Esperienza di una prima nel calcolo dell’area di un cerchio di raggio 1

Esperienza di una prima nel calcolo dell’area di un cerchio di raggio 1

Liceo Scientifico “Filippo Buonarroti A.S.2004 / 2005

Simuliamo la caduta della

pioggia

Abbiamo considerato un quadrato di lato 1 e all'interno un quarto di circonferenza di raggio 1.

Supponiamo che su questa superficie cadono casualmente delle gocce.

Noi vogliamo sapere la probabilità che una goccia cada all'interno dell’arco di cerchio

Gocce

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

X

Yn° di gocce interne

tutte le gocce P =

Abbiamo considerato i punti interni al quadrato e abbiamo attribuito loro le coordinate X e Y, numeri a caso compresi fra 0 e 1 con la funzione random;

ne abbiamo considerato la distanza dall’origine con il teorema di Pitagora e ci siamo chiesti se questa distanza fosse minore o maggiore di 1.

Nel primo caso consideriamo l’evento “favorevole” e gli assegniamo il valore 1, nel secondo lo consideriamo “non favorevole” e gli assegniamo valore 0.

Abbiamo considerato i punti interni al quadrato e abbiamo attribuito loro le coordinate X e Y, numeri a caso compresi fra 0 e 1 con la funzione random;

ne abbiamo considerato la distanza dall’origine con il teorema di Pitagora e ci siamo chiesti se questa distanza fosse minore o maggiore di 1.

Nel primo caso consideriamo l’evento “favorevole” e gli assegniamo il valore 1, nel secondo lo consideriamo “non favorevole” e gli assegniamo valore 0.

Y X2 X Y 2 X2+Y2

Probabilità che le gocce cadano dentro o fuori

0,39551 0,379512 0,61605 0,156428 0,53594 1 0,95985 0,261456 0,51133 0,921313 1,182769 0 0,61906 0,742466 0,86166 0,383238 1,125704 0 0,58654 0,000565 0,02376 0,344028 0,344593 1 0,72977 0,374054 0,61160 0,532568 0,906622 1

Per costruire l’arco abbiamo

suddiviso il lato sull’asse X in 100 parti di ampiezza 0.01

abbiamo calcolato la corrispondente ordinata

abbiamo fatto una tabella in Excel con i valori di x e i corrispondenti valori di y

Per costruire l’arco abbiamo

suddiviso il lato sull’asse X in 100 parti di ampiezza 0.01

abbiamo calcolato la corrispondente ordinata

abbiamo fatto una tabella in Excel con i valori di x e i corrispondenti valori di y

y = 1-x2

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

x radq(1-x2)

0,00 1,0000

0,01 0,9999

0,02 0,9998

0,03 0,9995

0,04 0,9992

0,05 0,9987

Il grafico e’ un grafico a dispersione

Abbiamo estratto 1000 punti a caso e sommato tutti gli eventi favorevoli, ovvero tutti gli 1

Questo risultato lo abbiamo diviso per la totalità degli eventi (ossia 1000) e abbiamo trovato un risultato del tipo 0.792

Abbiamo moltiplicato per 4 la probabilità che le gocce cadano dentro al quarto di cerchio

gocce internegocce interne /totalita' delle

gocce

792 0,792

3168 3,168

moltiplichiamo per 4

Allora abbiamo pensato di inserire in una colonna i dati presi dai singoli gruppi, magari anche più volte e di cercare di capire quale fosse il valore medio e il più frequente

I valori sembravano variare fra 3.0 e 3.3, così abbiamo suddiviso questo intervallo in intervallini di ampiezza 0.02 e abbiamo considerato le frequenze

valori fasce frequenza cumulata frequenza relativa

3,23 3,06 1 1 3,11 3,08 3 2 3,21 3,1 6 3 3,16 3,12 15 9 3,07 3,14 25 10 3,18 3,16 31 6 3,1 3,18 35 4

3,14 3,2 37 2 3,09 3,22 38 1 3,14 3,24 40 2 3,16 3,12

i dati presi erano 40 e la distribuzione e’ stata la seguente

0

2

4

6

8

10

12

Fasce

siamo stati fortunati !

abbiamo fatto la media dei dati ottenuti dai gruppi e abbiamo trovato 3.1445

ma questo numero somiglia molto a π!

abbiamo ripercorso il cammino fatto e ci siamo resi conto che π e’ proprio l’area di un cerchio di raggio 1

la nostra, oltre a essere una misura dell’area del cerchio e’ anche una misura approssimata di π

area sotto la parabola

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Y = x2

Area = 0.3305

Con 0 < x < 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-0.35 0.15 0.65 1.15 1.65 2.15 2.65 3.15

L’area sotto y =sin(x) per 0 < x < π

Su 2000 eventi si ottiene 2.005

il punto di vista dell’insegnante

hanno imparato ad usare il foglio elettronico che e’ molto utile in tante situazioni

hanno affrontato un problema che mette insieme molti aspetti della matematica anche se a livelli elementari, la probabilità, l’algebra, la geometria, il piano cartesiano

si sono impadroniti di uno strumento che verrà ripreso spesso per il calcolo di aree (parabola, cicloide, funzioni ) prima di poterle calcolare con gli integrali.

si sono resi conto che anche in matematica le misure non sono sempre esatte ma possono essere misure statistiche

il punto di vista dell’insegnante