'azione individuale delle molecole materiali» [r8r9, non è possibile stabilire se esso rappresenti un minimo fisico autonomo. È spessop. 39g], analizzarono il calore specifico di numerose sostanze. Moltiplicando il il caso dei polimeri, la cui lunghezza può variare localmente. In genere si èvalore misurato per il peso atomico, si otteneva una costante. L'osservazione fu d' accordo che una molecola possa essere isolata e fisicamente oggettivata nellogeneralizzata in una legge della materia, che fu di estrema utilità nel risolvere stato di soluzione. Alcune proprietà delle soluzioni, come pressione osmotica,alcune controversie dei chimici riguardanti il valore di alcuni pesi atomici. temperatura di ebollizione o di congelamento, sono espresse in funzione delBoltzmann confermò la validità dell'assunzione di Dulong e Petit in base alla teo­ peso molecolare del composto presente.ria cinetica dei gas. Le deviazioni trovarono una spiegazione, su una base quan­tistica, da parte di Einstein [ I907].

Mitscherlich, partendo dall'osservazione sistematica delle forme cristalline 3. Le proprietà macroscopiche come media delle caratteristiche microscopiche.e basandosi sull'interpretazione di Dalton, affermò che un numero uguale diatomi, combinati nello stesso modo, produce la stessa forma cristallina, e che I chimici avevano colto nel modello di Dalton la possibilità di definire quan­tale forma non dipende dalla natura degli atomi, ma semplicemente dal loro t itativamente l'unità, di massa partecipante ad una reazione chimica. Ma il mo­numero e dal modo in cui si combinano. Anche questa legge serviva a risolvere dello atomico aveva come punto di partenza l'identità dell'azione delle particellei casi di discussione dei rapporti di combinazione degli atomi, in base alla iso­ simili nei confronti di una grandezza macroscopica tipica dei fluidi, la pressione.morfia delle forme cristalline. Tale modello poteva essere utile per interpretare i nuovi fenomeni legati stret­

Un passo decisivo nella determinazione dei pesi atomici e molecolari fu tamente alla rivoluzione industriale e all'introduzione della macchina a vapore.fatto quasi contemporaneamente da Avogadro e Ampère. Sadi Carnot, nelle sue Régexions sur la puissance motrice dufeu et sur les ma­

L'ipotesi di Avogadro è la seguente : «M. Gay-Lussac ha mostrato.„che i gas chines propresà développer cette puissance[r8z4], accetta implicitamente il mo­si uniscono sempre in proporzioni semplici rispetto al volume e che quando il dello atomistico di Dalton. Esplicito riferimento viene fatto alla tabella delle pres­risultato dell'unione è un gas, anche il suo volume è in una relazione semplice sioni parziali di Dalton, dove venivano correlati la temperatura e la pressione,con quello dei suoi componenti... Bisogna ammettere che una relazione sem­ e alla legge di Dulong e Petit, assumendo cosf il calore specifico di un atomoplice debba esistere tra il volume delle sostanze gassose e il numero di mole­ come l'unità minima della quantità di calore di un fluido.cole semplici o composte contenute» [r8rr, p. 58]. L' ipotesi formulata è che Clapeyron e Clausius svilupparono le idee di Carnot. Per determinare le fun­volumi uguali di gas diversi nelle stesse condizioni di temperatura e pressione zioni di stato tipiche della termodinamica, Clausius si servi di un modello ma­contengono un ugual numero di molecole. Tale valore, determinato piu tardi, croscopico, mentre per sviluppare la teoria cinetica dei gas, soprattutto la dif­è conosciuto tra le costanti della chimica e della fisica con il nome di numero fusione, utilizzò un modello molecolare. Fu in grado cosf di definire un valoredi Avogadro. numerico per il numero di Avogadro.

La conseguenza immediata è che per volumi uguali di gas il rapporto tra Le teorie cinetiche dei fluidi si propongono di spiegare le proprietà macro­le densità è uguale al rapporto fra le masse. Si era trovato un metodo diretto scopiche a partire da un'analisi statistica dei movimenti delle particelle che lidi misura del peso molecolare, una volta scelta una sostanza di riferimento. costituiscono. Il punto di partenza consiste nell'analisi del fenomeno di colli­

Il concetto di peso molecolare o di peso atomico, di grammo-molecola o sione tra due particelle. Ogni molecola o atomo è assimilato ad una massa pun­mole e di grammo-atomo entrano a far parte del linguaggio della chimica. Fino tiforme, il cui movimento è, in un dato istante, funzione della posizione e dellaalla fine del xrx secolo i pesi molecolari saranno determinati da misure di densità. velocità. Dato il gran numero di molecole contenuto in un volume, anche se li­Le incertezze cui molto spesso le misure davano luogo fecero dubitare della mitato, ci si deve accontentare di una distribuzione statistica attraverso le fun­validità dell'ipotesi atomica e delle leggi che si basavano su di essa. L'affinamento zioni di distribuzione.

95 Atomo e molecolaAtomo e molecola

Maxwell parti dal presupposto che la maggior parte delle proprietà di ungas avrebbero potuto essere calcolate se, invece di determinare le posizioni e

La molecola come struttura architettonica.

le velocità di tutte le molecole, si fosse determinato il numero medio di mo­lecole che hanno un determinato valore di tali grandezze. L'assunzione alla base

La teoria di Dalton sulla costituzione delle molecole permetteva di associare

è che un gas si distribuisce uniformemente nello spazio e che, di conseguenza, ilalla formula di un composto una struttura geometrica.

numero medio di molecole è uguale in diversi punti del volume occupato.In genere la correlazione tra composizione atomica e struttura risultava fa­

Boltzmann cercò, sulla base di un modello atomico della materia, la rela­cile per i composti della chimica inorganica, che sono costituiti da un piccolo

zione tra il secondo principio della termodinamica e il principio di azione mi­numero di atomi. I l problema diventava molto piu complicato per i composti

nima in meccanica. Considerò che l'energia potesse essere pensata distribuitadella chimica organica. La composizione atomica di questi composti non per­

in quanti, piccoli, ma finiti, tra le molecole. Il problema si riduceva ad un'analisimetteva di associare una struttura semplice a causa del numero elevato di atomi

di tutti i modi in cui ad ogni molecola poteva essere associato un quanto diche formano una molecola.(Il piu semplice composto della chimica organica, il

energia o multipli interi di esso. In sostanza un problema di analisi combina­metano CH4, contiene cinque atomi ).

Il lavoro di analisi sui composti organici aveva fatto sviluppare un nuovotoria.

Una grande parte del lavoro di Boltzmann fu speso nella difesa dell'ipotesicampo d'indagine :la sostituzione, lo studio cioè della proprietà dei composti or­

atomica della materia. Tra quelli che si opposero si trovano Mach, Ostwald, Du­ganici di sostituire facilmente uno o piu atomi, in genere quelli d'idrogeno, con

hem, Helm. Mach riconosceva che l'ipotesi atomica era utile allo sviluppo dellealtri. La sostituzione non implicava però un cambiamento radicale nelle pro­

scienze ma, ancora nel 19I2, metteva in guardia i fisici dal considerarli come unaprietà del composto. La prima osservazione di tale fenomeno fu fortuita. Nelle

realtà oggettiva. Ostwald, Duhem, Helm negavano la validità dell'ipotesi ato­prime industrie a carattere artigianale era stato osservato che il cloro, utilizzato

mica anche dal punto di vista di ipotesi di lavoro, proponendo un principiocome sbiancante, era fissato in piccole quantità dalla cera nel corso del tratta­

energetico generalizzato, basandosi sull'ipotesi di una possibile generalizzazionemento. Si cominciarono ad osservare sistematicamente le sostituzioni, accumu­lando in poco tempo una quantità enorme di dati.

della termodinamica.Cosi, nell'ultima parte del xix secolo, ci si trova in presenza di due defi­

Il fenomeno, caratteristico dei composti organici, veniva spiegato con teorie

nizioni della molecola. Per i chimici è la piu piccola quantità di una sostanzache avevano un valore limitato per un gruppo ristretto di composti. Si era creata

che conserva le caratteristiche chimiche del composto e che fa parte di unacosi una situazione paradossale. La chimica inorganica cercava di organizzare le

reazione, per i fisici è la piu piccola parte di una sostanza che si muove comeconoscenze in base a leggi di portata generale, mentre la chimica organica si per­deva sempre piu nella massa dei composti che venivano isolati. D'altronde la

un tutto. La distinzione tra atomo e molecola non è chiara.Combinando la concezione fisica dei movimenti molecolari con le misure

sintesi dell urea, effettuata nel i 828 da Wohler, aveva fatto crollare la distinzione

chimiche riguardanti le proprietà delle soluzioni, Perrin si propose di dare alesistente tra chimica organica e inorganica. Le stesse tecniche di laboratorio po­

concetto di molecola una realtà oggettiva. Il problema consisteva nel trovare iltevano essere utilizzate per sintetizzare sia i composti organici sia quelli inor­

limite di grandezza al raggruppamento di atomi che possa verificare le leggiganici.

Interessato a questa situazione, il chimico francese Laurent decise di basaredelle soluzioni.

Brown aveva osservato nel i8z8 che alcune particelle, sospese in un liquido,il lavoro di ricerca per la sua tesi di dottorato sull'analisi della letteratura riguar­

erano dotate di un movimento incessante, simile al movimento delle particelledante la chimica organica. Aveva ricevuto la sua formazione presso l'Ecole des

sospese nell'atmosfera, come è possibile osservare quando un raggio di sole pe­Mines di Parigi, una delle piu prestigiose scuole di chimica dell'epoca. Si era

netra in una stanza buia. L'idea di Perrin fu di applicare la teoria cinetica deifamiliarizzato con tutte le tecniche di analisi dei composti inorganici e con le

gas al movimento browniano. Se l'ipotesi molecolare è giusta, si sarebbe potutoleggi che permettevano di risalire dalla composizione atomica alla struttura. In

determinare il numero di Avogadro, cioè la quantità di molecole contenute inaperto contrasto con il mondo accademico di Parigi, cui rimproverava l'autori­

una grammo-molecola. Con un procedimento ingegnoso, Perrin e Svedberg de­tarismo e la chiusura verso le novità scientifiche, militante nella sinistra repub­blicana, decise di lavorare da solo all'elaborazione della tesi e apri una scuola

terminarono il valore di questa grandezza, che risultò coincidere con le misureeffettuate sui gas. Confortato da questi risultati, con l'appoggio dell'interpreta­

privata di chimica a Parigi.

zione teorica formulata da Einstein, Perrin difese davanti ai piu grandi fisici eu­Nel corso del suo lavoro di ricerca si accorse che le proprietà dei composti

ropei dell'epoca, riuniti nel i9i i a Bruxelles per il primo congresso Solvay, laorganici variano in modo continuo in base al numero di atomi di carbonio pre­senti nella molecola. Assunse di conseguenza che il nucleo fondamentale dei

realtà oggettiva della molecola. composti organici fosse rappresentato dall'insieme degli atomi di carbonio, chedisponeva secondo i vertici di una piramide. A tale struttura attribuiva una sta­

Atomo e molecola 96 97 Atomo e molecola

bilità tale da potersi mantenere intatta nel corso di una reazione. I composti or­ organiche, ma le formule che proponeva non rendevano conto di un altro fe­ganici povano essere classificati in base alla presenza nella loro molecola di una nomeno: l'isomeria. Esso era stato già messo in evidenza da Faraday, Wohlerstessa struttura piramidale. Laurent chiamò queste strutture «radicali ». e Berzelius e, come amava dire Pasteur, il suo interesse consisteva essenzial­

In base a questa teoria, la sostituzione trovava una interpretazione semplice mente nella necessità di accettare il principio che i corpi possono essere diffe­e valida per tutti i composti. Se si sostituisce un atomo diverso dal carbonio, la renti per il solo fatto che la disposizione degli atomi non è la stessa in due mole­struttura fondamentale resta immutata, quindi le proprietà del composto non cole aventi la stessa composizione.variano; la sostituzione di un atomo di carbonio provoca un cambiamento radi­ Pasteur aveva mostrato durante le sue ricerche sui composti dell'acido tar­cale nella struttura, quindi un composto completamente diverso da quello di tarico che esiste una relazione tra forma cristallina e attività ottica di una so­partenza, luzione, facendo dipendere dalla dissimmetria molecolare dei cristalli il diver­

La semplicità della teoria di Laurent facilitò la sua accettazione e diffusione so comportamento delle molecole rispetto alla luce polarizzata.tra i chimici dell'epoca. Cosi, la struttura diventa importante per interpretare le Rifacendosi all'idea di Kekule sulla struttura dei composti organici, Le Belproprietà dei composti ed entra a far parte delle ricerche del chimico. e van't Hoff, indipendentemente, proposero la teoria del carbonio asimmetrico,

Per poter stabilire la sequenza spaziale degli atomi in un composto, biso­ partendo dall'ipotesi che i legami del carbonio puntano verso i vertici di ungnava definire esattamente la capacità di un elemento di combinarsi con un tetraedro. «Nel caso che le quattro affinità di un atomo di carbonio siano sa­altro, la valenza, e accettare il principio che due atomi uguali potessero legar­ turate da quattro gruppi differenti e univalenti, due e solamente due tetrae­si fra di loro. I l merito di aver definito questi due concetti viene attribuito a dri differenti possono essere ottenuti, di cui uno è l ' immagine speculare del­Kekule che cosi si espresse: «Si è visto che la quantità di carbonio che i l'altro..., due formule strutturali di isomeri nello spazio... Ogni composto del car­chimici hanno riconosciuto come la piu piccola possibile, cioè come un atomo, bonio, che in soluzione impone una deviazione al piano di polarizzazione, con­si unisce sempre con quattro atomi di un elemento monoatomico o con due tiene un atomo di carbonio asimmetrico» [van't Hoff i875].atomi di un elemento diatomico, in generale la somma delle unità chimiche La costruzione grafica delle proprietà chimiche ha dato allo sviluppo dellaunite con un atomo di carbonio è quattro. Questo ci porta a considerare il chimica organica un impulso decisivo. La struttura di una molecola viene rap­carbonio come tetrabasico o tetratomico. Nel caso di sostanze che contengono presentata in modo alquanto artificioso secondo una figura geometrica. Questepiu atomi di carbonio, bisogna assumere che almeno alcuni degli atomi sono formule costituiscono essenzialmente un potente aiuto tassonomico. Inoltre lelegati nello stesso modo nel composto dall'affiinità del carbonio e che gli atomi proprietà che possono essere collegate alla struttura aiutano il chimico nel pren­di carbonio si legano uno all'altro, in modo che una parte dell'affinità di uno è dere le decisioni. In questo senso possono essere considerati degli strumenti eco­naturalmente ingaggiata con una parte uguale dell'affinità dell'altro. I l modo nomici di simulazione per mezzo dei quali il chimico può rappresentare le tra­piu semplice, quindi piu probabile, di una tale associazione degli atomi di car­ sformazioni molecolari che disegna prima di passare alla prova sperimentale.bonio è che una affinità di uno sia legata ad una unità di un altro» [r 859, p. i z9]. Kekule volle dimostrare come le formule di struttura che proponeva permet­

Kekule era ossessionato dalla possibilità di legare gli atomi fra di loro in una tessero di predire le proprietà e la possibilità di sintesi dei composti organici,struttura complessa. Nel r89o, durante la celebrazione in suo onore per il ven­ Scelse, tra varie possibilità, di sintetizzare il trifenilmetano, composto base perticinquesimo anniversario della scoperta della formula del benzene, davanti ai ottenere un colorante, il rosa anilina, e la scelta si rivelò fortunata. La ricercamembri dell'associazione dei chimici tedeschi, Kekule rivelò che l'idea di legare sintetica nel campo dei coloranti, primo esempio di produzione industriale nelgli atomi fra di loro gli apparve mentre viaggiava su un omnibus a Londra, campo della chimica organica, ricevette uno stimolo considerevole. L'espansioneuna notte d'estate del r854 tra Islington e Clapham. «Caddi in un sogno. Gli e la superiorità acquistata dall'industria tedesca dei coloranti a partire dalla fineatomi ballavano davanti ai miei occhi. Le avevo sempre viste in movimento del xix secolo sono dovute in parte ai chimici formatisi alla scuola di Kekule, inquelle piccole cose, ma non ero mai stato capace di discernere la natura del onore del quale l'associazione degli industriali chimici eresse una statua.loro movimento. Ora, tuttavia, seppi come due piccoli atomi si uniscono per Ma da molto tempo ormai i vertici dei tetraedri non rappresentano piu cru­formare un paio; uno piu grande poteva legarsi a due piu piccoli, come uno damente la posizione degli atomi intorno al carbonio centrale, come gli atomipiu grande ancora poteva legarsi con tre o quattro atomi piu piccoli. Tutto que­ non rappresentano piu la piu piccola parte indivisibile della materia. L'unifi­sto mentre l'insieme continuava a danzare follemente. Seppi come i piu grandi cazione della problematica atomo/molecola nel problema piu generale dellaformano delle catene e i piu piccoli si aggrappano soltanto alle estremità delle struttura della materia è il risultato della ricerca dei fisici e dei chimici all'iniziocatene» [cit. in Partington r964, p. 5g7]. Svegliato dal conducente dell'omni­ del xx secolo. Alcuni fatti sperimentali hanno imposto il cambiamento nelbus, passò tutta la notte a mettere nero su bianco i suoi sogni. modello interpretativo.

L'intuizione di Kekule, che aveva ricevuto una formazione di architetto pri­ma di dedicarsi agli studi chimici, fu fondamentale nello sviluppo delle sintesi

Atomo e molecola 98 Atomo e molecola99

Ma i raggi X avevano un comportamento strano. Non erano deviati né daL'evidenza sperimentale della complessità della struttura atomica. un campo elettrico né da un campo magnetico, non erano né riflessi né rifratti,

non presentavano fenomeni di di ff razione come qualsiasi sorgente luminosaNel t858 Geissler, soffiatore di vetro e tecnico meccanico a Bonn, realizzò quando i raggi sono fatti passare attraverso una fessura. Essi venivano sola­

un tubo di vetro in cui, dopo aver fatto parzialmente il vuoto, faceva avvenire mente assorbiti, di piu o di meno.una scarica elettrica. Si aveva cos(. la comparsa di una radiazione luminosa. Se si attribuiva ai raggi X una natura ondulatoria, come la luce, la lun­

Il nome di raggi catodici deriva dalla dimostrazione di Perrin che la ra­ ghezza d'onda doveva essere necessariamente molto piccola. Per verificare talediazione è costituita da corpuscoli carichi negativamente, proiettati a partire ipotesi bisognava eseguire una misura di diffrazione, ma per poter far questo sidal catodo. Perrin dichiarò che l'idea gli era venuta dallo studio dei lavori di doveva trovare un reticolo che contasse qualche migliaio di righe per millime­Helmholtz sull'elettrolisi. Volendo interpretare il nuovo fenomeno secondo tro, mentre il miglior reticolo che si era capaci di costruire ne conteneva zoo perla teoria corpuscolare, si accorse che era necessario introdurre il concetto di millimetro.atomo di elettricità. In questo non bisogna vedere niente di rivoluzionario, ma Max von Laue pensò che un cristallo doveva costituire il reticolo ideale persemplicemente il tentativo d'interpretare secondo la teoria atomista quello che osservare la diffrazione dei raggi X. Il cristallografo francese Hauy, basandosiOstwald e altri ricercatori interpretavano secondo la teoria energetica. Infatti, sull'osservazione che i frammenti di un cristallo conservano la stessa forma delil concetto di minimo di elettricità è contenuto implicitamente nelle leggi di Fa­ cristallo iniziale, aveva formulato l'ipotesi che la struttura geometrica dei cri­raday sull'elettrolisi. Faraday aveva dimostrato che il rapporto tra le quantità di stalli fosse dovuta alla ripetizione nello spazio di una struttura fondamentale, ilsostanze che si depositano agli elettrodi al passaggio di una stessa quantità di nucleo cristallino.elettricità è uguale al rapporto in cui le stesse sostanze si combinano con l'idro­ Bravais si basò su questa ipotesi e classificò i minerali secondo poliedri, lageno. cui ripetizione nello spazio dà origine alla forma cristallina osservata. Se i ver­

Restavano da determinare le caratteristiche delle particelle costituenti i raggi tici di tali poliedri vengono fatti coincidere con la posizione delle molecole delcatodici. Il primo ad accorgersi che la massa di tali particelle è molto piccola composto, un cristallo può essere rappresentato come una rete tridimensionale,fu Wiechert, seguito da Thomson. Ouest'ultimo misurò nel t898 il rapporto le cui maglie sono riconducibili a figure geometriche semplici. Se il cristallo hacarica/massa. Il valore della carica fu determinato in modo definitivo tredici anni la forma di un cubo, il reticolo può essere visto anche come un insieme di lineedopo da Millikan, con un metodo abbastanza ingegnoso. Egli, infatti, ionizzava parallele.una goccia d'olio sospesa tra le due armature di un condensatore, cioè osservava Le dimensioni di una molecola sono molto piccole, e la distanza intermoleco­il movimento della goccia ionizzata in un campo elettrico. L'osservazione con­ lare in un reticolo deve essere piccola. La sequenza delle molecole in un cristallotinuava per molte ore con l'aiuto di un microscopio. Dal movimento osservato, rassomiglia cosi ad un reticolo di diffrazione con un numero di righe che non sie conoscendo il campo elettrico, è possibile risalire alla carica. sarebbe mai stati capaci di realizzare in laboratorio.

Thomson osservò che le particelle prodotte in tali tubi erano le stesse indi­ L'esperienza fu eseguita da due collaboratori di Laue, Friedrich e Knipping,pendentemente dal gas presente e dalla natura degli elettrodi. Queste particelle, confermando pienamente l'ipotesi. Il metodo fu perfezionato dai Bragg e dainoltre, avevano le stesse caratteristiche di quelle emesse dai metalli quando De Broglie, che stabilirono una relazione matematica tra la distanza deglisono scaldati (effetto Edison) o in seguito all'azione dei raggi ultravioletti e X atomi nei reticoli, la lunghezza d'onda dei raggi X e l ' angolo d'incidenza.sui metalli. La conclusione logica fu che queste particelle, gli elettroni, sono i Debye e Scherz estesero il metodo ai sistemi amorfi e Davisson e Germer, percostituenti comuni a tutti gl i atomi. caso, osservarono che anche un fascio di elettroni, comportandosi come un'onda

Nel r895 il fisico tedesco Roentgen osservò accidentalmente che una lastra luminosa, veniva diffratto dalle sostanze che incontrava, anche se queste si tro­ricoperta di platino-cianuro di bario diventa luminosa nelle vicinanze di un tubo vavano allo stato gassoso.a raggi catodici contenuto in una scatola di cartone nero in una stanza al buio. La struttura di una molecola è pensata come un ordinamento tridimensio­Interessato dal fenomeno, notò che le lastre fotografiche al riparo dalla luce ve­ nale di atomi. Se non è dotata di struttura cristallina, può essere assimilatanivano impressionate e che poteva essere fotografata una mano mettendo in ad un composto atnorfo. La distanza tra gli atomi costituenti la molecola serveevidenza le ossa. Concluse che il tubo emetteva una specie di radiazione molto come reticolo base di diffrazione. Facendo incidere un fascio di raggi X di lun­potente e, non sapendo come chiamarla, la chiamò X. ghezza d'onda conosciuta, si possono ricavare le distanze inter-reticolari, cioè le

Nel t896 Perrin, basandosi su un'ipotesi di Poincaré, identificò la sorgente distanze tra gli atomi. Si era trovato cosi il metodo per « fotografare» la molecola.dei raggi X nell'ostacolo che gli elettroni incontrano sul loro cammino, L'inten­ A partire da questo momento le strutture tridimensionali delle molecolesità della radiazione emessa dipendeva dalla natura dell'ostacolo, permettendo non sono soltanto un'ipotesi di lavoro ma una realtà. L'affinamento dei metodicosf di stabilire una relazione tra peso atomico e intensità dei raggi X. sperimentali permette di r isolvere delle strutture complesse, spesso in modo

Atomo e molecola Ioo IOI Atomo e molecola

completamente automatico. I raggi diffratti vengono automaticamente trasfor­ Cosi si espresse Thomson: «Considero l'atomo come contenente un ampiomati in informazione per un elaboratore elettronico, cioè al posto della foto­ numero di corpuscoli... Nell'atomo normale questo insieme forma un sistemagrafia si hanno delle schede perforate. Programmi di calcolo standard risolvono che è elettricamente neutro. Benché i corpuscoli isolati si comportino come ionila struttura. Nel i g5z Watson e Crick riuscirono a dedurre, a partire da esperienze negativi, quando essi sono associati nell'atomo neutro l'effetto negativo è bilan­di diffrazione, la struttura di una macromolecola complessa, il DNA. La biologia ciato da qualcosa che fa si che lo spazio, nel quale i corpuscoli si t rovanomolecolare trovava l'oggettivazione del suo soggetto di lavoro. dispersi, si comporti come se fosse dotato di una carica elettrica positiva uguale

In un tubo a raggi catodici, se si pratica un foro sul catodo, si osserva il come quantità alla somma delle cariche negative dei corpuscoli» [ i8gg, p. 547].passaggio di una radiazione chiamata da Goldstein, che la osservò per primo, L'atomo, secondo Thomson, consiste in una sfera carica positivamente, di'raggi canale'. Nel ingoi Wien osservò sperimentalmente che essi erano costituiti raggio uguale al raggio atomico ( io — ' cm). Gli elettroni all'interno di questada particelle con una carica positiva e che la loro massa era di molto superiore sfera eseguono delle oscillazioni armoniche ed emettono una radiazione di fre­alla massa dell'elettrone e vicina alla massa degli atomi del gas presenti nel quenza data. Lorentz, prendendo spunto dai lavori di Maxwell, formulò il mo­tubo, dello matematico basato sui principi dell'elettrodinamica classica.

Thomson notò che i raggi canale, deviati da un campo elettrico o magnetico, Rutherford pensò di poter misurare la carica positiva presente nell'atomodisegnavano su uno schermo luminoso, perpendicolare alla loro direzione ini­ in base alle deviazioni di una particella z nelle vicinanze del nucleo, secondoziale, una parabola dai contorni talmente netti, che si poteva assegnare una pa­ la legge di repulsione di due cariche positive formulata da Coulomb. Furonorabola per ogni elemento chimico. Nel tentativo di fare questa assegnazione, cosi sistematicamente osservate le deviazioni delle particelle o nelle vicinanzeAston, lavorando nello stesso laboratorio di Thomson, perfezionò l'apparecchio dei nuclei di varie sostanze. I risultati sperimentali potevano essere interpretatiin modo che i raggi deviati si concentrassero in un punto. Era nata cosi la solamente se si pensava la carica positiva come concentrata in un volume piuspettroscopia di massa, ampiamente utilizzata nella fisica delle particelle. piccolo del volume atomico.

Ma quale fu la sorpresa di Aston nel constatare che campioni omogenei di Rifacendosi ad un modello proposto nel i go' da Nagoaka, Rutherford proposeelementi chimici davano luogo a piu fasci canale deviati. Avendo la stessa carica, per l'atomo un modello planetario: il nucleo al centro, gli elettroni ruotanti sul'unica spiegazione possibile consisteva nella differenza di massa, Si ritrovava un orbite circolari.risultato noto ai fisici che s'interessavano di radioattività: l'esistenza di isotopi.

Crollava cosi uno dei principi fondamentali dell'atomismo, che consideravauguali tutti gli atomi di uno stesso elemento. Nello stesso tempo, però, si risol­ 6. La q uantificazione della radiazione può spiegare la stabilità dell'atomo.vevano tutte le discrepanze nella determinazione dei pesi molecolari e dei calorispecifici atomici. Benché riuscisse a spiegare molti fenomeni sperimentali, l'atomo di Ruther­

Interessato ai nuovi fatti della fisica, Poincaré suggeri a Becquerel di studiare ford non era dotato di una struttura stabile. L 'elettrone, secondo la teoriai raggi X utilizzando composti diversi. Il caso fece scegliere a Becquerel un sale elettromagnetica classica, muovendosi intorno al nucleo emette energia, dimi­d'uranio : con sua grande sorpresa osservò che il cristallo non solo emetteva una nuendo cosi progressivamente il raggio della sua orbita fino a cadere sul nu­radiazione capace d'impressionare una lastra fotografica, ma che rendeva un gas cleo. La soluzione fu trovata nell'ipotesi di una struttura discontinua della ra­conduttore di elettricità. diazione.

Becquerel affidò ai coniugi Curie il compito di proseguire lo studio e di L'idea di quantizzare la radiazione era stata introdotta nella fisica agli iniziisolare altri composti che fossero dotati delle stesse proprietà. Nel giugno del del xx secolo: nel igl oo Planck, per interpretare la radiazione del corpo nero,i898 i due ricercatori isolarono un nuovo elemento, il radio, in dicembre dello era dovuto ricorrere all'ipotesi che l'emissione della radiazione avvenisse solostesso anno il polonio. per quantità discrete. I motivi che lo avevano spinto ad introdurre quest'ipotesi

Rutherford analizzò in dettaglio le radiazioni emesse e notò che soltanto due sono spiegati dallo stesso Planck in una lettera a Wood: «Boltzmann ha spiegatodi esse erano deviate da un campo magnetico, Chiamò i tre fasci in cui si divide­ come un equilibrio termodinamico si stabilisca per mezzo di un equilibrio stati­va la radiazione raggi x, P, y. Le particelle x furono assimilate a nuclei di elio ca­ stico e, se un tale tipo di approccio è applicato all'equilibrio tra materia e ra­richi positivamente e l'osservazione sistematica permise di stabilire che l'emis­ diazione, si trova che la perdita continua di energia sotto forma di radiazionesione di una particella x provoca l'abbassamento del numero atomico di due può essere eliminata assumendo che l'energia, al momento dell'emissione, siaunità, mentre l'emissione di raggi P conserva il peso atomico, ma aumenta il nu­ obbligata a restare sotto forma di quanti. Questa era semplicemente un'assun­mero atomico di una unità. zione formale e in realtà non ho voluto darle molta importanza eccetto per il

Si poneva cosi ai fisici il problema di trovare un modello dell'atomo che per­ fatto che, costi quello che costi, dovevo trovare un risultato positivo» [citata inmettesse di descrivere i nuovi fatti osservati. Hermann ig7i ].

Atomo e molecola I OZ I 03 Atomo e molecola

Questo «atto di disperazione», come lo definiva lo stesso Planck, gli era per indicare la regolarità degli spettri degli elementi delle formule empirichecostato la rinunzia all'opposizione praticata per molto tempo contro l'atomi­ molto semplici, generalmente funzione della differenza dell'inverso dei qua­smo e alla polemica contro Boltzmann. drati di due numeri interi moltiplicato una costante. L'espressione matemati­

Nel volume XVII degli «Annalen der Physik», Einstein [ I905], ancora pra­ ca era molto simile a quella usata da Bohr, che pensò di servirsene per la suaticamente sconosciuto, pubblica un articolo dal t i tolo Su un punto di v ista teoria.euristico concernente la produzione e la trasformazione della luce. Se Planck aveva Nel i9i3 Bohr presentò la sua teoria atomica, basandosi su due postulati.supposto che lo scambio di energia tra materia e radiazione avvenisse per quan­ Il primo assume che gli elettroni si trovino su stati stazionari, le orbite, il cuitità discrete, Einstein attribuisce alla radiazione una struttura discreth, i fotoni, comportamento può essere descritto tramite le equazioni classiche del movi­cui è associata un'energia uguale a hv. La costante h è la stessa introdotta da mento ; il secondo stabilisce che le transizioni tra due stati stazionari non sonoPlanck per spiegare la radiazione del corpo nero ed è diventata in seguito una processi descrivibili classicamente e che sono accompagnate dalla emissione ocostante universale con il nome di costante di Planck. dall'assorbimento di un quanto di radiazione omogenea o da multipli interi

Un giovane fisico viennese, Haas, cercò di trovare un significato fisico alla [Bohr i9 i 3 ].costante di Planck. Pose cosi l'uguaglianza tra l'energia dell'elettrone nell'a­tomo d'idrogeno e la costante di Planck. Riusciva a trovare alcune grandezzeatomiche, ma sfortunatamente il modello su cui si basava era quello di Thomson. Il modello atomico permette di spiegare la formazione dei legami chimici.

Il problema dei quanti passò da problema marginale — in pratica le di­scussioni sui quanti coinvolgevano soltanto una parte dei fisici dell'epoca e so­ Il modello di Bohr diventava lo schema teorico che permetteva di analizzareprattutto i fisici tedeschi — a problema centrale della fisica con il congresso Solvay la struttura atomica e i fenomeni spettrali. Nello stesso articolo, nella terza partedel i9i i . Du rante questo congresso vennero discussi la realtà oggettiva della esattamente, Bohr applicò i principi del suo modello per cercare di spiegare lamolecola, l'idea dei quanti, i pr imi modelli atomici. In pratica furono ana­ regolarità del sistema periodico degli elementi e la formazione delle molecole.lizzati i nuovi problemi della fisica teorica. Da alcuni anni infatti i fisici avevano cercato di stabilire un legame tra strut­

Un giovane fisico danese, Niels Bohr, lesse attentamente gli atti del congresso tura dell'atomo e due fenomeni chimici fondamentali: il legame chimico, cioèed ebbe la possibilità di discuterne frequentemente con uno dei protagonisti, la capacità degli atomi di legarsi fra di loro, e la valenza, la proprietà che deter­Rutherford, presso il quale passava l'anno di ricerche all'estero, obbligatorio per mina il numero di atomi o gruppi atomici con cui un atomo isolato o unchi avesse sostenuto una tesi di dottorato. Nella preparazione della tesi, cen­ gruppo di atomi si unisce chimicamente, oppure la capacità di un elemento ditrata sullo studio delle proprietà elettroniche dei metalli, Bohr si era convinto combinarsi con l ' idrogeno.che l'elettrodinamica classica era inadeguata a spiegare i nuovi fenomeni ato­ Thomson, nel suo trattato Corpuscular Theory of Matter [i9oy], aveva po­mici. Leggendo gli atti del congresso venne in contatto con il modello di Haas e stulato che il legame chimico fosse basato essenzialmente sul trasferimento deglipensò di applicare la quantificazione al movimento degli elettroni nell'atomo. elettroni da un atomo ad un altro, con conseguente attrazione elettrostatica.Ogni movimento avrebbe potuto essere caratterizzato da un'energia diretta­ Secondo Kossel, allievo di Sommerfeld, in accordo con alcune idee espressemente proporzionale a multipli interi di h. Combinando tale principio con le da Bohr, le proprietà chimiche di un atomo sono determinate dal numero diespressioni classiche del moto, si sarebbero potute stimare, con buona appros­ elettroni nell'anello piu esterno, gli elettroni di valenza. Egli postulò, inoltre,simazione, le forze agenti in un sistema atomico. che la notevole stabilità, dal punto di vista della reattività chimica, dei gas nobili

Applicando le sue ipotesi al modello di Rutherford in maniera qualitativa, fosse dovuta alcompleto riempimento dell'orbita esterna da parte degli elettroni.Bohr si accorse che molte cose diventavano chiare. Gli atomi potevano essere Questi erano otto per tutti i gas nobili eccetto l'elio, che ne aveva solamentepensati come un nucleo contornato da anelli su cui si muovono gli elettroni, due. Ogni elemento, per raggiungere una configurazione elettronica stabile,ma anche le molecole potevano essere pensate come un sistema a piu nuclei, corrispondente alla configurazione elettronica del gas nobile che lo precede o locon gli elettroni ruotanti in anelli simmetrici rispetto alla disposizione dei nuclei. segue nella tavola periodica degli elementi, perde o acquista elettroni. Princi­Si introduceva cosi, per la prima volta, una distinzione netta tra atomo e mo­ pale responsabile di un legame chimico è l'attrazione elettrostatica, anche selecola. Il legame chimico poteva essere considerato come il risultato della messa non si può escludere una forma di compartecipazione degli elettroni di duein comune degli elettroni fra gli atomi, come alcuni calcoli semplici facevano atomi, soprattutto quando essi sono molto simili.prevedere per la molecola d'idrogeno. Un mese dopo la pubblicazione del lavoro di Kossel, il chimico americano

Ritornato a Copenhagen, Bohr si propose di pubblicare questi risultati cer­ Lewis pubblicò un lavoro in cui, volendo spiegare i legami presenti nei com­cando una base piu solida ai suoi principi. Discutendo con uno dei suoi col­ posti organici, affermava che il legame piu comune della chimica era la conse­leghi, lo spettroscopista Hansen, Bohr apprese che gli spettroscopisti usavano guenza della messa in comune di due elettroni tra due atomi. Per spiegare

Atomo e molecola I 04 Atomo e molecolaI 05

la possibilità degli atomi a formare i legami, Lewis immaginava gli elettroni si­ Nell'ambito dei chimici organici dell'epoca, la nuova teoria fu accettatatuati ai vertici di un cubo, con il nucleo al centro. subito in Inghilterra, respinta in Germania, quasi ignorata negli Stati Unit i .

Le idee di Kossel e di Lewis rimasero sconosciute ai chimici. La spiega­ I chimici americani passavano da un atteggiamento di puro disprezzo — giudi­zione comunemente accettata è che i chimici, impegnati nei probleini di difesa cando, come fece il chimico Frey, «metafisiche» tutte le teorie sulla strutturaa causa della guerra, furono sviati dai problemi teorici. atomica, con i loro ipotetici gusci di elettroni o orbite elettroniche — ad un

Nel i9i 9 Langmuir, un chimico americano, propose una sintesi tra le teorie atteggiamento di attesa. Lo spirito generale era che il cammino piu sicuro perdi Lewis e Kossel. I legami chimici possono essere di due tipi: i) elettropolare, un chimico organico fosse di pensare la valenza elettronica «semplicementeconseguenza del trasferimento di un elettrone da un atomo ad im altro e dotati come il numero di cariche negative che un atomo può acquistare o perdere neldi energia essenzialmente uguale all'attrazione elettrostatica tra i due ioni ; raggiungere il mistico numero di otto, lasciando i problemi di struttura atomicaz) non-polare, dovuto alla messa in comune degli elettroni fra i due atomi. ai fisici» [Conant I928, p. 25 ].

Gli atomi possono essere rappresentati dal loro simbolo circondato da tanti Nell'opposizione tedesca bisogna vedere due fattori. I l p r imo, di ordine

puntini quanti sono gli elettroni presenti. Le formule di struttura molecolari socio-politico, è l ' isolamento scientifico della Germania negli anni dopo lasono pensate in modo che ogni atomo, eccetto l'idrogeno, si trovi ad essere cir­ prima guerra mondiale. La crisi economica rendeva praticamente impossibilicondato da otto elettroni. non solo i viaggi all'estero, ma anche l'abbonarsi alle riviste straniere. Haber,

La teoria riusciva a visualizzare la capacità degli atomi di combinarsi e per­ uno dei piu noti chimici dell'epoca, scrive a Langmuir i l zg dicembre 192Imetteva, inoltre, di spiegare, almeno intuitivamente, le proprietà dei composti, pregandolo di inviargli gli estratti dei suoi ultimi lavori : «Le nostre comunica­soprattutto dei composti organici. La teoria si affermò soprattutto a causa del zioni con gli Stati Uniti sono in una terribile situazione ; non mi è stato possi­successo che conseguiva nel razionalizzare i meccanismi delle reazioni organiche bile trovare tale giornale in tutta Berlino» [citato in Kohler 1975], Nello stessoa tal punto che viene ancora usata nei testi di chimica. Non r iusciva però a tempo gli scienziati tedeschi si erano imposti un autoisolamento nei confrontispiegare i problemi di stereochimica, l'attività ottica e soprattutto i fenomeni degli anglo-americani. La risposta nazionalista alla sconfitta militare faceva par­spettrali che stavano assumendo un'importanza fondamentale come metodo per te dello spirito del dopoguerra e aveva conquistato anche gli ambienti scientifici.identificare i composti. Il secondo motivo è che le due figure principali della teoria della valenza

La teoria dell'ottetto fu ignorata da molti, soprattutto dai chimici-fisici e dai in Germania furono due fisici: Stark e Kossel. La teoria dell'ottetto di Kosselfisici. In opposizione con il modello di Bohr, modello essenzialmente dinamico, era apparsa quasi contemporaneamente a quella di Lewis. I chimici tedeschii due chimici americani proponevano un modello statico, interessati com'erano preferirono adottare le idee dei due fisici. Bisogna aggiungere, però, che laa interpretare i problemi di reattività delle molecole. teoria elettronica del legame rimase marginale fra i chimici organici tedeschi.

Un ragionamento tipico della teoria di Lewis-Langmuir può essere il se­ Quelli che la adottarono, in genere, venivano da esperienze di r icerca neiguente. Si era osservato che la sostituzione di un atomo di cloro a un atomo campi della chimica-fisica; la maggior parte continuò ad usare le idee tradi­di idrogeno in un acido organico aumentava il carattere acido del composto. zionali, assumendo un atteggiamento di chiusura, sicuri della superiorità con­La spiegazione che veniva data è abbastanza semplice. Il cloro, nel tentativo quistata dalla chimica tedesca.di completare il suo ottetto, acquista un elettrone e, dato che il suo nucleo In Inghilterra la diffusione della teoria è legata essenzialmente al tentativo

contiene piu protoni, quindi è piu positivo, attrae l'ottetto piu vicino, rendendo di alcuni chimico-fisici di risolvere la contraddizione tra modello dinamico ecosi piu poveri in elettroni gli altri atomi, in modo particolare l'idrogeno, che, modello statico dell'atomo. La conseguenza fu che si riusci a dimostrare l'uti­

avendo un solo elettrone, si dissocierà cosi piu facilmente come ione H+. Tutti lità della teoria nell'interpretare alcuni problemi chimici. In parte contribui ali gruppi della chimica organica potevano essere classificati secondo la capacità successo l'abitudine di alcune scuole della chimica organica a cercare una teo­di attirare o di cedere gli elettroni ad altri gruppi. Tale effetto poteva essere ria che potesse rendere conto di una reazione organica, spiegandone le singole

pensato propagarsi lungo lo scheletro di atomi di carbonio, che forma la strut­ tappe, i meccanismi di reazione.tura base di ogni composto organico. In questo senso tutte le teorie, dai legami di Kekule ai tetraedri di van't

La teoria di Laurent, cui si è accennato prima, trovava una base di con­ Hoff, ai legami elettrostatici, erano state utilizzate. La teoria di Lewis-Langmuir

ferma elettronica e non solo sperimentale. Di qui il perdurare nei testi di chi­ aveva il vantaggio di essere semplice e di inglobare molti fatti sperimentali.mica organica sia della classificazione in base ai radicali, sia della teoria di Lewis. Questa ricerca affannosa di una teoria che permettesse di fare notevoli pro­

La nuova teoria del legame riusci a prevedere anche alcuni fatti sperimen­ gressi nel campo della chimica organica era anche la conseguenza del bruscotali. Lo ione H —, previsto dalla teoria in quanto la sua struttura elettronica risveglio che la prima guerra mondiale aveva provocato nella chimica inglese.corrisponde a quella dell'elio, fu messo in evidenza sperimentalmente effettuando La ricerca svolta in alcuni centri universitari era competitiva a livello interna­l 'elettrolisi del composto formato da idrogeno e litio, l' idruro di l i t io. zionale, ma l'industria chimica era praticamente priva di laboratori di ricerca e

Atomo e molecola ro6 I07 Atomo e molecola

di personale qualificato. La presenza dell'industria chimica inglese sui mercati trone è una carica elettrica che ruota, dunque è dotato di un momento magnetico,internazionali era marginale. La maggior parte dei prodotti chimici erano pro­ che interagisce con un campo magnetico esterno assumendo valori discreti. Ildotti dalla Germania e dalla Svizzera. Cosi l'Inghilterra, che alla metà del xrx terzo numero quantico può essere messo in relazione con la posizione che l'el­secolo esportava la metà della sua produzione chimica, allo scoppio della prima lissi occupa rispetto ad un campo magnetico esterno.guerra mondiale importava i nove decimi del fabbisogno nazionale. Anche i co­ Il quarto numero quantico fu introdotto da Pauli. I l numero quantico diloranti utilizzati per le uniformi militari erano importati dalla Germania. spin rappresenta essenzialmente la rotazione dell'elettrone intorno al suo asse.

Per rimediare a questa situazione furono nominate numerose commissioni Goudsmith e Uhlenbeck mostrarono che con queste quattro grandezze si po­governative. Tutte furono d' accordo nel riconoscere che i principali rimedi con­ tevano interpretare le caratteristiche degli spettri atomici.sistevano in un rinnovamento degli studi e in un intervento diretto dello Stato Bohr non aveva mai abbandonato l'idea di poter descrivere, in base allaper creare alcuni grossi complessi di produzione, raggruppando le piccole indu­ nuova meccanica, le proprietà degli atomi, cercando d'interpretare la regolaritàstrie che, bene o male, sopravvivevano. Fu recensito il personale chimico quali­ della tavola periodica degli elementi. Nel rgr8 intraprese una esposizione si­ficato che lavorava nell'industria. Volendo essere ottimisti, tale personale rap­ stematica dei principi e risultati della nuova meccanica atomica, pensando dipresentava circa un terzo di quello che lavorava nelle industrie tedesche. Inol­ poter estendere la sua analisi alle proprietà delle molecole. Questa esposizionetre, mentre l'8g per cento dei chimici tedeschi impegnati nell'industria aveva non fu portata a termine. Nello stesso tempo, guidato solo da considerazioniun titolo universitario, seguito da un'esperienza di ricerca nei laboratori univer­ teoriche, spinse alcuni dei suoi collaboratori a cercare sperimentalmente unsitari, solo il gy per cento dei chimici inglesi si trovava nella stessa situazione. elemento che prevedeva dovesse occupare il settantaduesimo posto nella tavolaDi questo 34 per cento, la metà aveva studiato in Germania. periodica. Bohr stesso annunziò il risultato positivo di questa ricerca nel rqzz,

Sull'esempio tedesco furono rinnovati completamente gli studi e lo stato durante il discorso di ricezione del premio Nobel. Il nuovo elemento fu chia­finanziò in modo massiccio la formazione di nuovi laboratori universitari. La mato afnio, dal nome latino di Copenhagen.Germania, allo scoppio della guerra, spendeva per la sovvenzione dei laboratori Incoraggiato da questi successi, Bohr affidò a Pauli, allievo di Sommerfeld,chimici una cifra dieci volte superiore a quella inglese. l'incarico d'interpretare i fenomeni spettroscopici lungo la tavola periodica de­

Nell'opera di rinnovamento, Thomson e Rutherford ebbero una grande in­ gli elementi. Nel corso della sua analisi, Pauli si accorse che tutto diventavafiuenza, spingendo i chimici ad interessarsi alle nuove teorie del legame. semplice se ad ogni elettrone venivano assegnati in modo unico i quattro nume­

ri quantici. La formulazione di questo principio è conosciuta con il nome diprincipio di esclusione di Pauli.

8. Sviluppo dell'atomo di Bohr e comparsa di una nuova teoria: la meccanica Intorno al rgz5, mentre i chimici si sentono incoraggiati a proseguire adquantistica. usare il loro modello di valenza dai risultati positivi dei fisici, questi ultimi

provano un senso di fastidio di fronte al pesante fardello di regole empiricheIl modello atomico proposto da Bohr si rivelò molto utile nell'interpretare i necessarie per descrivere i fenomeni atomici. In un altro modo si potrebbe dire

risultati della spettroscopia atomica, essenzialmente i fenomeni derivanti dal­ che mentre i chimici sono soddisfatti di poter descrivere qualitativamente le pro­l'interazione di una radiazione con gli elettroni. Il modello atomico era un mo­ prietà delle molecole con un modello atomico, i fisici cercano un modello mate­dello planetario. Le equazioni di Hamilton, usate dagli astronomi per descrivere matico generalizzabile.i sistemi celesti con orbite periodiche, vennero applicate all'atomo. Il con­ La svolta centrale si ebbe nel rgz6.fronto continuo con i r isultati della spettroscopia serviva da guida all'analisi Il punto di partenza di Heisenberg-Born-Jordan è una critica dei concettiteorica e forniva la terminologia necessaria a classificare le grandezze fonda­ classici di velocità, posizione e traiettoria. L'applicazione di queste grandezzementali. ai sistemi atomici deve basarsi su un criterio di osservazione e di misura. Le

Accanto al primo numero quantico introdotto da Bohr per indicare il l i­ grandezze fisiche non devono piu essere rappresentate da funzioni ma da ope­vello di energia dell'orbita elettronica, Sommerfeld introdusse un secondo e ratori. I valori associati a tali operatori sono dei numeri reali e corrispondonoun terzo numero quantico, entrambi funzione del primo. L'interpretazione geo­ ai risultati numerici della misura di tali grandezze. Il nucleo principale dell'al­metrica data dallo stesso Sommerfeld è che l'orbita è essenzialmente ellittica, gebra degli operatori è costituito dal principio d'indeterminazione, conseguenzasimile a quella dei pianeti. Un'ellissi è caratterizzata da due raggi, cioè da due diretta della regola di moltiplicazione fra operatori, e dove la costante di Plancknumeri quantici. diventa l'unità fondamentale di misura. In base a questo principio, un'espe­

Se si osserva lo spettro atomico in presenza di un campo magnetico, esso rienza concepita per conoscere esattamente la posizione di un elettrone nonrisulta notevolmente modificato (effetto Zeeman). Dalla fisica classica si cono­ permette di conoscere la quantità di moto e viceversa.sceva che una carica elettrica in movimento genera un campo magnetico. L'elet­ Crollava cosi la concezione del determinismo valido nella fisica classica.

Atomo e molecola rog Atomo e molecolaI 09

Classicamente, infatti, è possibile determinare sperimentalmente ed esatta­ dell'atomo d'idrogeno. Facevano variare leggermente le funzioni atomiche 6nomente sia la posizione sia la velocità di un oggetto. In questo modo la traiettoria ad ottenere un minimo per il valore dell'energia del sistema. La distanza tra iè conosciuta. Nella formulazione di Heisenberg-Jordan-Born tale determina­ due nuclei, distanza di legame, e l'energia erano in buon accordo con i datizione non è piu possibile a causa della perturbazione del sistema causata dall'os­ sperimentali. Si poteva pensare che un miglioramento nelle funzioni di par­servatore. Per le grandezze macroscopiche tale perturbazione è trascurabile dato tenza avrebbe permesso di ottenere dei risultati migliori. La stabilità e l'esistenzail piccolissimo valore della costante di Planck. della molecola erano legate alla coppia di elettroni che si trovava localizzata ad

Il punto di partenza di De Broglie si basa sulla equivalenza onda-corpu­ uguale distanza dai due nuclei, in pratica condivisa dai due nuclei. Si ritrovavascolo stabilita da Einstein per i l fotone, cercando di trasferirla all'elettrone. cosi l'idea alla base della teoria del legame chimico di Lewis-Langmuir. I chi­Schroedinger sviluppò l'ipotesi di partenza di De Broglie, stabilendo che il mo­ mici organici potevano tranquillamente continuare ad usarla in modo del tuttovimento di un elettrone non deve essere fondato sulle traiettorie classiche, so­ empirico.luzioni delle equazioni di Newton : il moto dell'elettrone è descritto da un'onda L'ipotesi di partenza di Heitler-London era che il legame nella molecolaassociata, la funzione d'onda, soluzione di un'equazione differenziale alle deri­ d'idrogeno non fosse dovuto al trasferimento di un elettrone da un atomo ad unvate parziali, l'equazione di Schroedinger. Lo stesso anno, Schroedinger mostrò altro. Ma a priori nessuno poteva negare questa possibilità. Slater, che aveval'equivalenza del formalismo ondulatorio con quello operatoriale. La funzione partecipato direttamente alla nascita della meccanica quantistica nel laboratoriod'onda, secondo l'interpretazione data da Born, acquista un significato piu di Bohr, e Pauling proposero che la funzione d'onda di una molecola dovesseastratto. Essa rappresenta lo stato 6sico di un sistema e permette il calcolo dei essere rappresentata dalla combinazione lineare di tutte le funzioni d'ondavalori medi delle grandezze fisiche che descrivono il sistema in quello stato dato. che potevano essere associate per una molecola a tutte le strutture teoricamente

Il formalismo di Schroedinger aveva il vantaggio, trattandosi essenzialmente possibili. Cosi per la molecola d'idrogeno si dovevano considerare anche le fun­di equazioni differenziali, di essere familiare ai 6sici; e le funzioni d'onda po­ zioni associate a strutture come H+ — H e H — H+, simmetriche ma diverse daltevano essere caratterizzate da numeri interi, reintroducendo cosi i numeri punto di vista elettronico. La funzione finale è la sola funzione vera, che descrivequantici. il sistema e le sue proprietà. Le strutture singole o forme canoniche che si usano

I risultati positivi ottenuti nella trattazione dell'atomo d'idrogeno incorag­ per determinare le funzioni di partenza sono semplicemente delle 6nzioni.giarono all'applicazione ad altri sistemi. Il problema principale è che la determinazione di tutte le forme canoniche

possibili diventa un rompicapo con l'aumentare del numero di atomi presenti.Per lo ione SO~ , per esempio, le strutture possibili sono 4 6oo ooo, è cioè

9. Il legame chimico alla luce della meccanica quantistica. praticamente impossibile prenderle in considerazione tutte.Se si considera valida l'ipotesi che il legame sia dovuto essenzialmente agli

Bohr aveva considerato la molecola d'idrogeno come un sistema a due nu­ elettroni piu esterni, gli elettroni interni possono essere considerati pratica­clei con i due elettroni ruotanti in un'orbita perpendicolare ai due nuclei. Tro­ mente imperturbati, cioè descrivibili con le stesse funzioni usate per l'atomovare l'equazione di Schroedinger per un tale sistema non è complicato, ma è isolato. Nei composti organici, inoltre, è indifferente vicino a quale atomo diimpossibile risolvere l'equazione stessa. Si doveva ricorrere quindi ad alcune ap­ carbonio si trovi l 'elettrone. Le funzioni atomiche di partenza sono cosi unaprossimazioni. buona approssimazione per calcolare gli orbitali molecolari, quelli cioè che ap­

Nel formare la molecola, i due atomi d'idrogeno si infiuenzano a causa delle partengono a tutta la molecola, come combinazione lineare degli orbitali atomici.interazioni reciproche, cioè gli elettroni saranno descritti da una funzione leg­ Cosi, a partire da dieci orbitali atomici si otterranno dieci orbitali molecolari.germente diversa da quella negli atomi isolati. L'energia della molecola sarà rap­ In ogni orbitale sarà possibile mettere due elettroni, rispettando il pr incipiopresentata da due termini: uno rappresenta l'energia corrispondente all'ener­ di esclusione di Pauli. Ad ogni orbitale corrisponde una coppia di elettroni,gia dei due atomi, l'altro deriva essenzialmente dall'interazione dei due atomi come veniva supposto nella teoria del legame di Lewis-Langmuir.fra di loro. Quest'ultimo termine sarà funzione della distanza fra i due nuclei. Con la teoria degli orbitali molecolari si è fatto un passo avanti nella de­

Nel descrivere tale sistema si deve tener conto di alcuni fattori : la fun­ scrizione dei sistemi chimici. Non tutt i gl i orbitali molecolari saranno occu­zione che descrive la molecola deve avere le stesse proprietà di simmetria della pati dagli elettroni, alcuni restano vuoti. In questo modo è possibile interpre­configurazione dei nuclei; si deve tener conto della indistinguibilità degli elet­ tare gli spettri di assorbimento o di emissione. Una transizione sarà dovuta altroni, cioè ogni elettrone può appartenere indifferentemente ad ognuno dei due passaggio di un elettrone da un orbitale occupato ad uno vuoto, esattamentenuclei; il principio di esclusione di Pauli deve essere rispettato. come per gli atomi gli spettri erano dovuti al passaggio di un elettrone da un

Basandosi su queste ipotesi, Heitler e London eseguirono un calcolo usando livello atomico ad un altro. L'energia a cui la transizione avviene sarà ugualecome funzione di partenza per descrivere la molecola il prodotto degli orbitali alla differenza di energia tra i due orbitali. I l modello serve ad interpretare

Atomo e molecola I I O Atomo e molecola

i risultati sperimentali, come l'accordo con i dati sperimentali indica la bontà da farlo rassomigliare piu ad un protone che ad un atomo d'idrogeno. Se sonodel modello, permettendo cosi di utilizzare la funzione d'onda molecolare otte­ presenti altre molecole simili, esse cercheranno di orientarsi in modo che l'e­nuta per prevedere i risultati di altre misure. lemento elettronegativo si metterà di fronte all'idrogeno per annullare l'eccesso

La ricerca in fotochimica ha ricevuto uno stimolo considerevole dalla possi­ di carica positiva. Si formano cosi dei legami parziali, molto piu deboli di unbilità d'interpretare i risultati sperimentali con il metodo degli orbitali mole­ legame ordinario, Ina responsabili della formazione di una struttura ordinatacolari. Cosi la definizione di molecola è quella di un sistema a piu nuclei con una all'interno del sistema. La presenza di questo legame rende conto delle pro­nube di carica negativa, piu o meno densa nei vari punti dello spazio, ma che prietà delle macromolecole in generale e in particolare di alcune molecole im­si estende su tutta la molecola. In realtà questa descrizione non piace al chimico, portanti nella biologia molecolare.abituato dalla strutturistica a vedere i legami come bastoncini che puntano versodeterminate direzioni dello spazio. D'altronde le formule di struttura sono utilinella pratica di laboratorio. Io. Il p r o tone risolve le ultime anomalie della struttura atomica.

L'arbitrarietà con cui è possibile scegliere le funzioni di base per costruire gliorbitali molecolari, permette di scegliere delle funzioni che si sviluppano secondo Restava ancora un punto non ben chiaro sulla costituzione degli atomi: i luna direzione privilegiata dello spazio intorno ad un nucleo. Si possono utiliz­ numero atomico, cioè il numero d'ordine occupato dagli elementi nella tavolazare sempre gli orbitali atomici come punto di partenza, ma trasformandoli pri­ periodica, non aveva lo stesso valore del peso atomico come ci si sarebbe do­ma, imponendo come condizione che essi siano indistinguibili tra di loro e c e vuto attendere dall'uguaglianza tra protoni ed elettroni, il cui numero era rap­rappresentino il massimo di distribuzione della densità elettronica secondo di­ presentato dal numero atomico. La massa di un atomo si può infatti pensarerezioni ben precise dello spazio. Le funzioni molecolari risultanti sono costituite uguale essenzialmente a quella del nucleo, dato che un elettrone ha una mas­cosi da coppie dei nuovi orbitali, aventi un campo di densità in comune, e la den­ sa uguale a circa i /zooo della massa di un protone. Il nucleo era considerato co­sità elettronica è localizzata tra due nuclei. stituito da protoni ed elettroni. L'eccesso di protoni sugli elettroni, concentrati

In pratica si tratta della trasposizione su basi matematiche della teoria de nel nucleo, costituiva la carica positiva. Nel I932 Heisenberg e Majorana mo­legame di Lewis-Langmuir, cui è stata associata l'idea del tetraedro di van't strarono teoricamente l'inconsistenza di tale modello.Hoif. Gli orbitali atomici trasformati sono chiamati orbitali ibridi e possono es­ In alcuni esperimenti sia Joliot e Curie sia Boethe e Becker avevano osser­sere rappresentati geometricamente come un insieme di orbitali che punta verso vato delle radiazioni molto penetranti, che non venivano deviate né da un campoi vertici di un tetraedro, un triangolo equilatero, una bipiramide a base qua­ magnetico né da un campo elettrico. Cadwick analizzò in modo sistematico que­drata, una bipiramide a base triangolare. sto tipo di radiazione, mettendone in evidenza la natura corpuscolare e deter­

I legami chimici vengono cosi classificati in due tipi: l'uno è localizzato fra minando il valore della massa, risultata uguale a quella del protone.due atomi; l 'altro, in nessun modo localizzabile fra due atomi, può venire Cosi l'atomo fu pensato costituito essenzialmente da un nucleo, formatorappresentato solo come esteso su tutta la molecola. I primi vengono chiamati da protoni e neutroni, e dagli elettroni. Se le forze con cui gli elettroni intera­legami semplici, i secondi doppi o tripli, secondo la densità elettronica associata. giscono con il nucleo trovavano la spiegazione nella meccanica quantistica, re­Nel caso di questi ultimi, il legame non deve essere considerato dotato di in­ stavano da spiegare le forze in gioco tra le particelle costituenti il nucleo. Na­dividualità propria, ma può essere pensato soltanto nel suo insieme. sceva cosi un nuovo campo d'indagine nella fisica: quello delle particelle ele­

Spesso sono classificati sotto la voce di legami alcuni fenomeni dovuti al­ mentari.l'interazione degli atomi o delle molecole fra di loro. Si parla cosi di legamidi Van der Waals o di legami idrogeno. I primi sono assimilabili piuttosto alleforze d'interazione fra molecole o fra atomi, i secondi sono piu vicini ad un I I. Con c lusioni.legame vero e proprio.

Analizzando la densità elettronica che risulta da un calcolo di orbitali mo­ La storia dello sviluppo del concetto di atomo e di molecola può essere sche­lecolari, si osserva che alcuni atomi sono circondati da una nube piu densa. Que­ matizzata in tre stadi, corrispondenti all'affinamento di alcune tecniche speri­sti atomi sono classificati come elettronegativi e si può stabilire una scala di mentali. Cosi dal visibile si è passati al microscopico, dal microscopico al mo­elettronegatività confrontando gli elementi con l'idrogeno. Tale dissimmetria lecolare, dal molecolare alla dimensione elettronica. A ciascuno di questi trenella distribuzione della carica elettronica corrisponde ad una grandezza macro­ stadi corrisponde una concezione diversa della materia.scopica, il momento dipolare. Fino a quando la concezione atomista è rimasta un fatto puramente filosofico,

Quando in una molecola è presente un atomo d'idrogeno vicino ad un altro come spiegazione ultima delle diverse forme assunte dalla materia, la scienzaatomo elettronegativo, la densità di carica intorno all'idrogeno è bassa a tal punto chimica è rimasta allo stadio dell'osservazione delle qualità. Le forme, il sapore,

Atomo e molecola I IZ rr3 Atomo e molecola

l'odore hanno permesso di classificare e di riconoscere una regolarità nelle pro­ tiva. La materia viene cosi analizzata a livello subatomico, atomico, molecolare,prietà della materia. dove i termini perdono il significato di l imite preciso ma servono essenzial­

L'introduzione della teoria atomica in fisica e in chimica ha radicalmente mente ad indicare il grado di complessità della struttura esaminata. Con questo

cambiato la struttura di quest'ultima. La chimica cessa di essere la scienza del non si vuoi dire che i concetti classici di atomo e di molecola abbiano perso il

qualitativo e diventa la scienza del quantitativo. Prima di Dalton non esisteva loro valore nella pratica.

un sistema per indicare la costituzione delle sostanze chimiche, se non attra­ La teoria della costituzione della materia si pone oggi un problema piu am­verso le proprietà osservabili. Facendo attenzione ai pesi molecolari e alle rea­ bizioso : unificare i concetti di materia e di vita, come la teoria atomica ha abolitozioni i chimici diventano capaci di stabilire la struttura geometrica delle mole­ la distinzione tra organico e inorganico. Infatti un atomo contiene potenzialmen­

cole. Le misure volumetriche e gravimetriche erano state usate fino a quel mo­ te la possibilità di essere un gas, un cristallo, un virus. Cambia essenzialmente

mento semplicemente per dimostrare che qualcosa era avvenuto. Ora diven­ il grado di complessità.tano lo strumento per misurare, cioè determinare quantitativamente, quello che Nel tentativo di unificare i concetti di materia e di vita il grado di complessi­succede, Si possono ricavare cosi delle leggi generali basate sulla semplice os­ tà di organizzazione diventa fondamentale. Un virus, un gene isolati non si com­servazione dei rapporti ponderali. portano in modo diverso dalle altre molecole. Isolabili, cristallizzabili, essi sono

La concezione atomistica, pur derivando direttamente dall'atomismo clas­ analizzabili in termine di legame chimico, di distribuzione nello spazio di nu­sico, si stacca completamente da esso. Gli atomi sono pensati non solo come clei e di densità elettronica. Ma a differenza della maggior parte delle molecoledelle specie interagenti fra di loro per unione, separazione ed impatto, ma pos­ conosciute, inseriti in un organismo piu complesso diventano capaci di assumere

sono interagire anche a distanza esercitando delle forze reciproche. È questo il delle caratteristiche uniche, formando nell'insieme le proprietà che vengono at­significato profondo della teoria elettromagnetica di Maxwell. tribuite ad una cellula.

La forza insita nelle teorie atomiste si esprime anche nel provocare lo svilup­ Il problema che si pone è la ricerca delle relazioni esistenti fra i diversi gradipo enorme dei processi tecnologici legati alla lavorazione e trasformazione della d'ordine delle strutture della materia.

materia. L'industria dei coloranti diventa il banco di prova dell'utilizzazione del­ A Kekule fu domandato un giorno cosa pensasse della esistenza degli atomi.

la comprensione teorica dei problemi di sintesi per applicarli ai problemi pura­ «La domanda se gli atomi esistano o no ha scarso significato dal punto di vista

mente tecnologici. Lo straordinario sviluppo dell'industria chimica, a partire chimico: la sua discussione appartiene alla metafisica. Nella chimica noi dob­dal r86o, potrebbe servire come guida per dimostrare la vitalità rappresentata biamo decidere se l'assunzione degli atomi sia un'ipotesi adatta alla spiegazionedall'atomismo classico. dei fenomeni chimici... Da un punto di vista filosofico, io non credo nell'esi­

Ma la concezione atomista ebbe implicazioni piu vaste. Le leggi chimico­ stenza degli atomi, prendendo il termine nel suo significato letterale di parti­

fisiche permettevano di comprendere i fenomeni geologici, la storia geologica. celle indivisibili della materia. Mi aspetto piuttosto che si troverà un giorno perCosi la storia della Terra diventa il risultato di quelle reazioni chimiche che quello che noi ora chiamiamo atomi una spiegazione matematico-meccanica,

nella pratica di laboratorio si è appreso ad interpretare. che ci renderà i concetti come peso atomico, atomicità e numerose altre proprietàL'estensione del concetto di molecola come massa a sistemi complessi co­ dei cosiddetti atomi. Come chimico, tuttavia, io guardo l' ipotesi degli atomi

me le macromolecole segna anche il momento della crisi di tale concetto. Anche non solo come utile, ma come assolutamente necessaria in chimica. Voglio spin­

delle misure sofisticate, come la determinazione con una ultracentrifuga della germi ancora piu avanti e dichiarare che l'atomo chimico esiste, facendo atten­

distribuzione delle varie masse e la loro determinazione con metodi ottici molto zione a che il termine indichi quelle particelle di materia che non subisconoraffinati, diventano impossibili. Resta soltanto il concetto di molecola come alcuna divisione nelle trasformazioni chimiche. Se un progresso della scienzastruttura complessa di piu atomi. Si cerca cosi, disponendo atomi o gruppi di conducesse a una teoria sulla costituzione dell'atomo chimico, ciò provocherebbe

atomi legati rigidamente tra di loro, di determinare la struttura piu probabile pochi cambiamenti nella chimica stessa. Gli atomi chimici resteranno sempreche corrisponda alle proprietà osservate, per analogia con altre strutture ben l'unità chimica, e, per le considerazioni riguardanti in modo particolare la chi­

note. Il qualitativo, che ha sempre accompagnato la chimica nel suo sviluppo, mica, noi potremo sempre cominciare dalla costituzione degli atomi e acconten­

riprende il suo posto accanto al quantitativo. tarci delle espressioni semplici che ne risultano, in altre parole dell'ipotesi ato­Alla fine del xtx secolo i problemi che interessano i fisici sono essenzialmente mica. Noi possiamo infatti adottare il punto di vista di Dumas e Faraday, che

due: la radiazione in tutte le sue forme e la costituzione della materia. sia che la materia sia atomica o no, questo è certo, che benché essa sia ato­L'unificazione di queste due problematiche, che la teoria dei quanti e la re­ mica, ci apparirebbe cosi come essa ci appare».

latività fanno intravedere, cambia il concetto che si ha della materia. L'unifi­ A parte le previsioni sul futuro della teoria atomica, che ci si potrebbe di­cazione dei costituenti ultimi in particelle subatomiche ha introdotto nell'os­ vertire a considerare profetiche o no; a parte la difesa un po' fredda dell'ato­servazione della materia un ordine di analisi in base ad una struttura organizza­ mismo, comprensibile nel clima acceso di antiatomismo, quello che è interes­

Atomo e molecola Atomo e molecolaI I5

sante, perché valido ancor oggi, è il giudizio della posizione dei chimici nei sofisticato e dell'organizzazione di queste informazioni per analizzare la reat­confronti dello sviluppo della teoria atomica. tività. Solo alla fine, seguendo qualche corso facoltativo, potrà apprendere i me­

I progressi della conoscenza dell'atomo hanno toccato marginalmente i chi­ todi sofisticati del legame chimico e come la problematica chimica si colleghimici nella pratica di laboratorio, anche se oggi nessuno piu dubita della realtà alla problematica piu generale dell'unità della struttura della materia.dell'atomo. Cosi la pratica corrente del chimico si può analizzare in base allo In questo senso gli studi e la pratica sono organizzati secondo il puntosviluppo del concetto di molecola. di vista che, forse a maggior ragione, difendeva Kekule. Il problema che si pone

Nel lavoro di sintesi, anche se altamente sofisticato, i concetti di massa e di è quello dell'unificazione epistemologica in funzione delle ultime conoscenze:struttura sono i soli in gioco. Che essi bastino a guidare il chimico è dimostrato l'unità della costituzione della materia secondo livelli di organizzazione a com­anche dal fatto che sulle leggi derivate da queste due caratteristiche è possibile plessità crescente. [o. R.].eseguire la previsione del decorso di una reazione di sintesi. Anzi, tali leggi,basate per lo piu su osservazioni empiriche, sono talmente ben sperimentateche è possibile programmarle su calcolatore, ottenendo cosi automaticamentele previsioni sulla possibilità di una sintesi. Avogadro, A.

Bisogna notare che il concetto di struttura, come distribuzione in sequenza r8s t Es soi d'une manière de determiner les masses relotives des molécules elémentaires des corps,

ordinata di atomi, è difficile da abbandonare, in quanto il nome che il chimicoet les proportions selon lesquelles elles entrent dans ces combinations, in «Journal de Phy­sique», LXXI I I , pp. 58-76.

dà ai suoi composti si basa sulla sequenza degli atomi nella molecola. Il pro­ Bohr, N.blema non è del tutto semplice. Le molecole conosciute sono circa quattro mi­ t9I3 On the constitution of atoms and molecules, i n «Philosophical Magazine», XXVI, pp. t­

lioni, cioè piu delle parole contenute in qualsiasi dizionario. Classificare e or­ 25, g76-5oz, 857-75 ; ora in L. Rosenfeld, On the Constitution of Atoms and Molecules.

dinare tale massa di composti e dar loro un nome razionale, cioè che nello stessoPapers of rgr3 reprinted from the Philosophical Magazine, Munksgaard, Kobenhavn­Benjamin, New York tg63.

tempo contenga alcune delle informazioni indispensabili a caratterizzare il com­ Carnot, S.posto, non è impresa da poco. D'altronde la ricerca chimica non è terminata. r8zy Ré f iexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette

Qualsiasi sistema concepito per chiamare i composti deve essere talmente fles­ puissance, Baehelier, Paris.

sibile da poter inserire qualsiasi nuovo composto che potrà essere sintetizzato. Conant, J. B.

La ricerca di un modo unico sufficientemente generalizzato e malleabile viene tgz8 At o m s, molecules, ions, in «Journal of Chemical Education», V.

condotta con l'aiuto dei calcolatori che possono memorizzare facilmente tale Dalton, J.

massa di risultati. Non si è ancora riusciti a trovare un metodo soddisfacente, an­ [ t8oz] A. Nero System of Chemicol Philosophy, Bickerstaff, London r8o8-27.

che se ne esistono alcuni nella pratica corrente. Dulong, P.-L., e Petit, T.-A.

La molecola contiene anche delle informazioni sulle qualità che caratterizzanot 819 Re cherche sur quelques poi nts importants de la théorie de la chaleur, in «Anna[es de Chimie

et de Physique», X, pp, 395-qt3.il suo comportamento. Il chimico-fisico si trova spesso di fronte al compito di Einstein, A,determinare attraverso le leggi della fisica le proprietà che si possono attri­ 1905 Ub er einen die Erzeugung und Vertoandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichts­

buire ad una classe di composti. Generalmente ciò accade in vista di poter punkt, in «Annalen der Physik», XVI I , pp. 132-y8.

stabilire delle regole a priori della reattività di un composto in base, per esem­ tgo7 Di e P lanchsche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wiirme, in «Anna­len der Physik», XX I I , pp . t 8o-90.

pio, all'energia associata ad un legame, alla struttura di una molecola, al suocomportamento in soluzione. In questo senso egli si accosta al lavoro del chi­

Hermann, A.t97t The Genesis of the Quantum Theory (rggg-rgr3), Mit Prese, Cambridge Mass.

mico che s'interessa dei meccanismi di reazione, e uti l izza gli stessi metodi Kekule von Stradonitz, F. A.del chimico-fisico per cercare di determinare le singole tappe di una reazione. I 859 Ub er die Konstitution und die Metamorphosen der chemischen Verbindung und iiber dieEntrambi si occupano dell'aspetto qualitativo dell'unica grandezza quantitativa chemische Natur des Kohlenstoff, in «Annalen», CVI, pp. l 29-52 .

rappresentata dalla molecola. Nel loro lavoro sono spesso aiutati dai chimici Kohler, R. E. jr

teorici che cercano, con l'aiuto delle teorie del legame chimico, di districarli nel­ t975 The Lenns-Langmuir Theory o f Valence and the Chemical Community, sgzo-rgeg, in

l'analisi dei risultati sperimentali in rapporto alla complessità della struttura R. McCormmach (a cura di), Historical Studies in the Physical Sciences, V, PrincetonUniversity Presa, Princeton N.J.

molecolare. Koyré, A.Tale distinzione si riflette anche a livello degli studi. Il chimico viene adde­ t955 Tricenterusire de Gassendi, in Actes du Congrès de Digne, r955, Presses Universitaires de

strato prima a classificare in base alle proprietà (analisi qualitativa), e poi a de­ France, Paris t957.

terminare i rapporti di combinazione (analisi quantitativa). Passa cosi. allo studio Partington, J, R.

dei meccanismi di reazione e della chimica fisica, cioè allo studio del qualitativo t96q A H i s tory of Chemistry, IV, Macmillan, London.

Atomo e mo1ecola xx6

Thomson J J.t8Oo On the ntasses of the ions in gases at lou pressures, in «Philosop»ica> agazine >,h ' I Ma azine» XLVI I I ,

xOo7 Th e Corpuscular Theory of Mat ter, Constable, London.Van't Holi, J. H.

>875 La c h imie dans l'espace, Bazendijk, Rotterdam (z ed. t887).

L'evoluzione dei concetti di atomo e molecola è legata al progressivo perfezionamen­to delle tecniche d'indagine (cfr. esperixnento) e si accompagna al mutare dei criterid'interpretazione e a ma eria. ad 11 t ' . L fis ica contemporanea, grazie alla teoria della rela­tività e all'applicazione ei mo e i e e ed ' d 11' delle strutture ma temat iche della meccanicaquantistica (cfr. quan a), a a o et ) h f t t def in i t i vamente tramontare la concezione atomisticaclassica, incentrata sugli aspetti speculativi della natura e del m ondo,cfr. anc e e e­menti, alchixnia), e a p or a o a suh ' ), h t t 1 per am en to del concetto di molecola intesa come«o et to» dotato di definita struttura spaziale e proprietà misurabili. Secondo le nuovet eorie della costituzione della materia i t e rmin i s u a t om '

a ' f ' 1 tazione di l imit i precisi. Essi servono a indicare semplicementeun diverso grado di complessità (cfr. semplice/complesso) di organizzazione de a' ne dellastruttura esaminata, e si confondono nel concett ' p

o di ar t icelle di un sistema in equi­librio (cfr. equil ibrio/squilibrio) interagenti (cfr. interazione) in base a determinaticontenuti di energia. L'obiettivo ult imo, dopo l'eliminazione dell'apparente dicotomiaorganico/inorganico, resta l unificazione dei concetti di .materia e di v i t a , ossia laspiegazione de e ce u e e eg i od 11 11 1 d l' rganis xni viventi in termini di d istr ibuzione di nu­clei e di densità elettronica.

8ig Conservazione /invarianza

Conservazione /invarianza Questo articolo si occupa di tre argomenti: i ) leggi di conservazione classi­che ; z) leggi di conservazione e invarianza nella fisica contemporanea ; 3) aspettifilosofici attinenti alla conservazione e all'invarianza.

Per leggi di conservazione classiche s'intendono le leggi di conservazionei. In tr o duzione. della materia, del momento lineare e angolare, della carica elettrica e dell'ener­

gia. Nel processo della scoperta e formulazione di queste leggi, l'intuizione, laLe leggi di conservazione nelle scienze fisiche sono le leggi o principi che sperimentazione e le considerazioni metafisiche hanno svolto un loro ruolo. Tut­

stabiliscono quali proprietà di un sistema isolato rimangono costanti allorché il tavia l'importanza relativa di queste considerazioni fu diversa nei vari casi. Ilsistema si sviluppa nel tempo. In altre parole, esse affermano che, mentre il si­ processo della scoperta delle leggi suddette coincise inoltre con l'analisi dei con­stema subisce un cambiamento, alcune delle sue proprietà non variano. Queste cetti di materia, momento, carica ed energia. Il contemporaneo emergere diproprietà sono talvolta definite invarianti del sistema o costanti di moto. concetti e leggi è trattato nel ) z.

È da osservare immediatamente che i problemi della conservazione sono le­ La fisica del xx secolo mutò radicalmente il panorama classico: a) sono stategati a uno dei problemi basilari della scienza e della filosofia, forse a quello fon­ scoperte nuove leggi di conservazione e sono state rifiutate o modificate alcunedamentale: la comprensione del mutamento. I principi che enucleano gli ele­ delle leggi classiche ; b) sono stati inventati nuovi formalismi matematici che con­menti immutevoli nel mutevole universo sono oggi considerati i piu generali e sentono la derivazione delle leggi di conservazione in modo elegante da sempliciimportanti nella gerarchia delle leggi scientifiche. assunti ; c) le leggi di conservazione hanno nella fisica moderna un ruolo metodo­

Analizzando le varie trasformazioni che subisce un sistema, può risultare logico diverso da quello che rivestivano di norma nella fisica classica. Tali puntiche alcune di esse hanno una natura speciale in quanto lasciano inalterati tutti i sono elaborati nel ) g.fattori «interessanti». Ad esempio si potrebbe essere tentati di affermare che la Parecchi problemi piu generali sono collegati al nostro tema : a) qual è la con­realizzazione dello stesso esperimento in un punto diverso nello spazio non mu­ nessione tra leggi di conservazione e principio di causalità? b) le leggi di conserva­terà alcun fattore significativo e porterà quindi alle medesime conclusioni: o, zione sono a posteriori come le altre leggi scientifiche, o sono forse affermazionimeglio ancora, che le stesse leggi regolano entrambi gli esperimenti nonostante aprioristiche? c) come nascono e qual è il ruolo dei concetti di conservazione nel­la variazione di posizione nello spazio. Si potrebbe quindi dire che le leggi della lo sviluppo intellettuale infantile? Tali problemi sono discussi nel ) y.natura sono invarianti per una trasformazione di questo tipo.

Il problema potrebbe anche essere formulato in termini di simmetrie. Lasimmetria di un oggetto, secondo uno dei significati del termine, è un'operazione z. Leggi di conservazione classiche.che porta l'oggetto in uno stato indistinguibile da quello originario. Ad esempiola rotazione di un cerchio è un'operazione di questo genere, poiché il cerchio Osservando il mondo che ci circonda ci s'imbatte in vari tipi di mutamentoruotato non è distinguibile da quello primitivo. Per analogia si può parlare di e in vari tipi di persistenza: la roccia che vediamo sulla spiaggia potrebbe essereoperazioni di simmetria in relazione a leggi scientifiche : sono operazioni, su si­ stata là per migliaia di anni, e difficilmente vi si può rilevare un qualsiasi cambia­stemi fisici o su sistemi di coordinate, che non modificano le leggi, ossia opera­ mento in un'intera vita di osservazione. Anche i tavoli e le sedie, o le case in cuizioni che lasciano le leggi invarianti. viviamo, hanno una certa persistenza nel tempo, benché in questo caso i muta­

Le leggi di conservazione individuano proprietà «privilegiate», mentre le menti siano piu evidenti. Un pezzo di legno brucia: scompare o semplicemen­considerazioni sulla simmetria discriminano operazioni «privilegiate». I due con­ te varia la sua forma? Il ghiaccio fonde in acqua, ma lo si può ottenere di nuovocetti sono strettamente vincolati nelle scienze fisiche. Le considerazioni sulla congelando quest'ultima. È lo stesso ghiaccio di prima? Un pendolo oscilla : per­simmetria portano alla scoperta delle leggi di conservazione e la scoperta delle ché continua a muoversi? Perché dopo un certo tempo perviene a un punto d'ar­proprietà conservate indica l'esistenza di simmetrie incorporate. resto? Qual è l'origine del suo movimento? Mi sfrego le mani, ed esse diventa­

Il termine 'invarianza' è talvolta usato in altri contesti ove ha significati di­ no piu calde: da dove proviene il calore> Come mai scompare dopo un breve pe­versi da quello che gli si è qui attribuito. Per citare soltanto il piu importante, riodo?nel contesto biologico la parola 'invarianza' di solito si riferisce all'invarianza ri­ Ai Greci, che erano manifestamente perplessi di fronte a simili questioni, siproduttiva, ossia alla capacità dell'organismo di replicare se stesso in modo da offrivano due soluzioni estreme: a) l'opinione di Parmenide, secondo cui nullapreservare la struttura specifica della specie. Una descrizione del meccanismo di in realtà cainbia, al livello infimo delle cose sensibili tutto è costante. Il muta­duplicazione si può trovare altrove, e quindi non vi è alcuna necessità di discu­ mento è illusorio. b) Il punto di vista eracliteo-cratileo, secondo il quale tuttotere l'invarianza riproduttiva in questa sede, Anche le simmetrie sono qui tratta­ cambia continuamente, ogni cosa è in divenire, nulla mai persiste. La persisten­te soltanto in relazione alla conservazione e all'invarianza. za è illusoria. Entrambe le soluzioni potrebbero essere attaccate sullo stesso ter­

Conservazione /invarianza 8zo 8zr Conservazione /invarianza

reno, in quanto non spiegavano l'origine dell'illusione (del mutamento o della dettero alle loro convinzioni a giustificarne la fama quali precursori della leggepersistenza). Si rendeva quindi necessaria una sintesi che spiegasse i due feno­ di conservazione della materia.meni. Nel corso della storia della scienza sono stati compiuti vari tentativi nel Molti secoli separano queste prime anticipazioni della legge dalla sua moder­senso di una sintesi del genere. L'essenza di tutte queste sintesi è la teoria secon­ na formulazione, la quale stabilisce che la massa totale in un sistema chiuso ri­do cui soltanto certi elementi sono costanti, mentre altri non lo sono. In effetti i mane costante attraverso qualsiasi modificazione subita dal sistema. Fu Lavoi­cambiamenti si verificano, ma soltanto quelli che non interferiscono con la con­ sier a considerare tale affermazione come una legge scientifica e ad assumersi ilservazione degli elementi costanti. Il mutamento è controllato. Il problema cru­ compito di darle una convalida sperimentale. Una condizione necessaria perciale è naturalmente quali elementi siano costanti e quali siano le variazioni le­ quello sviluppo fu l'ulteriore delucidazione del concetto di materia sia dal pun­gittime; ed è appunto a questo riguardo che si diversificano i vari tentativi. to di vista fisico che da quello chimico.

Le leggi di conservazione discusse in precedenza sono parte della risposta La meccanica del xvri secolo elaborò il concetto di massa come qualità essen­a tale problema. ziale della materia e misura della sua quantità. In senso stretto si hanno due con­

cetti di massa: a) la massa gravitazionale di un corpo che determina la forza diz.r. Conservazione della materia. gravità tra esso e gli altri corpi ; b) la massa inerziale di un corpo che ne determi­

na la resistenza alla variazione di moto, l'inerzia. Piu precisamente, si tratta delIl problema del cambiamento era strettamente legato alla ricerca di una teo­ rapporto tra la forza agente sul corpo e l'accelerazione che esso acquista in con­

ria della materia. Una delle primissime teorie che c'interessa è quella di Empe­ seguenza di quella forza. Tuttavia le due masse furono ritenute uguali. Il peso didocle. Secondo lui tutta la materia è composta di quattro elementi che non si un corpo è il prodotto della massa per l'accelerazione gravitazionale e varieràpossono creare né annichilare. I mutamenti nella costituzione degli oggetti ma­ quindi in funzione dell'accelerazione, ma, una volta conosciute e tenute in de­teriali sono spiegati in base a variazioni nei rapporti degli elementi costituenti. bito conto queste variazioni, il peso — essendo proporzionale alla massa — puòPur trovandoci in presenza del vero e proprio inizio della nozione di costanza sempre fornire una misura della quantità di materia.della materia, associata a una spiegazione della sua diversità, sarebbe avventato Contemporaneamente anche la chimica, seppure da un punto di vista mo­attribuire a Empedocle la legge di conservazione della materia. L'asserzione che derno molto meno sviluppata della fisica, contribui ad accrescere le conoscenzela materia non può essere distrutta significa che ciascuna delle sue caratteristiche sulla materia. I gas furono considerati materia e si iniziò a studiarne il compor­è costante > Ciò sarebbe del tutto contrario all'esperienza. Si sarebbe tentati di af­ tamento. Si cominciò ad applicare le teorie atomistiche alla ricerca chimica efermare che si conserva la quantità di materia, ma tale concetto dev' essere definito presero foma i concetti di elemento, composto e miscela, anche se non era dispo­e nulla in tal senso si può rintracciare negli scritti di Empedocle. nibile alcun metodo per distinguerli in pratica.

Un concetto piu chiaro della costanza della materia si può trarre dalle teorie La formulazione, da parte di Lavoisier, della legge di conservazione dellaatomistiche di Leucippo, Democrito ed Epicuro, cosi splendidamente rappresen­ materia è il risultato del lavoro di tutta una vita sull'analisi chimica, In certi casitate da Lucrezio nel De rerum natura. Benché compaia nuovamente la formula la legge è un'ipotesi da dimostrare, in altri un presupposto fondamentale che in­fondamentale «Nil posse creari de nihilo», essa ha un significato piu preciso in fluenza la ricerca. Il metodo da lui usato consisteva in rigorose misure dei pesiconsiderazione del modello cui si applica. Le unità ultime di cui la materia è delle sostanze reagenti prima e dopo i processi studiati, processi che andavanocomposta — gli atomi — sono indistruttibili e indivisibili. Essi hanno forma e pe­ dalla combustione all'ossidazione, alla variazione di stato aggregazionale, e aso, ma sono privi di altre proprietà della materia, quali il colore, il gusto, ecc. molti altri. Dal nostro punto di vista tre aspetti dell'opera di Lavoisier sono im­Tutte le caratteristiche materiali e tutti i mutamenti sono riducibili a differenze portanti: a ) tutta la materia è pesante. La sua attenta analisi della combustionenella configurazione degli atomi. Il numero degli atomi è fisso ma, ciò che piu sconfisse la teoria del flogisto, secondo la quale la combustione è liberazione diimporta, il peso come proprietà fondamentale degli atomi può fornire una misu­ flogisto : una sostanza con eventuale peso negativo ; b) la materia non può andarera della quantità di materia. L'idea che sia il peso a caratterizzare la materia, pur perduta in un sistema chiuso : il peso totale è identico prima e dopo ogni proces­forse banale per il lettore moderno, non è affatto tale nel suo contesto storico. so; c) il nuovo metodo, l'analisi quantitativa, consente una comprensione dellaPer Aristotele e la lunga tradizione dei suoi seguaci il peso è una qualità acciden­ struttura della materia. Utilizzando tale metodo Lavoisier pervenne alla primatale della materia. Inoltre, la materia non è necessariamente pesante ; il fuoco e lista di elementi in quanto distinti dai composti. L'aspetto a) è in realtà una con­l'aria sono leggeri, ovvero si suppone che si allontanino dal centro della Terra. dizione necessaria per la scoperta della legge, mentre l'aspetto c) è già una conse­Anche molto piu tardi, negli scritti degli alchimisti, sino al xvnr secolo, è rin­ guenza della formulazione della legge. È evidente che le inisure del peso sarebbe­tracciabile l'opinione che la trasformazione di un metallo possa modificarne il ro futili se avessero potuto darsi perdite di peso in un processo chimico.peso. La vaga convinzione che vi sia qualcosa di costante nella materia non rima­ La legge di conservazione della materia fu il risultato di una piu profondase in esclusiva ai sostenitori della dottrina atomistica, ma è il contenuto che essi conoscenza della materia, ma al tempo stesso rese possibile un'ulteriore deluci­

Conservazione /invarianza 8zz 8zg Conservazione/invarianza

dazione del concetto grazie alle sue applicazioni in chimica. Questo duplice di­ creò la materia con movimento e quiete nelle sue parti, afferma Descartes, e,segno nella scoperta della legge è tipico e si ripeterà nello sviluppo di altre leggi poiché l'ordine dell'universo dev' essere costante quanto lo stesso creatore, è im­di conservazione. possibile che la quantità di moto originariamente immessa nel mondo possa mai

cambiare. Ogni aumento in una qualunque parte dev' essere compensato da una

2.2. Conservazione del momento. perdita in qualche altra, sicché la quantità totale di moto nell'universo rimanecostante.

Lo studio del moto fornisce un altro esempio di sintesi tra mutamento e per­ Descartes non riusci a formulare una definizione chiara di questa <i quantitàsistenza: il moto è cambiamento, ma è soggetto a rigorose leggi di conservazione di moto» (in varie occasioni le diede anche il nome vis, termine piuttosto diso­che limitano la portata del mutamento possibile. Per quanto concerne le teorie rientante in quanto Descartes insisteva nel dire che le forze non trovavano postodel moto esiste una spaccatura tra «antichi» e «moderni ». L'idea del moto uni­ nella sua fisica). È opinione comune che Descartes avesse in mente quello cheforme continuo nello spazio vuoto, che costituisce l'autentica base della mecca­ definiamo momento (il prodotto della massa per la velocità), ma attribuirgli unanica del xvn secolo, era assolutamente assurda per Aristotele, a tal punto che simile definizione è impossibile perché a) il momento è un vettore mentre Des­egli se ne servi nel quadro di una riduzione all'assurdo per dimostrare l'impossi­ cartes si riferiva a uno scalare, e b) il concetto di massa venne chiarito soltantobilità del vuoto. Gli aristotelici, sviati dall'esperienza quotidiana, credevano che da Newton.ogni movimento richiedesse un agente che lo conservasse. Nel caso problemati­ Questa situazione è tipica del processo di formazione dei concetti nella scien­co di una freccia in volo si supponeva che l'aria fornisse l'agente. Soltanto nel za. I concetti si sviluppano attraverso ripetuti tentativi di integrarli in una teoriaxvii secolo il concetto di moto si liberò da questo fraintendimento, e soltanto al­ scientifica. Nel corso di questo processo essi si trasformano da entità vaghe, in­lora furono %coperte le leggi di conservazione relative al movimento. Natural­ determinate, in concetti scientifici ben definiti. In altre parole sono concetti inmente, anche la scienza del xvn secolo aveva radici piu profonde : per citare sol­ divenire. La legge di Descartes richiamò l'attenzione sulla «quantità di moto»,tanto qualche nome, Guglielmo di Ockham e il suo allievo Buridano dell'Uni­ suscitando tentativi per spiegarla, i quali a loro volta portarono a un migliora­versità di Parigi ipotizzarono che un oggetto in movimento possieda «impeto»­ mento della legge originaria. Non vi fu mai un chiaro concetto di momento finoun'entità immateriale proporzionale al suo peso e alla sua velocità, che ne de­ alla scoperta di una legge di conservazione : la scoperta della legge e la formazio­termina lo spostamento continuo. Nel xvi secolo anche Benedetti sviluppò una ne del concetto furono una cosa sola.teoria dell'impeto che ebbe grande influsso su Galileo. Tuttavia non vi è dubbio Quella che è oggi nota come legge di conservazione del momento lineare è unche i maggiori contributi alla comprensione del moto furono portati nel secolo semplice corollario della seconda e della terza legge del moto di Newton, maxvii da Galileo, Descartes, Huygens, Newton e Leibniz. Newton non enunciò mai tale corollario come legge di conservazione. L'investi­

L'opera galileiana Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove gazione di entità conservate non faceva parte del suo programma di ricerca. Des­scienze è un confronto tra la vecchia teoria aristotelica e la sua nuova scienza cartes, d'altra parte, con la sua convinzione che una legge di conservazione sia im­della meccanica. Qui egli presenta il principio d'inerzia, secondo il quale un cor­ plicita nella teoria del moto, giunse soltanto a una formulazione abbastanzapo può variare la propria velocità soltanto sotto l'influenza di una forza. Un corpo imprecisa e a una giustificazione alquanto teologica. Abbastanza simile fu il casolibero rimarrà sempre in quiete, oppure continuerà a muoversi con la velocità di Leibniz, che condivise l'opinione di Descartes ma postulò la conservazione diiniziale nella stessa direzione. Uno studio dei lavori di Galileo mostra quanto un'altra entità, che defini vis viva, uno scalare piu tardi chiamato energia cineticalungo fu, anche per lui, il processo di abbandono della visione aristotelica della (cfr. oltre, ( z.5). Huygens contribui alla scoperta di entrambe le leggi di conser­necessità di una forza per provocare il moto uniforme. Alla fine egli rimase ari­ vazione: egli si rese conto che la quantità conservata di Descartes è uno scalarestotelico nel senso che il moto circolare aveva per lui uno status speciale e i moti mentre in realtà ciò che si conserva è un vettore, e studiò anche le collisioni diterrestri differivano da quelli celesti. Egli attribui quindi erroneamente il moto corpi elastici, pervenendo cosi alla conservazione della quantità denominata dacircolare dei pianeti alla loro inerzia. Leibniz vis viva.

I residui dell'aristotelismo furono spazzati via da Descartes. Il pr incipio E importante comprendere che ognuno di questi contributi ebbe la sua in­d'inerzia di Descartes si applica imparzialmente a tutta la materia, e per lui il fluenza sullo sviluppo della fisica. La cospicua posizione delle leggi di conserva­moto uniforme è soltanto un movimento in linea retta; soltanto per inerzia un zione nella nostra immagine della scienza è l'eredità della tradizione cartesiano­pianeta non percorre un circolo. Descartes estese inoltre il principio a compren­ leibniziana, ma l'incorporazione delle leggi di conservazione scoperte da Des­dere le interazioni tra i corpi, quali le collisioni, e postulò la conservazione di una cartes, Huygens e Leibniz in un sistema teorico coerente non avrebbe potutoquantità che talvolta defini quantità di moto. Descartes dette la massima impor­ realizzarsi senza la meccanica newtoniana.tanza a questa legge di conservazione e tentò di farla discendere da considerazio­ Stando cosi le cose, è meglio presentare la legge in termini di meccanicani metafisiche generali, come l'immutabilità di Dio, che gli pareva evidente. Dio newtoniana. La seconda legge del moto di Newton per una particella esprime la

Conservazione/invarianza Conservazione /invarianza

forza agente sulla particella in funzione della velocità di variazione del suo mo­ L'equazione, analoga alla seconda legge di Newton per una particella in motomento lineare : rotatorio, uguaglia il momento meccanico N alla velocità di variazione del mo­

dp mento angolare L:dt dL

N = ­.

ove F è la forza, P il momento e t il tempo. dt

Il momento lineare P è il prodotto della massa m della particella per la sua N e L sono vettori definiti come segue:velocità V. Ne segue immediatamente che in assenza di forza non si ha variazio­ Il momento angolare di una particella rispetto a un punto O è il prodottone del momento lineare, ovvero — in altre parole — che il momento lineare è con­ vettoriale del raggio vettore da O alla particella, r, per il momento lineare dellaservato. Poiché si tratta di una legge vettoriale, il momento verrà conservato particella, P:lungo ognuno degli assi : cioè se F, è zero, P, sarà conservato anche se sulla par­ L = rnP.ticella agiscono forze F„e F,.

Si può generalizzare la legge a sistemi di molte particelle. In tal caso le forze Il momento meccanico N rispetto a un punto O è il prodotto vettoriale di rinterne tra le particelle debbono essere distinte dalle forze esterne che agiscono per la forza F:sul sistema. La legge di Newton si legge allora : la somma totale delle forze ester­ N =r n F.ne addizionata alla somma totale delle forze interne è pari alla somma delle va­riazioni dei momenti. Tuttavia, secondo la terza legge del moto di Newton, la

Ne deriva immediatamente la legge di conservazione: in assenza di momento

legge di azione e reazione, le forze che due particelle esercitano l'una sull'altrameccanico il momento angolare della particella si conserva. La legge viene ancora

sono uguali ma di segno opposto e si trovano sulla congiungente le particelle.generalizzata per sistemi di molte particelle sommando tutte le particelle e ser­vendosi della terza legge di Newton per dimostrare che la somma dei momenti

Ne consegue che la somma totale delle forze interne al sistema si annulla. Allorala variazione del momento lineare è determinata soltanto dalle forze esterne e,

interni si annulla. In tal modo la variazione del momento angolare è influenzatasoltanto dal momento meccanico esterno e, se quest'ultimo vale zero, il momen­

uando queste sono uguali a zero, il momento lineare totale del sistema è conser­ to angolare totale del sistema si conserva.vato. Un modo diverso di rappresentare la legge consiste nell affermare cheforze interne non influenzano il moto del baricentro di un sistema. Qualsiasi

Il danzatore classico fornisce un buon esempio : se tiene le braccia piu vicine

cambiamento del momento in un punto del sistema sarà quindi compensato inal corpo (riducendo cosi l'r di una parte del corpo), egli ruoterà piu velocemente

un altro, sicché il baricentro proseguirà nel suo movimento iniziale. Molti esem­in modo da non perdere momento angolare. Un altro esempio è dato da un giro­

pi familiari illustrano la legge : il rinculo di un cannone è dovuto al momento dascopio, che conserva la sua direzione nello spazio indipendentemente dal movi­mento del veicolo che lo trasporta.

questi acquisito per controbilanciare il momento del proiettile. Analogamente, Le leggi di conservazione, nei termini con cui sono qui rappresentate, hannoun razzo avanza per equilibrare il momento dei gas di scarico. validità ristretta per parecchi motivi: a ) la legge di azione e reazione è in moltiÈ ovvio che per una particella libera di massa costante la legge di conserva­zione del momento lineare non è altro che il principio d'i nerzia; tuttavia, la dif­

casi violata, ad esempio nei sistemi di cariche in moto. Si può dimostrare che in

ferenza è significativa. In primo luogo, la legge di conservazione del momento sitali casi non sono conservati i momenti meccanici qui trattati, ma la loro somma

a plica a una piu vasta gamma di casi, come ad esempio sistemi con forze inter­con un altro fattore, quale ad esempio il momento lineare elettromagnetico;

apne o sistemi che durante il movimento perdono o acquistano massa. In seco. I ndo b) nel campo relativistico il momento dev' essere definito in modo un po' diverso ;

luogo, il momento si dimostra concetto piu fondamentale sia della massa cheh del­ c) i concetti debbono essere generalizzati nella meccanica quantistica. Ad esem­pio, una particella con massa zero avrà momento nullo in base alla definizione

la velocità, sicché, anche se quelle quantità non caratterizzano piu il sistema, espressa, ma un fotone, la cui massa è zero, è dotato di momento secondo lacome avviene nella meccanica quantistica o nel campo relativistico, il momento è meccanica quantistica.sempre un'entità fondamentale che obbedisce a una legge di conservazione.

z.g. Conservazione del momento angolare. z.y. Conservazione della carica elettrica.

O ni moto si può rappresentare come combinazione di rotazione e traslazio­g In opposizione alle teorie della materia e a quelle del moto che, come si ène. Sinora ci siamo occupati soltanto della traslazione. Esiste una legge anal g visto, hanno una lunga storia, lá teoria dell'elettricità è relativamente nuova. No­

p 1er il moto rotatorio, la legge di conservazione 'del momento angolare. Anche qui nostante che il fenomeno dell'elettrizzazione di un pezzo d'ambra fosse già fa­la legge ha le sue fondamenta nella meccanica newtoniana, ma fu in realtà sco­ miliare ai Greci, ben poco si seppe dell'elettricità sino al xvtn secolo. Forse que­perta soltanto verso la metà del xvnt secolo da Eulero e Bernoulli. sta mancanza di conoscenza scientifica era in qualche modo determinata dalle

Conservazione/invarianza 8z6 8zp Conservazione/invarianza

nostre limitazioni come esseri umani : ogni fanciullo ha un certo concetto della 'elettricità negativa' (non 'mancanza di', 'deficit', ecc,) poteva facilmente crearemateria e del moto e i bambini possono persino arrivare a una vaga idea di una l'impressione che fosse implicata un'entità differente e questo avrebbe potuto in­legge di conservazione per la materia (cfr. $ 4.g). Poiché noi stessi siamo corpi fluenzare Coulomb. D'altra parte per Coulomb vi sono realmente due entità di­in movimento, abbiamo una concezione intuitiva del mondo nella quale la ma­ verse, cosicché la spiegazione frankliniana del processo di neutralizzazione nonteria e il movimento sono in qualche modo concetti primari. Non altrettanto si regge piu. Però l'impiego delle parole 'positivo' e 'negativo' dissimulò il proble­può dire per il concetto di elettricità. ma e l'analogia con i numeri portò alla convinzione che fosse semplicemente na­

Uno slogan ben noto afferma che la scienza non si occupa del «che cosa» ma turale l'annullamento di quantità uguali di cariche positive e negative.piuttosto del <<come». In altre parole, per conseguire una conoscenza scientifica Coulomb stesso non si lasciò fuorviare dalla sua notazione, e cosi pure, dopodi un concetto, non abbiamo altra via che lo studio del comportamento dei siste­ di lui, Faraday e Maxwell. Tutti si trovarono di fronte al problema della neutraliz­mi cui esso si applica. Poiché è soltanto uno slogan, non lo si deve ritenere di va­ zazione. Come possono due sostanze diverse neutralizzarsi senza violare la leggelidità generale (quando è possibile una riduzione ad altri concetti si acquisisce di conservazione della materia, che a quell'epoca era considerata un principiouna certa conoscenza sul «che cosa») ma, per quanto riguarda i concetti fonda­ al di là di qualsiasi dubbio? Questo problema era talmente serio che a lungo lamentali, lo slogan è una descrizione realistica. Ad esempio, la teoria gravitazio­ teoria dualistica di Coulomb non conquistò una preferenza assoluta rispetto al­nale di Newton non dice cos'è la gravitazione, ma come si manifesta. Analoga­ la teoria monistica. Sperimentalmente era difficile distinguere tra le due teorie.mente, non si sa nulla dell'elettricità a parte la conoscenza del comportamento Sia Faraday sia Maxwell furono molto chiari in proposito e, pur usando il mo­dei corpi che la « trasportano». È piu facile rendersi conto che questa è una de­ dello dualistico, affermarono esplicitamente di non riuscire a confutare la teoriascrizione adeguata in merito a concetti dei quali non abbiamo una comprensione monistica.intuitiva, che crearsi l'illusione di un sapere essenziale piuttosto che fenomeno­ Lasciando aperto il problema della conciliazione tra neutralizzazione e con­logico. Se l'interrogativo è «che cos'è la carica elettrica?», oggi se ne sa quanto servazione della materia, l'impressionante lavoro sperimentale di Faraday portòtrecento anni or sono, ma per quanto riguarda il «come» certamente se ne sa di a una differente formulazione della legge di conservazione della carica : le carichepiu, come attesta la tecnologia moderna. È perciò evidente che la scoperta della elettriche possono soltanto essere formate in coppie di cariche positive e negativelegge di conservazione della carica rappresenta al tempo stesso un chiarimento di uguale forza. Ciò significa che la carica netta di un sistema isolato rimane co­del concetto di carica elettrica. Si è descritto il «divenire» dei concetti di materia stante, poiché ogni carica creata nel sistema (in conseguenza di attrito o di qual­e moto. Il caso della carica elettrica è forse ancora piu convincente. siasi altro processo) sarà accompagnata da una carica uguale di segno opposto,

Il padre della teoria dell'elettricità è Benjamin Franklin. Egli postulò l'esi­ in modo tale che la carica totale netta sia invariante.stenza di una sostanza elettrica, costituita da atomi abbastanza piccoli da pene­ Sarebbe opportuno aggiungere a questo punto alcuni commenti sulla legge :trare ogni altra materia. L'analogia con gli atomi di materia implicava un'analo­ a) Questa legge, pur formulata in termini dualistici, non esclude la possibilitàga legge di conservazione. Come si è osservato, la legge atomistica di conserva­ dell'esistenza di un unico tipo di elettricità. Se le cose stanno cosi, la leggezione non era ancora rigorosa e la sua essenza era l'indistruttibilità della materia. s'identifica con quella di conservazione della materia, poiché in un sistema isola­La stessa cosa valeva nel caso della legge di conservazione di Franklin per la so­ to la materia non può essere creata ed è possibile soltanto una ridistribuzionestanza elettrica. Gli atomi componenti la sostanza elettrica nella teoria di Frank­ della supposta materia elettrica. L'eccesso in una parte del sistema implica defi­lin sono di un solo tipo e, quando sono distribuiti in modo uniforme, non è pos­ cienza in un'altra parte, ovvero si formano cariche positive e negative uguali.sibile scoprirli. I f enomeni elettrici derivano dall'accumulo di questi atomi b) Come indicato in precedenza, alla legge di conservazione della carica si— eventualità che Franklin denominò «elettricità positiva» — o da una loro de­ giunse per analogia con la conservazione della materia. Questa analogia non valeficienza — «elettricità negativa». Quando un corpo positivo viene a contatto con però per l'attuale formulazione. La legge di conservazione della materia negavauno negativo si verifica una ridistribuzione degli atomi elettrici in modo che le la creazione e distruzione della materia, mentre la nostra legge non esclude alcu­cariche positive e negative si neutralizzano, L'intera quantità di elettricità perduta no dei due processi. Essa è soltanto una condizione sui rapporti delle differentidalla massa positiva in questo processo viene acquistata dal corpo negativo sen­ cariche create. Per di piu, la legge di conservazione della carica di fatto soprav­za perdite. Questa è la massima approssimazione di Franklin alla legge di con­ visse a quella di conservazione della materia. Oggi la legge di conservazione dellaservazione della carica elettrica, ma egli non si servi mai di questo termine. materia non è piu ritenuta esatta, mentre quella di conservazione della carica è

Quando, trent' anni piu tardi, Coulomb scopri la legge d'interazione delle ancora considerata una delle leggi fisiche fondamentali.cariche elettriche, ipotizzò due tipi diversi di materia elettrica, ognuno formato c) La legge in questa formulazione non dice nulla sulla natura dell'elettricità,da atomi indistruttibili, ma si spinse oltre usando la terminologia di Franklin non si affida a una teoria dell'elettricità come materia, come materia atomistica,e le defini cariche elettriche positive e negative. Ecco una splendida illustrazio­ come proprietà della materia, ecc. Questo è uno dei motivi per cui questa leggene del significato della terminologia : da una parte l'uso di Franklin del termine sopravvisse a tutte le rivoluzioni che hanno subito le teorie della materia.

Conservazione /invarianza 8z8 Szg Conservazxone/xnvarxanza

d) Concettualmente la legge non rappresenta un miglioramento rispetto alla Una ricostruzione razionale e schematica della storia della legge di conserva­precedente versione di Franklin. Forse è vero anche l'opposto : la legge sembra zione dell'energia si potrebbe rappresentare cosi: Ipotesi a: l'energia si con­piu un assioma, naturalmente un assioma ben confermato, dunque un corollario serva; confutazione a: l'energia va perduta in un processo di tipo X,. Ipotesi b :di una teoria. Ciò non ne diminuisce in alcun modo il valore come legge scienti­ nel processo di tipo X, l 'energia non è perduta ma semplicemente trasformatafica — ogni teoria prende l'avvio da assiomi — ma dimostra ancora una volta che da energia di tipo A in energia di tipo B. La somma totale dell'energia A e del­le leggi fondamentali non sono necessariamente fondate su concetti ben defiriiti ; l'energia B si conserva; confutazione b: l'energia è perduta in un processo dinon vi è alcun preciso concetto di carica prima di quella legge, anzi è la legge tipo X,... Ecc. Ma questa è una ricostruzione possibile soltanto col senno di poi.stessa, questo assioma, uno dei fattori principali dell'emergere del concetto di Il fatto che ogni ipotesi fosse un gradino verso la legge generale di conservazionecarica. dell'energia non avrebbe potuto essere compreso prima della pratica scoperta

e) Piu di tutte le altre leggi di conservazione classiche, questa è il risultato di della legge. Anche il concetto di energia, liberamente usato nella ricostruzione,un enorme lavoro sperimentale. Essa non venne giustificata metafisicamente entrò in uso soltanto dopo la divulgazione della legge e sino ad allora non si ma­come la legge di conservazione del moto di Descartes, né fa parte della nostra nifestò alcun concetto isolato comune a tutte le varie ipotesi.concezione intuitiva del mondo come si potrebbe considerare la legge di conser­ Inoltre, non è possibile dare una definizione del concetto di energia indipen­vazione della materia. È uno dei casi, forse una delle eccezioni che confermano dentemente dalla legge di conservazione. Ogni stadio dello schema rende possi­la regola, in cui ha veramente funzionato il metodo ipotetico-deduttivo, bile la definizione di un concetto — un tipo di energia. L'impiego dello stesso ter­

mine 'energia' per un'altra quantità è giustificato soltanto dalla legge che asse­

z.g. Conservazione dell'energia. risce che la nuova quantità è semplicemente una versione trasformata della pre­cedente. Piu precisamente, attribuire all'energia il significato di capacità di com­

La legge di conservazione dell'energia fu l'ultima delle leggi di conservazione piere lavoro (una definizione piuttosto diffusa) ha senso soltanto se questa «ca­classiche a essere scoperta. La sua storia fu lunga e complessa, e il concetto im­ pacità» può essere attualizzata e se sussiste una relazione matematica invarianteplicato — l'energia — fu il piu confuso tra tutti i concetti fondamentali classici. tra la «capacità» e il lavoro meccanico prodotto. Ma questo è esattamente ciòCiò nonostante, o forse proprio per questo, la legge di conservazione dell'energia che rivendica la legge di conservazione. L'unica possibile definizione è quindiebbe un impatto straordinario e penetrò profondamente nelle idee popolari, an­ una definizione basata sulla legge.dando perciò soggetta a molti impieghi superficiali e imprecisi. Tuttavia, la for­ La legge di conservazione dell'energia, come pure la legge di conservazionetuna di cui godette sul finire dell'Ottocento non la salvò da modificazioni sostan­ del momento si fondavano sulla persuasione che nel moto qualcosa si conser­ziali poco dopo il volgere del secolo. vasse. Com'è stato detto, la quantità di moto conservata di Descartes precorreva

La formulazione della legge di conservazione dell'energia è analoga a quella il momento mv di Newton. D'altra parte Leibniz postulò la conservazione didelle altre leggi di conservazione ed è cosi espressa : l'energia totale in un sistema una quantità proporzionale alla quantità di materia e al quadrato della velocità,chiuso è costante per qualsiasi modificazione subita dal sistema. Si deve ricorda­ ossia mv~ e la defini bis viva 'forza viva'. Egli notò anche una connessione trare che soltanto un sistema ideale è veramente un «sistema chiuso» rispetto all'e­ quella quantità e l'altezza raggiunta da un corpo scagliato verso l'alto : entrambenergia. Mentre è possibile proteggere con notevole efficacia un sistema contro sono «effetti» della medesima forza. È questa forza, pur generale e indefinit, chele perdite di carica elettrica o di materia, nessun isolamento impedirà dei tra­ Leibniz supponeva venisse conservata. La legge meccanica di conservazionesferimenti di energia, poiché questi possono verificarsi anche nel vuoto. della @is viva è soltanto un caso di una legge metafisica piu generale. Questo è

Il principio di conservazione dell'energia afferma piu della semplice indi­ chiaro se si tiene presente l'argomentazione metafisica generale con cui Leibnizstruttibilità di un'entità. Vi sono molte forme di energia e il principio stabilisce sostiene la sua legge. Per Leibniz vi sono due principi esplicativi: il principioche esse sono equivalenti e trasformabili l'una nell'altra, pur restando costante d'identità e il principio di ragion sufficiente. Quest'ultimo, che s'identifica inla loro somma totale. La scoperta della legge richiese perciò lo studio di una mol­ realtà con la legge di causalità, esige l'uguaglianza tra causa e effetto. Tale prin­titudine di fenomeni e la percezione dell'esistenza di un denominatore comune cipio viene usato da Leibniz per dimostrare la conservazione della vis viva. Laa tutti. Questo è uno degli elementi che complicarono la scoperta della legge. @is viva non può aumentare (ciò significherebbe che l'effetto è maggiore dellaInoltre, il fatto che fossero coinvolte forme diverse di energia andò ad aggiun­ causa) ; d'altra parte, se decrescesse soltanto, alla fine dovrebbe svanire del tutto,gersi alla confusione già esistente nei concetti e nella terminologia. La letteratura il che è contrario all'ordine dell'universo e alla perfezione di Dio. Ne conseguedel xvxrr e xrx secolo conosce un gran numero di presunte entità conservate : 'vis che la @is mea si deve conservare. La conservazione della forza come manifesta­viva', 'funzione di forza', 'forza', 'potenziale'; 'lavoro', 'tensione', ecc. Onde zione della potenza e perfezione di Dio è uno dei punti di discussione principalisostituire questi vaghi principi con un concetto ben definito di energia era ne­ nella controversia tra Leibniz e Newton, quale è riRessa nella corrispondenzacessaria una formulazione inequivocabile della legge in termini matematici. Leibniz-Clarke. Per entrambi la « forza» è una delle entità fondamentali, ma an­

Conservazione /invarianza 8)o 88r Conservazione /invarianza

cora una volta la terminologia è ingannevole: la forza di Newton è molto diversa di trasformazioni successive da energia cinetica in energia potenziale costituisceda quella di Leibniz e la famosa corrispondenza non è in realtà una discussione il moto di un pendolo oscillante. Si noti che il concetto di energia potenziale è insulla stessa quantità fisica, ma piuttosto un confronto tra due dottrine scientifi­ pratica collegato a un sistema e non a un singolo oggetto. L'oggetto di cui soprache diverse. Come si è già osservato, le leggi di conservazione scaturiscono facil­ possiede energia potenziale in virtu della forza che su di esso esercita la Terra.mente dalla meccanica di Newton, ma egli non le derivò mai come tali. L'energia potenziale m a x è in realtà l'energia del sistema oggetto-Terra sepa­

La quantità chiamata da Leibniz @is tiiva — a metà del cui valore si dà il nome rato dalla distanza x. L'energia cinetica fu anche misurata rispetto alla Terra edi energia cinetica — si conserva soltanto nelle collisioni elastiche. Questo prin­ non, ad esempio, rispetto alle stelle fisse. Inoltre si può scegliere arbitrariamentecipio qualificato era già stato scoperto da Huygens nel r 699. Leibniz, per il quale il punto zero dell'energia potenziale.il principio era assoluto, dovette rendere ragione della perdita di @is eitia nelle Un altro problema molto discusso nel xvrn secolo fu la possibilità o menocollisioni inelastiche. La sua spiegazione fu che la forza veniva impartita agli del «moto perpetuo».atomi costituenti il corpo, cosicché ciò che era perduto dal corpo veniva guada­ La costruzione di una macchina in grado di funzionare continuamente senzagnato dalle sue parti interne. Tale spiegazione non ebbe vasta risonanza e la per­ alimentazione di energia fu una sfida che molti cercarono di raccogliere, sia tradita di bis vitia nelle collisioni inelastiche continuava a costituire un problema gli scienziati sia tra gli artigiani. Nel I775 l'Académie des sciences francese votònel r847, anno della scoperta della legge di conservazione dell'energia. una risoluzione per non esaminare ulteriori tentativi di costruzione di una simile

Nel corso del xvrtt secolo la scienza della meccanica subl un'importante tra­ macchina. Se l'Académie avesse riconosciuto una legge di conservazione del­sformazione dalla pura formulazione vettoriale di Newton alla chiara formula­ l'energia, la decisione senz'altro sarebbe stata basata su di essa, ma tra le ragionizione scalare di Lagrange. Al posto della forza newtoniana F nella teoria di La­ pubblicate dall'Académie non figura alcun principio di questo genere. Vengonogrange si trova una «funzione di forza» (oggi energia potenziale) dalla quale de­ forniti due argomenti: a ) l'insuccesso totale di tutti i tentativi che erano statiriva la forza: esaminati, ossia un argomento basato su una generalizzazione induttiva; b) il

av >v av principio scolastico sopra citato secondo cui la causa deve uguagliare l'effetto.F = ­ VV = + +òx à y òz Questo principio fu adottato per significare che se la macchina deve lavorare

sulla scorta della prima forza motrice impressale, essa può produrre soltanto unAnziché il momento vettoriale, si ha l'energia cinetica T =mas/z e l'equa­ effetto infinitamente piccolo ad ogni istante, sarebbe cioè una macchina comple­

zione di Lagrange è l'equazione del moto dello scalare combinato L = T — V. tamente inutile. Questo argomento si applica anche in assenza di attrito e resi­La legge di conservazione dell'energia meccanica è effettivamente incorpora­ stenza, e quindi a maggior ragione se si prendono in considerazione tali forze.ta nel formalismo lagrangiano. L'energia meccanica del sistema è T — U e si può L'Académie è ansiosa di sottolineare che non vi è contraddizione tra l'impossibi­facilmente provare che questa quantità si conserva. L'espressione ammette però lità di una macchina in moto perpetuo e il principio d'inerzia, secondo cui nelloun'importante restrizione: è valida solo per sistemi conservativi, ossia sistemi in spazio vuoto un corpo conserverà il suo moto uniforme, che però per sua stessacui il potenziale non dipende dalle velocità, e per sistemi nei quali i vincoli sono definizione non può produrre lavoro. A noi la connessione tra questa risoluzioneindipendenti dal tempo. Poiché le forze d'attrito dipendono dalle velocità, l'e­ e la legge di conservazione dell'energia sembra talmente ovvia che spesso si ènergia meccanica, secondo Lagrange, può essere perduta in qualsiasi sistema sog­ affermato che la legge sia derivata proprio dall'impossibilità del moto perpetuo.getto ad attrito; in altre parole l'energia si conserverà esclusivamente in un si­ Tuttavia, se si tiene conto del fatto che prima dell'enunciazione della legge pas­stema ideale. sarono altri settant' anni, bisogna concludere che al massimo fu uno dei fattori

Illustriamo la connessione tra energia potenziale ed energia cinetica con un che contribuirono alla creazione del clima scientifico in cui operarono gli sco­semplice esempio : se una forza costante F agisce su un corpo lungo una distanza pritori della legge nel xrx secolo.x, essa produce un lavoro W= F x. I l corpo verrà accelerato in base alla seconda Riassumendo lo sviluppo del principio di conservazione sino al i788 (annolegge di Newton F = m a (m è la massa, a l'accelerazione). La distanza x è data in cui comparve la Mécanique analytique di Lagrange) : fu riconosciuta l'impos­da ats/z (t per secondi ) e quindi il lavoro produce energia cinetica secondo la sibilità del moto perpetuo e venne stabilita la legge di conservazione dell'energiaformula W=ma t ' /z = mv'/z. Supponiamo ora che la forza sia la forza gravita­ meccanica per sistemi non implicanti attrito. Ma cosa accade quando sono presen­zionale e che l'accelerazione sia l'accelerazione di gravità. Si può allora affermare ti le forze d'attrito? L'energia va in tal caso perduta? Nel I798 il conte Rumfordche un corpo posto ad altezza x da terra ha un'energia potenziale m. a x che si lesse alla Royal Society la sua famosa relazione sugli esperimenti compiuti pertrasformerà in energia cinetica me~/z nel momento in cui raggiungerà il suolo. provare che il calore si ottiene per attrito. Avendo osservato che un fucile di ot­D'altra parte, se il corpo viene scagliato in alto con energia cinetica iniziale tone si scalda notevolmente mentre viene alesato, egli si accinse a scoprire l'ori­mv'/z, proseguiràin quella direzione soltanto per un tratto x, poiché a quel mo­ gine di quel calore. Il problema che interessava Rumford era la natura del calore.mento tutta la:sua energia cinetica si è convertita in energia potenziale. Una serie La teoria del calore prevalente a quell'epoca era quella calorica, secondo la quale

Conservazione /invarianza 83z 833 Conservazione/invarianza

il calore è un fluido materiale. Questa teoria venne definita da Rumford teoria so di ossigeno nel sangue, conseguente alla ridotta combustione di alimenti,moderna, in contrapposizione alla piu antica teoria che considerava il calore Ciò lo indusse a una serie di esperirienti, nei quali tentò di misurare l'equiva­come movimento ed era sostenuta da Bacone, Locke, Hooke, Newton e Leibniz. lente meccanico del calore, pubblicati nel i84z e nel r845. I suoi risultati eranoAlcuni dei maggiori scienziati del xviii secolo erano esitanti sulla natura del ca­ un po' diversi da quelli di Joule, ma ciò che interessa è la conclusione: le forzelore. Cosi anche Lavoisier, incline ad accettare la teoria calorica; pubblicò un della natura sono indistruttibili, ogni perdita è solo apparente. Si osservi che ilarticolo in collaborazione con Laplace in cui il calore è definito come ras viva concetto fondamentale di Mayer era la « forza» (Kraft), mentre per Joule predo­delle molecole. Analogamente, Davy, di solito ritenuto, insieme a Rumford, uno minavano il « lavoro» e la vis viva. Anche Mayer aveva un principio-guida meta­degli scopritori della teoria del calore come movimento, nutriva seri dubbi e pen­ fisico: le forze sono cause, argomenta Mayer, e le cause debbono uguagliare glisava che le prove fossero troppo scarse per decidere tra le due teorie. Rumford efletti ; quindi le forze sono indistruttibili.dimostrò che il calore non poteva essere un fluido materiale poiché un simile Ciò che ancora mancava, nonostante la crescente persuasione di qualcosa d'in­fluido avrebbe dovuto rispettare la legge di conservazione della materia, sicché distruttibile, e malgrado i precisi dati sui processi di trasformazione del lavoro,la quantità di calore prodotto in un dato sistema materiale doveva essere limitata. era la prova matematica che in tutti i processi fisici esiste una quantità aventeI suoi esperimenti provarono tuttavia che mediante attrito è possibile produrre sempre la stessa dimensione e conservante sempre la propria grandezza totale.calore a piacere, risultato in accordo con la teoria moderna. Il lavoro di Rumford, In breve ciò che mancava era la legge di conservazione dell'energia. Fu Helm­cosi significativo per la scoperta della legge di conservazione dell'energia, era holtz a scoprire questa legge nel i 847 e a pubblicarla (privatamente, poiché fu ri­quindi di fatto basato sulla legge di conservazione della materia. Rumford non fiutata da una rivista) col titolo Sulla conservazione della forza (Uber die Erhal­collegò le sue osservazioni con la legge già esistente della conservazione dell'ener­ tung der Kraft).gia meccanica. Il legame tra calore e lavoro meccanico fu stabilito verso la metà L'articolo di Helmholtz si apre con una discussione sulla legge di conserva­del xix secolo da parecchi scienziati impegnati in programmi di ricerca diversi. zione in meccanica. Un sistema possiede eis mica (energia cinetica) in virtu delJoule studiò il funzionamento della cella elettrolitica e della macchina elettroma­ suo moto ; è dotato di tensione (energia potenziale) per via della sua struttura egnetica. Le sue indagini lo portarono a rendersi conto dell'esistenza di una stret­ delle forze interne. La somma totale della « tensione» e della eis mica si conserva.ta connessione tra il lavoro meccanico realizzabile da una macchina, la corrente Come corollario, Helmholtz dimostra l'impossibilità del moto perpetuo. La par­elettrica nella macchina e il calore prodotto da quella corrente. Il suo lavoro spe­ te originale del lavoro è quella che si occupa di altre manifestazioni della Kraft.rimentale, di un rigore fuori del comune, culminò nel calcolo dell'equivalente Nelle collisioni inelastiche e nei sistemi ove agiscono forze d'attrito la perdita dimeccanico del calore. In unità cos (e con un miglioramento molto lieve rispet­ bis viva è associata alla produzione di tensione, una delle cui forme è il calore. Ilto ai risultati di Joule) questo equivalente vale 4,i87 X ro erg per una caloria calore è la eis viva delle parti interne della materia. Helmholtz s'interessa anche(la caloria è la quantità di calore necessaria per elevare di un grado centigrado dell'equivalente della Kraft per processi elettrici, magnetici ed elettromagnetici.la temperatura di un grammo d'acqua a pressione atmosferica normale ). Joule Egli sfiora il problema del bilancio energetico degli organismi viventi e, pur nondimostrò anche che la quantità di calore prodotta da una corrente elettrica nella giungendo ad alcuna conclusione definita, avanza l'ipotesi che gli animali consu­macchina elettromagnetica era identica se il lavoro usato per produrre la corrente mino tensione chimica e producano calore e lavoro meccanico in base alla leggeera stato trasformato direttamente in calore per attrito. Gli esperimenti di Joule di conservazione. Alcuni semplici esempi aiuteranno a spiegare come sia definitarisolsero la disputa sulla teoria del calore e aprirono la strada alla moderna ter­ l'energia potenziale in campi diversi da quello meccanico : l'energia elettrostaticamodinamica. La conclusione cui giunse Joule sulla base del suo lavoro sperimen­ di un corpo caricato è il lavoro compiuto per caricarlo (si deve spendere lavorotale fu che la forza viva non viene annullata dall'attrito : ogniqualvolta essa viene per caricarlo in quanto ogni carica sul corpo respingerà ulteriori cariche in baseapparentemente distrutta, si produce un equivalente, che a sua volta può essere alla legge di Coulomb). Se il conduttore assume una carica Q e il suo potenzialedi nuovo convertito in forza viva. Questa conclusione non era convalidata soltan­ elettrico finale è V, il lavoro compiuto è espresso da QU/z.to da esperimenti. Joule era profondamente convinto che la distruzione della for­ Se la resistenza di un conduttore è R, si debbono spendere PR unità di energiaza viva fosse impensabile, al punto che riteneva possibile pervenire alla stessa ve­ al secondo per mantenere una corrente I. La corrente a sua volta produrrà la stes­rità mediante un ragionamento a priori, basato sulla conoscenza della potenza e sa quantità di calore: PA unità di calore al secondo.saggezza di Dio. Ogni settore della fisica ha la propria energia potenziale in accordo con il

Un altro approccio al problema venne da un interesse d'ordine fisiologico, principio generale. Molle, fluidi elastici e gas, onde sonore, onde luminose, tutterappresentato dalla relazione tra il calore degli organismi viventi, il lavoro mec­ hanno proprie specifiche energie potenziali ed è impossibile soffermarsi separa­canico che essi producono e la combustione del cibo che consumano. Julius tamente su ogni definizione. È importante sceverare questi concetti di energia,Robert von Mayer, un medico, osservò che nelle zone tropicali si aveva una va­ impiegati nella fisica e soggetti a formulazione matematica, da altri usi che alloriazione del colore del sangue venoso ; egli attribui tale cambiamento a un ecces­ stadio attuale sembrano piuttosto metaforici, come ad esempio «energia men­

Conservazione /invarianza 83g 835 Conservazione /invarianza

tale». Ciò non implica affatto che gli usi metaforici non possano essere fruttuosi ove q, è la coordinata i "' ' de l s istema, j, è la sua derivata rispetto al temponella loro sfera d'azione. e infine p; è il momento coniugato all'i "" "'~ coordinata. L è la lagrangiana

Due problemi continuarono a tenere occupati i fisici dopo Helmholtz e nel senso definito sopra. Si può dimostrare che, se non è una funzione esplicitaJoule : i ) la differenziazione della Kraft helmholtziana da altre presunte quantità del tempo, la hamiltoniana è una costante di moto o in altri termini è invarian­conservate quali la forza diFaraday ;z) la riconciliazione tra la legge di conserva­ te lungo tutto lo sviluppo temporale del sistema. Si può inoltre rilevare chezione dell'energia e il principio di Carnot (scoperto da Sadi Carnot ), che pone se la hamiltoniana non è una funzione esplicita di altra coordinata, allora il mo­un limite al rendimento di una macchina termica e quindi suggerisce che il calore mento coniugato alla i "" ' "coordinata si conserva, o è una costante di moto.non sia completamente trasformabile in lavoro meccanico. Il primo problema La fisica del sistema è contenuta nella hamiltoniana; tutto il resto è una deriva­fu trattato da William Rankine in un articolo dal titolo On the Generai Law of zione matematica. È la fisica del sistema a determinare quali coordinate entrinoConservation of Energy, pubblicato nel i 853, dove introdusse il termine 'energia' esplicitamente nella hamiltoniana. Se il sistema è simmetrico per una certa tra­al posto di quello che Helmholtz chiamava Kraft e il lustrò come i risultati di sformazione, tale'simmetria deve trovare la propria espressione nella hamiltonia­Joule derivino dal principio di Helmholtz. Il secondo problema fu risolto da na. Ad esempio una traslazione di un sistema libero nello spazio non può modi­Lord Kelvin nel suo articolo del i 85 r On the Dynamical Theory of Heat e da Ru­ ficare la fisica della situazione, poiché è equivalente alla variazione dell'originedolf Clausius pressappoco nello stesso periodo. Si dimostrò che non vi era al­ del sistema di coordinate mentre il sistema resta dove si trova. L'affermazionecuna contraddizione tra i due principi: in ogni processo attuale l'energia viene che un tale spostamento dell'origine non modifica la situazione fisica si basa sul­senz'altro conservata, ma non tutti i processi teoricamente possibili, in base alla l'assunto che lo spazio è omogeneo. Secondo queste considerazioni la coordinatalegge di conservazione dell'energia, si verificano realmente in natura (o meglio, del baricentro del sistema non può comparire esplicitamente nella hamiltonianahanno luogo abbastanza spesso da consentirne l'osservazione), II principio di e di conseguenza il momento totale del sistema si deve conservare. Analogamen­Carnot, o seconda legge della termodinamica, stabilisce quali processi si realiz­ te, se un sistema libero è simmetrico rispetto a un certo asse, certamente una ro­zino in pratica. tazione attorno a quell'asse non varierà la situazione fisica: qui si suppone che lo

Dopo lunga lotta la legge di conservazione dell'energia infine ottenne un ri­ spazio sia isotropico, ovvero privo di direzioni preferenziali. In tal caso la hamil­conoscimento universale, anzi fini con l'essere considerata come il principio fon­ toniana non sarà una funzione esplicita dell'angolo di rotazione attorno all'asse e,damentale della fisica e col dar vita a tutta una scuola che patrocinò la scienza di conseguenza, il momento coniugato, cioè il momento angolare attorno all'asse,dell'energetica. I seguaci della nuova scienza, tra i quali Ostwald, credevano che verrà conservato. È da notare quindi che la legge di conservazione del momentotutti i fenomeni fossero spiegabili come trasformazioni di un'entità fondamentale è una conseguenza dell'omogeneità dello spazio. Per analogia si può affermare— l'energia — piu fondameritale della materia sia dal punto di vista ontologico sia che la legge di conservazione dell'energia è un'espressione di una omogeneitàda quello epistemologico. La successiva metamorfosi del concetto di energia è fondamentale nello sviluppo del sistema nel tempo. Questa connessione tra leggidiscussa nel ) 3. di conservazione e simmetrie è divenuta ancora piu importante nella fisica mo­

derna, come si vedrà in seguito.

z.6. Leggi di conservazione e simmetrie nella fisica classica.

Dopo Lagrange, nel corso del xix secolo, la meccanica fu riformulata varie 3. Le ggi di conservazione e invariata nella fisica contemporanea.volte con crescente eleganza matematica. I maggiori contributi vennero da Ha­milton e da Jacobi. Queste nuove esposizioni non modificarono il contenuto della Nel paragrafo precedente si è descritto il modo in cui la meccanica classica,meccanica ma non furono prive di significato fisico, in quanto resero possibili dopo un lungo processo di sviluppo, è giunta a un formalismo nel quale eranonuove intuizioni e piu ampie applicazioni. Ad esempio ci si accorse che le leggi incorporate le leggi di conservazione e le proprietà di invarianza, collegate a sim­di conservazione dell'energia e del momento sono derivabili da considerazioni metrie. Questo formalismo fu il punto di partenza della fisica del xx secolo, co­molto semplici sulle proprietà di simmetria dei sistemi fisici e dello spazio e del sicché le leggi di conservazione sono inserite nella teoria esattamente dal princi­tempo. pio. Alcune delle leggi di conservazione classiche furono accettate, altre modifi­

La funzione essenziale nel formalismo di Hamilton, piu tardi definita hamil­ cate o addirittura del tutto trasformate. Sono anche state scoperte e incorporatetoniana, è una funzione che in determinate condizioni rappresenta l'energia to­ nel formalismo molte nuove leggi di conservazione.tale del sistema e contiene tutte le informazioni sulla produzione del moto del La fisica contemporanea si fonda sulla teoria della relatività e sulla meccanicasistema nel tempo. La sua definizione matematica è: quantistica. Mentre lo sviluppo storico di queste teorie è discusso piu particola­

H = P q;p,— L, reggiatamente negli articoli loro dedicati, la discussione che segue si concentrai sugli aspetti fisici dell'argomento. Dopo aver trattato (( 3. i ) delle leggi di con­

Conservazione /invarianza 836 837 Conser vagone/invarxanza

servazione nella teoria della relatività speciale (la teoria della relatività genera­ cevano una forma invariante. In altre parole, si dovrebbe considerare il princi­le non è qui discussa) si discuteranno le leggi di conservazione nella mecca­ pio d'invarianza come una meta-legge, ovvero una legge sulle leggi fisiche, unanica quantistica, iniziando con alcune notazioni sulla vecchia teoria dei quanti legge che stabilisce le condizioni cui deve ottemperare qualunque legge fisica.

( $ 3.z), per poi procedere a esaminare la'meccanica quantistica contemporanea Una delle leggi che deve essere cambiata per soddisfare i requisiti del prin­e la sua descrizione delle particelle elementari (( ( 3.3 sgg.). cipio d'invarianza è la seconda legge del moto di Newton, dalla quale discende

le legge di conservazione del momento. Poiché questa legge si accorda all'espe­

3.r. Relatività e invarianza. rienza nel campo delle velocità molto inferiori a quella della luce, essa dev' esseremodificata in modo tale che la nuova legge coincida con la precedente nel caso

La teoria della relatività speciale si basa su due assunti: a ) le leggi naturali limite di v molto piu piccolo di c. Ne consegue che, se definiamo il momento insono identiche, ovvero hanno la stessa forma matematica, in tutti i sistemi in mo­ modo diverso dalla meccanica classica, il nuovo momento obbedisce a una leggeto uniforme l'uno rispetto all'altro; b) la velocità della luce è costante indipen­ analoga a quella di Newton e si conserva nelle stesse condizioni del momentodentemente dal moto dell'osservatore rispetto alla sorgente. La prima ipotesi era classico. Tale momento relativistico è definito dalla formula:già uno dei presupposti della meccanica classica (piu spesso implicita che espli­cita) ma, soltanto quando fu associata alla seconda, ad opera di Einstein, potero­ mv;

p; = ' p er i = r , z, 3no nascere i nuovi risultati della teoria della relatività. Sulla base di questi due psassunti la teoria della relatività costruisce una trasformazione di coordinate daun sistema mobile a un altro, definita trasformazione di Lorentz, e il postulato ove p; è la componente i — gg'"'a del momento; v; la componente i-"" ~ della ve­basilare della teoria afferma che le leggi di natura sono invarianti rispetto alla locità; m la massa; e P= v/c (v = velocità; c =velocità della luce). È da notaretrasformazione di Lorentz. Il concetto di invarianza di una legge fisica potrebbe che, quando v è molto minore di c, possiamo trascurare P; in tal caso il mo­a prima vista apparire involuto. Il concetto di legge non significa di per sé che mento relativistico s'identifica col momento classico. Questa formulazione forni­la legge è in generale vera e non varia da un sistema di riferimento a un altro? Un sce soltanto tre componenti del vettore momento. La quarta componente, ne­esame piu attento chiarisce però che il concetto di legge implica semplicemente cessaria per definire un vettore tetradimensionale relativistico, è iT /C, essendoun comportamento simile in condizioni analoghe, e per ogni particolare legge si T = mc'/~t — P l 'energia cinetica relativistica deli'oggetto. Qoest'energia cine­deve specificare quali siano quelle condizioni analoghe. La richiesta che in tutti tica relativistica non s'identifica con l'energia cinetica classica, neppure per velo­i sistemi in moto uniforme le leggi debbano essere identiche è perciò ben lontana cità basse. Il suo valore limite è mc'+ (mv'/z), ossia la somma tra l'energia cineticadall'essere banale. Le leggi fisiche non hanno affatto la stessa forma matematica classica e un altro fattore definito energia a riposo. Le quattro componenti cosiin tutti i sistemi di riferimento; in sistemi accelerati o ruotati l'uno rispetto al­ definite costituiscono il vettore momento tetradimensionale e seguono una leggel'altro le leggi della meccanica presentano una forma diversa (questo non è vero di conservazione, la legge di conservazione del momento-energia. Quindi ognisecondo la teoria della relatività generale), volta che il momento si conserva anche l'energia cinetica dev' essere conservata.

La teoria della relatività opera in uno spazio vettoriale tetradimensionale Nella meccanica classica questo principio non è valido, ad esempio in una colli­noto come spazio di Minkowski. Le prime tre componenti di un vettore di posi­ sione inelastica il momento si conserva ma non cosi l'energia cinetica, e si pro­zione sono le coordinate spaziali e la quarta è una coordinata immaginaria pro­ duce calore per equilibrare la perdita. Secondo la teoria della relatività comun­porzionale al tempo, X = ict, ove t è il tempo, c la velocità della luce ei = ~ i . que l'energia cinetica deve conservarsi in una collisione inelastica. Ora, poichéIl principio d'invarianza per la trasformazione di Lorentz significa che le leggi mvs/z diminuisce, mcg deve aumentare e, dal momento che c' è costante, soltantofisiche sono invarianti rispetto a rotazioni nello spazio di Minkowski. un incremento della massa a riposo m può essere responsabile dell'aumento. Ciò

Come è stato detto, la trasformazione di Lorentz venne costruita sulla base significa che la massa di un sistema non è piu una costante di moto. Massa eddelpassionia che la velocità della luce sia costante. Come conseguenza di questa energia si fondono in una variabile dinamica, la massa-energia, ed è questa varia­trasformazione alcune quantità invarianti nella meccanica classica si rivelano va­ bile unificata che obbedisce a una legge di conservazione. La legge classica dirianti da un sistema di riferimento a un altro. Ad esempio un intervallo di tempo conservazione della materia viene perciò abbandonata dalla teoria della relatività.è piu lungo se lo si misura in un sistema in movimento anziché in un sistema in Inoltre, la legge di conservazione dell'energia e la legge di conservazione del mo­quiete (naturalmente ognuno dei due sistemi può essere considerato fermo da un mento, separate nella meccanica classica, sono incorporate dalla teoria della re­osservatore posto in esso) e la lunghezza di ogni oggetto situato lungo la direzio­ latività in un'unica legge : la legge di conservazione del vettore tetradimensionalene del movimento è minore in un sistema mobile. del momento energia.

Il principio d'invarianza rispetto alla trasformazione di Lorentz vuole che tut­ Talvolta è utile introdurre una massa relativistica, diversa dalla massa a ri­te le leggi classiche non invarianti per la trasformazione vengano modificate e ri­ poso ed espressa dalla relazione m„t,t= /~ t ­ )'. i mot ivi sono pn a ente

Conservazione /invarianza 838 839 Conservazione /invarianza

formali. È importante non confondere i due concetti, poiché la massa relativi­ zione del cambiamento. Compton suggerf quindi un modello corpuscolare ana­

stica di un sistema cresce con la velocità, mentre la massa a riposo è indipendente l ogo a quello di Einstein per la luce. Le particelle di radiazione interagiscono

da questa. L'unificazione dei concetti di massa ed energia ha conseguenze di va­ con le particelle di materia in base alle leggi di conservazione del momento d 1­o men oe e ­

sta portata. Il suo significato fisico è che la massa è trasformabile in energia e vi­]>energia. I quanti di radiazione, venendo a collisione con gli elettroni, perdono

ceversa. La relazione tra variazione energetica e incremento della massa a riposoun po' della loro energia e momento, cosicché la radiazione diffusa ha una lun­

è data dalla famosa formula di Einstein : E = kmc~. Nella vita quotidiana le ener­ ghezza d'onda maggiore e gli elettroni acquistano energia e momento, rinculan­

gie sono troppo basse perché i cambiamenti di massa siano significativi. Ad clo c! i conseguenza. Questa teoria in pratica si discostava completamente dalla

esempio nella combustione di una tonnellata di carbone la perdita di massa è in­ teoria ondulatoria della radiazione — passo che sembrò troppo rivoluzionar o

feriore a tre milligrammi! Tuttavia nel campo delle energie nucleari l'effetto del­ Bohr, Kramers e Slater, i quali nel r9z4 tentarono un approccio diverso. Essi

le trasformazioni di massa-energia può essere enorme. In linea generale l'ener­ cercarono di salvare la teoria ondulatoria, abbandonando le leggi di conservazio­

gia che tiene unito un nucleo è molto elevata, ma succede che non tutti i nuclei ne dell'energia e del momento per eventi individuali e interpretandole come

siano ugualmente stabili. I piu stabili sono i nuclei con peso atomico medio, nei leggi statistiche valide soltanto quando si prenda in esame un gran numero di

quali la massa è inferiore alla somma delle masse delle particelle che li costitui­ eventi. Questa congettura fu confutata un anno dopo da Bothe e Geiger, i quali

scono. Vi sono due modi di utilizzare questo fenomeno. Il primo è la fissione di dimostrarono che le leggi di conservazione si mantengono per ogni singola colli­

un nucleo pesante, instabile, e il secondo è la fusione di nuclei molto leggeri in sione tra fotone ed elettrone,

un nucleo piu stabile e pesante. Entrambi i procedimenti portano a una perditadi massa che si trasforma in energia. L'enorme quantità di energia liberata nella 3.3. Leggi di conservazione nella meccanica quantistica.fissione e fusione dei nuclei si può impiegare, controllandola, per sostituire altrefonti energetiche. Sfortunatamente, l'applicazione principale sinora compiuta di

N l 'eg i anni r9z5-z6 vari nuovi formalismi equivalenti furono messi a punto

questa energia è stata la fabbricazione della bomba atomica, che si basa sulla fis­ per sostituire la meccanica classica e superare le difficoltà della vecchia teoria dei

sione del nucleo dell'uranio, e della bomba all'idrogeno, nella quale isotopi del­ quanti. Nella nuova meccanica quantistica le variabili dinamiche quali il mo­

l'idrogeno sono fusi in nuclei piu pesanti. mento, l'energia, ecc. sono rappresentate da operatori che seguono regole diver­se da quelle rispettate dalle variabili classiche. Il formalismo della meccanica

3.2. Le leggi di conservazione nella vecchia teoria dei quanti.quantistica per molti versi è analogo a quello hamiltoniano, di cui si è già parla­to. Come nel formalismo hamiltoniano, la hamiltoniana del sistema, che in que­

Una delle novità concettuali piu importanti della meccanica quantistica fu sto caso è un operatore, contiene le informazioni fisiche relative al sistema. In

la descrizione della radiazione (luce, raggi X, ecc.) in termini di particelle, deno­ certi casi la hamiltoniana rappresenta l'energia totale del sistema ed ha forma

minate quanti, analoghe sotto molti aspetti ai corpuscoli di materia. Questo nuo­ analoga alla hamiltoniana classica; in molti altri casi non si può ancora calcolare

vo modello richiese una revisione delle definizioni di energia e momento, Dal la forma esplicita della hamiltoniana, il che costituisce uno dei gravi inconve­

punto di vista delle leggi di conservazione, due effetti sperimentali svolsero un nienti della meccanica quantistica. Se la hamiltoniana è nota, esiste un modo

ruolo importante in questa rielaborazione: semplice per determinare i valori di probabilità degli operatori che rappresenta­

a) L'effetto fotoelettrico spiegato da Einstein nel r9og : si è osservato che un no le variabili dinamiche. (È risaputo che la meccanica quantistica è una teoria

metallo illuminato emette elettroni la cui energia cinetica dipende dalla frequen­ statistica e quindi consente soltanto il calcolo di valori di probabilità ).za della radiazione e non dalla sua intensità, come nella teoria ondulatoria classi­ Il formalismo matematico piu opportuno per trattare gli operatori della mec­

ca, dove l'energia è proporzionale all'intensità dell'onda. Pareva che l'energia de­ canica quantistica è l'algebra delle matrici. Una matrice di dimensione m n è

gli elettroni non dipendesse dall'energia della radiazione, il che era contrario alla un insieme di m-n numeri disposti in m file e n colonne, e può essere affrontata

legge di conservazione dell'energia. Einstein suppose che la radiazione fosse as­ come singola entità matematica soggetta a determinate regole di addizione e mol­

sorbita dal metallo in quantità discrete, con energia pari a hv ove h è la costante tiplicazione. Il formalismo delle matrici della meccanica sarà discusso altrove;

di Planck e v è la frequenza della radiazione. Ognuna di queste quantità è defini­ ai fini del presente articolo è importante solo un aspetto del formali smo�: 1 d'f­ta fotone. L'intensità della luce determina esclusivamente il numero di elettroni feerenza tra le variabili della meccanica quantistica e le variabili classiche trova la

emessi e non la loro energia. La legge di conservazione dell'energia è rigorosa­ sua espressione nel carattere non commutativo dell'algebra delle matrici, e cioè

mente mantenuta nell'intero processo. nel fatto che in linea generale, per due matrici A e B, A B è d iverso da B A

b) L'effetto Compton scoperto da Compton nel i9z3: quando raggi X o o, in altre parole, la relazione di commutazione tra A e B (A B — B A) è inraggi y sono diffusi da elettroni, si verifica un cambiamento nella loro lunghezza generale diversa dalla matrice zero.

d'onda. Un modello ondulatorio per la radiazione non poteva dare una spiega­ C è una relazione fondamentale tra il valore di probabilità di un osservabile

Conservazione /invarianza 8gt Conservazione /invarianza

e la hamiltoniana, la quale afferma che la velocità di variazione nel tempo (cioè trinseco non si conservano separatamente, ma la loro somma vettoriale commuta

la derivata rispetto al tempo ) del valore di probabilità di un'osservabile che non con la hamiltoniana ed è una costante di moto. Lo spin di una particella, al pari

sia una funzione esplicita del tempo è proporzionale alla relazione di commuta­ del momento angolare orbitale, può soltanto assumere valori discreti rispetto a

zione dell'osservabile con la hamiltoniana. Ne segue che, se l'osservabile com­ qualsiasi asse prescelto ; l'unica differenza sta nel fatto che mentre il momento

muta con la hamiltoniana, il suo valore di probabilità è una costante di moto. angolare orbitale relativo a un dato asse può assumere soltanto valori int ' l­eri mu­Per specificare le entità dinamiche conservate o le costanti di moto si debbono ti li di h/tip i i /z x , lo spin può avere valori interi o senfinteri multipli della stessa co­

trovare gli operatori che commutano con la hamiltoniana. Si può dimostrare che stante. Ad esempio lo spin dell'elettrone misurato in unità h oc vale r/z. Ciòun operatore di questo tipo dev' essere in grado di indurre sulla hamiltoniana significa che, scelta una direzione, lo spin dell'elettrone può soltanto ricevere i

una trasformazione che la lasci invariante. Quindi costanza di un operatore si­ due valori +( t/z) o — (i/z) rispetto ad essa (al contempo altre componenti dellognifica che la hamiltoniana è invariante rispetto alla trasformazione indotta da spin non saranno ben definite). Poiché assumerà sempre lo stesso insieme di va­quell'operatore. Ad esempio la conservazione del momento lineare si può inter­ lori, lo spin di una particella può fornire un mezzo per classificare le particell .

pretare come un risultato dell'invarianza della hamiltoniana per una traslazione. elettrone, il protone, il neutrone e molte altre particelle elementari hanno

Come si vedrà esistono trasformazioni rispetto alle quali la hamiltoniana è inva­ spin x/z. Il fotone ha spin x (ossia può acquistare i valori — t, o, x ) e i mesoniriante, che non hanno una corrispondenza classica e che dànno luogo a nuove (cfr. oltre) hanno spin o. Si ha qui il primo esempio del piu profondo significato

leggi di conservazione non presenti nella meccanica classica. Le leggi di conser­che le costanti di moto assumono nella meccanica quantistica: esse non soltanto

vazione del momento e dell'energia inoltre non sono del tutto analoghe alle leggi forniscono un metodo opportuno per calcolare velocità, energie, ecc. come nella

classiche, in quanto in molti casi la meccanica quantistica consente soltanto un meccanica classica, ma definiscono anche la natura stessa degli oggetti fisici di

gruppo discreto di valori possibili per variabili dinamiche che, nella meccanicacui ci si occupa.

classica, avevano uno spettro di valori continuo. Per di piu, nella meccanica clas­ Lo spin di una particella è strettamente legato al tipo di statistica cui sarà

sica lo stato di un sistema meccanico può essere completamente individuato soggetta la particella quando fa parte di un sistema di molte particelle id t ' h .ei en ic e.esprimendo tutte le coordinate e tutti i momenti (e quindi anche tutti i momenti I l rproblema statistico è come dividere la particella del sistema tra i possibili stati

angolari). Nella meccanica quantistica, gli operatori che non commutano tra loro quantici, ovvero come calcolare la probabilità che un certo numero di particelle

non possono essere specificati contemporaneamente, cosicché vi sono casi in cui occupi un dato stato quantico caratterizzato da un gruppo di numeri quantici

il momento (o il momento angolare) del sistema non è ben definito, ovvero — nel (non si deve confondere questo problema statistico con l'interpretazione stati­

linguaggio della meccanica quantistica — non è un buon numero quantico. Instica della funzione d'onda).

tali casi non ha senso annoverare queste variabili dinamiche tra quelle conservate. Per illustrare il problema, cerchiamo di distribuire due particelle t e z tradue stati a e b. A prima vista sembra naturale distinguere quattro possibilità:

3.4. Spin e statistica.r e z in a ; t in a, z in b ; x in b, z in a ; r e z in b. Assegneremo quindi una proba­bilità r /z al caso in cui r e z si trovano in stati diversi. Questo tipo di.statistica

La meccanica quantistica ebbe subito molto successo nello spiegare gli spet­ è osservato dalle particelle classiche nella meccanica statistica classica e non si

tri atomici; tuttavia si era notato che le variabili classiche (in questo caso l'ener­ ritrova nella meccanica quantistica. Se aggiungiamo un postulato in base al quale

gia e il momento angolare) non sono sufficienti per rendere ragione della suddi­ la seconda possibilità è indistinguibile dalla terza (il che significa che le particellevisione delle righe spettrali osservate. Questo fu uno dei motivi che condussero

non si possono contrassegnare, ossia mancano, per cosi dire, di individualità),all'introduzione di una nuova variabile dinamica, senza corrispettivo classico, esistono soltanto tre possibilità ed è necessario assegnare una probabilità i /g aldefinita spin, dapprima per l'elettrone e piu tardi anche per altre particelle. Le caso in cui le due particelle si trovano in stati diversi. Questo tipo di statistica fu

regole algebriche cui ottempera lo spin sono quelle valide per il momento ango­ utilizzato da Bose e da Einstein per spiegare la distribuzione di energia della ra­

lare orbitale, e quindi è possibile considerare lo spin come un momento angolare diazione ed è nota come statistica di Bose-Einstein. Le particelle che la seguono

intrinseco. La situazione è abbastanza simile a quella della Terra nella sua ro­ sono dette bosoni. Un altro modo ancora di distribuire le particelle si può ottene­

tazione attorno al Sole e contemporaneamente attorno al proprio asse. Questa re inserendo un ulteriore postulato secondo cui due particelle identiche non pos­

analogia non dev' essere spinta troppo oltre, poiché nella meccanica classica en­ sono mai occupare lo stesso stato quantico. Ovviamente questo postulato riduce

trambi i momenti risultano da una data situazione dinamica e non caratterizzano le possibilità di suddividere le particelle tra gli stati a una sola. Il postulato non è

in alcun modo i corpi implicati. Lo spin è comunque una proprietà intrinseca altro che il principio di esclusione di Pauli, dal quale deriva la struttura a gusci

di una particella indipendentemente dall'interazione in cui essa è coinvolta. In di atomi e nuclei. La statistica basata su questo postulato è detta statistica di

molti casi l'operatore dello spin commuta con la hamiltoniana ed è una costante Fermi-Dirac e le particelle che ne seguono le regole sono chiamate fermioni.

di moto. Vi sono anche eventualità in cui il momento orbitale e il momento in­ Avviene (per motivi non ancora del tutto chiariti ) che le particelle con spin

Conservazione /invarianza 84z 843 Conservazxone/xnvarxanza

semintero siano fermioni, mentre le particelle con spin intero (0 o x) siano bosoni. servazione dell'energia (massa-energia) è ritenuta valida e in ogni processo diL'importante per noi è che la statistica, come lo spin, caratterizza la particella. creazione e annichilazione l'energia totale dei prodotti è uguale a quella delleUna particella di un certo tipo seguirà sempre la stessa statistica. Cosi talvolta particelle scomparse. Anche la legge di conservazione della carica è rigidamentesi dice che vi è un principio di conservazione della statistica. Si può provare che conservata. Cosi nella produzione di coppie un positrone dev' essere creato con

la statistica di un sistema di particelle identiche è legata alla simmetria della fun­ l'elettrone in modo che la loro carica totale sia zero come quella del fotone an­

zione d'onda rappresentante il sistema. L'identità delle particelle introduce nel nichilato.problema considerazioni di simmetria, poiché ci si può chiedere che cosa accadaalla funzione d'onda quando s'interscambiano tutte le coordinate di due particel­ 3.6. Particelle elementari.le identiche. Quando vi sono soltanto due particelle, la nuova funzione d'ondasarà identica a quella originaria, oppure muterà di segno. In quest'ultimo caso si P 'rima di continuare la discussione sulle leggi di conservazione è essenzialedice che la funzione d'onda è antisimmetrica. Chiaramente una funzione d'onda avanzare alcuni rilievi relativi alla classificazione delle particelle elementari. La

di un sistema di bosoni non può essere antisimmetrica poiché la funzione non può fisica classica si occupa di due interazioni: l' interazione gravitazionale e l'inte­eventualmente cambiare di segno quando si interscambino particelle con tutti i razione elettromagnetica. Nel dominio della fisica nucleare e della teoria delle

numeri quantici uguali. D'altra parte, la statistica di Fermi-Dirac e il principio particelle elementari furono scoperte due nuove interazioni: l' interazione fo tredi esclusione di Pauli si ricavano facilmente dall'assunto che la funzione d'onda e interazione debole, In confronto all'interazione forte, l'interazione elettro­l'n

di un sistema di elettroni (e altre particelle con spin i/z) dev' essere antisimmetri­ magnetica è ro4 volte meno intensa, l'interazione debole è approssimativamenteca. Riepilogando, lo spin, la statistica e la simmetria della funzione d'onda, stret­ ro'«piu piccola e l'interazione gravitazionale è io volte piu debole! Le parti­tamente legati l'uno all'altro, dividono tutte le particelle in due gruppi esclusivi: celle sono classificate in base al genere predominante della loro interazione tipica.

bosoni e fermioni. È però possibile che una particella sia implicata contemporaneamente in diverseinterazioni. Le particelle che possono interagire in modo forte sono dette adroni.

3.5. Creazione e annichilazione di particelleGli adroni si suddividono in due gruppi: bosoni-adroni, detti mesoni e fer­

)

mioni-adroni, detti barioni. Le particelle che interagiscono debolmente prendo­Sino ad ora si sono discusse due leggi di conservazione prive di controparte no il nome di leptoni e rientrano tutte tra i fermioni. L'interazione elettromagne­

classica in relazione allo spin e alla statistica delle particelle. Si è visto anche co­ tica si puo descrivere come scambio del quanto del campo elettromagnetico (fo­me le leggi classiche di conservazione dell'energia e del momento debbano essere tone) tra le cariche elettriche. In analogia con questa descrizione Yukawa propo­revisionate in conseguenza delle proprietà delle particelle della radiazione e delle se di descrivere l'interazione forte come scambio di mesoni tra i nucleoni. Sono

regole di quantizzazione. Si vedrà ora che un'altra legge classica — la legge di stati compiuti tentativi per attribuire una particella all'interazione debole e alconservazione della materia — dev' essere del tutto abbandonata in base alla mec­ campo gravitazionale, ma sinora non è stato possibile trovarne una conferma

canica quantistica. Si è scoperto che le particelle possono disintegrarsi completa­ sperimentale.

mente e che altre particelle possono crearsi al loro posto. Il primo ad essere sco­perto è stato il cosiddetto processo di produzione di coppie, nel quale un fotone 3.7. Parità, inversione del tempo e coniugazione di carica.di raggi y ad alta energia si annichila lasciando al suo posto un elettrone e un po­sitrone. Fenomeni di questo tipo indeboliscono l'intero concetto di particella S' 'i è già notato che, ogniqualvolta un sistema è invariante per una data tra­

elementare. Come si è visto, dal tempo dei Greci le unità fondamentali della na­ sformazione, ne discende una legge di conservazione. Si dice che la trasformazio­tura furono considerate indistruttibili, con la conseguenza che il loro numero in ne in quel caso è una simmetria del sistema. Una simmetria si può esprimere in

qualsiasi sistema chiuso doveva essere costante. Nella meccanica quantistica termini «attivi», come trasformazione del sistema stesso, oppure in termini «pas­

contemporanea non esistono tali unità indistruttibili ; non vi sono particelle trop­ sivi», come trasformazione del sistema di coordinate. La descrizione passiva è

po «elementari » per essere create o annichilate. Ne segue che né il numero delle molto spesso piu opportuna, benché ovviamente il significato fisico sia identico

particelle in un sistema, né la massa del sistema sono costanti. Nel paragrafo de­ nei due casi. Due altre trasformazioni nello spazio e nel tempo rivestono per noidicato alla teoria della relatività si sono già discussi la violazione della costanza importanza: la riflessione nello spazio e la riflessione nel tempo. La riflessionedella massa e il concetto unificato di massa-energia che obbedisce a una legge di spaziale è descritta da un operatore cui si dà il nome di operatore di parità e la

conservazione. Ma una particella relativistica avrebbe ancora una sua identità: riflessione temporale da un operatore detto operatore di inversione del tempo.un elettrone sarà un elettrone di fronte a qualsiasi osservatore pur potendo esserepiu pesante o piu leggero in funzione della velocità relativa dell'osservatore. Nel­la meccanica quantistica questa identità non viene mantenuta. La legge di con­

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Conservazione /invarianza 84S Conservazione/invarianza

un'interazione tra particelle elementari A +B ~ C+ D. Ogni particella si trova

3.8. Inversione dello spazio.in uno stato di momento e spin de6niti. Se l'inversione del tempo è una simme­tria valida, allora la probabilità che quella reazione abbia luogo è identica a quel­

L'operatore di parità trasforma un vettore (x, y, z) nel vettore ( — x, — y, la della reazione C+D~A + B , in cui tutti i numeri quantici di momento e di— z). Un sistema di coordinate destrorso ne verrà trasformato in un sistema di spin hanno segno opposto. Nell'esperienza quotidiana ci si imbatte in molti pro­coordinate sinistrorso (un sistema di coordinate destrorso è un sistema che pro­ cessi che non sembrano invarianti rispetto all'inversione della direzione del tem­

cede nella direzione di z' positivo quando si passa dalla direzione di x positivo po. Questi sono processi che coinvolgono un gran numero di particelle singole

alla direzione di y positivo. Un sistema sinistrorso in questo caso avanza nella e sono regolati dalle leggi della meccanica statistica. Se però si prendono in esa­direzione di ~ negativo). Una variabile quantica può essere invariante o cambiare me processi individuali non implicanti una variazione di entropia, quali la rota­di segno rispetto all'inversione dello spazio. Ad esempio, l'operatore del mo­ zione, di una particella, la collisione di due particelle, ecc., sembra naturale sup­mento lineare cambierà segno per l'inversione, mentre l'operatore del momento porre che le leggi che governano tali processi siano assolutamente invarianti ri­

angolare resterà immutato. Si dice che uno stato quantico che inverte il segno spetto all'inversione del tempo. Tuttavia nel iti64 fu scoperta in un'interazione

per azione dell'operatore di parità ha una parità pari, mentre uno stato che ri­ debole una prima violazione dell'invarianza rispetto all'inversione del tempo.manga inalterato è uno stato di parità dispari. Tutte le leggi della fisica classica I risultati erano soltanto leggermente deviati rispetto a quelli previsti nel caso di

sono invarianti per l'inversione dello spazio. Ciò significa che è impossibile ope­ perfetta simmetria dell'inversione del tempo. Questi risultati sono tuttora apertirare una distinzione tra un processo e la sua riflessione nello specchio d'inver­ a due interpretazioni: o l'inversione del tempo è soltanto approssimativamentesione dello spazio, in altre parole che è impossibile stabilire se nella descrizione simmetrica nell'interazione debole, oppure è possibile un nuovo tipo d'intera­

del processo è stato usato un sistema di coordinate destrorso o sinistrorso. Si pen­ zione — una interazione superdebole — che infrange interamente il principio d'in­sava che gli stessi principi valessero nel campo delle particelle elementari. Ad varianza rispetto all'inversione del tempo.

ogni particella si assegna una «parità intrinseca» (i oppure — i) e la parità di unsistema si può calcolare se sono note le parità delle particelle che lo costituiscono. 3.zo. Coniugazione di carica.In generale l'attribuzione della parità intrinseca non è assoluta e ha signi6catosoltanto in relazione ad altre particelle. Cosi un fermione e la sua antiparticella Un'altra simmetria che appare strettamente legata alle simmetrie di parità e

avranno parità opposte, mentre un bosone presenterà parità identica alla sua d'inversione del tempo è la simmetria fondamentale tra particelle e antiparticel­

antiparticella. Ammesso che l'assegnazione sia fatta in modo coerente, la legge le. Si è stabilito sperimentalmente che per ogni particella esiste un'antiparticelladi conservazione della parità vale per le interazioni forti e per le interazioni elet­ con stessa massa e spin ma opposta carica elettrica (e altre cariche discusse intromagnetiche. Ciò vuoi dire che in ogni reazione forte o elettromagnetica la seguito). Una particella neutra viene talvolta considerata identica alla sua anti­

parità dello stato 6nale è uguale a quella dello stato iniziale. La scoperta che l'in­ particella, come si veri6ca col fotone, ma può altresi distinguersi da essa, cometerazione debole non conserva la parità fu piu che sorprendente per la comunità accade con il mesone K~ e la sua antiparticella. Un modello ingegnoso sulla basedei fisici, poiché la conservazione della parità era quasi considerata un principio del quale si possono prevedere le antiparticelle venne suggerito da Dirac nela priori. L'audace ipotesi che la parità potesse non conservarsi nelle interazioni iq3i. Dirac costrui un'equazione d'onda relativistica che ammetteva soluzioni

deboli fu avanzata da Lee e Yang nel igg6 come spiegazione dell'esistenza di due a energia negativa. Egli ipotizzò che tutti questi stati fossero occupati da elettroni

interazioni di decadimento per il mesone K, interazioni che terminano con stati in modo che non potessero verificarsi in essi delle transizioni, dal momento che

di parità differenti. Gli esperimenti proposti da Lee e Yang furono realizzati e un salto in uno stato occupato è impedito dal principio di esclusione di Pauli.dimostrarono che la violazione della conservazione della parità è invero tipica Se un elettrone scompare dallo stato negativo, lascerà un «buco» e si può dimo­

dell'interazione debole. strare che tale «buco» si comporterà esattamente come una particella avente lamassa di un elettrone ma carica positiva. L'elettrone positivo profetizzato daDirac venne effettivamente scoperto un anno dopo da Anderson e gli fu dato il

3.ti. Inversione del tempo. nome di positrone. Come Dirac aveva previsto, si scopri che la creazione del po­L'operatore di inversione del tempo può essere pensato come una riflessione sitrone si accompagna alla formazione di un elettrone e che il positrone ha vita

dell'asse del tempo nell'origine, ossia t~ — t. Il significato di quest'operazione assai breve poiché il «buco» tende a essere «riempito» nuovamente da un elet­

si può comprendere immaginando una pellicola cinematografica di un processo trone. Sino ad oggi tutte le antiparticelle previste sono state trovate (la teoriafisico fatta scorrere all'indietro. L'invarianza rispetto all'inversione del tempo degli stati a energia negativa di Dirac non sempre viene però ritenuta valida), Laesprime il fatto che il processo nella pellicola cinematografica sia probabile esat­ simmetria tra particelle e antiparticelle dovrebbe trovare la propria espressionetamente quanto il processo reale. Per illustrare l'assunto supponiamo di avere nel formalismo della meccanica quantistica. Ciò si ottiene definendo un operato­

Conservazione /invarianza Sg6 Conservazione /invarianza

re, denominato operatore di coniugazione di carica, che trasforma lo stato di una conserva l'isospin. Anche nell'interazione debole l'isospin non si conserva, maparticella nello stato della sua antiparticella, ossia inverte la carica ma non lo spin la violazione è pur essa soggetta alla legge : si è scoperto sperimentalmente che lae il momento. Invarianza rispetto alla coniugazione di carica significa che per differenza nel valore di la tra gli stati iniziale e finale di una reazione obbedisceogni interazione tra particelle deve esistere un'equivalente interazione tra le an­ alla regola (Al~( = t /z. Nel caso dell'interazione forte, ove l'isospin si conserva,tiparticelle. Le interazioni elettromagnetica e forte sono invarianti rispetto alla per caratterizzare uno stato quantico si possono usare i numeri quantici di iso­coniugazione di carica, mentre l'interazione debole non lo è. Questo fece sorgere spin, analoghi ai numeri quantici di spin. In questo caso si applicano le limita­una difficoltà per la previsione di antiparticelle delle particelle a interazione de­ zioni imposte dal principio di esclusione di Pauli, in altre parole la funzionebole Si è però avanzata l'ipotesi che benché la parità, l'inversione del tempo e d'onda totale dev' essere antisimmetrica (per i fermioni ) o simmetrica (per i bo­la coniugazione di carica non siano simmetrie dell'interazione debole, la trasfor­ soni ). Queste restrizioni spiegano perché siano stabili certi sistemi piuttosto chemazione combinata di tutte e tre è una simmetria di questo tipo e tutte le intera­ altri. Inoltre la legge di conservazione dell'isospin esclude il verificarsi di reazio­zioni note sono invarianti per essa. La trasformazione combinata viene di solito ni che non conservano l'isospin, e quindi fornisce regole selettive per le reazionidefinita TcP(T per l'inversione del tempo, C per la coniugazione di carica e P per consentite.la parità). Sinora non è stata individuata alcuna violazione dell'invarianza delTCP. 3.I2. Leggi di conservazione di quantità affini alla carica.

3.r t. Isospin. La legge di conservazione della carica elettrica, valida nella fisica modernatanto quanto lo era nella fisica classica, differisce dalle leggi di conservazione del­

Le particelle a interazione forte, gli adroni, sembrano riunite in gruppi, i l'energia e del momento, e dalle invarianze di parità e inversione del tempo, incui membri hanno stessi spin, parità intrinseca e numero barionico (cfr. oltre). quanto non deriva da proprietà di simmetria dello spazio e del tempo. Essa nonI membri di ognuno di questi gruppi hanno cariche elettriche diverse e piu o è una legge di conservazione dinamica. La legge di conservazione della caricameno la stessa massa. L'interazione forte sembra avere la stessa intensità tra elettrica richiede, come si è visto, che un'interazione in un sistema chiuso abbiamembri diversi di un gruppo di questo genere. Ad esempio il protone e il neu­ termine con uno stato di carica uguale a quella dello stato iniziale. Poiché la ca­trone hanno una differenza di massa di circa o,r per cento, uguali spin e parità e rica elettrica è sempre un numero intero dell'unità fondamentale — la carica del­differiscono per la carica elettrica (il neutrone è neutro, mentre il protone ha ca­ l'elettrone — è possibile misurare la carica di un sistema di particelle elementaririca positiva). L'interazione forte avrà la stessa intensità per tutte le coppie : pro­ in valori interi o, r, z... o — t, — z... Lo studio sperimentale delle particelle ele­tone-protone, protone-neutrone e neutrone-neutrone. Alla luce di queste consi­ mentari ha dimostrato che vi sono altre proprietà interne (contrapposte a dina­derazioni si suggeri di considerare il protone e il neutrone come due stati della miche) conservate di un sistema che sotto molti aspetti sono analoghe alla caricamedesima particella, detta nucleone, e di spiegare la lieve differenza nella massa elettrica.dei due stati come risultante dall'energia delle interazioni elettromagnetica e de­bole, capaci di operare una distinzione. Il fatto che l'interazione forte non discri­mini tra stati nucleonici o tra altri membri di gruppi analoghi può essere visto

3.13. Numero barionico e numero leptonico.

come una manifestazione di una nuova simmetria. Quando si mise a punto il for­ Si è scoperto che in ogni interazione in cui intervengano dei barioni il nume­malismo di questa nuova simmetria ci si accorse che era strettamente analogo al ro totale dei barioni è costante. Se ad esempio una reazione inizia con due bario­formalismo del momento angolare e dello spin. In quel formalismo si definisce ni, anche lo stato finale deve contenerne esattamente due. (Naturalmente puòun nuovo operatore detto operatore dell'isospin (o spin isotopico), indicato con contenere altre particelle diverse dai barioni ). Si dimostrò utile incorporare que­I. I ha tre componenti e, quando commuta con la hamiltoniana, I e una delle sue sta legge di conservazione nel formalismo della meccanica quantistica assegnan­componenti, poniamo Ia, sono costanti di moto. Cosi come la conservazione del­ do ad ogni barione un numero quantico additivo B = r e ad ogni antibarione unlo spin e del momento angolare si può pensare risultante da una simmetria rota­ numero B = ­ x. Il numero barionico di un sistema corrisponde alla somma al­zionale di un sistema nello spazio reale, allo stesso modo la conservazione del­ gebrica dei numeri barionici delle particelle componenti. Il numero barionicol'isospin è conseguenza di una simmetria rotazionale di un sistema in uno spazio si conserva in tutte le reazioni sinora osservate. Il senso di questa legge è che essaastratto denominato spazio dell'isospin o spazio delle cariche. Il cambiamento impone limitazioni alle reazioni delle particelle elementari e mette in grado didi direzione nell'isospazio ha il significato fisico di una variazione della carica prevedere quali siano possibili. In altre parole, tra tutte le reazioni permesseelettrica del sistema e l'invarianza dell'interazione forte per una tale rotazione dalle altre leggi di conservazione, avranno luogo in pratica soltanto quelle cheindica che essa è indipendente dalla carica elettrica. Ovviamente l'interazione conservano il numero barionico.elettromagnetica, essendo funzione delle cariche delle particelle interagenti, non Una legge di conservazione simile è quella del numero leptonico, definito

Conservazione /invarianza 848 849 Conservazxone/xnvarxanza

per i leptoni in analogia con il numero barionico. In realtà per i leptoni si conser­vano separatamente due quantità : il numero di elettroni e elettron-neutrini (con 3.I5. Gruppi e simmetrie.relative antiparticelle), denotato L„e il n u m e ro di m uoni e m uon-neutrini(con relative antiparticelle), denotato L : entrambe le cariche leptoniche si con­ Si sono compiuti vari tentativi per classificare le particelle elementari in mo­servano in tutte le interazioni. Un esempio potrebbe servire a illustrare il signi­ do da chiarire la relazione tra i vari numeri quantici ad esse associati e spiegare

ficato della legge: il muone negativo p, decade attraverso un'interazione debole le differenze di massa tra le particelle. Il formalismo matematico usato per tali

in un elettrone e, un elettron-antineutrino v, e un muon-neutrino v : classificazioni è la teoria dei gruppi, ma la sua presentazione va ben al di là del­l'obiettivo di questo articolo. Ci si limiterà a fare alcune osservazioni.

p, ~e + ve+ vg. La prima classificazione delle particelle in termini di gruppi di simmetriaLa carica elettrica è — x in entrambi i lati della reazione, L. vale x e L, vale o fu suggerita dal formalismo dell'isospin. Si è già visto che è possibile ordinare

da entrambe le parti. Un analogo processo p,— ~e +e +e+ è proibito, benché le particelle in multipletti di isospin diversificantisi soltanto per le cariche e che le

si conservi la carica elettrica, in quanto le cariche leptoniche non si conservano. leggere differenze di massa all'interno dei multipletti si possono approssimativa­mente spiegare come risultanti da interazioni che non conservano l'isospin. Le

3.x4. Stranezza e ipercarica.trasformazioni che generano le rotazioni nello spazio reale o nell'isospazio ap­partengono a un gruppo detto gruppo unitario speciale, di ordine z, con sigla

Ci si è resi conto che tutte le leggi di conservazione sinora trattate non sono sv(z) e si possono rappresentare con matrici unitarie 2 x 2. L'invarianza per que­sufficienti a spiegare i dati empirici relativi alle interazioni di particelle elementa­ sto gruppo di trasformazioni si traduce nella conservazione dell'isospin. Si èri. In altre parole vi sono reazioni ammesse da tutte le considerazioni precedenti, tentato di indagare sulle rotazioni in uno spazio astratto tridimensionale, deter­

e che pure è impossibile rilevare. Queste reazioni sono soprattutto interazioni minate dal gruppo unitario speciale di ordine 3, sU(3), e di disporre le particelledi decadimento di tipo debole di particelle prodotte attraverso interazioni forti. elementari in multipletti, detti di carica-ipercarica, piu ampi dei multipletti di

I processi di formazione di queste particelle sono anch' essi soggetti ad alcune isospin. Questo schema fu proposto da Geli-Mann e Ne'eman e consenti la pre­

limitazioni ; ad esempio la particella Z+ si crea sempre con un mesone K+ e mai visione di una nuova particella — PQ . Contrariamente alle attese, sv (3) non ècon un mesone K — processo ammesso dalle leggi sinora prese in esame. Poiché una simmetria perfetta neppure per l'interazione forte; cioè l'interazione forte

il decadimento forte sembra impossibile per parecchie particelle, esse sono rela­ non è invariante rispetto a rotazioni nello spazio dell'ipercarica e le differenze

tivamente stabili, ovvero hanno una vita piu lunga del previsto. A causa del loro di massa all'interno dei multipletti di ipercarica non si possono spiegare concomportamento inspiegato quelle particelle furono chiamate particelle strane. quello schema. Esistono altri gruppi di simmetria che sono stati proposti per laCome si è visto, tutte le leggi di conservazione impongono restrizioni ai processi descrizione di proprietà invarianti di particelle elementari, ma nessuno di loro

possibili; cosi si propose di spiegare l'impossibilità delle reazioni indicate pre­ appare sino a questo momento soddisfacente e non si è scoperta alcun'altra legge

supponendo un'ulteriore legge di conservazione: la conservazione della stra­ di conservazione simile alla conservazione dell'isospin.nezza. Il procedimento fu analogo a quello usato per altre leggi di conservazione Per concludere si dovrebbero aggiungere alcune considerazioni: a) Sembradi quantità affini alla carica. Un nuovo numero quantico, la stranezza S, fu as­ esservi una connessione tra l'intensità di un'interazione e il numero di simmetrie

segnato alle particelle strane, che possono assumere valori interi positivi e nega­ che possiede. Nell'interazione forte tutte le leggi di conservazione cui si è ac­tivi. Una particella e la sua antiparticella hanno stranezza opposta. La stranezza cennato sono valide. L'interazione elettromagnetica non conserva l'isospin masi conserva assolutamente nelle interazioni forti ed elettromagnetiche ed è vio­ mantiene le altre simmetrie, e nell'interazione debole l'isospin e la stranezzalata nell'interazione debole in base alla regola ~AS~= i. Per tutte le interazioni la sono violati e anche l'inversione dello spazio, l'inversione del tempo e la coniu­stranezza mette quindi a disposizione un'altra regola di selezione, utilizzabile gazione di carica non costituiscono separatamente buone simmetrie. Si può quin­per predire le reazioni possibili. Spesso al posto della stranezza S si fa uso di un di affermare che l'interazione è tanto piu simmetrica quanto piu è forte. b) Lealtro numero quantico detto ipercarica e contrassegnato con Y'. La sua espressio­ leggi di conservazione svolgono nella fisica contemporanea un ruolo molto piu

ne è Y = B+S. Ne deriva che anche l'ipercarica si conserva nelle interazioni importante che non nella fisica classica. Il motivo è che nella fisica classica leforti ed elettromagnetiche e che la sua violazione nell'interazione debole è sog­ equazioni del moto sono note e le leggi di conservazione non aumentano le in­

getta alla regola ~6 Y ~= x. L'ipercarica si lega alla carica elettrica Q e alla compo­ formazioni fisiche, ma semplicemente rendono possibili nuove intuizioni sulla

nente I~ dell'isospin mediante l'equazione Q = Is+( Y/z) e si dimostra piu con­ struttura della teoria e sulle proprietà della materia, dello spazio e del tempo.veniente della stranezza come numero quantico atto a classificare particelle, Nella meccanica quantistica la situazione è diversa. La hamiltoniana del sistema

non è in generale nota e tutte le conoscenze fisiche sovente nascono dalle leggidi conservazione e da considerazioni di simmetria. L'ideale per cui la fisica do­

Conservazione /invarianza 8go 8gr Conservazione /invarianza

vrebbe essere basata su leggi di conservazione, che fa parte della nostra immagi­ leggi scientifiche: esse sono principi esplicativi nel senso piu profondo. Sebbenene della scienza, è da una parte il risultato dell'ignoranza di altri principi e dal­ l'analisi di Meyerson dia una spiegazione storica dello status delle leggi di con­l'altra la conseguenza del notevole successo di un metodo estremamente ele­ servazione nell'immagine della scienza sul finire del xix secolo, essa non può esse­gante. c) La disamina delle leggi di conservazione classiche ha dimostrato che re accolta come un'argomentazione filosofica o psicologica conclusiva a favoreun concetto scientifico è in una condizione di « flusso» sinché viene incorporato della priorità delle leggi di conservazione. Le leggi di conservazione fornisconoin una legge matematica, e che dopo la sua scoperta è proprio questa legge a for­ soltanto un modello statico del mondo. Se le cose sono tali poiché furono cosi innire la definizione del concetto. Nella fisica del xx secolo la situazione è un po' passato non vi è alcuna ragione sufficiente per cui B preceda A e non viceversa.diversa. Poiché tutte le ricerche fisiche sono realizzate nell'ambito del formali­ In altre parole le leggi di conservazione non provvedono una direzione per l'at­smo matematico della meccanica quantistica, lo stadio di «concetto in divenire» tualizzarsi dei fenomeni. Vi sono altre leggi, non di conservazione, ma capaci diè spesso breve o inesistente. Tuttavia la discussione che precede fornisce un gran fornire una spiegazione dell'elemento dinamico dei fenomeni. Un esempio dinumero di esempi di concetti privi di significato senza le leggi di conservazione legge di questo tipo è la seconda legge della termodinamica. Vi sono anche leggi

' loro inerenti. L'unico scopo dell'introduzione di concetti quali la stranezza o al di conservazione che non paiono soddisfare la necessità di una spiegazione causalecarica dei leptoni consiste nell'esprimere una legge di conservazione, e senza in quanto hanno troppo dell'ipotesi ad hoc, tagliata su misura per adattarsi aitali leggi di conservazione i concetti sono del tutto trascurabili. dati osservati. Tale è ad esempio la legge di conservazione della stranezza che è

stata discussa in precedenza.

Aspetti filosofici. g.z. Lo status epistemologico delle leggi di conservazione.

g.r. Conservazione e causalità. Nella fisica contemporanea le leggi di conservazione hanno lo stesso rangoepistemologico di altre leggi scientifiche, ad esempio sono ipotesi da corroborare

Come si è visto, il principio che la causa debba uguagliare l'effetto venne con l'esperienza. Non sempre è stato cosi. Alcune delle leggi di conservazionespesso invocato per appoggiare alcune delle leggi di conservazione classiche. Una classiche spesso furono accettate come affermazioni a priori. Kant, ad esempio,breve discussione del legame tra leggi di conservazione e principio di causalità dà una dimostrazione a priori della legge di conservazione della materia sulla baseè quindi pertinente. Secondo la filosofia positivista della scienza il principio di del suo principio metafisico secondo cui la sostanza non può essere né creata né

causalità s'identifica col principio per cui tutti i fenomeni della natura sono sog­ distrutta. Analogamente, Herbert Spencer sostiene che siamo incapaci di conce­getti a legge. Fornire una spiegazione causale per un evento A che si verifica per pire la creazione o l'annichilazione della materia, e che questa impossibilità è unaun insieme di condizioni B significa dimostrare che A è soltanto un caso di una cognizione aprioristica del massimo livello. Spencer avverti la necessità di pre­legge generale per cui si verifica un evento di tipo A ogni volta che esistono con­ sentare una spiegazione per il fatto storico che un principio «a priori » fu stabilitod' ni di tipo B. Emile Meyerson, in Identité et réalité (rgo8) avanzò obiezionii ziom i ip soltanto nel xvrtt secolo e che prima d'allora l'umanità sembrava alquanto de­su questa riduzione positivista della causalità. Dimostrare che l'accadere idi A siderosa di pensare « l'impensabile». Ma la spiegazione da lui offerta non è — perper le condizioni B è un caso di una legge generale, sostiene Meyerson, non ba­ non dire altro — molto convincente. Anche la legge di conservazione dell'energia,sta a soddisfare la necessità di una spiegazione causale. Una spiegazione causale poco dopo la sua scoperta, fu indicata come principio a priori. Come si è vistoè quella che prova che, date le condizioni B, deve verificarsi l'evento A. In altre persino Joule, il cui lavoro sperimentale tanto contribui all'affermazione del prin­parole dare una spiegazione causale è fornire ciò che Leibniz defini una ragione cipio, riteneva che conclusioni simili alle sue si potessero ricavare su base aprio­

ente. Ora Meyerson si chiede quale possa essere il motivo determinante ristica. Nel corso della nostra generazione il mondo accademico fu sconcertatoper ciò che è condizionato nel tempo, e risponde che soltanto uno è possi i e:sibile: dalla confutazione della legge di conservazione della parità e dalla piu recente in­quello della preesistenza. Le cose sono cosi perché erano già cosi in precedenza. dicazioiie che i processi fisici non sono invarianti rispetto all'inversione del tem­Il principio di causalità esige quindi, secondo Meyerson, identita nel tempo. In po. L'inversione dello spazio e l'inversione del tempo sembravano scaturire da­

questa forma il principio di causalità è piuttosto analogo al principio logico d'i­ gli assunti intuitivi sullo spazio e sul tempo in modo cosi naturale da essere quasidentità, salvo il fatto che il principio di causalità, a differenza dell'altro, non si considerate come principi a priori. La confutazione di queste leggi, e di altreriferisce a un'identità nel mondo statico astratto della logica, ma piuttosto a un'i­ leggi di conservazione quali Ia legge di conservazione della materia, dimostradentità nel mondo dinamico reale, del quale il tempo è una dimensione. Ne di­ che le leggi di conservazione, come altre leggi scientifiche, devono essere sotto­scende che le uniche leggi scientifiche che soddisfino pienarnente i requisiti del poste a prove sperimentali e che i tentativi di ricavarle da considerazioni aprio­principio di causalità sono le leggi della conservazione. Questo è il motivo per ristiche sono futili. Di piu, la conclusione che le leggi di conservazione non sianocui le leggi di conservazione occupano il massimo rango nella gerarchia delle leggi a priori poggia sullo stato epistemologico dei nostri concetti dello spazio

Conservazione jinvarianza 8gz 853 Conservazione /invarianza

e del tempo, Come si è visto, le simmetrie di inversione dello spazio e inversione trasformazioni che cambiano la massa e il peso. Non vi è quindi analogia tra il

del tempo si fondano sulle nostre concezioni dello spazio e del tempo, concezioni contenuto dei concetti di conservazione del bambino e le leggi di conservazione

che sembravano tanto intuitive da essere considerate valide a priori. Tuttavia, la scientifica. Tuttavia vi è una somiglianza tra la struttura teorica che sviluppa il

negazione delle leggi di conservazione basate su queste simmetrie rinforza l'af­ bambino per inquadrare le sue esperienze e la struttura teorica della scienza:

fermazione (sostenuta anche da altri argomenti) che i nostri concetti di spazio e in entrambe le leggi di conservazione sembrano infatti svolgere un ruolo impor­

tempo abbiano anche natura a posteriori. tante.

D'altra parte si è spesso argomentato che le leggi di conservazione sono sem­ Secondo Piaget, l'acquisizione di tutte le leggi di conservazione da parte del

plicemente generalizzazioni induttive basate sull'osservazione che certi processi bambino segue lo stesso schema: il bambino passa dal primo stadio, in cui non

non sembrano mai avvenire. Ad esempio è stato detto che la legge di conserva­ ha concetti di conservazione, attraverso un secondo stadio, nel quale si manifesta

zione dell'energia è una conclusione induttiva ricavata dall'impossibilità di co­ una conflittualità tra conservazione e non-conservazione, al terzo stadio, quello

struire una macchina realizzante il moto perpetuo. Si è già visto come questa finale, in cui raggiunge una legge di conservazione quasi assiomatica e tale da non

affermazione sia lontana dalla verità storica, e come la convinzione che «qualco­ potersi piu estinguere anche quando il bambino si trova di fronte a una prova

sa» si conservi in relazione alla materia, al moto o alla produzione di lavoro, ab­ contraria. Piaget fa vedere che i concetti di peso, volume, ecc. sono afferrati dal

bia avuto un ruolo importante nella scoperta delle leggi di conservazione classi­ bambino soltanto quand'egli perviene allo stadio finale e acquisisce la legge di

che. Tale persuasione, non ben definita ma pur tuttavia molto forte, superava di conservazione relativa. Piu specificamente: nel primo e nel secondo stadio un

gran lunga i dati osservati. Si deve perciò concludere che le leggi di conservazio­ bambino potrebbe ancora pensare che una pallottola di argilla sia piu pesante

ne sono a posteriori, nel senso che debbono essere sperimentalmente valutate e della «salsiccia» ottenuta con lo stesso materiale. Ciò non perché, sostiene Piaget,

non possono essere derivate per via logica, ma che la loro scoperta è il risultato il bambino sappia cos'è il peso e non conosca la sua proprietà di conservarsi, ma

di una fertile interazione tra esperienza e metafisica. piuttosto perché non ha ancora acquisito il concetto di peso. La realizzazione cheil concetto di peso deve essere separato da quello di forma o lunghezza o «gros­sezza» viene soltanto dalla consapevolezza che il peso, a differenza della forma

4.3. Le leggi di conservazione e la psicologia evolutiva di Jean Piaget. o della lunghezza o della «grossezza», si conserva. Vediamo cosi che la teoria dei

Jean Piaget e la sua scuola gettarono le basi per lo studio psicologico dello «concetti in divenire» è valida tanto per il singolo bambino quanto per il pro­

sviluppo concettuale nei bambini; Piaget per primo richiamò l'attenzione sul­ cesso di formazione dei concetti nella scienza.

l'importanza della formazione dei concetti di conservazione per lo sviluppo men­ Un altro punto interessante è il legame tra leggi di conservazione e atomismo.

tale del fanciullo. Il lavoro di Piaget prende le mosse dalla tesi di Meyerson se­ Piaget ha scoperto che se il bambino ha una concezione «atomistica >) della mate­

condo cui le leggi di conservazione sono estremamente importanti per la com­ ria potrà piu facilmente acquisire una legge di conservazione del peso e della

prensione intellettuale del mondo. Poiché è impossibile dare in questa sede una quantità di materia. Per quel bambino la quantità di materia è il numero degli

esposizione soddisfacente dell'opera di Piaget, si limiterà la discussione ad alcuni «atomi » ed è probabile che egli capisca che una variazione della forma di un og­

punti fondamentali. Lo sviluppo dei concetti di conservazione, secondo Piaget, getto lascia invariante il numero di «atomi ». Si è già osservato che anche in cam­

è uno stadio indispensabile nell'evoluzione intellettuale del bambino. La man­ po scientifico l'atomismo fu la base per la prima versione della legge di conserva­canza di questi concetti o una loro comprensione tarda e incompleta può indi­ zione della materia.

care un certo grado di ritardo mentale. Le leggi di conservazione cui fa riferi­ Nonostante il fatto che sembri sussistere qualche somiglianza tra lo sviluppo

mento Piaget non sono naturalmente quelle discusse in precedenza. È ovvio che intellettuale del bambino e l'evoluzione della scienza, non se ne dovrebbero trar­

un bambino che non scopra la legge di conservazione della carica elettrica non re conclusioni affrettate. Il fatto che il bambino normale impari varie leggi di

sia mentalmente ritardato. Piaget ha studiato la conservazione della quantità di conservazione di portata limitata non implica che la scienza debba essere fondata

materia, del peso, del volume e del numero ; egli allude anche a un concetto da sulle leggi di conservazione. La storia della scienza dimostra che la liberazione

lui definito «conservazione dell'oggetto», indicante la realizzazione da parte del dalle concezioni del mondo frutto del buon senso è una condizione necessaria

fanciullo che gli oggetti non cessano di esistere quando egli smette di osservarli, per il progresso della scienza. Non è possibile concludere dunque che ciò che fa

ossia la realizzazione che gli oggetti hanno un'esistenza indipendente. Le tra­ parte del senso comune debba essere indispensabile nella scienza.

sfarmazioni per cui il bambino scopre che le quantità citate (peso, volume, ecc.) Inoltre bisogna ricordare che gli esperimenti di Piaget sono dipendenti dalla

si conservano sono di tipo molto semplice, come la variazione di forma di una cultura. È incerto se un bambino svilupperebbe «spontaneamente» concetti di

pallina di creta, o il versamento di acqua in contenitori di forma diversa. Lo sco­ conservazione, se non fosse inserito in una società che li dà per scontati.

po delle leggi di conservazione scoperte dal fanciullo è molto limitato. Vi sonomolte trasformazioni che non modificano il volume di un oggetto, ed esistono

Conservazione /invarianza

y.y. Mutamento e persistenza riesaminati.

A conclusione dell'articolo è il caso di riprendere in esame il problema delmutamento nei confronti della persistenza, interrotto nella prima parte, in con­siderazione degli ultimi sviluppi nella scienza. Qual è l'atteggiamento dei fisicimoderni verso la dicotomia parmenideo-eraclitea?

Il cambiamento, secondo la fisica contemporanea, non è arbitrario. Non tuttii processi sono possibili. Come si è visto, vi sono certe regole di selezione basatesu leggi di conservazione che prevedono quali processi siano possibili e quali no.Inoltre, la fisica considera certe strutture come costanti. Un dato sistema (adesempio un atomo d'idrogeno) avrà sempre gli stessi possibili stati quantici.

D'altra parte, non è piu vero che «nulla si crea e nulla si distrugge». Le parti­celle elementari si creano e annichiliscono continuamente. Inoltre, un sistemadove un certo numero di elettroni «riempia» un certo numero di stati quantici èindistinguibile da un sistema nel quale gli elettroni abbiano scambiato posizioni ».Le particelle, secondo il nostro modello del mondo, mancano d'individualità e dipermaermanenza nel tempo. Si potrebbe forse parafrasare un famoso detto di Era­clito e dire che secondo la fisica quantistica è impossibile colpire due volte lostesso elettrone. L'identità non ha significato in relazione alle particelle elemen­tari. Tuttavia è possibile riempire due volte lo stesso stato quantico. Gli statihanno un'individualità di cui sono prive le particelle. Si potrebbe perciò affer­mare che la fisica attuale è parmenidea per quanto riguarda la struttura, ma era­clitea per quanto concerne la materia. [Y. E. e Y. B. M.].

Strettamente legate al problema della comprensione del mutamento nella scienza enella filosofia, le leggi fisiche di conservazione, parificate epistemologicamente alle altreleggi scientifiche (cfr. legge) in quanto soggette alla verifica sperimentale (cfr. verificabi­lità/falsificabilità, esperimento), stabiliscono quali proprietà di un s istema isolatosiano invarianti nel tempo. La fisica classica individua i principi di conservazione dellamateria, a partire dalla definizione di massa, di momento angolare e lineare (cfr. moto),di carica elettrica, di energia (cfr. forza), con le relative implicazioni circa l impossibilità) '

di costruire una macchina in moto perpetuo. Facendo uso di un formalismo matematicoassai complesso (cfr. strutture matematiche), la fisica contemporanea ha poi scopertomolte nuove leggi di conservazione, nel quadro della teoria della relatività, della teoriadei quanti e della meccanica quantistica, che attribuisce alle varie particelle atomiche (cfr.atomo e molecola, particella) delle funzioni d'onda di tipo probabilistico (cfr. pro­babilità, distribuzione statistica). Il concetto di conservazione/invarianza pone infineproblemi di ordine piu generale, in relazione sia al legame con il pr incipio di causalità(cfr. causa/e8etto), sia al ruolo svolto nella formazione delle funzioni cognitive (cfr.cognizione, concetto) nello sviluppo intellettuale del bambino (cfr. cervel lo, mente).

Entropia

Il concetto di entropia è stato introdotto nella fisica per rendere ragionedi un gran numero di fenomeni che sembrano manifestare una qualche di­rezionalità e che la meccanica classica non riusciva a spiegare, Si osserva cheil calore fluisce sempre da un corpo caldo verso l'ambiente piu freddo, e maiin senso contrario. Una bottiglia di profumo in un angolo di una stanza span­de il suo odore dappertutto, ma non si è mai assistito al graduale riempimen­to di una bottiglia vuota posta in una stanza invasa da profumo. Si può di­struggere una parete di mattoni facendo esplodere nei pressi un po' di d ina­mite, ma nessuno ha mai proposto di costruire una parete per deflagrazionedi un mucchio di mattoni. Questi fatti sono talmente familiari da apparireovvi, ma, se si tenta di spiegarli in base alla meccanica classica, ci si rendeconto dell'impossibilità di dedurre l 'orientamento dei fenomeni dalle equa­zioni del moto. Le equazioni della meccanica classica sono invarianti rispetto al­l'inversione del tempo e inutili ai nostri fini. La scienza della meccanica, capacedi render conto con gran precisione dei movimenti dei pianeti, non riesce a spie­gare alcuni dei fatti basilari dell'esperienza quotidiana. È necessario introdurreun nuovo principio fisico: il principio dell'incremento di entropia, o secondalegge della termodinamica. In base a questo principio è possibile spiegare la di­rezione dei fenomeni citati in termini di aumento di entropia.

Ma cos'è l'entropia? Difficile è dame una definizione operativa semplice.Come per molti altr i concetti scientifici, la definizione di entropia dipendedalla teoria e ha subito significative modifiche con lo sviluppo della termodi­namica, della meccanica statistica e della teoria dell'informazione [cfr. Fastiggq]. Il carattere comune di tutte le definizioni possibili è che l'entropia diun sistema fornisce una misura della capacità del sistema di subire trasforma­zioni spontanee In questo articòlo si presenteranno e discuteranno varie de­finizioni piu particolareggiate.

L'importanza del principio dell'aumento dell'entropia risiede nella sua este­sa applicabilità. Si tratta di una legge che interessa tanto l'ingegnere quanto ilfisico teorico, e i sistemi che le obbediscono spaziano da quelli fisici a quellichimici e biologici. Inoltre, come si vedrà, si può introdurre il concetto dientropia in senso puramente astratto ogni qualvolta è in discussione una di­stribuzione di probabilità. È possibile applicare tale concetto astratto di en­tropia a una gamma ancora piu estesa di problemi, al di là dell'obiettivo dellafisica, quali la linguistica, l'analisi letteraria, la codificazione dei linguaggi, lateoria della musica e molti altri.

Da un punto di vista matematico formale si osserva un'analogia sorpren­dente tra i d iversi concetti di entropia. In senso concettuale i vari concettisi differenziano però in misura tale che è stata messa in dubbio la possibilitàstessa di unificarli sotto lo stesso nome. Il concetto di entropia non è perciòsoltanto un concetto fondamentale della scienza contemporanea, ma fornisce

Entropia g6g Entropia

anche un'esemplificazione assai illuminante dell'evolversi dei concetti scienti­ ne, ripristino dell'equilibrio termico. Carnot riteneva anche valido l' opposto : èfici. Lo sviluppo della scienza è, da un lato, un processo continuo, nel quale possibile ottenere lavoro ogni qualvolta esista una differenza di temperaturaogni stadio emerge dallo stato dei problemi degli stadi precedenti; dall'altro e si possa ripristinare l'equilibrio termico. L'esistenza di due sorgenti di ca­è un processo discontinuo, nel quale spesso le analogie formali mascherano lore caratterizzate da una diversità di temperatura è quindi una condizionecambiamenti radicali. sufficiente e necessaria per la produzione di lavoro mediante calore. Va osser­

I primi tre paragrafi dell'articolo si occupano del concetto di entropia ri­ vato immediatamente che, in base a questo principio, è impossibile far muo­spettivamente nella termodinamica classica, nella meccanica statistica e nella vere un veicolo estraendo calore dall'ambiente col quale esso si trova in equi­teoria dell'informazione. Nel quarto saranno dibattuti alcuni problemi filoso­ librio termico. Altrimenti non avremmo bisogno di combustibile per azionarefici collegati con tali argomenti. navi o aeroplani o automobili : essi potrebbero ricavare tutto i l calore neces­

sario dal mare o dall'aria e spostarsi per un periodo indefinito. La ragionedell'inesistenza di siffatte navi o automobili non risiede nell'incapacità dell'am­

L'entropia nella termodinamica classica. biente di fornire una quantità di calore sufficiente al loro funzionamento. Ciòche manca è una differenza di temperatura, un flusso di calore da un corpo

Il termine 'entropia' fu coniato da Rudolf Clausius nel i865, i l quale lo caldo a uno freddo.ricavò dalla parola greca wporrq 'trasformazione', Clausius intendeva quanti­ Forte di questo principio, Carnot si accinse quindi a esaminare le condi­ficare le trasformazioni che si verificano nel carattere dell'energia di un sistema zioni di massiino rendimento di un motore termico. Poiché il passaggio di ca­sottoposto a cambiamento termodinamico. Una presentazione dogmatica del lore da una temperatura piu alta ad una piii bassa può sempre produrre lavoro,concetto di entropia lo renderebbe scarsamente comprensibile; di conseguen­ ragionò Carnot, un trasferimento di calore senza produzione di lavoro, qualeza è preferibile seguire la linea storica e introdurlo soltanto dopo avere messo si verifica quando un corpo caldo e uno freddo sono posti a contatto diretto,in evidenza il contenuto della seconda legge della termodinamica. equivale a uno spreco del lavoro che la cessione di calore avrebbe potuto ge­

nerare. Un motore termico ideale deve quindi tendere a evitare una trasmis­i.r. La seconda legge della termodinamica: Sadi Carnot. sione diretta di calore lungo una differenza di temperature, onde produrre

tutto il lavoro in teoria ottenibile. In a ltre parole, nel motore termico idealeI fondamenti della seconda legge della termodinamica furono gettati da tutti i passaggi di calore si debbono realizzare tra temperature uguali e tutti

un fisico e ingegnere francese, Sadi Carnot, nei suoi studi relativi al funzio­ i riscaldamenti o raflreddamenti nell'ambito del motore si debbono effettuarenamento dei motori termici. Un m otore termico è un d ispositivo in grado tramite cambiamenti di pressione-volume, senza flusso termico diretto. Questodi produrre lavoro usando calore. Un esempio è costituito dai motori a vapore, motore ideale, secondo Carnot, non sarebbe affatto in grado di funzionare,che hanno avuto larga diffusione durante la rivoluzione industriale e sono stati in quanto il calore non fluirebbe nel motore senza una differenza di tempera­costantemente migliorati e adattati a nuovi compiti, Tuttavia in pratica non tura, ma la minima deviazione dall'ideale, la piu lieve diversità di temperaturaesisteva una teoria scientifica delle loro modalità di funzionamento. Sadi Carnot, sarebbero sufficienti ad azionare la macchina e al contempo a mantenere ilcercando di consolidare le carenti basi teoriche, si pose l'interrogativo seguente : rendimento vicino al valore massimo.è possibile aumentare indefinitamente il rendimento di un motore termico, o Fondandosi su queste considerazioni, Carnot descrisse il motore termicoesiste un limite al rendimento, insuperabile in linea di principio? Può esistere ideale. Il motore opera in cicli successivi, in modo che al termine di ciascunun agente piu efliciente del vapore, usabile in un motore termico> In altre ciclo la macchina ritorni allo stato iniziale. Ogni ciclo è formato dagli stadiparole, il rendimento dipende dalla natura della sostanza attiva? È essenziale seguenti: i ) il motore riceve calore da un corpo A, di temperatura elevata T,che un motore termico abbia un'uscita e un ingresso di calore? Come è in­ (sfruttando la minima possibile differenza di temperatura) ; z) il motore pro­fluenzato il rendimento dalla temperatura della sorgente dalla quale si estrae duce lavoro senza scambio termico, mentre la sostanza attiva si raffredda allail calore? temperatura piu bassa T~; g ) si trasferisce calore dal motore a un serbatoio

Per rispondere a tali quesiti Carnot propose il principio che oggi porta freddo B (la cui temperatura è quanto piu vicina possibile a T~) ; 4) si spendeil suo nome e che rappresenta la prima versione della seconda legge della ter­ lavoro per riportare la sostanza attiva alla temperatura piu alta T„ s enza pas­modinamica: la produzione di lavoro da parte di un motore termico deve sem­ saggio di calore. Il lavoro netto prodotto dal motore è la differenza tra quellopre essere associata a un flusso di calore da un corpo a temperatura piu alta guadagnato nella fase z e quello speso nella fase y.a un altro corpo a temperatura piu bassa. Questo processo di passaggio di Un'osservazione cruciale per la comprensione del funzionamento dei mo­calore da un corpo caldo a uno piu freddo è descritto da Carnot come rista­ tori termici, e fondamentale per la scienza della termodinamica in generale,bilimento dell'«equilibrio del calore», o, servendosi di un termine piu comu­ è il collegamento, stabilito da Carnot, tra reversibilità del motore e rendimento.

46p EntropiaEntropia 466

Il ciclo ideale di Carnot è completamente reversibile. Tutti e quattro gli stadiCom'è possibile spiegare questo abuso da parte di Carnot> Per rispondere

si possono realizzare in ordine inverso, naturalmente a patto che si spenda bisogna domandarsi quale modello, quale quadro d'insieme avesse in mente

lavoro anziché ricavarne. La reversibilità del motore è una conseguenza delle Carnot nell'immaginare i suoi cicli ideali. La risposta la fornisce esplicitamente

precauzioni prese per evitare un riscaldamento o raffreddamento determinato lui stesso : «In.base a quanto stabilito possiamo correttamente confrontare l'e­

da scambi termici. Se si fosse avuto un flusso termico diretto lungo un gra­ nergia motrice del calore con quella di una cascata — entrambe hanno un mas­

diente di temperatura, il ciclo non sarebbe stato reversibile, poiché l'opera­ simo invalicabile... che dipende dall'altezza e dalla quantità dell'acqua. Ana­

zione non avrebbe potuto verificarsi in senso opposto senza apportare deter­logamente col calore... la forza motrice dipende dalla differenza di tempe­

minate modifiche al funzionamento del motore. Ne deriva che il motore piuratura e dalla quantità di calore (calorico)» [ibid., p. x5]. La teoria del calore

efficiente è quello reversibile e che qualsiasi ciclo irreversibile è destinato a riflessa in questa analogia è quella del calore considerato come sostanza. Se­

produrre meno lavoro di quello reversibile. I l migl ior uso che sia possibile condo questa teoria, nel motore termico non si consuma in realtà calore, pro­

fare del calore si manifesta quindi in un processo reversibile. Naturalmente prio come in una macchina che sfrutti una cascata non si consuma acqua : è

in pratica il processo reversibile ideale è inottenibile: non è possibile evitare la cascata che produce il lavoro. Le opinioni degli storici della scienza diver­

completamente il contatto diretto tra corpi caldi e corpi piu f reddi. L'analisi gono sul concetto carnotiano di calore. È r isaputo che Carnot nutriva seri

teorica suggerisce però rigorosamente come si possa approssimare la situazio­dubbi sulla natura del calore e che col procedere degli anni si converti alla

ne ideale. teoria cinetica del calore (come rivelano i suoi scritti postumi ), Alcuni storici

L'analisi di Carnot si fonda soltanto sugli aspetti piu generali e essenziali credono di scorgere quest'ultima teoria nelle Réflexions, ma questa interpre­

del motore termico. Nessun dettaglio di progettazione o materiale può quindi tazione, alla luce dell'analogia citata, sembra impossibile. Se la corrispondenza

influenzarla. Dopo aver descritto i l suo motore reversibile, egli fu in g radotra flusso di calore e caduta d'acqua fosse stata giustificata, il processo ipote­

di dimostrare che nessun'altra macchina può avere un rendimento maggiore tico di Carnot darebbe di fatto un perpetuum mobile. Per noi, che non accet­

(ad esempio una macchina con una diversa sostanza attiva) e che nessun'altratiamo piu l 'analogia, il r isultato non è un perpetuum mobile, ma piuttosto

macchina può compiere lo stesso lavoro con una minor quantità di calore.un tipo diverso di macchina impossibile: una macchina che trasferisce calore

Egli dimostrò anche che il rendimento del motore è tanto piu elevato quantoda un corpo freddo ad uno caldo senza spendere lavoro. In pratica la costru­

maggiore è la diflerenza di temperatura tra le sorgenti calda e fredda. La prova zione di una simile macchina non è piu probabile di quella di un perpetuum

della prima affermazione è semplice e costituisce un esempio per molte altremobile «reale». È quindi del tutto naturale che a questo tipo di macchina

prove avanzate dai seguaci di Carnot: «Se esistesse un metodo di impiego delsi sia dato il nome di «perpetuum mobile del secondo ordine».

calore preferibile a quello di cui ci siamo serviti, in altre parole se fosse possi­L'analogia calore-acqua suggerita da Carnot non era casuale. All'epoca di

bile ottenere dal calore, con qualunque processo alternativo, una maggioreCarnot era d'uso tra gl' ingegneri progettare motori ad acqua capaci di fun­

quantità di energia motrice... si potrebbe allora, dirottando una parte di questazionare anche in senso contrario, ossia come pompe idrauliche. Il rendimento

energia, effettuare un riciclo di calore dal corpo B al corpo A, ovvero dal re­di una tale macchina era definito come rapporto tra la quantità d'acqua resti­

f rigerante alla sorgente, e cosi ripristinare la situazione originaria in modo tuibile all'altezza originaria mediante il ciclo invertito e la quantità totale di

da dare il via a un'operazione esattamente simile alla prima, ripetendo il pro­acqua motrice. Si sapeva che il motore idraulico ideale era quello completa­

cesso piu volte. Ne deriverebbe non soltanto il moto perpetuo, ma un'il l imi­mente reversibile Una macchina con rendimento superiore a quella reversi­

tata creazione di energia motrice senza consumo di calore o di altro agente bile è un perpetuum mobile. Poiché la teoria piu diffusa sul calore era a quell'e­

di sorta. Una simile creazione è completamente contraria alle idee oggi accet­ poca la teoria calorica, è perfettamente naturale che Carnot abbia fondato la

tate, alle leggi della meccanica e della fisica razionale ; è inammissibile» [Carnotsua analisi sull'analogia calore-acqua. È abbastanza interessante notare che nel­la derivazione dei risultati nulla dipende realmente dall'analogia. Carnot (forse

t8z4, p. tz ].L'argomento citato è una reductio ad absurdum, ove l'assurdo è l'esistenza

a causa dei suoi dubbi ) espose l'argomento con tale prudenza che tutti i r i ­

di un perpetuum mobile. Tuttavia l'attento lettore moderno non concorderebbe sultati sono fondamentalmente corretti, anche se ben presto i l presupposto,

sul fatto che il processo descritto porti di fatto a un perpetuum mobile, ma sio meglio il modello retrostante al presupposto, si dimostrò inadeguato.

limiterebbe ad ammettere che fornisce un dispositivo capace di rimuovere ca­lore da un serbatoio freddo senza spendere lavoro. Un dispositivo di questo i.z. I l conflitto tra la pr ima e la seconda legge della termodinamica.

genere non è un perpetuum mobile nel senso stretto del termine. Ad ognimodo, sappiamo che è impossibile costruire una macchina siffatta e l 'argo­

Al suo apparire l'analisi di Carnot suscitò scarsa eccitazione. In realtà sa­

mentazione di Carnot è valida anche se il termine è usato leggermente a spro­rebbe quasi potuta finire in un cassetto, non fosse stato per l'ingegner EmileClapeyron, che nel r 834 riformulò la teoria di Carnot in linguaggio matematico

posito.

Entropia 468 469 Entropia

(tra l'altro, Clapeyron si appoggiò piu vistosamente di Carnot alla teoria ca­ voro si produce un'uguale quantità di calore (principio di Joule, una dellelorica del calore, fatto che impedi una corretta comprensione della teoria di versioni della prima legge della termodinamica) ; z) in tutt i i casi in cui siCarnot). produce lavoro mediante calore, ha luogo un passaggio di calore da un corpo

Piu di vent' anni dopo la pubblicazione delle memorie di Carnot, nel x847, piu caldo a uno'piu freddo (principio di Carnot, una delle versioni della se­James Joule, in una conferenza tenuta a Oxford, descrisse i risultati del suo conda legge della termodinamica). Riepilogando, il consumo e la trasmissionelavoro sperimentale sulla trasformazione di lavoro meccanico ed elettrico in di calore sono entrambi condizioni necessarie per la produzione di lavoro me­calore. Secondo Joule, è possibile convertire energia meccanica in calore e ca­ diante calore.lore in energia meccanica. Calore e lavoro meccanico sono in certa misuraequivalenti e si possono trasformare l'uno nell'altro. Una data quantità di la­ r.g. La seconda legge della termodinamica in termini di entropia.voro meccanico produrrà sempre la stessa quantità di calore, e viceversa. Joulecalcolò anche con grande precisione l'equivalente meccanico del calore: ogni Negli anni seguenti Clausius continuò a sviluppare la sua teoria. Consi­caloria equivale a 4,r87 x ro' erg di energia meccanica. derando tutte le trasformazioni calore-lavoro come trasformazioni di energia,

A quell'epoca Joule non sapeva nulla del lavoro di Carnot, ma Lord Kel­ egli tentò di scoprire una funzione che soddisfacesse ai seguenti requisiti: t ) lavin, presente alla conferenza, fu profondamente impressionato dai r isultati funzione dovrebbe porre in relazione i vari tipi di possibili trasformazioni ener­di Joule e immediatamente imbarazzato da quella che gli sembrava una con­ getiche in un sistema, ossia le trasformazioni di calore da una temperaturatraddizione insuperabile: se Carnot era nel giusto, è impossibile trasformare piu alta a una piu bassa e le trasformazioni di energia meccanica in calore adcompletamente una quantità di calore in lavoro, poiché il rendimento del mo­ una determinata temperatura; z ) la funzione dovrebbe essere una funzionetore termico ideale è di gran lunga inferiore a t. Inoltre l 'analisi di Carnot termodinamica propria, ovvero dovrebbe caratterizzare lo stato termodinamicoriguarda la produzione di lavoro mediante calore come conseguenza delflusso del sistema indipendentemente dalla via seguita dal sistema per raggiungeredi calore, mentre Joule interpretava la produzione di lavoro come trasforma­ quello stato. Si può facilmente dimostrare che il calore non è di per sé unazione o conversione di calore in lavoro. Entrambe le teorie erano convalidate funzione termodinamica propria in questo senso: è possibile pervenire alloda dati sperimentali. Come si poteva riconciliarle> stesso stato termodinamico (ad esempio uno stato caratterizzato dalla mede­

Fu Rudolf Clausius a trovare per primo (nel r85o) il bandolo della matassa. sima temperatura, pressione e volume) sia aggiungendo calore al sistema siaEgli distinse tra i risultati di Carnot e il modello su cui si fondavano, accettando compiendo su di esso un lavoro; i l contenuto termico varierà di conseguenzain pieno i primi ma rifiutando il secondo. In questo modo la contraddizione in relazione al metodo usato e non costituirà una funzione univocamente de­scomparve. Clausius riteneva che Joule avesse ragione a invocare la teoria ci­ finita dello stato termodinamico.netica del calore. Il calore non è una sostanza indistruttibile che obbedisce Clausius defini entropia la funzione che si dimostrò capace di soddisfarea una legge di conservazione separata, ma è una forma di energia, una mani­ questi requisiti, L'entropia S di un sistema è espressa in modo differenziale.festazione dell'energia cinetica delle particelle che costituiscono la materia. In Per un processo reversibile infinitesimale vale la relazione:quanto forma di energia, il calore può essere sia generato da, che trasformato dPin, altre forme di energia. Queste trasformazioni seguono la legge di conser­ dS = — .T 'vazione dell'energia o prima legge della termodinamica. La produzione di la­voro mediante calore non esige quindi soltanto una variazione nella distribu­ La variazione di entropia in un processo reversibile infinitesimale è cioèzione del calore (come implicava l'analogia calore-acqua di Carnot ), ma un data dal rapporto tra la variazione del contenuto termico del sistema, d Q, evero consumo di calore, come comprese Joule. la temperatura assoluta T propria del processo. (Per convenzione, d Q è po­

D'altra parte Carnot non sbagliava nel far notare che il processo di con­ sitivo quando il sistema assorbe calore e negativo quando il sistema perde ca­versione di calore in lavoro non può avere luogo se non sussiste una differen­ lore cedendolo all'ambiente). Per ogni cambiamento finito reversibile dallo sta­za di temperatura, e se una parte del calore non passa da una temperatura to A allo stato B, la variazione di entropia, AS, è data dall' integrale:pii alta a una piu bassa. Non è possibile realizzare una completa conversione r'~Qdi una certa quantità di calore in lavoro, senza il processo di raffreddamento diuna parte del calore. Joule aveva ignorato questo lato del problema. L'analisi

5$ = S~ — S„ =)A

di Clausius sulla produzione di lavoro mediante calore [t864-6p] poggia quindi Si noti che qui non è definito il valore assoluto dell'entropia, ma soltantosu entrambi i principi, di Joule e di Carnot: t ) in tutti i casi in cui si ottiene la sua variazione. La terza legge della termodinamica, o legge di Nernst, chelavoro a partire da calore, si consuma una quantità di calore proporzionale attribuisce alle sostanze (in realtà soltanto alle sostanze idealmente cristalliz­al lavoro compiuto, e, viceversa, spendendo una determinata quantità di la­ zate) un'entropia nulla in corrispondenza dello zero assoluto, consente il cal­

Entropia 47o 47i Entropia

colo dell'entropia assoluta. Si osservi anche che le variazioni di entropia sono e Sii sono rispettivamente le entropie degli stati A e B) e quindi si può scri­definite soltanto per processi reversibili. Poiché l'entropia di un sistema è una vere la disuguaglianza:

funzione termodinamica propria, essa dipende soltanto dallo stato termodina­ I JQmico del sistema. È quindi possibile trovare la variazione di entropia in un $8 — SA >JAprocesso qualunque, reversibile o irreversibile, valutando la variazione di en­tropia che si sarebbe verificata in un processo reversibile avente gli stessi stati Ma la trasformazione spontanea ha luogo in un sistema chiuso e di con­

iniziale e finale. seguenza durante il processo non si ha assorbimento di calore. Ne discende

Data questa definizione, è possibile riformulare la seconda legge della ter­ che Sii — Sz>o, o Si i> $>, i l che significa che l'entropia è aumentata dal va­

modinamica in l inguaggio matematico e in termini di entropia. Clausius ha lore $< a un valore piu elevato Sii.

dimostrato che si può esprimere la seconda legge con la seguente disuguaglianza È possibile allora riformulare la seconda legge della termodinamica: l'en­(il segno f indica un integrale lungo un ciclo) : tropia di un sistema chiuso può soltanto crescere, o, nelle parole di Clausius,

l'entropia di un sistema chiuso tende a un massimo.

)dg Si possono cosi sintetizzare gli sviluppi sinora descritti: la legge di con­

servazione dell'energia esprime l'equivalenza del calore e del lavoro come formeIn ogni ciclo reversibile vale la relazione j (dQ/T) '= o, mentre in ogni ciclo di energia reciprocamente trasformabili, e esclude un perpetuum mobile del

irreversibile (tutti i cicli reali sono di fatto irreversibili ) valef(dQ/T) (o. Sono primo ordine. Tuttavia l'analisi di Carnot dimostra che non tutte le trasfor­impossibili cicli per cui f(dQ/T) >o. Tale disuguaglianza, talvolta definita di­ mazioni possibili secondo questa legge possono veramente accadere in natura.

suguaglianza di Clausius, manifesta lo stesso principio contenuto nella formu­ Un perpetuum mobile del secondo ordine è consentito dalla legge di conser­

lazione precedente: l'impossibilità di un passaggio spontaneo di calore da un vazione dell'energia (la prima legge della termodinamica), ma escluso dalla se­

corpo freddo a uno caldo, o, in altre parole, l'impossibilità di una completa conda legge. Infine si è visto come Clausius abbia dimostrato che l'esclusione

trasformazione in lavoro di una determinata quantità di calore. Per dimostrarlo, di un perpetuum mobile del secondo ordine deriva dal principio generale del­si supponga di riuscire a trasferire una quantità di calore Q' da un serbatoio l'aumento dell'entropia nei sistemi chiusi.

a temperatura T a un serbatoio a temperatura piu elevata, T'. In base alla con­ E illuminante esaminare la connessione tra la p rimae la seconda legge

venzione di segno, ciò significherebbe che: in relazione alla disponibilità di energia. La prima legge si riferisce soltantoalla «contabilità» generale dell'energia di un sistema. La seconda legge ha in­

~Q Q' Q' vece a che fare con l 'uti l ità dell'energia, cioè con la sua disponibilità a com­T T T piere lavoro. Il fatto che l'entropia di un sistema chiuso aumenti sempre si­

Ne consegue che un processo di questo genere è escluso da entrambe le gnifica che i processi spontanei in un sistema chiuso tenderanno a trasformare

formulazioni, Analogamente, se una quantità di calore Q' venisse completa­ in energia termica le quantità eccedenti di energia meccanica, elettrica o chi­mente trasformata in lavoro, varrebbe la relazione f (dQ/T)= Q'/T>o, che è mica. Poiché non è possibile convertire completamente l 'energia termica in

esclusa dalla disuguaglianza di Clausius. lavoro, il significato di questo processo è che, se si lascia a se stesso un sistema

La seconda legge può essere espressa servendosi dell'entropia. La disugua­ chiuso, una quantità di energia via via minore sarà utilizzabile per ottenere

glianza di Clausius non dà alcuna informazione diretta sulla variazione di en­ lavoro. Si afferma talora che in natura si riscontra una tendenza verso la de­

tropia in un ciclo irreversibile, poiché non esiste alcun collegamento immediato gradazione dell'sergia, ossia che l'energia tende a trasformarsi in energia inu­tra il calore assorbito e la variazione di entropia, a meno che il ciclo sia reversi­ tile. Piu un sistema è prossimo allo stato di massima entropia, piu la sua ener­

bile. Si può però dedurre dalla disuguaglianza che in qualsiasi processo irre­ gia è degradata.versibile l'entropia aumenta. A questo fine si prenda in esame un sistema chiu­ A conclusione del paragrafo, un'ultima osservazione: il p r incipio di au­

so che subisca una variazione spontanea (ossia irreversibile) dallo stato A allo mento dell'entropia nella termodinamica classica è un postulato (naturalmente

stato B. Si 'supponga altresi che la trasformazione spontanea possa essere se­ ben confermato). Esso non spiega perché i fenomeni naturali si orientino in

guita da un processo reversibile che riconduca il sistema allo stato A (questo una certa direzione, limitandosi a esprimere i l fatto in modo elegante. Nel

stadio implicherebbe necessariamente un'interazione con l'ambiente circostan­ paragrafo successivo si dimostrerà che la teoria della meccanica statistica ha

te). Globalmente si ha un ciclo irreversibile per cui deve sussistere f(dQ/T)( o . contribuito a una migliorecomprensione del concetto di entropia, conferendo

Si può suddividere l'integrale, ottenendo J~<(dQ/T) — J~>(dQ/T) (o, ove il pri­ cosi al postulato un miglior potere esplicativo.mo integrale appartiene alla trasformazione spontanea e il secondo a quellareversibile. Questo secondo integrale è per definizione uguale a (Sz — Sii) (Sz

Entropia 47z 473 Entropia

scrizione sintetica; in altre parole, ogni macrostato, dato dai valori delle varia­L'entropia nella meccanica statistica. bili macroscopiche, può essere la conseguenza di moltissime diverse configu­

razioni a l ivello atomico. Un macrostato corrisponde cosi a un gran numeroz.r. Necessità di una teoria meccanicistica. di microstati diversi soltanto al livello atomico e indistinguibili al macrolivello.

Le basi di questa nuova teoria statistica, nota come meccanica statistica,La termodinamica classica, nonostante il suo successo nel «salvare i fe­ furono gettate da James Clerk Maxwell, Ludwig Boltzmann [ i896-98j e da

nomeni», aveva un serio inconveniente dal punto di vista filosofico. A parti­ Gibbs [igoz]. Poiché la teoria di Maxwell si occupa soprattutto della distribu­re dal xvrr secolo, molti fra i piu grandi scienziati difesero un atteggiamento zione dell'energia, e non dell'entropia, non la si tratterà in questa sede.filosofico che prese il nome di meccanicismo. Secondo l'ottica meccanicistica imovimenti delle particelle materiali dovrebbero essere l'unico fondamento per

2.3. Probabilità e disordine.spiegare i fenomeni naturali. I l meccanicismo si proponeva di eliminare, dalregno della fisica, le «essenze» o «sostanze» diverse dalla materia e dal moto. Macrostati diversi si differenziano per il numero di modi in cui possonoIl concetto di entropia, qual è introdotto nella termodinamica classica, sem­ essere composti da microparticelle. Laddove alcuni macrostati possono esserebrava irriducibile alla terminologia meccanicistica e quindi pareva manifestare realizzati mediante configurazioni diverse delle particelle costituenti, altri «sin­un carattere un po' occulto, inadatto alla scienza moderna. Inoltre, il succes­ tetizzano» soltanto un numero limitato di disposizioni possibili. Maggiore è ilso dell'atomismo tanto in fisica quanto in chimica apportò una nuova sfaccet­ numero delle disposizioni possibili che dànno un determinato stato, piu eleva­tatura alla visione meccanicistica: i fenomeni al livello sperimentale — il ma­ ta è la probabilità di trovare il sistema in quello stato particolare.crolivello — dovrebbero essere spiegati in base ai processi fisici che hanno luo­ Per illustrare ciò, si considerino le possibili disposizioni di un sistema co­go al livello atomico — il microlivello. La termodinamica classica era limitata stituito da cinquanta palle da biliardo rosse e cinquanta bianche. Agitando ilal macrolivello ed era incapace di assicurare l'agognato legame tra mondo os­ contenitore delle palle si possono ottenere varie disposizioni. Il numero totaleservabile e mondo degli atomi. I l grande risultato della meccanica statistica delle configurazioni possibili è ioo! = ioo x pt' x tl8 x ... x z x i. Poiché non c'èfu la determinazione dell'anello mancante, che permise di trasformare il prin­ alcun motivo di ritenere che una certa configurazione sia piu probabile di un'al­cipio di aumento dell'entropia, apparentemente refrattario a un'interpretazione tra, si attribuisce a ognuna delle configurazioni possibili la stessa probabilità:meccanicistica, in uno dei successi piu clamorosi di questa filosofia. i / ioo! Di fatto, se le palle non sono numerate o in qualche altro modo contras­

segnate, è possibile scambiare una qualunque delle palle rosse o delle pallez.z. L approccio statistico. bianche senza ottenere una configurazione distinguibile dalla precedente. Il nu­

mero totale di configurazioni distinguibili è quindi «soltanto» roo! /(5o! x 5o!) =

Le leggi classiche del moto possono pienamente descrivere il movimento =ro«». Si prenda ora in esame la probabilità di una distribuzione estrema­di un sistema costituito da un piccolo numero di particelle, a patto che siano mente regolare delle palle, ad esempio una distribuzione tridimensionale a scac­date le condizioni iniziali (ad esempio le posizioni e i momenti iniziali delle chiera, ove ogni palla rossa ha vicine soltanto palle bianche. Tra tutte le io«»particelle). Accingendosi a descrivere il comportamento di un macrosistema possibili configurazioni, soltanto due avranno come risultato questa distribu­quale risulta dai movimenti delle particelle che lo compongono, ci si t rova zione regolare, la cui probabilità è quindi soltanto z / io' . Una distribuzionedi fronte a un problema enorme: un macrosistema può essere formato da un regolare con un «difetto» si può realizzare in duemilacinquecento modi (ognigran numero di atomi o molecole : una mole di gas contiene ad esempio o,6 x io»4 palla bianca si può scambiare con ognuna delle palle rosse) ; la probabilità dimolecole. È impossibile determinare l'esatto stato di un sistema di questo ge­ una configurazione con un difetto è quindi già duemilacinquecento volte su­nere, cioè determinare le condizioni di tutte le sue particelle in ogni istante periore a quella della distribuzione regolare. Procedendo con l'analisi lungoconsiderato. È però possibile sviluppare una teoria statistica del comportamen­ le stesse direttrici ci si accorge rapidamente che la probabilità di una distri­to di tali grandi sistemi, e dimostrare che le funzioni caratterizzanti uno stato buzione è tanto maggiore quanto meno essa è regolare. Non deve allora stu­di un sistema macroscopico, quali la temperatura, la pressione, l'entropia, ecc., pire che agitando il contenitore in pratica non si raggiunga mai la distribuzionesono esprimibili in termini di medie relative alle funzioni che caratterizzano a scacchiera e si osservino soltanto disposizioni disordinate, nonostante il fattostati di particelle individuali. Per l 'approccio statistico, l'elevato numero di che la probabilità a priori delle configurazioni corrispondenti alla distribuzioneparticelle al livello microscopico è naturalmente un vantaggio anziché una dif­ a scacchiera non sia inferiore a quella di qualsiasi altra configurazione.ficoltà. Come in qualsiasi altra teoria statistica, le fluttuazioni dalle distribu­ Al posto delle cento palle da biliardo, si consideri un sistema costituitozioni medie sono tanto minori quanto piu ampio è i l campione. da due gas diversi, in uguali condizioni di temperatura e pressione, separati

Sec<>ndo la teoria statistica ogni macrostato si può visualizzare come de­ da una parete. Eliminando la parete, si verifica una miscelazione dei gas sino

Entropia 474 475 Entropia

al raggiungimento di una distribuzione uniforme. Con ragionamenti analoghi rare un sistema e calcolarne il numero delle disposizioni possibili, si suppon­a quelli applicati alle palle da biliardo si può facilmente comprendere che il ga di avere a disposizione un ipotetico insieme di copie dello stesso sistema.processo di miscelazione è in effetti i l fenomeno piu probabile. Vi è soltanto Ogni sistema dell'insieme si troverà in uno dei possibili microstati e l'insieme,una differenza: poiché il numero delle molecole componenti il sistema è molto globalmente, è definito quando è nota la frazione dei suoi sistemi che si trovasuperiore al numero delle palle da biliardo nell'esempio, la probabilità di una in ciascun microstato. Se nel microstato i-mo si ha una frazione P; dei sistemi,distribuzione regolare è talmente piu bassa da "poter essere di fatto trascura­ l'entropia S è definitata. La transizione del sistema dallo stato iniziale dei due gas separati allo sta­ S = ­ K/ P , lgP;to di miscelazione si può descrivere come transizione a uno stato di casualità odi disordine. La si può anche descrivere in termini probabilistici come tran­ ove K è la costante di Boltzmann. Se l'insieme è distribuito su m microstatisizione a uno stato di probabilità superiore. della stessa probabilità, allora tutte le P; hanno lo stesso valore: P;= i /m.

In questo caso si ottiene2.4. Probabilità ed entropia.

I I I IS = ­ K 7 — lg — = — Km — lg — = K lg m

Secondo la termodinamica classica, la miscelazione di due gas del tipo con­ m msiderato si associa a un aumento di entropia. Gibbs ha dimostrato che l'entro­ che coincide con la definizione precedente. La diversità tra la presentazionepia di una miscela di gas perfetti è pari alla somma delle entropie che ogni introdotta da Gibbs, basata sugli insiemi, e il precedente approccio di Boltz­gas possiederebbe separatamente se occupasse da solo l ' intero volume della mann verrà spiegata in seguito.miscela. Si potrebbe allora affermare che il processo descritto in senso classico L'esempio del processo di miscelazione non giustifica naturalmente la de­come capace di dare un aumento di entropia, può essere rappresentato stati­ finizione statistica di entropia in generale, ma si l imita a renderla plausibilesticamente come transizione a una distribuzione piu probabile. Questo esempio in un caso particolare. Comunque, ne deriva che il concetto statistico di entro­suggerisce la possibilità di stabilire una relazione generale tra l'entropia e la pia dà risultati identici al concetto classico in tutti i casi in cui si applica que­probabilità di uno stato termodinamico. Per trovarne il collegamento mate­ st'ultimo, valendo inoltre anche per quei casi per cui il concetto classico è inu­matico si deve osservare che l'entropia del sistema è una funzione additiva: tilizzabile o decisarnente poco conveniente.se si immagina che due sistemi separati A e B siano un sistema unico, l'entro­ Nel paragrafo precedente si è chiarito che il legame tra entropia e passaggiopia del sistema combinato Szii è data dalla somma delle entropie, S< +Sii. di calore è valido soltanto per processi reversibili. Non si può effettuare alcunD'altra parte, il numero di stati possibili nel sistema combinato è il prodotto calcolo diretto della variazione di entropia in un processo irreversibile. D'altrodel numero degli stati possibili nel sistema A per il numero degli stati possi­ lato la definizione statistica non è l imitata a un t ipo particolare di processo.bili nel sistema B. Ne consegue che l'entropia e il numero delle configurazioni Si è anche sottolineato che il calcolo dei valori assoluti dell'entropia, e non sol­possibili devono essere legati da una funzione logaritmica, tanto delle variazioni di entropia, richiede l'attribuzione di un'entropia nulla

La discussione precedente, che ha prospettato la possibilità di una teoria ai cristalli ideali allo zero assoluto. La definizione statistica rende meno arbi­statistica dell'entropia, naturalmente è molto semplificata. Considerazioni es­ traria questa assegnazione. Allo zero assoluto si suppone che un cristallo idealesenzialmente simili, ma molto piu profonde nei particolari, condussero Boltz­ sia completarnente ordinato, ovvero che il numero delle configurazioni possi­mann a proporre la famosa equazione, che costituisce la definizione statistica bili sia uno, con conseguente entropia nulla.di entropia: S = k lgm; ove S è l 'entropia di un sistema in un dato stato ter­ I vantaggi formali e pratici della definizione statistica di entropia sono sol­modinamico; m è il numero di configurazioni nelle quali si può realizzare lo tanto secondari a confronto del suo piu grande merito, cioè la chiarezza con­stato termodinamico ; k è una costante, nota come costante di Boltzmann, con cettuale. Il concetto di entropia, come abbiamo spiegato, fu introdotto da Clau­valore pari a t,g8 x io" erg/grado. Questa costante esprime il legame tra la sius per esprimere la direzionalità dei fenomeni naturali. Nonostante la chia­teoria classica e quella statistica. La si ottiene in base alla formula k =R /N~, rezza dell'analisi di Clausius, rimase qualche nebulosità sull'entità da lui de­in cui R è la costante dei gas (il cui valore dipende dalle altre unità usate) e finita. La nebbia è oggi dissipata. Il principio di aumento dell'entropia ha oraN~ è il numero di Avogadro, il numero di atomi o molecole per mole, appros­ questa forma: Gli stati di entropia elevata sono piu probabili di quelli con en­simativamente pari a o,6 x ro~4. tropia piu bassa. Le transizioni osservate a stati di entropia maggiore sono

(Volendo mantenersi fedeli alla verità storica, si dovrebbe far rilevare che transizioni a stati di probabilità maggiore. Il profumo si diffonde nella stanzaquesta forma della definizione è una variazione apportata da Max Planck a non a causa della crescita di qualche misteriosa entità irriducibile, ma sempli­quella di Boltzmann). cemente grazie al fatto che una sua distribuzione omogenea per l'intera stanza

La definizione viene generalizzata nel modo seguente: anziché conside­ è molto piu probabile di qualsiasi altra distribuzione.

Entropia 476 477 Entropia

La legge classica di aumento dell'entropia è una legge di carattere teleologico : non è influenzata né dal numero delle particelle componenti il sistema, né dalleinterpreta la direzionalità dei fenomeni come effetto di una tendenza in natura loro interazioni. Il suo linguaggio degli insiemi è quindi adeguato non soltantoverso l'aumento di entropia. Il t ipo di causalità implicato in questa interpreta­ per i gas, nei quali l'interazione tra le particelle è debole, ma anche per i solidi,zione dei fenomeni è intenzionale, o finalizzato. La filosofia meccanicistica cer­ i iquidi o qualsiasi altro sistema quantico. Di conseguenza, i fisici si servono

ca di abolire questo genere di causalità dalla scienza e, in effetti, i l concetto oggi in generale piu del modello di Gibbs che di quello di Boltzmann. Prati­statistico di entropia è privo di caratteri teleologici. Un sistema fisico non «pre­ camente tra le due teorie non sussiste differenza alcuna: esse portano agli stessiferisce» stati di entropia piu elevata; non si riscontra in natura alcuna «ten­ risultati ; la diversità esiste soltanto in relazione alla giustificazione della teoria,

denza» a degradare l'energia:l'apparente tendenza che si verifica a livello ma­ e non alla teoria stessa.

croscopico si può spiegare in termini puramente meccanici e statistici.Ovviamente il principio statistico di aumento dell'entropia differisce nel z.6. Paradossi di irreversibilità.

suo contenuto da quello classico. Per il fatto stesso di essere un principio sta­tistico, esso ammette delle deviazioni. Secondo il principio classico l'entropia Nel i876 Joseph Loschmidt mosse un'obiezione alla teoria di Boltzmann:deve aumentare e ogni sua diminuzione osservata contraddirebbe la legge. Tut­ a teoria statistica di Boltzmann è un tentativo di r idurre la termodinamica

tavia la versione statistica della legge predice soltanto un aumento medio di dei macrosistemi alla meccanica delle microparticelle. Ma le leggi della mec­entropia. Un sistema chiuso lasciato a sé si avvicinerà in media alla distribuzio­ canica classica sono invarianti per l'inversione del tempo e quindi tutti i pro­ne piu probabile e fluttuerà nei suoi pressi, ma possono verificarsi occasionali cessi da loro controllati devono essere reversibili. Prendendo ancora in esametransizioni a uno stato meno probabile, e se ne può anzi dimostrare l'inevi­ una massa di gas in un sistema chiuso, in evoluzione verso l'equilibrio termo­tabilità. dinamico, è possibile, secondo l'argomentazione di Loschmidt, che ad un certo

È difficile sopravvalutare il significato di questa differenza tra la legge clas­ momento tutte le velocità delle molecole invertano la direzione (il che e ui­sica e la legge statistica. Errate interpretazioni del carattere della legge stati­ vale all'inversione del tempo). A partire da quell'istante il sistema ribalterà lastica hanno partorito generazioni di paradossi che parvero a lungo minacciare sua evoluzione e di conse guenza, diminuirà di entropia, in contraddizione con

la coerenza della meccanica statistica. Prima di discutere alcuni di questi pa­ la seconda legge della termodinamica. Non è soltanto impossibile ridurre laradossi occorre però aggiungere un altro rilievo sui fondamenti della meccanica termodinamica alla meccanica statistica: le due teorie, secondo Loschmidt, sono

statistica. incompatibili.Un altro paradosso fu scoperto verso la fine del secolo da Ernst Zermelo.

2.5. Presentazione di Boltzmann vs presentazione di Gibbs.Egli si appoggiò a un teorema, dimostrato da Poincaré, secondo cui o ni si­o cui ogm si­stema

'1meccanico limitato e conservativo si evolverà con un mo o quasi-pe­t

Sviluppando la sua teoria statistica, Boltzmann aveva in mente l'evoluzio­ riodico, in modo da ritornare sempre (se gli si concede un tempo sufficiente)ne nel tempo di un determinato sistema termodinamico. La validità dell'ana­ a un qualsiasi stato iniziale dato. Zermelo sostiene che da questo teorema di­lisi statistica si basa sul fatto che il sistema è formato da un gran numero di scende che un sistema non può evolversi indefinitamente nella stessa direzionemolecole, ovvero che il suo insieme statistico è costituito dalle molecole che e che certamente avverranno transizioni a stati caratterizzati da una minore ro­compongono il sistema in esame. L'analisi si applica soprattutto ai gas e si babilità (ossia transizioni a stati di entropia mino ). A h 1­ore). n c e q uesta conclu­devono fare diverse ipotesi sui tipi d'interazione esistenti tra le molecole. Nella sione sembra smentire la seconda legge della termodinamica.

terminologia boltzmanniana il principio di aumento dell'entropia significa che Entrambi i paradossi scaturiscono da una interpretazione lievemente erro­

un sistema non in equilibrio si evolverà nel tempo verso uno stato piu proba­ nea della legge statistica. Si deve sempre tenere presente la distinzione tra ma­bile e raggiungerà l'equilibrio fluttuando attorno allo stato piu probabile. Si crolivello e microlivello. Ogni microstato è di fatto realizzabile, e lo è un numero

potrebbe anche dire che, nel modello di Boltzmann, il sistema trascorrerà piu infinito di volte in base Ia teorema di Poincaré; ma nell insieme prevarrannotempo nello stato piu probabile(o in un suo intorno) che in qualsiasi altro stato. per un tempo sufficiente all'osservazione soltanto quei macrostati che rappre­

Nella sua formulazione della meccanica statistica, Gibbs si appellò a un sentano la frazione piu ampia di microstati. Cosi, la tendenza generale osser­

modello diverso. Il suo insieme non è formato dalle particelle che compongono vabile dell intero sistema consisterà nell'approssimarsi allo stato di equilibrio111'

il sistema reale in esame, ma è piuttosto una raccolta ipotetica di sistemi iden­ o di massima entropia. In effetti si verificano fluttuazioni rispetto a quello

tici, tra i quali quello reale è considerato soltanto un esponente. Lo stato piu stato, ma quanto piu sono ampie, tanto meno sono probabili e ci lasciano la

probabile sarà occupato dalla piu alta percentuale di sistemi, e quindi è assai possibilità di vederle accadere, Il paradosso di Zermelo costituisce in realtàprobabile che il nostro sistema reale appartenga a quella frazione. Si capisce per le idee di Boltzmann una sfida piu profonda di quanto lasci pensare laimmediatamente che la validità dell'analisi statistica nella formulazione di Gibbs spiegazione fornita: lo si riesaminerà nell'ultimo paragrafo.

Enlropia 478 479 Entropia

da una particella. Il numero delle distribuzioni possibili, e quindi anche l'en­

...7. C<unputazioni effettive dell'entropia statistica. tropia di tali sistemi, viene cosi ulteriormente ridotto. La statistica che de­scrive questi sistemi è detta (dal nome dei fisici che la misero a punto ) stati­

('<>u>c si è visto, nella meccanica statistica l'entropia è una misura del nu­ stica di Fermi-Dirac. Le particelle sono caratterizzate dal tipo di statistica cui<»< ><> <lolle possibili configurazioni di un s istema fisico. Resta aperto il pro­ sono sottoposte e si dividono in fermioni, che obbediscono alla statistica diI>l<»»; <lclh> determinazione pratica di questo numero. Il compito di accertarlo F ermi-Dirac, e bosòni, che seguono la statistica di Bose-Einstein. Quando il<>< i v;<>i casi è il problema principale della meccanica statistica. Quando un numero dei livelli energetici utilizzabili è molto superiore al numero delle par­><is(«»;< è caratterizzato dalla sua energia, la questione si riduce alle modalità t icelle, è fortemente improbabile che un livello venga occupato da piu di una<li <listrilu<zione dell'energia tra i vari costituenti. Di solito il problema è ro­ particella; in questo caso la statistica di Bose-Einstein fornirà risultati identiciv< s< i;>I<>: la meccanica quantistica ci fornisce i possibili l ivelli energetici del a quella di Fermi-Dirac. In altri casi la differenza tra le due è molto signifi­sisi< >»;>, <> i suoi possibili stati quantici, lasciandoci il compito di stabilire come cativa per il calcolo dell'entropia e di altre funzioni termodinamiche.><i:><><> <listribuiti tra i var i stati quantici i costituenti del sistema (molecole,:<t<><»i, elettroni, ecc. ). In certi casi (ad esempio in un cristallo solido a tem­ z.8. Paradosso di Gibbs.~>< > ;>tar;< ambiente ) soltanto un numero esiguo dei livelli energetici è occupato<h>ll<. l>;<rticelle; vi sono cioè piu particelle che livelli praticamente disponibili. La distinzione tra statistica di Bose-Einstein e trattamento classico in baseI<> :<liri casi (adesempio un gas in condizioni normali ) il numero delle parti­ alla statistica di Maxwell-Boltzmann aiuta a risolvere un paradosso noto come« llc è molto inferiore a quello dei livelli disponibili. È impossibile addentrarci paradosso di Gibbs. Si prenda nuovamente in esame la miscelazione di due>» <~aosta sede nei dettagli del calcolo, ma nondimeno è necessario illustrare gas, ognuno dei quali occupi all' inizio un volume v. Dopo la miscelazione i«<>'i>»portante considerazione, essenziale ai nostri scopi. due gas combinati occupano il volume zv. Come si è visto, l'entropia cresce

l ln esempio semplice: distribuire due ricompense fra tre bambini. I l nu­ nel processo di >nescolamento; laddove prima della miscelazione l'entropia»>cn> delle possibilità di farlo dipenderà a ) dalla natura delle ricompense, e dei due gas era data dalla somma delle rispettive entropie, S, +S„ n e l lo statob) <I;>Ile condizioni in cui le ricompense sono date. Se le ricompense sono di­ misto si può dimostrare che l'entropia è cresciuta al valore Sr +S~+z%N logz,stinguibili (poniamo due libri diversi ) e si consente che un bambino ne vinca ove N è i l numero delle molecole di ciascun gas. Questi risultati sembrano<lue, è possibile distribuirle in nove modi diversi. Se le ricompense sono tali paradossali in quanto, nelle considerazioni che li hanno determinati nu lla di­< l>c l'interscambio tra due bambini non produca una nuova possibilità (si sup­ pende del fatto di mescolare due gas diversi. Sembra che lo stesso risultato~><><>ga che ogni ricompensa sia un biglietto da mille lire), le possibilità sono si ottenga anche miscelando due volumi del medesimo gas. Tuttavia l'elimi­s<>ltanto sei. Se poi s'impone la restrizione di una vincita limitata a una ri­ nazione di una suddivisione in un gas omogeneo non pare costituire un c«»»pensa per bambino, si resta con tre sole possibilità. biiamento fisico significativo, e di conseguenza in questo processo l'entropia

S'immagini ora che i bambini rappresentino gli stati quantici, e che le ri­ non dovrebbe aumentare. Il problema si risolve trattandolo in base alla stati­e<»npense rappresentino le particelle. È chiaro che per elencare le possibili di­ stica di Bose-Einstein: dati due gas diversi, le loro molecole sono distinguibilistribuzioni occorre sapere a ) se si possono considerare le particelle distingui­ e quindi, scambiando due particelle dei due gas diversi, si ottiene un nuovo1>ili l'una dall'altra, e b) se esiste una limitazione riguardo al numero delle par­ stato; se, d'altra parte, si mescolano due volumi del medesimo gas, lo stessoticelle in grado di occupare uno stato quantico. I pr imi calcoli effettuati da scambio non produrrà uno stato diverso e il numero delle configurazioni pos­lVI axwell e Boltzmann, con particelle distinguibili e senza restrizioni relative alla sibili sarà minore rispetto al caso dei due gas. Si può dimostrare che il n mrlistribuzione tra gli stati, diedero un numero di possibili configurazioni che e le configurazioni si riduce dello stesso fattore che costituiva il problema:bcn presto si dimostrò troppo elevato. Si dovette ammettere che le micropar­ ossia di zkNlogz.ficclle costituenti un sistema fisico sono indistinguibili l'una dall'altra, per cosidire prive d'individualità, e che il numero dei diversi microstati producenti un z.9. Termodinamica dei sistemi aperti.<lcterminato macrostato è invero molto inferiore a quello stimato da Maxwellc Holtzmann. Il calcolo statistico fondato sull'indistinguibilità delleyarticelle Sinora ci si è occupati del concetto di entropia nella termodinamica classi­lu sviluppato indipendentemente da Bose e Einstein ed è perciò noto come ca e statistica. In entrambi i casi si è soprattutto trattato di sistemi chiusi, chest >tistica di Bose-Einstein. Ci si è poi accorti che anche la statistica di Bose­ n on interagiscono con l'ambiente e possono approssimare uno stat d 'I;instein non è di applicazione generale. Esistono sistemi (ad esempio gli elet­ i rio termodinamico. Tuttavia, molti dei sistemi nei quali ci s'imbatte in na­tr<>ni in un atomo) che obbediscono al principio di esclusione di Pauli, ovvero tura, e per i quali c'è interesse, sono, di fatto, sistemi aperti, caratterizzati da;<I principio secondo cui ogni stato quantico può essere occupato al massimo uno scambio costante di materia e energia con l'esterno. Lo studio della ter­

Entropia g8o y81 Entropia

modinamica di tali sistemi è della massima importanza per la comprensione risposte possibili, un'ulteriore informazione sulla situazione ridurrà il numerodei sistemi biologici. Sono stati compiuti tentativi per generalizzare i risultati delle possibilità. Se l'informazione fosse completa, si potrebbe restare con un'u­della termodinamica in modo da abbracciare anche il comportamento dei si­ nica possibilità. In altre parole, l'incertezza iniziale relativa al problema lasciastemi aperti, ma, sino ad oggi, le nuove teorie sono largamente incomplete. il passo, sulla base dell'informazione pertinente, alla certezza o predicibilità.Una loro discussione va al di là degli obiettivi del nostro articolo: se ne può La quantità d'informazione prodotta (per esempio, grazie a un certo esperi­trovare un riferimento nella bibliografia. mento o segnale, ecc.) può per contro essere definita in funzione del numero

delle risposte possibili con e senza l'informazione. In entrambi i casi, piu in­formazione significa eliminazione di piu incertezza.

3. L'entropia nella teoria dell'informazione. Si supponga di avere uno schema di n eventi possibili e si ipotizzi diconoscere le probabilità che questi eventi si verifichino, P„P „ . .. , P„. S'im­

Come si è osservato, l'entropia nella meccanica statistica è una misura del magini pure che ciò costituisca tutto quello che si sa sul problema. Shannondisordine o casualità di un sistema fisico. Uno stato di maggiore entropia è è riuscito a dare una misura matematica dell'incertezza insita nel problema,uno stato realizzabile in un maggior numero di modi. La funzione statistica ovvero dell'informazione ricavata grazie alla sua eliminazione. La funzione cheentropia dipende esclusivamente dalla distribuzione di probabilità e soltanto egli ha dimostrato utile come misura èla costante moltiplicativa — costante di Boltzmann — dipende dalle funzionitermodinamiche: viene cosi fornito i l l egame tra termodinamica statistica e — E'P P; lgP;classica. Il passo successivo consiste nell'affermare che il concetto di entropiaè pienamente separabile da qualunque contesto fisico e che ad ogni distribuzio­ ove K è una costante che determina l'unità d'informazione.ne di probabilità si può associare una funzione entropia. Quest'entropia astratta Varie sono le considerazioni che rendono plausibile questa definizione. Adnon verrà naturalmente misurata in unità termodinamiche, ma sarà un nume­ esempio, se tutti gli eventi hanno probabilità o, salvo uno con probabilità iro puro. Verranno ora discussi il significato e le applicazioni dell'entropia sta­ (P, = i , P ; = o per ip j), si sarebbe tentati di affermare che non v'è affatto in­tistica astratta, e la relazione tra questo concetto e quello termodinamico. certezza. Come si può osservare, la funzione definita soddisfa a questo requi­

sito e dà come risultato zero. È altresi chiaro che lo schema col grado massimo

3.1. Informazione.d'incertezza è quello in cui tutti gli eventi sono ugualmente probabili, P, = x/n:è ciò che si verifica con la misura di Shannon. Si possono fare altre conside­

La teoria dell'informazione s'interessa dello studio della trasmissione di se­ razioni, omesse in questa sede. Il principale successo della definizione di Shan­gnali o messaggi da un meccanismo (esseri umani inclusi) a un altro. La gam­ non sta nel fatto che egli è r iuscito a dimostrare che la sua funzione non èma dei problemi a cui si può applicare la teoria è assai ampia; linguaggio, lette­ soltanto una misura possibile, ma è l'unica funzione (a meno di una costante)ratura, telecomunicazioni, musica, meccanismo genetico degli organismi viventi, che soddisfa i requisiti matematici.sono tutti esempi di fenomeni la cui analisi rientra nella teoria dell'informa­zione. La teoria dell'informazione si occupa principalmente non del significato 3.2. Informazione ed entropia.dei messaggi, ma della loro struttura statistica. La teoria indaga le condizioniche porterebbero a una migliore o piu efficiente trasmissione dell'informazione, A questo punto il lettore deve aver compreso che la funzione di Shannondefinita in termini formali statistici e non in termini semantici o estetici. Tut­ è completamente analoga(ancora a meno di una costante) alla definizione sta­tavia, come possono attestare alcuni degli esempi discussi, struttura e signi­ tistica di entropia. In effetti, grazie a questa analogia matematica, la funzio­ficato non sono completamente indipendenti. ne di Shannon è detta entropia dello schema. Piu è alta l'entropia di un sistema

I fondamenti della teoria matematica dell'informazione furono gettati da di eventi, maggiore è l'informazione associata ad una scelta particolare di unShannon nel it1y8 [cfr. Shannon e Weaver iqgg]. La sua analisi si fonda sulle evento specifico. Anche questo è intuitivamente evidente: un risultato scelto

seguenti considerazioni: il reale messaggio che si trasmette è un messaggio tra dieci possibili toglie piu incertezza e quindi porta con sé piu informazionescelto tra un insieme di messaggi possibili. Quanto piu elevato è il numero dei di un risultato scelto tra due sole possibilità. Shannon si è servito della stessamessaggi possibili, tanto maggiore è la quantità d'informazione prodotta al funzione per misurare sia l'entropia sia l'informazione. Altri autori definisconomomento della scelta effettiva di un messaggio. Il numero dei messaggi possi­ l'informazione come entropia negativa (negentropia), adducendo a motivo chebili può quindi provvedere, secondo Shannon, una misura dell'informazione de­ l'informazione si dovrebbe associare all'incertezza soppressa, La differenza sta

terminata da una particolare scelta. soltanto nel segno, non nel valore delle funzioni. L'entropia qui definita puòAnalogamente, nell'esame di un problema implicante un certo numero di naturalmente essere associata a qualunque funzione di distribuzione e non è

Entropia 48z 483 Entropia

misurata in unità termodinamiche. Prima di prendere in esame la relazione dice, due sono gli obiettivi: da un lato si vuole che il codice sia il piu concisotra il concetto astratto e il concetto fisico di entropia, s'impone in via prelimi­ possibile (bassa ridondanza ed elevata entropia) ; dall'altro si desidera essere innare una discussione della significatività del concetto quale è usato nella teo­ grado di rintracciare e correggere ogni errore eventualmente insinuatosi du­ria dell'informazione. rante la trasmissione. Il modo piu semplice e meno sofisticato per assicurare

l'affidabilità consiste nel ripetere ogni messaggio, ma, tenendo presente l'ana­

3.3. Entropia e ridondanza. lisi precedente, esiste un meccanismo migliore: aumentare la ridondanza delcodice. Come nel caso del telegramma, i vincoli imposti favoriranno la corre­

I messaggi sono trasmessi in un linguaggio di simboli o segnali. I segnali zione degli errori. In ogni processo di trasmissione ci si trova di fronte a di­possono essere parole di un l inguaggio naturale, lettere di un alfabeto, note sturbi o rumori, ovvero a informazioni provenienti da fonti esterne. La ridon­musicali, punti e l inee come in un messaggio telegrafico, oppure una serie di danza aiuta a combattere il rumore. Un buon codice è quindi un codice nelcomposti chimici sul tipo di quelli che trasmettono le informazioni genetiche quale si è realizzato il giusto dosaggio tra l'entropia, che garantisce la varietà,tramite il codice genetico. Quale che sia il sistema di segnali, la quantità d'in­ e la ridondanza, che assicura l'aPdabilità. Si è calcolato che la ridondanza del­formazione convogliabile dipende dal numero delle possibili disposizioni dei la lingua inglese è attorno al go per cento, il che significa che metà delle letteresegnali, Come si è notato, la quantità d'informazione sarà massima quando e parole impiegate sono determinate dalle regole di struttura del linguaggio etutti i segnali sono ugualmente probabili e nessun vincolo è imposto sulla loro non dalla libera scelta di chi parla o scrive. Ecco ora altri due esempi scelti nel­relativa dipendenza. Ogni introduzione di un qualsiasi vincolo esclude imme­ l'ampio numero di fenomeni cui si può applicare questo tipo di analisi.diatamente alcune delle disposizioni possibili, riducendo cosf la quantità d'in­formazione potenziale. Le regole ortografiche di una lingua naturale costitui­ Entropia e musica. H i l l e r [ippica] sostiene che talvolta la musica è definitascono un esempio di tali vincoli. Se, ad esempio, ogni parola inglese dovesse come compromesso tra caos e monotonia. È difFicile che un suono ripetuto aincludere una vocale (o la lettera y), questa regola ridurrebbe la libertà di scel­ intervalli uguali sia considerato un brano musicale e, d'altra parte, anche unata nella costruzione delle parole. Allo stesso modo si trovano «regole ortogra­ sequenza casuale di suoni, irrispettosa di regole di struttura, non offre moltofiche» nella musica, nel balletto o nel l ' informazione genetica. Ogni sistema all'ascoltatore. Nei termini dell'analisi precedente, si può affermare che la mu­

sul quale gravano vincoli o «regole ortografiche» possiede un'entropia minore sica, al pari del l inguaggio, tenta di realizzare un equilibrio tra entropia edi quella che avrebbe in assenza delle regole. In altre parole, struttura e entro­ ridondanza. Con quest'affermazione non si vogliono ridurre gli aspetti esteticipia sono due caratteri esprimenti aspetti contraddittori, e ogni linguaggio deve della musica alla sua struttura formale, ma soltanto riconoscere che certamenteequilibrare questi aspetti in modo da raggiungere un'elevata entropia, o un la struttura formale non è estranea al piu profondo livello estetico.alto contenuto informazionale, da un lato, e una buona struttura dall'altro. L'analisi della musica secondo la teoria dell'informazione è d'altronde si­

Si può anche introdurre una misura matematica del grado di struttura: si gnificativa sotto due aspetti. In pr imo luogo essa possiede un valore teorico,calcola l'entropia di una determinata informazione-sorgente (con vincoli) e la consentendo di definire e riconoscere stili diversi di musica in base alla lorosi confronta con il valore massimo che l'entropia avrebbe potuto avere in as­ struttura statistica; secondariamente, dopo aver compiuto l 'analisi degli sti l i ,senza di vincoli. I l rapporto tra l 'entropia reale e quella massima si chiama è possibile servirsene per comporre musica in uno stile particolare o allo scopoentropia relativa della sorgente. La quantità (r — entropia relativa) esprime la d'inventare nuove regole strutturali. Nell'articolo di Hi l ler si possono rinve­

frazione della composizione del messaggio che è determinata non dalla libera nire esempi di entrambi gl i aspetti dell'analisi. A t i tolo esemplificativo, sulscelta della sorgente, ma dalle regole di struttura del linguaggio usato. Questa piano teorico l'autore dimostra che l'espediente stilistico della modulazione (va­quantità è detta ridondanza del messaggio. Il termine 'ridondanza' è stato scel­ riazione della chiave) manifesta negli ultimi duecento anni uno spostamentoto per il fatto che, in un certo senso, i vincoli o le regole ortografiche di un abbastanza costante verso una diminuzione di r idondanza o un aumento dilinguaggio rendono ridondante una parte dei segnali trasmessi, la parte che entropia. Laddove Mozart usava soltanto un numero limitato di modulazioniavrebbe potuto essere indovinata o completata sulla base della conoscenza delle ben definite, Wagner e Debussy ne fecero un uso cosi libero da portare a una

regole ortografiche. È assai probabile che una parola inglese terminante con perdita quasi completa della significatività della chiave. Molti compositori mo­le lettere -tio- presenti come lettera finale un'addizionale -n. Se quest'ultima derni hanno abolito del tutto il concetto di chiave, tanto che sotto questo pro­

manca in un telegramma, è facile introdurvela. In un certo senso essa è quindi filo la loro musica si avvicina alla completa casualità. Sul piano pratico, Hillerridondante. illustra come ha programmato un calcolatore elettronico a comporre musica

L'analisi dei linguaggi in termini della loro entropia e ridondanza è interes­ secondo determinate regole strutturali.sante di per sé, ma offre anche implicazioni pratiche di vasta portata. Ad esem­pio, è necessaria in relazione a problemi di codificazione. Nel costruire un co­

Entropia 48S Entropia

Entropia e ridondanza come misure evolutive. Si possono applicare i risul­ Il Diavoletto di Maxrcell. Ne l la sua Z'heory of Heat [r8pt ], Maxwell pre­tati della teoria dell'informazione allo studio di organismi viventi. Lila L. Gatlin sentò un paradosso che mise a lungo in imbarazzo i fisici. Egli considerò uncaratterizza un sistema vivente come sistema di elaborazione d'informazioni, gas in un contenitore diviso mediante una parete in due scompartimenti A e B.e la vita come «gerarchia strutturale di unità operative, che ha acquisito, attra­ La parete è dotata di un piccolo foro attraverso il quale le molecole del gasverso l'evoluzione, la capacità di accumulare ed elaborare le informazioni ne­ possono passare tla uno scompartimento all'altro. I l sistema è in equilibrio,cessarie per riprodursi in modo fedele» [rg7z, p. r]. L ' informazione viene im­ ovvero la temperatura è identica nelle due parti. Maxwell ipotizzò inoltre l'e­magazzinata nella sequenza delle basi del DNA o, in alcuni casi, dell'RNA. sistenza di un Diavoletto capace di sorvegliare i movimenti di ogni singola mo­

I sistemi viventi, al pari di al tr i sistemi che trasmettono informazioni, si lecola. Il D iavoletto poteva aprire e chiudere il foro in modo da consentiretrovano di fronte al problema del «rumore». Possono avvenire errori, con e­ soltanto il passaggio delle molecole piu veloci da A a B e di quelle piu lenteventuale alterazione dell'informazione genetica. Una codificazione sofisticata da B a A. Cosi facendo, il Diavoletto, senza spendere lavoro, eleverebbe la tem­può servire a ridurre l'effetto del «rumore», ma essa, come si è visto, significa peratura di B e abbasserebbe quella di A, in contrasto con la seconda leggeil raggiungimento del punto di equilibrio tra entropia e ridondanza. della termodinamica.

Si possono distinguere due metodi per incrementare la ridondanza : il primo In un articolo di Szilard [ tgzg] si proponeva di risolvere il paradosso inconsiste nell'uso di segnali non equiprobabili (come già osservato, l'entropia base alle seguenti considerazioni: il Diavoletto è capace di violare la secondaè massima quando tutti i segnali o eventi sono equiprobabili ) ; l'altro consiste legge soltanto perché possiede informazioni particolareggiate sullo stato delnel far dipendere le probabilità dei segnali dalla loro localizzazione in una se­ sistema, informazioni che di solito si suppongono inottenibili applicando con­r ie di segnali. In un l inguaggio naturale si riscontrano entrambi i t ip i di v in­ siderazioni statistiche. Di fatto, i l D iavoletto si serve delle informazioni allocolo. Nella lingua inglese la lettera e è molto piu frequente della lettera x (pri­ scopo di diminuire l'entropia del sistema; in altre parole, secondo Szilard, ilmo metodo) ed è assai probabile che la lettera q sia seguita dalla lettera u (se­ Diavoletto trasforma informazioni in negentropia. Szilard si serve del terminecondo metodo). Laddove il pr imo metodo riduce la quantità d'informazione 'informazione' nel suo senso comune, pre-matematico. La sua soluzione sem­

trasmissibile da un dato gruppo di segnali, il secondo contribuisce alla ridon­ bra acquistare una maggiore precisione e chiarezza grazie alla definizione shan­danza e quindi all'affidabilità del codice, senza ridurre la quantità d'informa­ noniana d'informazione, secondo cui entropia e informazione sono effettiva­zione potenziale, al solo costo di una maggiore lunghezza dei messaggi. mente espresse dalla stessa funzione matematica. Sembra inoltre che sia suf­

Nel suo libro la Gatlin dimostra che un'analisi di questo genere può for­ ficiente identificare la costante nella definizione di Shannon con la costante dinire una misura evolutiva. Ella ha calcolato la ridondanza nella sequenza del Boltzmann per consentire di misurare l'informazione in unità termodinamiche.DNA di vari organismi e ha scoperto che la posizione di un organismo sulla Siffatto pareggiamento di unità è stato criticato per la sua arbitrarietà, soprat­scala evolutiva è funzione diretta della ridondanza introdotta. Secondo quest'a­ tutto tenendone presente l'incapacità di funzionare in molti dei casi a cui si puònalisi, è probabile che l'evoluzione abbia avuto inizio con sequenze casuali di applicare la teoria dell'informazione (e non la termodinamica). Nondimeno,DNA ; in seguito, sono stati imposti dei vincoli tali da accrescere l'esattezza del­ la possibilità stessa del pareggiamento delle unità ha incoraggiato ulteriori sforzil'informazione genetica. Mentre i sistemi viventi inferiori impiegarono il primo tesi al raggiungimento di un' idea unificata dell'entropia.metodo, pagando il prezzo di una ridotta capacità d'immagazzinare informa­ Il paradosso di Maxwell è risolto dalle considerazioni di Szilard soltantozioni, negli organismi superiori si consegui una piu elevata ridondanza attra­ a patto che si dimostri che l'azione del Diavoletto produce in realtà piu entro­verso il secondo metodo. pia di quella che va perduta per il processo di classificazione, cosicché l'entro­

pia dell'intero sistema aumenti, in accordo con la seconda legge (il Diavoletto

3.4. Entropia e informazione in fisica.dev' essere trattato come essere vincolato alle leggi della fisica; in caso contra­rio la sua attività si colloca al di là della portata della scienza e non può pro­

Discussa la significatività del concetto di entropia nell'analisi statistica del­ porre un problema scientifico ). Un'analisi dettagliata dell'azione del Diavo­l'informazione, e stabilita l'analogia formale tra entropia definita secondo la letto è condotta da Brillouin [rg6z], il quale argomenta che il Diavoletto, permeccanica statistica e secondo la teoria dell'informazione, è ora possibile cer­ scoprire le singole molecole, deve introdurre nel sistema un agente distruttorecare legami piu'sostanziali tra i due concetti di entropia. È abbastanza interes­ dell'equilibrio. Ad esempio, egli può servirsi di una torcia, che rappresentasante che la possibilità di una reale connessione tra informazione ed entropia una fonte di energia «ordinata» o entropia negativa. L'autore dimostra quindisia stata suggerita molto prima che Shannon proponesse la sua teoria mate­ che la seconda legge della termodinamica è sempre soddisfatta a patto di con­matica dell'informazione e prima che il concetto di entropia fosse usato al di siderare come sistema termodinamico l' insieme costituito dal sistema e dallafuori della fisica. fonte esterna di radiazioni.

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3.5. Entropia e misura. 3.6. Un'osservazione metodologica.

Brillouin riesce anche a generalizzare i suoi risultati a tutti i casi di misura Un altro r i l ievo sulla teoria dell'informazione e sulla meccanica statisticafisica. Ogni misura fisica implica un aumento dell'entropia del sistema in cui fu avanzato da Jayness [r957].si realizza la misura. Ogni guadagno d'informazione ottenuto con la misura viene Per raggiungere il suo scopo, cioè la riduzione del comportamento macro­quindi pagato con un aumento di entropia. Se i nostri risultati sperimentali sono scopico a quello microscopico, la meccanica statistica dovette fare varie ipotesimolto precisi, se ne deduce una maggior quantità d'informazione, ma il pe­ preliminari relative al comportamento dei microsistemi. La teoria dell'infor­daggio in negentropia è proporzionale all'esattezza dei risultati. Vi sono rigo­ mazione ci pone in grado di giustificare alcuni di questi presupposti. Ad esem­rosi limiti pratici all'accuratezza delle osservazioni, in una certa misura simili pio: la meccanica statistica dovette attribuire uguali probabilità a priori allealle, ma indipendenti dalle, relazioni d'incertezza nella meccanica quantistica. configurazioni fondamentali. A giustificazione dell'ipotesi s'invocò il pr inci­Una completa accuratezza matematica è in l inea di pr incipio i r realizzabile. pio laplaciano della ragione insufficiente, per cui si possono assegnare proba­Proprio questo risultato in particolare è considerato da Brillouin tale da sta­ bilità uguali ogni qualvolta non vi è motivo per fare diversamente. È chiarobilire la connessione tra termodinamica e teoria dell'informazione: informa­ che questo criterio è alquanto insoddisfacente. La riuscita della teoria dell'in­zione ed entropia sono strettamente legate in ogni esperimento realizzato e formazione di Shannon risiede proprio nella sua capacità di darei un criterioobbediscono alla seconda legge generalizzata della termodinamica, che pone oggettivo per la quantità d'incertezza (o entropia) rappresentata da una distri­in relazione guadagno d'informazione e aumento di entropia. buzione di probabilità. Ne deriva che l'unica attribuzione razionaleimparziale

I risultati di Br i l louin e di altr i operatori del settore indicano che la rela­ di probabilità a priori è quella che massimizza l'entropia (l'incertezza) soggettezione tra entropia e informazione è piu intima di quanto avrebbe potuto la­ all'informazione di cui si dispone. Laddove nel comune approccio statisticosciare presupporre il dualismo formale. Pur non potendo pretendere che l'en­ la teoria si andò edificando .sulla base di equazioni meccaniche e attribuzionetropia termodinamica coincida con l'entropia matematica di un messaggio, si arbitraria di probabilità uguali, e l' identificazione dell'entropia giunse in de­può affermare che — se si riesce a esprimere l'informazione ottenuta da un'o­ finitiva per confronto della teoria statistica con la termodinamica classica, pren­perazione fisica (ad esempio una misura) in termini d ' incertezza ridotta su dendo a fondamento la teoria dell'informazione si può iniziare con il concettouna o piu delle variabili fisiche — si stabilisce una relazione matematica inva­ di entropia e servirsi della funzione di distribuzione che massimizza l'entropiariante tra la quantità d'informazione ricavata e la quantità di entropia prodotta, soggetta a determinati vincoli. La teoria dell'informazione fornisce cosi una

È pur vero che nelle discussioni in proposito spesso si sono introdotte mol­ giustificazione metodologica ai metodi della meccanica statistica.te formulazioni imprecise. Ad esempio si è sovente detto che l'entropia di unsistema fisico è una misura della nostra mancanza di conoscenza sul sistema.Ciò equivarrebbe a interpretare l'entropia termodinamica come una quantità Aspetti filosofici.del tutto soggettiva, esprimente soltanto una condizione mentale. Vari fi losofi,in particolare Karl Popper, hanno a ragione criticato simili interpretazioni sog­ 4.r. La direzione del tempo.gettiviste. L'entropia di un sistema fisico non è piu soggettiva di qualsiasi altrasua caratteristica fisica. Ciò è confermato dalle definizioni classica e statistica Una delle piu fondamentali intuizioni della mente umana sembra esseredi entropia. Ma Popper sbaglia nel concludere che informazione ed entropia il fatto che il tempo si diversifichi dallo spazio sostanzialmente per il posses­possano essere associate soltanto su basi soggettivistiche. La lunghezza di un so di una direzione. A differenza dello spazio, considerato isotropo, ossia privooggetto fisico è forse la piu oggettiva delle variabili fisiche che possiamo de­ di una direzione preferita, i l tempo pare avere un'asimmetria intrinseca. Ilfinire. Tuttavia nel misurare la lunghezza, nell'ottenere informazioni su di essa, percorso da «precedente» a «successivo» è considerato irreversibile. Vi sonosi è vincolati dalla seconda legge generalizzata della termodinamica, formulata due diverse interpretazioni filosofiche di questa fondamentale intuizione: la sida Brillouin, secondo la quale è possibile ottenere informazioni soltanto a spese può ritenere un aspetto soggettivo del modo umano di concepire il fenomeno,della negentropia, anch' essa variabile fisica oggettiva. La relazione tra entro­ privo di realtà oggettiva, oppure la si può considerare una caratteristica in­pia e informazione non è quindi affatto soggettiva, nella misura in cui si evitano trinseca della natura. Benché il secondo punto di vista sia piu diffuso tra iformulazioni soggettive inesatte. profani come tra gli scienziati, alcuni eminenti filosofi aderirono al primo. Spi­

noza, ad esempio, sostenne che «tempus non est affectio rerum sed merusmodus cogitandi» Se si accetta la seconda prospettiva, vale a dire se si dàalla differenza tra tempo e spazio il valore di fenomeno oggettivo, si possono

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ancora adottare due atteggiamenti diversi: valutare l'idea di tempo come con­ legge ha ancora un contenuto empirico. È opinabile se questa costruzione fi­cetto primario, del quale l'asimmetria o la d i rezione è una caratteristica, o losofica migliori realmente la nostra comprensione della freccia del tempo.cercare di ridurre la direzione del tempo ad altri concetti piu semplici o meglio 8) Non tutti i processi coinvolgono un aumento di entropia. I processi re­conosciuti. Per effettuare questa riduzione è necessario scovare un principio versibili non alterano l'entropia del sistema in cui hanno luogo. Un sistemaimplicante una fondamentale asimmetria o anisotropia, ed è a questo punto già in equilibrio non aumenterà ulteriormente la sua entropia. La definizioneche entra in ballo il concetto di entropia. Come si è notato, l'idea che i feno­ di Eddington implica che per questi processi il tempo sia isotropo o — permeni naturali puntino in una certa direzione si materializza nella seconda legge usare le sue parole — perda la sua freccia. Ancora una volta la conclusione è

della termodinamica. Irreversibilità e aumento di entropia sono concetti inse­ contraria all'intuizione e getta dei dubbi sul valore della definizione.

parabili nella spiegazione classica come in quella statistica. Sembra perciò del 4) Eddington pensava che l'aumento di entropia fosse l'unico fenomenotutto naturale che i tentativi di ridurre la direzione del tempo ad altri principi naturale in grado di assicurare un terreno solido per la determinazione dellafisici si siano appellati alla legge dell'aumento dell'entropia. direzione del tempo. Per tutte le branche della fisica, termodinamica esclusa,

L'identificazione della direzione del tempo con la direzione della variazione un asse isotropo del tempo è suffiiciente. Tuttavia alcuni hanno rilevato (addi entropia ebbe origine negli scritti di Boltzmann e in seguito è stata raccolta esempio Lewis, Popper, Costa de Beauregard) che l'irreversibilità non è ca­e ridotta a sistema da vari filosofi, tra cui Arthur Eddington nel suo libro The ratteristica esclusiva della termodinamica. Un tipico esempio di irreversibilitàNature of the Physical N~orld [i9z8]. Eddington propone di definire la rela­ al di fuori della termodinamica è la propagazione di un'onda in circoli concen­zione «piu tardi di» in termini di aumento di entropia: di due stati, quello trici attorno a una pietra gettata in uno stagno. Il processo inverso — un'ondacon entropia maggiore è il successivo. La «freccia del tempo» (metafora di di contrazione — non si osserva in quanto le condizioni che lo provocherebberoEddington per descrivere l'asimmetria tra direzioni temporali positiva e ne­ sono molto improbabili. Sulla scorta di esempi di questo tipo, taluni autorigativa) si spiega, o si riduce, alla «freccia» dell'entropia crescente. traggono la conclusione che l'irreversibilità non è un elemento sufliciente per

Si presentano immediatamente varie difficoltà: la definizione della direzione del tempo, mentre altri sostengono che la secon­i ) L'entropia è sempre definita per un particolare sistema fisico. La dire­ da legge della termodinamica è soltanto una delle varie manifestazioni dell'ani­

zione del tempo, secondo la definizione di Eddington, si applicherà perciò an­ sotropia del tempo. In entrambi i casi si rifiuta la relazione esclusiva tra entro­che a sistemi isolati, perdendo cosi apparentemente la sua generalità. È possi­ pia e freccia del tempo.bile sormontare tale difFicoltà definendo la direzione del tempo sulla base del­ 5) La quinta difficoltà è forse la piu grave. Si è visto che la seconda leggel'aumento di entropia nell'intero universo, ma non è facile giustificare una della termodinamica viene oggi considerata una legge statistica. L'entropia disimile estrapolazione del concetto di entropia (cfr. oltre, ) 4 .g). Inoltre, si un sistema chiuso subisce fluttuazioni : è ben lungi dal crescere sempre. L'ani­supponga di avere due sistemi A e B e si ipotizzi che lo stato entropico S (A)i sotropia del tempo, d'altra parte, almeno secondo la nostra concezione intui­sia contemporaneo allo stato S (B),. Se si verifica il caso di uno stato S (A)~ con­ tiva, non sembra avere fondamenta statistiche. La r iduzione appare quinditemporaneo a uno stato S (B), e tale che S(A)~) S(A)„ma S(B).,(S(B)n allora insoddisfacente. Per apprezzare la forza di questo argomento si riesamini illa definizione della direzione del tempo è inconsistente. È quindi necessaria paradosso di Zermelo, discusso nel ) z: la conclusione è stata che il paradossouna prova della consistenza della nostra definizione. non invalida la seconda legge e che non si ha contraddizione tra l 'opinione

z) La seconda legge della termodinamica sembra perdere la sua connota­ di Boltzmann, secondo la quale gli stati di entropia elevata sono piu probabili,zione di legge fisica, riducendosi a una tautologia. Dato il concetto di t empo e il teorema della periodicità di Poincaré. Tuttavia il paradosso costituisce sem­anisotropo, la seconda legge ha un contenuto chiaro : essa afferma che l'entro­ pre un ostacolo alla definizione entropica del tempo. Un sistema chiuso devepia aumenta col tempo, ovvero predipe che se fosse possibile osservare un siste­ alla fine ritornare a un determinato stato iniziale, e quindi non si evolve con­ma dopo un certo tempo, probabilmente lo si troverebbe in uno stato di entropia tinuamente nella medesima direzione. Zermelo argomenta cosi che nella mi­maggiore. Controprove alla legge saranno sistemi caratterizzati da un'entropia surazione dell'entropia di un sistema è impossibile dedurre che il sistema siin costante diminuzione col tempo. Ma, se si definisce la relazione «piu tardi di » sia in precedenza trovato in uno stato di entropia piu bassa. È possibile chein termini di aumento di entropia, non vi sono leggi, né previsioni, né contro­ il sistema avesse prima un'entropia maggiore e che ora si trovi in fase di diminu­prove possibili. Gli stati di entropia piu bassa dovranno essere considerati pre­ zione entropica, ritornando a un certo stato iniziale. Ne consegue l'impossibilitàcedenti per definizione. di dedurre la direzione del tempo dal comportamento entropico del sistema.

È possibile rispondere parzialmente a questa obiezione in modo da risol­ Reichenbach [ i9g6] e Grunbaum [r968], difensori della definizione en­vere anche il problema della consistenza. Si può attribuire alla seconda legge tropica di anisotropia, si dànno entrambi un gran da fare per rispondere adella termodinamica il valore di principio empirico che garantisce la consisten­ qucst'argomentazione. Trascurando molti dei particolari della discussione, l'i­

za della definizione della direzione del tempo, Cosi la definizione è salva e la dea centrale della loro soluzione è la seguente: essi ammettono che la dire­

Entropia 49o 49 I Entropia

zione del tempo non sia deducibile dal comportamento di un sistema chiuso, Si ritiene che lo stesso criterio valga per i sistemi viventi, Di fatto si puòma al contempo sostengono che i sistemi fisici reali sono soltanto quasi-chiusi calcolare il bilancio entropico in alcuni casi semplici, per i quali si può dimo­e solo per periodi di tempo relativamente brevi; prima o poi essi interagiscono strare l'assenza di violazione della seconda legge. Ad esempio è possibile alle­con l'ambiente esterno. Osservando un sistema fisico reale possiamo perciò vare batteri in una soluzione di glucosio e prodotti minerali. Dopo alcuneignorare la possibilità che abbia rivestito il carattere di sistema chiuso per un ore la soluzione conterrà un gran numero di batteri. Durante il processo, unaperiodo sufficiente a completare un ciclo secondo quanto richiede il teorema parte dello zucchero si trasforma in costituenti cellulari (ossia diminuisce ladi Poincaré. Se ad esempio accade d'imbattersi nottetempo in una roccia calda, propria entropia), mentre il resto si ossida ad anidride carbonica e acqua (ov­è molto piu ragionevole dedurre che essa sia stata in precedenza riscaldata vero aumenta la propria entropia). Facendo un dettagliato bilancio entropicograzie all'interazione con un altro sistema — il Sole — e che attualmente sia in (a questo scopo si deve effettuare l ' intero esperimento in un calorimetro ),fase di raffreddamento, piuttosto che supporre di osservare una fluttuazione si può dimostrare che l'entropia del sistema globale in effetti subisce un au­in un sistema chiuso e un processo di diminuzione dell'entropia della roccia. mento. La riproduzione di un sistema vivente non offre perciò prove contra­Per quanto l'argomento sia valido, e benché Eddington avesse ragione a far rie alla seconda legge.rilevare che in presenza dei grandi numeri i l caso è la migliore garanzia di Un problema piu intricato è sollevato dal fenomeno dell'evoluzione in ge­certezza, è nondimeno possibile porre in dubbio, insieme a Carnap, la legitti­ nerale. L'evoluzione organica sembra costituire un processo irreversibile in­mità dell'assunzione di una corrispondenza statistica, per quanto elevata, come dirizzato verso una maggiore complessità e un piu elevato ordine, Non è forsebase per una definizione teorica. una prova sensazionale contro la validità generale della seconda legge? Non

In considerazione di tutte le difFicoltà con cui si scontra la definizione en­ esiste una risposta empirica immediata al problema. Non si dispone di mezzitropica della direzione del tempo, sembra ragionevole trarre la seguente con­ per valutare il bilancio entropico dell'intera storia dell'evoluzione. È però pos­clusione: sinora non è stata conseguita una riduzione soddisfacente della frec­ sibile aggirare la difficoltà: il punto di partenza dei cambiamenti evolutivi bio­cia del tempo alla freccia dell'entropia. È comunque possibile difendere una logici è rappresentato dalle mutazioni nella struttura del DNA (si tralascia intesi filosofica piu l imitata, nel senso che l'aumento di entropia costituisce la questa sede il problema della creazione del primo sistema vivente ). In moltimigliore manifestazione della freccia del tempo nel mondo fisico. In termini casi queste mutazioni si sono dimostrate reversibili. I l meccanismo che intro­piu pittoreschi: un uomo che perdesse improvvisamente la coordinazione nel duce l'irreversibilità nel processo dell'evoluzione, secondo la teoria di Darwin,tempo, il senso del passato e del futuro, potrebbe adoperare stati di entropia è la selezione naturale. Non possiamo quindi vedere nell'ordine crescente lun­crescente come segnali indicatori per riorientarsi, e cosi facendo con ogni pro­ go il percorso evolutivo l'espressione di una tendenza ad aumentare l'ordine.babilità si troverebbe in ottimo accordo col resto dei membri della sua società, Soltanto attraverso la selezione alcune mutazioni persistono e altre scompaiono,che si servono della propria freccia interna del tempo. senza che venga in alcun modo violata la seconda legge. Questa risposta cer­

tamente soddisfa il riduzionista che crede nella riduzione delle leggi biologiche

4.z. Entropia ed evoluzione. a leggi fisiche. Tuttavia alcuni biologi e filosofi rifiutano di accettare l'ipotesie credono nell'esistenza di «leggi biotoniche» che, tra le altre cose, governano

I sistemi biologici sembrano a prima vista violare la seconda legge della l 'evoluzione mediante meccanismi diversi dalla selezione naturale. Esula da

termodinamica. Essi sono capaci di conservare le proprie strutture estrema­ questo articolo la discussione approfondita di queste opinioni.mente ordinate e di r iprodurle con grande precisione; non si evolvono nelladirezione del disordine crescente o entropia crescente. Tuttavia questa con­ 4 3 Morte termica dell umveisotraddizione è soltanto apparente. I sistemi biologici sono sistemi aperti chescambiano costantemente-energia con l'ambieiite. Si deve calcolare il bilancio Si è ripetutamente fatto rilevare che il principio di aumento dell'entropiatotale dell'entropia nel sistema chiuso, includendo sia l'organismo sia l'am­ si applica esclusivamente ai sistemi chiusi (quello di sistema chiuso è natural­biente; ma in questo caso si può dimostrare che la seconda legge vi ne rigo­ mente uno dei concetti idealizzati della scienza, nella realtà pratica solo ap­rosamente osservata. Una diminuzione locale di entropia in un punto del si­ prossimabili ). Il problema che ha reso perplessi gli scienziati sin da quandostema è compatibile con la seconda legge nella misura in cui è equilibrata da Clausius annunziò il suo principio è i l seguente: si può considerare l'interoun aumento uguale o maggiore in altre parti del sistema. La cristallizzazione universo come sistema chiuso> Si può supporre che la seconda legge delladi una soluzione satura costituisce un esempio di diminuzione locale di entro­ termodinamica significhi che l'entropia dell'universo tende a un massimo? Ri­pia. La perdita di entropia nella cristallizzazione è bilanciata da un passaggio spondendo positivamente, come fece lo stesso Clausius, ne consegue che l'e­di calore dalla fase cristallina alla soluzione. L'entropia del sistema, come entità nergia da un capo all'altro dell'universo subisce una degradazione e che avre­globale, aumenta. mo a disposizione una quantità via via minore di energia utile. Lo stato finale

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Entropia 49z 493 Entropia

di entropia massima provocherebbe quello che Clausius defini Warmetode, la pia subi un cambiamento radicale nel corso del suo sviluppo. L'entropia èsmorte termica» dell'universo. L 'unica forma di energia esistente in quello divenuta una misura statistica del grado di ordine di un sistema e il principiostato sarà energia termica a temperatura costante, inutile quanto una completa di aumento dell'entropia ha acquisito le caratteristiche di un pr incipio stati­assenza di energia. In queste condizioni la vita sarebbe assolutamente impossi­ stico. Le nuove basi della teoria crearono nuove applicazioni e nuovi proble­bile. mi e la termodinamica, nella sua nuova forma, divenne oggetto delle attenzioni

Alcuni fisici contemporanei di Clausius rifiutarono di accettare una visione piu del teorico che dell'ingegnere. È abbastanza interessante il fatto che uncosi severa, basata su un'estrapolazione del concetto di sistema chiuso. In una nuovo capitolo nella storia del concetto abbia avuto origine con un semplice sag­breve lettera al «Philosophical Magazine», nel tggz, William Rankine propose gio intitolato The jVlathematical Theory of Communication[Shannon e Weaverche la degradazione dell'energia nel nostro settore di universo si accompagni i949] ad opera di uno scienziato rivolto soprattutto a problemi tecnici. I la un processo di r iconcentrazione o rifocalizzazione dell'energia in qualche concetto di entropia si è nuovamente trasformato in un altro concetto, iden­altra parte. tico nel nome, ma diverso nel contenuto che esprime. Di nuovo si dovettero

Nonostante i grandi sviluppi in astronomia e in astrofisica, la questione stabilire legami tra i l nuovo concetto di entropia e quelli vecchi. Alcuni dinon è ancora risolta. Le prove paiono aperte a piu di un' interpretazione. Ad questi legami sono soltanto formali, altri piu sostanziali. E, come già accadutoesempio, il modello dell'universo in espansione, apparentemente confermato in precedenza, il nuovo contenuto del concetto ha aperto un i n tero campodallo spostamento verso il rosso della luce che perviene alla Terra da stelle di nuove applicazioni [cfr. Kubát e Zeman i975].distanti, da un lato è coerente con un inizio definito dell'universo nel tempo Il concetto di entropia non è l'unico concetto scientifico che nell'evoluzionea partire da uno stato di bassa entropia, ma dall'altro lascia spazio ad argomen­ storica abbia subito cambiamenti e trasformazioni. La storia della scienza ab­tazioni sulla scarsa legittimità del considerare l'universo come un sistema chiu­ bonda di al tr i esempi. Due caratteristiche sembrano tipiche dell'evoluzioneso [Katchalsky e Curran i965 ]. dei concetti scientifici fondamentali: da un lato vi è i l p rocesso dell'unifica­

Il problema non è affatto semplificato dall'interpretazione statistica dell'en­ zione di gruppi sempre piu ampi di fenomeni nello stesso schema concettuale;tropia. Si può ragionare sull'eventuale salvezza dell'universo dalla morte ter­ dall'altro diviene chiaro che ogni estensione di una teoria implica un mutamentomica grazie a una fluttuazione dallo stato di massima entropia, ma è impossi­ della teoria stessa, e che occupandosi della storia di un concetto scientificobile esprimere la probabilità di una fluttuazione abbastanza lunga da conti­ si ha in realtà a che fare con un'intera famiglia di concetti che, come i membrinuare o sviluppare nuovamente la vita. È possibile che i l nostro intorno di di una stessa famiglia, portano lo stesso cognome, hanno una certa somiglianza,universo sia un'ampia fluttuazione in un universo in equilibrio e che — ri­ ma nondimeno non sono copie dello stesso individuo. Ciò che Wittgenstein hastabilito l'equilibrio nella nostra zona — abbia inizio altrove un'altra fluttua­ sottolineato in relazione ai concetti del nostro linguaggio ordinario vale certa­zione. Al momento ci si deve l imitare alle speculazioni: una teoria termodi­ mente anche per i concetti scientifici. [Y. E. e Y. B.-M.].namica scientifica dell'intero universo sembra fuori portata.

4.4. Il concetto di entropia e la valutazione della scienza.Boltzmann, L,

A conclusione dell'articolo, è opportuna una breve rassegna dell'evoluzione t896-98 Vor i esungen uber Gastheorie, Bsrth, Le ipz ig.

del concetto di entropia come capitolo nella storia della scienza. Come si è Brillouin, L.t96z Sci e nce and lnformation Theovy, Academio Press, New York t96zs.

visto, il concetto emerse dagli studi d i u n i n gegnere interessatoai motoriCarnot, S.-N.-L .

termici. All 'epoca di Carnot non si poteva immaginare che le sue Régexions, tgzg Ré f lexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développcr cetteper quanto brillanti, avrebbero dato vita a un principio che si colloca tra quelli puissance, Bachelier, Paris.

scientifici fondamentali. Tut tavia non ci vo l le molto per rendersene conto. Clausius, R.

Con Clausius, i risultati Pi Carnot sono già elevati al rango di principio alli­ t86e,-67 Abh andlungen iiber die mechanische Warmetheorie, z vol i ., Vieweg, Braunschweig.

neato al principio di conservazione dell'energia. Il principio è divenuto il fon­ Eddington, A. S.

damento di una nuova branca della scienza, la termodinamica. Tuttavia lat9z8 The Na t ure of the Physical World, Cambridge University Prese, Cambridge.

termodinamica, al pari di qualsiasi altro ramo della scienza, non poteva restare Fast, J. D.t9S9 Entropie; de betekenis van het entropiebegrip en j in t oepassingen in toetenschap en tcch­

una teoria isolata, ma doveva essere collegata ad altre teorie fisiche. Essa ri­ nick, Centen, Hi lversum t959 ; t rsd. ted. Philips' Technische Bibliothek, Eindhoven

chiedeva fondamenti piu particolareggiati e doveva essere applicata a nuovi 1960.

problemi. Cosi, in conseguenza della ricerca di un legame tra termodinamica Gstlin, L. L.

e meccanica, si sviluppò la teoria statistica dell'entropia. Il concetto di entro­ l972 (s cura di) In fo rmation Theory and the Liv ing System, Columbia Un iversity Press,New York snd London.

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Mentre la meccanica classica (cfr. fisica), fondata su leggi di conservazione/inva­

rianza, supponeva un'equivalenza nell 'ordine di produzione dei fenomeni (cfr. feno­meno), in tutti i processi unidirezionali (cfr. reversibi l i tà / i r reversibi l i tà), come certifenomeni di propagazione, l'entropia non può che aumentare (cfr. ordine/disordine).Ciò significa che gli stati di entropia piu elevata sono piu probabili (cfr. probabilità) di

quelli con entropia meno elevata, ovvero che c'è equilibrio (cfr. equil ibr io/squil ibrio)quando un sistema oscilla intorno allo stato piu probabile (cfr. stato fisico). L'entropia,

interpretata dapprima in termini finalisti, ha potuto essere spiegata (cfr. spiegazione),grazie alla meccanica statistica, a partire dal moto delle particelle (cfr. particella, ato­mo e molecola). In seguito, assegnando una funzione d'entropia a ciascuna distribu­zione di probabilità (cfr. distribuzione statistica) indipendentemente dai contesti fisici,si è costruita una teoria (cfr. teoria/modello) dell' informaz ione in cui l 'entropia ne èla misura — l'informazione cresce con l'entropia e, inversamente, ogni vincolo compor­ta una perdita d'informazione (cfr. comunicazione, codice, linguaggio) — ed è statopossibile interpretare i sistemi viventi (cfr. vita) come un sistema di trattamento dell in­formazione (cfr. eredità, gene). L' importanza esplicativa del concetto di entropia è incontinua crescita (cfr. paradigma) : si pensi al ruolo considerevole che ha assunto nelleattuali discussioni sulla direzione del tempo (cfr. tempo/temporalità, ciclo), sull orga­

)

nizzazione e sull 'evoluzione del v ivente e sulla «morte termica» dell'universo (cfr.

cosmologie, energia).

Fisica

i. Gen eralità.

Secondo le vecchie definizioni le scienze della materia inanimata erano es­senzialmente due, la 6sica e la chimica. La prima trattava dei fenomeni na­turali su grande scala, la seconda riguardava le relazioni tra corpi puri (o «so­stanze chimiche»), in particolare le loro trasformazioni gli uni negli altri.

L'evoluzione delle conoscenze ha reso antiquata questa suddivisione. Oggi,in conformità coli'etimologia, per fisica (dal greco cpucrt,q 'natura' ) s'intendein generale la scienza che ha per oggetto l'insieme di quei fenomeni che co­munemente vengono detti naturali, ivi compresi quindi anche quelli chimici.La nozione generale di fisica comprende dunque attualmente, oltre alla chi­mica, anche la meccanica — a torto considerata in precedenza come un ramodella matematica —, nonché la maggior parte dell'astronomia (astrofisica).Ne restano fuori, con lo status di scienze distinte e autonome, alcune disci­pline di carattere essenzialmente descrittivo come la geologia e le scienze del­la vita e della coscienza. Per quel che riguarda queste ultime, non ci si puòancora pronunziare nemmeno sulla questione se i loro principi siano o menoriducibili a quelli della 6sica intesa nel senso appena specificato. La questio­ne è sicuramente una delle piu appassionanti, ma le indicazioni di cui si di­spone sono ancora troppo frammentarie — e insieme troppo ambigue — perautorizzare una qualsiasi presa di posizione su questo punto; in realtà essenon autorizzano nemmeno ad affermare che la questione sia ben posta, comesi potrebbe constatare proprio in questo articolo.

La definizione di fisica appena data si riferisce — come si può vedere­all'oggetto studiato; ma, come si può facilmente constatare, coincide all'in­circa con quella che se ne potrebbe dare in relazione al metodo. Tra le scienzeempiriche la fisica è quella che piu delle altre utilizza la matematica — e deveutilizzarla — nella formulazione delle proprie leggi.

Le de6nizioni e le asserzioni che precedono suscitano indubbiamente uncerto numero di domande. La prima, forse la piu importante, quella piu difondo comunque sotto il profilo filosofico, si può formulare cosi: «Cos'è in­6ne la Natura? o Ovvero: «Che cos'è un fenomeno naturale?» È scontato chel'Uomo non goda di una conoscenza diretta della realtà. Per cercare di cono­scerla deve dunque osservare e, se mira alla precisione, deve misurare. Cosi„quel che conosce con certezza, rome i filoso6 a buon diritto hanno da un pez­zo sottolineato, è esclusivamente il risultato di tali osservazioni o di tal i mi­sure. Come andrà dunque concepita una scienza della Natura? Una doman­da del genere pone, evidentemente, il problema della relazione tra l'uomo ela realtà, Si tratta di un problema antico, che agli albori delle moderne scien­ze matematiche Descartes aveva colto con chiarezza, ma che i fisici r iusci­rono però per lungo tempo ad evitare: cosa che oggi, con il progresso delle

Fisica 224 225 Fisica

conoscenze riguardanti la struttura intima della materia, non sembrano piu naturale a distinguere dai predecessori Talete e i pensatori della sua scuola.poter fare, Prima di loro le spiegazioni del mondo si configuravano, in modo piu o meno

Una seconda domanda che sorge con la nostra de6nizione della 6sica è: netto, come genesi, cioè come racconti fondati su nozioni radicalmente antro­«Pur ammettendo che ci sia una concezione accettabile della nozione di Natu­ pomorfe. In questi racconti la natura delle cose e della loro totalità, l 'uni­ra e che si sia trovato un accordo sulla nozione di "scienza della Natura" in ge­ verso, era spiegata con un semplice riferimento all'esistenza di una o di mol­nerale, in che misura sussiste davvero l'unità di questo sapere circa la natura»? teplici volontà sovrumane. Nella civiltà occidentale un'idea diversa e alterna­

Una terza domanda riguarda in6ne il ruolo della matematica nella fisica. tiva rispetto a questa su basi antropomorfiche appare per la prima volta, sem­Si è visto come un tal ruolo sia essenziale e, per cosi dire, «costitutivo»: ma bra, nella Ionia ed è appunto quella che consiste nel conferire un'importanzain che cosa consiste esattamente? particolare alla nozione di una sostanza universale e permanente, non speci­

Ogni analisi della fisica contemporanea deve tenere presente sin dall'ini­ 6camente «spirituale», ma dotata di strutture anch' esse permanenti o per lozio l'esistenza di queste tre domande: bisogna essere consapevoli del fatto che meno stabili. Mancavano allora, beninteso, i termini att i a esprimere conce­tutte e tre sono domande complesse e ammettono solo risposte sfumate: al­ zioni di un tal l ivello di astrazione, che di conseguenza non furono in gradotrimenti c'è il rischio di partire sulla base d'idee false e di dover poi procedere di affermarsi immediatamente con chiarezza. Ancora prigioniero di una con­a difficili revisioni concettuali. D'altra parte le risposte a queste domande non cretezza che ci appare oggi ingenua, Talete affermava che «tutto è acqua».vanno cercate a priori. Conviene procedere guardando alla fisica quale è oggi. Ma assai presto dopo di lui comparve la dottrina dei quattro elementi e dellaIn questo articolo si affronteranno quindi tali domande solo in un secondo tendenza spontanea dei corpi a tornare al luogo naturale. Quest'idea, cara adtempo (la seconda e la terza nel ( g ; la prima, che è la piu difficile, nel ) 4). Aristotele, doveva poi svolgere a lungo un ruolo di notevole importanza. Se

nei dettagli riveste per noi scarso interesse, dal punto di vista storico ha peròi l merito sostanziale di costituire uno dei pr imi esempi conosciuti di teoria

z. Br e ve profilo storico della fisica e del suo ruolo nell'evoluzione delle idee. scienti6ca. Si tratta cioè di un'idea generale da cui è possibile trarre dedu­zioni che si possono applicare ai fatti osservati e che comportano implicazioni

In un articolo come questo non si può presumere di riuscire a puntualiz­ verificabili: se queste ultime si rivelano contrarie all'esperienza, la teoria puòzare in modo imparziale e circostanziato, coi metodi dello storico delle idee, essere allora scartata. Fu quel che effettivamente accadde con la teoria deilo sviluppo nel corso dei secoli della fisica nel suo complesso. L'argomento quattro elementi, anche se solo molto piu tardi.è troppo ampio. D'altra parte, non c'è dubbio che un'autentica comprensione Il sorprendente pensiero della scuola ionica aveva intanto continuato il suodella natura dei problemi che riguardano la relazione Uomo-Natura, cosi cru­ sviluppo. La sua storia — e va notato, perché anche questo ha la sua importan­ciale per la fisica contemporanea, possa essere in larga misura facilitata dalla co­ za — mette in luce l'angustia intellettuale di quei nostri esteti che, abbagliatinoscenza preliminare del modo in cui questi problemi sono lentamente maturati dalla potenza industriale dei tempi moderni, non sognano altro che cementonella mente dei pensatori, filosofi o scienziati che fossero, áppure l'una cosa e armato e ingranaggi, ostentando un divertito disprezzo per la grazia e la bel­l'altra insieme (caso che si verificò di frequente). O meglio, pare evidente che a lezza. Coloro che per questo motivo si mostrano tanto sprezzanti verso la «gra­tale comprensione gioverà uno studio, sia pur succinto, dei modi in cui le idee zia ionica», in realtà ignorano che a questa Ionia «tanto aggraziata» e ai suoiinfluenzarono nel corso dei secoli le ricerche e i risultati ottenuti con tali ricer­ dintorni la nostra civiltà è debitrice proprio della sua potenza tecnologica!che modificarono a loro volta tali idee. Questo paragrafo vuole appunto delineare Quest'ultima si fonds infatti sia sulla matematica astratta — creata, come sem­un abbozzo, non esauriente, della storia di tali rapporti. bra, da Talete e da Pitagora di Samo — sia sulla 6sica, che affonda le sue radici

teoriche nel pensiero di Leucippo e Democrito, come pure in quello stesso

z.r. L'antichità. di Pitagora e dei suoi discepoli della Magna Grecia. Si tornerà in seguito sulleidee-forza dell'atomismo (cioè sulla dottrina di Leucippo e Democrito ) e su

E risaputo che le civiltà orientali, in primo luogo quella cinese, hanno for­ quelle del «matematismo», che deriva dall'atteggiamento intellettuale di Pi­nito importanti contributi alla fondazione della scienza e della tecnica. An­ tagora e anche, seppur in modo piu sfumato, da quello di Platone. Si trattache la civiltà maya aveva da parte.sua ottenuto, nel campo della misurazione di due concezioni estremamente differenti e, sotto un certo profilo, addirit­del tempo e dell'astronomia di posizione, risultati assai significativi. E tutta­ tura opposte, alle quali la 6sica deve pressoché tutto, anche se oggi deve invia nel complesso pare giusto, come fa la tradizione, far risalire al pensatore qualche misura oltrepassare sia l'una che l'altra. Ci si può qui l imitare allaionico Talete l'inizio tanto della scienza quanto della filosofia (è noto che per congettura che la loro origine nel paese della grazia e dell'equilibrio non siatutta l'antichità scienza e 61osofia non furono affatto divise). un puro capriccio del caso, ma riveli forse una profonda unità dello spirito

Si usa dire che è la scoperta, certamente ancora confusa, dell'idea di legge umano nascosta sotto l'estrema diversità dei suoi percorsi piu fecondi.

Fisica zz6227 Fisica

Salvo rare eccezioni, i Greci non praticarono la sperimentazione. L'ideadi tutte le cose», sembra fame un precursore dei positivisti, il cui ruolo nellodi creare artificialmente certe condizioni per isolare meglio un certo fenomeno sviluppo della fisica contemporanea è stato, come si vedrà, essenziale.

sembrava loro quasi una forma di violenza sulla Natura, tanto da considerarlaincompatibile con una sana concezione della misura che l'uomo deve tenerenelle proprie azioni. L 'assenza pressoché totale di sperimentazione colpisce 2.2. Rinascimento ed età classica (secoli xvi, xvn, xvm ).oggi come la lacuna piu sorprendente della scienza greca. I Greci facevano

Nel medioevo, epoca assai feconda di progressi tecnici, i pensatori si sfor­però delle osservazioni. Aristotele in particolare è da questo punto di v ista zarono di approfondire entro una visione cristiana del mondo i grandi pro­un notevole precursore, benché, soprattutto, per quel che concerne la biolo­

blemi filosofici ereditati dai Greci. Questi sforzi speculativi dettero luogo agia. Ma anche nel campo dell'astronomia l'osservazione portò a misure abba­

controversie rimaste celebri; ma alla fine di quest'epoca era ormai divenutostanze precise. A loro volta queste, congiunte a principi generali accettati per chiaro a molti che nessun progresso veramente decisivo ne era in definitival'evidente semplicità e per l'appagamento che la loro eleganza procurava allorisultato. Va attribuito almeno in parte al senso di stanchezza che si accom­spirito, dettero origine a cosmologie. Tra queste ultime va segnalata quellapagnò a questa situazione di fatto i l r i nnovarsi dell'interesse, manifestatosidi Aristarco di Samo, che era eliocentrica: secondo questo precursore di Co­nel Rinascimento, per le questioni legate all'esistenza terrena e quindi perpernico, è la Terra che gira intorno al Sole e non il contrario. L' ipotesi nonla Natura nel cui seno tale esistenza si sviluppa. È a partire dal xvi secolo chefu tuttavia recepita dai suoi contemporanei e, com'è noto, fu proprio la teo­ non pochi pensatori di pr imo piano cominciano a volgersi al particolare eria opposta, quella geocentrica, opportunamente rielaborata da Tolomeo d'A­al concreto: il lavoro dell'artigiano non è piu sottovalutato come nelle epochelessandria in modo da render conto delle misure ottenute per i p ianeti, cheprecedenti. In concomitanza a questa nuova situazione si riprende l'osserva­in definitiva s'impose per molti secoli.zione dei fenomeni naturali. E si comincia soprattutto a fare veri esperimenti.Nell'antichità la scienza non risulta nettamente distinta dalla filosofia. In

Per prima cosa, l'osservazione. Questa si esercita principalmente sulle stel­altri termini, le idee scientifiche sono fortemente condizionate dai presupposti le e sui pianeti, campo nel quale è fortemente stimolata dalle credenze astro­filosofici. A questo riguardo, Platone è stato sovente fatto oggetto di v ivacilogiche che fioriscono in questo periodo. È soprattutto Tycho Brahe che, met­critiche. Son critiche meritate nella misura in cui, convinto come era che datendo a profitto i piu recenti progressi tecnici, riesce a ottenere nel suo osser­

una parte le Idee fossero per definizione le sole entità autenticamente reali vatorio misure di alta precisione. E sono queste misure che permettono a Ke­e dall'altra che esse fossero direttamente accessibili al pensiero, Platone giun­plero di perfezionare l'ipotesi eliocentrica poco tempo prima riscoperta da Co­geva a considerare come fallace la realtà sensibile e di conseguenza la sua os­pernico. Le orbite della Terra e dei pianeti intorno al Sole si rivelano ellissiservazione come fonte d'inganno, quindi inutile, anzi dannosa. Ma da un altroe non cerchi. Questa perdita di semplicità, dunque di eleganza apparente (unapunto di vista il giudizio circa l'influenza che il pensiero platonico esercitaellisse è «meno bella» di un cerchio, avrebbero detto i Greci ), è tuttavia com­sulla fisica non può limitarsi alla sola critica in quanto proprio tale pensieropensata dal fatto che le caratteristiche delle traiettorie in questione, cosi comeha reso possibile un distacco dai dati immediati che sul lungo periodo si èquelle dei corpi celesti che le percorrono, obbediscono a regole semplici, quan­rivelato spesso benefico. Senza questo distacco, lo spirito umano avrebbe po­titative, esprimibili matematicamente. Da allora questo diventa il vero crite­tuto essere indebitamente indotto a tramutare l'oggetto sensibile in un asso­rio per giudicare la semplicità e l'eleganza di una teoria, e pertanto si affermaluto e quindi a esercitare la propria forza immaginativa nei ristretti l imiti diprogressivamente come l'indicazione a cui i l fi sico tende a conferire il pesoquanto può essere concepito con chiarezza sulla base dell'esperienza quoti­ maggiore nella ricerca di una teoria «vera».diana. Nelle sue memorie Heisenberg, giudicando il fatto non privo di signi­

Passando ora alla sperimentazione, è ovvio che si comincia citando Galileo.ficato, ricorda che quando., ancora studente, cominciò ad interessarsi al pro­ Egli non fu però un isolato. Come lui, o seguendo il suo esempio, parecchiblema della struttura degli atomi e della natura dei loro legami, i Dia loghi ricercatori non esitano in questo periodo a specializzarsi nello studio quanti­di Platone erano tra le sue letture preferite. Proprio il pensiero platonico l'am­

tativo, addirittura meticoloso, di uno o piu problemi specifici, malgrado talimoniva a non cadere nella tentazione d'immaginare come reali i ganci cheproblemi rivestano ancora scarsa importanza agli occhi dei filosofi. È in que­i manuali di chimica descrivevano con indulgente cura e che rappresentavano i le­ sto periodo che nasce veramente la fisica. Ben presto questi «specialisti» sco­

gami atomici. Senza dubbio i Dialoghi gli suggerivano anche che una rappre­ prono con loro grande meraviglia non solo che il loro modo di procedere lisentazione matematica piu astratta di questi legami aveva maggiori probabi­ mette in grado di t rovare risposte sicure, definitive, prive di contraddizionilità di corrispondere alla realtà profonda. ai limitati problemi che si sono posti, ma che anche il campo di tali problemiUn riepilogo del pensiero greco nelle sue relazioni con la fisica contempo­

si allarga progressivamente e che diventa loro possibile, sulla base del metodoranea, per quanto sintetico, non può infine non ricordare un outsider: il so­ seguito, rinnovare radicalmente la gamma delle questioni anche di portata piufista Protagora. Una frase enigmatica che egli ha scritto, «L'uomo è misura generale, su cui i pensatori si erano da sempre cimentati. Scoprono inoltre

Fisica zz8 22g Fisica

di poter risolvere in certi casi in una maniera apparentemente definitiva quei solo un atomo sperduto nell'immensità dell'Universo, ma di essere anche ca­problemi fondamentali, per i quali i vecchi metodi di pensiero si limitavano pace di comprendere questo Universo. Val dunque la pena di analizzare bre­a indicazioni inconcludenti. È una scoperta che si è d i continuo r innovata vemente i principi di un metodo cosi fecondo di r isultati.

con il passare degli anni e con il progredire della scienza. Se questo è vero, Lo si può fare nel modo migliore facendo riferimento alla dinamica dellenon deve stupire che lo scienziato sia rimasto fedele alle condizioni di parten­ idee di quell'epoca, che si organizza attorno a due poli opposti, da una parte

za che hanno reso possibile la scienza. Anche se si occupa d'idee generali, l'atteggiamento empiristico, dall'altra quello razionalistico.

resta essenzialmente uno specialista e continua a esprimersi come chi rit iene L'atteggiamento empiristico è relativamente nuovo. Come si è visto, data

di poter ragionevolmente giungere a progressi decisivi soltanto attraverso la soltanto dal Rinascimento. È questo atteggiamento che spinge a cercare la

meticolosa accumulazione di mil ioni di fatt i accertati con precisione (a cui verità con metodi basati essenzialmente sull'osservazione e sulla sperimenta­

la sintesi teorica segue). zione. Raccomandato con molta energia dai pensatori inglesi, è riassunto e

La scienza che ha per oggetto il movimento dei corpi e le forze che ne filosoficamente fondato nella celebre formula «Non vi è nulla nell ' intellettosono causa o effetto, cioè la meccanica, viene creata da Galileo e da Newton. che non sia passato prima per i sensi». La storia degli sviluppi ulteriori dellaNel corso del secolo xvn e all'inizio del xvrn essa si giova di due importan­ scienza ha ampiamente mostrato la fecondità pratica di una formula tanto fa­

tissime scoperte matematiche, quella della geometria analitica dovuta a Des­ vorevole al rispetto dei fatti osservati. Da un punto di vista teorico va tuttavia

cartes, che permette di descrivere il movimento con un grafico e di ricondur­ notata una cosa che gli empiristi sovente dimenticano: anche se la formulane lo studio a quello delle curve, e soprattutto quella del calcolo differenziale citata è giusta, essa non prova che quanto si trova infine nello spirito sia con­

e integrale, dovuta a Newton e a Leibniz, che permette di definire con preci­ forme a una «realtà esterna», data per esistente indipendentemente dallo spi­

sione la nozione di velocità e d'introdurre quella di accelerazione. Si rende rito umano.

possibile per questa via una descrizione matematica della cinematica, scienza L'atteggiarnento razionalistico, da parte sua, fonda la propria ragion d'es­

del movimento. sere proprio su questo rilievo. Piu in generale, sulla legittimità, già notataLa dinamica, come scienza delle forze implicate nel moto, si edifica simul­ in quanto precede, di un dùbbio espresso con chiarezza da Descartes: posso

taneamente intorno al principio d'inerzia, dovuto a Galileo, e intorno alle leggi ben osservare e misurare, ma se i l mio fine u l t imo è d i conoscere la realtà

di Newton. Il prmcipio d'inerzia afferma che in assenza di una qualsiasi forza con certezza, con questo metodo fallirò necessariamente, poiché le sole certezze

un oggetto descrive una traiettoria rettilinea a velocità costante. Piu precisa­ che può eventualmente fornirmi r iguardano esclusivamente l'apprendimen­

mente, esso afferma l'esistenza di sistemi di r i ferimento o «sistemi di assi » to dei risultati di queste misure da parte della mia coscienza, e in nessun

privilegiati, detti sistemi inerziali, in cui la situazione è proprio questa. Le modo la Realtà (a meno che io non faccia l' ipotesi di una corrispondenza:

leggi di Newton riguardano il caso piu generale in cui l'oggetto in movimento ma è proprio la necessità di questa ipotesi indimostrabile che esclude ogniè sottoposto a forze. Esse affermano che in tal caso l'accelerazione del mo­ accesso alla certezza). È per questo che l'atteggiamento ràzionalistico racco­bile è proporzionale alla risultante delle forze, manda altre vie di accesso alla conoscenza dell'Essere: vie che fanno affida­

È risaputo che a Newton è inoltre dovuta la prima — senza dubbio, la mento, secondo la tradizione platonica, sulla sola forza del pensiero.

piu geniale — applicazione delle leggi della dinamica. Partendo dalla sola ipo­ Le scoperte di Galileo e di Newton, una volta che furono conosciute e

tesi dell'esistenza tra due corpi celesti distanziati di forze attive a distanza confermate, contribuirono in larga misura a troncare la controversia, a sca­

(dette forze «gravitazionali»), dirette lungo la retta che congiunge i due corpi, pito soprattutto dell'atteggiamento razionalistico. Descartes da parte sua falli

proporzionali al prodotto delle loro masse e inversamènte proporzionali al qua­ in pieno nel tentativo di edificare una fisica valida col suo metodo, basato

drato della distanza, Newton riusci difatti a mostrare che ciascuno di questi su un razionalismo radicale. E, questa, una circostanza ricca d'insegnamenti:

corpi percorre necessariamente un'ellisse, che ha uno dei fuochi nel centro mostra infatti che i l pensiero, anche intelligente, fuori dal suo ambito abi­

di gravità del sistema. Nel caso del Sole e di un suo qualsiasi pianeta, il rappor­ tuale che è di guida dell'azione si lascia fuorviare molto facilmente. Dimostra

to delle masse dei due corpi fa si che questo fuoco coincida all'incirca con il cosi che il pensiero può in particolare lasciarsi ingannare da ogni sorta d'ipo­Sole. La teoria mostra in questo modo che i rapporti regolari scoperti da Ke­ tesi ingiustificate, che non si avvede nemmeno di porre. Se la storia della

plero nelle reciproche relazioni tra le traiettorie dei pianeti e nel movimento fisica portasse pur come solo contributo la scoperta di questa relativa debolez­

di ciascuno di questi, non sono altro che conseguenze del sistema di attrazione za del puro pensiero, e riuscisse davvero a fame comprendere gli autenticiuniversale appena descritto (tra l'altro, è possibile notare che questa attrazione termini a quella categoria di persone che si professano pensatori, un risultato

spiega anche il peso e il moto della Luna ). cosi importante giustificherebbe da solo che all'insegnamento della storia del­È difficile sopravvalutare la portata delle ricerche di Copernico, Galileo la fisica si dedichino grandissimi sforzi.

e Newton. È grazie a loro che l 'uomo scopre contemporaneamente di essere Ma, cfaltra parte, sarebbe evidentemente illegittimo presentare i successi

Fisica 230 23 I Fisica

di Galileo e di Newton come una lampante giustificazione, senza riserve, del­ todi dell'empirismo o della ragione. A tal riguardo le loro idee furono premoni­l'atteggiamento radicalmente empiristico dei pensatori inglesi dell'epoca. Se trici per la fisica. Non è possibile, dunque, passarle qui sotto silenzio. In parti­la teoria di Newton trae tutto il suo valore dalla conferma che ne dà l'osserva­ colare, Hume nel secolo xvm sottolineò correttamente sia il ruolo essenzialezione, non è meno vero che essa fa ricorso a una matematica sofisticata, la cui dell'induzione in qualsiasi conoscenza generale sia il suo carattere di postu­conoscenza da parte dell'uomo non è affatto evidente (ed è il meno che se ne lato indimostrabile (dire che questo postulato è almeno verosimile è già com­possa dire) che provenga dai dati dei sensi. piere un'induzione, concernente l'idea di probabile).

La scoperta della gravitazione universale è in realtà un esempio eccellente Contemporaneamente, riemergeva la vecchia questione di Descartes : Berke­del modo in cui la fisica è capace di combinare l'empirismoe il razionalismo ley, nella fattispecie, non aveva alcuna difficoltà a r iscoprire i l fatto che,invece di contrapporli. Come non ci sarebbero riusciti da soli i dati delle os­ se è vero che l'uomo non ha dell'essere una conoscenza diretta se è vero7

servazioni, per quanto numerose, cosi nemmeno la matematica pura sarebbe d altra parte che per acquisire una conoscenza deve osservare — e, se cerca la1>

stata in grado di fornire, essa sola, la conoscenza cercata. La loro unione è precisione, misurare —, allora i soli fatti che è in grado davvero di affermareinvece stata feconda perché, come si è visto, le osservazioni di Tycho potero­ sono le impressioni che ha quando compie queste operazioni. Pensare che gli

no essere sintetizzate da Keplero in formule matematiche semplici, delle quali altri uomini abbiano anch' essi delle impressioni e che queste, quando si trattila geniale ipotesi di Newton rende conto in modo eccellente: cosa che quest'ul­ di esperienze banali, siano coerenti con le proprie, è già per il singolo indi­timo è riuscito a dimostrare, ma solo con l'impiego di tecniche matematiche viduo frutto di ipotesi; e lo è ancor piu il voler superare il «tutto accade comeelaborate. Ecco qui un compendio quasi perfetto di quel che è il metodo in se» e pretendere dunque che la somma totale delle nostre osservazioni, purfisica. essendo riassumibile in una teoria elegante come quella di Newton, descri­

La conoscenza delle scoperte qui sopra ricordate — conoscenza che si dif­ va effettivamente qualcosa che esiste indipendentemente da noi e che esiste­fuse nei secoli xvn, xvni e all'inizio del xix — rappresentò una fortissima mo­ rebbe anche in mancanza di qualsiasi osservatore. Berkeley cosi nega persinotivazione alla ricerca scientifica, che si sviluppò in svariate direzioni. In par­ che il concetto stesso di una tale esistenza abbia un senso. Essere, afferma, èticolare, l'ottica fece in questo periodo grandissimi progressi. Piu tardi appar­ soltanto essere percepito.ve la chimica con la scoperta dei corpi puri : scoperta ben presto seguita da È noto quel che venne dopo. In particolare, come Kant, colpito da tali

quella degli elementi chimici, che esistono in numero definito e r istretto e argomenti e soprattutto dalla difficoltà sollevata da Hume circa l ' induzione,dànno origine a tutt i i costituenti della materia combinandosi secondo pro­ fosse condotto a quella che egli stesso chiamò la sua «rivoluzione coperni­porzioni definite. Verso la fine del periodo apparve anche la scienza dell'elet­ cana». Per dame un rapido schema, va ricordato che secondo Kant l 'esseretricità, prima con l 'elettrostatica — della quale Coulomb riuscl a dimostrare — o, come lui lo chiama, la cosa in sé — è rigorosamente inconoscibile. Comel'analogia con la gravitazione newtoniana — e poi con l'elettrodinamica, o scien­ uno, nato con degli occhiali blu che non può togliersi, vede il mondo di unza della corrente elettrica e delle sue principali proprietà (Volta). unico colore, pur essendo questo variamente colorato, còs{ l'uomo, nato con

Nello stesso tempo, la fecondità della teoria di Newton contribui a spin­ certe strutture a priori che sono proprie della sensibilità umana, percepiscegere molti spiriti di quest'epoca — e non soltanto di quelli che si dedicavano l 'essere attraverso queste stesse strutture, o, per meglio dire, le impone lui

alla scienza — a ritenere che la ragione, aiutata o meno dall'esperienza, può stesso alla totalità della sua apprensione. È in questo modo che la nozione dicon relativa facilità aprirsi un accesso autentico alla totalità di ciò che è, alla causa, in particolare, viene considerata da Kant come r iferentesi essenzial­sola condizione di l iberarsi dei pregiudizi. È la fi losofia del secolo dei lumi, mente alla struttura dello spirito umano che la proietta nella propria visioneche PEncyclopédie di Diderot e d'Alembert illustra bene. delle cose: il che aiuta a capire il ricorso all'induzione. Ma, in modo piu ge­

Da parte sua era stato però ben piu modesto Newton che soleva imma­ nerale, Kant pensa che lo stesso accada per nozioni fondamentali come quelle

ginarsi come un bambino sulla spiaggia intento a raccogliere per gioco i ciot­ di spazio e tempo, che egli vede non come entità esistenti in sé (o proprietàtoli colorati piu vivamente di altri, mentre l ' immenso oceano del Reale gli di entità esistenti in sé), ma come condizioni a priori della sensibilità propriasi stendeva innanzi ancora vergine e inesplorato. Pur avendo introdotto lui dell'uomo.stesso la nozione di forza agente a distanza, con il successo che si sa, vedeva Se la cosa in sé è inconoscibile, è inutile allora parlarne. Ma in questoad esempio in tale nozione delle difficoltà, che sembrano averlo condotto, e modo le parole 'la Realtà', ' il Reale', diventano parole disponibili per ungiustamente, a ritenere che dovesse trattarsi solo di una tappa nell'approfon­ uso diverso. Visto che l'esperienza umana, in particolare l'esperienza scien­dimento della conoscenza della realtà da parte dell'uomo. tifica, presenta una certa regolarità (vi si possono scoprire delle leggi), è pos­

Ma senza dubbio furono soprattutto alcuni filosofi dell'epoca che seppero sibile ancora continuare a dire che essa descrive il Reale — la Realtà — a pattonel miglior modo scoprire e mettere in luce aspetti troppo ingenui e schema­ di cambiare il significato dei termini. E infatti i kantiani usano spesso la pa­tici dell'ottimistica credenza in una facile conoscenza dell'essere attraverso i me­ rola 'realtà'. Ma bisogna tener presente che nelle loro intenzioni questa parola

Fisica 23Z Z33 Fisica

non si riferisce a una realtà indipendente dall'uomo, ma piuttosto a una realtà nenti.a discipline diverse — obbediscono alle stesse equazioni. Tali similaritàempirica, che riflette almeno in parte la struttura dello spirito umano. tra differenti discipline, dovute alle corrispondenze della loro struttura ma­

tematica, possono in alcuni casi risultare meramente accidentali, In a l tr i casi

z.3. Secolo xrx.possono invece rivelare autentiche identità, nascoste sotto un'apparenza di di­versità. Di fatto una delle caratteristiche essenziali dello sviluppo della fisica

Con l'inizio del secolo xix i l numero sempre crescente delle conoscenze nel corso del secolo xix fu proprio la sua fecondità nel campo dell'unifica­rende inevitabili le specializzazioni e, in particolare, scienziati e fi losofi svi­ zione — attraverso la matematica — di discipline le cui reciproche relazioniluppano ormai le proprie ricerche di solito separati gli uni dagli altri. I pr imi erano 6no a quel momento rimaste nascoste. È cosi che con l'avvento della

non si curano piu molto dei lavori dei secondi, i quali, il piu delle volte, ren­ meccanica statistica (Boltzmann, Gibbs) l'intera termodinamica poté essere col­dono loro la pariglia. Sarebbe dunque inutile presentare qui un rendiconto, legata alla meccanica; è cosi che, per essere piu precisi, la termodinamica fuanche succinto, dello sviluppo della 61osofia da quel momento ai giorni nostri. allora costituita come sintesi originale, ricca di problemi 61osofici, della mec­Tuttavia la separazione non fu del tu tto r igorosa. Da una parte, infatti, si canica e del calcolo delle probabilità, calcolo che avevano contribuito a creare

costitui l'epistemologia, o 6losofia della scienza. Dall'altra, alcuni 6sici alle matematici come Pascal, Eulero e i Bernoulli. È ancora in questo modo che

prese con apparenti paradossi o comunque con difficoltà d'interpretazione dei le discipline prima distinte dell'elettrodinamica e del magnetismo si fuserorisultati che sembravano loro particolarmente rilevanti pensarono di potersi in una sola — l'elettromagnetismo — grazie alle scoperte di Faraday. E soprat­utilmente riferire alle riflessioni e alle opere dei fi losofi per arrivare a una tutto è ancora cosi che in una successiva fusione, ancora piu importante della

soluzione. Fu questo il caso, nel secolo xx, di Heisenberg che, per interpretare precedente, l'elettromagnetismo giunse a inglobare l'ottica.

la fisica quantistica, mutuò esplicitamente importanti elementi proprio dal pen­ Esposto in modo molto schematico, il nucleo centrale dell'elettromagne­siero di Kant, come si avrà modo di vedere nel ) g. tismo può essere descritto come fondato sulla scoperta del fatto che le ca­

Le basi dell 'attuale dominio tecnologico dell'uomo furono fondate nel riche elettriche che la materia può portare (cariche quantizzate, positive ocorso della prima metà del secolo xix con la comparsa della termodinamica negative) sono sottoposte a due tipi di forze, che vengono rappresentate con(Carnot, piu tardi Joule e Clausius) e con la scoperta delle leggi dell'elettro­ dei campi, cioè schematicamente con il valore della forza — elettrica ad esem­

dinamica (Biot e Savart, Laplace, Ampère). È importante notare che questi pio — esercitata su una unità di carica in ciascun punto dello spazio. Nel casosviluppi poterono aver luogo senza che i loro autori conoscessero la natura statico (caso in cui nulla si muove) le forze in questione sono beninteso esse«reale» dei fenomeni che studiavano: fu solo piu tardi, cioè con la scoperta stesse create da cariche situate in altri luoghi, che hanno nei loro confronti

delle leggi essenziali della termodinamica e dell'elettrodinamica, che l'agita­ il ruolo di «sorgenti», di modo che le forze potrebbero essere consideratezione molecolare fu riconosciuta come causa dei fenomeni calorici e che di­ come proprietà a d istanza di queste cariche. Tuttavia sotto l ' impulso di

venne noto il carattere granulare dell'elettricità (esistenza degli elettroni ). Que­ Faraday i 6sici furono portati progressivamente a considerare la possibilitàsto prova a sufficienza che per compiere dei progressi significativi — talvolta di conferire mentalmente ai campi corrispondenti una sorta di esistenza lo­anche di grande portata — lo scienziato non ha necessariàmente bisogno di cale, in qualche modo indipendente dalle loro «sorgenti». Si scopri alloraconoscere «la natura ult ima delle cose». Si tratta di un fa tto estremamente che il campo elettrico e quello magnetico sono legati l'uno all'altro da leggiimportante, che da un certo punto di vista risulta positivo, poiché tale natura semplici, in particolare quando variano nel tempo. Verso il i86o le leggi fu­ultima — i filosofi da duemila anni ne fanno l'amara esperienza! — è ben diffii­ rono sintetizzate da Maxwell in un insieme di equazioni che porta il suo nome.

cile da conoscere. È dunque una fortunata combinazione che anche nei campi Un'importante conseguenza matematica di queste equazioni è la predizione

che non hanno nulla di 61osofico un tal sapere non si r iveli necessario per dell'esistenza di oscillazioni che si propagano sotto forma di onde e che nonl 'elaborazione di un sistema di conoscenze, che sia insieme strutturato e fe­ sono nient' altro che le onde elettromagnetiche (Hertz, Marconi ) utilizzate incondo e che prenda l'aspetto di una teoria fondamentale che comporta sistemi seguito dalle tecniche della radiofonia e della televisione. La loro velocità èdi equazioni, formulazioni precise dei risultati dell'osservazione derivanti da quella della luce e infatti, dopo la loro scoperta, si poté stabilire con certez­condizioni iniziali date e cosi via. Da un altro punto di vista, il fatto empi­ za che la luce non è altro che un'onda elettromagnetica: scaturiva di qui la

rico or ora constatato — e cioè che la conoscenza della natura ult ima delle sintesi dell'ottica e dell'elettromagnetismo.

cose non è in realtà necessaria per l 'elaborazione di una teoria scienti6ca­ La seconda metà del secolo xix è un'epoca di progressi notevolissimi nelladeve evidentemente rendere lo scienziato prudente quando abbandona espli­ conoscenza della struttura della materia. L'esistenza di atomi e molecole, giàcitamente il campo dei fenomeni e pretende di descrivere cio che è. resa verosimile dagli sviluppi della chimica, è confermata da Jean Perrin, che

Quest'ultima considerazione va raffrontata col fatto, ben noto ai 6sici teo­ dimostra come i loro movimenti casuali dovuti all'agitazione molecolare sono

rici, che molto spesso fenomeni assai differenti tra di loro — persino apparte­ all'origine del moto browniano, cioè dell'agitazione che si può osservare in

Fisica z34 z35 Fisica

piccolissimi oggetti posti in un l iquido (anche se molto grossi in rapporto positivisti, congiuntamente coi primi risultati tecnologici ottenuti con tali me­agli atomi o alle molecole, questi oggetti risultano abbastanza leggeri per es­ todi, ebbe per conseguenza verso la 6ne del secolo xix un grande entusiasmosere messi in movimento quando un atomo o una molecola entra in collisione popolare per le scienze in generale e, in particolare, per la piu perfezionatacon loro ). D'altra parte l' invenzione di apparecchi elettrici ad alta tensione di esse, la 6sica. Anche eminenti letterati contribuirono in questo periodo arivela l'esistenza delle prime particelle elementari, il protone e l'elettrone. Que­ volgarizzare l'idea di una scienza che sarebbe da una parte in grado di portarest'ultima particella viene riconosciuta all'origine dell'esistenza della corrente la felicità agli uomini grazie ai progressi tecnici che può procurare, e dall'altraelettrica, che risulta costituita dallo spostamento di un gran nuinero di tal i di fornire la conoscenza ultima dell'essere, riducendolo agli atomi e ai campi,elettroni nei 61i conduttori. visti come costituenti di una realtà assoluta, che è completamente indipen­

In questa stessa epoca vengono compiuti grandi progressi anche per quel dente dall'uomo, anzi lo ingloba totalmente.che riguarda la nozione di energia. Ai concetti di energia meccanica, cinetica Va da sé che visioni tanto audaci, e di carattere cosi nettamente ontolo­e potenziale erano già venuti ad aggiungersi quelli di energia termica, elettri­ gico, non furono opera dei fisici e nemmeno degli epistemologi dell'epoca.ca e chimica. Nello stesso tempo la legge di conservazione dell'energia si era Ma, d'altro lato, il positivismo e le sue varianti ebbero a partire da quest'epo­rivelata universale. Ora viene a precisarsi la profonda unità di queste diverse ca un'influenza diretta e, essa almeno, del tutto autentica sulla ricerca scien­forme di energia. In particolare, l'energia termica è ora concepita come es­ tifica; e questo per ragioni di carattere metodologico. D'altronde tale influen­senzialmente di natura meccanica e piu precisamente cinetica, in quanto do­ za non ebbe sempre conseguenze felici. In Francia, ad esempio, il chimicovuta all'agitazione degli atomi e delle molecole. Berthelot si oppose a lungo e con successo all'introduzione del concetto di

La relazione della fisica con la situazione generale delle idee nella seconda atomo e al suo uso in chimica, proprio perché allora l'esistenza «reale» deglimetà del secolo xix può essere schematizzata nel modo seguente. Una gran atomi non era ancora stata veri6cata e sembrava inveri6cabile. Il cr i terio po­parte del mondo dei filoso6, per influenza delle idee di Kant, o ancor piu di sitivista secondo cui una nozione non ha senso, a meno che non la si possaquelle di Hegel e dei suoi successori, si tiene con molta prudenza lontano definire in relazione a un'operazione e a una misura, non risultava soddisfat­da sviluppi che sembrano insieme troppo astratti, troppo tecnici e — parados­ to dalla nozione di atomo: di qui i l suo rifiuto.salmente — forse troppo ingenui. Troppo ingenui, almeno nel senso che lamaggioranza dei 6sici dell'epoca sembra far affidamento sul concetto di real­tà in modo assai poco critico. Dall'altra parte, in larga maggioranza, i fisici, z.4. Secolo xx.

incoraggiati dai propri successi, non vedono perché dovrebbero porsi a pro­ Tuttavia, in altre circostanze, lo stesso criterio positivistico fu per la fisicaposito di un concetto cosi generale dei problemi filosofici che sembrano loro di notevole fecondità. L'evento rappresentato dalla critica da parte di Ein­falsi problemi. stein della nozione di tempo universale ne fornisce un chiaro esempio.

Si sviluppano invece discussioni sui metodi: dando il cambio agli enci­ All'origine di tale critica sta la constatazione (tipica a quell'epoca di ogniclopedisti, Auguste Comte continua la loro battaglia contro i «pregiudizi», 6sico) del fatto che l'esistenza delle onde elettromagnetiche manifestamenteteisti o meta6sici, e insiste, per antitesi, sull' imperativo ché prescrive di ac­ richiede quella di un supporto, cioè di «qualcosa» che oscilli, e che non po­cordare senso solo ai fatti e alle teorie che collegano i fatti gli uni con gli altri. trebbe essere alcuno dei mezzi già conosciuti, poiché la propagazione dellaGetta cosi le basi del metodo positivistico. Peirce e James, i fondatori del luce negli spazi interstellari mostra immediatamente che tale mezzo dovreb­pragmatismo, in modo molto simile sottolineano l'importanza del criterio di be essere universale. Rispetto a questo mezzo universale le onde elettroma­utilità (che può d'altronde non avere di mira che'la dimensione teorica) per giu­ gnetiche hanno per le equazioni di Maxwell una velocità ben determinata,dicare del valore di una teoria o concetto. La critica mossa da Mach alle idee mentre ci si potrebbe «ingenuamente» aspettare che, in rapporto a un ogget­newtoniane di forza e di massa va in certa misura nella stessa direzione. to qualsiasi a sua volta in movimento nel mezzo in questione, abbiano una

Comte sembra da parte sua accettare in modo implicito, e quindi non cri­ velocità (detta «relativa») diversa, esattamente come un'onda ha una veloci­tico, l'ipotesi che un fatto — cioè secondo il suo metodo, un insieme di dati tà diversa rispetto all'oceano o alla riva, e rispetto a chi la segue facendo delosservati — è necessariamente un elemento di una realtà totalmente indipen­ surf. Ora, la struttura matematica delle equazioni di Maxwell lasciava so­dente dall'uomo. Egli non sembra in effetti essersi posto la questione cen­ spettare che le cose non andassero proprio in questo modo: la fisica speri­trale del problema della conoscenza, che era stata in precedenza sollevata da mentale riusci a fornire in proposito un contributo decisivo. Il celebre espe­Descartes o da Berkeley. In una certa misura, si potrebbe riscontrare un ana­

7

rimento di Michelson e di Morley permette di stabilire il fatto, in apparenzaloga lacuna nei tre pensatori citati e in parecchi dei loro emuli, che non ri­ paradossale, che la luce viaggia sempre alla medesima velocità (3oo ooo Km/s)levano, come si dovrebbe, l'ambiguità della parola 'fatto' nel contesto delle in rapporto a un oggetto qualsiasi, qualunque sia il modo in cui quest'ultimoloro dottrine. Resta comunque vero che l'elogio dei metodi scientifici fatto dai si muove rispetto a qualsiasi altro oggetto.

FisicaFisica z36 237

I matematici dell'epoca che, come Poincaré, s'interessavano di fisica e pureper mezzo di una tale curvatura. Se due oggetti pesanti tendono ad avvici­

t 1

alcuni fisici orientati, come Lorentz, verso la teoria, portarono a termine connarsi l uno all altro, questo non accade in virtu di una forza di gravitazione

successo uno studio matematico estremamente completo delle proprietà delleattrattiva — come pensava Newton — ma, dice Einstein, semplicemente per

equazioni di Maxwell, esaminate dal punto di vista degli effetti osservabili,una curvatura dello spazio, essa stessa generata dalle masse di questi oggetti.Sotto il profilo quantitativo si ritrovano gli effetti predetti dalla teoria new­

che queste equazioni potevano avere per degli osservatori in movimento re­lativo gli uni r ispetto agli altri. Talvolta si è detto addirittura che sono stati

toniana, ma il punto di vista è come si vede molto diverso. Inoltre la relati­

questi due autori i veri creatori, dal punto di v ista matematico, della teoriavità generale predice anche alcuni effetti che le sono specifici e la cui esisten­za è stata empiricamente verificata.

che doveva poi essere la relatività. Ma la loro costruzione teorica mancavadi un elemento essenziale. Questa lacuna aveva come conseguenza il fatto che

L uso da parte di Einstein di argomenti operazionistici (come si direbbe

la spiegazione del «paradosso» descritto poco sopra comportava la necessitàoggi) nella sua critica delle concezioni classiche dello spazio e del tempo, fece

di postulare taluni fenomeni di contrazione delle lunghezze o di ritardo deglipensare ai fisici positivisti suoi contemporanei che egli fosse in realtà uno di

orologi e che, nella concezione tradizionale del tempo e dello spazio propria diloro. Niente di piu falso, almeno se per «positivismo» s'intende la concezioneradicale che fu propria del «circolo di Vienna» e che condusse i suoi soste­

questi autori, fosse insieme indispensabile e impossibile giustificare fisicamente nitori a respingere, come priva di senso, la nozione stessa di una realtà indi­questi fenomeni.

R a questo punto che intervenne la critica einsteiniana delle nozioni dipendente dallo spirito umano. Einstein, in effetti, era un realista della schiatta

spazio assoluto, di tempo universale e di simultaneità in sé. Con un'analisidi Spinoza e di Leibniz. Ciò significa da una parte che il modo meno invero­

serrata delle possibilità di misura, anche teoriche, di cui l'uomo dispone, Ein­simile di spiegarsi la regolarità della nostra esperienza, come lo stesso accordo

stein poté stabilire che queste diverse nozioni non sono — come si dice oggi­intersoggettivo circa i fatti, gl i sembrava quello di attribuirle, come «tutti»fanno, all'esistenza di una qualche realtà indipendente e conoscibile e dall'al­

affatto suscettibili di definizioni operative. Di conseguenza nulla ci obbliga a 7'l

pensare che esse necessariamente corrispondano a proprietà della realtà in­tra che egli pero ammetteva.pienamente che tale realtà potesse avere una strut­tura molto diversa da quella attribuitale dalle forme di pensiero intuitive o

dipendente. A fortiori, nulla nemmeno ci costringe a considerarle, come vo­ classiche, essendo scontato che l'uomo aveva modellato queste ultime sulla ca­leva Kant, come condizioni a priori intangibili e supreme, di ogni conoscenza pacità di azione che aveva un tempo, che concerneva solo i corpi a sua mi­umana. Perciò i problemi legati alla riflessione sullo spazio e sul tempo appar­vero ad Einstein come problemi fisici paragonabili agli altri, per la cui solu­

sura ed era pertanto assai limitata.

zione era cioè opportuno costruire le nozioni piu idonee alla descrizione deiAgli inizi del secolo xx era legittimo pensare che i progressi della fisica

fatti. Come dimostra lo studio delle onde elettromagnetiche, queste nozio­sarebbero continuati ad andare nel senso di una conferma delle prospettivegenerali di Einstein, quasi senza che ci fosse il rischio d'imbattersi in osta­

ni non sono né quella di spazio assoluto, né quella di tempo universale; oc­corrono altre nozioni, tra cui quella di spazio-tempo è la piu importante. La

coli capaci di far dubitare del giusto fondamento di queste ultime. Piu indettaglio: perfino i tentativi di una radicale geometrizzazione di tutta la fisica

cosiddetta teoria della relatività ristretta, costruita in tal modo da Einstein, sembrarono a un certo punto destinati al successo. Ma poi ci si dovette ar­non sopprime i fenomeni di contrazione delle lunghezze e di ritardo degli oro­logi, ma fa di meglio: incorpora intimamente nella teoria questi fenomeni, in­

rendere all'evidenza. Se effettivamente la forza di gravitazione è geometriz­zabile, lo stesso non vale per altre forze. La massima «Tutto è geometria»

dispensabili per la spiegazione dei fatti osservati, in modo che lungi dall'appa­rirvi come inspiegabili, essi vi assumono l'aspetto di conseguenze naturali.

non può piu essere incisa sui frontoni degli istituti di f isica matematica.7

Inoltre questa teoria conduce a modificazioni della meccanica apprezzabili alleMa c è qualcosa di ben piu grave. A partire dagli anni 'zo non viene solo

rimesso in causa l'ideale «geometrico» di Einstein, ma anche la sua piu gene­grandi velocità e i cui effetti sono osservabili e osservati.

Dal punto di v ista matematico il formalismo della relatività ristretta ri­rale concezione erealista». Questa evoluzione è dovuta alla comparsa della mec­canica quantistica, ai suoi successi sbalorditivi e alle difficoltà d'interpretarla

vela che, non diversamente dalle leggi della meccanica, le equazioni di Max­ altrimenti che in una prospettiva fortemente tinta di positivismo radicale.well restano immutate in tutta una classe di sistemi di r i ferimento, detti ga­ Ovviamente non si riporta nei dettagli lo sviluppo di questa teoria: si ri­lileiani, dove la velocità della luce resta peraltro la stessa. Ma perché questalimitazione a particolari sistemi di riferimento? Questo grave problema unito

cordi semplicemente che le onde elettromagnetiche si rivelarono (Planck, Ein­

ad alcuni altri (come ad esempio quello dell'incompatibilità tra la relativitàstein) dotate sotto certi aspetti di proprietà corpuscolari e che, simmetrica­

ristretta e l'azione istantanea a distanza di Newton) portò Einstein a ripren­mente (Louis de Broglie), le particelle (elettrone, protone, ecc.) si rivelaronodotate di talune proprietà ondulatorie. Ma come si poteva concepire una sin­

dere la sua teoria e a costituire la relatività generale. La caratteristica essen­ziale di questa teoria consiste nell'introdurre l ' idea secondo cui lo spazio­

tesi del genere tra proprietà apparentemente contraddittorie> Come si puòfacilmente indovinare, è possibile ottenere un tale risultato solo rinunziando

tempo possiede una curvatura e nel rendere conto degli effetti di gravitazione

Fisica z38 z39 Fisica

a un gran numero di intuizioni. Un costo cosi alto viene però controbilanciato, zioni d'onda di un sistema fisico, le cui proprietà osservabili non variano nelper fortuna da una gran messe di risultati, sia teorici sia applicati, relativi corso del tempo (come nel caso di una molecola stabile o di un atomo nonalla composizione e alle proprietà della materia. eccitato).

La meccanica quantistica, come si presenta oggi, è opera soprattutto della Una conseguenza della teoria è dunque che i risultati delle misure di certescuola di Copenhagen (Bohr, Heisenberg, Jordan), di Dirac, Born, Schrodin­ grandezze fisiche non possono prendere che certi precisi valori ben distintiger e Louis de Broglie. Essa si fonda sulle seguenti idee. gli uni dagli altri (valori quantizzati ). Questo è il caso ad esempio dell'energia

Nella misura del possibile conviene evitare di parlare di proprietà posse­ intrinseca che può avere un atomo o una molecola. A ciascun valore dell'ener­dute da un sistema 6sico, in altri termini di r icorrere a proprietà che un si­ gia possono poi corrispondere sia una funzione d'onda sia piu funzioni d'ondastema fisico avrebbe «in sé». Di fatto, prima di averle misurate, noi ignoria­ possibili.mo queste proprietà e ne ignoriamo per6no l'esistenza (proprio come ignoro La funzione d'onda di una particella specifica in generale solo la proba­se la persona che risponde «si» a una domanda che pongo abbia una precisa bilità di trovare la particella nel tale o nel tal altro punto, nel caso di unaopinione sull'argomento prima che la domanda venga posta, o se r isponda eventuale misura della sua posizione: spesso essa permette dunque di direa caso). Dopo la loro misurazione quel che si conosce con certezza è soltanto con una quasi-certezza solo che la particella si trova in una zona ben deter­il risultato della misura in questione. È quindi solo sui risultati delle diver­ minata. Sia Ax lo spessore di questa zona. Analogamente la funzione d'ondase misure possibili che la meccanica quantistica formula delle leggi. in questione specifica in generale solo una «zona» simile di valori, di spesso­

Queste leggi sono in generale di natura probabilistica. Ciò contrasta con re, ad esempio, Ap, relativa a un'eventuale misura dell'impulso. È una conse­il determinismo rigoroso postulato dalla fisica classica. guenza della teoria che 6x e 5p s i ano legate dalla relazione hx.hp~) A/z,

La probabilità del risultato di una misura di una certa grandezza fisica detta relazione di Heisenberg (o «relazione d'indeterminazione» anche se lasu un certo sistema in un certo istante è ottenuta componendo in modo ade­ parola risulta equivoca), e nella quale h = h/zi; è legato a una costante univer­guato un'entità matematica che descrive la grandezza e un'altra entità, detta sale, h, introdotta da Planck.«funzione d'onda» o «vettore di stato», che descrive il sistema fisico nell'i­ La meccanica quantistica è stata lo strumento teorico di base per i pro­stante dato. La descrizione di un sistema fisico in termini di funzione d'onda gressi della fisica negli ult imi c inquant' anni. I r i sultati piu notevoli sono isostituisce la descrizione usuale in termini di posizioni e velocità delle parti­ seguenti.celle del sistema. Ma tale descrizione non è sempre possibile. Ci sono infatticasi in cui a un sistema dato non si può attribuire alcuna funzione d'onda. Onde di materia. Pr i ma sintesi concettuale materia-luce. Invenzione dellaQuesto succede, a rigore, con i sistemi che hanno interagito con altri sistemi microscopia elettronica.i quali non possono essi stessi essere descritti nella maniera classica (cioè conla 6sica precedente), poiché in questo caso risulta definibile soltanto la fun­ Fisica atomica e molecolare. Calcolo dei l ivelli di energia degli atomi ezione d'onda dell'insieme. Non si potrà dunque fare a meno d'introdurre nei delle molecole. Di qui, per semplice differenza, determinazione delle frequen­calcoli la funzione d'onda — inutilizzabile perché troppo complessa! — dell'in­ ze della radiazione elettromagnetica che gli atomi e le molecole possono emet­tero universo dei sistemi fisici che hanno interagito con quello che ci si pro­ tere e che possono assorbire. In particolare, la matassa (di incredibile com­pone di studiare? Per un realista questa è la fonte di una difficoltà concet­ plessità) degli spettri di radiazione degli elementi chimici ha potuto in taltuale che si rivela autentica a uno studio piu approfondito. Fortunatamente modo essere interamente dipanata dalla teoria, a partire dai dati di base piutale difficoltà resta puramente di principio e di conseguenza ogni spirito «po­ semplici, come massa e carica dell'elettrone, costante di Planck e velocità del­sitivo» o «pragmatico» può non tenerne conto. In pratica i dispositivi di pre­ la luce.parazione dei sistemi 6sici che la meccanica quantistica si propone di studiare Calcolo delle proprietà chimiche dei corpi, cioè spiegazione, almeno teo­sono dispositivi materiali che costituiscono essi stessi dei sistemi fisici descri­ rica, dei fatti che costituiscono la chimica. Qui la limitazione è costituita solovibili in maniera «classica», cioè, ancora una volta, per mezzo dei concetti dalla complessità dei calcoli, che cresce molto rapidamente quando ci si al­della vecchia fisica. I dispositivi di cui si tratta costituiscono quindi un dato lontana dai corpi di piu semplice composizione chimica. Il pr incipio di unadi riferimento adeguato per la definizione non ambigua della funzione d'onda tale chiinica teorica risiede semplicemente nella soluzione dell'equazione di— o delle funzioni d'onda possibili — del tipo di sistema del quale ci si occupa. Schrodinger per un sistema costituito da nuclei atomici dati e da un numero

L'evoluzione nel tempo della funzione d'onda ubbidisce a un'equazione dato di elettroni. Le possibili energie cosi ottenute dànno delle informazionialle derivate parziali detta «equazione di Schrodinger», che sostituisce le usua­ sulla stabilità del complesso in tal modo definito e le funzioni d'onda corri­li equazioni della meccanica. Associata ad opportune condizioni al contorno spondenti informano sulle strutture possibili di quest'ultimo (forma delle mo­questa stessa equazione permette di determinare quali sono le possibili fun­ lecole nello spazio, ecc.).

24I FisicaFisica 240

za e nella tecnologia la «visione d'insieme», la comprensione delle grandi idee

Fisica dello stato solido. Sp iegazione delle proprietà elettriche degli iso­ fondamentali non basta. I dettagli sono fissi, esatti e devono essere quindi

lanti, dei conduttori, dei semiconduttori. Spiegazione della superconduttività. conosciuti. La loro moltitudine dà dunque luogo a un r igoglio di specialità

Calcolo delle principali proprietà dei solidi. Applicazioni ai semiconduttori, di ogni sorta, ciascuna delle quali ha il proprio oggetto e i propri metodi par­

invenzione dei transistor e dei laser. ticolari. L' insegnamento superiore stesso, che forma i futuri specialisti, incal­zato da considerazioni utilitaristiche e dalla necessità di non allungare inde­

Fisica nucleare. An a l isi dettagliata della struttura dei nuclei atomici. Ap­ bitamente la durata degli studi, si trova costretto a sacrificare una buona par­

plicazione alla fissione e alla fusione, energia nucleare. te della cultura scientifica di base agli imperativi della specializzazione. Il ri­sultato è una polverizzazione sempre maggiore delle conoscenze.

Elettrodinamica quantistica e teoria quantistica dei campi. Ac c ertamento del­Sul piano dell'azione immediata questa polverizzazione quasi non presen­

le proprietà del fotone o particella della radiazione elettromagnetica. Predi­ ta inconvenienti. Un in formatico può far uso sempre piu di «scatole nere»

zione dell'esistenza dell'antimateria. Sintesi concettuale materia-radiazione. senza preoccuparsi del loro contenuto. Può anche ignorare i termini delle re­

Studio delle particelle recentemente scoperte e classificazione delle loro in­ centi scoperte nella fisica di base che hanno reso possibile l'invenzione dei

terazioni. Analisi della struttura dei protoni e dei neutroni. Formulazione del­ dispositivi che quelle scatole contengono. Analogamente il chimico che stu­

l'ipotesi dei quark, particelle di carica frazionaria rispetto a quelle dell'elet­ dia molecole può misurare tempi di reazione o energie di legame, invece di

trone e del protone, i quali — in gruppi legati da campi detti «colla» — costitui­ domandare al fisico di calcolarli esplicitamente con i metodi teorici della mec­

rebbero i protoni e i neutroni a loro volta costituenti i nuclei. Formulazione canica quantistica. È pur vero che il piu delle volte questo è dal suo puntodi vista senz'altro preferibile, tenuto conto che, anche se fossero e8ettuati con(in corso) di una teoria coerente di queste strutture.

La meccanica quantistica e i suoi prolungamenti hanno ampliato immen­ calcolatori, tali calcoli risulterebbero in generale estremamente lunghi e, per

samente l'orizzonte dell'insieme delle scienze esatte. Ma, ancora una volta, tale ragione, praticamente irrealizzabili. Le relazioni tra la microbiologia e la

questo è accaduto a prezzo di una revisione talvolta lacerante di idee intuitive, chimica sono in parte dello stesso tipo. Esempi del genere potrebbero essere

ma fondamentali. Qualche volta si deplora la necessità di una tale revisione, moltiplicati a volontà; la loro abbondanza mostra come difficoltà pratiche allo

ma invano: è meglio scorgervi la fonte possibile di un progresso in profon­ stato attuale ancora insuperabili finiscano per creare tra le discipline diRe­

dità nella comprensione delle relazioni che possono esistere tra lo spirito uma­ renze qualitative e quasi delle barriere.L'altra caratteristica della scienza che la rende cosi diversificata risiede inno e la natura. L'ult imo paragrafo di questo articolo () 4) è dedicato proprio una certa carenza di interconnessioni dei modelli tra di loro, carenza che vaalla descrizione qualitativa dei principali problemi che attualmente si pon­

riconosciuta, perché esiste nei fatti e non soltanto nelle lacune poco sopragono in questo campo. ricordate della cultura scientifica generale degli specialisti. A questo riguardola scienza ricorda un po' certi edifici che visti da lontano sono pieni di maestà

3. Aspetti caratteristici della situazione della fisica nella scienza. e di armonia, ma che rivelano, a chi si avvicina, squilibri, parti in ricostruzione,rischiose impalcature. Anche all'interno di una data disciplina accade spesso,se si guarda da vicino, di vedere in contrasto concezioni e modelli stranamente

g.r. Unità della scienza. differenti. Queste macchie che compaiono sul frontone compatto della scien­

La parola 'scienza' ha oggi un'accezione molto ampia, poiché molte disci­ za sono dovute alla sua incompiutezza come al fatto che è una t ip ica opera

pline che un tempo rientravano in quelle umanistiche sono giunte a rivendi­artigianale, costruita giorno per giorno da spiriti curiosi e dunque originali.

carla. Si userà qui il termine nell'accezione «insieme di scienze empiriche dette Esse non devono preoccupare.

esatte», con l'esclusione dunque delle cosiddette scienze umane come, ad esem­ Infine, barriere tra discipline, difetti di interconnessione nei concetti e neimodelli, tutte queste fonti di d iversità di punti d i v ista dipendono in parte

pio, la sociologia.La scienza cosi intesa non è nient' altro che una giustapposizione di di­ dalla seguente circostanza. Se due scienze riguardano scale di dimensioni mol­

scipline a compartimenti stagni, che non hanno influenza le une sulle altre, to diverse, quella che ha per oggetto le strutture piu estese non può in gene­

o possiede invece un'unità? E, nella seconda ipotesi, qual è la natura di questa rale far uso delle informazioni fornite dall'altra, se non in modo globale. Cosi,

unità? Questo è il problema che si vuole affrontare qui alla luce delle cono­ per limitarsi ad un esempio, lo specialista dei cristalli, o quello delle grandimolecole, pur avendo a che fare con degli aggregati di microggetti, deve ben

scenze fornite dalla fisica contemporanea.Per due almeno dei suoi caratteri la scienza presenta un'innegabile varietà. guardarsi dall'usare tali e quali le equazioni di base che regolano la fisica dei

Uno di questi è esterno e dunque contingente. Riguarda il fatto che nella scien­microggetti. Sotto questo aspetto il numero delle variabili in gioco non per­

Fisica 242 z43 Fisica

mette alcuna speranza. Lo specialista è dunque costretto a giocare d'astuzia: que fonte terrestre, ma la luce proveniente da una stella, o da una lontanaricorre dunque a quei veri e propri relè che sono le costanti fisiche macrosco­ galassia, si t rovano proprio queste stesse righe, tra cui le d istanze di cui

piche. I numeri che gli servono come dati di partenza sono in realtà calcola­ si è detto sopra sono esattamente rispettate (a meno di un solo fattore cor­

bili, o di fatto o almeno di diritto, mediante le equazioni della meccanica quan­ rettivo: ma anche questo è ben capito e risulta utilissimo: misura la velocità

tistica. Ma, piu semplicemente, possono essere misurati. Essi rappresentano detta «radiale» di questi oggetti lontani rispetto alla Terra ). In questo modoi soli legami che uniscono questa meccanica alla disciplina macroscopica con­ è possibile avere la certezza che si trovano nei corpi celesti solo gli elementi

siderata, che per il resto si fonda su una concettualizzazione radicalmente di­ disponibili sulla Terra e si r iesce a calcolarne le proporzioni nell'universo.versa (quella della fisica classica). Data la complessità di ciascuno spettro, è evidentemente impensabile, alla

Pur significative, queste sfumature non intaccano la fondamentale unità luce di queste osservazioni, una negazione pura e semplice dell'esistenza di

della scienza. Questa, incontestabile, è assicurata dalla fisica e chiunque si curi leggi universali. Quando piu avanti si contesterà il carattere di verità assolute

del significato della fisica deve prenderne coscienza. L'universo è immenso, delle proposizioni interpretative della fisica, non si dovrà mai dimenticare che

ma ovunque ubbidisce alle stesse leggi fondamentali. Ecco il primo fatto incon­ il loro carattere universale resta però accertato. E per bilanciare le tendenze

trovertibile che bisogna sempre aver davanti agli occhi. Una galassia come allo scetticismo bisognerà tenere ben presente la conoscenza dell'estensione

la nostra non è che una molecola dell'universo: se ne sono contate altre, piu del mondo che solo la fisica fornisce. È chiaro che se, ad esempio, lo studio

di cento milioni. Ma essa, da sola, contiene già alcune centinaia' di miliardi delle difficoltà dei fondamenti della fisica giungesse a farei assumere un at­di Soli. Noi vediamo corpi celesti la cui distanza da noi è dieci milioni di teggiamento puramente negativo nei suoi confronti, questo non potrebbe ve­

miliardi di volte superiore a quella che ci separa dalla Luna. E tuttavia siamo rificarsi che per mancanza di attenzione ai dati elementari, ma innegabili, or

pressoché sicuri che in tutti questi immensi spazi le leggi che regolano i fe­ ora ricordati.nomeni sono le stesse a cui noi' siamo soggetti e di cui le nostre teorie ren­ Ma anche noi dobbiamo ancora fare un passo avanti. Non è solo neces­

dono conto. sario inchinarsi davanti all'esistenza di leggi universali, ma bisogna anche am­Di fronte a questa sproporzione tra la debolezza dei nostri corpi e la po­ mirarne la coerenza. Anche questo è elementare, ma non deve essere dimen­

tenza del nostro spirito già Pascal restava meravigliato. E infatti, che quel ticato. L'ottica, ad esempio, è retta da proprie leggi, come quelle di Huygens

fuscello pensante che è l 'uomo possa capire l'universo resta un enigma. È o di Fresnel. L'elettromagnetismo è regolato da altre leggi, come quelle diin parte per risolverlo che alcune concezioni epistemologiche, di cui si è vista Biot-Savart, di Ampère o di 'Faraday. E ovviamente le une non contraddico­

la genesi, sostengono in via di principio che nei fatti e nelle leggi scientifiche no le altre, perché si riferiscono a un altro oggetto. Ma c'è molto di piu. Si

l'uomo viene a conoscere soprattutto se stesso. Esse si fondano su argomenti è visto che, a uno stadio ulteriore dello sviluppo delle discipline in questione,del tutto solidi e r ichiederanno adeguata attenzione. Qui ci si deve soltanto è stato possibile trovare delle leggi ancora piu generali (in particolare le equa­premunire contro l ' interpretazione superficiale di queste dottrine che sfoce­ zioni di Maxwell ) dalle quali derivano necessariamente e le leggi dell'otticarebbe in una sorta di l iquidazione della fisica, che verrebbe considerata di e quelle del magnetismo, come pure dell'elettricità. È in questo senso, moltocolpo una fantasia soggettiva o una collezione di ricette per la pratica. A que­ forte, che bisogna qui intendere la parola 'coerenza'. Ed è in questo senso

sto proposito la cosa migliore che si possa fare è quella di tener presente la che oggi si può dire, almeno in prima approssimazione, che in realtà tuttevasta accumulazione di osservazioni che dimostrano come fenomeni compre­ le scienze della natura sono, almeno di dir i t to, coerenti le une con le altre.

si ma complessi, conosciuti nella nostra regione del mondo, si producano an­ La comparsa della termodinamica statistica (con sfumature che saranno ana­che altrove. lizzate piu avanti ) ha reso la termodinamica e la meccanica newtoniana coe­

È quel che succede ad esempio con gli spettri luminosi degli atomi e delle renti tra di loro. In seguito è soprattutto la meccanica quantistica a rendere la

molecole. È noto che ogni gas, portato ad incandescenza, emette luce. Ana­ chimica coerente con la totalità della fisica. Infine la teoria dei campi ha unifi­lizzata con un prisma questa luce si divide in una moltitudine di righe spet­ cato, almeno formalmente, la fisica delle particelle e quella della radiazione.trali. Le posizioni di queste ultime caratterizzano la composizione del gas. Cosf al momento attuale l'aspetto della scienza che piu colpisce a prima

Infatti un gas formato da un corpo chimico elementare produce uno spettro vista è la sua notevole unità. Non si esagera molto dicendo che le equazioni

di righe' nel quale le distanze tra righe vicine sono perfettamente determi­ di Maxwell, gli assiomi di base della meccanica quantistica e il principio dinate e immutabili. Per di p iu, questi valori numerici che ciascun elemento Pauli forniscono da soli la chiave dell'infinita varietà dei fenomeni, prodottifornisce in numero grandissimo non sono soltanto dei fatti fornit i dall'espe­ naturalmente, osservati sulla Terra. L'espressione «prodotti naturalmente» ser­

rienza. Con la meccanica quantistica si dispone, come si è detto, di una teo­ ve qui ad escludere certi fenomeni notevoli e ancora mal capiti, che si possono

ria che permette di calcolarli, in modo esatto, a partire da nozioni del tutto ad esempio osservare per mezzo dei grandi acceleratori. Questi fenomeni met­

generali. Ora, se si analizza in tal modo non piu la luce emessa da una qualun­ tono in gioco forze e leggi diverse da quelle elencate sopra. Il fatto stesso che

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per disporre di siffatti fenomeni sia necessario crearli artificialmente per mez­ zione è seducente, perché amiamo le sintesi eleganti. D'altra parte ha una suazo di macchine onerose e complicate, ancor piu rinforza' la nostra impressione parziale verità. Ma sarebbe un grave errore erigerla a verità prima e crederedi una straordinaria unità della scienza contemporanea. Si può descrivere que­ che i piccoli dettagli quantitativi dei fenomeni, quelli che si è soliti chiamaresta impressione ricorrendo a un'immagine. Mentre una volta le varie scienze «accidenti», abbiano solo un'importanza del tutto secondaria per quel che ri­della natura erano come isole nel grande oceano dell'ignoto, sembra oggi che guarda la spiegazione dell'universo. Un celebre esempio è fornito dall'esisten­il paragone vada rovesciato. Dall'atomo alla stella, il campo delle nostre co­ za di un «livello eccitato» del carbonio zz situato a 7,8z Mev. Tutt i i nucleinoscenze forma un unico continente. Naturalmente la conoscenza dei feno­ atomici dispongono di molti «stati eccitati». Che il carbonio ne abbia uno ameni non può essere considerata completa. Restano dei laghi, per portare avan­ 7,8z Mev piuttosto che altrove è dunque un tipico «accidente», calcolabile (al­ti il paragone, perfino dei mari interni, costituiti da fenomeni mal conosciuti meno in linea di principio), ma sprovvisto di particolare significato. Tuttaviao male spiegati. È cosf che ad esempio il magnetismo terrestre aspetta ancora è stato dimostrato che in assenza di questo livello nessun elemento pesanteuna sua teoria definitiva. Ma, si sa, ciascuno di questi campi è l imitato. (piu pesante del berillio o del boro) si sarebbe formato nell'universo. In par­

Quanto all'idea troppo diffusa secondo la quale i grandi progressi scienti­ ticolare non esisterebbero né carbonio né ossigeno... né per conseguenza al­fici abbatterebbero questi o quegli aspetti della scienza che li precede, essa è cun essere vivente, né quindi alcuna «persona», che per mezzo della propriatalmente semplicistica che non val la pena di soffermarvisi troppo. Tali pro­ riflessione cosciente possa conferire un significato alla nozione di universo.gressi relativizzano le concezioni e le teorie piu vecchie, ma non ne soppri­mono il senso autentico. Antimateria e cosmologia. Ta l i r e lazioni tra i l p iccolo e l ' immenso con­

ducono a considerare con particolare attenzione due recenti scoperte. In unRiserve. Il q uadro tracciato nelle sue grandi linee è vero. La scienza è tentativo di comprensione sintetica non si può forse- attribuire loro la posi­

davvero una sola. Tuttavia questo problema è ricchissimo di sfumature. Mal­ zione piu centrale; non potrebbero affatto, in altr i termini, essere la chiavegrado la loro complessità non è possibile passarle del tutto sotto silenzio, con di volta di alcun «sistema». Tuttavia esse fanno cadere dei tenaci pregiudizi,il rischio di arrivare a una visione troppo semplicistica dell'insieme del pro­ contribuendo cosf considerevolmente ad ampliare i nostri orizzonti. Si trattablema. da una parte della scoperta delle antiparticelle e dall'altra dei recenti progres­

Una prima può essere quella che riguarda la categoria delle leggi della si in cosmologia e cosmogenesi. Si potrà constatare, come già fatto sopra, chenatura, che costituisce la disciplina detta termodinamica, cioè grosso modo pur riguardando fenomeni e scale di dimensione cosi diverse, queste due que­la scienza delle relazioni tra calore ed energia. Queste leggi, va da sé, sono stioni curiosamente non sono senza rapporti.compatibili con le altre leggi della fisica. Ma nella forma che prendono in Nei grandi «acceleratori» come quelli del Cern (Ginevra) o del Fermilabtermodinamica non-statistica esse fanno ricorso, per descrivere la materia, a (Illinois) si riescono a imprimere a delle particelle, ad esempio a nuclei d'i­nozioni molto distanti da quelle che per lo stesso scopo utilizza tutto il resto drogeno, chiamati anche «protoni», velocità molto vicine a quelle della luce;della fisica. In larga misura la termodinamica statistica effettua in modo sod­ e questo in modo tale che i p rotoni abbiano un'energia molto piu grandedisfacente l'assimilazione reciproca di questi due insiemi di nozioni. La r i­ della loro massa a riposo (misurata con appropriate unità). Che cosa si può os­duzione cosi ottenuta della termodinamica alla fisica classica è tuttavia lungi servare quando questi protoni entrano in collisione ad esempio con altri pro­dall'essere totale. La termodinamica statistica comporta infatti elementi di sog­ toni? In genere si vedono emergere dall'interazione non soltanto le due par­gettività che sono assenti dalla cosiddetta fisica classica. Indubbiamente si sono ticelle iniziali, ma anche molti altri oggetti, che sono ugualmente delle «par­fatti in questi ult imi tempi grandi progressi nella ricerca di nuovi punti d i ticelle», che possiedono una massa a riposo, ecc. Tutt i questi oggetti sonovista in grado di eliminare tali elementi soggettivi. Ma è ancora troppo presto stati creati a spese dell'energia cinetica del protone incidente, secondo l'iden­perché si possa contare sull'unanimità dei fisici a questo riguardo. tità energia-massa scoperta da Einstein. Qualche volta succede pure che tra

Una riserva analoga va fatta a proposito di un campo immenso della scien­ questi oggetti creati si possano osservare uno o piu protoni. In questo casoza contemporanea. Si tratta niente meno che di tutta la fisica quantistica: cioè si osservano però anche un certo numero di part icelle con una massa a ri­della disciplina che fondamentalmente sta alla base del nostro sistema attuale poso uguale a una carica elettrica opposta a quelle che caratterizzano il pro­di conoscenza scientifica. Già si è indicata la causa della necessità di una tale tone. Questi ultimi oggetti si chiamano «antiprotoni». Nello stesso modo a cia­riserva. Ma per la sua importanza e complessità, l'argomento supera di gran scun tipo di particelle corrisponde un altro tipo di particelle, denominate «anti­lunga i limiti di questo paragrafo e costituirà il centro della discussione nel $ 4. particelle» delle prime (certe particelle neutre sono antiparticelle di se stesse).

Infine, un ultimo esempio di una concezione affascinante ma semplicisti­ In una regione dello spazio dove non ci sono sistemi che restino a lungoca consiste nel credere che una buona conoscenza d'insieme delle leggi fonda­ senza contatto con gli altri, non si possono trovare allo stato naturale contem­mentali basti a spiegare a grandi l inee i fenomeni osservati. Questa conce­ poraneamente delle particelle e le loro antiparticelle, a meno che si tratti di

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un sistema in stato esplosivo. Questo è dovuto al fatto che quando una par­ diverso, è una questione che sfugge alla scienza) è attualmente considerataticella e un'antiparticella di t ipo simile entrano in collisione, esse si annichi­ verosimile.lano reciprocamente, fornendo energia (sia cinetica, sia formata da energia di Negli ultimi vent' anni sono stati scoperti nell'universo oggetti notevoli, comemassa di particelle piu leggere). Cosi nella nostra porzione di universo le i quasar e le pulsar. La fisica delle particelle elementari rende conto senza am­particelle protoniche sono positive (protoni) e le particelle elettroniche sono ne­ biguità delle seconde («stelle di neutroni») e offre possibilità d'interpretazionegative (elettroni ). Antiprotoni (negativi) e antielettroni (positivi) non possono dei primi. La relatività generale permette anche di predire l'esistenza di strut­essere ottenuti che artificialmente (con una sola eccezione: le antiparticelle ture notevoli come i «buchi neri », residui di antiche grandi stelle, nei qualicreate dalla radiazione cosmica bombardando gli alti strati dell'atmosfera). tutto ciò che penetra deve consumarsi senza possibilità di r i torno: è possi­

Una breve digressione: risulta utile classificare le interazioni fondamentali bile che certi fenomeni celesti recentemente osservati non siano privi di rap­in quattro tipi. Per ordine di forza crescente si tratta di interazioni gravita­ porti con l 'esistenza di tali oggetti.zionali, interazioni deboli (responsabili di talune radioattività ), interazioni elet­ La fisica contemporanea è cosi divenuta lo strumento di analisi teoricatromagnetiche, conosciute da tutti , e interazioni forti, i l cu i raggio è molto privilegiato non soltanto dai chimici, ma anche dagli astronomi, realizzandocorto (xo 's cm), ma la cui intensità è assai notevole, assicurando in tal modo in tal modo l 'unità di scienze tanto diverse in relazione al loro oggetto.la coesione dei nuclei. Ad eccezione delle interazioni deboli, tutte queste for­ Resta, è vero, la biologia, i cui fenomeni sono tanto complessi che nonze sembrano perfettamente simmetriche in rapporto alla conversione virtuale deve stupire la particolare difficoltà che può esserci nel ricollegarli, attraver­simultanea di tutte le particelle in antiparticelle. Ne r isulta che un mondo so connessioni deduttive, ai fenomeni elementari. Cosi si rende necessario cor­fatto di antimateria sarebbe strutturalmente molto simile al nostro, e che ta­ reggere qui un errore banale, ma commesso purtroppo troppo sovente. Sic­luni oggetti celesti sono forse costituiti di antimateria. come i recenti progressi della biologia attirano a giusto titolo l'attenzione, cer­

La scoperta delle antiparticelle ha arrecato un colpo decisivo alla vecchia ti personaggi, diciamo dal giudizio «rapido», credono che la fisica sia scaval­concezione atomistica, secondo cui esisterebbero delle particelle elementari in­ cata dalla biologia, cioè che certi concetti, considerati fondamentali in fisica,distruttibili ed eterne, di cui i comuni oggetti sarebbero dei semplici aggregati. non siano piu validi in biologia. Beninteso, ciò che mostrano la biologia mo­Val la pena di notare che questa scoperta di grande portata era stata prevista lecolare e la teoria dei sistemi dissipativi è esattamente il contrario: secondodalla fisica teorica. Molto prima che fossero osservate sperimentalmente, l'e­ ogni evidenza non c'è legge della biologia che trasgredisca quelle della fisica;sistenza delle antiparticelle era apparsa ai teorici come forse l'unico modo con­ si è autorizzati a pensare che le leggi e i concetti della fisica siano universali,cepibile di armonizzare tra di loro le prospettive delle relatività e della mec­ e comunque, per quel che riguarda i corpi viventi sembrano interamente va­canica quantistica: ciò per ragioni di carattere essenzialmente matematico, che lidi. Di vero sembra che ci sia soltanto il fatto, d'altra parte interno alla fisica,non possono essere qui i l lustrate. che l'irreversibilità macroscopica non è deducibile dalla reversibilità micro­

Come è noto, le concezioni relativistiche svolgono anche un ruolo di primo scopica senza l'introduzione di elementi esterni.piano nella nostra comprensione della struttura dell'universo. Si tratta in que­ Se quindi gli esseri viventi sono tanto organizzati, è in virtu di una evolu­sto caso soprattutto della relatività generale, teoria anch' essa notevolmente ma­ zione che — per quanto improbabile abbia potuto essere — ha sempre rispet­tematizzata, che permette di classificare in un numero ristretto di t ipi i «mo­ tato le leggi della fisica. Analogamente le forze che assicurano la coesione edelli cosmologici» accettabili a priori. La scelta tra questi modelli resta na­ il moto delle molecole e degli atomi sono forze puramente fisiche. Ci si puòturalmente questione di osservazione. d'altra parte domandare perché le forze fisiche, che sono semplici e che in

L'osservazione in questione ha messo in evidenza dapprima (Hubble) il altri casi (sistema solare, interno delle stelle, ecc.) producono solo aggregatifatto fondamentale di uno spostamento verso i l rosso delle righe spettrali poco strutturati, diano origine a strutture tanto complesse e ordinate. La ri­delle galassie, che aumenta con la distanza. Ancora una volta, questo sposta­ sposta a questo problema è sicuramente difFicile e non ancora pienarnente co­mento è generalmente interpretato come rivelatore di una dilatazione dell'u­ nosciuta. Se ne può tuttavia fin d'ora notare un elemento indubbiamente va­niverso. Per renderne conto bisognava fare l'ipotesi o di una «creazione con­ lido. Mentre le condizioni locali, temperatura, pressioni, ecc. non permetto­tinua» o.di un «inizio». I l f isico teorico Gamow ha proposto una teoria del­ no in generale agli effetti quantistici di rnanifestarsi molto nel cosmo, sulla Terral'evoluzione fondata sulla seconda concezione (e, naturalmente, anche sull'i­ queste condizioni sono per caso tutte favorevoli alla loro manifestazione. Glipotesi che le leggi non sono fondamentalmente mutate ). Da questa teoria ha effetti quantistici, come indica il loro nome, fanno intervenire dei numeri interi.dedotto l'esistenza di fenomeni, alcuni dei quali, osservati (radiazione inter­ In altri termini, mentre tra la figura che descrive la Terra intorno al Solegalattica in equilibrio termico a 4 gradi Kelvin ) risultano difficilmente spie­ e quella che descrive la cometa di Halley è possibile concepire quante Figuregabili da qualsiasi altra teoria. Cosf l'ipotesi di un «inizio» (se sia preceduto intermedie si vogliano — tutte realizzabili in l inea di pr incipio —, niente dio no dalp «esistenza» di un universo in contrazione, o da un qualche essere simile è possibile per quel che riguarda gli atomi e le molecole. Non c'è ne­

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cessariamente una differenza qualitativa tra uno stato quantico di una mole­ meno in parte ascritta alla sua «eleganza matematica». Analogamente, se ilcola e un altro. Questo conferisce a ciascun stato quantico una individualità potere di convinzione della teoria della gravità di Newton trionfa cosi rapi­che nessun stato classico può avere; nonché una stabilità (relativa peraltro, damente — benché l'idea di un'azione a distanza sia oscura — è, evidente­ma reale) che uno stato classico non ha, salvo condizioni particolari. Si capi­ mente, grazie all'universalità della legge proposta. Già in quest'epoca la ma­sce dunque molto bene — e il calcolo lo conferma — che possano formarsi as­ tematica permette di cogliere la nozione di struttura indipendente dai sup­sociazioni di molecole in stati individualizzati e quasi-stabili che abbiano essi porti fisici: permette ad esempio di r iconoscere le stesse fondamentali strut­stessi una netta individualità, e si può dunque immaginare che esse — eventual­ ture in tutti i fenomeni ondulatori. Si noti a tal proposito che è di per sé note­mente — si riproducano con una buona stabilità (questo fattore di stabilità, vole che le strutture fondamentali siano matematicamente intelligibili. A chilo si noti qui a t i tolo informativo, non esclude pertanto numerosi errori che domandasse «Qual è la piu grande scoperta della fisica?» si risponderebbe forsela selezione naturale da parte sua corregge). «Il fatto che la struttura dei fenomeni è parallela a quella del nostro spirito».

Beninteso, si può legittimamente parlare il l inguaggio della cosiddetta fi­ Infine — e non è certo la cosa meno importante — c'è un'altra ragione delsica classica quando si dà per scontata l'individualità delle molecole costituen­ fatto che la matematica è stata fin dall'inizio un elemento unificante della fi­ti e quando non si cerca, d'altra parte, di calcolare esattamente le forze che sica: la matematica non costituisce soltanto un l inguaggio comodo, in real­servono a tenerle legate; quando, in altr i termini, ci si l imita a uno studio tà rappresenta un linguaggio piu un ragionamento. Si è spesso sottolineatosemiqualitativo (che costituisce una tappa indispensabile in problemi tanto com­ che è soprattutto in questo che la matematica è insostituibile. Cosi, ad esem­plessi). È quanto con piena ragione fanno, in generale, i biologi molecolari pio, a un uomo che non capisce la matematica si può benissimo descrivere,della nostra epoca. Nessuno di essi si sogna di negare che le leggi alle quali nel linguaggio quotidiano, la legge classica della rifrazione della luce (leggeobbediscono le molecole da essi studiate siano le leggi della fisica, né, di con­ di Snell-Descartes). Si traccia ad esempio una sfera di raggio unitario conseguenza, che tali leggi siano fondamentalmente quantistiche; né infine ne­ centro il punto d'impatto del raggio luminoso. Dai due punti d' intersezionegano il i'uolo di fatto, anche se molto indiretto, svolto da questo carattere di questa sfera con il raggio luminoso si abbassano le perpendicolari sullaquantistico della fisica di base per quello che riguarda l'individualità, cioè per normale al piano di rifrazione. Si enuncia allora la legge affermando che questiquel che riguarda Ia stabilità strutturale dei corpi viventi. due segmenti sono coplanari e che il lo ro rapporto è uguale a una costante,

indipendente dall'angolo d'incidenza. Alla stessa persona può essere descrit­g.z. Ruolo della matematica nella fisica. to in modo analogo il principio di Fermat senza far ricorso alla matematica.

Basta dire che la velocità della luce dipende dal mezzo nel quale si propagaLa matematica forma incontestabilmente l'ossatura delle scienze esatte. È e che il cammino del raggio luminoso per andare da un punto all'altro è sem­

interessante studiare, anche sommariamente, questa funzione, pre quello che esige il tempo minimo (o massimo). Tuttavia, senza matema­Nel tempo essa si è evoluta. Se si prende in esame l'«era classica», circa tica è impossibile spiegare a questa persona che i due enunciati precedenti,

fino al t9oo, vi si constata l'esistenza di una fisica abbastanza concreta. La in apparenza cosi diversi, di fatto dicono precisamente la stessa cosa e che perdominano in effetti due concetti, materia e campo, nessuno dei quali richiede il problema sono rigorosamente equivalenti. Cosi l ' ignoranza della matema­per essere compreso il ricorso alla matematica (in particolare, Faraday intro­ tica impedisce di passare da una descrizione, istruttiva in questo o quel caso,dusse, come è noto, la nozione di campo attraverso il concetto di «l inee di a una diversa descrizione che in certi altri casi illumina meglio. Tutti i feno­forza», che s'impone all'intelletto con molta chiarezza e senza astrazioni ). Non meni naturali sono in realtà fortemente interconnessi: la nostra impossibilitàper questo le matematiche dell'epoca non hanno un ruolo di primo piano nel­ di mutare il punto di vista si traduce in pratica in una incapacità a coglierela fisica. Questo ruolo è però secondario nel senso etimologico del termine: i legami profondi che uniscono fenomeni tanto diversi della natura e costi­viene dopo la definizione del concetto e permette di servirsene. La matematica tuisce dunque un ostacolo a ogni autentica comprensione.in particolare consente di rendere quantitative teorie che certamente potreb­ Va aggiunto però, per sfumare quest'osservazione, che l'eccesso oppostobero essere descritte senza il suo aiuto, ma dalle quali senza di essa sarebbe è quasi altrettanto paralizzante. A voler conoscere soltanto le equazioni, a vo­impossibile trarre delle conclusioni quantitative. Di esse, di conseguenza, non ler ignorare i concetti che ne sono alla base e i problemi che essi sollevano,sarebbe possibile in generale verificare l'esattezza. Con queste funzioni, re­ ci si precluderebbe in modo altrettanto radicale l'autentica comprensione. Cilativamente modeste, la matematica già esercita tuttavia un notevole potere si precluderebbero soprattutto molte possibilità di porre dei problemi, alcunisulla fisica attraverso le nozioni di semplicità e universalità. Cosi ad esempio, dei quali sono interessanti e possono condurre a progressi,l'immediato successo presso i dotti dell'epoca dell'ipotesi copernicana non è Questo resta vero anche oggi. Tuttavia se si volge l'attenzione all'era mo­attribuibile unicamente a un migliore accordo con l'esperienza (la teoria geo­ derna — che, per la scienza, è il nostro secolo — vi si constata che, oltre allecentrica di Tolomeo da questo punto di vista non andava male): ma va al­ funzioni già descritte, la matematica ne assume un'altra, la cui ixnportanza

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va crescendo, Sempre piu la matematica serve a definire gli stessi concetti che quantistici». Non l i s i formula qui con particolari piu numerosi di quantosi cerca di porre in corrispondenza con il fenomeno osservato. già fatto: il compito risulterebbe troppo tecnico. È importante enuclearne al­

Si può, volendo, far risalire la «preistoria» di questo metodo a un passato meno i concetti di base.

ormai lontano. La formazione del concetto di energia ne è in un certo senso All'inizio di un'impresa cosi generale sembrano a priori aperte due strade

una delle prime applicazioni. L'attingere i propri concetti base — come vet­ ben simboleggiate da due nomi. Due nomi che risultano emblematici, poichétore di stato, algebra di osservabili, ecc. — direttamente dalla matematica stes­ ciascuno evoca un atteggiamento di pensiero, che fu fecondissimo nella fisica:sa costituisce tuttavia un aspetto realmente originale della fisica odierna. Per Democrito e Pitagora. Il nome di Democrito è intimamente legato alla dot­

di piu, essa li attinge di preferenza dalla matematica moderna, dove le no­ trina dell'atomismo, secondo la quale l'Essere si trova disseminato in una mol­zioni corrispondenti sono definite in modo astratto, cioè, ad esempio, come titudine quasi infinita di frammenti semplicissimi, ben localizzati nello spa­insiemi muniti d i strutture definite o come elementi di tal i insiemi. Questo zio, raggruppati in un piccolo numero di tipi, e in grado di esercitare gli unifatto potrebbe indurre ad aderire alla lettera alle concezioni di Pitagora, il sugli altri soltanto delle interazioni ugualmente localizzate, o di contatto, o al­

quale affermava che l'essenza stessa delle cose è costituita dai «numeri» (lo meno decrescenti con l'aumentare della distanza. Influenze che del resto sono

si può tradurre con «matematica»). Ciò, è ovvio, non fa che rendere ancora in parte forze attrattive, che hanno perciò tendenza a costruire con tali «atomi»

piu aleatori quei tentativi di descrizione dettagliata dei fondamenti della fi­ degli aggregati, essi stessi approssimativamente localizzati. Secondo questa dot­sica moderna, che vorrebbero fare a meno di questa stessa matematica. Una trina, tali aggregati costituirebbero tutti gli oggetti che esistono nell'universo,tale verità può sembrare scoraggiante a chi non è un matematico. Un apprez­ Quanto a Pitagora, il suo nome evoca la dottrina, ugualmente degna di rispetto,zabile conforto può essere tratto dal fatto che la matematica necessaria per ma del tutto diversa e anche opposta, secondo la quale «i numeri sono l'es­

la comprensione delle idee-forza della fisica è molto semplice. Inoltre, e non senza delle cose». Senza dubbio questo stesso nome evoca anche una certa

bisogna stancarsi di ripeterlo, se la matematica è indispensabile, non è tutta­ mistica dei numeri, che la fisica ha a ragione abbandonato da lungo tempo.via sufficiente (contrariamente, questa volta, a quel che pensava Pitagora). Po­ Si può tuttavia convenire di dimenticare la componente mistica del pitagori­ca matematica, ma ben scelta, e una buona dose di riflessione, ecco ciò che smo e attribuire il nome di atteggiamento pitagorico alla concezione, che èè necessario, per penetrare a una qualche profondità nella problematica del insieme metodo e dottrina, che vede nella matematica l'essenza ultima delnostro tempo. reale. È quanto si farà qui.

Infine se tutto quello che qui è stato detto sul ruolo della matematica, Con tali definizioni terminologiche è possibile ora studiare il problema se­si applica perfettamente alla fisica in generale, bisogna aggiungere un'osser­ guente. È possibile interpretare in termini di atomismo democriteo la fisicavazione molto importante riguardo alla fisica quantistica, nella quale questo attuale, quella a cui i fatti sperimentali studiati e analizzati nel corso dei se­

ruolo è particolare. Si è già visto, e piu avanti vi si tornerà, che la meccanica coli hanno oggi portato, la fisica quale insomma si scopre ai nostri occhi (sen­quantistica (almeno quella che oggi s'insegna e utilizza) non può pretendere za che essa in nulla sia una scelta arbitraria dello spirito)? O è invece interpre­di esporre ci& che è, ma cerca soltanto di descrivere ciò che si osserva, La ma­ tabile secondo l'atteggiamento pitagorico? Oppure, si basa su una sottile me­tematica che essa utilizza non può dunque essere considerata — nemmeno im­ scolanza dei due? O infine si tratta di tutt 'altra cosa, non riducibile ad alcuna

plicitamente — di portata ontologica. Al massimo si può legittimamente ipo­ di queste due concezioni di base? Beninteso, queste domande hanno sensotizzare l'esistenza di corrispondenze(ma di quale natura resta un mistero) tra soltanto se atomismo e pitagorismo sono intesi non come ricette di calcolo,

le sue strutture e quelle della realtà indipendente. Questa osservazione verrà ma come tentativi di descrizione della realtà indipendente. È questo il puntosviluppata nelle prossime pagine. di vista qui adottato.

Detto questo, c'è nella fisica attuale un po' di atomismo democriteo? Inverità, sarebbe facile crederlo, a giudicare da quel che si scrive nelle scienze

La fisica e i rapporti dell'uomo con la natura. e sulla scienza. Il riferimento ultimo nelle piu diverse discipline non pare for­se essere l'atomo, o meglio la particella elementare? L'astrofisico non parla forsedi gas di particelle ionizzate> Il biologo molecolare non descrive le macro­

y.r. Democrito e Pitagora. molecole di cui si occupa come edifici complessi di atomi, che hanno gli uni in

Oggi dunque, anche grazie in primo luogo alla fecondità dei principi di rapporto agli altri delle situazioni ben precise>base della meccanica quantistica, il potere di sintesi della fisica sembra, al­ Il linguaggio dell'atomismo è sicuramente di prodigiosa fecondità. Ha inol­meno di diritto, essere totale o quasi. tre l'immenso vantaggio di venire in aiuto all'immaginazione scientifica con

In tali condizioni è evidentemente essenziale studiare la natura della co­ la sua impareggiabile limpidezza (che cosa è piu semplice da visualizzare dinoscenza fisica in generale e — in particolare — quella di tali notevoli «principi un «piccolo granello»>) E tuttavia, malgrado tutte queste apparenze, a dispet­

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to anche dell'opinione contraria della gran maggioranza degli scienziati che è conciliabile con la fisica contemporanea, perché nessuna teoria a variabililavorano in campi lontani da quello della microfisica, l'atomismo democriteo nascoste è compatibile con le concezioni di base di questo atomismo appenanon è scientificamente la verità di ciò che è. ricordato. Il punto d'incompatibilità è quello che riguarda le influenze a di­

Questo atomismo è solo un modello. E dire questo non significa ancora stanza. Si è potuto infatti d imostrare con completa generalità che qualsiasienunciare solo una restrizione sufficientemente forte, pèrché ci sono modelli di teoria a variabili nascoste, nella quale le influenze dirette fra le particelle di­molti tipi. Alcuni possono essere considerati buone approssimazioni del reale: minuiscono con il crescere della distanza (come è necessario che facciano, per­è il caso del sistema isolato nella meccanica classica. Nessun sistema è rigorosa­ ché l'atomismo abbia un senso), implica l'esistenza di alcune disuguaglianzemente isolato, ma si constata che in molti casi, in cui le interazioni di un si­ tra quantità accessibili all'esperienza (disuguaglianze di Beli ). Ora, le predi­stema fisico con i l mondo esterno sono deboli, i l f i sico non commette un zioni della meccanica quantistica violano queste disuguaglianze. In effetti leerrore grave ponendole uguali a zero. Egli costruisce cosi un modello vicino sole teorie a variabili nascoste che riproducano esattamente le predizioni dellaal sistema. In questo tipo di modello si fa l'ipotesi che, almeno sul piano del­ meccanica in questione sono quelle dette «non-locali». Queste implicano l'esi­la qualità, i concetti di base del modello riflettano adeguatamente la realtà stenza d'influenze reciproche molto forti tra particelle che abbiano interagitocosi come essa è veramente, indipendentemente dalla ragione umana. Soltan­ nel passato, con la conseguenza che queste particelle, benché la teoria in discus­to sul piano quantitativo si suppone che questo tipo di modello si allontani sione si sforzi di considerarle distinte e separate, persistono di fatto nel formarein qualche misura dalla realtà, che è complessa. Ma esistono anche modelli un tutto: e questo anche nei casi in cui la teoria le descrive come lontanissimedi un secondo tipo, modelli che nella pratica risultano certamente utili, ma l'una dall'altra e l 'esperienza conferma l'estensione spaziale del «tutto» chea proposito dei quali è possibile dimostrare che i concetti base da essi utiliz­ esse insieme costituiscono. Come si vede, si tratta di condizioni che rendonozati non riflettono la realtà. Un semplice esempio è fornito dal modello della privo di senso il l inguaggio dell'atomismo filosofico.sfera celeste e dell'eclittica nel quale si dice che i l Sole percorre un certo Cosi, dunque, la prima delle due vie che a priori era opportuno esplorare,cammino sulla sfera delle stelle fisse. Ora, la fisica contemporanea ha inse­ quella dell'atomismo democriteo, si rivela a posteriori incompatibile con i fatti.gnato che l'atomismo democriteo esteso agli elettroni è un modello di questo Resta dunque da esplorare l'altra, quella evocata dal nome di Pitagora. I nu­secondo tipo. Non può trattarsi di un modello del primo tipo. meri — cioè la matematica — sono l'essenza di tutte le cose> Una tale questione

Il fatto ora sottolineato, cioè l'impossibilità di considerare l'atomismo de­ è, beninteso, molto vasta e il suo studio sistematico porterebbe troppo lon­mocriteo se non come un modello del secondo tipo, i cui concetti di base tano. È dunque legittimo restringerla grazie ad alcune considerazioni gene­non riflettono la realtà come è in sé, è un fatto noto a chiunque sia iniziato rali. Si può forse in questo modo eliminare oggi un'idea che nel passato haalla teoria, anche elementare, dell'atomo, cioè alla meccanica quantistica. È sedotto molti pensatori. Si tratta di coloro che, matematici o filosofi, di frontedunque inutile insistere sulle prove a suo favore, se non per r ispondere a all'incertezza che intacca ogni conoscenza proveniente dai sensi, ritennero cheun argomento portato talvolta per metterlo in questione. Tale argomento si le sole verità eterne e oltrepassanti l'uomo fossero le verità matematiche. Cer­fonda sulla circostanza che l'impossibilità segnalata si riferisce a una teoria: to, una tesi cosi generale non può a rigore essere confutata. Al momento at­ora se si ha fiducia in questa teoria è soltanto perché è verificata dall'espe­ tuale, però, tutto un insieme di osservazioni — provenienti sia dagli studi dirienza o, in altri termini, perché l'esperienza verifica le predizioni da essa for­ psicologia infantile, sia dalle nostre conoscenze biologiche o genetiche — con­nite circa i risultati delle diverse misure che si possono fare. Ma si può pen­ vergono e tendono a dimostrare che la matematica riflette le capacità opera­sare che anche altre teorie, fondate su un diverso sistema di concetti di base, tive dell'essere umano, si tratti del bambino o, secondo altri, dell'uomo pri­forniscano queste stesse predizioni. Schematicamente, quest'argomento con­ mitivo.siste nel far notare che fra tali altre teorie — ammesso che esistano — qualcuna Cosi ai nostri giorni i di fensori di quello che qui sopra è stato chiamatopotrebbe forse descrivere la realtà in modo compatibile con l'atomismo de­ «l'atteggiamento di Pitagora» guardano piu dalla parte della fisica matemati­mocriteo. ca che da quella della matematica pura. La loro tesi suonerebbe all'incirca

La risposta a questo argomento dev' essere data in due tempi. In p r imo cosi: «Certo esiste una realtà indipendente dall'uomo. Questa realtà in linealuogo: è pur vero che esistono delle teorie fondate su concetti molto diversi di principio è conoscibile con i mezzi della fisica, ma trova adeguata espres­da quelli che servono di base alla meccanica quantistica (che è la teoria cor­ sione non nei concetti della vita quotidiana, bensi nelle equazioni della fisi­rentemente in uso) e che forniscono tuttavia le stesse predizioni sperimentali ca matematica». Come si è visto, era questa la tesi di Einstein. È esatta?(almeno nei campi in cui queste teorie sono in grado di farlo ). Si tratta di Iniziando un esame del problema va subito riconosciuto che lo studio diteorie molto complesse, conosciute con il nome tecnico (di cui sarebbe inu­ campi essenziali e fondamentali della fisica fornisce argomenti molto persua­tile e fastidioso esporre qui l 'origine ) di «teorie a variabili nascoste». In se­ sivi in favore di questa tesi. Il ruolo della matematica nella fisica non è affat­condo luogo: malgrado l'esistenza di queste teorie l'atomismo democriteo non to limitato a quello di una scrittura stenografica: ci sono dei concetti come

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quelli di spazio curvo, o di «vettore di stato», che possono essere esposti e nerale. Sfortunatamente la sua adozione conduce direttamente a incoerenzecapiti in modo adeguato soltanto facendo ricorso alla matematica. Piu in ge­ tecniche che si possono riscontrare nelle opere specialistiche. Il programmanerale, giocano a favore della tesi in questione tutto l'elettromagnetismo clas­ consistente nel tentare di eliminare queste incoerenze mediante l'attribuzionesico, tutta la relatività generale e quindi buona parte della cosmologia. Biso­ agli strumenti di proprietà idealizzate che riflettono la loro complessità, si ègna aggiungere che le carenze dell'atomismo filosofico forniscono, per con­ rivelato dei piu ardui e d'incerto successo. I fisici teorici hanno dunque com­trasto, argomenti in suo favore. Cosi, per esempio, non è possibile asserire pletamente ragione quando insistono a definire gli stati dei sistemi mediantecon completa generalità di una qualsiasi particella che è un «atomo», che è il loro modo di preparazione riferito, s'intende, al l ibero arbitrio del fisicocioè indistruttibile e indivisibile (requisito essenziale per poter costituire «l'e­ sperimentatore, e quando rifiutano d'interessarsi al meccanismo complesso dilemento ultimo della realtà») : lo scontro di due particelle può infatti produrre questa stessa preparazione.altre particelle, o piu esattamente, particelle e antiparticelle associate. Come si Ma gli stessi fisici avrebbero meno ragione, se, pensando alla realtà ultimapuò dunque parlare ancora di una «conservazione della materia»? Risposta: e considerandola indipendente dall'uomo, credessero di poter affermare cheo identificando quest'ultima con l'energia, o assimilandola a una differenza le equazioni della fisica matematica sono in grado di descriverla, o almenotra un numero di particelle e un numero di antiparticelle. In entrambi i casi di dame una rappresentazione asintoticamente tendente a una rappresenta­si è portati a conferire i l pr imato a una quantità astratta, di natura essen­ zione fedele, man mano che aumentano le nostre conoscenze. Pensando que­zialmente matematica. sto, essi dimenticherebbero il ruolo eminente svolto dalle nozioni di prepa­

Non sorprende quindi constatare che la grande maggioranza dei fisici teo­ razione degli stati e di osservazione dei sistemi negli stessi enunciati dei prin­rici contemporanei aderiscano — implicitamente o meno — a quello che è stato cipi di base della loro teoria. Va sottolineato che questo ruolo essenziale dellequi sopra chiamato «l'atteggiamento di Pitagora» e non siano lontani dal far nozioni di preparazione e di osservazione è una novità introdotta all'iniziopropria la frase di Jeans «Dio [s'intenda: la Realtà ultima] è un matematico» del secolo xx dalla «rivoluzione quantistica». I pr incipi di base della fisica(s'intenda: la sua essenza è la fisica matematica). classica erano formulati senza riferimento a queste nozioni. È vero che era

Questo atteggiamento filosofico risulta, ancora una volta, estremamente com­ sempre possibile formularli mettendo in gioco anche tali riferimenti; ma quelprensibile di f ronte a certi dati della fisica piu recente. Si scontra tuttavia che qui importa è che tali riferimenti non erano nei loro confronti essenzialicon un'obiezione abbastanza evidente, alla quale si è accennato alla fine del e nemmeno praticamente utili (salvo che un po' nella relatività ). Nella fisica) 3 e che bisogna ora discutere. Si tratta del fatto che tutte le teorie moderne quantistica esse sono indispensabili nella pratica e si può anche sostenere l'i­di fisica matematica — la teoria della matrice S, la teoria quantistica dei cam­ dea che siano essenziali in l inea di principio. Le circostanze, qui sommaria­pi, o qualsiasi altra costruzione con gli stessi oggetti — definiscono lo stato mente descritte, mostrano che la seconda via che si presentava inizialmente,di un sistema mediante il suo modo di preparazione. Una tale definizione è quella dell'«atteggiamento di Pitagora», fondata ancora una volta sull'idea diconsiderata dagli esperti come di gran lunga la piu soddisfacente. E bisogna una realtà indipendente conoscibile e matematicamente descrivibile, non è nem­anche dire come l'unica soddisfacente. Tutto questo a buon diritto. Infatti, se meno essa una via regia per la conoscenza del mondo. È innegabile che pre­appena si approfondiscono i dettagli tecnici, si constata che si tratta della ricetta senti una parte di verità. Ma non costituisce da sola una visione globale dellainfallibile per eliminare dei paradossi che altrimenti rischiano di sorgere. verità, poiché non viene eliminato dal formalismo l'esplicito riferimento al­

Quest'ultimo punto merita un commento. Per ragioni filosofiche, si può l'uomo o a strumenti che considera come tali ; e poiché, ancora una volta, lasenza dubbio cercare di eliminare dalla teoria il carattere antropomorfo del­ matematica non funziona qui da referente esclusivamente ontologico.la nozione di «preparazione di uno stato». Si potrebbe ad esempio essere ten­tati di dire che tutti gli insiemi statistici di sistemi sono regolati da principiquantistici fondamentali, siano questi insiemi conosciuti o soltanto definiti da y.z. Oggettività forte e debole.proprietà ben specificate, ma che si ammette che nessuno conosca. In parti­colare, sarebbe questo il caso di un insieme di sistemi, ciascuno dei quali Bisogna dunque cercare una terza via. È chiaro che in questa ricerca siincorpori uno strumento di misura, considerato come un semplice sistema fi­ terrà conto delle difFicoltà incontrate nell'esplorazione delle prime due. In par­sico finito: le posizioni finali delle lancette degli strumenti avrebbero valori ticolare pare impensabile non tener conto del fatto pratico appena descritto:intrinseci e ciascuno dei valori possibili definirebbe un sottoinsieme, indipen­ cioè che i principi di base della fisica atomica e delle particelle fanno esplicitodentemente da qualsiasi intervento di un qualunque osservatore. Una tale con­ riferimento a nozioni di preparazione e osservazione, in ultima analisi, all'at­cezione avrebbe l'evidente vantaggio di unire la concezione di una realtà in­ tività e alla sensibilità umane. Questo conduce niente meno che a una ride­dipendente dall'uomo (e in linea di principio descrivibile dalla fisica) con l'idea, finizione dell'oggettività.giustificata dall'esperienza, che i principi quantistici hanno validità affatto ge­ Bisogna insistere su questo punto: è fondamentale, elementare, ma soven­

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te trascurato, Siccome la nozione di oggettività è la nozione di base di tutta ti ad alcune interessanti conclusioni: si tratta ancora tuttavia di risultati moltola scienza, le contraddizioni che la riguardano hanno le piu gravi conseguen­ parziali, che lasciano sussistere vaste zone d'ombra e anche alcune obiezionize. Sono in grado di snaturare completamente il messaggio d'ordine generale di pr incipio.di cui è portatore lo sforzo della ricerca scientifica.

Per formulare adeguatamente le necessarie distinzioni, la cosa piu sempli­ce è quella di adottare come punto di partenza il fatto che gli scienziati stessi 5. Conclusione. Fisica e visione del reale.non attribuiscano tutti lo stesso senso alla parola 'scientifico'. Si tratta di un'e­redità dello sviluppo storico delle idee riassunte nel ) g. Nei r icercatori si Molti fisici vorrebbero mantenere la fisica libera da ogni filosofia e pen­trovano infatti partigiani di entrambe le concezioni principali. Secondo la sano che ciò sia possibile. Le considerazioni precedenti mostrano che una taleprima, quella del realismo 6sico, esiste una realtà fisica indipendente, che può speranza è vana, a meno che non si pensi che adottare un punto di vista deli­essere approssimata dalla nostra scienza. Lo sperimentatore umano non è beratamente operazionista non sia fare della filosofia: adottare cioè un puntoche un sistema 6sico tra gli altri ; è anzi un sistema fisico estremamente par­ di vista che scarta come priva di senso ogni nozione di realtà concepita cometicolare, che esiste solo in un'infima parte dell'universo. Sarebbe dunque as­ indipendente dalla collettività degli esseri umani. Un'indicazione in favore del­surdo fondare la 6sica sulle proprietà di un tale sistema, e ancora piu assur­ l'idea che un tal punto di vista operazionista è in sostanza filosofico — e nondo — se possibile — fondarla sulle proprietà piu sottili di questo sistema (li­ puramente scientifico — è fornita dal semplice fatto che gli scienziati si sonobero arbitrio, coscienza ). Gli scienziati che aderiscono al realismo fisico esi­ schierati al suo riguardo su posizioni opposte, come piu sopra si è detto. Agono dunque, del tutto legittimamente, che l'enunciato di un p r incipio 6­ questo proposito è interessante qualche citazione. A favore del punto di vistasico fondamentale non faccia nessun riferimento, nemmeno implicito, alle ca­ operazionista si possono citare molti passi di Bohr, del t ipo «La meccanicapacità operative e di osservazione dell'essere umano. Tale è, e tale dev' essere, quantistica, il cui solo scopo è la corretta descrizione delle osservazioni», ola loro concezione dell'oggettività. Si chiamerà oggettività forte questa con­ ancora la seguente osservazione di Schrádinger: «Non esistendo per nessunocezione. e, di conseguenza, inesistente». Sul lato opposto l'avversario piu noto e co­

Gli scienziati che adottano la concezione opposta sottolineano il fatto che stante di tale punto di v ista è stato — è facile indovinarlo — Albert Einstein,ci si deve sempre accuratamente guardare dal costruire delle frasi prive di che, poco prima della sua morte, non esitava a scrivere: «C'è qualcosa comesenso. Fanno notare che nei campi che si allontanano da quello della vita "lo stato reale" di un sistema fisico, che esiste obiettivamente, indipendente­quotidiana un pericolo siffatto è sempre in agguato. A loro avviso l'unico modo mente da ogni osservazione o misurazione e che in linea di principio si de­sicuro di evitarlo è quello di definire in modo esclusivamente operativo le scrive con i mezzi di espressione della fisica (quali mezzi di espressione e,nozioni sulle quali si basano tali frasi. Siccome per questi scienziati la defini­ di conseguenza, quali concetti fondamentali si debbono utilizzare al riguardo...zione di un concetto si riferisce esplicitamente a un'osservazione o a un atto è cosa che secondo me ancora non si conosce). Questa tesi sulla realtà nonumano, è chiaro che non possono definire l'oggettività di un'affermazione o ha il senso di un enunciato chiaro di per sé, a causa del suo carattere "meta­di una nozione, in modo che risulti radicalmente indipendente dalle possi­ fisico". Ha soltanto il carattere di un programma. Tutt i gl i uomini si atten­bilità (o dalle impossibilità ) operative della comunità degli esseri umani: che gono tuttavia saldamente a questa tesi sulla realtà, compresi quei teorici quan­non possono insomma riferirla a una qualche nozione di «realtà» a sua vol­ tistici che non pongono in discussione i fondamenti della teoria quantistica.ta non suscettibile di alcuna definizione operativa. Fondano di conseguenza la Nessuno ad esempio dubita che il centro di gravità della Luna non occupiloro definizione dell'oggettività sulla comunicabilità. L'obiettività di un'affer­ a un dato istante una posizione determinata, anche in assenza di un qualsiasimazione consiste soltanto nella sua validità per un essere umano qualsiasi. Si osservatore, reale o potenziale. E vero che questa tesi è arbitraria da un puntochiamerà questa concezione dell'oggettività, oggettività debole. La differenza di vista strettamente logico, ma diventa ben diffiicile sfuggire al solipsismotra oggettività forte e debole sta nel fatto che un enunciato scientifico può se la si lascia cadere» [rg53, p. 6].essere debolmente oggettivo, pur r i ferendosi esplicitamente al libero arbitrio Con queste affermazioni Einstein si colloca inequivocabilmente nel cam­o alla sensibilità dell'essere umano in generale, a condizione che non venga po dei partigiani del realismo, e del realismo fisico. Altrove si è compromes­fatto nessun riferimento alle facoltà e alle impressioni di un essere umano so anche di piu e in modo piu preciso. Con Podolsky e Rosen ha infatti in­particolare. sistito sulla nozione di elemento di realtà e, implicitamente, ha associato que­

La fisica contemporanea di base — con la sola eccezione, se si vuole, della sta nozione a quella di località. Per lui non solo la realtà era in linea di prin­relatività generale — è tutta costruita sulla nozione di oggettività debole. Certo, cipio descrivibile con i mezzi della fisica, ma inoltre la legge (relativistica)alcuni fisici pensano che dovrebbe essere possibile ricostruirla in termini di della propagazione a velocità non infinita doveva anche applicarsi agli elemen­oggettività forte, e hanno anche fatto dei tentativi in questo senso. Sono giun­ ti di questa realtà e alle reali influenze reciproche di questi elementi (e non

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unicamente ai «fenomeni» intesi come «apparenze osservabili» «risultati di mi­ tidiano — questo linguaggio di «vecchie parole» che, raffinato dall'aggiunta disurazioni »). parole tecniche, ha generato quello della fisica classica — è in verità il solo,

Su quest'ultimo punto — la localizzabilità degli elementi della realtà e la almeno secondo questi due autori, che possa effettivamente svolgere un ruolovelocità finita delle influenze che essi esercitano gli uni sugli altri — si sa oggi di comunicazione non ambigua. Se bisogna prestar loro fede, sarebbe dunqueche Einstein si è spinto troppo lontano. Come si è riportato sopra, la viola­ vano voler fondare i concetti della fisica classica — quelli che servono ad esem­zione delle disuguaglianze di Beli mostra che se si considera la nozione di pio per descrivere gli strumenti — su quelli della fisica quantistica, come fun­realtà fisica dotata di senso e la si intende come riferentesi all'obiettivo della zioni d'onda, vettori di stato, ecc. Si è invece giustificati a fare il contrario:scienza fisica, questa realtà è allora non-separabile, il che vuoi dire che vi si e siccome è proprio questo il modo di operare della fisica quantistica (che de­esercitano delle influenze a distanza che violano il principio di propagazione finisce le grandezze fisiche e i loro valori a partire dalle misure strumentali )a velocità finita. risulta essa stessa giustificata nei suoi metodi e sollevata da ogni accusa d'in­

Come avrebbe reagito Einstein di fronte a questi risultati> Si può anche coerenza.pensare che sarebbe passato alla tesi operazionista, ma sembra di gran lunga Non risulta per ciò meno vero che se si chiama «realtà» l'insieme dei fe­piu verosimile che avrebbe optato per una concezione realistica, con la quale nomeni cosi descritti, una tale realtà non è indipendente dall'uomo: e che essaavrebbe riconosciuto la realtà indipendente come non-separabile. Ogni volta si avvicina in questo modo molto piu al reale kantiano che al mondo di Leibniz,che si evoca questa nozione, bisogna purtroppo ricordare che al momento at­ alla sostanza di Spinoza o alla materia di Lenin. In modo piu preciso si ve­tuale, malgrado i grandissimi sforzi profusi in questo senso da piu di mezzo dono già delinearsi in Heisenberg alcuni elementi dell'idea, affinatasi poi insecolo, non si dispone ancora di una teoria fisica pienamente soddisfacente Prigogine, ad esempio, di una sorta di effetto circolare. I principi quantisticie generale di una tale realtà. uniti a un principio di causalità che privilegia una direzione del tempo presie­

Ma c'è un altro punto di vista. Come già è stato notato parlando di Kant, dono all'apparizione di quei fenomeni che sono i sistemi complessi; l'esisten­il fisico Heisenberg in particolare si è ispirato all'opera di questo filosofo per za di questi ultimi presiede a sua volta alla comparsa degli esseri viventi, co­tentare di capire il problema dei rapporti dell'uomo con il mondo esterno, ronati dallo spirito umano ; ma, a chiudere il cerchio, quest'ultimo deve proiet­come lo pone la disciplina che lui stesso aveva in larga parte fondato. Ora, tare le proprie categorie nelle cose, quando formula i pr incipi quantistici oè facile, ma semplicistico, giustificare la scelta di una tale fonte di ispirazione pone la causalità. Un'idea del genere è manifestamente incompatibile con l'i­con semplici argomenti psicologici {fondati ad esempio sull'appartenenza dei potesi, secondo cui la scienza potrebbe legittimamente mirare a descrivere undue autori a una stessa tradizione culturale ). In realtà, la scelta in questione ipotetico «reale in sé».fu evidentemente motivata essenzialmente dal fatto che essa socchiude alme­ Ma se è difficile descrivere il reale in sé, è ancora piu difficile pretendereno qualche prospettiva di soluzione a un problema — quello della conciliazione di eliminarne il concetto senza fare dei giochi di parole. Anche l'idea di ef­tra meccanica quantistica e la nozione di oggetto reale — che sembra altrimen­ fetto circolare qui sopra descritta diventerebbe allora, almeno pare, molto si­ti insolubile o, in ogni caso, senza manifesta soluzione. mile a quella di una qualche generazione spontanea dei fenomeni dal nulla,

Ma Heisenberg ha modificato molto il kantismo per adattarlo alla situa­ idea assai difficile da concepire. Si può cosi constatare che il concetto di unazione venutasi a creare. Si può dire, schematicamente, che ha fatto scendere realtà indipendente resta presente in fi l igrana, anche nel pensiero dei fisicil'a priori kantiano dal piedestallo. Cosi, ad esempio, l'innatismo delle nozioni piu attenti all'epistemologia. Negli scritti di Heisenberg la nozione di poten­di causalità, di tempo e di spazio — e quindi anche di località — non è piu in zialità — presentata senza dubbio intenzionalmente in modo da lasciarla vaga­Heisenberg un dato trascendente posto una volta per tutte. Nella fi losofia di svolge indubbiamente un ruolo di questo tipo. Attualmente altri r icercatori,questo autore tali concetti appaiono piuttosto come acquisizioni. Si tratta tut­ che si muovono a loro volta sulle tracce di Einstein, si sforzano, ancora unatavia di acquisizioni alle quali la loro stabilità e i l loro ruolo essenziale nel volta, d'integrare il concetto in questione alla fisica, dunque di renderlo nettopadroneggiamento dei fenomeni da parte dell'uomo bastano a conferire attri­ e preciso. Non è sicuro che il loro tentativo risulti fecondo. Lo stato attualebuti simili in pratica a quelli degli a priori kantiani. Infatti i concetti in que­ di questa scienza è lontano dal rendere inverosimile la tesi di un realismostione, maturati senza dubbio nel corso del lungo combattimento con le cose non fisico che, pur r ispettando quanto c'è di legittimo nel concetto di unain cui si è forgiato lo spirito umano, formano oggi l ' impalcatura stessa del realtà in sé, fondamento delle regolarità osservabili, consideri una tale realtàlinguaggio. In particolare costituiscono la cornice inevitabile di ogni descri­ in definitiva non descrivibile dalla fisica. Secondo questa tesi la scienza do­zione non ambigua degli strumenti di osservazione o di misura. Anche nella vrebbe quindi limitare le proprie ambizioni alla pura descrizione dei fenomeni,scienza è solo per loro tramite che, a detta di Bohr (che Heisenberg in questo non aspirare che all'obiettività debole e rinunziare a conoscere altro che strut­segue da vicino), ci si può informare, gli uni con gli altri, di quel che si è ture che hanno un'analogia parziale con la realtà in questione. In contropar­fatto e di quello che si è appreso. Fondato su tali concetti, il l inguaggio quo­ tita potrebbe legittimamente rivendicare — almeno a termine — l'esclusività

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per quel che riguarda la descrizione appunto, dei fenomeni (cosa che, si noti della matematica (cfr. strutture matematiche, calcolo, differenziale, funzioni, nu­bene, basta a mettere fuori gioco le magie). mero, probabilità, simmetria) rendono possibile sia il passaggio da concezioni va­

Di fronte all'analogia cosi postulata tra le strutture della fisica e quelle ghe e qualitative a concettualizzazioni precise e quantitative (cfr. qualità/quantità,della realtà indipendente, come di fronte alla spiegazione, che a quella è con­ approssimazione), sis il controllo empirico delle teorie stesse (cfr. empiria/espe­

nessa, delle regolarità dei fenomeni, si constata che la tesi sopra enunciata rienza, esperimento, previsione, verificabilità/falsificabilità). Nello studio del

prende evidentemente nei confronti del kantismo distanze tanto grandi quan­ moto come in quello della materia e dell'energia, nell'analisi dei processi reversibilie irreversibili (cfr. entropia, equilibrio/squilibrio), nelle spiegazioni riuscite dei fe­to quelle che prende nei confronti dello spinozismo o del realismo ingenuo. nomeni termici, elettromagnetici, ottici, ecc. (cfr. conservazione/invarianza, gra­

Non costituisce però altro che una tesi plausibile, la cui adozione o il cui vitazione, luce), nelle sue opposizioni ormai classiche (come forza/campo), nellerifiuto (a favore ad esempio della speranza di un possibile ritorno alla conce­ aree, infine, di r icerca avanzata (cfr. atomo e m o lecola, particella, stato fisico,zione realista di Einstein ) dipendono in parte dal temperamento di ciascuno. plasma), la fisica non cessa di fornire dei paradigmi (cfr. paradigma) alla ricercaA chi vuole aderire ad un realismo einsteiniano spetta tuttavia di provare sen­ e di costituire un modello di scienza.

za cadere nella fantascienza che un tale realismo è possibile. Un tale comf>ito, I grandi programmi di r i cerca contemporanei, come la relatività e la f is ica dei

ancora una volta, si r ivela difficile. quanti, modificano le categorie di fondo (cfr. categorie/categorizzazione), quali cau­

Se una conclusione è necessaria a questo articolo, si potrebbe proporre sa/effetto (cfr. anche determinato/indeterminato, caso/probabilità), mutano le con­

questa, Anche a prescindere dai contributi alle possibilità di azione dell'uomocezioni usuali dello spazio e del tempo (cfr, spazio/tempo), offrono una vasta gammadi soluzioni per classiche opposizioni (cfr. continuo/discreto, locale/globale), rimet­

— che richiedono una deontologia che andrebbe discussa a parte — l'apporto tono in discussione, infine, la natura della spiegazione scientifica e dello status delledella fisica alla conoscenza resta essenziale. Questa scienza dimostra in par­ leggi di natura (cfr. legge). Apparentemente divisa in specifiche discipline (cfr. di­ticolare i seguenti fatti: i fenomeni dipendono da una descrizione razionale; sciplina/discipline), ls fisica non sembra quindi rinunziare a uns piu profonda unità,questa descrizione è coerente ; la sua vocazione a una perfetta universalità (dopo sis come punto di partenza per moderne cosmologie, sia come base teorica dello stesso

completamenti, estensioni e ritocchi, se necessario) sembra sulla buona strada processo tecnologico (cfr. macchina), sia infine nel rimandare ai problemi di fondo

per essere provata. Essa si fonda sull'oggettività debole. La sua interpreta­ della conoscenza del reale (cfr. soggetto/oggetto) e alle grandi opzioni di natura filo­

zione nei termini di un 'attribuzione dei fenomeni a una realtà indipendente sofica (cfr. coppie filosofiche, filosofia/filosofie).

(oggettività forte ) si rivela perlomeno difficile e ambigua. Ogni realismo pros­simo — cioè ogni realismo che erige ad assoluto alcuni concetti della vita fa­miliare e si fonda sull'attribuzione di proprietà in sé, calcate sui concetti inquestione, a degli esseri molteplici e localizzati definibili senza riferimento al­l'uomo — tutto questo realismo prossimo sembra essere di conseguenza condan­

nato irrimediabilmente dalla fisica, in quanto in definitiva costituisce un qua­dro inadeguato alla descrizione coerente dell'insieme dei fenomeni. [E. D'E.].

Einstein, A.iiiSS Einleiiende Bemerhungen liber Grundbegrrffe, in Louis de Broglie physicien ei penseur,

Michel, Paris.

Sia che venga caratterizzata rispetto ai propri oggetti d i i ndagine sia al propriometodo, la fisica pone e affronta le questioni di base della conoscenza della natura.Abbandonata l'idea di un'intuizione diretta delle essenze (cfr. essere, esistenza, astrat­to/concreto), essa sembra vertere sul mondo dei fenomeni (cfr. fenomeno) : i proce­dimenti di osservazione e di misura si r ivelano allora indispensabili. Ma la stessa na­tura dell'ipotesi in fisica e la s t ruttura delle teorie(cfr. teoria/modello) mostranoche le matehaatiche in tervengono a definire i concetti stessi (cfr. concetto, idea)che il fisico cerca di mettere in corrispondenza coi fenomeni osservati: le idee di fondo

375 Forza/campo

Forza/campo range, ovvero il raggio d'azione entro il quale essa produce eRetti «sensibili».Tipicamente, ad esempio, le forze gravitazionali sono quelle largamente do­minanti sulle grandi distanze, interplanetarie, interstellari e intergalattiche, nonnel senso che tra oggetti cosi lontani non vi siano altre interazioni — il fatto

Le interazioni piu signif icative. che noi vediamo la luce delle stelle significa che esiste interazione elettroma­gnetica tra noi e loro — ma nel senso che, dal punto di vista «quantitativo»,

Nella dicotomia 'forza/campo' è sicuramente il primo termine quello che, le forze gravitazionali sono cosi dominanti che i l moto di stelle e pianeti è

almeno nel lettore non specialista, suscita un'eco piu r i levata, come quello con ottima approssimazione determinato soltanto da queste. In realtà ancheche, entrato largamente nell'uso corrente, e anzi da questo mutuato, possiede le forze elettromagnetiche sono forze a lungo raggio, ma, poiché esistono ca­un significato in qualche misura riconducibile ad esperienze elementari. Non riche elettriche sia positive che negative (al contrario della massa, che puòè dubbio infatti che nella mente di coloro che tra i pr imi si occuparono di essere solo positiva), non si dà i l caso nell'universo di grosse masse dotatescienza, dall'antichità a noi nota fino ai tempi della prima rivoluzione scienti­ di rilevante carica elettrica complessiva e quindi non v i sono r i levanti for­fica — e si pensi pure anche a Newton — il termine 'forza' racchiudesse un ze di natura coulombiana agenti sulle grandi distanze. Nel corto range d'altrasignificato in pr ima istanza intuitivo e comunque legato a esperienze mate­ parte, cioè a livello microscopico, le forze gravitazionali sono enormemente mi­riali umane — la forza muscolare — o naturali elementari — la forza del vento, ecc. noritarie rispetto alle forze elettromagnetiche e queste a loro volta sono larga­

Non ci si propone qui in alcun modo di r ipercorrere, neppure schemati­ mente inferiori alle forze nucleari e subnucleari, cosi che, a seconda del tipo dicamente, l'evolversi del significato di questo termine nel corso dei secoli, né fenomeni e quindi dell'ordine di distanze che si considerano, è lecito e conve­di esaminare quali siano stati i suoi antecedenti semantici nella fisica di Ari­ niente tener conto solo di alcuni fra i t ipi di forze che teoricamente agiscono.stotele e nella fisica medievale; esistono ottimi studi al r iguardo, e qui si ci­ In realtà questo parlare di «forze» non sembra presentare problemi finchéteranno, come esempio, quelli di Hesse [ til6t ] e Jammer [tqg7]. Si vuole sol­ il discorso viene tenuto a livello qualitativo e descrittivo, mentre le difFicoltà

tanto evidenziare il ruolo svolto dal concetto forza in alcuni momenti rilevanti si moltiplicano non appena si tenta di passare a un l ivello quantitativo eddella storia della scienza degli ultimi tre secoli e dire come ad esso si sia affian­ esplicativo dei fenomeni, supponendo qui schematicamente di intendersi sucato, un po' alla volta e in modo talvolta alternativo talaltra complementare, ciò che la locuzione «spiegazione di un fenomeno» significhi.fino a diventare oggi il polo dominante, il concetto campo.

Si comincerà con l'osservare che, nel concreto della ricerca e del pensierodei fisici, le forze piu importanti non sono poi molte: se si escludono le forze L'aaione a distanza. Nereton e la tradizione newtoniana.

legate ad esperienze elementari sopra menzionate che, pur fornendo un fon­damentale paradigma psicologico, difFicilmente costituiscono parte integran­ Come si vedrà, già in Newton esiste il problema: qual è la natura dellate di un esperimento scientifico, e quindi oggetto di accurata misurazione, gravità, cioè delle forze gravitazionali? Nei Principia egli non si pronunziala prima classe di forze che ha formato oggetto di studio sistematico è stata sulla questione anche se ne avverte l'esistenza e l'urgenza. Scrive infatti : «Userò

quella che comprende la forza di gravità; quella forza cioè che fa si che i gravi le parole attrazione, impulso o propensione di qualcosa verso un centro, indif­cadano sulla superficie della Terra, o che il sistema solare e l'intero universo ferentemente e promiscuamente l'una per l 'altra; visto che queste forze sono

si muovano su orbite ben precise. considerate non fisicamente ma matematicamente. Per cui, il lettore si guardi

Un secondo tipo di forze di importanza cruciale è quello connesso con dal credere che io con queste parole abbia voluto definire una specie o un

i fenomeni elettromagnetici; con quei fenomeni cioè, di cui si parlerà diffu­ modo d'azione o una causa o una ragione fisica, o che io, se per caso parlerò

samente anche piu oltre, che vanno dal mutuo attrarsi di due palline dotate di centri che attirano o di centri munit i d i forza, attribuisca le forze, in un

di cariche di segno opposto e dall'orientarsi dell'ago della bussola, fino alla senso reale e fisico, a centri (che sono soltanto punti matematici )» [r7 i3, trad.propagazione delle onde dette appunto elettromagnetiche, di cui la luce vi­ it. pp. zoo-r ] ; e piu avanti: «In generale assumo qui la parola attrazione persibile, le onde radio, i raggi X non sono che esempi particolari. significare una qualsiasi tendenza dei corpi ad accostarsi l'uno all'altro ;... Nello

V'è poi naturalmente una vasta classe di forze che agiscono a livello micro­ stesso senso generale assumo la parola impulso, in quanto in questo trattato

scopico, atomico e nucleare, cui si accennerà nel seguito solo di sfuggita, dato esamino, come ho spiegato nelle definizioni, non le specie delle forze e leanche che esse sono assai meno completamente inquadrate in una teoria fisi­ qualità fisiche, ma le quantità e le proporzioni matematiche» fibid., p. 339].ca consistente di quanto non avvenga invece per i primi due tipi considerati. Rimaneva tuttavia il problema; in base a quale meccanismo si poteva con­

Già in questa schematica classificazione è implicita l'osservazione che ad cepire che una massa materiale situata in un punto dello spazio in un datoogni tipo di forza corrisponde quello che viene usualmente chiamato il suo istante esercitasse un'azione a distanza, nello stesso istante, su qualsiasi altra

Forza /campo 376 377 Forza/campo

massa, vicina o lontana? Si trattava fondamentalmente della diffiicoltà di con­ senza la mediazione di qualcos'altro che non è materiale, operare e influirecepire una reciproca influenza che non avvenisse né per contatto diretto (qua­ su altra materia senza reciproco contatto... Che la gravità possa essere innata,le si pensava agisse nell'urto ), né per mediazione di alcun mezzo interposto (co­ intrinseca ed essenziale alla materia, cosicché un corpo possa agire su un altrome, si direbbe oggi, nella propagazione del suono nell'aria ). Difficoltà, come si a distanza attraverso il vuoto, senza la mediazione di qualcos'altro, in v i r tucomprende, tutt' altro che banale e che costituisce un po' il nocciolo della con­ del quale e mediante il quale la loro azione e forza possa essere trasmessatraddizione di cui qui ci si occupa. Si precisa anzi subito che il punto di vista dall'uno all'altro, è per me una tale assurdità che io credo che nessun uomoche ritiene del tutto concepibile e corretto parlare di azione a distanza, che capace di pensare in modo coerente in materia di fi losofia possa accettarla»vi sia o no un mezzo interposto, è quello che fa riferimento al primo termine [citato in Hall I 954, trad. it . p. z54 ]. Qui come altrove, tipicamente nelledi tale contraddizione concedendo ancora credibilità al concetto di forza come Queries, poste come appendice all'Opticks [ i7o4], dove Newton propone al­concetto base nello studio delle interazioni, mentre il ritenere che, in qualche cuni meccanismi che rendano conto dell'attrazione gravitazionale, appare chia­senso, sia indispensabile un mezzo interposto che trasmetta l'influenza signi­ ro quanto forte fosse in lui la r ipugnanza per una teoria basata sull'azionefica assumere come fondamentale il concetto di campo. a distanza. Va d'altra parte rilevato che, visto anche l'atteggiamento agnosti­

Non si accenna invece qui alla storia della critica al concetto di forza in co che mantenne a questo riguardo nei Principia, ciò che nella conoscenzaquanto tale, storia che ci sembra meno interessante una volta acquisito il fatto comune è sopravvissuto dell'opera sua, almeno per quanto riguarda la teoriache, data la difficoltà perfino di concepire una misura delle forze in sistemi della gravitazione, è senz'altro la bruta formulameccanici non in equilibrio, i l concetto di forza può essere a tutti gl i eRettiritenuto un'abbreviazione di «massa per accelerazione», almeno nel senso (si F G 1 2

veda anche oltre ) che dire che un corpo P, esercita su un corpo P2 una certa r2

forza significa dire che è in grado di imprimergli una certa accelerazione (de­ per rappresentare la forza F ché la massa m, esercita sulla massa m2 posta afinibile e misurabile rigorosamente); come Ernst Mach [ 1883] ha mostrato, distanza r (con G costante che dipende dalle unità di misura usate e u versorea ciò va aggiunto il fatto che si può convenientemente assegnare a ogni corpo orientato da mz a m, ), e non certo le complicate teorie ipotizzate nelle Queriesuna certa grandezza, la sua massa (inerziale), che ricopre consistentemente e altrove per «spiegare» la gravità; tanto è vero ciò, che in un p ionieristicoil ruolo di costante di proporzionalità nelle reciproche interazioni. articolo di Wheeler e Feynman, pur per altri versi assai informato e impor­

Tornando a Newton: l ' insoRerenza verso l'azione a distanza è già dei suoi tante come si dirà meglio piu oltre, è dato reperire la seguente affermazione:contemporanei (per non risalire piu indietro) : «In confronto all'idea mecca­ «Era il 19 marzo 1845 quando Gauss descrisse il concetto di un 'azione anicistica dell'urto come l'unica causa di mutamento dello stato di movimento, distanza che si propaga con velocità finita, naturale generalizzazione all'elet­v'è un sapore spirituale o animistico nell'idea di una forza incomprensibile trodinamica del punto di v ista sulla forza cosi fruttuosamente utilizzato dache agisce a distanza e che non sembra in disaccordo con una filosofia della Newton e dai suoi successori»! [1945, p. x57].natura antimaterialistica» [Dijksterhuis x95o, trad. it. p. 65z]. Oggi le riser­ve di cartesiani e leibniziani verso le «qualità incorporee e inesplicabili» tro­vano ancora un'inaspettata eco: «Descartes, con i suoi vortici e i suoi atomi I guidi sottili.uncinati, spiegava tutto e non calcolava nulla; Newton con la legge di gravi­tazione in x /r 2 calcolava tutto e non spiegava nulla. La storia ha dato ragione Nel Settecento la questione fu agitata da filosofi e scienziati (se qualchea Newton e ha relegato le costruzioni cartesiane al rango di fantasie gratuite senso questa distinzione conserva per quel secolo) coinvolgendo Leibniz, Bo­e di souvenirs da museo. Certo, il punto di vista newtoniano si giustifica pie­ scovich, gli empiristi inglesi e altri, depositari taluni dell'eredità cartesiana,namente sotto i l profilo dell'effiicacia, della possibilità di previsione, quindi piu newtoniani dello stesso Newton altri. Elemento comune di varie teorie emer­d'azione, sui fenomeni... Ma non sono afFatto sicuro che in un un iverso in genti era comunque l'esistenza di un fluido imponderabile, altamente sottilecui tutti i fenomeni sono retti da uno schema matematicamente coerente, sprov­ e penetrante, tanto da pervadere con maggiore o minore densità tutto l 'uni­visto però di contenuto intuitivo, lo spirito umano sia pienamente soddisfatto. verso, il cosiddetto etere; cosi come in altri campi della fisica altri fluidi ana­Non saremmo in tal caso in piena magia?... Infatti, nel 1968, non abbiamo loghi venivano ipotizzati con lo scopo di «spiegare» vari fenomeni: si pensimeno ragioni di stupirci della caduta della mela di quante non ne avesse New­ al flogisto per le reazioni chimiche, al fluido elettrico per i fenomeni elettro­ton» [Thom i97z, p. zr] . statici e al calorico per gli scambi di calore della termodinamica. In qualche

Peraltro lo stesso Newton in piu luoghi oppone resistenza a ogni tenta­ modo, a parte le distinzioni pur rilevanti fra le teorie che ipotizzavano questitivo di attribuirgli opinioni del genere! Valga per tutti i l seguente passo di fluidi, tutti r ispondevano all'esigenza di fornire un modello esplicativo intel­una lettera a Bentley: «È inconcepibile che materia bruta e inanimata possa, ligibile a fenomeni di cui altrimenti, almeno allora, si sarebbe dato poco piu

Forza/campo 378 379 Forza/campo

d'una descrizione qualitativa. Tali modelli erano dunque piu che mere analogie : piamente descritte e studiate da Michael Faraday, sulla cui opera sperimen­svolgevano in realtà una doppia funzione, di concettualizzazione e di calcolo. tale i lavori di Maxwell erano largamente fondati ) che congiungono i due poli,

Quale fu l'evoluzione di questi tipi di modelli nell'Ottocento? Alcuni di nord e sud, di un magnete, o di due magneti distinti; fra essi si esercita unaessi cessarono semplicemente di esistere (il flogisto, il calorico, il fluido elet­ certa attrazione, mentre un filo percorso da corrente elettrica disposto in di­trico) sostituiti in qualche misura da spiegazioni microscopiche piu convin­ rezione ortogonale a tali linee è soggetto a una forza in direzione ortogonalecenti; altri, come l'etere, persero un po' alla volta consistenza. Si vuole dire a entrambe le precedenti e la cui intensità dipende da quelle della correntecon questo che anche se per tutto l ' Ottocento non si cessò mai di credere e del magnete, oltre che dalla configurazione geometrica del sistema; si vedanell'etere, tuttavia si pensò sempre meno a come era fatto e alla ragione per ora come tutto ciò può venire spiegato mediante il modellino dei vortici ele­cui, essendo fatto cosi, poteva fare da supporto alla propagazione delle onde mentari di Maxwell, il cui asse si suppone dunque disposto come le linee dielettromagnetiche. L'etere svolgeva dunque, sempre di piu, i l ruolo di giu­ forza che congiungono i due poli; tali vortici presentano, in virtu del motostificare la possibilità di tale propagazione, che avveniva — ciò era l' impor­ rotatorio che li anima, e della conseguente forza centrifuga, una tendenza atante — secondo leggi ben precise, le equazioni di Maxwell. Anche a questa «contrarsi », cioè a diminuire la propria lunghezza ingrossandosi al centro, dan­affermazione va naturalmente attribuito un significato di valutazione media do cosi luogo all'azione di attrazione tra le estremità dei vortici e a una paral­di linea di tendenza: non mancarono certamente irriducibili meccanicisti so­ lela azione sulle correnti elettriche. Consideriamo, per semplificare, la seguen­stenitori della necessità di modelli completamente esplicativi. Valgano d'esem­ te schematizzazione (cfr. fig. ra) : supponiamo che un polo nord magnetico Ppio le seguenti parole di Lord Kelvin: «Innanzitutto non dobbiamo ascoltare sia posto in una regione nella quale le linee di forza sono parallele e uniformi,alcuno di quei suggerimenti che tendono a farei considerare l'etere lumini­ dirette verso l'alto; le l inee di forza provenienti da P (tratteggiate in figura)fero come una semplice costruzione mentale. Io credo che vi sia della mate­ saranno disposte in maniera radiale con centro P; la l inea diretta verso l'altoria reale tra noi e le stelle piu remote, e che la luce consista di n ovimenti reali si sovrappone sommandosi a quella preesistente; ciò corrisponde a vortici ladi questa materia, movimenti proprio come quelli descritti da Fresnel e da cui velocità angolare aumenta, cosi che le estremità tendono a contrarsi; i lYoung, movimenti consistenti in vibrazioni trasversali» [i88g, pp. 8-9]. contrario avviene in direzione opposta, cosi che, complessivamente, P viene

L'azione a distanza, che pure aveva trovato i suoi sostenitori in varie epo­ attirato verso l'alto. Analogamente, nella stessa regione, supponiamo di con­che — spesso con diverse motivazioni — da Guglielmo di Ockham (contro la siderare un filo percorso da corrente in direzione ortogonale al piano del di­stragrande maggioranza degli scolastici ) a Keplero, da Boscovich agli empi­ segno e con verso uscente verso chi legge (cfr. fig. rb). Sia F l' i n tersezioneristi inglesi del Settecento„perde un po' alla volta terreno a favore della teo­ del filo col piano del disegno; le linee di forza generate dalla corrente sonoria di campo che, mentre in un p r imo tempo serve appunto a far superare disposte circolarmente come in figura, cosi che a destra di F il l o ro e ffettole difficoltà filosofiche e «logiche» connesse con quella, in un secondo tempo si somma a quello delle linee preesistenti e a sinistra si sottrae: i vort ici aconosce un'evoluzione formale cosi articolata che ne fa uno degli strumenti destra aumentano in velocità e aumenta quindi la loro tendenza ad allargarsi,teorici piu massicciamente sviluppato fino ai nostri giorni. mentre quelli a sinistra di F perdono velocità e quindi tensione trasversale;

NIl campo come paradigma dominante: Maxwell.

Si riprende ora, per ampliare un poco i termini della discussione, il fi lodi quest'evoluzione al tempo e nell'opera di Maxwell. I suoi contributi allacostruzione di una teoria dell'elettromagnetismo sono, com'è noto, del tuttocruciali e ancor oggi le equazioni basilari della teoria sono appunto note comeequazioni di Maxwell. Quattro sono gli scritti in cui egh elaborò complessiva­mente la teoria, ma dai primi due agli ultimi due vi è una notevole differenzadi accento per quel che riguarda il famoso problema dell'esistenza e della co­stituzione dell'etere. Nel secondo di tali scritti, in particolare, cioè in On phys­ical lines of force [r86r], Maxwell dà veste quantitativa al suo modello di a) ti)etere: si tratta di un fluido sottile ed elastico costituito da un sistema di pic­ Figura i .coli vortici («vortici molecolari») i cui assi di rotazione sono orientati come Polo nord magnetico P (a) e filo percorso da corrente (bl in un campo di forze ma­le linee di forza magnetica. Si considerino ad esempio le linee di forza (am­ gnetiche uniforme.

Forza/campo 88o 88t Forza/campo

i vortici di destra hanno quindi i l sopravvento e spingono F verso sinistra, sedei'... Nella nostra teoria risiede nel campo elettromagnetico, nello spazio cir­come appunto sperimentalmente accade. Per superare la difficoltà, consistente costante i corpi elettrizzati e magnetizzati, cosi come entro questi stessi corpi»nel fatto che per due vortici adiacenti e rotanti nel medesimo senso le falde [r86y, pp. 487-88] E da qui in poi la descrizione dei fenomeni elettromagneticiche si toccano si muovono in versi opposti, Maxwell ipotizzò l'esistenza tra viene condotta seccamente in termini di campo.vortice e vortice di lunghe file di minuscole particelle, con l 'ufficio, esatta­ In queste poche frasi, e piu ancora nella struttura di tutto i l lavoro, cosimente, di cuscinetti a sfere, adatte a rotolare senza strisciare sulle falde dei come nel Treatise, è contenuto un notevole cambiamento di prospettiva ri­vortici; tali particelle vennero supposte da Maxwell essere i costituenti ele­ spetto ai primi due scritti: è qui individuabile uno degli episodi rilevanti dimentari dell'elettricità. Un tale modello si prestava, come si è r icordato, a una rivoluzione epistemologica di grande portata, che presenta diversi e pro­un'analisi quantitativa sufficientemente accurata da produrre le principali for­ blematici aspetti, ma che si può comunque cogliere nel passaggio da un idealemule dell'elettromagnetismo;di fatto Maxwell arrivò a mostrare come su que­ esplicativo, meccanico, modellistico in senso realistico, che ispirò la maggiorsta base si poteva giustificare e comprendere la propagazione, attraverso questo parte della ricerca fisica dell'Ottocento, a un ideale piu astratto e formale,mezzo etereo fatto di vortici e palline, della luce in quanto fenomeno ondu­ modellistico in senso logico, e comunque piu matematizzante, che ha invecelatorio trasversale viaggiante con velocità dipendente, com'è del tutto confer­ prevalso grosso modo dai primi anni del secolo fino ai giorni nostri.mato dall'esperienza, dalle proprietà dielettriche e magnetiche del mezzo. Le Il brano di Maxwell citato illustra in particolare un modo nuovo di porrefamose equazioni di Maxwell potevano dunque venir dedotte da un model­ il problema della trasmissione a distanza di perturbazioni elettromagnetichelo meccanico di etere Ruido ed elastico. Se il modello presenta non poche for­ e avvia una soluzione che da quel momento in poi fu sempre piu dominante.zature e difficoltà al nostro occhio, costituiva tuttavia a quel tempo uno sforzo Maxwell afferma ancora che la propagazione delle onde elettromagnetiche av­notevole di spiegazione dei fenomeni elettromagnetici. viene in un mezzo dotato di un funzionamento complicato e comunque a noi

Tra le difficoltà non si deve dimenticare la seguente, che si applica sia a ignoto, del quale è tuttavia sufficiente quella descrizione potente e complessi­questo modello che ad altri analoghi nei quali le interazioni sono supposte va, che non entra nel dettaglio sconosciuto del meccanicismo di trasmissione,essere mediate e trasmesse da qualche mezzo meccanico ; se questo mezzo pos­ fornita dalle quattro equazioni differenziali che portano il suo nome. L'accen­siede una struttura discreta, per esempio è costituito da tante palline, come no, contenuto nelle parole di Maxwell, alla questione dell'energia è assai si­si trasmette la perturbazione da ogni pallina a quella immediatamente attigua, gnificativo ed è legato ad una delle principali difficoltà che si frappongono ache, per varie ragioni, è difficile immaginare continuamente a contatto con la una teoria di azione a distanza; difficoltà che, espressa nel modo piu sempliceprecedente? In altre parole l'azione a distanza, scacciata a livello macroscopi­ possibile, è la seguente: se una perturbazione elettromagnetica parte da unco, si ripropone a livello microscopico. Difficoltà difficilmente superabile, a punto A e arriva in un punto B dopo un certo tempo (è questo un elementoquei tempi, nell'ambito di una teoria atomistica (fu questo del resto uno de­ essenziale: l'interazione si propaga con velocità finita, non istantaneamente),gli scogli che si frappose al successo della teoria atomistica della materia). noi possiamo constatare l'esistenza in A di una certa energia ad un tempo t ,

Si legga ora invece questo brano, che val la pena di citare letteralmente, e in B della stessa energia ad un istante successivo tz, negli istanti compresitratto dai commenti finali della parte II I del terzo scritto di Maxwell sull'elet­ tra tz e t i' dov'è l 'energia> Le innumeri conferme che il principio di conser­tromagnetismo, A dynamical theory of tbc electromagnetic Peld [t864], che vazione dell'energia ha avuto nella fisica rendono difficile asserire che in quel­contiene tutta la materia essenziale che verrà poi ampliata e organizzata nel l'intervallo di tempo l'energia è sparita; ecco quindi che supporre invece cheTreatise [r873]: «In un'occasione precedente [in On physical lines of force] lo spazio intero sia sede di un campo, di cui non si può dire con troppa pre­ho cercato di descrivere un particolare tipo di moto e un particolare sistema cisione cos'è (per il senso che ha qui questa domanda), ma di cui si possonodi tensioni, disposti in modo da render conto dei fenomeni. In questo scritto dire chiaramente tutte le proprietà osservabili, risolve la difficoltà, visto cheevito ogni ipotesi di questo tipo; ed usando parole come momento elettrico è possibile in maniera consistente assegnare a ogni valore del campo, me­ed elasticità elettrica in r i ferimento ai noti fenomeni dell' induzione di cor­ diante opportune prescrizioni formali, valori precisi dell'energia (e del mo­rente e della polarizzazione del dielettrico, desidero soltanto indicare alla mente mento) ad esso associati.del lettore fenomeni meccanici che gli saranno d'aiuto nel comprendere i fe­nomeni elettrici. Tutte queste espressioni in questo scritto vanno considera­te come illustrative, non come esplicative. Quando parlo, tuttavia, dell'energia Aspetti formali della questione.del campo, desidero venir inteso letteralmente. Tutta l 'energia è dello stessotipo dell'energia meccanica (tbc same as mechanical energy), sia che esista sotto È necessario a questo punto accennare a qualche aspetto piu tecnico deiforma di moto, o di elasticità, o in qualsiasi altra forma. L'energia nei feno­ discorsi fin qui fatti, senza il quale non sarebbe possibile apprezzare sufficien­meni elettromagnetici è energia meccanica. Il solo problema è: dove essa ha temente in che consiste la differenza tra teorie di campo e azione a distanza.

Forza/campo 38z 383 Forza/campo

L'equazione di Newton, fondamento della dinamica classica, è un'equazio­ piu avveduti rispetto alle critiche al concetto di forza cui si accennava, risentene differenziale ordinaria del second'ordine, nella quale l'unica variabile ri­ di un'accelerazione pari a (i/m) F(y). E fin qui il concetto di campo non sarebbespetto alla quale si deriva è il tempo; se x (t) rappresenta la posizione della altro che un comodo ausilio matematico per descrivere in realtà l 'azione aparticella di massa m al tempo t e F (x,t) la forza che agisce sulla particella distanza. Esiste dunque, nello spazio circostante m i, un campo di forze F. Que­nel punto x all'istante t, l'equazione di Newton si scrive infatti st'ultima affermazione del nostro supposto manuale porta bruscamente il cam­

dax po di forze dal livello logico al livello ontologico. La spinta a questo passaggio( i) F(x,t) = m — , (t), viene beninteso accentuata da alcune aporie connesse con la teoria dell'azione

a distanza, aporie di cui si è già detto e si dirà ancora, ma ciò non toglie che

dove F è supposto assegnato, cosi come m, e l'incognita è la funzione x; non si tratti di un passaggio a questo livello del tutto ingiustificato. Esso può cer­deve trarre in inganno il fatto che, nella forma di Hamilton, le equazioni della tamente venir compiuto, sulla base di motivazioni del tutto diverse, pur di

dinamica si scrivano esserne coscienti e di accettarne le implicazioni, senza nascondersi che cosi

dq ò H dp òH facendo si eliminano si alcune difficoltà della teoria basata sull'azione a di­

d t hp dt òq' stanza, ma non si rimane certamente privi di difFicoltà concettuali sulla naturadel campo stesso.

cioè con derivate parziali rispetto a p e a q della funzione H: questa infatti è Tra le aporie che per prime si presentarono a una formulazione ingenuasupposta nota mentre le funzioni incognite sono p e q, funzioni del tempo dell'elettromagnetismo mediante una teoria di azione a distanza, ve n'è unasolamente, che definiscono la traiettoria nello spazio delle fasi. Per le equa­ che è opportuno accennare subito, in quanto fu il pr imo segnale di contrad­zioni differenziali di questo tipo, dette ordinarie, è noto che, sotto opportune dizione dell'elettromagnetismo maxwelliano con la meccanica newtoniana. Sicondizioni di regolarità, esiste una classe di soluzioni, al cui interno si indi­ considerino due particelle dotate di cariche elettriche qi e q 2 e di velocità vi evidua la soluzione desiderata pur di fissare una o piu (a seconda del grado v2 in un fissato sistema di riferimento; se si scrive la forza Fi2 che q, esercitadell'equazione) costanti arbitrarie, il cui valore è usualmente dettato, in fisica, su q, e F„ che q 2 esercita su q„si ot t iene dopo alcune semplif icazionidai dati particolari del problema che si sta considerando. Tipicamente, nelcaso di una particella soggetta a forze, la conoscenza della posizione e della, F;; =

+ 3 [vt(vt (x t xt )) (x t xi )(vg vt)] t j = (

velocità ad un istante, che può essere ad esempio quello iniziale, individua 7

fra tutte le soluzioni dell'equazione (i ), quella adeguata al problema.Se que­ dove c indica la velocità della luce nel vuoto e r =~x2 — x,~ ; questa espressionesto procedimento viene seguito nel caso della teoria della gravitazione o del­ è manifestamente non antisimmetrica negli indici i e j, cioè non è vero chel'elettromagnetismo, occorre sapere, nel'caso ovviamente di presenza di due Fi2 = ­ F2i cosi che F,2+ F2, ~ o in generale e anzi tale somma è nulla in al­o piu particelle, qual è la forza che una di esse nella posizione x esercita su cuni sistemi di r i ferimento (per esempio quelli in cui vi = o oppure v2 = o )un'altra che si trovi nella posizione y, in virtu semplicemente della loro pre­ e non in altri ; v iene cosi contraddetto il terzo principio della dinamica, osenza contemporanea, in altre parole si ragiona in termini di azione a distanza se si vuole la legge di conservazione della quantità di moto di un s istematra corpi, indipendentemente da come quest'azione eventualmente si propaghi isolato.e, nel caso, con che velocità. L'evoluzione da questa concezione a una conce­ In parole estremamente semplici, la teoria maxwelliana del campo elet­zione campistica che, come si è accennato, avviene sulla base di esigenze espli­ tromagnetico ricupera la validità di tale principio di conservazione conferendocative profonde, anche se talvolta ingenue, dei fenomeni, viene piu spesso in­ all'entità «campo elettromagnetico» una realtà fisica concreta e attribuendoglitrodotta soprattutto nei manuali piu elementari e meno attenti, nel modo se­ di conseguenza una certa energia e una certa quantità di moto ; inoltre il tuttoguente: si consideri, per fissare le idee, il caso della gravitazione; una parti­ deve venir riconsiderato alla luce della teoria della relatività speciale: infatticella di massa mi situata in x fa si che, se una seconda particella di massa m2 la teoria maxwelliana che, come si è visto, non è galileianamente invariante,si trova in y, quest'ultima sia soggetta a una forza pari a era ante litteram, al suo sorgere, intrinsecamente relativistica.

Si vuole ora esaminare piu da vicino cos'è un'equazione di campo e in' ' ,(x — y) che cosa differisce da un'equazione che descrive forze meccaniche esercitate

a distanza. Nella teoria maxwelliana, che qui non è certo possibile esporree ciò vale per ogni punto y distinto da x; allora si può descri«iere questa situa­ neppure fuggevolmente, il campo elettromagnetico è descritto da quattro cam­zione dicendo che la presenza di m, in x crea in tutto lo spazio circostante pi vettoriali (meglio sarebbe dire da due campi tensoriali antisimmetrici, maun campo di forze F „ il che significa a questo livello soltanto che una particella ci si attiene qui al l inguaggio vettoriale, forse piu familiare) ; uno di questi,di massa m posta in y r isente di una forza F (y), ovvero, in termini un po' indicato usualmente con la lettera D, rappresenta il vettore spostamento elet­

Forza/campo 385 Forza/campo

trico ed ha il significato di rappresentare nello spazio vuoto il campo elettrico Ie altre due equazioni di Maxwell determinano la dipendenza di rf e A da ppuro e semplice e, all'interno di un dielettrico, di tener conto della polarizza­ e J; ed è quest'ultima dipendenza che non è univocamente deterniinata, coe­zione di quest'ultimo; se p è la densità di carica elettrica in ogni punto dello rentemente col fatto che i potenziali elettromagnetici q> e A, che per sé nonspazio (vuoto o no ), D obbedisce, punto per punto, all'equazione(una delle hanno significato fisico alcuno essendo soltanto un formidabile ausilio mate­quattro equazioni di Maxwell ) divD =grrp che lega dunque tale campo alla matico, non sono univocamente determinati dalle equazioni di campo : ciò èdistribuzione di carica; si tratta in questo caso di un'equazione differenziale una peculiare caratteristica del fatto che si t ratta di equazioni alle derivatenon piu ordinaria, ma alle derivate parziali : D è una funzione, a valori vetto­ parziali, le cui soluzioni dipendono in generale dalla scelta di una funzioneriali, dei punti dello spazio, oltre che del tempo, e oltre alla derivata rispetto arbitraria in una certa classe di regolarità. Non è, in particolare, univocamentea quest'ultimo(che in questa specifica equazione non compare esplicitamen­ determinato dalle equazioni di Maxwell i l potenziale elettromagnetico gene­te) appaiono le derivate di D ri spetto alle coordinate spaziali (si ricordi che rato da un'assegnata distribuzione di cariche p (x,t) e correnti J(x,t) : per essi

àD ò D„ òD , sono possibili almeno le due seguenti soluzioni:divD : = + — "+ — ') ; ciò significa che una tale equazione correla il com­

àx òy òz I / ix — yiXportamento del campo in un punto al comportamento in un punto vicino:

JR' lx — ylè cioè un'equazione di t ipo locale. Analogamente, se H è i l campo vettoriale (za)che rappresenta l'intensità di campo magnetico, la quarta equazione di Max­well si scrive: A(rit) (x g) ( J(y r dy

I àD JR jXrotH ­ — — =grrJc òt questi vengono detti potenziali ritardati poiché, come si vede dall'integrandodove J è il vettore densità.di corrente; qui compaiono contemporaneamente di entrambe le formule, il potenziale viene calcolato tenendo conto del contri­derivate parziali rispetto a t e alle coordinate, e ciò ancora una volta significa buto delle sorgenti (p e J) che sono collocate nel generico punto y, ma nonche l'equazione correla i valori del campo in un punto e ad un istante con i all'istante t, ma ad un istante t ­(~x — yi/c) che è quello nel quale deve partire unvalori in punti e istanti vicini; i l campo, con la sua energia e il suo momento, segnale elettromagnetico da y per raggiungere x all'istante t; ma esiste anchemedia l'interazione tra corpi carichi, ha un'esistenza autonoma, trasporta una la soluzioneperturbazione da un punto ai punti vicini in un tempo finito. Scritte le equa­zioni per il campo elettromagnetico (rimangono altre due equazioni di Max­ q)ia ' (x,t) = p y,tp dy

well, che determinano proprietà del solo campo, senza relazioni con le distri­ (zb)buzioni di cariche e correnti, e sono divB = o e rotE ­ ( i /c)(òB/òt) = o, essendo I / [x — yiXE e B rispettivamente il campo elettrico e l'induzione magnetica), occorre scri­

A'"'(x <)= J y <+ ) dyRrlX — yl ( ~ )

vere anche le equazioni del moto per i corpi.'materiali provvisti di carica chein tale campo sono immersi. Una difficoltà tipica a questo punto è che, poiché formata dai cosiddetti potenziali avanzati (o anticipati ) in quanto tengono con­il campo complessivo è generato dai corpi carichi stessi, nei punti dello spa­ to della distribuzione esistente in y non ad un istante precedente t, ma ad

zio da questi occupati esso non è definito (si vede ad esempio dalle leggi di uno successivo a t e dello stesso intervallo. La contraddizione di quest'ultima

Coulomb e di Biot-Savart che esso in tali punti ha l imite infinito ) ; occorre prescrizione di calcolo per i potenziali con un intuitivo principio di causalitàallora, per scrivere le equazioni di moto di una particella carica nel campo, (l'effetto deve precedere la causa) è in realtà piu apparente che reale e puòprescindere dal campo da essa stessa generato e tener conto soltanto di quello venir superata mediante una formulazione piu accurata e soddisfacente del

generato dal resto delle cariche presenti. Questa distinzione, semplice in casi principio di causalità. Una soluzione anzi che presenta alcuni vantaggi è quel­elementari, diventa problematica nel caso generale di cariche in moto con ve­ la fornita dalla media aritmetica delle due precedenti:

locità non trascurabile rispetto a c, e non è univocamente determinata dalle I

equazioni di campo. Si ricorda infatti che le due equazioni di Maxwell indi­ (p ( (p(rit) g @(av))2

pendenti dalle sorgenti permettono di far derivare i campi, matematicamente (2C)parlando, da due altri campi, uno scalare q> e uno vettoriale A, dipendenti (A(rit) y Ai avi) .

2dalla distribuzione di cariche e correnti, mediante le formuleè di essa che si servono alcuni tentativi moderni di fare dell'elettromagneti­

I òAB = rotA E = — g r a drp ­— — ;

smo una teoria dell'azione a distanza, segnatamente la formulazione di Schwarz­C schild e Fokker cui si farà cenno oltre.

Forza/campo 386 387 Forza/campo

dall'essere definitivamente chiarita. Una proposta di soluzione relativamente6. Il p r i ncipio di Mach. recente [Hoyle e Narlikar i963 ] è quella di ipotizzare la crea~ione continua

di materia nell'universo ; si dimostra che in questo modo diventa non piu ne­Se a questo punto si vogliono esaininare alcuni punti di vista piu moderni cessario supporre condizioni iniziali particolari per escludere la possibilità di

su tutta la questione e dare un cenno dei tentativi piu recenti di formulare modelli del tipo di quello di Godei e dedurre quindi la validità del principiouna teoria delle interazioni gravitazionali ed elettromagnetiche mediante il con­ di Mach, ma, in virtu appunto di tale creazione, si ha una progressiva eli­cetto di azione a distanza, si deve partire da alcune riflessioni cruciali con le minazione di anisotropie e inomogeneità e, date condizioni iniziali qualsiasi,quali Ernst Mach portò, dopo quasi due secoli di newtonianesimo piu o meno l'universo evolve verso uno stato di sempre minore vorticità, ovvero di sem­

indiscusso, nuove e stimolanti idee nell'edificio della meccanica classica. Ri­ pre maggiore validità del principio di Mach. Si tratta naturalmente di una so­conosciuto che strutture portanti di tale edificio sono alcuni sistemi di r i feri­ luzione provvista di un alto grado di arbitrarietà, nella misura in cui non è an­mento privilegiati, quelli detti inerziali, nei quali valgono i primi due principi cora stato dato di osservare (e difFicilmente potrebbe comunque venir osserva­della meccanica (detti di Galileo e di Newton rispettivamente), egli criticò to) alcun fenomeno di creazione continua; valga tuttavia a dare un'idea del li­con grande perspicuità l'esperimento del secchio ruotante con il quale Newton vello di astrattezza e complessità che caratterizza le ricerche in questo settore.

pensava di distinguere in maniera assoluta i riferimenti inerziali da quelli noninerziali. Il punto di vista di Newton era semplicemente il seguente : se collocoun secchio contenente dell'acqua in quiete in un sistema di r i ferimento iner­ L'azione a distanza e la radiazione.

ziale, la superficie del l iquido rimane piana; se lo pongo in un sistema diriferimento ruotante (rispetto a un sistema inerziale) la superficie del liquido Risale a Cari Friedrich Gauss la proposta di riformulare la teoria dell'a­assume una definita concavità, dipendente dalla velocità di rotazione; ciò per­ zione a distanza di Newton (come si è visto, questa locuzione va presa conmette dunque di distinguere in maniera assoluta, cioè dall'interno dello stesso molta cautela: il fatto è che venne intesa come teoria dell'azione a distanzasistema, se esso è inerziale o no. La critica di Mach, fondata non su argomen­ malgrado Newton), azione che «si propagava» in modo istantaneo, per mezzotazioni quantitative ma su un' ipotesi qualitativa globale, fu che sia i l fat to di una teoria nella quale l'azione si propaghi a distanza, ma ad una velocitàche i sistemi inerziali fossero di fatto quelli in quiete o moto rettil ineo uni­ alta ma finita: quella della luce nel vuoto. I l suggerimento di Gauss fu ri­forme rispetto alle stelle fisse, sia l'incurvarsi o meno della superficie dell'ac­ preso con interessanti sviluppi da Schwarzschild [ I903a e b], Tetrode [x922]qua nel secchio, sono frutto della distribuzione di masse nell'universo; in altre e Fokker [i9z9], che mostrarono come effettivameate la teoria del campo elet­parole, le masse delle stelle e di tutti i corpi materiali esistenti, che sono, per tromagnetico potesse essere costruita in accordo con tale suggerimento, in ma­cosf dire, lontani ma tanti, sono ciò che realmente determina cos' è, in un niera matematicamente consistente, coerente con le equazioni di Maxwell e inqualsiasi punto dello spazio„un sistema inerziale. Va da sé dunque, nell'ipo­ accordo con l'esperienza per quanto riguarda i fenomeni stazionari e quasitesi di Mach, che se il secchio fosse il solo corpo materiale esistente nell'uni­ stazionari. Le difficoltà cominciavano quando si trattavano le cosiddette cor­verso, poco senso avrebbe distinguere un suo stato di ro tazione da uno di renti rapidamente variabili, e quindi i fenomeni di emissione e assorbimentoquiete e l'esperienza dell'osservazione della superficie dell'acqua in esso con­ di radiazione elettromagnetica.tenuta potrebbe mutare radicalmente e perdere senso. La formulazione di Schwarzschild e Fokker ha il pregio di partire da un

Quest'ipotesi, nota da allora in poi come «principio di Mach», ebbe grande principio variazionale di minima azione, dal quale si può ricavare il potenzialeinfluenza sullo stesso Einstein ed ebbe probabilmente un notevole peso nella elettromagnetico A~' (Y) generato da una carica e„posta in x, in un genericocostruzione einsteiniana della teoria della relatività generale. In realtà, inal­ punto Y:grado le speranze dello stesso Einstein e di altri, non si riuscf mai a ricavareil principio di Mach dalla relatività generale, e anzi si scopri che in un parti­colare modello di universo [cfr. Godei I94.9], all'interno del formalismo dellarelatività generale, il pr incipio di Mach non valeva, nel senso che esistono, essendo g„~ il tensore metrico, Xi' le coordinate di A e s~ i i l quadrato dellain tale modello, sistemi di r i ferimento localmente inerziali, rispetto ai quali distanza (in quattro dimensioni) tra X, generico punto della linea d'universole masse lontane ruotano (vorticità dell'universo). Ciò significa quanto meno, di x, e V. Semplicemente da questo principio le equazioni di Maxwell se­dal nostro punto di v ista, che la natura specifica dell'interazione gravitazio­ guono come conseguenza, ma con in piu una prescrizione precisa sulla sceltanale tra masse lontane, inquadrata dalla relatività in uno schema complessivo «li soluzioni avanzate o ritardate, scelta che, come si è visto, non è invece de­che fa dipendere la geometria dell'intero universo (e quindi il modo di cal­ terminata dalle sole equazioni di Maxwell; tale prescrizione è quella appuntocolare angoli e distanze) dalla distribuzione dei corpi in esso, è ancora lontana già accennata, che consiste nel prendere la media aritmetica (zc) delle solu­

Forza /campo 388 389 Forza/campo

zioni (za) e (zb). Qual è ora la difficoltài' L'esperienza mostra che una carica e i successivi di Hoyle e Narlikar non siano affatto popolari tra i f isici, fra ielettrica in moto accelerato è soggetta a una forza di f renamento simultanea quali prevale un atteggiamento nettamente piu agnostico e/o conformista.all'accelerazione, e la teoria dell'azione a distanza prevede che una carica elet­ In primo luogo va osservato che la teoria dei campi ha, in qualche modo,trica in moto accelerato senza che siano presenti altre cariche nello spazio, prevalso. Sintomatico è quanto scrive Weyl all'inizio del lavoro nel quale pernon sia soggetta ad alcuna forza. Anche in presenza di altre cariche i mecca­ la prima volta tenta un'unificazione dell'elettromagnetismo con la teoria dellanismi connessi con la soluzione (zc) non sono sufficienti a spiegare la forza in gravitazione; nel definire, seguendo Riemann, un continuum metrico comequestione, detta appunto reazione di radiazione(è infatti i l meccanismo che una varietà i cui punti siano rappresentabili con continuità mediante tre pa­permette l'emissione di radiazione elettromagnetica da parte di una carica ac­ rametri x„ x „ x« e n e l la quale valga il teorema di Pitagora, egli cosi giusti­celerata). fica l'ipotesi di far valere quest'ultimo soltanto nella sua forma infinitesima:

Wheeler e Feynman [r945; r9y9], che si occuparono del problema, ripre­ «Del tutto in accordo con lo spirito della moderna fisica dell'azione da vicinosero un precedente suggerimento di Tetrode [r9zz] e di Lewis [(9z6] e pro­ (Naher()irkungsphysik) noi supponiamo che il teorema di Pitagora sia stretta­posero l'ipotesi che l'atto di irradiare fosse strettamente connesso con la pre­ mente valido soltanto nell'infinitamente piccolo» [r9r8, p. 465]. Del resto,senza di un potenziale assorbitore, cioè di qualcosa in grado di assorbire la decisivo era stato in proposito il ruolo della relatività: praticamente da sempreradiazione irradiata. Una delle loro tesi fondamentali è infatti che la forza vi era alla base della fisica l'idea che la situazione di un sistema ad un istantedi reazione radiativa su una carica accelerata (sorgente) sia dovuta all'azione determinasse quella dell'istante successivo (con questa espressione s'intendesu di essa dei campi avanzati relativi alle particelle dell'assorbitore; necessa­ ovviamente la situazione dopo un tempo arbitrariamente piccolo); in parti­ria a questa ipotesi è l'esistenza nell'universo di un numero sufficientemente colare che l' interazione ad un istante avesse il suo effetto all ' istante succes­alto di assorbitori, cosi da poter applicare a questi alcune tecniche di calcolo sivo; dal momento che uno dei nuovi dettami concettuali cruciali della re­proprie della meccanica statistica. Se ciò accade, cioè se l'intero universo è latività (speciale, 1905) fu quello di considerare spazio e tempo sullo stessoun assorbitore perfetto (ipotesi che viene formalmente tradotta assumendo che piede, di trattarli cioè ovunque in maniera equivalente, il gioco era fatto : nullasia, ovunque nell'universo, sembrava piu naturale del fatto che la situazione in un punto dello spazio­

~ (p(rit ) p ' (av)) Q tempo determinasse quella nei punti di spazio-tempo vicini, e per descrivere(x) (x)

x un tale comportamento, come si è visto, le equazioni di campo sono lo stru­mento naturale,dove la somma è estesa a tutte le cariche in esso presenti ) si può allora dimo­

Cosi, l'etere scompariva sempre piu definitivamente dalla coscienza dellastrare che il campo che agisce su x può essere cosi scritto :comunità scientifica, non appena il programma di r icerca iniziato dai lavori

I di Einstein diventava prevalente sul programma di Lorentz; anche se, comeg p

(rit) y (P(r)t) P(av)) .(x') Z (x) (x) nota Zahar [r973], il programma di ricerca di Lorentz, che comprendeva unax raxteoria elettromagnetica della materia consistente con le esperienze di Michel­

il primo termine consiste nella somma di tutti i contributi r i tardati (realmente son e Morley e con altre successive, rimase progressivo fino a dopo il r '9o5,osservati) provenienti da tutti i corpi diversi da x; è il campo esterno che agi­ finché cioè la relatività generale (r9r6) non portò i l programma alternativo,sce su x per effetto della presenza delle altre particelle e non è influenzato dal quello di Einstein, alla previsione di fatti non altrirnenti spiegati, quali lo spo­moto istantaneo di x. È invece il secondo termine quello che proviene dal mo­ stamento del perielio di Mercurio. Su questa strada in verità si potrebbe an­to di x, ma come risultato della risposta di tutt i gl i assorbitori esistenti nel­ dare anche piu lontano. Dicke [r96 (] ha recentemente mostrato in un diver­l'universo: ciò rende conto della reazione di radiazione e conduce a equazio­ tente e istruttivo «sarebbe potuto accadere» che, «se Einstein fosse vissutoni del moto per una particella carica, in un mezzo completamente assorbente, quindici anni piu tardi» la teoria di Lorentz avrebbe avuto il tempo di con­del tutto equivalenti alle usuali equazioni dell'elettrodinamica. Wheeler e Feyn­ solidarsi tanto da prevalere : essa avrebbe previsto correttamente la deviazioneman, pur rimanendo spesso ancora su un terreno piuttosto qualitativo, vanno dei raggi luminosi in un campo gravitazionale, lo spostamento verso il rossonaturalmente molto oltre questi pochi cenni e si pongono problemi piu speci­ e anche la rotazione del perielio di Mercurio; i l tu tto mantenendo l'etere, eficamente riguardanti la natura della radiazione che eccedono i limiti e gli sco­ quindi lo spazio assoluto, l'aumento della costante dielettrica dell'etere in vi­pi che qui ci si propongono. Ci sembra tuttavia utile l'avervi accennato perché cinanza delle masse, e la contrazione di Lorentz-Fitzgerald. Appassionante temasi tratta di un esempio tipico di teoria fisica consistente ma non ancora soddi­ di ricerca questo per chi, in fisica, crede in maniera assoluta nelle «confermesfacenternente sviluppata. sperimentali» delle teorie.

Qual è l'atteggiamento dei fisici contemporanei rispetto al dilemma azionea distanza /campo> È opinione di chi scrive che i lavori di Wheeler e Feynman

Forza/campo 39o 39i Forza /campo

del campo che viene associato alle interazioni nucleari, quelle cioè che ten­8. Teo r ia quantistica dei campi. gono insieme le varie particelle che convivono nel nucleo di quasi ogni atomo

(protoni e neutroni, denominati complessivamente nucleoni); tale campo, laAnche altri furono tuttavia i successi che permisero alla teoria dei campi di cui introduzione è appunto legata al nome di Yukawa, ha un range dell'or­

prevalere: successi in termini di concisione, eleganza formale e chiarezza di for­ dine delle dimensioni del nucleo — circa io s cm — e dà luogo a un'interazionemulazione matematica, ma anche in termini di previsioni sperimentali sorpren­ tra nucleoni e mesoni assai piu forte di quella elettromagnetica (legata al fattodentemente corrette di molte branche della teoria. Ciò è vero, oltre che per che alcune di tali particelle posseggono anche carica elettrica non nulla ). Quil'elettromagnetismo classico in quanto tale, anche per il successivo massiccio è l'origine delle prime difficoltà che si riveleranno presto molto rilevanti; dif­sviluppo della teoria quantistica dei campi. Infatti fin dagli anni della creazione ficoltà legate essenzialmente all'apparire, nel formalismo matematico che espri­della meccanica quantistica (il terzo decennio di questo secolo) ci si è sforzati me la teoria, di quantità infinite, le cosiddette divergenze — tipicamente inte­di edificare, parallelamente e coerentemente, una teoria quantistica dei sistemi grali e serie che non convergono — la cui presenza fa sf che molti r isultaticomprendenti non solo particelle, ma anche campi, e in primo luogo il campo perdano significato. L'insieme di procedure e prescrizioni escogitate per eli­elettromagnetico. Scrivono Heisenberg e Pauli in uno dei lavori che fondano minare le divergenze (procedure di rinormalizzazione) è riuscito solo parzial­(dopo i primi contributi di D i rac) la teoria quantistica dei campi: «Non è mente a dar luogo a un quadro soddisfacente; esistono oggi varie formula­

stato sinora possibile nella teoria quantistica connettere in maniera priva di zioni della teoria quantistica dei campi, a vari livelli di articolazione e di ri­contraddizioni le leggi della meccanica e dell'elettrodinamica e le interazioni gore, nessuna delle quali riesce comunque a inquadrare un numero sufficienteelettrostatiche e magnetostatiche da una parte con le interazioni mediate dalla di dati sperimentaliin uno schema esplicativo unitario. Esistono anzi addirit­radiazione dall'altra, cosi da trattarie da un punto di vista unitario. In special tura difficoltà molto grosse a livello teorico : non è possibile a tutt' oggi neppuremodo non si è riusciti a trattare in maniera corretta la velocità di propagazione alfermare con sicurezza l'esistenza di un modello, in dimensioni realistiche,finita delle azioni di forza elettromagnetiche. Scopo del presente lavoro è quel­ cioè tre spaziali e una temporale, di teoria di campo rigorosa che descrivalo di colmare queste lacune. Per raggiungerlo sarà necessario approntare un un'interazione non banale (che non descriva cioè semplicemente l'esistenzaformalismo relativisticamente invariante che permetta di trattare l'interazione separata di particelle libere).tra materia e campo elettromagnetico, cosi come quella tra materia e materia» Assai piu promettenti erano stati i successi dell'elettrodinamica quanti­

[I 929, p. x ]. Cominciava cosi la costruzione di una delle parti piu ampie e stica, cioè della quantizzazione del campo elettromagnetico (per il quale laarticolate della moderna fisica teorica, quella che va sotto il nome di teoria costante di accoppiamento, che misura in modo preciso la forza dell'intera­

quantistica dei campi. In essa il concetto di campo ricopre, com'è del tutto zione, è assai minore) ; tipicamente la previsione dello spostamento dei livellievidente, il ruolo fondamentale: il campo stesso, oggetto fisico cui è associato energetici di un elettrone di un atomo idrogenoide (Lamb shift) fu sperimental­un numero infinito di gradi di libertà, e viene pertanto assimilato a un sistema mente confermata con grande precisione.di infiniti oscillatori, viene sottoposto al processo di quantizzazione; le fun­ Si comprende a questo punto come lo sforzo di chi ha tentato di costruirezioni che lo rappresentano diventano operatori (o, piu precisarnente, distri­ parallelamente una teoria delle interazioni basata sul concetto di azione a di­buzioni a valori operatoriali ) in un opportuno spazio di Hi lbert (cosi come stanza si sia per il momento limitato al caso delle interazioni elettromagnetiche,nella meccanica quantistica strictu sensu le osservabili — posizione, momento, sforzandosi di ottenere una formulazione in grado di riprodurre tutti i r isul­ecc. — diventano operatori ) e i quanti del campo sono le particelle ad esso tati significativi e sperimentalmente corroborati ottenuti dalla formulazioneassociate: i fotoni, o quanti di luce, appaiono cosi come i quanti del campo campistica.

elettromagnetico, ovvero quelle entità discrete che si portano dietro la quantità A questo punto la distinzione fra le due teorie dipende in maniera crucialeminima possibile, per ogni frequenza, di energia del campo. «Se i fotoni emer­ dal significato che si annette a questa parola. È immaginabile un esperimentogono in maniera cosi naturale dalla quantizzazione del campo maxwelliano, che distingua fra la teoria di Wheeler e Feynman e quella campistica usuale?si è portati a chiedersi se altre particelle, la cui esistenza viene osservata in In linea di principio l'esperimento esiste: occorrerebbe esaminare il compor­

natura, sono anch' esse connesse a campi di forza da un analogo procedimento tamento di un dipolo oscillante in un universo non completamente assorbente,di quantizzazione. Su questa base Yukawa predisse l'esistenza dei mesoni rc meglio ancora in un universo dove solo il dipolo esista; secondo la formula­dalla conoscenza dell'esistenza delle forze nucleari» scrivono Bjorken e Drell zione usuale il dipolo dovrebbe emettere radiazione esattamente come fa nel

[r965, p. z] nell'introduzione al loro testo di teoria relativistica dei campi quan­ nostro universo, secondo la teoria di Wheeler e Feynman no, e anzi in untizzati. Cosi, infatti, negli anni '3o i mesoni x (indicati con i simboli n+, i r , universo altrimenti vuoto non dovrebbe emettere assolutamente nulla perché

a seconda della loro carica elettrica; vennero in seguito scoperti altri t ipi l'emissione di radiazioni dipende in tale teoria dalla presenza di assorbitori.di mesoni, associati ad altri campi, ecc. ) vengono introdotti come i quanti Ma è a tutt i evidente quanto sia arduo annettere valore discriminante a un

Forza/campo 39z,393 Forza /campo

tale esperimento. Tuttavia le due teorie sono concettualmente radicalmente di­Jammer, M.

verse, non solo per ciò che riguarda la loro impostazione, ma ancor piu se rg57 Concepts of Force. A. Study in the Foundations of Dynamics, Harvard University Prese,si considerano gli ulteriori sviluppi elaborati, sulla base delle idee di Wheeler Cambridge Mass. (trad. it . Feltr inelli, M i lano rg7r).

e Feynman, da Hoyle a Narlikar [t969]. Differenze cruciali appaiono infatti Kelvin (W. Thomson, I ord)

nella stessa quantizzazione del campo, che, nella formulazione di questi ultimi [r884] Ba l t imore Lectures on Molecular Dynamics and the Wave Theory of Light, Clay, Lon­don rgo4.

autori, non può neppure venir effettuata dal momento che il campo è comple­Lewis, G. N.

tamente determinato dalle particelle presenti, non ha cioè gradi di libertà pro­ rgz6 Th e nature of l ight, i n «Proceedings of the Na t ional Academy of S c iences», XII .pri; Hoyle e Narlikar riescono tuttavia a ottenere esattamente almeno alcuni Mach, E.di quei risultati cui si perviene usualmente mediante appunto la quantizza­ r883 Di e M e chanik in ih rer Ent tcickelung historisch-kritisch dargestellt, Brockhaus, Leipzig

zione del campo, anche se ciò al prezzo di supporre opportuni modelli di uni­ (trad. it. Boringhieri, Tor ino r g68).

verso. Maxwell, J. C.

Ciò è, a parere di chi scrive, assai istruttivo per la storia delle teorie fisiche r86r On p h ysical l ines of force, i n «Philosophical Magazine», XXI .[r 864J A dynamical theory of the electromagnetic field, in «Royal Society. Philosophical Trans­

e della loro pretesa falsificabilità. È facile previsione che dalla teoria dell'a­ actrons» CLV (r865)zione a distanza si possano ricavare, se si dispone di sufficiente abilità, con r873 Tr e a t ise on Electrrcity and Magnetism, Clarèndon Presa, Oxford (trad. it. Ute t, Tor ino

l'aggiunta eventuale di qualche ipotesi ad hoc, tutte le previsioni osservative r 973).

corrette proprie anche della teoria dei campi. I l giudizio su quale delle due Newton, I,r7o4 Op t i cks: or, a T reatise of the Refiexions, Refractions, Inflexions and Colours of Light,

teorie contenga piu ipotesi ad hoc, quale sia la piu naturale, quale la piu utile, Smith snd Walford, London; ed. Innys, London r73o.

con tutta l'ambiguità che è ormai connessa a questi termini, appare sempre r 7 r 3 Phi losophiae Naturalis Pr incipia Ma t hematica, Crownfield, Cambridge r 7 r 3 (trad.

piu lontano e sfocato. [A. 8.]. it. Utet, Tor ino rg65).Schwarzschild, F.

r903a Zur E lektrudynamik. L Z u e i F o r men des Princips der kleinsten Action in der E lektro­nentheorie, in «Nachrichten von der Kònigl ichen Gesellschaft der Wissenschaften zuGottingen, Mathematisch-Physikalische Klasse».

Bjorken, J. D., e Drell, S. D. rgo3b Zur E lektrodynamik. I l . D ie E l ementare elektrodynamische Kraft, ib id .

l965 Re l a t iv istic guantum Fields, McGraw-Hi l l , New Y o rk . Tetrode, H.

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London-New York ( t rad. it . Fel tr inelli, M i lano rg74). vamente svincolata da alcuni dei r i ferimenti intui t ivi — legati ad esperienze (cfr. dato,

Hoyle, F., e Narlikar, J. V. empiria/esperienza) materiali umane o naturali — ed è divenuta, grazie a un proce­

rg63 Ma c h's principle and the creation of matter, in «Proceedings of tbc Royal Society. Se­ dimento di r igorizzazione tipico della conoscenza scientifica, un potente concettor ies A: Mathematical and Physical Sciences», CCLXXI I I . rinificatore nella fisica. Entro i l pa r adigma ne wtoniano ha rappresentato, per la

rg69 El e ctrodynamics of direct interparticle action. I. T he quantum mechanical response of ineccanica (cfr. moto), il correlato della nozione di causa (cfr. causa/effetto, deter­the universe, in «Annals of Physics», LIV.

tninato/indeterniinato) ove la concezione dell'azione a distanza, centrale nello studio

Forza/campo 394

della gravitazione, si è imposta grazie al tipo di calcolo che essa consente e al conse­guente potere predittivo (cfr. anticipazione, previsione). Ma, anche in connessionecon l'indagine sistematica di altri fenomeni (cfr. fenomeno) — elettrici, magnetici, ecc. ­

è emersa la concezione di campo, ora alternativa, ora complementare. La coppia forza /campo ha quindi svolto un diverso ruolo nella ricerca scientifica a seconda delle par­ticolari opzioni filosofiche e metodologiche (cfr. coppie filosofiche, filosofia/filosofie,metodo). Corrispettivo fisico del passaggio dal globale al locale (cfr. locale/globale),quello dall'azione a distanza alla concezione campistica interessa sia la re la t iv i tà s iala fisica dei quanti e ha conseguenze nelle varie cosmologie e nelle stesse concezionigenerali del mondo. La complessa dialettica che inerisce a tale coppia non è piu r i­ducibile a un qualche esperimento cruciale che permetta di decidere per l una o l 'al­

)

tra concezione (cfr. verificabilità/falsificabilità), ma s'iscrive in una visione piu ar­ticolata della spiegazione scientifica e delle procedure di controllo delle teorie (cfr.teoria/modello).

Moto

La definizione di moto quale è data dai comuni dizionari può essere accet­tata anche nel linguaggio scientifico: cosi, per lo Zingarelli si parla di un «mo­to di un corpo, allorché questo occupa successivamente diverse posizioni nellospazio»; per il Vocabolario della 6ngua italiana di Giacomo Devoto e Gian Car­lo Oli «il moto è la variazione continua della posizione di un corpo, o di unaparte di esso, rispetto ad un altro». In sostanza, ciò che affermano innanzi tuttole predette definizioni è che ogni fenomeno di moto si svolge nello spazio e neltempo : ora, proprio l'evoluzione di questi concetti primari di spazio e di tempo,prodottasi dalle epoche piu remote ad oggi, è causa della differenziazione chedetti concetti, e quindi quello di moto, possono presentare nel linguaggio scien­tifico e in quello comune,

Da entrambe le definizioni di moto sopra ricordate, poi, appare subito chela nozione di moto, cosi come quella di quiete, è per sua natura relativa, in quan­to parlare della posizione di un corpo C ha senso solo se viene definito il sistemaS rispetto al quale il corpo C è riferito, ossia se si definisce il cosiddetto «sistemadi riferimento» : questo può essere costituito da una terna di assi cartesiani orto­gonali (O; x, y, z) solidali all'osservatore che considera il moto. Se P è un puntoqualsiasi del corpo mobile C, le coordinate di P rispetto alla terna S varierannonel tempo e si potrà scrivere:

(1) x = x(t), y =y (t); z = z(t)

o compendiosamente P = P(t) se si indica con t la variabile temporale quale èmisurata dall'osservatore solidale con S. Al variare di t variano le posizioni delleproiezioni dei tre punti P„P „ , P„p r o iezioni di P sui tre assi, ed il moto di Psi dice composto dei moti di P~, P„, P,. La rapidità con la quale varia la posizionedi P sulla sua traiettoria, ossia sulla linea di equazioni (1), è definita dal vettore

P(t+At) — P(t) dPst~o D,t dt

le cui componenti secondo i tre assi x, y, z sono dx/dt, dy/dt, dz/dt di guisache se i~, iv, i, sono i versori degli assi stessi, è

dx. d y. dz .(2 ) v 1~+ l y + — l~,dt * dt " dt

o anche, se ds è la lunghezza dell'arco elementare della traiettoria di P descrittoda P nel tempuscolo dt, e v il versore della tangente in P (t) a detta linea,

c&(2") V ­

dt

Il vettore v ora definito è la velocità di P, e la sua definizione corrisponde allanozione intuitiva di rapidità del moto, mentre dalla (2') appare che la velocità

Moto ggzMoto

del punto è data in ogni istante dalla risultante delle velocità che in quell'istantecompetono ai moti componenti.

«Quanto piu vasto è il campo che la fisica, la chimica e l'astronomia ci rivelano,

Ora, è facile rendersi conto che, se si considera il moto dello stesso puntotanto piu noi sogliamo sostituire l'espressione "spiegazione" della natura con

P rispetto a un altro sistema di riferimento S' (O', x', y', z'), la cui posizione la piu modesta espressione "descrizione" della natura, e tanto piu chiaro diventa

cambia rispetto a S (e quindi è in moto relativamente a S ), i moti di P rispetto che questo progresso non è dato da un sapere diretto, ma da una comprensione

a S e a S' sono diversi, in quanto sono diverse le traiettorie e diverse le velocità analitica. Con ogni grande scoperta, — e lo si può seguire specialmente nella fisica

corrispondenti : cosi, se si considera un treno che si muove in curva, e si sup­moderna, — diventano minori le pretese degli scienziati a una comprensione del

pone che gli assi delle due rotaie siano in uno stesso piano orizzontale e dispo­ mondo nel senso originario» (trad. it. p. t t ).sti secondo due circonferenze concentriche, per un osservatore, seduto nel suo

In quanto segue non saranno considerati i vari problemi nei quali si scinde

scompartimento mentre un altro viaggiatore passeggia lungo il corridoio, la tra­ il problema generale, quale sopra è stato specificato, perché questo richiederebbe

iettoria del baricentro di questo secondo viaggiatore può apparire rettilinea; unoltre che uno spazio molto maggiore di quello che può essere concesso a un ar­

osservatore esterno al treno e immobile (rispetto alla terra) vedrà invece circo­ ticolo d'enciclopedia, anche competenze specifiche diverse, ed in effetti quanto

lare la traiettoria stessa.qui è omesso potrà essere ritrovato in altri articoli di questa stessa Enciclopedia ;

Questa non-invarianza del moto di un punto, al variare del r i ferimento, ci si limiterà soltanto ad indicare quanto è necessario per una prima visione ge­

portò il fi losofo Parmenide d'Elea, il fi losofo «venerando e insieme terribile» nerale del problema, e questo sarà fatto in due paragrafi, nel primo dei quali

nella sua grandezza, come disse Platone [Teeteto, t83e], a negare il movimentosarà esposto il modo in cui si è andato evolvendo nel tempo il concetto di moto,

stesso, che sarebbe pertanto solo un'apparenza dei sensi: ventiquattro secolied indicate le cause che hanno condotto ad una tale evoluzione; nel secondo sa­

piu tardi, però, Einstein dimostrò che se non è invariante la linea che rappre­ranno prese in considerazione le modalità con le quali si realizzano i moti na­

senta la traiettoria nel riferimento spaziale (che costituisce un continuo tridi­turali, limitatamente alla locomozione acquatica degli esseri viventi. Questa ov­

mensionale nelle coordinate x, y, z ), è invariante la linea che la rappresenta nel viamente soddisfa alle leggi fisiche, ma le modalità con le quali essa potrebbe es­

riferimento spazio-tempo (che è un continuo quadridimensionale nelle coordinatesere realizzata non sono univocamente determinate dall'ambiente in cui la spe­

x, y, z e t ), e pertanto il concetto di moto, anche nella concezione di Parmenide,cie considerata vive, mentre è enorme il numero delle specie e sottospecie che

può acquisire diritto di esistenza. È naturalmente ovvio domandarsi se, noto il costituiscono il mondo animale, ed enorme è il rapporto delle masse degli orga­

movimento di un punto P rispetto ad un riferimento S, e noto il moto del si­nismi viventi (da io-'s g per i Micoplasmi a ros g per le Balene blu, corrispon­

stema S rispetto a un altro riferimento S', si possa determinare il moto di P dente quindi ad un rapporto delle masse estreme uguale a io" ). È generalmenterelativamente a S', è questo un problema fondamentale della scienza che studia ammesso che queste modalità corrispondano a condizioni ottime per la locomo­

il moto, la meccanica, e la risposta data al quesito sin dai tempi piu antichi è zione soggetta a determinate condizioni, dipendenti o dall'ambiente o dalle di­

senz'altro si, ma il risultato di questa composizione dei moti di P in S e di S mensioni dell'organismo, o da altre circostanze, ed in effetti nei casi in cui si rie­

in S' risente dell'evoluzione del concetto di moto, cui si è accennato. sce a determinare l'efficienza dei mezzi propulsivi si constata che tale efficienza

Il problema dei problemi però, la cui soluzione è stata l'aspirazione per molti è la piu grande, o prossima alla piu grande (nei limiti d'approssimazione delmillenni, e tale continua ad essere oggi, perché una soluzione generale, rigorosa, calcolo), che potrebbe aversi. Poiché si ritiene che la vita animale sia comparsa

non esiste tuttora, è quello della spiegazione del moto, ossia della determinazio­ sulla Terra da circa to anni, questa ottimizzazione è generalmente attribuita a

ne della causa che produce il movimento, e degli effetti che conseguono a date quella che si suole chiamare selezione naturale : la natura agirebbe come un gi­

cause, e pertanto delle leggi del moto, il che comporta la spiegazione dei moti gantesco calcolatore, dotato di memoria prodigiosa, che procede con un pro­

che si producono in natura (moto dei corpi celesti, che da sempre hanno atti­ gramma, che applica il metodo delle successive approssimazioni per determinare

rato l'attenzione degli uomini ; locomozione animale) e, inversamente, delle cau­ il sistema ottimo per ogni animale, od ogni specie di animali ; ma anche questa

se che debbono essere generate per ottenere determinati movimenti. Questo ha frase può descrivere il fenomeno, non spiegarlo.

richiesto l'introduzione di due altri concetti primitivi, in aggiunta a quelli dispazio e di tempo, e precisamente dei concetti di forza e di massa. Anche questi r. Il m o to comeè concepito e studiato da/l'uomo. Evoluzione dei concetti mec­hanno avuto, particolarmente in epoca recente, un'evoluzione profonda; è op­ canici.portuno però subito precisare che le evoluzioni, alle quali finora si è accennato,hanno portato si a una piu corretta descrizione dei fenomeni, e a una loro rappre­ r.r. Dal l 'evo antico a Galileo.sentazione per mezzo di modelli matematici piu comprensivi, che sono cioè ap­plicabili a categorie sempre piu vaste di fenomeni, ma non ad una vera e propria

Non s'intende qui fare la storia del modo col quale nell'uomo primitivo si

loro comprensione. Vale a questo riguardo quanto dice Werner Heisenberg[r 932] :formarono i concetti di spazio e di tempo, che probabilmente furono conseguen­za delle sensazioni e delle elementari reazioni fisiche da lui provate per effetto

Moto Moto

del corso quotidiano del sole, di ciò che vedeva quando variava la sua posizione Si osservi anzitutto che detta filosofia postula l'esistenza di un punto natu­

portandosi da un luogo all'altro, della fatica che doveva fare quando compiva rale, e perciò privilegiato, di osservazione: il centro della Terra, situato nel cen­

tali spostamenti, ecc... È del pari verosimile che i fenomeni che piu attrassero la tro dell'Universo; e di conseguenza anche l'esistenza di un sistema privilegiato

sua attenzione e piu lo impressionarono furono i fenomeni celesti, in particolare di riferimento, solidale con la Terra stessa, e perciò di un moto assoluto, defi­

il moto degli astri, ed in effetti lo studio di tali moti fu tra i primi ad essere col­ nito come il moto quale appare rispetto a detto riferimento. È opportuno subitotivato : già cinquemila anni or sono era fiorente l'astronomia caldaica, alla quale dire a questo riguardo che, se il geocentrismo cadde con Copernico e Galileo, il

diedero efficaci contributi calcolatori e osservatori abilissimi, rimanendo peraltro principio di esistenza di un sistema di riferimento privilegiato, e quindi del moto

Il s tato puramente descrittivo. L'astronomia acquistò poi dignità di scienza assoluto, continuò ad essere ammesso anche in epoche molto posteriori, e pre­

sia ad opera dei Greci, e in particolare dei pitagorici, che, brillanti cultori e cisamente fino al secolo attuale; naturalmente cambiò l'ente al quale detto si­

amanti della geometria, la collegarono con questa, sia degli Egiziani: il trattato stema si pensava ancorato: cosi, per Copernico il sistema privilegiato era costi­

nel quale sono raccolti gli studi astronomici piu importanti fondati sulla conce­ tuito da un sistema di assi con l'origine nel centro del Sole e solidale con questo ;

zione dell'immobilità della Terra è la famosa p.x&pp.xw<yv, ouvwxE<q, detta poi'i I per Newton era il sistema solidale con le cosiddette «stelle fisse», ossia quelle

Almagesto (dall'articolo arabo al 'la', e dalla parola greca p,sy<cs~ 'la piu gran­ stelle che (almeno fino alla metà del xvm secolo ) si presentavano come punti lu­de') ed è opera di Claudio Tolomeo. Da esso risulta un sistema solare (nella co­ minosi tra i quali non si osservava da secoli alcun sensibile mutamento della loro

stituzione quale era nota a quei tempi ) che soddisfa alle regole della filosofia e posizione relativa; successivamente, quando le ricerche di astronomia siderale

della fisica aristoteliche: secondo dette regole, ogni corpo ha il posto che la na­ hanno messo in evidenza che nella realtà anche le cosiddette stelle fisse erano

tura gli ha assegnato, e qualora si muova esso raggiunge via via posti ben deter­ mobili, fu in un primo tempo richiamato il concetto di etere, sia pure conside­

minati e precisamente i corpi materiali terrestri debbono avere un moto natu­1rato non piu come quinta essentia aristotelica, ma come una sostanza senza peso,

raie verticale, mentre per i corpi celesti il moto naturale è quello circolare uni­ senza moto, incorruttibile e inalterabile, trasparente e permeante l'Universo in­

forme. tero, e si pensò il sistema di riferimento per il moto assoluto solidale con detta

Nella concezione originaria di Eudosso di Cnido ogni corpo celeste è pensato sostanza; poi, quando il concetto di etere fu definitivamente sepolto, si ritornò

incastonato in una sfera girevole su due poli imperniati sopra un'altra sfera, e alle stelle, sia pure non piu considerate come fisse, e del cui moto si cercò di te­

cosi via; le sfere ruotano e trascinano nel loro moto rotatorio gli astri in traiet­ nere conto precisando il riferimento con considerazioni di media statistica.

torie circolari. La Terra è nel centro comune di tutte le varie sfere, mentre i moti Un altro postulato insito nella fisica aristotelica è quello dell'esistenza del

dei pianeti si ottengono dalla composizione di moti circolari uniformi; le sfere tempo assoluto, per il quale la misura del tempo non dipende dallo stato di quiete

concentriche allora ammesse erano ventisette, una essend qdo uella delle stelle o di moto dell'osservatore, e anche questo concetto del tempo assoluto continuò

fisse. Questa concezione fu pienamente accolta da Aristotele il quale, per giusti­ ad essere ammesso successivamente fino ai tempi moderni, e piu precisamente

ficare che il moto degli astri esterni non veniva a comunicarsi a quelli inter­ sino all'attuale secolo.

ni aggiunse altre sfere dotate di moti inversi, dette «reagenti», portando cosi il)Dai due postulati ricordati discende subito il principio di composizione delle

numero complessivo delle sfere a cinquantacinque. Per Tolomeo le sfere cele­ velocità, per il quale la velocità del moto composto è la somma (vettoriale) dellesti erano pure figure geometriche, mentre per Aristotele le sfere erano materiali, velocità dei moti componenti, e pertanto se S è il riferimento assoluto, S' un si­

formate da una sostanza semplice, unica e diversa dagli elementi costituenti il stema di riferimento che ha un moto noto rispetto a S, per un punto P qualsiasi

mondo sublunare, chiamata «etere», e dai posteri la quinta essentia. Non è qui mobile sia rispetto a S sia rispetto a S', la velocità assoluta v, di P, e la velocità

il caso di inoltrarsi nel groviglio di tutta la complessa costituzione dell'universo relativa v„di P (rispetto a S' ), sono legate dallein dette rappresentazioni [per questo si veda Neugebauer tg7g], resa cosi ag­ v. = v„+v,grovigliata non tanto dalla scelta non appropriata del centro del sistema, quantodalla necessità di salvare le apparenze, ossia di ottenere una buona corrisponden­ essendo v, la velocità di P pensato solidale con S' (velocità di trascinamento).za tra i risultati deducibili da detta costituzione e i risultati delle osservazioni Il principio di composizione dei movimenti secondo la (x) era ben noto agli an­astronomiche, compreso il fenomeno della precessione degli equinozi scoperto tichi, come appare dalle ricerche degli astronomi cui sopra si è accennato. Non

da Ipparco nel II secolo a. C. dal confronto delle sue determinazioni di longitu­ era invece aBatto nota la causa del moto, od almeno le loro concezioni al riguardo

dine di stelle fisse con analoghe osservazioni fatte centocinquant'anni prima a erano del tutto non corrette, né d'altra parte si può dire che essi se ne siano mol­

Aristillo e Timocari. Quello su cui importa porre l'attenzione sono i concetti fon­ to preoccupati, le loro ricerche essendo essenzialmente limitate a dare una rap­

damentali quali risultano da tutto il complesso di ricerche sopra accennato, ed presentazione geometrica del moto nel tempo.

essenzialmente quali appaiono dalla filosofia e dalla fisica aristoteliche, e che eb­ Per Aristotele ogni cosa esistente, terrestre o celeste, ha un suo luogo naturale

bero un influsso determinante sul pensiero scientifico fino a Galileo e oltre. ed è composta di materia, forma e movimento, ovvero di una o di due di tali

Moto 586 587 Moto

proprietà; Dio è pura forma, perciò è immateriale, immobile e incorruttibile; il suppone sempre tangenti alle circonferenze che passano per i loro punti di ap­

mondo sublunare ha invece tutti e tre gli attributi, perciò è corruttibile in quan­ plicazione, e usa la frase: «circolo secondo cui agisce, o a cui è applicata una

to materia e il suo moto ha un termine; i corpi celesti godono solo delle pro­ forza» [citato ibid., p. 945].prietà di forma e di movimento, e conservando perciò, come attributo divino, Ad ogni modo, anche per Aristotele la forza è la causa del moto, in quanto

la immutabilità, il loro moto è eterno. Ne consegue che il moto rettilineo (che egli afferma nella Fisica [z56a, z] che «tutte le cose mosse risultano mosse da

ha un termine), quale si osserva nella caduta dei gravi verso il centro della Terra, qualcosa», ma occorre distinguere i moti naturali, che si producono spontanea­

o nell'ascesa della fiamma verso l'ultima sfera sublunare, mancando della carat­ mente, ossia senza che ci sia contatto diretto, o indiretto per mezzo di una catena

teristica dell'eternità, è proprio della materia corruttibile; il moto circolare in­ di oggetti intermedi in contatto fra loro, quali il moto dei gravi, o il moto dei

vece non ha termine ed è quindi l 'unico che possa competere ai corpi celesti. corpi celesti, od anche l'ascensione delle fiamme, da quelli per i quali si ha con­D'altra parte il concetto di forza era pure ben noto agli antichi, e in partico­ tiguità tra corpo in moto (o corpo su cui si esercita la forza) e causa del moto (os­

lare ad Aristotele, anche se detto concetto connesso con la parola 'forza' (Buvxpi,q, sia corpo da cui proviene la forza) : per i primi vale per Aristotele la spiegazionelrryuc) non corrisponde perfettamente al significato che ha assunto questa pa­ cui sopra si è accennato, per i secondi la causa è la forza secondo il concetto pri­

rola nella meccanica moderna: la differenza consiste essenzialmente nel fatto ma indicato. Peraltro, per ciò che riguarda lo studio delle leggi del moto, Ari­

che da Aristotele le forze sono considerate unicamente sotto l'aspetto di gran­ stotele e i suoi successori fino a Galileo sembrano essersi accontentati di grosso­

dezze scalari. «È naturale quindi che a lui, che pure aveva un concetto cosi lane descrizioni e classificazioni dei fenomeni *. in effetti, tutto ciò che si legge a

chiaro della composizione dei movimenti (Mqy. I Ipop . , z3) e delle velocità questo proposito nella Meccanica è : « Il corpo in m oto si arresta, allorché la forza

(ib., i )», come già si è detto, «non si presentasse neppure il problema della com­ che lo spinge non può piu oltre agire in modo da spingerlo» [citato in Einstein e

posizione di due forze di diversa direzione, applicate a uno stesso punto» [Vai­ Infeld r938, trad. it. p. r9 ]. Questa proposizione è stata interpretata nel senso

lati r897, p. 945, nota r ], e questo, forse, per lo stesso processo col quale la no­ che la causa forza ha come effetto la velocità, e pertanto tanto maggiore è la for­

zione di forza si è imposta all'uomo. za, tanto piu grande è la velocità che si può ottenere, ed è la velocità, di conse­

Al pari dei concetti di spazio, di tempo, di moto, in effetti anche quello di guenza, che indica se forze esterne agiscono o rio su corpi : questa interpretazione

forza è derivato da sensazioni fisiche, e precisamente dalla sensazione muscolare è corrispondente alla nozione intuitiva, che può essere tratta dall'esperienza

di sforzo, che occorre esercitare, ad esempio, per sollevare un corpo. Il processo quotidiana, che un veicolo trainato da piu cavalli può essere piu veloce di quellologico col quale dalla sensazione fisica di sforzo si risale al concetto astratto piu trainato da un solo cavallo. Ora è noto che le affermazioni sopra indicate riguar­

generale di forza è abbastanza semplice: poiché l'effetto piu appariscente, che do all'effetto che una forza produce sono del tutto errate ; d'altra parte se la pro­

si osserva quando si applica con le mani uno sforzo a un corpo, è quello di met­ posizione sopraddetta è interpretata nel senso che, cessando l'azione della forza

terlo in moto, cosi si è portati naturalmente a chiamare forza ogni circostanza che produce il moto, il moto stessounisce per arrestarsi, perché sempre esistonocapace di produrre gli stessi effetti meccanici, ossia le medesime conseguenze sul forze che si oppongono al inovimento (forze resistenti ), essa è ovviamente vali­

moto o sulla quiete, rispetto a un riferimento qualsiasi, del corpo cui è applicata, da, ma nulla dice riguardo alla legge del moto. Ora è indubbiamente strano cheche vi sarebbero prodotti da un conveniente sforzo muscolare. Si riconosce fa­ tutta la dinamica (ossia la parte della meccanica che studia il moto di un punto

cilmente, in base a questo criterio, che l'azione che una corrente fluida esercita di un sistema in rapporto alle cause che lo determinano ) aristotelica si riducasopra gli ostacoli che essa incontra è una forza: cosi il vento fa sbattere le impo­ alla proposizione sopra enunciata: strano, perché il principio che sarà in epoca

ste di una finestra, ed è possibile tenerle ferme con le mani pur di esercitare un molto piu tarda riconosciuto come il principio fondamentale della meccanica,

conveniente sforzo ; la corrente d'acqua di un fiume trascina con sé galleggianti, il principio dei lavori virtuali, era in nuce contenuto già nelle Questioni mecca­

ed è possibile opporsi a detta azione se dalla riva viene esercitato su di essi, con niche piu volte citate, come dimostrato da Giovanni Vailati [r897, p. 948]. Èun mezzo appropriato, uno sforzo sufficiente. vero peraltro che Aristotele si limita a considerare la sua applicazione a problemi

Appunto per questa sua derivazione dalla sensazione di sforzo muscolare, di statica, a stabilire cioè le relazioni che le forze applicate debbono soddisfareAristotele, e con lui tutti gli antichi, non riuscirono a fare completamente astra­ perché siano in equilibrio, e pertanto non producano alcun moto del sistema cui

zione dalle proprietà che si riferiscono a questo caso speciale; cosi, allo stesso sono applicate; ed ancora si deve osservare che egli non ha introdotto un nome

modo che, quando si parla della forza di un uomo o di un animale, si intende ri­ speciale per designare il prodotto della forza per lo spostamento del suo punto di

ferirsi al massimo sforzo che esso può esercitare, quando Aristotele accenna alla applicazione nella direzione cui essa è applicata, per quanto il concetto di lavoro

direzione secondo cui agisce una forza applicata a un determinato punto di un (o di energia) appaia contenuto nei suoi ragionamenti: la parola 'energia' (kvkp­meccanismo, egli intende sempre riferirsi alla direzione che la forza, di cui si ysm) è infatti adoperata, in opposizione a 8uvxp,t,q, per designare, in generale,tratta, deve avere affinché essa riesca quanto piu possibile efficace. In effetti, il contrasto fra l'esercizio di una data facoltà e il possesso della facoltà stessa. Cosi,

quando considera forze applicate a un disco girevole intorno al suo asse, egli le in un passo della sua opera Del cielo [3o8a, 2-3] la distinzione tra la 8uvxp,q,

Moto 588 589 Moto

corrispondente al fatto che un grave sospeso potrebbe cadere, e l'svspysioi, cor­ caelestium motum' esse circularem. Mobilitas enim sphaerae est in circulumrispondente alla sua effettiva caduta, è dimostrata per mezzo del paragone di un volvi»), ed il concetto delle sfere celesti è conservato, anche se egli, a differenzafocolare, in cui la brace cova sotto la cenere. Si puo pensare che il mancato svi­ di Aristotele, non le materializza, ma sostituisce al concetto di un etere o quintaluppo delle idee insite nel principio dei lavori virtuali, sia pure nella forma pen­ essentia quello di «pura forma in movimento», che possiede una virtu dinamica ;sata da Aristotele, sia dovuta in parte al non sufFiciente sviluppo della matema­ ed è proprio questa virtu che permette non solo di far ruotare la Terra su se stes­tica, e in parte ai principi filosofici e religiosi che codificavano una fisica sia ter­ sa, ma addirittura di trascinarla nei cieli.restre sia celeste, e stabilivano una cosmologia su basi apparentemente intocca­ Con tutto questo, e per quanto i concetti di spazio, tempo e forza non presen­bili e incrollabili. L' infiuenza del pensiero filosofico e religioso su quello scien­ tino da Aristotele a Copernico alcuna evoluzione, neppure per quanto si riferi­tifico, e viceversa, non è una caratteristica dell'epoca di Aristotele, ina sempre sce alla relazione tra la causa del moto, la forza, e l'effetto prodotto, il moto stes­si è prodotta e tuttora si verifica. Forse questo è inevitabile, ma è certo perico­ so, il passaggio dal sistema tolemaico al sistema copernicano per la rappresen­loso; per l'autore di questo articolo quello che importa tener presente è che il tazione del sistema solare costituisce un progresso di enorme, incalcolabile im­mondo fisico e il mondo spirituale sono distinti e non è lecito applicare i metodi portanza, anche, e forse soprattutto, perché, trasportando il centro del sistema die i concetti che valgono nell'uno per comprendere e spiegare l'altro senza una riferimento privilegiato dal centro della Terra al centro del Sole, ha aperto lasevera indagine critica: Werner Heisenberg [x9y8] dice: «I concetti di anima o strada a Keplero per la scoperta delle sue leggi sul moto dei pianeti, e questi, adi vita non figurano nella fisica atomica, e perciò non possono essere dedotti, sua volta, ha dato i fondamenti sperimentali indispensabili a Newton per la suanemmeno indirettamente, come conseguenze piu o meno complicate di qualche teoria della gravitazione universale; ossia, come ben disse Geymonat, la gran­legge della natura» (trad. it. p. r53 ). dezza di Copernico non consiste tanto «nell'avere acceso una luce che brilla

Ad ogni modo è certo che l'autorità di Aristotele in Europa è stata molto eterna nel cielo delle verità assolute, quanto nell'avere acceso una luce capace agrande, e questo probabilmente non è stato una delle ultime ragiom per le quali sua volta di accenderne una piu grande >)[1973, p. 30].errori contenuti nella sua dottrina fisica si sono perpetuati per secoli, in quanto Da notare che Keplero basò i suoi calcoli principalmente sulle osservazioniprodusse un degenere aristotelismo, caratterizzato da un rigido dogmatismo de­ astronomiche di Tycho Brahe, che fu uno dei piu accaniti oppositori di Coperni­stinato a spegnere ogni tentativo di indagine sperimentale. È curioso osservare co, e che una delle principali difficoltà incontrate da Keplero nella rappresenta­che concetti corretti contenuti nella meccanica aristotelica, e piu progrediti di zione ed interpretazione di dette osservazioni fu dovuta proprio al fatto che egli,quelli dai quali i moderni hanno preso le mosse per spingersi innanzi, sono stati studiando l'orbita del centro di Marte, era pur sempre ancorato al principioseveramente criticati e respinti, mentre altri concetti erronei sono stati piu o me­ aristotelico che le traiettorie dei corpi celesti fossero circonferenze. Ora, con­no consapevolmente accettati senza critica almeno fino a Galileo. Questo è quan­ statando che fra le posizioni di Marte calcolate e quelle osservate c'era un diva­to accadde per il principio dei lavori virtuali : la sua affermazione che «condizio­ rio che raggiungeva gli otto primi di angolo, riconobbe che detto divario dovevane necessaria e sufficiente, perché delle grandi resistenze possano essere vinte essere prodotto da qualche errore, che certamente non poteva essere attribuitoda piccole forze, è che il meccanismo sia costruito in modo che, a un dato sposta­ alle osservazioni di Brahe, perché egli stesso afferma nell'Astronomia nova (i 6o9)mento di quello dei suoi punti a cui la forza è applicata... corrisponda un minor che la divina bontà diede in Tycho Brahe un osservatore molto accurato. Fucammino di quell'altro punto al cui moto si oppone l'ostacolo che si vuoi supe­ quindi portato ad ammettere che l'orbita marziana fosse un ovale, ma poiché,rare» [citato in Vailati i897, p. 9y7 ] fu aspramente criticata da Simone Stevin dopo calcoli faticosi e lunghi, si rese conto che anche questa ipotesi non portavanella Statica (De Beghinselen der D'eegkonst, x586), in cui egli dichiara essere ad un risultato accettabile, dopo un ritorno, pure vano, all'ipotesi della traiet­assurdo il ragionamento di Aristotele, perché questo « implica il considerare l'e­ toria circolare, si decise per l'orbita ellittica, forse perché l'ellisse, tra le ovali, èquilibrio come dipendente dal sussistere di condizioni che non possono effetti­ quella piu affine al cerchio, e riconobbe che la concordanza con i risultati spe­vamente realizzarsi se non quando l'equilibrio cessa di sussistere» [cfr. Vailati rimentali diventava ottima, ammettendo che il Sole fosse in uno dei fuochi.x897, p. 949]. Questa stessa argomentazione avrebbe potuto portare, invece che Egli ricavò cosi quella che è nota come la prima delle tre leggi che portano ila respingere il ragionamento di Aristotele, a stabilire prima di Galileo e di New­ suo nome:ton il principio d'inerzia. A questo ripudio del principio giusto si contrapponeinvece l'accettazione del principio che il moto naturale dei corpi celesti sia un pRIMA LEGGE. Le orbite dei pianeti sono ellissi, e il Sole ne occupa uno dei

moto circolare uniforme o deducibile dalla composizione di moti circolari. In fuochi.

effetti, anche nel sistema copernicano questa proprietà è rispettata: nel De revo­ Tale legge è da porsi accanto a quella generalmente nota comelutionibus [r543] Copernico dice: «Dopo ciò, ricorderemo che il movimento deicorpi celesti è circolare. Infatti la mobilità della sfera consiste nel ruotare in cir­ sEcoNDA LEGGE. Le aree descritte dal raggio vettore che va dal Sole a un pia­colo» (trad. it. p. g7) (nella versione latina : «Post haec memorabimus corporum neta sono proporzionali ai tempi impiegati a percorrerle.

Moto 59o 59i Moto

benché esse siano state nella realtà ottenute in ordine cronologico inverso. Al­ Grazie al concetto di accelerazione Galileo poté stabilire la natura dell'ef­quanto posteriore è la fetto sul moto prodotto dall'applicazione di una forza: nella sua opera fonda­

TERzA LEGGE. I quadrati dei tempi impiegati dai vari pianeti a Percorrere le loro mentale per la meccanica, dal titolo Discorsi e dimostrazioni matematiche intornoorbite (durata delle rivoluzioni) sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori, a due nuove scienze attinenti alla Meccanica e i movimenti locali, egli scrisse:

«Qualunque grado di velocità si trovi in un mobile, gli sia per sua natura inde­che fu pubblicata nelle Harmonices Mundi ( i6x9 ). Benché Keplero ricavasse le lebilmente impresso, purché siano tolte le cause esterne di accelerazione o di ri­sue leggi solo dalle osservazioni relative a Marte (o, se si vuole, alla Luna), egli, tardamento; il che accade soltanto nel piano orizzontale; infatti nei piani declivicredendo fermamente nell'armonia del creato, era convinto che esse valessero è di già presente una causa di accelerazione, mentre in quelli acclivi [è già pre­per tutti i pianeti, ed in efletti i calcoli successivamente fatti gli diedero ragione. sente una causa] di ritardamento : da ciò segue parimenti che il moto sul pianoPer quanto si riferisce peraltro alla causa del moto, e alla relazione tra causa orizzontale è anche eterno; infatti, se è equabile, non scema o diminuisce, néed effetto, Keplero non aveva le idee piu chiare di Copernico: anch' egli, per

tanto meno cessa» [ i.638, ed. I958 p. 249].spiegare il moto dei pianeti, riteneva che la «virtu motrice» risiedesse nel Sole, L'effetto di una forza non è pertanto la velocità, come ritenevano gli aristo­e piu precisamente che dal Sole emanasse un flusso che, irradiandosi e colpendo telici, ma l'accelerazione : da osservare, che dalle parole sopra citate risulta chia­i pianeti, li sospingesse nelle loro orbite. Nel Mysterium cosmographicum egli

ramente la dipendenza dell'accelerazione dalla forza, e perciò se la forza è costan­infatti scrive: «C'è una sola azione motrice posta nel centro di tutt i gl i orbi, te è costante pure l'accelerazione, ma non la proporzionalità di questa a quella.cioè nel Sole, la quale sospinge ogni corpo, e, precisamente, con maggior forza Si deve appena aggiungere che Galileo, ancora in netta differenziazione dalquelli che le sono piu vicini, e piu debolmente i lontani, in proporzione dell'at­

metodo aristotelico, affermò l ' importanza del metodo scientifico sperimentaletenuazione della forza colla distanza» [i596, ed. i938 p. 70]. per lo studio dei fenomeni naturali : già prima di lui, molti, e sopra tutti Bacone,Contemporaneo di Keplero fu Galileo Galilei, ed è Galileo che può conside­

avevano sostenuto la necessità dell'esperienza per detto studio, ma nessuno ave­rarsi come l'iniziatore della creazione della scienza del moto, cioè della dinami­ va formulato le regole da seguire per non cadere dal dogmatismo nell'empirismo.ca, intesa come scienza il cui oggetto non è la pura descrizione geometrica e tem­ Galileo stabili dette norme, che possono ridursi a queste tre fondamentali:porale dei fenomeni di moto, ma l'indagine causale dei fenomeni stessi. AncheGalileo postula un tempo assoluto, ossia indipendente dal moto dell'osservatore ; i ) tradurre il fenomeno osservato in numeri che rappresentano i rapporti in­egli però per il primo si vale di un altro concetto fondamentale, quello di acce­ tercorrenti tra i vari elementi da cui il fenomeno stesso dipende;lerazione, da lui definito come «variazione della velocità nell'unità di tempo» e z) formulare l'ipotesi di una relazione costante tra questi numeri;pertanto rappresentata dalla 3) ripetere sperimentalmente il fenomeno variandone gli elementi per veri­

h,s ficare se la relazione è realmente costante. Se cosi è, questa rappresenta la

(z) a = ­ legge del fenomeno, ossia l'unica verità che lo spirito umano può ricono­scervi, poiché la scienza non può conoscere l'essenza del fenomeno, co­

se s(t) è la velocità sulla traiettoria rettilinea e As= s(t+At) — s(t), È da notare me credeva Bacone, ma solo i rapporti fra i suoi elementi.che Galileo non aveva a disposizione il calcolo infinitesimale, e non poteva per­ciò formalmente definire l'accelerazione se non nel caso in cui essa è costante Questa filosofia galileiana è bene espressa nel Proemio ai lettori dei Saggi di

nel tempo, e perciò essendo 6t un in tervallo di tempo qualsiasi, il rapporto naturali esperienze dell'Accademia del Cimento [ i667], in cui è scritto: «Or

As/At non dipende da At; è precisamente quanto avviene nel moto di caduta quindi dove non c'è piu lecito metter piede innanzi, non vi à cui meglio rivol­

dei gravi, da lui chiamato «moto uniformemente accelerato». Il concetto di ac­ gersi che alla fede dell'esperienza, la quale, non altrimenti di chi varie gioie

celerazione fu poi esteso da Newton, che conosceva il calcolo infinitesimale poi­ sciolte, e sconnesse cercasse di rimettere ciascuna per ciascuna al suo incastro,

ché lo aveva lui stesso inventato, al caso di legge qualsiasi di variazione della ve­ cosi ella adattando effetti a cagioni e cagioni ad effetti, se non di primo lancio,

locità, e di traiettoria qualsiasi, ed esso è dato, in notazioni moderne, da come la geometria, tanto fa che PRovANDo E RIPRovANDo le riesce talora di darnel segno. Conviene però camminar con molto r iguardo, che la troppa fede

v(P, t+At) — v(P, t) dv(P, t) all'esperienza non ci faccia travedere, e ci inganni, ecc.». Galileo, seguendo leAt~p 5t dt regole sopra accennate, osservò il movimento di caduta libera dei gravi, com­

che, se x(t), y(t), z(t) sono le proiezioni del punto mobile sugli assi del sistema piendo i suoi esperimenti con corpi diversi, ripetendo e variando le condizioni,di riferimento, e a, a„, a, le tre componenti di a secondo gli assi stessi, dà: e studiò le condizioni da cui tale movimento dipende, deducendo, in base a ge­

niali induzioni fondate sulle sopraddette osservazioni, la legge di caduta liberad'x d'y d'z

(3) a = ­ a = ­ a, = — . dei gravi, che in linguaggio moderno si può cosi enunciare: «Un grave abban­rit " dt ' Jt donato a se stesso senza velocità iniziale cade lungo la verticale, muovendosi con

Moto 59z 593 Moto

accelerazione costante e diretta verticalmente verso il basso, che è la stessa per gia qui la relazione che lega le accelerazioni di uno stesso punto mobile P rltutti i corpi». spetto a due riferimenti diversi S ed S', noto essendo il moto ad esempio di S'

Per studiare il caso generale dei gravi comunque lanciati, fu guidato da un rispetto a S (teorema di composizione delle accelerazioni ), sempre nell'ipotesiconcetto d'indipendenza degli effetti. Egli intui che, come nella caduta libera si i esistenza del concetto di tempo assoluto. Questa relazione si ricava da quellaverifica una variazione di velocità sempre costante, e quindi indipendente dai già data relativa al principio di composizione delle velocità, e precisamente : sia­diversi valori della velocità stessa, cosi debba analogamente avvenire nel caso no ap e a„rispettivamente le accelerazioni di P nei moti di P rispetto a S e di Pgenerale dei gravi lanciati, e l'esperienza confermò questa sua intuizione. Si ha rispetto a S', si consideri il moto di S' rispetto a S composto di un moto trasla­cosi la seconda legge dei gravi : «Un grave lanciato in una direzione qualsiasi e torio di velocità uguale alla velocità dO' /dt dell'origine O' di S' (e pertanto pro­con qualunque velocità iniziale si muove sempre con quella stessa accelerazione ducente in tutti i punti solidali con S' la medesima velocità dO'/dt), e di uncostante e diretta verticalmente verso il basso, che si manifesta nei gravi cadenti moto rotatorio ao attorno ad un asse passante per O' (e pertanto producente indalla posizione di quiete». Le sopraddette leggi si traducono, usando il calcolo ogni punto P' di S' la velocità to R(P' — O')). È alloradi Newton e assumendo un sistema di riferimento solidale con la Terra, col­i'asse z verticale ed orientato verso il basso, con l'origine nella posizione iniziale (7) a, = a„+a,+a,

del grave, nelle equazioni in cui

d'x d~x' . d'y' . d'z' .(a) x = — = o y' = o à=g, a„ = ­ I~.+ — i . + — I iCt' Ct' " dts '

dt2

ove g è una costante, ossia è indipendente non soltanto dal tempo, ma altresi dal è l'accelerazione di P nel moto relativo a S', a, = (dsO'/dP)+(Cke/dt) R (P — O') +grave che cade. L'unica cosa da cui può dipendere g è pertanto il corpo verso +to R(to R (P — O')} è l'accelerazione del punto P (rispetto a S ) pensato so­cui il moto è diretto, cioè la Terra, e di conseguenza deve essere interpretata lidale con S' (accelerazione di trascinamento) ; e infine a, = ztu R v„è l'accelera­come un effetto di una proprietà della Terra, non del corpo che cade: poiché g zione di Coriolis (o complementare) : la (7), nella forma ora indicata, apparveè una accelerazione, questa proprietà, per il principio galileiano già espresso, per a prima volta in una memoria del « Journal de l'Ecole Polytechnique» neldeve interpretarsi come una forza esercitata dalla Terra, è cioè la forza di gra­ i 36 ad opera di Gustave-Gaspard Coriolis (e da ciò il nome dato ad a, ).vità, e g è perciò chiamata accelerazione di gravità. Le (y) risolte dànno

i.z. Da Newton ad Einstein.I

z = — gt +zpt2

(5) Se Galileo iniziò, Newton continuò e completò la creazione della dinamicax = xpt come scienza del moto : la sua opera fondamentale in argomento è Philosophiae

y = o cVaturalis Principia Mathematica, stampata il 5 luglio r686 e tradotta in ingleseda Andrew Motte nel r7z9. Egli introdusse in modo esplicito un altro concetto

essendo sp la'componente della velocità inizialmente impressa al grave secondo fondamentale, quello di massa, come concetto che è distinto da quello di pesola verticale, xp l'analoga componente secondo la retta scelta come asse x nel pia­ proporzionale a questo, ma che, a differenza di questo, ha carattere assoluta­no orizzontale, mentre si è preso yp = o. L'equazione della traiettoria del grave mente intrinseco, dipendente dalla natura materiale del corpo, ma scevro dasi ottiene dalle (5) eliminando t, e risulta definita dalla qualsiasi influenza esterna locale: per questo suo carattere assolutamente intrin­

seco la massa di un sistema qualsiasi si conserva e non dipende dal suo stato di(6) s = —, x' + — 'x

2xp x pquiete o di moto. Defini quindi: la quantità di moto, come il prodotto dellamassa per la velocità (ed è singolare che nelle lingue latine questa grandezza

e pertanto il grave lanciato da un punto qualsiasi con velocità xpi~+ipi, pure abbia conservato la denominazione sopraddetta data da Newton, mentre nellaqualsiasi descrive come traiettoria la parabola del piano (x, x) data dalla (6). ingua inglese l'espressione corrispondente quantity of motion usata dal Motte

I risultati ora dati, al pari delle leggi sopra ricordate, valgono solo se il moto sia poi stata sostituita da momentum) ; la forza d'inerzia (ras insita, o vis inertiae)avviene nel vuoto, come già Galileo fece osservare; inoltre essi sono stati rica­ come la forza con la quale la massa del corpo si oppone, resiste, ad ogni azionevati prendendo un sistema di riferimento solidale con la Terra, che non è un che tende a variare il suo stato di quiete o di moto ; la forza applicata (o impressa)sistema di riferimento assoluto, anche secondo Galileo, e perciò sono validi nei come l'«azione esercitata sul corpo al fine di mutare il suo stato di quiete o dilimiti nei quali è lecito trascurare l'influenza della rotazione terrestre sul feno­ moto rettilineo uniforme. Questa forza consiste nell'azione in quanto tale, e, ces­meno in studio, come sarà precisato in seguito. E opportuno peraltro indicarc sata 'azione, non permane nel corpo. Infatti un corpo persevera in ciascun nuo­

Moto 594. 595 Moto

vo stato per la sola forza di inerzia. La forza impressa ha varie origini : l'urto, la in cui F è i l r isultante delle forze applicate al punto materiale mobile, la cuipressione, e la forza centripeta» [rptg, trad. it. p. 95]. massa è m e la cui accelerazione è a. L a (8) è valida solo se il moto è riferito a un

Newton enuncia quindi i tre assiomi, o le tre leggi del moto, che costitui­ sistema di riferimento assoluto, e pertanto a è l'accelerazione assoluta; ma dalscono il fondamento di tutta la meccanica newtoniana: teorema di composizione delle accelerazioni (5) risulta subito che se le leggi

PRIMA LEGGE (o legge d'inerzia). Ogni corpo persevera nel suo stato di riposo,meccaniche sono valevoli per un dato sistema di riferimento, esse lo sono pure

oppure di moto rettilineo uniforme, a meno che non sia costretto a cambiare taleper qualsiasi altro sistema in traslazione uniforme rettilinea rispetto al primo :

stato da forze agenti su di esso(nella versione originale in latino : «Corpus omneè questo il principio oggi universalmente chiamato, secondo la proposta di Ein­

perseverare in statu suo quiesciendi vel movendi uniformiter in directum, nisistein nella sua prima opera sulla relatività, principio galileiano di relatività, men­

quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare»). tre sonc, indicate come terne inerziali galileiane le terne assolute, rispetto allequali la (8) è valida.sEcONDA LEGGE (o legge di azione). Il cambiamento della quantità di moto è

proporzionale alla forza motrice impressa ed avviene nella stessa direzione dellaNewton indubbiamente applicò il metodo galileiano di collegare lo studio

retta secondo la quale agisce la forza impressa (nella versione latina: «Mutatio­teorico a quello sperimentale ; peraltro la presentazione dei risultati da lui otte­

nem motis proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineamnuti in forma assiomatica, come fa nei suoi Principia, non agevola la compren­

rectam qua vis illa imprimitur» ). sione del modo col quale essi sono stati raggiunti. In effetti, egli, benché avesse,

TERzA LEGGE(o legge di azione e reazione ). Ad ogni azione corrispondesem­ prima ancora di creare la scienza del moto, inventato il calcolo infinitesimale (lapre una reazione uguale e contraria, ossia, leforze reciproche che si scambiano due teoria delle flussioni esposta in 1Vlethodusfiuxionum et seriarum infinitarum, cum

corpi sono sempre uguali ed opposte (nella versione latina: «Actioni contrariameiusdem applicationes ad curvarum geometriam), nei Principia fa uso soltanto di

semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mu­ costruzioni geometriche, secondo lo stile classico dei Greci. Max Born, nella sua

tuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi»). Natural Philosophy of Cause and Chance [I949], dice a questo proposito : «Nonso se egli avesse realmente scoperto quei risultati con l'aiuto del calcolo infini­

A base dei tre assiomi sopra specificati stanno i postulati di tempo assoluto tesimale ; mi sembra incredibile il contrario. Egli era indubbiamente desideroso

e di spazio (e sistema di riferimento ) assoluto, che non traggono la loro origine di evitare nuovi metodi matematici allo scopo di conformarsi al gusto dei suoi

da una evidenza sperimentale, cosi che lo stesso Newton, nello scholium al ter­ contemporanei. Ma è anche noto che egli amava celare sotto un rivestimento le

mine del capitolo primo, relativo alle Definizioni dice: «Le parti dello spazio proprie idee reali. Questa stessa tendenza si riscontra in Gauss e in altri grandi

immobile, in cui i corpi veramente si muovono, non cadono sotto i sensi » [ibid., matematici, ed è sopravvissuta fino ai nostri giorni, con gran danno per la scien­

p. Ito ] e ancora: «Per quanto sia possibile che un qualche corpo, nelle regioni za» (trad. it. p. I66 ). (La Natural Philosophy è del I9g9; che cosa direbbe Maxdelle stelle fisse, o anche piu lontano, sia in quiete assoluta, tuttavia, dalla posi­ Born oggi>)

zione fra loro dei corpi nelle nostre regioni, non si può sapere se qualcuno di que­ Comunque, Newton riconosce la priorità di Galileo per le prime due leggi,

sti conserva o no una data posizione rispetto a quel corpo tanto lontano» [ibid., almeno per quanto riguarda la loro applicazione al moto dei gravi, in quanto

p. top]. La critica di questi postulati, e la loro modificazione, dalla quale derive­ dice: «Per mezzo delle prime due leggi e dei primi due corollari Galileo trovò

ranno pure variazioni nei concetti di massa, per quanto riguarda il suo carat­ che la caduta dei gravi è proporzionale al quadrato del tempo, e che il moto dei

tere assolutamente intrinseco, e di forza, almeno per quanto si riferisce alla sua proiettili avviene secondo una parabola» [ Iytg, trad. it. p. Iz6 ]. Dalle prime dueinterpretazione nei fenomeni celesti, sarà sviluppata due secoli piu tardi da Ein­ leggi di Keplero egli ricavò quindi che l'accelerazione del centro del pianeta P

stein e di essa sarà fatto cenno in seguito : per ora, quello che importa dire è che è sempre diretta verso il centro del Sole S e varia in ragione inversa del qua­

per il periodo sopra accennato non solo tutti i risultati dedotti con la meccanica drato della distanza rP da questo:

newtoniana apparirono in ottimo accordo con i risultati sperimentali, ma essa haportato pure a mirabili progressi in fisica, in astronomia, meccanica applicata.Del resto le variazioni cui sopra si è fatto cenno, ed altre ancora, che pure saran­no in seguito accennate, hanno si indicato limitazioni al campo di validità dellameccanica newtoniana, ma hanno anche mostrato come questa sia pienamente se pp> è il versore della retta PS orientata da P verso S, e p. una costante, che può

applicabile a un grandissimo numero di problemi, che interessano la scienza e differire da pianeta a pianeta. Dalla terza legge peraltro si ricava, che, se A è il

la tecnica. semiasse maggiore dell'orbita ellittica e T il periodo di rivoluzione, è

La seconda legge di Newton si traduce nella celebre relazione A~(9 ) — = cost = — .

(8) F = ma T 47r

Moto $96 597 Moto

L'estensione del procedimento sopra accennato, prima al moto dei satelliti verso nord, e pertanto l'assey perpendicolare a detto piano meridiano e orientatoattorno ai rispettivi pianeti, per i quali pure valgono con buona approssimazione verso est, dalla ( Io ) si ricava, per velocità iniziale nulla,le leggi di Keplero (come è già stato detto per il caso Luna-Terra ) e, poi, passo Iquesto certo molto ardito e sorprendente che provocò la piu grande ammirazione ( II ) x = o ' y = ­ o!g(cosy)ts z = — gt's

nei contemporanei di Newton e nelle successive generazioni, la inclusione dei 3 2

corpi terrestri nelle leggi ricavate per i corpi celesti (il che comporta l'ammettere essendo y l'angolo acuto formato da g col piano equatoriale (latitudine geoidica).che la forza esterna agente sul grave in caduta o sulla Luna in moto lungo la sua Si riconosce pertanto, che essendo cosy) o è y) o, e pertanto un grave libera­orbita abbiano la stessa origine : l'attrazione della Terra sui corpi materiali ) por­ mente cadente senza velocità iniz! aie non segue la verticale del luogo, ma devia daltarono alla filo a piombo verso est: per t = I s, essendo oi = 2rc/86!64 s-', alla latitudine di

LEGGE DELLA GRAvITAzIQNE UNIvERsALE (Newton ). Nell Universo due pulltl Roma risulta y = o, !8 mm. Questa deviazione orientale dei gravi fu prevista teo­

materiali qualsiasi si attraggono reciprocamente con una forza diretta secondo la loro ricamente da Newton ed è in accordo col risultato sperimentale di Tadini ( !795).congiungente, proporzionale direttamente alle loro masse m e m', e inversamente al Un'altra osservazione deve essere fin d'ora fatta: le assunzioni a base della

quadrato della loro distanza r: K mm'/ra. deduzione della legge gravitazionale di Newton implicano che la massa inertem,, ossia quella che misura il rapporto tra la forza impressa a un corpo materiale e

La costante K è chiamata costante di attrazione (o costante del Gauss) e misura la corrispondente accelerazione prodotta, sia uguale alla massa pesante m„dello

la mutua attrazione fra due masse unitarie all'unità di distanza: essa fu determi­ stesso corpo, ossia al coefficiente cui è proporzionale (secondo la costante univer­

nata per la prima volta da Henry Cavendish nel I797, e secondo le piu recenti sale K sopra definita ) la forza di attrazione esercitata da detto corpo sull'unità di

esperienze ha il valore in unità cGs 6,7 >< Io massa di un altro corpo qualsiasi, a distanza unitaria dal primo : ne consegue che

È da osservare che, ammessa la legge di Newton della gravitazione, le leggi di il rapporto delle masse di due corpi, ricavato come rapporto delle accelerazioni

Keplero non possono piu considerarsi come rigorosamente valide, perché queste ad essi impresse da una medesima forza, è uguale al rapporto dei pesi ricavato con

si verificano solo quando i corpi che si attraggono sono due soltanto e il corpo una bilancia. È chiaro che la di8erenza tra le due determinazioni consiste in que­

centrale è fisso (ossia può prendersi come origine di un sistema inerziale) ; si può sto, che la prima è del tutto indipendente dalla forza di gravità, mentre la seconda

però riconoscere che sia le leggi di Keplero, sia gli altri risultati sperimentali ac­ è dovuta all'esistenza di tale forza. Ora, che le due determinazioni diano il mede­

quisiti sono compatibili con la legge di gravitazione entro accettabili limiti di ap­ simo risultato non è a priori evidente: è un risultato dell'esperimento, e non del

prossimazione, o, meglio ancora, che ogni qualvolta si sono osservati divari tra i ragionamento. A questo riguardo Max Bo!n [!949] scrive : «Né lo stesso Newton,risultati sperimentali e i risultati calcolati nell'ipotesi che i corpi interagenti fos­ né le molte generazioni di fisici e di astronomi venute dopo di lui hanno fatto

sero solo due, e il sistema di riferimento connesso con uno dei corpi stessi fosse molta attenzione alla legge espressa dalla

un sistema inerziale, si è constatato che detti divari erano prodotti da azioni per­ (Iz ) m' = mpturbatrici conseguenti all'una o all'altra, o ad entrambe le sopraddette ipotesi, edessi venivano eliminati coli'applicazione piu corretta delle leggi newtoniane: la «Le osservazioni astronomiche non lasciavano dubbi che essa fosse corretta, e le

scoperta del pianeta Nettuno, avvenuta nel I846, e quella di Plutone, fatta nel osservazioni terrestri (con pendoli adatti ) ne dimostravano la validità con estre­

I93o, ed entrambe avvenute per questa via, sono tra le piu brillanti testimon!anze ma accuratezza (esperimenti di Eotvos e altri ). Dovevano trascorrere due secoli

della validità della legge di Newton della gravitazione universale. prima che Einstein scorgesse il problema fondamentale contenuto nella sempliceSi puo ricavare facilmente l'ordine di grandezza dell'errore corrispondente equazione ( Iz ), e costruisse su di essa il colossale edificio della sua teoria sulla

ad esempio all'ammettere che sia inerziale la terna solidale con la Terra nella relatività generale» (trad. it. p. 27).determinazione della legge di caduta dei gravi, se si considera che dal teorema di È ancora interessante osservare che nello scholium al capitolo primo dei Prin­

Coriolis (9), detta a„ l'accelerazione del grave nel moto relativo alla Terra, ed cipia si ritrova la legge aristotelica contenente in nuce il principio dei lavori vir­

essendo Io la rotazione del sistema di riferimento a questa solidale', l'equazione tuali, già prima citata. In esso infatti è detto : « Identica è la norma di tutte le mac­

del moto relativo è data, invece che dalle (4), dalla chine. L'efficacia l'uso di esse consiste in questo solo, che diminuendo la velocitàaumentiamo la forza e viceversa : per cui, in ogni genere di strumenti adatti viene

( Io ) a, = g — 2to p, v„. risolto il problema, muovere un dato peso con una data forza, e superare con unadata forza un'altra data resistenza» [Newton !7!3, trad. it. p. I35 ]. Piu avanti

Preso un sistema di assi, di cui l'origine O coincide con la posizione iniziale egli poi enuncia una proposizione che è in effetti il teorema dell'energia (in mec­del grave, l'asse z sulla linea d'azione della forza peso in O (verticale del luogo) canica) : «Se noi stimiamo l'azione dell'agente dal prodotto della sua forza per laorientata verso il basso, 1"asse x nel piano meridiano terrestre per O, orientato velocità, e analogamente la reazione di tutto ciò che si oppone al moto dal pro­

Moto 598 599 Moto

dotto delle velocità delle sue singole parti per le forze di resistenza ad esse appli­ Il problema della natura della forza di gravità fu di nuovo affrontato, a piucate dovute ad attrito, coesione, peso e accelerazione, l'azione e la reazione sa­ di due secoli di distanza da Newton, da Einstein nella sua teoria della relatività

ranno sempre uguali l'una all'altra». Newton non dà nessun nome a questo teo­ generale, della quale sarà fatto cenno piu avanti e per la quale l'azione gravitazio­

rema, mentre la denominazione di « forza viva» assegnata alla grandezza mt~'/z, nale appare come una conseguenza della modificazione strutturale del continuo

per una generica particella di massa m e velocità v, è dovuta a Leibniz (in realtà quadridimensionale spazio-tempo, prodotta dalla materia stessa. Eddington,

Leibniz introdusse come forza viva la mv~). nella Nature of tbc Physical World, dice: «La legge di gravitazione di Einstein èLa dinamica newtoniana, nonostante i grandi successi ottenuti nei problemi regolata da una grandezza geometrica, la curvatura, in contrasto con la legge di

ai quali fu applicata dal suo autore, fu per diversi anni avversata da parecchi con­ Newton, che è regolata da una grandezza meccanica, la forza» [i9z8, ed. r9z9temporanei di Newton : anzitutto, la forza di attrazione newtoniana appariva non p. t33j ; e certamente la riduzione della gravità a un effetto geometrico della cur­come una forza che spingesse i pianeti, m a come una forza che agiva a distanza dal vatura dello spazio-tempo è un concetto rivoluzionario di grande portata per le

corpo da cui emanava su quello cui era applicata senza alcun intermediario tra di conseguenze cui porta, per quanto, peraltro, fu osservato, esso corrisponda piu

essi, ed agiva non nel senso del moto, ma in modo da deviare questo moto ; la na­ a un modello matematico del fenomeno che non a una spiegazione fisica di que­

tura della forza stessa appariva poi del tutto oscura. Per questo, ancora venticin­ sto. Ricordando le diffidenze, che accompagnarono l'opera di Einstein, non c'è

que anni dopo la pubblicazione dei Principia, nella stessa Inghilterra alla cosmo­ certo da stupirsi se uguale sorte toccò sul principio anche all'opera di Newton;

logia di Newton era preferita quella di Descartes, nella quale i pianeti erano so­ comunque, dopo un primo periodo di difFidenza, le teorie di Newton ebbero unspinti sulle loro orbite da vortici di un fluido celeste, allo stesso modo come si successo travolgente, e per alcuni decenni esse regnarono incontrastate, in quanto

vedono pezzi di legno fatti ruotare dai vortici di un corso d'acqua, e nel resto le numerosissime ed importantissime ricerche, che furono fatte in detta epoca,d'Europa la teoria vorticosa di Descartes ebbe vita ancora piu lunga, cosi che Vol­ riguardano non l'analisi critica dei concetti e delle leggi fondamentali su cui sitaire, che visitò Londra proprio nel I727 (anno della morte di Newton ), scrisse basano, ma essenzialmente l'indagine matematica delle equazioni del moto, e

che quanto Newton mori il numero dei suoi seguaci non era superiore a venti. per questa si citano qui le opere fondamentali di D'Alembert, di Maupertuis, diSi può dire che solo nella seconda metà del secolo xvin il sistema newtoniano fu Lagrange, di Eulero, di Laplace, di Gauss, di Hamilton, di Hertz e di molti altri.

universalmente accettato. Non è questo il luogo per indicare neppure sommariamente la mirabile siste­

Newton era ben conscio delle difficoltà insite nella sua teoria : in una lettera a mazione che da queste opere fu data alla meccanica newtoniana, e per quanto ri­

Richard Bentley del r 692 egli si oppone fortemente all'idea che la gravitazione fos­ guarda la deduzione di principi generali, che permettono di esprimere le equa­se una proprietà intrinseca o innata della materia, cosi come contrasta vivamente zioni del moto dei corpi in una forma particolarmente suggestiva e significativa,l'idea di un'azione a distanza. Egli scrive : «Voi qualche volta parlate della gravità e per quanto si riferisce ai metodi matematici per la risoluzione delle equazionicome di una proprietà essenziale e inerente alla materia. Prego, non attribuite a che da dt.tti principi possono essere ricavate. Si ricorda qui soltanto per la sua

me queste idee, perché io non pretendo di conoscere la causa della gravità». In sinteticità e la sua potenza il principio dell'azione stazionaria, o principio diun'altra lettera del r693 egli dice : «È inconcepibile che materia bruta, inanimata Hamilton [ t83g]: esso si esprime, per un sistema dinamico discreto soggetto apossa, senza la mediazione di qualcosa altro, che non sia materiale, agire e ope­ forze conservative (che derivano cioè da un potenziale ), per il quale la termodi­rare sopra altra materia senza mutuo contatto»; e ancora: «Che la gravità sia namica può essere ignorata, con la relazione

innata, insita ed essenziale nella materia, di guisa che un corpo possa agire sopraun altro a distanza attraverso il vuoto, senza la mediazione di qualche cosa d'al­ (r3) 8 Ldt = otro, dal quale e attraverso il quale la loro mutua azione e forza possa essere convo­gliata dall'uno allo altro corpo è certo una cosi grande assurdità che io credo, che essendo L la cosiddetta funzione lagrangiana definita dallanessun uomo, che abbia una facoltà di pensare in argomenti filosofici, lo potrà (rg) L = T — Vmai ammettere. La gravità deve essere causata da un agente, che agisce costante­mente secondo certe leggi, ma che questo agente sia materiale o i mmateriale, lo se T è l'energia cinetica (o forza viva) del sistema e V la sua energia potenziale ;lascio alla considerazione dei miei lettori», la grandezza fra parentesi nella (i 3) è chiamata azione, e il significato della (t3) è :

Per quanto poi riguarda la natura della forza d'attrazione tra i corpi celesti e Si considera il moto (chiamato «moto variato sincrono» ), nel quale i puntiterrestri nello scholium generale al termine dei Principia mathematica [r7t3] egli del sistema hanno, in ogni medesimo istante t, coordinate x„ +8x, infinitamentescrive: «Fin qui ho spiegato i fenomeni del cielo e del nostro mare mediante la vicine alle coordinate x„che corrispondono al moto effettivo (e compatibili coiforza di gravità, ma non ho mai fissato la causa della gravità... In verità non sono vincoli ad essi eventualmente posti ), e si calcola la variazione che l'azione pre­ancora riuscito a dedurre dai fenomeni la ragione di queste proprietà della gra­ senta tra detto moto variato sincrono e il moto effettivo nell'ipotesi che le posi­

vità, e non invento ipotesi» (trad. it. p. 795). zioni del sistema relative agli istanti t, e ta siano le stesse per entrambi i moti:

Moto 6oo 6ol Moto

la (l3) esprime che detta variazione è nulla, qualunque sia il moto variato consi­ tività ristretta, è una generalizzazione del principio galileiano di relatività, inderato, e qualunque siano gli istanti tl e t». Il moto effettivo, per il principio di quanto esso si estende ad ogni legge fisica: esso equivale ad affermare che non èHamilton, viene cosi ad essere caratterizzato, fra tutti i mot i possibili del si­ possibile distinguere un sistema di riferimento rispetto ad un altro muoventesistema fra le medesime posizioni estreme, come quello che rende stazionaria l'a­ di moto traslatorio rettilineo con velocità costante rispetto al primo, perché ognizione, e da ciò il nome sopra ricordato per il principio stesso. Questo poi può esperienza eseguita nel primo e nel secondo sistema dà lo stesso risultato.essere generalizzato al caso di un sistema continuo, per il quale non si abbia una I risultati, che da questi postulati derivano, mettono in evidenza come nellaproduzione irreversibile di entropia, con la nuova meccanica, su di essi basata, un orologio muti di ritmo, e un regolo muti

f't~ di lunghezza, secondo leggi di variazione rigorosamente determinate, nel pas­

( I3 ) 8 f (T — V — U)dt =o saggio dallo stato di quiete a quello di moto, e precisamente, se dt è la durataelementare di un fenomeno, misurato da un osservatore (O; S), e dl la distan­

in cui U è l'energia interna del sistema stesso. za elementare fra due punti dello spazio geometrico tridimensionale riferito alLe opere cui sopra si è fatto cenno portarono la meccanica newtoniana a un sistema di riferimento S, ciò che rimane invariato nel passaggio da S a un altro

tal grado di perfezione logica, e a una tale potenza nel descrivere e nel predire riferimento S' in moto traslatorio rettilineo uniforme rispetto al primo non èesattamente le osservazioni sperimentali, da indurre nella convinzione che ogni la durata dt né la distanza spaziale dl, bensi la grandezzascienza dovesse essere ridotta alla meccanica, o almeno modellarsi sulla mecca­nica di iilcwton. Peraltro, la continua estensione delle conoscenze scientifiche, ela molteplicità dei problemi cui questa ha portato, dopo vani tentativi d'inter­ che misura, in una metrica opportuna, la distanza tra due punti (chiamatipretare tutti i fenomeni naturali partendo da criteri meccanicistici che condus­ «eventi») dello spazio quadridimensionale (cronotopo ). Questo porta ad 'abban­sero ad inventare sostanze artificiose come il calorico, i fluidi elettrico e magne­ donare le concezioni di spazio assoluto e di tempo assoluto, ma è bene osservaretico, l'etere, determinarono a partire dalla seconda metà del secolo scorso una subito che dalle stesse formule che dànno il risultato sopra indicato appare chedecadenza di tale interpretazione meccanicistica, e portarono a una profonda re­ detti concetti conservano piena validità se i valori delle velocità dei punti mate­visione degli stessi concetti fondamentali della meccanica. riali in moto sono trascurabili rispetto alla velocità della luce.

Questa revisione, che in effetti condusse a una vera e propria rivoluzione nel Un altro concetto fondamentale connesso col moto, che nella meccanica re­pcnslclo sclcntlfico, c dovuta ad A lbcl't Elnstcln [ 1905a], che pubblicò negli lativistica subisce una revisione profonda, è quello corrispondente alla massa,«Annalen der Physik» una nota basata sui seguenti postulati: che perde il carattere assolutamente intrinseco che esso ha nella meccanica new­

l ) la velocità della luce è la stessa in tutti i s istemi di r i ferimento in Inoto toniana ed appare invece dipendente dal moto. In effett, esprimendoil principiotraslatorio rettilineo uniforme gli uni relativamente agli altri; di conservazione della massa e della quantità di moto rispetto ai due osservatori

z) tutte le leggi della natura sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento in solidali ai riferimenti S e S' prima definiti, si ottiene che se m«è la massa di unamoto relativo traslatorio rettilineo uniforme. particella P quale è misurata da un osservatore rispetto al quale essa è in quiete

(chiamata massa a riposo, o massa propria), la sua massa misurata dall'osserva­Quali siano le conseguenze che da detti postulati derivano e come esse siano de­ tore rispetto al quale ha una velocità u (u„u», u») èdotte da questi è indicato in altro articolo di questa stessa Enciclopedia, e perciòqui ci si deve limitare a un breve cenno solo a quei risultati che piu strettamente

(16) m =

si ricollegano a quanto prima è stato detto.La prima delle proposizioni sopra enunciate esprime una proprietà dimostra­

ta sperimentalmente dapprima da Michelson e Morley, i quali con un interfero­metro di Michelson orientato in vari modi rispetto al moto della Terra avevano Questo riconoscimento del carattere non intrinseco della massa porta subito untrovato che se una sorgente di luce si muove rispetto all'etere, le cui vibrazioni problema: la prima legge di Newton è senz'altro ammessa nella meccanica ein­elettriche si identificavano con quelle della luce, e se un osservatore si muove steiniana, ma per quanto si riferisce alla seconda legge è da osservare che men­rispetto al medesimo, la velocità di propagazione della luce nel vuoto è sempre tre per la meccanica newtoniana è indifferente scrivere m (du/dt) = F, oppureC = 2, 9979245 x lo cm/s. In epoca recente questo risultato è stato confermato (d/dt)(mu)= F, lo stesso non si ha in quella di Einstein: in questa si prendecon accuratezza molto maggiore che nel passato da Kenneth Brecher [ 1977] delMassachusetts Institute of Technology, il quale fece uso delle sorgenti a raggiX regolarmente pulsanti in sistemi binari di stelle. I —­

Il secondo dei postulati sopra indicati, che è noto come principio di relati­ G2

Moto 6oz 6og Moto

e questa relazione, in quanto permette di confrontare i diversi effetti prodotti processo di fusione di due nuclei di deuterio (,H ) portanti alla generazione del­da una medesima causa del moto applicata a diversi corpi, è assai piu che una le particelle x (nucleo dell'isotopo dell'elio ~He4), che è alla base delle ricerchepura definizione di forza. L'assunzione della (r7) non è però conseguenza di un per creare centrali nucleari all' idrogeno; per la variabilità della massa con lapuro ragionamento, e la sua validità è da ricercarsi essenzialmente nella coinci­ velocità, bene constatata nella costruzione dei grandi acceleratori di particelle.denza dei risultati che da essa si deducono coi risultati degli esperimenti. Da La teoria della relatività ristretta (o speciale), se porta ad una profonda re­osservare poi che imponendo la condizione di invarianza relativistica alla legge visione dei concetti fondamentali di spazio, di tempo e di massa, conserva an­rappresentata dalla ( t7 ) rispetto ai riferimenti S ed S', si deduce che mentre cora parecchi concetti fondamentali della meccanica newtoniana, e precisamen­nella meccanica newtoniana la misura della forza agente sopra una data parti­ te quelli di moto assoluto e di riferimenti inerziali, rispetto ai quali soltanto lacella è la stessa per tutti i sistemi di riferimento in moto relativo traslatorio ret­ seconda legge di Newton, e quindi anche la (x7), è valida; afferma che tutte letilineo uniforme, lo stesso non accade nella meccanica einsteiniana: però, an­ leggi della natura, e non soltanto quelle meccaniche, sono invarianti e valevolicora, il divario tende ad annullarsi per c~ ~. Si r iconosce inoltre che se in uno per tutti i sistemi inerziali, ma lascia senza risposta la questione fondamentale :stesso sistema di riferimento due particelle hanno diverse velocità e sono sog­ esiste un sistema inerziale> Per quanto riguarda la teoria della gravitazione, la­gette ad uguali forze, in ogni altro sistema di riferimento le stesse particelle ap­ scia invariati i punti interrogativi sulla natura dell'azione a distanza e sulla pro­paiono soggette a forze diverse. Un risultato analogo vale nel caso di due parti­ pagazione istantanea dell'azione gravitazionale.celle soggette in S a due forze uguali e contrarie, e perciò appare che la terza Le difficoltà insormontabili (o almeno ritenute tali nella prima metà del pre­legge di Newton non ammette un'immediata estensione alla meccanica relativi­ sente secolo), attinenti all'esistenza di un sistema inerziale e di un moto assolu­stica. Infine: moltiplicando scalarmente i membri della (r7) per u si ricava l'e­ to, di guisa che si ha il paradosso che si conoscono le leggi della meccanica maquazione che esprime il teorema dell'energia nella meccanica relativistica non si sa rispetto a quale riferimento esse siano valide, portarono Einstein a con­

d , d2 cepire una nuova teoria (teoria della relatività generale), nella quale l'invarianza(x8) — (mc') = ­

dt dtdelle leggi fisiche ha luogo non soltanto per ogni trasformazione di Lorentz, cor­rispondente al passaggio da un osservatore a un altro in moto traslatorio retti­

in cui d2/dt è il lavoro svolto nell'unità di tempo dalla forza F, ossia la sua po­ lineo uniforme rispetto al primo, ma anche rispetto ad un qualunque cambia­tenza. Ora la (r8) è suscettibile di un'interpretazione che conferisce all'equa­ mento di riferimento spazio-temporale, e perciò anche rispetto a quelle trasfor­zione stessa, dal punto di vista concettuale, un valore enorme: da essa appare mazioni che definiscono il passaggio da un osservatore a un altro comunque mo­infatti che una particella di massa m ha l'energia bile rispetto al primo.

( I 9) E = mc' Si soddisfa nel modo piu naturale detta condizione d'invarianza esprimendole leggi fisiche con relazioni tensoriali nello spazio-tempo, di guisa che le equa­

e pertanto la massa rappresenta energia, e viceversa l'energia possiede massa. I zioni della relatività generale hanno l'aspetto di equazioni strutturali che ricor­due concetti fondamentali della meccanica di Newton, massa ed energia, ven­ dano quelle che definiscono lo stato di deformazione e di tensione in una strut­gono a ridursi a un unico concetto fondamentale, quello dell'energia. È illumi­ tura continua elastica. Si rimanda all'apposito articolo di questa stessa Enciclo­nante a questo riguardo quanto dice Einstein in proposito : «Come mai il fatto pedia per una conoscenza delle complesse trattazioni che sono state sviluppateche l'energia possiede massa e che la massa rappresenta energia è rimasto cosi prima da Einstein, e quindi, oltre che da lui, da Eddington, Kaluza e Klein,a lungo allo scuro>... La causa... è il piccolissimo rapporto di scambio fra ma­ Weyl e 'molti altri, per attuare rigorosamente il programma della relatività ge­teria ed energia... La quantità di calore necessaria per convertire trentamila ton­ nerale. Importa però osservare qui che se uno dei principali motivi ispiratori dinellate di acqua in vapore non peserebbe piu di un grammo circa!» [Einstein e detta teoria è stato quello di fare scomparire quelli che Einstein chiamò «i dueInfeld I938, trad. it. p. 207]. ingombranti fantasmi dello spazio assoluto e del sistema inerziale» [ibid., p.

I pochi cenni, ai quali qui ci si è limitati, sono già sufficienti perché si possa z48], Pimportmma, l'interesse e la validità di essa trascendono di gran lunga que­capire la ragione per la quale la meccanica einsteiniana al suo apparire, e per sto scopo, cosi che se anche si riuscisse in qualche modo ad individuare il siste­qualche decennio, incontrò molte diffidenze e molte opposizioni; essa fini però ma di riferimento al quale si potesse attribuire un carattere di speciale privile­per imporsi, perché tutte le proprietà da essa dedotte sono state mirabilmente gio, non per questo tali importanza, interesse e validità sarebbero diminuiti.confermate dagli esperimenti. Questo è avvenuto per la proprietà della dilata­ Questo va detto, perché, in effetti, un gruppo di sperimentatori di Berkeleyzione dei tempi nei corpi in moto, che da qualcuno è presentata come il para­ (r977), usando un aereo U-z, sembra aver rilevato recentemente il moto delladosso dei gemelli, ed ha trovato conferma ad esempio nella misura del decadi­ Terra rispetto al sistema delle microonde cosmiche, che si crede costituiscanomento dei muoni o mesoni p., scoperti nella radiazione cosmica; per l'equiva­ quello che rimane della fase primordiale della genesi dell'Universo. Importa poilenza tra massa ed energia, dimostrata ad esempio dall'energia che si libera nel pure osservare che la meccanica newtoniana è ancora contenuta come caso li­

Moto 6og 6og Moto

mite in quella einsteiniana, ma questa, anche nelle condizioni limiti, contiene same profondo dei concetti di spazio, tempo, massa e forza, cosi lo studio deimolto di piu, perché, applicata ad esempio alla cosmologia, da essa si deriva non moti sopra indicati, che è fatto dalla cosiddetta «meccanica quantistica», ha por­soltanto l'equazione del moto, o se si vuole la legge d'inerzia, ma anche l'equa­ tato a una profonda revisione dei concetti fondamentali di causalità e di deter­zione cui deve soddisfare la funzione U, che nella meccanica di Newton ha l'uf­ minismo, e pertanto, sotto questo punto di vista è ancora piu rivoluzionario del­ficio di potenziale gravitazionale. Quella poi che nella meccanica di Newton è le stesse teorie di Einstein.interpretata come forza di gravità appare essere una conseguenza della deforma­ L'iniziatore di questa rivoluzione fu Max Planck, che il ty dicembre t9oozione del cronotopo, prodotta dalla materia stessa: la presenza di energia, di presentò, in una riunione della Deutsche Physikalische Gesellschaft a Berlino,qualsiasi natura, deforma ed incurva il cronotopo, e la sua influenza sul moto si una deduzione della legge della radiazione del corpo nero, nella quale introdus­manifesta attraverso tale deformazione; e ancora, quell'equivalenza tra massa se un'ipotesi fondamentale: un oscillatore di frequenza propria v può assorbirepesante e massa inerte, che nella vecchia teoria appariva puramente casuale ed o cedere energia solo in pacchetti di valoreaffermata soltanto dall'esperimento, appare nella nuova teoria come un principio

(zo) E, = hvinsito nella teoria stessa.

Nella condizione limite, come si è detto, non vi è alcuna differenza, a parte dove h è una nuova costante fondamentale della natura, che ha le dimensioni dila diversa interpretazione cui si è accennato, tra la legge del moto secondo la un'azione (MLaT ') , ed è nota come «costante di Planck», o anche «quanto diteoria newtoniana e quella einsteiniana : un pianeta ad esempio descrive sempre azione», mentre al secondo membro della (zo) si dà il nome di «quanto d'ener­un'ellisse di cui il Sole è un fuoco. Ma se ci si vale delle soluzioni rigorose delle gia». L'ipotesi di Planck [r9o t ] porta quindi alla concezione davvero rivoluzio­equazioni gravitazionali si ricavano nuove deduzioni, che non possono essere naria (perché in netto contrasto con quella della meccanica classica, nella qualetratte dalla legge newtoniana; tali ad esempio sono : lo spostamento del perielio l'energia è una variabile dinamica continua), che non soltanto la materia e la ca­di Mercurio e quello, di ben maggiore grandezza, dell'orbita ellittica, in una rica elettrica posseggono struttura granulare, ma anche l'energia di radiazionestella doppia, di una delle due stelle intorno all'altra, causato dalla curvatura possiede la stessa struttura, si compone cioè di «quanti ». A porre in tutta evi­dello spazio-tempo ; la deflessione della luce per azione gravitazionale e lo spo­ denza questa proprietà fu ancora Einstein [r9ogb] con le sue ricerche sull'ef­stamento corrispondente delle righe spettrali. Si deve ancora aggiungere che, fetto fotoelettrico: all'inizio del secolo era noto come risultato sperimentale che,secondo la teoria einsteiniana, perturbazioni del campo gravitazionale si propa­ quando la luce incide sulla superficie di un metallo, da questo vengono espulsigano con onde (onde gravitazionali ), e che la velocità con la quale dette pertur­ elettroni. L' interpretazione del fenomeno data dalla fisica classica era che l'ener­bazioni si propagano è uguale alla velocità della luce. È cosi data una risposta gia luminosa incidente, di natura elettromagnetica, fosse in parte utilizzata per.suggestiva al quesito relativo al modo col quale le azioni gravitazionali si risen­ compiere il lavoro necessario per vincere l'energia di legame dell'elettrone e intono a distanza, togliendo l'assurdo dell'istantaneità dell'azione a distanza. Né parte per comunicargli energia cinetica. Ma in questa interpretazione interve­deve essere taciuto a questo riguardo che proprio recentemente astronomi del­ niva soltanto l'intensità della radiazione incidente, non la sua frequenza, e que­l'Università del Massachusetts sembra abbiano ottenuto una conferma indiret­ sto era in netto contrasto con il risultato sperimentale che, al di sotto di una cer­ta dell'esistenza di dette onde [cfr. Taylor, Fowler e McCulloch x979]. ta frequenza, qualunque sia detta intensità, l'effetto fotoelettrico non si produ­

ce (esperimento di Lenard), mentre l'energia cinetica comunicata agli elettroni

I.3. Da Einstein a Planck, Bohr, Broglie, Heisenberg, Dirac, Born. emessi dipende esclusivamente dalla frequenza e cresce linearmente con questa(esperimento di Mill ikan). Questo aspetto, inesplicabile dal punto di vista del­

La teoria della relatività ristretta, a parte la revisione di concetti primari del­ l'ottica ondulatoria, trovò una bri l lante spiegazione quantitativa con l ' ipotesila meccanica newtoniana, indica come condizione limite dell'applicabilità di que­ corpuscolare e quantistica di Einstein, per la quale l'energia in un fascio di lucesta, che tutte le velocità che intervengono nel fenomeno in studio siano piccoLe monocromatica si propaga in pacchetti (o fotoni) di valore hv ; è questo quantorispetto alla velocità della luce; la teoria della relatività generale, a parte il di­ di energia che può essere trasferito a un elettrone, ed è l'eccesso di questo quan­verso significato e la diversa interpretazione che dà a grandezze fondamentali to rispetto all'energia di estrazione (york-function ) W, che corrisponde all'ener­della meccanica di Newton e la diversa concezione che la informa, ne limita gia cinetica E, dell'elettrone espulso. Si ha cosil'applicabilità in presenza di fenomeni gravitazionali in scala astronomica.

IEsiste però anche una terza limitazione alla meccanica newtoniana, che deriva (z t ) hv = S'+ — m,u'

invece dalla considerazione di moti in scala microscopica, piu precisamente dal­ 2

lo studio del moto delle molecole, degli atomi, dei nuclei, degli elettroni, ossia di se m, è la massa dell'elettrone e u la sua velocità; la (zt) è la famosa equa­piccoli sistemi costituiti da un piccolo numero di particelle elementari; e come zione fotoelettrica di Einstein, che spiega quegli aspetti dell'effetto fotoelettricole teorie della relatività ristretta e generale di Einstein hanno portato a un rie­ noti a quel tempo.

Moto 6o6 6op Moto

Successivamente il quanto di azione fu introdotto nei modelli atomici, ad dove i è l'unità immaginaria (i~= — r) ; h = h/zrr; A è l'ampiezza costante del­opera specialmente di Niels Bohr, il quale pubblicò la sua teoria atomica nel l'onda, k è il vettore d'onda e ~ la frequenza.I9I3, sviluppando una teoria, in seguito generalizzata da Sommerfeld e Wilson, Il primo problemaè di trovare la relazione tra k e u, che descrivono l'on­che ebbe un grandissimo successo e nella quale il carattere corpuscolare era di da, e le grandezze E, p, m che descrivono la particella. Ricercando come si tra­nuovo attribuito alla radiazione, ciascun fotone essendo associato a una energia sformano k e u rispetto alla trasformazione di Lorentz, e ponendo la condizionehv, una massa hv/c~, in accordo con la legge di Einstein (s9), e una quantità dell'invarianza relativistica rispetto a detta trasformazione, si arriva al seguen­di moto hv /c. D'altra parte, i fenomeni d'interferenza, di diffrazione e di rifra­ te risultatozione stavano sempre a dimostrare che almeno in un grande numero di problemi

(z3) E = h~ p = hkla teoria ondulatoria della luce conservava la sua piena validità; di qui, il duali­smo, per il quale per spiegare i risultati sperimentali era necessario ammettere e pertanto, se ) è la lunghezza d'onda corrispondente a k, X=h /p = zar/k. Lache la luce avesse a un tempo natura ondulatoria e natura corpuscolare. seconda delle (z3) è chiamata «equazione di Broglie», mentre.X è chiamata la

A complicare le cose venne poco piu tardi la scoperta che uguale comporta­ lunghezza d'onda di Broglie della particella, e la $ data dalla (22) funzione d'on­mento hanno anche le particelle materiali, cioè le particelle che hanno una mas­ da di Broglie. Si noti peraltro che, in realtà, le relazioni tra energia, quantità disa a riposo m~ diversa da zero, quali gli elettroni, i protoni, i neutroni, i mesoni, moto, frequenza e vettore d'onda, che risultano dalla condizione di soddisfare ille molecole, ecc. Nel caso dei fotoni, le proprietà ondulatorie furono scoperte per principio di relatività ristretta, sono E = Cu, p = Ck, dove C è una costante ca­prime e le proprietà corpuscolari in seguito; nel caso delle particelle materiali, ratteristica della particella, e non c'è motivo per cui C debba essere la stessa perle scoperte avvennero in ordine inverso e, a causa di questo ordine di successione tutte le particelle, e quindi uguale a quella corrispondente ai fotoni. I l prende­storica, era invalsa la credenza che la luce fosse costituita da onde, e che ad re C = h è una pura ipotesi, peraltro pienamente confermata dai risultati speri-.esempio gli elettroni fossero corpuscoli, ma nella realtà è da credere che tutte mentali.le particelle, fotoni, elettroni, ecc. siano simili, nel senso che tutte possiedono Si può ora riconoscere il perché le onde materiali non abbiano considerazionealcune proprietà corpuscolari, e alcune proprietà ondulatorie. n ella meccanica macroscopica: in effetti, per m= ro s g e u= r c m/s, poiché

Per spiegare questo dualismo, e per spiegare inoltre le numerose proprietà h = 6,6z6 x to — as erg sec., usando l'espressione della lunghezza d'onda di Brogliedei modelli atomici che le ricerche teoriche e sperimentali avevano messo in si ottiene X 6 ,6x so " cm , davvero troppo piccola per potere inffuenzare laevidenza, furono ideate a partire dal t9zg tre meccaniche quantistiche — rispet­ meccanica dei corpi ordinari.tivamente da Louis de Broglie e Erwin Schrodinger; Max Born, Werner Hei­ Il secondo stadio nella fondazione della meccanica ondulatoria è costituitosenberg e Pascual Jordan; Paul-Adrian-Maurice Dirac — che nella realtà, sia dalla ricerca dell'equazione alla quale la funzione d'onda soddisfa: l'ipotesi pi tipure usando algoritmi diversi, ne costituiscono una sola. Qui ci si limita a fare importante è che l'equazione d'onda, che dèscrive una singola particella, siacenno alla meccanica di Broglie e Schrodinger, che è chiamata, a segnalarne l'a­ un'equazione differenziale hneare, e questo allo scopo di permettere che le so­spetto piu caratteristico, «meccanica ondulatoria» e che segue nei suoi procedi­ luzioni dell'equazione stessa soddisfino al principio di sovrapposizione, ossiamenti da vicino l'analogia tra i principi della meccanica e quelli dell'ottica [i ogni combinazione lineare di dette soluzioni sia essa stessa una soluzione del­metodi e gli sviluppi di essa sono mirabilmente esposti in Wichmann t967 ]. l'equazione. Ora, l'equazione differenziale piu semplice che sia soddisfatta dalle

Il principio ispiratore dell'opera di Louis de Broglie [r9z3] fu che, come onde di Broglie è la cosiddetta equazione di Klein-Gordon, che descrive la pro­l'ottica geometrica richiede un'estensione se si vuole considerare il campo del­ pagazione dell'onda associata a una particella solo in regioni vuote dello spazio­l'ottica fisica, cosi la meccanica deve essere estesa se con essa si vogliono stu­ tempo, ossia a grande distanza da tutte le altre particelle, ed è data dalladiare i fenomeni quantici; e poiché la base dell'ottica fisica è l'equazione delle

I g2onde, il problema da risolvere per detta estensione era di scoprire l'equazione mc $2(ze) —,—,4(~ t) — AA( ) = ­ — 0( t )C2 òt2 A, = Z,

delle onde nella meccanica quantistica. Si supponga a questo scopo che a ogni ' òx.

particella in moto sia associata un'onda, e che la particella si muova in assenza di La piu generale sovrapposizione (continua) di onde piane soddisfacenti allaogni forza esterna; siano E l 'energia, p la quantità di moto (p = mu), e m la (24) si può rappresentare con lamassa della particella. Sembra logico ammettere che l'onda ad essa associata simuova nella sua stessa direzione, e la si possa rappresentare con la funzioned'onda complessa ( z5) $(x, t )= ds — A ­ exp ix • ­ — istat)

P.(22) qt x, — ; t =Ae xp (ix k — iut), in cui qui A (k) è una funzione complessa del vettore d'onda k, da determinarsiin modo che la f(a,t) nell'istante t = o, o in un altro istante arbitrario fissato,

Moto 6o8 609 Moto

sia uguale a una data funzione; mentre l'integrale è esteso all'intero spazio tri­ posizione x„, e con Ap„ la indeterminazione della componente della quantit><dimensionale k. La o> poi è la funzione di p, che si ricava dalle relazioni di moto p, è

hmu ( zy) Ax -Ap, ) — x = r , z , 3 .zii

Le (z7) costituiscono le relazioni di indeterminazione formulate da Heisenberg

e pertanto [i9zp]. Una relazione analoga alla (z7) vale per l'incertezza della grandezza AE

iz6> ~= ('­1vp'+m'~'della variazione di energia di una particella e l'incertezza della grandezza dell'i

ii­tervallo di tempo At durante il quale la variazione è prodotta:

kb/h

È da ricordare infine che, secondo la teoria dell'integrale di Fourier, dalla (zg) (zp') 1< E . i>>.t o27<

consegue

(z~<) g ( 1= (zi<)-s" d (x) $(x,o)exp — ix­Non si dà qui la deduzione rigorosa delle (zp) e (z7') ; ci si limita ad osscrv;inche esse sono conseguenze necessarie della descrizione ondulatoria della p;u.mi­cella, in quanto da essa deriva che, se la posizione di una particella deve essi n

Ovviamente, nella (zy) la A(k) deve essere una funzione ragionevole di k, af­ definita molto bene, il t reno d'onda corrispondente deve essere molto cn<a»,

finché l'integrale a secondo membro abbia un senso, cosi come nella (zg') la condizione questa incompatibile con quella che il vettore d'onda k, e quin<li I;i

$(x) deve essere una funzione ragionevole di x perché l'integrale a secondo quantità di moto p ad essa correlata per le (23), siano ben definite, perché qii«­membro converga. st'ultima condizione richiederebbe che il treno d'onda abbia la forma di un'<>n

il:iUn terzo problema, infine, fondamentale, alla base della meccanica ondula­ sinusoidale su un intervallo che comprende un grande numero di periodi c<>i»

toria, è quello di dare un significato fisico alla funzione d'onda $(x, t) : e questo pleti.significato fu ipotizzato per la prima volta da Max Born [ i926] : la funzione d'on­ È chi'aro che queste condizioni sono in netta antitesi con la proprietà sena':<1­

da $(x,t), ossia l'ampiezza dell'onda di Broglie, descrive la distribuzione della tro ammessa nella meccanica macroscopica, che posizione e velocità di ogni d;ii:i

probabilità della particella nello spazio e nel tempo, e precisamente, la proba­ particella in un dato istante t possano essere conosciute, e determinate, con pn­

bilità di trovare la particella, corrispondente alla <]> (x, t), in una piccola regione cisione arbitraria; pertanto le relazioni (z7) e (z7') stabiliscono i limiti oltre idi volume ds (x) contenente il punto x è proporzionale a ~$(x, t)~ad'(x). La quali i concetti della fisica classica non possono piu essere applicati. Cosi : i<ldensità di probabilità è perciò proporzionale al quadrato del modulo della fun­ esempio, se si considerano elettroni mobili , che attraversano una fenditur;i <lizione d'onda. larghezza d, e X è la lunghezza d'onda di Broglie, supposta uguale per tutti gli

Dai risultati sopra indicati discendono subito importanti conseguenze. elettroni, perché questi possano essere considerati come corpuscoli deve essi «Si supponga che la funzione $ (x, o) sia grande solo in un piccolo intorno del d>)X, e poiché X=h /p, ne viene dp>h; se è invece d X, e quindi dp h , I<.

punto x, e nulla al di fuori di esso, cosi che, per il significato che la funzione particelle si comportano come onde, nel senso che si vedranno gli effetti di dil'­

stessa ha, la posizione della particella sia ben definita; dalla (zg') risulta allora frazione caratteristici di queste. È, di conseguenza, la rappresentazione delle p;i i­che la A (p/A) ha all'incirca la forma di un'onda piana, e pertanto i suoi valori ticelle come onde di probabilità, che conferisce alle particelle stesse, a secon<1:i

risultano sparpagliati in una regione molto grande dello spazio p, il che vuoi di­ dei casi, proprietà ondulatorie o proprietà corpuscolari.

re che la quantità di moto della particella è mal definita. Inversamente, se è la Si' può fare un passo avanti, e considerare il moto di una particella in i»i

funzione A (p/A) ad essere localizzata molto bene nello spazio delle quantità di campo di forze esterne deducibili da un potenziale, che può descrivere l'effett<>

moto, dalla (zg) si ricava che è la funzione d'onda $(x,o) ad avere all'incirca sulla particella in esame di tutte le altre particelle presenti nel campo : non si giu­

la forma di un'onda piana, e pertanto ad avere i suoi valori sparpagliati in una stifica qui l ' ipotesi di poter rappresentare l'interazione fra particelle con l ' in­

regione molto grande dello spazio x, e corr ispondentemente è la posizione troduzione di una funzione potenziale, e ci si accontenta di dire che questo, s<

della particella a risultare mal definita. La teoria degli integrali di Fourier dà a non è rigoroso, appare ragionevole almeno nell'ambito di una teoria approssi­

queste parole una formulazione precisa, che porta a correlare la concentrazione rnata. Questa teoria è quella dell'equazione di Schròdinger, formata per la prim;i

della funzione A (p/A) con la concentrazione della funzione $(x, o), e il risulta­ volta ila, Elwin Schl odingei [ i 926] poco dopo l'invenzione della meccanica del l<to è una relazione d'indeterminazione : la precisione con la quale è definita la po­ i»atrici di Heisenberg, e che si basa inoltre su un'altra approssimazione, quell;

i

sizione è inversamente proporzionale alla precisione con la quale è definita la «lie tutte le velocità siano tanto piccole da poter trascurare tutti gli effetti relati­

quantità di moto, e precisamente, se si indica con Ax, la indeterminazione della vistici.

Moto 6ro 6rt Moto

Un'onda di Schrodinger arbitraria, che ha sempre il significato di un onda dida di e l'indeterminazione Ax di x, definita dalla Ex = v M[(x — x]'] risulta di conse­robabilità, può essere ottenuta, come quella prima considerata, dalla sovrappo­ guenza data dalla

sizione di onde piane della stessa forma delle onde di Broglie, e soddis a a 'e­quazione (t-']x)' = dx (x — x)~ I g (x)l ~ = M(xa) [M(x)]2

h' . à(z8) A, $ (x, t)+ V(x) $ (x, t)= ih — $ (x, t) In modo analogo si calcola il valor medio di una qualsiasi altra grandezza che

in cui V è l'energia potenziale della particellp; se E è l'energia di questa è poidipenda solo da x, ad esempio, il potenziale V (x) :

a(z8') h — $ (x, t) = E)(x, t) (8o') M[V( x)] = (g l V(x)l $>= dx V(x) Ig(x)la.

at

e la (z8) si può scrivere nella forma Dagli esempi ora dati appare senz'altro come, nota la funzione d'onda cor­

h' rispondente a un determinato stato della particella, ne risulta senz'altro il valor

(z9) — ha $ (x, t )= (E — V) $ (x, t). medio di ogni grandezza funzione della variabile (posizione quantomeccanica)della particella stessa; ma se ci si domanda quale è il valore numerico localePerché una soluzione della (z8), o della (z9), sia fisicamente possibile, essa deve istantaneo di detta grandezza, si deve rispondere che questo valore numericoessere a quadrato integra i e, ossia lzd

' b'1 ssia ~zl' deve essere integrabile nell'intero spazio. non è definito: ossia una variabile quantomeccanica non ha un valore numerico ;

Le (z8) e (z9) sono appunto le famose equazioni di Schrodinger: la (z8) è essa è definita soltanto con un procedimento per mezzo del quale si può calcolarechiamata equazione di Schrodinger dipendente dal tempo, e la (29) equazione il suo valor medio per ogni data funzione d'onda (cioè per ogni dato stato delladi Schrodinger indipendente dal tempo. La prima vale perer tutte leondedi Schro­ particella).dinger, mentre la seconda (per un dato valore di E ) vale solo per quelle che Per quanto si riferisce alla variabile quantomeccanica quantità di moto, la de­corrispondono ad una particella di energia E. Le (z8) e (z9) sono state applicate terminazione del suo valor medio richiede anzitutto la definizione di detta va­con grandissimo successo a mo id' '

lti problemi della meccanica atomica e moleco­ riabile: si consideri a questo scopo una funzione d'onda, che in un intervallolare. Ci si limita qui a citare: molto ampio ha la forma

x) la quantizzazione e mo o e ad 1 t d 1 1 ' tomo e la dimostrazione dell'esistenza dilivelli energetici discreti; in effetti si ricava che le soluzioni della (29), $(x) = Aexp(ix/X) = Aexp( — )

ixp'

( h)aventi una dipendenza temporale della forma [exp( — iut)], soddis acen­ti alla condizione di regolarità sopra definita, si hanno per i valori di u mentre esternamente a detto intervallo è g = o. Per quest'onda è certo il valorformanti un insieme discreto o]n o]„ . . . e l ' e g'l'ener ia dell'ennesimo stato medio della quantità di moto prossimo a p', e di conseguenza si può scrivere

stazionario è data da E„ = hw„; àz) l'effetto tunnel, ossia l'attraversamento quantomeccanico di una barriera p'$(x) = ­ ih — $(x) ;

àxdi potenziale superiore all'energia totale della particella. e poiché.

Si indicano ancora, nell'ambito della semplice teoria di Schrodinger, gli entimaterna ici, c e nt i , che nella meccanica quantistica corrispondono alle gran ezze c e

quan ' ''

' . Per sem li­quantità di moto nella meccanica classica. Per semp i­ f+

$$'(x) dx = r

cità, ci si limita al caso unidimensionale: per il significato già attri uito a a un­ se $'(x) è il complesso coniugato di g (x), èd' d + (x t ) e supposto che questa sia normalizzata, in modo chef x ~~] (x t = r , i va o~dx ,'~]'(x t)l' = r, il valor medio di x e quello di x in un dato istan e2 àdati dalle p' = ~ dx $'(x) ~ — ih ­ ) $(x).I. à.J

M(,) = x= <gxlq> = dxx lh(x)l Questa espressione è generalizzata per definire il valore medio della quantità

(8o)di moto quantomeccanica, assumendo come postulato

M(x fi) ( y lxal il]>= dx x l>(x)l' (si) M(p) = << Ipl 4>= dx l'(x) — ih à„4(x)+oo a

Moto 61z 613

per ogni funzione d'onda di Schrodinger. p p p. A a r e e r tanto che la(31) si può sere soddisfatta perche questo possa essere fatto e quella che gia e st it i l>i «<interpretare nel senso che nella teoria di c

"' g ' '

' ' didi Schrádin er la variabile quantità di dentemente discussa, in riguardo alle relazioni di indeterminazione.moto è rappresentata dall'operatore differenzia e p = ­ ' ( /ziale = — itf(ò/òx), che agisce su a La teoria di Schrodinger è stata estesa al caso di sistemi composti i><»

i <I;ifunzione d'onda a a sua es ra. oicIl d t . P ' hé i l q u adrato di un operatore si ottiene una sola particella, ma da due o piu particelle interagenti

(ad esempio d:i <l»toperando due volte con lo stesso operatore, è elettroni, o un elettrone e un fotone), o anche considerando gli effetti rei>iiiviou i<i,

. Aò ( ihò t h2ò2 e a questo riguardo è fondamentale l'opera di Dirac [193o], al quale si d< >i >I(3,) pz — i ò primo trattato completo di meccanica quantistica. Non è possibile qui i»<li<".

ii <nemmeno alcuni dei piu grandi progressi della fisica che la meccanica qu;i»i is< i

e il valor medio del quadrato della quantità di moto è dato dalla ca ha permesso di ottenere, della moltitudine di fenomeni noti da temp<> i»;ii i

+ oo $2ò2} masti misteriosi e che essa ha interpretato e delle importantissime appfic:>ri<>»>

(33) M(p') = (']>'Ip'I 4) = dx <<>'(x) ò 2J']> tecnologiche cui essa ha dato luogo. Se questo non può non essere riconos<.:i» i»,è tuttavia difficile ammettere che in questo modo si è riusciti ad avvici»;»si ;

i= a>M<p — p>'. An >og m te, p i l va lot medio qua tomeccanico capire la natura; se ci si domanda perché non si possa nemmeno ipotizz;in

ilidella funzione hamiltoniana IV, che nella meccanica classica à e g' conoscere la precisa posizione di una particella in un dato istante, ma bis<>g

l i ; i

(p'/zm)+ V, si ha accontentarsi di conoscere la probabilità di un determinato stato di essa, hi <i+ t>2 ò' sposta potrebbe essere che sarebbe anzitutto necessario definire che cosa s'i

litende per particella; se questa è un concentrato di energia, sembrerebbe difli< il<definire i confini entro i quali detto concentrato è compreso, ma sarebbc ~>»<

di guisa che l'operatore energia H è dato dall'operatore differenziale sempre necessario dire perché detta probabilità debba propagarsi con onde, c i»

h2 ò2 effetti quanto è stato posto ed accettato ha la sua giustificazione soltant«»< IH = — — —,+ V(x).

zm òx2fatto che le conseguenze che ne derivano sono in accordo con i risultati spci i­mentali e non in un puro ragionamento. Non si può a questo riguardo non ;«'­

Quanto ora indicato è importante, non soltanto p erché fa vedere che mentre cennare a quanto scrisse Einstein a proposito dell'introduzione in modo esse»­non ha senso in meccanica quantistica parlare di vaio 'ri locali istantanei di una ziale del concetto di probabilità: in una lettera da lui inviata a Max Born

(<l;i­qua gualsiasi grandezza quantomeccanica, è invece ben

'

, p gben definito »er ogni funzione tata 3 dicembre 1947) egli dice: «Vedo naturalmente che l'interpretazionc <lid'onda, il valor medio della grandezza stessa, ma anche p

' ph e r ché e rmette di met­ principio statistica... possiede un considerevole contenuto di verità. Tuttavi;i

tere in relazione la meccanica quantistica con la mec canica classica. In effetti, non posso seriamente credere in essa, perché la teoria contraddice al principi<>

questa relazione è stabilita dal teorema di E hrenfest er il uale i valori medip che la fisica deve rappresentare una realtà nello spazio e nel tempo senza fanto­delle variabili quantomeccaniche soddisfano alle qstesse e uazioni del moto che matiche azioni a distanza... Io credo fermamente che si perverrà alla fine a unasono soddisfatte dalle corrispondenti variabili classiche ne' h n e l la meccanica clas­ teoria nella quale gli oggetti connessi da leggi non siano delle probabilità ma deisica. Cosi è fatti pensati, come si riteneva evidente fino a qualche tempo fa. Non posso tut­

d I d [d V(x)— M(x) = ­ M(p) — M(p) = — M

tavia fornire argomenti logici a sostegno della mia convinzione, ma soltantochiamare a testimonio il mio dito mignolo, cioè un'autorità che non può preten­dere di essere rispettata fuorché dalla mia pelle» [citata in BOI'Il 1949, trad. it.

se la funzione d'onda y~(x, t), che permette di calcolare i valori memedi soddisfa p. 153]. E lo stesso Dirac, nella celebrazione del centenario di Einstein all'Une­all'equazione di Schrodinger sco, tenuta a Parigi nel 1979, esortò a riconsiderare di nuovo le obiezioni di

h$ Einstein alla meccanica quantistica.( z8) Hy t ( x ,t) = iA­ È stata molto discussa l'influenza, sul pensiero filosofico e sull'etica, del di­

lemma determinismo-indeterminismo nella fisica. Max Born[1949] riferisce a que­essendo H l'operatore differenziale sopra definito. sto riguardo le parole dette da Ernst Cassirer nel suo trattato Determinismo e

Appare pertanto dal teorema ora indicato che la meccanica classica può es­ indeterminismo nella fisica moderna: «Da questo significato della libertà comesere considerata come un caso limite della mecc

' qanica uantistica, caso limite

corrispon en e ad te a r itenere trascurabile ai fini dello studio di un dato fenomenopossib i l i t à c ircoscritta da leggi di natura nessuna via conduce a quella "real­

di moto l' indeterminazione delle variabili, ossia la fluttuazione s a is icatà" del volere e della decisione pratica con cui ha a che fare la problematicaetica. Confondere la "selezione" che secondo la teoria di Bohr l'elettrone può

variabili che è tipica della meccanica quantistica; e la condizione che eve es­t fare tra differenti orbite quantizzate, con una "scelta" nel senso etico di questo

Moto 6r4 6rg Moto

concetto, significherebbe cadere vittime di un equivoco d'ordine puramente a quella del movimento che intendono compiere. Le modalità con le quali casi

linguistico. Una "scelta" infatti c'è solo dove non soltanto sussistono in sé pos­ esplicano questa capacità dipendono dalle dimensioni dell'organismo dalla f<>i­)

sibilità diverse ma fra di esse si compie una distinzione consapevole e si viene ma di questo, da una molteplicità di altre condizioni: le piu frequenti di f ili

a una decisione consapevole. Proiettare atti del genere nell'elettrone sarebbe unamodalità sono quelle qui appresso indicate.

madornale ricaduta in una forma di... antropomorfismo» [Cassirer r937, trad.it. p. 3o6]. E piu avanti: «Allora pensare la causalità dominante nella natura, z z Propulsione con flagelh (propulsione flagellare)sotto la specie di leggi strettamente "dinamiche" o sotto quella di leggi pura­mente "statistiche", non cambia nulla... Né sul l 'una né sul l 'altra via resta Microrganismi, come batteri flagellati (ad esempio Escherichia co(i, paci'g«.>

aperto un adito alla sfera della "libertà" che l'etica rivendica per sé» [ibid., p. subtilis, Spirillum, Spirochaeta, Leptospira), spermatozoi, piccoli vermi si mi i<>­

3o8 ; cfr. anche Born r949, trad. it. pp. z<>4-55]. vono nel liquido in cui vivono grazie all'azione propellente esercitata dal liq<>i<l<>

Rimane sempre valida la domanda fino a qual punto lo studio del concetto di stesso sui filamenti, che sporgono dal corpo cellulare cui sono collegati (1><i

moto, quale si è andato evolvendo nei secoli, ha portato a una migliore cono­ batteri e spermatozoi, nel qual caso detti filamenti sono chiamati «flagelli» ), <>scenza della natura; si crede utile a questo riguardo riportare quanto dice Hei­ costituiscono essi stessi il corpo del microrganismo (caso dei vermi ), e ai qu;>lisenberg paragonando quanto scrisse Platone nel Timeo sulla cosmogonia con è impresso un moto ondulatorio.

quanto è scritto nel trattato di astronomia di Newcomb ed Engelmann : «La de­ Questo moto può essere piano, come nel caso dei piccoli vermi, che c<»i­

scrizione moderna si distingue da quella antica per tre tratti caratteristici: per­traendo ed estendendo i muscoli producono onde trasversali piane di deforn i;i­

ché pone enunciati quantitativi al posto di enunciati qualitativi; perché ricon­ zione, propagantisi nella stessa direzione, e generalmente in senso oppost<> ;i

duce fenomeni diflerenti alla medesima origine, e perché rinuncia a chiedersi il quello del moto; oppure, come usualmente avviene per batteri e spermatoz<>i,

"perché" » [i93z, trad. it. p. r3]. il moto ondulatorio può essere tridimensionale: precisamente, l'asse del flagcll<>si avvolge ad elica sopra un cilindro, che per semplicità si può supporre circ<>­lare, e ogni suo elemento ruota intorno all'asse di detto cilindro. Con riferiment < >

z. Il mo to come è realizzato dagli organismi viventi sulla Terra. pertanto a un sistema di assi che si trasla, ed eventualmente ruota, con il corp<>del microrganismo in studio, essendo l'asse x diretto ed orientato come la vel<>­

Dopo l'analisi del moto, quale è concepito dall'uomo, delle sue leggi e delle cità di traslazione di questo, la linea secondo la quale è disposto l'asse di un sin­

sue cause, dell'evoluzione dei concetti fondamentali con esso connessi nel ten­ golo flagello è rappresentata dalle equazioni, in coordinate cilindriche (fig. i)tativo di comprendere il perché dei fenomeni di moto, è naturale domandarsi (r) r = h & = k(x+ct) = kxp<~tcome il moto è prodotto, almeno sulla Terra, dove noi viviamo e abbiamo la pos­sibilità di osservare e sperimentare. Tutto in natura si muove, e il movimento è in cui k = zrr/X è il numero d'onda e c= o>/k è la velocità di fase di propagazion<.la prima indicazione della vita; le modalità con cui esso avviene sono le piu sva­ dell'onda lungo l'asse del cilindro di raggio h. Nel caso di moto piano, invece,riate, ed analizzarle tutte sarebbe impossibile. Qui pertanto ci si limita a consi­ si ha in un ri ferimento cartesiano

derare casi tipici della locomozione quale è realizzata nel mondo animale, e piu ( r' ) y = hsink(x+ct)particolarmente della locomozione in acqua, perché le modalità con le quali essaè effettuata sono, forse, piu numerose e piu ricche di insegnarnenti che nonquelle relative alle locomozioni aerea e terrestre: anche questo studio presentaproblemi di enorme difficoltà, che richiedono competenze specifiche in vari cam­pi della scienza, e qui ci si limita ovviamente a considerare solo la parte mecca­nica dei detti problemi; d'altra parte, questi presentano pure aspetti meravi­gliosi, che lasciano stupiti per la genialità della soluzione che naturalmente essihanno avuto.

z.i. Locomozione acquatica.

Tutti gli esseri viventi in acqua traggono la forza di propulsione, grazie allaquale essi si possono muovere a loro piacimento, dalla capacità che essi hanno Figura i .

di imprimere al fluido una variazione di quantità di moto in direzione opposta Propulsione flagellare: a ) flagelli a riposo; b) flagelli in fase di propulsione.

Moto 6z6 6t7 Moto

essendo ora h l'ampiezza dell'onda di deformazione, mentre gli altri simboli l'apparenza di un singolo filamento di diametro alquanto maggiore del sing<>l<>hanno il significato già dato. In questa seconda eventualità, come la deforma­ flagello : PEscherichia coli ad esempio porta sei flagelli ad un estremo, che ad <><­zione dell'asse del filamento sia ottenuta è già stato detto sopra; nel primo caso ganismo fermo sono disposti con una orientazione arbitraria, mentre nella fas i

le opinioni sono discordanti. propellente sono riuniti in gruppo ; quando questo cambia orientazione, la cel­Secondo alcuni biologi [Berg e Anderson r973 ; Silverman e Simon I974] lula cambia la direzione del suo movimento. Le cellule eucariotiche hanno fl;<­

ciascun flagello è attaccato per mezzo di una specie di giunto universale a una gelli di diametro alquanto maggiore, dell'ordine di o,z p.m, e di lunghezza fin<>specie di alberino A (fig. z) che passa attraverso la parete della cellula organica a ro — :zoo pm, mentre per gli spermatozoi i valori corrispondenti di dette gr;<n­C e termina con un anellino M, libero di ruotare nella membrana citoplasmica; dezze sono o,z — : t, ro — ;rooo p,m; ed infine, per i piccoli vermi: zo — :4o, tooodi fronte a M si aflaccia un altro anello S che è invece fisso alla parete cellulare. p,m. In ogni caso il numero di Reynolds Re, ossia il parametro, che è una misu<"«Si suppone che ioni di idrogeno fluiscano nell'interstizio tra A e C, e tra gli anelli del rapporto tra forza d'inerzia e forza viscosa agente su ogni elemento, e chc <M e S, creando un gradiente di potenziale elettrochimico e generando cosi una dato da Re = Vd/v, in cui U è la velocità di traslazione del microrganismo, rlcoppia che fa ruotare A ed il flagello ad esso unito. Secondo altri fisiologi [Cal­ il diametro del filamento e v la viscosità cinematica del fluido in cui il movimenti�>ladine r 974], invece, il flagello, che si attacca direttamente alla parete cellulare, si avviene, è sempre molto piccolo variando da ro — ~, nel caso dei batteri, a ro "dispone ad elica sul cilindro di raggio h senza ruotare, ossia senza torcersi, in­ per gli spermatozoi, a ro ' per i piccoli vermi. Conseguentemente, per lo studi<>flettendosi simultaneamente in due piani normali l'uno all'altro. Tocca ovvia­ del moto nel campo fluido, e delle forze che questo trasmette al corpo in esso im­mente ai biologi chiarire la questione e risolvere la controversia: qui va solo merso, si possono trascurare le azioni d'inerzia rispetto a quelle viscose, nel qu;<Iespressa l'ammirazione per l 'organismo unicellulare che ha saputo costruire caso le equazioni che definiscono il movimento stesso sono le equazioni di Stokcs(non poco prima dell'uomo ) un motore elettrico miniaturizzato nel quale ven­ linearizzate :gono utilizzate energia pulita e una materia prima, l ' idrogeno, il cui sfrutta­

(2) VP+ 1 >.A~U= omento è tuttora un'aspirazione dell'uomo, se è corretta la prima interpretazio­ne; o che ha insegnato come si avvolgono senza torsione i fili in un trefolo e i (in cui p è la pressione, u la velocità del fluido in un punto generico del campo,trefoli in una fune elicoidale, se è esatta la seconda ipotesi. p, la viscosità dinamica, mentre V e A, stanno ad indicare rispettivamente il

Le dimensioni dei flagelli, o dei filamenti, sono sempre assai piccole: i sin­ gradiente e il laplaciano Z„ò' /òx,'). L'integrazione della (z), in modo da soddi­goli flagelli dei batteri possono avere un diametro di circa o,or — :o,oz pm (ossia sfare alle condizioni al contorno esprimenti che la velocità del fluido relativa alr o — :zo x to m m), e lunghezze da t a g p.m. In genere, ogni batterio porta un corpo, in ogni punto della superficie di questo, è nulla, si può ottenere distri­certo numero di flagelli, che si riuniscono a fasci durante il moto, cosi da avere buendo sulla superficie stessa (o in opportuni punti interni al corpo ) opportu­

ne singolarità, e precisamente dipoli di pressione (Stokeslet), dipoli di vorticità(Roflet) e infine dipoli di velocità (Doublet). I particolari del procedimento sipossono trovare nelle numerose ricerche fatte al riguardo; qui ci si limiterà adare alcuni dei risultati piu interessanti, omettendo le formule troppo compli­cate per trovare posto in questa sede, tratti essenzialmente dalle note di Chwange Wu [r97r] e osservando che la trattazione ora citata è basata sulla secondadelle ipotesi sopra indicate circa il modo col quale il movimento dei flagelli èrealizzato.

Nel caso di filamento avvolto ad elica, e onda di deformazione che si propagaC lungo l'asse di questa secondo la (< ), l'azione dinamica risultante trasmessa dal

fluido sul flagello, nell'ipotesi che il numero delle lunghezze d'onda sul filamentosia intero, è costituito da una forza nella direzione dell'asse dell'elica e di sensocontrario alla velocità di propagazione dell'onda, che produce la traslazione delmicrorganismo, e da una coppia intorno all'asse sopraddetto, che ne determina

M la rotazione intorno a questo in senso contrario al senso apparente di rotazionedell'elica (corrispondente a o>). Poiché l'azione dinamica risultante sul micror­ganismo si può considerare sempre nulla, dato che l'inerzia di questo è del tutto

Figura z. trascurabile, per effetto della traslazione Ui, e della rotazione — Qi si devonoPropulsione flagellare: sistema di comando dei f i lamenti secondo Berg e altr i . esercitare sulla testa del microrganismo (convenendo di chiamare testa tutta la

Moto 6x8 6I9 Moto

parte di questo che non è flagello, e che porta i flagelli stessi) una forza e una luppare; purtroppo, non molto è noto riguardo a questo. Solo si può afferm;>n,coppia uguali e contrarie a quelle applicate sui flagelli, ed è ponendo queste due con sufficiente esattezza, che essa è proporzionale alla lunghezza dei flagelli, <condizioni che si ricavano le equazioni determinatrici del moto del microrgani­ pertanto cresce con la massa in misura alquanto inferiore a quanto avviene, 1»smo. È interessante osservare che se in queste si fa tendere a zero il raggio della generale, per i macrorganismi. Comunque, valori di velocità massima sono st;>titesta (caso dei piccoli vermi ) si ricava che la velocità di traslazione diventa nulla, sperimentalmenteosservati, ed essi appaiono poco dipendenti dalla mass; > d< Iil che invece non accade nel caso che il moto di deformazione sia un'onda piana microrganismo, e sono dell'ordine di go — :6o pm /s per i batteri; yo — :8o pn>/s(che non dà luogo a nessuna coppia), caratterizzata dalla (t' ) : risulta cosi evi­ per gli spermatozoi ; zoo p.m/s per i vermi. Per i valori della lunghezza L dci 11:>­dente un'ottima ragione per la quale i microrganismi senza testa, come i picco­ gelli già indicati, le velocità ora date variano da zo l /s per i batteri a o,g t /s 1>< >li vermi, adottino per propellersi il moto ondulatorio piano, invece che quello i piccoli vermi (e per gli spermatozoi di maggiori dimensioni ) ; appare pert;»>i<>elicoidale. che, alla scala batterica, i batteri sono dei veri velocisti (la loro velocità alla sc;>I;>

Si noti ancora che nell'altro caso limite, in cui i l rapporto a /b tra il raggio umana corrispondendo a circa rzo km /h). Quanto alla velocità angolare c<>u 1:>della testa(supposta sferica) e il raggio del flagello (supposto cilindrico) tende ad quale i flagelli sembrano ruotare intorno all'asse dell'elica, essa appare esserc 1><>­infinito, è di nuovo U~o, ossia se la testa è troppo grande, i flagelli non sono re ragguardevole, dell'ordine di zoo giri /s, mentre quella della testa è alqu;>»sufficienti a spingerla, e questo dà un'ottima ragione per la quale il sistema di to minore.propulsione a flagelli non sia usato che da organismi filiformi dalle dimensioni Interessa ancora stabilire un confronto tra il sistema propulsore basat<> sol­come quelle sopra indicate ; e d'altra parte, per organismi cosi piccoli, detto si­ i'onda elicoidale e quello sull'onda piana: da esso si ricava che il primo pu<> csstema è forse anche l'unico che può essere usato con rendimento non eccessiva­ sere considerato nettamente superiore al secondo per quanto si riferisce all;> v<­mente piccolo. L'essere U = o ad entrambi gli estremi a/b ~ o, e a/b ~ ~, fa pre­ locità di traslazione che può imprimere e per quanto riguarda il rendimento 1>n >sumere che, rimanendo costanti gli altri parametri da cui U dipende, esista un pulsivo per a/b) ro, mentre l'opposto avviene pera/b(5, e questi valori sora»<>valore ottimo di a /b, per il quale U risulti massima, ed in effetti appare che tale buon accordo con la scelta fatta dai microrganismi, le cui caratteristiche gc<»»<valore massimo è compreso tra tg e 4o, per un'inclinazione [1 dell'elica prossima triche corrispondono alle disuguaglianze sopraindicate.a 4go. Ora è notevole il fatto che i raggi dei fasci dei flagelli, per almeno pa­ Ci sono ancora altre proprietà che è interessante indicare:recchi dei batteri, siano tali che il rapporto a/b corrispondente cada nell'interval­ r) E stato sperimentalmente osservato [Berg e Turner t979] che parcccl>i<lo ora detto, di guisa che è legittimo ritenere che l'aggregazione di un certo nu­ specie di batteri nuotano piu rapidamente in soluzioni diluite di sostanze vimero di flagelli, della quale si è già fatto cenno sopra, nella fase propellente sia scose (almeno fino a valori della viscosità di z — :g cP) di quanto non faccian<> <>< Iprodotta allo scopo di realizzare la massima efficienza di propulsione. Per le solvente puro di minore viscosità: questo avviene ad esempio per l'Escheri< hiacellule eucariotiche, invece, per le quali il raggio della testa è prossimo a zo pm, coli, e in misura notevolmente maggiore per la Leptospira, la cui configurazi<»><il rapporto a/b sembra alquanto piu elevato di quello ottimo; si deve peraltro geometrica peraltro è notevolmente differente da quella dell'Escherichia, c 1>«osservare che il flagello ad esempio della Euglena t>iridis è avvolto da ciglia, che la quale il massimo della velocità di traslazione si raggiunge per valori dclh> vine producono un aumento effettivo, e forse anche, durante il moto, virtuale del scosità di circa 3oo cP. Questo comportamento si verifica nel caso di solut<> c:>­diametro, cosi da riportare il valore di a /b piu vicino a quello ottimo. ratterizzato da una lunga catena molecolare lineare non ramificata, come la»><­

Interessa ovviamente anche conoscere il rendimento v1 del sistema propul­ tilcellulosa, e sembra attribuibile alla strutturazione che il mezzo fluido asso»><sivo, definito come rapporto tra la potenza necessaria per propellere la sola testa nelle condizioni indicate; precisamente, si ritiene che il soluto formi una r«i<e la potenza totale spesa per produrre il moto, e appare che tale rendimento ha quasi rigida, le cui maglie possono facilmente essere attraversate da particelle <liil suo valore massimo per un'inclinazione [1 dell'avvolgimento ad elica dell'asse dimensioni non superiori a un dato limite, dipendente dalla concentrazione d«11;>del flagello prossimo a ago, e per questo valore di p è molto prossimamente soluzione. Il mezzo cosi strutturato si comporta come se avesse due coefficic»fivl = O/o>: ora, non è inutile osservare che il valore ottimo di [1 ora indicato è di viscosità, l'uno macroscopico elevato, l'altro microscopico alquanto min<>r<,pure quello che corrisponde al massimo rendimento dei meccanismi che utiliz­ corrispondente alla viscosità del solvente: i flagelli, che operano sul mezzo 1>i»zano la coppia elicoidale (ad esempio vite senza fine), mentre, ponendo, in con­ viscoso, trovano in questo un miglior appoggio per produrre la forza di trazi<»><,dizioni prossime al massimo rendimento, Q = o> — s (s/<o(<t) e perciò mentre la testa, che avanza nel mezzo meno viscoso, non trova in questo u»;>= t — s /o>, si ha per ri un'espressione che coincide con l'espressione (pure ap­ maggiore resistenza al suo moto.prossimata) del rendimento del sistema propellente indicato in aeronautica come z) Parecchie cellule eucariotiche, se poste in mezzi di differente viscosiii>,«elica intubata». mentre mantengono invariato il rapporto (ampiezza/lunghezza d'onda), cl>< i

Naturalmente, per poter calcolare la massima velocità che un organismo può generalmente quello corrispondente alla massima efficienza per la propulsi<>n<,raggiungere, sarebbe necessario conoscere la massima potenza che esso può svi­ variano gli altri parametri che caratterizzano la forma d'onda, dimostrando c<>si

Moto 6zo 62I Moto

una loro capacità di adattamento al mezzo in cui si muovono; questo mostra al­ superficie caratterizzata da una forte rugosità, ad esempio dovuta a sporgcnz<tresi, pure in organismi cosi semplici, l'esistenza di un sistema di controllo do­ anelliformi: questa proprietà è stata per la prima volta messa in luce da T;>yl<».tato di retroazione (feedback) che agisce sul sistema di comando degli organi [ I952j per i l verme marino Ãereis dir>ersi color.motori [Holwill I977].

3) Come già è stato detto, il senso della traslazione del microrganismo, che 2.3. Propulsione con ciglia (propulsione ciliare).compie un moto ondulatorio, è generalmente contrario al senso di propagazionedell'onda di deformazione da esso prodotta; dal punto di vista meccanico, que­ Al crescere delle dimensioni del microrganismo il sistema di propulsionc c<>iisto appare conseguenza della seguente proprietà: se si considera un elemento flagelli si mostra di sempre piu difficile realizzazione per le difficoltà struttu> ;ilid'asse ds del flagello, e si indicano con u, e con u„ i componenti delle velocità che l'aumento del numero dei fi lamenti, indispensabile per ottenere la spi»fi i

di detto elemento relative al fluido rispettivamente nella direzione ad esso tan­ necessaria, verrebbe a causare. Per superare tali difficoltà sono necessarie pn>gente e nella direzione normale, i corrispondenti componenti della forza tra­ fonde modifiche della struttura del sistema propellente, che viene ancora a pnsmessa dal fluido all 'elemento si possono esprimere con le dF,= — c,u,ds e sentare come elementi attivi per la spinta sottili filamenti, ma questi in nu i»< n>dF„ = — c„u„ds, essendo ce e c i cosiddetti «coefficienti di forza tangenziale e di gran lunga superiore a quello indicato per le specie considerate preccdcni<­normale», che la teoria in molti casi riesce a determinare. Ora, generalmente, il mente, e precisamente almeno dell'ordine di qualche centinaio; non sono p<>i"coefficiente di forza normale cn è all'incirca doppio, o almeno alquanto piu gran­ tati dal microrganismo solo a una estremità di questo, ma sono distribuiti s ii

de, del coefficiente di forza tangenziale, ed è per questa proprietà che i due sensi tutta, o su gran parte della sua superficie, dalla quale sporgono con l'appai cnz ii

di traslazione dell'organismo e di propagazione dell'onda sono opposti. Vi sono di piccoli peli, e per questa loro apparenza sono chiamati «ciglia». Il diamcln>casi, però, nei quali, in conseguenza di particolarità strutturali degli organi pro­ di un ciglio è generalmente di circa o,z5 p.m mentre la sua lunghezza varia <1;i 5pellenti, la proprietà sopraddetta si inverte: cosi ad esempio nella Ochromonas a Izoo lzm. Le ciglia piu lunghe sono riunite in modo da formare strutture c<>i i i­

ogni flagello porta due serie di ciglia (o mastigonemi ), una sopra ciascun lato del poste, e precisamente, mentre le ciglia singole raramente hanno una lunghczz: i

filamento, che sporgono per circa I p.m da questo. In queste condizioni il rap­ maggiore di I5 — :zo pm, le ciglia negli aggregati risultanti dall'unione di un n ii

porto c, /c„risulta maggiore di uno, invece che minore, e conseguentemente il mero di esse dell'ordine del migliaio hanno una lunghezza da z5 a Ioo p.n>, <senso della traslazione risulta indentico a quello di propagazione dell'onda (fig. quelle negli aggregati di centinaia di migliaia di componenti sono lunghe fin<> :i i

3). La stessa circostanza si verifica per alcuni piccoli vermi, che presentano una mm. Questa tendenza all'aggregazione col crescere della lunghezza delle cigl i;«una naturale conseguenza strutturale, in quanto solo in questo modo le cigli,>stesse possono acquistare la robustezza necessaria per sopportare la maggi<i i<

resistenza al loro moto opposta dal fluido, ma probabilmente è richiesta ancl><da esigenze energetiche.

La lunghezza delle ciglia poi è generalmente molto minore di quella d<.1 c<>i­po (l<<L), al contrario di quanto avviene nei microrganismi flagellati, ma p< i.ottenere una propulsione sufficiente il loro numero deve essere molto maggi<>ndi L/f., e pertanto è nf>)L. A t i tolo di esempio si dànno nella tabella I gli «lc­menti <;aratteristici per alcuni dei microrganismi ciliati (fig. 4). Da notare chc 1<

Tabella I.

Elementi caratteristici relativi a microrganismi cil iati.

Lunghezza Numero Lunghezzadel corpo L delle delle ciglia J

Nome Gruppo (p.m) ciglia n (ism)

Uronema Protozoo 200 5Parameeium Protozoo 210 5000 Iz

Figura 5. Opalina Protozoo 400 IO' I5Flagello con mastigonemi della Ochromonas. Pleurobrachia Ctenoforo 15 000 200 (Io ) 500

Moto 6zg Mol<>

dimensioni dei piu grandi microrganisini flagellati uguagliano quelle dei piu pic­ quella del1a corsa di lavoro delle ciglia: il metacronismo è detto simplettic» si I<coli microrganismi ciliati, ma i primi si muovono con una velocità dieci volte piu onde si propagano nello stesso senso in cui si muovono le ciglia nella c<>is;i <lipiccola, segno evidente che il loro sistema di propulsione non è piu adatto alle lavoro, e detto metacronismo dà alla superficie ciliata l'apparenza di un in v i l ii li li< >loro dimensioni. continuo ondulato. Nel metacronismo antiplettico le onde si propagan<> in si ii , < >

Per produrre il movimento dell'organismo cui appartiene, ognuna delle ciglia opposto a quello delle ciglia nella corsa di lavoro, e questo fa apparire i I; isi i <Iiappare vibrare; in effetti l'intero ciclo del suo moto oscillatorio consiste di due ciglia come ruote a pale. Infine si può avere il metacronismo diaplctli«:>, ni

parti : l'una corrisponde a quella che si può chiamare «corsa di lavoro», durante fronti delle onde metacronali non sono trasversali alle fila di ciglia, ma in«li i i : i l< ,la quale si mantiene eretta e ruota quasi rigidamente intorno alla sua base di at­ di guisa che le onde stesse appaiono come il bordo del filetto di una vil i

tacco al corpo, mentre l'altra costituisce la «corsa di ritorno» e in essa un'onda tante, e a seconda che questa è destra o sinistra le onde sono dette dexi<>1>1<'l l '« ll <di flessione si propaga dalla base alla sommità piegando il filamento e mante­ o laeoplettiche.nendolo per la piu gran parte in prossimità della superficie, dove la velocità rela­ Lo studio del sistema di propulsione a ciglia vibratili si può fare col ni«lii<lcitiva ad esso del fluido è quasi nulla. Mentre durante la corsa di lavoro il moto delle singolarità, in modo analogo a quello accennato per il sistema a flag>«lli. I o i

si può considerare piano, nella corsa di ritorno, in generale, la estremità di ognu­ trattazione piu completa sull'argomento è quella svolta da Blake [ I972], <', s<'l i

na delle ciglia si sposta lateralmente da una parte all'altra dell'attacco di essa bene parecchi siano ancora i quesiti non sufficientemente chiariti, i risuli;iti < iialla superficie del corpo. tenuti sono già di grande interesse. Da essi appare che l'effetto propellenl« ili 11i

I movimenti delle varie ciglia sono coordinati, cosi come i remi dei vogatori vibrazioni delle ciglia si esplica non tanto nel raccogliere dal fluido e trasi i'I«i<<'I <di un'imbarcazione da regata, ma mentre per questa i remi sono sincronizzati, e al corpo del microrganismo una forza nel senso di avanzamento cosi da vin«i i i .

pertanto non c'è sfasamento tra i cicli corrispondenti ai vari vogatori, il moto la resistenza al movimento, che per effetto di questo il fluido esercita sull;i siil i< idelle ciglia presenta metacronia, ossia quelli che appartengono a una medesima ficie del corpo stesso, quanto nel ridurre od annullare quasi, in media, del t: i i i .

fila vibrano in sincronia, ma sono sfasati rispetto alle ciglia delle file attigue, e sistenza: in effetti, la forza media sulle ciglia, durante un ciclo, è circ;i »ii l l:i,questo provoca nell'insieme quel movimento a onde che ricorda l'effetto di un mentre dal diagramma della velocità media del fluido relativa al microrg;i»i siiii>campo di grano percorso dal vento (onde metacronali ) : la cresta dell'onda cor­ appare che la tensione tangenziale alla superficie è quasi nulla. Il sistema di l ii i >risponde alle ciglia che sono nella stessa fase del moto oscillatorio, appartenente pulsione corrispondente al metacronismo antiplettico, o anche dexioplettic<>, ;i1i

generalmente alla corsa di lavoro, mentre il cavo dell'onda è corrispondente alle pare inoltre essere piu efficiente di quello simplettico, probabilmente percl>i l i< i

ciglia che si trovano in una stessa altra fase, corrispondente alla corsa di ritorno. esso gli eRetti d'interferenza tra le ciglia e tra queste ed il corpo del micr<>rg;u>iSecondo Knight-Jones [I<)54] si possono distinguere quattro tipi di metacro­ smo sono piu favorevoli. Il confronto tra i risultati teorici e quelli sperin i«nnili

nismo, a seconda della relazione tra la direzione della propagazione delle onde e non è sempre chiaro, ma non mostra contraddizioni non spiegabili. A t it<>1<> <liesempio si espongono nella tabella z alcuni dei risultati piu significativi.

Paramecium Tabella z.Uronema

Confronto fra risultati teorici e sperimentali.

25 1Im 2I0 icmU ronema Opa l i n a Paramecium Pleurobrccc l>i cc

pULBo = ­ Io IO IO- ' Io

V.

Pleurobrachia pel'Io Io Io IoV.

Opalina Frequenza delle vibrazioni <s(s ') I ­. 4 10 ­ . 25 5 —. I5

Velocità adimensionata U/eL(calcolata) o i I 5 —. 0,25 o >5 —. I o,75 ­' . I,z5

4oo 1Im I5 mm Velocità calcolata U (pm/s) ' 4 94 3I 4 I 570 I,4 — . '7,I(x I 0')Figura 4. Velocità osservata ((Im/s) I I 5 0 30 — , Ioo 500 — . 2500 I ­ .' 5 (x>o')Microrganismi tipici con propulsione ciliare. Metacronismo ) Simplettico D e x ioplettico Antiplettico

Moto 6zy 6zg Moto

Ancora una volta appare che il microrganismo relati~atr<ente piu veloce è il in un moto ondulatorio, analogo a quello già indicato per i microrganismi flag>< I­piu piccolo, mentre risultano chiaramente le scarse qualità natatorie della Opa­ lati, con la differenza, rispetto a questo, che è generalmente piano, e non < li­lina, le quali si raccordano meglio con quelle corrispondenti ai microrganismi coidale, ed inoltre che l'ampiezza dell'onda cresce a mano a mano che qucst:i siRagellati che non a quelli ciliati. Da osservare d'altra parte che è stato sperimen­ propaga verso la coda.talmente osservato che il Paramecium, che ha metacronismo dexioplettico in con­ Nel modo anguilliforme puro è tutto il corpo che prende parte al mot<> <»>dizioni normali, col crescere della viscosità del mezzo tende a cambiare la coor­ dulatorio, di guisa che se si rappresenta l'asse di detto corpo in due posizioni :<sdinazione del moto delle ciglia, cosi da realizzare ai piu alti valori della viscosità sunte negli istanti (t) e (t+/<.t), le corrispondenti configurazioni appaion<> < s(dell'ordine di ioo cP ) il metacronismo simplettico;le ragioni per cui questo sere quelle indicate nella figura 5. Si deve inoltre osservare che le forme dei l><­avviene (ragioni energetiche>) non sono chiare, ma ad ogni modo questa circo­ sci che usano questo sistema di propulsione (come ad esempio quelli degli At ti­stanza dimostra, in analogia a quanto già è stato osservato per le cellule eucario­ notterigi e Allotriognati ) sono tali che le loro dimensioni ad angolo retto c<»> h>tiche, una capacità del microrganismo di adattamento al mezzo in cui vive, e direzione del moto sono molto piccole rispetto alla loro dimensione L, mc»<rcquindi l'esistenza di un sistema di controllo atto ad agire e a reagire sul sistema l'area della loro sezione trasversale varia molto lentamente. Nell'ipotesi che ;i<>­di comando. che gli spostamenti prodotti dal moto ondulatorio siano piccoli rispetto a l,, si

può applicare la cosiddetta teoria dei corpi sottili (slender body theory) per <I<z,4. Propulsione anguilliforme, terminare il flusso. Se U è la velocità di traslazione del pesce, che si immagi<>:>

avvenire secondo l'asse di questo nella posizione indeformata (che si assi<<»<Come già per il sistema di propulsione a Ragelli, cosi anche quello a ciglia come asse x), con riferimento a un sistema di assi (x, y, z) che si trasla c<>n h>

vibratili ha una limitazione per quanto riguarda le dimensioni del microrgani­ stessa velocità U, sia h (x,t) lo spostamento del baricentro della sezione t».;­smo che utilizza detto sistema; in effetti, se k è una opportuna costante adimen­ sversale del corpo, di ascissa x, nella direzione dell'asse z, prodotto dal m<>i<>sionale, dipendente dalla forma del microrganismo, la resistenza che questo pre­ ondulatorio prima indicato. La slender body theory conduce a determinarc ilsenta in corrente Ruida di velocità U, può essere espressa con la D = kp.LU, e Russo in ogni sezione x = cost. ad ogni dato istante t come quello prodotto <h>lpertanto, se P è la potenza spesa per ognuna delle ciglia nella propulsione, il cilindro, la cui direttrice è uguale al contorno della sezione del corpo con l<>rapporto q = hi<L U'/nP si può assumere come misura dell'efficienza del sistema stesso piano S(x) e che si trasla nella direzione dell'asse z rispetto al fluid<> i<>propellente, e poiché U~<rf, F~o l 'p., P~o~Pp., appare che è q~ (L/nf), e po­ quiete all'infinito con la velocità m (x,t) = (òh/òt)+ U(òh/òx) (fig. 6). In qu<-.tendosi porre il numero n delle ciglia che possono stare sulla superficie propor­ ste condizioni, per valori del numero di Reynolds abbastanza elevati come quellizionale a questa, e quindi a Ls, si ha che Pe%cienza è inversamente proporzio­ che corrispondono al caso ora in esame, il fluido può essere considerato c<»»<nale a L, il che pone ovviamente un limite a L. Questa può non essere l'unica perfetto, agli effetti del calcolo della forza di propulsione, e questa può esscnragione, ma certamente è anche una ragione, perché i microrganismi ciliati han­ espressa con la formula ottenuta da Lighthill [z970]no una lunghezza massima dell'ordine del millimetro ; l'aggregazione di un nu­mero notevole di ciglia, cosi. da formare specie di pale remiganti flessibili, può

(g) T = — pA(L) ­ — Uaccrescere il campo di applicazione del sistema di propulsione, ma limitatamentead organismi di poche decine di millimetri di lunghezza.

Per dimensioni maggiori si hanno cambiamenti strutturali, morfologici, che in cui p è la densità del fluido, e pA (L) è la massa virtuale del fluido (per unit <rendono possibili altri sistemi di propulsione, che per i regimi di deflusso cor­ di lunghezza secondo x ), che è influenzata dal moto, nel piano x = L, della se­rispondenti a queste maggiori dimensioni hanno piu efFicienza di quelli fin qui zione della pinna caudale col piano stesso, e che, con buona approssimazione, èconsiderati. In effetti, con l'aumento delle dimensioni dell'organismo, che gene­ralmente è accompagnato da un aumento della sua velocità, cresce il numero diReynolds del Russo, e questo viene ad assumere un valore per il quale le forze cdtd'inerzia del fluido non soltanto non possono piu essere trascurate rispetto alle hix, i+ ck)forze viscose, rna sono del tutto preponderanti rispetto a queste, e dal regimedi Stokes, quale finora si è considerato, si passa prima a un regime laminare, esuccessivamente a un regime turbolento di deflusso. U h(x, <l

Nelle condizioni ora dette il sistema di propulsione, che è piu largamenteusato da un grandissimo numero di specie di animali acquatici è quello detto Figura ».anguilliforme, perché proprio, fra gli altri, del genere Anguilla: esso consiste Propulsione anguilliforme : configurazione dell'asse del pesce in due istanti successivi.

Moto 6z6 6z7 Moto

data dalla pA (L) = pttbs(L)/4, se b(L) è la dimensione della sezione trasversale cano il sistema di propulsione in esame è crescente dalla testa alla coda. Con Iasopra definita secondo l'asse y (normale al piano del moto ondulatorio ). Infine condizione (6), l'espressione che dà la q si semplifica nellala lineetta sopra un simbolo (a) indica il valor medio rispetto al tempo dellagrandezza rappresentata con detto simbolo, mentre l'indice scritto in basso nel­ (5') vi = I — ­ I — — = ­ I +­l'espressione tra parentesi significa che la grandezza tra parentesi deve esserecalcolata per x = L. mentre la (g) dà

L'espressione del rendimento del sistema propulsivo, definito come il rap­ I U'porto fra la potenza necessaria, per produrre la spinta T, e la potenza spesa W (3') T = ­ P~(L) I , l ' I .dall'organismo per compiere lo spostamento h (x,t), è stata pure ottenuta daLighthill: prendendo essendo V> ­— (òh/òt)I la velocità della parte estrema della pinna caudale nt I

moto ondulatorio. Appare da queste relazioni che affinché la spinta sia positiva,

(~) h(x, t) = H(x) F t ­ ­ e pertanto il moto ondulatorio produca una propulsione e non una resistenza,deve essere U<c, e inoltre che nelle condizioni di massima efficienza la U de­ve avere il valore il piu possibile uguale a quello di C.

dove F[t — (x/C)] è una combinazione lineare di cosce[t — (x/C)] e di sin tu[t­ È interessante paragonare le relazioni ora indicate con quelle che dànno lc— (x/C)], di guisa che la (4) rappresenta un'onda che si propaga lungo l'asse convelocità C e lunghezza d'onda X = c/cu, detto rendimento risulta:

grandezze analoghe nel caso del propulsore ad elica, ossia del sistema di pro­pulsione in acqua quasi esclusivamente usato dai natanti fatti dall 'uomo. Ora,

2 indicando con C la velocità definita dalla C = U+ zu, in cui U è la velocità di tr;i­I H (L) F' + U H" (L) F slazione dell'elica e zu è l'incremento assiale di velocità all'infinito a valle in­

I C òF , dH(g) l ­ i ­ ­ F '= — , H ' = — . dotto dall'elica stessa, dai teoremi della quantità di moto e dell'energia applicai i

dx'I — — H2 (L) F'2

considerando il moto entro il tubo di flusso costituito dalle linee di corrente, chcsi appoggiano ai punti del disco d'elica (ossia alla circonferenza di raggio ugual«al raggio R dell'elica stessa), si ricava

Appare subito dalla (5) che è vantaggioso, per aumentare il rendimento, che siaI U U

dHE(7) T = — itR'pc'

(I z) I)a ­ I + — per ­ iz C 2 C C

(6) H'(L) = ­)

= o~.)., che sono, almeno nelle condizioni di massimo rendimento, formalmente analo­ghe alle (3') e (5'), cosi come si può riconoscere che la C, che appare nelle (7)

e pertanto che l'ampiezza dell'onda abbia un valore estremo in corrispondenza ed è stata definita sopra, ha significato analogo a quello corrispondente alla (y).della pinna caudale: e questa proprietà è in accordo con quanto già segnalato, Il rendimento del propulsore elicoidale dato dalla seconda delle (7) non rap­che l'ampiezza del moto ondulatorio osservata negli animali acquatici che prati­ presenta però il rendimento effettivo, ma soltanto quello che gli elicisti chiama­

no «rendimento assiale»: l'elica, ruotando, induce infatti anche una velocità an­golare co nel fluido, e l'energia cinetica corrispondente a questo moto è anch'es­sa energia perduta, in modo tale che, se si indica con Ii„ i l cosiddetto «rendi­mento periferico» definito da Ii = i — co/Q< I , i l rendimento effettivo risult;iI) = Na%t <3a.

6(x) D'altra parte, anche l'efficienza effettiva della propulsione anguilliforme puoessere differente da quella data dalla (5'), per un fattore che è analogo a quelloora ricordato per il propulsore ad elica, a meno che la funzione H (x) non soddi­

oosfi a determinate condizioni. In effetti, le condizioni di equilibrio dinamico — pcrle quali il risultante delle forze applicate ad ogni elemento del pesce in esame cdelle forze d'inerzia di questo, e il momento risultante rispetto a un punto fisso

Figura 6. generico delle stesse forze, debbono essere nulli — portano a scrivere due equa­

Propulsione anguilliforme: applicazione della teoria dei corpi sottili alla determina­ zioni le quali (poiché le contrazioni muscolari grazie alle quali il pesce compie ilzione della forza sul pesce. moto ondulatorio descritto dalla (y) mettono in gioco solo forze interne, e quin­

Moto 6z8 6z9 Moto

di forze a risultante e a momento risultante nulli ) contengono solo le funzioni paragrafo precedente, in quanto le condizioni che debbono essere soddisfatte ;>l'­S(x), definente la legge di variazione dell'area delle sezioni trasversali del pesce, finché il sistema sia dinamicamente equilibrato mettono in evidenza che la for» >:<e h(x,t), definente il moto ondulatorio ed espressa dalle (y). Solo se la H(x) è dell'onda, richiesta per detto equilibrio, dipende dalla forma del corpo. Ora, l>«'tale che le predette equazioni siano soddisfatte, l'efficienza del sistema ha pro­ i pesci che usano la propulsione anguilliforme la forma è tale da rendere nc««s­prio il valore (5') ; in caso contrario, mentre le contrazioni muscolari producono sario che l'ondulazione sia estesa a tutta la lunghezza, anche se l'ampiezza au­il moto ondulatorio, che dà luogo alla traslazione secondo x, a questo moto si menta dalla testa alla coda. Però, cambiamenti morfologici possono perrnettcnsovrappone anche un moto rigido di deriva secondo l'asse z, e un moto rotatorio di ridurre l'ondulazione a una porzione ristretta del corpo vicino alla pinna cau­intorno all'asse y, di guisa che la traiettoria del centro di gravità non risulta piu dale, intendendo con questo dire che l'ampiezza dell'onda è dappertutto moli<>rettilinea, ma assume un andamento sinuoso. In queste condizioni l'efficienza è piccola in confronto a quella della parte sopra indicata. Si ha, in questo mod<>,ovviamente minore di quella data dalla (5'), come conseguenza dell'energia cor­ l'evoluzione dalla propulsione anguilliforme a quella carangiforme, cosiddctt;<rispondente a questi moti parassiti, che è dissipata, o almeno non utilizzata ai perché è quella usata dai pesci della famiglia Carangidi (come il fanfano, la sc­fini della traslazione secondo x. Se ora si ricerca a quali condizioni deve soddi­ riola, la leccia), ma anche impiegata dai pesci di diverse altre famiglie, comesfare la funzione H affinché questi moti parassiti non si producano, si ottiene che quella delle Clupeidi (ad esempio l'aringa), dei Seriamidi (ad esempio il bran­esse s'identificano con le condizioni esprimenti che nel moto ondulatorio corri­ zino), ecc.spondente il sistema è dinamicamente equilibrato, ossia che il risultante e il Questi pesci hanno la capacità di compiere performances alquanto piu elevatemomento risultante delle forze d'inerzia del corpo prodotti da detto moto sono di quelle dei pesci che usano il modo anguilliforme;in particolare raggiungon<>nulli. Esplicitando la funzione H, cosi da poter scrivere le equazioni di equili­ velocità massime, che, misurate in (lunghezza del corpo per secondo) varianobrio dinamico, si ricava la seguente importante proprietà: determinata la forma dai 6E/s ai izf /s. La caratteristica essenziale della loro forma è la seguente: sidella funzione d'onda H, per la quale le sopraddette equazioni sono soddisfatte chiami, per analogia con la nomenclatura usata per i profili alari, «spessore», laper una data velocità U di avanzamento, se la lunghezza d'onda del moto ondu­ dimensione del profilo del pesce (inteso come la sezione del corpo del pesce nellatorio in questione rimane costante, allora, al variare di U e per tutti i valori di piano di simmetria di questo) misurata normalmente alla corda del profilo stesso.detta velocità per i quali il coefficiente di resistenza C, (coefficiente definito dalla Ora, questo spessore ha un valore minimo, che è relativamente molto piccolo,

F„ = C„pSU~/z, in cui F„è la resistenza del corpo traslantesi con la velocità U, nella parte del corpo immediatamente prima della pinna caudale, e proprio inmentre S è la superficie di riferimento del corpo stesso), può essere considerato corrispondenza di questa l'ampiezza del moto ondulatorio incrementa molto ra­costante, la sua configurazione non cambia e il rendimento della propulsione ri­ pidamente, mentre a monte di essa vi è una regione a spessore relativamentemane costante; è solo la frequenza o> del moto ondulatorio che cambia, e cambia grande, e ad ampiezza di ondulazione relativamente molto piccola (fig. 7).proporzionalmente a U. La regolazione a lunghezza d'onda costante appare per­ La relazione che dà la spinta di propulsione nel sistema carangiforme diffe­tanto particolarmente semplice e vantaggiosa, e d'altra parte essa è anche la piu risce da quella data per il sistema anguilliforme per alcune variazioni apportateconveniente nei riguardi della struttura scheletrica dell'organismo, mentre le da Wu [i97I ] per tener conto dell'inffuenza dello strato vorticoso nella scia dellevariazioni del coefficiente di resistenza C„ai differenti valori di U possono essere pinne ventrale e dorsale, e da Lighthill [i97i ] per tener conto del fatto che l'am­facilmente controbilanciate da una corrispondente variazione soltanto dell'am­ piezza delle oscillazioni della pinna caudale può, nel sistema carangiforme, assu­piezza h~ dell'oscillazione della pinna caudale (e precisamente, facendo variare mere valori alquanto piu grandi di quella corrispondente al sistema anguillifor­h~ proporzionalmente a C„' ' ). È appena il caso di porre in evidenza la grande me. Non è il caso di riportare qui dette variazioni ; quello che importa invece os­elasticità di adattamento alle varie condizioni del moto, e la notevole finezza che servare è che il confronto tra i risultati sperimentali (ottenuti da Bainbridge e re­il sistema di regolazione ora indicato ha in paragone agli analoghi artifici inven­tati dall'uomo per cercare di ottenere risultati analoghi, ma senza ottenerli inmodo cosi perfetto, per il sistema di propulsione ad elica (ad esempio elica apasso variabile in moto ).

z.5. Propulsione carangiforme. « ( iAppare dalla relazione (g') che la spinta dipende solo dalle condizioni del

moto ondulatorio all'estremo della pinna caudale; è pertanto logico domandarsise è proprio necessario che l'intero corpo del pesce prenda parte al moto ondu­ Figura 7.

latorio. La risposta a tale quesito deriva subito dalle considerazioni svolte nel Forma tipica dei pesci c<>n propulsione carangiforme.

Moto 6go 6gr Moto

lativi al Leucisco della famiglia dei Ciprinidi ), e i risultati calcolati da Lighthill zione di un'ala rastremata di grande allungamento (a forma di lunula, da cui l:>darebbe un valore del coefficiente di resistenza C„quattro volte piu grande di denominazione «carangiform propulsion with lunate tail» usata da Lighthill ),quello corrispondente, per il medesimo numero di Reynolds, a un solido di ri­ Questo modo di propulsione è usato da parecchie famiglie dell'ordine Pere<>­voluzione di pari forma, quale risulta dalle misure in galleria idrodinamica. morfi (come la famiglia degli Scombridi, cui appartiene lo scombro; quella ili i

Un risultato analogo è stato pure ottenuto da Smith, che, stimando la poten­ Tunidi, come il tonno ; quella degli Xifidi, come il pesce spada) ed è analogo ;>za spesa dai muscoli del Carassius auratus della stessa famiglia dei Ciprinidi dal quello degli uccelli, con la differenza che le ali degli uccelli non solo debbon<>consumo di energia durante il moto, e supponendo un rendimento propulsivo di provvedere a dare la necessaria spinta per avanzare, ma anche la portanza ne­

o,8, dedusse che la potenza spesa da detto pesce era g,6 volte piu grande di quel­ cessaria per sostenere il peso, mentre le pinne dei pesci, almeno quelli apparte­la calcolata per il caso del moto rigido di un corpo di forma corrispondente e per nenti alle famiglie indicate, debbono solo propellere.lo stesso numero di Reynolds. Lo studio di questo sistema di propulsione non può essere fatto con la teori:i

Per spiegare questo risultato fu avanzata da Lighthill [r 97I] e alt i l la coilget­ dei corpi sottili, come è stato fatto per i due precedenti modi presi in conside­tura che l'aumento di resistenza sia dovuto a un incremento della resistenza di razione; si deve, appunto come per gli uccelli, applicare la teoria delle superficiattrito viscoso connessa con una diminuzione dello spessore dello strato li mite portanti in moto non stazionario. Parecchie ricerche al riguardo sono state fatti.adiacente alla superficie lambita, provocata dal moto ondulatorio. Questa con­ particolarmente da Lighthill, da Wu, da Newman e Chopra, ma di esse ci si li­gettura può essere giustificata assimilando l'influenza di detto moto ondulato­ mita a dame qui cenno, perché troppo specializzate in argomento, e, a parte 1;irio sulla resistenza a parete con quella corrispondente che è prodotta dall'aspi­ complicazione, ancora troppo incomplete per portare a risultati che diano unrazione e dal soffiiamento dello strato limite, calcolata ad esempio da Pretsch ed certo affidamento. Possono invece essere di qualche interesse le seguenti sem­altri. Si devono d'altra parte, a questo riguardo, fare due osservazioni : l'una è che plici considerazioni.l'incremento di resistenza accennato è relativamente di tanto minore importanza La spinta è una conseguenza della variazione di quantità di moto impressaquanto minore è il rapporto U ((Vz)' ', e poiché U e (Vz)' crescono entrambi al fluido nella direzione dell'asse x, e prodotta dai vortici nella scia generata dal­ProPorzionalmente a <o, mentre U è ProPorzionale a L e (Vr)' all'amPiezza h, l'azione della pinna nel suo moto oscillatorio: piu precisamente, sono i vortici,dell'oscillazione, si comprende la convenienza per il pesce di rendere tale am­ il cui asse è nella direzione dell'asse y (fig. 8) ad indurre tale variazione. Ora glipiezza la piu grande possibile. Inoltre, per diminuire l'effetto dell'incremento di assi di detti vortici possono essere considerati disposti come le generatrici dellaresistenza sopra indicato, può essere conveniente per il pesce alternare periodi superficie cilindrica, la cui direttrice nel piano (x>z) è la sinusoide, che è de­in cui sviluppa una spinta relativamente elevata, che gli imprime una velocità scritta dal bordo di fuga della pinna alare posto nello stesso piano e la cui am­maggiore di quella desiderata, con periodi senza propulsione, durante i quali piezza è uguale a h~. La massa del fluido che è influenzata da detti vortici puòdiminuisce la velocità ma è nullo l'incremento di resistenza d'attrito dovuto al essere considerata proporzionale alla quantità p Ubh~, se b è l'apertura della pinnamoto ondulatorio. (ossia, la sua massima dimensione nella direzione y ), di guisa che se ui rappre­

La seconda osservazione è che la medesima causa che può produrre un incre­ senta un opportuno valore medio della velocità indotta dai vortici sopra indicatimento della resistenza viscosa, e cioè il minor spessore dello strato limite per un all'infinito a valle, nella direzione dell'asse x, la variazione della quantità di motodato numero di Reynolds, può d'altra parte influire sul fenomeno della transi­ di detta massa, ossia la spinta, può essere espressa con lazione da regime laminare a regime turbolento, aumentando la stabilità del flussolaminare, e pertanto determinando un incremento del numero di Reynolds per (8) T = py Ubhpuiil quale la transizione stessa si produce. Questo può fare intuire che per i.pescipiu veloci, per i quali il numero di Reynolds per la massima velocità può esserealquanto piu grande di ro~, il fenomeno ora discusso possa non presentarsi, oalmeno produrre effetti trascurabili. U

z.6, Propulsione a pinna battente. O F O

I valori della spinta relativamente piccoli, che anche col sistema carangifor­ F F Fz Pme è possibile ottenere, non permettono di raggiungere velocità molto elevate;in effetti si riconosce che, col crescere della capacità di nuotare a grande velocità, O F„

si verifica una graduale modificazione della pinna caudale, che per i pesci piu Figura 8.

veloci (go — :go km(h per un tempo relativamente lungo ) prende la configura­ Vortici generatori della spinta nella propulsione a pinna battente.

Moto 63z 633 Moto

essendo y un fattore di proporzionalità. D'altra parte, procedendo in modo ana­ Focke, sulla base di informazioni date dal biologo Friedrich, direttore dellologo a quanto si fa per il propulsore elicoidale, si ricava che il rendimento del si­ 1Jbersee di Brema, stima che un delfino possa sviluppare una potenza specificastema è ancora dato da una formula analoga alla (7), e precisamente di 5 kgm/s = o,o3 HP/Ib, valore nettamente inferiore a quello sopra indicato.

Si deve perciò ammettere che i pesci, almeno quelli di certe famiglie, hanno un(o) coefficiente di attrito che, a parità di numero di Reynolds, è alquanto minore di

x+­ quello dei corpi rigidi simili. A questo riguardo è da ricordare che nel suo mira­U bile volumetto Aerodynamics Kármán ricorda le ricerche pionieristiche di George

se u = ui /z. Esprimendo allora T con un coefficiente di carico Cz, dato dalla Cayley sulla forxna idrodinamica ottima (nei riguardi della resistenza) e cita

T quanto egli scrisse in proposito nel suo Aeronautical Miscellaneous Notebook:

( Io ) C~ = «Io penso che questo problema è cosi difficile che è molto piu utile investigar­— p U'S lo per mezzo di esperimenti che per mezzo di speculazioni teoriche; e poiché2 P

non ho nessun risultato conclusivo a mia disposizione a questo riguardo, la solain cui S„è la superficie della pinna alare, si ricava cosa da fare è copiare la natura: perciò io ho preso come forma ottima quelle

slanciate della trota e della beccaccia» [xil56, trad. it. p. 54].(xi') Kármán riproduce pure il profilo della trota ottenuto e disegnato da Cayley,

I +C~ e paragona questo profilo a quelli dei profili alari «laminari�» (cosi detti perchéessi, per la distribuzione delle pressioni sul contorno cui dànno luogo, produ­

se l„è l a lunghezza della corda di detta pinna corrispondente alla S = bl„. cono uno spostamento a valori piu elevati del numero di Reynolds critico per la

Appare pertanto che il rendimento propulsivo è tanto maggiore quanto minore transizione al regime turbolento ) NAcA 63/4OI 6 e x.aN-oox 6. Ora, è sorprendente

è il coefficiente di carico Cz, e, a parità di Cz, quanto maggiore è l'ampiezza del­ la coincidenza del profilo della trota con quello dei profili sopra citati (fig. xi).l'oscillazione rispetto alla corda della pinna alare. Un analogo confronto è stato fatto da Hertel [xci63] nel suo trattato Struktur­

Il raggiungimento di forti valori dell'efficienza propulsiva, prossimi a I, ap­ Form-Bewegung per il delfino e per il profilo alare NAcA 66/ox8, e ancora una vol­paiono possibili per il sistema in esame ; ma, se questa proprietà è una condizione ta la coincidenza dei profili appare sorprendente, e, ciò che è interessante osser­

necessaria per il raggiungimento delle alte velocità, come quelle sopra indicate, vare, le piccole differenze che si notano sono tutte a vantaggio del delfino (fig. Io),essa non è ancora una condizione sufficiente. Si deve ancora riconoscere se la particolarmente nella profilatura della parte poppiera.potenza richiesta a tale velocità può essere effettivamente sviluppata dal pesce. Questo effetto di forma non è pero sufFiciente a spiegare il fenomeno sopra

Ora, ad esempio Focke, in una nota sulla «Zeitschrift fiir Flugwissenschaft » indicato, e che spesso è indicato come «paradosso di Gray». Sono state fatte

del Ixi65 (voi. IV), riporta per un delfino i seguenti dati : lunghezza m z,75 ; rap­ perciò da diversi autori varie ipotesi : Kramer in un articolo apparso nel «Jour­porto di finezza I /6; peso Ilo kg; velocità Io m /s; superficie bagnata x,xi8 m'; nal of the American Society of Naval Engineers» (xg6o) attribui la riduzionenumero di Reynolds 2,7 x Io j coefficiente di resistenza C„ = o,oo3. Ne risulta dell'attrito a un effetto viscoelastico della parete, e alla particolare struttura della

una resistenza F„ = 30,3 kg e una potenza corrispondente di 303 kgm/s; pren­ pelle del delfino, che, osservata al microscopio, appare essere costituita da uno

dendo un rendimento propulsivo, xi = o,g, la potenza meccanica che deve esseresviluppata risulta 335 kgm /s = 4,5 HP. Stimando che per un peso di rio kg ilcorrispondente peso dei muscoli che producono il moto sia di 36 kg, si ottieneuna potenza per chilogrammo di muscolo o,xz HP /kg = o,o54 HP/lb.

NACA 66/oi8

o,44 L o,g6 L

Figura g. Figura io.

Paragone del profilo della trota e del profilo NAcA 63/4oi6. Paragone del profilo del delfino e del profilo NAcA 66/oi8.

Moto 634 635 Moto

strato interno relativamente rigido, che fa da supporto a strati cedevoli, nei quali luito questo umore, cosi da avere soluzioni di questo sia in acqua dolce sia insono disposti parecchi condotti contenenti materiali spugnosi. Poiché la quantità acqua marina con diversi valori della concentrazione, compirono con le variedi acqua in questa sostanza spugnosa è notevole, Kramer avanzò l'ipotesi che soluzioni una serie di esperimenti col reometro di Hoyt. I r i sultati di questigli strati esterni si comportino come una parete flessibile, che trasferisce al flui­ esperimenti sono mostrati nelle figure xx e rz, nelle quali sono riportate le ri­do nei condotti interni le oscillazioni di pressione del fluido esterno dovute a duzioni percentuali dei coefficienti di attrito in funzione della concentrazioneinstabilità del flusso laminare; il liquido che fluisce in questo dissipa l'energia delle soluzioni per diversi tipi di pesci. Poiché il numero di Reynolds deglicorrispondente a dette oscillazioni, e come effetto di questo assorbimento di esperimenti era circa 8ooo, non vi è dubbio che il regime di flusso nel reometroenergia ne deriverebbe una stabilizzazione del flusso laminare. fosse turbolento. Ora, si può riconoscere che per quasi tutti i campioni speri­

I risultati degli esperimenti per controllare la validità dell'ipotesi di Kramer mentati la riduzione dell'attrito è notevole; essa è massima per il barracuda delnon sono fra loro concordanti, se non in questo, che se effettivamente le pro­ Pacifico (Shyraena argentea), per il quale detta riduzione raggiunge il valoreprietà viscoelastiche della parete possono produrre una riduzione dell'attrito, percentuale del 65,9 per cento, per una concentrazione della soluzione del 5questa non è certamente dovuta a una stabilizzazione del regime laminare. per cento: questi risultati riguardano prove fatte con campioni della stessa spe­

Secondo un'altra ipotesi, avanzata già da Breder nel IV volume di «Zoolo­ cie, catturati in diversi giorni e aventi lunghezza da 7o a 8o cm. Pressoché ugualegica» (r9z6), la riduzione dell'attrito sarebbe prodotta dal muco che è secreto efficienza come attrito-riduttore presentano l'umore dello halibut e, tra i pescidalla pelle del pesce, ma questa congettura non fu allora appoggiata da ricerche d'acqua dolce, del pesce persico e della trota. La sola importante eccezione èsperimentali o teoriche, fino a che recentemente Rosen e Cornfold [r9p t] re­ mostrata dal bonito della California (Sarda chilensis), che pure è uno dei piusero noti alcuni risultati molto interessanti. Questi autori presero alcuni cam­ veloci nuotatori, mentre la Cypraea spadicea, che non è un pesce, ma un mollu­pioni ttitti di parecchie famiglie di pesci; immediatamente dopo averli tolti dal­ sco, e non ha bisogno di nuotare, secerne un umore molto efficiente.l'acqua, fecero uscire dai loro corpi l'eccesso di acqua di cui erano imbevuti ed Gli sperimentatori sopra citati hanno messo in evidenza due proprietà : pri­estrassero campioni dell'umore viscoso secreto dalla loro pelle. Dopo avere di­ ma, l'umore secreto dalla pelle non è solubile in acqua tranquilla, mentre di­

8o

O O

6o 6oO

O

/,O IB

4o IR /O I /Barracuda del Pacifico /

r Halibut della California I /Ju r I Persico, trota

C ypraea-- - - - ­ /r Pesce azzurro-­Branzino 20

O D Trota bruna germanicaScombro del Pacifico---­ /

Trota iridata — — —­Bonito della California l

,' l/

,r/

IO 20 30 40 5o 6o IO 20 30 40 50 6o

Muco in soluzione (per cento) Muco in soluzione (per cento)

Figura r x. Figura rz.Riduzione dell'attrito, in acqua salata, prodotto dal muco secreto dai pesci (secondo Riduzione dell'attrito, in acqua dolce, prodotto dal muco secreto dai pesci (secondo

Rosen e Cornfold). Rosen e Cornfold).

Moto 636 637 Moto

venta solubile se l'acqua è violentemente agitata; in secondo luogo, la quantità qua viene aspirata (fig. z3) attraverso un'apertura (presa d'acqua), dispost;i suldi materiale organico che il pesce deve perdere per ridurre fortemente l'attrito mantello in corrispondenza del collo (ossia nella regione di giunzione dcll;i t< sn>è piccolissima: cosi ad esempio il barracuda per ridurre del ~ per cento la re­ al resto del corpo), per eRetto di un'espansione della parete del mantello st«ss<>,sistenza deve introdurre nel fluido dello strato limite non piu di 5,7 parti per e penetra in una cavità di questo, che agisce come camera di compressionc :<I«milione delle sue sostanze organiche. rante questa fase, il condotto di emissione è parzialmente collassato e cl>i«s<>.

Rosen e Cornfold proposero di conseguenza le seguenti ipotesi: per la mag­ Successivamente la presa d'acqua viene chiusa ermeticamente grazie a un <»<>«>

gior parte del tempo il pesce nuota con velocità abbastanza piccola perché il che fa ritrarre la testa verso il corpo ; questo porta piccole costole ncll'intero<> <I< Iflusso nello strato limite sia laminare, e in queste condizioni, essendo il muco non mantello, che in conseguenza del movimento sopraddetto penetrano entr<> <>~>solubile, lo straterello di esso adiacente alla pelle rimane attaccato al corpo. Ma portune sedi cave poste sul lato opposto, funzionando cosi come la valv<>l;> <linei brevi intervalli di tempo, nei quali il pesce deve nuotare rapidamente per af­ chiusura dei motori a combustione interna. La parete della cavità del mani< ll<>,ferrare una preda, o per sfuggire da un predatore, lo strato limite diventa tur­ dotata di una robusta muscolatura, si contrae quindi violentemente c sl>i»~ <bolento; una porzione, molto piccola, come si è detto, del muco può sciogliersi l'acqua in essa contenuta ad uscire con grande velocità attraverso il cond<>tt<> <liin acqua in conseguenza del forte rimescolamento turbolento, e cosi le condi­ emissione, il cui asse può essere orientato dall'animale a piacimento. L'i<>l< ><>zioni per ottenere una drastica riduzione dell'attrito sono soddisfatte, e il pesce ciclo ha la durata di circa un secondo.può raggiungere velocità elevate con una relativamente modesta spesa d'ener­ Quanto sopra è stato detto vale per le specie piu veloci e nella figura i 1 igia, e con una piccolissima perdita di sostanze organiche. indicato lo schema del sistema ora accennato per un comune calamaro ; per <li« I­

Benché questa ipotesi sia basata su dati sperimentali accurati, essa non è an­ le piu lente, come gli Ottopodi, il sistema si semplifica, cosi che in alcuni ()tt<�>cora accettata da tutti, il che non stupisce ; comunque, benché sia certo che anco­ podi (Chuniotenthis) si ha un solo condotto che funziona sia per l'aspirazionc si;>ra parecchie ricerche debbano essere eseguite da biologi, chimici, e idromec­ per lo scarico, mentre nei nautili, che sono tra i Cefalopodi i piu primitivi, »>;>»­canici prima di arrivare a una spiegazione completa del fenomeno, sembra in­ ca anche la camera di compressione e l'acqua viene aspirata e scaricata in c<»>­dubbio che i risultati sopra riportati siano di grande utilità per indicare la via da seguenza di espansioni e contrazioni del solo condotto sopra indicato.seguire per arrivare a detta spiegazione. L'origine della spinta è sempre, come già si è detto, nella capacità dell'>u>i­

male di produrre una variazione della quantità di moto del mezzo in cui viv< :

z.7. Propulsione a getto. un confronto tra il sistema ora considerato e quelli indicati nei paragrafi prcc<­denti in base al criterio dell'efficienza non può farsi perché mancano troppi cl«­

Se il sistema di propulsione piu 1argamente usato dagli animali acquatici è menti sperimentali e teorici al riguardo : in particolare, il getto scaricato dal c<>n­quello a moto ondulatorio, sia pure realizzato nei differenti modi che sono sta­ dotto di emissione è generalmente assai prossimo al corpo dell'animale ed inter­ti specificati nei paragrafi precedenti, vi sono peraltro parecchie altre forme di ferisce sul flusso attorno a questo nel senso di diminuirne la resistenza, e un cl'­propulsione proprie di determinate specie. Cosi ad esempio per la classe dei Ce­ tetto analogo è prodotto dalla contrazione della parete della cavità del mantcll<>,falopodi, e in questa per i calamari (Loligo), per gli Ottopodi come i polpi, perle seppie, la spinta è ottenuta eiettando getti d'acqua in rapidi ripetuti impulsi: Mantello Boccaessi realizzano, in altre parole, la propulsione a getto pulsante. Lane dice a que­ contrattile d'ingressosto riguardo in Kingdom of the Octopus (ig6o ) : «Ere prima che l'uomo scopris­se la propulsione a getto, Cefalopodi come i calamari si propellevano a getto nei Imari primordiali. Alcune delle piu piccole specie di calamari mostrano i miglioriesempi di questi propulsori a getto naturali mentre per i loro rapidi movimenti Usi meritarono nomi come quelli di " f reccia del mare" o di "calamari volanti" ~X>)((Onychotenthis, ecc.)» [citato in Siekmann z<163, p. 399].

In effetti è stato osservato che un calamaro come la LoLigo, della massa dizoo g, con un singolo impulso può accelerare dallo stato di riposo a una velocitàdi z m/s, mentre per altri calamari si vuole da alcuni che possano raggiungere Parte Pinna Condotto G etto Front evelocità massime fino a 8 — :<1 m/s (si noti che la velocità massima raggiunta dal­ posteriore di emissionel'uomo nuotando su un percorso di zoo m è di circa z m /s, e correndo su pistaè di circa zo m /s). Figura xg.

Il sistema usato per la propulsione è simile a quello degli aerei a getto : l'ac­ Schema del sistema di propulsione a getto della Loligo.

Moto 638 639 Moto

in conseguenza della diminuzione dell'area della sezione trasversale del corpo che sicché il senso del moto è sempre retrogrado) ; probabilmente anche in questone deriva. D'altra parte un confronto basato sul solo criterio dell'efficienzk pro­ caso si ha un effetto di interferenza favorevole tra la corrente d'acqua prodottababilmente non ha un gran senso, perché altri elementi, morfologici, fisiologici, dall'azione del remo e il corpo dell'animale.condizioni di vita, ecc. possono determinare la preferenza di un sistema rispetto Altri crostacei, come le aragoste, utilizzano per la propulsione rapidi, ripe­a un altro. tuti colpi di coda, ottenuti con inffessioni ventrali di questa, e che agiscono come

il battere di un remo : la direzione del moto è ovviamente sempre longitudinale,

z.8. Propulsione a pale e a remi. e il senso del moto quello retrogrado. L'efficienza deve essere notevole, nono­stante l'apparente grossolanità dell'azione, dal momento che velocità fino a z,z

Questo sistema di propulsione, in forma molto perfezionata rispetto a quella, m/s sono state frequentemente misurate, e si crede che, almeno per la speciein paragone, rudimentale ideata dall'uomo è praticato da molti animali acquatici, Pal;'nurus, la velocità massima possa arrivare fino a 8 m /s.in particolare i crostacei. Tra questi i granchi, alla cui specie appartengono a­1­ Al lato opposto, per quanto si riferisce alle dimensioni, è il caso della speciecuni dei migliori nuotatori, quali i Portunidi, che hanno la particolarità di po­ Diaptomus della lunghezza di circa z mm, che può fare brevi scatti di velocitàtersi muovere sia in direzione trasversale, rispetto al corpo, sia in direzione lon­ fino a valori di questa di zo cm /s, ossia fino a cento volte la lunghezza del suogitudinale, grazie all'azione dell'ultimo paio di zampe, che all'estremo libero corpo per secondo, prestazione questa veramente eccezionale. Il suo apparatoterminano a forma di pale ovali, appiattite e qualche volta leggermente incavate motore è costituito da cinque paia di zampe, poste sul torace, e aderenti a que­a guisa di cucchiaio. Nel moto trasversale (che è il piu efficiente) le due pale sto quando l'animale galleggia in riposo sull'acqua. Le prime quattro paia dibattono l'acqua avanti e indietro ritmicamente e sincronicamente in piani ad an­ zampe sono frangiate di specie di setti piumacei con setole uniformemente spa­golo retto con la direzione del moto, facendo descrivere al baricentro di ogni ziate. Queste costituiscono come delle pale a fessure, che mentre sono moltopala una traiettoria quasi circolare, e ruotando le pale stesse leggermente, ne l efficienti per produrre un incremento dell'azione idrodinamica presentano pic­passaggio dalla corsa in avanti a quella di ritorno, in modo che entrambe risul­ cola inerzia, potendosi inoltre spiegare a ventaglio durante la corsa di lavoro, etino efficienti al fine della propulsione (fig. ty) : appare pertanto che le zampe ripiegarsi quindi aderenti alla costola portante durante quella di ritorno (fig. r5).funzionano come eliche a pale orientabili montate sopra un corpo fusiforme, Per produrre la propulsione, le zampe sono spinte violentemente dal toraceche presenta uguale profilatura per gli spostamenti laterali in entrambi i sensi. verso la coda, agendo come remi, e ciascun paio iniziando la sua corsa dopo chePer i granchi della specie Polybius, aventi una larghezza di rg cm e pale di corda il paio precedente l'ha compiuta per intero; nello stesso tempo, le antennule,della lunghezza di t,5 cm, battenti con una frequenza di ro,g Hz, sono state mi­ portate in corrispondenza della testa, che durante la fase di galleggiamento a ri­surate velocità di r,33 m /s, ma è certo che essi possono nuotare con velocità poso si estendevano lateralmente turgide e rigide, e che pochi millisecondi pri­molto piu elevate, come è dimostrato dal fatto che essi possono raggiungere e ma del balzo delle zampe remiganti erano diventate floscie, si ripiegano passiva­catturare scombri in mare aperto. mente lungo il corpo. Quando tutte le cinque coppie di remi hanno compiuto la

Del tutto diverso è il sistema usato nel caso di moto in direzione longitudi­ loro corsa di lavoro, esse ritornano insieme nella posizione di partenza ripiegan­nale: le pale, destra e sinistra, in questo caso sono mosse non sincronicamente, do sul corpo in modo da rendere minima la loro azione sull'acqua. La durata del­ma alternativatnente, ed agiscono come le pale di un remo, che sono attive sol­ l'intero ciclo è stata stimata da Storch [r9z9] in t /pz di secondo : nell'ipotesi chetanto durante la corsa di lavoro, che è quella che avviene dal dietro all'avanti (co­ la corsa di lavoro e quella di ritorno abbiano la stessa durata, ne deriverebbe, per

o,y mmg cm

Figura xg. Figura tg.

Granchio portunide con propulsione a pale. Propulsione a remi del Diaptomus per l'avanzamento a scatti.

22

Moto 64o 64r Moto

una velocità di zo cm /s, un'accelerazione di circa tre volte quella di gravità!Oltre che prodursi in spunti di velocità cosi elevata, come quella ora detta, il

Diaptomus può pure nuotare con velocità costante e notevolmente piu bassa,usando un sistema propulsivo del tutto diverso da quello sopra descritto : appa­rentemente a conoscenza della teoria dei vortici, esso produce, con un movi­

g mmmento rapido rotatorio delle antennule prima menzionate, due vortici di circui­ Figura r7.tazione uguale e contraria, ai due lati del corpo, i quali inducono nell'acqua unavariazione di quantità di moto in direzione longitudinale, e quindi, per reazione, Rappresentazione schematica delle zampe di propulsione del Chirocephalus.

una spinta sull'animale (fig. r6 ).Da notare che mediante altre appendici portate dal corpo di questo, e di mol­

to minore estensione delle antennule, viene prodotto un altro paio di vortici 2.9. Altre proprietà del moto dei pesci.

uguali e contrari nell'immediata prossimità del corpo stesso, e di minore inten­ È già stata messa in evidenza, in qualche caso, la capacità che hanno diversisità di quelli prima indicati: la corrente da essi indotta ha essenzialmente lo animali acquatici di imprimere al proprio corpo accelerazioni elevatissime: inscopo di portare il cibo alle mandibole. effetti, questa proprietà è posseduta da diverse specie di pesci, ed in particolare

Un sistema di propulsione analogo a quello ora indicato per il Diaptomus è da quelli che hanno pinne caudali molto sviluppate. Cosi, in particolare, è statausato dal gamberetto di mare della specie Chirocephalus : questo, che ha una lun­ misurata un'accelerazione, nella prima fase di moto a partire dallo stato di quiete,ghezza di circa z,5 cm, generalmente nuota sul dorso, e può sia muoversi avanti fino a 5o m /s (pari quindi a circa 5 g) per i lucci, e per le trote fino a 4o m /s'e indietro, sia librarsi in un dato posto (pure avendo densità superiore a quella (ossia circa 4 g).dell'acqua), sia innalzarsi o abbassarsi (fig. rq). A tale scopo esso è provvisto di Dall'esame fotografico della fase di partenza dalla quiete [Weish r9pg] èundici paia di zampe, che può muovere avanti e indietro con ritmo metacronale, stato visto che tutta la manovra è fatta in tre fasi: nella prima fase il pesce, checome remi di una barca, sfruttando inoltre l'azione di pompaggio derivante dalle inizialmente è col suo asse rettilineo, si dispone in modo che la coda sia quasi advariazioni di volume degli spazi compresi tra zampa e zampa, e tra queste e il angolo retto col resto del corpo, formando cosi col suo asse una linea a L ; nellacorpo, mentre alcune paia di dette zampe, provviste di setti piumosi (exopoditi) seconda fase, la coda ruota agendo sull'acqua con forza che è proporzionale al­contemporaneamente possono compiere movimenti rotatori, att i a generare l'accelerazione angolare di detto moto, e ricavandone quindi per reazione la forzavortici dello stesso tipo di quelli indicati per il Diaptomus; è stata osservata una propellente; nella terza fase il pesce raddrizza il proprio asse ruotando in unafrequenza di battito delle zampe remiganti fino a rz,5 Hz, e una velocità di tra­ direzione che forma con la direzione originaria (ossia all'istante iniziale) un an­slazione fino a r4 cm /s (lunghezza dell'animale circa z,5 cm ). golo proporzionale all'accelerazione impressa sopraddetta (corrispondente alla

rotazione di insieme del pesce prodotta dal momento della forza di reazioneidrodinamica), Del tutto analoga alla proprietà ora indicata è la capacità, cheparecchie specie di pesci hanno in modo davvero stupefacente, di potere variarela direzione del loro moto: in effetti si possono avere traiettorie con raggi dicurvatura uguale, o anche minore, alla lunghezza del pesce e con apparente mi­nima perdita di energia. Anche in questo caso lo sviluppo della pinna caudaleappare essere di primaria importanza, ed anche ora l'intero processo appare ri­sultare da tre diverse fasi caratterizzate dal diverso tipo di moto del centro digravità dell'animale. Nella prima fase detto centro continua a muoversi di motorettilineo nella direzione originaria; nella seconda esso descrive un arco, che èmolto approssimativamente un arco di cerchio, mentre nella terza fase finale ri­

/ torna a muoversi di moto rettilineo nella nuova direzione.l

ILa molteplicità dei sistemi di propulsione e la perfezione con la quale cia­

I scuno di detti sistemi è stato realizzato mostrano che se l'uomo non ha potutodare ragione del perché dei fenomeni di moto, la natura ha ben saputo come

i mm produrre i fenomeni stessi; a conforto dell'uomo, si può dire che essa ha avutoFigura r6. piu tempo a sua disposizione. [c. F.].Sistema vorticoso nell'avanzamento continuo del Diaptomus.

Moto 6g7. 6gz Moto

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tg7t Hy dr o mechanics of steimming prc>pulsion, in «Journal of Fluid Mechanics», XLVI, pp, Teodoro; tranne che dissi 'cosi' e 'non cosi'. E invece neanche questo 'cosi' si337-55, 365-68, deve dire, perché non ci sarebbe piu moto dicendo di una cosa 'cosi'; e nem­

meno 'non cosi', perché neppure questo è moto ; ma bisogna che istituiscano unaltro linguaggio coloro che professano questa dottrina» [Platone, Teeteto, I83a­b).'Ma se per la conoscenza (si vedano del resto in questa stessa Enciclopedia gli

Tutto nella natura si muove e il movimento è la prima indicazione della vita : si com­ articoli «Conoscenza», «Filosofia/filosofie» e «Dialettica») la dottrina del motoprende quindi come il termine 'moto' dal primo significato di cambiamento della situa­ fa esplodere delle contraddizioni, una sfida non minore costituisce la sua rap­zione spaziale di un oggetto sia venuto a indicare ogni mutazione interessante anche gli presentazione. Come è possibile rendere con una combinatoria discreta di formeattributi qualitativi (cfr. qualità/quantità) di un dato individuo e in particolare le formedi mutazione (cfr. forma, sviluppo e morfogenesi) sia «per salti» sia «continue» (cfr. quel fluire continuo che il Socrate platonico riconosce intrinseco al movimento?

continuo/discreto), il piu delle volte misurabili (cfr. misura) nel tempo (cfr. tempo/ Già una prima risposta è nella modellizzazione astronoinica dove è la stessa im­temporalità, ciclo, evento). Se dal punto di vista delle filosofie (cfr. filosofia/filosofie, maginazione geometrica a suggerire significative visualizzazioni ( tavv. IO-I3 ;e anche dialettica, metafisica) il problema del movimento-mutamento può venir ricon­ cfr. del resto quanto osservato nell'articolo «Modello» in questa stessa Enci­dotto alla questione dell'ident i tà /differenza, per le matematiche l' intuizione del moto clopedia) : appartenga alla tradizione orientale (cfr. in particolare tav. I3 ) o aha sotteso lo sviluppo del calcolo (cfr. anche infinitesimale, differenziale, curve e su­ quella occidentale (cfr. in particolare tav. Io ), segni ai tempi di Copernico, Ke­perfici, funzioni, variazione e, per altri aspetti, sistemi di riferimento, invariante, plero o Galileo ( cfr. in particolare tavv. I l - I z ) una rottura «rivoluzionaria» ogeometria e topologia, stabilità/instabilità, catastrofi). Già lo studio delle proprietà possa venir letta, con gli occhi di oggi, come anticipazione di attuali cosmologiemeccaniche della materia, con la costituzione di cinematica, statica e, soprattutto, dina­ (cfr. ancora tav I3 ), questo tipo di visualizzazione fornirà un paradigma anchemica ha fornito alla fisica un paradigma di scientificità (cfr. teoria/modello, scienza,conoscenza) capace di unificare (cfr. uno/molti) i fenomeni (cfr. fenomeno) piu dispa­ per altre discipline dovunque esse hanno a che fare col moto.

rati dell 'un iverso, come i mot i terrestri e celesti (cfr. astronomia, cosmologie e so­ Alcune di queste tavole alludono quindi alle ancor piu sofisticate modellizza­prattutto gravitazione). L'evoluzione di concetti fisici primari come quelli di spazio e di zioni emerse in tali discipline : dalla natura e propagazione della luce (cui alludetempo (cfn spazio-tempo), l 'arricchimento del patr imonio teorico e sperimentale della la tavola I : non è del resto la luce, come già diceva Roberto di Lincoln, a rive­fisica (cfr. in particolare energia, entropia, reversibi l i tà/ i r reversibi l i tà), le concet­ larci il movimento dei corpi?) a complesse situazioni idrodinamiche e aerodina­tualizzazioni in termini di forza /campo, ecc. hanno infine riproposto, specie nel contesto miche (cfr. tav. 4), dal trapasso delle stagioni e dei movimenti nell'atmosferarelativistico (cfr. relat iv i tà) e soprattutto in quello quantistico (cfr. quanti, e anche par­ (cfr. tav. g) fino allo studio dei movimenti /mutamenti dell'idrosfera e della lito­ticella), la questione centrale della spiegazione causale(cfr. causa/effetto) e quella, con­ sfera (cfr. tavv. zI e zz, ma anche tav. Iq).nessa, del determinismo fisico (cfr. determinato/indeterminato, e anche caso/pro­ Spesse volte la rappresentazione ha preceduto modellizzazioni articolatebabilità).

Ma i moti naturali negli esseri viventi, in particolare negli animali (cfr. anixnale, e concettualmente e linguisticamente, altre volte ne è l'indispensabile ausilio. Cosi

anche hotno ) pongono oggi problemi altrettanto affascinanti : tali moti obbediscono ov­ è, per esempio, nello studio del movimento animale: sia che si tratti della figuraviamente alle leggi della fisica, ma le modalità con cui possono venir realizzati non sono uni­ di un cervo schizzata sulla parete di una delle grotte di Lascaux (tav. z), sia chevocamente determinate dall'ambiente in cu i v ive la specie considerata. Tali modalità si tratti di un animale in corsa colto da una sequenza fotografica (tav. 3), la rap­soddisfano inoltre vincoli (cfr. vincolo) dipendenti, non solo dall'ambiente, ma anche presentazione coglie quegli aspetti «meravigliosi » propri del moto animale chedalle caratteristiche strutturali dei vari organismi (cfr. organismo ) o da altre circostanze. ancora oggi stupiscono per la genialità della soluzione che naturalmente essi han­L'ott imizzazione che le specie animali riescono a realizzare nella locotnozione è, in genere, no avuto, e inserisce questa «meraviglia» nei contesti piu vari: da quelli incen­attribuita a un meccanismo di mutazione /selezione, il che ripropone nuovamente il pro­ trati sulla relazione predatore/preda (come la caccia, ecc.), a quelli che costitui­blema di una natura che agisce a caso o seguendo un programma. scono articolazioni della coppia sacro/profano, ai contesti piu propriamente

scientifici o piu nettamente tecnologici.

Moto 6y6

Dal moto dei vari animali (cfr. ancora tav. z3, e anche le numerose figure in­serite nel testo dell'articolo), infine, al moto dell'«animale s uomo: il gesto (tav.z'), la corsa (tav. x5), l'attività sportiva (tav. xy), ecc. diventano oggetti, a lorovolta, di rappresentazione e modellizzazione (cfr. tav. x6). Né manca l'imitazio­ne tecnologica: il volo di Icaro (tav. 6) prelude, al di là del mito, al volo aereo,prima sognato, poi audacemente tentato (tav. 7), e infine realizzato (tavv. 8-9).Del resto l'attuale relazione dell'uomo col suo ambiente sarebbe incomprensi­bile senza tener conto delle realizzazioni delle potenzialità meccaniche che l'uo­mo ha vagheggiato fin dall'aurora del pensiero scientifico e che in tempi recentihanno radicalmente trasformato i mezzi aerei (cfr. ancora tav. tl ), acquatici (cfr.tav. zy) e terrestri (cfr. tavv. 17, 28; 25, 26, 27; e anche 30).

Ma agli strumenti tecnologici che sempre di piu permettono all'uomo losfruttamento del moto, si affiancano (e s'intrecciano) gli strumenti intellettualidell'immaginazione e dell'astrazione: si risale cosi all'inizio del mondo (cfr. an­cora tav. x3 ) o ci si proietta verso enigmatiche forme del futuro (tavv. 32-33),cercando nuove risposte al semplice 'cosi' o 'non cosi'(cfr. anche tavv. x8, zo).[N. d. E.].

i. Pria o nd SPtclrum. Foto di Sebastian Milito (t970).

z. Teste di cervo. Gra%to delle grotte di Iwscaux. 3. Alce che corre. Parte di una sequenza fotografica di E. Muybridge (t887 circa).

4 Frutto di Hiptage uurdablora in caduta libera

5. Ch'ien Hsùan, Primo autunno (secolo xttt ). Particolare.

7. Tentativo di Jacob Dengen di sollevarsi in aria mediante un apparecchio di sua in­6. Iraro di Célestin Nanteuil (secolo xtx). venzione ( t 8o8).

8. Orville Wright vola per la prima volta sul suo apparecchio ( t7 dicembre tgo3). Fotodi John D. Daniels. g. Il bireattore F-t t t con ali a freccia variabile.

l'I. AIA' l S PI I A'.14 I V.M .~.-,' sri w ('() l'I:.I('N I( AN E .I,l50 g Ac i I e 111,1

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to. Atlante sorregge il mondo: al centro, la Terra (I5>iq). I I. Il sistema eliocentrico copernicano. Dall'Atlas rorkstis di A. Cellarius (r66o).

ta. Figure che accompagnano il primo «hbozzo del Siderrtis mtnrius, autografo di G. Gali­lei (circa t6to). 13. I.'universo in espansione (Ràjasthàn, secolo xvttt).

tg. Uomo in corsa (circa t883). Studio fotocronografico di E.-J. Marey.

tg. Movimento del golfista D. Shute fotografato da Harold E. Edgerton (tg38). t6. Movimento di un atleta in corsa (tg76 ) analizzato da un calcolatore elettronico.

Da l.'arrioée d'un rrain di Imuis I.umière (t8g5). t8. Marcel Duchamp, fotogrammi del film Anerair Cinrwn (in collab. con Man Ray eMare Aiiégret) (tga5-a6).

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asr i o • y

4

s9. Ln foce della Senna a Honfleur, di sera di G. Seurat (s886). Particolare.

20. Fornte uniche della continaitd dello spa"io di U. Hoccioni (19I3 ).

at. I l ghiacciaio Barnard. Foto di Bradford Washburn (tg38).

aa. Death Valley. Foto di Charles Moore (tokyo).

23. Granchio d'acqua. Foto di John Cooke (tg6g). 2y. La fregata a vapore Fulton I I (c irca t8go). Particolare.

zg. Course de bobs. Louis-Oleo-Zissou (tgto). Foto di Jacques-Henri Lartigue. a6. btudto dt forma aerodtnam>ca ideale (ttt7g).

ap. Una Delage del tgt2. Foto di Jacqucs-Hcnri Lartigue. s8. L'espresso Londra-Brighton (t875).

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3 t. Il Cindizio Finale di Jacopo Robusti detto il Tintoretto (t 56o). Particolare.

32. Liberazione di M. C. Escher (tg55).

33. Arrial Abstract (tg6g). Foto di Robert Msycr.

439 Particella

periore definisce un comportamento corpuscolare delle palle; la parte inferiore,Particella invece, un loro comportamento ondulatorio. Per descrivere queste scoperte in

modo adeguato il professore dovrebbe combinare in un unico linguaggio due no­tazioni, quella corpuscolare e quella ondulatoria.

L'esperimento mentale che qui si è brevemente delineato [sulla scorta dit. Pre l iminari. I «punti materiali» e le «particelle elementari». Hanson 1958, trad. it. pp. r5o-5r ] è una parabola della fisica novecentesca. L'in­

tera teoria classica dei punti materiali e l'intera teoria ondulatoria — che il lettorer.r. Un esperimento mentale. troverà entrambe esposte nel ) r dell'articolo «Moto» in questa stessa Enciclo­

pedia — sono infatti coinvolte nel riconoscimento da parte dell'ipotetico profes­S'immagini un professore di fisica della metà dell'Ottocento che insegna la sore di essersi imbattuto in un fenomeno per cui si richiede un approccio combi­

meccanica ai suoi allievi del primo anno. Poiché è in ritardo sul programma, de­ nato. Ed è proprio questo ciò che fece Einstein con la luce [r905]. «Poiché lacide di raddoppiare le sue dimostrazioni, accoppiandole e facendole seguire l'una luce proietta ombre nette e non s'incurva attorno agli angoli, Newton paragonòall'altra. La cosa sembra funzionare : il professore arriva cosi all'esperimento del la luce a un flusso di particelle. Huygens, Young, Fresnel e Foucault screditaro­piano inclinato di Galileo e lo raddoppia nel modo seguerite. Anziché terminare no quest'opinione, formulando le loro classiche idee della luce lungo linee on­la loro corsa alla base del piano inclinato, le sfere vengono fatte cadere in un la­ dulatorie. Einstein eccepi, spiegando l'effetto fotoelettrico mediante quanti di ra­birinto attraverso i cui chiodi e deflettori esse si distribuiscono. Ogni sfera cade diazione [fotoni] modellati sulle ricerche di Planck. Benché gli esperimenti diinfine in uno dei contenitori tubolari della figura r. Naturalmente il professore J. J. Thomson avessero indotto Lorentz a introdurre la discontinuità nella teo­si aspetta che le palle si raccolgano insieme come nella figura za. Se cosi avve­ ria di Maxwell, la contraddittorietà di questo intervento non emerse finché Ein­nisse, egli potrebbe spiegare la caduta libera dei corpi e le distribuzioni statisti­ stein non uni esplicitamente proprietà corpuscolari e ondulatorie nel suo saggioche tutto in un'ora di lezione. Inspiegabilmente, le sfere si distribuiscono invece del r9o5» [Hanson I958, trad. it. p. z39]. I fisici del tempo consideravano la na­nel modo illustrato nella figura zb : una distribuzione improbabile, che non ha tura duale della luce un paradosso. Ma è storia nota : questo « fenomeno sorpren­precedenti nella teoria classica dei punti materiali. dente» fu la molla principale della teoria quantistica, almeno in una prima sua

L'ipotetico professore non potrebbe dare del fenomeno che una sola spiega­ fase (si veda del resto l'articolo «Luce» in questa stessa Enciclopedia ).zione in accordo con il sapere della sua epoca: la distribuzione «anomala» otte­nuta costituisce un tipico caso di interferenza, il segno, per cosi dire, di un pro­cesso periodico, ondulatorio. Nella schematizzazione della figura r la parte su­ r.z. Onde e corpuscoli.

Il punto di partenza della teoria sviluppata da Louis de Broglie a partire dalI923 (si veda ancora l'articolo «Moto», voi. IX, pp. 6o6 sgg.) si è basato sull'ap­proccio onda-corpuscolo seguito da Einstein per il fotone, per dame un'esten­sione all'elettrone. Per Schrodinger (r9z6 ; si veda ancora «Moto», pp. 6o9-t 3 )il moto dell'elettrone è descritto da un'onda associata, la funzione d'onda, solu­

I zione di un'equazione differenziale alle derivate parziali (equazione di Schro­o I • dinger). Come lo stesso Schrodinger ebbe a mostrare, il formalismo ondulatorio

• » O• r'L • • •e quello matriciale della «meccanica quantistica» sono, sotto un certo profilo,

• , '"» • • • •

• ~ • • •• • • equivalenti. La $ di Schrodinger, infine, secondo l'interpretazione datane da

• • - • • • • • •

• • 4 • • • • •

• I • • • • • • • •

• • , « • • • • • • • •

f

Figura r. a) b)L'accoppiamento di due esperienze (caduta di un grave lungo un piano inclinato e Figura z.

distribuzione casuale delle palline in una serie di contenitori attraverso un labirinto ). (Da La distribuzione statistica attesa (a) e quella «anomala» (b). (Da Hanson I958).Hanson r958).

Particella 44o 44' Particella

Born, rappresenta lo stato fisico di un sistema, permettendo il calcolo dei valori fondo questa differenza logica : e cosi in effetti è» [ibid., p. i8x]. Il che comportamedi delle grandezze fisiche che descrivono il sistema in quello stato dato. anche un riorientamento disciplinare : «Nella fisica classica, gli studi di cinema­

Come il lettore sa da altri articoli della presente Enciclopedia, è stata questa tica sono anteriori a quelli di dinamica; nella fisica quantistica questa divisioneuna delle piu rilevanti svolte della fisica novecentesca: fino ad allora «la teoria e quest'ordine non sono realizzabili. Le qualità primarie erano fondamentali perquantistica... fu un aggregato di frammenti sostanzialmente diversi... e parzial­ le concezioni statico-cinematiche che la meccanica classica costrui all'interno dimente contraddittori, [come per esempio] il principio di corrispondenza, appar­ uno spazio euclideo ; le proprietà dinamiche dei corpi erano ancillari alle prime.tenente per metà alla meccanica classica e all'elettrodinamica [e] l'autocontrad­ Ora le proprietà statistico-cinematiche di una particella subatomica sono deter­dittoria natura duale della luce» [Neumann I932, p. 4]. Questo punto merita di minate dalle sue proprietà dinamiche ; la dinamica quantistica è la disciplina chevenir approfondito. gode di una posizione prioritaria. Il concetto fondamentale della microfisica è

Il termine 'particella', di per sé, non definisce un sistema fisico : nell'immen­ l'interazione. L'atomo democriteo-newtoniano-daltoniano non può spiegare le

sità dell'universo, la Terra o il Sole sono particelle; nelle dimensioni macrosco­ osservazioni realizzate nel nostro secolo. Esso postulava proprietà — come l'im­piche'della vita quotidiana un granello di polvere è una particella; nell'intima penetrabilità, l'omogeneità, la sfericità — che non ordinano e non integrano piustruttura della materia sono particelle atomi e molecole; entro l'atomo lo sono, i nostri dati; per rendere ragione di tutti i fatt i l 'atomo dev' essere un sistemainfine, i nucleoni, gli elettroni e i partoni — dato e non concesso che questi ultimi complesso di enti piu fondamentali. Sono stati scoperti elettroni, protoni, neu­esistano... Alcune di queste accezioni possono venir riportate a quello che è il troni, positroni, mesoni, antiprotoni, antineutroni e fotoni dei raggi y; altre par­concetto classico di particella, cioè di punto privo di dimensioni ma dotato di ticelle saranno probabilmente scoperte se si vorranno spiegare certe "lacune"massa che, almeno in linea di principio, ha, in ogni tempo, una esatta posizione nei nostri esperimenti. Ma le nuove particelle non possono essere le particellespaziale e un'esatta velocità. Alcune, ma non tutte. puntiformi della filosofia naturale classica» [ibid., p. r46].

Dalla proposizione che P è una particella (nel senso della meccanica classicapoco piu sopra chiarito ) si può certo concludere che P ha precise e determinabili t.3. Visibile e non visibile. Osservativo e teorico.posizione e velocità. «Designiamo questa proposizione come "Q". La concezio­ne classica di un'onda comporta però che nessuna onda W possa avere una pre­ Ma dell'antico atomismo democriteo un aspetto non indifferente è pervenu­cisa posizione spaziale in un tempo specificato. Idealmente, un disturbo d'onda to fino alle attuali concezioni delle particelle. Il nome di Democrito resta infattisi diffonde nell'intero mezzo in cui si verifica ; ma in un punto geometrico un di­ intimamente legato all'idea secondo cui l'essere si trova disseminato in una mol­sturbo d'onda non è afFatto un disturbo d'onda, bensi semplicemente un impul­ titudine quasi infinita di frammenti semplicissimi, ben localizzati nello spazio,so periodico. La situazione è simile nel caso del "pacchetto d'onde". la "propa­ raggruppati in un piccolo numero di tipi e in grado di esercitare gli uni sugligazione" di tale pacchetto è una parte essenziale del fatto che esso possiede pro­ altri delle interazioni usualmente localizzate, o di contatto o almeno decrescentiprietà ondulatorie riconoscibili. Perciò, dall'affermazione che W è un'onda (o con l'aumentare della distanza. Si potrebbe anche aggiungere che nulla sembraun "pacchetto" d'onde ) possiamo concludere che W non ha una posizione spa­ piu semplice da visualizzare di un «piccolo granello» come l'atomo democriteo.ziale determinabile con precisione... Designiamo questa seconda proposizione con Eppure proprio una locuzione come «piccolo granello» è spia di un'autentica dif­"non­Q". In base a quanto abbiamo detto finora, non­Q non è la negazione di ficoltà: è tale piccolezza, infatti, che sembra precludere agli «atomi» la possibi­

Q ; Q si riferisce a P, mentre non-Q si riferisce a W. Quando però P e W sono lità di una osservazione diretta. Essi sono dunque invisibili.usate congiuntamente per indicare la medesima entità, avremo la notazione Q e Ma a questa invisibilità si potrebbe arrivare per un'altra via, meno diretta,non­Q. Il nostro professore [cfr. ) t .i ] deve rappresentare ogni sfera data come ma con esiti piu radicali. Gli «atomisti », usando il termine in un'accezione filo­una PW, dal momento che essa possiede proprietà tanto corpuscolari quanto on­ soficamente ampia, hanno nutrito opinioni molto diverse sul problema di quelledulatorie: è questa la situazione concettuale che le sue osservazioni gli hanno che dovevano essere le proprietà piu di ri l ievo degli atomi, oltre (ovviamente)imposto» [Hanson 1958, trad. it. p. r67]. Ma questa situazione, «logicamente in­ la loro indivisibilità. La posizione aveva importanza centrale per Democrito, latollerabile» [ibid, p. i68; cfr. del resto l'espressione di Neumann «la autocon­ figura per Epicuro e Lucrezio, Gassendi s'interessò soprattutto alle proprietàtraddittoria natura duale della luce»] per il professore ottocentesco del ) i. i, sta combinatorie, Newton ai moti degli atomi, Boyle fu attratto dall'insolubilità,alla base di una profonda ristrutturazione concettuale (e logica). Non è possibile mentre la massa colpi soprattutto l'attenzione di Lavoisier (conservazione dellain questa sede delinearne i tratti ; basterà osservare, ancora con Hanson, che « la massa), Richter (proporzioni costanti ) e Dalton; Berzelius (teoria della valenza)massa puntiforme, che è una concezione primariamente cinematica, è il punto notò soprattutto la forza di unione degli atomi e Proust (insistendo ancora sulladi partenza della teoria classica dei punti materiali. L'impulso d'onda, una con­ indivisibilità ) fece degli atomi d'idrogeno le pietre da costruzione ultime dellacezione primariamente dinamica, è il punto di partenza della teoria quantistica. materia. Faraday e Webér, Mayer e Clausius, Boltzmann e Maxwell, ecc. sotto­I linguaggi derivanti da una tale diversa origine dovrebbero rivelare da cima a linearono a loro volta altre proprietà, «ma tutti gli atomisti si servirono delle pro­

Particella 44z443 Particella

prietà da loro prescelte nello stesso modo, ossia per spiegare le proprietà macro­fisiche dei corpi riconducendole ai caratteri di queste particelle componenti» Si riconsiderino però le prime esperienze miranti ad avvalorare la natura gra­

[ibid., p. z35]. È proprio questo che, in hnea di principio, sembra rendere gli ato­ nulare della materia (impiego dei raggi X per studiare la natura dei cristalli pro­mi non rafFigurabili. Se gli atomi democritei, infatti, sono per ipotesi il risultato posto alla fine del secolo scorso da Max von Laue) della carica elettrica (Milli­della divisione fino all'ultimo stadio possibile, essi non vanno soggetti in se stessi kan, rqxo) o lo stesso procedimento impiegato nel x8qq da Thomson per la mi­a nessuno dei mutamenti sperimentati dalla percezione sensoriale (è questa l'in­ surazione della carica specifica, cioè del rapporto tra carica elettrica e massa di

terpretazione data da Hanson ) : ciò a priori garantisce che essi non possono ve­ singole particelle (nella fattispecie di quei «granuli di elettricità» che erano gli

nir osservati. Come scrive Copernico nel De revolutionibus orbium coelestium (li­ elettroni e gli ioni (per il dispositivo di Thomson, cfr. fig. 3 )). Non solo questebro I, cap. vi ), si tratta di corpuscoli «minimi e indivisibili» che, non essendo procedure sperimentali hanno permesso di articolare ulteriormente concezioni

«sensibili», sfuggiranno quindi sempre all'osservazione. Ovvero, per dirla con della materia e dell'elettricità emerse nell'Ottocento (per questi aspetti si vedano

Francesco Bacone e poi con Newton, essendo il colore una proprietà«secondaria», gli articoli «Atomo e molecola» e «Materia» in questa stessa Enciclopedia ), ma,gli atomi sono «trasparenti » quindi invisibili, ecc. Perché non tendere allora que­ poiché i valori numerici di massa, energia, carica elettrica via via determinati

sta «trasparenza» fino a fame una sorta di trasparenza di puri concetti ausiliari> non sono il risultato di una interpretazione di quantità mediate su grandi numeri,

Cosi fecero Ostwald, Mach e Karl Pearson e altri dopo di loro. Ostwald soste­ ma valori consistentemente trovati su ogni singola particella, esse stanno all'ori­

neva che gli atomi andavano addirittura banditi dalla scienza fisica, Mach vi ve­ gine di una vera e propria fisica delle particelle «elementari».

deva solo delle analogie, Pearson li considerava «concezioni intellettuali con l'aiu­ Il passo successivo è stato rappresentato dalla «rivelazione» delle particelle.

to delle quali i fisici possono classificare i fenomeni» [rq tr, p. 8g], Vaihinger, Le scoperte che fecero seguito a quelle della radioattività naturale (Becquerel,piu radicale ancora, affermava : «Si è visto di recente che l'atomo è una finzione, i896; i Curie, i898 ) e della radioattività indotta (Rutherford, tittq) furono iluna connotazione finzionale» [rq tr, trad. it. p, p8 ]. risultato di un simultaneo progresso teorico e strumentale. Ora, il passo fonda­

mentale nello sviluppo degli strumenti è quello dovuto a Wilson, che è riuscitoa mostrare (iyi z) la possibilità di rivelare il percorso di singole particelle carichein gas contenenti vapori saturi con la cosiddetta camera a nebbia (o camera diWilson). Questo dispositivo è costituito da un recipiente contenente appunto ungas e un vapore in condizioni termodinamiche assai vicine alla sua condensazio­ne. Se non sono presenti «nuclei di condensazione» la condensazione non avvie­

C A B ne ; ma se una particella carica la attraversa, producendo una scia di ioni positivied elettroni, questi possono agire come nuclei di condensazione. Abbassando ra­pidamente la temperatura mediante una espansione adiabatica, la « traccia della

Figura 3. particella» viene segnata da una successione di goccioline tanto piu densa quanto

Mentre ancora nel i Sg' Wi l l iam Thomson (Lord Kelvin) sosteneva che l'elettricità maggiore è il potere ionizzante della particella.è un liquido continuo omogeneo anziché avere una struttura granulare, contemporanea­ A questa prima «finestra sul mondo fisico» (come fu detta ) ben presto altrimente Joseph John Thomson riusciva a eseguire il suo celebre esperimento in cui deter­ strumenti di rivelazione si sono afFiancati (per esempio, emulsioni fotografiche,minò la carica specifica e/m per i raggi catodici. Nella figura è schematizzato il dispositivodi Thomson. 1 raggi catodici provenienti dal catodo C vengono fatti passare attraverso le

introdotte da Marietta Blau e Hertha Wanbacher nel tq37, ma sostanzialmente

fenditure A e B, che servono a restringere il fascio. Il fascio passa quindi attraverso la re­ perfezionate solo nel dopoguerra soprattutto per merito di Occhialini e Powell ).gione tra D ed E e viene osservato sullo schermo graduato all'estremità destra del tubo. Ma bastino tali sommari cenni ; preme qui sottolineare che tali particelle, pur di­Caricando le armature D e E si pmduce una deflessione del fascio verso l'alto o verso il rettamente non osservabili, sono dunque «rivelabili»: la loro esistenza (comebasso. Il verso della deHessione mostra che la carica portata dal fascio è negativa. Gene­ nota Hanson [xqg8, cap. vi]) può venir inferita retroduttivamente dalle lororato opportunamente un campo magnetico nella regione tra D ed E, di direzione perpen­dicolare al piano del foglio, si osserva che anche tale campo produce una deflessione del «tracce». Si tratta quindi di una «osservazione» indiretta su cui si può innestarefascio verso l'alto o verso il basso, in accordo con la carica negativa dei raggi. Compen­ anche una concezione realistica delle particelle. Scrive per esempio Shapere:sando le deflessioni prodotte dai campi elettrico e magnetico, risulta possibile calcolare la «Dall'opera teorica di Ampère e di Weber fino a quella di Lorentz, dalla ricercavelocità del fascio. L'ampiezza della deHessione prodotta da ciascun campo separatamentedà una misura di e/m, rapporto tra carica e massa dei costituenti del fascio. Il valore ot­

sperimentale di Faraday sull'elettrolisi all'esperimento di Millikan, c'è stato untenuto da Thornson per i raggi catodici era molto piu elevato, per un fattore di diverse accumulo di ragioni per sostenere che l'elettricità viaggia in unità discrete... Èmigliaia, dei corrispondenti valori determinati per gli ioni dell 'elettrolisi. Thomson ne un'ironia della sorte che il termine 'elettrone' — spesso preso nei manuali dellaconcluse che il raggio catodico consisteva di particelle con massa molto piu p iccola di tradizione positivista come un esempio di termine teorico — abbia proprio unoquella degli ioni e con carica negativa. I i battezzò «corpuscoli» e chiamò «elettrone» laloro carica. In seguito vennero chiamate elettroni le particelle stesse.

stato del genere» [Shapere ti16il, p. tg6 ]. Forse, «concezioni intellettuali» o«connotazioni finzionali » sono un po' troppo « trasparenti » o «rarefatte», se può

445 ParticellaParticella 444

essere consentita la metafora, per lasciare tracce in un rivelatore, ecc.[cfr. ibid.].z.r. La scoperta del positrone e l'antimateria.Una versione della dicotomia teorie%sservativa piu sofisticata di quella di Mach,

Pearson, Vaihinger, ecc. e forse anche di quella elaborata dall'empirismo logico, Verso il r9go la struttura dell'atomo pareva dunque compresa: si sapeva cheè probabilmente necessaria [cfr. ancora, in questa direzione, le tesi avanzate da vi era un nucleo, a carica positiva, situato al centro e che era circondato da elet­Shapere r969]. Ma va aggiunto subito che, in questo paragrafo, la discussione troni, cioè da cariche elettriche «elementari » negative. Una volta stabilita l'equa­circa l'entità «elettrone» ed eventuali altri inosservabili (ma «osservabili» nel zione di Schrodinger, l'indagine di tale struttura avrebbe dovuto dunque diven­senso indiretto e sofisticato qui introdotto ) si è svolta ancora nel quadro con­ tare un puro problema matematico, trattandosi sostanzialmente di trovare solu­cettuale classico. Nel contesto quantistico l'interazione osservazione-teoria è piu zioni dell'equazione di Schrodinger rappresentanti gli orbitali dei diversi elet­complessa. Si faccia ancora il caso specifico dell'elettrone. Nota a questo propo­ troni... È però ben noto che in questo modo si riesce a spiegare perfettamentesito Hanson [x958] : «Nell'immediata prossimità di un elettrone il gradiente di solo la struttura dell'atomo piu semplice, quello di idrogeno, mentre per atomipotenziale è un miliardo di volte maggiore di qualsiasi cosa noi possiamo esami­ piu complessi la sola equazione di Schrodinger non è sufficiente. Per risolverenare sperimentalmente. Born esplorò la possibilità che in coincidenza con un alcune difficoltà (per esempio : perché tutti gli elettroni non vanno ad occuparetale enorme gradiente di potenziale le leggi dell'elettrodinamica richiedano di l'orbitale piu vicino al nucleo>) occorrono alcune ipotesi ad hoc.fatto una modificazione (r934) ; queste leggi modificate dovrebbero conservare Inoltre l'equazione di Schrodinger non è relativistica, non è cioè invariantela validità a qualunque distanza per quanto piccola dal centro dell'elettrone. Ma per trasformazioni di Lorentz. Si deve a Dirac ( i9z8 ) l'aver scritto per gli elet­qui non c'è in realtà un elettrone, non nel senso di una particella infinitesimale troni una generalizzazione dell'equazione di Schrodinger che rende conto deidotata di massa: è piuttosto qualcosa di simile a un punto matematico al centro dati sperimentali e fa sparire qualche ipotesi ad hoc: ne segue infatti che l'elet­di un campo elettrico di un'intensità incredibile. È questa la ben nota singolarità. trone deve possedere uno spin o momento angolare intrinseco (uguale a h/4rc)Born dimostra che è possibile soltanto un tipo di singolarità (almeno nella sua e un momento dipolare magnetico, ecc. Ma, soprattutto, dall'equazione di Diracteoria ) ; perciò tutti i punti singolari che ci si presentano devono essere comple­ scaturisce una nuova direzione di ricerca.tamente uguali. Una qualche cosa che non potesse essere descritta da qualcosa Dirac stesso notò infatti che la sua equazione dell'elettrone era dotata di duedi simile alle equazioni non lineari di Born semplicemente non sarebbe un elet­ tipi possibili di soluzione, il che sembrava rappresentare per l'elettrone un'ener­trone ; ma ogni particella che sia descrivibile in questo modo dev' essere identica gia rispettivamente positiva o negativa. Ora, sembrava impossibile interpretarecon ogni altra particella che possa essere descritta in questo modo. L'osservazio­ le soluzioni indicanti una energia cinetica negativa se non in termini di una par­ne di elettroni è chiaramente un'attività sofisticata, sostenuta dalla teoria. È l'os­ ticella identica all'elettrone nella massa, ma dotata di carica elettrica opposta eservazione di enti che, in linea di principio, sono particelle-onde non visualizza­ di proprietà diverse. Dirac suppose, piu precisamente, che nell'universo osser­bili e assolutamente identiche» (trad. it. p. i6o ). vato ordinariamente gli stati a energia negativa degli elettroni fossero occupati

con un elettrone in ciascuno di essi. Per il principio di esclusione (Pauli, 1925:in breve, data una configurazione di $ soluzione dell'equazione di Schrodinger,

z. Le b asi. in essa non possono trovarsi piu di due elettroni ), nessun salto quantico è am­messo tra questi stati, Esiste quindi un mare di elettroni con E(o , ma di essi

Si assumerà che il lettore sia familiare con i primi sviluppi della teoria quan­ normalmente non ci si accorge, in quanto l'unico modo di rivelarne la presenzatistica, dai quanti planckiani e dai fotoni di Einstein fino alla meccanica delle ma­ sarebbe un salto quantico. Dirac osservò allora che, se anche è elevatissima l'e­trici di Heisenberg, Born, Jordan e alla meccanica ondulatoria, e con la modelli­ nergia da comunicare a un elettrone per farlo «saltare» da uno stato di energiastica atomica (modelli classici, atomo di Bohr, ecc.) : egli troverà comunque una negativa a uno di energia positiva, non si potevano escludere esperienze ad hoctrattazione di questi argomenti in altri articoli di questa stessa Enciclopedia (cfr. in cui si fornisce a un elettrone con E<o l 'energia sufficiente per passare a unoin particolare l'articolo «Materia», voi. VII I ). In questo paragrafo si delinee­ stato con E)o . In casi del genere rimaneva un «buco» nel mare di elettroni aranno quelle scoperte che hanno permesso il costituirsi di una vera e propria fi­ energia negativa, una mancanza interpretabile come una presenza di un «elet­sica delle particelle come disciplina dotata di una sua consistenza e autonomia. trone di carica positiva».Questo consolidarsi dello studio delle particelle «elementari» è avvenuto, si badi, Si trattava, almeno fino a questo punto, di una previsione teorica, cioè diquando «l'età eroica» della fisica atomica si era ormai conclusa con le grandi «poco piu che una speculazione» come lo stesso Dirac ha osservato retrospetti­acquisizioni del r9z4-zy, quel «periodo creativo» la cui «ricostruzione storica» vamente [r974, p. 3xz]. Ma è fin troppo noto (cfr. del resto il citato articolorichiederebbe, forse, «la stessa altissima perizia della storia di Edipo o di Crom­ «Materia», alle pp. 9r r sgg.) che l'elettrone positivo o positrone è stato individua­well», come dice Oppenheimer [x954, trad. it. p. r4z]. to per la prima volta (r95z) da Cari D. Anderson (con la camera di Wilson ) nella

Particella Particella

radiazione cosmica. È forse meno noto che Anderson era completamente all'o­scuro della predizione tratta dalla teoria di Dirac: la storia di come una anticipa­ Dirac tutto appare differente, in quanto ci si puo chiedere perché un protone

zione teorica e una «osservazione» sperimentale vengono a convergere determi­non potrebbe essere talvolta un protone piu una coppia comprendente un elet­

nando una nuova «entità» è stata mirabilmente ricostruita da Hanson [r963]. trone e un positrone, e cosi via... È per questo che il problema della divisibilità

Qui due aspetti preme rilevare. Il primo concerne la questione dell'«antima­ della materia ci appare sotto luce nuova. Finora si pensava che non ci fossero chedue alternative : o dividere la materia illimitatamente ottenendone delle porzioni

teria». Quando un elettrone e un positrone s'incontrano, si annichilano. L'elet­trone cade nel buco di energia negativa e scompare, L'energia corrispondente sempre piu piccole oppure non ammettere tale suddivisione all'infinito, otte­

che, come già si è detto, vale almeno zmc~ viene emessa sotto forma di fotoni nendo invece le particelle ultime. Adesso scorgiamo una terza possibilità: pos­

(raggi y). Inversamente, un fotone sufficientemente energetico può in opportu­siamo dividere la materia mediante un procedimento ripetitivo ma non perve­

ne condizioni sparire dando luogo a una coppia elettrone piu positrone. Senzanire lo stesso alle particelle minime, in quanto creiamo delle particelle trasfor­

seguire una stretta esposizione cronologica, ma anticipando, va detto che quel­mando dell'energia» [citato e discusso in Amaldi I979, pp. 54-gg].

lo dell'elettrone non è un caso eccezionale : ogni particella ha la sua antiparticel­la, che sta ad essa come il positrone sta all'elettrone. L'equazione di Dirac regola 2.2. Particelle reali e virtuali.

soltanto il comportamento delle particelle con spin r (z. Ma analoghe equazionirelativistiche sono state scritte per particelle di spin diverso. Cosi, per esempio,

L'assoggettamento dello stesso campo elettromagnetico alle regole della mec­

esiste l'equazione di Klein-Gordon per le particelle di spin zero e l'equazione di canica quantistica (inizialmente Born, Heisenberg, Jordan, Dirac, r927; quindiBohr, Rosenfeld, 1933) ha condotto, sul finire degli anni 'zo e nei primi anni 30,Proca-Yukawa per quelle di spin r. Tutte queste equazioni, per il caso non re­

lativistico di bassa velocità, equivalgono sostanzialmente all'equazione di Schro­ a una quantizzazione del campo elettromagnetico in cui sono emerse limitazio­

dinger, con l'aggiunta delle ipotesi ad hoc dello spin. Ma non ci si addentrerà qui ni analoghe a quelle del principio di Heisenberg.

in questi aspetti della teoria. Si concluderanno questi brevi cenni circa l'antima­ In breve, la teoria quantistica della radiazione elettromagnetica può venir

teria riprendendo un'osservazione di Emilio Segrè, lo scopritore dell'antipro­ cosi delineata. Si considerino, dapprima, un sistema di atomi e un campo elet­

tone (r 955) : «La simmetria tra particelle e antiparticelle è una delle nuove veritàtromagnetico, astraendo dalla loro interazione. Ciascun atomo sarà in un deter­

della fisica. La relazione tra particelle e antiparticelle richiede che esse abbiano minato livello energetico e altrettanto avverrà per ciascun grado di l ibertà del

esattamente la stessa massa, la stessa vita media quando decadono liberamente,campo. Questa situazione può prolungarsi indefinitamente e costituisce uno sta­to stazionario del sistema. Ma il campo elettromagnetico e gli elettroni intera­

lo stesso momento angolare, carica elettrica eguale e opposta e momento magne­tico eguale e orientato oppositamente rispetto al momento angolare, stranezza giscono e questa interazione può essere trattata come una perturbazione dello

eguale e opposta. Anche altre proprietà su cui non indugiamo sono o eguali o stato stazionario. Essa ha per effetto di far passare ogni tanto un atomo da un li­

opposte. Se sostituiamo in un nucleo ogni protone con un antiprotone e ogni vello energetico E a un altro E„, facendo contemporaneamente passare un gra­

neutrone con un antineutrone e poi gli mettiamo attorno positroni, abbiamo for­do di libertà del campo da un livello energetico a uno contiguo, con conservazione

mato un atomo di antimateria. Con gli antiatomi si possono poi formare addirit­ dell'energia totale. Si avrà dunque E — E„ = hv, il fotone venendo emesso se

tura antimondi. Per 'un abitante di un antimondo tutto sarebbe eguale all'osser­ E~) E„e assorbito se E ~(E „ .

vato di un abitante di un mondo. Non vi sono differenze intrinseche e l'osserva­ Ora: la meccanica ondulatoria era nata per una esigenza di simmetria fra il

zione astronomica è incapace di distinguere un mondo da un antimondo. Se pe­ campo elettromagnetico, del quale si era scoperto un aspetto corpuscolare, e le

rò materia e antimateria si incontrano, si annichilano ed entro un brevissimoordinarie particelle, delle quali, per converso, veniva fatto di sospettare un aspet­

tempo tutta la loro energia è trasformata in neutrini, antineutrini e raggi gammato ondulatorio. La quantizzazione del campo elettromagnetico sembra rompere

che si allontanano dal luogo del disastro con la velocità della luce» [r976, pp. questa simmetria. Se i fotoni sono i quanti del campo elettromagnetico, non do­vrebbero gli elettroni a loro volta essere i quanti del loro campo ondulatorio $?

z47-48].Il secondo riguarda lo stesso attributo «elementare». Heisenberg ha osser­

Ebbene, Jordan e Wigner riuscirono a dimostrare che la g che entra nelle equa­

vato che, con Dirac, «è la nostra concezione globale delle particelle che si trova zioni di Dirac può essere quantizzata in modo analogo al campo elettromagneti­

modificata». Tale scoperta va dunque nella direzione di un'ulteriore varianza co. È la cosiddetta seconda quantizzazione, In questo modo gli elettroni e i po­

del significato di particella. Aggiunge Heisenberg: «Fino a quel momento ogni sitroni divengono in un certo senso i quanti del campo $ e, come succede per i

fisico ha immaginato le particelle elementari in accordo con la filosofia di De­ fotoni, possono essere emessi o assorbiti (ma soltanto a coppie) nei processi d'in­terazione.mocrito, considerandole cioè come entità non modificabili, che esistono real­

mente in natura e che restano sempre identiche, senza possibilità di cambia­ Il corpo di dottrina che ha per oggetto la teoria del campo elettromagnetico e

mento e di trasformazione in qualcosa d'altro... Ma in seguito alla scoperta didel campo elettronico quantizzati e interagenti, ha ricevuto il nome di elettrodi­namica quantistica. Fssa, attraverso i perfezionamenti apportati da Fermi, Pauli,

ParticellaParticella 448 449

Tomonaga, Schwinger, Feynman, Dyson e molti altri è diventata uno strumento si considera. Dunque in un sistema possono venire emesse o generate particelle

fra i piu precisi della fisica moderna. Il suo successo ha comportato, com'è noto, anche quando il sistema non possiede l'energia necessaria, purché tali particel­

il riorientamento finale circa la dicotomia di «particella» e «campo». Intesi non le sussistano per intervalli molto brevi e vengano subito riassorbite dal sistema.

piu come entità distinte, particella e campo diventano ora le facce di una stessa Si parla allora di particelle virtuali : se ne darà un cospicuo esempio nel ( 3. I

medaglia, di una sorta di «sostanza» fisica che può propagarsi sotto forma di on­ (mesone di Yukawa).da attraverso lo spazio portando energia, quantità di moto, massa, carica, ecc. Si accennerà infine, brevemente, alla rappresentazione grafica, suggerita da

Una particolarità di ogni campo è il fatto che a esso è associata una massa ben pre­ Feynman nel z949 per i calcoli perturbativi e oggi universalmente accettata. Un

cisa. Cosi un grumo del campo elettronico può venir creato con una energia e diagramma o grafico di Feynman consiste di linee esterne, di linee interne e di

una quantità di moto qualsiasi, ma possiede sempre la stessa massa invariabile, vertici. I vertici sono i punti in cui le linee si incontrano ; le linee esterne, ciascu­

che è proprio la massa della particella che si suole chiamare elettrone! L'intera­ na delle quali ha un solo vertice in comune con il resto del diagramma, rappre­

zione di un campo con un altro accentua le proprietà corpuscolari dei campi: è sentano le particelle iniziali (o incidenti ) e le particelle finali (o generate, o dif­

dunque possibile parlare di una particella come «creata» in un dato punto, «in fuse) ; le linee interne congiungono ognuna due vertici e rappresentano le parti­

moto» verso qualche altro punto e quindi annichilata. Contemporaneamente è celle virtuali ; i vertici, infine, rappresentano i processi elementari di interazione.

possibile anche una rappresentazione piu complessa: un grumo di energia viene Un esempio è dato dai diagrammi riportati nella figura 4. Ma va osservato

creato, si propaga come un'onda verso un punto e quindi viene di nuovo com­ che a uno stesso fenomeno fisico possono corrispondere infiniti diagrammi di

pletamente assorbito. Feynman, sempre piu complicati. Come questo sia possibile può essere chiarito

Si consideri ora un aspetto piu specifico : dalla relazione di Heisenberg, scrit­ dalla figura g e dal confronto con la figura 4.

ta nella forma AEit.t) h deriva che per controllare con precisione la conserva­ «Non possiamo abbandonare l'argomento senza fare qualche considerazione

zione dell'energia, rispettata nella meccanica quantistica, occorre disporre di di carattere generale. Lo sbalorditivo successo dell'elettrodinamica quantistica è

tempi lunghi. L'energia di una particella è dunque indeterminata e la conserva­ noto da molto tempo. Fppure coloro che commentano o criticano i principi della

zione dell'energia vale solo su tempi lunghi. Ma energia ormai significa massa meccanica quantistica raramente si riferiscono ad essa, rimanendo piuttosto an­

(per l'equivalenza relativista E =mcs ) : la massa di una particella può dunque corati alle perplessità e alle battaglie degli anni venti o trenta. È mai possibile

«fluttuare» in modo tanto piu cospicuo quanto piu piccolo è l'intervallo At che continuare ad additare come non digeribile il fatto che una particella non abbiacontemporaneamente posizione e quantità di moto ben definite, quando dob­biamo accettare fatti tanto piu lontani dal pensiero ingenuo, come quello cheogni regione dello spazio pullula di (infinite!) particelle fantasma, che appaionoe scompaiono senza essere in alcun modo localizzabili>» [Toraldo di Franciat976, P 439]

a) b)Figura 4.

Diagrammi di Feynman. Le linee piu spesse corrispondono agli elettroni, quelle ondu­late ai fotoni. Le linee elettroniche sono provviste di una freccia; le linee ondulate, inve­ce, non hanno freccia in quanto i fotoni sono le antiparticelle di se stessi. Il diagramma a)rappresenta l'urto di un elettrone con un fotone e la conseguente diffusione di ambedue(effetto Compton). «Come si vede il processo s'interpreta cosi: l 'elettrone incidente as­sorbe il fotone incidente (vertice sinistro) e si converte in un elettrone vir tuale (l inea in­ a) b)terna), questo emette un altro fotone (vertice destro), ri torna un elettrone reale e si al­ Figura 5.lontana. Lo sperimentatore non si accorge che i prodotti finali sono un altro elettrone eun altro fotone rispetto a quelli incidenti... È ovvio poi che lo stesso diagramma (letto da Diagrammi di Feynman. In a) (rispettivamente in b) un diagramma piu complicato

destra a sinistra) può rappresentare l'urto di un positrone e di un fotone. Ma può anche che in a) (rispettivamente in b) nella figura 4 per l'urto di un elettrone con un fotone (ri­

rappresentare l'annichilazione di una coppia, con la creazione di due fotoni. Un elettrone spettivamente l'urto di due elettroni o di due positroni). In a) l 'elettrone incidente, prima

viene da sinistra e un positrone da destra; l'elettrone nel vertice di sinistra emette un fo­ di emettere il fotone reale, emette un fotone virtuale, che poi viene assorbito dall'elettro­

tone e si muta in un elettrone virtuale, il quale a sua volta si annichila nel vertice di destra ne diffuso. In b) uno degli elettroni incidenti emette preliminarmente un fotone virtua­

col positrone, emettendo un secondo fotone» [Toraldo di Francia >g76, p. 436]. Il d ia­ le, il quale dà luogo a una coppia virtuale che si annichila creando di nuovo un f o tone

gramma b) può rappresentare l'urto di due elettroni (o di due positroni). Il pr imo elet­virtuale. Quest'ultimo viene infine assorbito da uno degli elettroni finali. (Da Toraldo di

trone emette un fo tone vir tuale che viene assorbito dal secondo elettrone Francia r qy6).

45x ParticellaParticella 45o

cerca che ne è derivata. Varrà invece la pena di anticipare un punto che verrà ul­teriormente ripreso.

2.3. Il nucleo atomico. « Il modello nucleare a neutroni e protoni sembra definitivo. Ne nasce l'im­portanza dello studio della interazione protone-protone, neutrone-protone e

È noto che il nucleo di alcuni elementi può emettere particelle iz (nuclei di neutrone-neutrone, con la speranza ultima di poter spiegare le proprietà dei nu­elio), particelle [l (elettroni) e fotoni y. Una volta chiarita la struttura dell'atomo clei in base a queste interazioni » [Segrè x976, p. x8z]. Tra i successi parziali di(cfr. l'articolo «Atomo e molecola» in questa stessa Enciclopedia) in termini di questo programma va segnalato il fatto che esperienze sempre piu estese sull'ur­nucleo ed elettroni, era difficilmente concepibile una particella «elementare» che to nucleone-nucleone hanno messo in luce l'uguaglianza dell'interazione specifi­potesse avere queste proprietà. Il nucleo è dunque una struttura composta. Ma catamente nucleare tra protone e protone, neutrone e protone, e neutrone e neu­come> L'idea piu semplice è la seguente: un nucleo di dato numero atomico Z trone. Heisenberg, Condon e Wigner, dagli anni '3o in poi, hanno formulatoha carica positiva uguale in valore assoluto a Z volte quello dell'elettrone (cfr. il questo fatto teoricamente considerando neutrone e protone come la stessa par­) 6 dell'articolo «Materia» in questa stessa Enciclopedia ) ; il nucleo dell'idrogeno, ticella, ma con valori diversi di una coordinata interna, proprio come un elettro­cioè il protone, ha una carica positiva uguale (in valore assoluto) a quella del­ ne con lo spin parallelo o antiparallelo a un campo magnetico. Questa coordinatal'elettrone; i nuclei degli elementi successivi sono formati da un numero A di interna, detta spin isotopico, consente un'interessante rappresentazione astratta;protoni, piu A — Z elettroni. Si ottiene cosi una carica complessiva di Ae — (A­ matematicamente è assai simile al momento angolare come trattato nella mecca­— Z) e = Ze e un peso approssimativo uguale ad A volte quello di un protone nica quantistica. Ha tre componenti e la terza componente Ts è connessa con la(data la piccolezza della massa dell'elettrone). carica elettrica della particella dalla relazione Q = Ts+B/z+ S/z ove Q è la ca­

Si consideri ora il principio di indeterminazione, questa volta nella formula­ rica della particella, B il cosiddetto numero barionico e S la stranezza (cfr. ancorazione Ax Ap ) h. Se un elettrone è confinato nel nucleo che risulta avere dimen­ l'articolo «Materia», alle pp, 9x8-zo ). Ma su questo si tornerà nei g 3.5 e 3.6,sioni dell'ordine di xo-x» cm, l'indeterminazione della sua posizione non superaquesto valore; dunque Ap~ non può essere inferiore a A/xo — ', deve dunque averealmeno l'ordine di grandezza xo ' nel sistema cGs. La quantità di moto p del­ 3. L'epoca della crescita.l'elettrone non sarà dunque inferiore a xo , in quanto una grandezza non puòessere minore della sua indeterminazione. L'energia dell'elettrone è del resto 3.x. Nuove particelle.data dag=c~p+m'c' e poiché ia massa m deii'eiettrooe è circa to ' g, si ot­tiene per l'energia un valore non inferiore a circa xo 4 erg o a xoo MeV (x MeV Il neutrino. Ne l l '«anno mirabile», x93z, non pochi pensavano che la listaè xo eV, e x elettronvolt, eV, è l'energia che acquista un elettrone passando at­ delle «particelle elementari» fosse ormai chiusa : protoni e neutroni formavano itraverso la differenza di potenziale di x volt ; essa vale x,6 x xo 's erg). Una sti­ nuclei ; aggiungendo gli elettroni si costituivano gli atomi e il quadro si comple­ma del genere non permette di comprendere perché l'elettrone debba restare nel tava aggiungendo i fotoni e gli eventuali gravitoni (ovvero gli ancor oggi ipoteti­nucleo ; del resto gli elettroni nell'emissione P escono con energie molto minori, ci e misteriosi quanti del campo gravitazionale).dell'ordine del MeV. La storia della radioattività P, come fenomeno imbarazzante e autentica sfida

Questa e altre difficoltà furono rimosse dalla scoperta del neutrone, scoperta per i ricercatori, è un tipico caso esemplare su cui i filosofi e storici della scienzache «ha una storia complicata, drammatica e interessante» [Segrè x976, p. x75]. possono utilmente riflettere [si veda, per esempio, la ricostruzione razionale dataBasterà qui dire che il successo di Chadwick nel x932 doveva ben presto richia­ in Lakatos x970, trad. it. pp. z45-5o]. Il percorso della «scoperta scientifica» è,mare l'interesse su questa sorta di «protone neutro», o neutrone come venne in anche qui, affascinante. Nella radioattività [i, com'è noto, un neutrone (protone)seguito abitualmente chiamato, dotato della stessa massa dell'abituale protone e del nucleo emette un elettrone (positrone) e si trasforma in un protone (neutro­di spin x /z. In altri articoli della presente Enciclopedia (cfr. per esempio «Atomo ne). Ma un esame dei risultati sperimentali rivelava che nella reazione di deca­e molecola», «Materia», ecc.) si è insistito sull'importanza degli isotopi, cioè de­ dimento del nucleo era apparentemente violato il principio di conservazione del­gli atomi della stessa specie chimica di peso diverso, la cui esistenza viene appie­ l'energia (oltre a quelli della quantità di moto e dello spin ).no spiegata dalla scoperta di Chadwick. La specie chimica è data dal numero Z È per questo che tali esperienze «per poco non divennero il maggior esperi­dei protoni (uguale al numero degli elettroni periferici ) : ma il nucleo è compo­ mento negativo della storia della scienza» [ibid,, p. z45]. Se questo non avvennesto da Z protoni e N neutroni (cioè, come si dirà, da A = Z+ N nucleoni ), per­ e tali esperienze ricaddero al rango di semplici rompicapo di routine, fu grazie atanto ha una carica (positiva) Ze e un numero di massa A, cioè un peso pari ad una sorta di «particella ladra», come si disse allora [cfr. ibid., p. z47]. Fu PauliA volte circa il peso dell'atomo di idrogeno. a formulare l'ipotesi che nel decadimento P venisse emessa tale nuova particella,

Qui non s'insisterà, per ovvie ragioni, sulla rilevanza degli isotopi (il deute­ ma fu Fermi, che la battezzò «neutrino», a costruire (x934) una teoria capacerio o idrogeno pesante è individuato, nello stesso anno, da Urey ) e sull'ampia ri­

Particella 45z 453 Particella

d'inserirsi con un certo successo nella «competizione teorica» [ibid., p. z5o] circa to inerte, egli lo prospettò, per cosi dire, come un centro di attività continua.l'emissione P Il neutrino ha massa e carica nulle (come il fotone) e spin r/z. Esso «si spezza» in un neutrone e in uno di questi «quanti nucleari» carico, op­

Il neutrino ha un'interazione estremamente debole con le altre particelle ; di pure in un protone e in uno di questi «quanti nucleari» elettricamente neu­conseguenza le relative reazioni, quando possono avvenire, sono estremamente tro. Per la legge di conservazione dell'energia, la particella ipotizzata da Yuka­rare. Cosi un neutrone libero impiega circa un quarto d'ora (vita media) a de­ wa appare una particella virtuale (cfr. ) z.z). Dal principio d'indeterminazionecadere in un protone e un elettrone emettendo un neutrino. Per le ragioni esposte At AE = A = 7 x ro — ~~ MeV x s e dall'ipotesi che tale particella viaggi alla veloci­al ( 3.z, oggi il processo si simbolizza n~p+e +v, chiamando la particella tà della luce restando confinata in un raggio di r,5 x ro ~s cm (tale è appunto ilemessa v, antineutrino. raggio d'azione del campo nucleare ) si ottiene per At un valore molto basso,

Per il bilancio energetico, il neutrone ha una massa pari a 939,54 MeV, men­ 5 x ro ~4, e di conseguenza un'energia AE di circa r4o MeV. Ciò fornisce unatre il protone ha una massa pari a 938,25 MeV, che sommata a quella di o,5r. stima della massa della particella: se si assume come unità la massa dell'elettro­MeV dell'elettrone dà 938,76 MeV; r imangono dunque a disposizione o,78 ne, si ottiene che i quanti nucleari di Yukawa si collocano tra gli elettroni (m, =

MeV, che si trasformano nell'energia cinetica dell'elettrone e del protone, e nel­ = r) e i nucleoni (m, = r8oo) avendo una massa circa duecento volte quellal'energia dell'antineutrino. Ma queste relazioni valgono per il neutrone libero, dell'elettrone. È per questa ragione che Yukawa li battezzò mesoni, congetturan­che si trasforma in un protone libero (piu elettrone e antineutrino ). Quando i do che essi avrebbero avuto vita media di circa to s secondi e sarebbero deca­nucleoni fanno parte di un nucleo, bisogna tener conto dell'energia di legame duti spontaneamente in elettroni (o positroni ) e neutrini.nucleare e della repulsione elettrostatica fra protoni. Questo fa si che nella mag­ Come i fotoni, nemmeno i mesoni di Yukawa devono essere sempre virtuali.gior parte dei casi l'energia necessaria per far avvenire la reazione non è dispo­ Nel I947 Lattes, Occhialini e Powell scoprirono nei raggi cosmici delle particel­nibile ; allora il nucleo è stabile. Dove invece si ha ancora energia sufficiente, si le, battezzate pioni, di massa pari a z7o m„ interagenti fortemente con i nucleoniha radioattività P, ed elettricamente cariche. Nel r949 esperienze attuate mediante acceleratori di

L'esistenza di neutrini è stata per molto tempo accettata solo perché richiesta particelle indicarono l'esistenza del pione neutro (massa quasi uguale a quelladai principi di conservazione. Ma la rivelazione diretta della particella si presen­ del pione carico, vita media inferiore a xo — ' secondi ). A quindici anni circa dal­ta estremamente difficile, a causa della esiguità dell'interazione debole. Solo nel l'ipotesi iniziale, si erano dunque individuati i quanti nucleari di Yukawa.r956 Cowan e Reines sono riusciti, usando un potente fascio di antineutrini pro­dotto da un reattore, a rivelare la reazione inversa del decadimento P, v,+p~ I muoni. Le v ie della scoperta sono tortuose. Un anno dopo la proposta di~n+e+, in cui un antineutrino urta un protone e ne nascono un neutrone e un Yukawa, Anderson e altri avevano individuato particelle «di massa intermedia»

positrone. (cioè mesoni, nel senso in cui il termine era stato impiegato originariamente daYukawa: circa duecento volte la massa dell'elettrone ) nei raggi cosmici. Inol­

I mesoni di Yukama e i pioni. Ne i primi anni '3o si era dunque a conoscenza tre questi «mesoni» presentavano il decadimento previsto dalla teoria: essi de­di tre tipi fondamentali di « forze» agenti nell'atomo. La forza elettromagnetica cadevano spontaneamente in elettroni (o positroni) e neutrini. Ma risultò cheinteressava le interazioni tra particelle cariche ; l'« interazione debole», secondo essi interagivano con i nucleoni solo debolmente (e per di piu avevano una vitaFermi, sembrava rendere conto dell'anomalia rappresentata dal decadimento P ; media di ro ~). Sakata e Tanikawa ipotizzarono allora che esistessero due tipi di­l'ultima, l'« interazione forte», era ritenuta la forza di legame che tiene unito il versi di mesoni : a) quelli del tipo individuato da Anderson, non interagenti for­nucleo. La natura di tale forza restava sconosciuta, ma si sapeva che essa era temente con i nucleoni, e b) quelli di un secondo tipo, interagenti fortementemolto piu intensa della forza elettromagnetica o delle interazioni deboli e aveva con i nucleoni e con vita media in accordo alle previsioni della teoria di Yukawa,un raggio d'azione bre~issimo, pari a quello del nucleo atomico. che decadevano infine nei mesoni del primo tipo. Già si è visto come questi ulti­

Nel r935 Yukawa, «allo scopo di elaborare una teoria che rendesse conto del­ mi siano oggi noti come mesoni < o pioni ; i primi, invece, sono oggi conosciutila natura dei legami nucleari, parti da una analogia. Egli parti dall'osservazione come muoni p.+ e p,—. Essi decadono secondo lo schema

che il campo elettromagnetico, in accordo con la meccanica quantistica, potevavenire interpretato come composto di quanti che agiscono tra le particelle quali

p. ~8 + ve+vg

portatori di energia e di quantità di moto aventi valori ben determinati» [Yuka­p.+~e++v,+ v

wa r974, p. x98]. Questi quanti, cioè i fotoni, interagiscono con le particelle e Per ragioni di natura sperimentale si arrivò a concludere che l'elettrone e il muo­possono da queste venir emessi o assorbiti : allo stesso modo, i quanti nucleari di ne hanno ciascuno un suo neutrino. Si tratta di particelle differenti, indicateYukawa sono responsabili mediante scambi virtuali dell'interazione nucleonica. usualmente con v, e v„rispettivamente. Anche in questo caso, un'anticipazione :

Per compiere questo passo Yukawa modificò radicalmente la comune conce­ il neutrino del muone è stato osservato come diAerente dal neutrino dell'elettro­zione del protone. invece di considerarlo, come d'abitudine, una sorta di ogget­ ne nel t96z.

Particella 454455 Particella

Complessivamente e, p., ve e v costituiscono la famiglia delle particelle leg­gere o leptoni. L'elettrone e il muone sono uguali in tutto e per tutto, salvo cheper la massa e la vita media. La differenza di vita media non costituisce un gros­ Il bosone intermedio. Per analogia con le interazioni elettromagnetiche cheso rompicapo: di essa si può fornire una ragione abbastanza plausibile. Un enig­ avvengono per scambio di fotoni e con le interazioni forti che avvengono perma rappresenta invece la differenza delle masse rispettive: contro la massa di scambio di «mesoni» di Yukawa, si è infine supposto che anche le interazioni

o,5 MeV dell'elettrone, il muone ha una massa di Io6 MeV. Non si perviene deboli avvengano mediante lo scambio di una particella carica W, detta bosonecerto a uno scioglimento della questione movendo dal principio che le differenze intermedio. Ma il bosone intermedio (o toeakon, come spesso si dice) non è maidi massa nascano dalle differenze delle interazioni delle particelle considerate, stato isolato; ciò, presumibilmente, dipende dal fatto che la massa del bosone

per cui se le interazioni forti differiscono, le particelle differiscono notevolmen­ dovrebbe essere notevole (qualche decina di GeV: i GeV è uguale a Io» eV ).te per quanto riguarda la massa; se le interazioni forti sono le stesse, ma sono dif­ Si riaccennerà all'argomento nel ) 4.3.ferenti quelle elettromagnetiche, la differenza nella massa è molto piu piccola ; sele particelle sono indistinguibili rispetto alle interazioni forti e a quelle elettro­ Gli iperoni. Si t ratta di altre particelle individuate dopo i pioni. Se ne par­magnetiche, non hanno alcuna differenza di massa. Infatti muone ed elettrone lerà nel successivo ) 3.2 come di «particelle strane». I nucleoni e gli iperoni ven­non posseggono alcuna interazione forte! gono comunemente detti barioni (o particelle pesanti ). Mesoni e barioni rientra­

no nella famiglia degli adroni, o particelle sottomesse all'interazione forte. Latabella 1 fornisce un quadro delle particelle «relativamente stabili». Il senso di

Tabella r.questo termine verrà chiarito nel paragrafo successivo, ove il lettore troverà an­

Lo «zoo delle particelle» relativamente stabili. (Da Toraldo di Francia x976). che la spiegazione dei numeri quantici come stranezza, isospin, ecc.

Parti­ Anti­ Massa Num e ro Isospin Vita mediacella particella Carica (Me V) barionico Spin T« S t ra n ezza (sj Le risonanze, Se gli anni '5o sono stati il periodo delle «particelle strane»

(cfr. quanto detto sopra e, piu oltre, il ) 3.2), gli anni '6o hanno aperto la porta aFotone una nuova ondata di particelle di vita ultracorta dette comunemente risonanze.

Si tratta di particelle (se è ancora lecito usare il termine data la loro brevissima

Leptoni vita! ) che interagiscono fortemente e alle quali non sembra vietato da alcuna leg­

VÙ VÙ x/z ge di conservazione (cfr. quanto si dirà nel paragrafo successivo) di seguire una

vr« x/z naturale inclinazione a decadere molto rapidamente.e+ 0>511 x/z Per fissare le idee, si consideri il seguente esempio. Un protone e un anti­

ro6 x/z 2 )21 X I o protone si annichilano creando cinque pioni, secondo lo schema p+p~ tr+++Ir++Ir + I r + x ro. L' interpretazione piu soddisfacente delle tracce sulla ca­

Mesoni mera a bolle sembra essere quella di un processo a due stadi. Al primo stadio140 2) 6 x Io

Io 1«viene creata una particella detta xl, (p+p~x!,+Ir++ Ir ) e quindi x!I decade:

135 n++ xr-+ reo.+e 140 I 2 ,6x 1 0 Come si vede, l'esistenza di una risonanza viene quindi inferita dallo studio

494 r/z +r I >2 X I o dei prodotti piu duraturi del suo decadimento.— x/z +r r o-"" 6 x ro - «

Barioni3.2. Sistematica e classificazione.

938 1/2 1/2

n A«940 I /2 — I /2 ro

0 — 1 tl Il problema. Già quanto si è detto nel) 3.i basta a mostrare che non si è1115 X/2 0 2) 5 x

Z­ ro-'" realizzata quella particolare versione del programma «democriteo» imperniata1190 1/2 I 8,1 x

Qrr 10 2Ù su poche particelle da cui far dipendere la costituzione di tutta la materia. Se esse1192 x/z o

sono «elementari», ci sono allora troppi elementi del mondo perché l'aggettivog+ 1196 I/2 — i 1,6 x xo-"

0 1311 1/2 1/2 3 x Io non perda tutta la sua pregnanza! Ma è possibile, tuttavia, una sorta di sistema­

1319 1/2 I/2 I ) 7 X Iotica e classificazione delle particelle.

r68o o I ) 3 x Io Una prima suddivisione è quella in base al tipo di interazione che una parti­cella esibisce in vicinanza di un'altra particella. Com'è noto (cfr. del resto l'ar­

Particella y56 457 Particella

ticolo « Interazione» in questa stessa Enciclopedia, voi. VII, p. 886) i tipi consta­ «famiglia del muone» solo il muone e il suo neutrino. Il numero elettronico ditati sembrano ridursi a quattro : gravitazionale, elettromagnetica, forte e debole. e e di v, è + r, quello di e~ e v, è — r. Per esempio : il decadimento [! (cfr. ) g. x)Ma vi è disparità fra le intensità di tali interazioni. Quelle forti superano in in­ va scritto nella forma n~p+ e + v, in quanto a sinistra il numero elettronico ètensità le interazioni gravitazionali di ro ; quelle elettromagnetiche sono invece o e tale deve essere a destra (il numero barionico, invece, è +r a sinistra e +tmeno intense delle interazioni forti solo per un fattore prossimo a too; esse su­ anche a destra in quanto e e v, non sono barioni!) Analoga convenzione per ilperano però le interazioni deboli di un fattore ro'» e queste ultime sono circa numero muonico: +x per p. e v e — r per p.+ e v ).ro~» volte piu intense delle interazioni gravitazionali che, a buon diritto, andreb­ È stato detto, proprio a proposito di queste e altre leggi di conservazione ti­bero chiamate «debolissime». picamente microfisiche che « il quadro risultante del mondo è un caos quasi senza

Si riconsideri la tabella r. Mesoni e barioni, cioè gli adroni, subiscono le in­ limiti governato soltanto da un gruppo di leggi di vincolo» [Ford rq63, trad. it.

terazioni forti, i leptoni subiscono le interazioni deboli, i fotoni e tutte le parti­ p. zzt ]. Ma tali leggi già spiegano aspetti rilevanti: per esempio la stabilità delcelle cariche sono sensibili alle interazioni elettromagnetiche; tutte le particel­ protone, cioè l'impossibilità che esso si trasformi in altre particelle di massa mi­le (a cui andrebbe aggiunto il gravitone) subiscono infine le interazioni gravi­ nore, è immediata conseguenza della conservazione del numero barionico (que­tazionali. Questo vale, si badi, anche per particelle che si suppongono prive di ste particelle avrebbero, inevitabilmente, numero barionico zero ). Un analogomassa: alla gravitazione, infatti, è sensibile qualunque forma di energia, che si ragionamento vale per la stabilità dell'elettrone (cfr. del resto l'articolo «Con­trovi concentrata come massa oppure no (che i fotoni siano influenzati dalla gra­ servazione/invarianza» in questa stessa Enciclopedia).vità è stato per la prima volta mostrato dalle osservazioni della deviazione daparte del Sole dei raggi luminosi provenienti dalle stelle, osservazione notoria­ Particelle strane e «stranezza». Le s ette leggi di conservazione finora con­mente interpretata come conferma della relatività generale, ecc. ). siderate governano però tutte le interazioni fra particelle. Si tratta ora di indivi­

C'è quindi una prima regola di classificazione : quanto piu debole è l'intera­ duare le leggi di conservazione parziali.zione, tanto maggiore è il numero di particelle che essa riguarda. Ma c'è una con­ Nel rqy7 la lista delle particelle conosciute (includendovi uno dei neutrini enessione piu interessante : tra intensità delle interazioni e leggi di conservazione. tralasciando il gravitone) era di quattordici: i raggi cosmici rappresentavano laQuanto piu forte è l'interazione, tanto piu questa è vincolata da leggi di conser­ fonte principale di particelle di alta energia, l'acceleratore piu potente spingevavazione che limitano le possibili trasformazioni fra le particelle (cfr. anche il i protoni fino a circa zoo MeV e il rivelatore tipico era costituito dalla camera di

) 33). Wilson. Appena otto anni dopo la lista delle particelle era giunta a una trentina,erano stati costruiti acceleratori potenti (come il bevatrone di Berkeley che acce­

Numero elettronico, barionico e muonico. Ci s ono, anzitutto, le quattro leg­ lerava i protoni a 6ooo MeV, cioè a 6 GeV ), era stata infine inventata la cameragi classiche di conservazione: energia-massa, momento angolare (compreso lo a bolle, un nuovo strumento di rivelazione...spin), quantità di moto, carica elettrica. Ma queste non sono sufficienti: occor­ Le sedici nuove particelle sono state classificate in quattro famiglie: mesonirono nuovi invarianti proprio per spiegare come processi, possibili come quelli K (detti talora kaoni ), particelle A, particelle Z e Z. Esse vennero riconosciuteusualmente constatati alla luce dei quattro vincoli testé citati, di fatto non hanno per la prima volta attraverso alcune tracce, inspiegate, a forma di V nella cameraluogo. a nebbia di Rochester e Butler (Manchester ) : la traccia di un pione incidente si

A differenza delle quattro leggi citate, già note in contesto macroscopico, al­ arrestava improvvisamente nella camera e, separate da essa di pochi centimetri,

tre leggi sono state dunque scoperte direttamente attraverso lo studio delle tra­ vi erano due V, ciascuna col vertice rivolto verso l'estremità terminale della trac­sformazioni delle particelle. Una trasformazione tipo p~e++y è ammissibile cia del pione entrante. Una misura della quantità di moto delle tracce visibilidal punto di vista della conservazione dell'energia e della carica. Essa non è piu permise di congetturare che due particelle neutre erano state create nel puntoammissibile — come il lettore potrà controllare — introducendo nuovi invarianti, terminale della traccia del pione per decadere quindi in coppie di particelle dii «numeri di famiglia». carica opposta, che fornivano appunto le tracce a V.

Si può attribuire infatti a ciascuno dei barioni (cioè al protone e a tutte le Oggi le prime particelle a V osservate sono state identificate come mesoni Kparticelle piu pesanti ) un numero barionico +r, e alle loro antiparticelle il nu­ neutri o come particelle A che decadevano secondo gli schemimero — r. Questa convenzione non è senza importanza: essa consente tipici pro­ K« ~ tr++ rr­cessi di produzione di antiprotoni, tipo p+p~p + p + p + p che a prima vista sipotrebbe interpretare come la trasformazione di due barioni in quattro barioni;

A'-p+~­

o processi come p+P ~x++rr- +rc ove due barioni sono apparentemente scom­ Pochi anni dopo vennero identificate anche le particelle K e A cariche, cui siparsi. L'invariante è rappresentato dalla somma algebrica dei numeri barionici. aggiunsero quindi le particelle Z e 2 (cfr. tab. r ). Tali particelle hanno una vita

La «famiglia dell'elettrone» contiene solo l'elettrone e il suo neutrino, la media notevolmente lunga.

459 ParticellaParticella 458

protone-neutrone. Cosi i tre pioni vr:+, rr e tr di cui al ( 3. t formano un triplet­La «stranezza» sembra consistere proprio nel fatto che, mentre la lunga vita to; le particelle Z anch' esse untripletto; imesoni K, come i nucleoni, un dop­

di un pione o di un muone appare spiegabile poiché questi decadono in parti­ pietto; la particella A resta da sola e costituisce dunque un singoletto.celle che interagiscono solo debolmente, nei decadimenti di particelle A, K, ecc., Il passo logicamente successivo è quello di quantizzare lo spin isotopico T,come si è visto poco piu sopra, si ottengono particelle che interagiscono forte­ in particolare la sua terza coordinata T,. Cosi i singoletti hanno spin isotopico o,mente. Perché particelle di questo tipo «non approfittano» immediatamente di i doppietti r /z, i tripletti r, ecc. Si tratta allora di enunciare una legge di conser­tali interazioni forti per convertirsi in particelle tipo protoni e pioni? vazione anche per lo spin isotopico, formalmente analoga alla legge della con­

Come si è visto, ciò che rende praticamente «eterno» il protone è la legge di servazione della stranezza e, come questa, formulata per le sole interazioni for­conservazione dei barioni. Negli anni '5o Geli-Mann e Nishujima hanno, in via ti. Intuitivamente questa legge esprime una sorta di indipendenza dalla carica:analogica, ideato un nuovo vincolo, la legge di conservazione, appunto, della stra­ protone e neutrone sono sullo stesso piano, e cosi i pioni negativi, positivi e neu­nezza. A ciascuna delle particelle — come appare nella tabella r — è attribuito un tri interagiscono (fortemente) nella stessa maniera. Oltre che per le interazioninumero intero S che può avere valore o, +x, + z , ecc. Talvolta, invece della deboli, ciò non vale però anche per la stessa interazione elettromagnetica: un fo­stranezza S, si usa l'ipercarica Y, che è la somma della stranezza S e del numero tone interagisce con le particelle cariche, ma non con quelle neutre.barionico B.

Si consideri, come esempio, un processo tipo p+p ~ p+n+t r+ ove si produ­cono dei pioni. La legge di conservazione della stranezza è soddisfatta: si ha per

3.3. Il « fascino discreto» delle simmetrie.

S il valore zero tanto a sinistra che a destra della freccia. Ma nella produzione È noto che «individuando le simmetrie di un problema dinamico si possonodi particelle strane, queste non possono che andare a coppia («produzione asso­ raggiungere importanti risultati. Per esempio la circolarità di un'orbita elettro­ciata» di Pais ). Per esempio, nel processo p+p~p + A ' + K + , la stranezza dei nica in un atomo di idrogeno è una conseguenza e un indice della simmetria delladue protoni incidenti è zero, mentre i numeri di stranezza — x e +x della A e forza coulombiana esercitata dal nucleo sull'elettrone. La simmetria in questodel mesone K si annullano a vicenda. caso significa che la forza ha la stessa intensità in tutte le direzioni, Principi di

Si è detto che si cercano leggi di conservazione che permettano di articolare simmetria simili a questo hanno avuto importanza in fisica classica, ma in mec­meglio la classificazione delle particelle : la legge di conservazione della stranezza canica quantistica il concetto di simmetria ha acquistato un interesse ancorarisponde allo scopo. Per rendersene conto, si consideri ancora il mesone K. Ora, maggiore sia in profondità che in estensione... Per dare due esempi : la strutturase la conservazione della stranezza fosse una legge assoluta, il mesone K non po­ generale della tavola periodica è essenzialmente una diretta e mirabile conse­trebbe affatto decadere e si unirebbe alle particelle stabili. Ma poiché la conserva­ guenza della simmetria dianzi nominata, l'isotropia della forza di Coulomb ; l'e­zione della stranezza è rispettata solo nelle interazioni forti, e non in quelle de­ sistenza delle antiparticelle... fu anticipata nella teoria di Dirac, che è basata sulboli, al mesone K è vietato unicamente quel tipo di decadimento troppo rapido principio di simmetria relativistica. In tutti e due i casi, come in altri esempi, lache caratterizza le interazioni forti. Esso è solo «relativamente» stabile: poiché natura sembra giovarsi della semplice rappresentazione matematica delle leggile interazioni deboli violano la conservazione della stranezza, esse possono infatti di simmetria» [Chen Ning Yang r96x, trad. it. p. 70].provocare il decadimento del mesone K. Uno dei principi di simmetria, la simmetria tra destra e sinistra, è stato di­

scusso fin dai tempi antichi. Naturalmente, nella vita quotidiana destra e sini­Spi~ isotopico. Si r iconsideri la scoperta del neutrone(fl z.3) : nel I932 elet­ stra sono molto differenti l'una dall'altra, ma nella meccanica quantistica la si­

trone, fotone e protone erano considerate particelle diverse tra loro; la nuova tuazione appare diversa: rispetto all'inversione degli assi le funzioni $ risultanoparticella, il neutrone, era in modo evidente simile al protone. Neutrone e pro­ funzioni pari o dispari, hanno cioè una determinata parità intrinseca. Dal mo­tone avevano circa la stessa massa, erano entrambi costituenti dei nuclei e si at­ mento che la grandezza che di solito si misura è ~$j' si è portati a pensare, pertraevano reciprocamente con una nuova forza molto potente. estrapolazione, che in tutti i fenomeni fisici le leggi non cambino quando si in­

Nello stesso anno Heisenberg interpretò teoricamente protone e neutrone verte lo spazio.come due stati di una singola particella, detta, appunto, nucleone, Lo strumento È in questo senso che si dice (Wigner) che i fenomeni fisici conservano la pa­essenziale di questa rappresentazione fu costituito dall'introduzione di uno spa­ rità : di conseguenza se un fenomeno fisico avviene nello spazio reale, il fenome­zio astratto T, in cui il nucleone è inteso come un vettore che può essere orien­ no «visto allo specchio» è un fenomeno perfettamente possibile. E tuttavia : «Ne­tato in un verso o nel verso opposto a seconda che si dia l'interpretazione «pro­ gli anni t954-56 venne fuori un nuovo enigma, chiamato enigma S-v. Attual­tone» o quella «neutrone». In questa rappresentazione il nucleone è un «dop­ mente si sa che i mesoni S e ~ sono la stessa particella, che si chiama comune­pietto», una particella che può esistere solo in due «stati». mente K. In quegli anni tuttavia si sapeva soltanto che c'erano delle particelle

L'idea era destinata a notevoli estensioni : man mano che venivano trovate che si disintegrano in due mesoni ~ e delle particelle che si disintegrano in trenuove particelle, si scopriva che esse si manifestavano in gruppi omogenei, tipo

Particella g6oy6r Particella

mesoni x. Esse venivano chiamate rispettivamente & e z : ~ era il nome dato adessa da Powell nel i iIyi1. Col tempo le misurazioni divennero piu accurate e la raramente l'asimmetria è solo mancanza di simmetria. L'osservazione calza an­

maggiore precisione mise in evidenza sempre piu chiaramente l'esistenza di un che alla fisica.

enigma. Da un lato era chiaro che & e w avevano, con grandissima precisione, la a) Quando l anomalia diventa una regola, la ristrutturazione concettuale cam­

stessa massa, Si trovò che si comportavano in modo identico anche sotto altri bia lo stato di entità relegate ai margini. È il caso del neutrino (cfr. ) 3.i). Se si

aspetti. Sembrava cosi che & e w fossero veramente la stessa particella, che si di­ha una particella dotata di spin, si può considerare uno stato in cui il senso del­

sintegrava in modi differenti. D'altro lato, esperimenti sempre piu accurati di­lo spin è sinistrorso rispetto alla direzione del moto. Per una particella dotata

mostrarono anche che & e r non avevano la stessa parità e che perciò non pote­ di massa questa non è però una situazione ben definita: essa deve viaggiare, in­

vano essere la stessa particella» [ibid., p. 72]. fatti, con una velocità minore di quella della luce e la situazione ora descritta si

La soluzione dell'enigma ha richiesto la revisione di una radicata «classifica­ riferisce a un osservatore particolare. E sempre possibile trovare un altro osser­

zione naturale» [per questa terminologia, cfr. Bloor ri176]. Scrive ancora Chen vatore che supera in velocità la particella, ribaltando in questo modo il verso del

Ning Yang [xq6x] : «Nell'estate del r i156, Tsung Dao Lee e io esaminammo i suo moto relativo. Ambedue gli osservatori, infine, registrano lo stesso verso di

fondamenti sperimentali allora disponibili di questo concetto, e giungemmo alla rotazione per lo spin, per cui il secondo osservatore vede la particella che ruota

conclusione che, contrariamente alla convinzione generale, non esisteva in real­in senso destrorso attorno al verso del moto relativo. Ma per un neutrino, che ha

tà alcuna prova sperimentale della simmetria tra destra e sinistra per le intera­ massa nulla, le cose vanno diversamente. Per avere energia e quantità di moto di­

zioni deboli. Se la simmetria tra destra e sinistra non è valida per le interazioni verse da zero esso deve viaggiare con la velocità della luce (che è l'equivalente

deboli, il concetto di parità non è applicabile al meccanismo di decadimento del­ relativistico di una velocità infinita ). Nessun osservatore può allora superare il

le particelle 8 e r, e perciò esse potevano essere la stessa particella, come ora sap­ neutrino, di modo che un neutrino che ruoti in senso antiorario attorno al verso

piamo che in realtà è» (trad. it. p. 72). del moto apparirà animato da tale moto per tutti gli osservatori. È perciò per­

Si trattava allora di controllare sperimentalmente se la simmetria tra destra fettamente coerente con la relatività supporre che in natura esistano solamente

e sinistra potesse venir violata per le interazioni deboli. Il primo di questi espe­ neutrini sinistrorsi e che le interazioni deboli siano vincolate da questa restrizio­

rimenti (xiI56: Wu, Ambler, Hayward, Hoppes, Hudson) consistette sostan­ne. Evidentemente ciò non è conciliabile con l'invarianza rispetto alle riflessioni

zialmente nell'osservazione della distribuzione angolare degli elettroni nel deca­ poiché nel «mondo riflesso» i neutrini sarebbero solamente destrorsi.

dimento P di un isotopo del cobalto, il ' Co. I nuclei di cobalto hanno degli spin b) « Il punto importante è che, se si cambia la definizione di riflessione spe­

che, per temperature abbastanza basse, è possibile allineare mediante un forte culare, la simmetria per riflessione speculare può essere ristabilita» [Chen Ning

campo magnetico : si constatò allora che gli elettroni vengono emessi di prefe­ Yang rq6r, trad. it. p. 76]. Alla usuale riflessione speculare si affianca il cambia­

renza nella direzione dell'asse dello spin nucleare, in un verso che per conven­ mento delle particelle nelle rispettive antiparticelle (cfr. ( z.i). Per esempio, sezione viene descritto come quello in cui il nucleo ruota in senso sinistrorso (an­tiorario ) attorno alla direzione preferenziale (fig. 6a). Ma secondo la stessa con­ Specchiovenzione un nucleo apparirebbe ruotare in senso destrorso (orario) se visto in I

Spin I

uno specchio (fig. 6b). Ciò può venir interpretato in termini di funzioni d'onda, I

sostenendo appunto che la parità non è conservata. La notizia degli esperimentivenne data in un numero del «New York Times» nel gennaio xq57 e questo fuil commento di Pauli : «Si, è stata un'esperienza drammatica... Ciò che mi colpi­sce non è il fatto che 'Dio sia solamente mancino', ma il fatto che nonostante ciòegli si dimostri simmetrico quando si esprime mediante interazioni forti. In bre­ve, il problema è quello di stabilire perché le interazioni forti abbiano una sim­ a)metria destra-sinistra. Come può la forza di un'interazione produrre, o creare,gruppi di simmetria, leggi di invarianza e di conservazione? Il problema mi ha

Figura 6.

portato a soluzioni premature e sbagliate... Non conosco alcuna buona risposta»Esperienza di Wu e collaboratori. Introducendo il preparato radioattivo in un am­

biente a bassa temperatura (verso lo zero assoluto) e sottoponendolo a un campo magne­[citato in Matthews xi17r, trad. it. p. roy]. Tali parole bene esemplificano quel­ tico molto intenso si ottiene questa condizione : praticamente tutti i momenti magnetici ePlo stato psicologico diffuso che accompagna un «riorientamento» nella ricerca, quindi gli spin, dei nuclei di Co sono orientati nella direzione del campo, poiché la bas­

quando classificazioni «naturali » (cioè bene radicate in una data tradizione di sissima temperatura elimina le fluttuazioni termiche. Gli elettroni provenienti dal decadi­

ricerca) cominciano a «sfocarsi » [Kuhn ri16z, trad. it. pp. r i i - r z ]. mento sono preferenzialmente emessi dalla parte indicata nel disegno in a ), cioè in dire­zione opposta a quella degli spin dei nuclei. Tuttavia nell'immagine speculare b) del fe­

Ma la «crisi» è benefica. Hermann Weyl [rrlgz] piu volte ripete che in arte nomeno cambia il senso dello spin, ma non cambia la direzione di emissione degli elet­troni. (Da Toraldo di Francia I976 ).

463 ParticellaParticella 46z

vazione della stranezza, la conservazione della parità e la conservazione della co­

nella figura 6b si cambia il nucleo nel suo antinucleo, quest'ultimo risulta pos­ niugazione di carica vanno perdute, ma resta valida la conservazione «combina­

sedere carica negativa e pertanto, se ruota in senso inverso al nucleo della figura ta» CP. La «questione molto misteriosa» potrebbe costituire, in futuro, un pri­

6a, avrà momento magnetico orientato nella medesima direzione. Questa mossa mo rilevante indizio del fatto che esiste nella scala delle interazioni un gradino

è nota (Wigner) come coniugazione della carica: « Il principio di ragion su%­ « intermedio» in cui l'invarianza CP e l'invarianza T sono violate.

ciente non è in contraddizione con l'esperienza sul cobalto (e con tutte le altre

esperienze sulle interazioni deboli), in quanto esiste l'antimateria. Grazie alle 3.4. «Legge e ordine» tra gli adroni.interazioni deboli possiamo ora dare un significato assoluto ai termini 'destra' e'sinistra'. Tuttavia i due significati vengono scambiati se passiamo dal nostro «Nel igxo il matematico Oswald Veblen ed il fisico James Jeans stavano di­mondo formato di materia, a un antimondo, anch' esso concepibile, formato di scutendo la riforma dell'insegnamento della matematica all'Università di Prin­

antimateria. In questo senso, l'esistenza dell'antimateria rappresenta la modalità ceton. "Possiamo benissimo abolire la teoria dei gruppi", arguiva Jeans, "è una

scelta dalla natura per mantenere viva una forma ridotta della simmetria sinistra­ materia che in fisica non servirà mai a niente"... Fu un fatto di una certa impor­

destra. D opo una prima sorpresa, questa soluzione può ancora soddisfare il no­ tanza per la storia della scienza a Princeton che Veblen non abbia seguito il con­

stro desiderio di simmetria. Ma la storia non è ancora finita. Nel ig64 si è sco­ siglio di Jeans. Per ironia del fato, recentemente la teoria dei gruppi è diventata

perto che una nuova interazione superdebole influenzava certi modi di disin­ uno dei temi centrali della fisica, ed ora essa domina il pensiero di tutti coloro

tegrazione dei kaoni [J. H. Christenson, J. W. Cronin, V. R. Fitch, R. Turlay ] che cercano di capire le particelle fondamentali della natura e, vedi caso, i due

e questi nuovi fenomeni non sono simmetrici, nemmeno quando sono osservati pionieri dell'impiego della teoria dei gruppi alla fisica, Hermann Weyl e Eugeneattraverso lo specchio che trasforma le particelle in antiparticelle. Tuttavia la P. Wigner, erano entrambi professori a Princeton» [Dyson ig64, trad. it. p. i i4 ].simmetria può venir ristabilita utilizzando uno specchio che non solo inverte Gli aspetti piu propriamente matematici (gruppi e loro rappresentazioni )la sinistra e la destra e trasforma particelle in antiparticelle, ma che inverte pure sono trattati in altre voci della presente Enciclopedia (in particolare «Applica­la "freccia del tempo" » [Amaldi I979, p. 94]. zioni» e «Invariante»). Qui sarà opportuno ricordare che la potenza che la teo­

Si procede, dunque, per slittamenti successivi, in modo da lasciare sempre ria dei gruppi rivela nella fisica sembra dipendere, sostanzialmente, dal fatto che,

uno spiraglio a quello che si potrebbe scherzosamente definire « il fascino discre­ ogni volta che un «oggetto» fisico presenta delle simmetrie, in base alle leggi del­

to» delle simmetrie. Si tratta ora di dilatare la nozione originale di riflessione spe­ la meccanica quantistica deve esistere un gruppo G di operazioni compatibili

culare in modo da includervi anche l'inversione temporale. Ora, dai principi della con tali simmetrie, le rappresentazioni del quale corrispondono esattamente ai

eccanica quantistica relativistica si può ottenere un teorema che afferma so­ possibili stati quantici dell'oggetto considerato.stanzialmente che, se a un dato processo fisico si applicano, in un ordine qua­ Esemplificando: si consideri un atomo che si muove in un gas rarefatto. Per

siasi, le tre trasformazioni materia-antimateria (cioè coniugazione della carica esso tutte le direzioni dello spazio sono equivalenti e quindi esso presenta la

C) inversione nello spazio (parità P) e inversione del tempo (T) si ottiene un)r simmetria dell'ordinario gruppo Rs delle rotazioni. Tra le rappresentazioni di

processo ammissibile. In altri termini : tutti i processi fisici devono essere inva­ Rs c'è quella ternaria, che corrisponde agli stati dell'atomo che hanno spin ugua­

rianti per trasformazione CPT (Jost, ig (ig). Ora, «con grandissima probabilità... le a r. Essi si presentano sempre in gruppi di tre, con la medesima energia. S'im­si può ritenere valida l'inversione temporale in tutti i processi. Se è valida l inva­l d l ' magini ora un campo magnetico in grado di distruggere la simmetria sferica del

rianza rispetto a T, e si deve ancora avere per il teorema citato l'invarianza rispet­ fenomeno : le tre energie uguali vengono ora a separarsi un po' e i tre stati corri­

to a CPT, ne deriva che si deve sempre avere l'invarianza CP. Ma CP appare spondenti possono essere rivelati dallo spettroscopio come una terna visibile diviolata e nella stessa misura bisogna ammettere che lo sia T. E allora?... Queste linee spettrali.questioni sono ancora molto misteriose» [Toraldo di Francia ig76, pp. 473-74]. Si esamini ora una situazione apparentemente differente. Come si è detto ai

Ma, a conclusione di questo e del precedente paragrafo, si puo almeno af­ ( ( 3.I e 3.2, i tre pioni hanno approssimativamente la stessa massa e le stesse in­fermare che la sistematica classificazione delle particelle riceve da quest'ordine terazioni nucleari. Se s'immagina che essi costituiscano una rappresentazioned'idee un ulteriore contributo: le interazioni forti sono vincolate da ben dodici ternaria di un gruppo G, molte loro proprietà potranno venir ricavate senza averleggi di conservazione: energia; quantità di moto; momento angolare; carica; la piu lontana idea circa la natura degli elementi di G. Nella fattispecie il grupponumero elettronico; numero muonico; numero barionico; inversione tempora­ G è qui il gruppo SU(z) o gruppo dello spin isotopico (cfr. ( 3.2) ed è rilevantele (T) ; inversione spaziale e coniugazione di carica combinate (CP) ; inversione notare che certe «anticipazioni» delle proprietà dei pioni vennero ricavate da

spaziale da sola (P) e coniugazione di carica da sola (C ) ; stranezza, spin isoto­ Nicholas Ikemmer in base a considerazioni astratte nel ig38, nove anni prima

pico. L'ordine di questo elenco non è casuale : scendendo la scala delle intensità della scoperta del primo pione. La cosa interessante è, però, che «SU (z) e Rs(cfr. ) . ) la conservazione dello spin isotopico viene perduta già nel primo gra­ costituiscono essenzialmente lo stesso gruppo, se ci si interessa solo delle pro­

dino, le interazioni elettromagnetiche. Con le interazioni deboli anche,'a conser

Particella 46S Particella

prietà algebriche delle operazioni gruppali, senza preoccuparsi della differenza tra loro, mentre nessun altro generatore commuta simultaneamente con Ts e Y.

delle rappresentazioni matriciali» [Omnès I97o, p. 6z]. In termini matematici si dice che un siffatto gruppo è di rango z. All ' interno

Ma si venga ora alle interazioni forti. Il gruppo G cercato «dovrà includere di una rappresentazione unitaria irriducibile, gli stati sono distinti in base al

il gruppo dello spin isotopico come sottogruppo, dal momento che esso è con­ valore di due numeri quantici additivi. Per un confronto : il gruppo delle rota­

servato dall'insieme di tutte le interazioni forti. La maniera in cui questo gruppo zioni Rs è di rango I : all'interno di una rappresentazione irriducibile, gli stati

ingloberà la stranezza può realizzarsi in due modi: o la stranezza è conservata sono determinati dall'assegnazione di un solo numero quantico additivo, proie­

separatamente senza alcuna relazione con il resto delle leggi di conservazione zione del momento angolare sull'asse z. È una circostanza molto felice che tutti

— come del resto è sembrato fino quasi ai giorni nostri — o il gruppo d'invarianza i gruppi compatti siano stati classificati da Elie Cartan e che non esista che un

delle interazioni piu forti ingloba la conservazione della stranezza come lo spin numero ristretto che soddisfa alle condizioni che abbiamo imposto. Possiamo

isotopico ingloba la conservazione della carica — e qui la terza componente dello quindi passare tali gruppi in rivista, al fine di determinare se uno qualsiasi di essi

spin isotopico T pr ende essenzialmente il posto della carica elettrica. Quest'ul­ svolga un ruolo nella fisica. In particolare il gruppo "per bene", se esiste, dovrà

timo caso è il piu interessante a priori, in quanto conduce a una assimilazion'l possedere delle rappresentazioni unitarie irriducibili, nelle quali potremo classi­

della stranezza alla carica elettrica e, quindi, a una maggior unità e alla speranza ficare particelle che presenteranno tutte gli stessi numeri quantici cinematici

di una maggiore semplicità. È questo caso dunque che si esaminerà qui s [1 1[i bi d. (spin e parità) e lo stesso numero barionico» [ibid., p. 34I].

p. 34o]. Una questione preliminare sta nel decidere se si cerca un gruppo G le cui Fatta la «rassegna», un solo gruppo risulta il candidato adeguato per G: i l

rappresentazioni unitarie siano di dimensione finita oppure infinita, cioè se G gruppo SU(3), proposto per la prima volta da Geli-Mann e Ne'eman. SU (3)sia compatto o no (fisicamente: se le particelle debbano venir classificate me­ è il gruppo delle matrici 3 x 3 unitarie e unimodulari, cioè delle matrici 3 x 3

diante multipletti in cui compare un numero finito oppure infinito di particelle ). tali che UU+ = I e det U = i. Il nome del gruppo ricorda semplicemente queste

Rs è un gruppo compatto : altri gruppi impiegati ampiamente nella fisica (per proprietà : la U in SU (3) significa unitario ; la S significa speciale, cioè la condi­esempio il gruppo di Poincaré-Lorentz) non lo sono. Ora «anche se la classifi­ zione di unimodularità delle matrici del gruppo ; la cifra 3, infine, specifica evi­

cazione di una infinità di particelle è degna di considerazione, ci si occuperà nel dentemente che si tratta di matrici di 3 righe e 3 colonne. SU (3) è una strutturaseguito del caso dei multipletti finiti, cioè del caso di un gruppo G compatto. Il matematica piu complicata di SU (z) : è quindi piu difFicile associarvi una mo­

gruppo eve pG deve permettere l'esistenza almeno di due quantità additive simul­ dellizzazione geometricamente intuitiva come si è fatto, poco piu sopra, mo­

taneamente misurabili che corrispondono rispettivamente alla stranezza e a aa e alla vendo dalle rotazioni Rs dello sPazio ordinario. (Ciò Però è Possibile [cfr. Dyson

carica... Anzi, restringeremo la generalità e affronteremo il caso piu semplice, I964, trad. it. pp. Iz8-3z ]).quello in cui G ingloba solo due quantità additive simultaneamente misurabi­ La rappresentazione (8], cioè a otto dimensioni, di SU (3) (cfr. fig. 7), èli... Il gruppo G, che ha un certo numero di generatori, avrà dunque due ge­ stata battezzata da Geli-Mann «ottuplice sentiero». Questa rappresentazione

neratori corrispondenti a Ts e Y (Y è legato alla stranezza) che commutano

YK' K+

I • I •

1 •

g+ It IiO 333 33+

T3 I T3I I Iz z

V KKa— I

•

- I•

a)Figura 7.

Figura 8.Per descrivere le rappresentazioni di SU(g) si adotta un sistema di coordinate M e

T3, ove T3 è la terza componente dello spin isotopico e, per semplificare, si pone Y= a) La rappresentazione (8} dei barioni. b) La rappresentazione(8} dei mesoni, in

= zM/~ j . La figura descrive, in particolare, la rappresentazione(8}. (Da Omnès I97o). cui compare anche il cosiddetto mesone Ii. (Da Omnès I970).

Particella g66y67 Particella

contiene uno scalare isotopico T = o, Y = o ; due spinori isotopici T = x i'z, Y =

= +i ; un vettore isotopico T = i, Y = o. Essi individuano un singoletto, dueanni '5o, l'esperienza del passato e la constatata proliferazione di particelle dette

doppietti e un t r ipletto (per questa terminologia cfr. $ 3.2) e possono quindi"elementari" sembravano suggerire l'esistenza di un nuovo strato di sottostrut­

venir interpretati in termini di barioni (cfr. fig. 8a) e di mesoni (fig 8b ). ture. Il tentativo di fermare questo regresso apparentemente infinito, che si è

In altre rappresentazioni di SU(3) vi sono dieci, ventisette elementi o ancheavuto in quell'epoca, ha dunque rappresentato un fatto importante nella storia

piu. Per primo Geli-Mann ha notato che la simmetria di un insieme di dieci ele­della disciplina» [Amaldi i979, pp. 84-86].

menti corrispondeva esattamente a un insieme di nove tra i barioni conosciuti,L' evidenza sperimentale indica che, a patto di mettere in gioco l'energia ci­

completato da un singoletto ancora mancante, che egli ha battezzato, in anticipo,netica E, sufFiciente, è possibile in un urto avere trasformazioni reversibili di

Q . I membri conosciuti di questo insieme di dieci elementi erano una quaternacerte particelle (per esempio A ) in altre particelle (per esempio B).

A, un'altra terna Z e un'altra coppia 2. Il singoletto previsto è stato scoperto ilLa particella A non ha quindi «maggiori diritti di elementarità» [Toraldo

3i gennaio i96y al Brookhaven National Laboratory (Long Island, New York ), di Francia i976, p. y76] della particella B. « In questa visione il mondo risulta,

su fotografie prese in una camera a bolle [cfr. Flower e Samios i96g]. E inoltre : pertanto, composto non di particelle, ma di un complesso di entità che noi vedia­

«Vi sono oggi indizi schiaccianti che il comportamento delle particelle a intera­mo granularizzarsi in ciò che chiamiamo particelle. Ciascuna particella, poi, per

zioni forti effettivamente corrisponda alla simmetria astratta descritta dal grup­quanto visto nella teoria dei campi, ha la possibilità di emettere virtualmente tut­

po SU(3) ; questa simmetria non è perfetta, perché è rotta da una perturbazionete le particelle con cui essa può interagire. Un protone, per esempio, emetterà

relativamente debole, che riduce il gruppo SU(3) a [un] suo sottogruppo U (z) ; e assorbirà virtualmente tutta la serie di particelle fortemente interagenti (pioni,

la simmetria che resta, descritta dal gruppo U(z), è essenzialmente identica akaoni, particelle A~, ecc.)» [ibid.].

Chquella del gruppo dello spin isotopico... L'intero quadro delle particelle ad inte­

hew [x965] ha battezzato «democrazia nucleare» un regime in cui tutte le

razioni forti, mercé l'intervento di queste semplici ed efficaci concezioni di teo­particelle che subiscono l'interazione forte si situano «su una stessa base di equi­

ria dei gruppi, è stato trasformato: dal caos [cfr. quanto detto al ) 3.z] a un or­ valenza dinamica»: è l'ipotesi detta dynamical bootstrap (Chew, Maldestam) persignificare entità che sostengono se stesse (bootstrap significa 'laccio da scarpe').dine notevole» [Dyson i96y, trad. it. p. t3z]. «Questo approccio era nuovo, dal momento che non impiegava dei campifondamentali..., ma era evidentemente limitato in quanto poneva problemi ma­

3.5. Democrazia o aristocrazia? Ipotesi del bootstrap. tematici insolubili e non spiegava l'esistenza dei leptoni e dei fotoni che non

Nell'articolo «Fisica» di questa stessa Enciclopedia (in particolare al $ 4. i ) dueiscono interazioni forti e che certo sono incapaci di generarsi per bootstrap. Tut­

atteggiamenti di pensiero differenti — ma entrambi notevolmente fecondi — sonotavia aveva il grande merito di porre in una luce del tutto nuova le questioni fi­

simbolizzati dai nomi di Democrito e di Pitagora. Democrito significa, nel con­losofiche concernenti i blocchi costitutivi della materia. Ciò premesso, dopo la

testo della fisica delle particelle, l'appello ai costituenti ultimi ; Pitagora al poterescoperta di un nuovo strato di sottostrutture, i fisici avrebbero il dovere di con­

risolutivo della matematica. Qui non si traccerà minimamente un bilancio del­siderare almeno tre alternative invece che due: t ) le sottostrutture sono 'ele­

le varie strutture matematiche impiegate oggi per le particelle elementari — permentari ; i i ) le sottostrutture sono formazioni composite di altri blocchi; rii ) le

cui il lettore è rimandato ad altri articoli della presente Enciclopedia. Può appa­sottostrutture sono degli stati legati autocoerenti di se stesse» [Amaldi I97 , . 86].i979> P.

rire naturale da quanto detto nel ) 3.g una riconsiderazione del passaggio dalessi proponenti non si sono nascoste le difficoltà del programma, e, nem­

«caos» dei )) 3.i e 3.2 all'«ordine» del ( 3.4 come una vittoria dell'atteggiamen­meno, il rischio di aver instaurato però una democrazia solo apparente, incapace

to intellettuale che vede in strutture matematiche particolarmente eleganti ecioè di escludere l'eventualità di particelle dotate di uno statuto «elementare»

semplici «l'essenza primordiale dell'universo fisico» (cfr. anche quanto dettoprivilegiato. E «per quanto ne sappiamo oggi, l'ipotesi del bootstrap non si appli­

nell'articolo «Numero» di questa stessa Enciclopedia, voi. IX, p. 9y4). Ma l'ap­ca al mondo degli adroni e degli aristocratici continuano a dominare in questo

proccio zia teoria dei gruppi, almeno come è stato fin qui delineato, resta al di quastrato della materia. Sono detti "quark" » [ibid., p. 87].

di una vera e propria teoria dinamica degli adroni.La prima grande risposta a quest'ultima esigenza è stato il programma pro­ 3.6. Quark e antiquark.

mosso da Geoffrey Chew verso il i96o. «È necessario sottolineare la novità diquesto suo approccio in rapporto alla tradizione filosofica e scientifica dell'Occi­

«Al momento attuale sembra che si possa considerare l'invarianza relativa­

dente. Dall'epoca degli antichi Greci, abbiamo tentato di comprendere non solomente a SU (3) come una ben stabilita proprietà delle interazioni forti... Una

la materia ma anche la totalità del mondo reale riducendola a delle componentidelle ipotesi piu ardite e piu interessanti consiste allora nel supporre che esistano

elementari. La scienza moderna si è interessata agli strati diversi della materia:e a particelle, i quark, che si trasformano rispetto a SUi" i come l l t '

atomi prima, poi nuclei ed elettroni, infine protoni e neutroni. Verso la fine deglie a rappresentazione (3)» [Omnès i97o, p. 359], cioè di una particolare rap­

presentazione di SU (3) (cfr. fig. 9a). Formalmente non è poi difficile mostrare

468 469 ParticellaParticella

che tutte le rappresentazioni di SU(3) possono venir costruite mediante pro­piu debole di quella di particelle aventi una carica normale e dovrebbe quindi

dotti diretti delle rappresentazioni [3 ) e (3~) (rappresentazione coniugata dellaessere facilmente rivelabile. Se gli adroni sono composti di quark, questi ultimi

precedente : cfr. fig. 9b) : si potranno allora concepire tutte le particelle come statidovrebbero essere prodotti negli urti adronici, ammesso che il processo sia com­patibile con tutte le leggi di conservazione pertinenti. A causa della loro carica

legati di quark e di antiquark.L'ipotesi dei quark (e antiquark), proposta indipendentemente da Geli-Mann

elettrica frazionaria (si veda la tabella 3 nel citato articolo «Materia») non c'è

e Zweig nel t963 (il nome è tratto da una frase di Finnegan's R'ake di Joyce, però alcuna possibilità di produrne uno alla volta, poiché uno stato finale che

«Three quarks for mister Mark» ) ha senza dubbio l'ambizione di mettere ordi­implichi particelle con carica elettrica r /3 di quella dell'elettrone non può veri­

ne nello zoo degli adroni spiegando la «tavola periodica subnucleare» del ) 3. I ficarsi in urti conservanti la carica fra particelle normali con cariche intere; i

proprio come la congettura di Bohr ha spiegato i raggruppamenti degli elementiquark potrebbero però essere prodotti in terzetti o in coppie quark-antiquark.

nella tavola periodica dr Mendeleev. Cosi, i barioni sono formati ciascuno da treQueste ultime avrebbero tutte le cariche totali nulle — elettrica, barionica, iper­

quark; i mesoni sono formati ciascuno da un quark e da un antiquark (cfr. del carica — di modo che, per ciò che concerne le leggi di conservazione, una coppia

resto quanto è detto su quark e antiquark nell'articolo «Materia» in questa stes­di quark potrebbe essere prodotta in base a condizioni iniziali molto generali.Poiché la differenza fra le cariche dei quark — come si evince subito dalla tabel­

sa Enciclopedia, voi. VI I I, pp. 9r 8 sgg.).Ma i quark, tanto per riprendere la problematica del ) r .3, esistono o sono

la — è intera, il quark piu pesante, quello s, di carica — r/3 può decadere in base

finzioni? Per verificarne l'esistenza (nel senso in cui s'intende questa locuzionealla normale interazione debole nel quark u di carica z /3 con emissione di lep­

nel presente articolo, e cioè con le qualificazioni del ( r.3) deve essere possibiletoni: s ' ~ u a+e '+v, . Questo è lo stesso meccanismo di-decadimento [! in

«osservarfi» come entità separate, per esempio mediante le tracce che essi la­base al quale un neutrone decade in un protone ; il quark piu leggero deve essere

sciano in una camera a bolle ; queste dovrebbero rivelare la massa e la quantitàperò stabile in un ambiente composto di particelle a carica intera normale, per­

di moto dei quark attraverso la curvatura delle tracce in un campo magnetico eché non c'è alcun modo coerente con la conservazione della carica in base a cui

le restrizioni conseguenti alle leggi di conservazione dell'energia e della quantitàesso può sbarazzarsi della sua carica elettrica frazionaria. Perciò una volta che il

di moto. Anche la loro carica dovrebbe essere rivelata in base alla densità dellequark sia stato e prodotto», c'è da attendersi che la sua presenza possa essere «ri­

bollicine lungo la traccia; per particelle che viaggiano con velocità vicina a quellavelata» in qualche modo e «resa visibile».

della luce, questa densità dipende dal quadrato della carica, in modo che la trac­Dunque i quark «avrebbero proprietà straordinarie che li farebbero ricono­

cia di una particella avente carica r/3 dovrebbe essere di un ordine di grandezzascere sicuramente; per esempio avrebbero cariche elettriche r /3 o z/3 della cari­ca dell'elettrone! Naturalmente i fisici li hanno cercati con cura un po' da pertutto, ma finora senza successo» [Segrè r976, p. z)6j. D'altro canto, «l'aspettopiu rivoluzionario del modello dei quark concerne appunto la proprietà secon­do cui i quark possiedono cariche elettriche frazionarie. Tutte le particelle no­te, infatti, hanno una carica che è multipla della carica elettrica dell'elettrone e~e i fisici sono riusciti a immaginare formalismi in cui questo può apparire comeun fatto naturale. Un numero barionico e una ipercarica frazionaria sembrano

I ugualmente poco naturali, ma meno rivoluzionari. In ogni modo, fin dal suo de­I butto, il modello dei quark ha conosciuto successi impressionanti nella predizio­

ne delle proprietà statiche degli adroni. Eppure la stragrande maggioranza deiT3 T3

I ricercatori hanno assai esitato prima di accettare i quark come costituenti ele­22 mentari della materia adronica (prima di accettare, cioè, che i campi dei quark

siano le entità fondamentali )» [Amaldi r979, pp. 87-88].

Approfondimenti.

a) La determinazione delle proprietà delle particelle cui si è accennato nei pa­Figura g ragrafi precedenti si basa sullo studio delle loro interazioni con campi esterni,

a) La rappresentazione Q) di SUlg) descritta con un diagramma analogo a quello oppure — o anche — con altre particelle. Un riferimento indirizzato a questi scopidella figura 7. b) La rappresentazione coniugata (3 ~} è ottenuta dalla rappresentazione (3) richiede in genere : x) una sorgente di particelle (dato che i processi di accelera­considerando le matrici complesse coniugate u~ delle matrici della rappresentazione (S}.

r6

Particella 470 471 Particella

zione si basano sull'azione di campi elettrici e magnetici, la sorgente dovrà for­ menti che però può dare informazioni sull' argomento: le reazioni ad alta ener­nire particelle elettricamente cariche, cioè ioni) ; z) un apparato acceleratore; gia fra elettrone e nucleone e fra neutrini e nucleoni. Il principio su cui si basa3) campi elettrici e magnetici esterni ; 4) un bersaglio materiale col quale la par­ la discussione di questi esperimenti è analogo a quello sul quale si fonda l'ana­ticella studiata possa interagire; 5) uno o piu rivelatori. l isi dell'urto fra atomi e particelle nel celebre esperimento di Rutherford. L'a­

L'energia raggiungibile dall'acceleratore è essenziale nella definizione delle tomo di Thomson era, in breve, un sistema nel quale la carica elettrica positivaesperienze; quanto piu elevata è questa, tanto piu vasto è il campo esplorabile. era distribuita con continuità su tutto il volume dell'atomo. I risultati di Ruther­Infatti, se si studiano processi di produzione, per creare una particella di massa ford mostrarono invece che la carica positiva era concentrata in un nucleo cen­m occorre un urto nel quale sia disponibile un'energia E) mcs. Tanto piu alta è trale assai piccolo che racchiudeva praticamente anche tutta la massa. In manie­la massa m, tanto maggiore l'energia necessaria. ra analoga gli esperimenti d'urto con elettroni e neutrini di alta energia sembrano

Sotto questo profilo, la fisica delle particelle è davvero una «fisica delle alte indicare che nell'interno dei nucleoni l'urto avviene non contro una distribuzio­energie». F., benché le sorgenti naturali — come gli elementi radioattivi o i raggi ne estesa, ma contro una distribuzione di corpuscoli puntiformi che interagisco­cosmici — abbiano svolto un ruolo rilevantissimo nello sviluppo di questa disci­ no sia con gli elettroni sia con i neutrini. Richard Feynman ha introdotto il ter­plina oggi non sono competitivi con le sorgenti artificiali. In particolare va ri­)

mine 'partoni' per tali sottostrutture proprio per evitare frettolose identificazio­

badito che «se oggi possiamo parlare di unificazione delle interazioni e delle sot­ ni con gli ipotetici quark. Ma quando si è cominciato — agli inizi degli anni '7o­tostrutture nei nucleoni, è solo perché, nel corso dei cinquanta ultimi anni gli a confrontare i dati delle esperienze con elettroni (Stanford) con quelli delleacceleratori di particelle, che all'origine erano dei piccoli strumenti di lavoro ar­ esperienze con i neutrini (Cern, Ginevra) l'idea che partoni e quark siano latigianale, sono divenuti degli strumenti grandi e complessi. Lo stato delle nostre stessa cosa ha preso maggior vigore e autorità. Infatti: dalle esperienze con elet­conoscenze è modellato non solo dalla meccanica quantistica e dalla teoria dei troni si deve concludere che i partoni hanno spin x/z. Dal confronto fra la diffu­gruppi ma anche dalle possibilità tecniche e dalle limitazioni degli acceleratori e sione degli elettroni e quella dei neutrini da parte di protoni e neutroni si rica­dei rivelatori» [ibid., p. I30]. No il c possibile, iil questa scdc, dare ull quadro de­ vano le cariche elettriche dei partoni: gli elettroni vedono le cariche elettriche,gli apparati sperimentali e della loro evoluzione né tracciare in breve una storia i neutrini non le vedono; questi ultimi interagiscono soltanto attraverso accop­dei vari acceleratori (elettrostatici, ciclici, lineari, ecc.) e rivelatori (contatori a piamenti deboli. Il confronto sperimentale indica per dette cariche elettriche iscintillazione, contatori a cristallo, camere a scintilla, camere a fili, camere a bo­h valori di z /3 e t/3. Non si dà il segno in quanto l'accoppiamento dipende dalle, emulsioni nucleari, ecc.). Il piu volte citato saggio di Amaldi fornisce esem­ quadrato delle cariche.plarmente piu di una prova del carattere «complementare» della evoluzione del­ C'è quindi una evidenza sperimentale largamente in favore dell'ipotesi deile idee e del progresso di queste strutture sperimentali. quark come costituenti fondamentali della materia. Ma la struttura del nucleone

Va aggiunto ancora che uno dei grandi temi unificanti delle ricerche sulle è piu complessa ancora: ammette, in aggiunta ai partoni-quark, qualcosa d'altro,particelle elementari — su cui si intrecciano aspetti teorici e realizzazioni speri­ i quanti di quelle forze quarkiche che tengono i quark confinati nel volume di unmentali — è, senza alcun dubbio, quello dell'unificazione delle interazioni fon­ nucleone. Si tornerà tra poche pagine su questo argomento.damentali. Su questo tema il lettore troverà non poche indicazioni in altre vocidella presente Enciclopedia (quali «Forza/campo», «Interazione», ecc.) ; in que­sta sede si è insistito di piu sulle differenti vesti che ha assunto il problema dei

4.z. Cromodinamica quantistica.

costituenti della materia e sulle revisioni concettuali che questi slittamenti del In questi ultimi anni lo studio dei quark mediante esperienze di diffusione èroblema hanno via via favorito o imposto. La scelta di alcuni ulteriori appro­ stato approfondito grazie al rapido sviluppo di un nuovo apparato della fisica

fondimenti — che non pretende ad alcuna sistematicità (tanto piu che alcune d delle alte energie, gli anelli di accumulazione: si tratta, sostanzialmente, di ma­le teorie cui si farà riferimento nelle pagine successive sono vivacemente impu­ gneti anulari in cui possono circolare particelle di data quantità di moto. Se ilgnate) — si propone di dare semplicemente un'idea del carattere estremamente vuoto è suffiicientemente alto, queste particelle potranno circolare liberamente,«mobile» che attualmente ha la ricerca, cosi compenetrata di strutture teoriche senza urtare contro molecole presenti, il che li disperderebbe.e di poderosi apparati sperimentali. L'energia disponibile nella collisione di una particella di energia E con una

particella in riposo di massa mz è data dalla relazione approssimata: (energia nel4.1. Partoni e quark. baricentro) ~ z' ,c ~ Ne l b arice t .o della collisione t a n p o to e Ch zo

GCV e un nucleone in riposo (mre = o,q4 GCV) l'energia è solo 6,z GCV; nellaSi è già detto (cfr. $ 3.6) che non sono mai stati «osservati» quark isolati collisione tra un positrone di zo GCV e un elettrone in riposo (mz,cs= o,ooog

(sono stati però «osservati » stati legati di quark, cioè particelle instabili decaden­ GCV) l'energia disponibile si riduce a o, r4 GCV. «Per parecchi anni i fisici hannoti in modi e con vite medie previste dalla teoria). Esiste un'altra serie di esperi­ sognato di fare un miglior uso dell'energia cosi faticosamente comunicata alle

Particella 47z 473 Particella

loro particelle facendo entrare in collisione frontale due fasci uguali di particelle ; antiquark che si comportano come delle coppie p,+p, e si frammentano infine in

in questo caso il baricentro della collisione è in riposo nel laboratorio e l'energia adroni. Ma questa affermazione non si accorda ancora sotto il profilo quantitati­

disponibile è uguale a due volte l'energia di ciascun fascio. Tuttavia è solo all'ini­ vo con i risultati sperimentali : le coppie di quark che possono venir create sono

zio degli anni '6o che diversi progressi nella tecnologia degli acceleratori hanno (cfr. tab. z) uu, dd e ss e le loro cariche elettriche sono uguali a z /3, x/3 e x/3aperto la via alla realizzazione di anelli di accumulazione capaci di conservare della carica di un muone. Dato che la possibilità di produzione è proporziona­

due fasci di intensità sufficiente per periodi lunghi abbastanza da produrre un nu­ le al quadrato della carica, il rapporto R dovrebbe risultare uguale a (z/3) +mero non trascurabile di collisioni al secondo in ciascuno dei punti di interse­ + (x/3) + (x/3) = z/3 e non uguale a z.zione dei due fasci. Al Cern la costruzione degli anelli di accumulazione a inter­ Un tipico puazle per il modello dei quark, che però si può brillantemente ri­

sezioni è stata terminata nel x97o e le collisioni tra due fasci di protoni di 3o GeV solvere col rafFinamento introdotto (x964) da Greenberg per spiegare altre diffi­hanno rivelato numerosi aspetti inaspettati delle interazioni forti. Ancora piu coltà della teoria (un rendiconto della quale il lettore troverà nell'articolo «Ma­

feconda è stata la via preconizzata da Bruno Touschek che nel x9)9 aveva pro­ teria» piu volte citato, alle pp. 9zo-zx ). In questa prospettiva ogni varietà o

posto di studiare l'annichilazione di positroni ed elettroni accumulati nello stes­ «sapore» (Pavour) dei quark ha un «colore» (colour) che può esistere in tre tinte

so anello magnetico, con l'argomento che preferiva questa reazione alla collisione («rosso», «verde» e «blu»). Analogamente, per gli antiquark si definiscono i tretra protoni, poiché essa è piu facile da interpretare» [Amaldi 1979, p. xx3 ]. relativi «anticolori ».L'anello AdA [per la ricostruzione della sua storia cfr. Bernardini x978] è stato L'ipotesi dei colori moltiplica per tre il valore R = z /3 di cui sopra, ripristi­l'anello di accumulazione elettrone-positrone che ha mostrato la via a tutta una nando in tal modo l'accordo con l'esperienza. Inoltre l ' introduzione dei colori

famiglia di macchine riuscite (macchine Vepp a Novosibirsk, Aco ad Orsay, Ado­ apre la via a una spiegazione piu profonda delle forze forti e fornisce una plausi­

ne a Frascati, ecc. ). bile giustificazione della ragione per cui non si sono «osservati » ancora dei quark

I fenomeni elementari che intervengono nel processo e+e sono illustrati nella liberi.figura xo, L'elettrone e il positrone portano ciascuno una energia E e, annichilan­ Le anomalie vengono cosi riassorbite dal modello dei quark. Ma si apre unadosi producono un fotone di energia zE che è in riposo nel laboratorio, in quan­r p questione di fondo: perché tutti gli adroni sono incolori? Se la teoria dei «colori »to all'inizio elettrone e positrone avevano uguali velocità in valore assoluto, ma è qualcosa di piu di una struttura formale costruita sulla base del fatto che i ba­

opposte. Il fotone è virtuale: esso può «vivere» un tempo dell'ordine di A/zE. rioni rispetto ai colori sono identici (in quanto li contengono tutti e tre ) e neiQuesta breve vita non permette la produzione di adroni normali (come pioni, mesoni il colore di un quark è annullato dall'anticolore dell'antiquark, occorre

kaoni o protoni ), ma non influisce sulla produzione di leptoni, nella fattispecie fornire al quesito una risposta che permetta di precisare in che senso il colore è

di coppie di muoni. la sorgente del campo che tiene uniti i quark in un adrone. La risposta è di nuovo

Giova a questo punto introdurre il numero R, definito come il rapporto tra in una condizione d'invarianza. Il campo elettromagnetico, notoriamente, pos­

il numero degli eventi in cui si producono adroni e quello in cui si producono siede un'invarianza relativamente alle cosiddette « trasformazioni di gauge» (perdelle coppie p.+lx —. Prima delle esperienze era stato previsto, per circa z GeV, un cui si veda ancora «Materia», pp. 9zx-22 ). Una opportuna teoria di gauge per ivalore di R inferiore a x /xo : i risultati ottenuti ad Adone hanno invece fornito colori postula allora l'esistenza di otto particelle senza massa, dette gluoni (daper circa z GeV un valore di R vicino a z. Si può interpretare un esito del genere @lue 'colla'), che costituiscono i vettori della forza forte proprio come i fotoni lo

affermando che il fotone virtuale non produce degli adroni, ma coppie quark­ sono per la forza elettromagnetica. Naturalmente, i gluoni, come i quark, nonsono stati ancora «rivelati ». Quando un quark emette o assorbe un gluone, cam­bia di colore ma non può cambiare di sapore.

e+ e+ I gluoni sono dunque i quanti per l'interazione forte (come i fotoni lo sonoI 2

~ Car i ca x C a r ica i ~ ~ Car i ca — o­ per l'interazione elettromagnetica ) : la teoria di gauge per i colori propone quindi,Carica x ~

Y Y 3 3 che il vero carattere di tale interazione vada dunque cercato nella forza che legainsieme i quark colorati. Vale ora la pena di un confronto. La forza elettromagne­tica tra due particelle cariche si esprime, notoriamente, con la legge di Coulomb,

a) secondo cui la forza diminuisce come il quadrato della distanza tra le cariche.Figura xo. Una recente proposta sostiene che la forza forte tra due quark colorati si compor­

Nell'annichilazione di un elettrone con un positrone si produce un fotone virtuale di ta in un modo differente: resta costante, indipendentemente dalla distanza tra igrande energia. La probabilità della produzione di una coppia di muoni (a) è proporzio­ quark. In base a tale teoria, la quantità di energia necessaria a isolare un quarknale al quadrato della carica lcioè è proporzionale a i) mentre la probabilità della produ­zione di una coppia quark-antiquark (b) è proporzionale a (i /g)' o a (z/3)~ in funzione del sarebbe enorme: inoltre, a partire dall'energia fornita per estrarre un quark iso­

valore della carica. (Da Amaldi 1979). lato si materializzerebbero un nuovo quark e un nuovo antiquark. I l nuovo

Particella 474 475 Particella

quark rimpiazzerebbe allora il quark estratto, ricostruendo l'adrone originario, Stanford, r975) : giova ricordare che dal r96z non si era prodotta alcuna aggiun­

mentre il nuovo antiquark si combinerebbe con il quark estratto formando unta alla lista dei leptoni noti e la scoperta di un nuovo leptone con un'energia in

mesone incolore. riposo che raggiunge i,8 GeV ha modificato notevolmente l'idea della elemen­

In questa prospettiva si sarebbe tentati di asserire che la «cattiva infinità», il tarità di queste particelle [cfr. Peri r978]. Nella tabella z compare anche un ul­

regresso all'infinito delle particelle — che si voleva fermare con l'ipotesi del boot­ teriore quark, il quark b (un nuovo sapore) scoperto nel r977 da Lederman e dal

strap, soppiantata dal modello dei quark — potrebbe arrestarsi grazie a questa in­ suo gruppo : basti qui dire che questo quinto, quark si è manifestato, insieme con

terpretazione del «confinamento» dei quark stessi. Gli atomi possono venir de­ il suo antiquark, sotto la forma di un nuovo adrone (l'adrone ipsilon ) dotato dicomposti in elettroni e nuclei, i nuclei in protoni e neutroni, i protoni e i neutro­

lunga vita e di massa molto elevate (essendo dieci volte piu pesante del protone).ni in quark. Ma a questo punto sembrerebbe difficile immaginare una struttura Come lo stesso Lederman ha osservato [ I978], tale scoperta può fare intravve­

interna per delle «particelle» che non si riesce nemmeno a creare. La spettrosco­ dere qualche crepa nelle «fondamenta» dell'edificio delle particelle elementari

pia dei quark sarebbe dunque l'ultima spettroscopia, almeno per chi sottoscrive cui si accennava a chiusura del ) 4.z. Man mano che progredirà la tecnologia

la teoria del confinamento di cui sopra: ma «l'esperienza del passato ci ha inse­ degli acceleratori, infatti, i fisici, con grande probabilità, troveranno sempre nuo­

gnato che affermazioni di questo genere si sono sempre rivelate inesatte» [Amaldi ve entità subatomiche e gli stessi quark prolifereranno. Cinque, qualcuno dice

t979~ P ri7]­già sei... e se ce ne sono sei perché non dodici, o ventiquattro, ecc.?

Ciò ha non pochi riflessi sulla trattatistica in cui gli stessi autori possonoprovare l'impressione di non riuscire a restare al passo di questo peculiare ti­

4.3. Quark e leptoni. po di «progresso». «Mentre scrivevo questo libro, — avverte per esempio Close

Nel r976 il premio Nobel per la fisica è stato assegnato a Burton Richter [I979, p. vi] in una prefazione datata x978, — è stato scoperto un altro quark e si

(Stanford) e a Samuel Ting (Mit) per la scoperta (1974) di una particella dotata è verificata una vera e propria esplosione di idee». Si confronti del resto l'attuale

di proprietà piuttosto insolite, ottenuta'da Ting e dal suo gruppo mediante colli­ situazione con quanto delineato nel ) 3.4 a proposito della simmetria SU (3).sioni di protoni di z8 GeV, prodotti dall'acceleratore di Brookhaven, con nuclei di «Solo vent' anni fa la ricerca verteva sulla adeguata struttura gruppale per gli

berillio, e a Stanford con l'anello di accumulazione elettrone-positrone Spear, uno adroni. La moltitudine degli adroni che venne trovata aveva proprietà consisten­

degli ultimi grandi discendenti di AdA. Battezzate g da Ting e yI da Richter, tali ti con l'esistenza di uno strato piu profondo della materia, quello contenente i

particelle sono oggi note come particelle g/$. tEsse sembra inizino una nuova quark, in origine proposti come raison d'etre per la simmetria approssimata

famiglia di particelle, diverse da tutte quelle conosciute prima perché, malgrado SU(3) osservata nella spettroscopia degli adroni. Oggi crediamo che i quark e i

la loro considerevole massa (oltre tre volte quella del protone), sono relativamen­te stabili » [Segrè z976, p. z56]. Va aggiunto subito che per le particelle g/$ nonsembra esservi posto nel modello a tre quark che si è finora esaminato. Ma già nel Tabella z.

r 964, un anno dopo la proposta di Zweig e Geli-Mann, erano apparsi articoli che Quark, leptoni e mediatori delle forze fondamentali. Compaiono anche il quarto quark c

esponevano una teoria a quattro quark fondamentali. Dotata ancora di pochi ag­lda charm) e il quinto quark b (da beauty 'bellezza' ). È aperta la questione del sesto quark.

ganci sperimentali, la teoria dei quattro quark conosce una rinascita solo nel t97oCol termine meakon incluso tra i mediatori si intendono i bosoni intermedi (ai quali si èaccennato nel $ g. i). La prima e la secondafamiglia comprendono tutti i quark e i leptoni

(Glashow, Iliopoulos e Maiani) quando la simmetria SU(4) sembra rivelarsi scoperti prima del x975 (Da Amaldi r g7g).particolarmente promettente per l'interazione debole. Il quarto quark, battez­zato in precedenza charm (c) da Glashow, spiega in modo estremamente sem­plice certe disintegrazioni deboli di particelle strane. c si suppone abbia carica

I famiglia Il famiglia III famiglia

+z/3 come u e inoltre porti un'unità +r di un nuovo numero quantico (detto Quark

appunto charm ), che si conserverebbe nella interazione forte e in quella elettro­ Particelle

magnetica, ma non in quella debole. Ma esso si è imposto all'attenzione soprat­ veLeptoni

tutto identificando la particella j/$ con la configurazione cc (si veda ancora «Ma­e

teria», p. 9z6).Qui interessa sottolineare come dopo le conferme sperimentali circa tale in­ Forza fondamentale

terpretazione di g/y' «i due mondi distinti dei quark e dei leptoni paiono moltopiu simmetrici» [Amaldi r979, p. rr9], come del resto risulta da un attento esa­ Weakon Interazione debole

lvIediatori Fo toni Interazione elettromagneticame della tabella z. Gluoni Interazione forte

Nèlla tabella z compaiono anche il leptone w e il suo neutrino v, (Spear:

Particella 476 477 Particella

leptoni siano fondamentali e che le interazioni debole, elettromagnetica e forte Lakatos, I.

possano venir descritte da un qualche gruppo che contenga SU (z) X U(r) e z.97o Falsification and the Methodology of Scientific Research Programmes, in I . L a k a tos eA. M. Musgrave (a cura di), Crit icism and the Growth of Knowledge, Cambridge Uni­

SU(~) come sottogruppi. Dunque ora la ricerca verte ancora una volta su3) colore versity Presa, London, pp. 91-z96 (trad. it. Feltrinelli, Mi lano z976, pp. z64-z76).

quale deve essere la struttura di gruppo adeguata. Sembra che ci siano almeno Lederman, L. M.

cinque leptoni e quindici quark (cinque sapori per tre colori). Tutto ciò regge z978 Th e upsilon particle, in «Scientific Americani, CCXXXI X , 4 , pp. 6o-68 (trad. IS. in

il paragone con il numero degli adroni noti quando SU(g) venne per la prima«Le Scienze», XI (z978), zz4, pp. zz-3i).

volta proposto. Stiamo dunque entrando in una sorta di era della spettrosco­Matthews, P. T.

pia dei quark e dei leptoni che, alla 6ne, ci porterà oltre gli stessi quark>» [ibid., z97z Th e NuclearApplei Recent Discoveriesin FundamentalPhysics, Chatto and Windus, Lon­don (trad. it. Mondadori, Milano z976 ).

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sia all'uti l izzazione di un apparato sperimentale estremamente potente (cfr. macchina,Einaudi, Torino z976 ).

Particella

tecnica). Entro il vincolo delle leggi (cfr. legge) di conservazione (cfr. conservazio­ne/invarianza) e attraverso lo studio della simmetria fisica (cfr. anche invariante) èemersa una sistematica e classificazione dello «zoo delle particelle» stabili e instabi i(cfr. stabilità/instabilità), mentre la ricerca si muove oggi nella direzione di una sintesiin grado di cogliere l'unità profonda delle differenti forme fondamentali di interazione(cfr. anche forza/campo). Questa concezione unitaria (cfr. anche uno/molti, e per altriaspetti identità/differenza) della realtà fisica (cfr. anche reale) è oggi però piu un pro­gramma che un risultato della ricerca.

79z

Plasma

In questo articolo la parola 'plasma' indica il quarto stato della materia, incui un gas viene trasformato in condizioni di elevata temperatura e bassa den­sità. La sua etimologia (dal greco rrXáoos<v 'plasmare') e le sue risonanze se­mantiche sono purtroppo fuorvianti : esse si ricollegano alle primissime fasi dellaricerca in questo campo quando, studiando le scariche elettriche nei gas (comequelle che hanno luogo negli ordinari tubi al neon ), si osservò che esse dànnoorigine a zone di diffusa luminosità e vengono modificate in forma e in splendoreda campi magnetici ed elettrici. Queste ricerche ebbero inizio nel secolo scorsoe furono soprattutto coltivate dalla scuola sperimentale inglese, in particolare daFaraday ; e si accumulò un grande e articolato patrimonio semiempirico sui com­plessi fenomeni che hanno luogo quando un gas è attraversato da una correnteelettrica. Da allora questa disciplina 6sica è straordinariamente cresciuta nell'e­laborazione concettuale e nella strumentazione di laboratorio; ai nostri occhi lericerche di fisica del plasma fino a prima della seconda guerra mondiale hannosolo interesse storico. Il nome 'plasma' è oggi giustificato solo dall'uso correntee non dalla sua etimologia e sta ad indicare un gas ionizzato (parzialmente ocompletamente). La ionizzazione di un atomo ha luogo quando uno o piu deglielettroni che ruotano attorno al nucleo vengono strappati ; si producono cosi ca­riche elettriche libere che modi6cano profondamente le proprietà della materia.In un atomo ordinario vi è esatta neutralità di carica: nel nucleo sono presentitanti protoni (con carica e positiva) quanti sono gli elettroni orbitali (ciascunocon carica — e). Un gas ionizzato è ancora in media neutro, ma si possono veri6­care deviazioni dalla neutralità anche su regioni assai estese ; e, soprattutto, essorisente fortemente delle forze elettriche e magnetiche esterne.

Il fenomeno della ionizzazione, messo in evidenza nella seconda metà del se­colo scorso, ha segnato il primo passo nella falsi6cazione dell'atomismo che ave­va dominato la chimica nell'età precedente: gli atomi, che si comportano comeunità indivisibili nelle reazioni chimiche, sono in realtà formati da parti piu pic­cole. Questo processo di disaggregazione dei componenti della materia è poi pro­seguito a livelli inferiori, prima con la scomposizione del nucleo nei suoi costi­tuenti — i nucleoni, che sono di due specie, i protoni e i neutroni — e poi con lascoperta o l'ipotesi di particelle subnucleari (come i cosiddetti quark, tre dei qua­li sono necessari per costituire un nucleone). Ciascuna di queste unità composteè caratterizzata da una forza che ne tiene insieme i membri e non si manifestanormalmente all'esterno: cosi le forze interatomiche legano gli atomi nelle mo­lecole, le forze elettriche agiscono tra i costituenti dell'atomo e le interazioni for­ti tra i nucleoni nel nucleo. Ognuno di questi sistemi è caratterizzato dall'ener­gia necessaria per separarne i membri ; per esempio, nell'atomo d'idrogeno è ne­cessaria l'energia di t3,6 eV per strappare al nucleo l'unico elettrone presente.Un elettronvolt (abbreviato eV) è l'energia che un elettrone acquista quando vie­ne accelerato in un potenziale elettrico di un volt. Per tradurre questa unità in

Plasma 794 795 Plasmatermini piu accessibili, si osservi che l'energia cinetica di agitazione termica dii eV corrisponde alla temperatura di i i ooo gradi ; quindi a i5o ooo gradi ogniatomo d'idrogeno può essere ionizzato da una collisione. Per la maggior parte i i N e u t ra l ità di carica

degli altri elementi l'energia di ionizzazione è inferiore, ma queste cifre mostra­no subito che non è facile ottenere materia ionizzata in condizioni ordinarie.

Il plasma è in media elettricamente neutro perché per separare le cariche po­sitive da quelle negative occorre spendere energia. L'energia cinetica media di

La crescita tumultuosa e talora costosissima della fisica del plasma negli ul­ una particella di gas alla temperatura T è g/z k T (k è la costante di Boltzmann) ;timi decenni è dovuta principalmente a due motivi, uno economico e uno scien­ essa, per il teorema di equipartizione dell'energia, sarà anche circa uguale al­tifico. Come si vedrà nel $ 4, per produrre in laboratorio le reazioni di fusione l'energia potenziale elettrostatica media provocata da una carenza o da una so­che hanno luogo nel Sole e produrre cosi energia nucleare dall'acqua del mare vrabbondanza di cariche di un certo segno attorno alla particella presa in con­occorre ottenere temperature altissime, alle quali la materia è certamente ioniz­ siderazione. Se il plasma contiene n elettroni per cm', un vuoto di elettroni dizata. Questo progetto, che potrà rendere possibile nei prossimi decenni una nuo­ dimensioni d ha una carica positiva dell'ordine ends e, quindi, conferisce a unva ed inesauribile fonte di energia, ha però incontrato ed incontra tuttora diffi­ elettrone un'energia potenziale e'nds/d =e'nds. Uguagliando questa espressionecoltà di carattere fisico, che possono venire superate solo studiando a fondo la all'energia termica k T, si ottiene la dimensione media dei vuoti di carica :fisica del plasma ad alta temperatura. Sono state cosi messe a disposizione no­tevolissime risorse finanziarie, umane e sperimentali che hanno cambiato quali­tativamente l'aspetto di questa disciplina. p

ie '

Il motivo scientifico (cfr. $ 5) sta nell'importanza che il plasma ha nei feno­ Questa lunghezza caratteristica prende il nome da Debye (nella terminologia cor­meni cosmici e nella grande varietà di effetti a cui dà luogo. Da quando negli rente la lunghezza di Debye è d/~4 ir ) ed è, nei casi ordinari dei plasmi di labo­anni '5o è apparso chiaro che l'energia radiante delle stelle e, in particolare, del ratorio, assai piccola. Ovviamente questo ragionamento vale solo se in un volumeSole è dovuta alle reazioni termonucleari nel loro interno, si è riconosciuto che il di dimensioni d vi sono molte particelle, cioè se ndsv r. Il termine 'plasma', nel­plasma è il principale costituente dell'universo e la forma normale della materia. la sua accezione ordinaria, è riservato ai sistemi in cui questa disuguaglianza è

La fisica del plasma ha cosi raggiunto sul piano concettuale una sua compiuta verificata.elaborazione; essa si fonda sulla meccanica classica, l'elettromagnetismo e la teo­ Questa considerazione mostra anche che, in generale, le particelle di un pla­ria quantistica, rna costituisce una disciplina a sé stante, con i suoi paradigmi sma non interagiscono individualmente (a meno che esse non subiscano una ve­teorici, i suoi metodi di calcolo e di analisi sperimentale. In questa ricerca non vi ra e propria collisione, il che accade raramente) ; piuttosto, le fluttuazioni di ca­sono incertezze di base, non vi sono leggi fondamentali da scoprire; ma la straor­ rica di dimensioni d che si formano e si disfano continuamente si attraggono e sidinaria varietà di effetti, di situazioni e di fenomeni, originata anche dalle appli­ respingono tra di loro anche a grande distanza. In altre parole, il plasma mostracazioni astrofisiche ed energetiche, ne hanno fatto un campo vivacissimo in ra­ un comportamento collettivo in cui gli effetti macroscopici sono causati dal mo­pido e proliferante sviluppo. Nella terminologia usata da Kuhn nella sua Struc­ vimento coordinato di un grande numero di particelle. L'analisi di questi feno­ture of Scienti@cRevolutions (r96z), la fisica del plasma è una «scienza normale», meni puo essere fatta solo con rafiinati metodi statistici.che si sviluppa mediante una sistematica accumulazione di risultati secondo pre­ Allo scopo di dare maggior concretezza alle formule algebriche, se ne daràcise prassi ed esempi codificati nei libri di testo ed accettati senza discussionedalla comunità dei ricercatori. In essa non vi sono anomalie e contraddizioni di

il valore numerico per un tipico plasma di laboratorio, con n = ro'4 elettroni percm, T = i o ' K (K indica i gradi Kelvin, misurati a partire dallo zero assoluto)fondo, che ne possono compromettere la stabilità e la crescita progressiva. e nuclei costituiti da un solo protone (idrogeno ionizzato). Allora d/~4w = 6 xX ro-s cm.

Le fluttuazioni di una carica possono essere prodotte anche artificialmente,i. Pro pr ietà del plasma. per esempio con un elettrodo il cui potenziale oscilla a una frequenza oi. Si trova

che il plasma possiede una frequenza caratteristicaIn questo paragrafo saranno delineate quattro proprietà caratteristiche di

questo stato della materia. Esse, come si vedrà, dànno luogo a chiare rappresen­ 4ire'ntazioni intuitive e rendono assai piu facile la comprensione di fenomeni com­

O

plessi e rapide stime degli ordini di grandezza; si può dire che nel lavoro del ri­( = 5 x io" sec ' , m,, è la massa dell'elettrone) alla quale esso può risuonare, in­cercatore professionista in questo campo queste proprietà sono familiari stru­ dipendentemente dalle sue dimensioni (a differenza dei sistemi materiali solidi,

menti di lavoro a cui egli ricorre quasi inconsciamente, prima ancora di arrivare che dànno una nota tanto piu acuta quanto piu sono piccoli ). Se la frequenza ec­alla formulazione matematica precisa. citatrice è inferiore a oi la perturbazione viene subito smorzata; se è assai supe­

Plasma 796 797 Plasma

riore la sua velocità di propagazione V è sostanzialmente la velocità termica de­gli elettroni ~ kT)m, (= d x to' c s ec ' ), ma diventa semp e pin grande man x.z. Magnetismo.mano che ci s'avvicina a co„ (fig. x) :

okT xNei plasmi ordinari il campo magnetico prodotto dalle singole particelle è

2trascurabile; un campo magnetico esterno, invece, è in grado di esercitare ef­

m, fetti drastici.r ­ ­

eo 2 Esso curva la traiettoria di solito rettilinea di una carica in un'elica (fig. z)Queste oscillazioni di plasma sono il capostipite di una numerosa e complessa

il cui asse è allineato con le linee di forza; la velocità angolare di rotazione è

famiglia di moti ondosi prodotti dal moto collettivo delle particelle nei campiuguale alla cosiddetta «frequenza di ciclotrone» Q =eB /mc (si usano qui unità

elettrici e magnetici generati da esse stesse ed eventualmente prodotti dall'ester­elettrostatiche assolute per la carica e il gauss per il campo magnetico). Per un elet­

no. Un altro esempio fondamentale si ha quando un'onda elettromagnetica ditrone in un campo magnetico di xo ooo gauss, Q = x,7 x xoxx sec ', un po' infe­

frequenza e lunghezza d'onda ), = zrrc/co incide su un plasma: al suo interno la riore alla frequenza di plasma. Il raggio dell'elica è il rapporto tra la velocità v Jortogonale a B e Q e può essere piccolo; per un protone a xo«K esso è x cm. Si

lunghezza d'onda2rrC può dire che le particelle vengono, per cosi dire, ancorate alle linee di forza, pur

~ u' — ot„' essendo sempre libere di muoversi lungo di esse. I tre gradi di libertà traslazio­nali delle molecole di un gas ordinario (o di un plasma non magnetizzato) sono

diviene sempre piu grande fino a diventare formalmente infinita per co = con. qui ridotti a uno solo.

Per frequenze inferiori X diventa immaginaria : il che significa che l'onda è smor­ Quando un flusso di plasma viene diretto verso un campo magnetico ortogo­zata e non è in grado di penetrare il plasma. nale alla sua velocità il suo moto viene ostacolato ; se il Russo è intenso esso gene­

JB

L

Passo2'T

Vi ' IQI

figrL v = IQ I r

L

Figura

La velocità di propagazione V di due caratteristici fenomeni ondulatori in un plasma.La curva superiore corrisponde alle onde elettromagnetiche, che nel vuoto si propagano

Figura z.

con la velocità della luce c; quella inferiore vale nel caso di oscillazioni della carica elettrica Traiettoria di una particella carica in un campo magnetico uniforme e costante. L'el

del mezzo. Ambedue le onde non possono propagarsi se la loro frequenza «o è inferiore ca è descritta con un moto di traslazione uniforme lungo l'asse, paraflelo al cam o con ve

alla frequenza di plasma locità V „; e con un moto circolare uniforme nel piano perpendicolare con frequenza Q =

gr»ne« =eB /mc e velocità vx. L'angolo 8 è formato tra la velocità complessiva e B. Il raggio del­l 'elica r~= v d /IDI si dice «raggio di Larmor».

799 PlasmaPlasma 798

è piu intenso si comportano quindi come degli specchi che riflettono all'indie­ra un campo magnetico di segno opposto a quello esterno, diminuendolo o addi­ tro gran parte delle particelle. Su questo principio si basa un altro importanterittura annullandolo. Lo studio di questa competizione è uno dei problemi prin­ sistema di confinamento del plasma, la bottiglia magnetica (fig. 4).cipali di una parte della fisica del plasma, la «magnetofluidodinamica», generaliz­zazione della dinamica dei fluidi ordinari. Esso è correntemente risolto attraver­so il concetto di pressione magnetica : un plasma è soggetto, oltre alla sua pressio­ t.3. Trasporto.

ne idrostatica P, a una pressione prodotta dal campo magnetico esterno B data da Come è naturale, data la sua composizione, un plasma è un ottimo conduttoreB' di corrente elettrica. Un campo elettrico esterno E (per esempio, quello creato

P = ­ da un condensatore) imprime a ogni carica la forza eE; essa si muove quindi di47I:moto accelerato fino al momento in cui una collisione con un'altra particella le

che agisce nel piano perpendicolare a B. Per mantenere un plasma in equilibrio conferisce una velocità completamente casuale e, in media, nulla. Da questo

occorre assicurare che la pressione totale P+P si a costante; si può allora impe­ istante in poi riprende l'accelerazione, e cosi via. Indicando con ~ l'intervallo didire al plasma di fluire attraverso linee di forza circondandolo con un campo ma­ tempo che in media separa due collisioni successive, la velocità media ordinatagnetico esterno. Su questo principio si fondano molti dispositivi sperimentali acquistata dalla particella è

r eEper confinare e riscaldare un plasma; difatti non è opportuno che esso venga a v= — — ' r 'contatto con una parete solida perché verrebbe da essa rapidamente raffredda­ zmto e contaminato da impurità estratte dai primi strati superficiali. attraverso una sezione di area unitaria passerà allora una corrente

Ogni configurazione di confinamento magnetico deve però risolvere il pro­z e»Etnblema del moto delle particelle lungo le linee di forza. Anzitutto si può creare un j = entI = - ­

campo magnetico di forma anulare senza estremità (i cosiddetti «tori»: cfr. fig. 2 m

3) ; ma si può anche sfruttare un'importante proprietà del moto di una carica in (equivalente alla legge di Ohm ).un campo magnetico non uniforme. Quando B varia l'elica descritta è lievementedeformata, ma rimane costante il rapporto B /sine&, ove & è l'angolo che la velo­cità della particella fa con l'asse (fig. z). All'aumentare di B, quindi, il passo del­ Avvolgimento principale

l'elica diventa sempre piu piccolo e ad un certo punto comincia ad avvolgersi o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

all'indietro, invertendo il senso di marcia lungo la linea di forza. Le zone ove B Avvolgimento o o o o A v v o lg imentosecondario o oloo I seco ndario

PlasmaSpire di corrente

OO OO O OIO OOO OO OOIOO

0 OI o O O O O O O O O O O O O O O O O O IO O

I I

B

Plasmaa

Figura 4.Figura g

Un altro metodo per ottenere un plasma confinato : la «bottiglia magnetica». L'avvol­Una maniera per eliminare perdite di particelle dalle estremità delle linee di forza ma­ gimento principale produce un campo con simmetria cilindrica ; i due gruppi di' spire se­

gnetiche: esse vengono chiuse ad anello e il plasma racchiuso — senza toccare le pareti­ condarie lo rendono piu intenso alle estremità del plasma. I due grafici indicano le lineein un contenitore a forma di «toro». Le spire esterr!e generano un campo magnetico alli­ di forza e l'andamento dell'intensità del campo sull'asse.neato con l'asse del toro.

Plasma 8oo8or Plasma

Si vede che questa corrente è proporzionale al campo elettrico esterno; e il coef­ficiente di proporzionalità, che si dice «conducibilità elettrica» è, ir = e'rn/zm. stici; per esempio, la radiazione è polarizzata e diretta lungo raggi che formano

La valutazione del tempo w costituisce uno dei capitoli piu delicati di tutta la fi­con la traiettoria un piccolo angolo. Essa si chiama «radiazione di sincrotrone».

sica del plasma; basti qui dire che una rozza approssimazione è data dalla for­Spesso i plasmi che si incontrano in astrofisica sono prossimi a intense sorgenti

mula ~o>„n (d/~4vr:)s. Al secondo membro si ha il numero di elettroni conte­di particelle assai energetiche, come le stelle di neutroni, i nuclei galattici o il

nuti in un cubo il cui spigolo è uguale alla lunghezza di Debye;esso, come si è Sole stesso ; la radiazione che si osserva in questi casi ha una componente di sin­

detto, è di solito assai grande (nel caso specifico sopra indicato è circa xoo ooo). crotrone e la sua analisi costituisce uno strumento prezioso per risalire alle pro­

Si vede allora che tra una collisione e l'altra trascorrono moltissimi periodi delleprietà della sorgente.

oscillazioni di plasma, il che rende ragione del permanere della loro coerenza pertempi lunghi.

Per ragioni simili il plasma è un ottimo conduttore di calore ; anche in questo z. Li v e l l i di descrizione matematica del plasma.

caso svolge un ruolo importante la distanza che in media una particella copreprima di cedere in una collisione l'energia termica che possiede alle altre cariche

Dopo aver passato in breve rassegna le proprietà e le rafFigurazioni intuitive

del gas. Tale distanza è uguale al prodotto di ~ per la velocità media ed è quindi che guidano la comprensione della fisica del plasma, è interessante ora analizzare

assai grande quando vi sono molte particelle in un cubo di Debye (di spigolo d). i diversi livelli di descrizione matematica che generano i potenti metodi di cal­colo oggi usati per predire quantitativamente il suo comportamento. Poiché leleggi di moto per ciascuna carica sono perfettamente note, in linea di principio

r.4. Irraggiamento. si può ottenere del plasma una descrizione esatta e deterministica, capace di dare

L'irraggiamento di un plasma è assai diverso nei due casi in cui esso sia opa­ le posizioni e le velocità di tutte le particelle — e quindi anche tutte le proprietà

co o trasparente alla radiazione generata. Se è opaco ogni fotone collide ben pre­macroscopiche — quando siano note le posizioni e le velocità all'istante iniziale.

sto con un'altra carica e si pone in una situazione di equilibrio termodinamico inIn realtà ciò non è possibile nei casi realistici per l'elevatissimo numero dei gradi

cui la sua energia media è uguale a k T, ove T è la temperatura del plasma. Alloradi libertà che intervengono ; occorre adottare precise approssimazioni, la cui va­

l'emissione radiativa è proporzionale alla superficie del plasma e il flusso emesso lidità è tuttavia soggetta, talvolta, a dubbi. Negli ultimi anni hanno assunto gran­

per unità di superficie è proporzionale a T4. Questo è il caso del Sole, il quale de importanza le simulazioni numeriche della dinamica del plasma, in cui con

non è altro che una grande massa sferica di plasma d'idrogeno ed elio opaco alla grandi elaboratori elettronici si sono risolte le equazioni di moto di un insieme

sua stessa radiazione.di particelle; il loro numero (per esempio, qualche migliaio ) è sempre di gran

Se invece si hanno condizioni di trasparenza, ogni fotone emesso è perso; lalunga inferiore ai valori realistici, ma i risultati costituiscono un utile controllodelle conclusioni teoriche e qualche volta hanno indicato nuovi effetti.

potenza della radiazione è proporzionale al volume del plasma ed è determinatadai meccanismi dettagliati con cui l'energia delle singole particelle si trasforma

Sia dal punto di vista dell'evoluzione storica sia da quello della naturale pro­

in energia elettromagnetica.Si accenna qui a due di questi meccanismi, basati gressione della diflicoltà, il primo modello di plasma è quello di un fluido in gra­

su un importante risultato dell'elettrodinamica classica: ogni particella in motodo di trasportare una corrente elettrica e soggetto all'azione delle forze esterne e

accelerato irraggia, e la potenza radiativa è proporzionale al quadrato dell'accele­ dei campi magnetici da esso stesso generati. Per descriverlo occorre specificare

razione. In un plasma vi sono due cause principali dell'accelerazione di una ca­ per ogni punto e per ogni istante le seguenti grandezze: la densità di massa, la

rica. Anzitutto quando, ad esempio, un elettrone passa in prossimità di un nu­velocità di flusso, la temperatura (o meglio, l'energia cinetica media per parti­

cleo, viene deviato dal suo campo elettrostatico e quindi irraggia per un periodocella) e il campo magnetico. Ciascuna di queste grandezze obbedisce a una legge

che è dell'ordine della sua distanza minima divisa per la velocità. In conseguen­fisica che permette di calcolarne la variazione in un piccolo intervallo di tempo.Piu precisamente, la densità di massa è determinata dalla conservazione della

za di questa radiazione l'energia dell'elettrone diminuisce ed esso viene frenato ; massa contenuta in ogni volumetto di fluido; la velocità di flusso deve soddisfareessa si chiama pertanto «radiazione di frenamento». La potenza emessa per cen­timetro cubo è proporzionale a n'~T e diventa rapidamente importante all'au­

la conservazione della quantità di moto ; la temperatura è governata dalla con­

mentare della densità.servazione dell'energia tenendo conto, naturalmente, di tutti i processi di tra­

Se sul plasma agisce un campo magnetico esterno ogni particella ha un'acce­sporto ; e, infine, il campo magnetico è legato dalla legge di induzione al campo

lerazione v+Q e la potenza corrispondente è proporziona]e a B~. Essa si chiamaelettrico, a sua volta determinato dalla corrente trasportata con la legge di Ohm

«radiazione di ciclotrone» ed è emessa proprio alla frequenza Q. Quando la velo­già ricordata. Non è necessario per comprendere lo schema scrivere in dettaglio

cità delle particelle è prossima a quella della luce, tuttavia, questo tipo di radia­queste equazioni; basta ricordare che esse determinano l'evoluzione temporale

zione acquista delle caratteristiche assai peculiari a motivo degli effetti relativi­di due grandezze vettoriali (la velocità di flusso e il campo magnetico) e di duegrandezze scalari (la densità di massa e la temperatura ). Ad esse si deve aggiun­

8og PlasmaPlasma 8oz

Allora se i fenomeni che si vogliono descrivere avvengono su una scala di tempigere la definizione della pressione e della conduttività in funzione delle altre piu grande del tempo w, ogni eventuale deviazione dall'isotropia e dalla distribu­grandezze. zione di Boltzmann ha il tempo di venire cancellata dalle collisioni che si susse­

Questo schema, che va sotto il nome piuttosto ostico e già citato di magneto­ guono numerosissime e caotiche.fluidodinamica, si è dimostrato straordinariamente fecondo ed ha permesso, per Nel plasma tipico di laboratorio considerato, w è dell'ordine di g x io sec,esempio, di chiarire il meccanismo che dà origine al campo magnetico terrestre, un tempo certo piccolo per i fenomeni ordinari, ma assai piu lungo del periodocome si accennerà nel $ g. di plasma i /o~„e del periodo di ciclotrone r /Q. Quindi in questo caso tale ap­

Ad un'analisi piu approfondita, tuttavia, le limitazioni del modello fluido del prossimazione non è adatta a descrivere le oscillazioni di plasma e tutti gli altriplasma appaiono ben presto chiare. Anzitutto esso considera un fluido elettrica­ fenomeni di frequenza elevata. Per essi vale piuttosto l'approssimazione opposta,mente neutro e non è quindi in grado di descrivere le fluttuazioni di carica e le in cui le collisioni vengono completamente trascurate ; ma allora occorre adotta­oscillazioni di plasma. Si è visto che le prime hanno dimensioni spaziali dell'or­ re una descrizione assai piu dettagliata dello stato cinematico delle particelle, chedine della lunghezza di Debye; e le seconde hanno frequenze superiori alla fre­ ammetta un arbitrario grado di anisotropia e di deviazione dalla distribuzione diquenza di plasma. Pertanto questo modello è sensato solo per fenomeni che av­ Boltzmann. Tale descrizione richiede l'introduzione, oltre allo spazio ordinariovengono su una scala di tempo piu lunga del reciproco di oi ; e su diinensioni (di coordinate cartesiane x,y,e ), dello spazio le cui coordinate sono le compo­spaziali piu grandi di d, sulle quali le deviazioni dalla neutralità sono trascurabili. nenti della velocità v~, vy, v,; e di una funzione di densità in questo spazio com­In secondo luogo, nell'ambito di questo modello non possono venire descritti il plessivo a sei dimensioni. Un plasma è allora descritto da un « fluido» continuoprocesso di ionizzazione e il suo inverso di ricombinazione, che possono mettere che si muove in questo spazio. Matematicamente questa funzione densità si ot­in gioco notevoli quantità di energie. Essi richiedono la considerazione di due tiene considerando un volumetto dx dy dz nello spazio ordinario attorno al pun­fluidi distinti e sovrapposti, uno neutro e un altro ionizzato, con la possibilitàdi scambi di materia tra di loro. Ma esso ha anche una carenza assai piu sottile,

to (x,y, z) e un volumetto dv~ dvy dv, nello spazio delle velocità attorno al punto(v„vy, v,). Se dN è il numero totale delle particelle presenti in questo volumetto

la cui comprensione introduce nel cuore della fisica del plasma, a sei dimensioni, la densitàf (funzione di distribuzione) è il rapportoOccorre domandarsi: in quali condizioni la descrizione del plasma come un

fluido può dirsi incompleta> Quando si asserisce che in un punto di un gas ordi­ dN

nario (ove, per semplicità si suppone nulla la velocità del flusso) vi è una tempe­ d dyd d d dX

ratura T, non si dice solamente che l'energia cinetica media delle molecole che quando il denominatore tende a zero. In realtà, naturalmente, il plasma è costi­lo compongono è g/z k T, ma si fa in realtà un'asserzione assai piu complessa cir­ tuito da particelle singole e questo passaggio al limite non è a rigor di terminica la loro distribuzione statistica. Precisamente, si richiede a) che le direzioni possibile ; si può allora definire la funzione di distribuzione quando il volumet­della loro velocità siano tutte ugualmente probabili (isotropia) e b) che la proba­ to è abbastanza grande da contenere un gran numero di particelle e abbastanzabilità che la loro energia cinetica sia compresa tra F. e E+ dE sia data esattamente piccolo aflinché in esso non vi siano apprezzabili variazioni delle quantità macro­dalla distribuzione di Boltzmann, cioè da scopiche. Con un procedimento piu rigoroso, ma astratto, si possono anche im­

F, maginare infinite repliche ideali dello stesso sistema fisico e intendere f come(kT) — e @ "+ dE la densità di probabilità nello «spazio delle fasi» (x, y, z vz vy vz ).

L'evoluzione temporale della f è determinata da un'equazione(detta di Vla­(cfr.' fig. g). In questa maniera l'assegnazione della temperatura e della densità de­ sov dal nome del fisico russo che l'ha dedotta) che si deduce dalla dinamica delletermina completamente lo stato statistico del gas in quel punto. Questa distri­ singole particelle. In un tempo infinitesimo dt una carica che si trova in (x,y, z,buzione di velocità è privilegiata perché è il risultato naturale dell'azione di di­ v~, vy,vz) si sposta in (x+v~dt, y+v „d t, z+v ,d t, v,+ (F /m)dt> vy+ (Fy/m)dt,sordinamento prodotta nelle particelle dalle collisioni ; in altre parole, se in par­ v,+ (F,/m) dt), ove F = (F,Fy,F,) è la forza agente; ciò produce una variazio­tenza esse hanno una distribuzione diversa (ad esempio, non isotropa), dopo un ne della f descritta dall'equazionetempo dell'ordine di w (durante il quale la maggior parte delle particelle subi­scono almeno una collisione) essa viene normalizzata ed assume le due caratteri­ òf òf òf òf F òf Fy òf F, òf

­.+ v — +vy — +v, + * + " + — ' ­ = o.stiche a) e b) indicate. Si è qui trascurata, per semplicità, la distinzione tra il ri­ òt òx yòy 'òe m òv m òv „ m òv,lassamento alla proprietà a) e quello alla proprietà b). Quando, come accade di Il punto cruciale però sta nella maniera con cui si calcola la forza F: essa è lasolito, le particelle negative hanno massa diversa da quelle positive, essi sono somma delle forze esterne e di quelle dovute al plasma stesso, dipendenti quindicaratterizzati da tempi diversi. Questo stato finale si chiama equilibrio termodi­ dalla funzione di distribuzione f. L'equazione che cosi si ottiene presenta carat­namico locale e costituisce, per cosi dire, lo stato di massimo disordine locale teristici effetti di azione e reazione : le forze che modificano la f sono a loro voltapossibile ; e il processo che ad esso conduce è il «rilassamento verso l'equilibrio».

Plasma 8oy 8og Plasma

determinate dalla f attraverso la cariche e le correnti che il plasma contiene. Se portante distinzione si vede anche dal fatto che nella descrizione di Vlasov non

f, e f, sono due soluzioni dell'equazione di Vlasov, la loro sommaf, +f~ in gene­ hanno posto i fenomeni di trasporto (per esempio, la conduzione termica), che

rale non la soddisfa : essa è, come si dice, non-lineare. ovviamente avvengono in senso opposto e non fisico quando si inverte il tempo.

Nota la funzione di distribuzione (ad esempio, degli elettroni, con simbolo La descrizione della dinamica del plasma in assenza di collisioni è assai piu

f,), è immediato il calcolo delle grandezze fluide corrispondenti. La densità­ complessa di quella con un modello fluido. Lo schema matematico a cui si è ac­

cioè il numero delle particelle per unità di volume — è cennato ha dato luogo a straordinari sviluppi a partire dagli anni '6o, con i qualiè stata messa in evidenza una grandissima varietà di eAetti inaspettati, di pro­prietà raffinate, di configurazioni geometriche peculiari. Si può dire, in maniera

ne = d+x d+y d+zfe i qualitativa, che un plasma senza collisioni gode di molti piu gradi di libertà diquando è descritto nell'approssimazione di un fluido ordinario ; in altre parole il

la velocità media u, è proporzionale alla quantità di moto per unità di volume plasma è in grado di muoversi e deformarsi in un numero assai maggiore di ma­niere. In conseguenza di questo fatto è assai piu facile incontrare configurazioni

+oz + co +n,u, = dv dv„ dv, vf,; instabili, in cui una perturbazione iniziale arbitrariamente piccola viene rapida­

mente amplificata, sino a stravolgere completamente l'equilibrio di partenza.Un'instabilità tipica di questo tipo ha luogo quando un fascio di elettroni attra­

l'energia media T, (che con una generalizzazione del termine si può chiamare versa il plasma, una situazione che non si può descrivere con un unico fluido. Intemperatura) è data da questo caso, se la temperatura non è troppo alta, insorgono rapidamente oscilla­

zioni elettrostatiche a frequenze dell'ordine della frequenza di plasma, che dàn­no luogo a uno stato turbolento. Le instabilità sono d'importanza cruciale in tut­ti i progetti di confinamento di un plasma : essi sono severamente condizionati

Questi integrali sono chiamati «momenti » (rispettivamente di ordine o, r e z) da oscillazioni instabili con periodi piu piccoli del tempo di collisione, che spessodella funzione di distribuzione f,. Ci si può chiedere allora se le grandezze n„ disperdono rapidamente il gas verso le pareti. A ciò si riesce ad ovviare solamen­

u„T , (e quelle corrispondenti per gli ioni) che sono sostanzialmente quelle del­ te attraverso un'analisi precisa delle instabilità rilevanti e ricorrendo a condizioni

la magnetofluidodinamica, obbediscano ad equazioni simili, corrispondenti alla di equilibrio assai complesse e con campi magnetici molto intensi. Come si ve­

conservazione del numero delle particelle, della loro quantità di moto e della loro drà nell'ultimo paragrafo, a questo problema è in parte dovuta la grande diffi­

energia. Queste equazioni si possono facilmente ottenere mediante opportune coltà incontrata nei programmi per realizzare in laboratorio la fusione nucleare

integrazioni dell'equazione di Vlasov; ma si trova che esse non costituiscono un controllata.

sistema chiuso, in quanto la derivata temporale dei momenti di ordine n dipende L'insorgenza di modi di oscillazione instabili in un plasma in assenza di col­

dai momenti di ordine n+ r. Si può dire che l'equazione di Vlasov è equivalente lisione ha dato luogo a sviluppi teorici di grandissimo interesse, con i quali è sta­

a un sistema di infinite equazioni del tipo della magnetofluidodinamica. Solo in to possibile analizzare le interazioni che hanno luogo tra questi modi quando la

certe particolari approssimazioni è lecito trascurare i momenti del terzo ordine e loro amPiezza è sufficientemente grande. Due modi con frequenze u, e roa Pos­

chiudere un sistema per i momenti di ordine o, r e z di ciascuna specie di parti­ sono eccitare solamente i modi di frequenze u,+ma; ciò corrisponde al princi­

celle presenti; le equazioni che cosi si ottengono costituiscono una generalizza­ pio di conservazione dell'energia in meccanica quantistica, dal momento che un

zione della magnetofluidodinamica ordinaria. fotone di frequenza u ha un'energia h<u/zw (h è la costante di Planck ) ; simil­

Rispetto alla magnetofluidodinamica, questo schema teorico ha un'altra dif­ mente, se le loro lunghezze d'onda sono )„e X~ e le loro direzioni di propaga­

ferenza essenziale. Poiché è stato trascurato l'efletto delle collisioni, la direzione zione nt ed ns, i modi eccitati soddisfano sempre alla relazione

in cui fluisce il tempo è arbitraria ; in altre parole, da una soluzione se ne ottiene I 11t I l a

automaticamente un'altra cambiando segno alla variabile temporale t e a tutte le— n= ­ + —,

componenti della velocità. Questa proprietà è la diretta conseguenza del fattoche le equazioni di moto per la particella singola godono anch' esse di questa sim­ corrispondente alla conservazione della quantità di moto in meccanica quanti­

metria rispetto all'inversione del tempo. Quando invece si fa l'ipotesi dell'equi­ stica. Si può comprendere che l'insieme dei modi eccitati cosi selettivamente e ilibrio termico locale, la direzione in cui scorre il tempo è implicitamente fissata loro ritmi di crescita o di smorzamento, che si possono calcolare con precisione,

come quella nella quale il disordine (o l'entropia) aumenta. Quando s'inverte la diano luogo a una descrizione dettagliata degli stati turbolenti di un plasma, con

freccia del tempo, si hanno processi in cui il caos molecolare diminuisce: una svariate possibilità di applicazione.

situazione teoricamente possibile, ma estremamente improbabile. Questa im­ Occorre sottolineare ancora che la differenza tra questi due schemi teorici

Plasma 8o6 8op P1asma

non sta tanto nel tipo di plasma considerato, ma piuttosto nella classe dei feno­ dipende dalla minor raffinatezza della descrizione usata; in altre parole, se l'og­meni che si vogliono descrivere. L'equazione di Vlasov, per esempio, non per­ getto delle misure e della teoria sono grandezze in qualche senso mediate, esse simette lo studio dei fenomeni di trasporto, che avvengono su scale di tempo assai evolvono in maniera irreversibile. Per esempio, se invece di considerare la velo­piu lunghe dei periodi caratteristici delle oscillazioni menzionate. Si può rime­ cità istantanea di una particella ci si limita a studiarne la media temporale su undiare a questa carenza senza ricadere nello schema fluido, troppo grossolano per tempo piu lungo della durata di una collisione tipica, ma piu corto delle scalei fenomeni piu interessanti, solo introducendo un terzo livello di descrizione ma­ temporali che interessano, tale media obbedisce a equazioni irreversibili. Quan­tematica di cui si parlerà ora brevemente. L'equazione di Vlasov, come si è detto, do un elettrone subisce una violenta collisione con un protone la sua energia ci­descrive il moto delle particelle cariche sotto l'azione dei campi elettrici e ma­ netica m,t /z kT è dello stesso ordine di quella potenziale e'/r, per cui la lorognetici esterni e di quelli generati collettivamente dalle particelle stesse; sono distanza è all'incirca e /m,v ; la durata di una collisione è allora t, = e /m,«i . Ol­escluse le forze caotiche dovute alle singole collisioni. Questi due tipi di forze tre a questo si sono incontrati altri due tempi caratteristici : il periodo di plasmahanno dal punto di vista concettuale proprietà assai diverse : le prime sono de­ oi i e il tempo medio tra due collisioni w o i „ ' nd». Un piccolo calcolo algebricoterministiche, cioè sono perfettamente fissate quando siano assegnate le forze mostra che o» t, r /nd» (trascurando fattori numerici dell'ordine dell'unità chep Cesterne e la distribuzione di carica e di corrente elettrica nel plasma; la traietto­ a questo scopo sono irrilevanti ). Si vede quindi che, quando il numero nd è as­» '

ria di una particella è allora perfettamente determinata. Al contrario, poiché non sai grande, come di solito accade, v >) top ~) tc In queste due disuguaglianze, inè possibile predire l'istante e le modalità (direzione e intensità) di ciascuna col­ genere verificate assai bene, sta il segreto della descrizione statistica del plasma.lisione, queste generano necessariamente un'incertezza nella conoscenza del mo­ La prima assicura che le collisioni hanno scarsa importanza (per frequenze del­to di ciascuna carica. Attorno alla traiettoria media si genera cosi, per modo di l'ordine di w ) ; la seconda garantisce la validità del modello statistico, in cui sidire, una «nube di probabilità», che rappresenta la zona ove ci si aspetta di tro­ possono trascurare i dettagli delle singole collisioni e si privilegia una direzionevare la particella a ogni istante. Ragionando con lo spazio della velocità, ogni del tempo.collisione produce una piccola, ma imprevedibile variazione della velocità dellaparticella, come un ubriaco che si aggira senza meta attorno al punto di parten­za ; questo processo si chiama «cammino a caso»(random realk) e, se ha luogo nel­ 3. Plasma cosmico.lo spazio ordinario, produce una diffusione delle particelle da un zona piu popo­lata a una meno popolata. Nel caso presente si ha a che fare con una diffusione Si può far passare una sostanza dallo stato liquido a quello aeriforme non so­nello spazio delle velocità che tende a renderne la distribuzione isotropa e boltz­ lo portando la temperatura al di sopra dal punto di ebollizione, ma anche dimi­manniana. nuendo la pressione. Ciò accade anche nel passaggio da aeriforme a plasma e in

Nella sua formulazione piu semplice questo effetto è descritto aggiungendo questo caso ha una semplice giustificazione fisica. La ionizzazione è prodotta daall'equazione di Vlasov un secondo membro che contiene le derivate prime e una collisione tra un atomo neutro e, ad esempio, un elettrone la cui energia ci­seconde di f rispetto alla velocità ed è anch' esso non-lineare rispetto allaf stessa. netica relativa è maggiore dell'energia di ionizzazione ; ma per il processo inver­L'equazione che cosi si ottiene prende il nome, oltre che da Vlasov, da Fokker e so — la ricombinazione — non è sufficiente che un elettrone passi vicino a un nu­Planck che per primi hanno dato una descrizione precisa dei fenomeni di diffu­ cleo per venire catturato. Le forze elettrostatiche, difatti, non mutano l'energiasione. Essa, naturalmente, non è piu invariante quando la freccia del tempo è totale del sistema; mentre la ricombinazione comporta necessariamente la di­invertita e presenta difFicoltà matematiche notevolmente superiori a quella del­ minuzione dell'energia da valori positivi (sistema slegato) a valori negativi (si­l'equazione di Vlasov. stema legato). La ricombinazione può avvenire quando, per esempio, tre parti­

In chiusura di questo paragrafo, un'osservazione di principio. Ci si potrebbe celle interagiscono contemporaneamente, in maniera tale che la terza, aumen­domandare: qual è la giustificazione teorica rigorosa di questi diversi livelli di tando la sua energia, diminuisca la quota spettante alle altre due. Ciò si può veri­descrizione? Giacché si sanno scrivere esattamente le equazioni di moto di N ficare, per esempio, quando un elettrone urta un protone in prossimità di un al­particelle cariche interagenti, in quale senso quando N è assai grande esse sono tro nucleo. Ciò mostra che, anche se l'evento è energeticamente possibile, la ioniz­approssimabili da una di queste equazioni? Questo grande problema teorico co­ zazione è molto piu probabile della ricombinazione; e questa differenza è tantostituisce l'oggetto di una disciplina particolare, la «teoria cinetica», ed è stato piu forte quanto piu rarefatto è il gas e, quindi, piu rare sono le collisioni a trelungamente studiato. corpi. In questo caso l'equilibrio tra le due reazioni di ionizzazione e ricombina­

A che livello e in quale approssimazione da equazioni dinamiche perfetta­ zione si sposta verso la prima. Per questa ragione i gas estremamente rarefat­mente reversibili (quelle per le singole particelle ) appare il fenomeno dell'irre­ ti che s'incontrano negli spazi interplanetari, interstellari e intergalattici sonoversibilità? Per rispondere a queste domande sono stati usati metodi statistici spesso completarnente ionizzati, anche se la loro temperatura corrisponde a un'e­estremamente raffinati. Si può però dire almeno che il grado di irreversibilità nergia cinetica media assai inferiore all'energia di ionizzazione.

Plasma 8og Plasma

Inizia qui una carrellata sui plasmi che s'incontrano in astrofisica dallo spa­ accessibili al vento solare; su di esse si può produrre un flusso di particelle chezio interplanetario. Esso è riempito da un flusso di protoni, elettroni e nuclei eccita le molecole dell'alta atmosfera producendo le aurore boreali. Al di soprad'elio emessi dal Sole; quando questo «vento solare» passa in prossimità della di 8o km l'atmosfera, estremamente rarefatta, è ionizzata e svolge un ruolo fon­Terra contiene all'incirca xo elettroni per cms, ha una velocità radiale di yoo­ damentale nella propagazione delle onde radio (ionosfera).goo km/sec e una temperatura di circa zoo ooo gradi. In vicinanza del Sole esso Anche il campo magnetico della Terra è dovuto a un particolare tipo di pla­è piu denso e piu caldo e costituisce la corona solare, visibile anche ad occhio sma presente nel suo nucleo. Esso è costituito da silicati e metalli ; questi ultimi,nudo in occasione di un'eclissi sotto forma di grandi protuberanze luminose che per la loro particolare struttura microscopica, sono in grado di generare elettro­partono dalla superficie del Sole. L'origine di questo grandioso fenomeno e del­ ni liberi. Questa è la ragione per cui allo stato solido e liquido sono ottimi con­la sua elevatissima energia termica non è ancora completamente chiarita, ma ha duttori dell'elettricità. All'interno della Terra l'elevatissima pressione dovuta alcerto a che fare con lo stato assai turbolento dello strato esterno del Sole. Quando peso degli strati superiori ne aumenta la temperatura al di sopra del punto di fu­il vento solare investe il campo magnetico della Terra ne comprime il fronte e ne sione ; il liquido cosi generato si comporta come un plasma e obbedisce alle leggidistende la parte posteriore in una lunga coda con un meccanismo che è sostan­ della magnetofluidodinamica. Su di esso agiscono, oltre alla forza di gravità, lezialmente descritto dal complesso equilibrio tra la pressione magnetica interna forze apparenti dovute alla rotazione terrestre (in particolare, quella centrifuga).e la pressione del fluido (fig. 5). Le particelle del vento solare possono rimanere Analisi assai complesse di questo sistema hanno mostrato che è possibile cheintrappolate sulle linee di forza del campo magnetico terrestre che, essendo piu venga spontaneamente generato, a spese dell'energia rotatoria, un campo ma­intenso in basso, si comporta come uno specchio magnetico (fig. 6). Le linee di gnetico parallelo all'asse, ma di verso arbitrario, proprio come indica l'evidenzaforza che arrivano sulla Terra in prossimità dei poli sono aperte e direttamente geologica circa l'alternarsi tra polo Nord e polo Sud (effetto «dinamo»).

Le stelle ordinarie, come il Sole, sono formate prevalentemente da idrogeno

Fronte d'urto ed elio completamente ionizzati e mantenuti a temperatura di decine di milionidi gradi dalle reazioni nucleari di fusione che avvengono nel loro interno. Quan­do nuclei leggeri — come l'idrogeno — si uniscono a formare nuclei piu pesanti— come l'elio —, viene liberata una grandissima quantità di energia; ma perché

Linee di forzadel campo B

ciò avvenga è necessario che essi collidano con impulso sufficiente a superare laforza di repulsione elettrostatica che si esercita tra due cariche dello stesso segno.

à,epie aurore

yo> Traiettoria

Vento ~ Coda Nsolare magnetica

Regionidi intrappolamento

TerraLinee di forzadel campo B

Fronte d'urto

Figura g.

Struttura della magnetosfera terrestre. Il vento solare viene deflesso dal campo rna­ Ionosfera Specchio Lineagnetico della Terra in corrispondenza a una superficie chiamata «fronte d'urto». Le par­ magnetico di forzaticelle del vento solare possono rimanere intrappolate nelle regioni tratteggiate ; ai confinidi queste regioni, in prossimità dei poli, esse possono precipitare nell'atmosfera, produ­ Figura 6.

cendo le aurore boreali. L'intrappolamento delle particelle nel campo magnetico terrestre.

8xx8xo PlasmaPlasma

Se i due nuclei riescono ad avvicinarsi a distanze sufficientemente piccole (del­renziazione. La maniera e i tempi in cui dal plasma primigenio si sono conden­

l'ordine di xo 'a cm ) le forze nucleari (attrattive) hanno il sopravvento e la lorosate le forme ordinate dell'universo costituisce un affascinante problema della

fusione è possibile. Per questo occorre quindi che siano verificate due condizio­cosmologia, in molti aspetti non ancora chiarito completamente.

ni : x) la temperatura del gas deve essere sufficientemente alta, e z) la probabilitàche un nucleo subisca una collisione di questo tipo prima di uscire dalla massadeve essere apprezzabile. Si vedrà nell'ultimo paragrafo che il raggiungimento

Energia dal plasma

di queste due condizioni costituisce la premessa fondamentale per realizzare inlaboratorio la fusione controllata dell'idrogeno al fine di produrre energia; nel

Si è già detto che il motivo principale dello straordinario sviluppo sperimen­

Sole ciò accade sostanzialmente per la sua grande massa, che richiede un'elevatatale e teorico della fisica del plasma a partire dagli anni '6o sono stati i grandi in­

temperatura per compensare la forza gravitazionale all'interno. L'energia cosivestimenti di denaro e di energia umana che i paesi industrializzati hanno co­

generata fluisce lentamente verso l'esterno e viene dispersa nello spazio sotto for­scientemente dedicato a questo campo in vista della possibile realizzazione della

ma di energia radiante ; il Sole è quindi una macchina che trasforma energia nu­fusione nucleare controllata. Al pari della fisica spaziale (nata dai missili bali­

cleare in energia elettromagnetica. A mano a mano che la fusione procede, sistici strategici ) e dell'elettronica veloce (sviluppata durante l'ultima guerra per

forma all'interno un nucleo di elio che aumenta lentamente il suo raggio a spe­l'intercettazione degli aerei nemici col radar ), essa mostra un altro importante

se dell'idrogeno all'esterno; quando questo è esaurito si innescano reazioni piuesempio di processo di evoluzione scientifica invertito rispetto a quello comune­

complicate che, fondendo insieme nuclei di elio, generano specie nucleari piumente conosciuto : qui la scoperta teorica non precede l'applicazione ma, piutto­sto, gli aspetti di base e fondamentali vengono sviluppati sotto la spinta poten­

massive.Non è questo il luogo adatto per affrontare il problema centrale dell'astrofisi­

tissima di una prospettiva concreta di un utile economico. Anche in questo casoP

ca, cioè la struttura e l'evoluzione delle stelle ; basti però notare che il plasma dal origine lontana di questo progetto è militare. Il x~ marzo x954 l'esplosione spe­

cui sono costituite è certamente in equilibrio termodinamico, poiché il camminorimentale prodotta dagli Stati Uniti a Bikini mostrò la possibilità di realizzare

che una particella percorre tra una collisione e l'altra è estremamente piu piccolosulla Terra grandissime quantità di energia sfruttando la stessa reazione nuclea­re di fusione che ha luogo nel Sole con la bomba H. L'idea di realizzare in la­

delle loro dimensioni.Da ultimo, occorre parlare brevemente di un altro plasma cosmico di fonda­

boratorio in forma piu o meno controllata lo stesso processo e di utilizzare a fini

mentale importanza per l'evoluzione di tutto l'universo. Le stelle sono raggrup­civili l'energia cosi liberata si presentò subito e fu attivamente perseguita all'ini­

pate in grandi sistemi tenuti anch' essi insieme dalla loro forza gravitazionale : lezio in laboratori xnilitari. Apparve però ben presto chiaro che il problema del

galassie. Esse contengono, oltre che decine o centinaia di miliardi di stelle, anchecontrollo della reazione richiedeva conoscenze sperimentali e teoriche del pla­

del gas — in parte ionizzato — in seno al quale esse si sono formate. La scopertasma — in cui essa doveva necessariamente aver luogo — assai piu approfondite di

cruciale della cosmologia moderna sta nel fatto che le galassie sono animate daquelle allora disponibili. Nel x958 negli Stati Uniti a questo progetto fu tolto il

un rapito moto di recessione l'una dall'altra, la cui velocità aumenta all'aumen­vincolo di segretezza e da allora i fondi messi a disposizione in tutto il mondo a

tare della distanza. Si può concludere da ciò che in un tempo passato sufficiente­questo fine aumentarono costantemente, senza però raggiungere una soluzionedefinitiva. La crisi energetica ha reso ancora piu pressante questo progetto mon­

mente lontano le galassie non esistevano ancora e la loro materia era contenutain un piccolo volume spaziale; a quell'epoca le stelle non erano nate e l'uni­

diale: difatti, se esso venisse realizzato, si utilizzerebbe come combustibile l'i­

verso era formato da idrogeno neutro, con una percentuale di elio. Se s'immagi­drogeno dell'acqua.

na di seguire ancora all'indietro l'irresistibile moto di espansione cosmica, si tro­Conviene precisare le due condizioni indicate nel paragrafo precedente per la

verà che questo gas, all'aumentare della sua densità e della sua temperatura, di­realizzazione della fusione. La soglia di temperatura necessaria dipende un po'

venta ionizzato: a quel punto le dimensioni dell'universo erano circa un mille­dalla reazione scelta, ma si può prendere come valore tipico cento milioni di gra­di. I!i. ! tempo di confinamento tgp f è, naturalmente, funzione della densità, misu­

simo di quelle attuali e la sua età di circa un milione d'anni, da confrontare conl'età presente di quindici miliardi d'anni. In questa fase non si trova alcuna delle

rata dal numero degli elettroni per centimetro cubo, n ; con precisione il prodottontqp f deve essere superiore a z x xo' sec cm-s. Per realizzare la seconda condi­

complesse e numerose forme di aggregazione che costituiscono il cosmo comenoi lo vediamo : non c'è altro che un insieme perfettamente caotico di fotoni, di

zione si possono seguire due vie. Quella piu naturale e intrapresa per prima con­

elettroni, protoni e nuclei d'elio animati da un vivacissimo moto di agitazionesiste nepal aumentare tp'„f il piu possibile, mantenendo per n valori tipici dei pla­smi ordinari prodotti in laboratorio (xo' — xo'" cm s). All'inizio i sistemi di c

termica che impediva la formazione di qualsiasi aggregato stabile. Da questocaos primordiale, per raffreddamento ed espansione, sotto l'azione potente ed

namento magnetico nei tori (Fig. g) e nelle macchine a specchi (fig. 4) incon­

irresistibile della forza di gravità, si sono formate prima le galassie e poi, in senotrarono grossi insuccessi : il plasma, non appena prodotto entro i contenitori ma­

ad esse, le stelle ed i pianeti quali ci appaiono nella loro infinita varietà e diffe­gnetici, scompariva subito. Iniziò allora la caccia e la cura delle diverse e sempre

Plasma 8rz 8rg Plasma

piu raffinate forme d'instabilità che erano responsabili di questo fenomeno ; allo riale, che cosi viene rapidamente riscaldato e compresso. La figura 7 mostra unastesso tempo si costruirono macchine sempre piu grosse per alleviare il proble­ macchina di questo tipo — chiamata «Shiva» — in corso di costruzione nel labo­ma aumentando le dimensioni del plasma. Questa via alla fusione è oggi attivis­ ratorio di Livermore, in California; essa costerà piu di zoo milioni di dollari Lasima e se ne vedrà piu avanti qualche esempio. riuscita di questo tentativo è legata alla disponibilità di laser estremamente po­

La seconda maniera consiste nell'abbandonare ogni tentativo di confinamen­ tenti e alla realizzazione di dispositivi estremamente elaborati dal punto di vi­to esterno e di lasciare che tcon f abbia il valore — brevissimo — che corrisponde al­ sta tecnologico. Teoricamente, i complessi fenomeni che hanno luogo quandol'espansione naturale di una piccola sfera di un composto d'idrogeno alla tem­ del materiale solido viene irradiato con altissimi flussi luminosi non sono benperatura richiesta. Occorre però allora aumentarne la densità a valori superiori a conosciuti, soprattutto perché essi variano con grande rapidità. Sono assai utiliquelli della materia solida. È necessario quindi disporre di un sistema per il ri­ a questo riguardo «esperimenti numerici» in cui le equazioni che governano ilscaldamento e la compressione della sfera in tempi piu brevi di tconr Nella bom­ problema vengono risolte caso per caso su un grande elaboratore elettronico.ba H ciò è realizzato mediante l'esplosione attorno alla sfera di un guscio formato Tornando alla prima via per realizzare la fusione nucleare controllata, si deveda materiale fissile che viene fatto esplodere come una bomba atomica ordina­ anzitutto parlare delle macchine toroidali, il cui principale tipo prende il nomeria; in laboratorio occorre usare maniere piu delicate; per esempio, si può ir­ russo di Tokamak, dal nome del dispositivo che fu costruito per la prima voltaraggiare la sfera con parecchi fasci di onde elettromagnetiche di altissima poten­ negli anni r6o nell'Istituto per l'energia atomica Kurchatov di Mosca. Il plasmaza generati da un sistema di laser. Questa radiazione viene assorbita dal mate­ nel Tokamak è soggetto a due campi esterni : un campo magnetico (« toroidale»)

le cui linee di forza sono chiuse ad anello lungo il toro ; e un campo elettrico di­retto nella stessa direzione. Quest'ultimo è prodotto mediante l'effetto di indu­

Venti impulsi laser convergentiFascio luminoso primario riscaldano la superficie della sfera zione magnetica, cioè variando il flusso magnetico che il plasma abbraccia; per

far questo attorno al plasma è avvolto un nucleo di ferro che porta un avvolgimen­Laser to primario di spire. Allorché in queste ultime viene fatta passare una corrente

Lo strato esterno esplode in fuorie in dentro, comprimendo il nucleo variabile, il plasma si comporta come il circuito secondario di un trasformatore e

Amplificatori laser diventa sede di un campo elettrico toroidale. La corrente cosi generata ha dueSpecchi Il nucleo raggiunge densità scopi: anzitutto, essa scalda il plasma — che ha una resistenza residua — per ef­

e temperature elevatissime fetto Joule; in secondo luogo, essa genera un campo magnetico secondario, le

I nuclei di idrogeno cui linee di forza sono cerchi concentrici all'asse del toro (campo «poloidale»).fondono in elio Questo campo esercita un importante effetto stabilizzante sul plasma (fig. 8).a l(e e vengono hberatr Un altro importante schema di confinamento è, come si è detto, lo specchio

neutroni energeticimagnetico ; esso però non è di per se stesso sufficiente, perché una frazione delleparticelle riesce sempre a sfuggire dalle estremità se la loro velocità forma con il

"",i òo campo magnetico un angolo troppo piccolo. Questo problema è stato oggettoCamera di scoppios. di molte ricerche; una possibile soluzione è sfruttata in un grosso progetto del

'gt crSchermo

laboratorio di Livermore (cfr. fig. q).Mentre la realizzazione della condizione z ) per la fusione può, in linea di

principio, venire raggiunta con un plasma sufficientemente esteso, il suo riscal­damento alle temperature necessarie per la fusione incontra degli ostacoli. Ov­viamente questo scopo non può essere raggiunto mediante la conduzione termi­ca ordinaria, che richiede una sorgente a temperatura superiore ; occorre inveceiniettare rapidamente grandi quantità di energia e fare in modo che essa vengadistribuita tra i nuclei sotto forma di energia cinetica. Il riscaldamento separato

Sferetta dagli elettroni, per esempio, costituisce solo una perdita, poiché essi non parte­cipano al processo di fusione. Il riscaldamento dei nuclei comporta necessaria­

Figura 7. mente un disordinamento dell'energia iniettata per effetto delle collisioni cheessi subiscono; esso sarà tanto piu rapido quanto piu piccolo è il tempo v che,

«Shiva», la macchina in progetto nel laboratorio di L ivermore per produrre fusionein una sferetta di un composto d'idrogeno mediante l'irradiazione simultanea di venti fa­ in media, intercede tra due collisioni successive. Il problema sta nel fatto che wsci laser. non è una costante, ma dipende esso stesso dalla temperatura T ; piu precisamen­

Plasma 8xy 8xg Plasma

Spire per la generazionedel campo magnetico primario toroidale B«, te, è proporzionale a Tsts. Allora quando T aumenta, x aumenta anch' esso, per

cui il riscaldamento diventa sempre piu difficile e lento a mano a mano che ilplasma viene scaldato. Tra i molti sistemi di riscaldamento sperimentati, oltre aquello basato sull'effetto Joule e sulla resistenza elettrica del plasma, va citata lapossibilità di usare un intenso fascio di microonde e l'iniezione nella camera diun fascio di atomi neutri assai energetici che, traversando il campo magnetico,vengono ionizzati e subito dopo intrappolati.

Avvolgimentoprimario La realizzazione di queste macchine, e ancor piu quelle che saranno necessa­

rie nel futuro per estrarre effettivamente energia utile dalla fusione, hanno fattodella fisica del plasma una scienza costosa e complessa, il cui progresso dipendeda grandi dispositivi strumentali, con formidabili problemi d'ingegneria e tecno­

Avvolgimentosecondario logia avanzata. Questi progetti richiedono fondi elevati, grande coordinazione

(plasma) tra tecnici e scienziati di molti rami e un tempo notevole per la loro realizzazio­ne ; essi sono caratterizzati da una notevole rigidità, nel senso che le caratteristi­

Nucleo di ferro che di queste macchine devono essere fissate molto tempo prima del loro usodel trasformatoreParticelle effettivo ed è di%cile mutarle secondo nuove prospettive o nuove concezioni.

contenute

Figura 8. 10

Schema di principio di un Tokamak. Oltre al campo magnetico toroidale, vi è ancheRegione ove può aver luogoun campo secondario «poloidale» le cui linee di forza sono cerchi concentrici con l'asse la fusione nuclearedel toro. Esso è generato dalla corrente toroidale che fiuisce nel plasxna, in quanto esso è

il circuito secondario di un trasformatore. Le particelle vengono cosi confinate sulle lineedi forza.

R xo"

Fasci neutri:-==.' Regione:::==-. ove opererà il IEr

O

R xox3Fascineutri

Regione ove opererannonO altri esperimenti in avanzata fase

di costruzioneRxoxe

" Esperimentipresenti

Specchio semplice Specchio a tandem

I 011Figura y.

I 10 100 1000Un sistema per chiudere le estremità di una bottiglia magnetica. Per mezzo degli

speciali avvolgimenti a «palla da tennis» vengono create alle estremità delle configurazio­ Temperatura massima dei nuclei (milioni di gradi)ni magnetiche speciali in cui il campo ha un minimo nel centro. In esse vengono iniettatidei fasci di gas neutro che, dopo essere stato ionizzato, rimane confinato sotto forma di Figura xo.plasma a densità relativamente alta; esso funziona come una specie di tappo agli specchi

Valori tipici dei due parametri cruciali per la fusione nucleare raggiungibili dalle mac­magnetici. chine toroidali.

Plasma 8I6 8IP Plasm t

L'associazione europea dell'Euratom (di cui fa parte anche l'Italia) ha iniziato a diversi tipi di macchine sono in competizione e, per esempio, solo nel ig<)~ il

costruire nel laboratorio di Culham, in Inghilterra una grande macchina toroi­ Dipartimento per l'energia degli Stati Uniti si r ipromette di fare la sua scclt;<

dale (il JET). Altri tori di caratteristiche simili sono in costruzione o in progetto definitiva. Solo allora, nei piani americani, sarà possibile cominciare la costru­

negli Stati Uniti, nell'Unione Sovietica e in Giappone. La costruzione del JET zione di un prototipo che potrà dimostrare la fattibilità del progetto nel zoo'.

richiederà circa cinque anni e verrà a costare circa I go miliardi di lire. Essa por­ È già in fase di concezione una nuova macchina a confinamento toroidale — <I<­

terà abbastanza avanti nel soddisfacimento delle due condizioni necessarie per nominata INTQR (International Torus) —, che costituisce il successore del JI".l'.

la fusione controllata, senza però raggiungerla(fig. Io). Per le macchine a specchi, Essa dovrebbe essere costruita negli anni '<)o con una collaborazione tra Europ;<,

la figura II mostra la concezione generale del progetto del laboratorio di Liver­ Stati Uniti, Unione Sovietica e Giappone. [E. E.j.more. Naturalmente oltre a queste grandi realizzazioni ve ne sono altre minori.Tra di esse va ricordato il Tokamak costruito a Frascati dal Comitato nazionaleper l'energia nucleare, che ha già dato interessanti risultati.

La realizzazione della fusione nucleare controllata in laboratorio è ancora Lo studio della fisica del plasma, che costituisce il cosiddetto quarto stato della ma­

lontana sia per le difFicoltà tecnologiche sia per i problemi di fisica di base ancora teria, ha assunto un'importanza sempre crescente sia per le sue implicazioni scientifichcsia per quelle economiche. Il sole e le stelle (cfr. universo) sono formati da plasm:< i«da risolvere. Non si sa ancora qual è il sistema piu promettente: come si è visto, equilibrio termodinamico (cfr. equilibrio/squilibrio) e quindi lo sviluppo della fisi«<dei plasmi ha notevoli implicazioni in astronomia, astrofisica, e nelle cosmologie (cf'<.ordine/disordine) ; anche il nucleo della terra è costituito da plasma il cui moviment«è all'origine del campo magnetico terrestre. Lo studio dei plasmi ha richiesto la costru­zione di vari t ipi di modelli (cfr. modello) nei quali vengono utilizzate le equazioni <liconservazione (cfr. conservazione/invarianza, forza/campo), i concetti termodin:<­mici (cfr. energia, entropia, reversibilità/irreversibilità) e quelli probabilistici (ci'r.caso/probabilità, distribuzione statistica) della teoria cinetica dei gas. Le implic;<"zioni economiche sono strettamente collegate alla possibilità di ottenere energia dal co»­trollo della fusione termonucleare : si tratta di un obiettivo che richiede una collaborazio»<.assai stretta fra industria e scienza (cfr. anche tecnica, ricerca, teoria/pratica) < h<viene incentivata dallo sperato utile economico (cfr. profi t to). Si devono infatti idearc <

• ,costruire (cfr. disegno/progetto, innovazione/scoperta, invenzione) complessi c co­

i stosi meccanismi che controll ino le instabilità (cfr. stabil i tà/ instabil i tà) la cui propa­gazione può distruggere il plasma.

l "<

»

Figura t r .

Il quadro d'insieme della macchina in costruzione al laboratorio di L ivermore (cfr.fig. g). Si notino le dimensioni gigantesche in proporzione all'autocarro. All'estremità si­nistra sono visibili gli iniettori di gas neutro e gli avvolgimenti a «palla da tennis».

297 Propagazione

Propagazione sua tensione, e non dipende dalla legge di spostamento (supposto piccolo) delpunto A ; il moto di un punto M situato a una distanza x da A sulla curva ripro­duce quello del punto A dopo un tempo ~ =x /v (cfr. fig. 3).

Se si traccia un grafico dello stato della corda all'istante t con ( l/v) ) t) ta,Un fenomeno fisico verificato in un punto è avvertito, piu tardi, in punti vi­ poi all'istante t' =t +&, si ha che la curva rappresentante le deformazioni si è

cini, piu tardi ancora in punti piu lontani. Esistono due grandi tipi di fenomeni spostata di z&.fisici : l'emissione di particelle da una parte, e la deformazione dei mezzi continui Se y = f(t) è l 'equazione del moto del punto iniziale A, l 'elongazione deldall'altra. Si applicherà il termine 'propagazione' solamente a questi ultimi. Se punto M al l ' istante t è quella che aveva il punto A ne l l ' istante t — z, ~ = x/ tt.ne osserva un tipico esempio lasciando cadere un sasso in uno stagno. Si nota L'equazione del moto di M è dunque

il formarsi, sulla superficie dell'acqua, di cerchi concentrici col punto di caduta,che si allargano propagando la perturbazione originata dal sasso. Questa propa­ (i ) y = f(t — ~)= fgazione non è dovuta a trasporto di materia : infatti, un oggetto leggero che gal­leggi sull'acqua oscilla pressoché verticalmente, mentre le onde della superficie Questa è l'equazione generale di un'oscillazione che si propaga lungo l'asselo raggiungono e lo sorpassano. Un mezzo piu efficace per verificare che le onde ox, con velocità tt. L'elongazione ( i ) è una funzione delle due variabili x e t, e sinon sono dovute a un arrivo periodico di particelle consiste nell'effettuare un'e­ definisce onda progressiva. Rappresenta il moto della corda fino a quando l'o­sperienza di interferenza : se si pone nello stagno una fila di pali, ciascuno di essi, scillazione non interessa l'estremità B, cioè per t( (f/v).quando viene interessato dalla perturbazione originale, si comportacome sor­ Quando l'oscillazione interessa l'estremità B, supposta fissa, si nota che que­gente di una nuova perturbazione, e queste diBerenti perturbazioni interferisco­ sta si riflette, cioè riparte in direzione contraria, con un'elongazione simmetricano tra di loro ra8orzandosi, o annullandosi se sono in senso opposto: se si trat­ e uguale velocità: è quindi rappresentata dall'equazionetasse di un insieme di particelle, alcune sarebbero riflesse dai pali, altre continue­

x — f.)rebbero il loro cammino e non si avrebbe interferenza. Si dice che si ha «propa­ y = ­ f t ­ -+ se — >to —,gazione per onde». In fisica matematica, la superficie dello stagno che varia con il che è del tipotempo viene definita onda, e si definisce fronte d'onda il cerchio di discontinuitàche, in un dato istante, separa la regione non perturbata dalla regione interessata (z) y = Z t+­dalla perturbazione.

I fenomeni oscillatori (come le increspature sulla superficie dell'acqua) che dove g è una funzione di una variabile del tipo g (u) = — f [u — (z)//tt)], L'elonga­si propagano nel tempo sono molto numerosi : il suono, la luce (nonostante que­ zione (z), è definita onda regressiva.sta non abbia supporto materiale) sono da annoverare in questa categoria. In via Entrambe le funzioni f [t — (x/v)] e g [t+ (x/tt)], supposte derivabili due volte,del tutto generale, si definisce onda qualsiasi fenomeno (non necessariamente soddisfano l'equazione alle derivate parziali detta equazione di d'Alembert:periodico) che si propaghi senza essere direttamente legato a trasporto di mate­ria; questo significa, a un approccio superficiale, che vi si può localizzare un se­ òy

(3)gnale che permetta di seguirne lo spostamento nel tempo, malgrado le possibili òts òxs

deformazioni. Si partirà dalla legge di propagazione piu semplice, quella delle (si ha per esempio: (òf/òt) =f [t — (x/v)], (àf/àx) = ( ­t /v) f [t — (x/v)],(òaf/òta) =

piccole oscillazioni di una corda tesa, per arrivare alla piu complessa, quella deimisteriosi solitoni.

= f" [t — (x/~)] (àf/òx') = (*/~')f "[t — (x/~)]).

r. Pr o Pagazione di un'oscillazione lungo una corda tesa.A'

Si consideri una corda elastica tesa AB di lunghezza L(fig, x) e s'imprima X

bruscamente con la mano, all'estremità A, un piccolo spostamento da A in A', Briportandola poi da A' in A. L'elongazione y> del punto A varia in funzione del ten+z t

tempo t seguendo la legge rappresentata nella figura z. Figure t -g .L'esperienza mostra che lo spostamento impresso al punto A si propaga man Durante le oscillazioni di una corda tesa (fig. t) lo spostamento del punto A (fig. z)mano con velocità costante tt, che dipende solo dalla natura della corda e dalla viene riprodotto dal punto M ( fig g) dopo un tempo v=x/n

Propagazione z98 z99 Propagazione

Si può ottenere anche a priori questa equazione, scrivendo che l'accelera­ non fu attribuito a d'Alembert, in quanto la giuria gli rimproverò di non averzione di ogni punto della corda è proporzionale alla risultante delle forze elasti­ aggiunto alla sua memoria dei calcoli che confermassero l'accordo dei suoi risul­che che agiscono su di esso in seguito alla piccola deformazione. tati con l 'esperienza. Infatti l 'esposizione di d'Alembert del «moto per parti»

È facile dimostrare che la soluzione generale dell'equazione (g) è era molto complessa. Verrà qui data, con linguaggio moderno, un'esposizioneelementare che si applica anche al caso di solidi elastici, illimitati, omogenei e

(4) y = f t + g t+ isotropi, in cui un piano P«è soggetto a un piccolo moto che lo lascia parallelo ase stesso.

dovef e g sono funzioni arbitrarie, o anche, se si rimuove la condizione di essere Si supponga d'imporre a tutti i punti M«di un dato piano P«dei movimentidue volte derivabili, distribuzioni (funzioni generalizzate). tali che, in qualsiasi istante t, i loro spostamenti M«M« siano vettori uguali tra di

Per questa dimostrazione, è sufficiente trasformare l'equazione (3) nell'equa­ loro. Se si definisce la posizione di un qualsiasi punto M del mezzo, con le suezione àay/àF à' = o con il cambiamento di variabili: E= t — (x/v), ri = t +(x/v). coordinate x, y, a, rispetto a un triedro il cui asse ox è perpendicolare al piano

S'interpreta l'equazione (4) dicendo che, per i casi piu generali, i piccoli moti Pp il vettore spostamento MM' dipende solo dalle variabili x e t (fig. 4).della corda tesa risultano dalla sovrapposizione di due moti che si propagano in Si dice allora che il moto è un'onda piana, o che si propaga per onde piane.senso opposto con uguale velocità v. I differenti piani x = costante, paralleli al piano P«, in cui lo spostamento è lo

Oggigiorno, l'equivalenza tra i risultati dedotti da questa soluzione generale e stesso a un dato istante t, sono detti piani d'onda, la direzione ox della normalele soluzioni di problemi specifici costruite con sviluppi in serie di funzioni otte­ a questi piani è la direzione di propagazione.nute per «separazione di variabili », è stabilita in quadri funzionali ben precisi, Se il moto della «sorgente» (il piano Pa) inizia a un dato istante, per esempioma si sono dovuti attendere gli analisti del xix secolo affinché le dimostrazioni t = o, si definisce fronte d'onda all'istante t il piano piu distante in cui è avverti­di convergenza delle serie risolvessero la controversia tra d'Alembert, che voleva to questo moto,considerare come soluzioni solo funzioni f e g analitiche, ed Eulero, che nei suoisviluppi in serie ammetteva funzioni piu generali, pur dubitando della loro ge­neralità.

z.i. Mot i longitudinali e moti trasversali.

Si dice che un'onda piana è trasversale quando lo spostamento MM' di un

z. Pr o grammazione di onde piane neifluidi comprimibili e nei solidi elastici. punto qualsiasi è perpendicolare alla direzione di propagazione, quindi paralleloal piano d'onda P. Si dice che l'onda è longitudinale quando lo spostamento

L'equazione di d'Alembert, detta anche equazione delle corde vibranti, re­ MM' è parallelo alla direzione di propagazione.

gola ancora la propagazione delle piccole oscillazioni nei fluidi perfetti compri­mibili. Questo fatto fu stabilito da d'Alembert stesso nel rp5z nella memoria z.z. Propagazione di onde piane nei fluidi comprimibili.Essai sur une nouvelle théorie de la résistance desfluides da lui sottoposta al con­corso indetto dall'Accademia delle Scienze di Berlino nel rpgo; il premio, però, In un fluido perfetto, cioè con viscosità trascurabile, non esiste nessuna for­

za che si oppone allo scorrimento dei diversi strati gli uni rispetto agli altri: nonesiste propagazione di moti trasversali.

M'S'immagini, invece, in un fluido omogeneo e isotropo illimitato, di spostare

leggermente nella direzione ox gli elementi di un piano Pe perpendicolare aquesta direzione: si genera allora una compressione (o una dilatazione) dello

M, M'spazio compreso fra Po e un piano parallelo vicino P, che induce via via un motodel fluido. L'equazione cui soddisfa la funzione u che caratterizza questo mo­to può essere ottenuta nel modo seguente.

Si consideri una parte di liquido in quiete, compresa tra i piani P e P' diascissa x e x +dx. Si supponga che in un istante t del moto studiato i piani in

Po P questione P e P' abbiano come ascissa x+X e x+dx ~ X + dX : la corrispon­dente dilatazione di un elemento di volume del fluido (da xe a x) è

F lgllra 4 . x — xe dx+ dX — dxMovimento per onde piane. Q

x, dx

Propagazione 300 30I Propagazione

Passando al limite, & = òX/àx, dove la derivata parziale à/àx ricorda che il cal­ nulli, di modo che il segnale si smorza e la velocità di propagazione diminuiscecolo è fatto in un istante t fissato. La derivata parziale àX /òt è la velocità al­ nel tempo. Inoltre, la legge qui adottata di proporzionalità fra le dilatazioni e lel'istante t della parte di fluido che, in quiete, aveva come ascissa x. variazioni di pressione è un'approssimazione valida solo quando queste varia­

Tenendo presente il fatto che, per piccoli moti, il coefficiente di comprimi­ zioni rimangono piccole.bilità di un fluido è una costante y, e cioè che la variazione di pressione p = 7 l , 77 p

è proporzionale, mediante il fattore y, alla dilatazione &, si ottiene il risultato 2.3. Misure della velocità del suono.p = ( — r/y)(òX/àx). Da qui, uguagliando quantità di accelerazione (parallela aox) e forza applicata (risultante delle pressioni ; cfr. fig. 5 ), risulta l'equazione La propagazione del suono nell'aria obbedisce alla legge appena studiata:

la velocità di propagazione è indipendente dal timbro del suono (fortunatamenteòsX r ò aX per i melomani).

y àxs Newton ha dato per primo, per questa velocità, la formula v = r /~pp. Eglidove p è la densità del liquido. Si ritrova, quindi, l'equazione di d'Alembert suppose che la propagazione fosse isoterma (cioè a temperatura T costante) e

utilizzò la legge dei gas perfetti, vc = Rp T, per determinare il coefficiente di com­ò'X ò'X 'l primibilità y ; le misure sperimentali forniscono un risultato piu alto di quello

v = o con v =ottenuto con il calcolo di Newton. Infatti le compressioni e le espansioni molto

xp rapide che corrispondono alla propagazione del suono non sono isoterme maQuesta equazione è soddisfatta anche dalla velocità u = òX/òt, e dalla pres­ isoentropiche, e il coefficiente y deve essere calcolato, come fece osservare La­

sionePàsp àsp ò'u ò'u place, partendo dalla legge isoentropica <p — >= costante, dove y è una costante,

2v — = o v — = o rapporto fra i calori specifici a pressione costante e a volume costante; in questoòt' àxs òx' modo la velocità del suono è v= ~ art/p = ~ ART. La velocità del suono nel­

(si ha (àp/àt) = ( — r/y) (òu/òx)). l'aria dipende quindi solo dalla temperatura, e precisamente è proporzionale alla

La soluzione generale p = f[t — (x/v)] pg[t+(x/v)] è ancora la somma diradice quadrata della temperatura assoluta. Questa velocità, nell'aria secca a zero

un'onda progressiva e di un'onda regressiva che si propagano in senso contrario gradi, è 330,75 m/s con l'approssimazione di circa mezzo decimetro.

con uguale velocità v.Un modello fisico dello schema precedente è dato da piccoli movimenti di 2.4. Propagazione per onde piane nei solidi elastici.

un fluido perfetto, contenuto in un tubo cilindrico sufficientemente grande da Si consideri un solido elastico illimitato, omogeneo e isotropo, e s'imprimapoter trascurare l'influenza delle pareti. Si genera un'onda piana progressiva nel a un piano P, di questo solido, che in quiete ha ascissa x, una piccola traslazionetubo, posizionando a una delle sue estremità un pistone Pa, al quale s'imprime di vettore 5 che lo porta su un piano parallelo P„'. Il vettore 5 è la somma di dueun moto di piccola ampiezza rappresentato dalla legge X = f( t): l'oscillazione vettori : S„parallelo all'asse ox ortogonale al piano Pa, e S„ortogonale a questosi propaga con velocità v e il moto di un punto EVI di ascissa x è dato da u =

asse : il moto risultante (se di ampiezza piccola) sarà la somma dei moti risultanti= f[t — (x/v)j, dal momento che l'oscillazione non interessa l'altra estremità del dallo spostamento 5, (detto longitudinale) e dallo spostamento sa (detto trasver­tubo. sale). I movimenti longitudinali in una sbarra sono stati studiati nel r8r7 e r 8rq

In pratica la viscosità e gli scambi di calore con le pareti non sono affatto da Laplace e Poisson. Lamé, nel r852, ha fornito un'elaborazione razionale delcaso generale (a tre dimensioni ), nelle sue Lefons sur la théorie mathématique delélasticité, che si basa in parte su lavori di Cauchy apparsi tra il r8r5 e il r83o.

L'equazione soddisfatta dall'onda piana longitudinale si ottiene in modoanalogo a quello prima utilizzato per i fluidi. Anche in questo caso la dilatazione

p+ dp è & = àu/òx, ma le forze applicate a una piccola parte del mezzo non si ottengo­no piu dalla formula relativa alla variazione di pressione e dilatazione, ma dalla

x+ch+ X+dX legge dell'elasticità lineare, relativa a tensioni e deformazioni, T =) 8 + zisa, =

= (7+zp.)(òu/òx), dove X e p sono le costanti di Lamé relative al materiale.L'equazione soddisfatta da u è dunque ora

ò u òsuFigura 5. () +zp.) —,= o.Risultante delle pressioni sulla parte di liquido compresa fra i piani P e P'.

Propagazione 302 3o3 Propagazione

La eiocità di p op gazione di n ' onda piana longitudinale è u (X+ap)/p. della legge di variazione della velocità di propagazione con la profondità. D'al­Un'onda piana trasversale corrisponde a un piccolo spostamento del piano tra parte, questa variazione provoca una curvatura nella direzione di propaga­

Po, caratterizzato da un vettore Sa parallelo a questo piano; una piccola parte zione: l'oscillazione segue una traiettoria del tipo PoBP (fig. 6). Per studiare laPP' subisce uno scorrimento lungo se stessa, senza dilatazione. Si scelga per asse legge (teorica) di propagazione delle onde sismiche, come d'altra parte per leoz un asse parallelo a S2 e si indichi con «ti lo spostamento nella direzione oz, onde sonore e luminose, bisogna mettersi nella situazione realistica delle tre di­subito all'istante t da un punto M di ascissa x del solido. Anche la tensione eser­ mensioni spaziali.citata sul piano P corr ispondente è parallela ad oz, e ha come valore Z== — (òw/òx) p.. Se ne deduce che l'equazione soddisfatta da «ti è

òatti à aro Equazione delk onde.

' àr ~òx= '

L'equazione delle onde è la generalizzazione tridimensionale dell'equazioneLa velocità di propagazione di un'onda piana trasversale è dunque ~p./p. delle corde vibranti. Si scriveL'onda piana corrispondente a una piccola oscillazione arbitraria S = Si +S,

del piano Po è la somma delle onde piane generate dalle oscillazioni S, e S2.à2pp

(g) c AV = oIn natura non esiste un solido omogeneo indefinito, quindi non si possono

verificare sperimentalmente in modo rigoroso le formule precedenti. Tuttavia dove c indica una costante e A il laplaciano, cioè in coordinate cartesianequeste dànno una buona interpretazione dei fenomeni osservati al momentodella registrazione di sismi : si constata che i sismografi registrano sempre due ò2 ò2 ò2

(6) A=­ — + — + —.serie di oscillazioni, i cui inizi corrispondono rispettivamente all'arrivo di onde òx ò y òx 'longitudinali e onde trasversali. Per i sismografi non troppo lontani dall'epicen­ L'equazione delle onde è fondamentale sia nello studio delle piccole perturba­tro del sisma (meno di 6oo­zoo km), si trovano velocità di propagazione vicine zioni dei fluidi comprimibili (studio definito acustico) e dei solidi elastici, siaa quelle teoriche, calcolate partendo dal coefficiente di elasticità delle rocce che nell'elettromagnetismo. E stata scritta fin dalla metà del xvii i secolo in relazionesi trovano nel suolo (in media V, g goo m/s per le onde longitudinali, V2 a problemi di aerodinamica, ma è stata studiata in modo completo solo molto piu3zoo m/s per le onde trasversali). tardi. Attualmente è considerata un prototipo di quelle equazioni iperboliche

Quando i sismografi sono piu lontani dall'epicentro del sisma, si registrano alle derivate parziali che governano la fisica.sempre due serie di vibrazioni, corrispondenti all'arrivo di onde longitudinali e Le equazioni generali della dinamica dei gas furono scritte da Eulero neldi onde trasversali, ma le velocità di propagazione sono molto piu grandi. Una

1755, cioè poco dopo le memorie di d'Alembert sul moto per parti dei fluidi.tale onda sismica ha percorso una traiettoria come PoAP (cfr. fig. 6) che è pene­ L'esposizione di Eulero, definita da Lagrange «chiara e semplice», è sempre va­trata molto profondamente nella Terra; se ne deduce (dato che la densità p cre­ lida. Egli dimostra che, quando si trascurano la viscosità e gli scambi termici, lesce certamente con la profondità ) che i coefficienti di Lamé, X e it, aumentano equazioni della dinamica dei gas sono, in assenza di forze esterne,con la profondità. Si sono potute ottenere indicazioni molto precise sulla costi­tuzione del globo terrestre (e piu recentemente della Luna ) mediante lo studio àp

— +div(pu) = o (conservazione della massa )à<Pp à'

— ) +u (gradu)+gradir = oàr) (equazione vettoriale, conservazionedel momento)

dove p indica la densità, it la pressione e u il vettore velocità in un punto PEIall'istante t ; se x„x„ x s sono le coordinate cartesiane, e u„u2, us sono le compo­

nenti del vettore u, si ha div (pu) = P (à/òx,) (pu;) e u (grad u) è il vettore di3 i = l

componenti P u.(òu;/òx,.). Queste equazioni sono da completare con una equa­' = t

zione di stato, dipendente dalla natura del gas e relativa alla densità e alla pres­Figura 6. sione, rt = f (o) (ci si limita per semplicità ai movimenti isoentropici).Propagar ione di onde sismiche nel mantello terrestre. Se si considerano piccole perturbazioni, a partire da una posizione di equili­

Propagazione 3R 3o5 Propagazione

brio in cui la pressione vr;a e la densità pa sono costanti, si pone: p = ps+r e Considerando allora la funzione $ = rrp, si vede che l'equazione precedente di­

zc = vr: +p e si trascurano tutti i termini che contengono prodotti di piccole quan­0 òsg ò2$tità di r, p, u o di loro derivate. Si ottengono cosi le equazioni dette lineari, nella C — = 0 7òt' òr'forma òr

— +div(p,u) = o uguale all'equazione di d'Alembert (delle corde vibranti e delle onde piane), lacui soluzione generale è$ = f(ct — r)+g(ct+r). Quindi la soluzione generale del­

òu l'equazione delle onde sferiche èpa — + gradp = o.

òt f(ct — r) g(ct+r)q (r t) = +

D'altra parte si ha, con la stessa approssimazione, p = f '(p.)r (co f ' = f/~P)>per cui: òp/òt + pac' divu = o dove c = f (po). Se ne deduce che p soddisfa l e­ Il moto corrispondente a un'onda sferica può sempre essere considerato come

quazione delle onde la somma di due moti che si propagano in senso contrario : il primo, rappresen­

ò'p . ò'p tato dalla funzione f(ct — r)/r, si propaga nella direzione di r crescente, si allonta­— — cs div (gradp) = — ­cs' = o.òt' òt2

na dall'origine O e viene detto onda divergente ; il secondo, rappresentato dalla

funzione g( ct+r)/r, si propaga verso l'origine O e viene detto onda convergente.Si consideri un'onda divergente p (r,t) = f(ct — r)/r e si supponga che, all'i­

3.t. Propagazione per onde sferiche. stante t„ l' oscillazione(rappresentata dalla funzione cp), sia compresa tra duesfere di raggio r, e r, +s (cfr. fig. 7), il che significa che, in quest'istante, la fun­

Si dice che una soluzione q) dell'equazione delle onde è un'onda sferica quan­ zione f è nulla al di fuori dello spazio compreso tra queste sfere, cioèf(u) = odo, in ogni istante t, ha lo stesso valore in tutti i punti di una qualsiasi sfera che se u(ct,— r,— s, oppure u) ct,— r,. Se ne deduce che in un istante successivoabbia come centro un punto dato O fisso ; in altre parole la funzione q dipende t, l'oscillazione è compresa tra due sfere di raggio ra= r ,+ c (t,— t,) e r,+s.solo dal tempo t e dalla distanza r da O al punto M variabile. In effetti si osser­ Si può quindi concludere che il fronte d'onda (che separa la regione in quie­vano onde sferiche, in un mezzo omogeneo e isotropo tridimensionale, quando te da quella interessata dall'oscillazione) si propaga con velocità c e che la re­la sorgente delle piccole perturbazioni può essere considerata puntiforme, oppu­ gione interessata dall'oscillazione mantiene uno spessore costante s. Nel casore è, essa stessa, a simmetria sferica: per esempio, se si pone nell aria, in un pun­ limite di una sorgente puntiforme O (o distribuita su una sfera di raggio r =r, )to O, un pallone sferico che si gonfi e si sgonfi, si genera un'onda sferica. all'istante t„ l'oscillazione all'istante t è limitata al fronte d'onda, cioè alla sfera

Se l'incognita q> dell'equazione delle onde dipende solo da r e da t, applican­ di raggio r,+c(t — t,). Questo fenomeno, che non è descrivibile dall'equazionedo le regole elementari della derivazione di una funzione composta, si trova che delle onde a due dimensioni (o a un numero pari di dimensioni ), è detto princi­q) soddisfa l'equazione pio di Huygens, ed è fondamentale per la percezione distinta dei segnali sonori

(o luminosi: cfr. oltre).Si noti che, in questo caso, l'ampiezza q) si propaga con una riduzione inver­

samente proporzionale alla distanza: le curve che rappresentano in ogni puntodello spazio la variazione di q in funzione del tempo, hanno tutte la stessa forma :esse differiscono solo per una traslazione e per un cambiamento di scala.

3.z. Fenomeni legati al moto della sorgente. Bang supersonico.O

Si consideri una sorgente puntiforme di oscillazioni che si sposti nel tempo,ad esempio un aereo in volo. Da ogni punto della traiettoria parte, nell'istante in

rl cui vi si trova l'aereo, una perturbazione del mezzo circostante. Ad un istante72+ t

7t+E t, in cui l'aereo si trova nel punto M, le oscillazioni t„ t„ t , si trovano sulle sfereS„S2, Ss, ..., di centro Mt, M2, Ms, ... e raggio c (t — tt), c(t — t2), c(t — ts), ...,

Figura 7.le cui rispettive posizioni dipendono dalla velocità v della sorgente (l'aereo) ri­

Propagazione di un'onda sferica: il fronte d'onda si propaga con velocità c e la regio­spetto alla velocità di propagazione c (velocità del suono). Si supponga, dappri­

ne interessata dall'oscillazione ha lo spessore costante s.ma, che la velocità dell'aereo sia inferiore alla velocità c del suono nell'aria: allora

Si Sr 3o7 PropagazioneSs Ss

S, la lunghezza di un arco di traiettoria M,M, è sempre inferiore alla differenza deiS, raggi delle due sfere corrispondenti S i e Sz. .le differenti sfere sono, in ogni

M, M , M , M M istante t, interne l'una all'altra (fig. 8). Queste, durante la loro propagazione, ar­rivano a un osservatore al suolo nell'ordine in cui sono state emesse, generandola sensazione di un rumore continuo che si affievolisce con la distanza.

Se invece la velocità dell'aereo è supersonica, in un istante t due sfere S, eSz relative a due punti M, e M , d e l la traiettoria s'intersecano, e l'insieme diqueste sfere ammette un inviluppo S (fig. r)). Su un punto della superficie S ar­

Figure 8-9. rivano contemporaneamente, all'istante t, i rumori emessi da una serie di punti

Nel moto subsonico un osservatore al suolo riceve le onde sonore nell'ordine in cui vicini della traiettoria: questo è un punto di accumulo di rumore, che viene de­sono emesse (fig. 8) mentre nel moto supersonico l 'osservatore riceve contemporanea­ finito onda balistica o onda di Mach.mente i rumori emessi da infiniti punti vicini (fig. g). La rottura del muro del suono crea La teoria dell'onda balistica si applica senz'altro alla spiegazione del tuono.un'onda balistica che raggiunge l'osservatore se l'aereo vola basso. Si può ammettere, infatti, che il lampo sia un fenomeno istantaneo, dovuto alla

contemporanea oscillazione di tutti i punt i della sua traiettoria AB (fig. ro) ;l'onda balistica in un istante t è l'inviluppo, tubolare, dei fronti d'onda, sfere diraggio identico, centrate sulla traiettoria. Il tuono corrisponde all'arrivo all'os­servatore di un'onda balistica: se ne possono percepire molte (ai tempi T e T'per la figura io, in cui : OM = c T, OM' = c T') ; il rombo del tuono corrisponde,invece, all'arrivo di fronti d'onda successivi.M'

Nel caso di traiettoria rettilinea della sorgente, a velocità supersonica v co­stante, la zona di silenzio (punti non interessati dal rumore) è, in ogni istante, l'e­sterno di un cono, detto cono di Mach, il cui semiangolo al vertice x è dato dallarelazione sine = c /v = i /9K (8K è detto numero di Mach).

Nel caso di un aereo che, aumentando la velocità, «sfondi il muro del suono»(cioè raggiunga e superi la velocità del suono), si ottiene un'onda balistica la cui

Osezione longitudinale è una curva chiusa da due segmenti (fig. i i) : l'aereo ha

T' velocità subsonica nell'intervallo ApAt raggiunge la velocità del suono c nelFigura to . punto Ai, raggiunge e conserva, a partire dal punto Az superato al tempo t„ l a

La spiegazione del tuono con la teoria dell'onda balistica. Il lampo mette in contem­ velocità supersonica v. L'arco BCB' dell'onda balistica all'istante t è l'inviluppoporanea oscillazione tutti i punti della traiettoria da A a B : il rombo del tuono corrispon­ dei fronti d'onda delle oscillazioni generate dai punti dell'arco AAs, mentre lade all'arrivo di fronti d'onda successivi. spezzata BEB' corrisponde alle oscillazioni originate dai punti dell'arco AzE,

essendo E l'estremità della traiettoria dell'aereo all'istante t.Se l'aereo è sufficientemente alto rispetto all'osservatore (posizione O della

figura), questi non è raggiunto dall'onda balistica e sente solo il rumore continuodei reattori ; se, invece, l'aereo vola basso, l'osservatore (posizione Oi) è raggiun­to due volte dalle oscillazioni e sente due scoppi, la cui violenza è molto granderispetto ai rumori di scappamento. La sovrapressione che corrisponde all'ondabalistica di un aereo in volo supersonico può arrivare a decine di chilogrammiper metro quadrato.

B'

Caso generale di propagazione governata dall'equazione delle onde.

I problemi di meccanica dei mezzi continui si risolvono spesso con equazioni• O alle derivate parziali, alle quali è necessario aggiungere delle condizioni ai limiti

o delle condizioni iniziali. Attratti dalla semplicità e dalrigoredella formulazioneFigura x x.

Onda balistica provocata da un aereo che in A, raggiunge la velocità del suono e lasupera. Se l'aereo vola basso, l'osservatore O percepisce due scoppi violenti.

Propagazione 3o8 3o9 Propagazione

di questi problemi, i grandi personaggi della matematica della metà del xtx se­ Si vede che la funzione rp, ottenuta scegliendo f come indicato, si annulla per

colo (Lagrange, Laplace, Poisson, Gauss, Cauchy ) si sono applicati alla loro t = o, mentre

risoluzione. I loro sforzi hanno dato un impulso considerevole all'analisi mate­ — (X,o) ='4rtcF (X).matica. òt

Il problema fondamentale per lo studio della propagazione è quello dei va­ D'altra parte si nota che la derivata parziale òq>/òt di una soluzione cp dell'equa­lori iniziali — detto anche problema di Cauchy in quanto, fra i considerevoli la­ zione delle onde soddisfa anche questa equazione e che quindi (òa<p/òta)= cakcpvori di questo matematico, si trova la soluzione generale dei sistemi detti oggi è nulla per t = o, se questo vale per p.«ben posti nel senso di Cauchy», e delle funzioni analitiche. Nel caso dell'equa­ Si dimostra, infine, che la soluzione dell'equazione delle onde che soddisfazione delle onde (cfr. ) 3, n. g) il problema di Cauchy consiste nella ricerca di le condizioni iniziali proposte è data dalla formula di Poissonuna soluzione q> di questa equazione, di cui si conoscono, in un istante iniziale,ad esempio t = o, sia il suo valore sia quello della sua derivata rispetto al tempo : ò

q) (X t) = tM / ((pr) + ( tM ( (q)0))òq/òt. Nel caso in cui l'incognita p sia la pressione p di un gas (esempio dell'acu­stica), si è visto che òp/òt è nota, quando è noto il vettore velocità u: il problemaconsiste, dunque, noto lo stato del gas, considerato illimitato in un dato istante dove M« indica la media relativa alla sfera di raggio ct e di centro X, per esempio

(pressione e vettore velocità), nel determinare il suo stato ulteriore. Il problema 7' 27C

matematico è quello della soluzione dell'equazione delle onde con i «dati inizia­ Mct (V1)= Vt(xt + ct sine cos), xa+ ct sinx sin ),4" 0 Oli» per t =o (si considera il punto dello spazio X di coordinate: x,, x2, xa)x»+ ct cos ct) sinché do' dP.

ò(pq (X, o)= q)0(X) — (X, o) = (pt (X). Nella formula di Poisson si vede che la funzione q (la pressione p nel caso

dell'esempio dell'acustica), in un punto X al l ' istante t, dipende solo dai datiÈ noto, per il precedente studio sulle onde sferiche, che la funzione iniziali (lo stato iniziale nell'esempio della dinamica dei gas) nei punti che sonof (iX — Ei — ct) su una sfera di raggio ct e di centro X. Se i valori non nulli di p0(X) e q>r(X)

(l'oscillazione iniziale al tempo t = o) sono limitati in una regione D, allora in unpunto esterno a D la soluzione è nulla (il gas resta in quiete) fino a che ct non

(dove E è un punto fisso arbitrario e ~X — E~ è la distanza dei punti X e F) è una sia uguale alla minima distanza da X a D. Essendo questa distanza su una nor­soluzione dell'equazione delle onde. Poiché questa è lineare, è naturale pensare male da X alla frontiera di D, il fronte d'onda all'istante t (che separa i punti in­che la soluzione corrispondente ai dati iniziali sia una sovrapposizione di ondesferiche, centrate in differenti punti F„di ampiezza F (F) che dipende dai datiiniziali in quel punto. Si scriverà

(X ) ( F(F)f(I

dove dF = dF,dE2dEa indica l'elemento di volume dello spazio.Se come f si sceglie la 8 di Dirac, si ottiene

q) (X, t) = ­( F dSct Js

dove S„è la sfera di raggio ct e centro X e dS è il suo elemento di superficie.In coordinate polari, l'integrale precedente si scrive

7T 27 t

q>(X,t) = c t F (X+ctv) sinatdatdS0 0

dove v è il vettore unitario nella direzione da X a F„cioè Figura ra .

v = (sin 0t cosP, sin x sin P, cosa). Ripiegamento del fronte d'onda.

Propagazione 3IO3II Propagazione

teressati da quelli non interessati dall'oscillazione) è ottenuto aggiungendo lalunghezza ct a tutte le normali alla superficie frontiera di D. I fronti d'onda suc­cessivi (detti anche superfici d'onda) hanno le stesse normali, che si definiscono g.t. Propagazione di un'onda piana sinusoidale.raggi. La velocità di propagazione di un fronte d'onda, nella direzione di unraggio, è uguale a c. Un'applicazione dei risultati generali enunciati nei paragrafi precedenti per

Se la superficie frontiera di D è concava(fig. rz), il fronte d'onda, dopo un le oscillazioni di una corda o per le onde piane in un fluido, che soddisfino l'e­certo tempo, si ripiega su se stesso : i raggi ammettono un inviluppo, detto cau­ quazione di d'Alembert, dimostra che se l'oscillazione del punto x= o è l ' o­stica, in cui vi è un accumulo di energia (si veda piu avanti l'analogo fenomeno scillazione sinusoidale uù= a costùt, la corrispondente onda progressiva è u =

ottico). = acoscù [t — (x/c)], Si definiscono lunghezza d'onda ) e numero d'onda k iIl principio di Huygens, menzionato nel caso delle onde sferiche, è valido numeri X = c(zar/~ù)= cT e k = z~/). L 'onda progressiva è u = a cos(cùt — kx)

anche in questo caso : il valore di rp, nel punto X e all'istante t, dipende solo dai con tù /k = c, oppure ancora è u = a cos kx' con x' = x — ct. In qualsiasi istante t,dati iniziali sulla sfera di centro X e raggio ct. Se il raggio di questa sfera è suf­ un'onda piana progressiva è una sinusoide di periodo X nello spazio. Quando tficientemente grande da contenere nel suo interno l' intera regione D, rp è di varia, questa sinusoide si muove, nella direzione ox, con un movimento unifor­

nuovo nullo nel punto X: nello spazio tridimensionale, un'oscillazione iniziale me, di velocità ~ /k = c.

confinata a una regione limitata genera un'oscillazione che dura un tempo finito Generalmente si definisce velocità di fase di un'onda piana sinusoidale u =

per ogni osservatore. = a cos(ut — kx) il rapporto v = tù/k che esprime la velocità di spostamento deimassimi e dei minimi. Nel caso in cui u soddisfi l'equazione di d'Alembert, la ve­locità di fase è uguale alla velocità c di propagazione dei fronti d'onda.

Propagazione di moti periodici (piccole oscillazioni, vibrazioni). Nel caso di un'onda piana sinusoidale progressiva in un fluido perfetto, se lavelocità u è data da u= a cos (<ùt — kx), la perturbazione della pressione è

I fenomeni periodici svolgono un ruolo essenziale nell'osservazione della na­ aP òutura. I suoni sono prodotti e trasmessi da vibrazioni, cioè da oscillazioni perio­ — = — pùc — = — pùc'ka sin(tùt — kx).diche di corpi materiali ; anche la luce e le onde radio derivano dalla propagazio­ne di fenomeni periodici. Dunque,

Fin dal xvnt secolo questa realtà fisica ha portato i matematici a considera­ p = p,c' — a cos(cù t — kx),Cù

re somme di funzioni trigonometriche per risolvere i corrispondenti problemi.Fourier, in una memoria fondamentale letta il zr dicembre x8oy all'Académie si vede che velocità e pressione variano in fase, con ampiezze proporzionali. La

des Sciences di Parigi, mostrò tutta la potenza di questo metodo, mentre Pois­ velocità u agisce nella direzione della velocità di propagazione (cioè positiva person e Dirichlet fornirono rigorose prove della convergenza delle serie di Fourier un'onda progressiva) per le perturbazioni di pressione positive (compressioni ) ;di funzioni ampiamente arbitrarie (dette a variazione limitata) ; questa conver­ nella direzione contraria per le negative (rarefazioni ).genza, presa in un senso piu generale, si applica, ora, anche alle funzioni genera­lizzate, o distribuzioni di Schwartz.

Ogni funzione periodica f, di periodo T — cioè di frequenza w =z' /T — è 6. Pr o pagazione delle onde luminose.

scritta come somma di funzioni sinusoidali di periodo T, T /z, T/3, ... e, dunque,di frequenze cù, 2<ù, 3cù, ... : La natura ondulatoria o corpuscolare della luce ha dato luogo ad una lunga

polemica non ancora conclusasi ai giorni nostri. Fin dal r673 fu abbozzata daf(t) = ag cos(at (pg) + as cos(zcùt — p,)+.. Huygens una teoria ondulatoria, partendo dalla sua conoscenza dell'esperien­

Nel caso in cui si applichi il principio di sovrapposizione (acustico, ottico, ecc.), za di Bontholin (t6po), sulla doppia rifrazione dello spato d'Islanda; ciò nono­

per studiare i movimenti periodici è sufficiente studiare i movimenti sinusoidali stante, si preferi la teoria corpuscolare — anche dopo Newton — fino alla scoper­

caratterizzati da una funzione (o un vettore ) : u = a cos(tùt — p), La frequenza où ta delle interferenze fatta da Young nel i8oy, e soprattutto fino alle esperien­

è un numero indipendente dal punto X dello spazio, l'ampiezza a e la fase q ze di Fresnel sull'interferenza e la diffrazione e l'interpretazione teorica da parte

sono delle funzioni di questo punto, indipendenti dal tempo t. di Fresnel e Arago nel x8rg e x8zq che portarono definitivamente a considerarela luce come una grandezza a variazione sinusoidale (anche se la nozione di ondeluminose deve essere rivista nella nuova meccanica quantistica, in dualismo conl'esperienza del fotone).

I fenomeni di polarizzazione, scoperti nel r8op da Malus (che credeva nella

Propagazione 3rz 3i3 Propagazione

teoria corpuscolare), confermati e formalizzati da Fresnel entro la teoria ondula­ D'altra parte, dalla condizione

toria, portano a concludere che le onde luminose sono onde trasversali. àE, òE , àE,L'ammirevole sintesi di Maxwell, che identifica le onde luminose con parti­ divE = 'y ' +- — '= o

àx ò y òzcolari onde elettromagnetiche, categoria di cui fanno parte anche le onde hert­ziane, le onde infrarosse e i raggi X, ha ricevuto una clamorosa conferma dalle si deduce che Az = o, dunque E»= o; il vettore E è Parallelo al Piano d'onda

esperienze di Hertz nel i888. Le equazioni di Maxwell sono una pietra miliare oyz: la vibrazione è trasversale. Il vettore di componenti E„E z , descrive, nel

nella fisica contemporanea. La loro apparente contraddizione con la meccanica piano d'onda, un'ellisse.

newtoniana (sono invarianti per il gruppo di Lorentz ma non per il gruppo di Nel caso in cui il vettore E abbia una direzione fissa, si dice che l'onda ha po­

Galileo) fu all'origine di quella rivoluzione concettuale costituita dall'avvento larizzazione rettilinea. Prendendo oy nella direzione di E, si ha

della relatività ristretta proposta da Einstein nel tifo' . x3In un dielettrico omogeneo perfetto, le equazioni di Maxwell che governano E, = o Ez ­— A cos tù t ­ ­ — <p E» = o .

l'evoluzione dei campi elettrico E e magnetico H, sono Il campo magnetico associato èsàE p,àH

divE = o d iv H = o — — = rotH — — = ­ rotEc àt c òt

H, = o H , = o H z = — A cos cù t ­ ­ — ~p

dove s e p. sono costanti, uguali a i nel caso del vuoto, c è il rapporto delle unità cioè è ortogonale, ma in fase con il vettore campo elettrico.elettromagnetiche ed elettrostatiche di quantità di elettricità. La luce naturale monocromatica (proveniente dal Sole, da un arco elettrico,

Dalle equazioni di Maxwell, riportate sopra, si deduce che il vettore E sod­ ecc.) è costituita da vibrazioni ellittiche, di cui forma, orientamento e fase cam­disfa la seguente equazione delle onde : biano in modo irregolare piu di un milione di volte al secondo; la luce riflessa

ò'E C è parzialmente polarizzata, in dipendenza dall'ampiezza dell'angolo d'incidenza.— = vzAE con vz= — .

òtz sp.La velocità di propagazione di un fronte d'onda luminoso è, dunque, uguale a 6.z. Energia trasportata dall'irraggiamento elettromagnetico.

v (a c nel vuoto).Nei mezzi trasparenti reali le equazioni che governano l'evoluzione dei cam­

La densità di energia di un campo elettromagnetico è, nelle unità correnti,

pi sono piu complesse di quelle qui riportate — che sono valide solo con un'ap­U = (i /8tr) (sEz+ p,Hz), cioè, per l'onda piana polarizzata,

prossimazione piu o meno buona. Si può osservare che (tranne nel vuoto) la ve­U = — sA zcosz tù t —­

locità di propagazione di un'onda luminosa dipende dalla sua frequenza, poichél'indice di rifrazione n (legato alla velocità v dalla formula n = c/v) dipende dalcolore della luce incidente. Si dice che c'è dispersione di onde (si veda oltre). Anche quest'energia si propaga con velocità v, nella direzione ox perpendicolare

ai piani d'onda (direzione dei raggi luminosi corrispondenti all'onda considerata).6.i. Polarizzazione.

6.3. Ottica geometrica.Siano E,, Ez, Ez le tre componenti del vettore campo elettrico E rispetto agli

assi cartesiani oxyz'. Ogni componente soddisfa l'equazione delle onde, per L'ottica geometrica si basa sulla nozione di raggio luminoso: si definiscono

esempio ò E,/òtz= (v )AE,. Un'onda piana sinusoidale, che si propaghi nella cosi le traiettorie ortogonali delle superfici (o fronti) d'onda, che sono rette neldirezione ox e sia soluzione dell'equazione delle onde, è dunque tale che caso dell'equazione delle onde, equazione a coefFicienti costanti che governa la

propagazione del campo elettromagnetico (e in particolare della luce) in un am­E, = A,cos Cù biente omogeneo e isotropo. La « legge di propagazione rettilinea della luce» in

tale ambiente, insieme alle leggi di riflessione e di rifrazione attraverso la super­ficie di separazione di due mezzi con indice differente, costituiscono i fondamen­

E, = A,cos cù t ­ ­ (pz ti dell'ottica geometrica. Se ne possono enunciare le leggi senza ricorrere allanatura ondulatoria (né corpuscolare) della luce: queste hanno ispirato in modo

E, = Az cos cù t ­ ­ — (pz particolare le ricerche di un grande nome della meccanica analitica, Hamilton,che pose, nel t833, le basi del calcolo variazionale nel tentativo di riordinare dei

dove A i Az Az. Vi q)z %»sono costanti. risultati suscettibili d'interpretazione ondulatoria o corpuscolare per mezzo del

Propagazione 3r53I4 Propagazione

principio di minima azione di Fermat, Maupertuis o Lagrange. Le leggi del­ Facendo un paragone con le definizioni già date, si vede che le superfici a (x) = t

l'ottica geometrica possono essere verificate sperimentalmente, con un appros­) sono i fronti d'onda all'istante t, mentre le traiettorie ortogonali di questi fronti

simazione limitata dai fenomeni di diffrazione dovuti alla natura ondulatoriad'onda (tangenti in ogni punto al vettore grad lr ) sono dette raggi.

della luce, che rendono impossibile l'isolamento fisico di un «raggio luminoso», Scrivendo che l'equazione delle onde è verificata a meno di termini di ordi­

limitandolo con diaframmi di piccolissima apertura. Tuttavia, i matematici mo­ ne r, si trova che le fasi cp„cpz, >ps si propagano senza modifiche lungo i raggi;

derni hanno dimostrato, a partire dalla teoria ondulatoria, che le leggi dell'ot­ soddisfano, ad esempio, l'equazione

tica geometrica hanno una validità asintotica e approssimata e sono tanto piu àG à(P1grado gradpl = g — — ' = o

verificate quanto maggiore è la frequenza della radiazione luminosa. I metodi di ;,òx; òx;sviluppo asintotico, nati in questo modo, hanno trovato un largo campo di ap­ mentre le amPiezze Parziali al, az, as si ProPagano lungo i raggi con uno smorza­plicazione sia in fisica sia in matematica pura (Luneburg, Lax, Leray). Piu mento (o amplificazione) che dipende dalla divergenza (o convergenza) di questiavanti si esporrà il principio del calcolo. ultimi ; ad esempio grado.gradal+(r/z) a, Ao= o, che si riduce per le onde pia­

Il campo elettrico corrispondente a un fascio di luce monocromatica di fre­ ne (raggi paralleli) all'equazione di conservazione lungo i raggi grad rl. grada, =quenza w è rappresentato da un vettore della forma = o. Dall'ortogonalità fra i raggi e le superfici d'onda e dalla costruzione di que­

El = al cos[o1[t — ll (x)] — q>, (x)) ste, si deducono le leggi della riflessione e della rifrazione (cfr. fig. r 3). Se si indi­

E, = a, cos[ro [t — o(x)] — q)z(x)) ca con S la superficie di separazione dei mezzi con indice n, e nz (velocità c/v l ec/vz), e con Za e Z, le superfici d'onda all'istante zero e all'istante t, si ha t =

E, = a, cos[o1[t — o (x)] — li1 s (x) ), = t l + tz = t l + t z ; f r = vlt, ; E,' = v l t l ; l z = vztz; fz = vztz, da cuidove al, az, as, come ql, <pz, qs, sono funzioni a priori arbitrarie del punto Xdello spazio ma si suppone che queste varino poco (rispetto a o1) da un punto nl vz sine

l2 t lz v l s lrl p

all'altro. Scrivendo che E deve verificare l'equazione delle onde P(òzE/àxz)­s= l

— (r/vz) (òzE/òtz) = o, a meno di termini di ordine o1, si trova che la soluzione de­ve verificare l'equazione del primo ordine alle derivate parziali (detta eiconale) Equazioni iperboliche.

àcr'P[grad cr]z ­= Q'=, , à-, )

= 'Si sono studiati, fino ad ora, i piu semplici fenomeni di propagazione, cioè

quelli governati dall'equazione delle onde.Un certo numero di fenomeni classici, di ampiezza troppo piccola perché i

loro effetti siano additivi, sono governati da equazioni alle derivate parziali, chesono, come l'equazione delle onde, equazioni di tipo iperbolico: una soluzioneche, in un dato istante to, è nulla al di fuori di una regione limitata Da è, in unsuccessivo istante t, nulla al di fuori di un'altra regione limitata D„che dipendeda Ds e dall' equazione ;in altre parole, al fenomeno è associato un fronte d'ondache si propaga con una velocità finita dipendente dall'equazione e, eventualmen­te, anche dalla direzione di propagazione.

L'iperbolicità di un'equazione alle derivate parziali dipende solo dai suoitermini principali, cioè dalla derivata di ordine piu alto. Un'equazione del se­condo ordine è iperbolica, se la forma quadratica definita dai coefficienti dellederivate seconde dell'incognita è di tipo iperbolico (non degenere e con tutti itermini quadratici di una decomposizione canonica dello stesso segno salvo uno).L'equazione di d'Alembert, l'equazione delle onde sono iperboliche. L'equazio­ne di Webster, in una variabile spaziale, che governa la propagazione del suonocon onde piane di un altoparlante

Figura 23. v z+x ­ = oLeggi della riflessione e della rifrazione.

Propagazione 3r6 3r7 Propagazione

è anch' essa un'equazione iperbolica: si dimostra che una soluzione nulla al di Si consideri il caso in cui x è costante (diffusore esponenziale S = S~e"*). Lafuori dell'intervallo a <x(b al l ' istante zero, è nulla all'istante t, al di fuori del­ funzione u = a(x) cos(ut — Ax) è una soluzione dell'equazionel'intervallo a — e t~x(b +vt, dunque i fronti d'onda si propagano con velocitàv, come nel caso dell'equazione di d'Alembert. Un risultato analogo è valido an­che per l'equazione seguente, che ha gli stessi termini principali dell'equazionedelle onde: se

ò u òu da d~a da / u ~@~au+ g a; + bu+ c = o ;

òts dxt = r

z — + c>a= o — + — x+(

k ' a = o

un suo caso particolare è l'equazione di Klein-Gordon, soddisfatta dalle onde dicioè l'ampiezza a è a = a~e "*' . Quando la relazione di dispersione è k =

Broglie delle particelle libere relativistiche, di massa m:= (u'/v ) — (x /4), si ottiene un valore di A solo se la frequenza co è superiore alvalore u~ = ae/z; in un diffusore esponenziale si può avere propagazione di una

t ò'u vibrazione sinusoidale (suono puro) solo se la sua frequenza è superiore a questa— ­ — Au+ mu = o.C òt frequenza particolare u~, detta frequenza di taglio del diffusore.

La velocità di fase della vibrazione u = a (x) cos(mt — kx) è alloraIl principio di Huygens non è valido, salvo eccezioni, per queste equazioni,

e neanche per equazioni piu generali in cui i coefficienti non sono costanti : dopoil passaggio del fronte d'onda, le oscillazioni persistono. Si dice che i casi ecce­zionali possiedono delle «lacune». Tutti i problemi ben posti di evoluzione delladinamica relativistica dei mezzi continui — e molti di quelli della meccanica clas­sica — si risolvono con equazioni iperboliche alle derivate parziali. Sono stati ot­

Questa velocità di fase dipende dalla frequenza co ed è sempre superiore alla ve­locità di propagazione v dei fronti d'onda. Qui la velocità di fase aumenta quan­

tenuti risultati molto generali da Leray nel rggz. do u diminuisce, diventa infinita alla frequenza di taglio e ciò significa che, aquesta frequenza, tutta l'aria dell'altoparlante vibra in fase, si ha k = o, u =

7.r. Dispersione. = a(x) cos at. Si sottolinea che questo risultato non corrisponde in nessun modoa una velocità di propagazione infinita di un segnale sonoro: la partenza di un

Anche nel caso in cui i fenomeni sono governati da un'equazione iperbolica, segnale (emissione di un suono all'entrata del diffusore) è seguita da un regimelo studio delle soluzioni particolari periodiche, in particolare sinusoidali, ha transitorio; i l regime forzato di uguale frequenza si stabilisce solo in seguito,

spesso destato interesse : queste soluzioni corrispondono per lo piu a «vibrazioni asintoticamente.

forzate», regime indotto da una sorgente di oscillazioni di frequenza fissa u ; lo Si osservi che l'ampiezza dell'onda è proporzionale a e "*~s; dunque, la po­

studio della loro propagazione è molto complesso. tenza ricevuta per unità di superficie è proporzionale a e "* e, dal momento che

Un'onda piana sinusoidale di frequenza u e numero d'onda k, che si propa­ la superficie è proporzionale a e"*, la potenza totale che attraversa una sezione è

ghi nella direzione ox, si scrive u (x,t) = a(x) cos(ut — kx). La velocità di fase costante: la potenza acustica si trasmette completamente dalla sezione di entra­

V = a/k caratterizza gli spostamenti nel tempo dei massimi e dei minimi succes­ ta alla sezione di uscita del diffusore, per frequenze superiori alla frequenza disivi dell'onda — non è una velocità di segnale (si veda oltre). Se, per differenti on­ taglio.

de di una stessa classe di fenomeni — soluzioni o no di equazioni iperboliche —, Per frequenze inferiori a quella di taglio, la soluzione ha uno smorzamento

la velocità di fase è diversa, si dice che si hanno delle onde dispersive. La relazio­ esponenziale supplementare della formane che lega k e u è detta relazione di dispersione. Se questa relazione implica ~~-[>,> • +~>»- i • » >»> ~>che k sia immaginario per alcuni valori di ~, questi valori non corrispondono anessuna onda sinusoidale della famiglia e si dice che queste sono al di fuori della Si vede che, in pratica, l'altoparlante non trasmette i suoni di frequenza infe­

banda passante di frequenza. riore alla propria frequenza di taglio.

Esempio.7.z. Treni d'onda, velocità di gruppo.

Si cerchino le onde sinusoidali che sono soluzione dell'equazione di Webstermenzionata prima per studiare la propagazione di un suono di frequenza data u Quando la velocità di fase delle onde sinusoidali che sono soluzione di unin un altoparlante. problema dato dipende dalla loro frequenza, risulta un nuovo fenomeno: l'esi­

Propagazione 328 319 Propagaz2one

stenza di treni d'onda e una velocità di propagazione di questi treni d'onda, det­ da cui, considerando UZ — U, e Xz — f/, come infinitamente piccoli, U = U­

ta velocità di gruppo. La velocità di gruppo è stata introdotta piu dai fisici che — ) (dV/dX). Questi risultati si trovano immediatamente con il seguente calcolo

dai matematici e svolge un ruolo importante rispetto all'esperienza. Questa riap­ della sovrapposizione delle due onde u1 e uz :

parirà in meccanica quantistica. u u r + u Z a cos(ko,t — k,x) + a cos (ktàzt — k,x),Un esempio è fornito dall'analisi del fenomeno dei battimenti prodotti dalla da cui

sovrapposizione di due onde sinusoidali della stessa ampiezza a, di frequenza k ol + ko2 k 1 + k 2 ko1 koZ k 1 k 2prossima ko, e oà2, e di velocità di fase prossima U, e V, e, dunque, di numero d'on­da k1 e kz prossimo (si ricorda che k = k o/z/; e X = zrc/k è la lunghezza d'onda). Inun dato istante t, la sovrapposizione delle due onde è rappresentata nella figura Se si suppone che ko1 e ko2 da una parte, k, e kZ dall'altra, siano prossimi rispet­

14. Un massimo dell'ampiezza risultante è ottenuto nei punti M, in cui coinci­ tivamente a una frequenza ko e a un numero d'onda k dati, si ha

dono dei massimi delle due onde componenti. Questa coincidenza non si man­ k,— k,tiene nel tempo, in quanto le sinusoidi S1 e $ 2 si propagano con velocità diversa. u za cos (kot — kt) cos t ' x ,

z 2Si supponga che SZ sia la sinusoide con lunghezza d'onda piu grande e che sipropaghi piu velocemente di S,: il massimo MZ che segue N„avrà raggiunto il da cui si deduce la rappresentazione grafica (fig. zg) ; la sinusoide S, inviluppo

massimo M1 che seguiva N1, per dare un nuovo massimo M di ampiezza risul­ dei massimi delle oscillazioni di u in un dato istante t

tante, in un tempo ~ tale che (UZ — U,) ~= Ao A1 Questo massimo M è a una t'ko, — koZ k 1 — k,distanza Vzv — AZ da N. u> ­— za cos t x

2 2La velocità media di propagazione del massimo dell'ampiezza risultante è

dunque appare come separatrice dei gruppi, o treni d'onda. La sua velocità U di propa­

X2 2 — Ul gazione nel tempo è detta, per questa ragione, velocità di gruppo. Si ha U =

U = V,­ — = U,— AZ7 AZ X] = (ko1 — koz)/(k,— k,) da cui, seko,— koz e k,— kz sono considerati infinitamente

piccoli, U = dho/dk, la quale, tenendo conto della relazione k = zrr/ A, coincide conivi M, la formula scritta precedentemente.

II Si vede che la velocità di gruppo U è inferiore alla velocità di fase V se que­

II l Sfi sta è una funzione crescente di ), : le onde che costituiscono il gruppo sembrano,I I all'interno del gruppo, procedere in avanti. In caso contrario, si verifica il feno­I I

~ XZ4 ­ meno mverso.II

Esempio : quando si getta una pietra in uno stagno, si osserva un fenomeno

N, Mkdel primo tipo, sebbene piu complesso ; si produce un treno di onde circolari,nel cui interno le onde individuali si propagano piu velocemente di quelle del­

ISà

l'insieme : queste si smorzeranno nella parte anteriore del treno d'onda, mentreI I nella parte posteriore ne nascono altre. Lo studio matematico della propagazio­I II I ne delle onde superficiali di un liquido pesante (onda lunga) è in accordo con

~ >à ~ questa osservazione.I Si consideri una massa d'acqua in equilibrio nel campo gravitazionale; sia

tft M oxyz una terna cartesiana, con oz verticale diretto verso l'alto, e il piano oxycoincidente con quello della superficie libera, orizzontale, del liquido a riposo.Si considerino, ora, delle onde rettilinee di piccola ampiezza parallele a oy che sipropaghino nella direzione ox. Si indichino con E e g Ie componenti, secondoox e oz, dello spostamento di un elemento del fluido all'istante t, che in equili­brio aveva come coordinate x e z. Si trova che questo spostamento corrispondea un'onda sinusoidale che soddisfa le equazioni dell'idrodinamica dei fluidi pe­santi (con una superficie libera), se F = — ae2' cos(kot — kx), j = ae~ cos(kot — kx )

Figura r+. a condizione che la profondità sia molto grande rispetto alla lunghezza d'ondal, = zn/k e chela velocità di fase V = se/k soddisfi la relazione V = s/rà/za. CioèSovrapposizione delle onde S, e S,.

320 32I PropagazionePropagazione

a condizione che to = ~gk, dove con g viene indicata l'accelerazione di gravità.La superficie libera all'istante t è il luogo dei punti degli elementi fluidi che,

in equilibrio, appartenevano al piano z = o. Le coordinate (X, Z) di un tale ele­mento, che dipendono dalla sua ascissa x in quiete, sono „av'~ta

j~ 4"pope,

X = x+ E = x — a cos(cot — kx)Z = g = a sin (cot — kx).

Da queste relazioni si deduce che ogni elemento del fluido descrive, nel tem­po, una piccola circonferenza di raggio a, attorno alla sua posizione di equili­brio, con uno sfasamento che si traduce in un profilo ondulatorio della superfi­cie libera, ad ogni istante dato. Questo profilo si propaga con la velocità di faseU (fig. rg, in cui i profili sono stati disegnati in due istanti, che differiscono di Figura r6.T/4, con T = zie/to). Grafico delle velocità di fase e loro classificazione.

L'altezza delponda lunga — distanza verticale fra una cresta e una gola — èuguale a za. La forma del profilo dell'onda nelle vicinanze della sommità dipen­de dal rapporto za /X di questa altezza rispetto alla lunghezza d'onda, ma, in te nella propagazione di onde con lunghezza d'onda dell'ordine del centimetro,questo caso, cessano di essere valide le approssimazioni fatte finora. e un ruolo preponderante per lunghezze d'onda dell'ordine del millimetro (che

Dal momento che la velocità di fase è una funzione crescente della lunghezza si possono osservare, ad esempio, facendo vibrare con un diapason la superficied'onda X, la velocità di gruppo del treno d'onda è inferiore alla velocità di tase dell'acqua).delle onde individuali, Per queste onde, dette capillari, la velocità di fase è una funzione decrescente

Nell'esempio precedente si è trascurato l'effetto della tensione superficiale della lunghezza d'onda e, dunque, inferiore alla velocità di gruppo.del liquido. Se si tiene conto di questo effetto, si trova che la perturbazione ver­ Da un punto di vista del tutto generale, si vede che la velocità di fase è mi­ticale (in acqua profonda) è ancora della forma Z = a sin(cot — Ax), a condizione nima quando (gà/ztr) = (A/p) (zir/) ), cioè ), = ) a = z<~A/pg. Per ogni lunghez­che la velocità di fase V = co/k soddisfi la relazione (in cui p indica la densità) za d'onda ) )Xo ci sono due velocità di fase e dunque due frequenze possibili

gX A zrr (cfr. fig. r6) : una detta «capillare», e l'altra «di gravità».U2

zrr p Pgcioè coa=gk

(r+ — k'). Si vede anche che la velocità di gruppo U (k) = àco/àk ammette un minimo

U~. Si trova, per l'acqua, Va = 2 3 3 cm/s Ap = i 74 cm e U~ = 1 7,9 cm/s.Per l'acqua, in unità ccs, si ha g = 98r, p = r, A = 74 e, quindi, l'effetto della ten­sione superficiale diventa trascurabile (dell'ordine dell'r per cento) per lunghez­ 7.3. Osservazione delle velocità di gruppo per una sorgente puntiformeze d'onda inferiori a io cm ; al contrario, questa svolge un ruolo molto importan­ istantanea.

Si consideri un treno d'onde generato da una perturbazione nel punto r = o,t = o all'istante t = o. Si indichi con U (k) la velocità di gruppo dell'onda di lunghezza

X = zit /k; il t reno d'onda corrispondente si troverà, all'istante t, alla distanzar = U(A)t. In a l tre parole, a una distanza r fissata si osserveranno dei trenid'onda la cui frequenza varia con il tempo secondo la legge U (k) =r /t. Per leonde di gravità, si ha

U(k) = — = ­

La relazione fornisce dunque k =gt' /4r', co =gt /zr. Questa legge è stata verifi­cata, con buona precisione, per onde generate da una tempesta nell'Oceano Pa­

Figura tg. cifico, a una distanza di duemila miglia.

Profilo ondulatorio della superficie libera in due istanti che differiscono di tr/zt».In scala minore, gettando una pietra in uno stagno, si verifica che, t secondi

Propagazione 322323 Propagazione

piu tardi, la zona d'impatto è il centro di un disco tranquillo di circa rgt cm, Un calcolo matematico rigoroso fornisce la valutazione seguente, quando per icorrispondente al minimo della velocità di gruppo. Oltre, ci sono due valori divalori stazionari la derivata seconda to" (k) è diversa da zero :k per ogni valore di r. Tu t tavia, le lunghezze d'onda maggiormente eccitate

all'istante iniziale (cioè dello stesso ordine di grandezza della pietra) hanno l'am­ 2% zrr . / z hpiezza piu grande : i cerchi principali saranno, all'incirca, di r = U(vc/l) t per una u(x,t) = g f( k) „ expz

[o>(k)t — kx+ — signco"(k)+o( g

(g)valori stazionari t, l~" ( )l l-)pietra di raggio l. m'(k)=ztl

Il fattore correttivo o (t /ts ) tende a zero t volte piu velocemente del termine7.4. Fase stazionaria. principale. L'ampiezza di questo termine principale decresce come t /~t (per

un dato rapporto x /t). Questo risultato corrisponde alla diffusione spaziale pro­Le onde che si sono considerate fino ad ora rappresentano solo schematica­ porzionale a z/t della densità dell'energia (quadrato del modulo di u ) corrispon­

mente i fenomeni reali. I treni d'onda subiscono, propagandosi in un mezzo ma­ dente ai differenti numeri d'onda, poiché x =to>' (A) comporta dx =t t o" (A) dA.teriale, modificazioni piu complesse di quelle che si sono studiate: i fenomeni, In questo caso generale, si ritrova il risultato ottenuto piu sopra per le ondeanche di piccola ampiezza, non sono governati in modo esatto, e senza altre di gravità e che spesso viene formulato nel modo seguente: in una famiglia dicondizioni, da equazioni alle derivate parziali. Un mezzo materiale non è mai onde dispersive, l'onda di numero k si propaga con la velocità di gruppo U =

del tutto omogeneo e neanche illimitato. Tuttavia, possono essere ottenute in­= t o'(k). Il senso di questa frase è che l'osservatore posto a una distanza x = Ut

teressanti informazioni sui moti che sono sovrapposizione di moti oscillatori,osserva soprattutto onde di frequenza k; si possono avere piu onde con questa

se si conosce la relazione di dispersione che essi soddisfano. Un metodo parti­ frequenza, se queste hanno la stessa velocità di gruppo.colarmente valido è quello detto della fase stazionaria, che si utilizza per la valu­ Si può sottolineare inoltre che il termine principale di u (x, t) presenta unotazione di diverse soluzioni asintotiche, locali o globali. Quest'ultimo caso for­ sfasamento di vr/g rispetto all'onda di numero A.nisce delle regole di quantificazione matematicamente rigorose e fisicamente in­ Il caso in cui u" (A)= o per un valore di k tale che oi' (k) = o, richiede untuitive (lavori di Leray-Maslov). Si dànno i principi del metodo valutando un trattamento particolare.integrale della forma

u(x,t) = f(k) expi(out — Ax) dk p.g. Velocità di segnale.

che è la sovrapposizione di oscillazioni di frequenza to, numero d'onda k e am­ Si conviene in generale di definire segnale una perturbazione (elettrica, lumi­piezzaf(k). I numeri co e A sono reali, e legati da una relazione di dispersione: nosa, acustica, ecc.) di un sistema a riposo, limitata nel tempo e nello spazio. Laco è una funzione data di k. f(k) è complessa, e contiene, a volte, l'ampiezza velocità di propagazione del segnale è, in linea di principio, determinata dal fron­reale ~f(k)j e la fase q>=Argf (k). Nei problemi di meccanica classica, l'onda te dei punti interessati, in ogni istante dato. In pratica, questo fronte, e dunquefisica è la parte reale di u. Si ha la velocità apparente del segnale, dipende dalla sensibilità degli apparecchi che

lo registrano. Cosi, anche per una perturbazione regolata da un'equazione iper­bolica, in cui la velocità di propagazione del fronte è determinata dall'equazione,u(x,t) = f(k) expit 6>(k,x/t) dx, un apparecchio di sensibilità limitata può non rilevare le prime manifestazionidel segnale, molto deboli, ma solo le successive di maggiore intensità. Questo

ponendo 4(k,x/t) = to (k) — k(x/t) e interessa l'andamento della funzione u fenomeno avviene in particolare quando il segnale è costituito da una serie diquando x e t sono grandi, piu precisamente quando nel rapporto x/t, di valore oscillazioni e quando il sistema è dispersivo. La velocità di un segnale, allora,fissato U, t è grande. spesso coincide con la velocità di gruppo, ma non necessariamente. Questa è

È intuitivo, allora, il fatto che la funzione da integrare oscilli rapidamente sempre inferiore alla velocità del fronte, punto importante nella teoria della rela­con k, eccetto che vicino a quei valori di A per i quali la derivata di 4 rispetto a k tività in cui nessun segnale può propagarsi con una velocità superiore a quellasi annulla: questi valori sono detti stazionari. L' integrale calcolato escludendo della luce nel vuoto.questi valori sarà molto piccolo (si dice che si integra su una regione «di inter­ Un esempio tipico del fenomeno precedente è quello della propagazione del­ferenza distruttiva»). Il contributo principale all'integrale è dato dalle regioni la luce in un mezzo materiale. Le proprietà ottiche di un corpo sono legate alle«di interferenza costruttiva», cioè nelle vicinanze dei valori stazionari di k, per i oscillazioni forzate, indotte dal campo elettrico dell'onda luminosa, degli ioni equali òe degli elettroni che lo compongono. Il fronte d'onda di un segnale luminoso si

— (k, U) = o cio è to'(k) = U. propaga sempre con la velocità c della luce nel vuoto, ma l'intensità corrispon­àk dente può essere molto debole : questa intensità diventa apprezzabile solo quan­

Propagazione 32$ 3z5 Propagazione

do gli ioni e gli elettroni oscillano in modo coerente sotto l'azione del campo definiscono il coefficiente di assorbimento K e l' indice reale v per mezzo dellaelettrico : la velocità del segnale (e dunque l'indice di rifrazione) corrisponden­ radice quadrata del numero complesso s, s = (v — iK)', allora il campo elettricote dipende dalla frequenza, cioè dal colore dell'onda incidente. La velocità del reale è E = ae ' x~'P*costi [t — (vx/c)].segnale si confonde con la velocità di gruppo, tranne nelle vicinanze di certe fre­ Generalmente si Pone l = map, e oip si dice frequenza di assorbimento (è laquenze particolari (frequenze di assorbimento ), che sono quelle delle oscillazio­ frequenza di oscillazione libera degli elettroni ) : poiché il fattore r è sempre pic­ni libere degli ioni o elettroni nel mezzo; l'energia dell'onda luminosa è, allora, colo rispetto amap, il coefficiente di assorbimento K, cioè la parte immaginariaquasi assorbita dalla stabilizzazione di queste vibrazioni forzate (risonanza). del coefficiente dielettrico complesso s, cessa di essere trascurabile solo per fre­

Una teoria soddisfacente — benché approssimata — è stata messa a punto da quenze vicine alla frequenza di assorbimento clip.Brillouin e Sommerfeld. Grosso modo, la teoria è la seguente: le equazioni di L'onda illimitata E = ae""' k * ' appena ottenuta corrisponde a un campo diMaxwell, che regolano la propagazione dei campi vettoriali elettrico E e magne­ oscillazioni nel Punto x = o, senza inizio né fine, Ep = ae'"'.tico H, sono (la permeabilità magnetica è sempre molto vicina all'unità ) Si consideri, ora, un segnale emesso a partire dal tempo t = o, al punto x = o,

r òH girI da un campo elettrico oscillante, di forma f(t) = o per t ( o , e f( t) = sinat per— — = ­ rotE — = rotH t)o . Questo può essere considerato come una sovrapposizione di oscillazionic òt C monocromatiche illimitate, che possono essere scritte nella forma

dove I è la somma del flusso di spostamento (r/dir )(òE/òt) e di un flusso corri­ I c — th) tspondente allo spostamento reale delle cariche elettriche, supposte elettroni per f(t) = ­ Re do'semplicità (le cariche che svolgono un ruolo principale dipendono dalla lunghez­ z ' Cù — X

za d'onda della luce incidente ). Si indichi con s lo spostamento provocato dal (l'integrale deve essere preso lungo un cammino conveniente del piano comples­campo elettrico E: se N è il numero di elettroni (di carica e) per unità di volume, so, per acquistare un significato non formale).si ha allora Dopo lo studio precedente, il campo elettrico corrispondente è, nel punto x

I = ­ — +¹ —, e all'istante t,y it ò t òt I <i(mt — kx)

E(t, x) = ­ Re do'ammettendo che lo spostamento s soddisfi un'equazione differenziale del tipo 27i: cp — xf

dove k = pi~ s /c.ò~s òs Un argomento intuitivo, per ottenere la coincidenza delle velocità di segnalem +r ­ +fs = Ee,òt' e di gruppo della frequenza iz(tranne che questa sia nella «banda di assorbimen­

to»), è che il contributo essenziale a E(t, x) provenga dai valori di w vicini ad ix,cioè che l'elettrone, per effetto del suo spostamento, sia sottoposto ad una forza e che questo sia veramente importante solo se x e t sono tali che iz verifichi ladi richiamo — lts e ad una forza di tipo attrito — r (òs/òt) (modello evidentemen­ condizione segnalata nel paragrafo sulla «fase stazionaria», nel caso in cui k ète molto schematico). reale, cioè lontano dalla frequenza di assorbimento.

Per studiare le onde piane monocromatiche di frequenza pi si cerca un siste­ Lo studio matematico conferma questo risultato e anche l'esistenza di pre­ma di vettori E, H, I, s, che siano funzioni sinusoidali di frequenza pp. Dal mo­ cursori di debole ampiezza, che si propagano con velocità c.mento che le equazioni sono lineari, si cerca una soluzione in e' i : la parte reale Lo studio delle soluzioni discontinue delle equazioni di Maxwell in un mez­sarà la vera soluzione. Si ponga s = Ae'"', dove A è indipendente da t, se ne de­ zo dispersivo fornisce direttamente quest'ultimo risultato, che è valido anche vi­duce, quindi, dall'equazione differenziale soddisfatta da s, ( — moP+rioi+l) s = cino alle frequenze di assorbimento. Non si propaga alcun segnale con velocità= Ee. Il corrispondente flusso elettrico I è superiore a quella della luce nel vuoto.

s òEI = — ­

'"

git òt8, Non - l inearità.

dove s è la costante complessa, che dipende dalla frequenza tp :

girNe' Nei paragrafi precedenti, si è ritenuta trascurabile l'azione dei fenomeni stu­s = r+

I+ r ipi — mo'~'diati su se stessi; li si è considerati come agenti in un mezzo nel quale la loropropagazione è additiva: questa ipotesi semplificatrice è valida solo per un'ap­

L'onda piana elettromagnetica di frequenza oi, soluzione dell'equazione di Max­ prossimazione piu o meno buona secondo la natura dei fenomeni considerati.well, ha allora, come campo elettrico complesso, E = a e'"" k " ' , k = p p~ s/c. Si In molti fenomeni reali, infatti, l'interazione del fenomeno con se stesso, a causa

3z6 327Propagazione Propagazione

della non-linearità delle leggi dinamiche, svolge un ruolo essenziale. Introduce,le equazioni dinamiche, tenuto conto dell'equazione di stato p =p (p), implica­no le due equazioni di evoluzione

in particolare, un nuovo tipo di propagazione: quella degli urti.Generalmente, s'intende con 'urto' la discontinuità di una grandezza fisica òP >P òu àu)

— + (u+ a) — y apche appare, nella maggior parte dei casi, continua rispetto a una scala di misura òt òx — + (u+ a) ò.Jconvenzionale: in un problema di dinamica dei gas, un urto corrisponde a una òp àp àu àuldiscontinuità di velocità o di pressione. Nello studio eseguito sull'acustica (equa­ + (u — a) ­ — ap

òxzioni linearizzate) si è parlato di onde balistiche, o onde di Mach (prodotte da àt à.J+ (u — a) ­ Juna sorgente a velocità supersonica), corrispondenti a un accumulo di rumore, in cui si è posto aa = dp/dp.che sono in effetti delle onde d'urto che si propagano con la velocità del suono, La prima equazione di evoluzione dice che su una curva C+ (che dipendecioè con la velocità dei fronti d'onda usuali (che sono, in questo caso, disconti­ dalla soluzione u, p) del piano degli (x, t) di equazione differenziale dx/dt = u+a,nuità di accelerazione e di gradiente della pressione). Questi urti sono detti urti si hacaratteristici, o urti deboli, in quanto sono di piccola ampiezza. Quando si tiene dp du adp— +pa — =o cioè +r = o;conto della non-linearità, si vede apparire un nuovo tipo di urto, la cui velocità dt dt pdudi propagazione non è piu quella dei fronti d'onda. dunque, su una curva C„

La natura del fenomeno studiato è, spesso, profondamente modificata dopol'urto e quindi le equazioni fin qui descritte non sono piu valide. fa(p) dp dx

+u = costante su C+ . ­ ­— u+aP + dt

8.r. Problema del pistone. La seconda equazione di evoluzione fornisce, con un analogo ragionamento,Un modo intuitivo per prevedere la comparsa di onde d'urto è quello di os­ a(p) dp dx

servare che, per equazioni non lineari, la velocità di propagazione dei fronti u = costante su C : ­ = u — a.d'onda dipende dalla soluzione considerata. Per esempio, in un gas, essa cresce f P dt

con l'aumentare della pressione: allora, una perturbazione si propagherà tanto I primi membri sono detti « invarianti di Riemann».piu velocemente quanto piu sarà grande, il che condurrà a una discontinuità. Per confronto con la teoria linearizzata, in cui le curve C+ e C sono sostitui­

Quest'ipotesi fu proposta già da Riemann, cui si deve la soluzione del pro­ te dalle rette x — a«t = costante e x +a«t = costante, e in cui un'onda progressivablema del pistone, il quale illustra la nascita di un urto. Il suo metodo è ancora è funzione solo di x — aot, si dice onda semplice progressiva della teoria non li­adesso utilizzato per risolvere problemi non lineari unidimensionali. Si dimo­ neare una soluzione delle equazioni dinamiche, il cui secondo invariante di Rie­strerà rigorosamente, con un semplice esempio, la comparsa di urti, anche per mann è dovunque costante (cioè ha lo stesso valore sulle differenti curve C ).piccoli valori, molto regolari, dei dati iniziali. Si consideri un gas omogeneo in quiete all'istante iniziale t = o che occupi lo

Si riprendano le equazioni unidimensionali della dinamica dei gas, suppo­ spazio x)o : la sua equazione di stato è p= Kpr, dunque a = K y p r ' . Gl i inva­nendo costante per semplicità l'entropia: rianti di Riemann sono allora

òp à 2 dx(pu)= o a+-u = costante su ­ = u+-a.

òx p — I dt

/ òu à u i àPp — +u — + ­ = o.

òx/ P/

C~Si è visto che le equazioni linearizzate corrispondenti (per perturbazioni di pic­ /cola ampiezza) portano per p (e per u) a una stessa equazione del tipo di quella di /

C,d'Alembert, la cui soluzione generale è somma di un'onda progressiva E(x — apt) /

e di un'onda regressiva G (x+a«t), dove ao è la velocità del suono nel mezzo non ,/C

perturbato, a = (dp/dp)p pp. /

Si può estendere la definizione di onda progressiva, che si dice onda sem­ Figura r7.plice, al caso non lineare, cosa che permette di risolvere il problema di un motoindotto da un pistone in un gas che riempia un tubo cilindrico. Si ricordi che

Traiettoria di un pistone,

Propagazione 328 329 Propagazione

Un pistone posto nel punto di ascissa x = o, al tempo t = o è spinto verso destra. Al contrario, il valore di x, in funzione di x e t, ricavato da questa equazione eLa sua traiettoria nel piano degli (x, t) (fzg. zp) x = X(t) è una linea di flusso; riportato in u = X(r), fornisce il campo delle velocità u (x, t) nel gas (e anchesi ha dX/dt = u su x = X(t). Si consideri la famiglia di caratteristiche C ; si ha delle densità e pressioni).

2 dx Le curve C+ sono rette di pendenza dx/dt crescente con u: si vede che se laa — u = costante su ogni C : ­ = u — a

y — z dt velocità del pistone dX /dt cresce(caso della compressione) s'incontrano due cur­ve che nascono da punti diversi e che forniscono due valori diversi delle inco­

all'istante t = o, e qualunque sia x, si è supposto u = o e p = pe, quindi [2/(p­ gnite u e p in uno stesso punto : infatti, vicino a un tale punto, l'analisi fatta fin— z)] a — u= [2/(y — z)] ae è la stessa costante su tutte le curve C che incontrano qui cessa di essere valida: non esistono soluzioni regolari e si genera un urto.l'asse ox, con x) o. Le linee di flusso del fluido partono da questo semiasse per La figura z8 rappresenta le posizioni di alcune onde di Mach generate da dif­t=o — lo stesso avviene per le curve C i n q uanto queste corrispondono a un ferenti punti di un'ala di un aereo in volo supersonico, e di onde d'urto attaccatepiu piccolo valore di dx/dt — e si ha che il secondo invariante di Riemann è co­ davanti e dietro agli spigoli. In altri casi, l'onda d'urto anteriore può essere stacca­stante in tutta la regione D occupata dal gas nel corso del tempo. ta. Lo studio completo, che dipende dalla geometria dell'ala, è complesso ma im­

Questo risultato, insieme alla considerazione del primo invariante di Rie­ portante per l'aeronautica : ha dato luogo a numerosi lavori teorici e sperimentali.mann

2a d+ u = costante su ogni C+. — ­— u+ a,+' dt 8.2. Solitoni.'f — z

dimostra che a e u sono entrambe costanti su ogni curva C+, cosa che si esprime Scott Russell scopri sperimentalmente nel z844 un fenomeno molto curioso,

nella forma riguardante la propagazione delle onde sulla superficie dell'acqua. Mentre segui­dx y — z

u = costante su ogni C+. — ­— as+ u. va a cavallo il bordo di un canale, egli osservò un'onda isolata, di altezza apprez­dt 2 zabile, che si propagava senza deformazioni né smorzamenti, con velocità co­

Il valore di u su ciascuna di queste curve (che sono delle rette) è diverso poichéstante. Egli poté seguirla per piu di un chilometro, Non è possibile spiegare con

dipende dall'istante in cui incontra il pistone. Se lo incontra all'istante x, il valo­la teoria linearizzata l'esistenza di un'onda simile, detta onda solitaria, in quanto

re di u su questa curva C+ è u = X(w). La sua equazione è, allora contraria al concetto usuale di treni d'onda, originati da gruppi oscillanti che sismorzano nel tempo E invece possibile spiegarla con una teoria non lineare;Boussinesq (z87z) e Lord Rayleigh (z 876) vi si sono applicati con l'ausilio di me­

x=X (~)+ a„+ X(x) (t — ~).2 todi approssimati. Nel z89), Korteweg e Devries hanno dimostrato che le onde

di gravità alla superficie di livelli d'acqua poco profondi, almeno in prima ap­I prossimazione, soddisfano l'equazione che ora si dice di Korteweg-Devries

/ /I /~ /

/ òzl/ / l<+o Jzl +W.

I òx/I //

o / dove Iz è una costante e zi indica il dislivello rispetto alla superficie in quiete. Si/ /

/ IO ~o ottiene quest'equazione considerando onde progressive, cioè che hanno il primo/I

/ invariante di Riemann costante, e considerando solo il primo termine non linea­I

re (trascurando, cioè, il prodotto per zl di termini di ordine (zi/he), dove he èla profondità dell'acqua in quiete). Si possono ottenere molto semplicementedelle soluzioni esatte, che rappresentano delle onde solitarie, dette anche solito­ni: con la sostituzione zi = (zz//z) (log F)„si trasforma l'equazione di Korteweg­Devries nell'equazione quadratica omogenea

F(F,+F»,),— F,(F,+F, , ) + 3(F,',— F„F»,) = o.

Questa trasformazione è motivata dal fatto che l 'equazione ottenuta ammettesoluzioni esatte che sono esponenziali; F = z+f con f = exp( — sz(x — s)+ocstt è

Figura sS. una soluzione qualunque siano i parametri o. e s; essa verifica F, +F » ­— oOnde di Mach su un profilo alare in un Russo supersonico.

Propagazione 33o 33t Propagazione

Di conseguenza alle corrispondenti soluzioni esatte dell'equazione di Kor­ e corrisponde quindi ad un'onda solitaria di velocità ct,. Per f, r e fz >) r, essoteweg-Devries diventarz z f rz o f ,o (<+f)' • (*+f )'

dove

si dà il nome di solitoni : in un dato istante t, queste possiedono un massimo uni­co per f = r, cioè nel punto x = s+est, e si smorzano rapidamente a partire daquesto massimo. Quest'ultimo si sposta nel tempo con velocità costante os.

È anche possibile, con l'aiuto di soluzioni esatte dell'equazione di Korteweg­e corrisponde ancora ad un'onda solitaria di velocità x', il cui profilo, però, è spo­

Devries, rappresentare l'interazione di due onde solitarie di velocità ct'; e x~. Sistato rispetto alla precedente, nella direzione ox, della quantità

cerchi una soluzione esatta sotto forma di serie F = r+F " ' + F ' '+ .. . c onF" ' = f~+ fa, f; = exp [ — z, (x — s;) + ustt], i = r, z. Si trova che la funzione

z(u, +,)'

(st, — o,)a Un simile risultato è valido anche quando fz è prossimo a t e f, è grande oF = > +fr+fs+ ,frfs piccolo. La regione in cui sia f, sia f, sono vicini a r, è la regione d'interazione.(x,+~,)' Si supponga, per fissare le idee, x, o o, (fig. t q). In un lontano passato (t ~ — ~),

è, anch' essa, una soluzione esatta dell'equazione trasformata di Korteweg-De­il dislivello corrispondente a F= r +fr+fs+[(oa xy)/(xs+xy)] fr fs descrivedue onde solitarie, una di velocità x„si tuata in una regione in cui f, t e f ,<< t,vries. Questa soluzione può essere interpretata come descrittiva dell'interazione con dislivello, dunque, equivalente a vin situato nelle vicinanze di x=sr +cPjt;delle due onde solitarie. Si vede, infatti, scrivendo il dislivello q corrispondente a l'altra di velocità st~~, situata in una regione in cui f, z e f, > t, con dislivelloquesta soluzione F, che corrisponde approssimativamente a un'onda solitaria di equivalente a qz situato nelle vicinanze di x = ss ­(z/cos) log [(st, + ct,)/(tra — cfr)] +velocità o., quando f, è prossimo a t, e fz è molto diversa. Piu precisamente, si + ost. Quando t diventa molto grande e positivo, un analogo studio dimostra che

trova che perft r e fs<< r le due onde solitarie emergono dalla loro interazione con la stessa forma e velo­Iz rtf) cità, l'onda ct, è ormai in testa; la sola traccia della collisione è uno spostamen­o (r+fr)' to in avanti di (z/ot ) log[(ms+ct,)/(xs — x,)] per l'onda ctz, e uno spostamento

regressivo: (r/ct,) log[(c(z+u,)/(u.,— ctg)] pef l onda xnSi trova cosi il notevole risultato che se numerose onde solitarie, convenien­

temente spaziate, s'incrociano, queste possono uscire dalla loro interazione ri­trovando la loro forma e la loro velocità originali. Il solo effetto della loro inte­

x = s,+art razione è uno spostamento costante rispetto alle posizioni che queste avrebbero

y,=r avuto senza interazione. L'analogia con la collisione delle particelle è sorpren­dente e ha risvegliato un grande interesse collegato con le teorie quantistiche incui il doppio aspetto corpuscolare e ondulatorio è sempre presente,

La ricerca di solitoni, soluzioni particolari notevoli di equazioni alle derivateparziali non lineari, è ancora un campo molto attivo della fisica matematica, inparticolare dopo l'introduzione del metodo della diffusione inversa (inverse scat­te1'itlg). [Y. CH.-B.].

I fenomeni (cfr. fenomeno) oscillatori sono numerosi: dalle onde marine a quellesonore alla propagazione della luce, il moto si trasmette da un punto a un punto vicino(cfr. anche energia, interazione) senza trasporto di materia (per questo cfr. anche par­ticella, quanti). Lo studio di questi fenomeni, dalle piu semplici vibrazioni di una cordaa manifestazioni piu complesse, è condotto coi metodi delle equazioni differenziali (cfr.

Figura rq. differenziale, e anche infinitesimale, funzioni, stabilità/instabilità) e rappresentaInterazione di due onde solitarie. un importante settore della fisica matematica (cfr. fisica, spazio-tempo).

y76

Quanti

Discreto e continuo.

La carica semantica ormai connessa con il lemma 'quanti' investe un ampiospettro di situazioni e di contesti disciplinari: in questi importa qui cogliere unparadigma comune. Persino nell'uso meno tecnico possibile della parola, quelloconnesso con la domanda «quanti?» intesa ad ottenere una risposta numerica, siriconosce nella sua elementarità un tale paradigma: la domanda individua im­mediatamente una demarcazione tra risposte numeriche possibili e risposte nonpossibili; chiunque non sia tradito da troppo impegnative conoscenze matema­tiche è pronto ad accettare — tra le risposte possibili — numeri interi, eventual­mente negativi, e forse anche numeri razionali. Si possono volere due fette ditorta, si può asserire di possedere — g milioni di lire, intendendo con questo l'esi­stenza di un tale debito, si può forse anche desiderare di possedere 8 /rg dellastessa torta, pur di essere forniti di un'opportuna capacità di ripartirla in partiuguali. Sembra invece molto arduo, a parte la bizzarria della cosa, desiderarert/xg di torta, anzitutto perché non è possibile fornire — pur provvisti dell'ovviaconoscenza che rr è il rapporto costante tra una circonferenza e il suo diametro­alcuna procedura finita in grado di produrre una tale « frazione».

Sono dunque ipotizzabili due classi di risposte — alla domanda «quanti?»— a prima vista nettamente distinguibili e con un livello di significanza tra loromolto diverso. Già in un contesto cosi semplificato si riconoscono alcuni ele­menti di quella polarità discreto/continuo che ha svolto e svolge nella storia delpensiero un ruolo cosi rilevante.

Sulle complicate e alterne vicende, sia sul versante matematico sia su quellodelle scienze della natura, attraversate da tale contraddizione molto è stato scrit­to e ancora molto si dibatte.

Non sarà quindi inutile spendere qualche parola su alcuni punti significatividella storia della scienza nel mondo occidentale. Va anzitutto detto che, malgra­do la continua interazione tra i due terreni, converrà tenere distinto l'ambito del­la matematica da quello delle scienze naturali. Se parlare di matematica del di­screto significa alludere all'aritmetica dei numeri naturali, sembra chiaro che adessa spetta la priorità temporale nell'elaborazione della matematica e che l'esi­genza di «riempire gli spazi vuoti » tra i numeri naturali (o eventualmente tra inumeri razionali ) — in sé sufficienti per contare — sia venuta piuttosto dal biso­gno di misurare; la diagonale del quadrato non si misura con un numero espres­so sotto forma di frazione in termini del lato. Appare legittimo assumere chel'esigenza di arricchire la matematica con un insieme di numeri piu completo edefficiente che non l'insieme dei naturali o dei razionali, sia venuta da un'intui­zione fisica assai primitiva: quella che l'estensione dei corpi non presenta, al li­vello dell'osservazione macroscopica, tranne che ai suoi bordi, alcuna «soluzio­ne di continuità».

k79 QuantiQuanti

vengono isolati come punti spaziali, e i momenti del tempo come punti tempo­Non va d'altra parte dimenticato che è presente anche nella fisica, e fin dal­ rali; e la soluzione dell'antinomia, cioè il movimento, è da comprendere solol'antichità, un filone di pensiero che si appoggia — per le proprie spiegazioni

scientifiche dei fenomeni naturali — ad una struttura discreta della materia a li­cosi, che spazio e tempo in sé sono continui» (trad. it. pp. z8z-83) —, non avve­dendosi in verità che in uno spazio-tempo discreto, cioè fatto di una quantità lo­

vello microscopico: l'atomismo di Leucippo e di Democrito, e di Epicuro e di calmente finita di punti, il ragionamento che impedisce ad Achille di raggiun­Lucrezio, ebbe significati e connotazioni che andarono certamente oltre il perio­ gere la tartaruga perde validità dopo un numero finito di passi, e dunque il pa­do limitato del suo primo apparire, e rappresentò un'alternativa alle concezioni radosso scompare comunque. La moderna consapevolezza dell'esistenza di strut­continuiste fino al secolo scorso ; un'alternativa, come si sa, in ultima istanza vin­

ture matematiche discrete (fondate ad esempio sul concetto di campo finito )cente. Certo è tuttavia che — nella misura in cui le osservazioni sperimentali ri­ mostra come non vi sia nulla di assai cogente nella scelta del continuo piutto­masero fino a tutto il secolo scorso di tipo macroscopico — l'atomismo rimase una sto che in quella del discreto, pur naturalmente di considerare, ad esempio peripotesi esplicativa, in apparenza precisa e articolata, in realtà vaga e adattabile a

descrivere lo spazio-tempo, strutture discrete con un numero, si finito, ma suffi­vari modi di argomentare e quindi difficilmente suscettibile di limpide corrobo­ cientemente alto di elementi. Quale sia del resto lo strumento matematico mi­razioni o falsificazioni. Perfino in periodo medievale, osserva Dijksterhuis f i95o]

gliore per una teoria che descrive un determinato ambito di fenomeni è mate­parlando dell'opera enciclopedica di Isidoro e Rabano Mauro, « l'antico atomi­ ria di un giudizio necessariamente a posteriori, rispetto alla teoria e alle sue ve­smo era in grado di fornire, a coloro che non facevano troppe domande masi ac­ rifiche, e comunque sempre problematico. Del resto «rimane pur certo che ilcontentavano di spostare le difficoltà dal macrocosmo al microcosmo, spiegazio­

continuo della nostra intuizione e il continuo matematico non coincidono; tra ini apparentemente molto plausibili di moltissimi fenomeni fisici comuni. Questo due si apre un profondo abisso. Ma ciononostante siamo spinti da considerazio­fatto fu sfruttato, ad esempio, da San Gerolamo nella sua esegesi della Scrittura» ni ragionevoli quando, nel nostro desiderio di comprendere il mondo, passiamo(trad. it. p. i39 ). D'altra parte, delle varie determinazioni della contraddizione dall'uno alP altro» afferma Weyl [ i9i7 ], e aggiunge ambiguamente in nota : «Cosi,discret%ontinuo, questa dell'atomismo — dibattuta con fasi incerte fino a qua­ per esempio, non potremmo associare la continuità allo schema dei numeri inte­si tutto l' Ottocento (cfr. ad esempio l'articolo «Forza/campo» in questa stessa ri : ciò non dipende dal nostro arbitrio. Tuttavia, chi può sapere quante cose nelEnciclopedia) — non può certo dirsi coincidere con quella che verrà segnata pro­ campo della fisica riposano ancora nel seno del futuro e della teoria dei quanti!»fondamente dalla rottura quantistica del i9oo: rottura che invece si riferisce a (trad. it. p. xy5). Stante tuttavia l'unanime e indiscusso affidamento continuistaun atteggiamento continuista di piu ampio ed «astratto» respiro. E cioè quello

che caratterizza — nel senso sopra precisato — la storia della scienza fino a tutto ilche aveva sempre piu o meno tacitamente suggerito che (una volta che la mate­

secolo scorso, le nuove proposte con cui si annunzia la fisica del nostro secolomatica — attraverso un processo assai lungo e non certo facilmente schematizza­

appaiono certamente una rottura di enormi proporzioni. Può ben dirsi la rotturabile — aveva riempito i «buchi » di cui si diceva e aveva quindi esibito una strut­ di un consolidato paradigma (si veda l'omonimo articolo in questa stessa En­tura assiomatica rigorosa per il campo dei numeri reali ) le variabili matematiche ciclopedia), anche se Kuhn stesso, nel suo piu recente e accurato studio dedi­che rappresentano grandezze fisiche prima facie continue, potessero per l'ap­

cato a questo «caso storico» [ i978], sembra non servirsi quasi piu di questa ter­punto assumere tutti i valori reali compresi in un determinato range: cosi per la minologia. Né si deve pensare che una tale rottura si sia rapidamente affermataposizione, per il momento lineare, per l'energia, ecc. ed abbia immediatamente segnato il pensiero successivo, se ancora nel i9 i 8 ,

Questa convinzione che in natura tutte le possibilità di valori per certe va­ quando ormai, come si vedrà, una prima fase della storia della «old quantumriabili sono in realtà attuate o attuabili, strettamente connessa con quell'altra theory» si era conclusa, Wittgenstein [i922 ] poteva scrivere : «Tutte le proposi­certezza che «natura non facit saltus» ha in verità radici assai antiche e pratica­ zioni come il principio di ragion sufficiente, di continuità nella natura, del mini­mente unanimi. Si ricorderà l'opinione di Aristotele, secondo cui v'è continuità

mo sforzo nella natura, etc. etc., sono tutte intuizioni a pr iori sulla possibilepersino tra la sfera del vivente e quella del non-vivente: «La natura passa per formulazione delle proposizioni della scienza» (trad. it. p. 75 ). Quanto poco sigradi cosi impercettibili dagli esseri inanimati agli animali, che tale continuità trattasse di un'intuizione a priori nel senso wittgensteiniano del termine [cfr.rende impossibile scorgere il confine fra i due campi e decidere a quale di essi ibid., g 6.32 e 6.3zi i ] era cominciato ad apparire fin dall'estate del 1900.appartenga la zona intermedia» [Ricerche sugli animali, 588b ]. Non è certo pos­sibile citare qui l= innumeri testimonianze del progressivo, e automatico, adat­tamento della fisica — e dunque dei range di valori assumibili dalle grandezze fi­ z. Le n uvole nere e il ruolo di Planck.siche — agli sviluppi e ai bisogni della matematica, in particolare alla costruzionee all'assiomatizzazione dei numeri reali. Valga per molte l'argomentazione a fa­ Come ricorda Broglie nella sua tesi di dottorato [i9zg, p. i3 ], alla fine delvore di una struttura. continua dello spazio-tempo che si trova in Hegel [i83o] : xix secolo Lord Kelvin «annunziava che due nuvole nere apparivano minaccio­egli vede in tale continuità l'unica possibilità di risolvere i paradossi zenoniani se all'orizzonte della fisica» [alludendo a Kelvin i88g, p. g9i ]. La prima nuvola— «Il movimento entra nell'antinomia zenoniana, che è insolubile se i luoghi

Quanti 48o 48r Quanti

era rappresentata dal complesso delle esperienze del solo Michelson e di Michel­ che non può essere determinata sulla base di sole considerazioni termodinami­son e Morley poi che, a dispetto delle critiche e delle reinterpretazioni di Lo­ che. La termodinamica impone soltanto, in altre parole, che u/vs dipenda dalrentz, sembravano introdurre sempre nuove contraddizioni nella teoria della rapporto v/T. È opportuno sottolineare fin d'ora che il fatto che tali leggi fosseropropagazione delle onde elettromagnetiche attraverso l'etere. La seconda minac­ ricavate sfruttando soltando i principi base della termodinamica, ritenuti asso­cia era costituita dalla cosiddetta catastrofe ultravioletta che caratterizzava la teo­ lutamente certi, fece si che esse non fossero in nessun caso poi messe in discus­ria esistente a proposito dell'emissione di radiazione da parte di un corpo nero. sione; e ciò a differenza di altri dogmi della fisica classica, in apparenza altret­Osserva poco oltre Broglie:«Nei primi anni del xx secolo le due nuvole di Lord tanto fondamentali, che invece, come si dirà, furono piu volte modificati o rove­Kelvin si sono, se cosi posso dire, condensate l'una nella teoria della relatività e sciati. Se si scrive l'energia irradiata in funzione della lunghezza d'onda, ) = c/vl'altra nella teoria dei quanti» [rqz4, p. i4]. (c è la velocità della luce nel mezzo) invece che della frequenza, si ha u>(A,T) =

Fin dalle sue origini, la teoria quantistica fu fonte di dibattito e disaccordo = (c4/V)F(c/XT); se ora ci si chiede per quali valori di X tale funzione ha untra gli storici e i filosofi della scienza: non v'è neppure unanimità sulla sua data estremo (in questo caso un massimo) — il che significa chicdersi, per una fissatadi nascita, come si vedrà; la prima cosa che occorre mettere in luce qui è la na­ temperatura T, qual è la lunghezza d'onda piu favorita nell'emissione — si trova,tura della seconda nuvola nera che si addensava negli ultimi anni del secolo sul annullando la derivata òu/ò) ~z,„,<, un'espressione del tipo: (c/) T)F'(c/XT)+capo dei fisici europei. Con gli apporti di Maxwell e di Boltzmann nel campo +r F(c/AT) = o; cioè, qualunque sia la forma della F, un'equazione nel prodot­oggi noto come meccanica statistica cominciò ad emergere l'importanza di una to XT; ciò significa in particolare che, se si pensa ora di far variare la temperatu­teoria che fosse in grado di applicare la termodinamica classica ai fenomeni con­ ra T, il punto ) i n c u i la u> assume il suo massimo si sposta(di qui il nomenessi con l'emissione e l'assorbimento di radiazione elettromagnetica. Se si tiene «legge di spostamento») verso valori maggiori se T diminuisce e minori se T au­presente che tale termine abbraccia l'intero spettro di radiazioni, con frequenza menta; si può equivalentemente affermare che la frequenza cui si ha il massimov che può assumere qualsiasi valore reale positivo, dalle onde radio alle onde lu­ è direttamente proporzionale alla temperatura considerata.minose (visibili), alle onde termiche (spettro infrarosso), ai raggi X e y, ecc., e Considerazioni basate solo sulla termodinamica classica non possono d'altrase si tiene conto che ad ogni radiazione è connessa una certa quantità di energia, parte portare alla determinazione precisa della funzione F, per conoscere la qualeacquisteranno un senso assai generale la definizione di potere emissivo e di po­ occorre ipotizzare un meccanismo particolare per l'emissione: un modello chetere assorbente di un corpo qualsiasi; con il primo termine s'intende l'energia tipicamente venne proposto come il piu naturale emettitore di radiazione elet­irradiata dal corpo in esame nell'unità di tempo e con potere assorbente la fra­ tromagnetica fu quello costituito da un oscillatore armonico carico, di frequen­zione dell'energia radiante incidente sul corpo che viene da questi assorbita. Ri­ za v ; detta E l'energia di un tale oscillatore mediata su tempi grandi rispetto alsulta fondamentale la considerazione di un corpo ideale — detto corpo nero­ periodo di oscillazione, si trova per l'energia emessa u, = (8itvs/cs) E; tutta laper il quale il potere assorbente è uguale a r. In base ad una legge fondata sol­ questione si riduce allora a calcolare E in funzione della temperatura. Qui è iltanto su considerazioni termodinamiche e stabilita da Kirchhoff fin dal t859, il punto cruciale del calcolo: per calcolare F, due ipotesi vanno sfruttate: a) cherapporto tra il potere emissivo e il potere assorbente di un corpo dipende soltan­ tutti i valori dell'energia siano a priori possibili ; b) che la probabilità di ciascunoto dalla sua temperatura e non dalla sua particolare natura; si conclude che per di essi, indicato con E, in accordo con un fondamentale teorema di meccanicail corpo nero, il cui potere assorbente è t, il potere emissivo dipende solo dalla statistica dovuto a Boltzmann, sia proporzionale a p (F) = e ~v~z', essendo k latemperatura. La funzione u(v,T) che esprime l'energia irradiata per unità di costante di Boltzmann (pari a circa t,g8 ro ' «e rg deg ') ; il calcolo effettuatotempo, al variare della temperatura del corpo nero e della frequenza della radia­ sulla base di queste due ipotesi è assai semplice e fornisce (scrivendo per brevitàzione emessa, fu oggetto negli ultimi decenni del secolo scorso di ricerche assai

P= i /kT)approfondite; le principali tappe che qui interessa ricordare sono le seguenti. Ee dEAnzitutto va menzionata la legge detta di Stefan-Boltzmann, scoperta nel t87q E ­ ­ — ln e >~ dE= — — In — =P

= kT;da Stefan e in seguito dimostrata da Boltzmann sfruttando il concetto di pres­sione di radiazione basato sulla teoria di Maxwell, secondo la quale l'energia to­ 0

tale emessa dal corpo nero è proporzionale alla quarta potenza della temperatura col che l'espressione per u, diventa u,= (8irvs/cs) AT; questa legge, nota sotto il(si ricordi che sempre ci si riferisce, qui e nel seguito, alla temperatura assoluta) ; nome di Rayleigh e Jeans (ma dovuta essenzialmente al primo ), è ovviamente inu(T) =oT«, ove u (T) = fs u(v,T) dv è l'energia comPlessivamente emessa alla accordo con la prescrizione di Wien, pur di assumere F (v/T) = (8trk/cs)(v/T) 'temperatura T, tenendo conto di tutte le frequenze possibili. ed è, per. piccoli valori della frequenza v, in ottimo accordo con i dati sperimen­

Wien trovò in seguito (t8q6) la cosiddetta legge di spostamento da cui segue tali. Si riconobbe tuttavia immediatamente che essa non poteva valere per ognila stessa legge di Stefan-Boltzmann : questa può essere enunciata dicendo che la frequenza v per l'ottima ragione che f«u, dv non esiste finito: si ha cioè chefunzione u di cui si parla è della forma u(v, T) = v«F(v/T), ove F è una funzione l'emissione di radiazione, per una fissata temperatura T, dovrebbe aumentare

Quanti 483 Quanti

indefinitamente con la frequenza, e ciò in palese contraddizione con l'esperien­ cioè la formula scritta da Wien nel tentativo di spiegare il comportamento del­

za, oltre che con il principio di conservazione dell'energia. Rayleigh stesso pro­ l'emissione ad alta frequenza. La legge trovata da Planck possiede dunque al­

pose, in conclusione alla sua memoria in proposito [I900], di introdurlc 11 fat­ cune proprietà cruciali: coincide, nei loro range di applicazione, con leggi trova­tore esponenziale u (v,T) v' T e >' ~ ' , senza tuttavia alcuna giustificazione teo­ te in precedenza; fuori da questi dà una previsione in pieno accordo con l'espe­

rica. Si trattava di uno dei molti tentativi (cinque ne vengono citati da Rubens rienza. È della forma voluta dalla legge di spostamento di Wien e dà luogo a unae Kurlbaum [ I9oo]) di mescolare il ragionamento fisico con un guessing mate­ u, integrabile nell'intervallo [0, ~ ), rispettando quindi anche la legge di Stefan­matico per trovare formule confermate dagli esperimenti. Boltzmann; se infatt i s i i n tegra u, su [0, ~), si t rova 0 = (zrr h )/(Igc hs)

È questa dunque la nuvola nera di cui si parlava; essa divenne nota sotto il g,6p Io ­ erg cm sec ' d eg , v a lore in ottimo accordo con l'esperienza.

nome di «catastrofe ultravioletta», poiché, rispetto allo spettro visibile, la regio­ L'aver mostrato questa derivazione con qualche particolare dovrebbe per­

ne ultravioletta è quella appunto delle alte frequenze. mettere di comprendere in cosa consiste e quanto sia cruciale la differenza tra

La soluzione che venne infine offerta da Planck fu la seguente. Egli osservò l'ipotesi a) e l'ipotesi a' ) ; nessuna delle due è, a stretto rigore, piu motivata del­

che se l'ipotesi a) viene sostituita con l'ipotesi a' ) — i valori permessi per l'ener­ l'altra, anche se la prima ha alle spalle, come s'è detto, secoli di autorevole tradi­

gia degli oscillatori non sono tutti i numeri reali positivi ma solo multipli interi di zione. Resta da capire cosa spinse Planck a imboccare la strada a' ) e con quantaun valore minimo E», piccolo ma finito —, mantenendo l'ipotesi b), il calcolo ri­ coscienza innovativa egli lo fece. Certo è che egli nel corso del I9oo si dedicò a

portato sopra si modifica profondamente: agi'integrali si sostituiscono le som­ questo problema con grande intensità: dapprima [Planck I90oa, b], basandosime, o per meglio dire, le serie ; si ha infatti, per il calcolo di É, sull'ipotesi classica di connessione tra entropia e probabilità, derivò di fatto la

legge di Wien; quando diventò chiaro che tale legge per basse frequenze era for­

nE e PnEp0temente inadeguata — decisivi furono a questo proposito i risultati sperimentali

E — " = d ~d. I E,

in% e >nEo= — ­ ln di Kurlbaum, Rubens, Lummer, Pringsheim e Paschen —, Planck provò a mo­d[) n~» d) I — e — > o e~ p — x'

Q e — S»Ep dificare, in maniera semplice, la relazione detta. Cosi egli si esprime, dopo avern=O constatato che la legge d»S/dE' = cost/E (essendo S l'entropia di un oscillatore

cosi che la formula che fornisce u, diventa che interagisce con la radiazione elettromagnetica, ed E la sua energia vibrazio­nale) porta appunto alla legge di Wien, non adatta alle basse frequenze: «Tut­

8Irv' E« 8rrv' E, tavia, io potei considerare la possibilità, benché non facilmente comprensibile8 (v,T) ­ ­

c» eSEp I c» eE i kl ' e in ogni caso difficile da dimostrare, che l'espressione che compare a sinistranell'equazione possa non avere il significato generale che io le attribuivo in un

va ora osservato che la legge di Wien non è qui automaticamente soddisfatta ; oc­ primo tempo... Seguendo questo ragionamento ho infine cominciato a costruirecorre fare un'ipotesi sul «quanto» E«, infatti l'unico modo perché u /vs si possa espressioni completamente arbitrarie per l'entropia che, anche se piu complica­scrivere come funzione soltanto del rapporto v/T è che sia E»= hv, con una certa

te dell'espressione di Wien, sembrano tuttavia soddisfare altrettanto completa­costante di proporzionalità h; costante che non deve dipendere dal particolare mente tutte le richieste della termodinamica e della teoria elettromagnetica. Fuimodello adottato e che deve quindi possedere un significato universale; la legge specialmente attirato da una delle espressioni cosi costruite, che è quasi altret­di Planck per l'emissione di radiazione elettromagnetica da parte di un corpo tanto semplice dell'espressione di Wien e che merita di venir approfondita per­nero assume quindi la forma ché l'espressione di Wien non è sufficiente per un accordo con tutte le osserva­

8Irv'h I zioni. Otteniamo tale espressione ponendo d'S /dE' = rk/E()+E). È di gran lun­» ekpikl' ga la piu semplice di tutte le espressioni che portano ad avere S come funzione

si noti in particolare che per piccole frequenze (hv/kT<<I ) una buona approssi­ logaritmica di E... » [I9ooc, pp. 203-4] e porta per l'appunto all'espressione vista

mazione di tale formula è data da piu sopra. Val la pena notare a questo punto che: I ) questa è l'occasione in cuiper la prima volta compare la «giusta» legge che fornisce l'energia emessa in fun­

8rrv'h h T 8I rv ' zione della temperatura e della frequenza. Questa sua prima derivazione è delu'(v, T) = — = ­ AT,c» hv cs tutto ad hoc, priva cioè di ogni sostegno teorico indipendente; Planck stesso,come si è visto, è molto esplicito su questo punto: egli prova varie espressioni

che corrisponde alla formula ricordata di Rayleigh e Jeans; viceversa, per alti finché ne trova una che funzioni ; z) un criterio che lo guida è quello della sem­valori di hv/AT, una buona approssimazione è plicità, piu volte sottolineato; 3 ) nessuna menzione è fatta della possibilità di

8Irv'h considerare solo quantità di energia in qualche modo discrete. Va forse aggiuntou«(v T) e — kvlkl'uv v> chc ln Una flcostruzIonc assai postcl'101 c della vlccncla. [ I943, p. I56] Planck ad­

Quanti 484 4gS Quanti

duce qualche motivazione per l' introduzione del termine a secondo membro tale ricoperto da tale ipotesi nei lavori originali del fisico berlinese. Kuhn [xgqg]della formula ora vista; ciò non sembra comunque sufficiente a infirmare le con­ sostiene, con grande abbondanza di documentazione storica, la tesi che la rottu­siderazioni esposte. ra abbia preso corpo davvero soltanto qualche anno dopo il xgoo, e cioè essen­

Il problema di giustificare l'espressione indovinata per u, assorbi Planck nei zialmente grazie all'interpretazione di Ehrenfest ed Einstein, e al successivo sug­due mesi compresi tra il xg ottobre, giorno in cui comunicò, in una seduta della gello di Lorentz, dell'ipotesi di Planck ; certo questa tesi non trova unanimi con­Società tedesca di fisica di Berlino, la sua memoria [xgooc], e il x4dicembre, gior­ sensi. Klein [xgpg], ad esempio, esprime un sostanziale e motivato disaccordo.no in cui, nella stessa sede, presentò un bri l lante lavoro (cui usualmente vien Non v'è dubbio comunque che « la storia di quest'avvenimento è tanto piu note­fatto riferimento come punto d'inizio della teoria dei quanti ) nel quale riusciva vole in quanto, almeno nella sua prima fase, non fu assolutamente influenzato daad impiantare una costruzione teorica adatta a giustificare la nuova legge. scoperte clamorose di natura sperimentale» [Einstein xg46, trad. it. p. zx].

Planck era interessato, come s'è visto, a calcolare l'entropia del sistema di Sembra in ogni modo sicuro che la coscienza di una rottura con la teoriaoscillatori e ciò implicava calcolare la probabilità di certe configurazioni energe­ classica — la parte meglio stabilita della fisica del tempo — non sorse repentina­tiche rispetto ad altre ; ovvero era interessato a calcolare in quanti modi possibili mente nel Planck del x4 dicembre xgoo ;tale coscienza emerse con molta fatical'energia totale si poteva distribuire tra i vari oscillatori. Eseguire un tale calcolo tra i fisici della nuova generazione, di mano in mano che risultati teorici e speri­tenendo valori continui per l'energia sembrava impossibile. Per capire di che si mentali, relativi all'applicazione della nuova ipotesi ad altri ambiti che non fos­tratta, si supponga di voler calcolare la probabilità che, disegnando a caso un sero quelli della teoria del corpo nero, acquistava sempre piu rilevanza.raggio in una certa circonferenza, questo cada entro un prefissato settore, si pen­si per semplicità di go ; se si tiene presente che la probabilità è data, nella suaaccezione piu elementare, dal rapporto fra il numero dei casi favorevoli e il nu­ 3. La rottura si radicali@va: Bohr e Einstein.mero dei casi possibili, si avranno forti difficoltà ad effettuare il calcolo, visto cheentrambi i numeri (casi favorevoli e casi possibili ) sono infiniti ; per poter pro­ L'ipotesi di una struttura discreta per l'energia di alcuni sistemi fisici, checedere (ed ottenere il valore intuitivamente ovvio di x /4) si può convenire che cominciò ad affermarsi decisamente verso la fine del primo decennio del secolo,non tutti i raggi sono possibili, ma solo quelli che cadono in un numero molto fu, come si è accennato, un po' alla volta applicata a differenti settori della ricer­grande ma finito di tacche poste ad intervalli regolari lungo la circonferenza; in ca fisica. Un argomento chiave, che costitui poi uno dei pilastri dell'intera teoriatal modo si potrà ripristinare il metodo di calcolo detto ed ottenere effettivamen­ quantistica, fu quello della struttura dell'atomo. Un notevole numero di espe­te x/4, e s'immaginerà anche che, se le tacche segnate sono abbastanza fitte, non rienze attendeva di venire inquadrato in una teoria coerente della costituzionesi sia commesso, adottando questo trucco, alcun apprezzabile errore. Nel limite atomica. Rutherford aveva ipotizzato che l'atomo consistesse di un nucleo cen­in cui il numero di tacche tende ad infinito, la probabilità rimane x/4 e non vi è trale dotato di una carica pari a +Ne o a — Ne (ove N è un intero positivo ed ealcun problema ad assumere questo valore come risposta alla domanda iniziale. la carica dell'elettrone) e da una sfera circostante uniformemente dotata di cari­Il trucco venne adottato da Planck per calcolare la dipendenza dell'entropia del ca opposta ( — Ne oppure +Ne rispettivamente), essendo il raggio di tale sferasistema dalVenergia vibrazionale. «Dobbiamo ora dare la distribuzione dell'ener­ dell'ordine di io cm. Il modello di Rutherford permise di spiegare numerosegia sui risuonatori separati di ogni gruppo, e prima di tutto la distribuzione del­ esperienze. Si trattava però di andare oltre l'aspetto meramente modellistico el'energia E sugli N risuonatori di frequenza v. Se E è considerata una quantità di trovare qualche nuova legge fondamentale che spiegasse in maniera comples­infinitamente divisibile, la distribuzione è possibile in infiniti modi. Noi tutta­ siva il comportamento degli atomi e in particolare della loro interazione con lavia consideriamo — ed è questo il punto piu essenziale di tutto il calcolo — che E sia radiazione elettromagnetica; in altre parole i processi di emissione e di assorbi­composta di un numero ben definito di parti uguali e usiamo a tale scopo la co­ mento di radiazione. Fu su questo punto che l'opera del danese Niels Bohr sistante di natura h = 6,g5 . io — ' erg sec... È chiaro che la distribuzione di P ele­ rivelò a poco a poco con caratteristiche profondamente innovatrici. «La sintesimenti di energia su N risuonatori può aver luogo soltanto in un numero di modi del modello atomico di Rutherford con l'ipotesi dei quanti di Planck fu la gran­finito e ben precisato» [xgood, pp. 239-40]. de conquista di Niels Bohr», scrive Waerden [xg67, p. z], e in quale maniera

Questa schematica descrizione già mostra come il primo apparire dell'ipotesi fu proprio cosi; in una serie di lavori pubblicati tra gli anni x9x3 e xgx5 Bohrdei quanti non fosse basato sull'emergere di nuovi grandi orizzonti concettuali, aveva un po' alla volta ottenuto un'interpretazione ragionevolmente semplicema su piu modesti terreni connessi con l'operare concreto del ricercatore, bril­ delle leggi che governano gli spettri a righe emessi da alcuni eleinenti chimici.lante certo, ma sempre legato alla soluzione di un particolare problema. Sem ra. S mbra Bohr inizia cosi [xgx8, p. x] una sua famosa memoria: «Nel tentativo di svilup­del resto naturale che Planck non abbia attribuito, al suo primo apparire, all'ipo­ pare certe caratteristiche degli spettri a righe, basato su un'opportuna applica­tesi che l'energia possa venire scambiata soltanto in quantità discrete, quel valore zione delle fondamentali idee introdotte da Planck nella sua teoria della radiazio­rivoluzionario che doveva a poco a poco assumere, visto anche il ruolo strumen­ ne termica alla teoria dell'atomo nucleare di Sir Ernest Rutherford, lo scriven­

Quanti g86 P7 Quanti

te ha mostrato che è possibile in questo modo ottenere una semplice inter­ fenomeno ondulatorio, come tale presentava tutti i comportamenti caratteristici

pretazione di alcune delle piu importanti leggi che governano gli spettri a righe di un tale fenomeno (diffrazione e interferenza) e in particolare aveva quindi unadegli elementi... » e dopo aver esposto alcune delle maggiori difficoltà incontrate struttura tipicamente continua. Le nozioni di onda e di particella, o di corpu­

dalle teorie precedenti aggiunge : «Queste difficoltà sono intimamente connesse scolo, dalla fisica classica cosi accuratamente contrapposte come paradigmi di

con lo stacco radicale dalle idee usuali della meccanica e dell'elettrodinamica im­ comportamenti fra loro contraddittori, stavano per venire rimescolate e questa

plicato nei principi fondamentali della teoria dei quanti [il termine quantum theo­ volta in maniera inestricabile; certamente il primo passo in questa direzione fu

ry veniva ormai usato correntemente ] e con il fatto che non è stato finora possi­ compiuto da Einstein, anche se le prime evidenze sperimentali dell'effetto fo­

bile sostituire queste idee con altre che costituiscano una struttura altrettanto toelettrico risalgono addirittura allo stesso Hertz (il cui fine era sempre stato alsviluppata e consistente». Poche righe piu avanti, all'inizio della parte prima del­ contrario la conferma della teoria di Maxwell! ) Nel I9I7 Einstein compie unla memoria, vengono enunciati i «principi generali » della nuova teoria: «La teo­ altro passo: parte dall'ipotesi che una molecola di un fissato tipo di gas possa

ria quantistica degli spettri di r ighe riposa sulle seguenti fondamentali ipotesi: esistere soltanto in un numero discreto di stati; usa la legge di spostamento di

i) Un sistema atomico può, e può soltanto, esistere permanentemente in una cer­ Wien (valida, come è noto, soltanto sulla base di considerazioni puramente ter­

ta serie di stati corrispondenti a una serie discontinua di valori della sua energia, modinamiche), oltre a semplici leggi probabilistiche, per ricavare la densità die conseguentemente ogni cambiamento di energia del sistema, comprendendo radiazione in condizioni di equilibrio tra radiazione e molecole: da ciò ricava la

fenomeni di emissione e assorbimento di radiazione elettromagnetica, deve aver legge di distribuzione di Planck e la legge di Bohr che connette la radiazione

luogo come una transizione completa tra due tali stati. Questi stati verranno det­ emessa o assorbita con le energie degli stati iniziale e finale [cfr. Einstein r9i7 ].ti gli 'stati stazionari' del sistema. ii ) La radiazione assorbita o emessa durante In questo modo la nascente «teoria dei quanti» cominciava ad assumere una

una transizione tra due stati stazionari è 'monocromatica' e possiede una fre­ struttura tale da permettere ai fisici dell'epoca di sperare di proseguire sulla stra­

quenza data dalla relazione E' — E" = hv, dove h è la costante di Planck e dove da imboccata per cercare di costruire quella «struttura altrettanto sviluppata eE' ed E" sono i valori dell'energia nei due stati considerati». consistente», da sostituirsi alla meccanica classica, che Bohr invocava nel i9i8.

Venivano cosi gettate le basi sulle quali si sarebbe dovuta costruire la com­ Si è voluto accennare all'opera di Planck, Bohr e Einstein, poiché certa­prensione di tutt i gl i spettri atomici e si enunciava contemporaneamente un mente si tratta dei tre personaggi piu significativi che hanno portato alle decisive

principio costitutivo delle strutture atomiche per arrivare alla cui chiarificazione elaborazioni degli anni 'zo. Si accennerà ancora, data la sua importanza anche

e giustificazione un'intera teoria avrebbe dovuto venir costruita. Si sarebbe do­ per la successiva storia della teoria quantistica, a quel principio euristico, o prin­vuto cioè edificare quella struttura «altrettanto sviluppata e consistente» che sola cipio guida, che fu chiamato da Bohr principio di corrispondenza (Korrespondenz­avrebbe potuto sostituire l'edificio complesso e per lungo tempo assai soddisfa­ prinzip). Per comprendere da quale tipo di necessità logica e psicologica un ta­cente della teoria classica. le principio ebbe origine, occorre ancora una volta ricordare che ormai molti

Per introdurre l'ult imo ingrediente che manca si farà ora un salto indietro pezzi del composito mosaico della fisica classica ottocentesca stavano venendo

fino al r9og, l'anno in cui un ventiseienne impiegato dell'ufficio brevetti di Berna scalzati e sconvolti. Il principio di Bohr sulla costituzione dell'atomo era del tut­

pubblicò sugli «Annalen der Physik» tre memorie tra loro indipendenti e cia­ to privo di giustificazioni dal punto di vista classico e anzi una delle ragioni che

scuna delle quali sarebbe bastata a fare di lui Albert Einstein. Si trattava della lo avevano imposto era quella di evitare, per il momento con una ipotesi del tutto

memoria in cui veniva esposta la teoria della relatività speciale, di quella sul mo­ ad hoc, le conseguenze disastrose che l'elettromagnetismo classico avrebbe avu­

to browniano e di quella [Einstein r9og], che qui piu interessa, che introduce il to per la stabilità dell'atomo di Bohr: infatti, com'è noto, un tale atomo era un

concetto di quanto di luce; in essa Einstein postulava per la radiazione elettro­ oggetto — classicamente — altamente instabile. Si dirà che questo doveva forniremagnetica stessa una fondamentale discontinuità; egli in realtà dimostrò, in base un buon motivo per abbandonare il modello atomico di Bohr e sostituirlo con

a considerazioni in gran parte ancora di natura termodinamica, che anche la ra­ uno piu giustificabile, in base, si noti, all'unica teoria all'epoca disponibile e bendiazione si comporta come se fosse composta di tante piccole unità di radiazione ; stabilita e confermata; ma cosi, come si è visto, non fu: in pratica si giustificò il

egli le chiamò «quanti di energia», anche se vennero presto chiamate quanti di nuovo modello asserendo che funzionava per definizione, cioè con i nuovi assio­

luce ; per essi Lewis [i9z6] coniò il termine 'fotoni'. L' importanza dell'osserva­ mi di Bohr. Come ormai è chiaro, la razionalità interna che percorre l'evolversi

zione di Einstein — almeno paragonabile a quella delle memorie di Planck del dell'operare scientifico è piu sottile di quella che i razionalisti critici vorrebbero

i9oo — era tanto maggiore in quanto sembrava scalzare una delle apparentemen­ scandire nei loro cataloghi normativi e si serve spesso di strumenti che in tali ca­te meglio stabilite conquiste della scienza di fine Ottocento, e cioè quella della taloghi vengono bollati di flagrante irrazionalità. Ipotesi ad hoc, contraddizioni

natura ondulatoria della luce ; dopo secoli di querelle, con Newton e Laplace da e rovesciamenti di posizione apparentemente immotivati sono ben esemplificati

una parte e Huygens, Young e Fresnel dall'altra, la teoria dell'elettromagneti­ nella storia della «old quantum theory».

smo di Maxwell sembrava aver stabilito in maniera definitiva che la luce era un A proposito delle nuove leggi che tuttavia incominciavano ad emergere nel

Quanti 488 489 Quanti

nuovo spirito «quantistico», occorre osservare che erano sempre presenti situa­ Anzitutto comparvero nella descrizione dei fenomeni fisici di cui ci si andava

zioni limite nelle quali in verità le leggi della vecchia fisica classica funzionavano interessando, interazione fra atomi e radiazione, entità qualificate dall'aggettivo

egregiamente. Si ricorderà che la legge di Planck sulla distribuzione delle fre­ 'virtuale', a significare che tali entità non erano proprio ciò che si voleva descri­

quenze irraggiate dal corpo nero nel limite di basse frequenze coincide con la vere, ma si comportavano come se fossero state ciò che si voleva. descrivere. Si

legge di Rayleigh e Jeans, giustificata appunto da ragionamenti classici; una tale vuole qui alludere anzitutto all'introduzione dei concetti di oscillatore virtuale,

caratteristica, lo scostarsi dalla legge classica là dove questa non funziona piu già implicata da Ladenburg [i9zi ], e di campo virtuale di radiazione, introdottama il coincidere (con ottima approssimazione) con essa là dove la sua validità era da Slater qualche anno piu tardi [i9z4] : l'idea sottostante a tale introduzione

ben confermata, costituisce assai spesso un nodo fondamentale nell'evoluzione era che un atomo poteva venir descritto come un insieme di oscillatori, detti ap­

delle teorie e fu anche questa volta il motivo ispiratore del principio di corrispon­ punto virtuali (termine coniato probabilmente da Bohr ), con frequenze propriedenza. Un tale principio, che ebbe nelle prime memorie di Bohr una formulazio­ pari alle frequenze di assorbimento di quell'atomo; s'intende che le frequenzene vaga e poi seinpre piu precisa [cfr. ad esempio Bohr r9 i8 ], asseriva che la d'assorbimento di un atomo sono quelle tali che l'atomo possa assorbire, ese­

nuova teoria quantistica avrebbe dovuto coincidere con la teoria classica nel li­ guendo un passaggio di stato (eccitazione da uno stato inferiore a uno stato su­

mite di alti numeri quantici, ovvero per livelli d'energia abbastanza «alti » rispet­ periore), un quanto di radiazione elettromagnetica caratterizzata da tale frequen­to al livello piu basso o « fondamentale». In realtà nelle prime memorie di Bohr za ; l'idea di campo virtuale di radiazione riguardava il campo generato appunto

una tale richiesta sembra venir formulata piuttosto nel limite di basse frequenze dagli oscillatori che simulavano il comportamento del singolo atomo ; tale campo

(sulla base delle caratteristiche ora ricordate della legge di Planck), e in molti era l'entità che avrebbe dovuto mediare l'interazione con gli altri atomi; la sua

casi interessanti quest'ultimo coincide con il primo pur di intendere il salto ener­ funzione, cosi si esprime Slater [ibid., p. 8o8] «è quella di assicurare una conser­getico tra un livello e il successivo, ma vi sono anche casi in cui ciò non accade, vazione statistica dell'energia e del momento determinando le probabilità dellee tra questi perfino l'oscillatore armonico. È, questa dell'insistenza sul principio transizioni quantistiche». «La teoria qui esposta, — scrive Rosenfeld [ i97o, p. 8r]di corrispondenza, un'esigenza che è stata talvolta mal interpretata; essa non alludendo al successivo Bohr, Kramers e Slater [z924], — appare, in retrospettiva,esprime la necessità che eseguendo opportune procedure di limite o simili la non come un episodio di breve respiro nella storia della fisica atomica, ma comenuova meccanica debba coincidere con la teoria classica; si tratta di teorie che un manifesto destinato ad avere una perdurante influenza, che contiene un pro­

poggiano, come si vedrà meglio nel seguito, su concetti interamente differenti e gramma la cui esecuzione rivelò aspetti essenziali della struttura della materia e

spesso non conciliabili l'uno con l'altro ; quello che il principio di corrispondenza della luce». È un'idea dirompente rispetto a tutta la tradizione precedente : quella

richiede è che nel limite di alti numeri quantici vi siano delle coincidenze nume­ che l'energia si conservasse in maniera soltanto statistica, non cioè necessaria­

riche tra la nuova e la vecchia teoria ; Bohr stesso ha piu volte sottolineato questo mente in ogni singolo processo elementare di interazione fra atomo e atomo o fra

aspetto: «la connessione asintotica» tra la nuova meccanica e la fisica classica atomo e radiazione, ma soltanto complessivamente, ovvero che le probabilità di

«qual è supposta nel principio di corrispondenza... non comporta una graduale transizione o di verificarsi di vari processi elementari fossero tali che la somma

scomparsa della diflerenza tra il trattamento quantistico dei fenomeni della ra­ di tutte le energie si conservasse ; se si pensa a quel che aveva voluto dire il teore­

diazione e le idee dell'elettrodinamica classica; tutto ciò che si afferma è un ac­ ma di conservazione dell'energia in tutti i decenni precedenti, anche, si noti, nel

cordo asintotico dei risultati numerici statistici» [i9zz, p. r44]. processo di distacco dalla teoria classica, questa disponibilità a indebolirlo cosiVa peraltro osservato che il potere di resistenza dell'elettrodinamica classica pesantemente appare abbastanza sorprendente; sembra anzi che Slater stesso

fu molto alto per tutto il primo quarto del nostro secolo ; anche nell'ambito del­ non fosse del tutto convinto della cosa ma che si fosse fatto convincere dal con­

la descrizione del comportamento dei corpi microscopici, dove erano sembrate tinuo dibattito con Kramers e Bohr [Waerden i967, p. i3 ].inequivocabili le sue cadute, per molti anni si tese ad usarla per quel che poteva L'espressione 'meccanica quantistica' (guantenmechanik) appare per la primaancora dare Fu soltanto con l'avvento della teoria quantistica dei campi, ed in volta come titolo di un articolo di Born degli stessi anni ( i9z4). Born — già dalparticolare dell'elettrodinamica quantistica, che si ebbe in mano qualcosa di al­ i9zi — era professore ordinario di fisica teorica a Gottingen, sulla cattedra che

ternativo con cui sostituirla. era stata per breve tempo di Debye, poi trasferitosi a Zurigo, e prima di lui diVoigt. Tra i suoi assistenti contò, in tempi diversi, personaggi che presto sareb­bero divenuti di primo piano quali Heisenberg, Jordan, Heitler e Rosenfeld.

La meccanica quantistica prendeforma. L'interazione che si verificò negli anni I924-26 tra Born, Jordan e Heisenberge tra quest'ultimo e Bohr fu cruciale per il sorgere della nuova teoria; questa pre­

Negli anni che precedettero immediatamente il 1925 avvennero alcuni svi­ se in un primo tempo il nome di «meccanica delle matrici » per il ruolo decisivo

luppi cruciali per il futuro della meccanica quantistica ed indicativi del livello di che vi svolgevano le regole di moltiplicazione tra matrici, e quindi tra i loro ele­

astrattezza da cui questa doveva essere caratterizzata. menti (le cosiddette «ampiezze di probabilità») ; ruolo proposto ed evidenziato

Quanti 49o 49' Quanti

soprattutto da Born [cfr. per questa interazione Bohr i96i ; Born I940-63; Hei­ Heisenberg, riprendendo e concretando un'esigenza che già era stata sottoli­senberg i964 ]. neata da Poincaré [i9tz ], comprese che non solo nuove regole di calcolo andavano

Colui che esegui un primo passo decisivo fu Heisenberg. Questi, studente a introdotte per le interazioni e i salti quantici dei livelli atomici, ma una nuovaMonaco del grande Sommerfeld, aveva visitato Gottingen per la prima volta, cinematica cioè una nuova descrizione del moto. In particolare egli propose cheventunenne, nel i9zz, in occasione di alcune lezioni ivi tenute da Bohr, dette poi la classica equazione del moto x +f(x) = o conservasse validità soltanto al prezzo«Bohr-Festspiele». Dopo esser tornato a Monaco a scrivere la sua tesi di dotto­ di cambiare profondamente l'interpretazione della funzione x (t), che non avreb­rato, divenne, nell'ottobre t9z3, assistente di Born a Gottingen e con questi pub­ be piu dovuto rappresentare, come nella meccanica classica, la posizione dell'elet­blicò rapidamente alcuni lavori. Cruciale per Heisenberg sembra essere stato trone in funzione del tempo, bensi qualche nuova grandezza connessa con le pro­già anche l'incontro con Bohr nel i9zz. Scrive Heisenberg stesso [i964] : «Quan­ babilità di transizione dell'elettrone tra certe coppie di stati. Una delle motiva­do la discussione fu terminata, Bohr venne da me e propose che si facesse una zioni fondamentali di Heisenberg, e ciò sembra epistemologicamente cruciale,passeggiata insieme sulle alture di Hainberg, fuori Gottingen. Naturalmente, ac­ fu il fatto che mentre la traiettoria, cioè la funzione che dà la posizione al varia­cettai volentieri. Quella discussione, che ci portò avanti e indietro sulle boscose re del tempo, per un elettrone è scarsamente osservabile, le grandezze in pri­alture di Hainberg, fu la prima discussione particolareggiata che riesco a ricorda­ ma istanza osservabili sono le probabilità di transizione fra stati. A questo primore sulla fisica fondamentale e sui problemi 61oso6ci della 6sica atomica, ed ha lavoro di Heisenberg [ 1925] (inviato alla «Zeitschrift fiir Physik» negli ultimicertamente avuto sulla mia futura carriera un influsso decisivo. Capii per la pri­ giorni di luglio da Born, cui il suo assistente l'aveva sottoposto per approvazio­ma volta che il punto di vista di Bohr sulla sua stessa teoria era assai piu scettico ne) segui un articolo congiunto di Born e Jordan [i925], nel quale viene datadi quello di molti altri fisici — ad esempio Sommerfeld — del tempo e che la sua l'interpretazione matriciale delle regole di calcolo di Heisenberg, viene propostaintima comprensione della struttura della teoria non era il risultato di un'analisi e dimostrata la regola di commutazione pq — qp = (hJziti) r e il teorema di con­matematica delle ipotesi di base, ma un intenso coinvolgimento con la realtà dei servazione dell'energia, e infine il piu famoso Dreimannerarbeit [Born, Heisen­fenomeni, cosi che gli era possibile avvertire intuitivamente le relazioni piuttosto berg e Jordan i9z5] in cui la nuova meccanica veniva già formulata con notevoleche derivarle formalmente. Cosi compresi : la conoscenza della natura veniva ot­ completezza.tenuta in prima istanza in questo modo, e solo come passo successivo si può riu­ L'aspetto di fondo, che è opportuno menzionare fin d'ora, per cui la nuovascire a fissare la propria conoscenza in forma matematica cosi da assoggettarla a teoria si caratterizzava fortemente rispetto alla fisica classica è l'importanza e­una completa analisi razionale. Bohr era in primo luogo un filosofo, e non un fisi­ sclusiva accordata alle quantità «osservabili » : « In questa situazione sembra sen­co, ma egli si rendeva conto che nella nostra epoca la 6losofia naturale acquista sato abbandonare qualsiasi speranza di osservare quantità 6nora non osservabili,rilevanza soltanto se ogni suo particolare può essere sottoposto all'inesorabile quali la posizione e il periodo di un elettrone, e ammettere che il parziale accor­vaglio dell'esperienza» (trad. ingl. p. 95). L'interazione con Bohr prosegui in ve­ do delle regole quantistiche (le "quantum rules" degli approcci parziali prece­rità assai intensamente anche negli anni successivi, durante lunghi soggiorni del denti ) con l'esperienza sia piu o meno fortuito. Sembra invece piu ragionevolegiovane assistente di Born a Copenhagen. inf in , nel giugno del I925, Heisen­ cercar di stabilire una meccanica teorica quantistica, analoga alla meccanica clas­berg passò una decina di giorni sulla sperduta isoletta di Helgoland, al largo delle sica, ma nella quale entrino soltanto relazioni tra quantità osservabili» [Heisen­coste danesi nel mare del Nord, per sfuggire alla febbre da 6eno che lo aveva col­ berg i9z5, p. 879]. Fu questo un principio guida cruciale per chi contribui apito sul continente ; fu in quei pochi giorni, secondo la sua stessa testimonianza, mettere insieme, negli ultimi anni 'zo, quella «mistura di congetture interessan­che uno sprazzo di luce si fece strada in lui fino a permettergli una prima formu­ ti, dichiarazioni dogmatiche ed assurdità filosofiche» [Feyerabend t968, p. 3IQ ]lazione delle nuove «regole» che dovevano formare la «meccanica delle matrici ». che fu presto compresa nella locuzione, certo un po' sommaria, di «Kopenhage­

Forse la cosa piu importante che Heisenberg comprese durante quei giorni, ner Deutung»: l'interpretazione di Copenhagen, che, pur non essendo priva die sul cui senso si sentiva «sempre piu radicale», fu il fatto che la meccanica clas­ alternative, è stata ed è dominante nella pratica corrente dei fisici che di mecca­sica non poteva piu essere usata in nessun punto del ragionamento; in verità nica quantistica tuttora si occupano come strumento di lavoro. Un principio suquel che era avvenuto 6no a quel momento era che il calcolo di alcune caratteri­ cui si avrà modo di tornare quando ci si sarà soffermati un po' di piu sulla strut­stiche degli oscillatori virtuali era fatto sfruttando la trattazione classica dell'o­ tura della teoria, che implicava un atteggiamento abbastanza nuovo rispetto allescillatore armonico, e dando luogo quindi in verità a una complicata mistura, ra­ aspettative dello scienziato e del ricercatore : meno conta il render conto in ma­zionalmente assai poco giustificabile, nella quale alla vecchia teoria classica erano niera esaustiva di quelle proprietà che, intuitivamente (ovvero per analogia consemplicemente giustapposte le regole della nuova Quantentheorie. D'altra parte la meccanica classica), si sarebbe portati ad attribuire ad ogni sistema fisico, sem­conservava senso tener fede al bohriano principio di corrispondenza secondo il plice o complesso, e piu conta esaminare attentamente e spregiudicatamente qua­quale, come si è visto, per alti numeri quantici i risultati della nuova teoria dove­ li sono le grandezze fisiche osservabili di un determinato sistema — quelle chevano ben approssimare (o coincidere con) quelli della teoria classica. sul serio si possono misurare perché si possono immaginare almeno in linea di

Quanti 49z 493 Quanti

principio degli strumenti in grado di farlo — e costruire una teoria che di quelle feld jp dq = nh e dalla relazione di Broglie p = h/À. fra il momento p dell'elettro­parli e che di quelle studi e predica i valori. Meno spiegazione di meccanismi ne e la lunghezza d'onda ) ad esso associata seguiva una condizione del tipo

«intimi» e forse mai osservabili e piu descrizione accurata dei risultati che effet­ ]' (r/X) dq= n. A Schrodinger, che per vari anni addietro s'era occupato, in vari

tivamente è dato osservare. Come si vedrà, questa distinzione su scala atomica è ambiti della fisica classica, di problemi agli autovalori, una tale equazione suonò

assai importante, anche se naturalmente non è facile raggiungere l'unanimità immediatamente significativa. Nella sua prima memoria sull'argomento [t9z6a],quando si deve decidere che cosa è in linea di principio osservabile e che cosa egli propose quella che è ora nota come equazione di Schrodinger indipendente

non lo è. dal tempo. Sostituendo nell'equazione di Hamilton­Jacobi H(q,(òS/òq)) = E alSu tali basi, con il contributo essenziale, oltre che di Born, Heisenberg e posto della funzione S (assunta separabile) l'espressione Inning, dove $, dipen­

Jordan, di Bohr, Pauli ed altri, prese forma molto rapidamente la nuova teoria, dente dalla variabile di posizione q, viene ora interpretata, anche qui sulla base

che sostituiva la meccanica classica per trattare il comportamento di sistemi mec­ di un'analogia proveniente dall'ottica classica, come «funzione d'onda», Schro­

canici atomici e che è ancora oggi in qualche misura dominante e di uso conti­ dinger fu in grado di esprimere la condizione che doveva individuare i valori

nuo in fisica dei sistemi microscopici: essa è nota come meccanica quantistica. dell'energia permessi, imponendo che il funzionale corrispondente avesse un

Oltre ai contributi cui si è accennato non può essere dimenticato l'apporto fon­ estremo in corrispondenza di tali valori. L'equazione di Eulero-Lagrange risul­

damentale dell'inglese Dirac, allora giovane fisico a Cambridge, e quindi legger­ tante da un tale problema variazionale è l'«equazione d'onda».

mente defilato rispetto all'ambiente assai creativo della fisica tedesca e di Co­ Lo sforzo di Schrodinger si concentro nella direzione di fornire per l'inter­

penhagen. Nel luglio del I925 Heisenberg si recò per una serie di lezioni a Cam­ pretazione fisica, non meno che per la trattazione matematica della funzionebridge e Dirac ne ebbe notizia, anche se in maniera molto indiretta e frammen­ d onda $, degli argomenti che riposassero, e ciò in netta antitesi con lo «spiritotaria. Nei mesi successivi il fisico inglese elaborò, talvolta riscoprendo, ma spes­ di Copenhagen», in ultima analisi su una modellizzazione fornita di una sicura

so aggiungendo e completando, gran parte della teoria, che espose nello stesso base meccanico-intuitiva. In altre parole può ben dirsi che Schrodinger, assaianno [Dirac I926a] e che generalizzò notevolmente l'anno successivo [Dirac meno di Heisenberg, era disposto ad adottare quella nuova cinematica che avreb­t9z6b], applicando sistematicamente e con successo il suo formalismo alla trat­ be formato la caratteristica dominante della meccanica di Copenhagen, e che la

tazione dell'atomo d'idrogeno. sua maggior preoccupazione consisteva nel non perdere il contatto con l' intui­zione fisica. Vicino a tale posizione rimase fino alla sua morte lo stesso Einstein;di notevole interesse è a questo proposito la lettura del carteggio tra i due [Schro­

L'alternativa ondulatoria. dinger e altri x9z6-5o, pp. zt-3p].Nel r 9z6 Schrodinger portò comunque a termine l'edificazione della sua teo­

Anche per la «meccanica ondulatoria» che per qualche tempo parve rappre­ ria, giungendo a scrivere non solo un'equazione che determinasse i valori del­

sentare un'alternativa globale alla formulazione sviluppata a Gottingen e a Co­ul energia permessi per un dato sistema atomico, ma anche un'equazione che for­

penhagen, il punto di partenza può essere ricondotto alle memorie scritte da nisse la dinamica di tale sistema, il che voleva dire l'evoluzione nel tempo della

Planck nel x9oo; personaggi chiave per il suo evolversi furono essenzialmente in sua funzione d'onda. Schrodinger riusci anche a mostrare, almeno in un certo

primo luogo Broglie (cfr. in particolare la sua già citata tesi di dottorato) ; in se­ senso, Pequivalenza tra i propri risultati e quelli, da poco pubblicati, di Heisen­

condo luogo lo stesso Einstein, che non nascondeva una notevole insoddisfazio­ berg, Born e Jordan. Si riporta qui, per il suo notevole interesse, il primo capo­

ne nei confronti del punto di vista, per alcuni aspetti definibile «astratto», che verso di tale memoria [i9z6b, p. 734 ] : «Se si considera la straordinaria diver­andava emergendo a Gottingen e a Copenhagen, e infine Schrodinger. Si ricor­ genza di punti di partenza e di concetti tra la meccanica quantistica di Heisen­

derà qui che l'ipotesi basilare cui era giunto Louis de Broglie, a partire da consi­ berg da un lato e la teoria recentemente esposta in questa sede nei suoi linea­

derazioni che implicavano la legge di trasformazione delle frequenze — secondo menti fondamentali e chiamata meccanica "ondulatoria" o " fisica" dall'altro, è

la teoria della relatività ristretta — al variare del sistema di riferimento, consiste­ molto strano che, per quanto riguarda i risultati particolari resi noti finora, que­

va nel fatto che ad ogni particella in moto deve essere associata un'onda, di fre­ ste due nuove teorie quantistiche siano in accordo tra loro anche laddove esse dif­

quenza ed ampiezza opportune, e che fosse impossibile separare il moto della feriscono dalla vecchia teoria quantistica. Menziono in particolare la peculiarità

particella e la propagazione dell'onda; in particolare Broglie dimostrò che la ve­ dei numeri "semi-interi" che appaiono nell'oscillatore e nel rotatore, Ciò è inlocità della particella doveva coincidere con la velocità di gruppo delle onde di realtà assai notevole poiché punto di partenza, concetti, metodi e l'intero appa­

fase. Su questa via egli arrivò ad osservare che le condizioni di quantizzazione rato matematico appaiono di fatto essere diversi. Soprattutto, tuttavia, lo stacco

di Bohr-Sommerfeld potevano venir lette come una prescrizione riguardante il dalla meccanica classica appare avvenire nelle due teorie in direzioni che sono

numero di lunghezze d'onda necessarie a sovrapporsi esattamente all'orbita di un in realtà diametralmente opposte. Heisenberg sostituisce le variabili continue

elettrone intorno al nucleo. In altre parole, dalla condizione di Bohr-Sommer­ classiche con insiemi di quantità numeriche discrete (matrici ), che dipendono

Quanti 494 495 Quanti

da una coppia di indici interi e che sono determinate da equazioni algebriche. Gli mente, quello dello spazio Lz(R) (cfr. anche l'articolo «Calcolo» in questa stessastessi autori chiamano la teoria una "vera teoria del discontinuo". Sull'altro lato Enciclopedia, II, pp. 444-45) ; s'intende con questo simbolo l'insieme costituitola meccanica delle onde implica — esattamente al contrario — un passo dalla mec­ d a tutte le funzioni definite sulla retta reale R e a valori in C, che siano misura­canica classica verso la teoria del continuo. Appare infatti, al posto del fenomeno bili e a modulo quadrato integrabile; ciò significa che per una di tali funzioni,descrivibile mediante un numero finito di variabili dipendenti con un numero dettaf, esiste finito l'integrale (qui e nel seguito definito rispetto alla misura m difinito di equazioni differenziali ordinarie, un fenomeno di campo continuo nello ebesgue)JR~ f ~ dm, ovviamente positivo o nullo; cruciale è la circostanza chespazio delle configurazioni che è governato da una singola equazione alle deri­ non si chiede a tali funzioni di essere continue ma solo, molto piu debolmente,vate parziali derivabile da un principio d'azione. Questo principio d'azione, o di essere misurabili, e ciò essenzialmente perché abbia senso parlare dell'inte­quest'equazione differenziale, sostituisce le equazioni del moto e le condizioni grale; la struttura lineare di tale insieme si ottiene facilmente ricorrendo allaquantistiche della precedente "teoria quantistica classica" ». somma puntuale di funzioni ((f+g)(x) := f(x)+g(x)) e all'usuale prodotto per

I dieci anni successivi al citato testo di Schrodinger videro la sistemazione e gli scalari di C((af)(x) := zf(x)); i l prodotto interno è definito dalla formula:la stabilizzazione della teoria [cfr. Sommerfeld i9z9; Born e Jordan r93o; Lan­ (f~g) := f<fg dm; in verità cosi facendo s'incorre nella difficoltà che le funzionidé r9z8; Pauli z933], e soprattutto i fondamentali Principles di Dirac [z93o], se­ quasi ovunque nulle su R avrebbero norma nulla pur non coincidendo con laguiti dalla sistemazione dotata di grande rigore formale di Neumann [r932] : è funzione identicamente uguale a zero; a ciò si ovvia facilmente considerando,in quest'ultima forma che si forniranno qui gli elementi di base della nuova anziché le funzioni vere e proprie, classi di equivalenza di funzioni, ponendo co­teoria. me relazione di equivalenza l'uguaglianza quasi ovunque su R, sempre rispetto

alla misura di Lebesgue; qui e nel seguito, ove la cosa non generi ambiguità, siprescinderà sempre da tale distinzione e si parlerà tranquillamente di funzioni

6. La s t rutturaformale della nuova meccanica. anche se la dizione rigorosa sarebbe «classi di equivalenza di funzioni»; si haanche che la norma di un singolo elemento feL (R) è data dall'espressione

6.i. Cinematica quantistica. ~ f ~ dm; opportuni ragionamenti e dimostrazioni mostrerebbero ora che l'in­z' 2 4

sieme cosi costruito, con la struttura in esso definita, è uno spazio di Hilbert. IlLo strumento matematico cardine che venne definitivamente adottato per significato di questo particolare spazio di Hilbert per la meccanica quantistica è

una formulazione adeguata della meccanica quantistica fu quello della teoria de­ il seguente: si supponga di voler descrivere un sistema fisico tra i piu semplicigli operatori lineari in uno spazio di Hilbert e dei loro autovalori e autovettori. pensabili, una particella puntiforme vincolata a muoversi su una retta o come

S'è detto «definitivamente» affinché non si pensi che sia stato questo il pri­ talvolta si dice, «la particella in una dimensione». La meccanica quantistica giàmo e piu naturale ambito formale nel quale ci si sia mossi per dare una veste ri­ dal punto di vista cinematico, è una teoria profondamente diversa dalle teoriegorosa alla nuova teoria. Come le parole di Schrodinger dovrebbero aver sugge­ classiche ; non descrive la particella dicendo qual è la sua traiettoria, cioè dicendorito, da un lato le regole di calcolo proposte dai fisici di Gottingen richiedevano in ogni istante qual è la sua posizione ; un tale modo di fare sarebbe incompatibi­la manipolazione di equazioni algebriche (spesso infinite) con (corrispondente­ le con i principi della nuova teoria; la descrizione piu completa possibile dellamente infinite) incognite: tali incognite erano le cosiddette «ampiezze di pro­ situazione, o, come si dice, dello stato della particella, consiste nell'assegnare unababilità» i cui (moduli) quadrati dovevano fornire le probabilità di transizione funzione $ (appunto un elemento di L' (R)) che rappresenti per la particellafra diversi stati quantici. D'altro lato la linea dello stesso Schrodinger richiedeva 1 a seguente informazione: fissato un qualunque intervallo K contenuto in R, lain maniera naturale l'uso di equazioni differenziali, la teoria delle loro singola­ probabilità che una misura della posizione della particella dia come risultato unrità e la ricerca dei loro autovalori. È in verità questa seconda l'impostazione che punto appartenente all'intervallo K è data da jgy~~'dm; ciò viene talvolta e­si rivelò da molti punti di vista piu maneggevole, che venne piu spesso usata nel­ spresso, in maniera un po' meno precisa, dicendo che la probabilità di trovare lale presentazioni offerte dai primi manuali e in ultima analisi la piu suscettibile particella nell'intervallo (x, x+dx) è data dalla quantità ~$(x)~a dx; si noti chedi una trattazione rigorosa. da ciò segue ad esempio che se ci si chiedesse quanto vale la probabilità di trova­

Si osserverà anche che la teoria degli operatori lineari in spazi di Hilbert, già re la particella esattamente nel punto x la risposta sarebbe zero, poiché l'inte­in parte disponibile a quell'epoca, ricevette grande impulso dalle crescenti ri­ grale di una qualunque funzione di L'­(R) esteso ad un solo punto di R è comun­chieste provenienti dalla fisica teorica, cosi che anche il suo attuale e assai note­ que zero ; ciò corrisponde al fatto, sperimentalmente assai ragionevole, che unavole sviluppo può dirsi in gran parte stimolato dalle molteplici necessità di que­ misura di posizione non determina mai con esattezza un punto della retta, ma unst'ultima. intervallo, eventualmente assai piccolo, nel quale la particella è situata. L'aspetto

Qui è opportuno introdurre un esempio di spazio di Hilbert che riveste una cruciale che differenzia una tale descrizione da quella cui si era abituati dalla teo­importanza cruciale nei casi piu semplici di sistema fisico trattato quantistica­ ria classica non è evidentemente il fatto che una tale funzione possa essere asse­

Quanti 496 497 Quanti

gnata (anche per una particella che esegua una traiettoria nel senso classico del si otterrà misurando l'osservabile rappresentata da A su tale stato, occorre scri­termine sarebbe perfettamente possibile calcolare una tale funzione), ma il fatto vere x in termini del sistema completo di autovettori di A, x =p m;x;; la prob;>­che in questo caso è questa la descrizione piu completa possibile, e ciò non per ra­ t

gioni sperimentali in linea di principio superabili, ma per caratteristiche intrin­bilità di ottenere nella misura il valore a,, autovalore dell'autovettore x,, è d;Ib>

seche della nuova teoria che non prevede, proprio in linea di principio, descri­dal quadrato del modulo del prodotto interno (x,~x), che, in questo caso, è d;It<>

zioni piu dettagliate di questa. Si noti d'altra parte che una funzione nulla al di da ~w;~'; questo è tutto quanto si può dire a proposito dei risultati possibili <li

fuori di un intervallo di ampiezza piccola a piacere, ad esempio 8, e costante al­misure dell'osservabile A sul sistema nello stato x. Vi saranno casi particolar­

l'interno di tale intervallo, appartiene certamente a Ls(R) ed è dunque possibile,mente fortunati : ad esempio potrebbe essere che x coincida con uno degli aut<>­

anche all'interno della nuova meccanica, descrivere una particella confinata in unvettori x; ; sia x =x ; ; ev identemente è allora w„ = I . e ro .;= o se i pi«; in quest<>"0

intervallo determinato con precisione arbitraria; tuttavia la differenza formalecaso vi è quindi probabilità nulla di trovare un valore diverso da a e vi è prob I­bilità pari a t di t rovare il valore a; ; si è quindi certi di trovare tale valore; ;><<>

rispetto alla descrizione classica è assai rilevante ed implica, come si vedrà, con­seguenze di grande portata.

parte questo caso, come si vede, non vi può essere certezza, ma solo probabili­

Quanto detto finora riguarda la descrizione cinematica del moto di una par­tà. Si osserverà che il fatto di aver scelto di rappresentare i sistelni con vettori

ticella e potrebbe essere facilmente esteso, pur d'introdurre complicazioni con­normalizzati dello spazio di Hilbert fa si che si abbia in ogni caso/~w;~~= I ,

cettualmente non essenziali, a sistemi piu complicati che non la particella in una cosi che la probabilità totale di trovare qualche valore nella misura di A sia ef­dimensione. In generale cioè uno stato di un sistema fisico viene descritto da un fettivamente unitaria. Ora il teorema spettrale nella sua piu generale enunciazi«­vettore di un opportuno spazio di Hilbert, o, meglio, da un vettore normalizzato ne permette appunto di estendere afFermazioni di questo tipo ad operatori au­(la necessità di una tale normalizzazione proviene dall'interpretazione probabi­ toaggiunti che non posseggono un sistema completo di autovettori ; tale teorem:Ilistica già accennata e sulla quale si tornerà). permette di associare ad ogni operatore autoaggiunto una famiglia di operatori

Rimane ancora da descrivere come vengono rappresentate, in questo forma­ di proiezione, o proiettori: ad ogni intervallo K di R (in verità anche a sottoin­lismo che sembra assai meno «intuitivo» di quello cui la meccanica classica ci siemi assai piu generali di R) è associato un proiettore Pt;, esso è univocament«aveva abituato, le «osservabili», cioè le grandezze fisiche che caratterizzano il si­ determinato dall'operatore autoaggiunto A e dall'intervallo K; la probabilità distema, ad esempio il momento lineare, l'energia, il momento angolare ed even­ trovare, in una misura dell'osservabile A sul sistema che si trova nello stato x, untuali altre proprie della nuova teoria. Per far ciò occorre brevemente ricordare valore compreso nell'intervallo K è data da (x~P+x). La coerenza dell'interpre­che un operatore lineare in uno spazio di Hilbert 3( è una funzione, definita su tazione probabilistica è qui assicurata dal fatto che il teorema spettrale garanti­un dominio che sia una varietà lineare dello spazio e a valori sempre nello spazio sce che il proiettore associato all'intero asse reale P~ è, qualunque sia l'operator«in questione, con le proprietà A (x+y) = Ax+Ay e A(xx) = o<Ax, per ogni pos­ A, sempre il proiettore unità I, cosi che (x~Pllx ) = (x~x) = I. Un caso particola­sibile coppia di vettori x e y di JF. e per ogni numero complesso c<. È opportuno re di questa situazione si ha nell'esempio ricordato inizialmente per dare il signi­ricordare che la classe di operatori che hanno proprietà «adatte» a far si che pos­ ficato della funzione g per la particella in una dimensione; l'operatore Q ch«sano rappresentare osservabili quantistiche è quella degli operatori cosiddetti rappresenta l'osservabile posizione in questo caso è dato da (Qg)(t) = t f(t), s»autoaggiunti. Si veda ad esempio questa nozione nell'articolo « Infinitesimale» di un opportuno dominio di funzioni di L' (R). Il teorema spettrale associa a talequesta stessa Enciclopedia, VI I, p. g I 6. Si ha, per tali operatori : (Ax~y) = (x~ Ay) ; operatore, autoaggiunto in L' (R), e che non possiede né autovalori né autovct­da cui si desume anche, per i vettori del dominio di A., che (x~Ax) è un numero tori nel suo dominio, la famiglia di proiettori definiti da (PII))(t) =yl; (t) g(t)reale (e non semplicemente un generico numero complesso) ; questa circostanza ove si è indicata con ylc la funzione caratteristica dell'insieme K (la funzionipermetterà l'interpretazione fisica voluta per tali numeri. Vi è però un'altra ca­ caratteristica di un sottoinsieme di un insieme dato vale r nei punti del sottoin­ratteristica assai importante degli operatori autoaggiunti, di meno facile enun­ sieme e vale o nei punti del suo complementare) : ne segue che la probabilità diciazione ma di significato assai piu profondo: si tratta del cosiddetto teorema trovare, facendo una misura dell'osservabile posizione, un valore compreso inspettrale. La problematica relativa all'estensione della classica teoria spettrale K, è data da ($~Ptrf) = f lly1(t) yz(t) g(t) dt= f tc~f(t)~'dt in accordo con quant<>(per spazi a dimensione finita) a operatori definiti sugli spazi di Hilbert può ad visto plu sopla,

esempio essere vista in «Infinitesimale», pp. 5I3-I5.Nell'interpretazione fisica un operatore autoaggiunto rappresenta un'osser­ 6 z Misura e indeterminazione

vabile; quando esso possiede degli autovettori con relativi autovalori, questi rap­presentano tutti e soli i risultati che possono essere ottenuti in misure di questa Se un sistema fisico si trova nello stato rappresentato da un autovettore di unosservabile; se il sistema fisico considerato si trova in uno stato rappresentato da operatore autoaggiunto relativo a una determinata osservabile, una misura di taleun vettore x, appartenente al dominio dell'operatore, per sapere quale risultato osservabile sul sistema dà come risultato necessariamente l'autovalore corrispon­

Quanti 49g 499 Quanti

dente ; è vero anche che, se facendo una misura sul sistema di quella osservabile vi sono osservabili tra loro «incompatibili » ed altre che invece sono compatibili

si trova con certezza un dato autovalore come risultato, allora il sistema si trova tali cioè da poter essere misurate simultaneamente su uno stesso sistema. L'e­

nell'autostato ( = stato rappresentato dall'autovettore ) corrispondente; da ciò sempio piu tipico di osservabili incompatibili è offerto dalla posizione e dal mo­

viene dedotta la seguente conseguenza, e viene dedotta, si noti, basandosi su un mento lineare; limitandosi al caso della particella in una dimensione, si è visto

principio di «continuità fisica» [Dirac i9go, trad. it. p. 48] che sembrava non quale forma assume l'operatore che rappresenta l'osservabile posizione ; l'osser­

avrebbe piu dovuto aver diritto di cittadinanza nella nuova meccanica: «Quando vabile momento lineare della particella (si ricordi che il momento lineare è classi­

effettuiamo la misura di una variabile dinamica reale F, la perturbazione che camente un vettore dato dal prodotto della massa per la velocità) è rappresenta­l'atto della misura comporta provoca una brusca variazione nello stato del siste­ ta dall'operatore, spesso denotato con P, definito, su un opportuno dominio in

ma dinamico. Per continuità fisica, se immediatamente dopo la prima misura ne L'(R), dalla formula Pf = — ihf', dove l'apice sta ad indicare l'operazione di deri­

facciamo una seconda della stessa variabile dinamica E„, il risultato di quest'ulti­ vazione (nel dominio di P vi sono soltanto funzioni per cui tale operazione ha

ma deve coincidere con quello della prima. Dunque, una volta eseguita la prima senso) ; la ricordata non-compatibilità tra le osservabili posizione e momento li­

misura, non vi è piu indeterminazione nel risultato della seconda. Pertanto, dopo neare è espressa, nel formalismo che descrive la teoria, dal fatto che gli operatori,

la prima misura, il sistema si trova in un autostato della variabile dinamica E, ap­ entrambi autoaggiunti, Q e P non commutano tra loro ; ciò significa che se si appli­

partenente allo stesso autovalore della prima. Tale conclusione deve continuare a cano a un elemento di L""(R) per cui ciò ha senso, prima l'operatore QP e poi l'o­

valere anche se la seconda misura non viene in pratica eseguita». Ciò implica che peratore PQ (il prodotto di due operatori si esegue applicando prima l'operatorel'esecuzione di una misura provoca un brusco cambiamento nello stato del siste­ di destra e poi quello di sinistra ) si ottengono due risultati diversi; un semplice

ma, almeno se questo già non si trovava in un autostato dell'osservabile di cui si calcolo mostra infatti che il commutatore di Q e P, cioè l'espressione QP — PQtratta. È questo uno dei tratti fondamentali della meccanica quantistica, su cui si usualmente denotata (Q,P] non è nullo e agisce come un multiplo dell'operato­avrà modo di tornare, e che la distingue ulteriormente in maniera molto pesante, re unità: [Q,P]f = ihf. Questa situazione è molto generale; in ogni sistema fisico,

dal punto di vista della teoria della conoscenza, dalla teoria classica. La misura ad esempio formato da molte particelle, per il quale sia definita una posizione, o

interferisce con il sistema fisico su cui viene eseguita, non è un'osservazione pas­ meglio, visto che si considerano in generale sistemi realistici in tre dimensioni, le

siva di qualcosa di esistente ed evolventesi in maniera totalmente indipendente componenti della posizione, e le componenti del momento lineare, le relazioni

da essa. Chi per primo teorizzò in modo sistematico tale punto di vista, sia dal di commutazione tra tali componenti sono (Q„P„] = ih, [Q„,P„] = ih, [Q„P,] =

punto di vista formale, sia, cosa assai piu significativa, dal punto di vista di una = th, mentre tutte le altre (ad esempio [Q„P~] ecc.) sono nulle: componenti di­

analisi delle effettive procedure sperimentali che portano — su scala atomica — a verse della posizione e del momento lineare sono tra loro compatibili, esse pos­

«leggere» o meno determinati valori di determinate osservabili fu, come già s'è sono venir contemporaneamente misurate; le componenti dello stesso tipo sono

accennato, Heisenberg. «Nelle teorie classiche, — cosi egli si esprime [t9go, trad. invece incompatibili. Vi è una semplice giustificazione formale di questa incom­

it. p. ig ], — quest'interazione [fra oggetto e osservatore] veniva considerata o co­ patibilità di osservabili tra loro non commutanti (cioè il cui commutatore non è

me trascurabilmente piccola o come controllabile, in modo tale da poterne eli­ nullo) ; dagli elementi già ricordati a proposito della cinematica probabilistica che

minare in seguito l'influenza, per mezzo di calcoli. Nella fisica atomica, invece, sta alla base della nuova meccanica, segue in particolare che, se si calcola qual è

tale ammissione non si può fare, poiché a causa della discontinuità degli avveni­ il valor medio, (A)„ in un certo stato, rappresentato dal vettore normalizzato x)

menti atomici ogni interazione può produrre variazioni parzialmente incontrol­ per 1 osservabile rappresentata dall'operatore autoaggiunto A, si ottiene il pro­

labili e relativamente grandi. Questa circostanza ha come conseguenza il fatto dotto interno (x~Ax) (si ricordi che è questo un numero reale) : esso, nell'ipotesiche in generale le esperienze eseguite per determinare una grandezza fisica ren­ di semplicità adottata piu sopra, è pari evidentemente alla media Pa.;~zr;~s; lodono illusoria la conoscenza di altre grandezze ottenute precedentemente; esse t

infatti influenzano il sistema su cui si opera in modo incontrollabile e quindi i scarto quadratico medio da tale valor medio è a sua volta definito dalla formula

valori delle grandezze precedentemente conosciute ne risultano alterati. Se si A,A : = (x ~(A — (A) )'x)' ' , esso, per come è definito in base alle interpretazionitratta questa perturbazione in modo quantitativo, si trova che in molti casi esi­ già ricordate, rappresenta l'incertezza con cui è noto il valore di una certa osser­

ste, per la conoscenza contemporanea di diverse variabili, un limite di esattezza vabile in un determinato stato ; il caso piu « fortunato», come già si è visto, si ha

finito, che non può essere superato». quando il sistema si trova in un autostato dell'osservabile che si vuoi misurare:

Le ultime frasi introducono un tema di grande rilevanza per la teoria quanti­ si ha allora che il valor medio è esattamente uguale all'autovalore relativo all'au­

stica, quello cioè delle osservabili cornpalihili o no. Si allude, anche se in maniera tostato in questione e che l'incertezza A A è nulla: non vi è alcuna indetermina­

soltanto qualitativa, al fatto che, poiché una misura di un'osservabile perturba zione. Se ora si considerano due distinte osservabili rappresentate dagli operato­

in qualche modo il sistema, una misura di qualche altra osservabile può render­ ri A e B è un puro esercizio di calcolo mostrare che vale sempre la disuguaglian­

si del tutto ineffettuabile. Un'analisi piu particolareggiata mostra che in verità za: A,A A , B ) ( i /z)~(x ~ [A,B]x) ~ ; essa, alla luce dell'interpretazione che si è

Quanti 500 5OI Quanti

descritta, è assai significativa : nel caso che i due operatori A e B commutino (os­ teoria permette di fare asserzioni probabilistiche (eventualmente anche con pro­servabili compatibili ), il secondo membro è zero e la disuguaglianza diventa ba­ babilità unitaria) sui risultati ottenibili nell'esecuzione di una misura di una de­nale poiché certamente il primo membro è un numero positivo o nullo ; nel caso terminata osservabile sul sistema che si trova in un determinato stato; è anzi na­in cui i due operatori non commutino, il secondo membro, per un determinato turalmente in virtu di questa circostanza che la teoria è sperimentalmente corro­stato, o per tutti gli stati possibili, può essere diverso da zero e ciò allora pone un borabile. L'elemento cruciale che tuttavia distingue l'evoluzione del sistema im­limite inferiore al valore del primo membro; il prodotto delle due indetermina­ perturbato da osservazioni, dalla sua evoluzione «durante» un'osservazione, èzioni non può essere inferiore, per quel determinato stato, a un certo valore; cio precisamente questo, che mentre nella prima situazione esso evolve secondo unaimplica, per quanto visto, che esse non possono essere contemporaneamente mi­ legge perfettamente determinata e deterministica, esattamente come nella mec­surate con precisione arbitraria; assai semplice il caso della posizione e del mo­ canica classica, nella seconda situazione il sistema esibisce un comportamento go­mento lineare già menzionato : s'è visto che, per ogni componente, indicata dal­ vernato soltanto da leggi probabilistiche. Per dare un'idea di quale sia la leggel'indice j, si ha [Q,P ] =ih; ciò evidentemente implica, per ogni stato x su cui del moto che in generale governa l'evoluziorie di un sistema quantistico occorreciò abbia senso, A, Q E,P,) h / z = h/4~. Sono queste le celebrate relazioni d'in­ ricordare — per rimanere aderenti allo schema formale che qui si è accennato­determinazione di Heisenberg (Unbestimmtheitsrelationen o Ungenauigkeitsrela­ che se A è un generico operatore autoaggiunto in uno spazio di Hilbert (e talitionen) delle quali Heisenberg [ t93o] è un'assai acuta e lucida illustrazione, so­ sono — si ricorderà — gli operatori che rappresentano osservabili) è possibile co­prattutto dal punto di vista dell'analisi delle esperienze in linea di principio ef­ struire la famiglia di operatori U (t), per ogni valore reale del parametro t, indi­fettuabili e delle limitazioni inevitabilmente ad esse inerenti. «Le relazioni [d'in­ cata usualmente con la notazione U (t) = exp(iAt), in modo tale che, nel caso dideterminazione]... forniscono i limiti entro i quali possono essere impiegati i spazi finito-dimensionali, coincida con l'esponenziazione della matrice (iAt):concetti della teoria corpuscolare. La ricerca di un piu esatto significato delle pa­ s'intende con la scrittura exp (iAt) la somma, sempre convergente, della serierole posizione e velocità di là dai limiti segnati dalle equazioni„. è vana, comel'impiego di parole il cui senso non è stato definito» scrive Heisenberg [t930], P((it)"/n!) A". Anche nel caso di spazi di Hilbert non finito-dimensionali, nel

n=O

e aggiunge in nota : «Occorre perciò concludere che il linguaggio umano permet­ caso in cui l'operatore A, oltre ad essere autoaggiunto, sia anche limitato, la seriete in generale di formulare proposizioni, dalle quali non si potrebbe trarre alcuna soprascritta è una buona definizione dell'operatore U (t) ; definizioni piu genera­conseguenza e che sono quindi completamente prive di significato; a esse però li, che passano sostanzialmente attraverso il teorema spettrale per gli operatoricorrisponde nella nostra mente una specie di rappresentazione intuitiva. Cosi, autoaggiunti, sono necessarie per operatori non limitati ; si ricorderà qui di pas­per esempio, non può seguire alcuna conseguenza dall'asserzione che accanto al saggio che tali situazioni non sono affatto «patologiche» o altamente improbabilinostro mondo ne esista un secondo, col quale però non sia possibile avere mai, nella teoria quantistica, e che ad esempio gli operatori posizione e momento linea­per ragioni di principio, alcuna relazione; ciò nonostante, c è nella nostra fanta­ re in L~(R) sono per l'appunto autoaggiunti ma non limitati. Anche in tali situa­sia una specie d'immagine corrispondente a quest'asserzione. Com'è evidente, zioni tuttavia, sviluppi in serie come quello scritto piu sopra possono conservareuna tale proposizione può essere con egual diri tto sostenuta e contraddetta» senso per particolari famiglie di vettori appartenenti al dominio dell'operatore A.(trad. it. pp. z6-zp). Quel che qui interessa è comunque che la famiglia di operatori U (t) possiede al­

cune notevoli proprietà che la rendono particolarmente adatta a realizzare l'evo­

6.3. Dinamica quantistica. luzione temporale di uno stato in meccanica quantistica. La prima è che, perogni reale t, l'operatore U (t) è unitario nello spazio di Hilbert, il che significa

Non s'è parlato finora di « leggi del moto» ; la cinematica descrive solo il lin­ che si tratta di un automorfismo dello spazio (è cioè una biiezione che conservaguaggio formale che viene utilizzato per descrivere gli oggetti della teoria: i si­ la struttura: linearità e prodotto interno ) ; si ha quindi per ogni valore di t e perstemi fisici ogni coppia di stati x, y dello spazio di Hilbert 3f., (U(t) x ~ U(t) y) = (x~y), oltre

Occorrerà osservare anzitutto che l'evoluzione nel tempo dello stato di un che U(t)(x++y) =­ U(t)x+x U( t )y ; si ha inoltre per la famiglia U(t) : U(O)= t

sistema fisico obbedisce a una equazione del moto fintantoché il sistema non su­ e U(t, +t~) = U(tt) U(t~) per ogni coppia di valori t t e t~. Vale anche una note­bisce imprevedibili perturbazioni dall'esterno: tra queste tipicamente le osser­ vole proprietà di continuità che si ometterà qui di precisare. Queste considera­vazioni o misure ; un sistema fisico obbedisce cioè a una fissata legge di movimen­ zioni formali, com'è ovvio, non hanno in sé alcun contenuto fisico, nel senso cheto solo in periodi durante i quali non vengono effettuate su di esso osservazioni non implicano, da sole, alcuna particolare legge del moto: quello che emerge èdi sorta, e ciò coerentemente con quanto già si è visto a proposito della non com­ soltanto il fatto che una tale famiglia di operatori U (t), detta gruppo continuo apleta controllabilità di un' osservazione: un tale processo, si è visto, altera il si­ un parametro di operatori unitari, è formalmente adatta a rappresentare l'evolu­stema in una misura che non è in l inea di principio esattamente prevedibile. zione di un sistema fisico: se x~ è lo stato di un tale sistema all'istante t = o, as­Ciò non esclude, anzi è in accordo con il fatto che, come già si è accennato, la sunto convenzionalmente come iniziale, il vettore x, := U (t) x~ è un buon candi­

Quanti 502 5o3 Quanti

dato a rappresentare lo stato del sistema all'istante di tempo t. Occorre tuttavia, autoaggiunto; si potrebbe scegliere invece (r/z)(QP+PQ) che ha l'importantein maniera cruciale, individuare quale gruppo a un parametro U(t) è quello che proprietà di autoaggiuntezza, ma neppure questa scelta è scevra di difficoltà. Siva inserito nella teoria; a tal fine vari ragionamenti sono stati introdotti per ren­ può obiettare che in realtà qp è un'osservabile solo in un senso molto indiretto,dere plausibile la scelta che viene effettivamente fatta [cfr. ad esempio Dirac in quanto la sua misura dipende dalle misure di p e di q, d'altra parte sarebbe au­

rg3o, trad. it. p. r5z ] ; nessuno di essi è realmente convincente se si guarda a ila spicabile possedere qualche regola generale per costruire le osservabili quanti­meccanica quantistica come teoria autonoma rispetto alle teorie precedenti, e in stiche corrispondenti a una vasta classe di osservabili classiche.particolare alla meccanica newtoniana; si tratta in verità di un postulato, in a­fa­ Questo problema non possiede alcuna soluzione soddisfacente; possiede invore del quale possono venir trovate varie argomentazioni di plausibilità riferite verità una soluzione pragmatica e una soluzione astratta. La pr ima soluzionealle analogie con la meccanica classica. Un modo possibile (debole) per enun­ — assai utile ai fini pratici di calcolo e di confronto con l'esperienza — consisteciarlo è il seguente: esiste un operatore autoaggiunto H, che rappresenta l'os­ nell'esaminare, per ogni singolo sistema fisico con cui si tratta, quali sono le os­

servabile energia del sistema considerato, tale che il gruppo a un parametro servabili cui si è interessati — in primo luogo l'energia — e di trovare per esseexp( — (i/h) Ht) rappresenta l'evoluzione dinamica del sistema; o tale che, se x~ un'espressione priva di ambiguità; ciò è il piu delle volte possibile in modo sod­rappresenta lo stato del sistema all'istante t = o, lo stato del sistema all'istante disfacente e permette quindi una impostazione precisa del problema quantisti­t è rappresentato dal vettore x, = exp ( — (i/h) Ht) x~. Una forma piu forte di que­ co. Tipicamente l'energia di un sistema conservativo consta usualmente dellasto postulato deve dare delle indicazioni sulla natura di questo fondamentale somma di due parti, l'energia cinetica e l'energia potenziale. Nella grande mag­operatore energia : deve dare prescrizioni per costruirlo. I soli criteri che si pos­ gioranza dei casi, la prima è funzione soltanto del momento lineare dei corpi chesiedono per costruire l'operatore energia di un dato sistema, cruciale per indi­ costituiscono il sistema, mentre la seconda (il sistema è conservativo) è funzioneviduare la sua evoluzione dinamica, sono quelli contenuti in una sorta di esten­ soltanto della configurazione, e cioè delle posizioni rispettive di questi corpi; insione del già citato principio di corrispondenza ; i criteri di questa estensione so­ una tale situazione ogni ambiguità è assente poiché la funzionef(p, q) è della for­no già apparsi quando si è parlato degli operatori che rappresentano le osserva­ ma f,(p)+fa(q), cosi che il corrispondente operatore quantistico avrà necessa­bili posizione e momento lineare per la «particella in una dimensione»; si tratta riamente la forma f,(P)+f , (Q), nella quale non interviene mai un prodotto diinfatti dei criteri che devono permettere, in modo del tutto generale, di perve­ operatori non commutanti�; rientrano in questa situazione tutti i sistemi atomicinire all'espressione esplicita dell'operatore autoaggiunto che rappresenta una de­ semplici, per i quali possono cosi venir fatte previsioni quantitative molto pre­terminata osservabile ; si è visto in quel caso che all'osservabile classica posizione, cise, sempre in ottimo accordo con l'esperienza.che si può indicare con la lettera x, si associava l'operatore autoaggiunto (s'in­ Vi sono certamente, in questo modo di fare, aspetti poco soddisfacenti daltende qui nello spazio di Hilbert L' (R)) Q, e all'osservabile classica momento punto di vista concettuale : ai fini di una sistemazione rigorosa della teoria si ri­lineare si associava l'operatore autoaggiunto P; una prescrizione notevolmente chiede di conoscere esattamente la delimitazione dell'insieme delle osservabili

g enerale è allora quella di associare all'osservabile classica r = f(q, p) l'osservabile della teoria di un dato sistema fisico, e parallelamente si vorrebbe precisare conquantistica, ovvero l'operatore autoaggiunto R = f(Q, P), essendo la funzione f chiarezza la natura dei legami della nuova teoria con la meccanica classica; la so­

che compare in questa seconda definizione esattamente la stessa, dal punto di vi­ luzione astratta cui si accennava consiste nel conferire piena indipendenza, al­sta della sua forma, di quella che compare nella espressione che fornisce la r. meno nelle intenzioni, alla nuova teoria, studiando autonomamente le proprietàQuesta prescrizione è sufficientemente generale per lo scopo di fornire un equi­ dell'insieme delle osservabili di un dato sistema, strutturato in algebra non com­valente quantistico di ogni osservabile classica, poiché si potrebbe dimostrare mutativa con opportune proprietà. Non ci si addentrerà qui ovviamente in un— pur di aggiungere opportune condizioni formali — che ogni osservabile classica tale terreno che richiederebbe ben altro spazio e ben altri strumenti formali.è funzione della posizione e del momento lineare; non si tratta invece, in alcuni Sarà opportuno d'altra parte insistere sul fatto che una volta noto, per un as­

casi, di una prescrizione sufficientemente univoca, a causa del fatto che le fun­ segnato sistema fisico, l'operatore che rappresenta la sua energia totale, operato­

zioni di operatori sono oggetti piu delicati da trattare che non le funzioni di va­ re usualmente denominato hamiltoniana del sistema, la sua evoluzione tempo­

riabili reali; a parte infatti le difficoltà formali di definire una generica funzio­ rale è in linea di principio perfettamente determinata. Una forma praticamenten e di un solo operatore autoaggiunto difficoltà superabili sempre mediante l'uso1 equivalente nella quale può essere messa l'equazione che caratterizza tale evolu­del teorema spettrale, quando si ha a che fare con una coppia di operatori c e zione è la seguente: ih(d/dt) x, = Hx„ in una forma simile a questa essa è statanon commutano — quali sono Q e P — appaiono inevitabili ambiguità: tipica­ per la prima volta scritta da Schrodinger ed è nota come equazione di Schrodin­mente, se ci si chiede qual è l'operatore che corrisponde all'osservabile classi­ ger dipendente dal tempo per le ragioni che diventeranno chiare tra breve; sica qp s'incontrano subito difficoltà in quanto QP non è autoaggiunto, e inoltre tratta della forma differenziale dell'equazione scritta in forma intera piu sopra;non si vede perché non scegliere PQ, visto che qp può anche essere scritto pq; anche da questa forma traspare il fatto che per la conoscenza dello stato del si­

d'altra parte PQ è ben diverso da QP (essi non commutano) e nessuno dei due è stema all'istante t, x„è necessario conoscere, oltre ovviamente alla hamiltoniana

Quanti 50$ 5o5 Quanti

H, lo stato all'istante o, x~, che costituisce la condizione iniziale necessaria e suf­ ttvo Cto sigmfica che da un lato, non vt sono alcun numero reale E e alcun eleficiente a risolvere una tale equazione diff erenziale. mento f di L~(Ra) tali che si abbia Hf =Ef ; significa d'altra parte che per ogni

Si osserverà che questa forma della legge dell'evoluzione dinamica di un si­ reale positivo E si può trovare unf in L~(Rs) tale che Hf sia «vicino» a Ef quantostema rende evidente il teorema di conservazione dell'energia, che conserva in si vuole (preso cioè un s positivo arbitrariamente piccolo, si può trovare un f (simeccanica quantistica tutta la sua validità, pur di venire opportunamente for­ tratta delle funzioni costanti in intervalli molto piccoli e nulle altrove cui s'è giàmulato : se un sistema fisico si trova in un certo istante (ad esempio t = o) in uno fatto cenno sopra a p. 496) di norma unitaria tale che ~~Hf — Ef ~~ (s ; in altre pa­stato nel quale l'energia ha un valore definito, si trova cioè in un autostato del­ role esistono stati che approssimano bene quanto si vuole un autostato dellal'energia corrispondente all'autovalore E~ per questa osservabile, il sistema per­ amiltoniana relativo a un qualsiasi valore reale positivo ).mane, in assenza ovviamente di perturbazioni esterne, in tale situazione, cioè in Esistono altre situazioni in cui vi sono soltanto autovaluno stato in cui il valore dell'energia è ancora ben definito ed è uguale a E~. È

ova ori in senso proprioper la hamiltoniana (oscillatore armonico) ed altre ancora in cui vi sono sia auto­

questa una conseguenza formale del fatto che exp(( — i/A) Ht), per ogni valore valori sia spettro continuo.di t, è un operatore che commuta con H, in quanto è una sua funzione. Ciò sug­ Già a questo punto, come si vede, molta strada s'è fatta rispetto alle primegerisce un risultato assai piu generale : se R è un qualsiasi operatore autoaggiun­ rozze ipotesi che «l'energia esista solo in quanti discreti » o che «possa solo venirto che commuta con H, e che rappresenta una certa osservabile fisica del sistema, scambiata in quanti discreti»; la rottura del rcloo ha già cambiato volto e le sueche viene supposto per semplicità possedere autovalori ed autovettori, allora an­ implicazioni sono andate straordinariamente piu in là di quanto mai s'imma i­zitutto si può mostrare che si possono trovare autovettori simultanei di R e di H, nasse nei primi anni del secolo. La teoria che ha preso il via nel rqz5 dal lavorodiciamo relativi agli autovalori ro ed Eo rispettivamente, ed inoltre si vede facil­ di Born, Heisenberg, Jordan e Schrodinger ha conosciuto negli anni successivimente che se il sistema si trova a un certo istante in un tale autostato, in ogni uno sviluppo probabilmente senza precedenti nella storia della fisica; la si è a­istante successivo una misura, non solo dell'energia ma anche dell'osservabile

a s ica; a st è ap­plicata con suc d 'p ' cesso ad innumeri sistemi atomici per trame previsioni e risultati

rappresentata da R, fornirà esattamente i valori rispettivamente Eo e ro. Ovvero : da confrontare con gli innumeri esperimenti eseguiti e per proporre nuovi espe­le osservabili rappresentate da operatori che commutano con la hamiltoniana rimenti; si sono investigate, e si stanno ancora investigando le sue basi teorichesono costanti del moto. Gli stati che hanno la proprietà detta rispetto alla hamil­toniana sono detti stati stazionari : essi rivestono un'importanza fondamentale

per capire su quali postulati potesse veramente venire fondata, per capire se ecome si possa resecare il cordone ombelicale che sembra ineludibilmente legar­

nella teoria quantistica e nelle sue applicazioni, in quanto rappresentano gli stati la alla meccanica classica (ovvero per studiare tale legame), per esaminarne glistabili di un sistema; se un sistema si trova in uno stato stazionario, in esso per­ aspetti piu propriamente epistemologici che la caratterizzano in maniera assaimane fino a che non intervenga una perturbazione esterna (eventualmente una peculiare rispetto alle teorie note prima della sua nascita, per capire infine se emisura di una osservabile che non commuta con la hamiltoniana). La ricerca de­ come possano venire allargati i suoi orizzonti, superati i suoi piu o meno appa­gli stati stazionari per un sistema fisico è uno dei problemi fondamentali della renti paradossi, estese le sue applicazioni ad altri settori dell'esperienza.meccanica quantistica, in quanto essa fornisce l'insieme degli stati nei quali il si­ Mentre è qui necessario arrestarsi alle soglie di questa ormai sterminata pro­stema può stabilmente permanere ; tale ricerca equivale, per quanto si è visto, a blematica v'è un'ulti 'ma domanda cui si vorrebbe tentare di fornire risposta, serisolvere il problema agli autovalori per la hamiltoniana Hx„ = E„x„: problema mai una tale risposta esiste. Ed è la domanda che chiede d'individuare le caratte­matematicamente ben noto già prima dell'avvento della meccanica quantistica ristiche essenziali della nuova teoria, d'illuminare quel nocciolo duro della mec­(cui anzi, si ricorderà, si riferiva Schrodinger nella sua ricerca) e la cui soluzione canica quantistica che dovrebbe distinguerla da ogni altra teoria e che dovrebbedipende fortemente dal tipo di operatore autoaggiunto che rappresenta l'ener­ resistere inalterato e protetto attraverso tutta la storia della teoria e rimanere sot­gia del sistema. Una tale analisi non verrà qui proseguita (per qualche caso par­ tostante a tutte le interpretazioni e a tutte le versioni che della meccanica quanti­ticolare ci si riferirà all'articolo «Moto» di questa stessa Enciclopedia). Si rileverà stica sono ormai state date.soltanto che, anche in casi molto semplici, il problema agli autovalori può nonessere risolubile in senso stretto : può cioè accadere che una hamiltoniana anchedi sistemi molto semplici non ammetta alcun autovalore: non esiste alcuno stato ll nocciolo duro della meccanica quantistica.in cui l'energia è perfettamente determinata. Di questo tipo è certamente il siste­ma fisico piu semplice di tutti; la particella libera, sia in una sia in tre dimensio­ Quel che finora s'è'è detto della meccanica quantistica non permette certa­ni ; la sua hamiltoniana è data (si ricordi l'espressione classica dell'energia cine­ mente una disamina articolata di tutti gli aspetti importanti della teoria, moltitica) dall'operatore H = (r/zm) P', dove m è la massa della particella e P l'ope­ i ei quali non sono neppure stati menzionati, né permette un'analisi abbastanzaratore che corrisponde al suo momento lineare, diciamo in L~(R') ; un tale opera­ fine delle contraddizioni insite in alcune interpretazioni della teoria e della lorotore ha spettro puramente continuo ed esso è costituito dal semiasse reale posi­ ]tossibile eliminazione [cfr. ad esempio Bohr rg+g W ' j .r r ~9; ig ner r97gj.

Quanti 5o6 5o7 Quanti

Va prima d'ogni altra cosa sottolineato che il nocciolo duro della meccanica state sostituite, e spesso con vantaggio, altre formalizzazioni, fondate ad esem­

quantistica non consisterà d'una singola affermazione, o equazione, o postulato, pio sulla teoria delle algebre (anche qui con possibili diversificazioni), o di altrema che, se esso è in qualche modo individuabile, consisterà di un insieme inter­ strutture algebriche, e non v'è modo, a tutt' oggi, di privilegiare nettamente una

connesso di vari di questi ingredienti. La già citata, e paradossale, definizione di queste formulazioni rispetto alle altre, senza perdere aspetti spesso essenziali

feyerabendiana, riferita per la verità alla sola interpretazione di Copenhagen, che alla teoria vengono da queste varie fonti.

esprime peraltro l' impressione che può ricavarsi da un atteggiamento troppo Se poi si prendono in considerazione le cosiddette «interpretazioni >' >, ovverocomplessivo nei riguardi della meccanica quantistica, cosi come di fatto si è ve­ que a parte essenziale della teoria che dovrebbe connettere le formule che ne co­uella ar t

nuta sviluppando nell'ultimo mezzo secolo. stituiscono la formalizzazione con le proposizioni osservative che alla teoria si

Si prescinderà qui anche dall'esaminare i cosiddetti approcci assiomatici alla pensano particolarmente connesse, il pluralismo aumenta. Probabilmente la pri­

meccanica quantistica che tuttora, nella loro notevole varietà e differenziazione, ma e piu importante disparità si manifestò a proposito di quale dovesse essere

non sembrano ancora maturi per cogliere con sufficiente completezza il nocciolo Poggerto tipico della meccanica quantistica: mentre, anche qui la terminolo ia

della teoria; nocciolo che del resto va cercato prima di tale tipo di approcci, che, s'gnazioni sono un po riassuntive, l interpretazione piu «ortodossa» ten­7

al meglio, si propongono di coglierlo e di formalizzarlo completamente. deva a insistere affinché la nuova teoria si applicasse anche a un singolo sistema

Si comincerà con il ricordare come una delle esigenze che piu fortemente atomico, facendo su di esso predizioni, naturalmente entro i limiti intrinseci alla

portò alla nascita della nuova meccanica sia stata quella di avere una nuova ci­ teoria, del tutto valide, si affacciò presto un'interpretazione secondo la quale essa

nematica, cioè una nuova descrizione del moto di un sistema atomico, nella mi­ poteva venire applicata soltanto ad insiemi statistici di sistemi, ovvero a numeri

sura in cui il modo classico di descrivere un sistema fisico non sembrava adegua­ molto grandi di sistemi identici a quello in esame e tutti «preparati» nello stesso

to a questo scopo. A sua volta, questa esigenza scaturiva dalla convinzione che la mo o. Distinzione certo molto importante dal punto di vista della costituzione

teoria doveva parlare soltanto delle grandezze osservabili dei sistemi in gioco e della meccanica quantistica in teoria complessiva dei fenomeni microscopici me­

che nulla doveva essere detto, in quanto privi di significato, di quei concetti che no forse dal punto di vista della prassi di chi ne applicava le norme, o le prescri­

non potevano, per ragioni di principio, essere oggetto di esperienza. Questo prin­ zioni algoritmiche per calcolare i livelli energetici di qualche sistema atomico, o

cipio ebbe in verità un enorme valore euristico durante tutto lo sviluppo della per calcolare le sezioni d'urto di qualche reazione tra particelle. In tali prassi la

nuova teoria e potrebbe certamente venire annoverato come uno degli elementi teoria viene di fatto applicata il piu delle volte ad insiemi molto numerosi di si­

essenziali dello hard core della meccanica quantistica; se non fosse che, come fa­ stemi identici, anche se, come mostra Espagnat [r~l76, trad. it. p. rg' ] è perfet­cilmente si capisce, esso è difficilmente precisabile, quando si viene al concreto tamente coerente pensare che almeno certi tipi di stati fisici di un singolo sistema

della teoria e delle esperienze che con essa si pensano connesse. Vi sono esperi­ vengano descritti da un opportuno vettore di uno spazio di Hilbert.

menti concettuali, in qualche caso assai autorevoli [si veda per tutti Einstein, Forse una delle caratteristiche piu controverse, e che sempre sono apparse

Podolski e Rosen iq55], che hanno fatto apparire varie aporie alla base della teo­ piu ineludibili della nuova teoria, è stata la sua non-completezza. S'intende qui

ria; o anche, si potrebbe dire, ne hanno messo in luce caratteristiche affatto pe­ per il momento con tale espressione l'intrinsecamente minore ricchezza di in­

culiari, nel caso citato la inevitabile non-completezza, e che sono peraltro stati ormazioni che la teoria prevede di trattare per un sistema fisico. È noto che infonti di lungo dibattito e di non risolto disaccordo tra i piu autorevoli protago­ uno stato, che può pensarsi individuato da valori fissati di un certo numero di

nisti. Un punto fondamentale a questo riguardo sembra essere il fatto che la de­ osservabili tra loro commutanti, non è possibile affermare un valore preciso per

cisione su quali sono gli esperimenti in linea di principio ammessi e quelli che una qualsiasi altra osservabile che non commuti con quelle che lo individuano.

non lo sono è inevitabilmente dipendente dalla teoria stessa. Si badi che ciò non Se un oscillatore armonico si trova in un preciso autostato della sua energia,

sminuisce neppur di poco l'importanza del principio quale ispiratore di modelli quindi in uno stato stazionario, non è possibile dire quale posizione nello spazio

di sviluppo della teoria, ma semplicemente costituisce un primo supporto della «sso occupa, né quale momento lineare possiede; è possibile soltanto, a propo­

tesi, che si vorrebbe qui introdurre, sulla particolare e peculiare difficoltà con­ sito di queste osservabili, fare affermazioni probabilistiche, ovvero dire quali so­

nessa con l'individuazione di uno hard core per la meccanica quantistica. no i loro valori medi. Si tratta certamente di una rinunzia assai ~esante fNon molta fortuna avrebbe il tentativo di far coincidere tale nucleo con il )a i mente alla base delle motivazioni che spinsero Einstein a non accettare mai

formalismo matematico che sorregge tutta la teoria: lasciando per un attimo da la meccanica quantistica come una teoria soddisfacente per la descrizione fisica

parte il fatto, peraltro cruciale, che tale formalismo non determina l'interpreta­ ( ci fenomeni. Il famoso passo della sua lettera del dicembre igz6 a Born [Ein­zione che lo rende connesso con la teoria, basta ricordare quanto non unico sia stcin e Born ig69] «La meccanica quantistica è degna di ogni rispetto, ma una

tale formalismo : l'originale formulazione hilbertiana di Neumann, che anche in voce interiore mi dice che non è ancora la soluzione giusta. È una teoria che ci

queste pagine è stata usata, non è certo rimasta tale ; essa è stata certamente per­ilice molte cose, ma non ci fa penetrare piu a fondo il segreto del gran Vecchio.

fezionata ed arricchita per vari scopi e applicazioni, soprattutto però ad essa sono In ogni caso, sono convinto che questi non gioca a dadi col mondo» (trad. it.

Quanti go8 5o9 Quanti

pp. io8-9), non fa che esprimere in maniera pittoresca un atteggiamento già ma­ pensi la meccanica quantistica come una descrizione di un sistema o di un nu­

nifestato nell'aprile del I924: «Le idee di Bohr sulla radiazione m'interessanomero molto rande ~'g n e di sistemi; ed in secondo luogo si ricorderà ui che h

molto, ma non vorrei lasciarmi indurre ad abbandonare la causalità rigorosa sen­ tale non-com letezzp etezza s è cercato di porre rimedio mediante il formalismo delle

za aver prima lottato in modo assai diverso da come s'è fatto finora. L'idea checosiddette «variabili nascoste». Le teorie ' b'l'ie a varia i i nascoste, che qui non si de­

un elettrone esposto a una radiazione possa scegliere liberamente l'istante e la di­ scriveranno, prendono la loro ori ine " ' ''g'ne dall assunzione che la non-completezza

rezione in cui spiccare il salto è per me intollerabile. Se cosi fosse, preferirei fare e la meccanica quantistica non sia inevitab'1 :i e : si suppone cioè che la meccanicail ciabattino, o magari il biscazziere, anziché il fisico. Vero è che i miei tentativi quantistica non sia tutta la rarità ma parte d'par e i essa: esisterebbe un modo d'intro­

di dare una forma tangibile ai quanti sono regolarmente abortiti, ma sono ben durre un maggior numero di parametri nella teoria — le variabili nascoste — che

lontano dal rinunziare a questa speranza. E anche se la cosa non riuscirà, mi ri­ trattino anche le grandezze osservabili di cui la me ' ' d' ha meccanica quantistica dichiara

marrà sempre la consolazione di aver fallito da solo» [ibid., p. 98]. Assai signifi­ i non poter prevedere i valori, e che rendono dunque la teoria completa nel sen­

cativo per comprendere le profonde contraddizioni filosofiche che sottostavano so che era familiare dalle teorie classiche ; la meccanica quantistica non sarebbe

a queste affermazioni è leggere il commento di Born stesso a questa lettera a lui che la punta i un ice erg, motivato e sorretto da un apparato sottostante er­

diretta: «Troviamo qui una professione di fede fisico-filosofica: il rifiuto di con­ ' o e causale. In questo modo ogni sistema fisico torna

siderare le leggi statistiche come fondamenti ultimi della fisica... Einstein era ad avere proprietà definite sue proprie, ed i valori medi calcolati te dfermamente convinto che la fisica ci fa accedere alla conoscenza di un mondo e e variabili nascoste riproducono esattamente quelli previsti dalla meccanica

esterno oggettivamente esistente ; lo studio dei fenomeni quantici dell'atomo ha quantistica. Una formulazione a variabili n t fascos e u costruita in modo coerente

invece persuaso a poco a poco me e molti altri fisici che le cose non stanno cosi. da Bohm [r 9gz] e portata avanti e discussa da Beli [r 66]. CerIn ogni istante abbiamo solo una conoscenza rudimentale e approssimata del teoria conoseoria conosce non poche difficoltà — per esempio una forte non-località, vi so­

mondo oggettivo, e da questa conoscenza possiamo trarre — secondo certe regole, no correlazioni tra eventi spazialmente assai l t

che sono le leggi di probabilità della meccanica quantistica — certe conclusioni p atibile con l i as ett i i u spati i e con gli aspetti piu strettamente pertinenti alla meccanica "ua t ' t' a quan istica

sugli stati ancora incogniti (ad esempio su quelli futuri)» [ibid., p. 99]. È dunque standard.

questa intrinseca impotenza a descrivere «completamente» un sistema fisico unaQuanto s'è accennato nelle ultime'me pagine non deve far pensare naturalmente

caratteristica determinante della teoria, tale anzi da aver suscitato in alcuni deiche la meccanica quantistica non e 'siste: essa esiste massicciamente e comprende

protagonisti di primo piano aspri rifiuti ; lo stesso Schrodinger non accettò maiu n insieme di metodi, di concetti d i ri procedure di calcolo e di risultati numerici

la versione di Gottingen-Copenhagen della teoria, pur avendo egli fornito, con che le hanno nermesso d'inva"ere ndere negli ultimi cinquant anni praticamente tutta

il suo formalismo ondulatorio, un impulso essenziale allo sviluppo e alla diffu­la fisica e notevoli parti della chimica e della biologia. Quello che sembra assai

sione della teoria; si ricordi del resto che l'interpretazione probabilistica della piu ubbio è che si possa individuare un nocciol d d IIfamosa $, la «funzione d'onda» di Schrodinger, fu data da Born, un fisico che,

a tras ormazioni e non contraddetto da esperimenti. Se si guarda alla meccanica

pur appartenendo alla generazione di Einstein (ne era solo di tre anni piu giova­ quantistica cosi come realmente si è svilupp t fi d

ne), era caratterizzato da una grande maggior spregiudicatezza nei confronti delpraticata ai suoi ormai numerosissimi adepti viene piuttosto in mente la defini­raticata dai suo

modo di vedere classico. Emblematicamente, l'idea cui forse Schrodinger era piu zione kuhniana di esem*lare i Kuhn ip [ u n i 97 3 , p. 468] come di «concrete soluzioni di

attaccato era quella di continuità in fisica! Egli non si risolse mai ad accettare i problemi, accettate dal rubl ', al gruppo come paradigmatiche, nel senso del t tt le u o usuae«salti quantici » di Bohr, né l'interpretazione di Born della sua teoria. Ancora nel della arola». Il ip a>. l i v e llo assiomatico è ancora, come s'è detto, assai lontano dal­

i95o si legge in una lettera di Einstein a Schrodinger: «Tu sottolinei del tutto'esser raggiunto, e piu in generale una sistemazione rigorosa della teoria che eli­

giustamente che la descrizione completa non può venire fondata sul concetto dimini tutte le contraddizioni e risponda a tutt 1 d d ,a u e e om a n e , con essa compatibi­

accelerazione e tanto meno — cosi a me sembra — sul concetto di particella. Tra gli li beninteso, non esiste, Lo stel' b '

,

'

, sso procedimento di quantizzazione, cosiddetto,

strumenti a nostra disposizione non rimane che il concetto di campo; ma sa ilcioè quel procedimento che dovrebbe permettere di passare dalla descrizione

diavolo se anche questo resisterà. Io penso che valga la pena di restar fedeli a tale classica di un dato sistema fisico al'a la sua descrizione quantistica, è certamente

concetto, che è come dire al continuo, finché almeno non si possieda una qualche noto in una serie assai numerosa di casi particolari — si tratta di un complesso

solida motivazione contraria» [Schrodinger e altri i9z6-5o, pp. 86-gq ]. Né Ein­ ;issai ricco di esem lari — ma èp'

­ ' ancora oggetto di ricerca nella sua generalità. La

stein né Schrodinger nel I950 vedevano alcuna solida ragione per una rottura rottura drastica che costitui la molla di parte d 11 h 'r ' '' '

nza e a vece ia teoria quantistica,

che era cominciata mezzo secolo prima.c quin i della meccanica quantistica, rottura dovuta, si noti, a Planck e ad Ein­

Tuttavia, anche la non-completezza della teoria costituisce un aspetto tut­stein, è an ata soggetta a un tale rimescolamento di carte da essere ai car e a essere, a cose fatte,

t'altro che precisato e assoggettabile a una formulazione definitiva. Si osserverà irriconoscibile. [A.s.].

anzitutto che una simile caratteristica assume rilevanza diversa a seconda che si

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Quanti 5I2 S'3 Quanti

Rosenfeld, L. tato però notevoli sviluppi nelle stesse scienze della vita, mentre non ha mancato d'in­sgyo Me n andideasin the history of atomic theory, in «Archive for History of Exact Sciences», fluenzare l'ambito delle matematiche specie nel contesto delle tecniche di calcolo im­

VII, pp. 6g-go.piegate (cfr. anche applicazioni, funzioni e, per altri aspetti, strutture matematiche) :

Rubens, H., e Ku r lbaum, F. infine le formulazioni piu r igorose del punto di vista quantistico — movendo dal proble­sgoo Ube r d ie Emission langroelliger Warmestrahlen durch den schtoarzen Korper bei verschie­

denen Temperaturen, in «Si tzungsberichte der Koniglich-Preussischen Akademie derma di un'assiomatica adeguata (cfr. assioma/postulato) — hanno retroagito sulla stessa

Wissenschaften zu Berlin», n. 4s, pp. 929-4I. logica (cfr. anche deduzione/prova, formalizzazione, possibilità/necessità, ricor­

Schrodinger, E. sività), come le ricerche di «logica quantistica» attualmente stanno dimostrando con r i­

tgz6a Quantisierung als Eigentoertproblem, in «Annalen der Physik», LXX I X , p p . 3 6s -76. sultati sempre piu convincenti.

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Sotto il profilo piu generale, il punto di vista quantistico rappresenta una specializza­zione — e vuoi essere un superamento — dell'opposizione (cfr. coppie filosofiche, oppo­sizione/contraddizione) continuo/discreto : l'estensione progressiva dei metodi quan­tistici ad altri settori della conoscenza della natura ha dunque sollevato non poche con­troversie di natura non solo scientifica (cfr. ricerca, scienza) ma anche filosofica, in cuisi sono scontrate le «metafisiche influenti » delle varie «scuole» (cfr. filosof/filosofie, esoprattutto metafisica), come in particolare mostra la ormai celebre disputa sul caratteredeterminato/indeterminato del reale (cfr. anche caso/probabilità). Ciò ha compor­

8zx Relatività

Relatività guenti [per una conoscenza piu approfondita e per dettagli tecnici, si vedanoWeinberg z97z; Misner, Thorne e Wheeler r973]. Al momento si possono con­densare per sommi capi i punt i essenziali della teoria in quanto segue:

A) I fenomeni fisici si svolgono nell'ambito dello spazio Ra a tre dimensioni.Nel r9og apparve sugli «Annalen der Physik» un articolo ad opera di Albert Questo spazio contiene la materia e la configurazione di questa cambia nel tem­

Einstein, all'epoca sconosciuto impiegato dell'ufficio brevetti di Berna, in cui po. Considerando quindi la storia completa dell'evoluzione dell'universo dalvenivano trattate a fondo alcune questioni riguardanti il moto dei corpi carichi tempo t = — ~ al tempo t = +~, è possibile considerarla come un insieme dielettricamente [Einstein t9oga ]. Questo lavoro viene assunto quasi unanime­ eventi (caratterizzati dalla posizione in Rs e dal tempo t ). Questi eventi formanomente come il punto di partenza della teoria della relatività, il cui dominio di un continuo%, lo spazio-tempo di Minkowski, che è l'ente fondamentale dellaapplicazione si rivelò ben presto molto piu vasto ed universale di quello del pro­ teoria della relatività.blema da cui aveva tratto origine. B) L'universo di Minkowski viene dotato di osservatori ideali, provvisti di

Infatti risulta chiaro che la teoria affonda le sue radici ed è sorretta dal ri­ orologi e di metri, e quindi capaci di misurare le coordinate di un evento qual­goglioso sviluppo scientifico del xtx secolo; in particolare, la relatività non sa­ siasi in 9K. La relatività ristretta asserisce l'esistenza di una classe privilegiata direbbe concepibile senza la costruzione delle equazioni del campo elettromagne­ osservatori, detti inerziali, per i quali vale il principio d'inerzia. Tutti questi os­tico, ad opera di Maxwell, che di questo secolo furono il punto culminante. servatori si muovono di moto relativo uniforme e un corpo sul quale non agi­

Precedette il lavoro di Einstein una memoria di Lorentz [r904] in cui i pro­ scono forze (corpo libero ) si muove di moto uniforme rispetto ad essi. La rela­blemi che sorgevano da certe anomalie di propagazione della luce (in partico­ tività ristretta non è riconducibile ad assunzioni piu primitive, essa è un'idea­lare il risultato negativo della esperienza di Michelson-Morley ) vengono cor­ lizzazione che rende mirabilmente conto di una grande varietà di dati empiricirettamente impostati e in parte risolti. Come fa tuttavia notare Holton [t96o], e va accettata come tale. Esistono osservatori non inerziali, ad esempio una piat­la teoria di Lorentz abbisogna di ben dodici distinte assunzioni, alcune delle taforma rotante; la relatività ristretta non s'interessa ancora di essi, il compitoquali artificiose ed improponibili in una formulazione piu moderna. Inoltre la è demandato a quella generale.teoria di Lorentz è corretta solo fino ai termini di ordine (v/c)a, mentre quella Conseguenza della relatività ristretta è che esistono infinite maniere diversedi Einstein è rigorosamente valida a tutti gli ordini; mancano nella prima l'a­ ed equivalenti di descrivere i fenomeni nello spazio-tempo. Certe variabili fisi­pertura e il senso di universalità che continuano ad affascinarci nella relatività. che possono avere lo stesso valore per tutti gli osservatori (si diranno assolute

Va tuttavia riconosciuto a Lorentz e a Poincaré il merito grandissimo di o meglio scalari ), altre, e sono la maggioranza, dipendono invece dall'osserva­avere intuito l'importanza dei problemi che si presentavano nella teoria di Max­ tore. Queste ultime, il cui significato è relativo, si esprimono in genere me­well e di avere contribuito in modo sostanziale alla loro soluzione (trasforma­ diante vettori e tensori. La formulazione di Einstein ha dimostrato che certezioni di Lorentz ). In particolare, il lavoro di Poincaré [r9o4], che precedette di variabili, che si credevano assolute nel passato, sono in realtà relative: la diffe­poco quello di Einstein, riempie le lacune di quello di Lorentz impostando cor­ renza di tempo tra due eventi, la lunghezza di una sbarra, la forma di un og­rettamente il problema dell'invarianza relativistica delle equazioni di Maxwell getto sono, contrariamente all'intuizione, delle variabili relative.nel vuoto. Whittaker [r9gg] attribuisce il merito della scoperta a Poincaré e a Questa azione di rottura dell'intuizione tradizionale ha portato forse a por­Lorentz, relegando Einstein al ruolo di fortunato divulgatore della teoria: è un re troppa enfasi sul concetto di relativo, portando a formule superficiali qualigiudizio ingiusto e certamente influenzato da pregiudizi personali. «Tutto è relativo, nulla è assoluto». Si tratta sempre di una realtà unica, lo

Negli anni che seguirono il famoso lavoro del r9og, la relatività cominciò spazio-tempo, che viene vista sotto prospettive diverse da diversi osservatori.ad essere gradualmente accettata e la sua portata ed estrema eleganza concet­ Tutte queste prospettive sono legate tra di loro in modo semplice, diretto etuale divennero sempre piu evidenti attraverso varie rielaborazioni, sia dello privo di ambiguità dalle trasformazioni di Lorentz e generalizzazioni, e sono per­stesso Einstein, sia ad esempio di Minkowski [r9o8] che ebbe per primo una fettamente controllabili mediante il calcolo tensoriale.chiara idea del continuo spazio-tempo. Già nel t9og fu anche chiaro che la teo­ c) Un'asserzione assoluta, nel senso discusso in a ), riguarda la velocità dellaria prevedeva l'equivalenza di massa ed energia, secondo la ormai celebre luce nel vuoto c, che risulta uguale (vale circa zoo ooo km/sec) per tutti gli os­E = mc' [Einstein t9ogb], Lo sviluppo del calcolo tensoriale permise di snellire i servatori inerziali. È questo un risultato inaspettato, in quanto la velocità di uncalcoli, a scapito forse del loro contenuto intuitivo ; la semplicità cosi raggiunta, oggetto sembra un concetto relativo. Inseguendo la luce a xoo ooo km /sec, essatuttavia, ha permesso di scoprire profonde analogie formali che continuano ad dovrebbe fuggirei a zoo ooo km /sec, la sua velocità dovrebbe risultare funzio­essere operanti e a dare frutti nella fisica contemporanea [Woolf r979]. ne dell'osservatore ed essere un concetto relativo. Queste considerazioni pog­

Che dice dunque la relatività del t9og > Una risposta completa sarà data giano tuttavia sul teorema di addizione delle velocità, che risulta inconsistentesolo attraverso la trattazione, di necessità tecnica, contenuta nei paragrafi se­ con l'evidenza empirica e che viene sostituito nella relatività con una formula

27

Relatività 8zz 8z3 Relatività

modificata. Componendo con c una velocità qualsiasi si ritrova sempre c. Ma cora finito, i dati in nostro possesso sembrano confermare l'ipotesi del big bang;non è possibile assumere il carattere assoluto di c senza sconvolgere tutte le no­ risulta ovvio che la cosmologia è ancora agi'inizi. Ai quesiti che essa ha postozioni tradizionali dello spazio-tempo. Eventi simultanei per un osservatore non daranno forse una risposta il nuovo telescopio spaziale, i radiotelescopi e tuttalo sono piu per un altro e moltissime proprietà assolute si scoprono relative. la tecnologia spaziale.

Da questo punto di vista Einstein salvò il principio di relatività contenutoin a). Se c dipendesse dall'osservatore, si potrebbe operare una discriminazionetra osservatori inerziali, che distruggerebbe la completa simmetria ed equiva­ i. Il PrknckPko Ck relatkrkkta.

lenza tra di essi ai fini della descrizione degli eventi. Queste simmetria ed equi­valenza parvero molto piu importanti ad Einstein del teorema di addizione delle i.i . Lo spazio-tempo.velocità : la relatività nacque da questa critica e non, come sostiene l'aneddoticatradizionale, dall'esperienza di Michelson-Morley. Si ammetterà in quanto segue che i fenomeni fisici si svolgano nell'ambito

Nel i9ro la struttura relativistica del campo elettromagnetico era stata chia­di un continuo, detto spazio-tempo, 9ll. Gli elementi dello spazio-tempo si dicono

rita in tutti i dettagli essenziali. Rimaneva invece oscuro il ruolo del campo gra­ eventi e sono caratterizzati da tre coordinate spaziali x, y, z e dal tempo t. Ogni

vitazionale. In quest'epoca Einstein era praticamente l'unico tra i grandi fisici fenomeno fisico si può rappresentare come una successione di eventi in 9K. Lo

che si rendesse conto dell'importanza del problema; negli anni seguenti, l'a­ spazio-tempo contiene materia ed è compito della fisica studiarne le proprietà.

tomo di Bohr (si veda l'articolo «Atomo e molecola» in questa stessa Enciclo­Non si conosce alcuna giustificazione teorica aprioristica sulle cause di questa

pedia) e il dibattito sui quanti di luce [cfr. Schilpp r9y9] contribuirono a di­scelta di dimensioni per 95. ; esistono invece continue prove empiriche di questofatto, che inducono ad accettarlo come evidente.strarre i suoi colleghi dal campo gravitazionale.

La costruzione di una teoria relativistica della gravità impegnò Einstein dal Le coordinate ~, y, a furono introdotte da Descartes e servono ad identificare

i9o8 fino al x9i6, anno in cui finalmente raggiunse la meta dopo vari tentativi i punti dello spazio ordinario. Si userà la notazione matematica R per la retta

infruttuosi. Il risultato finale [Einstein t9r6 ] va sotto il nome di «relatività gene­reale, R~ per il piano, Ra per lo spazio. Secondo la stessa nomenclatura, per lo

rale»; questa nuova formulazione contiene come caso particolare quella ristretta spazio-tempo 9K si avrebbe usare R4. Tuttavia, con 8K s'intenderà R4 dotato

del i9o5. La nuova teoria passò test decisivi spiegando certe anomalie nel moto di una struttura metrica derivata dalla fisica e atta a rappresentare i fenomeni

di Mercurio, ebbe un tr ionfo nel i 9 i 9 p revedendo esattamente la deflessionerelativistici. Chiaramente una certa ipersuperficie t = cost in 9K può essere con­

della luce nel campo gravitazionale del Sole [cfr. Dyson, Eddington e David­siderata come un particolare R'. Sotto questo profilo 9R è una successione con­

son i9zo ]. Nel centenario della nascita di Einstein, l'evidenza a favore dellatinua di Rs lungo la linea del tempo.

teoria generale è ormai schiacciante e ad essa ha contribuito in modo notevole In Rs esistono infinite maniere diverse d'introdurre sistemi di coordinate in

la tecnologia spaziale [cfr. Woolf I979 ].modo equivalente. Un sistema di coordinate presuppone infatti l'esistenza di un

Colpisce, nella relatività generale, non tanto la predizione di sottili feno­ punto privilegiato, l'origine O, con coordinate x= y = z = o , e d i t re assi orto­

meni, quanto il suo sorgere da esigenze estetiche lontane dall'evidenza empirica gonali per O, rispettivamente x =y = o (asse z), ecc. Nulla impedisce di porredi tipo nozionistico e fenomenologico. Il punto di partenza rimane di una sem­ O in un punto qualunque di Ra e di orientare gli assi intorno ad O in posizione

plicità esemplare: l'uguaglianza tra massa inerziale e massa gravitazionale. Di qualunque. Tutti questi sistemi di riferimento sono ugualmente accettabili dal

qui si giunge al principio di equivalenza. punto di vista fisico. È possibile valutare il grado di arbitrarietà nella scelta del

Raggiunta la formulazione finale della teoria nel t9 t6, scritte le equazionisistema. Sia dato un sistema inerziale qualunque. Ogni altro sistema sarà carat­

del campo nella loro forma piu perspicua, toccò a Schwarzschild [i9i6 ] deri­terizzato dalla nuova posizione dell'origine O' (tre coordinate ) e dall'inclina­

vare la famosa soluzione a simmetria sferica, analoga al potenziale di Newton, zione dei nuovi assi rispetto ai vecchi, per cui necessitano tre angoli, in totaledunque sei variabili.che doveva avere un ruolo importantissimo nell'astrofisica relativistica [cfr.

Misner, Thorne e Wheeler i973 ]. Gli anni 'zo videro la costruzione e la messaQual è la relazione tra diversi sistemi di coordinate? Essa discende dall'esi­

in opera di telescopi di grande apertura che permisero a Hubble [i9z9 ] di an­stenza del concetto di distanza tra punti di Rs. Siano x„yn s',; xz,y~, z~ due

nunziare la legge di recessione delle galassie. Questi dati osservativi confluirono punti in Rs. La loro distanza è definita dal teorema di Pitagora:

nell'impostazione relativistica della cosmologia, la recessione trovò una spiega­ ( i i ) d'= (xx — x~)'+ (yi — y2) + (~1 z2)'zione naturale nel modello del big bang [cfr. Weinberg I972; Misner, Thornee Wheeler 1973]. In quanto saranno spesso considerate coppie di punti infinitamente vicini, si

La relatività, nata dal microcosmo delle particelle elementari, aveva final­ avranno dunque xs=xk +dx, y, =y,+ dy , z , =v i+ da', ossia

mente aperto una finestra sull'universo e sulle nostre origini. Il lavoro non è an­ ( r.z) d ' = dx'+ dy'+ da'.

Relatività 8zy 8zg Relatività

Si fa riferimento a formule del tipo (z. z) e (z.z) come alla metrica di R 3. Ora mente, sulla Terra la rotazione diurna è evidenziabile da fenomeni, rilevabilisi può dimostrare che ogni relazione del tipo con il metodo di Foucault, che dimostrano in ultima analisi una violazione del

(1.3) x' = f(x,y,z) y ' =g (x,y, z) z' = h (x,y, z) principio d'inerzia.Quali sono dunque l'informazione e la portata effettiva di tale principio?

tra vecchie coordinate x, y, 8 e nuove coordinate x,' y', z', che implichi Esso asserisce l'esistenza di una classe privilegiata di osservatori, quelli iner­

(z.g) dx +dy +de' = (dx') + (dy')'+ (dz')', ziali, e li distingue da quelli che non lo sono. La relatività ristretta conduce arelazioni precise tra osservazioni effettuate da diversi osservatori inerziali che

è necessariamente lineare, e cioè del tipo mostrano strette analogie con la (z.5).811x+ 812y+ 813z+ ( l Prima di entrare nel formalismo matematico converrà soffermarsi su alcuni

aspetti intuitivi del principio di relatività. Quando sia noto un sistema inerziale(z 5) y ~ — 821x+8 22y+8 23z+( 2

A, ci si aspetta che tutti gl i altr i si muovano di moto uniforme rispetto ad A,831x ~ 832y y 833< y $3 differendone anche per l'inclinazione degli assi. Se vale dunque il principio di

dove 8", E' sono costanti e formano rispettivamente una matrice 8 (3 x 3) eGalileo in A, ci si aspetta che esso sia valido per un qualunque altro osserva­

E, (3 X z). Anche x = x', y = x' , z = x3 formano una matrice tore. Piu generalmente, il principio di relatività dice che «le leggi di natura de­vono scriversi in modo rigorosamente identico per tutti gl i osservatori inerziali

x' e non possono essere usate per distinguere o privilegiare uno di essi in parti­X x2 colare».

)

x3 Sia nella meccanica di Newton sia in quella di Einstein vale il principio di

per cui (z.g) si scrive anche relatività, che lega tra di loro le osservazioni di diversi sistemi inerziali. La for­ma matematica di questo legame è invece differente nei due casi. A basse velocità

(z.6) x' = 8x+ E, è praticamente impossibile distinguere la meccanica relativistica da quella new­

Inoltre 8 è una matrice ortogonale, ossia 8~8 = z (z matrice identità ), dove toniana. A velocità prossime a quella della luce queste differenze sono rilevanti.

8+ è la matrice trasposta di 8: (8~)'~= 81'. Sia la relatività di Galileo sia quella di Einstein sono intrinsecamente consi­

L'ortogonalità di 8 impone sei condizioni indipendenti sugli elementi della stenti e risolvono in modo diverso il problema di collegare le osservazioni fatte

matrice. Bastano quindi tre parametri indipendenti per rappresentare le nove da diversi sistemi inerziali. Non esiste alcun criterio intrinseco per decidere sulla

8'z, i cosiddetti angoli di Eulero usati nella teoria del rotatore (cfr. oltre, ) 3.1). validità o meno di ciascuna alternativa: pesanti paradossi scoperti a carico dellarelatività di Einstein derivano dall'introduzione nella teoria di elementi ad essaSi ha, come previsto,estranei. La decisione finale è giustificata in ultima analisi dai dati empirici.

d' = dxz' dx L'apprendimento della teoria einsteiniana è legato al superamento di molti

d x'= 8 d x pregiudizi, di natura psicologica e soggettiva, che ne ritardarono per anni l'ac­

(d')'= (dx') dx ' = d x 8~8 d x = d x dx = d' cettazione da parte degli elementi piu tradizionali della comunità scientifica.Particolarmente osteggiato fu l'abbandono del concetto di tempo universale, se­

Finora è stata discussa la geometria di R3, e non quella di BI'. Si è trascu­ parato dalle coordinate, che, come diceva Newton, fluisce in modo uguale perrato di proposito il ruolo del tempo, perché necessita di un'analisi del concetto tutti gli osservatori.di sistema inerziale e costringe ad entrare nel vivo della trattazione relativistica. I vantaggi derivanti dal superamento di questi pregiudizi furono immensi.Il punto di partenza per lo studio della struttura di 9K è la constatazione empiri­ La relatività si è dimostrata capace di correlare in un formalismo semplice eca dell'esistenza di infiniti sistemi di r i ferimento inerziali nello spazio-tempo. scorrevole fenomeni apparentemente disparati ed ha introdotto una metodologia

Per chiarire il concetto di sistema inerziale occorre citare il principio d'iner­ basata sull'unificazione dei concetti fisici il cui effetto è ancora evidente ed ope­zia di Galileo: «Ogni corpo persevera nel proprio stato di riposo o di movimento rante ad oltre settant' anni dalla scoperta.uniforme e rettilineo, a meno che non sia costretto a modificare tale stato daforze agenti su di esso». z.z. Relatività einsteiniana e relatività galileiana.

Non è possibile accettare il principio d'inerzia senza un'analisi critica. Essosi riferisce infatti a una classe particolare di osservatori, detti inerziali. Se si fosse La meccanica newtoniana rappresentò la fase culminante di un lungo pro­ad esempio racchiusi in una cabina soggetta a rotazione, apparirebbero forze cesso storico inteso a correlare le osservazioni astronomiche. Il cosmo newto­centrifughe e di Coriolis che farebbero sembrare falso il principio. Analoga­ niano consiste di un insieme di enti puntiformi chiamati corpi, dotati di un

Relatività 8z6 8zy Relativitàattributo M (numero reale positivo ) chiamato massa, e di una posizione xe R». Quindi se le (I.y) e ( I.8) sono verificate nel sistema A, lo sono anche nel si­L'insieme di tutte le posizioni successive x (t) di un corpo nello spazio-tempoforma una linea, la traiettoria del corpo. Siano u, P indici etichettanti l'insieme

stema B. Se dunque il cosmo fosse popolato esclusivamente da corpi gravitanti

dei corpi. Con il vettorenewtoniani, non sarebbe possibile, dalla validità o meno delle (x.p) e (I.8), de­durre alcunché sullo stato di moto assoluto di un sistema, dato che esse si scri­

( x.p) F„~ ­­ — G s M„Ms ­­­ — FIi,

vono esattamente nello stesso modo. In questo senso la meccanica di Newton è

nei una teoria relativistica dove le ( I.9 ) legano le descrizioni dello stesso evento inSII ottenute rispettivamente in B e A.

s'intenderà la forza agente fra i corpi <x,P, dove x„è la coordinata (in forma Le (I.9) sono trasformazioni lineari nelle coordinate x, t di un evento in 5Kvettoriale ) e M„ la massa del corpo ix; d„> è la distanza fra P e «i, G la costanteuniversale di Newton.

e sono molto simili alle (x.g) adottate per Rs. In generale, se si ammettono assiinclinati per A e B, si avrà:

Il secondo principio della dinamica oifre un'equazione dillerenziale del se­condo ordine per il moto dei corpi 5 Qi k>ky>tt~ g i (i x z 3)

d X R (x.xx)( I.8 ) M „ — , " = g F„Ix ­— F„

sc~t' = t + t(i.

che lega l'accelerazione ò„=— (d'x„/dt») del corpo z alla forza totale F„di at­ Si farà riferimento alle (x.xx) come alla piu generica «trasformazione di Gali­trazione esercitata dagli altri corpi su x. Mediante la (x.p) e la (I.8) è possibile leo» tra le coordinate x", t' in B e x', t in A. Essa contiene in totale dieci para­

dedurre tutte le posizioni e velocità dei corpi per un tempo qualsiasi quando metri (tre in (', tre in u', tre in 6tk, e uno in t«). Come si vedrà, questo conteg­siano note all'istante iniziale, ad esempio t = o, le quantità gio rimane invariato nelle trasformazioni di Lorentz che valgono per la teoria

einsteiniana. Non esiste alcun dubbio che le (I.p) e le (I.8), insieme alle (x.x x),dx„(t)

x„(o) v„(o) =rappresentino con grande semplicità e accuratezza una vasta messe di osserva­

dt io zioni.

L'insieme delle (x.p) e (x.8) contiene in sintesi tutta la meccanica celeste cheLe (x.xx) sono legate alla (x.xo) che (trascurando come nella (x.xx) l'indice

del corpo ) può essere riscritta comeha correlato in modo cosi straordinario il moto dei corpi entro il sistema solare.

Alla luce di quanto esposto in precedenza, si noti tuttavia: ( I .I2 ) v = v+u >

I) Le (x.y) e (I.8) vanno intese come valevoli in un sistema inerziale A. In­fatti se il corpo iz viene allontanato da tutti gli altri, la F„si annulla e cosi pure

ossia come il teorema di addizione delle velocità. Questo teorema è dunque le­

l'accelerazione ò„, per cui il corpo si muove di moto uniforme come ci si aspetta gato alle (x.x x). Per quanto sia di grande semplicità e potenza intuitiva, il teo­

per un sistema inerziale.rema (x.xz) è risultato empiricamente il punto piu debole della relatività gali­leiana; da esso ha preso le mosse la critica einsteiniana.

II ) Sorge quindi spontanea la domanda : Quali sono allora gli altri infiniti si­stemi inerziali? Da quanto detto essi sono tutti e solo i sistemi in moto uni­

La crisi giunse per il tramite della costruzione finale, operata da Maxwell,della teoria elettromagnetica della luce. La teoria di Maxwell introduce nel co­

forme rispetto a quello iniziale A.Si indichino con x„' le nuove coordinate in un nuovo sistema inerziale B.

smo, oltre ai corpi gravitanti di Newton, due nuove entità, il campo elettroma­gnetico (formato dalla coppia E, B ) e un nuovo attributo, la carica elettrica. Se­Per semplicità si può ammettere che abbia assi paralleli a quelli di A. In gene­

rale si avràcondo Maxwell si hanno le equazioni omogenee

x òB( I.9 ) R = x +ut+g t = t +t» ( I.I3 ) rotE = — ­ ­ divB = o

c dtdove u, g, t~ sono costanti. Ma chiaramente x„' — X> ­— x„— X>, d„'Ix ­— d„>, dt = dt,'dato che u non dipende da a ; per cui F„'Ix ­— F„>, F„' = F„. Inoltre e quelle non omogenee

dx„' dx „' x àE— = — = v +u = v rotB = — ­ + — j divE = 4rr pdt' dt c ò t c

(x xo)d'X„ dove p, j rappresentano rispettivamente la densità di carica elettrica e la corrente

d(t')' d t -"elettrica per unità di superficie. Le (x.x3) e (x.xy) possiedono nel vuoto (cioèdove p =j = o ) una classe di soluzioni a carattere oscillante (in E, B), che si pro­

Relatività 829 Relatività

paga con velocità c = (299 792,5+0,3) km/sec, e che va identificata (nell'appro­ ti nuovi e sconfinati; per queste ragioni fu operata la scelta di abbandonare le

priata banda di frequenze ) con le onde luminose previste dalla teoria ondula­ (x.x x) e (x.xz) e di postulare invece:toria della luce di Huygens. x) esistenza di infiniti sistemi inerziali ;

La capacità delle equazioni (x.x3) e (x.xy) di predire una larga messe di dati xx) allargamento del postulato di relatività, sino ad includere, oltre ai corpisperimentali superò presto quella seppur rilevante della teoria di Newton. Esi­ materiali, anche la luce e cioè le equazioni di Maxwell. In particolare, siste tuttavia una macroscopica differenza fra le (x.x3) e (x.xg), e le (x.7) e (x.8), assume che queste si scrivano nella stessa forma (x.x3) e (x.xg) in tutti iin quanto, se si accetta la (x.x x), e quindi anche la (x.xz), le equazioni di Max­ sistemi inerziali e che quindi la luce si propaghi con velocità c (costantewell non possono che valere in un solo sistema di riferimento, in altre parole, esse universale pari a circa 3oo ooo km /sec) in tutte le direzioni e in tutti inon rispettano la relatività galileiana. Quest'asserzione segue dalla facile consta­ sistemi inerziali.tazione che le onde luminose si propagano appunto con la velocità c della luce.Se quindi si ammette la validità delle (x.x3) e (x.x4) in un sistema di riferi­ Il postulato xx) contraddice apertamente la (x.xz), secondo la quale, inse­mento inerziale A, esse non possono essere valide in B, perché in B la velocità guendo la luce con velocità u, la si vedrebbe allontanarsi con velocità c — u,dell'onda luminosa non sarebbe piu ci (i versore dell'asse x), dovendosi ag­ mentre fuggendola con velocità v la si vedrebbe muoversi con velocità c+v,giungere vettorialmente ad essa la velocità v di B ri spetto ad A, secondo la con risultati intermedi per le altre direzioni.

(x.xz). Chiaramente, per v generico, ~ci+v~ è diverso da c. Si abbandoneranno quindi le (x.x x) e (x. xz) e, nella forma presente, le (x.7)All'inizio del secolo si pensava che la luce si propagasse in un mezzo elastico e (x.8), considerandole approssimazioni valide a basse velocità (rispetto a c )

(l'etere) analogamente alla propagazione del suono nell'aria. Il sistema inerziale della nuova teoria, ipotesi che risulterà confermata a posteriori. Dal postulato xx)A a riposo rispetto all'etere era quello in cui erano valide le equazioni di Max­ verranno derivate le nuove leggi di trasformazione (dette di Lorentz) che so­well, mentre gli altri avrebbero dovuto mostrare deviazioni dovute alla diversa stituiscono le (x.xx) e (x.xz) e che stanno alla base della fisica moderna.velocità di propagazione della luce nelle diverse direzioni. Secondo questo pun­to di vista si mossero Michelson e Morley per misurare direttamente il «vento Cinematica relativistica.d'etere» e l'anisotropia della propagazione della luce : l'esperimento dette un cla­moroso risultato negativo. 2.x. Le trasformazioni di Lorentz: derivazione.Secondo Einstein, il fallimento dell'esperimento di Michelson e di altri ana­loghi che si proponevano di misurare lo stato assoluto di moto di un sistema iner­ Nello sviluppare le conseguenze del postulato xx), ci si limiterà a casi in cui laziale era prevedibile se si adottava l'idea secondo cui l'esistenza di un principio configurazione relativa degli osservatori A, B risulta particolarmente semplice.di relatività era piu importante e desiderabile del mantenimento delle (x.xx) e Si assumerà infatti che A, B abbiano assi paralleli e origine comune al tempo(x.x2). t =o. Inoltre la velocità v relativa sarà diretta lungo l'asse x.

Secondo Einstein, dunque, neppure le equazioni di Maxwell dovrebbero Ci si propone di modificare le (x.xx) e (x.xz) in modo tale che un frontepermettere d'identificare un sistema inerziale privilegiato e le (x.xx) e (x.xz) d'onda che si propaga con velocità c nel sistema A mantenga tale velocità neldevono venire modificate per tener conto di questa condizione, secondo quanto sistema B. Per quanto detto, la (x.xx) dovrebbe ridursi allegià indicato dal fisico olandese Lorentz. La critica alle (x.x x) e (x.xz) coinvolgeindirettamente una critica alle (x.7) e (x.8), che in un certo senso le implicano,

(2.x) x' = x+vt y ' = y z ' =z t ' = t

in quanto le possiedono come gruppo d'invarianza. che risultano incompatibili con la costanza della velocità della luce. Al mo­Tenendo conto dell'enorme prestigio della meccanica newtoniana, già vasta­ mento ci si occuperà di modificazioni della (x.xx) di tipo lineare omogeneo,

mente popolarizzata e ispiratrice di splendidi lavori di meccanica celeste, oltre­ché della sintesi operata da Lagrange, Hamilton e Jacobi, si può facilmente (2 2) x = Axxx~A,4t y ' = A y z'= As z t ' = A «'x +A« t,comprendere come l'idea di modificarla, per mantenere in vita un'astrusa equa­ rimandando al ) 3 lo studio delle trasformazioni generiche. Un punto qualsiasizione di campo comprensibile solo da pochi iniziati, abbia incontrato non poche del fronte d'onda centrato in O obbedisce all'equazionedifficoltà. Solo un profondo senso della realtà fisica poteva condurre a una scelta

(2 3) z2+.y2y>r c2t2che appariva, ai piu, folle e inutilmente audace. E questo convincimento nonpoteva che nascere dalla constatazione che la precisione e la vastità dei risul­ che deve valere anche per x', y', z', t'. Ne segue:tati predetti dalle equazioni di Maxwell già superava quella, sia pur splendida,della sintesi di Newton, e che le modificazioni indotte in questa dalla relatività (z~)2+ (y~)2+ (z~)2 c2(t~)2 [(A 1)2 c2(A 1)2j z2+ (A 2)2y2+einsteiniana ne avrebbero salvate le parti essenziali, aprendo in cambio orizzon­ +(A 3)2R2+2(A A — c A A4)xt+ [(A ) — c (A ) ] t = o

Relatività 83o 83I RelativitàQuesta relazione deve ridursi a un multiplo della (z.3), x'+y +z = c t, per t+ — xcui si ha: C x+vt

(r.n) r' ­ c'= y'=y c '= c .(A ') 2 — c'(A 1)2 r — (!' r — 8'

(A 2)2= À)o(z.g) A 'A ' — c'A 'A ' = o Operando su questa con le (z.6) e con le rotazioni, si ottiene la soluzione piu

(A,')' = À>o. generale, che verrà discussa in seguito.

(A 4) — c (A4 ) = ­ Àcz.z. Proprietà delle trasformazioni di Lorentz.

Data una soluzione delle (z.g), se ne ottiene un'altra cambiando dei segni se­condo la In quanto segue verranno esaminate in dettaglio le proprietà delle (z.xz).(z.6) A ,x~ ( ­I )'aA,',

z.z.x. Metrica. Pe r quanto detto si ha anzituttodove le s~ sono arbitrarie. Si può dunque supporre A,') o , potendosi ricavaregli altri casi mediante semplici cambiamenti di segno. Ponendo x +y + z — c t' = (x')'+(y') +(z') — c'(t') .

Analogamente, per i differenziali si ha:(z.V) Al' = vA44

3 3

si ottiene dalle (z.g) vA, = c A4' e (2.I3 ) du ­= c dt — g (dxx)2= c (dt') — g (dx")I=l I = l

La (z.x3) esprime ancora una volta la costanza della velocità della luce.(r.8) A ,' = A,' = A,'­

VZ , vVZ

r — 8rr c' r — (!' z.z.z. Trasformazioni di Lorentz. Introducendo la notazione x =c t , x ' =

ove, seguendo la consuetudine, si ponga P = v/c. L'origine O di A (x = y = s = o ) = ct', che sarà usata estesamente in seguito, si ha :

appare muoversi in B secondo la(z IO) x ' = x" =

x'+ Px' „ x'+ Px'>x '2 = x2 X'3 = X 3

(z.9) x '=A, (A 4 ) ' t ' = v t ' vr — (!' vx — 8'

per cui v va interpretata come la velocità relativa degli osservatori A e B. Af­ (z.xS) — ( ")'+("') '= -(") '+(") ' ,finché la (z.8) abbia senso, occorre che ~)~ (I. Dalle (z.q) e (z.8) segue: che non contiene piu esplicitamente la velocità della luce c. La velocità appare

in unità adimensionate P.

vr $ ( c' / rrr — 8'(v( —,X+t) x' = (x+vt)

(2.IO) 2.z.3. Rotazioni nel piano x, x ' . Si a p = tghA)', dove 0 prende il nome di

y '= V t , y ~'= v Àz.rapidità e tgh& = (es — e — 3)/(es+e 3) è la cosiddetta tangente iperbolica di &.Da questa definizione seguono le relazioni

La trasformazione deve essere completamente determinata da v, quindi À I

deve essere una funzione di v : À = À(v). La scelta dell'asse x è puramente con­ (z.x6) cosh & = sinh& =

venzionale e À deve dipendere in generale dal modulo della velocità relativa di A V r — (!''

e di B, per cui À(v) = À( — v). Invertendo la (z.xo) si trova per cui le (z.xy) ora si possono scrivere come

(z.xx) Vr — ()r( c ) Vr — ()

x' = sinh& x'+ cosh& x x" = cosh& x + sinh8 x(z IV)x '2 = X2 x '3 = x3,

La rotazione ordinaria nel piano euclideo x', xs dell'angolo q> si scrive invecey = (VÀ) 'y' X = (VY)-xx'

X" = xs x " = x 'che differisce dalla (z.xo) per l'inversione dei ruoli di x', x, ecc., per lo scambio (z. 18)di v in — v e di À (v) in (À(v)) l. Dunque À( — v)= (À(v)) l, ossia À = x. Si ottiene

X = coscp x + sin(i) x x 3 = — sin(i) x2 + cos(i) x3e implica

la ben nota trasformazione di Lorentz(z I 9) (x2)2~ (x3)2 (x !2

)2y (x !3

)2.

Relatività 83z 833 Relatività

come appare da un semplice confronto, la (z.i8) e la (z.lg) differiscono dalle gono risultati poco familiari. Se v, = v, = c/z si ott iene v, = (4/5)c, e se V , =

(2. 17) e (z.15) per lo scambio = v, = o qc si ha vs = I 8c/1,8i = c — (c/181) (C, per cui, anche componendo ve­locità assai prossime a c, non è possibile superare il muro della luce.

(P ~i8(z.zo)

X2~x i xs~ — ix .0 2.2,5. Simultaneità. Si a no xi — t l — tp — o x2 — L due eventi simultanei in

Questa coincidenza può essere usata come guida formale per anticipare il ri­ A (si supporrà in quanto segue y = y ' = z' = z' = o). Si hasultato di calcoli relativistici partendo da altri ben noti per le rotazioni ordinarie. VXI

Grosso modo, il tempo può essere considerato come una variabile spaziale cui t,+­C Xl + Vti

si attribuiscano valori immaginari. L'uso incontrollato di quest'analogia non è tl = = O Xi

scevro da pericoli ed è fonte di speculazioni metafisiche che esulano dalle scienzenaturali. Tuttavia, usato con le dovute cautele, si è rivelato un procedimento di VL I

, , L+tl X2

alto valore in molte questioni di teoria dei campi e di meccanica statistica. c' sr r ­»' ~r — ()'

per cui i due eventi non sono simultanei in B.2.2.4. Proprietà gruppali. Il p r odotto di due rotazioni ordinarie di angoli L'idea di una simultaneità relativa fu considerata palesemente assurda da(i)2 è un'altra rotazione di angolo (i)1+ 4)2. Siano invece date le trasformazioni

di Lorentz:molti oppositori della relatività. Come dice Einstein [1()zz], l'opposizione è ve­

vi x nuta da filosofi che hanno spostato certi concetti fondamentali dal dominio del­t+­

c2 l'empirismo, e quindi dal nostro controllo, alle altezze intangibili dclP«a priori ».t X+ Vlt

x L'effetto è reale ma ridicolmente piccolo a basse velocità. Per un aeroplano si~r ­»,' n r — (),' ha tipicamente v~3oo m /sec, ossia p Io ; per L = 3 km si trova t2 — t, I o— 11

(z.zi)f sec, difFicilmente rilevabile anche se di altissimo valore concettuale.V2Xt+­

2cI l x'+v,tt = x"= 2.2.6. Contrazione delle lunghezze. Sia in B una sbarra ferma di lunghezza

v x — (t', V r ­»', L i cui estremi siano quindi eventi: xl =o, t, ' qualsiasi, x2= L; t 2 qualsiasi. Lasbarra viene osservata da A ed appare in movimento con velocità v. Per de­

Eliminando x', t', si ottiene quella prodotto finizione, la sua lunghezza L' è data da L'=x , (t) — x,(t), essendo (x,(t)+vt)/V»X /~ r ­»' = o, (,( t)+ t) / /~r »' = h, d— o cappa e la stesa r !a h ! le r ln am­t+­c2 X+V»t bedue i termini. Risolvendo questo sistema, si ottiene

(z.zz) t " = x " = z"= z

~r — ()', (z.zh) L ' L V r — (!' , =

dove la velocità vs è data dalla formula di composizione ch non dlp d e da t e che d' n a 1 nghezza o t t t a del fatt re ~ r — »spetto a quella della sbarra immobile.

vi+ Vp(z z3)

V V1 2

c2 3. Lo spazio-tempo di Minkog(/ski.

che sostituisce il vecchio teorema di addizione delle velocità;3.1. Il gruppo di Lorentz.

(2.24) va Vi+ V2'Si noti che, mentre la (z.i4) privilegia la coppia x, x', la (z.13) è completa­

Ponendo mente simmetrica nel ruolo di x', x2, xs. Quindi anche

(2.25) P,=tgh&1 )2 =tgh&» xo+ PX2 , x'+ )x'(3.1) x' ­ x " = X ' x' x's = xs

si ottiene esattamente )2 = tgh (&i+ &2). Nelle rapidità &„&2 la composizione è af — ()' n r ­»'dunque additiva come negli angoli (i)„(i)2. La ( z.z3) dà gli stessi risultati e a1 ' della x '+ x '(2.24) per v„v 2(<c. Se vl = c, si ha sempre vs = c, qualunque sia il valore di v„' (g z) x ' = x ' x'+ )x'xta =

si riotticne la costanza della velocità della luce. Per valori intermedi si otten­ ar — »'

Relatività 835 Relatività

sono trasformazioni di Lorentz. ERettuando successivamente le trasformazioni Invece l'espressione — g„> dxa dxa deve intendersi uguale a dus secondo la (3.4).(2.I4), (3. I ), (3.2) in vario ordine, si arriverebbe a costruire una trasforma­zione di Lorentz generale in cui A e B si muovono con velocità relativa qua­ D ato che la sommatoria g i n (3.4) è in accordo con la convenzione 3), la si

a,a = olunque. E poco saggio tuttavia cercare di costruire questa trasformazione senza può sopprimere dalla formula restando automaticamente intesa.sapere di piu sulle proprietà generali delle trasformazioni di Lorentz. Per giun­ Considerando le matrici rettangolarigere a una discussione piu esauriente, occorre ampliare il formalismo, antici­pando alcune tecniche di calcolo tensoriale. dxo

Occorre quindi introdurre la matrice g (4 x 4) di elementi x' dx'(3.5) x = xx' = f]x', x', x', x')f ecc.dx'

gi v= o se p,gv

dxs(3 3) g>v

= se p. = v = o

g , = +I se p, = v = i e usando il calcolo matriciale (si veda l'articolo « Invariante» in questa stessaEnciclopedia, VII, p. Ilox ), si può scrivere

c la matrice g ' : g i' =g , . L ' uso di una matrice g>v con elementi uguali a g ,sembra uno spreco inutile di definizioni. Si vedrà tuttavia che I ) in relatività (3.6) — du' = g s dxa dx~ = dx ' g dxgenerale si usa g i " ~g,, ; z ) il ruolo di g i"' e g, è d iverso nello sviluppo delcalcolo tensoriale e ambedue le matrici sono necessarie per rispettare le regole Inoltre, sia la (z.x4), che le (3.x) e (3.2) possono essere poste nella formasintattiche del calcolo.

(3.y) x'a = A a,~x~ ovve r o x ' = A x ,Sia nelle g „g i'", sia nelle x", appaiono indici greci che prendono sempre i

v;ilori o, I, z, 3. In quanto segue questa convenzione sarà mantenuta. Volendo dove A è una matrice quadrata di elementi Aa> data daiisare un indice di tipo spaziale, che corre cioè nell'insieme I, z, 3, si adotterà unalettera latina i, j, k, ecc. Usando queste convenzioni, si vede che dus definito in(z.x3) può essere scritto V ir ­ )' vr« — p(3.4) du' = — g gas dxa dxS = — P g„s dx'" dx'S, o I o oa,ti =o a, S=O

<love la somma è eseguita sugli indici ~x,P. In ciascun sommando, questi indici I;ippaiono due volte; una volta come suffisso, e cioè in basso (ad esempio cc ing„s), e un'altra volta in alto (ad esempio c« in dxa). Si ha nella (3.4) il primo

v r ­«' v r ­«'esempio di formula tensoriale. Anche se verrà sviluppata piu avanti la tecnicailei calcolo tensoriale, si possono già da questo paragrafo introdurre alcune con­ o o ovenzioni che semplificano notevolmente i calcoli e le notazioni, e che saranno (3.8)i isate estesamente trattando con i tensori. Si ha dunque:

I ) In quanto segue verranno manipolati oggetti formati da un simbolo (g, dx, vr — y vr — yecc.) accompagnato da uno o piu indici greci, ad esempio g„>, dx".

z) Saranno considerati sommandi formati da un prodotto dei simboli de­scritti in I ) con la restrizione che ciascun indice può apparire al massimodue volte; se un indice appare due volte, deve essere una volta in alto euna in basso, o o I

3) Se un indice appare due volte, si intende sommato su tutto l'intervalloo, I, z, 3, e si dice indice muto. Se un indice appare una volta sola, non è Pquindi sommato ed è detto libero. v x — ii' Vr — p

Le regole I ), z), 3) creano quindi un abbozzo di sintassi. Ad esempio, l'e­spressione g„a è «sintatticamente» inaccettabile, e cosi pure l'„" ' oppure g„>A~,. nei casi (3. I ) e (3.z) rispettivamente, e da

Relatività 836 837 Relatività

P ha dieci parametri e l'insieme di queste trasformazioni forma gruppo. Nel­Vl ­ P ~ r — P' la meccanica quantistica lo studio delle rappresentazioni unitarie irriducibili di

questo gruppo conduce alla importante classificazione delle particelle elemen­

xtari secondo la loro massa e il loro spin.

(3.9) A"Chiaramente, una trasformazione di Lorentz è un caso particolare di quella

V l ­ )' di Poincaré. In ogni modo anche per P si ha dx' = A dx. Per quanto segue, latraslazione 2 non necessita di una particolare elaborazione, e sarà arbitraria.

Per mezzo del calcolo matriciale, si possono dedurre le proprietà generalidelle AeO (3, x). Dato che tutte le matrici in (3.xo) sono quadrate, si ha:

o o o IdetA = +x. Gl i esempi (3.8) e (3.9) hanno detA= + x . I l s o t toinsieme diO(3, x) formato dalle A con detA = +x si denota con SO (3, x). Se detA = +x,

nel caso (z. I4). Nelle (3.8), (3.9), l'indice x varia da o a 3 e corrisponde alle ri­ si dirà che A è propria, altrimenti che è impropria.

ghe delle matrici ordinate dall'alto in basso ; analogamente, 8 distingue le colon­ È facile verificare che (3.xo) imPlica anche (A o) ) x, ossia A o( — x, oP­ne, ordinate da sinistra a destra. È facile controllare che la proprietà di A~> di P ure A o) + I , L e A e O (3, x) Per le quali A oo x (A o( — x) si dicono orto­rappresentare una trasformazione di Lorentz assume una forma molto compatta crone (anticrone) e formano il sottoinsieme O+ (3, x) (O (3, I )). Chiaramente:usando le convenzioni adottate, oppure la notazione matriciale. In tutt i i casi O+(3, I)(JO (3, I) = O(3, I ). Sl scllve lnoltle: SO+ (3, I ) = O+(3, I)gSO(3,I).(3.8) e (3.9) si ha infatti Vale la classificazione:

Segno di detA(3,IO ) g„EA " , A >„= g „ A IgA = g ;

queste relazioni risultano essere identicamente soddisfatte dalle (3.8) e (3.9)e implicano che, se

(3 xx) d x'=A dx , SO+ (3, x) Improprieortocrone

Segno di A oallora

SO- (3, x) Improprieanticrone(3») — (du')'=dx ' g dx ' = d x g dx = — du';

infatti È facile dimostrare che O (3, x), SO(3, x), O+(3, x), SO+(3,x) sono gruppi,dx' I' g dx' = dx" A 'gA dx = dx ' g dx. mentre SO (3, x) cle A improprie non sono gruppi. Date le matrici di SO+(3, x),Si possono quindi generalizzare le formule (3.8) e (3.9) introducendo la defi­

è facile costruire le rimanenti. Una A impropria ortocrona è data da

nizione: I O O O

DEFINlzloNE I. Si d i rà che A > è una matrice di Lo rentz se soddisfa alla O — I O O(3 I3 )condizione (3.xo). L' insieme di tutte le matrici di Lo rentz sarà denotato con O O — I O

O(3, x) e chiamato gruppo di Lorentz (per la definizione astratta di gruppo e peruna introduzione ai gruppi classici, si vedano in questa stessa Enciclopedia gli O O O — I

articoli «Applicazioni», I, p. 7I8, e «Invariante l, Vll , pp. 925 sgg. ). Inoltre, Una Ac SO (3, x) ètrasformazione di Lorentz (omogenea) è una trasformazione del tipo x ' = Ax,dove Ae O(3, x).

— I O O O

DEFINIzIoNE 2. L a t r a sformazione P di Poincaré (talvolta detta anche tra­ O — I O O

sformazione di Lorentz non omogenea ) è del tipo x' = Ax+ , do ve Ae O(3, x) e (3'4)O O I O

Z è una matrice reale 4 x x di elementi E, E', E', E». Gli elementi P possono quindiscriversi come coppie (A, 2), con identità (x, o) e legge di composizione(A„ZI) • O O O I

• (A,, :-,) = (A,A„A,:-,+ =,). e una A impropria anticrona

Relatività 838 Relatività— x o o o

allora la generica R (con detR = x) è data da R (&, y, $) = R»(gP) R«(g) Rp(&),o x o o

(3'5) dove /i>, $, 8 sono angoli generici in: o< /i/<zar, o< $<1r, o<8 <zrc. Fisica­o o — x o mente, una rotazione collega sistemi che differiscono solo per l'orientamento de­

gli assi, ma che non hanno velocità relativa. È quindi logico attendersi che la piuo o o — x generica A E SO+(3, x) sia il prodotto di una rotazione per un boost.

Chiaramente l'insieme A, x SO+ (3, x) dà tutte le improprie ortocrone; A» xx SO+(3,x) = SO-(3,1), e infine A,A,x SO+ (3, 1) dà tutte le improprie anti­ 3.2. Il calcolo tensoriale.crone. Si pensa che solamente l'insieme SO+(3, x) possa corrispondere a osser­vatori fisicamente realizzabili. Ciò non toglie che lo studio delle simmetrie dei Nella discussione precedente è stata introdotta una serie di assunzioni :

sistemi fisici rispetto alle trasformazioni A„A, abbia grandissimo interesse spe­cialmente per quanto riguarda la teoria dei campi (si vedano gli articoli «Conser­ Assunzione z. I f e nomeni fisici si svolgono nello spazio-tempo %.

vazion%nvarianza», «Forza/campo», «Particella» in questa stessa Enciclope­dia). È difficile immaginare due osservatori A e B collegati da Aa in quanto il Assunzione z. Es istono in 9K infiniti osservatori inerziali(ox) : ad ogni ox,tempo in A scorrerebbe nella direzione opposta a quello in B. In modo simile, denotato con A, corrispondono coordinate xA. Le coordinate xA di A. e xB di

se A, collegasse A a B, un guanto destro visto da A apparirebbe sinistro se vi­ un altro ox B sono collegate da una trasformazione di Poincaré

sto da B: la trasformazione A, opera quindi come la riflessione in uno specchio (3 9) A A A B xB + ~ A B r(simmetria di parità).

gia poi v = lvln ona generica velocità, li = Ivi/e, y = r/~ r /i li ' = lie' con AABgAAB ­— g, per cui du = — dxA g dxA ­­ — dxBg dxB è lo stesso per tutt i

i = x, 2, 3. Si dirà boost lungo v la Ae SO+ (3, x) data da B(v) :gli ox. Questo fatto esprime la costanza della velocità della luce, Il principiodi relatività richiede poi che :

YV Assunzione 3. Tu t te le leggi della fisica si scrivono nello stesso modo per

x+(n')'(Y x) " " ( Y x) " " (Y x) tutti gli ox. Il calcolo tensoriale è stato sviluppato per realizzare il principio di

(3. x 6) B «~ ­­ relatività e generalizza il calcolo vettoriale usato nella geometria e nella fisica

YP n n h' ' ) ' + (" ) ( Y ' ) " " (Y ' ) ln R .

Assunzione y. Le g randezze fisiche in un generico ox(ad esempio A) ap­n n (Y — x) n n (Y — x) x + (n ) (Y — x) paiono sempre raggruppate in insiemi della forma

Chiaramente, se n' = x, n = n = o, si ritrova la (3.8), e se n' = n = o, n = x (3.zo) TA ;­ , (xA)(oppure n' =na= o , ns = x ) le (3.9). È facile verificare che Be SO+(3, x) e chele B(v) non formano un gruppo. dove ixx ix~, vi v«sono indici sottoposti alle convenzioni x ), z), 3) anticipa­

te nel $ 3.1. Piu specificamente, T è il simbolo e tutta l'espressione(3.zo) èSi devono considerare come Ae SO+ (3, x) le cosiddette «rotazioni», carat­ l'oggetto di cui in x ) del ( 3.1.terizzate da x' =x , o ssia A p= x A p = A '=o . In tal caso (cfr. (x.5), (1.6)),

(3 xp) x" = g A' x . Assunzione 5. Tr a generici ox A e B si ha la relazione:»= x (3.ZX) TA v v (x A ) AA B , a c A A B , rgpABA, tri'- ' ABA, v TB,7fi-.ar/(XB)

Denotando con R la sottomatrice di A con elementi A'>, i, k = x, z, 3, si vede che(3.xo) implica R R = x (matrice identità 3 x 3), ossia R è una matrice ortogo­ dove x1 e xB sono collegate dalla (3.x9).nale in tre dimensioni, Queste matrici formano il gruppo O (3) e dipendono da Osservazione x: Si ha:

tre angoli (secondo Eulero ) che si possono introdurre nel modo seguente. Siano òx~A s òxBAAB, gt ABA vòx" òx

c os rp sin /i / o cos) o sin)(3.18) Rp(eli ) = — sin /i/ c o s /i / o R (0) = o x o DEFINIzIONE 3. Se TA~'i,>(xA) è dato in tutti gli ox e soddisfa alle (3.zx), si

dirà che esso è un tensore p volte controvariante e q volte covariante, o, breve­o x — sin) o c os$ mente, di tipo (paq).

Relatività 84o 84i Relatività

Osservazione z: Nella definizione 4 è stato abbreviato in (p.) l'insieme cioè il prodotto scalare di T" e S,. Si noti che non si può formare direttamentep,n iiz, . .., lI„e in (v) l'insieme v„vz, ..., vq. il prodotto scalare di due vettori dello stesso tipo.

DEFINIzloNE 4. Un tensore con un solo indice covariante(controvariante) di­ Per quanto detto, applicando successivamente le regole z e 3, la quantità

cesi vettore covariante (controvariante). g,>Ta = T„d i t ipo (o, I ), è costruita da Ta che è di tipo (I,o ). Il tensore g,<>DEFINIzioNE 5. Un tensore senza indici dicesi scalare. Se TI è uno scalare, al­ serve dunque per abbassare gli indici e cambiare il tipo di tensore. L'operazione

lora T~(x„) = TI>(xt>). può ripetersi su tutti gli indici separatamente in un tensore qualsiasi. Inversa­mente, si ha g""T„= T<; per cui ci si riconduce al caso precedente. Invece l'ef­

Osservazione 3 : Risulta chiaro che Tz~'<,> risulta assegnato tramite la (3.2I) fetto di 8<" è banale: 8~ETs= T>', 8,"T„= T,.in tutti gli oI, se lo è in uno qualunque di essi. Osservazione 6: Secondo quanto visto in quest'ultimo esempio, valgono le

Osservazione 4: Se T<<>' ha componenti nulle per un oI, le ha nulle per un formule tensoriali : — du' = dx' dx„= dx" dxa g„a ­— dx„dxs g"S.qualunque altro oI. Si d ice che T<',">' ­— o è un tensore nullo. Eccone alcuni Osservazione 7: Se T„S, sono dello stesso tipo, è possibile definire primaesempi. T<"=g<"'T„e po i T " S „ =g<" T,S„come prodotto scalare.

Dalla relazione (3. Io ), riscritta nella formags s Az>, Ai>>z, ­— g... risulta Le regole I-3 varranno immutate anche nella relatività generale, mentre in­che gz s <> (xz) =ga <> è un tensore, detto tensore metrico, due volte covariante. vece la regola seguente, che coinvolge differenziazioni, avrà necessità di alcuneSi noti che' <>,a,(xz) è indiPendente da A come conseguenza della definizione modifiche che risulteranno nella creazione del calcolo differenziale assoluto.di A e O (3, I). Si ha inoltre Al momento, ci si limiterà alla formulazione:

ò(3.22) dx~ ~= A~~i> dxE REGOLA 4. Se T~s-;~>(X) è un tenSOre, T~>-;~s' (X) = T~'-;~>(X) è an­

che un tensore. X q+l

per cui dxz<' (ma non x><") è un vettore controvariante (tipo (I,o)).Il simbolo di Kronecker 8," = I se p.= v, =o se p.~v, fornisce un altro Osservazione 8; Nella regola 4, l'operatore ò /òx' si comporta come un vet­

esempio. Sia infatti 8>~, (xz) = 8~; dalla (3.2I ) risulta: 8>~, (xI>)= 8~, per qua­ tore covariante, che verrà scritto ò,. In fatt i, agendo su uno scalare T, si ha:lunque altro B. T, = ò,T, per cui T„r appresenta le componenti del gradiente di T. Ma dT,

Come ulteriore esempio è facile provare che g<q»q(xz) =g<'><"q è un tensore di che è uno scalare, è dato da dT= dx' ò,T, che esprime dT come il prodottotipo (z, o). In quanto segue, se non sussistono ambiguità, si lascerà cadere l'in­ scalare del controvariante dx' e del covariante òT /òx'.dicazione dell'oI dal simbolo del tensore come pure l'indicazione esplicita della REGoI.A g. Se T «p>' è un tensore, anche T<p",> è un tensore, dove (Pp,),variabile xz. La definizione di tensore è utile anche in quanto esistono regole per (P'v) sono permutazioni qualsiasi degli insiemi (iI ) = p,„ . .., li~; (v) = v„ . .., v .formare tensori a partire da altri tensori. Le regole sono :

Per esempio: se T»» è un tensore, anche T»>'< lo è; tuttavia, se T<' è unREGQLA I. Se T<'~>' e Sg>' sono tensori de l lo s tesso tipo, anche R~~>' ­­ tensore, allora T» non lo è piu.

= c<T<'<>'+(S<<'>' è un tensore dello stesso tipo, dove p<, p sono degli scalari; in Osservazione q: Se si ha un tensore T>»q, facendo uso delle regole I e 5termini piu espliciti, se <zT>»;; >"q',,+)$>,­ „d e nota in A la co mponente si vede che anche T»»+ T » » so no tensori. Se T»» — T»» =o , s i d ice cheR><'>- <'> in ogni altro oI s i avrà R@s's's univocamente determinato dallaVq „.V q> T"<» è simmetrico, mentre se T»» = — T»», s i d ice emisimmetrico. Queste

(3.z i ) e uguale a <><TP<>'s'a + )Sz s'><> . proprietà vanno verificate per un solo oI, risultando poi valide in generale.

REGQLA z. Se T<'~>', S<~>" ,sono due tensori qualsiasi, e (p.)= (p.<,..., ii>), Per esempio : sia a„„, , u n t ensore(generalmente noto come tensore di Le­

(iI ) = (P~pi...l><<) (v) = (v,...vq), (v)' = (vq+,...v,), T<~>'$<~>",, è un tensore di vi-Civita ) definito in A dalle seguenti condizioni : I) sp,z, = I ; I I ) s, „, , è ant i­tipo (t,s). Si tralascia la semplice dimostrazione. Ad esempio, se T", S, sono simmetrico nello scambio di due indici qualsiasi. s è completamente definito

vettori, allora R<'= T>'S, è un tensore di tipo (I, I ). dalle I) e II ) ; inoltre esso rimane definito dalle I.) e II ) in tutti i sistemi B per iREGQLA 3. Se T»-; q' è un tensore di tipo (p, <i), allora TF~'-.~s' è un tensore quali detA>I> ­— I. In generale si ha invece Fg pizs = (detAgI>) sI> pizp come Può

di tipo (p — i,q — I). essere facilmente verificato.Il principio di relatività può essere ora formulato attraverso la seguente

Osservazione g : Qui è implicita, secondo le convenzioni adottate, una som­matoria sull'indice muto P. Una espressione del tipo Ts>"s', >'>„non rappresenta Assunzione á. Tu t te le leggi fisiche si esprimono mediante la nullità di ten­un tensore, ed è erronea, o priva di senso, o entrambe le cose insieme. Eccone sori costruiti dalle grandezze fisiche usando le regole i-5 del calcolo tensoriale.alcuni esempi. Cosi facendo, secondo l'osservazione 4, tutte le leggi vengono scritte esatta­

Sia R<'= T<'S„; allora T>Ss è un tensore di tipo (o,o), ossia uno scalare, mente nello stesso modo per tutti gli oI. Dovrebbe essere evidente che anche l'u­

Relatività 84z Relatività

guaglianza di tensori dello stesso tipo rientra nell'assunzione 6, in quanto essa Ma du~ è invariante e cosi pure ~ p~ ( i. Si supponga che P proceda di motoimplica la nullità della differenza di detti tensori, la quale, a norma della regola uniforme. Ponendosi nel sistema a riposo di P, si ottiene dv­= ( i /c) du= dt, peri, è ancora un tensore dello stesso tipo. cui A. misura lo scorrere del tempo nel sistema di P, detto anche tempo proprio.

Sorge quindi i l p roblema d' identificare i t ensori che rappresentano le Ne segue anche che de = dt p r — /p = da/e pe gn i co po i oto con e lod t tgrandezze fisiche. Sarà di un certo aiuto i l considerare la formula — dut= uniforme v = Pc, e che non occorre dunque porsi nel sistema di P per calcolarlo.=g„s dx" dxS = (dx )' — (dx')' — (dx )' — (dx'), come l'analogo in 9R della di­ Per corpi non sottoposti ad accelerazioni troppo intense, si può assumere comestanza euclidea in R : ds = dx +dy + dz , con la sola, ma importante, differen­ tempo proprio 6T decorso fra due eventi Ei, Et la quantitàza di segno davanti ai differenziali. Sotto questo punto di vista, le Ae O (3, r)sono l'analogo in% delle rotazioni Rc O (3) in R . La metrica du in9K è dunque /4.6) ftr =dt z/r — /l'il punto di partenza per uno studio geometrico in %, analogo alla geometriasolida in Ra, in cui le velocità v in B (v) svolgono il ruolo di angoli iperbolici. che è sempre minore della differenza t,— t, fra i tempi di E„Ea per via del fat­

to e >é r ­ /l nr che deri a dalla dilatazione dei tempi.Dato un evento 0e9K, di coordinate ad esempio x< ­— o, tutti gli eventi di

Dinamica relativistica ed equazioni di Maxwell. 9K possono essere classificati nel modo seguente in cinque sottoinsiemi :

4.t. Tempo proprio. i) 91I+e, il cono futuro di 0. È costituito dagli eventi raggiungibili da un se­gnale partito da 0 e v iaggiante con velocità v, dove ~v~ (c; per essi:

Nella relatività di Einstein il moto di una particella P viene ancora descritto x >o> — du =g x x ' < o .assegnando la posizione di P, x'(t), in funzione del tempo. Tuttavia la velocità z)%@, il cono passato d i 0: xe<o, du'>o ;

dx 3) 9K/t>, il Presente di 0 : Sao ­— BH.— (9Ko U 9Ro) ;(4') 4) à' ( , i l cono luce futuro di 0: xf'>o, dut = o;

dt 5) à' o, il cono luce passato di 0: x <o, du = o.non ha alcun riscontro in una grandezza tensoriale. Infatti la legge di trasforma­zione delle velocità non è altro che il teorema di addizione della velocità v con Nel piano x , x ' , i l cono ò9K+oUàgKo si riduce alle bisettrici degli assi:

la velocità relativa dei sistemi A e B (z.z3). Questa legge risulta altamente non­x = +x'. Gli eventi in 9N<+(9Ro) sono nel futuro (passato) di 0 per qualunquè

lineare. Inoltre dt è la componente dx% di un vettore e il rapporto tra compo­ oi. Quelli in Sao invece possono essere visti nel passato o nel futuro di 0 a se­

nenti diverse di un vettore non rientra nelle regole di calcolo tensoriale esposte conda dell'oi. Se A e9K<, si dice che A, 0 sono separati da un intervallo di tipo

nel ( 3. Per queste ragioni si usa invece la quadrivelocità tempo, se A è9Ko di tipo spazio, se A e à9R~e di tipo nullo o luce.

dxp.(4.z) tt = c­

du 4.z. Energia e impulso.

dove Occorre ora giungere a una definizione soddisfacente di energia E e di quan­(4.3) — du =g , dxf' dx' . tità di moto p di un punto materiale libero P. Nella relatività galileiana

h facil co tm l lare che, poiché da=ed> ~r — /l', (4.p) p = mv E = mv'/z = T,C

(4 4) uff = udove m è la massa di P e T l'energia cinetica. Le stesse obiezioni già discusse

n r — )' ~r — /tr per v all'inizio del ) 4. i, valgono per p ed E, che non paiono dunque rive­Inoltre stire ovvie proprietà tensoriali nel caso einsteiniano. Per esse si prospetta dun­

(4 5) g „u f 'u' = — ct . que una modificazione anche e soprattutto in vista del fatto che le p, E sonoquantità conservate per un sistema isolato e sono centrali nella formulazione

In tutte queste formule s'intende ~Pi < r, altrimenti esse perderebbero di signi­ hamiltoniana delle equazioni del moto. Per queste ragioni il loro ruolo relativi­ficato. Questa condizione non dipende dal sistema di riferimento. Essa implica stico va discusso in modo esauriente.infatti du~>o, dato che Per definire in modo corretto p, E, occorre rifarsi alla loro definizione in

dx tdu = (dx )' — idxi = d t c ­ ­ = dt (r — P )c base al formalismo canonico [Goldstein I959]. Si assumerà quindi l'esistenza

dt di una lagrangiana X (x,dx/dt) tale che il principio di minima azione

Relatività 844 84g Relatività2

(4.8) S X ( x ,v ) dt = o (t. ra) H = =~ p'c'+ m'c' = E (p) p(mc mI)

1 r — l!' r — (ptra due eventi I, z, determini le equazioni del moto

che sembra a prima vista molto diversa dalla (4.p). Tuttavia E è determinatasolo a meno di una costante, e si vede infatti che H~ p ~= mc2, per cui l'energiacinetica è

mcSeguendo il procedimento solito, si possono introdurre il momento (4 13) T = — m '= E(p) m— s

r — ()'az

(4 1o) PI=ò,s

Sviluppando (4.I3 ) in serie di potenze di p si trova infatti

mv 3 m2)e la hamiltoniana T = ­ +­ +",z 8 c'(4.11) H = P'v' — 2.

il cui termine dominante è in accordo con (4.p).Nel caso di una particella libera si ammetterà che 2 sia indipendente da x e T definita tramite la (4.13) non è di grande utilità; piuttosto, è facile vedereche sia invariante almeno rispetto alle rotazioni ; pertanto 2 = f(v 2), e dunque : che p'=mu', H = T+mc = mcu . Ponendo allora p = mu = H/c, risulta cheps= zf'v', H = z f' (pfs) — f. Si richiederà inoltre che l'azione tra gli eventi I, z, p" forma un quadrivettore parallelo a u". Inoltre — g,>p"p> = m2c2 ossia

non dipenda dall'oI ; in tal modo pure le equazioni del moto dedotte dalle (4.8) (4.14) (p')' — lpl'= ' ' p ' = p p ' d ­ mnon dipenderanno dalla scelta dell'oI e sarà stato realizzato il principio di rela­tività. Nella meccanica newtoniana si ha la famosa relazione

Dunque, l'azione S = f', f(u') dt non deve dipendere dall'oI; si può anche (4.15) F = ma = dp/dtscrivere

S = 'd/u f '" ' tra forza ed accelerazione. Dalla (4.15), moltiplicando per v, si ottiene F.v =

c ~r — (p = v (dp/dt) ; il termine a sinistra è il lavoro per unità di tempo delle forze cheagiscono su P e de ve uguagliare il cambiamento di energia cinetica, cioè

dove, per q anto detto, da è invariante. Ne segue che f(v )/c V r — () deve essere dT/dt = v (dp/dt), che è naturalmente in accordo con la (4.p). Ma è in accor­pure invariante. Si può poi sempre portare P a riposo in un punto dato della do anche con la definizione relativistica. Infatti, ponendo p = (T+mc )/c, sitraiettoria, ottenendo v = o, per cui ottiene c(dp"/dt) '(dp(

/dt=) e moltiplica do per T­= r /hr — (p: "(dp /dh)­

f(~') f(o)— us(dp'/dt) =o; dividendo ora per m: u (du /dt) — u'(du'/dt) = o, ossia

~r — (p c I d I d— — [(u')' — (u)'] = — ­ c' ­= o,z dt z dtNe segue

S = da = dttfr — lh'f(o),f(o) che risulta verificata identicamente.O er zi : T ai it si c tin a i p = v, dov = o/Vr — (P

1 1 è la massa in movimento, distinta dalla massa a riposo m~. Quando P ~ I, la mas­da cui sa m tende a infinito e cosi pure l'inerzia del corpo P. Risulta dunque sempre

f(o) o( f(o) piu difficile accelerare corpi quando la loro velòcità si avvicina a c e l ' incre­f("*) f(o)~ >='

r — ()' mento d'inerzia è tale da vanificare ogni tentativo di superare c.Osservazione z: La relazione p"p, = — m'c2 per una particella libera P viene

Ma per piccole velocità, la nuova definizione deve coincidere con quella gali­ anche chiamata gergalmente il mass-shell per P.leiana; pertanto, se jp~ << I, Osservazione 3: Il fotone o quanto di luce richiede una trattazione separata

f(o) ; in quanto per esso p = I e quindi la p" = mu" non si applica. Se tuttavia inp'- — — vs ~ m1)' f (o) = — mc'. p' = mo(/~ r — (t s'i maginano (t r e m o in od tai da ante p'

c2finito, si arriva al fotone come caso limite ; ricordando la (4. 14), al limite si ha

Si ricava allorap = ~p~. La velocità v del fotone, dato che ~v~= c, non serve che a specificare la

Relatività 846 Relatività

direzione di p ma non è legata a ~p~. La relazione p = jp~ e la E = c~p~ che ne se­ La (4.x9) significa ben di piu della solita conservazione galileiana. Infattigue sono anche deducibili dalla relazione di De Broglie la si può riscrivere nella forma

h (4»)(4.x6) p = ­energia cinetica apparsa =AE= QT> — /Ti = Q mi — gm>)c =

f i i f

e dalla relazione di Planck= AMcz = massa sparita x cz.

(4.x7) E = hv AMcz ha la dimensione di un'energia e viene chiamato l'equivalente energeticodi AM Un grammo ha come equivalente circa 9 xo' joule, ovvero circa 2,5 xo

dove X e v sono la lunghezza d'onda e la frequenza dell'onda associata al fotone ; Kwh, una quantità enorme di energia. Prendendo letteralmente la (4 zo), lainfatti vX = c. sparizione AlVI di materia corrisponde all'aumento di energia AE=A M c z.

La (4.zo) non trova posto nella meccanica galileiana poiché nella fisica e4.3. Equivalenza massa-energia. nella chimica prerelativistiche si ha sempre assoluta conservazione della massa.

Nelle reazioni chimiche ordinarie non si ha mai distruzione o creazione di par­Fintantoché si tratta con una particella singola o con processi dove non ven­ ticelle massive, ma solamente l'aggregarsi o il rompersi di molecole piu o meno

gono create o distrutte particelle e non esistono processi eso- o endotermici complesse e l'emissione di fotoni. Le variazioni sono di fatto empiricamente nul­(cioè non esistono processi inelastici), la somma delle energie cinetiche iniziali le entro gli errori sperimentali che difficilmente scendono (o comunque scende­uguaglia la somma di quelle finali, e cosi pure la somma delle p iniziali è uguale vano agli esordi della relatività ) al di sotto di una parte in xo . Ora, se tutta l'e­alla somma di quelle finali, dato che queste due somme differiscono solo per il nergia chimica provenisse da AMcz, sarebbe facile convincersi che i AM corri­contributo mcz di ciascuna particella che, per quanto detto, non varia. Se invece spondenti alle piu violente reazioni chimiche conosciute sono troppo piccolientrano in gioco processi inelastici, oppure creazione o distruzione di particelle, per essere misurati. Ad esempio, se xz grammi di carbonio reagiscono con 32occorre procedere con estrema cautela, in quanto i risultati galileiani non ser­ grammi di ossigeno per formare 44 grammi di CO„si sviluppano 94,03 xo ca­vono piu da guida sicura. lorie, ossia circa 4. xo joule. L'equivalente in massa è dato da AM 4 xo g,

Della fisica galileiana, o meglio della meccanica di Newton, verrà tuttavia per cui AM/M xo , ben al di sotto delle bilance piu sensibili. Per questa ra­mantenuto il principio di azione e reazione, che appare verificato sperimental­ gione, anche assumendo che l'energia chimica altro non sia che AMcz e quindimente con grande accuratezza. Per due corpi P, e P, con momenti p„pz, le equa­ assumendo sparizione di massa, non si entra in conflitto con l'evidenza derivatazioni del moto sono dalle reazioni chiiniche, che hanno rappresentato la quasi totalità delle reazioni

dp, dp, osservabili all'avvento della relatività.— = Fiz — = F„Ch dt La scoperta delle reazioni nucleari ha cambiato completamente la situazione.

dove F,z(Fzx) è la forza con cui il corpo Pz(P,) agisce su P,(Pz). Secondo ilNella fissione dell'uranio z35 sparisce una massa corrispondente a circa un mil­

principio di azione e reazione si ha sempre F,z+Fz, = o, qualunque sia la naturalesimo del totale; nelle complesse catene di reazioni termonucleari che avven­

delle forze; pertanto d(p,+ pz)/dt = o, ossia p,+pz è una costante del moto. gono nell'interno delle stelle, viene convertito idrogeno in elio. Il peso atomi­

Generalizzando questo concetto, si può assumere che in una collisione di n co dell'idrogeno è x,oo8, per cui quattro protoni hanno un peso atomico to­

corpi iniziali, etichettati dall'indice i, dalla quale emergono m corpi etichettati tale 4,032, mentre l'elio pesa solo 4,oo4. Fondendo quattro protoni in una par­

dall'indice f, valga la legge di conservazione: ticella, si perde quindi AM /IVI= o,oz8/4 = o,7 per cento, che si ritrova in ener­gia. Si giunge a casi estremi considerando l'annichilazione di materia o anti­

(4.x8) Ap =pp; — pp< ­— o k = x, z, 3. materia. Ad esempio, un antiprotone P può annichilare un protone P produ­i f cendo solamente fotoni : P + P = ny. Nello stato finale tutto è energia cinetica e

Assumendo che la (4.x8) sia valida per tutti gli oi, si deve avere anche Ap = o quindi energia utilizzabile ; in questo caso, il ioo per cento della massa iniziale èper tutti gli oi; infatti, usando per i singoli corpi trasformazioni di Lorentz del sparita. Purtroppo, per fabbricare un antiprotone con le inefficientissime mac­tipo (z.x4) e imponendo che sia Ap' = Ap" = o, si ottiene Ap = Ap' = o. Va chine acceleratrici moderne si spende molta piu energia (per un fattore di mi­quindi assunta la validità di liardi) di quella che si spera di ricavare dalla sua annichilazione.

(4 x9) ZP: = EPASi assumerà quindi la (4. x9) come forma corretta della conservazione dell'e­

x fnergia, che è possibile porre in forma tensoriale

per qualunque processo isolato, nel quale, cioè, non avviene scambio d'impul­ (4 zx) Z>-.= EPAso ed energia con un campo esterno. x j

Relatività 849 Relatività

valida per ogni or. Si riguarderanno tutte le leggi prerelativistiche di conserva­ diversa. La sorgente emette infatti una cresta d'onda ogni intervallo T (pe­zione della massa e il concetto di energia chimica come un' approssimazione riodo) muovendosi verso l'osservatore con velocità v. Sia V la velocità del suono.della (4.2r ), valida quando AM /M(< x. Durante il tempo T la sorgente si sposta in avanti di Tv, per cui, verso l'os­

servatore, la distanza fra due creste successive è TV — Tv = À', dove À' è la lun­

4.4. Aberrazione della luce ed effetto Doppler. ghezza d'onda percepita. Dunque: À'=À (x — v/V) = À(x — P). Nel caso della1 ce ii periodo della o gente ppa e diiat to in T'= T /~ r — P', pe cni h '=

Sia p l'impulso proveniente da una stella. Per semplicità si supporrà p = = T'(c — v) = À~ x — P/~x+P, come risulta dalla (4.24). Il cambiamento è ne­= — p'cos&, p'= — p'sin&, ps=o in un certo riferimento. Ci si ponga ora in cessario per il principio di relatività. Scambiando À, Ù, &, p con À', v,' 8' ,— p,un ox in moto rispetto al precedente lungo l'asse x con velocità v = Pc. Si avrà tutte le formule proposte rimangono invariate per la simmetria fra i due ox.

p — Pp' x+) cos& p ' — P p ' p c o s & + Nel caso delle onde acustiche, l rox fermo rispetto all'aria è privilegiato e nonpr( p

O c'è simmetria.nr — y v r — ()' vr r — (p

p" = pa = — p~ sin 8,4.t). Effetto Fizeau.

per cuiprx cos &+ p In un mezzo con indice di rifrazione n la luce si propaga con velocità c /n.

(4») cos&' = — ­

,= Supponendo di porre il mezzo in moto con velocità v, si otterrà la velocità Vp'~ r+) cos8' della luce rispetto al laboratorio componendo queste due velocità secondo la

cioè la luce della stella appare provenire da una direzione caratterizzata da 8', (2.23). Il risultato èSe )< o, si ha cos&'< cos & e quindi 8'> >&. Per )>o e prossimoa x, cos&' C

è prossimo a x e &' è prossimo a o ; questo significa che, aumentando la velocità v (4.2()) V = (c/n+v)/(x+v/cn) -+v(x — x/n ),n

nella direzione positiva di x, le immagini delle stelle paiono addensarsi lungola stessa direzione. Il fenomeno ha una certa somiglianza con quello osservato che differisce da quello non relativistico dato da V=c /n+v. Ciò veniva inter­durante una fitta pioggia; per chi corre, le gocce di pioggia sembrano venire pretato come un parziale trascinamento dell'etere da parte del mezzo in movi­

incontro e provenire dalla direzione anteriore. mento secondo schemi piu o meno artificiosi. In realtà si trattava di una in­

Durante una rivoluzione intorno al Sole, la Terra cambia continuamente corretta applicazione del teorema di composizione delle velocità. Se n dipende

velocità, per cui le immagini delle stelle sembrano provenire da direzioni di­ dalla lunghezza d'onda À, l'effetto Doppler cambia À secondo quanto detto pre­

verse durante l'anno e descrivono delle ellissi apparenti sulla volta celeste. cedentemente e questo introduce un termine correttivo nella (4.25), già pre.Le stesse formule (4.22) si prestano per valutare l'effetto Doppler. Questo detto da Lorentz ed osservato da Zeeman. Il risultato è

consiste nel cambiamento della frequenza di un'onda elettromagnetica quando c / x À dnala sorgente è in moto rispetto all'osservatore. Si ha quindi, tenendo conto che

p = E/c = hv/c, secondo quanto visto(4.26) V = ­ +v

(x — — — — ­f .n l , n n~ÀJ

r + (i cos &(d a3) 4.6. Elettrodinamica classica.

Da questa relazione si vede che, se cos& = x, e cioè se si va incontro alla sor­ Verranno ora richiamati alcune definizioni e risultati standard dell'elettro­

gente, v' = ÙV x + p/~r — p, ossia v' >Ù se p < o ; se ci si allontana : v' < Ù,$ > o. dinamica classica nel vuoto. Secondo Maxwell il campo elettromagnetico (cEM)Ma anche se cos&' = o, si ha cos& = — (i da (daa) e v' = v ~ (t ' ( v, p e è descritto da due vettori, E (campo elettrico) e B (campo magnetico), che obbedi­cui l'effetto persiste anche se la velocità è normale alla direzione di arrivo dei scono, secondo quanto già detto nel $ x, alle seguenti equazioni (scritte in unitàfotoni. In generale gaussiane) :

~r — ()s (4.2p.x) div B= o(4.24) Ù = U.

r òB(4.27.2) rotE = — — ­

L'effetto è presente anche nelle onde sonore. Il fischio di una locomotiva in • òrarrivo è piu acuto di quello di una in allontanamento. La formula è tuttavia dette omogenee, e alle

Relatività 85o 851 Relatività

(4 27 3) divE = 4<P zione. S'introduca all'uopo la funzione 8'4' (x — E) in 9K, dove x,Fc9K, e siar òE data da F' (~) l'evoluzione di Q in 9K. Considerando gli integrali

(4.z7 4) « t B =­ +c ò t c dc"

( 4.33) j " ( x )= cQ 8' '(x — F (z)) — d1' = cQ 8' >(x — F (~)) dE„",dette equazioni di Maxwell non omogenee. In queste ultime appaiono le fun­zioni p(x) (densità di carica elettrica) e j (densità di corrente elettrica ) che de­ e supponendo Q in moto uniforme (F~> rc, E' =r>'z +1ii), se si usa ripetuta­scrivono la distribuzione delle cariche nello spazio. Prima di discutere le pro­ mente la (4.29) nella sola. variabile r si ottieneprietà di E, B, è piu conveniente esaminare p e j.

Per mostrare in qual modo p, j sono legate al moto delle cariche, si pensa auna carica come a un corpo quasi puntiforme, dotato, oltreché di massa m (di

j ' ( x ) = cQ 8'"(x — v — v))8(x — cv)cd =cQ8' '(x — — x — q),r C

cui ci si disinteresserà fino al momento di occuparsi delle equazioni del moto ),anche di un attributo supplementare: la carica Q.

per cui js (x)/c coincide con p(x ). Inoltre j'(x) concorda con la definizione di j:

Sia data da F" (~) (oppure da F (t) se si sceglie t­= 1.) la traiettoria l' dellacarica nello spazio-tempo in funzione di un parametro monotòno lungo la tra­ j ' (x) = cQ 8<2>(x — vr — »i) 8(xo — cz) t>id< = Q8<s>(x — g(xo))v

riettoria, e si supponga per semplicità che in quiete la carica abbia forma di unasferetta di raggio R. La densità di carica nell'interno sarà Q/Q, dove Q = 4>rA /3

L'equazione di continuità segue dalla (4.33) in quantoè il volume della sferetta. Al limite R~o, la densità sarà data da una funzione ò p . . ò j­ /' d T-+ ~quasi dappertutto nulla, ma che diventa infinita sulla carica. Si indicherà conQ8"'(x) una tale funzione se la carica si trova nell'origine, dove

— + divj = — = — cQJ — 8' ' (x — F (r)) dr = — cQ 8' ' (x — F (r)) = o,r d'rT M co

(4.z8) ( 8' >(x) d x = r.poiché, essendo ( (w) =c 1, la funzione 8(x — cz) contenuta in 8' ' è certamentenulla al limite. Si adotterà dunque la (4.33) come definizione di corrente ancheJRs quando il moto non è uniforme. Dall'analisi precedente è quasi ovvio constatare

La 8' '(x) è stata introdotta per la prima volta da Dirac [193o]. Essa non è in che j" (x) è un vettore, e che l'equazione di continuitàrealtà una funzione, bensi appartiene alla classe piu ampia delle distribuzioni.Se la carica si trova nel punto g, si scriverà p (x) = Q8 2 (x — g). (4 34) — = o

La funzione di Dirac 8 può definirsi su di uno spazio R" qualunque tramitel'identità ha significato invariante.

(4 z9) f (x) = 8'"'(x ­<)f(<) d"< Occorre ora legare questo risultato alla covarianza delle equazioni di Max­RB well; si potrebbe dare il risultato, e poi verificarlo : invece è piu istruttivo segui­

re un procedimento deduttivo.che generalizza la (4.z8). Se 8(x) è la funzione di Dirac in una dimensione,si ha

Anzitutto si constata che, se divB = o, deve esistere almeno un vettore A(vettore potenziale) tale che B = rotA, ed uno scalare il> tale che

(4.3o) 8'"'(x — F,) =Q 8(x' — F')i =i r òA

(4 35) E = — — — — grad il>.Accanto alla p(x), s'introdurrà, per una carica in moto con velocità v, i l

vettore corrente A e ~l> non sono determinati univocamente da (4.z7.1) e (4.z7.z) ; questa libertà(4 3') j (x) = Qv8'"(x — g(t)) p ( x ) = Q8'"(x — g(t)) addizionale può essere impiegata per imporre che sia soddisfatta la condizione

di Lorentzcon g(t) = vt+vi, >>i costante. Si ha perciò l'equazione di continuità

i òil>òp (4 3<) — — +divA= o.

(4 3z) — + divj = o, c òt

Introducendo l'operatore d'ondaavendo usato la formula di derivazione composta e dE' /dt =2 >' .

Se la carica Q è in moto non uniforme, è possibile generalizzare le (4.3r) e ò2

(4.3z) in modo tale da evidenziare anche l'invarianza relativistica della defini­ (4.37) CI=g„»

Relatività 85z 853 Relatività

che è relativisticamente invariante, e la notazione d' , con A = A IE, dalle prece­denti relazioni si vede che (4.z7.3) e (4.z7.4) diventano La teoria della relatività generale: introduzione geometrica.

(4.38) O A" = — — j" ; 5.r. Il principio di equivalenza debole.

pertanto A" è un quadrivettore. La teoria del campo gravitazionale poggia sul principio di equivalenza traInoltre, introducendo il tensore del campo elettromagnetico gravitazione e inerzia. Molti degli effetti fisici della teoria della relatività gene­

rale possono già essere dimostrati o intuiti partendo da questo principio. Low> w.„

(4.39) Fas = p" ­­ — Fa sviluppo completo e le ultime conseguenze del principio possono dedursi sola­mente attraverso il calcolo tensoriale.

di componenti Fu già osservato da Galileo che i corpi cadono con un'accelerazione che non

o E' E ' E' dipende dalla loro massa. L'osservazione di Galileo fu ampliata e controllatacon crescente grado di precisione da Huygens, Newton, Bessel, fino al barone

— E' o Bs — B' Eotvos che pose stringenti l imit i sperimentali alle deviazioni dal pr incipio

(44o) [r889]. Nella teoria non relativistica della gravitazione newtoniana è possibile— E' — B8 o B ' formalizzare facilmente il cosiddetto principio di equivalenza debole. Già è no­

to che tra l'accelerazione a di un corpo e la forza F che agisce su di esso vale la— E8 B' — B' o relazione F = m,a, dove la massa inerziale m; è un parametro caratteristico del

corpo. In particolare, se la forza è di origine gravitazionale, è noto che tra il corposi vede che le (4.z7.r) e (4.27.2) si scrivono e, ad esemPio, la Terra, la forza è F = GmeM~/r', dove mp e M~ sono altri Pa­

(4.4r) e""» "a = oòF„> rametri, detti masse gravitazionali del corpo e della Terra rispettivamente. Ne

Axf segue che l'accelerazione di gravità g deve valere

e le (4.z7.3) e (4.27.4) m,M,

òF tts j x(44z) òx> c L'esperienza di Galileo e altri dice che, con grande accuratezza,

Invece dei due vettori E, B in R8, le equazioni di Maxwell vengono cosi espresse (5.r) mg ™'

in forma covariante per mezzo di un solo tensore emisimmetrico. cosicché g dipende solamente dai parametri relativi alla Terra e non dal corpo.Quanto alle forze agenti sulla carica Q in moto, secondo Lorentz si ha La (5.r) è nota come principio di equivalenza debole e verrà qui assunta come

punto di partenza delle speculazioni che seguono.(443) F = — = Q E+ Einstein mostrò in una famosa esperienza concettuale che, valendo questo

principio, è impossibile in generale mettere in evidenza il campo gravitazionaleche, moitipiicata pe r /tr r — E.', assume ia forma covariaute esterno stando entro un ascensore in caduta libera. Infatti tutti i corpi racchiusi

~P" P. entro la cabina cadrebbero esattamente con la stessa accelerazione dell'ascenso­(4.44) — = ­ F" EE

d u c ' re, e non sarebbe possibile scoprire alcuna accelerazione relativa. Inversamente,se si accelera una cabina nello spazio esterno, lontano da ogni massa, si ottiene

dove u/c è il tempo proprio. La componente temporale della (4.44) si riduce a entro la cabina lo stesso effetto di un campo gravitazionale esterno costante,dE/dt = O(v-E), ed esprime la variazione di energia di P per unità di tempo Questa possibilità di trasformare l'accelerazione di gravità in inerzia, e viceversa,come lavoro della forza agente su g. costituisce il punto di partenza del principio di equivalenza nella sua versione

Si ha dunque una serie completa di equazioni relativisticamente invarianti forte. Esso all'inizio altro non è che un manifesto scientifico, la cui portata realeche risolvono il problema del moto di cariche e cEM accoppiati. Tuttavia una diverrà chiara solamente entro una precisa cornice matematica.discussione esauriente dovrebbe necessariamente includere anche una deriva­ Prima di formulare e discutere il principio di equivalenza, conviene quindizione lagrangiana di queste equazioni [il lettore interessato la troverà al ) 3r di anticipare alcune notazioni e una terminologia che troveranno impiegoe com­Pauli r9zr ]. pleta giustificazione in quanto segue.

ps

Relatività g5< ii55 Relatività

ferenziabilità di classe C . L' insieme di tutte le funzioni differenziabili su W5.2. Carte locali, varietà differenziabili. sarà indicato C (W).

Concetto basilare è quello di spazio topologico di Hausdorff W. DEFINIzIQNE 6. Sia W" differenziabile e A un atlante di W". Per orientazionedella carta ( ùa,4,) c A s'intenderà un ordine specifico delle variabili x, , x", asse­

DEFINIZIONE r. Uno spazio di Hausdorff W è un insieme dk elementi (punti) gnato a meno di permutazi oni pari di queste variabili. Quindi, scambiando due coor­tale che esiste una collezione Z di sot toinsiemi di W (detti aperti di W) che soddisfa: dinate, si ottiene l'orientazione opposta. Siano (%.„4,), (~ll>,hi>>) due carte in A e

I ) Una unione di aperti, anche infinita, è ancora un aperto. %,A ll> p g. In i i A@ l> esiste una corrispondenza tra x,', ..., x e x>, ..., x> che èn<~ differenziabile ed invertibile, e cioè g,>~ go, ~jaJ finito. Se g,>~)o, si dirà che2) Una intersezionefinita Q I i „ .c Z.I = l %„%> hanno la stessa orientazione, se ~ j,>~ (o, si dirà che hanno opposta orien­

3) Dati due punti qualsiasi x„x,e W, esistono in X aperti disgiunti I l „% „ tazione. Se è possibile ordinare le variabili in ciascuna carta in modo da averetali che xi~'lli. x2lt+1 x2~+2 x 14 ' i l2 . g,>)) o Va, b, si dirà che W" è orientabile.

DEFINIzIQNE 7. Una varietà V è una sottovarietà di W" (dove m(n ) se esi­Gli assiomi I ), 2) caratterizzano uno spazio topologico qualunque; l'assio­ ste un'applicazione F : V ~Wn regolare, cioè se esiste una carta( ll„4a) di W" e

ma 3) è l'assioma di separazione di Hausdorff. La collezione Z si dice topologia una (%>, Vb) di V~ tali che la matrice 3, rettangolare m x n, di elementi òy>/òxdi W. Nello spazio R" la topologia Z consiste di tutt i gl i aperti generati tra­ jmite le condizioni r ), 2), a partire dagli aperti cubici del t ipo: a" (x" (b , ha rango massimo m, ovvero esiste almeno una sottomatrice mxm, t ra l e ( )(-)x = I, ..., n. Ad esempio, l'interno della sfera /~x"j2( l è u n aper to. estraibili da J, che ha determinante non nullo. In questo caso si dice che Vhnè im­

mersa in W",DEFINIzIQNE 2. Una carta aperta locale(%l", 8) è formata da un aperto ~lie Z

e da un omeomorfismo C : %~Q, dove G è un aperto di R". Ad esempio, tutti gli iperpiani R" i n R" sono sottovarietà di R". La sferaDEFINIztoNE 3. Una struttura dif ferenzial su W di dimensione m è una colle­ n

zione A di carte, detta atlante, (1l„C,) , aeA, dove C (%„) è un aperto in RS" ' c: R" data da g (x') = I, è anche una sottovarietà di R". Una linea x' = f'(t)

h=l

tale che: è una V c:W" purché per ogni t esista i tale che dx'/dt po; in questo senso, laI ) g il = W. x = t', y = t', nel piano non è una sottovarietà, per via della singolarità cuspidale

a in t = o.2) Se a,badi, %,A%h,p g (g in s ieme vuoto), l'applicazione C»Ca' è un'ap­

plicazione differenziabile di 8,( il A I l>) su C>( il„A ll»). 5.3. Il principio di equivalenza.I n linguaggio intuitivo, la Ca assegna coordinate locali xa, ..., x~a in 1l„ e

C> assegna xi„..., xh, in l l>. In 1l,A 'ù> si può usare sia xa, ..., xa, sia x>, ..., xh,Il principio di equivalenza, nella sua forma forte, stabilisce che in ogni evento

per lo stesso punto x. La 2 ) richiede che la corrispondenza tra xa, xa> sia diffe­dello spazio-tempo è possibile scegliere una carta locale di coordinate, detta lo­

renziabile ed invertibile, cioè lo jacobiano det ja>­= ~j«J, g,>=— ò(xa, ..., xa)/ò(x>,calmente inerziale, tale che, in un intorno sufficientemente piccolo dell'evento,

..., xP), deve essere finito, non nullo. Si assumerà inoltre che tutte le applica­le leggi di natura si scrivano nello stesso modo in cui appaiono nella relatività

zioni differenziabili di cui al 2 ) siano lisce, cioè infinitamente differenziabili o,ristretta[Einstein Irll6 ].

come si dice, di classe C . Se m =o, s'intenderà per R un singolo punto. Cosa s'intenda per «stesso modo» e la grandezza di questo intorno sarà pre­cisato dal calcolo tensoriale. Dovrebbe essere evidente che per intorno dell'e­

DEFINIZIONE 4. Una varietà differenziabile W di dimensione m è uno spazio vento s'intendono gli eventi interni all'ascensore di Einstein, in cui il campo gra­di Hausdorff dotato di struttura di fferenziabile A di dimensione m. Quindi una vitazionale sia stato annullato dalla caduta libera. La portata del principio è mol­

coppia ( i l a, Ca), dove ac%, definisce un sistema locale di coordinate su W: a l to piu ampia; l'esperimento concettuale di Einstein si riferisce dapprima sola­punto xc W, essa assegna coordinate xa, ..., xa. mente a gravi in caduta libera non relativistica. Il pr incipio richiede invece

DEFINlzloNE 5. Un afunzione reale f : W~R dicesi differenziabile in xe W l'annullarsi esatto di tutti gli effetti di gravità per qualunque sistema fisico, ivise f 8 è d i f f e renziabile i C,(l l,) per xe 1I . f dicesi differenziabile se lo è in tutti incluso il campo elettromagnetico.i punti xEW. E dovrebbe essere chiaro anche che questa compensazione del campo gravi­

tazionale può essere esatta solamente in un evento (o meglio lungo una linea diCiò significa, in sostanza, che sef è differenziabile in x, essa è differenziabile eventi nello spazio-tempo ), ma non in una regione finita a quattro dimensioni

nelle xa~, x>, Va, b tali che xe ll,A "ll>. In quanto segue s'intenderà sempre dif­ nello spazio-tempo. Infatti se il campo gravitazionale non è omogeneo, non è pos­

Relatività 856 857 Relatività

sibile compensare accelerazioni diverse in diversi punti della cabina con una sola importantissime proprietà. In una varietà di Riemann, dunque, esiste una for­accelerazione globale. Rimarranno forze residue, della stessa natura di quelle che mula per il tempo proprio data in una carta generica ll, dadànno origine alle maree sulla Terra. Il principio di equivalenza è dunque unconcetto limite, valido a rigore solamente in un intorno infinitesimo di un dato (5.5) — du' =g , dxg d x v

evento. Il primo contributo allo studio di tali varietà si ebbe con la pubblicazione delSiano P, e P> due eventi vicini nello spazio-tempo. Per quanto detto, ognuno trattato Disquisitiones generales circa superficies curtias di Gauss [i8z8 ], dove fu­

di questi eventi avrà una carta (%.;, ~ii,) dove i = a,b, e tale che in P; si ha rono poste le basi della geometria differenziale. Tuttavia neppure Gauss poté

(5.z) — du' = q„, dxi" dx', certo immaginare che il suo lavoro sulle varietà bidimensionali, una volta gene­ralizzato a quattro, potesse servire a spiegare la relatività.

(seguendo la consuetudine, q, indica il tensore metrico della relatività ristretta, Il passo seguente fu compiuto appunto da Riemann con il suo famoso lavo­cioè per uno spazio senza curvatura, mentre g, sarà riservato al caso con cur­ ro Sulle ipotesi che stanno alla base della Geometria [r854], dove venne gene­vatura). Ciascuna delle carte %., è dunque inerziale in P;. L'esistenza di un ralizzato il lavoro di Gauss a piu dimensioni e fondata la geometria rieman­

campo gravitazionale fa si che il sistema localmente inerziale in P, e quello niana. Riemann fece tuttavia qualcosa di piu; egli considerò la varietà comeinerziale in Pt, siano dotati di moto relativo non uniforme. In %l A "li> la relazio­ un'entità a sé stante, contrariamente a quanto aveva fatto Gauss, il cui punto di

ne tra le coordinate x i" e x>~ non può essere lineare, le derivate òx" /òx> non sono partenza erano le superfici immerse in Ra. Riemann liberò le coordinate daldunque costanti. Questa non-linearità riflette essenzialmente la mancata com­ loro significato metrico, riducendole a una funzione etichettatrice dei punti del­

pensazione del campo gravitazionale in P quando il sistema sia esattamente iner­ la varietà: fintantoché non viene assegnato il tensore metrico g, , i n una carta,ziale in Pz, secondo quanto accennato poco prima. le coordinate x„non dànno alcuna informazione sulle distanze dei punti che

La metrica in P„ e spressa mediante le coordinate x>, appare nella forma rappresentano. Che questo punto di vista costituisse un sostanziale passo avanti,di notevole portata, è ammesso dallo stesso Einstein,

òxi' òx'(5.3) — du'=q , ' ' dx q dx q ­= g, t , dxq dxq,

Il passaggio alle coordinate generiche fece sorgere il primo problema fon­=

"òx~ò. ; damentale della geometria riemanniana: date due metriche g, ~ e gz >, è pos­

che non ha coefficienti costanti ; si ha dunque : g, > pg , . I l tentativo di estende­sibile riconoscere se esse sono legate da una trasformazione (5.y) e, quindi, serappresentano la stessa varietà? Questo problema fu risolto da Christoffel [i 86q]re la metrica g, > lontano dal punto Pt, conduce a una dipendenza di g, > dalle e Lipschitz [ i869]. Basandosi sui risultati di questi matematici, Ricci nel i887­coordinate, Se ne deduce che, in presenza del campo gravitazionale, non è possi­ i 896 sviluppò l'analisi tensoriale senza la quale la relatività non avrebbe mai co­

bile rappresentare ovunque la metrica usando la formula di Minkowsky. nosciuto lo sviluppo attuale. Levi-Civita, allievo di Ricci, approfondi ulterior­Questo conduce in modo naturale allo schema seguente: mente i concetti, introducendo il trasporto parallelo [cfr. Ricci e Levi-CivitaA) % è una varietà difFerenziabile dotata di atlante. r ipor ; Levi-Civita igi7 ]. Se lo sviluppo della fisica deve molto a questi studiosi,a) In ogni carta è data una metrica g~,, tale che in %~A lit, l'avvento della relatività generale nel sri r6 spronò l'attività dei matematici.

Un'ulteriore generalizzazione dei concetti riemanniani avvenne con il lavoroòx, "òx,

(5 4)di Cartan Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la Relativité Généra­lisée [igzg-zg]. Nessuno dei fisici, e forse neppure Einstein, comprese la por­tata del lavoro di Cartan. Questo era in parte dovuto all'uso delle forme differen­

c) In una carta generica si ha g, , g q „ pe r tanto si richiede che sia possi­ ziali in luogo del calcolo tensoriale, piu familiare ai fisici. Oltre a contributi fon­bile scegliere una carta nell'intorno di un evento dato, in cui valga l'iner­ damentali alla geometria differenziale, riconosciuti tali solo dopo molti anni, Car­zialità (5.2). tan introdusse i concetti di torsione e di connessione, e pose le basi per le mo­

derne teorie unificate.Secondo quanto sarà sviluppato in seguito, la condizione c ) è derivabile dallealtre. A) e s) contengono dunque già incorporato il principio di equivalenza.

Tornando al concetto di metrica, ci si propone di discuterne la portata conalcuni semplici esempi, nei quali si supporrà che la metrica sia definita positi­va. È evidente, per quanto detto, che le varietà a una dimensione sono tutte ri­

5.4. Varietà riemanniane: curvatura, trasporto parallelo. ducibili a R oppure a S', in quanto esiste una sola coordinata; la metrica si ri­duce quindi a du =g~ dx ; ponendo x> ­— f~gdx„ , si giunge a du = (dx>)"",

Una varietà dotata della struttura addizionale di cui in A), s), c), sarà detta dove x>eR, oppure x>c S' secondo il caso; non esiste quindi geometria intrin­varietà riemanniana, da Bernhard Riemann che per primo le defini e ne intui le seca di rilievo in una dimensione.

Relatività 858 859 Relatività

Di fatto la curvatura di una linea è un concetto relativo all' immersione di Per una sfera di raggio R, K = r /R~, risultato che segue direttamente da

questa in uno spazio piu grande. Il raggio di curvatura è definito nel modo se­ (5.6) e che suggerisce un'altra definizione di K, intrinseca e vicinissima a quellaguente. Sia u un parametro monotòno lungo una curva l ' e siano x (u), y(u) moderna. Sulla sfera vale un noto teorema di tr igonometria, secondo il quale

le funzioni parametriche di l ' ne l p iano x, y. Si ha du~=dxs+dys; quindi l 'area A di un tr iangolo sferico avente angoli interni z, P, Y, è data da A/R =

(dx/du)~+ (dy/duP= i, per cui si può porre dx /du = — sin~p, dy/du=cosq>; la = x + p+ Y — rc, da cui si ottienecurvatura p è quindi definita da p =dy /du. Infatti per una circonferenza, sex = R cos(u/R), y = R sin(u/R), si ha rg= u/R, p= i /R. È possibile definire in­ ( )

s u~ P y Y — <57 Ra

tuitivamente p alzando due normali a l' in due punti P (u,), P(ua) di l'. Sia Ayl 'angolo fra le due normali; o = lim Ap /(u,— u,). La normale a l' in P (u) de­ si noti che la (5.7) è scritta totalmente in termini di geometria intrinseca, poi­

Q)MB~ ché le distanze, gli angoli e le aree non richiedono il concetto di immersione. Ba­finisce un punto su di un cerchio S' di coordinata <p; esiste dunque un'appli­ sandosi sulla (5.7), è possibile definire K nel modo seguente.cazione l'~ S , e la curvatura è il rapporto tra archi corrispondenti in S' e in l' Si prendano tre punti P„Pa, P, molto vicini in Z e si costruiscano gli archiquando si faccia il limite indicato. di curva piu brevi (geodetiche) congiungenti detti punti a coppie in modo da

In modo del tutto analogo Gauss considerò su di una superficie generica Z formare un triangolo analogo a quello sferico; indi si definiscal'insieme dei versori normali a Z in ciascun punto. Questi, trasportati in un uni­ a,+x,+es — itco punto di applicazione O, descrivono punti di una sfera Sa di raggio r e indi­

Aviduano un'applicazione Y : Z~S~ che estende quella data per le curve. Sia oun piccolo insieme su Z e Pe o.; sia poi Y(a) l'immagine di cr su S, La quantità dove x; è l'angolo interno tra le geodetiche in P;, i = r, z, 3, e A è l 'area del

triangolo iniziale. Come esempi di geodetiche si possono ricordare le linee rette( 6) K 1 (Y())

,~™~ area(o')nel piano e i circoli massimi sulle sfere. Esistono superfici, le pseudosfere, perle quali K = cost(o e quindi o, +xe+aa( i t . I n generale, K non è costante

fu presa da Gauss come definizione di curvatura di Z in P. su Z ; essa risulta positiva in Pc Z quando Z sta tutta da una parte rispetto alLa definizione(5.6) non è intrinseca, dato che per applicarla bisogna per piano tangente a Z in P, negativa quando questo attraversa Z (P punto a sella).

forza immergere Z in Rs. Tuttavia, con un vero tour deforce, Gauss riusci a Per mezzo del calcolo tensoriale, che verrà sviluppato nel prossimo paragra­

dimostrare che K> poteva essere calcolato dalla metrica di Z dedotta nel modo fo, la (5.8) sarà opportunamente generalizzata. Si considererà infine una varianteseguente. Sia x (t,v), y(t,e), z(t, v) una parametrizzazione arbitraria di Z; la della (5.8) che introdurrà intuitivamente il concetto di trasporto parallelo. Siadistanza tra punti vicini sarà data da dx~+dy~+dzs = Edts+zFdedt+Gdv~ = P„ P „ P a un t r iangolo geodetico su Z e gli archi siano orientati come(P,P~),=g , d x " d k" , ove si ponga t = xi , v = xs, e (P,Pa), (PsP,) ; si definirà trasporto parallelo di un vettore v lungo un arco di

geodetica una famiglia di vettori v (s), dove s è un parametro lungo la geodetica,E— = an = ­ + — +­ ~v(s)~= ~v~, tali che v (s) formi, con la tangente alla geodetica, un angolo costan­

te al variare di s. Senza perdere in generalità, si parte da P„e si sceglie taledx dx dy dy d z dz angolo uguale a zero ; quindi v (s) riproduce progressivamente tutti i vettori tan­

F ­= é'n = é ' si ­ — — + — — +dt dv dt dv dt d v genti a (P,Pa). Il vettore, cosi trasportato, quando giunge in P, forma un angolo

ir — x~ con il versore tangente in P~ a (PaPa) e, trasportato lungo (P~Pa), giunge= " =

d + d + d in Ps con un angolo zrr — o,— xs rispetto al versore tangente in Pa a (PsP,).Finalmente, ritorna in P, formando con il versore tangente in P i a (P,P,) (cioè

I simboli E, F, G sono quelli usati originalmente da Gauss, che riusci ad espri­ il v di partenza) un angolo pari a 37t x i c f r ' xe=a xi x p x a = KA+o.mere K in funzione di E, F, G, e delle loro derivate prime e seconde. Pertanto da questo semplice esempio si vede che il trasporto parallelo di un vet­

Due superfici che abbiano la stessa K, possono flettersi fino a sovrapporsi tore lungo una linea chiusa dà lo stesso vettore ruotato di un ammontare pro­

esattamente. Ad esempio, sia il piano sia il cilindro hanno K = o, e si può sempre porzionale alla curvatura integrata sull'area racchiusa dal cammino. Questo con­immaginare il cilindro come un piano avvolto infinite volte. Non si può invece cetto sarà formalizzato nel trasporto parallelo di Levi-Civita.svolgere la sfera e adagiarne la superficie su di un piano ; ciò è impossibile anche Lo schema A), a), c) appare dunque come una generalizzazione degli esempiper una calotta sferica. Altr imenti detto, l 'unico parametro che regola real­ discussi finora al caso di quattro dimensioni. Occorre tuttavia precisare che il

mente la geometria di Z è l a curvatura, che non dipende dalla scelta delle lavoro originale di Riemann, e gran parte di quelli di geometria differenziale checoordinate x', x' . ne sono seguiti, si basano su una metrica definita positiva ; nella relatività invece

Relatività 86o 86z Relatività

la metrica possiede tre autovalori positivi di tipo spaziale e uno negativo di tipo Osservazione z L e 8>" = 8)' (simbolo di Kronecker ), con 8>'=o se p. +v,temporale. 8~ = z se v = p,, dati in ogni carta, formano un tensore di tipo (z, z). Infatti, dal­Dagli esempi considerati è chiaro che non è possibile scegliere su di una ge­ la 6.3 ,nerica varietà riemanniana una carta (%a, ri),) in cui la (».z) sia verificata in tut­to Pinsieme ila, proprio come non è possibile scegliere coordinate x„x„ su l la sfe­ àx,' òx. à x , ' òx.ra in modo da avere du = (dxz) +(dx~) . Altrimenti, la geometria intrinseca del­ in virtu delle regole di derivazione. Si noti inoltre che applicando à /òx,' a que­la sfera sarebbe esattamente identica a quella del piano, e sarebbe possibile di­ st'ultima identità si ottienesegnare atlanti del globo fedeli nelle distanze, aree ed angoli. Dunque le gene­riche g „definiscono una struttura metrica che non è equivalente a quella dello ò 'x~ òx òx~ ò x ò ' x "

spazio-tempo della relatività ristretta. Questa struttura contiene tutte le infor­ òx;òx,' òx.. òx. àx, ò x : òx.mazioni necessarie ad identificare il campo gravitazionale; in questo senso, sarà Osservazione 3 : Converrà introdurre le quantità g>', che formano la matriceidentificata con il campo gravitazionale. inversa alla g„, a: g~>'g,z a ­— 8z>". Come nel ) 3, verrà indicata con g, la matrice

formata dalle g, , e con g ' l ' inversa. Inoltre s'introdurrà la matrice jacobianag,b di elementi g,b~z ­— òxa~/òxb e la /ba di elementi àxb~/òxa, dove j,b ­— ga. La

6. Il ca l colo tensoriale su una varietà liscia. (6.3), aPPlicata a ga, dà

(6. l) g = (gb,) gbgb6.z. Proprietà generali.e, invertendo, g„' =g,bgb' ( j,b), da cui

Sia%" una varietà liscia supposta, per maggiore generalità, a n dimensioni ;il caso n =g sarà pertinente alle applicazioni alla relatività generale. 81P pos­ (6.g) g, ' = — — ' g " .

siede una struttura metrica; nella carta (@.„Ca) si ha: àx òx'b b

(6.z) dsa=g , , d x >;dx' .Osservazione 4: Operando in una carta data a, si può util izzare il tensore

metrico g>"' o g„> per alzare o abbassare un indice secondo le regole

Per tensore misto del tipo (q, p) s'intenderà una collezione di elementi T»( ) » T ( ) T() T»()(X) g vg, ) v(X) á v». ( X)

(6.z) T" ' ~ -- ' < . (x) nelle quali è stato tralasciato l'indice a; (>z) e (X) sono insiemi di indici tenso­riali che rimangono immutati.

assegnati in ciascuna carta (%l„Ca), dove p., = z , ..., n; v ; = z, ..., n, e soggetti Si possono formare nuovi tensori mediante le regole già enunciate nel ( 3,alle condizioni di consistenza in 1I,A llb g 8 : che verranno ripetute qui, omettendo l'indicazione della carta.

z) Se T"„' -"~<, S",z -'>"< sono tensori dello stesso tipo, le quantità R~'-;~<=

b b a a= x T~'-;>'<+(3S>">-.>'<, x e P scalari, formano un tensore dello stesso tipo.

Osservazione z : izz sarà detto indice controvariante, v; covariante. T>" si2) Se T~>'"~< e di tipo (q, p), R~>- v>)-> = T»- ~< — >a è un tensore di t i po

(q — z,'p —" z).dirà vettore controvariante, T, vettore covariante e se q =p = o, T si dirà scala­re. Si noti che, poiché dx>" = (òx>"/àx>) dxb, dx>" risulta essere un vettore contro­ 3) Se T~>-;~<, S~z-;~' sono di t ipo (q, p), (s, t), allora R» - ;~<+' = T~>-;~<

variante. Questa nomenclatura ricalca quella già usata in relatività ristretta e ad S>"<+'- >'<+; è un tensore di tipo (s+q, t+p).essa si riduce se ci si limita a carte inerziali in %. La di fferenza sostanziale è 4) Se T~'-,,~< è un tensore di tipo (q, p), formano un tensore (q, p) le quan­che, nella (6.3), le àx>'/àx> non sono in generale costanti, né g „ è c ostante, né t ità R," ' - >'< = T>'«»-;>" >'>, dove o (i), x(i) sono permutazioni arbitrarieoccorre che g„, a sia lo stesso per tutte le carte. Nella relatività ristretta ci si li­ fisse dei numeri z, ..., q ; z, ..., p, rispettivamente.mitava a carte inerziali nelle quali g~, a =r), ; ciò poneva forti restrizioni sullecarte, cioè àxa/òxb erano matrici di Lorentz. Come detto, queste restrizioni Non vale invece la regola 5 di derivazione, nella sua formulazione originale,

non sussistono per la (6.3). Ciò nondimeno valgono quasi tutte le regole del per la seguente ragione. Sia T>" un vettore controvariante; applicando ò /àx'calcolo tensoriale già enunciate nel ( 3.2, ad eccezione della regola >>, che neces­

alla T" = (àx~//òxz) Tbz, si ha

sita modificazioni di altissimo valore concettuale formanti la parte piu qualifi­ à V' à x ~ òx. òT ' à~ x ~ ò x ­a a b b+ a b T X.cante dell'opera di Ricci e Levi-Civita. òxz òx ò ; òx, ò x .bòx.

Relatività 86z 868 Relatività

il primo contributo a destra corrisponde alla (6.8) applicata ad un tensore di ti­ (6 xz) p a ~p gas~ Z xg g nkò

po (x, x), mentre il secondo contributo esce dalla definizione di tensore, per cui òxxòT"/òx' non è un tensore. che risolve completamente il problema di definire le l'„'x, e quindi il trasporto pa­

Questo fatto ha costituito un ostacolo nei primi anni di ricerca sulle varietà rallelo in uno spazio-tempo qualsiasi. Le l'„'> sono chiamati simboli di Christof­di Riemann. Per ovviarlo fu creato il calcolo differenziale assoluto [cfr. Ricci e fel di seconda specie, oppure coefficienti di connessione della varietà di Riemann.Levi-Civita xqox ; Levi-Civita xgxp]. Per quanto detto, essi non sono tensori: se fossero tensori, il loro annullarsi in

un R" di una carta (l l , C,) cartesiana, li renderebbe nulli sempre, in contrad­6.z. Il trasporto parallelo e i coefficienti di connessione. dizione con la (6.8).

Le proprietà di trasformazione di l'„'> si deducono dalla (6.xx) :Per trovare le regole di derivazione covariante in varietà con curvatura, oc­

corre utilizzare la nozione di trasporto parallelo di Levi-Civita. L' idea è di dareuna prescrizione che permetta di dire se un vettore A~>+dA~>, posto in x~+dx~~,è il vettore A~, posto in x" e spostato parallelamente a se stesso di dx".

Se le x" fossero coordinate cartesiane in R", si avrebbe W> = o. In un siste­ questa generalizza la (6.q), dato che l'pp p o se (%1„, 8,) è cartesiana. Come sima generico di coordinate b si potrebbe asserire solamente che vede, la (6.x8) consiste di due termini, i l pr imo dei quali, da solo, indiche­

W ; = — r„;,~;8xsrebbe una struttura tensoriale in l ' „>.

dove le l „~> sono certe funzioni del punto che dovranno essere specificate conargomenti plausibili. È possibile anzitutto calcolare le 1 „~> b a partire da una 6 3 Der ivazione covariante

carta cartesiana %, in R". Si ha Ora si vuoi calcolare la variazione effettiva di un vettore, cioè si cerca di

(6.q) Ab = ­ Ax. eliminare l'effetto della curvatura delle coordinate. Per raggiungere lo scopo,verrà calcolato il coefficiente differenziale della variazione del vettore nel modo

aseguente. Siano x", x" +dx' le coordinate di due punti vicini P„Pa in una carta

Spostando Af di 8x~b, si ha, in i1„ 8A~~= o e quindi e sia A> (x) un campo vettoriale. Si calcola la variazione di A~ (x) in due tempi :anzitutto, si sposta il vettore A> (x) dal punto Px nel punto P~ usando la (6.6) :A~(x)+8A~ = A~(x) — l'~>A"dx>; e poi si forma la differenza

M~pertanto, per l'osservazione z, ( 6.xg) A " sCh ~=— A (x+dx) — (A>(x)+BA>) = +1 A " dx>,

òx>ò'x',

che si chiama incremento effettivo di A~; si chiamerà inoltre derivata covariantedi A la quantità

e anche: dA~(6.*o) 1„ . , = r:„,. (6 xS) +I ~a".

òx>

Inoltre, si può imporre che la lunghezza di A~, o meglio As = A"d'xi„„ r imanga Questa definizione è ovviamente giustificata dal fatto che, dalle (6.8) e (6.x8),la stessa durante il trasporto parallelo. Usando la (6.7) e la (6.g) applicata a segueg~, , = xi~„si ha A =g„> b(x) AbAbS, la condizione diventa , + r„;~ = + r,x.a~

che è la legge di trasformazione di un tensore di tipo (x, x). Analogamente si puòe, dovendo questa essere verificata per qualunque Ab e 8xf, conduce a provare che, se A è un vettore covariante, la derivata assoluta

òa(6.xx) y = V x bg S b+V)x b g b (6.xp) A s ­­ — ~ — 1 'sA,

òXbX

Permutando circolarmente gli indici x, P, X, si ottieneè pure un tensore, di tipo (o, z).

Relatività 864 865 Relatività

Generalizzando questi risultati, la regola 5 del $ 3.2 deve essere sostituita Questa relazione si può interpretare dicendo che esprime l'invarianza dell'ele­con la seguente regola: mento di volume:

REGoLA 5. Se T » - ; "q è un t ensore di t i po (q, p), la derivata covariante (6.26) dV" = V — (g,~dx,'dx,'...dx = V — ~g(,~dx~dx~q...dx~.data da

òTVs- Vq Si definirà quindi il volume di un simplesso(6. r 8) T vl - v q = ' " " y I (sl T (s2- vq4­f'(s2 T» v3-.vq/

vl „vp, () a() vs . „vp a() v,...vpox (6.27) U(0„) = dv"+l' T ­ - " — l'" T ­ — l '"T

a() vs...vp vs() avs.„v p v2() v sa v 3 , , vp an

e quello di una regione qualsiasi triangolabile Q:T»- Vq

v p() vs . „vp sa

è un tensore di tipo (q, p+ r ). (6.28) V(Q) = d V".

Verrà ora applicata la (6.r8) ad alcuni esempi rilevanti. Si vede facilmente Infine sia datoche risultaòg,

(6.I9) g = , — r;,gav ­ r ;,g, „ = o,( 29 r) s (.), . ­

= s„...,„,.= ~ lg . l ( — r)"'òX se tutte le v; sono differenti e formano una permutazione di parità p (v) dei nu­

per cui il tensore metrico è covariantemente costante. In modo analogo meri r, ..., n, e sia

aa; (6.29.2) s = o se v)s= vt„(6.20) 8 ()= — ~+ r„;8; — r ;,8„ = o.cioè se almeno due degli indici v; coincidono, È facile verificare che s(,) a è un

Dalla (6.r8) si ricava anche la regola di Leibniz per la derivata di prodotti ten­ tensore di tipo (o,n) e cioè che le (6.29), assegnate nella carta a, valgono auto­soriali ; ad esempio : maticamente in tutte le carte per via della (6.3). Esso generalizza il tensore di

Levi-Civita. La derivata covariante di s(,) r isulta essere nulla. Secondo l 'os­(6.2r) (A Br) () ­— A ()B" +AvBr s servazione 4, si possono alzare successivamente tutti gli indici di s(,), ottenendo

(6.22) ((i)A ) () ­— (i) ~A +(l)A s'"' = (~ ~g~) '( — r)P'v', se (ir) è una permutazione di r , ..., n, e ( v ) = o, sevi sono almeno due indici coincidenti. Usando la (6.29), è possibile presentare

Cosi, applicando (6.2r) all'identità la (6.26) in forma esplicitamente scalare:

(6.23) g 'g r ­— 8 I(6.3o) dVn s dx vsdx v s ...dx n.

/ v svs„ ,vn

e usando le (6.r9) e (6.2o), si trova Si chiama densità scalare una quantità o, se

(g ' g r),()=g ' ,(rg',>+g 'g,r,() = 8r,() = o (63r ) p = d«7 i po

e, contraendo con gr', che generalizza la (6.25). ~ ~ g ,~ è dunque una densità; si noti allora che dap, è sempre possibile formare lo scalare pa~~gg. Inoltre la densità scalare p,

òg(3a

(6.z4) g>a > ­­ + i ' ,v()g + l ' " ()gv = o . origina anche il tensore

(6'32) P(v) = Pa~ l g a le(v).Sia ancora ~g,~= detg,. Dalla (6.4) si ricava ~g,~= (detg (,a) (gJ. Dunque il

segno di (gJ non dipende dalla carta a; in 9K ~ga~ è negativo, dato che in unacarta localmente inerziale deve essere g, a =-qv, e detti = — r. Si lascerà sem­ 6.4. La curvatura e il tensore di Riemann.

pre indeterminata la dimensione n e si supporrà ~ga~ <o in tutti i casi che ver­ Normalmente, per una funzione qualsiasi f(x,y) si ha ò'f/òxòy= ò'f/òyòx.ranno esaminati (a meno di non stabilire esplicitamente il contrario ). Conviene In generale ciò significa che f,(r ­— f >„, dove (z, P sono indici di derivazione co­introdurre la quantità + ~ ~g ~ , fissando il segno relativo della ~ t ra c ar te variante ef è uno scalare. Infatti, dalla (6.r8),diverse a,b, tramite la

ò'f r òfIs r(s ~s) v — Is.l= («sr~.)v — Is~l òx-òx> ' ax> ' '

Relatività 866 86p Relatività

Questa simmetria non è valida per un tensore generico. Sia ad esempio A1 visto al ) 5.g a piu dimensioni ; le R >,> devono essere associate all'angolo dellaun vettore; dalla regola 5 si avrà curvatura gaussiana, secondo le idee originali di Riemann.

ò~ò",— ò„',"A,­ r ;„ò ; r „ ;~ò ' r ; . A ,) — r„;~ò „ r :„A, ,6.5. Coordinate inerziali.

per cui Si è ora in grado di discutere in dettaglio l'esistenza o meno di una carta lo­

(6.33) A, , — A, , „= ~ , + „ + r ;, r : „— r„-„r:, A,= R, „,A„ cale (l l „ @a) tale che in Pc ila si abbia g , , (P) = Y i, . È noto che

òx", òx~>avendo postoxa a

v

dove le òx>/òx~ possono essere scelte arbitrariamente in P, ma non nella ~ll,

le quantità R~"„> sono le componenti del cosiddetto tensore di Riernann. Esse de­ completa; ragionando (per fissare le idee) nel caso n = y, queste derivate con­

vono costituire un tensore in quanto la (6.33) è una formula tensoriale valida pertano come sedici parametri, dieci dei quali possono essere fissati in modo da ave­

qualunque vettore A,. La dimostrazione diretta di questo fatto, a partire dalla re ga, a = Y',; quanto ai sei r imanenti, essi corrispondono alle trasformazioni

(6.3g), risulta molto complicata. Accanto a Rz'„>, verranno usati anche il tensore di Lorentz che, come è stato ampiamente discusso, non alterano Yi,. Supponen­

contratto R>„­— R~'„, e la curvatura scalare R =g~"R>„. do quindi ab initio g, ~ p ­— Yi, e restringendosi inoltre a una classe di carte

Per comprendere il significato geometrico del tensore di Riemann, si consi­ A1(P) tale che, se bc~A1(P), sia òx>~/òx'~p ­— 8~, cosi che ack, (P), si ha allora

deri Pc9ll e sia A> (P) un vettore inizialmente definito in P, che s'intende tra­ g, 1,~p= Y l, e la (6.13) diventasportare parallelamente a se stesso lungo una curva chiusa y parametrizzata da ò'x' )

x" (s), o <s< x, infinitesima, con xp = x" (o) = x'(1). Sia A>(1) il vettore ottenutoI' 1,~IP = l '~,a+ò „ò > )xb xbp

da Aa (o) per trasporto parallelo lungo y. Si ha, secondo la (6.6), da intendersi ristretta al punto P, con a, b c A,(P). In essa compaiono n (n+ t)/z(6.35) dAa (s)= — l'J>(s) A" (s) dx>, derivate seconde e componenti tensoriali distinte (go se n =y ), e le derivate

seconde sono tuttora arbitrarie in P; pertanto, se si pone l „> ­— o, si possonodove tutte le quantità sono calcolate in s, da cui

sempre scegliere le derivate seconde in modo da avere l „'z >~p ­— o. Ottenutos=1

questo risultato, la carta b si dirà inerziale, e in essa tutte le derivate covariantiAa(r) — A~(o) ­= AAa = ­ l'.~,(s)A" (s) dxS. si riducono in P a derivate ordinarie. Si noti tuttavia che, anche in P, in gene­

s=Orale òl'„>/òx>po; e, se in P è l'„'z ­— o, la (6.11) dà subito òg,>/òx = o, Vu., X, a.Posto P(s) = xS(s) — x>(o), sviluppando l'„~>(s) e Aa(s) al primo ordine in P e L'esistenza di una carta inerziale in P realizza dunque il principio di equi­trascurando il termine in (F)'dF„si trova valenza, in quanto tutte le derivate si riducono alle stesse operazioni della rela­

AAa= 'S +l'„~>(o)I';(o) A (o) F,'dE>.òl',~s tività ristretta e la stazionarietà della metrica garantisce che g„z ­— Yi~ approssi­

x v p mativamente in un intorno sufficientemente piccolo di P.Ci si può dunque limitare, ab inizio, ad esaminare una nuova classe di carte

Poiché y è chiusa, si ha As(P), tale che l'„> 1,­— o, Vbcks(P); Pertanto, se a,be%~(P), si avrà in P:

(F,'dF>+F>dF,') = d(F>F;)= o òx' , (Px,'(6.36)

~= 81

Y Y xyp x y xy pper cu1

Usando queste restrizioni, la derivata della (6 13) rispetto ad un generico x1,(('dP — F>dF') R,>,>(o)A (o), effettuata nel punto P, diventa:

òr„;, òr„;. òsxavera al secondo ordine in F.. La quantità J (Fado' — F'dP)/z individua l'ele­mento d'area racchiuso da y in grandezza e orientazione ; dunque, il vettore Aa, à '', p òx' p òx1, òx1, òx1 P

trasportato parallelamente lungo y, cambia di un ammontare proporzionale: al Qui compaiono n (n+ t )(n+z)/6 derivate terze (8o se n = 4) e n (n+ 1)/z de­vettore A1', all'area racchiusa da.f e alla curvatura R,s",>. Ciò generalizza quanto rivate òl „'~/òx ~p (16o se n =g ) ; di queste ultime, solamente (n(n+ x)/z) sono

Relatività869 Relatività

indipendenti, poiché tutte quante esprimibili in P a mezzo delle ò g /òxp àx'l( I oo se n = 4). Pertanto non è possibile scegliere le derivate terze in modo da an­

I(6.43) G = R p ­ — 8pR

nullare tutte le òl'„'1 >/òx>lP, tuttavia si potranno esprimere le àg„>/òxp àx'lPper mezzo di un numero limitato di esse: (n(n+ I)/2)2 ­[n2(n+1)(n+2)/6] = si può riscrivere la (6.4z) nella forma=n (n — I)/Iz, cioè zo se n=4. Queste venti quantità sono legate al tensore2/ 2

di Riemann dalla (6 44)

2(637) R' s , . l = ­ Z" ' +I j à' à' ò' alla quale si ritornerà trattando delle equazioni di campo einsteiniane.

a,Pda intendersi ristretta a P con ae %2(P). In modo piu simmetrico, introducendo 6.6. Geodetiche. Riferimenti gaussiani.il tensore

x I,uS g v~RI nS Una linea y nella 9IP si dice di tipo tempo se tra due punti vicini x", x" +dxsi ha: di y vale la disuguaglianza ds' =g , dxp dx'( o . I n questo caso l'integrale

(6.37') R„ . , lp P ( 2 2z ~àxIàx- ò x à x a ò IàxS òx àx./a,P (6 4S) — ~ d„,dx dx" = du = u,— u,Dalla (6.37') si vede che il tensore R,>,> è dotato delle simmetrie 1 1

(6.38.1) R,I „ s ­­ — R, dicesi intervallo di tempo proprio tra i punti I e z della curva. y sarà specificataesplicitamente assegnando x" = x" (s) in funzione di un parametro s che cresce

(6 38 2) monotonamente lungo la direzione positiva del tempo. Questo parametro può

(6,38,3) R«>I + R,> I„+ R,I,> ­— o ;essere la u stessa definita esplicitamente dall'integrale (6.4g). In tal caso:

dx> dxol analisi combinatoria di queste simmetrie mostra che R ha effettivamente (6 46)solo n (n — I)/Iz componenti in generale distinte. Difatti valgono le condizioni2 2 xI, ma du du

originalmente proposte da Riemann, Dati due punti qualsiasi P1, P2 in AP, sorge il problema di trovare l'arco dicurva y congiungente P, a P, per il quale l'integrale (6.4g) risulti massimo (se

( 39),

= (R,s +Rs, )6. la metrica fosse definita positiva, si richiederebbe il minimo ). Una condizioneX X P 3 necessaria (ma, per archi abbastanza lunghi, non sufficiente ) affinché ciò si ve­

che, insieme alle g , , = q , e l ' ; , =o, definiscono il cosiddetto sistema dirifichi, è che Jp

P2 du sia stazionario rispetto a variazioni infinitesime delle x" (u).coordinate normali di Riemann nell'intorno di P. Ponendo x"= o in P, si ha

Tale condizione dà

al second'ordine, nelle x", d2X~ dxI dx'(6.47) + r ;, ­ — = o,

(6 4o) g~, a = x„­ - R. I , . lP X'X."+"I du2 ' du du

3 che è la notissima equazione per le geodetiche ; essa svolge un ruolo fondamen­i termini di ordine superiore sembrano non rivestire al momento grande inte­ tale nella meccanica del moto di un corpo puntiforme in un campo gravitazio­resse. nale. Si noti che il vettore tangente T = dx"/du viene trasportato parallelamen­

Relativamente al tensore di Riemann, si riporteranno ancora le identità di te a se stesso lungo una geodetica; infatti, ponendo 8T = (dT"/du) 8u, si haBianchi 8T'= ­ rz, T' òx~, che coincide con la (6.35).(6.41) R „ „ .,+ R, , „+R,„, . Si considerino una varietà differenziabile 9TP dotata di metrica g, definita

positiva, e una ipersuperficie Z ' . S ia (ll, 1I>) una carta di Z" ' ; s i considerila cui esistenza dipende dalla possibilità di scegliere infinite superfici diverse Z la geodetica y in%" passante per xe% ed ortogonale a Z" '. Un punto genericoaventi come bordo il contorno chiuso y = òZ di cui al ) 6 .4. Contraendo la della geodetica sarà identificato dalla coppia (t,x), dove t è l'arco di geodetica(6.41) con g'> e con g"" si ha tra (t,x) e (o,x). Questa coppia identifica una carta di WP, purché t sia suffi­

(6.42) R . — 2R" . = ocientemente piccolo, altrimenti possono esservi piu geodetiche tra (t,x) e (o,x).Euristicamente, esisterà in questa carta una metrica del tipo

ed introducendo il tensore(6 48) ds =g d t + zg dtdx'+g 1dx dx

Relatività 87o 87I Relatività

Per quanto detto, una geodetica particolare di (6.48) è data da x' = cost. Si ha lissima, altrimenti si sarebbero già notate da tempo, entro un campo gravita­

dunque ds= ~gpp dt' dalla definizione di t, si ha ds= dt, da cui gpp= I. Ino l t re, zionale, vistose deviazioni dalla geometria euclidea. Quindi si può porre guv

l'equazione delle geodetiche si scrive = ri ,+ h „ „ d ove h ,<<1. Inoltre si ha a che fare(ad esempio nel campo terre­

d2xv d2xv g~x dxsstre ) con campi quasi statici, cioè che variano molto lentamente nel tempo, percui conviene porre òh, /òxP = o. Infine il moto dei gravi è di norma non relativi­

ds dt " dt d t stico, per cui si trascureranno dx' /du rispetto a dx /du I . T r ascurando i ter­che è identicamente soddisfatta purché I'pp = o, ossia òg„ /òt = o. gp, non dipen­ mini quadratici in h „ segue approssimativamente

de da t; d'a l tra parte, per t = o, l'ortogonalità di y a Z " impl i ca gp,= o,quindi si ha sempre gp,= o. La metrica assume pertanto la forma semplificata (74) „, + I ' .". ­ = o.gaussiana

(6.49) ds = dt2+gs2dx' dxI'. La (7.4), con a = o, si riduce a d x /du = o, ossia x = au+b ;non c'è perdita digeneralità nel supporre a= I, b = o, x =u . I n o l t re

Si può banalmente ripetere il ragionamento per metriche di tipo Minkowski,ove t sia una variabile temporale; si ottiene d'x' ,. I òhpp

du' z òx'(6.5o) ds2 = — dt' +g;I dxt dx~,

Ricordando che le equazioni di Newton si scrivonoche viene impiegata in cosmologia. Una carta gaussiana è di necessità locale, di­ventando singolare lungo le caustiche focali della congruenza normale di geode­ ( 6)

d'tiche y . Le geodetiche sono normali a tutte le ipersuperfici t = cost. dt2 òx'

dove 1I> è il potenziale gravitazionale, essendo u = ct, si vede che la (7.6) s'iden­Il campo gravitazionale.

tifica con la (7.5) se si Pone — (z<I1/c )= hpp e quindi

z<N

7.1. Equazioni del campo gravitazionale.(7.7) g = ­ I+ ­ )c2

Nella relatività ristretta il moto di un corpo libero può essere derivato dal Si noti che, se m è la massa del grave, m6> è l'energia gravitazionale e2

principio d'azione :zm1I1/mc i l rapporto tra energia gravitazionale ed equivalente energetico del

2 corpo, che di solito è enormemente piu grande. Dunque z1&/c2 <<I, come richie­(7. 1) 8( — mc du) = o sto. Ad esempio, sulla Terra, 1I1= ­ (GM/R), dove M = 5,977'Io g e R =

1 = 6,37 Io cm sono la massa e il raggio della Terra, G la costante di Newton:dove u è il tempo proprio. Le equazioni che si ottengono sono: d2x" /du' = o. Se­ G = 6,67 Io g cm sec . S i ha al l ' incirca Il>~ — 6,z4.1o' cm sec , hppcondo il principio di equivalenza, le stesse equazioni devono valere in un sistema 1 ,39 Io . I n vece, per i l Sole, M I o sa g, R o , 75 I o" cm , e h pp Iolocalmente inerziale. Ma l'equazione delle geodetiche Si può scrivere

zGM (zGMi I R (M)d2x~ dxp dx.(7.z) + r ; ­ — = o Rc' i c' f R Rdu' ~' du du

si riduce alla d'x /du = o quando l ' ; = o e ha carattere tensoriale, per cui sidove R (M) = zMG/c2 è il cosiddetto raggio di Schwarzschild della massa M.

debbono assumere le (7.z) come equazioni del moto derivate dal principio va­Le deviazioni visibili dalla geometria solita sorgono quando R R (M) ; per la

riazionale con azioneTerra, R (M) è dell'ordine del centimetro, per il Sole di un chilometro, per le

2stelle a neutroni R (M)/R o , I, e nei buchi neri, R = R(M) per definizione.

(7.5) S = ­ mc du Dalla discussione precedente segue che hpp, e quindi gpp, va interpretato co­1 me potenziale gravitazionale e l'pp come accelerazione di gravità (a parte il fat­

dove du è lo stesso di (6.45). tore c' ). In generale le (7.2) esprimono l'infiuenza della gravitazione e dell'iner­Ci si ponga ora il problema di confrontare le (7.z) con le usuali equazioni zia sui corpi. Non è possibile distinguere l'inerzia dalla gravitazione, in quanto

del moto newtoniano. A questo scopo conviene sottolineare che, nonostante le nella (7.z) i due termini non hanno separatamente carattere tensoriale: cam­

g~, descrivano uno spazio curvo, la loro deviazione dalle q, deve essere picco­biando carta, essi si trasformano l'uno nell'altro.

Relatività 87z 875 Relatività

Fu una componente costante del pensiero di Einstein l'idea che un sistema quadrivelocità dx" /du, cosi che un'approssimazione sufficiente agli scopi quifisico, ad esempio il campo gravitazionale, non potesse influenzarne un altro, ad perseguiti si ottiene ponendoesempio una particella, senza essere a sua volta influenzato. Occorre dunque dx dx,un'equazione che leghi il campo gravitazionale g, alla distribuzione della ma­ (7. 15) TF ­— pc

du du'teria. La (7.7) simboleggia l'identità dell'ente geometrico g, con il potenzialegravitazionale.

Nella gravitazione newtoniana la relazione tra il~ e la distribuzione di mate­ 7.2. Limite statico delle equazioni di campo.ria è data dall'equazione di Poisson

(7.8) M ?= grrGpSi supponga ora g,= i l , +h „ d ove h , (<i . Trascurando i termini quadra­

tici in h „ s i t rova:dove p è la densità di materia. Conviene dunque supporre che la (7.8) sia unaforma approssimata di altre equazioni relativistiche che legano la distribuzione (7i )

z yòxiòx. ò x ò x S òx~ òx~ òx òx.di materia alle g, L e equazioni esatte che rimpiazzano la(7.8) dovranno, peranalogia, essere del secondo ordine nelle g „ l i neari ed omogenee nelle deri­ Contraendo con g~>(ossia con ri~> in questa approssimazione),vate seconde, ed avere carattere tensoriale. Lo scalare 4 verrebbe quindi ad i i ò ' h ò h„ ò h ~essere rimpiazzato da un tensore g, che ha dieci componenti, per cui le equa­ (7.i 7) Ri „ ­­ — ( + h ) ­ — " ­

­"= z(òx òx. '" ò x ò x ­zioni del campo dovrebbero avere dieci componenti. Per questa ragione la de­dovescrizione della distribuzione di materia mediante la p è insoddisfacente, e la p òh,„

deve a sua volta essere sostituita da un tensore T~„che contiene anche informa­ h = vl'>h,

zione sullo stato di moto dei corpi materiali, InfineCi si attende dunque un'equazione del tipo òh„(7.i 8 ) R = h — q>~

(7.il) G , = K T , òxS'incontra ora un'arbitrarietà nel campo h „ c h e r i flette il carattere tenso­

dove le G „sono componenti di un tensore formato con le derivate prime e se­conde di g „e l ineare in queste. Si può dimostrare matematicamente che tutti i

riale di g~,. Operando con un cambiamento infinitesimo di coordinate del tipox~>= x~+Ei"(x), dove òE~/òx>~<<r, e trascurando i prodotti del tipo hF„F, ecc.,

tensori di questa forma sono necessariamente del tipo si ottiene

(7.io ) G , = R,+Kg,R, ògmaya v y6+ x v+ x u'òx+ òx z

dove R, è il tensore contratto di Riemann (tensore di Ricci) e R è la curvaturascalare. Si scriverà la (7.g) come

cioè si ottiene un nuovo h „con h , (<i , che offre in principio la stessa configura­zione fisica di prima. Ne segue che si possono fissare le coordinate imponendo la

(7.ir ) R ,+ Rg , R = K T , . cosiddetta condizione armonica sulle x>:

In analogia con la meccanica newtoniana, le T „d e vono obbedire a equazioni (7.i g) r .'. g = o,di continuità, che tensorialmente si scrivono

(7.iz ) T . „ = o,Nell'approssimazione qui adottata essa implica

òhper cui si deve avere (7.zo) — = zh,òx~(7.i5) R~,,+ ) ,R, = o,

per cui semplicementeequazione che si riduce alla (6.yz) se X= — i /z, condizione che si assumerà inquanto segue. Si ha dunque: (7.z i) Ri „ = ­ h~„ R = ­ h,

2

(7.ry) R, ­ - g , R = kT, e la (7.iy) prende la formazcome modello di teoria del campo gravitazionale, ove k è una costante da deter­ I

(7.zz) h~„ ­ — q,h = zkT, .minarsi. Si può anche supporre che la materia sia distribuita con densità p e

Relatività 87g 87S RelativitàContraendo con q~' e notando che 8~ = 4 , si ottiene: — h = zkT, dalla qualederiva la tra due battiti, dato che: — du =gpp(dxp), poiché gli elementi (dx') sono nulli,

essendo l'orologio fisso in A. Esiste inoltre una geodetica «messaggera» x' (t)I(7.z3) f3h„ , = zk T , ­ — Ii, T tale che x' (o) sia in A e x' (t) sia in B. Ad ogni battito dell'orologio in A, un

2 fotone parte da A e, viaggiando lungo tale geodetica, raggiunge B. B vede dun­que gli arrivi succedersi ad intervalliNel limite statico in cui dx /du = I, dx' /du = o> si ha Tp, = PC > Tjj Tp« o>

ed q, non d ipende dal tempo. Pertanto h„ , = Ah„, e, ponendo iI = v = o, TB~ T I +­Akpp = zk [P — (P/z)] C= kPC . Essendo hpp ­­ — (z4/C ), si trova A4 = — (c /z)kP,che, confrontata con la (7.8), porta a porre Il rapporto

8rr G I+(7 ze) TA C' CA — CB~I + ) I

TB 6?B C'

Si giunge dunque alleI + ­

C2

I 8IrG dice che B percepisce i battiti accelerati rispetto a quanto accade ad A, Vice­(7.zS) R„,­ - g , R = T „ versa, A vede i fenomeni su B svolgersi a ritmo rallentato. In particolare, sia

z C un atomo su B emettente radiazione con frequenza vB e periodo I/vB, su A lache costituiscono le equazioni fondamentali del campo einsteiniano. Le R si mi­ radiazione giunge con frequenzasurano in cm , le T Jc' in g/cm ; inoltre: 8wG/c' = I,86 I o cm /g. Grossomodo, una densità di I g /cm» corrisponde a R~ (4 Io I« )2 cm 2 (R generica (7.z7) A — I+ 2 vB( vB>componente della curvatura ). Per vedere gli eRetti della curvatura occorreavere una distribuzione di acqua con raggio z,S Io km, poco piu del raggio che corrisponde al citato spostamento verso il rosso.dell'orbita terrestre. Il seguente esperimento concettuale illustra in modo diverso la necessità

Nel limite statico si ha anche dello spostamento verso il rosso. Sia costruito un apparato formato da una co­

8rrG lonna a fluido ascendente da B ad A, e da una colonna dove il fluido discende

(7z ) Ij= W>j = 2 p8> j> da A a B ricominciando il ciclo. Il fluido è composto da atomi aventi due livelliC con diflerenza di energia hE= hv. Se la massa di un atomo è m nel livello piu

Per cui hrj = 8 ,jhpp; aPPaiono dunque anche comPonenti sPaziali di h , . basso, varrà m+b E/c2 in quello piu alto. Durante il ciclo, in B gli atomi si di­seccitano e la radiazione emessa con frequenza v viene convogliata in A. Sa­liti su A con massa m, gli atomi ricevono la radiazione e vengono spostati sul

7.3. Lo spostamento gravitazionale verso il rosso. livello eccitato, per poi discendere in B dove ricomincia il ciclo. Se non esi­stesse spostamento verso il rosso, l'apparato produrrebbe il moto perpetuo,

Questo importante fenomeno ha fornito una delle basi osservative piu note dato che gli atomi discendono con peso piu grande. La differenza di lavoro perdella relatività generale. Tutti i corpi che salgono in un campo gravitazionale, atomo sarebbe dunque :rallentano e perdono energia cinetica. La perdita di energia della luce si mani­ +A + Bfesta invece nella diminuzione della frequenza, dato che E = hv, e non dalla (4A — 4B) x (differenza di massa) = hE.

C2

velocità, che rimane (e deve rimanere) fissa sul valore C. L'argomento si può I fotoni in ascesa arrivano in A con frequenzameglio precisare nel modo seguente.

Sia 4 un campo gravitazionale statico prodotto ad esempio da una stella.VA= I + VB

Siano A, B, due osservatori, il primo distante (alto) e il secondo vicino (basso)alla stella, di modo che 4A) 4 B . Sia dato in A un orologio che scandisce il e la loro perdita di energia ètempo con periodo T in u na serie di eventi t„ =nT. A vede dunque passareil tempo proprio k — k " k = AE

C2 C2

I+ 2 T I+ che compensa esattamente il guadagno precedente. L'effetto evita dunque lapossibilità, ben piu disastrosa concettualmente, del moto perpetuo.

Relatività 876 877 Relatività

Ma a quanto ammonta in pratica l'efletto> Sulla Terra, per un dislivello di (7.3I ) h„, = e, exp(ik>x~)+ e~, exp( — ik>x ).h metri, si ha Ili~ — 1III1 ­— hg, dove g è l'accelerazione di gravità. Dunque il cam­biamento percentuale in frequenza D alla h , = o segue

vii v~ l ' ~ — C'Ii hg (7.32. I) k>k" = o

v c2 c28 e dalla (7.3o)è piccolissimo: se il dislivello h è di Io metri, Z Io 13. Tra il Sole e l'infi­ I

(7.32.2) k>ev' = ­ k e0>.nito si ha Z — ia/c2 Io — p. Nelle stelle a neutroni sale del Io per cento e di­venta infinito per i buchi neri. Senza perdita di generalità si può supporre che l'onda sia diretta lungo l'asse x,L'effetto è stato rilevato sulla Terra da Rebka e Pound I 196O] usando raggi ossia: k = k '=k , k = k = o. D a l l a (7.32.2) segue: epa+e» ­— o, e03+e13 O ,y di frequenza molto ben definita, prodotti dall'efFetto Mossbauer, su un disli­

10+ 11 00 0 1 ( 11+ 22+ 33 00)/vello di poche decine di metri. Sul Sole l'effetto è presente, ma è mascherato La condizione di armonicità non fissa completamente le coordinate. È pos­dall'agitazione termica e dallo spostamento delle righe prodotto dai campi ma­ sibile infatti eseguire ulteriori trasformazioni del tipo x" ~x' +E", dovegnetici (effetto Zeeman ). Esso è stato misurato sulle nane bianche, doveZ ~ I O (7.33) E" = is exp(ik>xI) — isp' exp( — ik>x~),

in modo che le (7.28) e (7.3o) siano ancora soddisfatte. Poiché la (7.33) implica7.4. Le onde gravitazionali. la sostituzione e „~e , +k s,+k ,e , è possibile scegliere s in modo da annul­

lare e», ep„epp e». Ne segue e,2= e,3=O ed inoltre: e» ­— (e»+e 33)/2 = c ip= o .Esistono analogie formali tra elettromagnetismo e gravitazione che hanno Sopravvivono solamente e2„e», ep„ legate dalla e22+e33 o. Dunque la generi­

permesso la derivazione delle equazioni del campo gravitazionale. Risulta abba­ ca onda piana contiene solamente due stati di polarizzazione, analogamente allestanza naturale quindi che queste equazioni predicano l'esistenza di onde gra­ onde elettromagnetiche.vitazionali simili a quelle elettromagnetiche. La verifica sperimentale ha dovuto A parte questa analogia, uno studio piu dettagliato del comportamento degliattendere fino al I978, anno in cui il pulsar binario Ps I9I6 + I3 ha mostrato ca­ stati di polarizzazione nei due casi, rispetto a rotazioni intorno all'asse x, mette­ratteristiche di emissione in accordo con la teoria. rebbe in evidenza che, mentre i fotoni hanno spin I, ai gravitoni (cioè i quanti

È molto difficile ottenere soluzioni esatte delle equazioni del campo, data del campo gravitazionale) compete spin 2. In generale, una particella di spin Ila loro non-linearità. Per questa ragione ci si limiterà ad una discussione delle (2) ha 3 (g) stati di polarizzazione; nel caso dei fotoni la riduzione del numeroequazioni linearizzate. La non-linearità trae origine dalla circostanza che il cam­ di stati di polarizzazione segue dalla nullità della loro massa, mentre, nel casopo gravitazionale, possedendo energia ed impulso, è in realtà sorgente di se stes­ dei gravitoni, la contrazione relativistica impedisce l'esistenza di stati il cui spinso. L'approssimazione lineare vale dunque solamente per onde cosi deboli da non è allineato con la direzione del moto.produrre un campo trascurabile. Un gravitone porta con sé energia, che però non appare in T „b e nsi quale

Si sono già dedotte nel ) 7.2 le equazioni statiche linearizzate di Einstein termine non lineare nelle R, stesse. In generale non è possibile separare in mo­16Gir do covariante la densità di energia e d'impulso di un gravitone dagli altri con­

(7.28) Llh„ , =

, S„, tributi del campo in R „. Tuttavia si può euristicamente associare all'onda (7.31)dove il tensore effettivo

(7 29)2

(7 34) ( >. , ) = c'8 "G(le22I'+le23I').

mentre le condizioni di arrnonicità sulle coordinate implicano Questa è una formula molto utile per valutare la potenza emessa da sorgenti di

a onde gravitazionali. Cosi come una carica accelerata è necessaria per emette­(7.3o) — h~ = — — h~.

ax~ ' =zax

re onde elettromagnetiche, sono necessarie masse accelerate per emettere ondegravitazionali.

La (7.28) descrive la propagazione di onde nel vuoto con velocità c, qualora Il calcolo esatto di questa emissione si può efFettuare risolvendo la (7.28)si ponga S = o. È molto istruttivo esaminarne le soluzioni mediante onde mediante potenziali ritardati ed usando la (7.34) per valutare il flusso energe­piane; l'interesse è per una soluzione del tipo tico della sorgente.

Relatività 878 87e Relatività

Una stima approssimata si può ottenere dalla formula delle transizioni nei modi di oscillazione. Un aumento nella sensibilità di questidetettori di pochi ordini di grandezza potrebbe aprire improvvisamente l'astro­

(735)0

nomia gravitazionale come nuovo campo d'indagine.

dove Pt, = c /G = 3,6g x o erg/sec è una potenza «universale», e7.5. Le metriche isotrope.MR'

(7.36) Pxn =

Il calcolo di importanti effetti relativistici può effettuarsi solamente quandosia nota con precisione la metrica nell'intorno di un generico corpo a simmetria

ove si supponga che nel sistema emittente venga spostata una massa M nel sferica. Einstein fu il primo ad ottenere nel xgx5 delle soluzioni approssimatetratto R, nel tempo T. Dato il valore enorme di P~, la potenza P, è sempre pic­sotto forma di serie. La soluzione esatta fu data da Schwarzschild [xgx6]. Que­

colissima, e questo spiega le enormi difficoltà finora incontrate nei tentativi di ste metriche possono venire scritte nel modo piu semplice introducendo coordi­mettere in evidenza le onde gravitazionali.n ate quasi-minkowskiane x', x , x , x =t, legate alle solite coordinate polari:Valga l'esempio di un corpo rotante, per il quale si ha

x =r c o s t ps in& x = r sincpsin& x = rcos8.3zGQ~I~c~

7'375c Allora si dirà isotropa una metrica del tipo

dove Q è la frequenza di rotazione, I =Iu +Igp e = (I„— I~~)/I, e Ix„ Ia, sono i (7.38) dtt = B(r)dx — A(r)dr — r (d& +sin S dy )momenti di inerzia lungo gli assi ortogonali a quello di rotazione. Se il corpo è In tal caso, le uniche componenti non nulle dei simboli di Christoffel sonosimmetrico rispetto a questo asse, non c'è emissione. Piu generalmente, è ne­ r sin~&cessario un quadrupolo variabile per avere emissione di onde gravitazionali:

VVnon esistono né onde di monopolo, né di dipolo.La (7.37) può applicarsi al caso di un pianeta di massa m in orbita alla di­ B'

stanza r. Si ha: I~~ = o, e = x, I„= mr ' , per cui r„ = ­ r„, = r„; = ­*

l'„~„ = ­ sin 8 cos&

3zGQ~m~r4 B'P, = r ; = ctg~ I ,t =vs tr zB5c

Per il pianeta Giove: m= x,g xo g , r = 7 78 . x o c m , Q = x ,68.xo s e c ' , e avendo usato gli indici t, r, &, rp. Pertantoquindi P, = 3,5 kW, che è una potenza assolutamente trascurabile : occorrereb­ B" xB' d ' B'h xA'bero xo~s anni per registrare la caduta di Giove nel Sole. Nel caso del pulsar bi­ R ­ — + — ­ — + )zB 4B A B ) r Anario PS xtix6 +x3, la separazione delle componenti è dell'ordine di xorx cm,m xoss g, ed il periodo è di alcune ore; la potenza emessa risulta dell'ordine dixoa' erg/sec e il sistema decade tipicamente in un miliardo di anni. L'irraggia­ &a x+AB A+A

(7.4o)mento cresce velocemente al ridursi della distanza tra le due componenti; alla R~ = sinai R>>separazione di xooo km, si avrebbe P, x o4~ erg/sec e il collasso avverrebbe inmeno di tre ore.

Come confronto si consideri una sbarra di acciaio del diametro di x metro zA 4 A A B r A

e di lunghezza zo metri, della massa di 4go tonnellate, che ruoti attorno ad un R , = o se i x gv .asse trasversale con una frequenza massima compatibile con la resistenza del In tutte queste formule si è sottintesa la dipendenza esplicita di A e B da r ;materiale: Q = z8 rad/sec. La potenza radiata vale circa z,z. xo a~ erg/sec, del un apice denota differenziazione rispetto ad r. Dalla (7.25) si vede che nello spa­tutto trascurabile rispetto alle perdite per attrito. La creazione di sorgenti di on­ zio vuoto si hade gravitazionali in laboratorio appare ancora poco probabile. Molto piu promet­

(7.4x) R~,— g,R/z = o,tente è l'idea di Weber [xg6x] di rivelare onde gravitazionali provenienti da sor­genti astrofisiche (collassi da supernova) mediante le vibrazioni da esse indotte che, contratta con gt'", dà R = o , R , = o. Utilizzando le (7.4o) si trovain un grande cilindro di alluminio. Un'altra idea di Braginsky [xq65] utiliz­ zMGza delle cavità superconduttrici in cui la radiazione incidente dovrebbe indurre (7.4z) B = x AB = x

c f

Relatività 88o 88I Relatività

dove M è una costante d'integrazione. Tuttavia, dato che a grandi distanze ci si nella regione r(zBK, ]à dove essa è vuota. Poiché da questa regione non possonoaspetta che la soluzione descriva il solito potenziale newtoniano, confrontando B essere inviati segnali all'esterno, essa viene chiamata «buco nero».con la (7.7) risulta che la costante M è da identificarsi con la massa del corpo. Fisicamente, se una data massa viene compressa in un raggio sempre piu pic­Perciò la metrica di Schwarzschild è data da colo, si possono realizzare estensioni di spazio vuoto che si avvicinano sempre

z MGE , zMG — ' piu a r = zBK. Successivamente, la struttura diventa instabile e la forza gravita­(7.43) d@ = I dt ­ I dr — r'(d8 +sin 8 dkp') zionale vince tutte le altre; il sistema procede verso il collasso gravitazionale e

c r c»rsi forma un buco nero. La zona esterna alla massa in collasso è ancora rappre­

Esistono altre forme di questa metrica ad essa equivalenti [cfr. Weinberg Ig7z ; sentata da un frammento del quadrante Q. Un osservatore A sulla superficieMisner, Thorne e Wheeler Iq73 ]. Si noterà che la (7.43) diventa degenere per della stella finisce per raggiungere la sfera r = z' ed entrare in R,. Per un os­r = zMG/c2, noto come raggio di Schwarzschild. Non si t ratta tuttavia di un servatore esterno B, l'orizzonte r = zBK viene raggiunto da A in un tempo infi­punto singolare della soluzione, bensi di una singolarità fisicamente inessen­ nito e l'entrata in R, non viene mai osservata. A invece impiega un tempo finitoziale, derivante dall'uso di una carta di coordinate inadeguata. dell'ordine di z%/c per arrivare su r = z%; giunto in R„A d e ve procedere di

Piu recentemente, Finkelstein [ Ikl)8] e Kruskal [iq6o] sono giunti a formu­ necessità fino alla singolarità r = o, v = ~z2 + I, dove le equazioni del campo ces­lare delle nuove coordinate che chiariscono completamente la struttura geome­ sano di avere significato. Un frammento di regione R, è dunque effettivamentetrica della soluzione (7.43). Usando la lunghezza% = MG/c' come misura della raggiungibile attraverso il collasso gravitazionale; varcato tuttavia l 'orizzontemassa del corpo, si introducano le variabili r = zBK, non sarà piu possibile comunicare ad un osservatore esterno B i risultati

dell'osservazione.

(744 I ) e'i4® sinh­

7.6. Moto di un corpo nel campo isotropo.r

(744 z)zBH. Verrà ora discusso il moto geodetico di un corpo di prova nel campo esterno

pci cui a una massa sferica, e si applicheranno i risultati al caso del Sole. Le equazionir

(7 4S) V — Z = I2 2 =

z%)cu25K della caduta libera sono date dalle (7.2) ; introducendo le componenti di Chris­toAel (7.39), si può scrivere esplicitamente:

Si può considerare r=r (z, v) come una funzione di z, v, ottenuta risol­vendo l'equazione implicita (7.45). Sostituendo nella (7.43) si ottiene l'espres­ (7.47.I ) — + ­ ­ — ­

­ — r — + ­ ­ = osione

3zBK'(7.46) du2= e "' ~(dv' — dz') — r (d& +sin'&d kp), d25 z dg dr é'dkpV

r (747 z) ,+ ­ ­ sin& cos&( — )= odu2 r du du (,)

che non presenta alcuna singolarità in r = z%.La corrispondenza tra t, r, e z, v, dà il quadrante Q„z) o e ivi (z, come im­ d2kp z dkp dr dkp d&

(7 47 3 ) , + — + z ctg 8 — = om agine di r) z ' e — ~ < t ( +~. D'altra parte, la metrica (7.46) ha senso an­ du2 r du du du duche in tutta la regione Q: v — z < I, nel piano z, V, che contiene Qi. Tale re­ d»t B' dt d rgione estesa contiene anche il quadrante Q2, z<o e ~v~ ( — z, simmetrico ri­ (7 47 4) — + — — — = o .spetto al primo. La frontiera v2 — z'= I costituisce una vera singolarità per la du' B du dusoluzione in r = o. In Q, oltre Q„Q2, vi sono anche le regioni R,: ~z~ <V<<oca'+c, eR : — v» + c < o < — ~e~: poiché ll cono luce de=o ­ eeccinken­ Queste equazioni si discutono cercando le costanti del moto, e stabilendo in

dosi a 8, kp costanti — si presenta nel piano z, v come z+v = cost, si vede che lequale approssimazione esse si riducono al moto kepleriano nel potenziale di

traiettorie dei corpi materiali non possono deviare piu di 4gk' dal semiasse po­ Newton, Converrà notare subito che, causa la isotropia della metrica, non si ha

sitivo di v. Pertanto Q, e Q2 non possono comunicare fra loro, mentre R, puòperdita di generalità supponendo 9 = rk/z ; la (7.47.3) risulta allora identicamen­

ricevere segnali da Qi, Q„ma non può inviarne ad essi, mentre R2 può inviare d j 2d kph

segnali a Qi, Q2, ma non riceverne.te soddisfatta. La (7.47.I ) equivale a — l r — ) = o, ossiadui du)

Pertanto la soluzione di Schwarzschild rappresenta il campo esterno alla 2 dkp(7.48) r 2 — = — = cost.

massa, e può essere continuata analiticamente, per mezzo della (7.46), anche du c

883 RelativitàRelatività 88z

Si ottiene in questo modo l'analogo della legge delle aree o conservazione del mo­ Per le orbite circolari vale immutata la legge di Keplero: o)2r~2= MG, dove

mento angolare. Inoltre, dalla (7.47.4), o) = dq)/dT.È impossibile integrare esattamente queste equazioni del moto nel caso gene­

rale senza ricorrere alle funzioni ellittiche. Per orbite quasi circolari si ponga in­B ­ = o, vece: z (q)) = z2+vi (q)), con 3zp zia+t/Z = o; derivando la (7.5z), si ha allora

da cuid t E d2q

(7 49) — = ­ E = cost, — + (t — 6z2) rl = 3q2du B dq)

che, come si vedrà subito, esprime la conservazione dell'energia. Introducendo e, trascurando il termine r/2, si ottiene la soluzione approssimata

(7.48) e (7.49) nella (7.47.x), si ottiene vl (tp) = vl, cos (~ r — 6z, p+ p,),

dove r/(), q)2 sono costanti d'integrazione. Due massimi successivi in q(q)) sonodu du c2r 2 B inter allati in tp da E = zn/~ r — 6z„; le o bite quasi ci colari non si chi do o

per cui si ha la costante del moto in se stesse come per le ellissi di Keplero (A = zqr). Per piccoli z, si ha: Aq )­=

­= A — zt(=6rrGM /c2r~, che costituisce un'ottima approssimazione per i pianetidotati notoriamente di una piccola precessione. Per Mercurio, Aq t vale o,xo38"

(7.5o) A — +2 2

­ K.per rivoluzione, circa 43,03 per secolo. La teoria newtoniana darebbe comeprecessione, causata dalla perturbazione dei pianeti, Aq)/v= 5557,6z" / secolo ; siSi supponga ora K pd:o ; poiché le (7.z) sono invarianti se si moltiplica u per un osserva invece : Aq)pgg= 5600,73 ' /secolo, e la differenza Aq)z — Aq)~„è in ott i­

fattore costante non nullo (trasformazioni di scala), si può anche supporreK = r. mo accordo con la predizione Aq) einsteiniana.

A questo risultato, di notevole importanza non solamente storica, non sonoPer ottenere la corretta interpretazione fisica delle costanti E, j occorre ri­mancate critiche. Uno schiacciamento equatoriale del Sole condurrebbe a de­farsi al caso kepleriano, in cui le velocità sono basse e r>>z' . Conviene reintro­viazioni quadrupolari dalla legge di Newton, che potrebbero influenzare il cal­durre la variabile temporale T: x = t = cT. Per un moto nel piano x,y, il mo­ colo classico di Aq)/v. Questo lascerebbe spazio per la teoria di Jordan [t959] emento angolare è dato da r2(dq/dt) (m= t ), che coincide con j /c nel limite con­ Brans-Dicke [x96t], una generalizzazione della relatività generale. Altri datisiderato. Se il corpo è in un'orbita aperta, all'infinito si ha, per la (7.4z), B t , osservativi conducono a ritenere sempre meno probabile questa teoria e trascura­e dt du (moto lento), per cui E deve essere molto prossimo a x. Nel caso keple­ bile lo schiacciamento solare. Anche gli altri pianeti (in particolare la Terra, Ve­riano la conservazione dell'energia è data da:nere ed Icaro ) mostrano precessioni in accordo con la teoria, ma soggette aderrori osservativi piu ri levanti. Spettacolare invece il già citato pulsar binario

(75 t ) —, dT + —,­ Ps ?9I6+ t 3, che mostra una forte precessione causata dall'orbita molto eccen­trica e stretta (il semiasse maggiore è dell'ordine di un milione di chilometri) ed

La (7.52) coincide con la (7.5o) se si tiene conto che u = cT e che, per la in perfetto accordo con le previsioni relativistiche.(7.42), jl x ; inoltre bisogna porre E x+ s/c, dove s è l'energia non relativi­ Rimane da considerare il caso della deflessione della luce nel campo gravita­stica d I t . I ge e r l e , p r o bite pe te, si h E /vrr — /l=, do e b„v zio ale di u est l l di a sa M . S i i co d i h e , p m =

,

'E = ' /~ P ' „ ;calcolato all'infinito. E corrisponde dunque all'energia del sistema. inoltre, detto b il parametro d'impatto, cioè la distanza tra il centro della stella e

Il calcolo dell'orbita segue gli stessi procedimenti del caso kepleriano, e si la rett c i t ende il co po, si ha j = hp do ve p„„,= /t„ /~ r — (I è i l o ent oimposta eliminando il tempo ed introducendo q) come variabile indipendente, l ineare all'infinito. Pertanto, nel l imite 2 )~c, si ha j , I , E ~ ~ , me n t re I /E~usando la (7.48). Si ottiene ~b/9K. La (7.52) diventa

dr t zMG t — E zM Gc2

r' d r' c'ra j g'r (7 53)

che, introducendo le variabili adimensionate I = jc /MG, z = MG/rc2, si riduce a e, diflerenziando,

dz)~ E 2 (, ») (, 4.Z2z2) d2z

(7 5z) (7 54) +z = 3z­d~) Z2 dq 2

Relatività 885 Relatività

In assenza del termine in z2, si avrebbe l'orbita rettilinea parallela all'asse x che un campo elettromagnetico con un dipolo magnetico indotto dalla rota­BK . zione ; esso ha la forma:

z«(lp) = ­ sin q> ;(7.56) F = ­ F, d x i 'R dx ' = Qp — [(r' — a cos'&)dr p,

per piccole deviazioni da essa, si ponga z (lp) = z«(lp) yz,( dp), contl, (dt — a sin2& dèp)+zaar cos& sin& d8 R [(r2~a2 )drp — adt]],

d z elle '+ zl 3 z2 «3 ( sjn2 tp dove, ad esempio, dx è'Adx' = — dx' tq,dxi'. Questo campo contribuisce al tensore

energia-impulso T„e condizioni iniziali z (o) = o, dz/d@~«= BK/b. Allora si ottiene la soluzione ap­ La Kerr-Newman è molto importante per lo studio di collassi gravitazio­prossimata nali non isotropi, Su ulteriori generalizzazioni di questa soluzione non esistono

OR % V q>4 teoremi rigorosi se non quello di Birkhoff e la congettura del no hair. Il primo èz( (p) =- ­ sinp+4 ­ )

sin ­,b b) l'analogo del risultato di Newton, secondo cui ogni potenziale gravitazionale a

simmetria sferica è necessariamente un multiplo di quello newtoniano:che possiede, oltre allo zero di «entrata» in lp = o, anche lo zero di «uscita» per

TEQREMA (Birkhoff). Se la geometria di una regione dello spazio-tempo hatp = <~49K/b+O(9R/b)2. In questa approssimazione, la defiessione è dunque

simmetria sferica ed è soluzione delle equazioni di Einstein nel r iuoto, allora la re­4MG/bc2

gione è necessariamente un frammento di quella di Schrcarzschild.Per il Sole, questa quantità vale circa I,75, predizione verificata per la primavolta durante un'eclissi di Sole a Sobral nel I9 I9; a ltre verifiche furono fatte Per la prova si rimanda a Birkhoff [I923]. Esso implica l'assenza di onde gra­durante successive eclissi fino al I95z in Sudan. La conferma dell'effetto rese vitazionali a simmetria sferica e quindi l'assenza di onde nel collasso gravitazio­Einstein famosissimo presso il grande pubblico, Il procedimento usato richiede nale isotropo. Si dà molto credito anche alla congettura no hair, secondo cui loil confronto tra due fotografie dello stesso campo stellare, una ripresa vicino al stadio finale del collasso gravitazionale di un oggetto è sempre rappresentato dabordo solare durante l'eclissi, l'altra a distanza di sei mesi in assenza del Sole. una soluzione di Kerr-Newman. Va notato che esistono altre soluzioni staticheTutte le misure ottiche effettuate finora concordano con errori non superiori al delle equazioni del campo. Tutte queste soluzioni mostrano singolarità cosiddet­zo per cento circa. te «nude», tali cioè da essere in principio osservabili dall'esterno. Nella Kerr­

Migliori risultati si ottengono misurando la deflessione di radioonde emes­ Newman, invece, queste singolarità (come si è visto nel caso particolare dellase da sorgenti quasi-stellari mediante radiotelescopi. Due di queste sorgenti, Schwarzschild) sono poste al di là dell'orizzonte degli eventi e quindi non sono3C279 e 3Cz73, vengono periodicamente occultate dal Sole e si prestano a mi­ osservabili.sure che risultano affette da errori molto minori (I per cento). Altre verifiche Lo stadio finale del collasso dovrebbe essere caratterizzato unicamente daimplicano la misura di echi radar da parte di pianeti e satelliti artificiali in orbita M, Q, j, e quindi da parametri rilevabili mediante osservazioni effettuate concircumsolare. campi a lungo raggio d'azione, quali il campo gravitazionale e quello elettroma­

gnetico. La formazione del buco nero cancella tutta l' informazione riguardante

7.7. Generalità sul collasso gravitazionale. gli altri campi o le eventuali irregolarità ed anisotropie iniziali del corpo da cuiha tratto origine, Esso appare, o appariva, come la morte ultima della materia.

La soluzione di Schwarzschild è stata generalizzata al caso di un corpo ro­ È possibile estrarre, in teoria, energia dalla Kerr-Newman secondo un espe­

tante dotato di carica elettrica, secondo la soluzione di Kerr-Newman. Di que­ rimento concettuale di Penrose [ I969] a spese dell'energia rotazionale del buco.

sta, date le notevoli complicazioni tecniche, non si r iporterà che la formula Quando questa sia esaurita, si giunge alla soluzione isotropa da cui non è possi­

finale : bile estrarre energia con mezzi basati sulla meccanica classica.Negli ultimi anni sono state studiate molte proprietà dei buchi neri, che sta­

(7 ss) ds2 = — —,(dt — a sin 2& ddp)2+ biliscono interessanti legami con la meccanica dei quanti e con il secondo prin­P cipio della termodinamica, che è stato generalizzato. Di queste ricerche si da­sin 8 p 2

+ [(r +a )d dp — adt] + — dr + p d&, ranno solo alcune considerazioni euristiche.P Poiché la creazione di un buco nero distrugge informazione in modo irrever­

sibile, si può assegnare al buco nero un certo ammontare di entropia proporzio­dove p' =r + a cos Bt e A = r» ­zar+a + Q . Il momento angolare del cor­ nale al volume dell'oggetto. L'entropia di un insieme di buchi neri può solamen­po è dato d J = Mnc, e la carica elettric è P = est8nG/ . Esiste dunque an­ te crescere a seguito delle loro interazioni. Se due o piu di essi collidono, possono

29

Relatività 886 887 Relatività

coalescere formandone uno con un volume totale eccedente quello dei fram­menti. Havqking [it)7) ] ha tuttavia dimostrato che un buco nero può effettuare Birkhotf, G. D.

19?3 Relativity and Modem Physics, Harvard University Press, Cambridge Mass.una transizione quantistica emettendo fotoni (ma anche altre particelle ) e dimi­ Braginsky, V. B.nuire di massa fino a scomparire. L'emissione di fotoni avviene secondo lo spet­

Ig65 Gr a v i t a t ional rad iat ion and t he p rospect of i t s e xperimental d iscovery, i n «Uspechitro del corpo nero di Planck, con una temperatura che è inversamente propor­ Fizibeskich Nauk», LXXX VI , pp. 433-46.

zionale alla massa del buco e con una intensità che va come Acs/GzMz. Proceden­ Brans, C., e Dicke, R. H.do l'evaporazione, aumentano dunque la temperatura del buco e la potenza di I96I Ma ch ' s principle and a relativistic theory of gravitation, i n «Physical Review», CXXI V ,

emissione, fino al punto in cui questo scompare in una esplosione. La vita me­ PP 9z5-35.Cartan, E.

dia di un buco nero di ro ' grammi è valutata circa io anni, l 'età cioè dell'Uni­ 19?3-24 Su r l es variétésà connexion affine et la theorie de la Rélativité Generalisée,in «Annalesverso. Oggetti di questo tipo formatisi durante il big bang esploderebbero ades­ de l'Ecole Normale Supérieure», XL, pp. 3z5-4I?., e XLI, pp. I - z5 .

so, e potrebbero venire osservati. I buchi neri formati dal collasso di masse stel­ Christoffel, E. B.lari avrebbero invece una vita media troppo lunga ( io 4 anni ) e comunque rice­ I86g Uber d ie Transformation der homogenen Differentialausdrucke ztoeiten Grades, in «Jour­

nal fur die reine und angewandte Mathematik h LXX, pp. 46-7o.verebbero piu energia dalla radiazione fossile, di quanta ne perderebbero evapo­Dirac, P.-A.-M.

rando. L'entropia del buco nero si ritrova sotto forma di entropia del gas di fo­ Ig3o Th e Pr inciples of Ouantum Mechanics, Clarendon Presa, Oxford 1958» (trad. it. Borin­toni risultante dall'evaporazione ;si generalizza in questo modo il secondo prin­ ghieri, Torino I959).cipio della termodinamica. Dyson, F. W. ; Eddington, A. S. ; e Davidson, C.

Quali sono i dati osservativi in nostro possesso sull'esistenza effettiva dei bu­ Igzo A d e t e rmination of the defiection of the light. by the sun's gravitational field, in «Philoso­

chi neri? La sorgente Cygnus X i, a raggi X, sembra avere molte caratteristiche phical Transactions of the Royal Society of London», serie A, CCXX, p p . z g»-98.

spiegabili solamente con un modello di accrezione, in cui un buco nero è in or­ Einstein, A.tgo5a Zur Elektrodynamik betcegter Korper, in «Annalen der Physik», XVII , pp. 891-92I.

bita molto stretta attorno a una gigante blu. L'atmosfera di questa gigante blu 1905b 1st die Tragheit eines Korpers von seinem Energieinhalt abhangig?, in «Annalen der Phy­precipita nel campo del buco nero, viene soggetta a violenta compressione e ri­ s ik»> XVIH> pp. 639-4I .

scaldamento, dando luogo ad emissione di raggi X, effettivamente osservati con Ig»6 Di » G rundlage der allgemeine Relativitatsthcorie, i n «Annalen der Physik», XLIX, p p .769-gzz (trad. it. in M. Pantaleo (a cura di), Cinquant' anni di relatività, Edi t r ice Uni­

le caratteristiche predette dalla teoria. Esistono altre spiegazioni che non impli­ versitaria, Firenze Ig55).cano l'esistenza del buco nero; tuttavia esse appaiono piu artificiali di quella Igzz Vie r V o r lesungen iiber Relativitátstheorie, Vieweg, Braunschweig (trad. it. Boringhieri,

proposta, e saranno probabilmente scartate con l'affinarsi sia della teoria, siaTorino I968s).

dell'osservazione. Eotvos, R. V.I88g Ub e r d ie Anziehung der Erde auf verschiedene Substanzen, in «Mathematische und na­

La distribuzione delle stelle nelle galassie giganti ellittiche quali M87, in turwissenschaftliche Berichte aus Ungarn», V l l l , pp . 65-68.Virgo, mostra delle strutture anomale a cuspide da cui proviene una emissione Finkelstein, D.di raggi X, e da cui pare uscire un getto di materia ad alta velocità. È molto dif­ I958 Pa s t- future asymmetry of the gravitational field of a point particle, in «Physical Review»,

ficile immaginare delle sorgenti termonucleari capaci di provocare fenomeni del CX, pp. g65-67.

genere; infatti queste reazioni convertono al piu lo o,8 per cento della massa to­ Gauss, C. F.I8z8 Di s quisitiones generales circa superficies curvas, Dieterich, Gátt ingen.tale in energia, mentre è possibile che il buco nero si dimostri un convertitore

molto piu efficiente. Si pensa dunque che nel centro di questa galassia esista un Goldstein, H.1959 Cl a ssical Mechanics, Addison-Wesley, Reading Mass. ( trad. i t . Zan ichelli, Bologna

buco nero con una massa di circa tos masse solari. Oggetti del genere esistereb­ I97I ).bero, ma di dimensioni minori, nel centro degli ammassi globulari. Hawking, S. W.

Non s'insisterà oltre su questo soggetto, di alto interesse, sia per ragioni di I975 Particle creation by black holes, in «Communications in Mathematical Physics», XLII I ,

spazio sia perché lo sviluppo delle tecniche osservative è tale da portare a una PP. I99-2zo.

radicale revisione delle nostre conoscenze nel giro di pochi anni, rendendo que­ Holton, G.Ig6o On t h e o r igins of the special theory of relativity, in «American Journal of Physics»,

sta rassegna rapidamente obsoleta. XXVII I , pp. 6z7-43.Occorre comunque avvertire il lettore che la presente esposizione della rela­ Hubble, E.

tività non pretende di essere esauriente, in quanto non tratta, ad esempio, ar­ 1929 A r e la t ion between distance and radiai velocity among extragalactic nebulae, in «Proceed­

gomenti molto importanti di astrofisica e cosmologia, strettamente basati sulla ings of the National Academy of Sc iences of the Uni ted States of America», XV, pp.I69-73.

teoria della relatività generale [per essi si rimanda ancora una volta a Weinberg Jordan, P.i972; Misner, Thorne e Wheeler rs)7g ; e ad altri articoli di questa stessa Enci­ I959 Zum gegentoartigen Stand der Diracschen Kosmologischen Hypothesen, in»Ze i tschrift fùrcloPedia]. [T.R.]. Physik», CLVI I , pp . I t z -?.I .

Relatività 888 88r) Relatività

Kruskal, M. D.r g6o Ma x i mal Extension of Schrcarzschild Metric, in «Physical Review», CXIX, 5, pp. r743-45.

Le idee fondamentali della relatività si sono innestate su una profonda revisione delleLevi-Civita, T. nozioni di spazio e di tempo (cfr. spazio-tempo) e di moto per arrivare infine a una so­

rgr7 No z i o ne di paral lelismo in una varietà qualunque e conseguente specéficazione geometricadella curvatura riemanniana, i n «Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo», XLI I , fisticata modellistica (cfr. modello, teoria/modello) dell'universo, particolarmente ri­pp. r73-zo4. levante per le diverse cosmologie attuali. Al l 'e laborazione einsteiniana del rgo5 che,

Lipschitz, R. com'è noto, conteneva i punti di fondo della cosiddetta relatività speciale, che veniva sem­

r86g Unt e rsuchungcn in Betreff der ganzen homogenen Functionen von n D igercntialen, in pre piu autorevolmente a rappresentare il quadro concettuale (cfr. paradigma) adatto«Journal fùr die reine und angewandte Mathematik», LXX, pp. 7r- roz . allo studio del campo elettromagnetico (cfr. forza/campo), si è affiancata a partire dal

Lorentz, H. r916 l'elaborazione della relatività «generale«che ha invece prospettato sotto forma nuovar go4 El e ctromagnetic phenomena in a system moving u>ith any velocity smaller than that of light, la questione della gravitazione. Lo stesso Einstein, infine, ha elaborato una teoria del

in «Atti dell Academia Scienriarum di Amsterdam», VI, pp. 8og-3z ; ora in H. Lorentz,A. Einstein, H. Minkowski e H, Weyl (a cura di), The Principle of Relativity, Dover, campo unificato, avanzando l'esigenza di un quadro concettuale unitario (cfr. uno/molti)New York rg5z. per le interazioni (cfr. interazione) fisiche fondamentali. Nella fisica attuale la relatività

Minkowski, H. speciale si ritiene ormai ampiamente corroborata; piu sottile è invece la questione deller go8 Die G rundgleichungen fur die elehrromagnetischen Vorgange i n beuregten Korpern, in «prove sperimentali » (cfr. empiria/esperienza, esperimento e, per altri aspetti, equi­

«Nachrichten von der K á n ig l ichen Gesellschaft der W issenschaften zu Gòt t ingen, valenza) della relatività generale (una classica «prova» addotta è, notoriamente, l'ano­Mathematisch-physikalische Klasse», I, pp. 53-I Ir ; ora in H. Lorentz, A. Einstein, H. malia del perielio di Mercurio : cfr. pianeti, astronomia), che si presenta non solo comeMinkowski e H. Weyl (a cura di), The Principle of Relativity, Dover, New York r g5z.

uno sviluppo delle idee matematiche di Riemann (cfr. matematiche; e, per temi p iuMisner, C. W. ; Thorne, K. S. ; e Wheeler, J. A.r973 Gr a v i tation, Freeman, San Francisco.

specifici, geometria e topologia, sistemi di riferimento), ma come un ripensamentoradicale delle nozioni fisiche di materia, luce, ecc. Sotto quest'ultimo profilo la relati­Pauli, W.

rgzr « R e la t iv i tatstheorie», in Encyclopádie der Mathemarischen Wéssenschaften> v oi. V, a r t .vità è non solo un esempio di riuscita rivoluzione scientifica (cfr. ricerca, scienza) che

19, Teubner, Leipzig, pp. 539-775 (trad, it. Boringhieri, Torino r978e). ha visto infine prevalere le proprie modalità di spiegazione dei fenomeni, ma, forse, unaPenrose, R, concezione della natura (cfr. anche mondo) con cui le stesse filosofie e metafisiche hanno

r g6g Gr avitational Collapse: the Raie of Generai Relativity, in «Rivista del Nuovo Cimento», da confrontarsi (cfr. concetto, idea; metafisica e filosofia/filosofie).I> 252-76.

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to66

Reversibilità/irreversibilità

Sono innumerevoli gli aspetti dell'esperienza quotidiana che contribuisconoa fornire solide basi empiriche all'idea che tutti i fenomeni naturali procedonoin una ben definita direzione temporale, dal passato al presente e verso il futu­ro. È quindi profondamente radicata nella nostra coscienza una concezione deltempo la cui caratteristica fondamentale è la proprietà di flusso unidirezionale,con la naturale conseguenza di una profonda differenziazione tra il concetto diun passato irrimediabilmente trascorso, in cui tutto è assolutamente invariabilee di cui al piu si può aver memoria, e di un futuro ancora da realizzarsi, in cuitutto è completamente indeterminato e che si può in qualche modo influenzare,mediante l'intervento della nostra volontà e delle nostre azioni.

Tuttavia, nell'ambito di una piu particolare analisi scientifica del concetto ditempo, non è possibile assumere per scontata questa proprietà di assoluta in­trinseca irreversibilità, per quanto forti possano essere gli argomenti in suo fa­vore, sia di tipo fisiologico e psicologico sia di tipo storico-sociale o piu gene­ralmente collegati a concezioni filosofiche. Infatti è ben noto che tutte le leggifisiche elementari del moto, come quelle della meccanica classica, dell'elettro­dinamica, della meccanica quantistica e della relatività generale, sono perfetta­mente reversibili rispetto al tempo, nel senso che ad ogni fenomeno elementare,che si svolge in una determinata direzione temporale rispettando le leggi delmoto, corrisponde, in un senso ben definito, un altro fenomeno elementare chesi svolge secondo la direzione temporale opposta ma ancora nel pieno rispettodelle leggi del moto.

Per dare un'immagine semplice ed immediata che serva ad illustrare questacontrapposizione si possono considerare le seguenti situazioni. Si supponga dieffettuare una ripresa cinematografica di un qualsiasi evento di vita quotidiana,quale per esempio l'accensione di un fiammifero, lo sciogliersi al sole di unpupazzo di neve, il tuffo di un nuotatore dal trampolino in piscina.. . La suc­cessiva proiezione della pellicola riprodurrà sullo schermo l'evento, cosi comesi è svolto, ma se s'immagina di proiettare la pellicola in senso inverso alloraquanto appare sullo schermo sarà immediatamente riconosciuto, nella maggiorparte dei casi, come innaturale e qualificato come impossibile a verificarsi nellarealtà. Se invece la pellicola contiene la registrazione di fenomeni elementariche si svolgono secondo le leggi della meccanica, quali l'urto tra sfere perfet­tamente elastiche oppure la riproduzione del moto dei pianeti nel sistema solare,allora non sarà possibile rilevare differenze di «naturalezza» tra gli eventi ri­prodotti sullo schermo in corrispondenza dei due versi di proiezione della pel­licola. Entrambi gl i eventi infatti, nonostante la loro diversità, sembrerannosvolgersi nel rispetto delle leggi del moto.

In generale, quindi, ogni processo fisico elementare può aver luogo in sensodiretto, svolgendosi dal passato verso il futuro, oppure in senso temporale in­vertito, dal futuro verso il passato. Di conseguenza, per i processi fisici elemen­

Reversibil i tà/ i r reversibi l i tà ro68 I069 R eversibilità/irreversibil i tà

tari non esiste una direzione privilegiata per il flusso temporale, poiché entrambe modi secondo cui è possibile conciliare sulla base di una interpretazione unitariale direzioni, sia quella naturale, data dalla nostra sensazione empirica, sia quella dei fenomeni fisici, il carattere temporalmente reversibile delle leggi elementariinversa, sono perfettamente equivalenti nella descrizione dei fenomeni. Ci si microscopiche del moto con le proprietà di irreversibilità delle leggi fenomeno­trova allora di fronte a una drastica dicotomia tra il concetto di i rreversibilità logiche dei processi macroscopici dissipativi.del senso del tempo, che per le sue solide basi fisiologiche, psicologiche, sto­ Il problema cosi posto è storicamente riconducibile al programma di Lud­riche e filosofiche, è profondamente connaturato alla nostra cultura e alla no­ wig Boltzmann [r896-98] di dare una fondazione microscopica al secondo prin­stra civiltà, e il concetto opposto di reversibilità, che è alla base di tutte le leggi cipio della termodinamica, nel quadro di un'interpretazione cinetico-moleco­fisiche elementari del moto la cui validità sperimentale è solidamente stabilita lare della struttura dei corpi materiali.nell'ambito delle varie classi di fenomeni trattati. Nelle sue linee concettuali di base, la soluzione sostanziale di questo proble­

D'altra parte anche dal punto di vista fisico esistono casi importanti dove è ma è stata ottenuta nel corso di un'intensa e multiforme attività di ricerca, cheossibile fare distinzione tra i due sensi di flusso del tempo. Infatti per tutti i ha avuto i suoi momenti decisivi verso la fine del secolo scorso, all'epoca della

processi fisici macroscopici irreversibili, come quelli legati a fenomeni di attrito, polemica tra i sostenitori dell'ipotesi atomica, Boltzmann in testa, e i suoi de­di viscosità, di difFusione, di conduzione del calore, ecc., le corrispondenti leggi trattori, con l' individuazione di tutti gl i elementi essenziali, di natura fisica efenomenologiche non sono invarianti per inversione temporale. Cosi per esem­ probabilistica, che sono alla base della possibilità di superamento della dico­pio l'attrito e la viscosità si oppongono sempre al moto dei co p'o ei cor i e al flusso dei tomia e dei quali verrà data una trattazione per quanto possibile esauriente nellefluidi e mai l i agevolano, le sostanze in soluzione difFondono spontaneamente pagine seguenti. La caratteristica determinante della soluzione della dicotomia,dalle zone a concentrazione piu alta verso quelle dove la concentrazione è piu cosi come si è venuta storicamente configurando, è costituita dal riconoscimentobassa e mai viceversa, se si pongono a contatto corpi a temperatura diversa che le equazioni fenomenologiche, che descrivono i processi macroscopici ir­allora il calore passa spontaneamente dal corpo a temperatura piu alta verso reversibili, e piu in generale il secondo principio della termodinamica, non han­uello a temperatura piu bassa, mentre non accade mai che il corpo a tempera­ no validità assoluta e illimitata ma devono essere intesi come validi con altis­

tura piu bassa si raffreddi ulteriormente cedendo spontanearnente calore a quel­ sima probabilità, non potendosi escludere, per via puramente di namica, chelo a temperatura piu alta. Pertanto una ben definita unidirezionalità temporale possano esistere situazioni microscopiche patologiche che diano luogo a com­può essere associata a tutti i processi macroscopici che coinvolgono fenomeni portamenti macroscopici in disaccordo con le equazioni fenomenologiche e ildissipativi. secondo principio della termodinamica. Peraltro tali situazioni microscopiche

Questa unidirezionalità temporale è in ultima analisi connessa con una im­ patologiche hanno, per sistemi sufficientemente complessi, una trascurabileportante legge fisica, di validità generale, nota come legge di accrescimento del­ probabilità di verificarsi, per cui in tutti i casi pratici il secondo principio dellal'entropia, che può essere posta alla base del secondo principio della termodi­ termodinamica e le equazioni fenomenologiche risultano pienamente soddisfatti.namica. La conduzione del calore, i fenomeni di diflusione, i processi nei quali D'altra parte il problema è da considerare tuttora aperto, nel senso che non

intervengono effetti di attrito e di viscosità ed in generale tutti i processi macro­ esiste ancora una derivazione completamente rigorosa delle equazioni fenome­scopici irreversibili sono accompagnati da una generale cre dscita locale di entro­ nologiche dei processi irreversibili a partire dalle leggi fondamentali del moto

ia. Anche i processi che avvengono nel nostro organismo, in particolare quello dei costituenti elementari della materia. Al termine di questo articolo si descri­di memorizzazione, sono associati a un inevitabile incremento dell'entropia. veranno le difficoltà che ancora si oppongono ad una completa realizzazione del

Si ha quindi in definitiva che la legge di accrescimento dell'entropia, in quan­ programma e verrà data una rapida illustrazione di alcune delle linee di ricercato legge fisica generale che traduce l'irreversibilità dei processi macroscopici, attualmente perseguite e volte ad una progressiva rimozione degli ostacoli tut­induce una differenza qualitativa tra eventi passati ed eventi futuri, che viene da tora esistenti.noi interpretata come flusso direzionale irreversibile del tempo stesso. Si viene Per ragioni di semplicità la trattazione sarà limitata ai casi coperti dallacosi a riconoscere che in ultima istanza il secondo principio della termodinamica, meccanica classica (non quantistica ), che permettono comunque di isolare nellacon la sua legge di accrescimento dell'entropia, deve essere considerato alla forma piu efficace, sia dal punto di vista storico sia da quello concettuale, tutti ibase della nostra concezione psicologica ed empirica del carattere irreversi i e punti determinanti del problema della dicotomia reversibilità /irreversibilità edel tempo e quindi del concetto stesso generale di tempo anche nelle sue impli­ della sua soluzione su basi probabilistiche.cazioni storiche e filosofiche. Occorre infine rilevare come le grandi di%coltà, sia di tipo fisico sia di tipo

È possibile quindi ottenere la sostanziale riduzione della dicotomia rever­ matematico, che impedisconotuttora una soluzione completamente soddisfa­sibilità /irreversibilità ad un ambito strettamente fisico, piu facilmente affron­ cente e definitiva della dicotomia, abb;ano indotto alcuni ricercatori e le lorotabile con i metodi d ' indagine scientifica attualmente disponibili. In questo scuole ad una drastica revisione dei fondamenti stessi del problema, volta aambito il problema può essere posto nei termini di individuare le forme e i ricercare le basi dell'irreversibilità non nella meccanica (classica o quantistica)

y6

R e versibilità/irreversibil i tà I070 I07I Reversibil i tà/irreversibil i tà

reversibile ma in una nuova meccanica di t ipo stocastico già intrinsecamenteirreversibile. r. Essenziale reversibilità delle leggi elementari del moto.

A questo proposito può essere istruttivo confrontare le affermazioni secondocui « l'irreversibilità... non è affatto in contraddizione con le leggi della dinamica; Per poter illustrare il primo termine della dicotomia si prenderanno in esameal contrario essa segue da queste leggi nei casi in cui venga raggiunto un suf­ alcuni degli aspetti generali della meccanica classica, rinviando ad altri articolificiente grado di "complessità" » [Prigogine e Nicolis ?977, p. z] con le seguenti : di questa stessa Enciclopedia per una piu completa trattazione delle leggi ele­«Bisogna dunque arrendersi all'evidenza: fino a che le premesse medesime­ mentari del moto sia nel caso della meccanica, sia in quelli dell'elettromagne­vale a dire la descrizione dinamica e la sua incarnazione in meccanica statistica, tismo, della meccanica quantistica, della relatività, ecc.l'equazione di Liouville — non saranno modificate, l'entropia, come funzione Nella meccanica classica lo stato di un sistema con n gradi di libertà è in­crescente in maniera monotòna fino a un massimo, resterà sprovvista di signi­ dividuato, in un generico istante t, dalle sue n coordinate q;, che ne descrivonoficato dinamico. L' irreversibilità non può essere dedotta dalla dinamica; essa la configurazione, e dai loro n momenti coniugati p,, che rappresentano gli im­deve dunque esservi introdotta, se la dinamica vuole conservare una certa per­ pulsi (i = r, z, ..., n). L'insieme delle specificazioni (q;, p;) definisce un punto Pt inenza per quello che concerne i processi costitutivi di questo mondo in di­ in uno spazio delle fasi (spazio l') con zn dimensioni. Si chiamano osservabilivenire, la natura» [Prigogine e Stengers r978, p. 432]. le funzioni generiche, A (p, q), delle p e delle q. Il loro valore resta quindi uni­

Tuttavia l'introduzione di dinamiche di tipo stocastico, intrinsecamente ir­ vocamente determinato istante per istante se è noto lo stato, cioè il complessoreversibili e soggette a sorgenti esterne di disordine, non fa che spostare i ter­ dei valori delle p e delle q.mini del problema, tramite l'assunzione come postulati proprio delle caratte­ Se H è la funzione di Hamilton (energia) del sistema, allora il moto naturaleristiche essenziali di ciò che si vorrebbe spiegare (irreversibilità ed effetti dis­ del punto rappresentante lo stato nello spazio delle fasi deve soddisfare le equa­sipativi). Inoltre si produce un lacerante dualismo tra le proprietà del moto dei zioni di Hamiltonsistemi con un piccolo numero di costituenti, descritto senza dubbio dalla mec­ òH òHcanica (classica o quantistica) reversibile, e le proprietà del moto dei sistemi q, = — = (q;, H)

òp, p; = — ò = (p; H)òq;termodinamici con un enorme numero di costituenti, descritto da un'ipotetica

meccanica di tipo stocastico intrinsecamente irreversibile, con conseguenze im­ (i = r, z, ..., n), dove q; e p, sono le derivate temporali di q; (t) e p; (t) e [, ] sono leprevedibili per la stessa validità dell'ipotesi atomica. Le impostazioni di questo parentesi di Poisson definite in generale per due osservabili A (p, q) e B(p, q) datipo quindi, nonostante il loro profondo interesse di natura puramente feno­menologica, non possono costituire la base per l ' interpretazione di fenomenicomplessi, quali l' irreversibilità e gli effetti dissipativi, tramite teorie piu sem­plici, quali la meccanica (classica o quantistica) reversibile.

Sembra quindi piu opportuno seguire l'impostazione complessiva del pro­ In generale, per una qualsiasi osservabile A (p, q), dipendente dal tempo so­blema delineata precedentemente, che, a partire dalle profonde intuizioni di lo implicitarnente attraverso la dipendenza delle p e delle q, si ha la seguenteBoltzmann, ha avuto un progressivo fecondo arricchimento nel suo travagliato equazione di evoluzione temporale A = [A, H}. In particolare, quindi, le os­e difficile sviluppo storico, fornendo continuamente occasioni e spunti per nuo­ servabili che hanno parentesi di Poisson nulla con l 'hamiltoniana sono delleve e piu approfondite investigazioni del piu alto interesse fisico e matematico. costanti del moto.

Questo punto di v ista sembra in particolare significativamente confortato Nei casi fisici che qui interessano la funzione di Hamilton H= H (p, q) nonda importanti risultati di indagini svolte recentemente con metodi matematici dipende esplicitamente dal tempo (quindi l'energia è una costante del moto )rigorosi sulle proprietà dinamiche di sistemi con un numero molto grande di ed assume la forma H = T + U, dove T è l'energia cinetica e U l'energia poten­di gradi di libertà, nel quadro del problema delle connessioni tra termodinamica ziale del sistema,e meccanica. Sulla base di queste indagini, di cui si darà un cenno nel seguito, Si consideri ad esempio un sistema composto da N particelle puntiformie in notevole sintonia con una linea di pensiero, che per la sua continuità storica di massa m poste in un recipiente ed interagenti attraverso un potenziale cen­costituisce uno dei patrimoni piu importanti (e non a caso ripetutamente con­ trale a due corpi, per cui n = 3N; le q„. . ., q„allora rappresentano le coordinatetestato ) della cultura scientifica moderna, si è potuto affermare che «i nostri cartesiane lungo gli assi x, y, z di ciascuna delle particelle, le p„. . . , p le cor­risultati... mostrano che il decremento della funzione H di Boltzmann è una rispondenti componenti degli impulsi, mentre si haconseguenza della meccanica classica (e della scelta opportuna delle condizioniiniziali ) e che quindi non vi è necessità di introdurre sorgenti esterne di disor­ E 1...N

dine... per produrre un comportamento irreversibile» [Lanford x976, p. r33]. U = U(q) =g V,(r,)+ g V,(~r,.— r~,~),

Reversibilità/irreversibilità I 072 I073 Reversibilità/irreversibilità

dove r è la proiezione della particella j-esima (in particolare rr =— (r„, r,„, r„) Naturalmente sp e pp sono delle costanti, dipendenti dal sistema di unità di mi­con r „ = q „ r „ = q „ r „ =qp, ecc. ) e V, i l potenziale che schematizza l intera­ sura scelto.zione con il recipiente, mentre U,, è il potenziale centrale a due corpi, che descri­ Anche per i sistemi quantistici, descritti dall'equazione di Schrodingerv e l'interazione tra tutte le coppie di particelle j, j' con j( j ' .

Le equazioni di Hamilton determinano univocamente la traiettoria del punto . ò$iA — = H $,P nello spazio I : una volta assegnata la posizione iniziale P = P(t) in un dato òt

istante t resta univocamente determinata in linea di principio, in assenza di sin­ dove $ è la funzione d'onda e H l' operatore hamiltoniano, vale una proprietàgolarità nelle equazioni, la posizione P(t) in ciascun istante t (carattere deter­ di invarianza per inversione temporale, t ~ t' = — t, purché si assuma H ~ H' = Hministico dell'evoluzione). (come nel caso classico trattato precedentemente ) e inoltre $~$'(t') =g~(t)

Il concetto di reversibilità temporale può essere introdotto come segue. (coniugazione complessa). In questo caso si vede immediatamente che per la $'Si definisce il tempo invertito t ' = — t e la posizione invertita P' (t') nello spazio vale ancora la citata equazione di Schrodinger. Quindi, anche a livello di mec­l' in modo che q.',(t') = q; (t) e p,'(t') = — p,(t). Poiché a causa della forma postu­ canica quantistica, le due direzioni di decorso del tempo sono completamentelata per H si ha H' (p', q') = H(p, q), si ottiene che per P' valgono ancora le equivalenti e non è possibile trascegliere una direzione privilegiata medianteequazioni di Hamilton considerazioni puramente interne all'ambito delle leggi dinamiche elementari.

aH' òH'qi =

òpt pi gqr >

2. Le basifenomenologiche della termodinamica degli stati di equilibrio e dei

dove però al primo membro compaiono le derivate rispetto a t'. Si ottiene quindi processi dissipativi irreversibili.

il ben noto risultato che le leggi della meccanica sono completamente invariantirispetto ad inversioni temporali, Se P (t) al variare di t è una traiettoria naturale, Come si è visto all'inizio di questo articolo, dal punto di vista fisico, caratteri

lo è allora anche P' (t'), che corrisponde alla stessa traiettoria, ma percorsa in di irreversibilità temporale nella descrizione dei fenomeni naturali possono es­

senso inverso. La meccanica pertanto non permette di stabilire una direzione sere individuati nell'ambito di considerazioni termodinamiche.

privilegiata per il decorso del tempo, entrambe le direzioni sono completamente La termodinamica è una teoria fenomenologica che descrive i processi ma­

equivalenti e i due concetti di passato e futuro sono fra loro liberamente cam­ croscopici che coinvolgono produzione e trasmissione del calore.

biabili. Nei casi piu semplici i sistemi fisici sono descritti da un numero limitato di

Analoghe considerazioni valgono nel caso delle altre leggi elementari. Per parametri interni, macroscopicamente misurabili, tra i quali sussistono deter­

esempio: la teoria elettromagnetica, descritta dalle equazioni di Maxwell nel minate relazioni, ottenute per via sperimentale. In generale, per caratterizzare

vuoto un sistema termodinamico è necessario specificare le sue proprietà fondamentalidi tipo fisico e chimico, quali la massa totale, la composizione chimica, ecc., e

V -E = s p ' p descrivere poi le frontiere che lo separano dal mondo esterno (pareti di un con­V' • B=o tenitore, partizioni tra differenti parti del sistema, campi esterni, ecc. ). Quindi

àB un sistema termodinamico è caratterizzato da parametri interni ed esterni. It lXE = — ­

òt parametri che possono essere determinati mediante mezzi d'influenza esternasul sistema, per esempio controllando corpi o campi esterni, sono chiamati pa­

U X B = Ppj+Ppsp —, rametri esterni. Invece i parametri interni sono determinati dallo stato del si­stema stesso in corrispondenza di dati valori dei parametri esterni. Naturalmente

è invariante sotto l'inversione temporale t ~ t' = — t, purché per il campo elet­ la distinzione dei parametri macroscopici in interni ed esterni dipende dal modotrico E, il campo magnetico B, la densità di carica elettrica p e la densità di cor­ particolare con cui il sistema viene separato dall'ambiente circostante. Un sem­rente elettrica j, si assumano le seguenti leggi di trasformazione: plice esempio basta a chiarire questo punto fondamentale. Si consideri un gas

contenuto in un cil indro verticale chiuso dall'alto mediante un pistone scor­

E~E'(x, t') =E(x, t) revole a tenuta. Se il pistone viene fissato rigidamente al cilindro allora il vo­

B B'(x, t ') = — B(x, t)lume occupato dal gas deve essere considerato come parametro esterno, men­tre la pressione del gas è un parametro interno. Se invece il pistone è libero di

p ~p'(x, t') =p (x, t) scorrere ma è caricato mediante un peso definito, allora la pressione è un pa­j ~j ' (x, t ' ) = — j(x, t). rametro esterno mentre il volume va considerato come un parametro interno.

Reversibili tà / irreversibil i tà I 074. I07$ Re ve rsibilità/irreversibilità

Facendo riferimento ad altri articoli di questa stessa Enciclopedia per un funzioni di stato di cui 8L e 8Q si possano considerare i differenziali. In generale

trattamento piu approfondito, ecco sinteticamente le proposizioni fondamentali 8L e 8Q dipendono separatamente dalla particolare trasformazione scelta per

della termodinamica degli stati di equilibrio e di non-equilibrio. andare dallo stato iniziale a quello finale, mentre il primo principio assicura chela loro somma 8L+8Q non dipende dalla trasformazione poiché è il differen­

z.i. I l postulato dell'esistenza di uno stato di equilibrio termodinamico. ziale di una funzione di stato.

L'evidenza accumulata nel corso delle piu svariate osservazioni empiriche 2.4. Il secondo principio della termodinamica.conduce ad ammettere che per ogni sistema termodinamico, soggetto a de­terminate condizioni esterne, esiste uno stato di equilibrio termodinamico, nel Limita le possibilità di trasformazioni permesse dal primo principio. Essoquale i parametri macroscopici rimangono immutati nel corso del tempo e può essere basato o sulla formulazione di Clausius, secondo cui non è possibiledal quale il sistema non può allontanarsi spontaneamente. Il concetto di equili­ realizzare dispositivi in grado di trasferire calore da un corpo piu freddo a unbrio termodinamico è reso piu preciso dall'assunzione implicita che ogni siste­ corpo piu caldo senza che altri effetti siano prodotti, oppure sulla formulazionema termodinamico fuori dall'equilibrio, lasciato soggetto a determinate condi­ di Thomson (Lord Kelvin), secondo cui è impossibile costruire un perpetuumzioni esterne, tenderà a raggiungere nel tempo uno stato di equilibrio termodina­ mobile di seconda specie, cioè un dispositivo che, funzionando in maniera ci­mico. Si può qui osservare che già questo primo postulato fondamentale della clica, produca come unico effetto la trasformazione del calore estratto da unatermodinamica stabilisce una direzione privilegiata per il decorso del tempo, poi­ sola sorgente completamentein lavoro. Non è difficile mostrare l'equivalenzaché stati di equilibrio sono spontaneamente raggiunti a partire da stati di non­ delle due formulazioni. Anche qui si osservi che, per esempio, la formulazione diequilibrio mentre il viceversa non è possibile. Clausius, secondo cui non è possibile che il calore fluisca spontaneamente da

un corpo piu freddo a uno piu caldo, introduce ancora una sostanziale irrever­z.z. La nozione di temperatura. sibilità nella descrizione temporale dei fenomeni.

Un'importante conseguenza del secondo principio è la possibilità d'intro­La temperatura viene introdotta come parametro caratterizzante gli stati durre una temperatura assoluta T e una nuova funzione di stato, l'entropia S, in

di equilibrio, in modo tale che sia verificato il principio zero della termodinamica modo tale che per le trasformazioni quasi-statiche, che cioè avvengono attra­che può essere formulato come segue. Se due sistemi separatamente in equili­ verso la successione di stati di equil ibrio infinitesimamente vicini, si abbiabrio, isolati adiabaticamente dall'esterno (tali cioè che non possono scambiare 8Q = TdS. Questo corrisponde a riconoscere la quantità T ' come fattore inte­calore con l'esterno), sono posti in contatto termico, allora i loro stati di equi­ grante del calore 8Q scambiato, tale cioè che anche se 8Q in generale non è unlibrio non sono alterati, e il sistema totale si trova in uno stato di equilibrio, solo differenziale esatto invece T — '8 Q lo è. Se invece 8Q è il calore scambiato in unase i sistemi iniziali hanno la stessa temperatura. trasformazione generica(non necessariamente quasi-statica) allora si ha TdS)Una immediata conseguenza è che i parametri interni di un sistema al­ )8Q. I l secondo principio assicura poi che l'entropia è sempre crescente nell'equilibrio sono univocamente determinati dai valori dei parametri esterni e corso di una trasformazione irreversibile da uno stato di equilibrio a un altrodalla temperatura. (di una trasformazione cioè che non procede attraverso Ia successione di stati

di equilibrio, come per esempio il livellamento spontaneo di temperatura di due2.3. Il pr imo principio della termodinamica. corpi inizialmente a temperature diverse e posti a contatto termico ). Si ha quin­Esprime il principio di conservazione dell'energia, in forma tale da permet­ di ancora una conferma della sostanziale irreversibilità temporale introdotta

tere l'introduzione del concetto di quantità di calore per denotare l'energia dal secondo principio della termodinamica.

trasferita ad un sistema senza compiere lavoro su di esso ma ponendolo in con­tatto termico con altri corpi. Esso può essere enunciato nella forma seguente. 2.5. Le equazioni cinetiche della termodinamica del non-equilibrio.Per ogni sistema termodinamico esiste una funzione di stato U (energia in­terna), determinata a meno di una costante additiva arbitraria, tale che per ogni Allo scopo di fornire una base piu ampia per la discussione del superamen­

trasformazione infinitesima (cioè tra stati di equilibrio vicinissimi ) si ha dU = to della dicotomia reversibilità/irreversibilità, specialmente in riferimento alle= 8L+8Q, dove dU rappresenta la variazione di energia interna del sistema, 8L direzioni lungo le quali si svolge la ricerca contemporanea, è opportuno anche

il lavoro fatto dalle forze esterne durante la trasformazione e 8Q il calore ceduto introdurre una sommaria descrizione delle equazioni fenomenologiche che re­

dall'esterno (misurato in unità opportune ). Si noti che sono stati utilizzati sim­ golano i processi irreversibili del non-equilibrio, quali per esempio la conduzio­

boli diversi per denotare le quantità infinitesime di lavoro e calore, 8L e 8Q, ne del calore, la diffusione, l'attrito viscoso, la conducibilità elettrica, ecc.

rispetto alla variazione infinitesima di energia interna dU, poiché non esistono Per semplicità ci si limiterà a considerare il caso di un fluido isotropo viscoso

R eversibilità/irreversibilità I076 I077 R eversibilità/irreversibilità

e conduttore del calore il cui stato fisico è caratterizzato, istante per istante, da Invece la legge di Fourier sulla conduzione del calore permette di scrivereuna serie di parametri fenomenologici locali dipendenti dal posto, legati tra di q = — vV T, dove v è il coefficiente di conducibilità termica e T la temperatura.loro dalle relazioni che verranno ora descritte. Si possono allora assumere come variabili indipendenti le cinque grandezze

Si considerino anzitutto la densità di massa del fluido p (x, t) e la densità di fisiche, variabili in generale da punto a. punto all'interno del volume occupatocorrente j (x, t) per le quali vale l'equazione di continuità dal fluido e nel tempo, p(x, t), densità di massa, ut (x, t), componenti del campo

òp di velocità Inedia di flusso, e T (x, t), temperatura locale. Tutte le altre grandezze— +l' j = o , introdotte possono essere espresse mediante queste se si prendono in conside­

razione le leggi di Newton e di Fourier ed inoltre si tiene conto del fatto cheche esprime, in termini locali, il principio di conservazione della massa. sulla base dei principi della termodinamica è possibile esprimere la pressione p

È anche conveniente introdurre il campo di velocità media di flusso u (x, t), e la densità di energia interna s in funzione della densità p e della temperaturadi componenti ut (x, t), i = I, z, 3, in modo che sia j (x,t) =p (x,t) u(x,t), e il T, in ogni punto del fluido.tensore degli sforzi P;, (x, t), i, j = I, z, 3. Allora il secondo principio della di­ Ma allora l'equazione di continuità, il secondo principio della dinamica enamica (conservazione dell'impulso ) assume la forma il primo principio della termodinamica, espressi nella forma locale introdotta

Du; ò precedentemente, costituiscono un sistema di cinque equazioni diff erenzialip — ' = pa,­ — P;. del primo ordine rispetto al tempo per le cinque variabili fondamentali p, u e T.

Dt'

hx, Si ottiene quindi in conclusione che lo stato fisico del sistema può essere de­

(i = I, z, 3), dove si è utilizzata la convenzione di somma sugli indici ripetuti e scritto istante per istante dai campi p, u e T, per i quali sussistono equazionisi è introdotta la derivata temporale sostanziale che permettono di determinarli, almeno in linea di principio, ad ogni succes­

D ò sivo istante t, una volta che sia stato specificato lo stato iniziale a t =o carat­— = ­ +u V, terizzato da p (x, o), u(x, o) e T(x, o).D t òt Considerazioni analoghe valgono anche nei casi piu complessi. In generale

mentre a(x, t) è la forza esterna per unità di massa agente sugli elementi di l'evoluzione data dalle equazioni fenomenologiche dei processi macroscopici èfluido intorno al punto x all ' istante t. Il termine che coinvolge il tensore P;, completamente deterministica, come quella hamiltoniana dei sistemi meccani­nel secondo principio della dinamica è connesso con le forze interne scambiate ci, ma esiste una profonda differenza, costituita dalla sostanziale irreversibilitàtra i vari elementi del fluido a causa degli effetti di pressione e di viscosità. temporale, in contrasto con il caso hamiltoniano.

Infine per tener conto degli scambi energetici che avvengono all'interno del Per illustrare le irreversibilità nel caso considerato basta osservare che sottofluido conviene introdurre la densità di energia interna s (x, t), la densità del l'inversione t~t '= — t le grandezze fondamentali dovrebbero trasformarsi se­flusso di corrente di calore q (x, t) e il tensore della velocità di deformazione condo le relazioni

p p (x , t ' ) =p (x, t)u~ u'(x, t') = — u(x, t)T~T ' (x, t') = T(x, t),

(ij = I, z, 3 ). Allora il primo principio della termodinamica assume la formalocale D s

ma si vede immediatamente che, nel caso in cui almeno uno dei coefficientip ­ — +V' q= — Pit D;,, q, ( e w è diverso da zero, le equazioni di evoluzione non sono invarianti, anzi

si trasformano in equazioni assurde dal punto di vista fisico in cui le forze didove i tre termini sono connessi rispettivamente con la variazione di energia viscosità agevolano il flusso del fluido invece di ostacolarlo e il calore fluisceinterna di un volumetto infinitesimo, il calore scambiato con l'esterno e il la­ spontaneamente dalle zone a temperatura piu bassa a quelle a temperatura piuvoro fatto dalle forze di pressione e di viscosità. alta. L'origine fisica dell'irreversibilità è quindi da vedersi proprio nella forma

La legge empirica di Newton per la viscosità permette immediatamente di delle leggi empiriche di Newton sulla viscosità e di Fourier sulla conduzione delconnettere il tensore degli sforzi P,, con la pressione p(x, t) e il tensore della calore.velocità di deformazione D,, tramite una relazione della forma Si ottiene quindi in conclusione che nel caso generale le equazioni fenome­

nologiche dei processi macroscopici, che si sviluppano nei sistemi termodinamiciP,t =p8t — zri D;; ­ — D„,8;; — ( , ~ 8 ; i> fuori dall'equilibrio e che coinvolgono effetti dissipativi, quali la viscosità e la

3 conduzione del calore, a causa della loro sostanziale irreversibilità temporaledove q e g sono i coefficienti di viscosità. introducono una rigida differenziazione tra le due direzioni di decorso del tem­

Reversibil i tà/irreversibi l i tà I 078 I079 Reversibil i tà/irreversibi l i tà

po. Data la loro importanza nello svolgimento di tutti i processi macroscopici, Dopo i primi tentativi di Boyle e Newton, la teoria del calore ebbe sviluppiesse sono in ultima istanza alla base della concezione di unidirezionale irrever­ importanti attraverso il lavoro di Daniele Bernoulli, che nel I738 presentò il

sibilità del concetto di tempo. primo schema generale di una teoria cinetica dei gas svolta su basi quantitativee in grado di spiegare, in particolare, la legge di Boyle-Mariotte. Ma per piudi un secolo la teoria del calore dominante presso la maggioranza degli studiosi

3. L'ipotesi molecolare della materia e l'emergenza della dicotomia reversi­ fu ancora costituita dalla teoria fenomenologica del flogisto, che raggiunse ilbili tà /irreversi bili tà. maggiore successo con la scoperta del principio di Sadi Carnot del I8z4, equi­

valente al secondo principio della termodinamica. In seguito i lavori di Joule,

Lo schema concettuale, entro il quale può essere affrontato il contrasto tra Mayer e Helmholtz mostrarono l'inconsistenza delle basi della teoria del flo­

le proprietà di reversibilità temporale delle leggi elementari del moto e le pro­ gisto e fecero pervenire alla formulazione corretta del primo principio della

prietà di irreversibilità delle leggi fenomenologiche dei processi macroscopici, termodinamica come legge generale di conservazione dell'energia. Tuttavia la

è costituito dall'ipotesi molecolare della materia. Secondo questa ipotesi la ma­ teoria del calore continuò a svilupparsi come teoria fenomenologica, anche se

teria non è continua ed infinitamente divisibile, ma è composta da un grande era ormai chiaro che fenomeni di tipo cinetico-molecolare ne dovevano essere

numero di piccoli corpi che si chiameranno in generale molecole. A seconda alla base. L'ultimo trionfo della teoria fenomenologica fu la costruzione dello

della composizione e della natura del particolare corpo materiale preso in con­ schema generale della termodinamica classica, ottenuto verso la metà del xix

siderazione, le molecole possono essere di un solo tipo oppure di parecchi tipi. secolo attraverso il lavoro di Clausius e Thomson.

In questo contesto si possono considerare gli atomi liberi, gli ioni e gli elettroni La fase moderna della teoria cinetico-molecolare del calore ebbe inizio nel

semplicemente come tipi speciali di molecole. Le molecole individuali sono in I858, quando Clausius introdusse il concetto di cammino libero medio e ri­generale troppo piccole per essere viste separatamente anche con l'ausilio del formulò i pr incipi fondamentali dell'intera teoria, che poi vennero ulterior­

piu potente microscopio. Il dispiegarsi congiunto di r icerche sperimentali e mente sviluppati in maniera decisiva da Maxwell e da Boltzmann,teoriche ha condotto a precise ipotesi sulla struttura e l' interazione delle varie Tuttavia per piu di mezzo secolo l'unica teoria accettata fu quella della ter­

molecole. modinamica fenomenologica, i cui pr incipi furono assunti come base di unaL'ipotesi molecolare è di grande importanza in chimica e in fisica. In alcuni interpretazione generale di natura puramente descrittiva e formale della fisica,

casi, ad esempio per alcuni problemi di cristallografia, è sufficiente considerare che doveva escludere ogni considerazione ipotetica sulla struttura profonda dei

le molecole staticamente, ma in generale è necessario tener conto dei loro mo­ fenomeni naturali e che quindi rigettava in linea di principio l'ipotesi molecolare

vimenti che, anche se non visibili individualmente, sono estremamente rapidi. e si affidava quasi esclusivamente a considerazioni di tipo energetico. Di con­

Un'estensione importantedell'ipotesi molecolare è la cosiddetta teoria cinetica seguenza Boltzmann, che aveva dato una profonda formulazione della teoria

del calore, nella quale si assume che le molecole si muovano piu o meno rapi­ del calore su basi cinetico-molecolari della quale si discuterà in seguito, fu co­

damente a seconda che il corpo di cui fanno parte sia piu caldo o piu freddo. stretto a combattere per tutta la sua vita una continua e dura battaglia controL'energia interna di un corpo materiale viene allora interpretata come energia gli energetisti, che contavano tra le loro file scienziati dal valore indiscusso,

meccanica, cinetica e potenziale, dei movimenti molecolari. quali Ostwald e Mach.L'ipotesi molecolare e la conseguente teoria cinetica del calore hanno do­ Tuttavia alla fine le idee basate sull'ipotesi molecolare prevalsero, trovando

vuto combattere una lunga battaglia prima di trovare universale affermazione. conferma della loro correttezza nel I9og attraverso i lavori di Einstein e Smo­

Mentre le origini remote dell'ipotesi molecolare possono farsi risalire alle for­ luchowski sul moto browniano, i cui risultati furono in seguito verificati speri­

mulazioni filosofiche degli antichi atomisti (Leucippo, Democrito, Epicuro, mentalmente da Perrin.

Lucrezio), i primi tentativi d'interpretare i fenomeni termici in termini di mo­ Da allora la teoria cinetico-molecolare del calore ottenne il generale rico­

vimenti molecolari furono fatti da Boyle e Newton. In quel tempo non si era noscimento, anche grazie all'opera di Gibbs che pose le basi per la sua esten­

ancora pervenuti ad una consistente teoria cinetica del calore e la teoria del sione e generalizzazione nella forma moderna di meccanica statistica.

flogisto sembrava piu soddisfacente, anche se non completamente sviluppata. Dopo questa breve parentesi storica bisogna ora tornare all'esposizione delle

Il flogisto era una sostanza ipotetica che si pensava essere una componente es­ conseguenze della teoria cinetico-molecolare, mostrando in particolare la ne­senziale di tutti i corpi in grado di bruciare e dei metalli che era possibile os­ cessità dell'introduzione di considerazioni di natura statistica legate alla teoriasidare, la quale veniva persa nel corso della combustione e dell'ossidazione. La della probabilità.teoria del flogisto fu formulata all'inizio del xvii i secolo ed ottenne largo rico­ Per ottenere una maggiore semplicità di trattazione, si considererà nel se­

noscimento, specialmente nel campo della chimica, finché Lavoisier non stabili guito esclusivamente il caso di un gas monoatomico a bassa densità. In accordo

la vera natura della combustione negli anni verso la fine del secolo. con l'ipotesi molecolare, il sistema fisico costituito dal gas viene schematizzato

Reverslbil i tà / irreversibil i tà io8o io8i Reversibil i tà/i rreversibil i tà

come l'insieme di un numero molto grande di corpi materiali puntiformi in­ essenziali da prendersi in considerazione per cui i parametri macroscopici fe­teragenti attraverso un potenziale a due corpi di forma adeguata. Per un tale nomenologici devono considerarsi come ottenuti dai parametri microscopicisistema meccanico le considerazioni svolte precedentemente possono immedia­ tramite opportune medie di tipo sia spaziale sia temporale, come verrà mostratotamente applicarsi. Lo stato istantaneo del sistema sarà determinato da un piu dettagliatamente nel seguito, almeno in alcuni casi semplici.punto nello spazio delle fasi che si muove in accordo con le equazioni reversi­ È questa in definitiva la ragione piu profonda per l'introduzione di inetodibili del moto illustrate precedentemente. Nella meccanica ordinaria (per esem­ statistici nella trattazione dei fenomeni termodinamici nell'ambito dell'ipotesipio nello studio del moto dei pianeti o dei satelliti artificiali ) ci si pone general­ cinetico-molecolare. Nel corso di questi tentativi occorre considerare per esem­mente il problema di determinare, sulla base delle note equazioni del moto, pio non solo la dinamica degli urti molecolari, ma anche la loro statistica, utiliz­lo stato istante per istante una volta dato lo stato iniziale. Nel caso dei sistemi zando opportune assunzioni probabilistiche. I fondatori della moderna teoriameccanici che costituiscono, nell'ambito dell' ipotesi cinetico-molecolare, dei cinetico-molecolare utilizzarono dapprima le necessarie considerazioni di na­modelli per i sistemi termodinamici questo modo di procedere non è possibile, tura probabilistica basandosi su argomenti di carattere intuitivo, spesso soloper una varietà di ragioni, e metodi completamente diversi devono essere posti implicitamente utilizzati. Le loro ricerche stabilirono i fondamenti di una estesain uso. Infatti, se si considera per esempio un litro di gas elio a temperatura e disciplina, parte della fisica teorica, nota come meccanica statistica, in grado dipressione ordinaria, esso contiene ventisettemila miliardi di mil iardi di atomi, trattare, almeno in linea di principio, tutti i sistemi termodinamici all'equilibrioun numero cioè incredibilmente alto che rende impossibile una trattazione pu­ e fuori dell'equilibrio.ramente meccanica. Anzitutto sarebbe impossibile conoscere, in seguito a mi­ I metodi della meccanica statistica, specialmente per i fenomeni del non­sure effettuate, le posizioni e le velocità di tutte le molecole in un dato istan­ equilibrio, rivestono attualmente un grande interesse, non solo per gli stimolantite iniziale (cioè lo stato meccanico iniziale). Inoltre, anche conoscendo lo stato problemi aperti nell'ambito della critica sui fondamenti, ma anche per le loroiniziale, sarebbe impossibile risolvere, con ogni mezzo noto, le equazioni del possibilità di applicazione a larghi campi della scienza e della tecnologia attuali,moto di Hamilton per conoscere lo stato negli istanti successivi e comunque quali la fisica dei plasmi, di immediato interesse per la soluzione del problematale soluzione accurata sarebbe completamente inutile perché comunque lo della fusione termonucleare controllata, la gas-dinamica, la tecnologia spaziale,stato iniziale sarebbe noto a meno di inevitabili errori sperimentali, che si am­ la conversione dell'energia, l'ingegneria chimica, la fisica atmosferica, la fisicaplificherebbero nel corso del moto, a causa dell'enorme complessità del sistema, dello stato solido, ecc.fino a rendere inutilizzabili i risultati trovati per lo stato del sistema a un istante La meccanica statistica applica metodi di natura probabilistica a problemisuccessivo. di tipo meccanico e, nonostante i suoi innegabili successi, i suoi principi fon­

Quindi è completamente inutile seguire l'andamento del moto delle singole damentali non sono privi di ambiguità e di oscurità. Queste difficoltà furono giàmolecole, ma conviene seguire una strada completamente diversa e concentrarsi avvertite dai fondatori e costituirono la base di tutte le polemiche, che peraltrosulla determinazione di proprietà statistiche, come per esempio i valori medi contribuirono moltissimo a una continua chiarificazione dei fondamenti. Chia­del numero, del momento e dell'energia delle molecole entro un elemento di rificazione che è continuata negli sviluppi futuri anche se la teoria non ha an­volume, eventualmente mediati anche su piccoli intervalli temporali, oppure la cora raggiunto, specialmente per quanto riguarda i fenomeni del non-equilibrio,distribuzione media della velocità o di altre caratteristiche dinamiche per queste una formulazione definitiva e completamente consistente.molecole. È chiaro che una delle maggiori sorgenti di difficoltà è costituita proprio

D'altra parte non sono solo ragioni di t ipo matematico, legate all'enorme dall'apparente contraddizione tra la reversibilità temporale delle equazioninumero di componenti elementari e all'intrattabile complessità delle equazioni della meccanica, poste a base dell'interpretazione cinetico-molecolare, e la so­del moto, a forzare necessariamente l'introduzione di considerazioni di natura stanziale irreversibilità insita nel secondo principio della termodinamica e nellastatistica nel trattamento dei sistemi termodinamici mediante l'ipotesi moleco­ descrizione fenomenologica dei processi del non-equilibrio, che sono propriolare. In realtà esistono profonde ragioni di natura fisica che mostrano la comple­ le caratteristiche inacroscopiche dei sistemi termodinamici che la teoria cineticata adeguatezza dei metodi statistici. Occorre infatti tener conto del fatto che la dovrebbe spiegare. Rinviando ai successivi paragrafi per una trattazione piudescrizione macroscopica dei fenomeni che si svolgono in un sistema termo­ approfondita, ci si limita qui ad anticipare che le considerazioni di natura pro­dinamico, anche fuori dall'equilibrio, coinvolge solo i parametri locali effettiva­ babilistica svolgono un ruolo determinante nella soluzione di questo paradosso,mente misurabili quali Ia densità di massa, la densità di corrente, il flusso di nel senso che le affermazioni fenomenologiche della termodinamica (per esem­calore, la densità di energia interna, ecc., come è stato rapidamente illustrato pio la validità delle equazioni cinetiche ) devono essere intese non come aventiprecedentemente nel$ z. Nel passaggio quindi dalla descrizione microscopica validità assoluta ma solo come altamente probabili, non potendosi escludere,in termini meccanici alla descrizione macroscopica basata sulle equazioni ci­ su basi puramente meccaniche, che particolari stati microscopici, appositamentenetiche di tipo fenomenologico, avviene una sorta di contrazione nelle variabili costruiti ed ai quali corrispondono ragionevoli caratterizzazioni macroscopiche,

Reversibilità/irreversibilità to8z I 083 Reversibilità/irreversibilità

possano evolvere in maniera tale che le corrispondenti variabili macroscopiche Poiché i punti rappresentativi si muovono nello spazio delle fasi, è ovviomostrino un comportamento deviante rispetto alle leggi della termodinamica. È chc la densità in fase D (p, q, t) sarà in generale una funzione del tempo. Noncompito della teoria mostrare come e in che senso tali stati microscopici pato­ è difficile dimostrare sulla base del teorema di L iouville che la variazione nellogici abbiano scarsa probabilità di verificarsi. È questo un punto tuttora aperto tempo di D in un certo punto dello spazio delle fasi è data dasul quale ci si soffermerà a lungo nel seguito.

Spiegazione delle leggi della termodinamica dei sistemi in equilibrio at­traverso i metodi della meccanica statistica.

Ovviamente si deve avere anche f,D(p, q, t) dQ = s, dove l'integrazione è estesasull'intera parte accessibile dello spazio delle fasi.

Dopo aver introdotto l'ipotesi molecolare, occorre mostrare brevemente Un insieme per il quale òD/òt = o è chiamato stazionario e nel seguito di

come sia possibile pervenire a una spiegazione completa delle leggi della ter­ questo paragrafo ci si limiterà principalmente a considerare tali tipi di insiemi.modinamica dei sistemi in equilibrio mediante una serie di prescrizioni di na­ Naturalmente un insieme è stazionario se (H, D} = o. Quindi in particolare

tura meccanica e probabilistica, i cui fondamenti furono posti da Maxwell, saranno stazionari tutti gli insiemi in cui D è una assegnata funzione dell'ener­

Boltzmann e Gibbs. gia D = D(e). Gli insiemi stazionari di questo tipo svolgono un ruolo moltoÈ anzitutto opportuna l'introduzione del concetto di insieme statistico. importante dal punto di vista fisico per ragioni che saranno spiegate nel seguito

Si consideri un sistema meccanico del tipo trattato nel ( s. Con il trascorrere in connessione con le discussioni sull'ipotesi ergodica.

del tempo il punto P (t) rappresentativo del sistema descrive un'orbita nello È opportuno introdurre anche la densità dell'insieme (o coefficiente di pro­spazio I'. Le coordinate q„cambiano di valore a causa delle velocità delle par­ babilità) p(p, q, t) = s 'D(p, q, t), normalizzato cosi chef, p(p, q; t) dQ = t .

ticelle, mentre le p; evolvono a causa dell'azione delle forze interne ed esterne Seguendo Gibbs va introdotto anche l'indice di probabilità vl (p, q; t) de­che agiscono sulle particelle. Poiché si è supposto che la funzione di Hamilton finito da q = logp. Sulla base delle assunzioni fatte ci si limiterà a considerarenon dipenda esplicitamente dal tempo, si ha che l'energia totale e (p, q) è una casi in cui p = p(e), q = q (s).costante del moto. L'orbita del punto rappresentativo sarà quindi situata su una Una funzione G (p, q) dipendente dalle p; e q; è detta una funzione di faseipersuperficie Z (chiamata superficie dell'energia ) di equazioni s(p, q) = c, dove e il suo valore medio preso sull'insieme statistico p è dato da G= f,Gp dQ.la costante c dipende naturalmente dallo stato iniziale del sistema. Naturalmente, se l'insieme p è stazionario allora G è una costante indipendente

Invece di considerare un solo sistema è spesso vantaggioso, o come si mo­ dal tempo.

strerà in seguito addirittura inevitabile, considerare un grande numero di si­ Occorre ora introdurre due tipi di insiemi stazionari, il canonico e il micro­

stemi simili completamente indipendenti, ciascuno dei quali contenga ancora N canonico, che verranno utilizzati nella successiva discussione. Ci si limita na­

particelle che si muovono con le stesse equazioni del moto in identiche circo­ turalmente a insiemi con densità dipendenti dalla sola energia. Si osservi a que­

stanze fisiche. In altri termini, tutti questi sistemi avranno la stessa hamiltoniana sto punto che in generale l'energia sarà una funzione delle p e delle q del sistema,

e lo stesso spazio delle fasi I', ma i loro punti rappresentativi non saranno in come è stato spiegato nel ) s, che in piu però dipenderà da parametri esterni,

generale gli stessi. Si supponga di considerare un numero s elevatissimo di tali a,, come per esempio il volume occupato dal sistema oppure l'intensità dei cam­sistemi in modo che sia lecito introdurre una densità D (p, q, t), con la quale i pi esterni con cui il sistema interagisce.

punti rappresentativi sono distribuiti sullo spazio delle fasi. Una tale collezione Seguendo Gibbs va ora introdotto l'insieme canonico definito da

di sistemi simili e indipendenti venne chiamata da J. Willard Gibbs [zqoz] in­ g — e (<I> — s)/ ssieme statistico. p = e '-'

È conveniente introdurre nello spazio delle fasi I' l 'elemento di volume dQcorrispondente a coordinate negli intervalli (p;, p,+dp,) e (q,, q;+dq;), in mo­ dove $ e & sono delle costanti. La grandezza & è detta modulo della distribuzione

do da avere dQ = P dp, dq;. ed è connessa alla temperatura, come sarà dimostrato nel seguito. La grandezza$ non dipende dalle p e q ma dipende da 8 e dalle a„, a causa della condizione di

Sulla base delle equazioni di Hamilton si può immediatamente dimostrare normalizzazioneche se (p', q'} sono le coordinate del punto rappresentativo all'istante t', peruna traiettoria che passa per (p, q} all'istante t, allora si ha dQ = dQ', cioè f pdQ = r ~e->'"~=( e-"adQ.

l' Jrl'estensione in fase di un volumetto dQ si conserva nel tempo (teorema diLiouville ). Questo risultato mostra l 'uti l i tà dell'introduzione del concetto di L'insieme microcanonico è invece definito assumendo una distribuzioneestensione in fase dQ. uniforme per la p nella regione dello spazio delle fasi contenuta tra le due su­

Reversibil i tà / irreversibil i tà to8y xo8g Reversibil i tà/i rreversibi l i tà

perfici di energia k~ ed k~+A, e ponendo p = o sulla parte restante dello spazio avendo pertanto sfruttato la definizione delle medie sull'insieme statistico for­delle fasi. Nel caso in cui si faccia tendere A a zero allora l'insieme microcano­ nita dalla formula seguente :nico è interamente concentrato sulla superficie dell'energia k (p, q)=k~, sulla G = e+~a e '~sG dQ = pG dQ.quale è distribuito con densità superficiale uniforme rispetto ad una misura dp,, l i'

Poiché si ha ancheinvariante nel tempo e normalizzata (misura microcanonica), la cui esistenza èk Z Iuna semplice conseguenza del teorema di L iouville precedentemente richia­ d — = — dk + kd —,& &mato. si ottiene in definitiva

A questo punto è possibile spiegare per quale ragione vengono introdotti dk — dkgli insiemi statistici dal momento che in realtà, nei casi fisici, esiste un unico d e = d%=

&sistema in considerazione, illustrando quindi la relazione tra gli insiemi sta­tistici e i sistemi fisici realmente osservati. che per analogia con il caso termodinamico descritto nel ( z permette la se­

La ragione è che il comportamento termodinamico all'equilibrio dei sistemi guente interpretazione. Anzitutto dk può essere identificato con la variazione difisici può essere utilmente descritto mediante gli insiemi statistici Inoltre, nel energia interna dU, mentre d k corrisponde al lavoro fatto dalle forze esternelimite di volume infinito, gli insiemi statistici canonico e microcanonico, e gli quando i parametri esterni a; variano da a; ad a; +da;, quindi 8L = dk (notarealtri quali l ' insieme grancanonico pure introdotto da Gibbs, sono sostanzial­ che 8L non è in generale un differenziale esatto poiché corrisponde alla mediamente equivalenti dal punto di vista fisico, a causa dello smorzarsi delle flut­ statistica della variazione di energia dk dovuta alla variazione dei parametri a; ).tuazioni nel limite in cui il numero delle particelle diviene infinito. Si ha quindi anche l'identificazione di dk — Ck come calore 8g ceduto al sistema,

Un primo risultato, dovuto a Gibbs, mostra da solo l'importanza delle con­ in modo che il primo principio della termodinamica è soddisfatto nella formasiderazioni di tipo probabilistico offerte dalla meccanica statistica nello studio dU = 8L+8Q,della spiegazione della termodinamica dell'equilibrio.

Il comportamento macroscopico di un sistema fisico in equilibrio termico dk = dk+ (dk — dk).con un termostato a temperatura T può essere descritto correttamente, nell'am­ Inoltre la relazione trovata precedentemente mostra che r /8 è un fattore in­bito di una ben definita serie di prescrizioni, mediante il comportamento medio tegrante per 8 P, quindi & deve essere proporzionale alla temperatura assoluta,di sistemi che si trovano distribuiti secondo un insieme canonico caratteriz­ & = KT, e che inoltre — q, a parte una costante additiva, deve essere identificatazato da un modulo & legato alla temperatura T dalla relazione S= KT, dove K con l'entropia divisa per K, in modo che si abbia dS = 8g/T a partire da — dq =

è la costante di Boltzmann. = (dk — dk)/S e quindi S = — Kg+ cost.Data l'importanza di tale risultato se ne darà una dimostrazione dettagliata. A rinforzare l'idea che l'insieme canonico possa essere utilizzato per de­S'introducano anzitutto le forze generalizzate scrivere un sistema fisico all'equilibrio termico si possono portare i seguenti

ulteriori risultati dovuti ancora a Gibbs. Si può infatti dimostrare che se dueinsiemi canonici vengono accoppiati fisicamente, allora essi formeranno un in­

òa,' sieme stazionario, ancora canonico, se i loro moduli sono uguali, se invece idove k(p, q; a) è l'energia del sistema e (a;) sono i parametri esterni. Se le a, loro moduli sono differenti allora in media l'insieme con modulo piu elevatosono soggette a variazioni da; in modo da assumere i nuovi valori a;+da,, allora perderà energia a favore di quello con modulo piu basso. Tutto questo risultala variazione dk dell'energia sarà data da dk = — gA;da,. Si consideri ora un in accordo con le leggi fenomenologiche della termodinamica.

t Per quanto riguarda l'insieme microcanonico, che è distribuito uniforme­nuovo insieme canonico corrispondente a nuovi valori del modulo 8+d8 e dei mente su una superficie ad energia costante, ci si limita per il momento ad os­parametri esterni a;+ da;. Dalla condizione di normalizzazione e > s = J,e ' sdQ, servare che nel caso di sistemi con un numero molto grande di particelle, i ri­tramite variazione rispetto a & e a;, si ottiene sultati che si ottengono effettuando le medie rispetto all'insieme microcanonico

sono gli stessi di quelli ottenuti tramite un insieme canonico opportunamente— e->'sd ­ = e '~s — kd — — — dk dQ, scelto, purché si trascurino effetti di fluttuazione nei valori delle variabili ma­

croscopiche che comunque si annullano nel limite in cui il numero delle parti­da cui celle diventa infinito.

Questa sostanziale equivalenza fisica, nel limite di sistemi infiniti, tra varid ­ =k d ­ i — dk , insiemi termodinamici, già individuata da Gibbs e progressivamente sviluppata

in forma matematicamente rigorosa nella moderna meccanica statistica [cfr.

Reversibili tà / irreversibil i tà xo86 xo8y Reversibil i tà/irreversibil i tà

Ruelle xg6g], mostra chiaramente l'enorme importanza del metodo basato sugli Boltzmann introdusse una classe di sistemi meccanici aventi la proprietàinsiemi statistici per la spiegazione in termini meccanici e probabilistici del chc l'orbita dei loro punti rappresentativi passa attraverso ogni punto dellacomportamento dei sistemi termodinamici all'equilibrio. Altri successi notevoli superficie di energia. Sistemi di tal genere sono chiamati sistemi ergodici (daldella teoria sono costituiti dalla derivazione di equazioni di stato a partire dalle greco èpyov 'lavoro', qui usato nel senso di energia, e á8áp 'cammino' ). Un si­interazioni fondamentali tra le particelle e dalla possibilità d'incorporare i fe­ stema crgodico avrebbe le seguenti proprietà. Anzitutto tutte le orbite su unanomeni di transizione di fase nell'ambito di una prescrizione unitaria per la data superficie di energia dovrebbero essere identiche, poiché ogni orbita passatermodinamica dell'equilibrio. attraverso tutti i punti sulla superficie dell'energia e inoltre la direzione dell'or­

Tuttavia è chiaro che il metodo basato sugli insiemi statistici, pur essendo bita è determinata in ogni punto. Quindi le orbite effettive possono differiredi grande semplicità e potenza, ha un carattere di prescrizione ad hoc, lasciando solo per l'istante in cui ogni punto è raggiunto. È immediato verificare che per icompletamente aperto il problema di determinare come e perché i sistemi ter­ sistemi ergodici la media temporale j> di ogni funzione di fase cp coincide conmodinamici tendano all'equilibrio e perché l'equilibrio può essere descritto la media y presa sulla superficie dell'energia secondo la misura invariante dp,mediante gli insiemi termodinamici introdotti precedentemente. A questo scopo dell'insieme microcanonico. Infatti, poiché la misura microcanonica è invarian­sono indispensabili metodi piu approfonditi basati su dirette considerazioni di te, se il sistema è ergodico si ha p =ip. D'altra parte cj =Pp, poiché le medie sinatura dinamica e probabilistica, che permettono di dare un trattamento uni­ possono liberamente scambiare. Ma è anche Pp=q, poiché l'insieme microca­f icato e contemporaneo della meccanica statistica dell'equilibrio e del non­ nonico è stazionario. Quindi in definitiva j> = p. In conclusione risulterebbe di­equilibrio. mostrato che per i sistemi ergodici le medie sull'insieme microcanonico dareb­

Si darà nel seguito una rapida esposizione di questi metodi, partendo dai bero i valori corretti nella condizione di equilibrio.casi particolari trattati originariamente da Boltzmann ; questo paragrafo va però Purtroppo fu ben presto compreso che sistemi strettamente ergodici nelterminato con un cenno schematico ai tentativi fatti per giustificare l'approccio senso descritto non possono esistere (una dimostrazione rigorosa fu data daall'equilibrio, descritto dagli insiemi statistici, mediante una costellazione di Plancherel nel xgxg), mentre l'introduzione di una ipotesi quasi-ergodica daidee che va sotto il nome di teoria ergodica, di grande importanza sia per il suo parte degli Ehrenfest, secondo cui ogni orbita sulla superficie dell'energia passainteresse fisico e matematico agli effetti della spiegazione dei fondamenti della arbitrariamente vicina ad ogni punto a patto di far t rascorrere un tempo ab­meccanica statistica, sia per le ripercussioni sul problema della definitiva so­ bastanza lungo, non è sufficiente a dimostrare l'uguaglianza j> =<p.luzione della dicotomia reversibilità/irreversibilità, come sarà illustrato piu avan­ Le successive ricerche nell'ambito della teoria ergodica hanno teso alla pre­ti. Si consideri un sistema meccanico isolato con una energia s determinata. cisazione delle condizioni di natura meccanica che il sistema deve soddisfareIl suo punto rappresentativo nello spazio l' descriverà un'orbita sulla superficie affinché si abbia l'uguaglianza tra le medie temporali e le medie in fase. Contri­dell'energia c (p, q)= cost. L'orbita è completamente determinata dalle equa­ buti importanti sono stati dati da Fermi, Birkhoff, Neumann, Hopf, Kolmo­zioni del moto, in particolare in ogni punto della superficie dell'energia la di­ gorov, Chincin, Sinaj e molti altri [per gli sviluppi piu recenti, cfr. Arnol'd erezione lungo la quale si muoverà il punto è completamente determinata dai Avez xg67; Lebowitz e Penrose xg7g].valori delle coordinate del punto stesso e quindi due orbite diverse non possono Tuttavia è chiaro che un'impostazione puramente basata sulla teoria ergo­mai intersecarsi. dica non può dare una soluzione completamente soddisfacente al problema dei

Boltzmann osservò che se un sistema isolato parte da una condizione termo­ fondamenti della meccanica statistica. In effetti la teoria ergodica permette didinamica macroscopica di non-equilibrio, esso, sulla base dei principi della trattare essenzialmente sistemi in condizioni di equilibrio, poiché essa si basatermodinamica, raggiungerà piu o meno velocemente una condizione di equi­ su medie temporali su periodi molto lunghi e su insiemi stazionari. Per lo studiolibrio e vi permarrà indefinitamente. Pertanto le medie temporali delle funzioni dell'evoluzione irreversibile di sistemi fuori dall'equilibrio, occorre invece ri­di fase, prese su un intervallo di tempo sufficientemente lungo (al limite in­ volgersi verso metodi piu adeguati, in grado di far raggiungere un duplice scopo :finito ), corrisponderanno ai loro valori nello stato di equilibrio. Se fosse possibi­ da un lato quello di rendere conto del carattere di irreversibilità dell'evoluzionele dimostrare che le medie temporali delle funzioni di fase e dall'altro quello di p ermettereuno studio quantitativo dei fenomeni irrever­

+z' sibili e della loro tendenza verso l'equilibrio, descritta dalle equazioni cinetiche.(p = lim — ~ p (p(t), q(t)) dt Dal punto di vista storico il primo metodo, utilizzato con successo a questo

T~ 2T — T proposito, fu quello della teoria cinetica dei gas, basato sul concetto di funzionecoincidono con le medie sulla superficie di energia Z nello spazio delle fasi date di distribuzione delle velocità, che condusse alla celebre equazione di Boltz­dall'insieme microcanonico p = f rp(p, q) dp., allora si sarebbe trovata una giu­ mann in grado di connettere le proprietà dell'evoluzione macroscopica di unstificazione di tipo fondamentale per l'impiego della teoria degli insiemi cano­ gas e la sua struttura microscopica a livello molecolare.nici nella meccanica statistica dell'equilibrio. Nel seguito si darà una descrizione di questi metodi, delle difficoltà incon­

Reversibil i tà / irreversibil i tà to88 to8g R eversibilità/irreversibi l i tà

trate e degli sviluppi successivi, con particolare riferimento al problema della un intervallo di tempo estremamente piu piccolo della scala tipica con cui ècompatibilità tra le proprietà dinamiche di un sistema meccanico e la sua evo­ possibile seguire istante per istante l'evoluzione delle proprietà macroscopicheluzione irreversibile dal punto di vista macroscopico. locali del gas. Cosi specificato Ax e Am, si assumerà semplicemente per la densità

p(x, t) il valore del rapporto Am/Ax, senza effettuare ulteriori processi di limite.l'iu in generale si può osservare che le molecole contenute nel volumetto

L'equazione di Boltzmann e i paradossi «Umkehreinwandr> e «Wieder­ Ax saranno distribuite secondo varie possibili velocità, per cui è convenientehehreinroand». introdurre una funzione di distribuzione f(x, v; t) il cui significato fisico è che

f(x,v ; t ) Ax Av rappresenta il numero medio di molecole contenute nel vo­Prima d'introdurre la discussione sull'equazione cinetica di Boltzmann e lumetto Ax ed aventi velocità contenute in un elementino di volume Av, nello

sulle sue conseguenze, è opportuno illustrare brevemente il modo in cui si pos­ spazio delle velocità, dove le medie s'intendono fatte nel corso di un intervallosono esprimere le grandezze fenomenologiche locali, introdotte nel ) z, in ter­ di tempo it.t intorno all'istante t. Analogamente si possono introdurre funzionimini delle caratteristiche specifiche del livello di descrizione microscopico of­ di distribuzione che tengono conto delle correlazioni multiple, cosi per esempioferto dalla teoria cinetico-molecolare della materia. f" ' (x „ . . . ,x „ v , , . . . ,v,.; t) Ax,, k x , k v y k v , è c onnessa con la probabilità di

In un mezzo continuo, non uniforme e variabile nel tempo, la densità trovare s molecole negli elementi di volume Ax„. . . , Ax,, con velocità in Avn ...,p(x, t) in un generico punto x all' istante t può essere definita come il l imite, Av„ r i spettivamente, all'istante t. In un gas a densità ordinaria, con sufficienteper Ax tendente a zero, della densità media Am/5x, dove Am è!a massa con­ approssimazione, 8

tenuta all'istante t in un piccolo volumetto Ax intorno al punto x. Naturalmente f' " ( x „ . . . ,x „ v „ . . . ,v,.; t) = Q f(x,,v;;t),questa definizione non può essere applicata nel caso in cui si prenda in consi­

i= l

derazione un corpo materiale, per esempio un gas contenuto in un dato volume, ma in un gas denso questa approssimazione non è piu adeguata, poiché ogni

di cui si è postulata una struttura discreta di tipo molecolare. Infatti in tal caso, molecola influisce direttamente, tramite il suo campo di forza, sulla distribuzio­

prendendo il l imite in senso matematico come descritto precedentemente, sine delle altre molecole in sua prossimità.

avrebbe un valore della densità che varia rapidamente da punto a punto e da È evidente, sulla base dell'ipotesi cinetico-molecolare, che la funzione di di­

istante a istante e non corrisponde a nessuna grandezza fisica effettivamente stribuzione f permette di definire, almeno nel caso di gas a bassa densità, tutti i

misurabile. È questa una manifestazione della dicotomia continuo /discreto ri­ parametri fenomenologici macroscopici locali che individuano istante per istante

sultante dalla rappresentazione microscopica di tipo molecolare per un mezzolo stato del sistema termodinamico (cfr. $ z). Per esempio la densità sarà data da

che è descritto da variabili continue a livello macroscopico. Il modo corretto p(x,t) = m f (x ,v ; t ) dv,di procedere costituisce un ottimo esempio di come vanno considerati i processidi limite nell'ambito di considerazioni di tipo fisico. Basta infatti scegliere un dove m è la massa di ogni singola molecola del gas e l'integrale s'intende estesovolumetto Lhc intorno al punto x che sia abbastanza grande in modo da contene­ a tutte le possibili velocità. Analogamente, se per una qualsiasi grandezzare un grandissimo numero di molecole, ma abbastanza piccolo rispetto alle scale A(x, v; t) s'introduce la media parziale sulle velocità definita datipiche di variabilità delle grandezze macroscopiche che descrivono localmentelo stato del sistema termodinamico (densità, pressione, temperatura, densità di f A (x, v ; t) f(x, v ; t) dv

(A)(x, t)­energia interna, ecc.). Per rendersi conto che è possibile, nei casi piu generali, ff(x,v;t) dvrealizzare questo compromesso, basta considerare che un cubetto con lo spigolodi un centesimo di mill imetro contiene circa ventisette miliardi di molecole di si possono esprimere gli altri parametri locali, introdotti nel ) z, nella forma

un gas a pressione atmosferica e temperatura ambiente. Si consideri la massa u,(x, t) = (vt)5m di gas contenuta mediamente nel volumetto 5x durante un intervallo ditempo At, che sia grande rispetto al tempo medio impiegato da una molecola a

per il campo di velocità media di flusso,

percorrere se libera una distanza uguale alle dimensioni lineari del volumetto Is(x, t) =-p (x, t)(w')

tàx, ma contemporaneamente sia piccolo rispetto alla scala di variazione tem­ 2

porale delle proprietà macroscopiche del mezzo. Anche questo compromesso è per la densità di energia interna,

realizzabile in generale. Per esempio, poiché la velocità media delle molecole P,,(x, t) =p (x, t)( topo,),in un gas nelle condizioni standard prima specificate è di parecchie centinaia per il tensore degli sforzi,di metri al secondo, una molecola se libera percorrerebbe la distanza di un cen­ I

tesimo di mill imetro in meno di un decimo di mil ionesimo di secondo, che è q,(x, t) = — p(x, t)( to,w' )

Reversibil i tà/irreversibil i tà I090 I09I Reversibil i ta /i rreverstbi i i ta

per la densità del flusso di corrente del calore, dove w(x, v; t) = v — u(x, t) è tempo della funzione di distribuzione f(x, v; t), dovuta al fatto che molecolela cosiddetta velocità termica. abbandonano o raggiungono il volumetto AxAv per effetto della loro velocità

Naturalmente nel caso di gas ad alta densità i parametri fenomenologici v e della loro accelerazione dovuta alla forza esterna F (di questo bilancio ten­locali coinvolgeranno anche le funzioni di d istribuzione superiori f' ' , ecc., gono conto il secondo e terzo termine) oppure per efletto degli urti con le altrema per gli scopi del presente articolo è sufFiciente la situazione delineata pre­ molecole, di cui t iene conto l'ult imo termine.cedentemente, valida nel caso di gas a bassa densità. La caratteristica piu importante dell'equazione di Boltzmann è che essa

La discussione precedente mostra chiaramente come nel passaggio dalla de­ rende conto, almeno in linea di principio, di tutte le proprietà termodinamiche discrizione a livello microscopico, in cui lo stato del sistema meccanico è deter­ tipo fenomenologico descritte nel precedente ) z, dalla proprietà di esistenzaminato da posizioni e velocità di tutte le molecole, alla descrizione a livello ma­ di uno stato di equilibrio termodinamico, alla legge di accrescimento dell'en­croscopico, in cui lo stato del sistema è fenomenologicamente determinato dalla tropia, alle leggi cinetiche dei fenomeni di non-equilibrio, come mostrarono lofunzione di distribuzione f lentamente variabile nello spazio e nel tempo, si sia stesso Boltzmann e i suoi continuatori.avuta una sorta di contrazione che ha sostanzialmente ridotto i l numero dei Dati i l imit i della presente trattazione, non è possibile dare una derivazio­gradi di libertà, tramite l'introduzione di considerazioni di natura statistica. È ne approfondita di queste rilevanti conseguenze dell'equazione di Boltzmann.altresi chiaro che uno stesso stato macroscopico può essere ottenuto da piu stati Ci si limiterà pertanto ad una rapida e schematica illustrazione dei punti piumicroscopici, poiché i dettagli piu fini della descrizione microscopica vengono importanti per i l loro aspetto fisico.persi nel corso del procedimento di medie spaziali e temporali Si vedrà che Si osservi anzitutto che l'equazione di Boltzmann è del primo ordine ri­questa contrazione di variabili, componente essenziale del metodo statistico, spetto al t empoe pertanto si pone per essa un problema di valori iniziali, cioèsvolge un grande ruolo nell'instaurarsi di proprietà di irreversibilità nella de­ quello di trovare la funzione di distribuzione in ogni istante t)o da to i l suoscrizione macroscopica. valore nell'istante iniziale f(x, v; o). Fu un grande trionfo per Boltzmann l'es­

Poiché i parametri fenomenologici locali dipendono dalla funzione di distri­ sere in grado di dimostrare, non con pieno rigore matematico, ma con convin­buzionef, è chiaro che per ottenere le equazioni di evoluzione macroscopiche è cente vigore fisico, che ogni distribuzione iniziale evolve in modo da tendere nelnecessario conoscere comef varia nel tempo. Attraverso una lucida e coraggiosa corso del tempo verso la distribuzione canonica di equilibrio termodinamico, dianalisi, partendo da ipotesi estremamente ragionevoli, Boltzmann derivò un'e­ cui si è trattato nel ( 4. Pertanto l'approccio verso l'equilibrio è contenuto nellaquazione di evoluzione di tipo integrodifferenziale per la funzione di distribu­ stessa equazione.zione f, come conseguenza dell'evoluzione meccanica del sottostante modello Un'altra importante conseguenza dell'equazione di Boltzmann è il famosomolecolare. teorema H. Occorre introdurre la funzione del tempo

A causa delle notevoli complicazioni tecniche, non è purtroppo possibilefornire, nei l imiti d i questa esposizione, una derivazione completa di questa H(t) = f (x, v ; t) log f (x, v ; t) dx dvequazione, per la quale si rimanda alle lezioni di Boltzmann [i896-98] o allapiu recente esposizione di Grad [i958]. Verrà però descritto nel prossimo pa­ nota come funzione H di Boltzmann.ragrafo un modello, dovuto agli Ehrenfest [ i9iz ], che contiene in forma ele­ Mediante semplici manipolazioni si può subito dimostrare che l'equazione dimentare tutte le caratteristiche e i paradossi dell'equazione di Boltzmann. Boltzmann implica che la funzione H è sempre decrescente nel tempo, a meno

Nel caso in cui le molecole del gas sono assimilate a piccole sferette elastiche, che il sistema non si trovi in uno stato di equilibrio termodinamico descrittoallora la forma caratteristica dell'equazione di Boltzmann è da una funzione di distribuzione di tipo canonico, in questo caso la funzione H

Af resta costante nel tempo (teorema H ).Da queste proprietà della funzione H Bo l tzmann dedusse la sua stretta

òt+ (V'V)f+ (F'V )f+J(ffi f fi ) a dv, dho = o

connessione con l'entropia termodinamica tramite la relazione d'identificazionedove, oltre ai simboli dal significato evidente, F è la forza esterna agente sulla S = — KH, dove K è la costante di Boltzmann. In questo modo l'affermazionesingola molecola nella posizione x, V» è il gradiente ottenuto prendendo le de­ del teorema H secondo cui, per effetto delle collisioni, la funzione H non puòrivate rispetto alle componenti della velocità, v, v, sono le velocità di due sfere mai crescere nel teinpo, viene a trovarsi in corrispondenza stretta con la benprima dell'urto e v', v,' quelle dopo, mentre ko è il versore individuato dai centri nota affermazione fenomenologica del secondo principio della termodinamicadelle sferette in collisione e a è una grandezza cinematica dell'urto. Nell'equa­ in base al quale l'entropia non può mai decrescere.zione sono state utilizzate le seguenti abbreviazioni : f = f(x, v; t), f, = f(x, v, ; t), Si vede cosi che l'equazione di Boltzmann, almeno entro i suoi l imit i d if ' = f (x, v' ; t) e f,' = f (x, v,', t). validità, fornisce un'interpretazione completa su basi cinetico-molecolari alle

iNella sua struttura essenziale l'equazione cinetica descrive la variazione nel piu importanti affermazioni della termodinamica fenomenologica.

Reversibil i tà / irreversibil i tà I 092 I093 Reversibilità/irreversibilità

Tra le applicazioni piu importanti dal punto di vista storico dell'equazionc successivamente attraverso i valori ...<H „ « .. . H, < H , < .. . Ci si rende alloradi Boltzmann possono essere ricordate le derivazioni delle espressioni teoriche conto del fatto che per ogni moto del sistema per il quale la funzione H decresceper i coefficienti di viscosità, la conducibilità termica e altre proprietà cinetiche uniformemente da H, ad H „ e s i s te un altro moto dello stesso sistema per ildei gas, ottenute nel I9I6-I7 da Chapman e Enskog, che lavorarono indipen­ quale la funzione H cresce esattamente allo stesso modo dal valore H„al valoredentemente utilizzando potenti metodi di approssimazione, conseguenti ad una Il,. Data la connessione della funzione H con l'entropia si avrebbe una viola­prima analisi fatta da Hilbert, che era stato significativamente attratto dall'estre­ zione del secondo principio della termodinamica.mo interesse sollevato dai problemi matematici connessi con l 'equazione di Si vede quindi che la reversibilità temporale microscopica pone seriamenteBoltzmann. in crisi il teorema H e quindi l ' intera riduzione, operata da Boltzmann, della

Agli effetti della presente trattazione è invece importante porre in r i l ievo termodinamica fenomenologica a conseguenza delle proprietà dinamiche delleuna caratteristica fondamentale dell'equazione di Boltzmann, quella di non pos­ molecole costituenti in ult ima istanza il sistema fisico considerato.sedere invarianza per inversione temporale. L'evoluzione temporale descritta è Un'altra seria obiezione fu successivamente sollevata da Zermelo con il suoquindi tipicamente irreversibile e per questo può dar luogo alla spiegazione della paradosso di ricorrenza (LFiederkehreinmand), basato su un teorema di Poincarélegge di accrescimento dell'entropia e delle equazioni cinetiche che sono anch'es­ relativo a sistemi contenuti in un volume finito. Poincaré aveva dimostrato chese non invarianti per inversione temporale. se un sistema meccanico passa attraverso la sequenza di punti P„P „ . .. , P„

Naturalmente, poiché, in ultima istanza, l'equazione di Boltzmann è «deri­ negli istanti ti, ta, ..., t„, allora questa sequenza verrà ripetuta, approssimativa­vata» dalle leggi della meccanica, l'irreversibilità non può non produrre delle mente ma con accuratezza comunque grande, nel corso dell'evoluzione naturaledifFicoltà nell'accettazione della derivazione. In particolare Loschmidt propose ulteriore, a patto di aspettare un tempo abbastanza lungo. In altre parole, spe­il suo famoso Umkehrein«band, il paradosso della reversibilità, che nell'ambi­ cificato un margine di tolleranza sui valori delle posizioni e degli impulsi co­to del quadro tracciato precedentemente può essere descritto come segue. Si munque piccolo, esiste un intervallo di tempo T tale che il sistema, dopo aversupponga di considerare il sistema meccanico invertito temporalmente, con percorso P„Ps, ..., P„negli istanti t„ t „ . . . , t „, si troverà a percorrere una se­t ~ t ' = — t, x,~x,' (t') = x,(t), v,. ~ v,'(t)= — v,(t), dove x, e v, sono la posizione quenza P,', Pa, ..., P„' negli istanti T + ti, T+ tp> T + t„ y dove i punti P,' scar­e la velocità della s-esima molecola. A causa dell'invarianza delle equazioni del tano rispettivamente dai punti P; nei l imi ti della tolleranza scelta. In generemoto descritta precedentemente, è chiaro che x,', v,' percorreranno le loro traiet­ volendo una precisione maggiore occorrerà attendere un tempo T maggiore. Itorie in funzione di t' con p ieno r ispetto delle leggi meccaniche del moto. valori della funzione H corrispondenti ai punti P,' saranno Hi, Ha, ..., H„', ap­D'altra parte, per come è stata definita la funzione di distribuzione f in termi­ prossimativamente uguali, nei limiti della tolleranza consentita che può essereni delle grandezze microscopiche, essa deve trasformarsi nel modo seguente: molto piccola, ai valori H„ . . . , H„. Se quindi, sulla base del teorema H, si haf~ f ' ( x ' , v'; t ' ) = f(x, — v; t). Tuttavia è possibile immediatamente verificare Hi> H„ , si ott iene anche Hi>H „ , in contraddizione con il teorema H poichéche f' non soddisfa l'equazione di Boltzmann, ma soddisfa un'equazione simile H„corrisponde all'istante t„e H,' all'istante successivo T + t,.con il segno cambiato per l 'ult imo termine, con conseguenze disastrose dal È però importante notare che il tempo di ricorrenza nel caso di concreti si­punto di vista fisico. Infatti la nuova equazione prevederebbe un abbandono stemi termodinamici può essere estremamente lungo. Per esempio Boltzmannspontaneo dello stato di equilibrio termodinamico sotto piccole perturbazioni, prese in considerazione un centimetro cubo di gas in condizioni normali dila violazione del secondo principio della termodinamica, la conseguenza che pressione e temperatura e valutò che il tempo che occorrerebbe attendere inl'attrito dovrebbe agevolare il flusso dei fluidi invece di ostacolarlo, ecc. media perché tutti gl i atomi r iprendano le loro posizioni iniziali, a meno di

Dal punto di vista del teorema H il paradosso di reversibilità può essere for­ errori dell'ordine di un milionesimo di mill imetro, e le loro velocità iniziali, amulato nel modo seguente. Si consideri un sistema meccanico il cui stato a cia­ meno di errori dell'ordine di un metro al secondo, è dell'ordine di io " anni!scun istante t sia rappresentato da un punto P (t) nello spazio delle fasi I'. In Le obiezioni di Loschmidt (Umkehrein«band) e di Zermelo (fViederkehrein­corrispondenza di una serie successiva di istanti, ..., t„ t „ . . . , t „, . .., con t „ ( t ; «iiand) erano estremamente ben fondate dal punto di vista matematico, per cuiper i( j , il punto rappresentativo attraversa le sequenza di punti nello spazio l' minacciavano di far crollare completamente l'edificio concettuale costruito da

Boltzmann, il cui contenuto principale era la derivazione delle leggi della ter­Secondo il teorema H si avrà allora la seguente sequenza per i corrispondenti modinamica fenomenologica dalle proprietà meccaniche dei modelli della teoria

valori della funzione H: ... >H i >H~) ... >H„ > . . . (il segno di uguaglianza va­ cinetico-molecolare, con conseguenze molto gravi per l ' intera ipotesi moleco­le solo se la funzione di distribuzione è canonica). lare.

Si consideri ora la stessa traiettoria percorsa in senso inverso. Poiché sulla Pertanto Boltzmann ed i suoi seguaci furono indotti a perseguire una detta­base della sua definizione la funzione H non cambia per inversione temporale, gliata analisi della derivazione dell'equazione cinetica dalle equazioni dellasi ottiene immediatamente che nel corso del moto invertito la funzione H passa meccanica, che ebbe come risultato quello di isolare gli aspetti di natura sta­

Reversibilità/irreversibi l i tà I094 r095 R eversibilità/irreversibi l i tà

tistica, implicitamente introdotti nella derivazione, che in particolare permet­ traddizione con il fatto che l'evoluzione piu probabile del sistema a un determi­tevano il passaggio da una situazione di completa reversibilità ad una di essen­ nato istante comporta un decremento della funzione H, poiché la natura stati­ziale irreversibilità temporale. stica della validità del teorema H non esclude la possibilità di avere incrementi

Venne quindi riconosciuto che il ruolo centrale nella derivazione era svolto della funzione H per alcuni stati. Al contrario le considerazioni di natura sta­da un'assunzione fondamentale sul numero probabile di collisioni (Stosszahl­ tistica e di natura meccanica si complementano reciprocamente e permettonoansatz) che le molecole con determinate velocità e posizioni subiscono per ef­ di descrivere l'evoluzione della funzione H come una serie di fluttuazioni in­fetto della presenza delle altre molecole. Questa assunzione non poteva certa­ torno al valore minimo [Ehrenfest r9xz ]. Inoltre queste fluttuazioni sono menomente essere giustificata da considerazioni di natura puramente meccanica, ma probabili quanto piu esse deviano dalla posizione di equilibrio, tanto da risul­aveva il carattere di postulato di natura statistica. tare in questi casi addirittura impossibili ad osservarsi, anche a causa della du­

Di conseguenza Boltzmann, con una intuizione veramente geniale, riusci a rata enorme del tempo di ricorrenza in tutte le situazioni concrete.capovolgere la forza dell'argomento, riconoscendo che la validità dell'equazione Il punto di vista di Boltzmann, essenzialmente corretto, rna la cui naturada lui derivata, e delle sue conseguenze, tra cui il teorema H, non aveva un ca­ non è stata ancora completamente chiarita, permise un'interpretazione com­rattere assoluto, ma solo un carattere di elevatissima probabilità, nel senso che pletamente nuova, di natura probabilistica, del secondo principio della termo­tutte le situazioni microscopiche che conducono alla corretta evoluzione ma­ dinamica e in generale dei fenomeni di irreversibilità.croscopica hanno una piu elevata probabilità di verificarsi rispetto alle situa­ La reversibilità microscopica porta quindi ad un'altamente probabile irre­zioni microscopiche di t ipo patologico che comportano innaturali evoluzioni versibilità macroscopica. Questa linea di soluzione della dicotomia reversibilità /macroscopiche. irreversibilità verrà ulteriormente analizzata in seguito.

In questo modo possono essere evitate le conseguenze negative dei parados­ Per concludere questo paragrafo si ricorda che contributi molto importantisi di reversibilità e di ricorrenza. Infatti questi paradossi si basano su teoremi per una completa comprensione della derivazione dell'equazione di Boltzmann,della meccanica che si riferiscono agli stati dinamici esatti del sistema a livello o piu in generale delle equazioni cinetiche fenomenologiche, dai principi dellamicroscopico. Invece le considerazioni basate sull'equazione di Boltzmann e meccanica sono stati dati da Yvon [t935], Bogoljubov [r946], Born e Greensul teorema H coinvolgono una descrizione macroscopica del sistema, basata [r949], Kirkwood [ t946 ; ? 947] e Prigogine [t96z], oltre che da moltissimi altrisulla funzione di distribuzione f(x, v; t), alla quale corrisponde un numero ricercatori, attraverso una serie notevole di investigazioni che hanno sostanzial­molto grande di stati microscopici, alcuni dei quali possono comportare anche mente confermato la correttezza delle intuizioni originarie di Boltzmann.un innaturale incremento della funzione H. Le valutazioni di natura statisticasul numero piu probabile di collisioni (Stosszahlansatz) mostrano che il numerodi queste ultime è molto piu piccolo in relazione agli stati microscopici che cor­ 6. Il m odello degli Ehrenfest.rispondono a un decremento della funzione H, almeno se il sistema è abbastanzalontano dall'equilibrio. Come conseguenza, il decremento della funzione H è Allo scopo di esaminare in dettaglio alcuni degli aspetti introdotti nella pre­molto piu probabile che non un incremento. cedente sezione, è conveniente discutere le caratteristiche di un modello sem­

Il paradosso di reversibilità invece è basato sulla considerazione di un singolo plificato, introdotto dagli Ehrenfest [I9I2 ], che non richiede l'uso di complicatistato microscopico del sistema, per cui l'effettiva realizzazione dell'evoluzione strumenti formali.invertita temporalmente sarebbe possibile solo a condizione che le velocità di Si consideri un grande numero N di punti materiali, le molecole P, che situtte le molecole fossero accuratamente note e potessero essere invertite ad un muovono liberamente, senza interagire tra di loro, su un piano infinito, riferitodato istante. Se s'introduce il concetto di preparazione del sistema in un dato agli assi coordinati (x, y). S'introducano poi le molecole Q, costituite da qua­stato macroscopico, cioè la costruzione effettiva di stati microscopici che cor­ dratini fissi di spigolo a e distribuite a caso in maniera uniforme sull'intero pianorispondono ad una determinata situazione macroscopica, allora il teorema H di in modo che la distanza media tra di esse, A, sia molto grande rispetto alle di­Boltzmann esprime semplicemente il fatto che è molto piu semplice, quando lo mensioni a. Si suppone che ogni molecola Q sia disposta in modo che le suestato macroscopico considerato è sufficientemente lontano dall'equilibrio, pre­ diagonali siano esattamente parallele agli assi x e y e che inoltre le molecole P,parare il sistema in uno stato che dà origine a un decremento di H piuttosto che incontrando le molecole Q, subiscano un urto elastico.riuscire a realizzare condizioni iniziali per le quali H cresce. Si assume che ad un certo istante tutte le molecole P abbiano la stessa ve­

Il riconoscimento del carattere statistico dell'equazione di Boltzmann evi­ locità c e che si muovano lungo una delle seguenti possibili quattro direzioni:ta quindi ogni contraddizione con il carattere reversibile dell'evoluzione mecca­ l'asse x positivo ~ ( t ), l'asse y positivo t (z), l'asse x negativo ~ (g) e l'assenica a livello microscopico. y negativo $ (4) (cfr. fig. t ). A causa della natura del sistema e delle interazioni

Neanche le affermazioni contenute nel paradosso di ricorrenza sono in con­ permesse, è chiaro che la situazione in ogni altro istante sarà perfettamente si­

Reversibili tà/ir reversibil i tà I096 I097 Reversibil i tà / irreversibil i tà

mile, dal punto di vista qualitativo, a quella descritta. L'unica differenza pos­ è andata a confluire nella descrizione macroscopica, e che inoltre a una stessasibile, a parte la diversa posizione sul piano delle molecole P, sarà costituita dal situazione macroscopica possono corrispondere moltissime situazioni micro­numero di molecole P che si muovono nelle quattro direzioni permesse. scopiche. Questo chiarisce il carattere «contratto» della descrizione macrosco­

Si ha qui la possibilità d'introdurre in maniera estremarnente chiara i due pica. Si noti anche l'importanza della media temporale che introduce una sortalivelli di descrizione, microscopico e macroscopico, che sono stati trattati nelle di raddolcirnento nella dipendenza temporale delle f; e permette di scriverepagine precedenti introducendo le idee fondamentali della teoria cinetico-mo­ equazioni diflerenziali per la loro evoluzione.lecolare della materia. Le funzioni di distribuzionef;(t) (i = i, z, 3, y) svolgono lo stesso ruolo della

A livello microscopico lo stato del sistema in un determinato istante è com­ funzione di distribuzione f(x, v; t) della teoria cinetica dei gas. Ovviamente,pletamente descritto dando la posizione di ogni singola molecola P e la dire­ per ragioni di simmetria, la distribuzione di equilibrio, corrispondente alla di­zione lungo la quale essa si muove (si ricordi che la velocità è assunta costante ). stribuzione di Maxwell, è data da f , = f~ = f,— f 4 ­— N/y. Occorre dimostrarePer seguire l'evoluzione del sistema negli istanti successivi basta considerare il che, sotto determinate assunzioni probabilistiche, corrispondenti allo Stoss­moto di ogni singola molecola P. Questo sarà rettilineo uniforme nell'intervallo zahlansatz per l'equazione di Boltzmann, ogni distribuzione f;, diversa da fto,di tempo tra due urti successivi, quando la molecola P incontra una molecola g tenderà nel tempo verso la distribuzione di equilibrio fo, come conseguenzaessa cambierà bruscamente di direzione passando per esempio dalla direzione I degli urti delle molecole P con molecole P. Inoltre la distribuzione di equilibrioalla z o alla 4, ecc. Naturalmente la descrizione microscopica è completamen­ dovrà mantenersi costante nel tempo.te reversibile nel tempo. Se ad un certo istante s'inverte la direzione di una Si indichi con N iah,t il numero di molecole P che per effetto degli urti pas­molecola P, essa ripercorrerà fedelmente in senso inverso la traiettoria già sano dalla direzione I alla direzione z nell'intervallo di tempo At, Queste sonopercorsa. tutte e solo quelle che all'inizio dell'intervallo temporale At soddisfano simul­

Per la descrizione macroscopica del sistema si possono assumere i quattro taneamente le seguenti due condizioni: a ) si muovono nella direzione r, b) sinumeri f„ f„ fa, f 4, i quali rappresentano in ogni istante t il numero inedio di trovano in una delle strisce S„, costituite da parallelogrammi di lunghezza c5tmolecole che si muovono in ciascuna delle quattro direzioni permesse, dove la con una delle basi appoggiate su ciascuna delle molecole g dalla parte del latomedia s'intende presa su un intervallino h,t, intorno all ' istante t, abbastanza che per effetto dell'urto fa deviare le molecole P provenienti dalla direzione igrande rispetto all'intervallo di tempo medio tra gli urti T, (cioè durante At nella direzione z (cfr. fig. I).deve avvenire un numero di urti molto grande) ma abbastanza piccolo rispetto È chiaro che la conoscenza dei numeri f„ fa, f3, f4 non è sufficiente a deter­al tempo caratteristico T3 di variabilità macroscopica delle funzioni di distri­ minare quante molecole P soddisfano le condizioni A e B. Pertanto se si vuoibuzionef;. Ovviamente risultaf, +f,+f3+f4 = N. Si noti che di tutte le infor­ descrivere l'evoluzione macroscopica tramite le sole variabili f, bisogna ricor­mazioni contenute nella descrizione microscopica solo una piccola parte di esse rere ad assunzioni di tipo probabilistico che permettono di determinare media­

mente il numero Niah,t, senza introdurre ulteriori in formazioni provenientidalla piu dettagliata descrizione microscopica introdotta precedentemente.

In analogia con il caso di Boltzmann, si introduce la seguente assunzione

Molecola O sul numero di urti (Stosszahlansatz) : La frazione di molecole P di ogni singoladirezione che si vengono a trovare mediamente nelle strisce S;t è la stessa cheil rapporto tra l'area totale delle strisce e l'area totale libera del piano. Si indicaquesto rapporto con ki t , do ve k=n c a /~z e n è la densità di molecoleQ sul

S«4 piano (notare che l'area di ogni striscia S;; è cita /~g e che il numero medio distrisce S;; presenti su una grande superficie Z è dato da nZ ).

SIISi ha quindi in particolare N»tt t = kf, At, e analogamente per le altre tran­

sizioni. Pertanto il numero medio di collisioni nell'intervallo At è dato da

(N ia+ Nai+ N33+ N33+ N34+ N43+ N4I+ NI4) At =

= k(fi +f3+fa+f3+f 3+f4+f4+f i ) At = zNkkt

e quindi l'intervallo medio tra due collisioni qualsiasi è

Figura I . I I

ERetto degli urti del le molecole P contro molecole g. 2Nk QzacnN

Reversibili tà/irreversibil i tà io98 I099 Re versibilità / irreversibil i tà

Sulla base delle assunzioni poste dallo Stosszahlansatz si possono immedia­ Si noti che la scala macroscopica di variabilità temporale suggerita dalletamente ricavare le equazioni di evoluzione macroscopiche per le f;. Tenendo equazioni (tempo di r i lassamento) è dell'ordine di grandezza di T, i /k =

conto del fatto che per esempio f, subisce nell'intervallo di tempo At una va­ = ~ 2 /nca. Risulta pertanto Ti molto piu piccolo di Tz e le assunzioni sulleriazione h.f, dovuta sia alle perdite per gli urti i ~z e i ~4 sia ai guadagni per gli medie temporali nella definizione delle funzioni di distribuzione f, risultanourti z~ i e g ~ i , s i ha pienamente giustificate a posteriori.

Af, = ( — N„— N, 4+Nzr+N 4,)/st = k(f,+f4 — zf,) ht,Per illustrare la validità del teorema H in questo caso particolare si può

anzitutto introdurre la funzione H di Boltzmann definita dae analogamente per le altre f;. Considerando intervalli At abbastanza piccoli, èpossibile scrivere immediatamente le seguenti equazioni differenziali per le f,: H(t) = f, log f i +f, log f, +fz log f, +f 4 logf4.

df, Si vede immediatamente che per eifetto delle equazioni cinetiche per lefi si ha— = k(fz+f4 — zfi)dh

— = — k (f i ­ fz) log — +(fz fz) log +— '= k(f.+fi- zf.) 2 3

+(f — f.) log — '+(f.— f ) log — 'df,— = k(f4+fz — zf ) 4 1

dt Poiché (a — b) log(a/b) è sempre positivo tranne nel caso in cui sia a= b, sidf 4— = k(f +f — zf ) ottiene immediatamente dH /dh(o, dove il segno di uguaglianza vale solo sedh f i = fz = fz = f4 Si ottiene quindi che la funzione H decresce nel tempo a meno

Esse sono l'analogo dell'equazione di Boltzmann nel caso di un gas. Da queste che la distribuzione delle f non sia quella di equilibrio, in questo caso H restaequazioni si vede immediatamente che la distribuzione di equilibrio fO = N/g è

stazionaria. Resta cosi dimostrata per via del tutto elementare la validità del

stazionaria, infatti in tal caso i secondi membri si annullano e non ci sono va­ teorema H nel caso del modello degli Ehrenfest.

riazioni nel tempo. Inoltre è facile mostrare che ogni distribuzione iniziale tende Dal punto di vista della presente trattazione è importante porre in ri l ievo

verso la distribuzione di equilibrio. Basta combinare opportunamente le equa­ la natura essenzialmente irreversibile delle equazioni cinetiche per le f;. Anzi­zioni, sottraendo la terza dalla prima oppure la quarta dalla seconda oppure tutto si osservi che, per come sono state definite le funzioni di distribuzione, se

sommando la prima e la terza e sottraendo la seconda e la quarta, per ottenere si effettua un'inversione temporale, t ~ t' = — t, allora si deve averef, ~f,'(t') =

= fz(t), fz fz(t ') = f4(t), fz f z ( t ' )= f,(t), f4~f4(t') = f,(t), poiché tutte le ve­d(f,— f )

k(f f )locità devono essere invertite. Ma allora si può immediatamente verificare che le

dh f,' soddisfano in funzione di t' equazioni cinetiche completamente diverse da

d(f.— f4) quelle per le f, che si ottengono tramite la sostituzione k~ — k Queste nuove

dtequazioni cinetiche non mostrano comportamento termodinamico, in partico­lare una piccola fluttuazione fuori dallo stato di equilibrio viene immediata­

Hfi+fz) — (fz+f4)1k[(f yf ) (f y f ) ] mente amplificata dalle equazioni e conduce il sistema verso stati macroscopici

sempre piu lontani dall'equilibrio.Poiché in generale la soluzione y (t) dell'equazione dy /dt = — ay è y(t) = Si è visto cosi che le equazioni cinetiche precedentemente ottenute a par­=y (o)e "' e quindi se a)o , si ha che y (t) tende ad annullarsi esponenzial­ tire dallo Stosszahlansatz, e il conseguente teorema H, non possono avere una

mente per t~~, si ha immediatamente chef ,— fs~o, f,— f4~o e (f,+f , )­ validità illimitata, ma solo di t ipo probabilistico, poiché in generale esistono— (fz+f 4) ~o per t~~ , ci oè si ottiene una graduale tendenza di tipo esponen­ stati microscopici che conducono a descrizioni macroscopiche con comporta­ziale al livellamento delle quattro f; verso la condizione di equilibrio. mento termodinamico inaccettabile. Sarebbe interessante caratterizzare piu

Si è quindi visto come, in questo modello semplificato, ragionevoli assun­ in dettaglio questi stati microscopici patologici, facendo vedere che essi hanno,zioni statistiche sulla distribuzione degli urti conducano a una descrizione ma­ in un senso da specificarsi, scarsa probabilità di realizzazione. Ma questo facroscopica in accordo con i principi della termodinamica, perché è in grado di parte di un problema piu generale non ancora completamente risolto, che saràspiegare in particolare l'esistenza di uno stato macroscopico di equilibrio ter­ trattato nella prossima sezione.

modinamico e la naturale tendenza dei sistemi fuori dall'equilibrio a subireprocessi di natura irreversibile che li riconducono all'equilibrio.

Reversibil i tà/ i rreversibi l i tà I I OO l i n i Reversibi lità /irrev«rsibi I i l li

u» concetto di distanza, che precisi di quanto sono diffcrcnti in gcncr;ilc ilucCaratteri essenziali della risoluzione della dicotomia reversibilità /irreversi­ stati zI, c Az, in maniera tale che stati vicini siano molto simili dal punto di vistabilità su basi probabilistiche e loro connessioni con le attuali linee di ricerca. fislco.

()ccorre anche ricordare che l' inevitabilità degli errori sperimentali con­In questo paragrafo conclusivo si tenterà una ricapitolazione logica comples­ nessi con una qualsiasi operazione di misura induce sullo spazio degli stati ma­

siva di tutti gli elementi che confluiscono nella linea di risoluzione della dico­ croscopici Q una sorta di struttura «sfumata», per cui ogni affermazione fattatomia reversibilità /irreversibilità secondo un'interpretazione probabilistica, del­ sugli stati macroscopici dovrà essere intesa come valida nei limit i degli errorila quale sono già stati dati i lineamenti essenziali di carattere fisico e storico nei sperimentali.paragrafi precedenti. Questo permetterà anche una breve illustrazione di alcu­ Per molte delle considerazioni fisiche che possono essere fatte sulla naturane delle ricerche attualmente perseguite con metodi matematici rigorosi su pro­ e sul comportamento del sistema questa descrizione di tipo fenomenologico èblemi connessi con i fondamenti della meccanica statistica dell'equilibrio e del completamente sufficiente.non-equilibrio. D'altra parte, sulla base dell'ipotesi molecolare validamente confermata dal­

Tali considerazioni saranno basate in maniera determinante su molti dei l'esperienza, è noto che i sistemi termodinamici sono costituiti da aggregati diconcetti introdotti da Lanford [rt176] nella sua analisi, condotta con tecniche molecole che interagiscono tra di loro mediante lo scambio di forze la cui na­matematiche rigorose, della derivazione dell'equazione di Boltzmann dalle equa­ tura può essere anche sperimentalmente determinata. Per cui si pone in ter­zioni della meccanica classica per sistemi con un numero molto grande di gradi mini estremamente naturali i l problema di spiegare il complesso comporta­di libertà. mento termodinamico dei sistemi fisici mediante la natura e il comportamento

Si prenda quindi in considerazione un sistema fisico per il quale possano dei suoi costituenti elementari a livello molecolare.essere applicati i metodi di descrizione fenomenologica del suo comportamento Viene cosi introdotto un secondo livello, piu approfondito e dettagliato, ditermodinamico, secondo i concetti introdotti nel ( z. Per fissare le idee si può descrizione del sistema fisico, per il quale ora le grandezze rilevanti sono costi­considerare un gas diluito contenuto in un recipiente di volume molto grande. tuite da posizioni e velocità (e altri parametri interni se necessari) delle mole­

Nelle condizioni piu generali, e quindi anche fuori dall'equilibrio termodi­ cole che compongono il sistema, mentre si assume che la loro evoluzione possanamico, lo stato macroscopico del sistema considerato è descritto da un certo essere descritta dalla meccanica classica hamiltoniana, sulla base delle legginumero di grandezze fisiche, variabili in generale da punto a punto e nel tempo, d'interazione tra le molecole supposte note. Naturalmente questo livello micro­come per esempio la densità di massa p(x, t), la densità di corrente j (x, t), la scopico di descrizione è di piu difficile accesso dal punto di vista della determi­densità di energia interna s(x, t), la temperatura T (x, t), ecc. nazione sperimentale dei valori delle grandezze fisiche coinvolte.

È importante porre esplicitamente in rilievo che tali grandezze fisiche sono S'indicherà in generale con P(t) lo stato microscopico del sistema all'istantenaturalmente suscettibili di misurazione, almeno in linea di principio, mediante t, come spiegato nel ( i, e con l' l ' insieme delle possibili configurazioni micro­opportuni dispositivi sperimentali. La loro evoluzione nel tempo si svolge se­ scopiche. Secondo le equazioni di Hamilton il punto rappresentativo del si­condo le equazioni cinetiche, descritte nel ( z, come è possibile verificare, nei stema P (t) percorre in modo perfettamente reversibile un'orbita nello spaziolimiti degli errori sperimentali, mediante una serie di esperimenti opportuna­ delle fasi l'.mente condotti. Una delle caratteristiche piu importanti dei sistemi meccanici, che vengono

E questo quindi il livello di descrizione macroscopica del sistema, caratteriz­ assunti come modelli a livello cinetico-molecolare di concreti sistemi termodi­zato da grandezze fisiche effettivamente misurabili e da leggi fenomenologiche namici, è costituita, come si è osservato precedentemente, dalla loro enormedi evoluzione determinate e verificate sperimentalmente. S'indicherà in gene­ complessità. Questo comporta in generale un'estrema instabilità delle orbite,rale con A (t) lo stato macroscopico del sistema all'istante t, e con 0 l ' insieme per cui punti inizialmente vicini nello spazio delle fasi divergono sempre piudelle possibili configurazioni macroscopiche. Sulla base delle equazioni cine­ con il trascorrere del tempo, mentre regioni nello spazio delle fasi inizialmentetiche fenomenologiche il sistema, partendo da una certa configurazione iniziale regolari evolvono in regioni, dello stesso volume per il teorema di Liouville, diA(o) all'istante t = o, percorrerà una determinata traiettoria A (t) nello spazio forme estremamente complesse sviluppando protuberanze filamentose che siQ. È stato posto esplicitamente in rilievo nel ( z che le equazioni di evoluzione avvolgono su se stesse. Al contrario le leggi di evoluzione macroscopiche mo­fenomenologiche non sono in generale invarianti per inversione temporale, il strano una stabilità molto maggiore, in accordo peraltro con la loro determina­livello macroscopico è quindi caratterizzato da una evoluzione temporale di na­ zione fenomenologica. La precisa caratterizzazione in termini matematici delletura intrinsecamente irreversibile. proprietà di estrema instabilità delle orbite dei sistemi meccanici complessi co­

Poiché la determinazione macroscopica dello stato coinvolge una serie con­ stituisce oggetto di investigazione nell'ambito della teoria generale dei sistemicreta di misure, sarà certamente possibile introdurre sullo spazio degli stati 8 dinamici astratti e della moderna teoria ergodica [cfr. Arnol'd e Avez t i167].

37

Reversibil i tà/i r reversibi l i tà t Ioz I Io) Reversibilità/irreversibilità

La connessione tra la descrizione data dal l ivello macroscopico, diretta­ ti va«dci sistemi con un numero molto grande di gradi di libertà non permette dimente accessibile dal punto di vista termodinamico alle misure e alle verifiche (lai c allcol"1 né una dimostrazione rigorosa delle affermazioni fatte ma nemmenosperimentali, e quella offerta dal livello microscopico, piu strettamente legata un;i spccihcazione completa del loro significato, specialmente dove si viene aalle proprietà elementari del sistema fisico, può essere ottenuta mediante ap­ prccisarc il concetto secondo cui «con grande probabilità» uno stato iniziale Ppropriati procedimenti di media spaziale e temporale (cfr. ) 5). Quindi, as­ scelto in l' (A) si evolve in uno stato P (t) che sia in I (A(t)).segnata una configurazione microscopica P, sarà possibile determinare univo­ D'altra parte i recenti risultati di Lanford [r976] costituiscono una provacamente, almeno in linea di principio, la corrispondente configurazione macro­ soddisfacente della sostanziale correttezza della soluzione delineata, in quantoscopica A applicando ripetutamente questi opportuni procedimenti di media. permettono di r icavare in termini r igorosi dalla meccanica reversibile dei si­Ovviamente, nel corso di questi procedimenti, molti dei dettagli della descri­ stemi con un numero molto grande di gradi di libertà la validità in termini pro­zione microscopica vengono persi, per cui si ottiene una sostanziale "contra­ babilistici dell'equazione irreversibile di Boltzmann. I limiti della presente trat­zione" della descrizione nel passaggio dal l ivello microscopico elementare a tazione non consentono di dare un cenno anche solo schematico dei contenuti cquello macroscopico fenomenologico. dei metodi di questa importante analisi; ci si limita ad osservare che essa non

Questa contrazione implica in particolare che diversi stati microscopici, costituisce una completa soluzione del problema solo perché, per limitazionianche notevolmente diversi tra di loro, possono corrispondere allo stesso stato di tipo tecnico dovute ai metodi di dimostrazione utilizzati, la validità dell'equa­macroscopico. Se in piu si t iene anche conto dell'indeterminazione, dovuta zione di Boltzmann è assicurata solo per un intervallo di tempo piccolissimo aagli errori sperimentali di misura, con cui può essere conosciuta una data con­ partire dall'istante iniziale. Per poter quindi ottenere risultati piu soddisfacentifigurazione macroscopica, si può arrivare a precisare il concetto molto importan­ dal punto di vista fisico sono necessari metodi tecnicamente piu potenti.te di «stella» di stati microscopici l' (A) associata allo stato macroscopico A Attualmente anche la scuola dei probabilisti sovietici (tra cui Dobrusin e(alcuni dei concetti introdotti e la relativa terminologia sono in parte mutuati Sinaj) è attivamente coinvolta nello studio rigoroso della dinamica dei sistemidall'approfondita trattazione critica dei fondamenti della meccanica statistica con un numero molto grande di gradi di libertà (al limite infinito ), nell'ambitodata dagli Ehrenfest fr9rz]). Nella stella l'(A), che costituisce un sottoinsieme del problema della connessione della meccanica con la termodinamica. Anchedello spazio delle fasi l', si pongano per definizione tutte le situazioni dinamiche in Italia, specialmente ad opera del gruppo di Roma condotto da Giovannimicroscopiche che, tramite gli appropriati procedimenti di media spaziale e Gallavotti, ricerche di questo tipo sono state perseguite con successo negli ul­temporale, dànno luogo a stati macroscopici che differiscono dallo stato as­ timi anni.segnato A nei limiti della tolleranza sperimentale permessa. Uno dei problemi piu importanti che occorre affrontare, anche solo per dare

Per ottenere la completa risoluzione, su basi probabilistiche, della dicoto­ un significato ben preciso all'enunciato introdotto precedentemente, è quellomia tra il carattere reversibile dell'evoluzione a livello microscopico e quello di specificare il senso con cui le asserzioni di tipo probabilistico debbono essereintrinsecamente irreversibile del livello macroscopico, occorrerebbe poter di­ intese. In particolare che significato deve essere dato all'affermazione «Per lamostrare in termini r igorosi il seguente enunciato: «Si supponga di conside­ maggior parte degli stati iniziali P scelti in l' (A)» > Forse uno dei contributi piurare uno stato macroscopico iniziale A e la corrispondente stella di stati micro­ rilevanti offerti dall'analisi di Lanford è stato proprio quello di dare una spe­scopici l' (A). Sia A.(t) lo stato evoluto da A all'istante t secondo le equazioni cificazione precisa, valida nei limiti del modello da lui considerato, del signi­fenomenologiche irreversibili. Sia P (t) lo stato microscopico ottenuto per l'i­ ficato delle affermazioni di tipo probabilistico. Per una soddisfacente soluzionestante t tramite l'evoluzione hamiltoniana reversibile a partire da un qualsiasi generale di questo problema sarebbe necessaria l'introduzione di un'opportunastato P appartenente alla stella l (A) nell'istante iniziale. Allora per la maggior misura p, sullo spazio delle fasi l' in maniera tale che ogni regione I" di l ' ver­parte degli stati iniziali P scelti in l ' (A) si ha che P(t) appartiene alla stella rebbe ad acquistare un «peso», dato dalla sua misura p, (l"), indicativo dellar(~(t)) p robabilità di realizzazione delle situazioni microscopiche contenute in l ' .

È chiaro che queste affermazioni traducono l'essenza della soluzione data Una volta in possesso di tale misura a priori la validità in senso probabilisticoda Boltzmann al problema dell'interpretazione su basi microscopiche delle delle equazioni cinetiche di t ipo fenomenologico assumerebbe il seguente si­leggi della termodinamica fenomenologica. Infatti, se l'enunciato fosse vero gnificato. Si considerino uno stato iniziale macroscopico A e la corrispondente

)

nonostante l evoluzione a livello microscopico avvenga in modo reversibile, stella di punti I (A), per un determinato t si consideri quella parte I" (A) diessa apparirebbe svolgersi secondo le leggi cinetiche irreversibili se osservata a l'(A) fatta dai punti P tali che i loro evoluti P(t) siano in l'(A(t)). Il rapportolivello macroscopico tramite la misura delle variabili fenomenologiche locali, p(1" (A))/p.(I'(A)) può essere assunto come valutazione quantitativa della fra­purché si escludano alcune delle possibili traiettorie microscopiche considerate zione di punti aventi buon comportamento termodinamico. Se fosse possibilescarsamente probabili. dimostrare che il valore di questo rapporto è molto vicino a i, ne risulterebbe

Purtroppo lo stato attuale delle ricerche nel campo della dinamica qualita­ una precisa caratterizzazione della validità in senso probabilistico delle equa­

Reversibil i tà / irreversibil i tà i i 0 4 Reversibil i tà/irreversibii i tà

zioni cinetiche. I punti esclusi, dotati di cattivo comportamento termodinamico, < ;u»< ut< I« Icviazioni dallo stato di equilibrio termodinamico, a disperdersi neiavrebbero scarsa probabilità di verificarsi. È chiaro peraltro che al crescere di t »» zzi u<sieri;di di dimensioni infinite in eccitazioni sempre piu complesse ela porzione di I' (A) fatta di punti con cattivo comportamento termodinamico è <liffus< c q<iindi meno ri levabili macroscopicamente.destinata a crescere, perché per un sistema finito comunque grande vale il teo­ I : i<i questo modo che una dinamica sostanzialmente reversibile, ma enor­rema di ricorrenza di Poincaré che alla lunga deve invalidare le equazioni irre­ u<«u<<»tc c<unplessa, a livello microscopico appare acquistare caratteri di irre­versibili. Quindi un buon comportamento termodinamico si può ottenere solo v«<.sibilità ncl passaggio alla descrizione macroscopica.nel limite in cui il numero di gradi di libertà del sistema (e quindi il numero delle Si può quindi concludere, in pieno accordo con i risultati di una linea inin­particelle che lo costituiscono ) diviene infinito. Questo giustifica il grande in­ i< < r<iita di ricerche, che partono dall'impostazione originaria di Boltzmann eteresse che ha recentemente sollevato lo studio delle proprietà meccaniche di si sviluppano nelle loro implicazioni fisiche e matematiche fino ad includere lesistemi con un numero infinito di gradi di l ibertà, per i quali sono stati dimo­ piu recenti acquisizioni della fisica teorica moderna, che la proposta di risolu­strati importanti teoremi di esistenza e di unicità ed è stato analizzato il com­ zione della dicotomia reversibilità /irreversibilità su basi probabilistiche si è di­portamento qualitativo delle soluzioni, nel corso di ricerche svolte negli ultimi mostrata estremamente ricca di continui sviluppi, che non solo hanno condot­anni prevalentementenegli Stati Unit i e nell 'Unione Sovietica, ma anche in to ad una sostanziale progressiva chiarificazione dei punti cruciali della propo­altri paesi tra cui l'Italia. sta stessa, ma sono stati anche di stimolo per ulteriori importanti investiga­

È anche chiaro che questo problema della misura a priori sullo spazio delle zioni sui fondamenti della meccanica statistica, sulla dinamica qualitativa deifasi è strettamente connesso con il problema ergodico, di cui sono stati dati dei sistemi infiniti e in generale sulle relazioni tra meccanica e probabilità.rapidi cenni nel ( 4. Anzi, l'osservazione secondo cui un buon comportamento Il fatto che molti degli aspetti fisici e matematici del problema non abbianotermodinamico può ottenersi solo nel limite di sistemi con un nuinero infinito ancora trovato una sistemazione definitiva, ma siano tuttora aperti, non fa chedi gradi di l ibertà ha enormemente stimolato un rinnovato interesse verso il accrescerne l'interesse anche dal punto di vista della ricerca contemporanea.problema ergodico esteso ora anche ai sistemi infiniti. [F. G.].

Occorre però anche osservare che il problema della misura a priori sullospazio delle fasi, che dovrebbe permettere una precisazione quantitativa delleaffermazioni di natura probabilistica, coinvolge anche delle considerazioni dinatura strettamente fisica sul grado di realizzabilità e controllabilità di deter­ Arnol'd, V. I . , e Avez, A.minate situazioni microscopiche. A tale proposito possono essere utili le se­ «i67 Pr o b lèmes ergodiques de la mécanique classique, Gauthier­villars, Paris.

guenti considerazioni. Si supponga di partire da una determinata configura­ Bogoljubov, N. N.zione macroscopica A e si scelga un qualsiasi stato microscopico P in 1 (A) di <g46 Pr o blemy dinami<":eskoj teorii v statis<iceskoj fisike, Moskva-Leningrad (trad. ingl. North

buon comportamento termodinamico, tale quindi che il suo evoluto P (t) sia Holland, Amsterdam «i6z ).in l'(A (t)). All 'istante t si effettua una inversione temporale su P(t) e su A (t), Boltzmann, L.

ottenendo rispettivamente P' (t) e A'(t) che verranno assunti come nuovi stati<8g6-<<8 Vorlesungen <iber Gastheorie, Bar<h, Leipzig.

iniziali. È chiaro che P' è nella stella V(A') ; però, dopo un intervallo di tempo t, Born, M., e Green, H. S.<949 A Generai Kinetic Theory of Liquids, Cambridge Universi<y Press, Cambridge.

lo stato P' sarà ritornato in P a causa dell'evoluzione reversibile, mentre A'nonritorna in A poiché le leggi di evoluzione macroscopica sono irreversibili. Si Ehrenfest, P., e Ehrenfest, T.

«iz < Be pri@iche Grundlagen der statistichen Auffassung in der Mechanik, in En<yklopadie derottiene quindi che P', pur essendo in l' (A'), non ha buon comportamento ter­ mathema<ischen WissenscIzaften, IV. Mechanik, sez. D, n. 3z, Teubner, Leipzig, pp. <-go.modinamico. Tra le p roprietà fisiche della configurazione microscopica P' Gibbs, J. W.che impediscono un buon comportamento termodinamico svolge probabilmente «io', El e mentary Prin<iples in Statisti<:al Mechanics, Scribner, New York; o ra in Col lected

un ruolo rilevante l'esistenza di precise correlazioni a lunga distanza tra i gradi WorAs, voi. Il, parte I, Yale Universi<y Press, New Haven Conn. <<<g8.

di libertà microscopici di P', ereditate dalla configurazione iniziale P tramite Grad, H.

l 'evoluzione reversibile. Queste correlazioni a lunga distanza sono di difficile 1958 Pr inciples of <he Kinetic Theory of Gases, in Handbuch der Physik, XI I. Thermodynamicsof Gases, Springer, Berlin, pp. 205-94.

controllo macroscopico, per cui ogni tentativo di riprodurre P' genererà degli Kirkwood, J. G.stati P" vicini a P' e ancora nella stella I' (A'), però di buon comportamento <<i46 The statistical mechanical theory of transport processes, I. Generai theory, in «Journal «ftermodinamico. Come conclusione prevale sempre la dinamica macroscopica Chemical Physics», XIV, s, pp. <8o-ro<.

irreversibile, mentre la natura fisica dell'irreversibilità si viene a precisare, se­ 1947 The statistical me<hanical theory of transport processes, II. Transportin gases, in «Journalof Chemical Physics», XV, <, pp. iz-p6.

condo la lucida analisi data da Prigogine [r<l6z], nella naturale tendenza delle Lanford III , O. E.eccitazioni localizzate e rilevabili macroscopicamente, che caratterizzano fisi­«<76 on a derivation of tbc Boltzmann equation, in «Astérisque»~ <1 4o, pp. x x v-si.

Reversibil i tà/i rreversibi i i tà t to6

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La nostra stessa esperienza di vita (cfr. empiria/esperienza) mostra come non visia simmetria tra il passato (cfr. passato /presente) e il futuro. Ricordiamo il passato(cfr. memoria) ma non conosciamo il futuro, pur cercando di prevederlo (cfr. anticipa­zione, previsione e possibili tà). Allo stesso modo, in fisica, il principio della crescitadell'entropia impone un'irreversibilità del tempo (cfr. tempo/temporalità) ; tuttavia,lo studio di un corpo in movimento (cfr. moto) mostra come in questo caso il tempo (cfr,spazio-tempo) sia reversibile. Questo disaccordo fra la meccanica e la termodinamica(cfr. energia, equilibrio/squilibrio) pone un problema che fisici e matematici (cfr. ma­tematiche) si sforzano di risolvere, in particolare attraverso l'uso di metodi (cfr. meto­do) statistici (cfr. decisione, giochi, induz ione statistica, probabilità).

5'5 Stato fisico

Stato fisico la natura che è stata designata col termine, un po' ambiguo, di 'meccanicismo'.L'intuizione associata a questo concetto è radicata nella nostra cultura da

una tradizione piu che secolare e gli idola fori sviluppatisi intorno ad essa sonoancor oggi fonte di confusione nel dibattito sulla teoria quantistica (special­

i. La no z ione intuitiva. mente sulla teoria della misura quantistica).La relazione tra il concetto «intuitivo», che un determinato individuo (o

Da un punto di vista euristico per stato di un sistema fisico s'intende un par­ gruppo omogeneo di individui ) può associare al termine 'stato', e la sua defini­ticolare modo di essere del sistema (come, per esempio, quando si parla di stato zione generale è gravida di tutte le ambiguità relative al rapporto tra pensiero esolido, stato legato, stato di equilibrio ) o, piu specificamente, un complesso di linguaggio.caratteristiche osservabili e mutuamente indipendenti del sistema che ne deter­ La definizione, intesa come momento in cui un concetto viene tradotto inminano completamente il comportamento. Poiché termini come 'sistema', 'com­ termini linguistici, è piu astratta e quindi piu povera dell'intuizione e in questoportamento' del sistema, 'descrizione' di tale comportamento, assumono un si­ senso allontana dalla realtà immediata delle percezioni e delle immagini. Magnificato preciso soltanto nell'ambito di una specifica teoria, lo stesso accadrà talvolta questa maggiore povertà si tramuta in un'operazione di sfrondamento,per il concetto di stato; e ciò giustifica la pluralità degli usi, con significati di­ di liberazione da pregiudizi e limitazioni che l'uso e le condizioni storiche ave­versi, di questo termine in contesti diversi (stato meccanico, stato termodina­ vano accumulato su un concetto, in una base di partenza per lo sviluppo di unamico, stato quantistico). A questa pluralità di usi tecnici si contrappone tuttavia nuova intuizione relativa a tale concetto; in questo senso l'astrazione avvicinauna ben radicata intuizione qualitativa secondo cui lo stato di un sistema, de­ alla realtà.finendo un «modo di essere» del sistema stesso, è un suo attributo intrinseco e Nel caso delle teorie fisiche il momento della definizione è quello in cui vieneperciò non può dipendere dal rapporto soggetto conoscente /sistema. Secon­ costruito un modello matematico. Ma affinché un modello matematico sia signi­do una tale concezione la molteplicità degli usi tecnici della parola 'stato' in ficativo (non solo nel senso di contenere informazione, ma anche in quello didifferenti contesti è dovuta unicamente al fatto che alcune teorie corrispondono trasmetterla) occorre stabilire una corrispondenza tra entità matematiche eda una descrizione incompleta del sistema in questione, una descrizione com­ entità riguardanti il mondo naturale, e il tramite di questa corrispondenza è ilpleta essendo sempre, almeno in linea di principio, possibile. Esisterebbe quin­ linguaggio comune. Attraverso questo può accadere che, nell'epoca di transi­di un unico concetto di stato, cioè quello relativo al livello piu fine della descri­ zione da una teoria a un'altra, il vecchio intuito si intersechi col nuovo e si so­zione del sistema, tutti gli altri sarebbero versioni approssimate di questo o, vrapponga in parte al nuovo modello. Una situazione del genere si è verificatain ogni caso, ad esso riducibili. Questa intuizione, associata al concetto di stato, con il concetto di «stato» in meccanica quantistica, ed è stata sorgente di confu­è strettamente legata alla concezione meccanicistica della natura della quale co­ sione nel dibattito sui fondamenti concettuali e sull'interpretazione della teo­stituisce uno dei presupposti impliciti. È interessante, a questo proposito, no­ ria quantistica.tare che Newton, nei Principia, non include il concetto di stato nella stringente Le ambiguità sul concetto di stato nascono dal fatto che esso è fondato suanalisi logica a cui sottopone la massima parte dei concetti che sono a fonda­ nozioni non precisamente definite come quelle di «sistema» o di « individualità» :mento della meccanica, e che lo stesso avverrà con Mach nella sua analisi sto­ solo con un atto teorico viene deciso che diversi complessi di percezioni si ri­rico-critica della meccanica newtoniana. Questa mancanza non è da attribuirsi feriscono a diversi modi di essere dello stesso sistema e non a diversi sistemi.a superficialità ma solo al fatto che la definizione che emerge dalla meccanica Nel caso di oggetti macroscopici l'atto di isolare sistemi individuali dal com­newtoniana del concetto di stato si presenta come un affinainento e una preci­ plesso delle nostre percezioni è connaturato al nostro modo d'interagire colsazione dell'idea, legata al senso comune, di stato come insieme completo di at­ mondo esterno ; la situazione cambia nel caso di oggetti microscopici : nella fisicatributi di un sistema e perciò a questo livello non sembra meritare particolari delle particelle non è affatto banale definire quali complessi di percezioni si ri­approfondimenti. feriscono a sistemi «diversi » e quali a diversi modi di essere(stati) dello «stesso»

La relatività e la meccanica quantistica mettono in crisi l ' intuizione tradi­ sistema. Per esempio, nella fisica delle interazioni forti, il protone e il neutronezionale associata a termini come 'sistema', 'descrizione completa', 'proprietà', vengono considerati come due «stati» di una stessa particella: il «nucleone»;... e impongono, per le esigenze di sviluppo del pensiero scientifico, prima anco­ mentre se s'introducono altri tipi d'interazione (debole, elettromagnetica, ecc.)ra che per esigenze epistemologiche e filosofiche, un esame molto piu approfon­ essi vengono considerati particelle diverse.dito non solo del concetto di stato di un sistema ma anche dello stesso concetto Nella pluralità di accezioni del termine 'stato' è tuttavia possibile isolare al­di sistema fisico. cune fondamentali caratteristiche comuni che permettono di unificare le varie

Prima di discutere questi sviluppi sarà bene analizzare esplicitarnente il con­ definizioni (cfr. $ 9). Ma l'unificazione a livello di definizione formale non ri­cetto di stato fisico cosi come emerge dall'evoluzione di quella concezione del­ flette un'unità delle intuizioni associate a questo termine ; queste infatti dipen­

Stato fisico gs6 5'7 Stato fisico

dono dalla concezione che uno ha di che cosa significa descrivere un sistema t'osrvt.ATO t). Esiste un insieme B(finito o infinito) di osservabili indipendentinel senso di una scienza sperimentale. Da questo punto di vista i concetti di tali che per ogni istante t e per ogni osservabile A, i valori assunti da A. allistan­stato come emergono dalle teorie che sono state chiamate «meccanicistiche», e te t sono funzione dei valori assunti da B a l l i s tante t.dalle teorie quantistiche, sono completamente diversi. posTULATo Il ). Se B è un insieme di osservabili e A è un'osservabik tale che,

a un certoistante t, A,= f(B,), allorain ogni altro istante s si ha A, = f(B,).vosrut,Aro tn ). Se B è un insieme di osservabili che soddisfa la condizione x),

z. Il co ncetto di stato in una teoria meccanicistica. allora per ogni coppia di istanti s( t esiste unafunzione TP,. tale che B, = T,,(B,).posrvr.Aro tv ). È possibile, in linea di principio, misurare i valori esatti, a un

In generale una teoria fisica è definita da un insieme 6 di grandezze osser­ dato istante, di un qualsiasi insieme di grandezze e in un dato istante una gran­vabili e da un insieme Q di affermazioni che riguardano i valori assunti da tali dezza non puo assumere due valori diversi.grandezze. Queste affermazioni possono essere di due tipi: r ) affermazioni che posrvt.Aro V). Sia le dipendenze funzionali di cui al punto tt ) sia la legge didefiniscono o limitano l'insieme dei valori a priori possibili di una singola gran­ evoluzione di cui al punto n?) sono accessibili alla conoscenza umana mediante ladezza (per esempio il fatto che lo spin può assumere solo valori interi o semi­ ragione e gli esperimenti,interi, o che nessuna velocità può essere superiore a quella della luce nel vuoto ) ;z) affermazioni ipotetico-deduttive, cioè quelle che da alcune informazioni sui Nel seguito ogni insieme di grandezze osservabili, che soddisfi la condizio­valori assunti da certe grandezze permettono di estrarre delle informazioni sui ne del postulato t ), sarà detto un insieme completo di osservabili. Con questavalori assunti da altre. notazione si può riformulare il postulato r ) affermando che esistono insiemi

Tutte le affermazioni del primo tipo vanno considerate come particolari leg­ completi di osservabili. Ogni teoria che soddisfa tutti e cinque questi postulatigi fisiche ; altri esempi di leggi fisiche sono forniti da schemi di affermazioni del sarà detta una teoria meccanicistica. Un'analisi, anche sommaria, del significatosecondo tipo (la legge di gravitazione di Newton F = — G(mM/rz)(r/r), per e­ e della portata di questi postulati trascende i limiti del presente articolo; ci sisempio, è uno schema di affermazioni ipotetico-deduttive, nel senso che comun­ limiterà perciò ad alcuni brevi commenti.que si fissino i valori di m, M e r s i o tt iene un'affermazione di questo tipo). Il postulato x) garantisce che ogni teoria meccanicistica è una teoria esatta;

Nel seguito si distinguerà fra teoria fisica e modello matematico di questa, esso è fisicamente privo di contenuto se non integrato dal postulato tv ) (postulatoe si riterranno equivalenti due modelli se, indipendentemente dalle loro strut­ di compatibilità ). Nel seguito si vedrà che la teoria quantistica rifiuterà il postu­ture matematiche — che possono essere molto diverse —, essi conducono allo lato iv ) in due modi : da una parte, affermando l'esistenza di insiemi di osserva­stesso insieme di affermazioni fisiche. bili i cui valori esatti non sono simultaneamente misurabili (forma debole del

Il concetto di grandezza osservabile sarà considerato come concetto primi­ principio d'indeterminazione di Heisenberg ) ; dall'altra, affermando l'esistenzativo (euristicamente, esso include qualsiasi cosa possa essere misurata, e i r i­ di osservabili i cui valori esatti a un dato istante non sono affatto misurabili.sultati delle misure su un'osservabile — i suoi valori — sono numeri reali ). Il postulato n ) garantisce l'omogeneità temporale dei vincoli cinematici; in

Una osservabile A sarà detta funzione di un'osservabile B se esiste una fun­ particolare da esso e dal postulato ni ) segue che la conoscenza di B all'istante szionef, che a un valore di B associa un valore di A, tale che ogni volta che il ri­ e della relazione funzionale A,= f(B,) determina la conoscenza dei valori disultato della misura di B è b, il risultato della misura di A è a = f(b) ; in questo A , per ogni t) s .caso si scriverà A = f(B). Il postulato tn ) esprime il carattere deterministico dell'evoluzione tempo­

Le osservabili di un insieme saranno dette funzionalmente indipendenti se rale e infine il postulato v ) (o postulato dell'accessibilità ) esprime una genericanessuna di esse è funzione delle altre ; spesso, quando non c'è possibilità di con­ affermazione di fede che non dovrebbe trovar posto in una trattazione rigorosa­fusione col concetto d'indipendenza statistica, si dirà semplicemente che queste mente formale, ma che è di fondamentale importanza per capire lo spirito dellaosservabili sono indipendenti. Nel seguito i simboli A, B, C, . .. denoteranno visione meccanicistica Per Einstein, che di questa visione è stato l'ultimo gran­dei complessi di grandezze osservabili relativi a un dato istante di tempo (per de rappresentante, la tenace fede nell'accessibilità è stata uno dei principali mo­esempio A = (q„p<) = posizione e impulso di una particella all'istante t), e i tivi che lo hanno spinto a rifiutare fino alla fine la nuova visione del mondoloro valori in quell'istante saranno rispettivamente indicati con i simboli a, b, prospettata dalla teoria quantistica.c, ... Quando si vorrà sottolineare la dipendenza temporale si scriverà A, invece Si osservi infine che, per chiarezza, i postulati del meccanicismo sono statidi A, e si userà la notazione B = b per indicare il fatto che la misura del com­ espressi in termini non relativistici, ma non è difficile riformularli in modo taleplesso di grandezze B = (B„B „ . . . ) ha dato i risultati b= (b„b~, ...) Ciò pre­ che essi siano soddisfatti anche dalla teoria della relatività (sia ristretta sia ge­messo, si possono enunciare i postulati generali che caratterizzano la conce­ nerale).zione meccanicistica della natura: Come si vede, i postulati del meccanicismo si possono suddividere in due

Stato fisico gi8 5I9 Stato fisico

gruppi: uno contenente i postulati I ), Iv), v), che riguarda la situazione del si­stema a un istante fissato ; un altro, contenente i postulati Ii ), iii ), che riguarda I/ modello matematico di stato in una teoria meccanicistica.il divenire del sistema.

Dal primo gruppo di assiomi emerge un concetto di stato, come fotografia Gli assiomi I ), Iv) e v) delle teorie meccanicistiche implicano, come si èistantanea presa sul divenire del reale, che può essere considerato come la pre­ visto, il postulato del realismo e lo storicizzano riferendolo a una particolarecisazione dell'idea di stato proposta da Bergson nell'Evolution créatrice con la sua teoria. Essi però contengono un'ulteriore informazione che permette di ridurreanalisi del «meccanismo cinematografico del pensiero». drasticamente la quantità d'informazione necessaria per determinare lo stato

Questo concetto di stato è associato a una concezione della natura secondo di un sistema, e rende con ciò possibile la formulazione del modello matematico.la quale: Infatti da questi postulati segue che, per conoscere i valori assunti da tutte le

I ) Ogni «proprietà» di un sistema è specificata dal fatto che certe grandezze grandezze osservabili di un sistema in un dato istante, non è necessario misu­

osservabili associate al sistema assumono dei valori ben precisi. rare tutte queste grandezze, ma è sufficiente misurare i valori di un qualsiasi

z) In ogni istante, tutte le proprietà di un sistema sono simultaneamente insieme di osservabili che soddisfa la condizione del postulato I ), cioè di un

specificate (cioè tutte le grandezze osservabili assumono un valore ben insieme completo di osservabili. Per comprendere a fondo la portata di questa

preciso). riduzione e in che senso essa permetta il passaggio dal concetto di stato come

3) La specificazione di una qualsiasi proprietà in un certo istante è indipen­ nozione 6sica al Inodello matematico, si comincerà a considerare una classe

dente dalla veri6ca di questa (cioè il valore assunto da una grandezza os­ particolare di teorie meccanicistiche, che verranno chiamate newtoniane, ca­

servabile in un dato istante è indipendente dal fatto che tale valore venga ratterizzate dal fatto che in esse il postulato I ) è rafforzato nel modo seguente:

sperimentalmente misurato). POSTULATO Iii ), Esiste un insieme completofinito di osservabili.

Le condizioni I ), z), 8) costituiscono l'essenza del cosiddetto «postulato del Gli attributi che definiscono il modo di essere, cioè lo stato di un sistema arealismo», enunciato esplicitamente per la prima volta da Einstein, Podolsky e un dato istante, possono essere, e sono in generale, infiniti. I l postulato iii )Rosen [ iq85]. Come si vedrà piu avanti, gli sviluppi della teoria quantistica in­ implica però che questa in6nità attuale possa essere ridotta a un insieme finito.durranno alcuni autori a rifiutare questo postulato, indebolendo la condizione Sia B = (B„ . .., B»i) un tale insieme 6nito. L'assegnazione dei valori b =

I ) e negando decisamente le altre due. = (b„..., AI) assunti da B in un qualsiasi istante t determina completamenteSecondo il postulato del realismo, lo stato di un sistema è quindi una se­ lo stato del sistema in quell'istante nel senso che, se A è una qualsiasi altra os­

zione istantanea del suo divenire, cioè l'insieme delle speci6cazioni di tutte le servabile, esiste una funzionef tale che il valore di A all'istante t è dato daf(b).sue proprietà a un dato istante. Nel seguito di questo paragrafo il termine 'stato Il rapporto tra lo stato del sistema all'istante t e la condizione B, = b è lo stessodi un sistema' sarà sempre usato nel senso appena specificato. Questa conce­ che tra l'attuale e il potenziale. Se si pensa allo stato del sistema al tempo t co­zione dipende solo dal postulato del realismo e non dalla particolare teoria, me a una fotografia in bianco e nero ottenuta per accostamento di infiniti puntipurché naturalmente la teoria includa un numero sufficiente di osservabili e di grigi con tonalità variabili, allora si può pensare alla condizione B, = b come aaffermazioni intorno ad esse (tante cioè da poter specificare tutte le proprietà a una macchina che permette, dato uno qualsiasi di questi punti, di riprodurlo,priori attribuibili al sistema). È questa la formulazione precisa dell'idea intui­ previa esecuzione di certe operazioni. Tutti i punti possono essere riprodotti,tiva di stato come insieme completo di attributi intrinseci del sistema alla quale ma solo uno alla volta e, poiché in un tempo 6nito un uomo può eseguire solosi è fatto riferimento ($ I ). un numero finito di operazioni, la fotogra6a non può mai essere ricomposta in­

In questa concezione occorre distinguere due aspetti : uno storico, in cui le tegralmente.«proprietà a priori attribuibili al sistema» sono fissate dall'assegnazione di un Ma se «lo stato in sé» di un sistema, inteso come sezione temporale del suoinsieme di osservabili riferite a una ben precisa teoria. Uno metastorico, asso­ divenire, è inaccessibile nella sua attualità alla conoscenza umana, ben diversaluto, secondo cui i l postulato del realismo non riguarda una specifica teoria, è la situazione con quegli insiemi che contengono in sé, a livello virtuale, tuttama la natura in sé, e perciò quando, in una data epoca, si parla delle «proprietà l'informazione relativa a tale stato.a priori attribuibili al sistema», ci si riferisce anche a quelle proprietà che, in Se B = (B„ . .., Btr) è un insieme di osservabili che soddisfa la condizione delquell'epoca, non sono ancora state individuate (ed è soltanto in questo secondo postulato iii ), per il postulato Iv ) è possibile una misura simultanea di B. Sesenso che il concetto di stato viene svincolato da ogni teoria e riflette solo la vi­ 8(B;) è l'insieme dei valori a priori possibili per la grandezza Bt (j = I, . .., N ),sione del mondo espressa dal postulato del realismo). i risultati a priori possibili delle misure simultanee su B saranno le ¹p le

b = (b„..., b<), dove b; appartiene a S(B,) (j = I, . .., N ). Il fatto che le gran­dezze dell'insieme B siano funzionalmente indipendenti equivale a dire che

Stato fisico 5zo 52I Stato fisico

tutte le N-uple b= (b„..., b>) con b; in S(B,) (j = i, . . ., N ) rappresentano risulta­ pleto sarà formato esattamente da N grandezze. Piu precisamente, la conclu­ti a priori possibili di misure simultanee di B. Si denoti con S (B) l'insieme di sione è che, se anche gli spazi degli stati S (B) dipendono dalla scelta dell'in­tali N-uple. Poiché ogni osservabile assume valori reali, S (B) è un sottoinsieme sieme completo B, il loro tipo topologico è indipendente da questa scelta e per­di uno spazio a N dimensioni (lo spazio euclideo N-dimensionale). Dalla discus­ ciò costituisce una caratteristica intrinseca del sistema. Si denoti con S questosione precedente risulta che ogni punto di $ (B), cioè ogni insieme di valori tipo topologico. S è uno spazio astratto che può essere identificato (tecnicamenteb = (b„..., btt), determina univocamente uno stato del sistema e che, viceversa, mediante omeomorfismi ) a ciascuno degli spazi S(B), dove B è un insiemeogni stato del sistema determina un unico punto di S (B). Riferendosi a questa completo di osservabili. I punti di questo spazio astratto rappresentano gli staticorrispondenza biunivoca, si dirà che S(B) è lo spazio degli stati del sistema del sistema, nel senso che sono in corrispondenza biunivoca con essi ; tali puntinella rappresentazione associata a B. Si vede quindi come il solo postulato iii ) non dipendono ormai da alcuna scelta arbitraria, ma sono intrinsecamente asso­permetta di costruire un modello matematico di spazio degli stati del sistema; ciati ad esso. Si dirà che S è lo spazio degli stati del sistema. Il fatto che S sia unoil modello è semplice poiché in esso uno stato è rappresentato da una ¹ pla spazio topologico significa che, sull'insieme amorfo dei possibili stati, rappresen­ordinata di numeri reali. Lo spazio $ (B) non dipende solo dal sistema che si sta tati intuitivamente come sezioni virtuali sul divenire del sistema, è stata aggiun­descrivendo, ma anche da una nostra scelta arbitraria, cioè la scelta dell'insieme ta una struttura teorica, cioè un concetto di vicinanza, di somiglianza tra stati,completo di osservabili B. Se C è un altro insieme completo di osservabili, per che già non riguarda il sistema in sé, ma il nostro rapporto con esso ; questa ul­la completezza di B esiste una funzionef : S(B)~S(C) ta le che per ogni c teriore arbitrarietà si manifesterà piu chiaramente quando, per esprimere quanti­in S(C), esiste un b in $ (B) tale che f (b)= c. Ciò significa che il risultato di una tativamente il concetto di «vicinanza» occorrerà introdurre una metrica e un'uni­qualsiasi misura di C a un dato istante può essere ottenuto misurando B in tà di misura. A queste arbitrarietà è legata la molteplicità dei modelli di spazi de­quell'istante e applicando la funzione f al risultato di questa misura. Poiché il gli stati a priori compatibili con un dato sistema fisico. Il tentativo di eliminarerisultato di una misura di B determina completamente uno stato e lo stesso vale queste arbitrarietà ha condotto, da una parte, allo studio di condizioni che fissinoper un risultato di una misura su C, non è possibile avere f(b,) = f(bs)=c se univocamente la struttura metrica sullo spazio degli stati in funzione di condizio­b, e b, sono punti diversi di $ (B), altrimenti allo stesso stato del sistema, ni che, almeno in linea di principio, possono essere considerate sperimentalmen­cioè quello determinato da C, corrisponderebbero due valori diversi del com­ te controllabili (come per esempio le equazioni di campo di Einstein in relativi­plesso di grandezze B, il che è impossibile poiché per il postulato iv) in uno tà generale) ; dall'altra, all'enunciazione di principi di invarianza che affermanostesso istante una grandezza non può assumere due valori diversi. Ciò implica l'equivalenza fisica di modelli che differiscono solo per diverse scelte (locali o glo­che la corrispondenza f : S(B) ~$(C) è biunivoca e che la funzione che espri­ bali) dell'unità di misura. Da quest'ultima problematica sono nate le « teorie dime B in funzione di C è la funzione inversa dif. gauge» — creazione del matematico Weyl — che tanta importanza hanno assunto

Ora, tra i numeri reali, c'è una nozione naturale di «vicinanza» (cioè esiste nella fisica contemporanea. L'identificazione di $ con uno specifico S(B), cheuna topologia naturale sui numeri reali ). Ciò permette di definire una nozione è un sottoinsieme dello spazio euclideo N-dimensionale R+, si effettua me­naturale di «vicinanza» tra stati di un sistema dicendo che due stati sono vicini, diante una particolare funzione (omeomorfismo) qz. S~R+. In matematica,o differiscono di poco, nella rappresentazione associata a B, se i corrispondenti assegnare una tale funzione significa assegnare una famiglia di coordinate (glo­punti di S(B) sono vicini nel senso della topologia naturale su $ (B). Il postu­ bali) sullo spazio $. Dal punto di vista matematico, quindi, la scelta di un parti­lato della continuità fisica si esprime allora dicendo che il concetto di vicinanza colare insieme completo di osservabili per descrivere gli stati di un sistema, cioètra stati è intrinseco, cioè non dipende dalla rappresentazione matematica. In di una rappresentazione, equivale alla scelta di una famiglia di coordinate (glo­altri termini, se C è un altro insieme di osservabili e b, e b, sono stati, nella rap­ bali) sullo spazio degli stati di questo sistema. Il passaggio da una rappresen­presentazione associata a B, tali chef(bi) = c, e f(b,) =cs, allora dal fatto che tazione associata all'insieme completo B ad una associata all'insieme comple­b, e b, differiscano di poco si deduce che anche c, e c~ differiscono di poco. In to C corrisponde al cambiamento di coordinate definito dalla funzione f<ia =

termini matematici, ciò esprime la continuità della funzione f : S(B) ~S(C) e = Vo''Ps . S(B) S(C).poiché, scambiando i ruoli di B e C, laf viene cambiata nella sua inversa, anche Nella pratica spesso si fissa un sistema di coordinate, cioè una particolare rap­la continuità della funzione f ' : S(C)~ S (B), A questo punto un profondo presentazione in qualche modo privilegiata rispetto al problema che si sta trat­teorema matematico, intuito da Dedekind e dimostrato da Brouwer ed Enriques tando, e s'identifica lo spazio degli stati con lo spazio $ (B) associato a quella(l'invarianza della dimensione per omeomorfismi ) permette in molti casi (cioè particolare rappresentazione. Cosi, per esempio, nella meccanica hamiltonianaquando i valori assunti dalle osservabili coprono un intervallo aperto di numeri dei sistemi con un numero finito di gradi di libertà, spesso lo spazio degli statireali) di dedurre una conseguenza non banale dal postulato della continuità è identificato all'insieme delle coppie (posizioni-impulsi ) mentre già nella ter­fisica, e cioè: se in una teoria meccanicistica di tipo newtoniano un insieme com­ modinamica classica occorre frequentemente passare da una rappresentazionepleto di osservabili è formato da N grandezze, allora ogni altro insieme com­ a un'altra e perciò si distingue tra il termine generico 'funzione di stato' e il ter­

Stato fisico 522 5z3 Stato fisico

mine specifico 'funzione di P, V, ...', designando il primo termine una generica tematiche di S saranno date non piu da identi6cazioni globali <p : S~R+, magrandezza termodinamica, e il secondo la forma esplicita della dipendenza fun­ da una famiglia {(U, q>)} di coppie (U, p), dove U è un sottoinsieme di S e pzionale che permette di esprimere i valori di questa grandezza in funzione dei è una identificazione di U con un sottoinsieme di R+. Si tratterà cioè di rappre­valori assunti dall'insieme completo di osservabili (P, V, ...). sentazioni locali, nel senso specificato sopra.

Un'altra astrazione da cui dipende la costruzione dello spazio degli stati co­ Nella terminologia matematica, una coppia (U, p) con le proprietà elencateme struttura matematica è quella di «insieme di tutti i valori a priori possibili» sopra è detta una carta locale. Se (U, rp) e (V, $) sono due carte locali, sull'in­di una grandezza osservabile. In essa ci sono due tipi di estrapolazione rispetto sieme Ug V degli stati comuni ad U e V sono definite sia la rappresentazioneai risultati dell'esperienza :una prima consiste nel fatto che le misure disponibili associata a q> che quella associata a $. Il problema della loro connessione si di­dei valori di una grandezza sono sempre in numero finito, e perciò quando si discute esattamente allo stesso modo del problema, già analizzato, della connes­parla di «tutti i valori possibili» di una grandezza si sta in pratica interpolando sione tra le rappresentazioni globali associate a due insiemi completi B e C,o estrapolando, sulla base di una intuizione storicamente datata, l'insieme dei con l'unica differenza che S è sostituito da UA V.dati sperimentali. Si è già dato il caso in cui alcune di queste estrapolazioni, ap­ Il risultato è analogo, e la funzione che definisce il passaggio dalle coordi­parentemente «ovvie», sono poi state smentite dagli esperimenti: ciò è avvenuto, nate p a quelle $ è $ o y . Se si accetta il postulato della continuità, questaper esempio, con la scoperta di un limite superiore per le velocità raggiungibili funzione è un omeomorfismo. Poiché ogni stato è definito da almeno un insiemein natura (la velocità della luce nel vuoto), o con la scoperta del carattere discreto completo di osservabili, si ha che ogni punto di S appartiene ad almeno un U;di alcune quantità tradizionalmente ritenute continue, come l'energia, il mo­ in altri termini, l ' insieme di tutti gli U è un ricoprimento di S. In matematicamento angolare in una direzione, ecc. Un'altra estrapolazione è legata al fatto una struttura determinata da uno spazio topologico S, una famiglia ((U, cp)}che tutte le nostre percezioni hanno un carattere locale: ogni strumento fisico di carte locali su S tale che l'insieme di tutti gli U sia un ricoprimento di S eha un raggio d'azione limitato, nel senso che esso permette di misurare solo i la funzione g o q> : q>(UA V) ~ $ (Ug V) sia continua per ogni coppia di cartevalori di una data osservabile che sono compresi entro un intervallo limitato. È locali (U, il~), (V, $), è detta una varietà topologica.possibile ampliare il raggio d'azione di uno strumento o costruirne un altro piu Riassumendo quanto detto finora si ha che le condizioni i ) esistenza di unpotente e, almeno teoricamente, questo processo può non avere fine. Ma si trat­ insieme 6nito completo di osservabili, cioè il postulato rz ), z) postulato di con­ta di una potenzialità, non di un fatto attuale : è un fatto che esistono dei limiti tinuità 6sica, 3 ) località delle nostre percezioni, 4 ) ipotesi che i valori assuntiprecisi, legati a una data epoca, sulle misure effettuabili sui valori di qualsiasi da una qualsiasi osservabile di un insieme completo costituiscono un intervallograndezza osservabile. aperto di numeri reali, permettono di determinare univocamente il modello ma­

Per tener conto di questi limiti nella costruzione del modello matematico è tematico dello spazio degli stati. Tale modello risulta essere una varietà topolo­necessario considerare, invece dell'insieme $ (B) di tutti i valori di una gran­ gica. Se si rafforza il postulato di continuità fisica richiedendo non solo che a statidezza B, gli insiemi di tutti questi valori compresi in un dato intervallo limitato. «vicini » in una rappresentazione corrispondano stati vicini in una qualsiasi al­L'intervallo può variare e può essere arbitrariamente grande, ma sempre mante­ tra, ma anche che rispetto a qualsiasi unità di misura la vicinanza tra due rap­nendosi limitato. presentazioni dello stesso stato sia «dello stesso ordine di grandezza», si perviene

A un insieme completo B = (B i, ..., B> ) di osservabili sarà quindi associato al concetto di varietà differenziabile, che costituisce il modello abituale per lonon piu un unico spazio degli stati S (B), ma tutta una famiglia U(B) di «spazi spazio degli stati di una qualsiási teoria meccanicistica di t ipo newtoniano.locali» definiti in modo analogo ad S (B) ma con la differenza che, nelle X-uple Esempi tipici di queste teorie sono: la meccanica hamiltoniana dei sistemi conb = (b„..., b»i), i valori di b, possono variare soltanto all'interno di un intervallo un numero finito di gradi di libertà ; la termodinamica classica ; la teoria generalelimitato U contenuto in S (B,). Ciascun punto di U(B) definisce univocamente dei sistemi dinamici a dimensione 6nita. Le caratteristiche specifiche della va­uno stato del sistema, ma questa volta non è piu vero che tutti gli stati del siste­ rietà (per esempio la dimensione) dipenderanno dal particolare sistema, ma lama sono definiti da un punto di U (B). Per il sottoinsieme degli stati del siste­ struttura generale del modello dipende unicamente dalle quattro condizionima individuato da U (B) è possibile ripetere l'analisi, svolta precedentemente elencate sopra.per tutti gli stati, e definire uno spazio topologico astratto U, i cui punti sono Per le teorie meccanicistiche che non soddisfano il postulato ti«) (per esem­intrinsecamente associati a un certo sottoinsieme di stati del sistema e da cui pio la meccanica dei sistemi continui o, piu in generale, le teorie di campo), lala rappresentazione U (B) — associata a un generico insieme completo di osser­ linea concettuale del ragionamento precedente è ancora valida e ancora unavabili B — si deduce mediante introduzione di un sistema di coordinate, questa volta suggerisce una varietà topologica (o difFerenziabile) come modello mate­volta locali, cioè di una funzione (omeomorfismo) qz. U~R+. Identificando i matico dello spazio degli stati. Questa volta però la varietà non è modellata sullopunti di ciascuno spazio astratto U con stati del sistema, e denotando con S spazio euclideo N-dimensionale, ma su uno spazio funzionale a infinite dimen­l'insieme di tutti gli stati del sistema a priori possibili, le rappresentazioni ma­ sioni. In questo caso anche se le difficoltà tecniche sono molto grandi, poiché la

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teoria matematica degli spazi funzionali è molto meno sviluppata che non nelcaso di spazi a dimensione finita, lo schema concettuale rimane essenzialmente Stato «meccanicistico» e stato «reale».lo stesso per quanto riguarda il modello matematico di spazio degli stati. Perquanto concerne le implicazioni sulla teoria della conoscenza invece il passaggio, L'analisi precedente mostra come dai postulati I ), lv) e v) delle teorie mec­nel modello matematico, da una varietà a dimensione finita a una a dimensione canicistiche emerga un concetto intuit ivo di stato di un sistema, come com­infinita comporta una notevole differenza. plesso di tutte le proprietà del sistema in un dato istante, e un preciso suggeri­

Come si è visto, un punto nello spazio degli stati rappresenta lo stato del si­mento sulla struttura atta a rappresentare, nel modello matematico, l' insieme

stema e il numero delle sue coordinate rappresenta il numero minimo di misure astratto di tutt i i possibili stati del sistema. D'altra parte, nell'intuizione asso­simultanee indipendenti che bisogna eseguire per determinare completamente, ciata a tutte le teorie meccanicistiche (tranne quelle che si limitano a priori allanel senso virtuale spiegato prima, tutta l'informazione contenuta in quello stato. descrizione di equilibrio, in cui l'evoluzione temporale è banale) l'idea di stato

In una varietà a dimensione infinita, tale numero è infinito e, poiché è impos­ non esprime soltanto la bergsoniana fotografia istantanea dell'evoluzione tempo­sibile eseguire simultaneamente una infinità attuale di misure, ne segue che in rale di un sistema, ma anche l'embrione da cui tale evoluzione si sviluppa. Que­generale, se il sistema non è di tipo newtoniano, i suoi stati non sono accessibili sto aspetto è contenuto nei postulati ti ) e ttt ), le cui conseguenze, ai fini dellaall'esperimento nemmeno in quel senso virtuale che è stato descritto preceden­

rappresentazione quantitativa del concetto di stato, saranno ora analizzate.temente. Per esempio, nella teoria dell'elettromagnetismo, i valori di tutte le Dal postulato tt) segue che le funzioni esprimenti i valori di un insiemeosservabili rilevanti a un dato istante sono esprimibili come funzioni del campo completo di osservabili a un dato istante in funzione dei valori, nello stessoelettromagnetico in quell'istante. Ma il campo elettromagnetico è definito dal­ istante, di un altro insieme completo di osservabili, non dipendono dall'istantel'assegnazione di una coppia di vettori per ogni punto dello spazio. Anche vo­ scelto. Poiché, secondo l'analisi del ( 5, tali funzioni, con gli insiemi dei valorilendo prescindere dai problemi coinvolti con la definizione del campo in un a priori possibili delle osservabili (che, per implicito postulato, neanche dipen­punto, anche volendo limitarsi a una zona limitata dello spazio, ci si trova da­ dono dal tempo), determinano univocamente il modello matematico, segue chevanti al problema di dover effettuare infinite misure simultanee per determinare non è necessario un modello di spazio degli stati per ogni istante di tempo, ed èil campo a un istante dato. La questione è molto meno pratica che teorica. Dal possibile rappresentare l'evoluzione temporale del sistema come un punto, va­punto di vista delpnso della teoria elettromagnetica spesso astute considerazioni riabile nel tempo, in un unico spazio degli stati.di simmetria, ragionevoli approssimazioni, potenti mezzi di calcolo, o sempli­ Nella rappresentazione (locale o globale) associata a un insieme completocemente l'uso accorto della teoria, suggeriscono precise indicazioni su come col­ di osservabili B, tale evoluzione sarà descritta dalla funzione TP, definita dalmare le lacune dell'esperienza e conducono a successi che la ragione non riesce

postulato itt ) e, al variare di B tra tutti i possibili insiemi completi di osservabili,interamente a spiegare (Wigner parla di «irragionevole efficacia della matema­ le funzioni TP, determinano un'unica funzione T,, globalmente definita sullotica»). Inoltre, per una macchina finita, come il cervello umano, la differenza spazio degli stati S e che trasforma S in sé : infatti, se (U(B), q>z) e (U(C), q><)«in linea di principio» tra finito ma molto grande e infinito è irrilevante: per sono carte locali su S associate rispettivamente agli insiemi completi B e C, iuna tale macchina tutti i numeri da un certo punto in poi sono considerati, di postulati i ), tt), watt) implicano che su U(B ) A U(C) si deve averefatto, infiniti. Tuttavia, da un punto di vista teorico, è indubbio che il concettodi stato in una teoria di campo classica, o piu in generale in una teoria meccani­ Va ' ~ , s "Pa= ' Po '~~,s "Pc.cistica non di t ipo newtoniano, contiene a livello fondamentale piu elementi Poiché T,, è globalmente definita su S, qualunque sia lo stato o; del sistema alspeculativi rispetto a una teoria di t ipo newtoniano. Ancora non si è arrivati,

tempo s, i l suo stato al tempo t )s s arà dato da T, , cs,= o,. In questo sensocome farà la teoria quantistica, a dichiarare l'inconoscibilità dello stato in senso si dice che in una teoria deterministica il futuro (cioè lo stato del sistema a ognimeccanicistico, ma la conoscibilità non dipende piu solo dalla ragione e dall'e­

i stante t) s ) è determinato dallo stato presente (cioè lo stato al tempo s ). Si èsperimento, ma anche da intuizioni speculative che guidano la mente a colmare già insistito sul fatto che lo stato a nella sua globalità è un'astrazione teorica, nonquelle lacune dell'esperienza che, per la prima volta, non hanno un carattere un concetto sperimentale. Analogamente la funzione T,, è un'astrazione: perstorico, ma di principio. Per conoscere lo stato dell'universo laplaciano basta ogni previsione quantitativa, confrontabile con gli esperimenti, è necessario con­partecipare a un barlume della conoscenza divina; per conoscere lo stato dell'u­ siderare la T,, in qualche particolare rappresentazione, cioè in un particolareniverso einsteiniano occorre anche una scintilla di divina intuizione. sistema di coordinate, che definiscono le grandezze sulle quali concretamente

si faranno, e verificheranno sperimentalmente, delle previsioni. La funzioneastratta T,, invece si rivela spesso utile per considerazioni di tipo qualitativosul sistema che coinvolgono proprietà indipendenti dalla rappresentazione, inparticolare quelle che coinvolgono il comportamento del sistema in intervalli

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temporali molto lunghi (o infiniti). Cosi per esempio, si dice che cr è uno stato sione è in linea di principio ineliminabile (infatti: se ci sono infinite osservabilistazionario (o di equilibrio) se, per ogni s < t, T,, e = cr ; che è uno stato di equi­ non date a priori come funzioni di un insieme finito di esse, si è già visto chelibrio stabile, se lim T,, r i ' = o., per ogni stato o' abbastanza vicino a cr, ... non si potrà mai decidere con un numero finito di esperimenti se un dato insieme

Dai postulati ii ) e ni) segue inoltre che, se r<s<t sono arbitrari istanti di di osservabili indipendenti è completo o no ; d'altra parte, se si fissa a priori untempo, allora deve valere la relazione numero finito di osservabili, non si potrà mai dimostrare sperimentalmente che

queste definiscano tatte le proprietà fisiche del sistema). Come in ogni teoria( ) t r = 88 8 r matematica sufficientemente ricca esistono affermazioni che non possono es­

sere né dimostrate né confutate all'interno della teoria, cosi, ora come in unaQuesta relazione con l'aggiunta di ipotesi tecniche di regolarità (che non ver­ qualsiasi epoca futura, l'affermazione che una data teoria meccanicistica fornisceranno enunciate), analoghe al postulato di continuità introdotto nel $ g, equi­ una descrizione comp/eta di un sistema, non può essere dimostrata all'internovale ad affermare che l'evoluzione temporale degli stati di un sistema determi­ di una qualsiasi teoria sperimentale.nistico è retta da una equazione difFerenziale del prim'ordine. Nella rappre­ La famosa affermazione di Lenin sulla «inesauribilità dell'elettrone» si puòsentazione associata a un insieme completo di osservabili B, questa equazione tradurre, nel nostro linguaggio, proprio come l'affermazione dell'impossibilitàha la forma di dimostrare che un dato insieme di osservabili indipendenti relative al siste­

d ma-elettrone è, per questo, un insieme completo. Ma c'è di p iu :non solo non(z) — B, = X(B,) si può sapere se una data descrizione è completa o no, ma non si può neppure

sapere quanto si discosta dalla completezza. Ciò implica che nel programma deldove B, è un vettore di uno spazio vettoriale reale (di dimensione finita se il si­ meccanicismo non solo non può essere inclusa la speranza di arrivare a una de­stema soddisfa il postulato lit )). scrizione «fedele» (cioè completa) della natura, ma neppure quella di un'«ap­

Ogni equazione del tipo (z) descrive un'evoluzione deterministica del com­ prossimazione asintotica» (si veda l'articolo «Fisica» in questa stessa Enciclo­plesso di grandezze B, ma soltanto se B è un insieme completo di grandezze si pedia) ad essa.può affermare che l'equazione (z) descrive l'evoluzione dello stato del sistema Se s'immagina lo «stato meccanicistico» di un sistema, inteso in senso asso­nel senso delle teorie meccanicistiche. Su questo punto si tornerà nel ( 9. luto come l'insieme di tutte le proprietà del sistema — esistenti obiettivamente e

Allo scopo di analizzare il rapporto tra lo «stato» definito da una concreta indipendentemente dal fatto che l'uomo le osservi o le misuri —, come un puntoteoria meccanicistica e lo «stato reale», si cominci a osservare che ogni teoria o in uno spazio immaginario, si può allora pensare ai vari concetti «stato», re­meccanicistica è imperniata sui seguenti tre tipi di leggi: lativi ai successivi sviluppi storici di una teoria meccanicistica, come a una suc­

i ) leggi che riguardano i valori a priori possibili delle grandezze fisiche; cessione di punti in questo spazio immaginario che «si avvicina sempre di piu»

z) relazioni esatte tra i valori di differenti grandezze fisiche in uno stesso al punto o, che rappresenta il vero stato. Ma anche se si accetta questa conce­

istante di tempo (quelle che si sono chiamate «vincoli cinematici»); zione per cosi dire «lineare» dello sviluppo della scienza, la cui inadeguatezza3) la legge di evoluzione di un insieme completo B di osservabili, cioè la è stata messa in luce dalle analisi di Kuhn e di molti altri dopo di lui, non va

forma esplicita dell'operatore X nell'equazione(z). confuso l'«avvicinarsi sempre di piu» (che può avvenire rimanendo sempreben lontani dalla meta), con l'«approssimarsi asintotico» in cui è implicita l'idea

E importante osservare che, tra queste leggi, non ce n'è alcuna che permetta che dopo un numero finito di passi la differenza tra approssimante e approssi­d'individuare un insieme completo di osservabili, o di stabilire se un dato insie­ mato diventi trascurabile. Questo secondo tipo di approssimazione non puòme è completo oppure no. mai essere garantito nell'ambito di una teoria meccanicistica a causa della man­

In effetti, per ovvi motivi, un tale criterio di decisione, inteso come algo­ canza di un criterio obiettivo che permetta di valutare quanto lo «stato del si­ritmo sperimentale, non può esistere in linea di principio non appena la teoria stema secondo una data teoria» si discosti dallo «stato reale» (s'incontra una si­ammetta un insieme infinito di osservabili che non siano banalmente date a tuazione analoga quando si tenta di risolvere numericamente un'equazione :an­priori come funzioni di un numero finito di esse. Come si vedrà piu in dettaglio che in questo caso, assegnare un metodo di approssimazione senza dare la sti­nel paragrafo seguente, tutte le teorie di tipo meccanicistico, nel loro concreto ma dell'errore non fornisce alcuna informazione sulla soluzione).sviluppo storico, risolvono questo problema semplicemente decidendo che un In una qualsiasi teoria meccanicistica lo stato di un sistema è determinato dacerto insieme di grandezze è un insieme completo. un insieme di caratteristiche obiettive, cioè i valori di un insieme completo di

Le motivazioni, che giustificano storicamente questa decisione, saranno ana­ grandezze a un dato istante; ma cosa si debba intendere quando si parla di unlizzate nel paragrafo seguente. Ciò che per il momento interessa sottolineare è «insieme completo» di osservabili lo decide la teoria. La stessa situazione si ri­che, se la teoria vuole essere una teoria sperimentale, una tale arbitraria deci­ proporrà nella teoria quantistica: la differenza sta solo nel tipo di decisione.

Stato fisico 5z8 5z9 Stato fisico

l'equazione di Newton può essere scritta nella forma (z) se con B, viene denotataStato ed evoluzione. la coppia posizione-velocità della particella all'istante t. Lo sviluppo di questa

osservazione condurrà all'introduzione, da parte di Hamilton dello «spazio diIl concetto di stato in una teoria meccanicistica è fondato, come si è visto, su fasi» associato a un sistema meccanico, che è i l modello matematico per lo

quello di insieme completo di osservabili, e l'esistenza di tali insiemi è un po­ spazio degli stati di quel sistema. Su tale spazio è definita una particolare strut­stulato di queste teorie. Il passaggio dallo schema di teorie, de6nito dai postulati tura (struttura simplettica) intimamente connessa alle evoluzioni di tipo new­I)-v), a una specifica teoria e al corrispondente modello matematico, richiede toniano, nel senso che tutte le evoluzioni che «conservano questa struttura»l 'assegnazione a priori, mediante un ulteriore postulato, di tutti i possibili in­ sono descritte dalle equazioni di Hamilton, che sono una generalizzazione dellasiemi completi di osservabili o, equivalentemente, di un insieme completo di legge di Newton.osservabili e di tutti i «cambiamenti di coordinate» che consentono di passare In generale, il fatto che in una teoria meccanicistica lo spazio degli stati siadalla rappresentazione associata a quell'insieme alla rappresentazione associata strettamente determinato dal tipo di legge di evoluzione (salvo, come si è giàa un qualunque altro insieme completo (cfr. $ 8). detto, nei casi in cui questa evoluzione è banale ), si manifesta in addizionali

Ai nostri giorni, quando si parla di «postulati di una teoria fisica», s'intende strutture su questo spazio, oltre a quella generale di varietà diflerenziabile (cosi,semplicemente separare la parte puramente deduttiva della teoria da quella in­ per esempio, esistono dei campi la cui equazione di evoluzione è l'analogo, a in­duttiva. I postulati sono cioè un complesso di affermazioni della teoria dal quale finite dimensioni, dell'equazione di Hamilton. Anche in questo caso sullo spaziotutte le altre possono essere dedotte per via puramente logica. In questo senso degli stati — che è a dimensione in6nita — è definita una struttura simplettica ge­essi rappresentano la sintesi concettuale delle conoscenze empiriche di una data neralizzata).epoca. Occorre però non dimenticare che la 6sica non è una scienza deduttiva, Si può, in conclusione, aflermare che ad ogni legge di evoluzione è possibilenon procede cioè per postulati e deduzioni, ma si serve di questi per coordinare associare un concetto di « insieme completo di osservabili »(e quindi un concettoe sviluppare i risultati ottenuti mediante esperimenti e induzioni. In particolare, di stato) in modo tale che la risultante teoria soddisfi tutti i postulati del mecca­una teoria fisica rappresenta la conclusione di un processo storico durante il nicismo. Come è stato dimostrato, il meccanicismo come visione del mondo nonquale i suoi contorni non sono nettamente delineati ; non è ben chiaro quale sia è sottoponibile a verifica sperimentale ; sottoponibili invece a tali veri6che sono« l'insieme di tutte le osservabili della teoria» né « l'insieme di tutte le affermazioni i risultati dello studio sistematico delle equazioni che si presentano come utilidella teoria), ma si sa solo che alcune grandezze osservabili e alcune afferma­ modelli esatti di fenomeni naturali.zioni su tali grandezze vengono ritenute «rilevanti » ai fini della teoria che si L'enorme successo storico di questo programma ha fatto si che i postulatista costruendo. impliciti in tutti i modelli di tipo meccanicistico venissero implicitamente assunti

È in questa fase di sviluppo che emerge un legame, tra concetto di stato ed evo­ al ruolo di verità universali della natura, e che da ciò che era un insieme di mo­luzione, piu profondo di quello descritto nello sviluppo deduttivo della teoria. delli si astraesse una ideologia scienti6ca.Infatti la possibilità di definire, in modo logicamente coerente, l'evoluzione di Finora è stato analizzato il concetto di stato che di tale ideologia è l'espres­un sistema come l'evoluzione di un suo stato è un'astrazione a posteriori, possi­ sione naturale. In quanto segue si vedrà come la crisi dell'ideologia meccanicistabile solo quando la teoria è già completa. Nel processo storico di formazione condurrà a un abbandono di questo concetto di stato. Il concetto che lo sosti­della teoria accade esattamente l'inverso, cioè è la scoperta di una legge di evo­ tuirà è l'espressione non di una diversa teoria, ma di un nuovo modo di conce­luzione ossia una equazione del tipo (z) per un certo complesso di grandezze B, pire la conoscenza della natura, perciò i contrasti che sorgeranno su tale concettoche permette di definire cos'è un insieme completo di osservabili, quindi uno sono solo il riflesso dei piu profondi contrasti che hanno accompagnato l'ab­stato del sistema. Nella realtà storica, al contrario che nello sviluppo deduttivo, bandono della speranza di poter tradurre, in una teoria scientifica fondata sul­non si cerca l'evoluzione di un sistema completo di osservabili, ma si definisce l'esperimento, la concezione meccanicistica della Natura.completo un insieme di osservabili di cui si è scoperta la legge di evoluzione.L'insieme 0 di tutte le osservabili della teoria sarà allora per definizione l'in­sieme di tutte le funzioni dell'insieme B anzidetto (o meglio, tutte le funzioni 6. St a to nei sistemi aperti.che soddisfano certi requisiti di regolarità come funzioni reali definite suS (B) = insieme dei valori delle grandezze B) ; e l'insieme di tutte le affermazioni Esiste tutto un complesso di teorie che, pur non situandosi, rispetto allodella teoria sarà allora, sempre per definizione, l'insieme delle affermazioni del schema meccanicistico in una posizione di radicale rottura (come avverrà pertipo : il valore dell'osservabile A — in 6 — all'istante t è f(b,). la teoria quantistica) non rientrano in questo schema.

Soltanto con Eulero e Lagrange il modello matematico dello stato mecca­ La principale differenza fra tali teorie e quelle meccanicistiche, nel senso delnico, cosi come lo s'intende oggi, comincia ad emergere dalla constatazione che $ 3, sta nel modo di porsi di fronte ai concetti di «sistema» e «stato di un siste­

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ma». I sistemi che possono essere descritti dal meccanicismo sono quelli che con­ dato istante non determina univocamente il divenire del sistema; questo è de­tengono in sé l'embrione di tutto il loro sviluppo futuro, o quelli la cui evo­ terminato anche dall'insieme degli input ricevuti dal sistema fino a quell'istan­luzione temporale può essere completamente prevista misurando i valori a un te, rappresentato, nel modello matematico, come una funzione (funzione input )certo istante di un insieme di osservabili che riguardano unicamente il sistema del tempo a valori nello spazio degli input o dei controlli, nel senso espressostesso. Questi sono i cosiddetti «sistemi isolati» (o chiusi), quelli cioè sul cui dal seguente postulato (che generalizza il postulato meccanicistico del determi­comportamento l'ambiente esterno (rispetto a loro ) non influisce in modo si­ nismo) :gnificativo (per esempio nel modello newtoniano il sistema solare viene consi­

posTULATo DI cAUsALITÀ. Se B è un insieme di osservabili i cui valori defini­derato «isolato» dall'universo circostante). Esistono però in natura molti sistemi scono gli stati del sistema ed s(t sono dueistanti di tempo, allora per ognifunzionea cui è naturale attribuire una individualità, cioè che è naturale considerare co­input co esiste unafunzione TP,(u) tale che B, = TP,(co) B,.me «sistemi», ma nel cui comportamento il ruolo dell'ambiente esterno non può

essere considerato trascurabile; esempi tipici sono forniti dai sistemi biologici, La funzione TP,(o>) definisce quindi l'evoluzione del sistema in funzionedalle strutture ecologiche, dalle organizzazioni sociali o economiche. Tali si­ del «parametro di controllo» co, e il postulato della causalità si esprime nell'af­stemi sono chiamati «sistemi aperti». L'enorme varietà di sistemi che rientra in fermazione che l'evoluzione del sistema dall'istante s a t dipende solo dagli inputquesta classe fa si che siano stati elaborati per la loro descrizione vari tipi di anteriori a t (il passato determina il presente) ; oppure, equivalentemente: se umodelli matematici. Una importante linea di pensiero descrive tali sistemi ispi­ e to' sono due funzioni input tali che to (u) =to' (u) per u( t , a l lora si ha cherandosi alle tecniche della termodinamica del non-equilibrio, e in questa dire­ TP,(u) B, = TP,(o>') B, La teoria delle catastrofi di Thom r ientra in questazione vanno ricordati gli importanti contributi di Prigogine e della sua scuola. classe generale di teorie e corrisponde al caso in cui non ci sono output e i l

Un'altra linea di pensiero è piá< direttamente ispirata a problemi provenienti parametro di controllo u è indipendente dal tempo (i «punti di catastrofe» cor­dalle applicazioni tecnologiche ed è all'origine della «teoria dei sistemi» e, in rispondono a quei valori del parametro di controllo to in cu i l ' evoluzioneparte, della cibernetica. In queste teorie un sistema viene considerato euristi­ TP,(to) cambia il suo comportamento qualitativo). I sistemi descritti dalle con­camente come «una struttura nella quale si può immettere qualche cosa (mate­ suete teorie meccanicistiche corrispondono al caso in cui lo spazio dei controlliria, energia, informazione) in certi istanti e che esso stesso emette qualcosa in è banale (ridotto a un solo punto). Anche i sistemi del tipo «scatola nera» rien­certi istanti...» [Kalman, Falb e Arbib xg6g, p. g]. Da questo punto di vista il trano in questa classe (se le funzioni input e output soddisfano certe condi­sistema viene visto come una «scatola nera» che a un certo istante viene stimo­ zioni di compatibilità), nel senso che per tali sistemi un teorema generale assi­lato da qualcosa (input, o variabile di controllo ) e reagisce con un responso cura l'esistenza di uno «spazio degli stati», una «funzione di lettura» e una fa­(output). miglia di evoluzioni T, , (co), in modo tale che l'output all'istante t sia proprio

L'unica cosa che interessa la teoria sono le relazioni funzionali (o statisti­ quello ottenuto applicando la «funzione di lettura» allo stato, all'istante t. Loche) tra input e output, e solo nei termini in cui tali relazioni sono note la de­ «spazio degli stati » definito da questo teorema, oltre a non essere univocamentescrizione del sistema può dirsi «completa». La principale differenza con il mec­ definito dai dati, è un oggetto molto astratto e privo di significato fisico imme­canicismo sta nel fatto che in questo caso la « fotografia istantanea di un sistema», diato.cioè il suo output in un dato istante, non contiene piu in sé l'embrione del suo Il «problema della realizzazione», che ha ricevuto considerevole attenzionedivenire, poiché questo dipenderà in genere anche dagli input passati e da quelli nella teoria dei sistemi, consiste nel tentativo di definire in modo costruttivo,futuri; piu precisamente si suppone che l'output ad ogni istante t sia determi­ fisicamente significativo, e in qualche modo intrinseco (cioè unico a meno d'i­nato dagli input negli istanti precedenti a t (causalità). In quest'approccio il somorfismi ) uno spazio degli stati associato, nel senso spiegato sopra, a un datoconcetto di «stato di un sistema» nel senso meccanicistico scompare completa­ sistema input-output. Anche nel caso di sistemi semplici (sistemi lineari ) la so­mente. C'è un approccio piu generale, che include propriamente le teorie mec­ luzione di questo problema è abbastanza complessa, e non si entrerà qui neicanicistiche, e che sintetizza i casi del sistema come «scatola nera» e del si­ dettagli tecnici. & interessante però osservare che, mentre nel caso delle teoriestema isolato. In quest'approccio accanto agli input e agli output, che rappre­ meccanicistiche è un fatto storico che l'evoluzione determini lo spazio deglisentano l'interazione del sistema con il mondo esterno, si considera anche un stati (cfr. ( 5), nel caso della teoria dei sistemi il problema di costruire uno spa­complesso di grandezze osservabili intrinseche al sistema mediante le quali è zio degli stati associato a una data corrispondenza input-output si pone fin dal­possibile definire un concetto di «stato» (istantaneo) del sistema con la stessa l'inizio in modo esplicito come problema teorico.procedura usata nelle teorie meccanicistiche. Se B è un insieme completo di os­servabili intrinseche del sistema, lo «stato» del sistema in un dato istante è de­terminato dai valori di B in quell'istante e l'output in quell'istante è determi­nato come funzione dello stato («funzione di lettura»). Tuttavia lo stato in un

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quantistica considera questo concetto di stato, e piu in generale il postulato delForma debole del principio d'indeterminazione. realismo, come prodotti del nostro rapporto psicologico con gli oggetti piutto­

sto che conseguenze necessarie delle nostre esperienze. Questo è il punto diLa radice della differenza tra i concetti di stato in una teoria meccanicistica vista formalizzato nel postulato H, il quale non è una affermazione sulla natura

e in teoria quantistica sta nel principio d'indeterminazione di Heisenberg. In in sé (come il postulato del realismo), ma sui limiti a priori di ogni teoria dellaquesto si possono distinguere due aspetti: uno, qualitativo, che consiste nella natura in quanto teoria sperimentale. Tali l imitazioni a priori r iguardano la

negazione del postulato rv) delle teorie meccanicistiche (il postulato di compa­ quantità d'informazione simultanea conseguibile su un sistema.tibilità ) ; e uno, che esprime in forma quantitativa il grado d'incompatibilità Il concetto di «stato quantistico» esprime quanta parte dell'informazionetra piu grandezze. Si comincerà con l'analizzare le conseguenze del primo sullo stato — inteso nel senso intuitivo delle teorie meccanicistiche — rimane con­

aspetto di questo principio (forma debole del principio d'indeterminazione di trollabile con l'esperienza una volta accettate le limitazioni a priori imposte dalHeisenberg), enunciandolo nella forma di principio di Heisenberg. Quanto segue spiega il senso preciso in cui ciò avviene.

PQSTULATo H. Esistono osservabili che non possono essere misurate simultanea­mente con precisione arbitraria. 8. I p o s tulati statistici della teoria quantistica.In particolare, dal postulato H segue che esistono grandezze i cui valori esattinon possono essere misurati simultaneamente. Per tali grandezze la questione In questo paragrafo ci si limiterà alla teoria quantistica non relativistica ese una sia o no funzione di un'altra, e perciò il postulato r ) delle teorie mec­ il termine 'stato' verrà usato nel senso, spiegato nel ) 3, della meccanica ha­canicistiche, è priva di senso da un punto di vista operativo, poiché la verifica miltoniana classica di un sistema con un numero finito di gradi di libertà, distin­dell'affermazione A, = f(B,) presuppone che si disponga di una tabella su cui guendolo dal termine 'stato quantistico'. Due (o piu) osservabili saranno dettesiano elencati tutti (o, per una realistica verifica parziale, almeno alcuni ) valori compatibili se possono essere misurate simultaneamente.simultanei delle grandezze A e B all'istante s, ed è proprio la possibilità di co­ Solo se C è un insieme di osservabili compatibili ha senso parlare di «unastruire una tale tabella mediante concrete operazioni fisiche, che viene negata funzione di C» (cfr. $ z). Piu in generale, solo se C è un insieme di osservabilidal principio di Heisenberg. compatibili ha senso fisico parlare della probabilità condizionata P (A = a i C = c )

Una qualsiasi affermazione riguardante lo stato del sistema inteso come che l'osservabile A assuma il valore a se è noto che C assume il valore c. La

complesso di tutte le proprietà fisiche del sistema in quell'istante, in un conte­ nozione di probabilità condizionata generalizza quella di funzione, a cui si ri­sto che accetti il postulato H, è un'affermazione non scientifica in senso poppe­ duce nel caso in cui le probabilità assumano solo valori banali (piu precisa­riano, cioè non falsificabile sperimentalmente, neppure con un esperimento mente: A è funzione di C se e solo se per ogni valore a di A e c di C la pro­ideale. In un tale contesto perdono ogni significato operativo sia il postulato babilità condizionata P (A = a i C= c ) può valere solo zero o uno ).dell'accessibilità sia il postulato del realismo (nella formulazione data al ) z) Nel caso classico (meccanicistico), tutte le osservabili sono compatibili e une, con essi, la concezione stessa dello «stato fisico» cosi come essa emerge dai po­ insieme completo di osservabili è sostanzialmente caratterizzato dall'essere un

stulati delle teorie meccanicistiche, cioè come fotografia istantanea e completa insieme di osservabili indipendenti, massimale rispetto a questa proprietà (in­del divenire di un sistema. A una tale concezione non corrisponde piu, neppu­ fatti è chiaro che la completezza, nel senso del ) z, implica questa proprietà;re a livello virtuale, alcun concetto nel modello matematico. Ciò che segue dal e il viceversa è garantito, almeno localmente e per dipendenze funzionali re­

principio d'indeterminazione non è la negazione del postulato del realismo e golari, dal «teorema delle funzioni implicite» di Dini ). Tenuto conto di ciòdell'associato concetto di stato fisico, ma solo la non-intrinsecità di questi con­ si può affermare che, nel caso classico, un insieme completo di osservabili è uncetti alla nostra rappresentazione quantitativa della realtà. Essi possono essere insieme B di osservabili indipendenti, massimale rispetto a questa proprietàconservati, rispettivamente come convinzione filosofica e come base euristica e tale che per ogni osservabile A. le probabilità condizionate P (A = a i B= b)dell'immagine intuitiva del concetto di stato, nell'ambito di quelle convinzioni assumano solo i valori zero e uno.

meta-fisiche che, come Lakatos ha dimostrato, svolgono un ruolo molto impor­ Nel caso quantistico, un insieme completo di osservabili compatibili è de­tante nello sviluppo e nell'interpretazione di ogni teoria fisica pur non facendone finito come un insieme C di osservabili compatibili e indipendenti, massimalepropriamente parte. Come Laplace non include Dio, nella sua descrizione mec­ rispetto a queste due proprietà, e tale che per ogni osservabile A le probabilitàcanicistica del sistema della natura, perché «non ha bisogno di questa ipotesi», condizionate P (A = a i C = c) siano ben definite. Tutte le affermazioni di unala teoria quantistica fa a meno del concetto di stato come fotografia istantanea teoria meccanicistica classica sono riducibili ad affermazioni del tipo: se B è une completa del divenire di un sistema. Come Kant considera l'esistenza di Dio insieme completo di osservabili compatibili, allora il valore dell'osservabile A =un postulato, non delle scienze naturali, ma della vita morale, cosi la teoria =f>(B)all'istante t) s , se è noto che B,= b, è dato da A,= f> (TP,b).

z8

Stato fisico 534 535 Stato fisico

Analogamente, tutte le aifermazioni di una teoria quantistica sono riducibili PUSTULATo tns ). Siano: C, un insieme completo di osservabili compatibili;ad alfermazioni del tipo : se C è un insieme completo di osservabili compatibili, s<t, due istanti di tempo; A, una qualsiasi osservabile; I, una moltitudine di si­allora la probabilità che il valore dell'osservabile A all 'istante t)s sia a, se è stemi identici tali che, all'istante s, B = b,. Allora esiste una distribuzione di pro­noto che C, = c, è data da P (A, = a ~ C ,=c ). babilità sui valori di A — Pz ( ~ b„' t) — che non dipende dall'insieme I, tale che,

Queste probabilità sono dette «probabilità di transizione» o, in alcuni casi, se all'istante t viene misurato A su tutti i sistemi dell'insieme I, la frequenza rela­per sottolineare la soggiacente intuizione meccanica, «sezioni d'urto». & prin­ tiva del risultato A = a è (approssimativamente) uguale a Pz (A = a~ b„' t).cipalmente dalla misura di queste quantità che la teoria quantistica ricava lesue informazioni sperimentali sulla natura. (Per l'esattezza, poiché la teoria A dilferenza dei postulati t )-v) che caratterizzano le teorie meccanicistiche, iquantistica prevede l'esistenza di osservabili i cui valori non sono esattamente postulati ts ), ..., vs) sono soddisfatti dalle teorie quantistiche, ma non le carat­misurabili — neppure nell'idealizzazione del modello matematico — talvolta l'e­ terizzano. Al contrario, essi definiscono la piu generale teoria statistico-determi­spressione P (A = a ~ C = c) rappresenta una densità di probabilità, o addirittura nistica. Per questo motivo, prima di analizzare nella sua specificità il concettouna densità di probabilità relativa. Per semplificare l'esposizione, nel seguito di stato quantistico, e al fine di far risaltare meglio questa specificità, sarà oppor­ci si limiterà alla discussione del caso in cui queste espressioni rappresentano tuno discutere il concetto di stato in una generale teoria statistica.delle vere e proprie probabilità condizionate).

In analogia a quanto fatto per le teorie meccanicistiche, e al fine di renderepiu chiaro il paragone con queste ultime, si enunceranno ora, nella forma di 9. Il concetto di stato in una teoria statistica.postulati, alcune aAermazioni comuni a tutte le teorie quantistiche:

Per «teoria statistica» in generale, s'intende una qualsiasi teoria che soddi­PosTULATo ts ). Esiste un insieme completo di osservabili compatibili. sfi le condizioni esPresse dai Postulati ts ), tvs), vs) del ) 8 (si ricordi che nellaposTULATo ns). Se C è un insieme di osservabili compatibili e A una osserva­bile tale che a un certo istante t la probabilità condizionata che A,=a se C,= definizione di insieme completo di osservabili compatibili è inclusa la condi­

zione che le probabilità condizionate da valori assunti da tale insieme siano ben= c è P(A =a ~ C = c), allora per ogniistante s la probabilità condizionata che A, = definite per ogni osservabile della teoria). Se anche il postulato ars) è soddisfat­= a se C, = c è anche P (A = a~C = c).PosTULATo Ivs). E possibile, in linea di principio, misurare i valori esatti, a un to, si dirà che la teoria statistica in questione è stazionaria, o che il sistema da

esso descritto è temporalmente omogeneo. Se anche il postulato ms ) è soddi­dato istante, di un qualsiasi insieme di grandezze compatibili ein un dato istanteuna grandezza non può assumere due valori diversi. sfatto, si dirà che la teoria statistica è di tipo deterministico (o markoviano). Co­

me per le teorie meccanicistiche, anche in questo caso è possibile formulare iPosTULATo vs). L'esistenza e laforma delle leggi caratteristiche di cui ai punti

ns) e xIts) (cfr. oltre) sono accessibili alla conoscenza umana mediante la ragio­postulati in modo «relativistico», cioè senza attribuire al tempo un ruolo privi­legiato ma, per limiti di spazio, non si discuterà qui una tale formulazione.ne e gli esperimenti. In una teoria statistica assegnare uno stato di un sistema equivale ad asse­

Come si vede, i Postulati ts ), ns), Ivs) e vs) sono gli analoghi dei corrisPon­ gnare, per ogni osservabile, la distribuzione di probabilità dei suoi valori condi­denti postulati delle teorie meccanicistiche. Per quanto riguarda il postulato zionata dal fatto che sono noti i valori assunti da un insieme di osservabili com­

tn) si verifica facilmente che esso equivale ad affermare che l'assegnazione di uno patibili. Se l'insieme di osservabili compatibili, che definisce il condizionamen­

stato (meccanicistico) del sistema a un qualsiasi istante s determina completa­ to, è completo, spesso si parla di «stato puro»; in caso contrario, di «miscela».

mente i valori di una qualsiasi altra osservabile in un qualsiasi altro istante t) s. Il concetto probabilistico di condizionamento traduce, nel modello matema­

Percio, formulato in termini piu strettamente operazionali, il postulato mecca­ tico, il concetto fisico di preparazione di un sistema relativamente a un dato in­

nicista del determinismo assume la forma: sieme di osservabili (talvolta, nella letteratura fisica, il termine 'preparazione'viene usato come sinonimo di condizionamento su un insieme completo di os­

PoSTULATo tn ). Siano: B, un insieme completo di osservabili; s(t , due istan­ servabili, ma nel seguito ci si atterrà all'uso piu generale del termine introdottoti di tempo; A, una qualsiasi osservabile; I, una moltitudine di sistemi identici tali sopra).che, all'istante s, B = b,. Allora esiste un valore di A — a = f> (b„ t) — che non di­ Se B è un qualsiasi insieme di osservabili compatibili e b un suo valore, sipende dallinsieme I, tale che, se all'istante t, viene misurato A su tutti i s istemi denoterà P ( ~B = b) lo stato da esso definito. Per definizione, quindi, se Adell'insieme I, il risultato della misura è sempre lo stesso, e cioèf< (b„- t). è un'osservabile, P (A = a ~ B = b) rappresenta la probabilità condizionata che

A valga a se B = b. Se B è un insieme completo di osservabili compatibili, ilLa teoria quantistica indebolisce il postulato meccanicistico del determinismo concetto di stato (statistico) determinato da B = b generalizza il corrispondentenel modo seguente : concetto meccanicistico nello stesso senso in cui la nozione di probabilità condi­

Stato fisico 536 537 Stato fisico

zionata generalizza quella di funzione. Nel caso meccanicistico lo stato a un concetti di dipendenza funzionale e di dipendenza statistica, cosi come non ci puòdato istante s è determinato dall'assegnazione dei valori assunti in quell'istante essere tra i concetti di «mucchio di grano» e di «N chicchi di grano» (N = i ,dalle osservabili B di un insieme completo. Tale assegnazione determina impli­

2, 3, ...) (si osservi che, come nel caso del «mucchio», l'argomento precedente ècitamente lo stato. AfFinché la determinazione sia esplicita occorre conoscere per valido anche per osservabili che assumono valori discreti, purché numerosi eogni osservabile A della teoria la forma precisa della sua dipendenza funzio­ «poco differenti » l'uno dall'altro ).nale da B, cioè la funzionef tale che f(B) = A. Come si è detto, tale funzione è Fin qui si è parlato di come viene assegnato uno stato in una teoria statistica.completamente determinata dalle probabilità condizionate P (A =a ~B = b) ; in­ Ma che cosa è uno stato in una tale teoria? Cioè, che cosa s'intende in una talefatti, nel caso meccanicistico, fissato b esiste un unico a per cui tale probabilità teoria, quando si dice che «il sistema si trova in uno stato determinato dall'as­vale uno, e questo è caratterizzato dalla proprietà a = f(b). segnazione dei valori B = b»? Si è visto che lo stato meccanicistico evoca l'im­

Nella pratica una misura non è mai ottenuta con un solo esperimento, e i magine di una fotografia istantanea e completamente dettagliata di un sistema,dati sperimentali da cui si deduce la relazione teorica A = f(B) sono proprio le dell'embrione del suo divenire. A quali intuizioni si riferisce questo concettoprobabilità condizionate P (A = a~B = b) o, per meglio dire, il loro corrispon­ di stato «statistico», apparentemente cosi astratto?dente sperimentale, cioè le frequenze relative. Per chiarire questo punto si comincerà ad esaminare la questione nel caso

La dipendenza funzionale di A da B si manifesta nel fatto che la distribu­ di un esempio particolarmente significativo: la meccanica statistica (dell'equi­zione P(A = a ~ B = b) è praticamente tutta concentrata intorno a un unico va­ librio). L' idea intuitiva di «stato di equilibrio di un sistema termodinamico»lore. Se ciò non accade ma le frequenze relative dei risultati continuano ad es­ consiste nel fatto che, col trascorrere del tempo, le «proprietà macroscopiche»sere — a meno di piccole fluttuazioni intorno a determinati valori — stabili, si parla del sistema si mantengono costanti. In generale, le proprietà fisiche di un si­di dipendenza statistica. Riassumendo: sia in una teoria meccanicistica sia in stema sono definite dal fatto che determinate grandezze osservabili assumonouna teoria statistica, uno stato è determinato dall'assegnazione dei valori simul­ determinati valori; si chiameranno osservabili macroscopiche quelle che deter­tanei di un insieme di osservabili compatibili. Ma, per la determinazione espli­ minano le proprietà macroscopiche del sistema. Se si pensa a un sistema termo­cita (sia pure virtuale) dello stato, in una teoria meccanicistica occorre dare la dinamico come a un aggregato di moltissimi sottosistemi, euristicamente unaforma delle dipendenze funzionali, in una teoria statistica la forma delle dipen­ osservabile macroscopica è una funzione degli stati meccanici di tutt i i singolidenze statistiche; e queste dipendenze sono, in entrambi i casi, determinate sottosistemi, che dipende in modo abbastanza uniforme da questi stati (perdall'assegnazione delle probabilità condizionate P (A = a ~ B = b). esempio la somma delle energie cinetiche dei sottosistemi o una sua funzione ).Le considerazioni precedenti mostrano che la nozione di dipendenza funzio­ La descrizione del sistema secondo la meccanica classica permette di asso­nale esatta come caso particolare di dipendenza statistica non è un artificio for­ ciare a questo uno spazio degli stati (meccanici) e una evoluzione temporale;male, ma rispecchia fedelmente la prassi sperimentale, in cui le probabilità inoltre, poiché ogni osservabile macroscopica è una funzione dello stato mec­condizionate (qui intese nel senso di frequenze relative condizionate) costitui­ canico del sistema, la conoscenza dello stato meccanico del sistema nell'istante sscono un concetto primario rispetto alle dipendenze funzionali. In questo senso permette di calcolare con esattezza il valore dell'osservabile macroscopica insi può dire che le distribuzioni condizionate hanno un grado di «realtà obiettiva» ogni istante t) s e, in particolare, le medie temporali di queste osservabili.maggiore di quello delle dipendenze funzionali anche nei casi tradizionali in cui In uno stato di equilibrio, per quanto detto sopra, i valori di queste osser­soltanto quest'ultimo tipo di dipendenze viene considerato. Da questo punto di vabili macroscopiche devono mantenersi costanti nel tempo a meno di piccolevista, paradossalmente l'introduzione delle probabilità condizionate invece delle fluttuazioni. Ciò implica, per continuità fisica, che le medie temporali dei va­dipendenze funzionali esatte non introduce un elemento di soggettività nella lori di tali osservabili esistano e che ciascuna osservabile fluttui di poco nelteoria, ma uno di obiettività. Essa inoltre permette di guardare alla transizione tempo intorno al suo valor medio. Nella descrizione termodinamica del sistemadalla concezione meccanicistica alla piu generale concezione statistica, non co­ in generale le uniche quantità che interessano sono quelle macroscopiche. Per­me a un brusco salto qualitativo, a una discontinuità, ma come a un processo ciò, per quanto detto sopra, se sono note le medie temporali delle osservabilicontinuo. Se infatti si pensa a una dipendenza funzionale esatta come a una macroscopiche si può affermare di conoscere tutte le proprietà del sistema rile­distribuzione di probabilità «molto concentrata» intorno a un valore, si può vanti da un punto di vista termodinamico, ed è a tale complesso di proprietà cheusare una variante dell'argurnentum acervi della scolastica per dimostrare come ci si riferisce quando si parla di «stato termodinamico» (di equilibrio) di un si­la separazione tra «dipendenza esatta» e «dipendenza statistica forte» sia molto stema. Assegnare uno stato termodinamico di equilibrio significa quindi assegna­piu labile di quanto non si possa essere abituati a credere : infatti, è possibile de­ re l'insieme dei valori di tutte le osservabili macroscopiche identificati, a menoformare poco alla volta, con continuità, una distribuzione molto concentrata di piccole fluttuazioni, alle medie temporali di queste ultime. Come nel caso del­fino a renderla diflusa su piu valori, e cioè propriamente statistica; poiché il lo stato meccanico (per il quale si rimanda al ) 3), anche in questo caso la costru­processo è continuo, non ci può essere in generale una netta separazione tra i zione del modello matematico è resa possibile dalla riduzione della infinità at­

Stato fisico 53g 539 Stato fisico

tuale delle proprietà che determinano lo stato a una infinità potenziale, nel senso secondo la teoria in questione è determinato dall'assegnazione di una probabi­che non si assegnano direttamente le medie temporali di tutte le osservabili ma­ lità condizionata; l'informazione contenuta in questa probabilità è massimalecroscopiche ma un unico oggetto matematico e un algoritmo che, almeno in li­ all'interno della teoria.nea di principio, permette di calcolare ciascuna di tali medie. L'oggetto mate­ Siano ora B e C due complessi di grandezze, ciascuno dei quali determinamatico associato allo stato termodinamico di equilibrio è una misura di probabi­ uno stato con ogni insieme dei suoi valori. È lecito chiedersi qual è la probabilitàlità e il passaggio dal concetto di stato al suo modello matematico è reso possibile che C sia uguale a c con la condizione che B sia uguale a b, cioè — come si dicedalla «ipotesi ergodica», il cui contenuto concettuale può essere formulato nel talvolta identificando lo stato con la condizione che lo determina — qual è la pro­modo seguente: sullo spazio degli stati meccanici del sistema esiste una misura babilità che il sistema si trovi in uno stato (quello definito da C = c) se uno sadi probabilità P, dipendente dallo stato iniziale soltanto attraverso parametri ma­ a priori che esso si trova in un altro stato (quello definito da B = b). La rispostacroscopici, tale che la media temporale di una qualunque osservabile macrosco­ è fornita dalla probabilità condizionata P (C = c ~ B = b) e perciò, in particolare,pica relativa a uno stato iniziale con gli stessi valori dei parametri macroscopici se si è in una teoria esatta, tale probabilità non può valere che r — quando leè uguale al valore medio di questa osservabile sullo spazio degli stati meccanici condizioni B = b e C = c definiscono lo stesso stato — oppure o, altrimenti (mu­calcolato con la misura P (per l'esattezza, l'ipotesi ergodica include anche l'ipote­ tua esclusività degli stati meccanicistici ). Ma se l'insieme B non è completo nelsi che, in generale per sistemi di interesse termodinamico, l'energia sia l'unica senso del meccanicismo (cioè non tutte le altre osservabili sono funzioni di B)quantità che si conserva nel tempo; ma nella presente discussione qualitativa e la condizione B = b definisce uno stato nella teoria che si sta considerando, al­non ci si servirà di questo fatto). La validità dell'ipotesi ergodica in una vasta lora non c'è niente di paradossale nell'affermare che il sistema che si trova nelloclasse di sistemi è oggi pienamente confermata sia dai successi empirici di que­ stato definito da B=b possa, con probabilità non nulla, trovarsi anche in unsta ipotesi, sia da molti teoremi matematici (un nuovo ramo della matematica, la altro stato. Infatti con ciò s'intende soltanto dire che, se si è preparato il siste­«teoria ergodica», è nato dai tentativi di dimostrare l'ipotesi ergodica), sia da ma in modo che risulti con certezza B =b, allora c' è una probabilità non nullaesperimenti numerici fatti al calcolatore. Tuttavia la demarcazione dei limiti pre­ che la misura di C possa dare il risultato c. Questa è appunto la situazione checisi di validità di quest'ipotesi costituisce ancora oggi un formidabile problema si verifica in teoria quantistica.aperto per la matematica, ed è probabile che l'investigazione di questi limiti Per concludere, infine, si osservi che l'analisi del concetto di stato in unaconduca a scoperte interessanti sia per la fisica sia per la matematica. teoria statistica permette di unificare, da un punto di vista formale, tutte le de­

Entro i l imit i di validità dell'ipotesi ergodica, la misura di probabilità P finizioni del termine 'stato', che s'incontrano nelle varie teorie, nel modo seguen­permette di calcolare i valori di tutte le osservabili macroscopiche (e quindi te : data una teoria — caratterizzata da un insieme 0 di osservabili e da un in­tutte le proprietà termodinamiche) allo stesso modo in cui la conoscenza dello sieme Q di affermazioni, uno stato relativo alla teoria (8, Q} è determinatostato meccanico permette di calcolare i valori di tutte le osservabili (e quindi dall'assegnazione dei valori di un insieme (completo) di osservabili compatibilitutte le proprietà) meccaniche. In questo senso si dice che la misura di proba­ mutualmente indipendenti. Se B e C sono due insiemi siffatti, si dirà che le con­bilità P determina (spesso, per abuso di linguaggio, si dice che è) uno stato di dizioni B = b e C =c sono equivalenti dal punto di vista operativo se le proba­equilibrio (termodinamico) del sistema. bilità condizionate da esse determinate coincidono, e cioè se per ogni osservabi­

La meccanica statistica che, nata dalle idee di Maxwell, Boltzmann e Gibbs, le A e un suo valore a, risulta che P (A = a jB = b) = P(A = a ~C = c). Non èè uno dei piu grandi trionfi della fisica dell'Ottocento, permette di dedurre la difficile verificare che le condizioni B = b e C = c sono operativamente equiva­forma esplicita delle misure P, che sono dette «misure di Gibbs», e dimostra lenti se e solo se ogni volta che B assume il valore b, C assume il valore c e vi­che ciascuna di queste misure è univocamente determinata dall'assegnazione ceversa (in particolare i due insiemi di grandezze B e C sono l'uno funzione del­della temperatura del sistema termodinamico; per questo motivo si denoterà l'altro, se e solo se per ogni valore b di B esiste un valore c di C ta le cheP( ~ T =~ ) la (unica) misura di Gibbs definita dal valore w della temperatura T. le due condizioni B = b e C = c siano operativamente equivalenti). Ciò posto,Si osservi infine che poiché ogni P ( ~ T = w) è una misura di probabilità sullo si può dire che uno stato relativo alla teoria (0, 0} è una classe di equivalenzaspazio degli stati meccanici del sistema, e poiché ogni altra osservabile è espri­ di condizioni operativamente equivalenti. Nel caso delle teorie meccanicistichemibile come funzione dello stato meccanico, la P( ~ T=t ) fornisce una distri­ una tale classe di equivalenza determina univocamente un punto nello spaziobuzione di probabilità sui valori di una qualsiasi osservabile. astratto degli stati e viceversa a ogni punto in questo spazio astratto corrisponde

L'esempio della meccanica statistica è importante poiché per la prima volta, un'unica classe di equivalenza nel senso specificato sopra. Nel caso di una gene­in questo caso, il termine 'stato di un sistema' viene riferito a una misura di rale teoria statistica si può solo dire che l'assegnazione di uno stato equivale adprobabilità. In quest'uso, inoltre, emergono alcune caratteristiche generali che si assegnare una distribuzione di probabilità sui valori di ciascuna osservabile del­riscontreranno in tutte le altre teorie statistiche, meccanica quantistica inclusa. la teoria. Tale distribuzione di probabilità sarà banale, cioè concentrata su unIl riferimento, specificamente, è ai seguenti aspetti: uno «stato>i di un sistema solo punto, per tutte quelle osservabili esprimibili come funzioni di uno qual­

Stato fisico 54o 54I Stato fisicosiasi degli insiemi completi i cui valori determinano lo stato. Nel primo caso, trovi nello stato definito dalla condizione B =h non esclude affatto che esso siil passaggio dallo stato astratto a una rappresentazione concreta si effettua sce­ trovi anche nello stato definito dalla condizione C = c, dove B e C sono due ar­gliendo un sistema di coordinate (locali) ; nel secondo, scegliendo una partico­ bitrari insiemi completi di osservabili compatibili tali che B e C non siano tralare condizione B = b tra tutte quelle ad essa operativamente equivalenti. loro compatibili e b, c due loro valori. Se, come implicitamente fanno molti

Mentre gli assiomi che definiscono le teorie meccanicistiche sono abbastan­ autori, si associa al termine 'stato' una intuizione meccanicista e non probabili­za forti da determinare completamente almeno il tipo qualitativo dello spazio sta, una simile situazione può apparire paradossale. In effetti, in un ensembledegli stati (cfr. $ 3), ciò non può accadere, proprio a causa della loro generalità, statistico definito dalla condizione B = b la misura di B (o di una sua qualsiasiper gli assiomi delle teorie statistiche. In questo caso si avranno diversi modelli funzione) su uno qualunque dei sistemi dell'ensemble fornisce sempre b (omatematici a seconda delle ipotesi specifiche sulle osservabili e sulle probabi­

f(b)), mentre la misura di C darà luogo a risultati diversi di cui non è possibilelità condizionate. Si è già visto come i modelli delle teorie meccanicistiche, in prevedere nulla se non la frequenza relativa dei singoli risultati. In un ensemblequanto particolari teorie statistiche, sono inclusi in questa classe. Un altro esem­ statistico definito dalla condizione C = c accade invece il contrario. Perciò, se sipio si ha quando tutte le osservabili della teoria sono esprimibili come funzioni pensa alla proprietà «Essere nello stato definito dalla condizione B=b» comedi una certa famiglia di grandezze; in questi casi uno stato sarà determinato da equivalente di «Appartenere ad un ensemble statistico definito dalla prepara­un'unica misura di probabilità definita sullo spazio S dei valori di queste gran­ zione B = b», è chiaro che si arriva a una contraddizione con il fatto che il si­dezze e perciò lo spazio degli stati sarà un insieme di misure di probabilità sul­ stema può trovarsi nello stesso istante in due stati diversi. D'altra parte, dallo spazio S (questo è il caso, per esempio, della meccanica statistica classica). punto di vista statistico, una moltitudine di sistemi preparati in modo tale che

B = b si comporta proprio come previsto da un ensemble definito dalla condi­zione B = b, e quindi per ciascun sistema di questa moltitudine l'esperienza sem­

x o. St a ti quantistici. brerebbe indicare la validità dell'identificazione, che la teoria ha appena dichia­rato impossibile, tra «Essere nello stato definito da B = b» e «Appartenere ad un

La teoria quantistica accetta il principio d'indeterminazione di Heisenberg. ensemble definito dalla condizione B = b».Essa è quindi necessariamente una teoria statistica, nel senso che se due osser­ Se si accetta questa identificazione, e quindi si ritiene che l'appartenere a unvabili sono incompatibili, la conoscenza esatta del valore di una di esse in un certo ensemble statistico sia una proprietà obiettiva della particella, allora l'attodato istante implica che sui valori dell'altra la nostra informazione non potrà della misura influisce direttamente su tale realtà. Per esempio, se il sistema al­essere che di tipo statistico. Come in tutte le teorie statistiche, in meccanica l'istante s appartiene a un ensemble definito dalla condizione B = b e all'istantequantistica uno stato è una famiglia di distribuzioni di probabilità (una per ogni t) s su di esso si eflettua una misura dell'insieme completo C di osservabili com­osservabile) ed è completamente determinato dall'assegnazione dei valori di un patibili tra loro ma incompatibili con B, dopo la misura il sistema appartiene ainsieme completo di osservabili compatibili. un ensemble statistico definito dalla condizione C = c, e perciò se l'appartenenza

Affermare che un sistema S si trova all'istante t in un dato stato quantistico a un ensemble è una «proprietà obiettiva» del sistema, si deve concludere chefornisce un'informazione di tipo esatto su S, e cioè i valori assunti in quell'istan­ l'atto della misura ha cambiato una tale proprietà obiettiva.te da un qualsiasi insieme di osservabili che definisce lo stato o da una loro fun­ Dal citato lavoro di Einstein, Podolsky e Rosen [r935] si può dedurre chezione. Si tratta di una informazione assolutamente obiettiva che riguarda il sin­ tale conclusione contraddice il principio della relatività, secondo cui nessun se­golo sistema S. Di tutte le osservabili, che non sono funzioni di quelle che de­ gnale può propagarsi ad una velocità superiore a quella della luce. Alla radicefiniscono lo stato, si conoscono solo le distribuzioni di probabilità in quell'istante. di tali contraddizioni stanno, secondo una variante del ragionamento di Ein­Anche questa è un'informazione obiettiva, poiché le frequenze relative previste stein, Podolsky e Rosen dovuta a Bohm, le seguenti considerazioni: si consi­dalla teoria quantistica si accordano bene con i dati sperimentali, e, in questo derino due particelle appartenenti a un ensemble definito dalla condizionesenso, un'affermazione del tipo «La probabilità che accada l'evento X è p» è B = b ; si supponga che l'insieme C consista di una sola osservabile che può as­altrettanto obiettiva quanto una del tipo «La lunghezza di questo tavolo è l». sumere solo i valori +i e — r e che le due particelle siano vincolate in modoTuttavia questa obiettività non riguarda piu il singolo sistema S ma, come ac­ tale che se C vale +i per la prima, C vale — i per la seconda e viceversa(si puòcade per ogni teoria statistica, riguarda una (qualsiasi) moltitudine di sistemi dimostrare che è possibile in natura preparare dei sistemi con queste proprietà ).identici a S e tutti i preparati in modo tale che all'istante t le osservabili che de­ Si supponga inoltre che le due particelle siano molto lontane tra loro e che all'i­finiscono lo stato assumano gli stessi valori su ciascun sistema; una tale molti­ stante t si effettui una misura di C su una di esse con risultato, ad esempio, C =tudine spesso viene chiamata un ensemble statistico. Come si è osservato nel = +i. Da quanto detto sopra, allora, a partire dall'istante t questa particella non( 9, gli stati di una teoria statistica non sono in generale mutuamente esclusivi ; appartiene piu all 'ensemble statistico definito dalla condizione B=b , ma anel caso particolare della teoria quantistica, il fatto che il sistema alpistante t si uno definito dalla condizione C= + i ; ma allora per le ipotesi formulate, a par­

Stato fisico 542 543 Stato fisxco

tire dall'istante t l'altra particella appartiene all'ensemble statistico definito dallapleto di osservabili compatibili C tali che P (' l t ' B = b)= p (- ~ C,= c) — vale a

condizione C = ­ r, e perciò, se il passaggio da un ensemble a un altro corri­ dire tali che il condizionamento B=b al l ' istante s implichi (in questo caso­

spondesse a un cambiamento di proprietà reali delle particelle, un'azione su unadata la reversibilità delle evoluzioni quantistiche — equivalga) la preparazione

particella (la misura di C ) avrebbe provocato il cambiamento istantaneo di una C = c all'istante t. La legge di evoluzione della teoria quantistica fornisce la re­

proprietà di un'altra particella che si trova a (grande) distanza dalla prima. Ma lazione tra gli stati P (. ~ B,= b) e P( ~ C,= c).l'azione a distanza contraddice il principio della finitezza della velocità di pro­ In generale quindi tale legge non dice come variano nel tempo i valori di cer­

pagazione delle interazioni.te grandezze, ma come variano nel tempo le implicazioni deducibili dal fatto

La conclusione di Einstein, Podolsky e Rosen, i quali accettano il postulatoche all'istante s si è acquisita una certa informazione sul sistema effettuando un

della relatività, è che la seconda particella aveva la proprietà C = ­ r anche insieme completo di misure compatibili. Si supponga ora di effettuare all'i­1

prima che si effettuasse la misura di C sulla prima e che quindi la teoria quanti­stante t, una misura simultanea su un altro insieme completo di osservabili com­

stica è una teoria incompleta poiché essa, sulle proprietà C = +r per le due patibili D. A questo punto si devono distinguere due casi: t) le osservabili D

particelle sotto la condizione B = b, può fare soltanto previsioni statistiche. Al­ sono compatibili con le osservabili C; z ) le osservabili D non sono compatibili

tri autori, invece, ritengono (sulla base di argomentazioni tecniche che non ver­ con le osservabili C, Nel caso x) poiché sia C sia D sono insiemi completi, do­

ranno riportate qui ) che il fatto che l'osservabile C assuma un valore ben pre­vranno essere l'uno funzione dell'altro e perciò la misura di D non fornisce al­

ciso per ciascuna delle due particelle anche prima dell'operazione di misura ècuna nuova informazione sul sistema, se è nota la relazione funzionale che per­

incompatibile con il formalismo matematico della teoria quantistica (cioè: unamette di esprimere D in funzione di C; in questo caso quindi lo stato del siste­

tale ipotesi implicherebbe che lo stato quantistico che descrive il sistema dellema all'istante t sarà ancora descritto dalla misura di probabilità P ( ~ C, =c ).

due particelle sia una «miscela», mentre il modello matematico prescrive che sia Nel caso z) invece la misura di D all'istante t distrugge l'informazione sui va­

uno stato puro ottenuto come sovrapposizione dei due stati).lori di C all'istante t poiché, secondo le analisi di Heisenberg e Bohr tale mi­

Se ciò fosse vero, allora sarebbe effettivamente necessario abbandonare ilsura introduce un disturbo sui valori di C che è dell'ordine di grandezza del

postulato del realismo (cfr. $ 3) e la sua affermazione secondo cui tutte le pro­ quanto d'azione (e quindi non trascurabile se il sistema è microscopico) e la cui

prietà di un sistema sono ben definite in ciascun istante e indipendenti dal fattoinfluenza sui valori di C non è sottoponibile a controllo sperimentale. In questo

che su questo sistema si effettui o meno un'operazione di misura. Occorrerebbe, caso la preparazione del sistema, cioè la quantità massimale d'informazione con­

con Heisenberg, il quale ha però in seguito ritrattato questa sua affermazione,seguibile su di esso in un istante mediante una misura, cambia e lo stato del si­

riesumare il concetto aristotelico di potentia, e affermare che le proprietà di un stema all'istante t è definito dalla probabilità P ( ~ D,= d), dove d è il risultato

sistema, non compatibili con una preparazione data, esistono solo allo stato la­d 11e!!a misura di D: lo stato del sistema è quindi cambiato per effetto della mi­

tente e che il nostro atto di misura determina il passaggio della potenza all'at­sura, nel senso che è cambiata la sua preparazione. Per comprendere bene il

to. Ma in tal caso, allora, si dovrebbe arrivare alla conclusione, attribuita da ruolo dell a misura nel cambiamento di stato quantistico, è ut ile considerare

D'Espagnat alla scuola di Copenhagen, che «nessuna proprietà fisica dovrebbe il caso di una misura « incompleta» (secondo una terminologia introdotta da

mai essere attribuita a un sistema quantistico, con l'unica possibile eccezione di Feyerabend [I957 p. xz3 ]), cioè una misura di D che non è seguita dalla lettura

quelle molto particolari del tipo: se A è lo strumento di misura con cui il si­del risultato. In questo caso la misura di D, ha distrutto l'informazione che si

stema sarà messo in interazione, le proprietà fisiche del sistema sono esclusi­aveva sui valori di C,; d'altra parte, questa informazione non è stata sostituita

vamente quelle per misurare le quali A è stato progettato» [r976, p. 340].dall'informazione sui valori di D. Perciò l'informazione disponibile all'istante t

Affermazioni di questo genere sono davvero conseguenze logicamente neces­non consente di determinare uno stato puro relativo alla teoria quantistica (cioè

sarie dei principi fisici della teoria quantistica? Per rispondere a questa domandadeterminato dai valori di un insieme completo di osservabili ).

è opportuno analizzare il problema della variazione nel tempo di uno stato quan­ Tuttavia è ancora possibile determinare uno stato in senso lato, cioè una di­

tistico. Per fissare le idee si supponga che all'istante s lo stato sia definito dallastribuzione di probabilità sui valori di ciascuna osservabile della teoria. Nel caso

condizione B, = b — dove B è un insieme completo di osservabili compatibili­ in cui D possa assumere solo un insieme discreto di valori con sem-lici c

e si denoti P( ~ B,= b) la famiglia di misure di probabilità associate a questa sl desi erazioni sulle frequenze relative si può dedurre che se A è una qualsiasi

condizione. Per il postulato del determinismo statistico sono allora univocamen­osservabile, la probabilità che il valore di A in un istante u successivo a t sia a,

te definite le probabilità P (A, = a ~1B,=b ) dove A è una qualsiasi osservabile sotto la condizione di «preparazione incompleta» descritta sopra, è data da

e t è un istante di tempo successivo a s. Si denoti P(. ~t; B, = b) l'insieme ditutte queste probabilità (al variare di A ). Si postula (e il formalismo matema­ (3) g P (A„ = a ~ D, = d) P(D, = d ~ B, = b)

dtico è coerente con tale richiesta) che questa famiglia di misure di probabilitàdefinisca uno stato del sistema (nel senso del ) 9), cioè che esista un insieme com­ (dove la somma è intesa su tutti i valori di d ).

Stato fisico 544 545 Stato fisico

Per chiarire meglio la peculiarità del caso quantistico, è utile considerare i Nella letteratura fisica il variare della probabilità dell'evento A, = a descrit­risultati a cui si perviene effettuando le stesse operazioni (cioè misura com­ to nella tabella x (e riferito al caso quantistico) viene chiamato «collasso (o ri­pleta e misura incompleta) su un sistema classico, in cui cioè tutte le osservabili duzione) del pacchetto d'onda». Il termine 'collasso' sta ad evocare il fatto che,sono compatibili. In questo caso, dopo una misura completa, la probabilità che al variare della condizione, la probabilità condizionata varia in modo brusco, di­A„ = a diventa P (An=a I [D, = d] A [C, = c]), vale a dire la nostra informa­ scontinuo e immediato. Piu precisamente, in teoria quantistica il termine 'collas­zione, in generale, aumenta; dopo una misura incompleta, invece, dal teorema so del pacchetto d'onda' è, in generale, riferito non alla probabilità, ma alla den­delle probabilità composte segue che la stessa probabilità è data da P (A„ = a I sità di probabilità (o meglio al suo analogo quantistico: la matrice densità).C„ = c), cioè nel caso classico una misura incompleta non fornisce alcuna infor­ Fin qui è stato analizzato il modo in cui cambia lo stato quando si cambiamazione, e quindi non altera la probabilità (il che è intuitivamente evidente, la preparazione effettuando una misura a un dato istante. Nel seguito si analiz­poiché l'unica informazione fornita da una misura incompleta nel caso quanti­ zerà invece come cambia lo stato quando non si effettua alcuna misura; questostico è quella relativa alla esistenza del disturbo e il modello classico è costruito tipo di evoluzione descrive in che modo le implicazioni, deducibili su una mi­sull'idealizzazione di assenza totale di disturbo). I risultati di quest'analisi so­ sura al tempo t, da una preparazione fatta in un istante precedente s, varianono schematizzati nella tabella r. con t. Si cominci a considerare il problema nel caso classico. In questo caso, la

Gli esempi seguenti (uno riferito al caso classico e uno al caso quantistico) condizione del determinismo statistico si scrive nella formaillustrano in due casi particolari la situazione generale descritta dalla tabella x.

Caso classico: un'urna contiene n palline, di cui n, rosse e n> bianche; la (4) P (A, = a I [C, = c] A [B„ = b]) = P (A, = a I C,= c)probabilità di estrarre a caso una pallina rossa è n,/n. Se estraggo a caso k pal­ per ogni r(s ( t , e per ogni terna di osservabili A, B, C. Relazioni del tipo (4)line e non le guardo, la probabilità che la (k+ z)-esima pallina estratta sia rossa sono chiamate, in teoria delle probabilità, «proprietà di Markov».è ancora, come si verifica immediatamente, n,/n. Se però le guardo e scopro Dal teorema delle probabilità composte e dalla proprietà di Markov se­che, delle k estratte, k, sono rosse e kb bianche, allora la probabilità che la gue che(k+ r)-esima pallina estratta sia rossa diventa (n,— k,)/(n — k). Si veda il dia­gramma a) nella figura r. (5) P(A, = aIB, = b) = QP(At =a IC, = c) P(C, = cl = b)

Caso quantistico : si considerano delle osservabili che, in una opportuna uni­ c

tà di misura, possono assumere solo i valori + r (spin in una data direzione (dove la somma è estesa a tutti i valori c di C ).spaziale). Siano ot, [i, y, tre direzioni spaziali, e S„, S>, S indichino rispettiva­ Se A = B = C, introducendo la notazione PPs(b',b)= P(B, = b' IB, = b) emente lo spin in queste direzioni. Inizialmente il sistema è preparato in modoche la probabilità che S„sia +r è cosa([)x/z), dove ([)ot) è l'angolo tra le dire­ Misura Misurazioni [) e ot. Se si misura S e non si legge il risultato, secondo la teoria quan­ incompleta completatistica la probabilità che S„sia +r diventa cos ([)y/z).cos'(yot/z)+sin'([iy/z).sin (yot/z). Se si legge il risultato della misura di S e si trova +r , la proba­ La probabihtà Si guardano La probabilitàbilità che S sia + r diventa cosa(yx/z) (come è illustrato nel diagramma b) del­ Estrazione non cambia le palline cambia

la figura r ). )~ di k palline estratte:n,/n senza guatdatle n,/n k,rosse, (nr — ks) /(n — k)

kb bianche

Tabella t.

Variazione della probabilità P(A„ =a I B, = b) conseguente alla misura di D al l ' istante Misura Misurat(s( t( u). incompleta completa

Caso quantisticoCaso classico (D e C incompatibili) La probabilità La probabilità

Misura di S„ cambia Lettura cambia

b) cos' (Iàx/2)senza lettura

Preparazione B, =b P[A =a IB, =b} P[A„ =a l Bs=b } del risultato :del risultato cos'(liY/2) cos'(Yst/2) y S„ = y t cos (Yx/2)

Misura di D, senza lettura Z P[A„a I [D,=d) A [B,= b)}. Z P[A = aI D, = d) • +sin ([iY/2) sin (Ya/2)del risultato .P<D, = dl B, = b} = . P(D, = d I B, = b} +

= P [A =a I B, = b) gP(A =a I Bs= b}Figura t .

Lettura del risultato D, = d P (A =a I [Dt = d) A[Bs = b)} P [A =a I D,=d } Differenze tra le misure completa e incompleta nei sistemi classico e quantistico.

Stato fisico 5C6 547 Stato fisico

PP,.= (PP,(b,'b))> > dalla equazione (5) si deduce immediatamente che le ma­ do dedurre il modello matematico dello spazio degli stati quantistico, ci si devetrici che sono state indicate con (PP,) debbono soddisfare all'equazione limitare a descriverlo.

(6) pts PE PB Si è già visto che in una teoria statistica lo stato è definito dall'assegna­zione di una distribuzione di probabilità su ciascuna osservabile della teoria,

(in cui r (s ( t ) che, come si vede, è l'analogo dell'equazione (r), che descrive ed è determinato dall'assegnazione dei valori di un insieme completo di osser­l'evoluzione di un sistema meccanicistico classico (in questo senso si parla di vabili compatibili. Le prescrizioni della teoria quantistica per descrivere questadeterminismo statistico). Anche in questo caso sotto alcune ipotesi tecniche si famiglia di misure di probabilità mediante un modello matematico unificatoricava dalla (6) la forma differenziale dell'equazione di evoluzione, sono le seguenti (nelle quali, per semplicità, ci si limita a considerare osserva­

d bili che assumono un insieme discreto di valori ) :(7) — P = X ' (t)PP.

r) Ad ogni condizione di preparazione B = b si associa un proiettore (didove, questa volta, X~ (t) è una matrice. rango x ) PP definito su uno spazio di Hilbert complesso separabile H.

Denotando P (A,~B,), ..., le matrici con coefficienti (P(A, = a ~B, = b)), > z) Dati due insiemi completi di osservabili compatibili A, B le probabilitàdalle relazioni (5) e (7) segue che nel caso di sistemi temporalmente omogenei condizionate corrispondenti sono date dalla formula

(quelli in cui le probabilità di transizione P,, dipendono solo da t — s) si ha (g) P (A = a ~ B = b) = r (P, P~ )un'equazione di evoluzione del tipo

ddove w denota la traccia sugli operatori che agiscono in H.

(8) — P(A, iB,) = X~P(A, iB,), 3) A ogni osservabile A il cui insieme di valori è discreto, corrisponde nelmodello matematico l'operatore A= g a P+~, dove la somma è estesa a

dove X = X (o) soddisfa la (7) (con A al posto di B). Perciò, nel caso classico, tutti i valori di A.se il postulato del determinismo statistico è soddisfatto, la forma matematica y) Le osservabili evolvono secondo un'equazione di evoluzione linearedell'equazione di evoluzione è data da un'equazione differenziale ordinaria del ( ro) A , = T, sAprimo ordine nel tempo e lineare.

Nel caso della teoria quantistica, come si è già visto, la (5) in generale non che definisce l'evoluzione delle probabilità condizionate mediantevale, e perciò il ragionamento precedente non può essere applicato. In questo P (A, = a ~ B, = b) = ~ (T (P~) P~)caso, l'evoluzione storica della teoria si è svolta secondo lo schema delineato al) 5, e cioè : prima si è scoperta una legge che permette di rendere conto in modo Poiché, secondo quanto detto precedentemente, l'evoluzione deve trasfor­soddisfacente dell'evoluzione temporale delle quantità rilevanti della teoria (le mare condizioni di preparazione in condizioni di preparazione (cioè stati puriprobabilità condizionate), pai è stata la forma stessa di questa legge a suggeri­ in stati puri ), un teorema matematico dovuto a Wigner e a Kadison implicare un modello matematico per lo «spazio degli stati» di un sistema quantistico. che l'evoluzione T« d ev 'essere indotta da operatori unitari.Ma, al contrario di quanto accade per le teorie meccanicistiche, la nostra com­ In teoria quantistica, quindi, lo spazio degli stati di un sistema è l'insiemeprensione attuale della teoria quantistica non permette, neppure a posteriori e dei proiettori di rango r su uno spazio di Hilbert complesso separabile; spesso,solo a livello qualitativo, di dedurre questo modello matematico da un comples­ identificando un vettore dello spazio di Hilbert al proiettore che esso definisce,so di principi di immediato contenuto fisico. Il modello matematico della teo­ si dice che lo spazio degli stati quantistici è uno spazio di Hilbert (o meglio,ria quantistica «funziona», è stato confermato da spettacolari successi, ma fi­ l'insieme delle rette passanti per l'origine di uno spazio di Hilbert ). Le misurenora non è stato possibile chiarire in modo definitivo in che senso (e se) tale di probabilità associate a uno stato (puro) sono P( ~ B = b) = r (PP.), e le «mi­modello sia conseguenza necessaria e unica dei presupposti fisici della teoria. scele» sono combinazioni convesse di stati puri. Come si vede, si tratta di unL'atteggiamento del mondo scientifico di fronte a questo problema non è uni­ modello lontano dall'intuizione immediata, e lo è tanto piu in quanto finoraforme. Alcuni ritengono che il successo del formalismo sia una indicazione del­ non si è riusciti neppure a ridurlo a conseguenza necessaria di postulati «in­la sua intrinsecità; altri ritengono possibile lo sviluppo di un formalismo alter­ tuitivi ».nativo e «fisicamente equivalente» (cioè un modello matematico diverso che Fin qui si è parlato del concetto di stato quantistico in un contesto non rela­conduce però alle stesse previsioni fisiche). Da entrambe le linee di pensiero tivistico. La sintesi della relatività con la teoria quantistica, introducendo lasono emersi notevoli contributi alla nostra comprensione della teoria quanti­ possibilità che dalle masse si tramutino in energia o viceversa, oppure — con lastica, ma per il momento il dibattito tra «il partito della razionalizzazione» e scoperta dell'antimateria — la possibilità di creazione o annichilazione di coppie« il partito dell'alternativa a è da considerarsi ancora aperto. Per ora, non poten­ di particelle e antiparticelle — intacca profondamente il concetto di individualità

Stato fisico

di un sistema e, a fortiori, il concetto di stato. In tale contesto, solo il campoconserva una sua individualità e le particelle vengono considerate come uno de­gli aspetti in cui può manifestarsi il campo. Si tratta però, ora, di un campoquantistico. Anche nel caso dei campi quantistici gli attuali modelli matematicidei corrispondenti spazi degli stati sono basati sul formalismo dello spazio diHilbert, ma, nel caso dei campi quantistici, il modello matematico dello spaziodegli stati si può dire compreso a fondo soltanto in casi particolari (campi li­beri). Anche in questi casi la formazione di un adeguato concetto di stato è legataalla formulazione e alla soluzione, in modo soddisfacente sia dal punto di vistamatematico sia da quello delle applicazioni, di un'appropriata legge di evolu­zione e il tentativo di risolvere questo problema ha dato origine ad una dellelinee di ricerca teoriche piu profonde e stimolanti della scienza attuale. [L.A.].

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Da un punto di vista euristico per 'stato' di un sistema fisico si intende un partico­lare modo di essere del sistema, piu specificamente un complesso di caratteristiche osser­vabili (cfr. osservazione) che ne determinino il comportamento (cfr. comportamento econdizionamento). È dunque possibile, nella pluralità delle accezioni del termine, iso­lare alcuni tratti comuni che permettono di unificare (cfr. uno/molti) le varie definizioni :ma l'unificazione a livello di definizione formale (cfr. formalizzazione e anche logica ),che comporta una componente di carattere convenzionale (cfr. convenzione), non riflet­te necessariamente una unità delle intuizioni associate al termine, che dipendono invecedalle concezioni via via affermatesi di cosa significa descrivere un sistema nel senso di unascienza sperimentale(cfr. empiria/esperienza, esperimento). Gli sviluppi della mec­canica statistica (cfr. conservazione/invarianza, entropia, equil ibr io/squil ibr io, re­versibil i tà/ i r reversibi l i tà) hanno indicato già come sul finire dell'Ottocento l'espressio­ne 'stato di un sistema' vada riferita a una misura di probabi l i t à (cfr. induzione sta­tistica). Nel contesto quantistico (cfr. quanti) la concettualizzazione di cosa sia lo stato diun sistema cambia radicalmente le nostre categorie fisiche (cfr. categorie/categorizza­zazione, concetto) — come quelle di caso/probabilità, ordine/disordine, ecc. —, lasintesi di tale punto di vista con quello della relat iv i tà ( introducendo l'eventualità chedelle masse (cfr. tnater ia) si tramutino in energia e viceversa, e la possibilità stessa dicreazione o annichilazione di coppie di particelle e antiparticelle (cfr. particella e per al­tri aspetti sitntrsetria)) intacca il concetto di individualità di un sistema, e con esso ilconcetto di stato (cfr. forza/campo, interazione).