FAREMATEMATICAFAREMATEMATICA

RaffaellaManara

Insegnarematematicapereducare17gennaio2017

1. Che cos’è la matematica

2

“Ilvalorechesiattribuisceaidiscenticomeesseriumanideterminailmodoincuicisiaspettacheessiimparino

lamatematica:conlibertàoppuredaschiavi,guidatioppureimbrigliati.”

H.Freudenthal

3

Che cos’è la matematica?

Partiamodaquestaaffermazione:lamatematicaè

lastrutturazionelentaeprogressivadiunpensiero

riccodisignificato.

4

La strutturazione

Laparolastrutturazione descriveunprocessodisviluppochehainizioconlaposadifondamenti,chesosterrannoun“edificio”,

econtinuainunaorganizzazionegradualeeordinata,incuiognitrattosiappoggiaalprecedenteepreparailsuccessivo.

Nonalludeadunaprocedurameccanica,piuttostooffreunametaforadel dinamismodicrescitachedistinguelapersonaumana,cheèperilbambinounveroeproprio“lavoro”.

5

di un pensiero

Nonbastacheattraversolamatematicabambiniegiovaniabbianosolobuonaesicuradisponibilitàdinozioniestrumenti,indiscutibilmenteoggiindispensabili.

Occorrecheinquestadisciplina,comeperognunadellealtrechelascuolaoffre,sitengadimiralacrescitadellapersonanellasuaintegrità,comeesperienza,parola,azione,cuoreeragione.

6

ricco di significato

Laparolasignificatoèlachiavedelvaloredelpensieromatematico,enellostessotempoiltastodolentedelladiffusainefficaciadell’insegnamentoscolastico.

Iconcettimatematicinonsonoinvenzioni,convenzioni,meccanismiformali,bensìilfruttodiunaprofondarielaborazionedell’esperienza dellapersona.Sequestolivelloèdebole,risultadebolel’apprendimento,checorrispondepiùaunapprendimentomeccanicocheall’apprendimentosignificativo(Ausubel).

7

lenta

Sipossonoscandiretappesignificative,maoccorreanzituttolapazienza,perchéitempidell’apprendimentopossonoesseremoltodiversidaindividuoaindividuo.

Inquestosensolascuolaprimariaconlesuetappepuòordinareeincanalareillavoro,maancheostacolare,presentandodelle“gabbie”nell’itinerariodicomprensioneeacquisizione.

8

progressiva

L’acquisizioneconcettualerispettoallamatematicanonavvienepersempliceaccumulo,nonprogredisceinmodolineare,mapiuttostoaspirale,in uncontinuoapprofondimento econtemporaneoallargamento deiconcetti,edellorolegameconl’esperienzadellarealtà.

ComediceFreudenthal,avvienespessopersalti.

9

2. Un lungo cammino di formazione:

il primo tratto

10

Il primo tratto del cammino

Peribambiniconoscere èunbisognoirrinunciabile.

Findallanascita,ibambinivogliono imparare,evoglionoimpararetutto esubito.

Esplorare,osservare,imitare,rifletteresonoazioniconoscitivecheibambiniesercitanospontaneamente,mafavorirleepotenziarledipendedall’atteggiamentoedall’azionedegliadultichelihannoincura.

11

Si prepara la matematica

Inparticolare,c’è“unameravigliosasintoniatrailpensieroinfantileelamatematica”,eriscontriamofacilmentequanto

“lamatematicaincontrilacapacitàdipenetrazionedellamenteinfantileeilsuosguardolimpidosullecose.”

A.Millan Gasca,Numerieforme

12

3. La formazione dei concetti nel bambino e

come si prepara la matematica

13

Cenni alla formazione del pensiero

Laformazionediunconcetto nonpresupponeunasempliceunificazione:performarloènecessarioastrarre,sceglierecertielementi,considerandolicomeseparatidallatotalitàdell'esperienzaconcretanellaqualesonoincorporati.

Performareunconcetto,separare eunire sonooperazioniugualmenteimportanti,lasintesi ècombinataconl’analisi.

14

Pensiero e linguaggio

Unconcetto veroeproprioemergesoloquandolecaratteristicheastrattesonosintetizzatedinuovo,elasintesiastrattachenerisultadiventalostrumentoprincipaledelpensiero.

Ilruolodecisivoinquestopassaggioèsvoltodallaparola,usatadeliberatamenteperdirigeretuttiiprocessiparzialicheportanoaglistadipiùavanzatidiformazionedeiconcetti.

15

I concetti matematici

Nonostantecisianolivelliincuil’acquisizioneavvieneinmodospontaneo,findallaprimainfanzia,iconcettispontanei equelliscientifici(matematici)differisconoperquantoriguardailororapporticonl’esperienzadelbambinoel’atteggiamentodelbambinoversoilorooggetti.C’èunagrandedifferenzatraiconcetticoncreti,comequellidi‘sedia’o‘cane’,equelliastratti,come‘numero’o‘angolo’.

16

Formazione dei concetti matematici

A. Sfard“C’èqualcosadiveramentespecialeeuniconel

tipodipensieroimplicatonellacostruzionediununiversomatematico.

L'astrazionematematicadifferiscedaaltritipidiastrazione,nellasuanatura,nelmodoincuisisviluppaenellesuefunzioniedapplicazioni.

17

Formazione dei concetti matematici

Adifferenzadeglioggettimateriali,icostruttimatematicisonototalmenteinaccessibiliainostrisensi,possonoesserevistisolocongliocchidellanostramente.

Anchequandodisegniamounafiguraoscriviamounnumero,ilsegnosullacartanonècheunatralemoltepossibilirappresentazionidiunaqualcheentitàastratta,cheinsénonpuòesserenévistanétoccata.”

18

Dualità delle concezioni matematiche

SemprelaSfardmetteinluceunaspettomoltointeressante,anchedidatticamente.Unacaratteristicadeiconcettimatematiciècheinessisonointegrateduedistintemacomplementarimodalitàdielaborazione.Essimanifestanounadualitàdiconcezione,cheemergesiaalivelloverbale (neiterminionelledefinizioni),sianellerappresentazionisimboliche.

19

Dualità delle concezioni matematicheSiriconoscono:vuna concezionestrutturale: consideriamogli oggettimatematicicomeentitàastratte,cheesistonoindipendentementedallamenteumana(peres.quandodiciamo:“labisettriceèilluogodeipuntidelpianoequidistantidailatidell’angolo”)vuna concezioneoperazionale:pensiamoglioggettimatematicicomeintrinsecamentecollegatiaiprocessioperativiconcuiliabbiamoconquistati(peres.,sediciamo“labisettriceèlasemirettachedividel’angoloinduepartiuguali”).

20

“Ledescrizionistrutturalisembranoesserepiùastratte.Ineffetti,perparlarediunoggettomatematico,dobbiamosapertrattareilprodottodicertiprocessi,senzapreoccuparcideiprocessistessi. Perciòsembrachel’approcciostrutturaledovrebbeessereconsideratolostadiopiùavanzato dellosviluppodeiconcetti.

Cioèavremmobuoneragioniperaspettarcichenelprocessodiformazionediunconcetto,lavisioneoperazionaleprecedaquellastrutturale.”

A.Sfard

21

Il metodo è l’esperienza

Selaconcezione“operazionale”precedelavisionestrutturale,èimportantecheogniragazzononsitrovidifronteacontenutigiàconfiguraticome“strutture”,ovveroformalizzatieregolatidaleggieregole,bensìabbiaoccasionedipoterripercorrereeffettivamenteepersonalmentelaparte“operazionale”icuipassiconduconoalconcetto.

Sitrattadipermetterecheognuno“facciaesperienza”

delconcetto.

22

Esperienza è…Laparolaesperienzanonindicasoloun“fare”manuale,concreto,materiale,anchesepermettereditoccare,manipolare,maneggiareèqualcosadifondamentale,soprattuttoperibambini.

Laparolaesperienzaesprimeciòcherendesensata lanostraazione,chelaconnettealsuosignificatoelaindirizzaalsuoscopo.Potremmoconiareloslogan:

farepensandoepensarefacendo.Esperienzaèdunqueun“faregiudicato”,ilcresceredellaconsapevolezzaconoscitivaattraversol’esplicarsidiunaazioneragionevole:agireaccorgendosidicrescere.

23

Natura del gioco

vAvvieneinunospazio diversodaquelloreale® spaziopotenziale

vSisvolgeinuntempoproprio,diversodaquelloreale

L’areadelgiocoèun’areaintermediatrarealtà(c’èunpalcoscenicoreale)eilregnodelpensiero(mondointeriore),un’areadacuisipuòentrareeuscireliberamente.

24

Caratteristiche del giocare

Chesiaungioco solitariooppureungiococondiviso,ilgioco

vèazionedotata di sensovèunatto liberoecreativovimplica fiduciavgenera comunicazione,inparticolarelinguistica.

25

La funzione cognitiva del gioco

vÈluogodiesplorazione dellarealtàvÈoccasionedielaborazionedell’esperienzaversounpensierocoscienteeconsapevole

Le modalitàprincipaliditaleelaborazionesonov → immedesimazionev →ripetizionev →rappresentazione

26

4. Quali contenuti

27

Quali contenuti si “preparano”

Ilsensodelnumero

C’èunapredisposizioneinnatanellamenteumana,legataallapercezionedegliinsiemidiscretidi oggetti,perleacquisizionidellequantitànumericheedell’ideadicardinalità diuninsieme.

28

Abilità numeriche considerate innate

v Subitizing:individuazionevisivadellanumerositàdipiccolequantitàdioggetti,generalmentefinoa4

vStima:valutazionevisiva(approssimata)diquantitàfuoridellimitedelsubitizing,senzaoperareilconteggio

vAcuitànumerica:discriminarevisivamentetradueinsiemididiversanumerositàsenzailconteggio

29

L’intimità con i numeri

“Esistonoinmatematicamoltitipidinumeri,diaddizioniedimoltiplicazioni,einfisicamoltitipidimisure.

Tuttiaffondanolelororadiciesisviluppanosulterrenodellaconoscenzadei numerinaturaliedellelorooperazionielementari,laqualedevediventareunasecondanatura.”

(L.Lafforgue)

30

Il concetto di numeroPerchéilbambinopassidal“senso”delnumeroaformareilconcettoveroeproprio,devonosaldarsiquestitreelementi:

• Ilnome (conoscenzaeusodelleparole-numero)• Laquantità acuicorrisponde• Ilsegnografico chelarappresenta(pernoi,lecifre)

® Triplocodicenellacognizionenumerica

31

Il concetto di numero

vAspettocardinale: ciòchepossiamoastrarredall’esperienzadiinsiemichesonoequipotenti,cioèchesipossonomettereincorrispondenzabiunivoca.

vAspettoordinale: associamoilnumeroalpostocheglioggettihannoinunasequenzaordinata (rispettoallaposizionespazialeoppureallasuccessionetemporale)®conteggio

32

Significati e funzioni dei numeri naturali

vNumeripercontarevNumeriperdescriverelacardinalitàdegliinsiemi(cardinali)

vNumeriperdescriverelamisura diunagrandezzarispettoadunaunità

vNumeriperindicareilpostooccupatoinuncertoordinamento(ordinali)

vNumericomeelementidiuncodice

33

Contare èpassareinrassegnaglioggettidiuninsieme,facendocorrispondereaciascunodiessiglielementidiuninsiemecampione,inmodocheaognioggettodell’insiemecorrispondaunoeunsolo oggettodell’insiemecampioneeviceversa.

Ilcontaresisvolgeneltempo esiservedelritmo,perciòèun’azionestrettamenteconnessaa

®lafunzionedeigesti(peres.,usodellemani)® la cognizionetemporale

34

Le abilità del conteggio e le azioni preparatorie

vLaconoscenzadelleparole-numeroinordinestabile

vLacorrispondenzabiunivocavLaconservazionedellaquantitàServeallora:vRaggruppare,classificarevCostruirecorrispondenzevRiconoscereilnumerodielementidiinsiemivarivOrdinareoggettisecondocriteriprestabiliti

35

vRecitarelafilastroccadeinumeri,coordinandolacongestiappropriatidiconteggio,ericonoscerechel’ultimaparola-numeropronunciatarappresentalanumerositàdi(piccole)collezionidioggetti

vAnnotareinmodivariprogredendonelconteggiovRicostruirel’ordinetemporaledieventi,usandogliaggettiviordinali

vRiconoscere,progettareedescriveresemplicisequenzeritmiche(colori,forme,suoni,movimenti)

vSvolgereattivitàdimisura,utilizzandounitàlibereostrumenticomuni

36

Gli errori nel conteggio vIncertezzasulleparolenumeralivIncertezzasulpuntodiiniziovNonaverchiarochel’ultimaparolaèilrisultatodelconteggio

vErrorinell’etichettamento(sovra-conteggioesotto-conteggio,utilizzodisequenze-numeroerrate)

vErrorinelcoordinamentoritmicotragestoeetichettamento(omissionedioggettiodoppioconteggio)

37

La geometria

“…ha comeoggettol’esplorazionediconcettiastrattichehannolalororadicenell’esperienza,nellapercezionedellaforma edell’estensione,nelmovimentoenelrapportoattivoconisolidi,conlamisuraeconlaposizione cheècaratteristicodell’operareumanonelmondo.

L’esperienzaprimordialedelcontinuogeometrico è,insiemealcontare,alcentrodelrapportotralamenteumanaelarealtà.”

38

“L’intuizionedelcontinuo(dell’infinitàspaziale)insiemeall’intuizionedeinumeri(dell’aggiungereillimitatamente)sonoaspettidistinticheformanoassiemelabasedelpensieromatematico,uniniziocheritornasemprequandosientranelmondodellamatematica.

Ilpensierocoscientedelbambinochecresce,lasuapercezioneelasuaconoscenzadelmondofisicosisviluppanoentrolacornicedellacontinuitàgeometrica,cheèdistintadall’intuizionedelnumero,puravendountrattofondamentaleincomune:l’ideadiinfinito.”

G.Israel,A.Gasca Pensareinmatematica

39

Quali contenuti

Ilsensodellospazio

vIl comportamento spaziale indical’insiemedelleattivitàedesperienzesensomotoriedellapersonanell’ambiente(manipolazione,locomozione,costituzionedelloschemacorporeo,riconoscimentodelleformeedellerelazioni,…)

vLa rappresentazione spaziale(internaedesterna)èlaricostruzionedell’esperienzaspaziale,esplicitatainunsistemasimbolico(linguaggio,disegno,gesto…)

40

5. Cosa serve per la scuola v Curiositàeapertura:michiedoiperchédi…vOsservazione attentadiciòchemicircondavUsodellalingua (hointeresseperleparole,voglio

comprendereitermininuovichesento,inventoterminiche“contengono”ilsignificatochevoglioesprimere,…sonodisponibileaverbalizzareedialogareleesperienzechecondividoconaltri,…)

v Iniziodiusospontaneodisegnialpostodiparoleodioggetti,esforzodicomprendereilcontenutodimessaggisimbolici(codificaedecodificadisignificati)

v Comprensionediprocedimenti(azionementaleeintenzionale)ediregole (particolarmenteneigiochi)

v Disponibilità amettersiallaprova,amisurarsiconcompitivarienuovi

41