Esercizi di Fisica 1 1.1 Cinematica del punto materiale in una dimensione Es. 1.1) Cambio unita' di misura - Limiti di velocita' In un tratto di strada negli USA vi e' il limite di velocita di 55 miglia all'ora. Sapendo che un miglio e' uguale a 5280 piedi, un piede uguale a 12 pollici, ed un pollice uguale a 2.54 cm, determinare: a) la lunghezza di un miglio in km; b) il limite di velocita' in km/h; c) il limite di velocita' in m/s. Es. 1.2) Analisi dimensionale - Pendolo semplice Un pendolo semplice e' formato da un punto materiale di massa M appeso ad un filo inestensibile di massa trascurabile. Il pendolo, inizialmente fermo ed inclinato di un angolo θ, viene lasciato andare ed inizia ad oscillare. Determinare il periodo di oscillazione del pendolo (tempo necessario per una oscillazione completa) utilizzando la sola analisi dimensionale. Es. 1.3) Inseguimento di un treno Una persona insegue un treno in partenza. Nell'istante iniziale in cui il treno inizia a muoversi il passeggero e' a distanza 𝑑 dal treno e corre con velocita' costante 𝑣 = 5 𝑚/𝑠. Il treno accelera con 𝑎 = 1 𝑚/𝑠! partendo da fermo. Rispondere alle seguenti domande: a) se 𝑑 = 30𝑚, determinare se la persona raggiunge il treno; b) determinare la distanza massima tale che la persona riesca a salire sul treno; c) la velocita' del treno quando la persona sale sul treno se 𝑑 = 10.5𝑚 Es. 1.4) Gioco della banconota da 10 euro Unapersona(A)sfidaunamico(B)aprendereunabanconotada10euronelseguentemodo:Atieneinverticalelabanconotaperilsuoestremosuperiore,mentreilpolliceedindicedellamanodiBsonoalcentrodelbigliettosenzachesitocchino.Alasciacaderelabanconotainunistantequalunqueasuascelta(senzaovviamenteavvertireB).Bdeveprovareaprenderelabanconotasenzaspostarelasuamanoversoilbasso(ovverosemplicementechiudendoilpolliceconl'indice).Riuscira'Aavincerelasfida?(Dati:Lalunghezzadiunabanconotada10euroe'circa12.7cm.SiassumaperBuntempodireazionemedioparia0.2secondi.)Es.1.5)Lancioversol'altodiunapietraDaltettodiunpalazzodialtezzaℎ = 50𝑚,unapietravienelanciataversol'altoconvelocita'iniziale𝑣! = 20!

!.Lapietraraggiungelamassimaaltezzaequandoricadeversoilbasso,sfiorailbordodell'edificio

edinfineraggiungeterra.Siassumachenelmomentodellancioiltempot=0.Determinare:a)l'istanteditempoincuilapietraraggiungelamassimaaltezza;b)lamassimaaltezzadaterra;c)lavelocita'dellapietraquandoessaripassaperilpuntodilancio;d)posizioneevelocita'dopo5secondidallancio;e)sel'altezzadelpalazzoe'ℎ = 30𝑚,comecambialarispostaalladomandaa)?Es.1.6)MotorettilineoconaccelerazionedipendentedaltempoUnpuntomaterialesimuoveconunatraiettoriarettilineaconaccelerazionedipendentedaltempoa=CtconC=-4m/s3.Seall'istantet=0ilpuntomaterialehaunavelocita'v0=2m/s,determinarequantospaziopercorrera'primadifermarsi.

Soluzioni.Es.1.1)1miglio=5280*12*2.54cm=5280*12*2.54*10!!10!!𝑘𝑚=1609kmvlim=88.5km/h=24.6m/s(essendo1h=60*60s=3600s)Es.1.2)Legrandezzefisichedacuiilperiodopuo'dipenderesonolamassaM,lalunghezzadelfiloL,l'accelerazionedigravita'gel'angoloθ.Essendoθadimensionalenonentraingioconell'analisidimensionale:[𝑇] = 𝑚!𝑙!𝑎! = 𝑚!𝑙!!!𝑡!!![T]=𝑡 = 𝑚!𝑙!𝑡!dacui:α=0β+γ=0-2γ=1risolvendoilsistema:α=0β=1/2γ=-1/2Quindi[T]=𝑚!𝑙!/!𝑎!!/!Utilizzandolegrandezzedelproblema

𝑇 = 𝑓(𝜃) !!

dovef(θ)e'unagrandezzaadimensionale.Es.1.3)Persona=PTreno=TSceltadelsistemadiriferimento:altempot=0Psitrovanelpuntox=0,ilversodell'assexe'orientatocomelavelocita'diP.a)LeequazionidelmotodiPeTsono,tenendocontodellecondizioniiniziali:𝑥!(𝑡) = 𝑣 𝑡(motorettilineouniforme)𝑥!(𝑡) = 𝑑 + 1/2 𝑎 𝑡!(motouniformementeaccelerato)PraggiungeTseesisteuntempo𝑡∗taleche𝑥! 𝑡∗ = 𝑥! 𝑡∗ .

𝑡!"∗ =𝑣! +/− 𝑣!! − 2𝑎𝑑

𝑎=5 +/− 25 − 2 ∗ 1 ∗ 30

1

Noncisonosoluzionireali.QuindiPnonraggiungeiltrenoT.b)Affinche'Ppossasaliresultrenodeveverificarsichecisiaalmenountempoincui𝑥! 𝑡∗ = 𝑥! 𝑡∗ .Dunqueiltermine𝑣!! − 2𝑎𝑑 ≥ 0𝑑 ≤ 𝑣!

! / 2𝑎 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚𝑎 = 12.5 𝑚c)Essendod=10.5m<distanzamassima,PraggiungeT.Lavelocita'deltrenonelmomentoincuiPraggiungeTe'

𝑣! = 𝑎 𝑡!"∗ = 𝑣! +/− 𝑣!! − 2𝑎𝑑=5+/-2m/s

Duesoluzionipossibili:1:v=(5-2)m/s=3m/s:PsalesuTappenaloraggiunge2:v=(5+2)m/s=7m/s:PsuperaTsenzasaliresultreno;Tcontinuaadaumentarelavelocita'equindiaduncertopuntoraggiungenuovamenteP;inquestomomentoPsalesuT.

Es.1.4)Consideriamol'estremosuperioredellabanconota(ilpuntomaterialeE).NelmomentoincuiAlasciaandarelabanconota,essacadeeseendosoggettaall'accelerazionedigravita'g.IlpuntomaterialeEseguedunqueunmotouniformementeacceleratoversoilbasso.Essendountrattobrevepossiamotrascurarelaresistenzadell'ariaedassumereunsemplicemotorettilineoperilpuntoE.SeilpuntoEpercorreuntrattopariameta'dellalunghezzadellabanconota(L/2,corrispondentealpuntodovesitrovalamanodiB)inuntempoΔtinferiorealtempodireazionediB,alloraBnonriesceaprenderelabanconotaequindiAvincelascommessa.Lacondizioneaffinche'Avincalascommessae'dunqueche:𝛥𝑡 < 𝑡!"#$%&'" LaleggeorariadelpuntomaterialeEe':𝑦 = 1/2 𝑔 𝑡! QuindiiltempoΔtperpercorrereuntrattoL/2sicalcoladaquestarelazione:𝐿2=12𝑔 Δt!

Δt = ±𝐿𝑔=

0.127 𝑚9.8 𝑚/𝑠!

= 0.11 𝑠 < 𝑡!"#$%&'" = 0.2 𝑠

QuindiAvincelascommessa!Es.1.5)Sceltadelsistemadiriferimento:asseydirettoversol'altoconorgine(y=0)aterra.Conquestascelta,etendendocontodellecondizioniiniziali,leequazionidelmotodellapietraPsono:𝑎 = −𝑔𝑣 = 𝑣! − 𝑔𝑡

𝑦 = ℎ + 𝑣!𝑡 −12𝑔 𝑡!

a)QuandoPraggiungelamassimaaltezza,v=0:0 = 𝑣! − 𝑔 𝑡!"#𝑡!"# =

𝑣!𝑔= 2 𝑠

b)𝑦!"# = ℎ + 𝑣_0 𝑡!"# − 1/2 𝑔 𝑡!"#!=70.4mc)Essendo

𝑦 = ℎ + 𝑣!𝑡 −12𝑔 𝑡!

imponendochey=htroviamo:

ℎ = ℎ + 𝑣!𝑡∗ −12𝑔 𝑡∗!

𝑡∗ = ! !!!(escludendolasoluzionet=0dellostatoiniziale)

𝑣∗ = 𝑣! − 𝑔 𝑡∗ = −𝑣! = −20 𝑚/𝑠(ilmodulougualeallavelocita'iniziale.Vedremochequestorisultatoe'legatoallaconservazionedell'energianelcampogravitazionale).d)𝑣 = 𝑣! − 𝑔𝑡𝑦 = ℎ + 𝑣!𝑡 −

!!𝑔 𝑡!

𝑦(5 𝑠𝑒𝑐. ) =27.5m𝑣(5 𝑠𝑒𝑐. ) = -29m/se)Larispostaalladomandaa)noncambia.Ilrisultatoe'indipendentedallaquotainiziale,dalmomentochel'accelerazionedigravita'e'circalastessainognipuntoinprossimita'dellasuperficieterrestre.

Es.1.6)Sitrattadiuntipicoproblemainversodellacinematica(sivuoleottenerelaposizionex(t)apartiredall'accelerazionea(t)).Scegliamoilsistemadiriferimentotalechealtempot=0ilpuntomaterialesianell'originedelsistemastesso.Lecondizioniinizialidelmotosonoquindi:𝑥(0) = 0e𝑣(0) = 𝑣!Siricavanovelocita'eposizione:

𝑣(𝑡) = 𝑣(0) + 𝑎(𝑡′)𝑑𝑡′!

!= 𝑣! + 𝐶𝑡′𝑑𝑡′

!

!= 𝑣! +

𝐶2𝑡!

𝑥(𝑡) = 𝑥(0) + 𝑣(𝑡′)𝑑𝑡′!

!= 0 + (𝑣! +

𝐶2𝑡′!)𝑑𝑡′

!

!= 𝑣!𝑡 +

𝐶2𝑡!

3

Iltempodiarrestodelpuntomateriale𝑡!"#$siottieneda:

𝑣(𝑡!"#$) = 𝑣! +𝐶2𝑡!"#$! = 0

𝑡!"#$ = − !!!!= 1 𝑠

(notarecheChaunvalorenegativo,altrimentiilcorpononsifermerebbeenoncisarebberosoluzionirealiperiltempo)Lospaziodiarrestoe'quindi:

𝑥(𝑡!"#$) = 𝑣!𝑡!"#$ +𝐶2𝑡!"#$!

3= 4/3 𝑚 = 1.33 𝑚