Post on 01-May-2015
Filtri digitali IIRFiltri digitali IIR
IIR - Linearità di faseIIR - Linearità di fase
Esiste un legame “fase linere” “risposta impulsiva” di simmetria o antisimmetria di h(n).Ma h(n) è infinita Un IIR a fase linare non è realizzabile
Se h(n) è simmetrica vale la seguente proprietà:
H(z-1) = zN-1 H(z)
ovvero tanto gli zeri quanto i poli di H(z) devono essere speculari rispetto il cerchio unitario ( INSTABILITÀ)
Re
ImZ-plane ej
IIR - Linearità di fase (approx.)IIR - Linearità di fase (approx.)
Si approssima la fase lineare solo in banda passanteImpiego di un equalizzatore di fase (filtro ALL-PASS)
Si rinuncia alla “realizzabilità” (non applicabile nel caso di filtraggi in tempo reale)Impiego della tecnica del TIME-REVERSAL
Mod. Fase
T.R. H(z) T.R. H(z)
x(n) x(-n) f(n) f(-n) y(-n)
X(z) X(z-1) H(z)X(z-1) H(z-1)X(z) H(z)H(z-1)X(z)
Filtri IIR - ProgettoFiltri IIR - Progetto
Ottimizzazione
procedimenti iterativi per definire i coefficienti che minimizzano un certo errore
Scelta diretta di poli e zeri in Z. Trasformazione da prototipi analogici
Butterworth Chebyshev (1o e 2o tipo) Elittici
Si deve definire una “mappatura da s z che mantenga le proprietà del filtro nonché la stabilità.
Filtri IIR - ProgettoFiltri IIR - Progetto
Si parte da un progetto analogico
M
i
i
ii
N
j
j
jjNj
jj
Mi
ii
dt
txdb
dt
tyda
sa
sbsH
00
0
0 )()()(
E lo si riporta in digitale
M
ii
N
jjNj
jj
Mi
ii
inxbjnyaza
zbzH
00
0
0 )()()(
Cercando di rispettare due regole: L’asse j del piano S venga mappato sul cerchio unitario ei
in Z (uguale risposta in frequenza) Il semipiano sinistro di S venga mappato internamente al
cerchio unitario in Z (stabilità)
Trasf. Differenziali Differenze finiteTrasf. Differenziali Differenze finite
T
inyinynyny
nyny
nyii
T
T
)()()]()1([
)]1()([
)]([1
1
1
)]([)]([ 11 nyny ii
M
jii
N
jjj nxbnya00
)()(
Forward difference
Backward difference
Generalized differences
Trasf. Differenziali Differenze finiteTrasf. Differenziali Differenze finite
M
jii
N
jjj nxbnya00
)()(
M
i
i
ii
N
j
j
jj dt
xdb
dt
yda
00
M
iii
Nj
jj sbsa00
M
iii
Nj
jj zbza00
Eq. differenziali
Trasf. Di Laplace
Trasformazione adottata
Differenze finite
Backward difference (1)Backward difference (1)
T
nxnx
dt
dx )1()(
T
zs
11 sT
z
1
1
)(1
)(1
zXT
zsXs
ssH )()(txdt
tdx )(
T
zzH
11)(
)(nxT
nxnx
T
x )1()(
Backward difference (2)Backward difference (2)
TjeTj
Tj
Tjzjs
arctg212
1
1
11
2
1
1
1
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imag
ina
ry P
art
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
S-plane Z-plane
Backward difference (2)Backward difference (2)
Considerazioni: Mantiene la stabilita’ La risposta in frequenza risulta alterata
tanto piu’ quanto maggiore e T tanto piu’ verso le alte frequenze la risposta in frequenza risulta approssimata solo alle basse
frequenze
Forward difference (1)Forward difference (1)
T
nxnx
dt
dx )()1(
T
zs
1 sTz 1
)(1
)( zXT
zsXs
ssH )()(txdt
tdx )(
T
zzH
1)(
)(nxT
nxnx
T
x )()1(
Backward difference (2)Backward difference (2)
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
S-plane Z-plane
Tjzjs 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Part
Imag
ina
ry P
art
Forward difference (2)Forward difference (2)
Considerazioni: NON Mantiene la stabilita’ La risposta in frequenza risulta alterata
tanto piu’ quanto maggiore e T tanto piu’ verso le alte frequenze la risposta in frequenza risulta approssimata solo alle basse
frequenze
Generalized difference (1)Generalized difference (1)
ssH )()(txdt
tdx )(
T
zzzH
iiii
)()(nx
T
inxinx
T
x ii )()(
T
inxinx
dt
dx ii )()(
)()( zXT
zzsXs
iiii
T
zzs
iiii
Generalized difference (2)Generalized difference (2)
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
S-plane Z-plane
)sen(2)( 11 Tjees iiiTiTjiTj
iiT
Tjez
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Real Part
Imag
ina
ry P
art
1per 0 ii
Generalized difference (3)Generalized difference (3)
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
S-plane Z-plane
)sen(2)( 11 Tjees iiiTiTjiTj
iiT
Tjez
-3 -2 -1 0 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Real Part
Imag
ina
ry P
art
2per 0 ii
Generalized difference (4)Generalized difference (4)
Considerazioni (personali) è una trasformata “strana” solo una parte dell’asse jΩ viene mappato sul cerchio unitario
la legge di mappatura puo’ portare a piu’ soluzioni la legge di mappatura inversa potrebbe non essere monotona (si
deve operare una scelta particolare di αi
ad ogni polo in s corrispondono piu’ poli in z di cui a coppie uno dentro ed uno fuori dal cerchio unitario
se z’ è una soluzione lo è anche -1/z’ applicata direttamente NON mantiene la stabilità
si puo’ pensare di “stabilizzare” il filtro riportando I poli a con modulo maggiore di 1 in 1/z
Trasformata bilineare (1)Trasformata bilineare (1)
1
1
1
12
z
z
Ts
sT
sTz
2
2
ejzs j
-2/T
Trasformata bilineare (2)Trasformata bilineare (2)
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
S-plane Z-plane
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Real Part
Imag
ina
ry P
art
12
2
zjT
jTz js
1
1 0
z
z
Trasformata bilineare (3)Trasformata bilineare (3)
2tan22
1
1222
22
Tj
ee
ee
Te
e
Tj
jj
jj
j
j
2tan
2 T
Trasformata bilineare (4)Trasformata bilineare (4)
Considerazioni E semplicemente una trasformata che gode di opportune
proprieta’ mappa l’asse jΩ sul cerchio unitario mantiene la stabilita’
La forma della risposta in frequenza risulta “distorta” si deve applicare un pre-warping alle caratteristiche del filtro
Il T impiegato nella trasformata bilineare non deve per forza coincidere con il periodo di campionamento del segnale digitale
Risposta impulsiva invariante (1)Risposta impulsiva invariante (1)
)(')()()(
)(')('nThnh
nhzH
thsH
)()()(')(' 100
tuecthds
csH td
i
N
ii
iN
ii
)()()(' 10
tuecnTh nTdi
N
ii
1
00
1
0
0 00
1
)(')(
ze
czec
zecznThzH
Tdi
N
i
nTdni
N
i
nnTdi
N
inn
n
i
i
i
Tdi
iezds Solo per i poli
Risposta impulsiva invariante (2)Risposta impulsiva invariante (2)
ejzs j/T
/T
TmT
Tj ejjHT
zH Tl
le
02
1
)( 2
Tsez Applicato solamente ai poli di H(s)
Per evitare l’aliasing H(j) =0 per || > /T